Números inteiros e Geometria. Explorando a ideia de número positivo e número negativo Fuso...
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Números inteiros e GeometriaExplorando a ideia de número positivo e número negativoFuso horário civil
Se em Londres for meia-noite, no Brasil serão 9 horas da noite, pois o fuso horário de Brasília em relação a Londres é –3 (menos 3 ou 3 negativo).
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2009
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2
Números inteiros e Geometria
Temperatura
No Brasil, a unidade de medida de temperatura que usamos é o grau Celsius (ºC).
As temperaturas maiores do que 0 ºC são as de medidas acima de zero. Dizemos que elas têm valor positivo (+3 ºC, +25 ºC, +36 ºC, etc.). As temperaturas menores que 0 ºC são medidas abaixo de zero. Dizemos que elas têm valor negativo (‒4 ºC, ‒9 ºC, ‒25 ºC, etc.).
PAULO MANZI/ARQUIVO DA EDITORA
Explorando a ideia de número positivo e número negativo
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Números inteiros e GeometriaO conjunto dos números inteiros
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}ℕ
Observe agora o conjunto dos números inteiros negativos:
{..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1}
Reunindo os números naturais ( ) com os números inteiros negativos,ℕobtemos o conjunto dos números inteiros, que é representado assim:
ℤ = {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 }
4
Números inteiros e Geometria
+ =
O conjunto dos números inteiros
• 1• 2• 3• 4
ℕ
•••
• ‒1• ‒2• ‒3• ‒4
•••
• ‒2• ‒1• 0• 1• 2
ℤ •••
•••
5
Números inteiros e Geometria
A representação dos números inteiros em uma reta
O conjunto dos números inteiros
0r
‒ 1‒ 2‒3‒4‒5 +5+4+3+2+1... ...
6
Números inteiros e Geometria
A representação dos números inteiros em uma reta
O ponto X está no sentido positivo, a 3 unidades de O: corresponde aonúmero inteiro 3 ou +3.
O ponto Y está no sentido negativo, a 1 unidade de O: corresponde aonúmero inteiro –1.
O conjunto dos números inteiros
0r
+5+4+3+2+1 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14‒10‒11‒ 12 ‒9 ‒8 ‒7 ‒6 ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1
S R P Y O I X W
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Números inteiros e Geometria
A distância do ponto A (representado por –2) à origem (O) é 2 unidades.
O número 2, que expressa a distância de A à origem, é chamado de valorabsoluto ou módulo do número inteiro –2. Indicamos assim: |–2| = 2.
módulo
Note que a distância do ponto B (representado por +2) à origem (O) também é 2 unidades, ou seja, o valor absoluto ou o módulo de +2 também é 2. Simbolicamente |+2| = 2.
O conjunto dos números inteiros
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro
0‒1‒2‒3 +3+2+1
A O B
8
Números inteiros e GeometriaO conjunto dos números inteiros
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro
O módulo de um número diferente de zero é sempre positivo.
|–3| = 3 |23| = 23
|–21| = 21 |–105| = 105
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Números inteiros e GeometriaNúmeros opostos ou simétricos
A O B
0‒1‒2‒3‒4 +4+3+2+1... ...
• O simétrico de +3 –(+3) = ‒3• O oposto de –4 –(‒4) = +4 ou 4
• ‒2 e +2 são números simétricos
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Números inteiros e GeometriaO conjunto dos números inteiros
Comparação de números inteiros
Comparar dois números significa dizer se o primeiro é maior do que (>),menor do que (<) ou igual (=) ao segundo número.
–3 < +3P
AU
LO M
AN
ZI/A
RQ
UIV
O D
A E
DIT
OR
A
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Números inteiros e Geometria
Qualquer número negativo é menor que o número positivo.
–1 > –3
O menor número entre dois números negativos é aquele tem o maior módulo.
O conjunto dos números inteiros
Comparação de números inteiros
PA
ULO
MA
NZI
/AR
QU
IVO
DA
ED
ITO
RA
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Números inteiros e GeometriaAdição de números inteiros
Somando inteiros positivos
Quando as duas parcelas são positivas, o resultado da adição é semprepositivo e o módulo do resultado é obtido somando os módulos das parcelas.
(+4) + (+3) = 4 + 3 = 7 ou +7
Somando inteiros negativos
Quando as duas parcelas são negativas, o resultado da adição é semprenegativo e seu módulo é obtido somando os módulos das parcelas.
(–4) + (–3) = –4 – 3 = – 7
(+5) + (+6) = +5 + 6 = +11
(–2) + (–1) = –2 – 1 = –3
13
Números inteiros e Geometria
Somando inteiros opostos
Quando as duas parcelas são dois números inteiros opostos ou simétricos, oresultado é zero.
(–7) + (+7) = –7 + 7 = 0 (–5) + (+5) = –5 + 5 = 0
Somando inteiros não opostos
Quando as parcelas têm sinais diferentes e não são números opostos, o sinal do resultado é o sinal do número que tem maior módulo. E o módulo do resultado é obtido subtraindo o módulo menor do módulo maior.
(–2) + (+5) = –2 + 5 = +3 (–9) + (+3) = –9 + 3 = –6
Adição de números inteiros
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Números inteiros e GeometriaPropriedades da adição
Propriedade comutativaA ordem das parcelas não altera a soma.
(–3) + (+7) = +4(+7) + (–3) = +4
(–3) + (+7) = (+7) + (–3)
Propriedade associativa[(–7) + (+4)] + (+3) = [–3] + (+3) = 0
(–7) + [(+4) + (+3)] = (–7) + (+7) = 0[(–7) + (+4)] + (+3) = (–7) + [(+4) + (+3)]
Propriedade do elemento neutro (+5) + 0 = 0 + (+5) = +5 (–3) + 0 = 0 + (–3) = (–3) = –3
O zero é o elemento neutro da adição.
Propriedade do elemento oposto O oposto de –5 é +5, pois (–5) + (+5) = 0
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Números inteiros e GeometriaSubtração de números inteiros
(–9) – (+2) = –9 – 2 = –11
o sinal de “menos” indica o oposto do +2, ou seja, –2.
O sinal de menos na frente do parênteses, colchetes ou chaves indica ooposto do número.
(–5) – (– 3) =
oposto de (–3), que é +3
–5 + 3 = –2
No conjunto dos números inteiros (ℤ), a subtração é sempre possível.
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Números inteiros e GeometriaAdição algébrica e soma algébricaUma expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica.
15 – [18 – (–6 – 9)] =
= 15 – [18 – (–15)] =
= 15 – [18 + 15] =
= 15 – 33 =
= –18
Assim, –18 é a soma da expressão15 – [18 – (–6 – 9)].
10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7} =
= 10 + {–12 + [5 – (–8)] – 7} =
= 10 + {–12 + [5 + 8] – 7} =
= 10 + {–12 + 13 – 7} =
= 10 + {–6} =
= 10 – 6 =
= 4
Assim, 4 é a soma da expressão10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7}.
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Números inteiros e GeometriaMultiplicação de números inteiros
Multiplicação de dois números inteiros positivos
(+3) . (+5) = 0 . (+8) = 0
3 . 5 = 15
(+10) . (+5) = +50
A multiplicação de dois números inteiros positivos dá como resultado um número inteiro positivo. Os módulos devem ser multiplicados.
Multiplicação de dois números inteiros com sinais diferentes(+5) . (– 3) = 5 . (– 3) = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) = – 15
(– 7) . (+5) = – (+7) . (+5) = – (+35) = –35
O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros de sinaisdiferentes é sempre negativo e seu módulo é o produto dos módulos dosdois fatores.
+15
18
Números inteiros e GeometriaMultiplicação de dois números negativos
(–5) . (–3) = – (+5) . (–3) =
(–5) = – (+5)
+15
O resultado da multiplicação de números com sinais diferentes é sempre um número negativo.
O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros negativos é sempre positivo, e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores.
(–5) . (–3) . (+2) = (+15) . (+2) = +30
(–5) . (–3) . (–2) = (+15) . (–2) = –30
Nos demais casos, contamos o número de fatores negativos: se esse número for par, o resultado será positivo; se esse número for ímpar, o resultado será negativo.
– (–15) =
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Números inteiros e GeometriaPropriedades da multiplicação em ℤ
Propriedade comutativa(–2) . (+5) = –10
(+5) . (–2) = –10(–2) . (+5) = (+5) . (–2)
A ordem dos fatores não altera o produto.
Propriedade associativa[(–8) . (+9)] . (+3) = (–72) . (+3) = –216
(–8) . [(+9) . (+3)] = (–8) . (+27) = –216[(–8) . (+9)] . (+3) = (–8) . [(+9) . (+3)]
Propriedade do elemento neutro
(+6) . (+1) = (+1) . (+6) = +6 O número +1 é o elemento neutro da multiplicação.
Propriedade distributiva(+3) . [(+2) + (–5)] = (+3) . (+2) + (+3) . (–5) = +6 – 15 = –9
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Números inteiros e GeometriaDivisão de números inteiros
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Se 3 . 5 = 15, então 15 : 5 = 3 e 15 : 3 = 5.
(+20) : (+5) = (+4)
(–30) : (–6) = (+5)
(+40) : (–5) = (–8)
sinais diferentes
Não existe divisão por zero.
Nem sempre é possível realizar a divisão em . Por exemplo, (–7) : (+2) ℤnão pode ser realizada em , pois o ℤquociente não é um número inteiro.
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Números inteiros e GeometriaPotenciação: número inteiro na base e número natural no expoente
Base 0 e expoente diferente de 0
01 = 0 02 = 0 . 0 = 0
Base positiva(+8)1 = +8
(+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8
Base negativa(–5)1 = –5 (–6)2 = (–6) . (–6) = +36
Quando o expoente é ímpar, o sinal do resultado é negativo e seu módulo éobtido fazendo a potenciação do módulo da base. Quando o expoente é par, o sinal do resultado é positivo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base.
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Números inteiros e Geometria
Produto de potências de mesma base:am . an = am + n
Quociente de potências de mesma base:
am : an = am – n, com a ≠ 0
Potência de uma potência:
(am)n = am . n
Propriedades da potenciação em ℤ
Potência de um produto ou de um quociente:
(a . b)n = an . bn = , (b ≠ 0)
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Números inteiros e GeometriaRaiz quadrada exata de número inteiro
Raiz quadrada exata dos números inteiros positivos e do zero
A raiz quadrada de um número negativo é impossível em ℤ
Por exemplo:
Por exemplo:
= 3, pois 3 . 3 = 9, podemos escrever = +3, pois (+3)2 = +9.
é impossível em , pois não existe número inteiro que elevado ℤao quadrado dê +10.
é impossível em , pois não existe número inteiro que elevado ℤao quadrado dê –9.
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Números inteiros e GeometriaRepresentação de pares ordenados de números inteiros no plano
Coordenadas cartesianas
Cada quadrado representa 1 quarteirão
(–2, 4) Localiza-se a piscina
(2, –2) Localiza-se o supermercado
PA
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QU
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DA
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ITO
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Números inteiros e GeometriaOutras expressões numéricas com números inteiros
Exemplos:
(–3 + 9 – 1 – 7)2 =
= (–11 + 9)2 =
= (–2)2 =
= +4
= (+6) : (+2) + (+25) . (–4) =
= (+3) + (–100) =
= –97
(–2) . [(–3) – (–2)] =
= (–2) . [(–3) + (+2)] =
= (–2) . (–1) =
= +2
: (+2) + (–5)2 . (–4) =
26
Números inteiros e Geometria
Contornos (linhas fechadas)
Contorno e linhas abertas têm uma única dimensão, o comprimento.
Linhas abertas
Alguns tipos de figuras geométricas
27
Números inteiros e GeometriaAlguns tipos de figuras geométricas
28
Figuras espaciais ou sólidos geométricos
Regiões planas
As figuras espaciais também são chamadas de tridimensionais.
As regiões planas também são chamadas de bidimensionais.
Números inteiros e Geometria
Poliedros:Apresentam somente faces planas.
Corpos redondos:Apresentam partes não planas.
Outros sólidos geométricos:Possuem partes não planas e planas.
Sólidos geométricos
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Números inteiros e GeometriaPoliedros
30
PrismasPrismas retos Prismas oblíquos
vértice
aresta
base
base
face lateral
Números inteiros e GeometriaPirâmides retas
Pirâmides oblíquas O tetraedro regular
Tetra: quatro;edro: face;Tetraedro: quatro faces.
base
face lateral
ZOR
AN
KA
RA
PA
NC
EV
/ S
HU
TTE
RS
TOC
K /
GLO
W IM
AG
ES
31
Link paraambiente online
Números inteiros e GeometriaCorpos redondos
33
Cilindros oblíquos e retos
Cone oblíquo e reto
Esfera
base
base
base
centro
diâmetro
Números inteiros e Geometria
Polígonos convexos Polígonos não convexos
Triângulo (3 lados)Quadrilátero (4 lados)Pentágono (5 lados)
Hexágono (6 lados)Heptágono (7 lados)Octógono (8 lados)
Eneágono (9 lados)Decágono (10 lados)Icoságono (20 lados)
Polígono é uma linha fechada simples (que não se cruza), formada apenas por segmentos de reta, todos de um mesmo plano.
Polígonos
34
Números inteiros e GeometriaPolígonos
35
Diagonais de um polígono convexo
Se um polígono convexo tem n lados, então o número de diagonais (d) éobtido pela fórmula:
d =
Números inteiros e GeometriaRegiões planas
36
cuboregião plana
região retangular
região plana circular ou círculo
região plana triangular
região plana retangular
Números inteiros e GeometriaRegiões planas poligonais
37
Região plana cujo contorno é um polígono.
Regiões poligonais convexas
Regiões poligonais não convexas
Números inteiros e GeometriaRegiões planas e arte
PA
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P, S
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PA
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PO
R T
AR
SIL
A
38
Números inteiros e GeometriaVistas de uma figura espacial
39
pirâmide
vista das facesvista superior vista inferior