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Números Números ComplexosComplexos

Profª.: Juliana SantosProfª.: Juliana Santos

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• Aula 1:Aula 1: Números complexos: uma abordagem históricaNúmeros complexos: uma abordagem histórica Introdução aos números complexosIntrodução aos números complexos Forma algébrica dos números complexosForma algébrica dos números complexos• Aula 2:Aula 2: Os números complexos e sua representação geométricaOs números complexos e sua representação geométrica Conjugado do número complexoConjugado do número complexo Divisão de números complexosDivisão de números complexos• Aula 3:Aula 3: Módulo de um número complexoMódulo de um número complexo Forma trigonométrica dos números complexosForma trigonométrica dos números complexos• Aula 4:Aula 4: Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométricaMultiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica• Aula 5:Aula 5: Potenciação e radiciação de complexos na forma trigonométricaPotenciação e radiciação de complexos na forma trigonométrica

Conteúdo ProgramáticoConteúdo Programático

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Números Complexos – Uma Abordagem Números Complexos – Uma Abordagem HistóricaHistórica

Aos números complexos é atribuído grande esforço Aos números complexos é atribuído grande esforço e “tortura mental” (como disse Girolamo Cardano) dos e “tortura mental” (como disse Girolamo Cardano) dos maiores matemáticos da história.maiores matemáticos da história.

A primeira vez que alguém se deparou com A primeira vez que alguém se deparou com problemas que envolviam números complexos foi por problemas que envolviam números complexos foi por volta do século I d.C.. Desde então, matemáticos como volta do século I d.C.. Desde então, matemáticos como Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499/1500-1575), Del Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499/1500-1575), Del Ferro (1465-1526), Bombelli (1526-1572), Euler (1707-Ferro (1465-1526), Bombelli (1526-1572), Euler (1707-1783), Gauss (1777-1855), dentre outros, aperfeiçoaram 1783), Gauss (1777-1855), dentre outros, aperfeiçoaram bastante o conceito e o estudo em torno dos complexos. bastante o conceito e o estudo em torno dos complexos. E, no entanto, até hoje, existem ainda muitas questões em E, no entanto, até hoje, existem ainda muitas questões em aberto.aberto.

AULA 1AULA 1

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Introdução aos Números ComplexosIntrodução aos Números Complexos

Vamos tratar inicialmente um número complexo como Vamos tratar inicialmente um número complexo como sendo um par ordenado (a,b).sendo um par ordenado (a,b).

A partir daí, podemos utilizar as seguintes propriedades:A partir daí, podemos utilizar as seguintes propriedades:

• IGUALDADE:IGUALDADE: (a,b) = (c,d) (a,b) = (c,d) a=b e c=d a=b e c=d• ADIÇÃO:ADIÇÃO: (a,b) + (c,d) (a,b) + (c,d) (a+c , b+d) (a+c , b+d)• MULTIPLICAÇÃO:MULTIPLICAÇÃO: (a,b)(c,d) (a,b)(c,d) (ac – bd , bc + ad) (ac – bd , bc + ad)

ExemplosExemplos::

a)a) (x, -2) = (1, y) (x, -2) = (1, y) x = 1x = 1 e e y = -2y = -2b)b) (3, -8) + (-1, 7) (3, -8) + (-1, 7) (3-1 , -8+7) (3-1 , -8+7) (2, -1)(2, -1)c)c) (0, 5)(3, -2) (0, 5)(3, -2) [ 0.5 – 5.(-2) , 5.3 + 0.(-2) ] [ 0.5 – 5.(-2) , 5.3 + 0.(-2) ] (-10, 15)(-10, 15)

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Forma Trigonométrica dos Números ComplexosForma Trigonométrica dos Números Complexos

Existem muitas maneiras de definir o conjunto Existem muitas maneiras de definir o conjunto ℭℭ (o (o conjunto dos números complexos), onde estão definidas conjunto dos números complexos), onde estão definidas operações de adição e de multiplicação. Além disso, é operações de adição e de multiplicação. Além disso, é importante saber que os números reais também estão importante saber que os números reais também estão incluídos em incluídos em ℭℭ, e:, e:

a)a) Existe um número complexo Existe um número complexo ii com com ii22 = -1. = -1.b)b) Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira

única na forma a + búnica na forma a + bii, onde , onde aa e e bb são reais ( são reais (aa é chamado é chamado parte realparte real e e bb é chamado é chamado parte imagináriaparte imaginária do complexo do complexo a + bi).a + bi).

Assim:Assim:z = a + bi z = a + bi

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Usando as propriedades que vimos anteriormente, Usando as propriedades que vimos anteriormente, podemos operar com complexos de maneira análoga à que podemos operar com complexos de maneira análoga à que operamos com reais, com o cuidado de tomar operamos com reais, com o cuidado de tomar ii22 = -1. = -1.

ExemplosExemplos::

a)a) (5 + 3(5 + 3ii) + (8 + 5) + (8 + 5ii) = 5 + 8 + (3 + 5)) = 5 + 8 + (3 + 5)ii = = 13 + 813 + 8ii

b)b) (7 + 2(7 + 2ii)(4 – 3)(4 – 3ii) = 7(4 – 3) = 7(4 – 3ii) + 2) + 2ii(4 – 3(4 – 3ii) = 28 – 21) = 28 – 21ii + 8 – 6 + 8 – 6ii22

= 28 + 6 + (-21 + 8)= 28 + 6 + (-21 + 8)ii = = 34 – 1334 – 13ii

c)c) (6 + 7(6 + 7ii) – (4 + 2) – (4 + 2ii) + (1 – 10) + (1 – 10ii) = 6 – 4 + (7 – 2)) = 6 – 4 + (7 – 2)ii + (1 – + (1 –

1010ii) = (2 + 5) = (2 + 5ii) + (1 – 10) + (1 – 10ii) = 2 + 1 + (5 – 10)) = 2 + 1 + (5 – 10)ii = = 3 – 53 – 5ii

d)d) (5 + 4(5 + 4ii)(1 – )(1 – ii) + (2 + ) + (2 + ii))ii = 5(1 – = 5(1 – ii) + 4) + 4ii(1 – (1 – ii) + (2.) + (2.ii + + ii..ii) = ) =

(5 – 5(5 – 5ii + 4 + 4ii – 4 – 4ii22) + (2) + (2ii + + ii22) = (9 – ) = (9 – ii) + (-1 + 2) + (-1 + 2ii) = 9 – 1 + (-1 ) = 9 – 1 + (-1

+ 2)+ 2)ii = = 8 + 8 + ii

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Uma observação importante!Uma observação importante!

Já sabemos que Já sabemos que ii² = -1. Dessa forma, temos que:² = -1. Dessa forma, temos que:

ii¹ = ¹ = iiii² = -1² = -1ii³ = ³ = ii².².ii = (-1). = (-1).ii = - = -iiii44 = ( = (ii²)² = (-1)² = 1²)² = (-1)² = 1ii55 = = ii44..ii = 1. = 1.ii = = ii......Logo, para potências maiores do que Logo, para potências maiores do que ii², como a 4ª ², como a 4ª

potência, os resultados começam a se repetir, então dividimos o potência, os resultados começam a se repetir, então dividimos o valor da potência por 4 e elevamos valor da potência por 4 e elevamos ii ao resto da divisão. ao resto da divisão.

ExemploExemplo: : ii7474 = = ii² = -1 74 4² = -1 74 4 34 1834 18

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Os Números Complexos e sua Representação Os Números Complexos e sua Representação GeométricaGeométrica

Da definição adotada, ocorre que podemos pensar Da definição adotada, ocorre que podemos pensar no número complexo z = a + bno número complexo z = a + bii como o ponto (a, b) no como o ponto (a, b) no plano cartesiano cujas coordenadas plano cartesiano cujas coordenadas aa e e bb são exatamente são exatamente como as coordenadas como as coordenadas xx e e yy do plano. do plano.

ExemploExemplo:: z = 1 + 2 z = 1 + 2ii

Onde Onde aa corresponde a corresponde a xx e e bbcorresponde a corresponde a yy..

AULA 2AULA 2

x

y

z = 1 + 2i = (1, 2)

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◦ Conjugado de um Número ComplexoConjugado de um Número Complexo

Seja o número complexo z = a + bSeja o número complexo z = a + bii..Temos que o seu Temos que o seu conjugadoconjugado é dado por . Ou, é dado por . Ou,

na forma de par ordenado: se z = (a, bna forma de par ordenado: se z = (a, bii), então), então

ExemplosExemplos::

z = a – bz = a – bii = (a, –b = (a, –bii))

z = a – bz = a – bii

z = (a, –bz = (a, –bii) .) .

z = a + bz = a + bii

10 + 5i 10 – 5i

- 2 – i - 2 + i

z = (a, bi)

(0, 6i) (0, -6i)

(-7, -3i) (-7, 3i)

z = a – bz = a – bii

z = (a, –bz = (a, –bii))

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O conjugado de O conjugado de zz também pode ser representado também pode ser representado geometricamente no plano.geometricamente no plano.

ExemplosExemplos::

Seja z = 1 + 2Seja z = 1 + 2ii. Logo, . Logo, z = 1 – 2z = 1 – 2ii

x

yz = 1 + 2i = ( 1, 2)

z = 1 - 2i = ( 1, -2)

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Divisão de Números ComplexosDivisão de Números Complexos

A partir do estudo do conjugado de A partir do estudo do conjugado de zz, agora é possível , agora é possível efetuar divisões entre dois números complexos zefetuar divisões entre dois números complexos z11 = a + b = a + bii e e zz22 = c + d = c + dii, tal que z, tal que z22 ≠ 0. Isto é, para calcular basta ≠ 0. Isto é, para calcular basta multiplicar multiplicar

o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

ExemploExemplo::

Dados os complexos zDados os complexos z11 = 1 + = 1 + i i e z e z22 = 1 – = 1 – ii , efetuar : , efetuar :• Solução:Solução:

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Módulo de um Número ComplexoMódulo de um Número Complexo

Dado um número complexo z = a + bDado um número complexo z = a + bii, chama-se , chama-se módulomódulo de de zz ((|z||z|) ao número real não negativo:) ao número real não negativo:

Geometricamente, Geometricamente, |z||z| mede mede a distância de a distância de 00 a a zz, ou seja, , ou seja, mede o módulo do vetor que mede o módulo do vetor que representa o complexo representa o complexo zz..

AULA 3AULA 3

x

y

z = a + bi = (a, b)

|z|

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ExemplosExemplos::

Se z = 1 + Se z = 1 + ii , |z| = ? , |z| = ? Se z = 3Se z = 3ii , |z| = ? , |z| = ?

Solução:Solução: Solução:Solução:

Se z = 3 + 4√2Se z = 3 + 4√2i i , |z| = ?, |z| = ? Se z = √2 – Se z = √2 – ii.√2 , |z| = ?.√2 , |z| = ?

Solução:Solução: Solução:Solução:

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Forma Trigonométrica dos Números ComplexosForma Trigonométrica dos Números Complexos

Vimos que um número complexo pode ser pensado Vimos que um número complexo pode ser pensado

como um ponto do plano de coordenadas (a, b) ou como como um ponto do plano de coordenadas (a, b) ou como

um vetor , de origem um vetor , de origem OO e extremidade (a, b). A e extremidade (a, b). A

representação z = a + brepresentação z = a + bii dá ênfase às coordenadas do dá ênfase às coordenadas do

ponto ponto zz. Uma representação que dá ênfase aos elementos . Uma representação que dá ênfase aos elementos

geométricos do vetor é obtida do seguinte modo:geométricos do vetor é obtida do seguinte modo:

Indiquemos por o comprimento de Indiquemos por o comprimento de

que suporemos diferente de zero e por que suporemos diferente de zero e por θθ o ângulo o ângulo

positivo xOz, que também é chamado positivo xOz, que também é chamado argumento de z argumento de z

((argarg(z)(z)).).

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Então temos e Então temos e

Como r = |z| , vem:Como r = |z| , vem:

ee

Isto é, z = a + bIsto é, z = a + bii = r . cos = r . cos θθ + r . sen + r . sen θθ . . ii ou ou

x

y

z = |z| . (cos z = |z| . (cos θθ + + ii . sen . sen θθ))

que é chamada que é chamada forma trigonométricaforma trigonométrica dos números complexos. dos números complexos.

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Uma observação importante!Uma observação importante!

Os números complexos na sua Os números complexos na sua forma trigonométrica também têm sua forma trigonométrica também têm sua representação geométrica no plano.representação geométrica no plano.

ExemploExemplo: :

x

y

√3

1

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Multiplicação e Divisão de Complexos na Forma Multiplicação e Divisão de Complexos na Forma TrigonométricaTrigonométrica

Se zSe z11 = |z = |z11|.(cos |.(cos θθ11 + + ii.sen .sen θθ11) e z) e z22 = |z = |z22|.(cos |.(cos θθ22 + + ii.sen .sen θθ22) são as formas trigonométricas dos complexos ) são as formas trigonométricas dos complexos zz11 e e zz22, então:, então:

AULA 4AULA 4

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ExemplosExemplos::

Sejam e , z1.z2 = ?

Solução: Solução:

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ExemplosExemplos::

Sejam e , z1.z2 = ?

Solução: Solução:

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Potenciação e Radiciação de Complexos na Potenciação e Radiciação de Complexos na Forma TrigonométricaForma Trigonométrica

Se z = |z|.(cos Se z = |z|.(cos θθ + i.sen + i.sen θθ) é a forma trigonométrica do ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n número complexo z e n € , € , então:então:

ExemploExemplo: : Calcular z³ , sendo Calcular z³ , sendo

Solução: Solução:

AULA 5AULA 5

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Se z = |z|.(cos Se z = |z|.(cos θθ + + ii.sen .sen θθ) é a forma trigonométrica do ) é a forma trigonométrica do número complexo número complexo zz, então existem , então existem nn raízes enésimas de raízes enésimas de zz que que são da forma:são da forma:

ExemplosExemplos: : Calcular as raízes cúbicas de 8.Calcular as raízes cúbicas de 8.• Solução: Solução: Temos que z = 8 , então |z| = 8 e Temos que z = 8 , então |z| = 8 e θθ = 0 . = 0 .

Pela fórmula dada, vem:Pela fórmula dada, vem:

, então k= 0, 1 e 2, então k= 0, 1 e 2

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Contato: Contato: [email protected][email protected]