1. Nmeros Complexos O Esprito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da anlise, neste portento do mundo das ideias, este anfbio entre o ser e o no ser, que chamamos de raiz imaginria da unidade negativa. Leibniz1. Breve Histrico Os nmeros complexos aparecem no sculo XVI motivados pelas resolues de equaes de terceiro e quarto graus. Em 1545, o matemtico italiano Girolamo Cardano (1501 1576) publica seu famoso livro Ars Magna, no qual trata da resoluo da equao de terceiro grau do tipo x 3 ax b 0 . O problema: Qual a medida x, comum a aresta de cubo e a altura de um paraleleppedo com base 15 unidades de rea, sabendo que a diferena entre seus volumes de 4 unidades? corresponderia a x 3 15 x 4 , e, aplicando-se uma frmula deduzida por ele, apareceria a soluo 4, obtida na expresso 3 2 121 3 2 121 ! Cardano se perguntava como um nmero real poderia se originar de uma expresso que continha razes quadradas de nmeros negativos se estas no existiam. O mais curioso que era possvel operar com esses nmeros esquisitos, mesmo que no tivessem sentido, pois matematicamente os problemas davam certo. Mais tarde, um matemtico Rafael Bombelli (1526 1572) estudou o trabalho de Cardano e verificou que realmente esses nmeros funcionavam. Sua representao sofreu variaes no decorrer do tempo, at que foram escritos na forma de produto por 1 , como, por exemplo, 121 11 1 . No sculo XVIII, Euler introduz osmbolo i para representar a raiz quadrada de 1 . Assim, 121 passa a ser expressa por 11i . Finalmente, a representao geomtrica dos nmeros complexos elaborada pelo matemtico, astrnomo e filosofo alemo Gauss (1777 1855), no final do sculo XVIII, tornou-se mais significativo seu estudo e aplicabilidade.2. O Conjunto dos Nmeros Complexos ()O conjunto um conjunto cujos elementos os nmeros complexos devem ser tais que possam ser somados e multiplicados e nos quais seja possvel a extrao de raiz quadrada de um nmero negativo. Logicamente, os nmeros reais precisam ser elementos desse conjunto , e as operaes de adio e multiplicao feitas sobre os nmeros reais no conjunto devem ser as mesmas j conhecidas. Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos nmeros complexos, mas a notao preferida para definir os seus elementos a forma algbrica.3. A Forma Algbrica

2. Todo nmero complexo z pode ser escrito uma maneira nica na forma z a bi , onde a e b so nmeros reais ( a a parte real e b a parte imaginria do nmero complexo z ) e i a unidade imaginria, tal que i 2 1 . Usa-se a notao Rez a e Im z b . Se o nmero complexo z possui a unidade imaginria (ou seja, b 0 ) ele chamado imaginrio. Ademais, se b 0 temos que z real; e se a 0 e b 0 temos que z imaginrio puro. Observe que, se a bi c di , conclumos pela unicidade da forma algbrica que a c e b d , isto , se dois complexos so iguais ento as suas partes reais e imaginrias so iguais. Ainda usando a forma algbrica, podemos operar com complexos de maneira anloga que operamos com reais, com cuidado de tomar i 2 1 . Por exemplo, a) 2 3i 3 4i 2 3 3 4i 1 7i b) c)1 i 3 2i 1 3 1 2i 2 i 1 2i 2 3i 1 2 3i 2i 2 3i 2 3i 4i 6i 2 2 i 6 1 8 i4. O Conjugado de um nmero complexo Dado um nmero complexo z a bi , se z 0 existe um nico complexo tal que1 z1 1 na forma algbrica. z 1 . Vamos determinar o complexo z z Para isto, convm definir o conjugado de um nmero complexo z a bicomo o nmero complexo z a bi . Exemplos: a) z 2 3i z 2 3ic) z 5i z 5ib) z 3 4i z 3 4i d) z 2 z 2 Agora, conhecido o conjugado do nmero complexo z a bi , para 1 determinamos o complexo na forma algbrica, basta multiplicar numerador e z denominador por z , que diferente de zero, uma vez que z 0 . Assim:z a bi a bi a b z 1 2 2 2 i 2 2 2 2 z z z a bi a bi a b a b a b a b2 Logo: 1 a b z 2 2 i 2 2 2 z a b a b a b2 Dessa maneira, dados dois nmeros complexos z1 e z 2 z 2 0 definimos o 1 z1 z z como sendo o produto z1 , que dado por 1 2 . z z2 z2 z2 2 Exemplo: Sendo z1 3 2i e z 2 1 5i , teremos quociente 3. z1 3 2i 3 2i 1 5i 3 10 2i 15i 13 13i 1 1 i z 2 1 5i 1 5i 1 5i 1 25 26 2 2 Propriedades do Conjugado Sendo z a bi e w c di nmeros complexos, temos:P1 z z P 2 z z 2a P3 z z 2bi P 4 z z z P5 z z a 2 b 2 P6 z w z w P7 z w z w5. As Potncias Naturais de i Consideremos as potncias do tipo i n , onde n natural. Vejamos alguns exemplos: i0 1 i4 i2 i2 1 i1 i i5 i 4 i i i 2 1 i 6 i 4 i 2 1 i 3 i 2 i i i 7 i 4 i 3 i Comeamos ento a perceber que, medida que n cresce, os resultados de i n vo-se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da sequncia: 1, i , 1 , i sendo, pois, de 4 unidades o perodo de repetio; isto nos sugere que, para calcular o valor de i n , basta elevar i ao resto da diviso euclidiana de n por 4. De fato, se dividindo n por 4 encontramos quociente q e resto, isto , n 4q r , com r 0, 1, 2, 3 . Ento: i n i 4qr i 4q i r i 4q i r 1 i r i r qe, portanto: in irAtividades de Sala 01. Dados os nmeros complexos z1 1 3i e z 2 2 i , calcule: a) z1 z 2 b) z1 z 2 c) z1 2 z 2 2 d)z1 z2 4. 02. Determine o valor de x para que o nmero complexo: a) z 3 1 2 x i seja um nmero real.b) z 8 x 2 x 3i seja um nmero imaginrio puro. 03. Calcule o valor de: a) i 49 b) i 223457 c) 3i 15 i 16 d) 1 i i 2 i 3 2011 e) 1 i 2 f) 1 i 25 04. Determine o nmero complexo z tal que 2 z 1 z i . 05. Resolva em a equao x 2 4 x 5 0 .06. Determine os nmeros reais x e y para que x yi 1 3i 13 i . 07. Qual o valor de m para que o produto 2 mi 3 i seja um nmero imaginrio puro? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 08. Sendo n um nmero inteiro, quais os possveis valores de i n i n ?Atividades Propostas 01. Dados os nmeros complexos z1 1 2i , z 2 1 3i e z 3 2 2i , calcule: a) z1 z 2b) z1 z 2 z 3 c) z1 z 2 z 32d) z1 z 2 z 3 22e) z 2 z 3 z1202. Determine o nmero complexo z tal que 3z 4i z 6i 20 . 5. 3 z w 1 i 03. Sendo z e w nmeros complexos, resolva o sistema . 5 z 2w 1 3i 04. Determine o valor do nmero real x, para que o nmero complexo: a) x 2 4 x 3 x 2i seja um nmero imaginrio puro.b) x x 2 7 x 12 i seja um nmero real. 05. (FUVEST SP) Seja o nmero complexo z m 2i 2 i , em que m . Para um determinado valor de m , o nmero z pode ser um imaginrio puro igual a: a) 4i b) i c) 2i d) 3i e) 5i 06. Calculando o valor da expressoi i 2 i 5 i 6 i 41 i 42 obtemos: i 3 i 4 i 7 i 8 i 43 i 44a) 1 b) 1 c) i 1 d) i 1 e) 1 i 07. Simplificando2 i 101 2 i 50 2 i 100 i 249temos:a) 1 b) 2 i c) 2 i d) 5 e) 5 08. (UECE) Se i a unidade imaginria, a expresso complexa7 3i 3 5i igual 1 i 1 ia: a) 1 6i b) 1 i c) 4 i d) 1 4i 09. (CEFET) O valor de x, para que o quocientexi seja um nmero real : 1 2i 6. a) 2 1 b) 2 c) 2 1 d) 210. Resolva em as seguintes equaes: a) x 2 6 x 10 0 b) x 2 2ix 5 0 c) 2 x 2 6 x 5 0 . 11. (ITA) O nmero natural n tal que 2i n 1 i 2 n 16i , em que i a unidade imaginria do conjunto dos nmeros complexos, vale: a) n 5 b) n 3 c) n 7 d) n 4 e) no existe n nestas condies. 12. (UFC) Determine o valor do nmero real a de modo que a expresso 1 2i a i 2 seja um nmero real. 2 a i 13. Se x e y so nmeros reais positivos tais que x 3i 1 yi 6i , ento x y igual a: a) 10 b) 12 c) 8 d) 9 e) 6 i, se x 14. Se a funo f x em que i a unidade imaginria, ento o valor 1, se x de f f i 4 p , p igual a: a) 0 b) 1 c) 1 d) i e) i 7. 15. (ITA) Se z cos t i , em que 0 t 2 , ento podemos afirmar que w 1 z 1 zdado por: a) i cot gt 2t 2 c) i cot gtb) i tgd) i tgt e) n.d.a. 16. Se S100 a soma dos cem primeiros termos da P.A. de primeiro termo 99 i e a razo 1 i , entoS100 igual a: 99 10ia) 100i b) 50 c) 1 d) 100 e) i 17. (Ufscar SP) Sejam i a unidade imaginria e a n o n-simo termo de uma progresso geomtrica com a1i a) b) c) d) e) i i i 9i ou 9i 9 i ou 9 i 9 i ou 9 i 8 i ou 8 i 7 i ou 7 i a2a3an igual a:a 2 2 a1 . Sea1 um nmero mpar, ento