UNIVERSIDADE DE LISBOAI

Faculdade de CiênciasDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

12 ANOo

Números Complexos

Resolução dos Exercícios

Armando Machado

2004

REANIMAT

Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário

– 1 –

1) Pela fórmula do cubo duma soma, podemos escrever

ÐC Ñ œ C $ ‚ C ‚ Ð Ñ $ ‚ C ‚ Ð Ñ Ð Ñ œ, , , ,

$ $ $ $

œ C , C C , ,

$ #(

$ $ # # $

$ ## $

e, analogamente, tem-se

ÐC Ñ œ C C , #, ,

$ $ *# #

#

.

Utilizando estas duas igualdades, obtemos assim

ÐC Ñ ,ÐC Ñ -ÐC Ñ . œ, , ,

$ $ $

œ C , C C , C # C -C . œ, , , , , -

$ #( $ * $

œ C Ð -Ñ C Ð .Ñ, # , , -

$ #( $

$ #

$ # ## $ # $

$# $

,

expressão que pode ser escrita na forma , desde que se defina eC : C ; : œ -$ ,$

#

; œ .#, , -#( $

$ .

2) a) Podemos escrever

E œ ; ; :

# % #(

F œ ; ; :

# % #(

$# $

$# $

ÊÊ

,

,

pelo que, somando as duas expressões, vemos que se tem efectivamente .E F œ œ ;$ $ ; ;# #

b) O que é preciso aqui é reparar que, tendo em conta a fórmula bem conhecida para a diferença dedois quadrados, tem-se

Ð Ñ Ð Ñ œ; ; : ; ; :

# % #( # % #(

œ Ð Ñ Ð Ñ œ; ; :

# % #(

œ Ð Ñ œ ; ; : :

% % #( #(

Ê ÊÊ

# $ # $

# ## $

# # $ $

‚

.

Podemos agora notar que se tem

– 2 –

EF œ ; ; : ; ; :

# % #( # % #(

œ Ð Ñ Ð Ñ œ; ; : ; ; :

# % #( # % #(

œ œ : :

#( $

Ë ËÊ ÊË Ê ÊÊ

$ $

$

$

# $ # $

# $ # $

$

‚

‚

.

c) Pela fórmula que nos dá o cubo duma soma, vem

ÐE FÑ œ E $E F $EF F œ E F $EFÐE FÑ œ

œ ; :ÐE FÑ

$ $ # # $ $ $

e portanto

ÐE FÑ :ÐE FÑ ; œ !$ ,

o que mostra que é realmente uma soluEF ção da equação do terceiro grau .C :C ; œ !$

3) a) Temos neste caso e , pelo que a fórmula de Cardano dá-nos a solução: œ $ ; œ #

É ÉÈ È$ $

" " " " " " œ " " œ #.

Concluímos que é certamente uma solu# ção da equação, o que pode, evidentemente, ser tambémverificado por substituição directa.b) Como sabemos, uma vez que o polinómio admite a raíz , ele deve ser divisível porB $B # #$

B #. Se efectuarmos a divisão pelo nosso método preferido (algoritmo da divisão ou regra deRufini), vemos que

B $B #

B #œ B #B "

$# .

A equação pode assim ser escrita na forma e portantoB $B # œ ! ÐB #ÑÐB #B "Ñ œ !$ #

as suas soluções são e as soluções da equação . Estas últimas podem ser obtidas# B #B " œ !#

pela fórmula resolvente da equação do segundo grau, sendo assim iguais a

# „ % % # „ !

# #œ œ "

È(estamos portanto no caso em que a equação do segundo grau tem uma única raíz).c) Utilizando a calculadora gráfica para esboçar o gráfico do polinómio , obtemos umaB $B #$

figura como a seguinte onde aparece a solução , um ponto em que a função é crescente, e a solução#

– 3 –

", um ponto em que a função atinge um máximo relativo.

11

4) a) Utilizando a calculadora, obtemos o resultado aproximado

Ë ËÈ È$ $

# "! # "! ¸ !Þ%##'& "Þ&(($& ¸ #$ $

* *.

b) O valor obtido na calculadora não nos dá a certeza absoluta de que a solução tem o valor exacto#, embora seja psicologicamente difícil não ficarmos convencidos disso. Podia perfeitamenteacontecer que, ao utilizarmos mais casas decimais, aquela soma desse, por exemplo,

#Þ!!!!!!!!!!!!!!!!!(&'%$"ÞÞÞ

c) Utilizando a fórmula para o cubo de uma soma, vemos que

Ð" Ñ œ Ð"Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð Ñ Ð Ñ œ$ $ $ $

$ $ $ $

œ " $ $ ‚ œ # $ œ # $ #( $ $ "! $

* #( #( *

È È È ÈÈ ÈÈ È È

$ $ # # $

e, analogamente,

Ð" Ñ œ Ð"Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð Ñ Ð Ñ œ$ $ $ $

$ $ $ $

œ " $ $ ‚ œ # $ œ # $ #( $ $ "! $

* #( #( *

È È È ÈÈ ÈÈ È È

$ $ # # $

,

o que nos permite concluir os valores exactos

Ë È È

Ë È È$

$

# "! œ " $ $

* $

# "! œ " $ $

* $.

– 4 –

Somando os resultados ficamos assim com a garantia do valor exacto

Ë ËÈ È È È$ $

# "! # "! œ Ð" Ñ Ð" Ñ œ #$ $ $ $

* * $ $.

5) Na primeira demonstração utilizámos: 1) A propriedade associativa da adição (que está implícita quando escrevemos sem parêntesesuma soma de três termos e olhamos para ela com a ordem das adições considerada das duasdiferentes maneiras). 2) A definição de e o facto de ser elemento neutro da multiplicação.D " 3) A propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição. 4) O facto de ser um elemento absorvente da multiplicação.! 5) O facto de ser elemento neutro da adição.! Na segunda demonstração utilizámos as mesmas propriedades, embora não pela mesmaordem.

6) Se , podemos somar a ambos os membros para obter sucessivamenteA D œ A D Dw

A D ÐDÑ œ A D ÐDÑ

A ! œ A !

A œ A

w

w

w.

7) Uma vez que é o único complexo que somado com dá , paraD ‚ A D ‚ A D ‚ A D ‚ Aw w

vermos que este complexo é igual a tudo o que temos de fazer é experimentar quantoD ‚ ÐA A Ñw

é a soma de com . Ora, tem-seD ‚ ÐA A Ñ D ‚ Aw w

D ‚ ÐA A Ñ D ‚ A œ D ‚ ÐA A A Ñ œ D ‚ ÐA !Ñ œ D ‚ Aw w w w ,

como queríamos.

8) a) Sabemos que, por hipótese, . Tem-se assim também3 œ 3 ‚ 3 œ "#

Ð3Ñ œ Ð" ‚ 3Ñ ‚ Ð" ‚ 3Ñ œ Ð"Ñ ‚ Ð"Ñ ‚ 3 ‚ 3 œ " ‚ 3 ‚ 3 œ "# .

b) Se multiplicarmos um número cujo quadrado seja por um número cujo quadrado seja ,* "obtemos um número cujo quadrado é . Concluímos assim que (tal como ) éÐ"Ñ ‚ * œ * $3 $3uma raíz quadrada de . Mais geralmente, se é um número real arbitrário, ou , e já* + +   !sabemos que tem raíz quadrada, ou e então pode-se escrever , com e tem-se+ ! + œ , , !

Ð , 3Ñ œ Ð ,Ñ ‚ 3 œ , ‚ Ð"Ñ œ , œ +È È# # # ,

o que mostra que tem efectivamente raíz quadrada.+

– 5 –

9) a) e + œ , œ !1 e b) + œ ! , œ # Tem-se , portanto e .c) Ð" #3Ñ Ð# 3Ñ œ " 3 + œ " , œ " Tem-sed)

Ð" #3Ñ ‚ Ð" $3Ñ œ Ð" $3Ñ #3Ð" $3Ñ œ " $3 #3 '3 œ

œ " 3 ' œ ( 3

#

,

pelo que e .+ œ ( , œ " Tem-see)

Ð" 3Ñ œ " # ‚ " ‚ 3 3 œ " #3 " œ #3# # # ,

pelo que e (“de caminho”, descobrimos que um número imaginário puro também+ œ ! , œ #pode ter raíz quadrada). Reparando que , vemf) 3 œ 3 ‚ 3 œ 3$ #

Ð" $3Ñ œ Ð"Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $3Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $ 3Ñ Ð $ 3Ñ œ

œ " $ $ 3 * $ $ 3 œ )

È È È ÈÈ È

$ $ # # $

$ ,

pelo que e (“de caminho” descobrimos que tem outra raíz cúbica, além de ).+ œ ) , œ ! ) #

10) a) .3 œ 3 ‚ 3 œ " ‚ 3 œ 3$ #

.b) 3 œ 3 ‚ 3 œ 3 ‚ 3 œ "% $

.c) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ œ " œ ") #‚% % # #

.d) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ 3 œ 3#& '‚%" % ' '

.e) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ Ð"Ñ œ ""!# #&‚%# % #& # #&

.f) 3 œ 3 œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ Ð3Ñ œ 3#!!$ #&!‚%$ % #&! $ #&!

Reparando nos exemplos anteriores, descobrimos facilmente qual a regra que pode serseguida em geral: Se é múltiplo de , então . Para um número natural qualquer, podemos8 % 3 œ " 88

efectuar a divisão inteira de por quatro e considerar o resto desta divisão, que pode ser , , ou8 < ! " #$ 8 < % 3 œ 3; tem-se então que é a soma do resto com um múltiplo de , pelo que . Todas as8 <

potência de são assim iguais a uma das potências , , e .3 3 œ " 3 œ 3 3 œ " 3 œ 3! " # $

11) Queremos descobrir números reais tais que seja uma raíz quadrada de ,Bß C B C 3 3"# #

$Èou seja, tais que . Uma vez queÐB C 3Ñ œ 3# "

# #$È

ÐB C 3Ñ œ B ÐC 3Ñ #B C 3 œ ÐB C Ñ #B C 3# # # # # ,

somos assim reduzidos a procurar as soluções reais do sistema de equações

B C œ

#B C œ

# # "#

$#

È .

A segunda equação é equivalente a pelo que, substituindo este valor de na primeiraC œ CÈ$%B

equação, ficamos reduzidos a procurar que verifique a equaçãoB

– 6 –

B œ$ "

"' B ##

#

Multiplicando ambos os membros da equação por , ficamos reduzidos a procurar as sioluções"'B#

não nulas da equação

"' B $ œ )B% #,

ou ainda

"' B )B $ œ !% # .

Apesar de se tratar de uma equação do quarto grau, ela é facilmente redutível a uma equação dosegundo grau, fazendo a substituição . Procuramos então as soluções positivas da equaçãoA œ B#

"'A )A $ œ !#

e, utilizando a fórmula resolvente das equações do segundo grau, constatamos que existe uma únicasolução positiva,

A œ œ œ) '% "*# ) "' $

$# $# %

È,

à qual vão corresponder dois valores possíveis para ,B

B œ „ œ „$ $

% #Ê È

.

Ao valor fica a corresponder o valor e ao valor fica a corresponderB œ C œ œ B œ È È È$ $ $# %B # #

"

o valor . Concluímos finalmente que admite as duas raízes quadradasC œ œ 3È È$ $%B # # #

" "

È È$ " $ "

# # # # 3 3, .

12) a) Uma vez que e , sabemos que . Uma vez que é o únicoD Á ! A Á ! D A Á ! ÐDAÑ"

número complexo que multiplicado por dá , para vermos que , tudo o queD A " ÐDAÑ œ D A" " "

temos que fazer é calcular o produto de por e verificar se dá efectivamente . Ora,D A DA "" "

tem-se

ÐD A ÑDA œ D DA A œ " ‚ " œ "" " " " ,

como queríamos. Para a fórmula é verdadeira, uma vez que . Supondo que elab) 8 œ " ÐD Ñ œ D œ ÐD Ñ" " " " "

é verdadeira para um certo , vemos que, com no lugar de tem-se ainda8 8 " 8

ÐD Ñ œ ÐD ‚ DÑ œ ÐD Ñ ‚ D œ ÐD Ñ ‚ D œ ÐD Ñ8" " 8 " 8 " " " 8 " " 8".

– 7 –

13) A ideia é semelhante à do exercício anterior: Para verificarmos que

A A‚ D

D D ‚ Dœ

w

w ,

basta verificar que, multiplicando por , obtemos . Ora, tem-seAD

w wD ‚ D A ‚ D

A A

D D‚ ÐD ‚ D Ñ œ Ð ‚ DÑ ‚ D œ A ‚ Dw w w.

Nota: Por vezes é preciso fazer várias tentativas para se conseguir obter de modo simples umresultado. Também podíamos ter pensado em verificar que, multiplicando por , se obtém eA‚D

D‚D

w

w D A

aí a solução não era tão simples. Uma boa ideia para quando um caminho que se está a seguirconduz a dificuldades é tentar um caminho alternativo.

14) a)

" 3 Ð" 3ÑÐ# 3Ñ # 3 #3 3 " $3 " $

# 3 Ð# 3ÑÐ# 3Ñ # 3 % " & &œ œ œ œ 3

#

# #.

b)

" #3 Ð" #3Ñ ‚ Ð3Ñ 3 # 3

3 3 ‚ Ð3Ñ "œ œ œ # 3

#

.

15) a) Uma vez que o produto de dois números diferentes de nunca é , vemos, em particular,! !que, se , então . O número não pode ter assim nenhuma raíz quadradaD Á ! D œ D ‚ D Á ! !#

diferente de e, de facto, é uma raíz quadrada, uma vez que .! ! ! œ ! ‚ ! œ !#

Consideremos então e suponhamos que é uma raíz quadrada de , ou seja, queb) D Á ! A DA œ D A D# . Então é também uma raíz quadrada de , uma vez que

ÐAÑ œ Ð"Ñ ‚ A œ A œ D# # # #

e trata-se de uma raíz quadrada diferente de , uma vez que não é ( ). Poderia haver maisA A ! ! œ !#

alguma raíz quadrada, além de e ? Vamos verificar que não! Seguindo a sugestão, se fosseA A ?uma raíz quadrada qualquer de , tinha-se , ou seja, . Mas entãoD ? œ D ? D œ !# #

! œ ? D œ ? A œ Ð? AÑÐ? AÑ# # # ,

pelo que, pela regra de anulamento dum produto, ou (isto é, ), ou (isto? A œ ! ? œ A ? A œ !é, ). Não pode assim existir mais nenhuma raíz quadrada, além de e de .? œ A A A O que nos é proposto é que tentemos fazer com um número complexo arbitrárioc)D œ + ,3 3, o que fizémos no exercício 11 com o número complexo . Vamos assim tentar"

# #$È

mostrar que, dados e , existe sempre um número complexo tal que .+ , B C3 ÐB C3Ñ œ + ,3#

Uma vez que, como naquele exercício, , ficamos reduzidos aÐB C 3Ñ œ ÐB C Ñ #B C 3# # #

mostrar que existem que verificam o sistema de equaçõesBß C

œB C œ +#B C œ ,

# #

.

– 8 –

Para prosseguirmos como no exercício já resolvido convirá supor que para podermos afirmar, Á !que a segunda equação é equivalente a . O facto de termos de supor que não levantaC œ , Á !,

#B

problemas, uma vez que, quando , o número complexo é real e já verificámos que todos os, œ ! Dnúmeros reais, positivos ou não, têm raíz quadrada no quadro dos números complexos. Fazendo asubstituição na primeira equação, ficamos reduzidos a mostrar a existência de tal queC œ B,

#B

B œ +,

%B#

#

#,

ou seja, multiplicando ambos os membros por , a existência de tal que%B B Á !#

%B , œ %+B% # #,

equação que pode ser posta na forma

%B %+B , œ !% # # .

Como antes, pondo , basta-nos encontrar uma solução positiva da equação do segundo grauA œ B#

%A %+A , œ !# # ,

solução que existe efectivamente e é igual a

%+ "'+ "', + + ,

) #œ

È È# # # #

.

Podemos então garantir que admite como raíz quadrada o número complexo ,D œ + ,3 B C3com

B œ+ + ,

#

C œ œ, ,

#B#

Ë È

É

# #

+ + ,#

È # #

(não é uma expressão muito bonita, mas só queríamos ter a certeza de que havia solução…). É claroque também admite a raíz quadrada .D B C3

16) a) É verdade: Se representa um dos números complexos cujo quadrado é , então oÈD D

quadrado de é certamente .ÈD D

Não sabemos se é verdadeiro ou falso: Apesar de ser um dos números cujo quadrado éb) D

D D D D D# #, tem também a mesma propriedade e não sabemos se é ou é .È É verdade: Sabemos que é um dos dois números cujo quadrado é e que esses doisc) È" "

números são e ; podemos assim garantir que ou , apesar de não sabermos3 3 " œ 3 " œ 3È Èqual das duas coisas acontece. É falso: O quadrado de é , e não .d) 3 " " 3

– 9 –

17)

e

e

x

y

O

1-2i

-2+i

1

i

18) O vector corresponde ao número complexo , o vecto corresponde ao número? 3 @Ä Ä$ "# #

complexo (real) e o vector corresponde ao número complexo . Os pontos do plano que A 3Ä" "# #

são afixos destes números complexos são as extremidades dos vectores quando estes não colocadosna posição representada na figura.

19)

O

e

ez

x

y

z+2

z-i-(3/2)z

20Ñ

O

e

ex

y

P

Q

z-w

z-w

– 10 –

21) a) São os números reais. Os pontos do eixo das abcissas são exactamente aqueles que coincidem com os seusb)simétricos relativamente a este eixo. São os imaginários puros.c)

22) a) .l" 3l œ " Ð"Ñ œ #È È# #

.b) l$ %3l œ $ Ð%Ñ œ #& œ &È È# #

.c) l3l œ ! " œ "È # #

(para os números reais o módulo é o já conhecido).d) l#l œ #

23) a) Sendo , com e números reais, tem-se , e portantoD œ + ,3 + , D œ + ,3D œ + ,3 œ D. Tem-seb)

lDl œ D ‚ D œ D ‚ D œ lDlÈ È .

Outra maneira de chegar à mesma conclusão é reparando que, se , então ,D œ + ,3 D œ + ,3portanto

lDl œ + Ð,Ñ œ + , œ lDlÈ È# # # # .

Para verificarmos que o conjugado de é igual a , basta verificar que o conjugado de c) " " "D D D

multiplicado por dá . Ora,D "

Ð Ñ ‚ D œ ‚ D œ " œ "" "

D D.

Um processo alternativo, que acabaria por dar um pouco mais de trabalho, consiste em partir deD œ + ,3 +ß , −, com , e calcular na forma algébrica e .‘ " "

D D

Tem-sed)

l l ‚ lDl œ l ‚ Dl œ l"l œ "" "

D D.

24) Uma tentativa directa de provar este resultado consiste em partir da forma algébrica dosnúmeros complexos, e e, reparando que , tentarD œ + ,3 A œ - .3 D A œ Ð+ -Ñ Ð, .Ñ3provar que

È È ÈÐ+ -Ñ Ð, .Ñ Ÿ + , - .# # # # # #.

Apesar de não ser impossível chegar ao resultado seguindo esta via, trata-se de uma solução quenão é fácil de descobrir. De acordo com a sugestão, o que se pretende aqui é dar um argumentogeométrico para justificar a nossa desigualdade. Uma vez que o afixo vectorial da soma de doisnúmeros complexos é a soma dos respectivos afixos vectoriais e que o módulo de um númerocomplexo é igual ao comprimento (norma) do seu afixo vectorial, podemos “esquecer” os númeroscomplexos e mostrar simplesmente que o comprimento da soma de dois vectores é sempre menorou igual à soma dos respectivos comprimentos. Recordemos o método gráfico de obter a soma dedois vectores:

– 11 –

z+w

z w

A

B

C

Dizer que o comprimento de é menor ou igual à soma dos comprimentos de e de D A D Acorresponde a dizer que a distância de a é menor ou igual à soma das distâncias de a e deE G E FF G a e isso resulta da conhecida propriedade dos triângulos: Qualquer lado é menor que a somados outros dois.Há uma coisa que pode parecer estranho: Se qualquer lado é menor que a soma dos outros doisporque é que não dissémos simplesmente que “o módulo da soma é menor que a soma dosmódulos” e tivémos o cuidado de utilizar mais prudentemente a expressão “menor ou igual”, emvez de “menor”? O que se passa é que pode acontecer que os vectores e tenham a mesmaD Adirecção e, nesse caso, os pontos não determinam um triângulo por estarem os três sobreEßFßGuma mesma recta. Nesse caso, se está entre e ,F E G

AB

C

a distância de a é mesmo igual à soma das distâncias de a e de a e, quando nãoE G E F F G Festá entre e ,E G

A

CB

a distância entre e é igual à diferença entre a maior e a menor das outras duas distâncias, eE Gportanto é novamente menor que a soma destas. Em todas as hipóteses, a distância de a éE Gmenor ou igual à soma das distâncias de a e de a .E F F G

– 12 –

25) Uma vez que o módulo de um número complexo é igual à distância do seu afixo à origem, oconjunto em questão vai ser a circunferência de centro na origem e raio 2.

1

26) a) Uma vez que é a distância entre os afixos de e de , o conjunto pedido élD 3l D 3

1

i

A condição é que a distância do afixo de ao afixo de deve ser menor ou igual a .b) D 3 "Obtemos assim o conjunto

1

-i

Procuramos os pontos do plano que estão à mesma distância dos afixos de e de ,c) 3"#

portanto os ponmtos da perpendicular ao meio do segmento determinado por estes pontos:

– 13 –

1-1/2

i

Temos aqui a intersecção da circunferência de centro no afixo do ponto e raio com umd) " "dos semi-planos abertos determinados pela recta dos pontos equidistantes dos afixos dos complexos! " 3 e :

1

1+i

0

Temos aqui a união do círculo de centro na origem e raio com a circunferência de centroe) "no afixo de e raio :3 "

1

Temos aqui a intersecção de dois semi-planos fechados, um limitado pela recta dos pontosf)equidistantes dos afixos de e de e outro limitado pela recta dos pontos equidistantes dos afixos3 "

– 14 –

de e de :3 "

1

i

-i

27) Para a figura 11, podemos considerar a condição

lD "l Ÿ " • lDl   ".

Para a figura 12 podemos considerar a condição

lD "l Ÿ " ” lDl Ÿ ".

Na figura 13, temos a intersecção de dois semiplanos fechados e já sabemos que um talsemi-plano pode ser caracterizado como o conjunto dos pontos cuja distância a um pontoconveniente é menor ou a igual à distância a outro ponto conveniente (há várias escolhas possíveispara os dois pontos: O que é preciso é que a recta que delimita o semi-plano seja a perpendicular aomeio do segmento definido pelos dois pontos. Para uma das rectas podemos considerar os pontos#3 ! 3 3 e e para a outra os pontos e . Obtemos assim a condição

lDl Ÿ lD #3l • lD 3l Ÿ lD 3l.

Se quiséssemos uma condição eventualmente mais bonita, escolhíamos para a segunda recta e#3#3 lDl Ÿ lD #3l • lD #3l Ÿ lD #3l e obtínhamos a condição , que pode ser escrita, de formamais compacta,

lDl Ÿ lD #3l Ÿ lD #3l.

Por fim, na figura 14 temos mais uma vez uma intersecção de semi-planos e obtemos, entreoutras possibilidades, a condição

lD 3l Ÿ lD 3l • lD "l Ÿ lD 3l,

que pode também ser escrita na forma mais compacta .lD "l Ÿ lD 3l Ÿ lD 3l

28) a) O afixo de é a própria origem dos eixos, pelo que não define uma semi-recta a partir!desta última. Por exemplo, , ou, mais geralmente, qualquer complexo da forma , comb) D œ % '3 #> $>3w

> ! > Á " e .

– 15 –

São os argumentos da forma , com .c) #5 5 −1 ™ Por exemplo, e (igual a ).d) ! 1 ! 1 ! 1 1 # Por exemplo, .e) !

29) a) O número complexo em questão é sen . Recordando os valoresD œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑcos # #$ $1 1

conhecidos das funções trigonométricas, vemos que e sencos cosÐ Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ# " #$ $ # $1 1 1

sen , pelo que obtemos, na forma algébrica,Ð Ñ œ1$ #

$È

D œ " $ 3È .

Temos o número complexob)

D œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ # Ð Ñ # Ð Ñ 3* * * *

È È Ècos cos1 1 1 1

sen sen ,

pelo que, calculando, com o auxílio da calculadora e com aproximação à milésimas, a parte real e ocoeficiente da parte imaginária, temos

D ¸ "Þ$#* !Þ%)% 3.

30) a) Tem-se . Uma vez que a parte real e o coeficientel" $ 3l œ " Ð $Ñ œ % œ #È ÈÉ È# #

da parte imaginária são ambos positivos, os argumentos estão no primeiro quadrante. O co-seno dosargumentos de é igual a , pelo que um dos argumentos possíveis é .! "

# $1

Tem-se . O argumentos estão no segundo quadrante e ob) l" 3l œ Ð"Ñ " œ #È È# #

seno dos argumentos são iguais a , pelo que um dos argumentos possíveis é ." $

#

## % %È È

œ œ1 1 1

Pensando no afixo de no plano de Argand, concluímos logo que e que é um dosc) 3 l3l œ " 1#

argumentos. Pensando no afixo de no plano de Argand, vemos que e que é um dos argu-d) # l#l œ # 1mentos.

Tem-se . Quanto a um valor aproximado para um argumento31) l$ %3l œ * "' œ &È! !, reparamos que este está no terceiro quadrante e que tan . Ao determinarmos, com oÐ Ñ œ %

$

auxílio da calculadora, um ângulo cuja tangente é , esta dá-nos um ângulo do primeiro quadrante.%$

Podemos então obter um valor aproximado

! 1œ Ð Ñ ¸ %Þ!'*%

$tan ."

32) a) Tem-se

D ‚ A œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ' $ ' $ ' ' ' '

# #

œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ 3# #

cos cos

cos

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

sen sen

sen .

– 16 –

Queremos determinar um complexo que multiplicado por dê . Uma vez que e têmb) D A D Aambos módulo , basta-nos achar um complexo de módulo que tenha um argumento que somado" "com o argumento de dê o argumento de . O argumento do complexo procurado pode assim1 1

' $D A

ser , pelo que1 1 1$ ' ' œ

A

D ' 'œ Ð Ñ 3 Ð Ñcos

1 1sen

(em particular, vemos que, neste caso, ).AD œ D

Tem-se sen e sen , pelo quec) 3 œ Ð Ñ 3 Ð Ñ " œ Ð Ñ 3 Ð Ñcos cos1 1# # 1 1

3D œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ Ð Ñ 3 Ð Ñ# ' # ' $ $

# #

D œ Ð"Ñ ‚ D œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ Ð Ñ 3 Ð Ñ' ' ' '

( (

cos cos

cos cos

1 1 1 1 1 1

1 11 1 1 1

sen sen ,

sen sen .

33)

1

a)

1

b)

1

– 17 –

34) a) Uma vez que sen , vem" œ " ‚ Ð Ð!Ñ 3 Ð!ÑÑcos

" " " "

D < < <œ Ð Ð! Ñ 3 Ð! ÑÑ œ Ð Ð Ñ 3 ÐÐ ÑÑ œ Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑcos cos cos! ! ! ! ! !sen sen sen .

Vemb)

D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ < Ð Ð# Ñ 3 Ð# ÑÑ# #cos cos! ! ! ! ! !sen sen .

Vemc)

D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð# Ñ 3 Ð# ÑÑ œ < Ð Ð$ Ñ 3 Ð$ ÑÑ$ # # #cos cos! ! ! ! ! !sen sen .

Vemd)

D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð$ Ñ 3 Ð$ ÑÑ œ < Ð Ð% Ñ 3 Ð% ÑÑ% $ $ #cos cos! ! ! ! ! !sen sen .

35) A Fórmula de Moivre é evidentemente verdadeira para . Suponhamos que ela é8 œ "verdadeira para uma certa potência e verifiquemo-la no caso da potência : Vem8 8 "

D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð8 Ñ 3 Ð8 ÑÑ œ

œ < Ð ÐÐ8 "Ñ Ñ 3 ÐÐ8 "Ñ ÑÑ

8" 8 8

8"

coscos

! ! ! !

! !

sensen .

36) a) Tem-se

lD l œ $ " œ #

lD l œ $ " œ #

lD l œ ! % œ #

"

#

$

ÈÈÈ ,

,

,

pelo que os três afixos vão estar sobre a circunferência de raio e centro na origem. Quanto aos#argumentos, podemos escrever

D œ # Ð 3Ñ œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ$ "

# # ' '

D œ # Ð 3Ñ œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ$ " & &

# # ' '

D œ # ‚ 3 œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ$ $

# #

"

#

$

ÈÈ

cos

cos

cos

1 1

1 1

1 1

sen ,

sen ,

sen ,

pelo que os três complexos admitem respectivamente os argumentos , e . Podemos, a partir1 1 1' ' #

& $

daqui, desenhar as representações no plano de Argand:

– 18 –

1

zz

z

12

3

30

150

270o

o

o

Utilizando a fórmula de Moivre, obtemosb)

D œ ) Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ )3# #

D œ ) Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ )3& &

# #

D œ ) Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ )3* *

# #

"$

#$

$$

cos

cos

cos

1 1

1 1

1 1

sen

sen

sen

Suponhamos que é uma raíz cúbica de e seja o módulo de e o argumento de c) D )3 < D D!que pertence ao intervalo . Tem-se assim que sen e portanto, pelaÒ!ß # Ò D œ < Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ1 ! !cosfórmula de Moivre,

)3 œ D œ < Ð Ð$ Ñ 3 Ð$ ÑÑ$ $ cos ! !sen ,

o que mostra que (o módulo de ), donde , e que é um dos argumentos de . Mas< œ ) )3 < œ # $ )3$ !$ Ò!ß ' Ò )3 # œ! 1 1 pertence ao intervalo e os argumentos de neste último intervalo são , e1 1 1

# # #&

1 1 1 1 1# # # # #

* & * % œ $1 ! !. Concluímos assim que tem que ser um dos três números , e , e portanto tem que ser um dos três números , e , donde se pode concluir que é uma das três raízes ,1 1 1

' ' '& *

"D D

D D# $ e consideradas anteriormente.

37) a) Ponhamos a raíz quadrada procurada na forma sen , com noD œ < Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑcos ! ! !intervalo . Tem-se assim sen e pretendemos que se tenhaÒ!ß # Ò D œ < Ð Ð# Ñ 3 Ð# ÑÑ1 ! !# # cos

D œ 3 œ Ð Ñ 3 Ð Ñ" $

# # $ $#

Ècos

1 1sen .

Tem-se assim , portanto , e deve ser um dos argumentos de sen no< œ " < œ " # Ð Ñ 3 Ð Ñ#$ $! cos 1 1

intervalo . Estes últimos são e , pelo que obtemos dois valores possíveis paraÒ!ß % Ò # œ1 11 1 1$ $ $

(

!, a saber, e . Concluímos assim que tem duas raízes quadradas:1 1' ' # #

( " $ 3È

cos

cos

Ð Ñ 3 Ð Ñ œ 3' ' # #

$ "

Ð Ñ 3 Ð Ñ œ 3( ( $ "

' ' # #

1 1

1 1

sen ,

sen .

ÈÈ

– 19 –

Ponhamos a raíz quarta procurada na forma sen , com no intervalob) D œ < Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑcos ! ! !Ò!ß # Ò D œ < Ð Ð% Ñ 3 Ð% ÑÑ1 ! !. Tem-se assim sen e pretendemos que se tenha% % cos

D œ % œ % Ð Ð Ñ 3 Ð Ñ% cos 1 1sen .

Tem-se assim , portanto , e deve ser um dos argumentos de sen no< œ % < œ # % Ð Ñ 3 Ð Ñ% È ! 1 1cosintervalo . Estes últimos são , , e , pelo que obtemos quatro valores possíveis paraÒ!ß ) Ò $ & (1 1 1 1 1!, a saber, , , e . Concluímos assim que tem quatro raízes quartas:1 1 1 1

% % % %$ & ( %

ÈÈÈÈ

# Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ 3% % # #

" "

# Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ 3$ $ " "

% % # #

# Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ 3& & " "

% % # #

# Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ 3( ( " "

% % # #

cos

cos

cos

cos

1 1

1 1

1 1

1 1

sen ,

sen ,

sen ,

sen .

Como nas alíneas anteriores, uma vez que sen , as raízes sétimasc) 3 œ Ð Ñ 3 Ð Ñcos 1 1# #

procuradas são os sete números da forma sen com a tomar um dos sete valores ,cosÐ Ñ 3 Ð Ñ! ! ! 1"%

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1"% ( "% ( "% ( "% ( "% ( "% (

# % ' ) "! "# , , , , e . Utilizando a calculadora, obtemos assim,com as aproximações pedidas,

D ¸ !Þ*(& !Þ##$ 3

D ¸ !Þ%$% !Þ*!" 3

D ¸ !Þ%$% !Þ*!" 3

D ¸ !Þ*(& !Þ##$ 3

D ¸ !Þ()# !Þ'#$ 3

D ¸ 3

D ¸ !Þ()# !Þ'#$ 3

"

#

$

%

&

'

(

,,

,,,

,,

que podem ser representados no plano de Argand:

1

Z

ZZ

Z

Z

Z

Z

2

1

3

4

5

6

7

38) a) Uma vez que as raízes sextas se situam na mesma circunferência de centro na origem quepassa pelo ponto dado e constituem um hexágono regular, construímos sucessivamente essasD"raízes sextas, intersectando essa circunferência com uma circunferência com o mesmo raio e centro

– 20 –

em cada um dos pontos entretanto determinados

1O

z

z

z

z

z

z

1

2

3

4

5

6

A semi-recta procurada é determinada pelos pontos que admitem um argumento igual ab)seis vezes um argumento do ponto . Para determinar essa semi-recta basta procurar o ponto destaD"que está na circunferência de centro na origem que passa por e isso pode ser feito determinandoD"sucessivamente pontos desta circunferência a uma distância dos imediatamente anteriores igual àdistância de ao ponto da circunferência que está no semi-eixo positivo das abcissas.D"

1O

z =w

w

w

w

ww

1 1

2

3

4

56

39) a) Não podemos: Por exemplo, e, apesar de ser um dos argumentos deargÐ3Ñ œ 1 1# #

3 œ 3 Ð3Ñ œ, tem-se, de acordo com a nossa convenção, .arg $#1

Não há maneira de conseguirmos que a igualdade seja verdadeira parab) arg argÐDÑ œ ÐDÑtodo o número complexo não nulo, qualquer que seja o intervalo que escolhamos, em vez de ,Ò!ß # Ò1

– 21 –

na definição da função “argumento”. Se tivéssemos escolhido um dos intervalos ou ,Ò ß Ò Ó ß Ó1 1 1 1a igualdade ficava verdadeira para muitos valores de , mas nunca conseguimos que fiqueDverdadeira para todo o , uma vez que, quando é um número real negativo, tem-se e,D D D œ Dportanto, (reparar que o único número real que coincide com os seuarg arg argÐDÑ œ ÐDÑ Á ÐDÑsimétrico é , mas não é argumento dos números reais negativos).! !

40) Mais uma vez, não podemos garantir que esta igualdade seja sempre verdadeira. O que sepassa é que tanto como estão no intervalo mas a sua soma já pode ser maiorarg argÐDÑ ÐDÑ Ò!ß # Ò1que e, nesse caso, essa soma não é certamente . Por exemplo e# ÐD ‚ AÑ Ð"Ñ œ1 1arg argarg arg arg arg argÐ3Ñ œ ÐÐ"Ñ ‚ Ð3ÑÑ œ Ð3Ñ œ Ð"Ñ Ð3Ñ œ$ &

# # #1 1 1 mas é diferente de . O que

se pode dizer é que, se , então .arg arg arg arg argÐDÑ ÐAÑ # ÐDÑ ÐAÑ œ ÐD AÑ1

41) a) Tem-se , uma vez que a parte real de é constantemente igual a , e portantoD Ä " D "8 8

converge para , e que o coeficiente da parte imaginária de é igual a , e portanto converge" D 8"8

para . Uma vez que o afixo de está no terceiro quadrante, o seu argumento está entre e ! D #8 8$#! 11

e tem-se tg , pelo que, uma vez que a função tg aplicada a um número negativoÐ Ñ œ œ !8

" 8" "

"8

está ente e , vem tg , que é diferente de . ! ÐD Ñ œ œ # Ð Ñ Ä # Ð"Ñ œ !1# 88 8

" "arg arg! 1 1

Qualquer que seja o intervalo de comprimento , fechado numa das extremidade e abertob) #1na outra, que utilizemos na definição da função argumento, vamos sempre ter complexos não nulosonde a função “argumento” não fica contínua (aqueles cujo argumento é a extremidade fechada dointervalo). Por exemplo, se escolhêssemos o intervalo na definição da função, a quebra deÓ ß Ó1 1continuidade era detectada por qualquer sucessão a convergir, por exemplo, para 1 por complexoscom afixos no terceiro quadrante, uma vez que os argumentos iam convergir para e o argu-1mento de é ." 1

42) a)

1

b)

1

– 22 –

43) As raízes de índice de um número complexo são exactamente os números complexos 8 A Draízes do polinómio , de grau .D A 88

44) A equação , com é equivalente à equação+B ,B - œ ! + Á !#

B B œ !, -

+ +# .

Para resolvermos esta equação o truque é tentar comparar o primeiro membro da equação com oquadrado duma soma ? , que sabemos ser igual a ? ? , pelo que, para obtermos oÐB Ñ B #B # # #

mesmo monómio do primeiro grau em dava jeito que fosse ? . Tomamos então como termoB # œ ,+

? a expressão , ou seja, comparamos o primeiro membro da equação com o desenvolvimento de,#+

ÐB Ñ B B , , ,#+ + %+

# #, que é . A equação pode então ser escrita de forma equivalente#

#

ÐB Ñ œ !, , -

#+ %+ +#

#

#,

ou ainda

ÐB Ñ œ, , %+-

#+ %+#

#

#,

condição que é equivalente a

B œ, „ , %+-

#+ #+

È #

,

ou seja, a

B œ, „ , %+-

#+

È #

.

45) 1) A alínea a) pode ser resolvida do mesmo modo que no quadro dos números reais. A alíneab) é que levanta problemas. Com efeito, o que podemos deduzir é que, uma vez que

E œ ; ; :

# % #(

F œ ; ; :

# % #(

$# $

$# $

ÊÊ

,

,

tem-se

ÐEFÑ œ E F œ Ð Ñ Ð Ñ œ œ Ð Ñ; ; : ; ; : :

# % #( % % #( $$ $ $ # # $

# $ # # $Ê ,

e portanto é uma das raízes cúbicas de . Isso não quer dizer, no entanto, que tenhaEF Ð Ñ EF:$

$

que ser , porque existem três raízes cúbica complexas de e é apenas uma delas. Ð Ñ : : :$ $ $

$

Quando trabalhávamos no contexto dos números reais este problema não aparecia, uma vez que umnúmero real tem apenas uma raíz cúbica. Tal como fizémos em 1), reparemos que se tem2)

– 23 –

Ð Ñ ‚ Ð Ñ œ ; ; : ; ; : :

# % #( # % #( #(Ê Ê# $ # $ $

.

Seja então uma das raízes cúbicas de e, em vez de definirmos, como anterior-E ; ; :# % #(

É # $

mente, como sendo uma das raízes cubicas de , definamos, em vez dissoF ; ; :# % #(

É # $

F œ :

$E,

o que só faz, evidentemente, sentido no caso em que . Apesar de não termos definido comoE Á ! F

sendo uma das raízes cubicas de , de facto vai ser uma dessas raízes cúbicas, F; ; :# % #(

É # $

uma vez que

F œ œ œ : ; ; :

#(E # % #(

$$

$

:#(

; ; :# % #(

# $$

# $É Ê .

O que se passa é que, em vez de termos deixado ser uma raíz cúbica qualquer deF

F; ; :# % #(

É # $ , tomámos para uma raíz cúbica especial, que depende naturalmente da raíz

cúbica de que foi escolhida como . A vantagem é que continuamos a ter, como E; ; :# % #(

É # $

na alínea precedente, , mas, ao contrário do que sucedia na alínea anterior, jáE F œ ;$ $

podemos garantir que . Podemos agora verificar que é efectivamente uma raíz daEF œ EF:$

equação , da mesma maneira que procedemos no quadro dos números reais:C :C ; œ !$

Tem-se

ÐE FÑ œ E F $E F $EF œ E F $EFÐE FÑ œ

œ ; :ÐE FÑ

$ $ $ # # $ $

,

e portanto

ÐE FÑ : ÐE FÑ ; œ !$ .

Resumindo, obtivémos a fórmula

C œ ; ; : :

# % #($

Ë ÊÊ É

$

$ # $

# $

; ; :# % #(

,

que temos a certeza que dá uma raíz sempre que fizer sentido, isto é, sempre que o denominador dasegunda fracção não for .!

46) a) Supondo que e que , vemEF œ , EF œ -

ÐB EÑÐB FÑ œ B EB FB EF œ B ,B -# # ,

pelo que, pela lei de anulamento dum produto, tem-se se, e só se, ouB ,B - œ ! B E œ !#

B F œ ! B œ E B œ F E F, isto é, ou . Concluímos assim que e são precisamente as raízes daequação .B ,B - œ !#

– 24 –

Se e são as duas soluções, sabemos que se temb) E F

E œ F œ, Ð,Ñ %- , Ð,Ñ %-

# #

È È# #

, ,

ou o contrário, em qualquer dos casos

EF œ œ ,, , %- , , %-

#

EF œ Ð, Ð , %-Ñ Ñ œ Ð, , %-Ñ œ -" "

% %

È ÈÈ

# #

# # # ## .

47) a) Neste exercício estamos a supor que é uma solução da equação , noC C :C ; œ !$

contexto dos números complexos. Tendo em conta a conclusão do exercício precedente, existemdois números complexos e tais que e . Tem-se entãoE F EF œ C EF œ :

$

ÐE FÑ :ÐE FÑ ; œ !$

eportanto, uma vez que

ÐE FÑ œ E F $E F $EF œ E F $EFÐE FÑ œ E F :ÐE FÑ$ $ $ # # $ $ $ $ ,

obtemos

E F ; œ !$ $ .

De ser , concluímos que . Uma vez que, como vimos nab) EF œ E F œ ÐEFÑ œ : :$ #(

$ $ $ $

alínea precedente, , concluímos que e , sendo dois números cuja soma é eE F œ ; E F ;$ $ $ $

cujo produto é , têm que ser as duas soluções da equação do segundo grau:#(

$

B ;B œ !:

#(#

$

,

portanto tem que ser

E œ F œ; ; % ; ; %

# #$ $

# #: :#( #(

É É$ $

, ,

(ou vice-versa, o que corresponde a alterar a escolha feita para a raíz quadrada). Deduzimos da alínea precedente quec)

E œ œ ; ; %

# # % #(

; ; :

F œ œ ; ; %

# # % #(

; ; :

ÍÍÍÌ É Ë ÊÍÍÍÌ É Ë Ê

$

$

$

$

$

$

# :#(

# $

# :#(

# $

,

,

desde que se tenham feito escolhas convenientes da raíz quadrada e das raízes cúbicas, e portanto,lembrando que ,EF œ C

– 25 –

C œ ; ; : ; ; :

# % #( # % #(Ë ËÊ Ê$ $# $ # $

é um dos nove valores dados pela fórmula de Cardano.

48) a)

ÐBß CÑ ÐB ß C Ñ œ ÐB B ß C C Ñ

ÐB ß C Ñ ÐBß CÑ œ ÐB Bß C CÑ œ ÐB B ß C C Ñ

w w w w

w w w w w w

,,

uma vez que a adição de números reais é comutativa. b)

ÐÐBß CÑ ÐB ß C ÑÑ ÐB ß C Ñ œ ÐB B ß C C Ñ ÐB ß C Ñ œ ÐB B B ß C C C Ñ

ÐBß CÑ ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ ÐBß CÑ ÐB B ß C C ÑÑ œ ÐB B B ß C

w w ww ww w w ww ww w ww w ww

w w ww ww w ww w ww w ww

, C C Ñw ww ,

onde, ao escrevermos sem parênteses a somas de três números reais (por exemplo ) estáB B Bw ww

implícita a utilização da propriedade associativa dessa soma. c)

ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ œ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ

ÐB ß C Ñ ‚ ÐBß CÑ œ ÐB ‚ B C ‚ Cß B ‚ C C ‚ BÑ œ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ

w w w w w w

w w w w w w w w w w

,.

Repare-se que, para a última igualdade, tivémos em conta as propriedades comutativas tanto damultiplicação como da adição de números reais. d)

ÐBß CÑ ‚ ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ ÐBß CÑ ‚ ÐB B ß C C Ñ œ

œ ÐB ‚ ÐB B Ñ C ‚ ÐC C Ñ ß B ‚ ÐC C Ñ C ‚ ÐB B ÑÑ œ

œ ÐB ‚ B B ‚ B C ‚ C C ‚ C ß B ‚ C B ‚ C

w w ww ww w ww w ww

w ww w ww w ww w ww

w ww w ww w ww w ww

w w ww ww

w w w w ww ww ww ww

w ww w ww w ww

C ‚ B C ‚ B Ñ

ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ œ

œ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ œ

œ ÐB ‚ B B ‚ B C ‚ C C ‚ C ß B ‚ C B ‚ C C ‚ B C ‚ B Ñw ww