Números ComplexosUma evolução no conceito de

número

Aprendemos que para resolver uma equação do 2º Grau podemos utilizar a chamada fórmula de Bháskara dada por:

Onde a, b, c são os coeficientes da equação:

ax² + bx + c = 0

1 – Uma Introdução

Vamos então resolver a seguinte equação do 2º grau

x² + 2x + 5 = 0

Nesse caso sabemos que os coeficientes são:

a = 1; b = 2 e c = 5

Substituindo tais valores na fórmula de Bháskara, teremos:

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

Para determinarmos os valores das raízes da equação precisamos calcular a raiz quadrada de -16. Sabemos, entretanto, que no conjunto dos números reais isso é impossível. A necessidade de obter uma solução para esse tipo de problema levou os matemáticos a procurar novos conjuntos numéricos em que “ o quadrado de certo elemento pudesse ser negativo”.

2 2² 4.1.5

2.1

2 4 20

2

2 16

2

x

x

x

− ± −=

− ± −=

− ± −=

2 4

2

b b acx

a

− ± −= a = 1; b = 2 e c = 5

O Conjunto dos Números Complexos

O conjunto dos números complexos é um conjunto tal que seus elementos podem ser somados, multiplicados e também possibilitam a extração de raiz quadrada de um número negativo.

Logicamente, os números reais precisam ser elementos desse conjunto, e as operações de adição e multiplicação feitas sobre os reais no conjunto dos complexos devem ser as mesmas já conhecidas

Usaremos para definir esse conjunto a proposta por Gauss em 1831 e reforçada por Hamilton em 1837.

O conjunto dos Números Complexos é um conjunto de pares ordenados de números reais, em que estão definidas:

Igualdade:

Adição:

(a,b) = (b,c) ↔ a = c e b = d

(a,b) + (b,c) = (a + c; b + d)

Multiplicação:

Observações:a) O Conjunto dos Reais estão

contidos no Conjunto dos Complexos e são representados pelos pares ordenados que possuem o segundo termo igual a zero. Assim:

(5,0) corresponde a 5(-1,0)corresponde a -1

b) As operações de adição e multiplicação assim definidas satisfazem as seguintes propriedades para quaisquer z, v e w:

Adição

(a,b)(b,c) = (ac – bd; ad + bc)

Comutativa: z + v = v + z

Associativa:(z + v) + w = z + (v + w)

Elemento Neutro:z0 = (0,0)

z + z0 = z = z0 + z

Inverso aditivo:para todo z existe um z’ tal que:

z + z’ = z’ + z = z0

O Conjunto dos Números Complexos

O Conjunto dos Números Complexos

Multiplicação Unidade Imaginária O número complexo (0,1) será

denominado de unidade imaginária e representado por i. Assim:

i = (0,1)

Desse modo podemos observar que:

Que é a característica fundamental da unidade imaginária

Comutativa: zv = vz

Associativa:(zv)w = z(vw)

Elemento Neutro:z1 = (1,0)

zz1 = z = z1z

Inverso multiplicativo:para todo z existe um z’ tal que:

zz’ = z’z = z1

Distribitiva em relação à adição

z(v + w) = zv + zw

2 (0,1)(0,1) (0.0 1.1,0.1 1.0) ( 1,0) 1i = = − + = − = −

O Conjunto dos Números Complexos

A Forma Algébrica Um complexo qualquer z = (a,b)

pode ser escrito da seguinte maneira:

z = (a,b) = (a + 0, b + 0) = (a,0) + (0,b)

Como (0,b) = (b,0)(0,1),temos que:

z = (a,0) + (b,0)(0,1) = a + bi z = a + bi Essa é a forma algébrica ou forma

binomial de se escrever um número complexo

Agora podemos retornar a solução da nossa equação do segundo grau: x² + 2x + 5 = 0

2 2² 4.1.5

2.1

2 4 20

2

2 16

2

x

x

x

− ± −=

− ± −=

− ± −=

O Conjunto dos Números Complexos

Bibliografia: Dante,Luiz Roberto. Matemática l.

1ª ed., São Paulo,Ática, 2004

2 16.( 1)

2

2 4 1

2

1 2 1

1 2

x

x

x

x i

− ± −=

− ± −=

= − ± −= − ±