números e operações 1. representando quantidades

Matemática

2

SUMÁRIO DO VOLUMEMATEMÁTICA

NÚMEROS E OPERAÇÕES 51. Representando quantidades 5

1.1 Introdução histórica 51.2 Números decimais, fracionários e naturais 13

2. Calculando com números naturais 162.1 Operações com números naturais 16

3. Múltiplos e divisores 513.1 Critérios de divisibilidade 53

4. Números primos 574.1 Decomposição dos números em fatores primos 594.2 Máximo Divisor Comum 614.3 Mínimo Múltiplo Comum 62

ESPAÇO E FORMA 665. Localização em mapas 66

GRANDEZAS E MEDIDAS 806. Perímetro 807. Área 83

Matemática

3

SUMÁRIO COMPLETOVOLUME 1

UNIDADE: NÚMEROS E OPERAÇÕES1. Representando quantidades2. Calculando com números naturais3. Múltipos e divisores4. Números prim os

UNIDADE: ESPAÇO E FORMA5. Localização em mapas

UNIDADE: GRANDEZAS E MEDIDAS6. Perímetro7. Área

VOLUME 2

UNIDADE: NÚMEROS E OPERAÇÕES8. Calculando com números decimais e fracionários

UNIDADE: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO9. Média aritmética simples

VOLUME 3

UNIDADE: GRANDEZAS E MEDIDAS10. Sistema métrico decimal11. Medidas de comprimento12. Medidas de superfície13. Medidas de volume14. Medidas de capacidade15. Medidas de massa16. Medidas de tempo

UNIDADE: ESPAÇO E FORMA17. Figuras planas e especiais18. Ângulo19. Reconhecimento de polígonos e seus elementos

Matemática

4

MatemáticaRepresentando quantidades

5

NÚMEROS E OPERAÇÕES

1. REPRESENTANDO QUANTIDADES

1.1 Introdução histórica

O ser humano é, por excelência, um ser comunicativo. Mesmo antes de seu nascimento, ele já interage com a mãe, dando-lhe os famosos e tão esperados “chutes” na barriga. Para que possa se comunicar de forma ampla, é, então, dotado de cinco sentidos. E é por meio de olhares, gestos, sons, cheiros, gostos que a comunicação se dá, mesmo que para alguns isso não ocorra na totalidade. E para que a comunicação se estabeleça, é

necessário que haja uma linguagem a ser decodificada, interpretada, compreendida. Conhecemos diversas linguagens para as diversas necessidades do ser humano. Por exemplo, a linguagem Braille foi desenvolvida para que os cegos pudessem se expressar através de símbolos.

Para os que não podem usufruir de seu sentido de audição, foi desenvolvida a linguagem de Libras.

Para a compreensão das diversas origens dos povos, foram criadas as línguas maternas, como a Língua Portuguesa, a Língua Inglesa, a Língua Chinesa, a Língua Francesa e outras, com seus diversos dialetos. Para a compreensão do pensamento lógico, dedutivo, numérico, quantitativo, métrico e geométrico do ser humano, foi desenvolvida a linguagem da Matemática. E, portanto, para que todos esses campos do pensamento humano se desenvolvam, é necessário não apenas que se decodifiquem os símbolos matemáticos, mas também saibam compreender seus significados e aplicações. Na história da humanidade, a invenção do zero e dos algarismos, juntamente com a invenção da escrita, foi tão importante e revolucionária quanto o domínio do fogo. E essa descoberta fundamental não se deu de uma única vez. A humanidade teve que experimentar diversas soluções para o problema da representação e manipulação dos números, até que tiveram a ideia de representar os números por sinais gráficos: estavam inventando os algarismos. E prevaleceu, entre as diversas formas de algarismos, aquela que se mostrou mais eficiente: os algarismos indo-arábicos. A 1a máquina de calcular do homem foi sua própria mão, utilizando-se de seus dedos. A contagem feita por meio das mãos foi utilizada até o final da Idade Média, quando, com os árabes,

Acervo CNEC.

Acervo CNEC.


6

houve o desenvolvimento e a disseminação dos algarismos indo-arábicos. Dessa contagem com as mãos também derivou o modo de calcular dos surdos-mudos. No entanto, com o aumento das comunicações entre as diferentes sociedades

e o desenvolvimento do artesanato e do comércio, a máquina de calcular “mão” começou a não atender a todas as necessidades, na medida em que era preciso que as informações ficassem memorizadas, registradas. Na civilização inca, região hoje ocupada pelos territórios da Bolívia, Peru

e Equador, o homem desenvolveu uma forma de registro através de cordões e nós, denominado quipu (que na linguagem inca significa nó). Hoje, pode-se ver um quipu em museus de arte.

Os quipus tinham funções variadas: para representar números, para anotar informações de recenseamento

da população, para anotar dados das colheitas, para auxiliar na contabilidade, para usar como calendário, etc. Além dos quipus, para memorizar

seus registros, o homem utilizou a técnica do “entalhe” em madeira e osso. Também foi muito utilizado o método concreto de agrupar montes de pedras, pauzinhos, conchas, etc, utilizando a ideia da correspondência um a um. Daí a origem da palavra cálculo, pois, em latim, calculus signif ica pequena pedra. As pedras deram origem aos ábacos, que o homem inventou quando precisou fazer cálculos cada vez mais sof isticados, enquanto ainda não tinha a forma escrita dos algarismos indo-arábicos. Um ábaco muito utilizado até os dias de hoje é o soroban, pois, além de ser presença na cultura japonesa, serve de instrumento para as pessoas deficientes visuais realizarem cálculos.

Minhas ideias, nossas ideiasMinhas ideias, nossas ideias1 Para abordarmos o eixo temático “As várias linguagens” foram apresentadas, no texto, algumas dessas

linguagens. Você sabe como é feita a escrita e a leitura na linguagem Braille?

quipu

Os entalhes do Paleolítico Superior 35000 a 20000 a.C.

Acervo CNEC.


7

2 Você sabe expressar algum signifi cado na linguagem de Libras?

3 Você sabe quais são os símbolos do Braille para os algarismos que usamos na matemática?

4 Você conhece como se escreve e se fala a palavra Matemática em outras línguas?

Trabalhando com PesquisaTrabalhando com Pesquisa Pesquisar sobre a história dos sistemas Braille e Libras.

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_brasileira_de_sinais

• www.libras.org.br

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Braille

Com relação à simbologia utilizada, tivemos vários povos desenvolvendo sua própria linguagem. Os egípcios utilizavam um sistema de numeração baseado na soma de seus elementos. Eles denominavam símbolos para os números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 e assim por diante, além de somarem esses símbolos.

Veja a tabela a seguir:

Símbolo Egípcio Descrição do símbolo O número na nossa notação

bastão 1

calcanhar 10

rolo de corda 100

f lor de lótus 1 000

dedo a apontar 10 000

peixe 100 000

homem 1 000 000


8

Disponível em: <www.museuhistoriconacional.com.br>. Acesso em: 15 mar. 2010.

Cada símbolo podia ser repetido até nove vezes. Para escrever o número 1 260, eles faziam:

Já os romanos utilizavam letras para representarem os números. As letras utilizadas eram I, V, X, L, C, D, M para representar respectivamente os valores 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.

Na numeração romana, os símbolos podem ser repetidos até três vezes, apesar de que há indícios históricos de que no princípio eles utilizavam até quatro repetições. A diferença entre esse sistema e o egípcio é que ele utiliza além da adição de seus elementos, também a subtração. Se o símbolo I, X ou C estiver escrito à direita de outro de maior valor, somam-se os seus valores. Se estiver escrito à esquerda de outro de maior valor, subtrai-se o seu valor.

Por exemplo: XXI = 10 + 10 + 1 = 21.CXL = 100 + 50 – 10 = 140. A partir do número quatro mil, os romanos colocavam um traço sobre o número indicando mil vezes mais. A partir de um milhão, colocavam dois traços, indicando um milhão de vezes mais.IVD = 4 000 + 500 = 4 500.II CCCLIDCCIX = 2 351 709. A numeração maia, na América, utilizava um sistema vigesimal, ou seja, a base do sistema era vinte. Sua origem foi muito provavelmente devido à soma dos dedos dos pés e das mãos. Eles utilizavam um ponto para representar o número um, e um traço para representar o número cinco. O ponto podia ser repetido até quatro vezes, e o traço, até três. É interessante notar que esses povos já possuíam um símbolo para representar o vazio, semelhante à ideia do zero.

0•1

• •2

• • •3

• • • •4

• •7

• • •8

• • • •95

•6 10

11•

12• •

13• • •

14• • • • 15 16• • •

17• • •18 • • • •19

Disponível em: <www.wikipedia.org>. Acesso em: 20 mar. 2010.

Do número 20 até 399, a representação do número é dividida em duas partes: uma superior, que deve ser multiplicada por vinte, e a inferior, que representa a quantidade que deve ser somada à parte superior.

20 =•

21 =•

•45 =

• •60 =

• • •

75 =• • •

100 = 120 =•

350 =

• • •


9

Para números de 400 até 7 999, a representação do número é dividida em três partes: a superior, que deve ser multiplicada por 400, a do meio, que deve ser multiplicada por 20, e a inferior, que deve apenas ser somada às demais partes. O sistema de numeração utilizado por nós atualmente é o indo-arábico, que foi criado pelos povos hindus e divulgado pelos árabes. Tem como características a representação dos algarismos por 10 símbolos (de 0 a 9) e a introdução do valor posicional ou relativo, que significa que, dependendo da posição do algarismo no número, ele tem um valor diferente. E a grande vantagem desse sistema de numeração é que, com apenas 10 símbolos, representa-se toda a infinidade de números existentes, quer sejam eles inteiros, decimais ou fracionários.

um dois três quatro cinco seis sete oito nove zero

séc. VI (indiano)

séc. IX (indiano)

séc. X (árabe oriental)

séc. X (europeu)

séc. XI (árabe oriental)

séc. XII (europeu)

séc. XIII (árabe oriental)séc. XIII (europeu)séc. XIV (árabe ocidental)séc. XV (árabe oriental)

séc. XV (europeu)Evolução da escrita dos algarismos de 0 a 9.

Veja um exemplo com o número 12 426. O algarismo 2 aparece duas vezes nesse número. Um deles ocupa a posição da dezena. Como uma dezena corresponde a 10 unidades, isso significa que se tem 2 x 10 unidades, ou seja, 20 unidades. Dizemos que o valor relativo desse algarismo 2 é 20. Já o outro algarismo 2 ocupa a ordem das unidades de milhar, ou seja , ele vale 2 x 1 000 unidades. Seu valor relativo é 2 000. O valor absoluto de um algarismo dentro de um número é apenas o seu valor, independente de sua posição. Nesse caso, o valor absoluto do 2 é apenas o 2.

Minhas ideias, nossas ideiasMinhas ideias, nossas ideias5 Nesses textos, notamos a exploração do eixo temático “Mudanças e permanências ao longo do tempo”,

na medida em que observamos a evolução da escrita dos algarismos dos diversos povos. Por que você acha que o sistema de escrita numérica que permanece até os dias de hoje é o indo-arábico?


10

00

00

00

0 000

6 Onde você nota o uso dos algarismos romanos?

PráxisPráxis

Jogo de cartas: Sistemas de numeração.

Destaque as cartas das páginas 91 e 93 de seu Material Didático.

Número de jogadores: 4

Procedimentos: Coloque 6 cartas abertas sobre a mesa e distribua as cartas restantes para cada aluno, uma a uma, fechadas. Cada jogador, na sua vez, tentará formar um par com uma carta da mão e uma da mesa, ambas de mesmo valor. Se isso for possível, o jogador pega a carta da mão, a da mesa, forma o par e o coloca em um monte na sua frente. Se houver mais de uma carta na mesa com o mesmo valor, o par poderá ser feito pegando uma carta da mão e mais de uma carta da mesa. Se for possível, na sua jogada, faça o par entre a carta de sua mão e a carta do monte de algum jogador, que pode ser roubado. Se não for possível formar o par com nenhuma das cartas da mesa ou do monte de algum jogador, o jogador deve descartar uma carta de sua mão para a mesa. O jogo termina quando todas as cartas tiverem sido jogadas. O vencedor é aquele que tiver mais cartas em seu monte.

Saiba maisSaiba mais

O ZERO

“O sábio mais sábio do mundo foi o que descobriu o nada. Nada mesmo. Ele teve a ideia genial de que onde não há nada, nadinha mesmo, há o nada. E fez do nada um algarismo, o zero. A Ciência seria impossível sem a Matemática, e a Matemática mais impossível ainda sem o zero. É difícil imaginar como a humanidade pôde atravessar tantos milênios, produzindo muitos homens sábios, que não sabiam a verdadeira Matemática, ou não tinham instrumentos para criar uma. É certo que os egípcios sabiam fazer, com seus astrólogos, muitos cálculos astronômicos. Os gregos eram fi lósofos, que ainda nos espantam por sua inteligência. Os romanos nos legaram leis que funcionam até hoje, coordenando relações entre as pessoas. Mas a nenhum deles ocorreu essa ideia fundamental, de que onde não há nada, algo existe: o nada. Com o zero, que não é nada, pode-se coordenar os números, assim: o número um é um só, com um zero adiante, ele decuplica, passa a ser dez; dois zeros, ele centuplica; três, ele milifi ca. Posto o zero na frente do número, ele se divide. O um, com um zero na frente, é um décimo; com dois zeros na frente, é um centésimo, etc. e tal. Vou dar a você, de presente, hoje, uns números grandotes, para você se divertir. O primeiro é 60.000.000.000.000.000.000.000.000.000, com um 6 e 28 zeros, é a idade da Terra, em milhões de anos. O segundo número é 0,000.000.000.000.000.000.000.000.166, formado por um zero, uma vírgula e mais 24 zeros seguidos do número 166, corresponde à massa do átomo de hidrogênio, em gramas. Isso não é nada. Podemos fazer números muitíssimo maiores. Se você fi zer um número que vá daqui até a Lua, ele ainda não será o maior número do mundo. Pondo mais um zero, ele se multiplica por dez, e vai por aí afora. Parece brincadeira, não é?”

RIBEIRO, Darcy. Noções das Coisas.


11

Exercícios de salaExercícios de sala7 Utilizando os algarismos 4 e 5, escreva todos

os números possíveis de dois algarismos.

8 Utilizando os algarismos 1, 4 e 8, escreva todos os números possíveis de três algarismos distintos.

9 Utilizando os algarismos 0, 1 e 2, escreva todos os números possíveis de três algarismos.

10 Determine o consecutivo do menor número formado por quatro algarismos distintos.

11 Quantos números de três algarismos, maiores que 200, podem ser escritos usando-se apenas os algarismos 1, 5 e 7?

12 Observe a sequência das fi guras a seguir e o valor que cada uma representa:

3

72

9

7

5

1

6

4

64 237

De acordo com a lógica apresentada, qual é o valor que a terceira fi gura representa?

13 Numa farmácia, um medicamento é assim armazenado:

• Cada cartela possui 10 comprimidos. • Cada caixa desse medicamento comporta dez

cartelas. • Cada dez caixas desse medicamento preenchem

uma gaveta. • Há um armário na farmácia que possui dez

gavetas de igual capacidade à da anterior. De acordo com as informações, responda:

a) O gerente da farmácia consultou seu estoque e constavam 450 comprimidos. Achou estranho o fato e quis saber o que aconteceu. Na sua opinião, o que ocorreu?

b) Quantos comprimidos são armazenados em uma gaveta cheia?

c) Qual é a capacidade máxima de armazenamento desse medicamento no armário dessa farmácia?

14 Na numeração das páginas de um livro de 1 a 100, quantas vezes o número 1 aparece?

15 O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24. Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das seguintes situações:a) Os três algarismos são iguais.

b) Apenas dois algarismos são iguais.


12

c) Os algarismos são todos diferentes.

16 Dizemos que um número é ascendente se cada um de seus algarismos for maior do que o algarismo que está à sua esquerda. Por exemplo, 2 568 é ascendente e 175 não é. Quantos números ascendentes existem entre 400 e 600?

17 Ligue os pares de números correspondentes a seguir.

44 XXXII

• •

• • • •

MCDVI XLIV

•• •

XLVI

LXXXVII 1 2 1

• •

•

18 Escreva os números a seguir nos três sistemas de numeração indicados:

Romano Egípcio Maia

67

195

642

1 038

4 851


13

19 Observe o anúncio a seguir de um jornal israelense.

Nesse país, há duas línguas ofi ciais: o árabe e o hebraico. O anúncio apresentado está escrito em hebraico. A linguagem verbal expressa não é clara para a maioria de nós, ocidentais. No entanto, a linguagem matemática é universal e pode ser compreendida nesse anúncio. Escreva, com suas palavras, como você interpreta esse anúncio e sugira uma fala para a pessoa que aparece nele.

1.2 Números decimais, fracionários e naturais

PráxisPráxis

20 De que forma você representaria numericamente as quantidades indicadas a seguir?


14

21 Quando contamos quantidades inteiras, as representamos através de que tipo de número?

22 Como é a representação do conjunto de todos esses números?

23 O que você sabe em termos de características deste conjunto de números?

24 Quando contamos quantidades que não possuem apenas partes inteiras, que tipo de número usamos para representá-las?

25 Nos números decimais, qual é a função da vírgula?

26 Como se leem os números a seguir: a) 5,3:

b) 12, 72:

c) 0,458:

d) 1,02:

Você se lembra...Você se lembra...

As ordens decimais seguem uma sequência:

Cen

tena

Dez

ena

Uni

dade

Déc

imos

Cen

tési

mos

Milé

sim

os

Déc

imos

de

milé

sim

os

Cen

tési

mos

de

milé

sim

os

Milé

sim

os d

e m

ilési

mos

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___,

27 Escreva com suas palavras o que signifi ca fração.

28 Na fração, como são chamados os termos separados pelo seu traço?

29 Você sabe por que esses termos recebem esses nomes?

30 Você sabe o que o traço da fração representa?

31 Como se leem as frações a seguir?

a) 12

b) 23

c) 47

d) 59

e) 712

f) 1117

g) 710

h) 23100

32 A leitura das frações está relacionada com qual dos termos da fração? Por quê?


15

33 Quando é acrescentada a palavra “avos” na leitura das frações? Você sabe a origem e o signifi cado dessa palavra?

Todos esses tipos de números que utilizamos para contar, os naturais, os decimais e os fracionários, podem ser chamados de números racionais absolutos e são representados pelo símbolo Q+.

Q+ = 0; ... 0,5; ... 34

; ... 1; ...2; ... 3,6; ... 163

; ...

34 Os números racionais absolutos são fi nitos ou infi nitos?

35 Indique um número entre o zero e o meio:

Dis

poní

vel e

m: <

ww

w.g

eoci

ties.

com

>.

Ace

sso

em: 2

7 ju

n. 2

008.

36 Indique um número entre o número que você indicou no exercício anterior e o meio:

37 Repita o processo da questão anterior mais quatro vezes e escreva os números que você escolheu.

38 Quantas vezes você poderia repetir esse processo e continuaria encontrando números decimais?

39 Qual é a conclusão a que se chega a respeito da quantidade de números entre dois números racionais?

Saiba maisSaiba mais As frações foram, durante muitos séculos, o único modo de se representar o todo e também partes de um inteiro. No século XVI, o matemático francês François Viete, estabeleceu, em uma de suas primeiras obras, o Canon-matematicus, de 1579, uma forma especial para escrever frações cujos denominadores são potências de 10. Essa forma só se tornou popular vinte anos mais tarde, quando outro ilustre matemático, chamado Napier, utilizou-a em seus trabalhos. Depois disso, praticamente não sofreu alterações, sendo usada até hoje e conhecida como representação decimal dos números racionais. Os números racionais escritos na forma decimal são chamados números decimais e têm grande aplicação em nosso cotidiano. Observe:

sabores - 1 litro

3,29cada

Pilha Alcalina Duracellpequena - c/ 4 unids.

palito - c/ 2 unids.

8,99cada

9,cada

Iogurte Líquido

99

folheto de propaganda. Mundo estranho, abr. 2006

Geografia do estômago

O consumo de carne bovina,em cinco países.

Carne bovina(em quilos, per capitas,

por ano)43,2 37,6

26,3 22,59,7

EUA BRASIL ITÁLIA GRÉCIA JAPÃO

Veja - 30 abr. 2008. (Adaptado)

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