Gilberto Antonio de Oliveira

Nmeros Irracionais e Transcendentes

So Jos do Rio Preto

2015

Gilberto Antonio de Oliveira

Nmeros Irracionais e Transcendentes

Dissertao de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre, junto ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, Campus de So Jos do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Joo Carlos Ferreira Costa

So Jos do Rio Preto

2015

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Cmpus de So Jos do Rio Preto

Oliveira, Gilberto Antonio de.

Nmero Irracionais e transcendentes/ Gilberto Antonio de Oliveira So Jos do Rio Preto, 2015

84 f.: Il., tabs Orientador: Joo Carlos Ferreira Costa Dissertao (mestrado profissional) Universidade Estadual

Paulista Jlio de Mesquita Filho, Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas 1. Matemtica - Estudo e Ensino. 2. Aritmtica Estudo e Ensino.

3. Nmeros Irracionais. 4. Campos Algbricos. 5. Nmeros transcendentes. 6. Matemtica Metodologia. I. Costa, Joo Carlos Ferreira. II. Universidade Estadual Paulista "Jlio de Mesquita Filho". Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas. III.Ttulo.

CDU 511(07)

Gilberto Antonio de Oliveira

Nmeros Irracionais e Transcendentes

Dissertao de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre, junto ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, Campus de So Jos do Rio Preto.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Joo Carlos Ferreira Costa UNESP So Jos do Rio Preto Orientador Profa. Dra. velin Meneguesso Barbaresco UNESP So Jos do Rio Preto Prof. Dr. Edivaldo Lopes dos Santos UFSCAR So Carlos

So Jos do Rio Preto

2015

Dedico este trabalho a meus familiares Ftima Aparecida de Oliveira, Tnia Cristina Oliveira, Antonio do Rosrio Oliveira, Raphael Afonso Oliveira de Jesus e Odette Marano Oliveira (em memria pelo amor, carinho, educao e orientao no decorrer de minha vida.

Ofereo aos meus pais e irmos de considerao, Neuza Florido

Mir, Nazir Mir e Nazir Mir Jr e Michel Mir por todo incentivo e apoio

durante toda a minha estada em So Jos do Rio Preto.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, sempre a Deus, que nos brindou com sade para a realizao

deste. Por sempre estar presente, iluminando o nosso caminho.

Aos meus familiares, que sempre estiveram presentes na minha vida,

educando, orientando, incentivando e torcendo pelo meu sucesso.

Aos meus familiares por considerao, pelo apoio e incentivo nos momentos

difceis e por toda torcida durante esse perodo.

Ao Prof. Dr. Joo Carlos Ferreira Costa, pela tranquilidade e pacincia e,

acima de tudo, competncia com que conduziu a orientao deste trabalho. Muito

obrigado por todas as excelentes sugestes e ensinamentos, sem os quais seria

impossvel a concluso deste trabalho.

Coordenao do PROFMAT e a todos os docentes do Departamento de

Matemtica envolvidos neste importante projeto. Sem essa iniciativa provavelmente

eu jamais seria incentivado a voltar aos estudos e me qualificar melhor como

profissional.

Aos colegas de curso, pela amizade, incentivo, exemplo e determinao.

Especialmente ao Michel Mir, pelo companheirismo nos incontveis sbados e

domingos de estudos e preparao para as avaliaes e qualificao. Agradeo

tambm as inmeras correes em meus inmeros erros de clculos.

Ao meu grande amigo Jos Augusto Coelho por todo o incentivo dado para

que eu voltasse aos estudos e por todo o interesse apresentado durante esse

perodo. Agradeo tambm as valiosas sugestes dadas durante o processo de

elaborao dessa dissertao.

A todos, que direta ou indiretamente, fizeram parte deste belssimo momento

de minha vida.

O nico lugar em que o sucesso aparece antes do trabalho no dicionrio. Albert Einstein

RESUMO

Nmeros irracionais e transcendentes intrigam matemticos desde os primrdios do

desenvolvimento matemtico. Demonstrar a irracionalidade ou transcendncia de

um nmero pode ser uma tarefa extremamente complicada e tcnica, mas carrega

consigo uma beleza mpar que fascina muitos matemticos.

No decorrer da histria, a demonstrao da irracionalidade ou transcendncia de

alguns nmeros ajudou, por exemplo, na soluo de importantes problemas

matemticos, alguns deles propostos desde a Grcia antiga.

Mas, apesar de todo o fascnio e importncia dessas classes de nmeros, eles

quase no so abordados durante os Ensinos Fundamental e Mdio. No entanto,

acreditamos que tais classes podem ser, mesmo que superficialmente, tratadas com

os alunos no sentido de despertar neles a curiosidade e o gosto pela matemtica.

Muitos conceitos (como o de infinito, cardinalidade, entre outros) e a prpria histria

podem ser usados neste intuito. Assim, a proposta de nosso trabalho , inicialmente,

mostrar a evoluo dos conjuntos numricos apresentando tambm fatos histricos

relacionados a alguns nmeros ou classes de nmeros. Na segunda parte do

trabalho, aprofundamos nosso estudo sobre nmeros algbricos e transcendentes.

Apresentamos na parte final uma prova da irracionalidade e transcendncia dos

nmeros e e .

Palavras-chave: Nmeros Irracionais. Nmeros Algbricos. Nmeros

Transcendentes.

ABSTRACT

Irrational and transcendental numbers intrigued mathematicians since the

beginning of mathematical development. Proving the irrationality or transcendence of

a number can be a subject very complicated, however this is a task which have been

fascinated many mathematicians.

In this work we present some historical information and properties of irrational,

algebraic and transcendental numbers. The main part of this work are the proofs of

irrationality and transcendence of the numbers e and . We have noticed these two

numbers are known by students in high school, but they are never shown as

transcendental numbers. We believe that it is possible to present the notion of

transcendental and algebraic numbers for the students, at least superficially. For

instance, it is possible to explore the notions of infinite, cardinality, among others and

also the rich history of these kind of numbers.

Key words: Irracional numbers. Algebraic numbers. Transcendental numbers.

SUMRIO

INTRODUO ................................................................................................................11

CAPTULO 1 NUMEROS E CONJUNTOS NUMRICOS...............................................14

1. A ideia de nmero ......................................................................................... 14

2. Conjuntos Numricos .................................................................................... 16

2.1 Nmeros Naturais..................................................................................... 16

2.2 Nmeros Inteiros ..................................................................................... 17

2.3 Nmeros Racionais.................................................................................. 19

2.4 Nmeros Irracionais ................................................................................ 20

2.5 Nmeros Reais......................................................................................... 21

2.6 Nmeros Complexos ............................................................................... 23

2.7 Conjuntos Numricos x Solues de Equaes ...................................... 24

CAPTULO 2 RESULTADOS PRELIMINARES............................................................. 25

CAPTULO 3 NMEROS IRRACIONAIS: UMA ABORDAGEM .................................. 32

1. Fraes Contnuas e Irracionalidade ............................................................. 32

2. Existem Muito Mais Nmeros Irracionais que Racionais ............................... 36

3. O Nmero 2 Irracional .............................................................................. 39 3.1 Usando Fraes Irredutveis .................................................................... 39

3.2 Usando o Princpio Fundamental da Aritmtica ...................................... 40

3.3 Usando Fraes Contnuas ..................................................................... 40

3.4 A Prova Geomtrica ................................................................................. 40

3.5 Usando Boa Ordenao .......................................................................... 42

CAPTULO 4 NMEROS ALGBRICOS E TRANSCENDENTES .............................. 43

1. Os Nmeros de Liouville ....................................................................... 45

2. Um Pouco de Histria ........................................................................... 49

3. Trs Problemas Insolveis ................................................................... 55

3.1 A Duplicao do Cubo .................................................................... 56

3.2 A Trisseco do ngulo .................................................................. 58

3.3 A Quadratura do Crculo ................................................................. 59

CAPTULO 5 IRRACIONALIDADE E TRASNCENDNCIA DOS NMEROS E e....61

1. A Irracionalidade do Nmero e ..............................................................61

2. A Irracionalidade do Nmero ..............................................................62

3. A Transcendncia do Nmero ............................................................65

4. A Transcendncia do Nmero e ............................................................70

CAPTULO 6 ATIVIDADE EM SALA DE AULA.............................................................73

CONCLUSO ................................................................................................................ 79

REFERNCIAS ............................................................................................................. 82

11

INTRODUO

O nmero a alma das coisas (Pitgoras, data desconhecida). A frase

anterior, proferida por um dos mais conhecidos matemticos de todos os tempos,

sintetiza de maneira brilhante uma importante rea do conhecimento matemtico: a

teoria dos nmeros. A matemtica conhecida como a cincia das formas e, claro,

dos nmeros. O desenvolvimento das teorias matemticas sempre esteve atrelado

ao desenvolvimento do conceito de nmero. Assim, no podemos menosprezar a

importncia desse conceito para a matemtica. Mas claro que tambm no se

pode afirmar que a matemtica trata apenas de nmeros, como muitos chegam a

pensar.

importante ressaltar que tal desenvolvimento mencionado ocorreu de forma

extremamente lenta e muitas vezes polmica. Foram milhares de anos para se

desenvolver ideias que muitas vezes so tratadas hoje como triviais, e existe um

grande perigo nisso, principalmente quando se trabalha com educao matemtica.

Muitas vezes podemos achar estranho que um aluno tenha dificuldades em entender

como funcionam as regras de sinais quando operamos com nmeros negativos, ou

ento, o que significa um nmero ser racional ou irracional, mas quando pensamos

dessa forma acabamos nos esquecendo do quo lento foi o desenvolvimento e

tambm a aceitao de determinadas propriedades e classes de nmeros. Devemos

sempre nos perguntar: ser que os grandes matemticos, das mais variadas

pocas, no tiveram dificuldades em aceitar e compreender as operaes com

determinados tipos de nmeros? Ser que no natural que nossos alunos tambm

apresentem algumas dificuldades com isso? Alguns conceitos que levaram milhares

de anos para serem desenvolvidos acabam sendo trabalhados em apenas alguns

meses em sala de aula e esse tempo muitas vezes no suficiente para que o aluno

compreenda alguns detalhes mais abstratos da teoria.

Dessa maneira, este trabalho tem por objetivo trazer algumas informaes

que podem ser de grande utilidade para alunos e tambm para profissionais que

lidam com a educao matemtica em nvel bsico. Tentamos trazer algumas

informaes interessantes a respeito das mais variadas classes numricas com

nfase especial a duas delas, que so pouco abordadas ao longo da educao

bsica: os nmeros irracionais e transcendentes. Nosso objetivo no , de maneira

12

alguma que provas como, por exemplo, da irracionalidade ou transcendncia dos

nmeros e e, sejam ensinadas aos alunos, mas julgamos ser til o conhecimento

dessas duas classes numricas, para fomentar o interesse e a curiosidade dos

alunos, o que pode levar a despertar talentos para a matemtica. Alis, dois dos

mais famosos nmeros que conhecemos, o e o e fazem parte dessas classes e,

no entanto, sabemos muito pouco sobre eles. Veremos aqui que alguns dos mais

famosos problemas da matemtica, como os trs grandes problemas da Grcia

Antiga, podem ser abordados com o intuito de se observar que a impossibilidade de

suas resolues pode ser verificada com o auxlio dos conceitos de nmeros

algbricos e transcendentes. Acreditamos que, conhecer estes problemas e o motivo

pelo qual eles no podem ser resolvidos podem enriquecer substancialmente uma

aula de geometria.

Ainda na geometria, muito se fala a respeito dos nmeros e 2 por exemplo, mas pouco contado a respeito de suas histrias. Este outro ponto

importante que gostaramos de abordar. Uma das partes do trabalho se ocupa da

demonstrao, de vrias maneiras diferentes, da irracionalidade do nmero 2 e algumas delas poderiam ser reproduzidas em sala de aula sem grandes

dificuldades. Saindo da geometria e indo para o estudo das funes, temos, no

estudo dos logaritmos, o importante logaritmo neperiano, ou logaritmo de base e.

Mas o que esse misterioso nmero e o que pode ser dito a respeito dele? Tambm

teremos uma parte do trabalho dedicada definio, histria e aplicaes (baseadas

em problemas da matemtica financeira que um assunto que geralmente cativa

os alunos do Ensino Bsico por suas aplicaes no cotidiano) desse nmero

importante, mas pouco conhecido dos alunos.

No Captulo 1, ser apresentado um breve histrico a respeito do

desenvolvimento da ideia de nmero, alm de informaes sobre os conjuntos

numricos, e algumas das motivaes histricas para que fosse desenvolvido seu

estudo. Neste captulo poderemos observar os principais objetivos dos nmeros em

geral: contagem, medio e resoluo de equaes.

O segundo captulo traz alguns pr-requisitos para a leitura do texto. O

Captulo 3 trabalhar com a ideia de irracionalidade, dando uma abordagem sobre

fraes contnuas. Todos os teoremas, princpios e proposies que sero utilizados

ao longo do trabalho foram compilados nesses dois captulos. Ainda no Captulo 3

13

ser feito um comentrio a respeito da cardinalidade do conjunto dos nmeros

irracionais e ser mostrado que os nmeros irracionais so em nmero muito maior

que os racionais e este fato pode servir de motivao para se estudar esse curioso

conjunto dos nmeros irracionais. O final do captulo ser dedicado s mais variadas

formas de se demonstrar a irracionalidade do nmero 2. As demonstraes da irracionalidade dos nmeros e e sero feitas em um captulo parte.

O quarto captulo trar algumas noes a respeito da transcendncia dos

nmeros reais, demonstrando que tais nmeros existem e apresentando alguns

exemplos de nmeros que so sempre transcendentes (os chamados nmeros de

Liouville). Uma importante parte do captulo ser dedicada aos nmeros e e,

ressaltando um pouco de suas interessantes histrias e mostrando um pouco de

suas aplicaes na geometria (no caso do ) e na matemtica financeira (no caso

do e). O final do captulo ser dedicado demonstrao da impossibilidade de se

resolver os trs problemas da Grcia Antiga, usando rgua e compasso: a

duplicao do cubo, a trisseco do ngulo e a quadratura do crculo. Todas as

demonstraes sero feitas usando-se propriedades de nmeros algbricos e

transcendentes. Apresentar a histria relacionada a estes trs problemas, bem como

dar aos alunos ideias do porqu esses problemas no podem ser resolvidos com

rgua e compasso, pode ser uma boa ferramenta para se trabalhar em sala de aula

com os alunos.

O quinto captulo o mais tcnico e trata das demonstraes da

irracionalidade e transcendncia dos nmeros e e. Tais demonstraes so

extremamente tcnicas e exigem um grau de conhecimento matemtico que vai

muito alm dos conceitos que so trabalhados durante o Ensino Bsico. No

esperamos que os profissionais de Educao Bsica faam essas demonstraes

para seus alunos, mas consideramos importante formalizar as provas de

irracionalidade e transcendncia desses dois nmeros. Este captulo dedicado

queles que tm interesse em aprofundar um pouco mais seus conhecimentos.

Afinal sempre importante dominarmos a fundo um assunto que desejamos lecionar

e, quanto mais conhecemos esse assunto, mais apaixonados ficamos com seu

fascnio.

O ltimo captulo trata de um relato sobre uma atividade em sala de aula.

14

CAPTULO 1

NMEROS E CONJUNTOS NUMRICOS

1. A IDEIA DE NMERO

Segundo Lima ([9] 2006, p.25) os nmeros so um dos dois objetos principais

de que se ocupa a matemtica, o outro o espao, junto com as figuras nele

contidas. A frase anterior nos d uma noo do quo importante a noo de

nmero para o desenvolvimento dos conceitos matemticos. Em primeira instncia

podemos dizer que nmeros so usados na matemtica com dois objetivos

principais: contagens e medidas. Quando trabalhamos com contagens, estamos

usando grandezas que so chamadas discretas e o o resultado um nmero inteiro.

Caso trabalhemos com uma medio, a grandeza chamada contnua e o nmero

chamado de nmero real.

Para entender melhor essas ideias e as diferenas que existem entre os

diferentes tipos de nmeros devemos ter condies de classificar e agrupar os

nmeros de acordo com caractersticas comuns a eles. Este tipo de classificao

pode ser obtido estudando-se os conjuntos numricos.

Deus fez os nmeros naturais, o resto criao do homem. Esta frase,

proferida por Leopold Kronecker, matemtico alemo que viveu entre 1823 e 1891,

tem a capacidade de sintetizar de maneira simples e objetiva a histria da apario

dos conjuntos numricos. Nmeros naturais vieram pela primitiva e simples

necessidade de organizao e contagem. Os outros tipos de nmeros surgiram da

necessidade de se resolver problemas do dia-a-dia. Alguns desses problemas

intrigaram matemticos por centenas ou at mesmo milhares de anos e outros

problemas parecem ainda no ter soluo. Entretanto, engana-se aquele que

imagina que nmeros esto apenas relacionados resoluo de problemas

cotidianos. Muitos nmeros esto associados a problemas algbricos. o caso, por

exemplo, da unidade imaginria i que uma soluo da equao x = -1.

Desde os primrdios do desenvolvimento da humanidade encontramos a noo

de nmero e de suas generalizaes. Muitas vezes o desenvolvimento do conceito

15

de nmero esteve diretamente ligado ao desenvolvimento da prpria humanidade.

Por exemplo, a noo do conceito de nmero permitiu aos homens primitivos

reconhecer que algo muda em um pequeno agrupamento de objetos (por exemplo,

seus animais, seus pertences, etc).

Devemos, entretanto, tomar certo cuidado para no confundir o sentido de

nmero, em sua significao primitiva e em seu papel intuitivo, com a capacidade de

contar. As quantidades esto nossa volta no dia-a-dia, mas a capacidade de

contar exige um fenmeno um pouco mais complexo .

Os estudos a respeito de povos primitivos das mais variadas civilizaes servem

para nos fornecer uma comprovao de que embora os nmeros estejam nossa

volta, a capacidade de contar ou de estabelecer relaes entre quantidades um

processo um pouco mais complexo. Alguns habitantes da selva e alguns indgenas

no possuem palavras numricas alm de um, dois e muitos e ainda assim, existe

uma grande dificuldade nesse caso de se estabelecer uma contagem com valores

maiores que dois. Podemos observar alguns resqucios dessa limitao com relao

contagem na prpria estrutura de muitas lnguas [2]. Por exemplo, a palavra

inglesa thrice ou a palavra latina ter, possuem dois sentidos, um deles significa trs

vezes e outro significa muitos. Outro exemplo que podemos citar uma evidente

conexo entre as palavras latinas tres (trs) e trans (mais alm); ou ento as

palavras francesas trois (trs) e trs (muito) .

Esses so alguns exemplos que procuram mostrar o quo lento foi o processo de

desenvolvimento do conceito de nmero e de suas aplicaes iniciais em processos

de contagem. Todavia, por meio de diversas circunstncias ao longo de nossa

histria, o homem aprendeu a completar aquela percepo limitada de nmero com

um artifcio que estava destinado a exercer influncia extraordinria em sua vida

futura. Esse artifcio a operao de contar, e a ele que devemos o progresso da

humanidade .

Como j fora mencionado, no devemos confundir o conceito de nmero com o

processo de contagem. Podemos ter nmeros sem contagem e contagem sem

nmeros. Por exemplo, se uma pessoa entra em uma sala de aula podemos

identificar dois conjuntos, o das carteiras que esto na sala e dos alunos que

16

assistiro a uma determinada aula. Sem efetuar nenhum tipo de contagem podemos

dizer com certeza se estes dois conjuntos possuem ou no a mesma quantidade de

elementos e, se possurem quantidades diferentes de elementos, podemos tambm

determinar facilmente qual dos conjuntos possui maior quantidade. Se todas as

carteiras estiverem ocupadas e no houver alunos em p, o nmero de carteiras e

alunos igual; se houverem carteiras vazias sem alunos em p, existem mais

carteiras que alunos e, finalmente, se todas as carteiras estiverem ocupadas e

existirem alunos em p, existem mais alunos que carteiras. Este procedimento

possvel graas correspondncia biunvoca, a qual faz corresponder a cada

elemento do primeiro conjunto um nico elemento do segundo. Uma prova deste tipo

de procedimento est na origem da palavra clculo. Tal palavra se origina da palavra

latina calculus, que significa pedra. A pedra era o objeto usado para se estabelecer

essa correspondncia biunvoca entre quantidades para saber se eram iguais ou

qual delas era maior.

Pode parecer, primeira vista, que o processo de correspondncia biunvoca

fornece apenas um meio de relacionar, por comparao, dois conjuntos distintos,

isto , dizer se os conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos ou qual

deles possui a maior quantidade de elementos, sedo incapaz de criar o nmero no

sentido absoluto da palavra. Contudo, a transio do relativo ao absoluto no

difcil. O processo utilizado foi a criao de conjuntos modelos, tomados do mundo

que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possvel. A

avaliao de um dado conjunto fica reduzida seleo, entre os conjuntos modelos,

daquele que possa ser posto em correspondncia biunvoca com o conjunto dado.

2. CONJUNTOS NUMRICOS

2.1 NMEROS NATURAIS

Como j foi mencionado anteriormente, os nmeros naturais vieram pela

primitiva e simples necessidade de organizao e de contagem. Conforme a

humanidade evolua, as necessidades tambm evoluam, j que os sistemas sociais

tornavam-se cada vez mais complexos. Mas, com o progresso, tambm foi possvel

disponibilizar mais tempo para reflexes mais elaboradas. Isso ajudou a descrever o

17

conjunto dos nmeros naturais de forma concisa e precisa. Para isso vamos nos

valer dos axiomas de Peano, matemtico italiano dos sculos XIX e XX.

Denotaremos por N o conjunto cujos elementos so chamados de nmeros

naturais. A essncia da caracterizao de N reside na palavra sucessor.

Intuitivamente, quando n e n so nmeros naturais, dizer que n o sucessor de n

significa que n vem logo depois de n. Em outras palavras, no existem outros

nmeros naturais entre n e n.

Abaixo esto os axiomas de Peano, que so a base do estudo dos nmeros

naturais.

a) Todo nmero natural tem um nico sucessor.

b) Nmeros naturais diferentes possuem sucessores diferentes.

c) Existe um nico nmero natural, chamado um e representado pelo smbolo 1,

que no sucessor de nenhum nmero natural.

d) Se m e n so nmeros naturais tais que o sucessor de m igual ao sucessor

de n temos que m = n.

e) Seja X um subconjunto de N. Se 1 e se, alm disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, ento X = N.

Podemos observar que o conjunto N uma sequncia de objetos abstratos, que

de maneira inicial parecem vazios de significado. No entanto, com esses axiomas

podemos utilizar smbolos para descrever o sucessor de 1 (denotado por 2); o

sucessor do sucessor de 1 (denotado por 3), e assim por diante. Em linguagem

moderna, representamos o conjunto N dos nmeros naturais por:

N = {1,2,3,...}

Observao: H uma razo histrica aqui para no iniciarmos o conjunto N

com o nmero zero, como fazem muitos textos matemticos.

2.2 NMEROS INTEIROS

Os nmeros naturais sempre estiveram nossa volta e sua aceitao sempre

ocorreu de maneira rpida, tanto pelos matemticos, quanto pela populao em

18

geral. Isso ocorre porque esses nmeros so bastante intuitivos. Entretanto, o

mesmo no pode ser dito com relao aos nmeros inteiros. A aceitao de

nmeros negativos ocorreu de forma muito lenta, mesmo entre os matemticos.

Acredita-se que a primeira apario dos nmeros negativos na histria da

matemtica tenha ocorrido na China Antiga, aproximadamente h 4000 anos. Os

chineses efetuavam seus clculos de uma maneira bem peculiar. Usavam dois

conjuntos de barras, uma vermelha e a outra preta. O conjunto de barras vermelhas

representava os nmeros negativos e o de barras pretas os positivos. . Tambm os matemticos indianos se depararam com

nmeros negativos, mas nesse caso tais nmeros apareceram quando eles

tentavam estabelecer um algoritmo para a resoluo de equaes quadrticas

. Muitos matemticos apresentaram grande

resistncia quando se deparavam com nmeros negativos. Era o caso de Diofanto

de Alexandria, matemtico grego do sculo III a.C. Diofanto operava de maneira

magistral com nmeros, mas quando se deparava com solues negativas em seus

problemas, as classificava como absurdas.

Toda essa resistncia fez com que os nmeros negativos levassem milhares

de anos para serem reconhecidos como nmeros, tendo aceitas suas operaes e

propriedades.

Com o Renascimento veio a expanso comercial e a circulao de dinheiro

aumentou, obrigando os comerciantes a utilizar smbolos para expressar situaes

de lucro e prejuzo, ou seja, precisavam representar nmeros positivos e negativos.

Dessa maneira os matemticos da poca desenvolveram tcnicas operatrias para

problemas que envolvessem nmeros negativos e positivos. Surgia ento um novo

conjunto numrico, representado pela letra Z (inicial da palavra Zahlen, que significa

nmero em alemo), sendo formado pelos nmeros positivos e seus opostos,

podendo ser escrito da seguinte forma:

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Tal conjunto recebeu o nome de conjunto dos nmeros inteiros.

19

2.3 NMEROS RACIONAS

Nmeros naturais surgiram da necessidade de contagem, nmeros inteiros da

necessidade de se operar com valores que eram negativos. J os nmeros racionais

esto associados a problemas de medidas.

Considere um segmento de reta AB que desejamos conhecer a medida. Para

que essa medida possa ser efetuada, devemos tomar um segmento padro que ser

denominado de segmento unitrio ou unidade de medida e o denotaremos por u. Por

definio devemos ter que a medida do segmento u sempre igual a 1. Tambm

estipularemos que segmentos congruentes tenham a mesma medida e que, se n 1

pontos interiores decompuserem AB em n segmentos justapostos, ento a medida

de AB ser igual soma das medidas desses segmentos. No caso em que esses n

segmentos so congruentes ao segmento unitrio, podemos dizer que o segmento

unitrio cabe n vezes no segmento AB e a medida de AB, que ser representada por

m(AB) ser igual a n.1 (j que 1 a medida do segmento unitrio), ou seja, m(AB) =

n.

Uma situao que pode ocorrer a de o segmento u no caber um nmero

inteiro de vezes em AB. Nesse caso, a medida de AB no ser um nmero inteiro,

ou mais precisamente, um nmero natural. Para resolver este problema

necessrio utilizar um raciocnio um pouco mais elaborado.

Vamos agora tomar um segmento de reta t, que caiba n vezes no segmento

unitrio e m vezes em AB. Observe que a medida de t ser uma frao igual a 1/n

da medida de de u e, alm disso, sua medida ser m vezes 1/n, ou seja, a medida

de t ser igual a m/n. Surgem ento os nmeros racionais, que so os nmeros que

podem ser escritos na forma m/n, com m e n inteiros e n no nulo.

Na Grcia antiga, os nmeros da forma m/n no eram tratados como

nmeros, pois os gregos tinham dificuldades em admitir nmeros que no

pertencessem ao conjunto {2,3,4,5,...} (observe que nem mesmo o nmero 1 era

considerado como nmero, pois para os gregos ele era usado para representar um

segmento unitrio que era tomado como referncia em uma medida). Esses valores

eram tratados como uma razo entre as medidas de dois segmentos, e no como

nmeros propriamente ditos, mas o importante no era o nome que era dado aos

objetos que tinham a forma m/n, com m e n inteiros e n no nulo; o importante era

20

saber raciocinar com esses objetos e aplicar esses conceitos na resoluo de

problemas.

Alm de problemas de cunho geomtrico, os nmeros racionais esto

tambm ligados a problemas algbricos, como a soluo de equaes. medida

que temos uma evoluo das equaes algbricas, torna-se cada vez mais

importante saber em que conjuntos tais equaes fazem sentido ou possam ser

resolvidas. Isso ser visto na subseo 2.7.

O conjunto dos nmeros racionais denotado pela letra Q (do ingls quotient)

e definido da seguinte forma:

=

; , , 0.

2.4 NMEROS IRRACIONAIS

Assim como os nmeros racionais, os irracionais tambm esto relacionados

a problemas que envolvem medidas. Durante muito tempo se pensou que quaisquer

dois segmentos eram sempre comensurveis, isto , a razo entre suas medidas

sempre resultaria em uma frao com numerador e denominador inteiros. Ou seja, a

noo de comensurabilidades est relacionada ao conjunto Q. Esta crena pode ter

se originado da aritmtica, onde dois nmeros naturais sempre tm um divisor em

comum (o nmero 1). Entretanto, com segmentos de reta esses conceitos mudam

um pouco.

Essa crena de que dois segmentos de reta sempre fossem comensurveis

durou at cerca de quatro sculos antes de Cristo. Nessa poca, um dos discpulos

de Pitgoras fez uma observao que abalou toda a estrutura da matemtica grega.

Esse discpulo descobriu que as medidas do lado e da diagonal de um quadrado no

so segmentos comensurveis. Em linguagem moderna, tomando um quadrado de

lado unitrio, temos que sua medida ser igual a 2 e o nmero 2 no pode ser escrito na forma m/n, com m e n naturais (a prova deste fato ser apresentada

posteriormente). Observando-se a existncia de segmentos incomensurveis, pode-

se chegar concluso que os nmeros naturais mais as fraes obtidas a partir de

nmeros naturais (ou seja os nmeros racionais positivos) eram insuficientes para

medir todos os segmentos de reta.

21

A soluo encontrada e que, com certa relutncia foi finalmente adotada, foi a

de ampliar o conceito de nmero, e nesse momento foram introduzidos os

chamados nmeros irracionais. Com isso, fixando uma unidade de comprimento

arbitrria, qualquer que fosse o segmento de reta que tivssemos, poderamos

atribuir ao segmento uma medida numrica. No caso em que a medida do segmento

comensurvel com a unidade escolhida, sua medida um nmero racional (que

poder ser natural ou fracionrio) e no caso do comprimento do segmento ser

incomensurvel com a unidade estabelecida, sua medida um nmero irracional.

Nmeros irracionais tambm podem estar relacionados a problemas

algbricos, assim como os racionais, conforme veremos na subseo 2.7. Existem

muitos nmeros irracionais que possuem significativa importncia para a

matemtica. Ao longo deste trabalho citaremos alguns deles, contando um pouco de

suas histrias e aplicaes.

Geralmente denotaremos o conjunto dos nmeros irracionais por R Q.

2.5 NMEROS REAIS

Com o objetivo de ter uma ideia mais clara a respeito dos novos nmeros que

haviam surgido (os nmeros irracionais) e, principalmente, para situar esses

nmeros em relao aos racionais, podemos imaginar uma reta, na qual foi fixada

um ponto O, que ser chamado de origem, e um ponto arbitrrio X, direita de O e

diferente de O. Vamos tomar o segmento OX como o segmento unitrio, ou seja,

como unidade de comprimento. A reta OX receber o nome de reta real (Figura 1).

(Figura 1)

A origem O divide a reta real em duas semirretas: a que contm o ponto X a

semirreta chamada positiva, e a outra semirreta a negativa.

Considere agora um ponto P na reta real. Se o segmento OX couber um

nmero inteiro de vezes em OP diremos que a abscissa de P um nmero natural,

se P estiver direita de O, ou um nmero inteiro negativo caso P esteja esquerda

de O.

22

De maneira mais geral, se um ponto P pertencente reta real for tal que, o

segmento OP comensurvel com o segmento OX, diremos que a abscissa de P

representa um nmero racional, podendo ser positivo ou negativo conforme P esteja

direita ou esquerda do ponto O.

Por ltimo, se o ponto P for tal que o segmento OP incomensurvel com

OX, diremos que p a abscissa de P. O nmero p ser considerado positivo se P

estiver direita de O e considerado negativo se P estiver esquerda de O.

Observe que dado um ponto P sobre a reta real s existem duas

possibilidades para o segmento OP (ser comensurvel ou incomensurvel com o

segmento OX). Assim temos que todas as medidas possveis de segmentos so

dados por nmeros reais, o qual ser representado por R, como o conjunto cujos

elementos so nmeros racionais ou irracionais. Isto ,

= ( ). Existe uma correspondncia biunvoca entre a reta OX e o conjunto dos

nmeros reais. Em outras palavras, cada ponto da reta real est associado a um

nmero real e cada nmero real possui uma posio especfica na reta real. Dessa

maneira, o conjunto dos nmeros reais pode ser visto como o modelo aritmtico de

uma reta e a reta, pode ser vista como o modelo geomtrico dos nmeros reais.

Essa representao dos nmeros reais como abscissas de pontos de uma reta foi

de fundamental importncia para grandes avanos ocorridos na matemtica.

Podemos agora avanar no estudo dos nmeros reais e observar que, alm

de serem divididos em racionais e irracionais, os nmeros reais podem ser dados

pela unio de dois outros tipos de conjuntos: o conjunto dos nmeros algbricos e o

conjunto dos nmeros transcendentes. O estudo deste ltimo conjunto uma das

partes principais que se ocupar o presente trabalho.

Observao: Existe uma maneira formal de construir os nmeros reais por

meio dos cortes de Dedekind ou sequncias de Cauchy. Mais informaes a esse

respeito podem ser encontradas em [7], por exemplo.

23

2.6 NMEROS COMPLEXOS

De todos os conjuntos numricos, o conjunto dos nmeros complexos com

certeza, aquele que possui a denominao mais infeliz. Tal denominao

herdada de pocas em que a abstrao matemtica exigida para compreenso

desses nmeros era considerada muito elevada. Atualmente sabemos que o prprio

conceito de nmero real envolve uma elevada abstrao.

Os nmeros complexos, diferentemente dos demais nmeros, no esto

associados a processos de contagem ou medidas de segmentos, reas, volumes.

Tais nmeros esto relacionados com problemas algbricos, principalmente a

resoluo de equaes polinomiais. Um dos resultados mais importantes

relacionado aos nmeros complexos o Teorema Fundamental da lgebra,

demonstrado por Carl Friedrich Gauss, em 1799, o qual afirma que toda equao

polinomial tem soluo no conjunto dos nmeros complexos. Esse teorema teve

importantes conseqncias para a matemtica, a partir do sculo XIX. Alm disso,

os nmeros complexos ampliaram a noo que temos a respeito de nmeros, que

eram enxergados como pontos de uma reta e passaram a ser vistos como

coordenadas de vetores num plano ou identificados com pontos do plano cartesiano.

Sabemos que, em R, a equao x + 1 = 0 no admite soluo. Dessa

maneira, somos forados a definir um nmero n satisfazendo n = -1, que resolva a

equao.

Temos duas opes para definir tal nmero. Podemos postular a sua existncia ou

ento usamos um pouco de lgebra linear elementar e samos em busca de um ente

de natureza geomtrica que seja a soluo do nosso problema. Optaremos pela

segunda forma. Vamos olhar a equao x + 1 = 0 da seguinte forma: X + I = 0, ou

X.X = -I, onde X uma matriz quadrada de ordem 2 com coeficientes reais, I a

matriz identidade de ordem 2 e . a operao de multiplicao de matrizes. Sendo

X uma matriz quadrada de ordem 2, vamos definir =

. Assim nosso

problema se resume a resolver a equao

.

= 1 00 1.

.

= 1 00 1 + + + + = 1 00 1

Usando igualdade de matrizes chegamos ao seguinte sistema de equaes:

24

+ = 1 + = 0 + = 0

+ = 1 (1.1) Resolvendo o sistema (1.1) encontramos a soluo a = 0, b = -1, c = 1 e d = 0. A

soluo = 0 11 0 geometricamente representa a rotao de um ngulo igual a 2 radianos no plano R, no sentido anti-horrio.

A partir desta motivao definimos o conjunto dos nmeros complexos da

seguinte forma:

= { + ; , } onde a constante imaginria tal que = 1.

2.7 CONJUNTOS NUMRICOS X SOLUES DE EQUAES

A evoluo dos conjuntos numricos tambm pode ser pensada em termos

da resoluo de problemas que envolvem solues para equaes algbricas.

Por exemplo, para resolver a equao x 4 = 3 fcil ver que sua soluo

um nmero natural. J no caso da equao x + 4 = 3 no temos uma soluo

natural, apenas uma soluo inteira. Pensando agora na equao 2x + 3 = 4 no

encontramos uma soluo natural e nem uma soluo inteira. Sua soluo um

nmero racional. Vamos agora considerar as equaes x - 2 = 0 e x + 1 = 0. Para a

primeira equao temos que sua soluo no pode ser representada por um nmero

racional, apenas irracional e a ltima no apresenta nenhuma soluo real, apenas

complexa.

Podemos assim estabelecer uma relao entre o conceito de nmero e a

resoluo de equaes algbricas. Conforme as equaes exigiam solues mais

sofisticadas, os conjuntos numricos evoluam e iam se adaptando a essas

necessidades. Nosso objetivo nesse trabalho ser estudar duas classes especiais

de nmeros reais, que so pouco abordados durante o Ensino Bsico, que esto

relacionados a problemas geomtricos e tambm solues de equaes

algbricas: os nmeros irracionais e os nmeros transcendentes.

25

CAPTULO 2

RESULTADOS PRELIMINARES

Neste captulo apresentaremos alguns resultados que sero de fundamental

importncia para algumas demonstraes feitas ao longo deste trabalho.

Princpio da Boa Ordenao (PBO): Todo subconjunto no vazio S, dos nmeros naturais, possui um elemento mnimo, isto , existe 0 , tal que 0 , para todo . Demonstrao: Sem perda de generalidade, vamos supor que 1 S j que caso isso ocorresse, 1 seria o menor elemento de S. Dessa maneira, o menor elemento

de S, cuja existncia desejamos provar, ser da forma + 1. Devemos ento encontrar um nmero natural tal que + 1 S e, alm disso, todos os elementos de S devem ser maiores que , e assim maiores que 1,2,3, , . Ou seja, procuramos um nmero natural tal que In = {1,2,3, , n} N S e + 1 . Com esse objetivo vamos considerar o conjunto = { ; In N S}.

Dessa forma, X o conjunto dos nmeros naturais tais que todos os

elementos de X so maiores que . Estamos supondo que 1 S e com isso temos que 1 X. Em contrapartida, como S um conjunto no vazio, nem todos os nmeros naturais pertencem a X, ou seja, X N. Dessa forma deve existir algum X tal que + 1 X . Em outras palavras, todos os elementos de S so maiores que n, mas nem todos os elementos de S so maiores que + 1. Como no existem nmeros naturais entre e + 1, conclumos que + 1 e o menor elemento de S.

importante ressaltar que o Princpio da Boa Ordenao vlido

exclusivamente para nmeros naturais. Alm disso, vrios resultados podem ser

obtidos a partir desse princpio. Por exemplo, uma das formas de se mostrar a

irracionalidade de 2 se baseia no PBO, como veremos.

26

Princpio de Induo Finita (PIF): Seja P(n) uma propriedade relativa ao nmero natural n. Vamos supor que:

i) P(1) verdadeira.

ii) Para todo natural n, a validez de P(n) implica a validez de P(n+1).

Ento P(n) vlida, qualquer que seja o nmero natural n.

O PIF decore dos axiomas de Peano e serve para mostrarmos propriedades

que valem para todos os nmeros naturais, sem ter que testar a propriedade para

cada nmero natural, o que seria impossvel.

Exemplo 2.1: Vamos usar o princpio de Induo Finita para mostrar que a soma

dos quadrados dos nmeros naturais dada por: 1 + 2 + 3 + + = ( + 1)(2 + 1)6 1) De fato, primeiramente observe que a frmula vale para n = 1 pois: 1 = 1(1 + 1)(2.1 + 1)6 = 1 2) Suponha que a propriedade vale para certo nmero natural k, ou seja: 1 + 2 + 3 + + = ( + 1)(2 + 1)6 3) Vamos mostrar que a propriedade vale para = + 1. De fato: 12 + 22 + 32 + + 2 + ( + 1)2 = ( + 1)(2 + 1)6 + ( + 1)2= ( + 1)(2 + 1) + 6( + 1)6 = ( + 1). [(2 + 1) + 6 + 6]6= ( + 1). (22 + 7 + 6)6 = ( + 1). ( + 2). (2 + 3)6 Assim a propriedade vlida para = + 1. Por 1), 2) e 3) segue, do PIF, que a propriedade vlida para todos os

nmeros naturais.

Forma Alternativa do Princpio de Induo Finita: Seja P uma propriedade referente a nmeros naturais cumprindo as seguintes condies

1) O nmero natural x satisfaz a propriedade P;

27

2) Se um nmero natural n satisfaz a propriedade P ento seu sucessor n + 1

tambm satisfaz a propriedade P.

Ento todos os nmeros naturais maiores ou iguais a x satisfazem a propriedade

P.

Principio Fundamental da Teoria dos Nmeros: Dado , no existe tal

que < < + 1. Demonstrao: Vamos usar o PBO para mostrar esse resultado.

Primeiramente observe que como < < + 1, podemos escrever 0 < < 1. Dessa maneira, nosso objetivo mostrar que no existe um nmero natural

entre 0 e 1 (observe que, como < , temos que inteiro e positivo). Vamos supor o contrrio, ou seja, que existe um nmero natural entre 0 e 1.

Defina o conjunto = { ; 0 < < 1}. Como, por hiptese, existe um nmero natural entre 0 e 1, temos que no vazio. Dessa forma, pelo PBO, existe um

nmero 0 o qual mnimo. Com isso 0 < 0 < 1. Agora multiplicando essa desigualdade por 0 obtemos 0 < 02 < 0 < 1 (observe que como 0 < n0 < 1 temos 02 < 0) e dessa maneira 02 , mas isso contraria a minimalidade de 0. Dessa maneira no existe um nmero natural entre 0 e 1.

Teorema Fundamental da Aritmtica (TFA) Todo nmero natural maior que 1 pode ser escrito como produto de potncias de nmeros primos e, alm disso, essa

decomposio nica, a menos de uma reordenao.

Demonstrao: Usaremos a forma alternativa do PIF para fazer a demonstrao do

TFA.

Observe que se n = 2 temos que o nmero j est escrito na forma de

potncia de nmeros primos, j que 2 = 2.

Agora suponha que tal resultado vlido para todo nmero natural menor que

e vamos provar que o resultado vale para . No caso de o nmero n ser primo,

nada temos a demonstrar. Vamos ento supor que n seja composto. Dessa maneira,

existem nmero naturais 1 e 2 tais que = 12, com 1 < 1 < e 1 < 2 < . De acordo com a hiptese de induo, temos que existem nmeros primos p1, p2,..., pr,

q1, q2,..., qs e nmeros naturais 1, 2,..., r e 1, 2,..., s tais que n1 = p11 p22 prr e

28

n2 = q11 q22 qss . Com isso temos que = 11 22 11 22 , mostrando assim que n pode ser escrito como produto de potncias de nmeros primos.

Agora vamos mostrar a unicidade. Suponha que possamos escrever em

duas representaes do tipo = 11 22 = 11 22 onde os pi e os qj so nmeros primos, , so nmeros naturais, = 1,2, . . . , = 1,2, . . . , . Logo 1|q11 q22 qss . Da temos que 1 = para algum j. Como o produto no depende da ordem, podemos reordenar os fatores 1, 2, , . e supor que seja 1. Da segue tambm que 1 = 1, pois estamos em duas decomposies em nmeros primos.

Procedendo de maneira anloga para 22 = 22 conclumos tambm que = e = , = 2, , .

Como 22 = 22 < , a hiptese de induo acarreta que = e o resultado segue.

Os teoremas a seguir envolvem nmeros reais e complexos e so dados em

cursos universitrios de Clculo e Funes de Varivel Complexa.

Teorema de Rolle Seja : [, ] contnua tal que: i) diferencivel no intervalo aberto (a,b);

ii) () = () = . Ento existe um nmero c, no intervalo (a,b) tal que () = 0 (aqui ()

representa a derivada da funo avaliada em c).

Teorema do Valor Mdio Seja : [, ] contnua tal que diferencivel no intervalo (a,b). Ento existe um nmero c, no intervalo aberto (a,b) tal que

() = () ()

.

As demonstraes desses dois teoremas podem ser encontradas em [8].

No Captulo 5, para a demonstrao da transcendncia do nmero , ser

necessrio algum conhecimento a respeito de variveis complexas. Abaixo

apresentamos esses conceitos e, para no tornar o texto excessivamente longo

29

partiremos do pressuposto de que as propriedades elementares a respeito de

nmeros complexos so conhecidas.

Uma funo : tem derivada no ponto 0 se o limite abaixo existe: (0) = lim

0 () (0) 0 (0) chamada de derivada de em 0.

Definio 2.1: Se uma funo tiver derivada em todos os pontos de ento

dizemos que analtica em .

Alm disso, se () = (, ) + (, ) onde (, ) e (, ) so as partes real e imaginria de () e analtica em C ento vale que () = (, ) + (, ), (1) onde e representam a derivada com relao varivel x.

possvel mostrar tambm que

() = + . (2) Identificando (1) e (2) temos as chamadas equaes de Cauchy-Riemann.

No Clculo real de uma varivel, temos o famoso Teorema do Valor Mdio,

como j vimos. No entanto, para : analtica conseguimos apenas uma desigualdade do valor mdio como no teorema a seguir.

Teorema 2.1 Seja : uma funo analtica em e sejam 1 e 2 nmeros complexos quaisquer. Ento: |(2) (1)| 2|2 1| {| (1 + 2)|} 0 1. Aqui |z| representa o mdulo do nmero complexo = + , ou seja, || = + e sup o supremo.

Uma demonstrao desse teorema pode ser encontrada em [21].

No estudo dos nmeros algbricos e transcendentes necessitamos trabalhar

com polinmios. O Teorema Fundamental da lgebra nos diz que todo polinmio

admite razes complexas.

30

Teorema 2.2 (Teorema Fundamental da lgebra) Todo polinmio p(z) em , de

grau maior ou igual a 1, tem uma raiz em .

Podemos encontrar a demonstrao desse teorema em [21].

Na demonstrao da transcendncia do nmero ser usada a ideia de

relaes entre os coeficientes e as razes de um polinmio, que sero definidos e

exemplificados a seguir.

Definio 2.2 Se 1, 2, , so as razes de um polinmio (), ento esse polinmio da forma

() = ( 1)( 2) ( ) (2.1) (podemos supor sem perda de generalidade que o coeficiente lder de () 1). Se desenvolvermos o produto indicado em (2.1) obtemos: () = 11 + 22 33 + + (1) (2.2) onde

1 = =1 (2.3.1) 2 =

31

Definio 2.3 Um polinmio (1, , ) e dito simtrico quando podemos permutar as variveis 1, , entre si, sem que isso altere a sua expresso.

Exemplo 2.3 Um polinmio , nas variveis e dito simtrico quando (, ) =(, )

Teorema 2.3 Seja (1, , ) um polinmio simtrico de grau com coeficientes em . Ento, existe um polinmio (1, , ) de grau menor ou igual a , com coeficientes em , onde

1 = =1

2 =

32

CAPTULO 3

NMEROS IRRACIONAIS: UMA ABORDAGEM

1. FRAES CONTNUAS E IRRACIONALIDADE

Seja = 01 um nmero racional irredutvel, ou seja, (0, 1) = 1 e

suponha que 1 > 0. Utilizando o algoritmo da diviso de Euclides podemos obter as seguintes equaes:

0 = 10 + 2, 0 < 2 < 1 1 = 21 + 3, 0 < 3 < 2 2 = 32 + 4, 0 < 4 < 3

.

.

.

1 = 1 + +1, 0 < +1 < (3.1) Escrevendo = +1 para 0 , ento das equaes acima tiramos

= + 1+1 0 1 = aj (3.2) Quando i = 0 e i = 1, temos 0 = 0 + 11 e 1 = 1 + 12. Substituindo 0 = 0 + 11 temos:

0 = 0 + 11 + 12

Se continuarmos esse processo chegamos a:

0 = 01 = 0 + 11 + 1 + 1

Essa a expresso, em frao contnua de = 01. Assumimos, no incio, que

tem denominador positivo, mas essa suposio no pode ser feita sobre 0 e portanto 0 pode ser positivo, negativo ou zero. Entretanto, sendo 0 < 2 < 1 0

33

3 < 2 podemos observar que 0 < 3 < 1 e como 1 = 132 podemos dizer que 1 positivo bem como os outros termos 2, 3, .

De maneira geral, para quaisquer 0, 1, , onde 1, , so nmeros positivos e 0 pode ser positivo, negativo ou nulo, denotaremos:

0; 1, , = 0 + 11 + 1 + 1

Essa frao contnua ser chamada simples caso todos os sejam inteiros e

chamada finita se tiver uma quantidade limitada de termos.

Temos ainda a seguinte relao:

0; 1, , = 0 + 11;2,, . (3.3)

Exemplos 3.1: i) 3411 = 3 + 111 = 3; 11. ii) 635 = 12; 1,1,2.

A seguir apresentamos um importante teorema que relaciona os nmeros

racionais com as fraes contnuas:

Teorema 3.1 Qualquer frao contnua simples e finita representa um nmero racional. Reciprocamente, qualquer nmero racional pode ser expresso como uma

frao contnua simples e finita.

Demonstrao: Podemos provar a condio necessria usando induo finita sobre

a quantidade de termos que forma a frao contnua 0; 1, , onde . De fato, para o caso em que j = 0, temos 0 = 0 . Vamos supor agora que o resultado seja vlido para uma frao contnua com k termos em sua representao

decimal. Queremos provar que o resultado vlido para + 1 termos em sua representao.

De acordo com a igualdade (3.3) podemos garantir que 0; 1, , um nmero racional. Para isto basta observar que 0 um nmero inteiro e 1; 2, , um nmero racional. Assim o nmero 0 + 11;2,, = 0; 1, 2, , racional.

34

Para a demonstrao da recproca basta usar a construo das fraes

contnuas que foi feita no incio desta Seo. Vamos definir agora o que uma frao contnua simples e infinita.

Definio 3.1 A sequncia infinita de inteiros 0, 1, 2, , onde 1, 2, so nmeros positivos e 0 pode ser positivo, negativo ou nulo, determinam uma frao contnua simples e infinita 0; 1, 2, . O valor de 0; 1, 2, definido como lim

0; 1, 2, , .

A seguir apresentamos alguns resultados envolvendo fraes contnuas que

sero usados para demonstrar que toda frao contnua simples e infinita representa

um nmero irracional. A demonstrao desses fatos foi omitida, pois foge ao objetivo

deste trabalho. Uma referncia para estes resultados [13].

Dados 0, 1, uma sequncia infinita de inteiros, todos positivos, exceto possivelmente 0, definimos duas sequncias de inteiros e recursivamente do seguinte modo:

2 = 0, 1 = 1, = 1 + 2, 0; 2 = 1, 1 = 0, = 1 + 2, 0.

Proposio 3.1 Para qualquer nmero real , > 0 vale que: 0, 1, , 1, = 1 + 21 + 2.

Proposio 3.2 Se = 0; 1, 2, , para todo 0, ento = .

Proposio 3.3 As equaes

1 1 = (1)1 1 = (1)1 1 so vlidas para 1 e as identidades

2 2 = (1) 2 = (1)2

35

so vlidas para 2. Teorema 3.2 A sequncia definida na Proposio 3.2 satisfaz

0 < 2 < 4 < 6 < < 7 < 5 < 3 < 1.

O teorema a seguir relaciona fraes contnuas simples e infinitas e os

nmeros irracionais.

Teorema 3.3 O valor de qualquer frao contnua simples e infinita um nmero irracional.

Demonstrao: Seja = 0; 1, 2, . De acordo com a Definio 3.1 temos que: = lim

0; 1, 2, , .

Contudo, de acordo com o Teorema 3.2, < < +1. Assim 0 < | | < |+1 |. De acordo com a identidade 1 = (1)11 podemos escrever +1 = (1)

+1. E assim temos 0 < | | < 1 +1. Multiplicando a identidade acima por , obtemos, 0 < | | < 1+1 0 < | | < 1+1. Vamos supor agora que seja um nmero racional, ou seja, =

, com

, > 0. Ento, 0 < < 1+1. Multiplicando a identidade acima por b, obtemos, 0 < | | < +1. Como +1 quando , temos que existe um 0 natural e

suficientemente grande tal que < 0+1 e assim 0 < | | < 1. Entretanto, isso uma contradio, j que 0 0 um nmero inteiro.

Portanto, um nmero irracional.

36

2. EXISTEM MUITO MAIS NMEROS IRRACIONAIS QUE RACIONAIS

J vimos que podemos representar os nmeros reais por meio da reta real.

Nessa reta os inteiros so marcados facilmente usando-se a unidade como

referncia e marcando os nmeros como mltiplos dessa unidade. Os nmeros

racionais podem ser obtidos por meio de subdivises adequadas do segmento

unitrio. Imaginando os nmeros racionais sobre a reta podemos observar que

possvel obter racionais to perto um do outro quanto se queira. Para isto basta

tomar subdivises cada vez menores da unidade. Em outras palavras, podemos

dizer o conjunto dos nmeros racionais um conjunto denso espalhado por toda a

reta. Uma anlise menos cuidadosa nos levaria a acreditar que os nmeros

racionais teriam a capacidade de preencher toda a reta. Mas isto seria um absurdo

visto que j sabemos da existncia de nmeros irracionais. A questo que queremos

abordar no momento : existem mais nmeros racionais ou irracionais na reta?

George Cantor, matemtico russo dos sculos XIX e XX fez uma importante

descoberta a respeito da distribuio dos nmeros irracionais ao longo da reta real.

Cantor foi o primeiro matemtico a conseguir provar que existem conjuntos

infinitos com cardinais diferentes. De fato, Cantor mostrou que o conjunto dos

nmeros naturais e o dos reais eram ambos infinitos, mas possuam cardinais

diferentes.

Aqui necessitamos introduzir a noo de enumerabilidade.

Definio 3.2 Um conjunto A dito enumervel se seus elementos puderem ser

colocado em correspondncia biunvoca com os nmeros naturais. Mais

precisamente, A enumervel se existir uma funo bijetiva : .

Exemplos 1) O conjunto dos nmeros naturais enumervel.

2) O conjunto dos nmeros inteiros enumervel.

O teorema a seguir descreve algumas propriedades de conjuntos

enumerveis:

37

Teorema 3.4 i) A unio de um conjunto finito com um conjunto enumervel enumervel.

ii) A unio de dois conjuntos enumerveis enumervel.

iii) A unio de um conjunto finito de conjuntos enumerveis enumervel.

iv) A unio de um conjunto enumervel de conjuntos finitos enumervel.

v) A unio de um conjunto enumervel de conjuntos enumerveis enumervel.

Essas demonstraes podem ser encontradas em [5].

Observaes: 1) Se A enumervel e um conjunto infinito, ento

tambm enumervel.

2) fcil ver que e so enumerveis. O conjunto tambm

enumervel. Isso foi provado por Cantor.

Teorema 3.5 O conjunto R dos nmeros reais no enumervel.

Demonstrao: Vamos mostrar que o subconjunto [0,1) dos nmeros reais no enumervel. Em virtude da observao acima teremos que R ser no enumervel.

Dado [0,1), podemos escrev-lo da seguinte forma: 0, 1234. , (3.4) onde um dos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Existem alguns nmeros que

possuem duas representaes da forma (3.4). Um exemplo o nmero 510 que pode ser representado por 0,5000000... ou 0,49999999...

Quando for este o caso sempre optaremos pela representao decimal que

termina. Em outras palavras, eliminaremos as decimais da forma (3.4) que a partir

de certa ordem os elementos so iguais a 9. Vamos supor que os nmero reais do

intervalo [0,1) formam um conjunto enumervel. 0, 111213 0, 212223 0, 313233 (3.5)

.

.

.

Agora construiremos o nmero:

38

0, 1234. da seguinte maneira: todos os so diferentes de 0 e de 9 e 1 11, 2 22 e assim por diante.

Dessa maneira temos que 0, 1234. 0, 123 para todo , j que . Com isso temos que 0, 1234. no est na lista (3.5) mas est no intervalo [0,1), o que um absurdo. Dessa maneira, os nmeros reais do intervalo [0,1) no formam um conjunto enumervel e, consequentemente, R no enumervel.

Vamos introduzir aqui a noo de cardinalidade.

A importncia dos nmeros naturais provm do fato de que eles constituem o

modelo matemtico que torna possvel o processo de contagem. Noutras palavras,

eles respondem perguntas do tipo Quantos elementos tm esse conjunto? [9].

Para contar os elementos de um conjunto necessrio usar a noo de

correspondncia biunvoca ou bijeo, como j dissemos no Captulo 1.

Uma funo : chama-se uma bijeo entre e quando ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.

Seja um conjunto. Diz-se que finito e que possui n elementos quando

se pode estabelecer uma correspondncia biunvoca : {1,2, , } . O nmero natural n chamado nmero cardinal de . Por ltimo, diz-se que infinito quando

ele no finito, ou seja, no existe correspondncia biunvoca : {1,2, , } . Neste caso, se infinito podemos usar a ideia de bijeo (correspondncia de um

para um) para definir a noo de cardinal de . Por exemplo, todos os conjuntos que

tenham uma correspondncia com so ditos ter a mesma cardinalidade de (so

chamados enumerveis).

Observaes: 1) A cardinalidade de N estritamente menor que a de R.

2) Observe que no enumervel, enquanto enumervel e = ( ). Dessa maneira, se fosse um conjunto enumervel, teramos que ( ) = seria enumervel, o que um absurdo e dessa forma temos que no enumervel. Sendo no enumervel temos que no finito e no possui o mesmo cardinal de . Isso indica que no podemos estabelecer uma

correspondncia biunvoca entre e . Disso conclumos que a cardinalidade

39

de (ou ento a de j que e possuem mesma cardinalidade) estritamente

menor que a de o que mostra que existem mais nmeros irracionais que racionais.

3. O NMERO IRRACIONAL

Dentre os nmeros irracionais, os nmeros , e e 2 so os que provavelmente possuem as histrias mais ricas. Uma parte deste trabalho ser

dedicada a tratar dos nmeros e e, mas no momento nos concentremos na

irracionalidade de 2. A definio do nmero 2 vem da geometria (a medida da hipotenusa de um

tringulo retngulo de catetos de comprimento igual a 1) e tambm da lgebra (um

nmero positivo x que satisfaz a equao 2 2 = 0). Uma das demonstraes mais conhecidas da irracionalidade de 2

atribuda a Hipassus de Metapontum (cerca de 500 a.C.), que pertencia escola

Pitagrica. Uma lenda interessante a respeito do surgimento do nmero 2 afirma que a demonstrao da irracionalidade do nmero custou a Hipassus a vida, pois os

pitagricos no admitiam a existncia de segmentos incomensurveis.

Abaixo apresentamos algumas demonstraes interessantes da

irracionalidade de 2.

3.1 USANDO FRAES IRREDUTVEIS

Vamos supor que 2 seja racional. Assim 2 = , com e inteiros e no

nulo. Vamos assumir, sem perda de generalidade, que uma frao irredutvel,

isto , (, ) = 1. Como 2 =

temos que 2 = 2

2 ou ento 2 = 22. Logo 2 par e isso implica que par, isto , = 2, para algum inteiro.

Dessa maneira 22 = (2)2 2 = 22.

40

Assim par e portanto b par. Mas isso contraria o fato de e serem

primos entre si.

3.2 USANDO O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

Vamos supor que o nmero 2 seja racional, digamos . Dessa maneira

temos que 2 =

2 = 22 2 = 22. Observe que, se decompusermos o

nmero em fatores primos, teremos que todo fator primo desse nmero tem

expoente par e assim o expoente de 2 em 2 necessariamente mpar. Mas, se decompusermos o nmero em fatores primos teremos que

qualquer fator primo ter expoente par. Isso significa que o expoente de 2 na

decomposio de ser par.

Agora como = 2 conseguimos obter duas decomposies diferentes para um mesmo nmero e isso contraria a fatorao nica demonstrada pelo

Teorema Fundamental da Aritmtica.

3.3 USANDO FRAES CONTNUAS

Primeiramente devemos observar que o nmero = 1 + 2 uma raiz da equao = 2 + 1, ou seja, = 2 + 1. Como 0 vamos dividir os dois membros da igualdade anterior por , obtendo = 2 + 1

.

Agora = 2 + 1

= 2 + 12+1

= 2; 2,2,2, . Com isso temos que o nmero 1 = 2 = 1; 2,2,2, , o qual irracional,

pelo Teorema 3.3.

3.4 A PROVA GEOMTRICA

Para esta demonstrao faremos uso de uma importante ferramenta, que o

corao do mtodo da descida infinita de Fermat: no existe subsequncia

decrescente e infinita de nmeros naturais.

41

Vamos comear com um retngulo R1 com lados medindo 1 = 1 + 2 e 1 = 1. Observe que 1 > 2 e assim podemos subdividir R1 em dois quadrados de lado 1 e um retngulo R2 com lados medindo 2 = 1 e 2 = 2 1 (Figura 2).

Figura 2

Observe ainda que 11 = 22 = 2 + 1. Intuitivamente, vamos continuar

construindo retngulos , = 3,4,5, . . ., com lado maior (igual a 1) e lado menor (igual a 1 21).

Afirmao:

= 2 + 1, 1. A prova ser feita por induo sobre n. J vimos que para n = 1 e n = 2 a

frmula vale.

Supondo, por hiptese de induo, que 1 1 = 2 + 1, podemos escrever:

= 11 21 = 11

1 2 = 12 + 1 2 = 12 1 = 2 + 1, como queramos.

Dessa forma, a proporo entre os lados maior e menor desses retngulos

constante e com isso temos que existem infinitos retngulos Rn. Repare agora que a

sequncia ( ) decrescente e infinita. Tal fato segue da relao 1 < 2 + 1 = 1

1 > .

42

Vamos agora supor que 2 = , com a e b naturais. Definamos o retngulo

R1 com lados 1 = + e 1 = . Com isso 11 = + = + 1 = 2 + 1.

De modo anlogo ao argumento anterior, construmos infinitos retngulos Rn

com lados medindo . No entanto, a construo dos lados dos retngulos menores envolve apenas a subtrao a partir dos lados + e . Por esse motivo temos que um nmero inteiro para todo n. Na realidade vamos provar que

natural para todo n.

De fato como

= 2 + 1 > 0 para todo , ento sempre no nulo. Vamos supor por absurdo que < 0, para algum . Ento o PBO garante a existncia de um 0 mnimo com essa propriedade. Mas 0 0 > 0 e da 0 tambm negativo, derivando um absurdo com a minimalidade de 0 j que 01 = 0 < 0.

Em concluso, a sequncia ( ) de nmeros naturais infinita e estritamente decrescente o que um absurdo.

3.5 USANDO O PRINCPIO DA BOA ORDENAO

Vamos supor que 2 seja um nmero racional. Tomando esse fato como verdadeiro temos que o conjunto = { ; 2 } no vazio e com isso admite um elemento mnimo , de acordo com o PBO. Dessa maneira existe ,

tal que 2 = . Da, temos que: 2 = 2 2

2 1 = 2 1 = 2 .

Lembrando que 1 < 2 < 2, podemos escrever 0 < < e com isso conclumos que . Mas esse fato contraria a minimalidade de .

43

CAPTULO 4

NMEROS ALGBRICOS E TRANSCENDENTES

As definies de nmeros algbricos e transcendentes so feitas atravs de

conceitos algbricos, mas as aplicaes desses nmeros vo muito alm de

questes algbricas. Nmeros algbricos e transcendentes aparecem nas mais

variadas reas da matemtica, como geometria, anlise, matemtica financeira,

entre outros.

Definio 4.1 Um nmero real ser dito algbrico se existir um polinmio no

nulo, com coeficientes inteiros, tal que seja raiz desse polinmio.

Exemplos 4.1: 1) Todos os nmeros racionais so algbricos, pois todo

nmero racional da forma raiz da equao = 0, e inteiros e 0.

2) As razes ensimas de nmeros racionais tambm so nmeros algbricos.

De fato, se =

, temos que raiz da equao = 0, com e inteiros

e no nulo. 3) O nmero 2 algbrico, pois soluo da equao 2 2 = 0 .

A grande pergunta que fica : ser que as equaes algbricas com

coeficientes inteiros conseguem representar todos os nmeros reais? Em outras

palavras, todo nmero real soluo de uma equao algbrica com coeficientes

inteiros? A resposta no. Existem nmeros que no so solues de equaes

algbricas com coeficientes inteiros. Veremos isso mais adiante.

Abaixo esto relacionadas algumas propriedades dos nmeros algbricos.

(i) A soma de dois nmeros algbricos algbrico.

(ii) O produto de dois nmeros algbricos algbrico.

(iii) O simtrico de um nmero algbrico algbrico. (iv) O inverso 1 de um nmero algbrico ( 0) algbrico.

44

As demonstraes de tais propriedades podem ser encontradas em [5].

Definio 4.2 Todo nmero real que no for algbrico, ser dito transcendente.

A palavra transcendente associada a essa classe de nmeros serve para

indicar que esses nmeros transcendem s equaes algbricas. Em outras

palavras, nenhuma equao algbrica com coeficientes inteiros consegue alcanar

esses nmeros.

Como poder ser observado ao longo deste trabalho, mostrar que um nmero

transcendente algo difcil. Uma das dificuldades reside no fato de que esses

nmeros no so definidos a partir do que eles so e sim a partir do que eles no

so. No entanto, veremos que algumas classes de nmeros possuem a

caracterstica da transcendncia. O estudo dos nmeros transcendentes provm de

diversos problemas, alguns deles associados geometria (como a quadratura do

crculo); outros so de cunho terico e avanado, como as investigaes de Hermite

sobre a funo exponencial ou o stimo problema de Hilbert, de sua famosa lista de

23 problemas (muitos deles ainda sem soluo).

Dois dos nmeros transcendentes mais importantes da matemtica so o e

o e. Ao longo deste trabalho ser dada uma ateno especial a estes dois nmeros.

Alguns outros exemplos de nmeros transcendentes so: 22, 23. A teoria dos nmeros transcendentes foi originada por Joseph Liouville,

matemtico francs do sculo XIX o qual obteve, pela primeira vez uma classe de

nmeros que no satisfaziam a nenhuma equao algbrica de coeficientes inteiros.

No Captulo 3 foi mencionada a ideia de conjuntos enumerveis e no

enumerveis para mostrar que existiam mais nmeros irracionais que racionais.

Abaixo trabalhamos com essa ideia de maneira mais consistente, apresentando

algumas definies, propriedades e teoremas importantes.

Teorema 4.1 O conjunto de todos os nmeros algbricos enumervel. Demonstrao: Considere um polinmio de coeficientes inteiros

() = + 11 + + 1 + 0. (4.1) Vamos definir a sua altura como sendo o nmero natural

45

|| = | | + + |1| + |0| + . (4.2) O Teorema Fundamental da lgebra garante que () dado em (4.1), tem

exatamente razes complexas. Todas elas, algumas ou nenhuma delas podem ser

reais. Temos que o nmero de polinmios da forma (4.1) com uma dada altura

certamente um nmero finito. Sendo assim as razes de todos os polinmios de uma

dada altura formam um conjunto finito. Feito isso podemos observar que o conjunto

de todas as razes de todos os polinmios de todas as alturas formam um conjunto

enumervel. De acordo com o item iv) do Teorema 3.4 temos que a unio de um

conjunto enumervel de conjuntos finitos enumervel e com isso garantimos que o

conjuntos de todos os nmeros algbricos enumervel.

Teorema 4.2 O conjunto dos nmeros transcendentes no enumervel Demonstrao: De acordo com o Teorema 4.1 temos que o conjuntos dos nmeros

algbricos enumervel. Agora, de acordo com o Teorema 3.5 o conjunto R dos

nmeros reais no enumervel e com isso conclumos que o conjunto dos

nmeros transcendentes deve ser no enumervel uma vez que R se escreve como

a unio desses dois conjuntos.

1. OS NMEROS DE LIOUVILLE

O Teorema 4.2 nos garante a existncia de nmeros transcendentes. Tais

nmeros existem e em profuso, mas o teorema no nos d explicitamente nenhum

nmero transcendente. Foi o matemtico francs Joseph Liouville, em 1851, que nos

apresentou um critrio para que um nmero seja transcendente. Usando esse

critrio ser possvel escrever explicitamente alguns nmeros transcendentes.

Antes de apresentar tais nmeros necessitamos de algumas definies e

resultados importantes.

Definio 4.3 Diz-se que um nmero algbrico de grau se ele for raiz de uma

equao polinomial de grau com coeficientes inteiros, e se no existir uma

equao polinomial, de menor grau, da qual seja raiz.

46

Dessa maneira, os nmeros racionais coincidem com os nmeros algbricos de grau

1.

Definio 4.4 Um nmero real aproximvel na ordem n por racionais se existirem

uma constante > 0 e uma sequncia

de racionais diferentes, com > 0 e , = 1 tais que < .

Podemos dizer que um nmero irracional bem aproximado por racionais se

aproximvel na ordem por racionais. Em particular, um importante resultado

associado a este tipo de aproximao o Teorema da Aproximao de Dirichlet, o

qual afirma que:

Teorema 4.3 Se um nmero irracional, ento existem infinitos racionais

com 1, tais que

< 12.

Mais detalhes a respeito deste teorema podem ser encontrados em [6].

Este resultado fundamental para se fazer as chamadas aproximaes

diofantinas (aproximao de nmeros reais por racionais).

Em sntese, Liouville construiu uma classe de nmeros que so muito bem

aproximadas por racionais.

Teorema de Liouville Seja uma raiz real de um polinmio irredutvel () de coeficientes inteiros de grau 2. Ento existe uma constante positiva () tal que

()

, > 0 para todo racional . Uma escolha para esta constante que

pode facilitar os clculos () = 11+| |1|| ()|, onde () a derivada de (). Demonstrao: Com a escolha de () sugerida acima, se tivermos

1, o

teorema vlido, pois 1 ()

. Para o caso em que

< 1, vamos observar que, como () irredutvel sobre os inteiros, ele tambm irredutvel sobre os racionais e com isso

0, o que implica | |.

1, j que .

um

47

nmero inteiro no nulo. De acordo com o Teorema do Valor Mdio, existe um

nmero real t, entre e tal que:

= ()

=

| ()|.

Dessa maneira

| ()|

=

1. E com isso

1bn(1 + |P (t)|) 1 (1 + ||1| ()|) = c()bn onde usamos que | | ab 1. Definio 4.5 Um nmero real chamado de nmero de Liouville se existir uma

sequncia

1, com > 1, tal que

< 1

para todo 1.

O conjunto dos nmeros de Liouville ser denotado por L.

Exemplo O nmero 10 ! = 0,1100010000000000000000010000000 =1 um nmero de Liouville. Este nmero conhecido como constante de Liouville.

Para mostrar que este nmero de Liouville vamos considerar a sequncia

de racionais definida por

= 110n!jn=1 . Assim temos

= 110n != +1 = 110(j+1)! 1 + 110(j+2)!(j+1)! + . (4.3) A expresso em parnteses majorado por 1 + 110 + 1102 + 1103 + = 109 . Assim, o ltimo membro de (4.3) majorado por:

48

1(10 !)10 ! . 109 < 1(10 !) e com isso

< 1(10 !) ! e como = 10 !, segue que o nmero definido no incio do exemplo um nmero de Liouville.

Proposio 4.1 A sequncia descrita anteriormente, no limitada.

Demonstrao: Vamos supor que a sequncia seja limitada. Se isto ocorrer,

ento existe > 0, tal que , para todo 1. Agora como < 1 temos que

< 1 e com isso obtemos < < . Esta ltima desigualdade implica em uma limitao para a sequncia , j

que < (|| + 1). Entretanto, isso contraria o fato de a sequncia ser infinita.

Com isso conclumos que a sequncia no limitada.

Corolrio 4.1 Todo nmero de Liouville irracional.

Demonstrao: Vamos supor, por absurdo, que um nmero de Liouville seja

racional da forma . Se isto ocorrer, ento existem infinitos

, diferentes de tais

que:

1

> = 1| | . (4.4) De acordo com a desigualdade (3.4) temos que

1 < ||, o que contraria o fato de no ser limitada (Proposio 3.1). Portanto, todo nmero de Liouville

irracional.

Teorema 4.2 Todo nmero de Liouville transcendente. Demonstrao: De acordo com o Corolrio 4.1 temos que um nmero de Liouville

no pode ser racional. Vamos supor que seja um nmero de Liouville algbrico no racional, ou seja, que seja um nmero algbrico de grau > 1. De acordo

49

com o Teroema de Liouville temos que

()

ser vlida para todo nmero

racional. Em particular para os

da Definio 4.5. Dessa maneira teramos:

()

< < 1 . Com isso

< 1(), para todo 1, mas isso contraria o fato de a

sequncia ser no limitada. Dessa maneira o nmero no pode ser

algbrico.

2. UM POUCO DE HISTRIA

Durante toda a histria da matemtica temos diversos nmeros que

assumiram grande importncia no desenvolvimento de conceitos e da prpria

histria da matemtica. Temos exemplos de tais nmeros em todos os conjuntos

sejam eles naturais, inteiros, racionais, irracionais, complexos e, claro, nos

transcendentes. Os nmeros transcendentes de maneira geral no so abordados

durante o Ensino Bsico, mas os alunos aprendem a trabalhar com alguns deles,

mesmo sem saber que so transcendentes. o caso, por exemplo, dos nmeros

e e. O primeiro, associado a importantes problemas geomtricos; e o segundo

associado funo exponencial e logaritmos, assuntos muito explorados durante o

Ensino Mdio. Por este fato, no existe motivo para no se comentar, mesmo que

brevemente, um pouco mais a respeito desses nmeros, de sua rica e interessante

histria e tambm um pouco sobre a interessante classe de nmeros qual

pertencem.

Neste sentido, vamos abordar algumas informaes interessantes a respeito

dos nmeros e e.

Desde que os humanos comearam a comercializar bens e a trabalhar com o

conceito de dinheiro, as questes financeiras passaram a ocupar uma preocupao

constante dentro da matemtica. Uma ideia que se encontra no centro das atenes

quando o assunto Matemtica Financeira so os juros. Nenhum outro aspecto da

vida tem caracterstica mais comum do que o impulso para acumular riqueza e

conseguir a independncia financeira. Assim, no deve surpreender a ningum que

algum matemtico annimo, no incio do sculo XVII, tenha notado uma ligao

50

curiosa entre o modo como o dinheiro se acumula e o comportamento de certa

expresso matemtica no infinito ([12] Maor, 2008).

Vamos analisar um interessante problema de Matemtica Financeira.

Suponha que uma pessoa faz uma aplicao de um capital C, por um perodo

t, a uma taxa de juros igual a i (o valor da taxa sempre ser dado em decimal e no

em porcentagem) e na modalidade de juros compostos. Sabemos que o valor do

montante M acumulado nessa aplicao dado por:

= . (1 + ) . (4.5) Em alguns casos podemos calcular o juro acumulado no uma vez, mas

vrias vezes ao perodo. Por exemplo, numa aplicao de R$ 1000,00 uma taxa

de 10% a.a (ao ano), podemos fazer uma capitalizao semestral. Nesse caso

usaramos metade da taxa de juros (5%) como taxa por perodo (nesse caso um

perodo passa a ser um semestre). Agora teramos uma taxa de 5% a.s (ao

semestre) composta duas vezes (j que um ano corresponde a dois semestres).

Repare que no primeiro caso, com taxa de 10% ao ano e capitalizao anual, os

juros da aplicao seriam de R$ 100,00. J no segundo caso, seria R$ 102,50

(basta substituir C = 1000, n = 2 e i = 0,05 na equao (3.5)). Assim, o juro obtido

R$ 2,50 maior que no primeiro caso. Generalizando um pouco essa ideia, se um

capital C for aplicado a uma taxa de juros igual a i por um perodo t e com n

capitalizaes peridicas iguais durante esse perodo t, o valor do montante M

acumulado ao final da aplicao ser igual a:

= 1 +

. (4.6)

Vamos analisar um exemplo para verificar se, conforme aumentamos o

nmero de capitalizaes em um perodo, o Montante, e consequentemente os

juros, tambm aumentam. Tomemos uma situao em que um capital C = R$

1000,00 aplicado a uma taxa i = 10%, com diversos tipos de capitalizao. Vamos

resumir as informaes na tabela abaixo.

Perodo de converso n i/n M

Anual 1 0,1 R$ 1100,00

Semestral 2 0,05 R$ 1102,50

Trimestral 4 0,025 R$ 1103,81

Mensal 12 0,008333333 R$ 1104,71

51

Semanal 52 0,0019230769 R$ 1105,06

Dirio 365 0,0002739726 R$ 1105,15

Tabela 1: Montantes acumulados em aplicaes com diferentes capitalizaes

Podemos observar que, conforme aumentamos o nmero de capitalizaes, o

montante aumenta e isso nos leva a seguinte pergunta. Ser que esse crescimento

ocorre indefinidamente, ou seja, conforme aumentamos o nmero de capitalizaes,

o montante poderia se tornar infinito? A resposta claramente no, mas essa

pergunta levou a importantes descobertas matemticas.

Para explorar um pouco mais essa situao, vamos considerar uma situao

na qual a taxa de juros aplicada seja igual a 100%. Claramente nenhum banco teria

oferta to generosa, mas nossa preocupao estudar um caso hipottico com

importantes consequncias matemticas. Tomando uma aplicao de um capital C =

R$ 1,00, com t = 1 ano e i = 100%, a equao (4.6) se torna

= 1 + 1

. (4.7)

Vamos agora investigar como essa frmula se comporta para valores

crescentes de n.

n 1 + 1

1 2

2 2,25

3 2,37037

4 2,44141

10 2,59374

100 2,70481

1000 2,71692

10000 2,71815

100000 2,71827

1000000 2,71828

10000000 2,71828

Tabela 2: Valores aproximados de 1 + 1

52

Podemos observar que, conforme os valores de aumentam, o valor de

1 + 1

parece se tornar prximo de 2,71828. Mas ser que este padro continua?

Em outras palavras, independente do quo grande for o valor de n, os valores de

1 + 1

tendem a se estacionar em um valor fixo? A resposta sim, e o nmero

que possui essa notvel propriedade foi denotado por e. Podemos escrever ento

= lim 1 + 1 . interessante observar como um simples problema relacionado a taxa de juros teve implicaes to significativas na matemtica.

Outra importante caracterstica do nmero e estar relacionado a um

problema geomtrico: a rea sob a hiprbole = 1. Desde os primrdios, uma das questes que mais intrigou os matemticos de

diversas pocas foi o clculo de reas que no podiam ser decompostas em figuras

bsicas, como polgonos ou setores circulares. O clculo da rea de uma parbola j

havia sido feito com sucesso por Arquimedes, usando o mtodo da exausto.

No sculo XVII Pierre de Fermat conseguiu estabelecer frmulas que

calculavam as reas de figuras cuja equao geral era = . Repare que a hiprbole = 1 um caso particular da equao anterior, quando = 1. A frmula obtida por Pierre de Fermat para a rea da curva = no intervalo [0, ] foi:

= +1+1 . (4.8)

O nico problema que tal frmula no poderia ser aplicada justamente no

caso da hiprbole (quando = 1) que nos interessa. Coube a um contemporneo de Fermat, Grgoire de Saint-Vicent fazer uma

importante observao. Ele observou que rea sob a hiprbole = 1, a partir de um ponto de referncia fixo > 0 (geralmente por, convenincia, tomamos = 1) at um ponto varivel = dada por () = log ( importante observar que ainda no sabemos o valor de e se ele fixo ou no).

Dessa maneira o problema da quadratura da hiprbole estava resolvido, cerca

de dois mil anos depois de os gregos se depararem com esse problema pela

primeira vez. Mas uma questo ainda ficara sem resposta: a frmula () = log realmente nos fornece a rea sob a hiprbole como uma funo da varivel , entretanto essa frmula ainda no adequada para efetuar clculos, pois ainda no

foi estabelecida a base que deveramos adotar. Para que se possa efetuar qualquer

53

tipo de clculo, necessrio que se estabelea uma base para esse logaritmo. A

grande questo : ser que qualquer base (dentro das condies de existncia dos

logaritmos) pode ser usada? A resposta claramente no. No estamos livres para

escolher o valor de aleatoriamente. Logo, deve existir um valor de que determine

a rea que estamos procurando numericamente e possvel mostrar que esse valor

o nmero e. Uma referncia para este estudo o livro [9].

Veremos mais adiante a prova da irracionalidade e transcendncia do nmero

e.

Trabalhando agora com um pouco de geometria, encontramos interessantes e

intrigantes problemas associados ao nmero , outro famoso nmero

transcendente. Durante o Ensino Bsico aprendemos a calcular o permetro de um

tringulo e, a partir dessa ideia, podemos calcular o permetro de qualquer polgono.

Entretanto, quando se trata de formas curvas, essa ideia j no pode mais ser

aplicada. Durante os ensinos Fundamental e Mdio, aprendemos frmulas que

determinam o comprimento e a rea de um crculo. Tais frmulas so,

respectivamente, = 2 e = 2 onde o raio do crculo. Geralmente vemos essas frmulas de forma simples e natural, sem nos perguntar o porqu dessa

constante que aparece nessas frmulas (o nmero ) ou como esse nmero foi

obtido.

Valores relativamente precisos de eram conhecidos desde a poca dos

antigos egpcios. Um texto contido no Papiro Rhind, datado de 1650 a.C, traz a

declarao de que a rea de um crculo tem o mesmo valor que a rea de um

quadrado cujo lado tenha medida igual a 89 do dimetro do crculo. Calculando o valor de por meio dessa aproximao obtemos 3,16049 e esse valor corresponde a um erro de apenas 0,6% com relao ao valor verdadeiro de , um feito realmente

impressionante para um texto com cerca de trs mil e quinhentos anos (ver [12]).

Conforme os conceitos matemticos foram evoluindo, muitos valores foram

atribudos a . Valores estes cada vez mais precisos, mas sempre obtidos de

maneira emprica: calculava-se o comprimento da circunferncia e dividia-se esse

valor pela medida do dimetro. O primeiro matemtico a propor um mtodo capaz de

fornecer o valor de por meio de um procedimento matemtico, ou seja, um

algoritmo, em vez de uma medio, foi Arquimedes.

54

A ideia de Arquimedes era inscrever e circunscrever polgonos regulares a um

crculo. Quanto maior o nmero de lados do polgono inscrito, mais prximo do