Números, Relações e Criptografia

5/21/2018 N meros, Rela es e Criptografia

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Universidade Federal da ParabaCentro de Cincias Exatas e da Natureza

Departamento de Matemtica

Nmeros, Relaes e Criptografia

Antnio de Andrade e Silva


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A minha esposaRosngela.


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Prefcio

A idia de escrever este livro surgiu da inexistncia de um texto na literatura matemticanacional que atendesse s demandas do programa da disciplina Matemtica Elementar,

integrante dos cursos de graduao em Matemtica da Universidade Federal da Paraba -

Campus I. oportuno salientar que os textos disponveis ou esto muito acima ou muitoaqum do patamar em que se situa o contedo da referida disciplina. Por estas e por

outras razes, decidimo-nos pela adoo de uma obordagem objetiva sem, contudo, des-curar do rigor compatvel com o que h de indispensvel para a formao de licenciados

e bacharis portadores de indiscutvel qualificao. nossa expectativa que este texto assuma o carter de espinha dorsal de uma exprein-

cia permanentemente renovvel, sendo, portanto, bem vindas as crticas e/ou sugestesapresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele fizerem uso.

Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos dasnovas definies, inclumos no final de cada seo uma extensa lista de exerccios.No captulo 1 apresentaremos algumas definies e resultados sobre sentenas, conjun-

tos e famlias indexadas que sero necessrias para o entendimento dos prximos captulos.No captulo 2 apresentaremos as noes de relao, relao de equivalncia e funes.

No captulo 3 apresentaremos as noes de conjuntos ordenados, o Axioma da BoaOrdenao, o Princpio de Induo e resultados sobre conjuntosfinitos, infinitos, contveise no-contveis.

No captulo 4 apresentaremos algumas definies e resultados bsicos da Teoria dos

Nmeros Elementar.O captulo 5 dedicado ao estudo da Aritmtica Modular.Finalmente, no captulo 6 aplicaremos os conhecimentos sobre nmeros primos e con-

gruncias para apresentar uma introduo aos sistemas de criptografia clssicos e comchave pblica.

Agradecemos aos colegas e alunos do Departamento de Matemtica que direta ouindiretamento comtribuiram para a realizao deste trabalho.

Finalmente, nosso agradecimento aos diversos autores cujos livros influenciaram este

trabalho. Em particular, L. H. Jacy Monteiro, Elementos de lgebra, Elementos deMatemtica, IMPA, 1969 e E. L. Lima, Curso de Anlise, Vol. I, Projeto Euclides,IMPA, 1976.


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Sumrio

Prefcio iii

I Conjuntos e Relaes vii

1 Conjuntos 1

1.1 Sentenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Relaes e Funes 21

2.1 Relaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Relao de Ordem e Enumerabilidade 47

3.1 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 A origem das fraes 75

II Nmeros e Criptografia 91

5 Teoria dos Nmeros 93

5.1 Algoritmo da Diviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 MDC e MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 Teorema Fundamental da Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Aritmtica Modular 125

6.1 Congruncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Congruncias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.3 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.4 Tringulos Pitagorianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

v


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vi SUMRIO

7 Criptografia 1597.1 Cripto-sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2 Sistema Criptogrfico com Chave Pblica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7.3 Sistema de Criptografia DH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4 Sistema RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A Decimais 179

Bibliografia 185


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Parte I

Conjuntos e Relaes

vii


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Captulo 1

Conjuntos

Neste captulo apresentaremos algumas definies e resultados clssicos de lgica sim-blica e da teoria dos conjuntos que sero necessrios para cursos subsequentes. O leitorinteressado em mais detalhes pode consultar [6, 15, 17].

1.1 Sentenas

Nesta seo discutiremos alguns conceitos elementares de lgica simblica de um pontode vista intuitivo que sero necessrios para uma melhor compreenso das provas dos

Teoremas. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar [15, 17].Umasentena(ouproposio ouafirmao) significa uma orao declarativa a qual,

num dado contexto , sem equvoco, ouverdadeiraoufalsae no ambos.

Por exemplo, Braslia a capital do Brasil uma sentena verdadeira, dinheiro

cresce em rvore uma sentena falsa e onde que voc vai? no uma sentena porno ser nem verdadeira nem falsa. A validade ou falsidade de uma sentena chamadadevalor verdade.

Usaremos as letras p,q,r,s, etc. para denotar sentenas. Sentenas podem ser com-

binadas de vrias maneiras para formar sentenas mais gerais. Freqentemente, o valorverdade da sentena composta completamente determinado pelo valor verdade das sen-

tenas componentes. Assim, se p uma sentena, ento uma das sentenas mais simplesque podemos formar, a partir de p, anegao dep, em smbolos p, (l-se no p). Ovalor verdade da negao de uma sentena satisfaz: sep verdadeira, entop falsa; se

p falsa, entop verdadeira. Por exemplo, seja pa sentena este um curso fcil.

Ento sua negaoprepresenta a sentena este no curso fcil. conveniente exibira relao entrepepnuma tabela, a qual chamadatabela verdade, onde V e F denotam

os valores verdade, verdadeiro e falso, respectivamente.

p p

V F

F V

1


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2 CAPTULO 1. CONJUNTOS

Alei da contradio afirma que dadas duas sentenas contraditrias, isto , tais que uma

a negao da outra, uma delas falsa. Oprincpio do terceiro excludoafirma que dadasduas sentenas contraditrias uma delas verdadeira.

Sepe qso sentenas, aconjuno depe q, em smbolos p q, (l-se pe q) umasentena cujo valor verdade verdadeiro se p e qforem ambas verdadeiras e falso casocontrrio (confira tabela).

p q p qV V VV F F

F V F

F F FSe p e qso sentenas, a disjuno de p e q, em smbolos p q, (l-se p ou q com

sentido de e/ou) uma sentena cujo valor verdade falso se pe qforem ambas falsas everdadeiro caso contrrio (confira tabela).

p q p qV V VV F V

F V VF F F

Uma operao importante em sentenas, principalmente em matemtica, a impli-cao: se p e q so sentenas, ento p q, (l-se p implica em q). Note que: em usocomum, sep verdadeiro, ento q verdadeiro significa que existe uma relao decausaentre p e q, como em se Jos Augusto passa no curso, ento Jos Augusto pode colargrau. Em matemtica, portanto, implicao no sentido formal: p q verdadeiroexceto sep verdadeiro e q falso, isto , quando na tabela verdade de pe qno temossimultaneamente p verdadeira e q falsa, confira tabela. Neste caso, dizemos que p condio suficiente paraq e q condio necessria para p.

p q p qV V V

V F FF V V

F F V

Por exemplo, sejamp a sentena dois ngulos opostos pelo vrtice eqa sentena dois

ngulos congruentes. Ento comprove intuitivamente a tabela da sentena p q: sendoverdadeira se podemos desenhar o diagrama dos ngulos, caso contrrio falsa.

Teorema 1.1 Sejampeqduas sentenas. Ento as seguintes afirmaes so verdadeiras:


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1.1. SENTENAS 3

1. p p q.

2. q

p

q.

3. p q p.

4. p q q.

Prova. Provaremos apenas o item (1). Basta provar que se p e q so duas sentenasquaisquer, ento a sentenap p q sempre verdadeira. Para isto derivamos a tabelapara a sentenap p qcomo segue.

p q p q p p q

V V V VV F V V

F V V VF F F V

Teorema 1.2 Sejamp, qer trs sentenas. Ento a seguinte sentena verdadeira

[(p q) (q r)] (p r).

Prova.Vamos denotar por s a sentena

[(p q) (q r)] (p r)

e derivar a tabela para a sentena s.

p q r p q q r (p q) (q r) p r sV V V V V V V VV V F V F F F V

V F V F V F V VV F F F V F F VF V V V V V V V

F V F V F F V VF F V V V V V VF F F V V V V V

Como a ltima coluna da tabela verdade constituda de valores verdadeiros temos que

s uma sentena verdadeira.

Teorema 1.3 Sejamp, qer trs sentenas. Seq r uma sentena verdadeira, entoas seguintes afirmaes so verdadeiras:

1. (p q) (p r);


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2. (p q) (p r).Prova. Provaremos apenas o item(1). Vamos derivar a tabela para a sentena (p q) (p r).

p q r p q p r (p q) (p r)V V V V V VV V F V V VV F V V V V

V F F V V VF V V V V V

F V F V F FF F V F V VF F F F F V

Como, por hiptese, a sentenaq r verdadeira, no podemos ter simultaneamenteqverdadeira erfalsa. Assim, podemos descartar a sexta linha da tabela verdade. Portanto,

a sentena(p q) (p r) verdadeira.

A sentena

(p q) (qp)significap se, e somente se, q; em smbolos p q. O valor verdade da sentena p qsatisfaz: p q verdadeira sepe qtm o mesmo valor verdade; caso contrrio, falsa,confira tabela. Neste caso, dizemos que p condio necessria e suficiente paraq e q condio necessria e suficiente parap.

p q p qV V V

V F FF V F

F F V

Duas sentenas so chamadaslogicamente equivalentes(ou simplesmenteequivalentes)se suas tabelas verdade so idnticas, isto , duas sentenas pe qso equivalentes se p

verdadeira quandoq verdadeira ep falsa quando q falsa.

Exemplo 1.4 Sejamp eqduas sentenas. Mostrar que as sentenasp qep qsoequivalentes, isto , (p q) (p q) (ou(p q) = (p q)).Soluo. Basta derivar a tabela para a sentena (p q) = (p q).

p q p p

q (p

q

V V F V VV F F F FF V V V V

F F V V V

.


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1.1. SENTENAS 5

Dadas duas sentenasp e q, existem quatro sentenas, as quais resultam do uso de para conectarp e q. Elas so:

p q condicionalqp recprocaq p contrapositivap q inversa

Note que, a condicional e a contrapositiva so sentenas logicamente equivalentes. Defato, basta derivar a tabela para a sentena (p q) = (q p).

p q q p p q q pV V F F V VV F V F F FF V F V V V

F F V V V V

.

Tambm, a recproca e a inversa so sentenas logicamente equivalentes (prove isto!).

Frases que exprimem a idia de quantidade so chamadas de quantificadores. Porexemplo, para todo nmero x, existe um nmero x e para nenhum nmero x. Oquantificadorpara todo, em smbolos

, chamado dequantificador universale o quan-

tificadorexiste, em smbolos, chamado de quantificador existencial. Uma expressoalternativa para o quantificador universal para qualquere para o quantificador existencial

para algum.

importante considerar a negao de afirmaes envolvendo quantificadores. A ne-gao do quantificador universal o quantificador existencial e vice-versa. Por exemplo,

a negao de para todo nmero x existe um nmero x.

Freqentemente, um Axioma em lgebra Moderna afirmado como segue: Existeum nico elemento x satisfazendo a propriedadeP. Para negar isto, devemos usar uma

das leis De Morgan, confi

ra Exerccio 3 abaixo. No existe um elemento xsatisfazendoa propriedadePou existe mais de um elemento xsatisfazendo a propriedade P.

Muitos dos Teoremas em lgebra Moderna so expressos como afirmao condicional.Por exemplo, se x2 um nmero par, ento x um nmero par. Como provar essa

afirmao? Primeiro observe que, sep a sentena x2 um nmero par eq a sentenax um nmero par, ento a afirmao que devemos provar p q. Logo, paraprovap q, suficiente provar qualquer uma das sentenas logicamente equivalentes doExerccio 4 abaixo. Neste caso, dizemos que uma prova indiretaouprova por absurdo.Assim, a prova indireta de nossa afirmao como segue:

Suponhamos que x2 seja um nmero par e xseja um nmero mpar (p q). Entox= 2n + 1, para algum n N. Logo,

x2 = 2(2n2 + 2n) + 1


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e, assim, x2 nmero mpar (p), o que uma contradio. Assim, sex2 um nmeropar, ento xdeve ser um nmero par.

Neste argumento, provamos que a seguinte sentena (p

q)

p verdadeira.

Portanto,p q uma sentena verdadeira.Agora, vamos provar que: sex um nmero par, entox2 um nmero par. Primeiro

observe que, se p a sentena x um nmero par e q a sentena x2 um nmero

par, ento a afirmao que devemos provar pq. Para provar quepq, daremosumaprova direta, isto , partindo de p at chegar a q. Assim, a prova direta de nossaafirmao como segue:

Suponhamos que xseja um nmero par. Ento x= 2n, para algum n N. Logo,

x

2

= 2(2n

2

)

e, assim, x2 nmero par. Assim, se x um nmero par, ento x2 deve ser um nmero

par.

EXERCCIOS

1. Sejamp, qertrs sentenas. Mostrar que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

(a) p p p.

(b) p p p.(c) (p q) (qp).(d) (p q) (qp).(e) p (q r) (p q) r.(f) p (q r) (p q) r.(g) p (q r) (p q) (p r).(h) p

(q

r)

(p

q)

(p

r).

2. Sejamp e qduas sentenas. Mostrar que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

(a) (p) p.(b) (p q) (q p).(c) (p q) (p q).(d) (p q) (p q).(e) [p

(p

q)]

q.

(f) [(p q) p)] q.

3. Sejam p e qduas sentenas. Mostrar que as seguintes afirmaes so verdadeiras(Leis De Morgan):


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1.1. SENTENAS 7

(a) (p q) (p q).(b) (p q) (p q).

4. Sejam p e qduas sentenas. Mostrar que as seguintes afirmaes so logicamenteequivalentes:

(a) p q.(b) q p.(c) (p q) p.(d) (p q) q.(e) (p q) f (ondef uma sentena, a qual sempre falsa).

5. Sejamp, qertrs sentenas. Mostrar que as seguintes afirmaes so verdadeiras:

(a) [(p q) (r q)] [(p r) q].(b) [(p

q)

(p

r)]

[p

(q

r)].

6. Sejamp, qe rtrs sentenas. Seq r uma sentena verdadeira, ento as seguintesafirmaes so verdadeiras:

(a) (p q) (p r).(b) (p q) (p r).(c) (p

q)

(p

r).

7. Sejamp, q, re s quatro sentenas. Sep qer s, ento:

(a) p r q s.(b) p r q s.

8. Sejamm, n N. Mostrar que sem + n 20, entom 10ou n 10.

9. Sejax R+. Mostrar que se para todo >0, tem-se0 x < , entox = 0.

10. Sejax R. Mostrar que sex >0, ento 1x

>0.


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1.2 Conjuntos

A noo de conjunto a prpria estrutura para o pensamento da matemtica ab-

strata. Assim, sem dvida, para atacar a lista de noes indefinidas e os vrios axiomas,relacionando-os, ser tomada uma abordagem informal e/ou formal do assunto.

Umconjunto (oucoleo) formado de objetos bem definidos. Os objetos que com-

pem um conjunto particular so chamados de elementosoumembros.Conjuntos e elementos sero indicados, salvo meno explicita em contrrio, por letras

maisculas e minsculas do nosso alfabeto, respectivamente. Em particular, empregare-mos as seguintes notaes:

Ndenota o conjunto de todos os nmeros naturais1, 2, 3, . . .

Z o conjunto de todos os nmeros inteiros 0, 1, 2, 3, . . .

Q o conjunto de todos os nmeros racionais - isto , fraes mn

, onde m, n sonmeros inteiros en6= 0.

R o conjunto de todos os nmeros reais.

C o conjunto de todos os nmeros complexos a + bi, ondea, bso nmeros reais ei2 = 1.

Quando um objeto x um dos elementos que compem o conjunto A, dizemos que xpertenceaA, escreveremos x A; caso contrrio, escreveremos x / A. Por exemplos,

2 N, 2 / N, 1 Z,12

/ Z, 2 / Q, 2 R, etc.

SejamAe B conjuntos. Dizemos que Ae B soiguais, em smbolos A =B, se eles

consistem dos mesmos elementos, isto ,

x A x B.

Caso contrrio,A6=B. Assim, um conjunto completamente determinado se conhecemosseus elementos.

Um conjunto com um nmero finito de elementos pode ser exibido escrevendo todosos seus elementos entre chaves e inserindo vrgulas entre eles. Assim,

{1, 2, 3}

denota o conjunto cujos elementos so 1, 2e 3. A ordem em que os elementos so escritosno altera o conjunto. Assim,

{1, 2, 3} e {2, 3, 1}denota o mesmo conjunto. Tambm, repetio de um elemento no tem efeito. Por

exemplo,{1, 2, 3, 2}= {1, 2, 3}.


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1.2. CONJUNTOS 9

Dado um conjunto A e uma propriedade P(x), existe um nico conjunto B cujos

elementos so precisamente aqueles elementos x de A tais que P(x) verdadeira, emsmbolos

B = {x A: P(x)},onde : l-setal que. Por exemplo,

{0, 1}= {x R :x2 =x}.

Um modo de representar os elementos de um conjunto atravs de pontos interiores auma linha fechada e no entrelaada, quando a linha fechada um crculo chamamos de

diagrama de Venn(Matemtico Ingls John Venn, 1834 - 1923). Por exemplo,

Figura 1.1: Diagrama de Venn.

Defi

nio 1.5 SejamAeB conjuntos. Dizemos queA umsubconjuntodeB se todoelemento deA um elemento deB, isto ,

x A x B.

Figura 1.2: Asubconjunto deB .

SeA um subconjunto de B, denotaremos por AB (O smbolosignifica estcontido ou igual): Na definio, acima, no est excluda a possibilidade de AeB seremiguais. SeA BeA 6=B, dizemos queA umsubconjunto prpriodeB e denotaremosporAB . Se o conjunto Ano est contido no conjunto B, denotaremos por A* B.

Por exemplos, N Z Q R C.O termoconjunto-universo(ouuniversal) , s vezes, usado para um conjunto Uque

contm todos os conjuntos em um dado contexto. Por exemplo, na Geometria Plana, o


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universo o conjunto de todos os pontos do plano. Assim, admitiremos, no que segue, que

todos os conjuntos considerados sejam subconjuntos de um conjunto-universo U. Noteque se

A= {x U :P(x)} e B= {x U :Q(x)},ento a afirmao P(x) Q(x), significa queA B.

possvel citar uma propriedade que no possa ser gozada por qualquer elemento.Neste caso, o conjunto

{x U :P(x)}no possui elemento algum. Esse conjunto conhecido como oconjunto vazio, denotare-mos por .

Exemplo 1.6 ={x Z :x 6=x}.Note que o conjunto vazioest contido em qualquer conjunto, de fato:

x / A x / ,poisno contm nenhum elemento.Teorema 1.7 SejamA, B eCsubconjuntos deU. Ento:

1. A

A,

A.

2. A= B A B eB A.3. A A= .4. x A {x} A.5. SeA B eB C, ento A C.

Prova. Exerccio.

Definio 1.8 SejamA eB subconjuntos deU. AuniodeAeB, em smbolosA

B, o conjunto

A B={x U :x A ou x B}.

Figura 1.3: A unio deA e B .


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1.2. CONJUNTOS 11

Definio 1.9 SejamA e B subconjuntos deU. A interseo de A eB, em smbolosA B, o conjunto

A

B ={

x U

:x

A e x

B}

.

Figura 1.4: A interseo de A e B .

Definio 1.10 SejamA eB subconjuntos deU. A diferena de A eB, em smbolosA B, o conjunto

A B = {x U :x A e x / B}.

Figura 1.5: A diferena de A e B .

Teorema 1.11 SejamAeB subconjuntos deU. Ento:

1. A A B eB A B.

2. A B AeA B B.

3. A B A.

4. A B= (A B) (A B) (B A).

Prova. Exerccio.

SeA B, ento B A chamado o complementar deAem B. Os conjuntosAeB so chamados disjuntos se A B =. O complementar deA emU simplesmente


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chamado de complementar de A, em smbolos A0 ou Ac, sem referncia explcita a U.

Assim,A B = A B0.

Figura 1.6: O complementar de A.

Exemplo 1.12 SejamU={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A= {1, 2, 4}, B= {2, 3, 5}. Ento:

A B = {1, 2, 3, 4, 5}A B = {2}A B = {1, 4}B A = {3, 5}A0 = {0, 3, 5, 6}

B0 = {0, 1, 4, 6}.

Note que (A B) (B A) = e, em geral, A B 6=B A. A= B se, e somentese,A B=B A= . fcil verificar que:

x / A B x / A e x / B.x / A B x / A ou x / B.x / A B x / A ou x B.x /

A

x

A0.

Teorema 1.13 SejamA, B eCsubconjuntos deU. Ento:

1. A A= A, A A= A.

2. A B=B A, A B=B A.

3. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C.

4. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C).5. A =A, A = .

6. A U=U, A U=A.


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1.2. CONJUNTOS 13

Prova. Provaremos apenas a primeira parte do item 4 .

x

A

(B

C)

x

A ou x

B

C

x A ou (x B e x C) (x A ou x B) e (x A ou x C) x A B e x A C x (A B) (A C).

Note que alei do cancelamento no vale para a unio e interseo de conjuntos, isto

, A B =A CouA B =A Cno implica, em geral, que B =C. Para ver isto,basta tomarA = Una primeira equao e A= na segunda.

Teorema 1.14 SejamAeB subconjuntos deU. Ento:

1. (A0)0 =A.

2.0 =U, U0 = .

3. A A0 =U, A A0 = .

4. A B B0 A0.

5. (A B)0 =A0 B0, (A B)0 =A0 B0.Prova. Provaremos apenas a primeira parte do item 5.

x (A B)0 x / A B x / A e x / B x A0 e x B0 x A0 B0.

O item 5.do Teorema acima chamado asLeis De Morgan(Matemtico Ingls Au-gustus De Morgan, 1806 - 1871).

Definio 1.15 Seja A um conjunto qualquer. Ento o conjunto cujos elementos sosubconjuntos deA chamado o conjunto de potnciasdeA, em smbolosP(A), isto ,

P(A) ={X :X A}.

Note que o conjunto vazio e o conjunto A (ele prprio) so subconjuntos de A e,

portanto, so elementos deP(A).Exemplo 1.16 SejaA= {0, 1}. Ento os subconjuntos deAso, {0}, {1}eA. Logo,

P(A) ={, {0}, {1}, A}.


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SeA o conjunto vazio, ento P(A)tem um elemento: . Note quexe {x}noso o mesmo, pois x representa um elemento, enquanto, {x}representa um conjunto. Se

x

A, ento{

x} P

(A).

SejamIum conjunto qualquer no-vazio e com cada i Iassociaremos um conjuntoAi U, a famlia de conjuntos

A={Ai:i I}={Ai}iI chamada afamlia indexadapelos elementos de Ie o conjuntoI chamado oconjuntode ndice, isto , a famlia indexada{Ai}iI a regra que associa a cada elemento iIseu objetoAi. Por exemplo, seI={1, 2}, ento a famlia indexada so pares ordenados

{A1, A2}.Seja{Ai}iIuma famlia indexada de subconjuntos de U. A unio dos conjuntosAi

consiste de todos os elementos de Uque pertencem a pelo menos um conjunto Ai, emsmbolos [

iIAi = {x U :x Ai, para pelo menos um i I} .

A interseo dos conjuntos Aiconsiste de todos os elementos deUque pertencem a todos

os conjuntosAi, em smbolos

\iIAi = {x U :x Ai, para todo i I} .Observao 1.17 Quando I= N, usaremos a notao:

[iI

Ai=[i=1

Ai e\iI

Ai=\i=1

Ai.

Exemplo 1.18 Seja{Ai}iN uma famlia indexada de subconjuntos deR, onde

Ai={x R : 1i x 1

i}.

Ento [i=1

Ai = A1 e\i=1

Ai= {0}.

Teorema 1.19 Seja{Ai}iIuma famlia indexada de subconjuntos deU.

1. SeAi B para qualqueri I, entoS

iIAi B.

2. SeB Ai para qualqueri I, ento BTiIAi.

Prova. Provaremos apenas o item 1 . Suponhamos que Ai B, para qualquer i I. Sex SiIAi, ento existe i Ital quex Ai. Logo, por hiptese, x B.


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1.2. CONJUNTOS 15

EXERCCIOS

1. Numa faculdade em que estudam 250alunos houve, no final do semestre, reposio

nas disciplinas de Matemtica e Portugus, sendo que 10alunos fizeram reposiodas duas matrias, 42 fizeram reposio de Portugus e187 alunos no ficaram emreposio. Determinar:

(a) Quantos alunos ficaram, no total, em reposio?

(b) Quantos fizeram reposio apenas em Matemtica?

(c) Quantos ficaram em apenas uma matria?

2. SejamA, B eCsubconjuntos de UcomA B. Mostrar que:(a) A C B C.(b) A C B C.(c) A (B A) =B.(d) B (B A) =A.

3. SejamA e B subconjuntos deU. Mostrar que:

A B = A B=A e B A= B.


(a) A B A B = B.(b) A B A B = A.


(a) A (A B) =A.(b) A (A B) =A.

6. Sejam A, B e Csubconjuntos de U. SeA B = A Ce A B = A C, entoB=C.

7. SejamA e B subconjuntos deU. Mostrar queA B A B0 = .

8. SejamA e B subconjuntos deU. Mostrar queA (A0 B) =A B.

9. SejamA, B eCsubconjuntos de U. SeA B= e A B=U, entoA = B0

.10. SejamA, B eCsubconjuntos de U. Mostrar que

A= B (A B0) (A0 B) = .


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11. SejamA, B eCsubconjuntos deU. SeA BeC=B A, entoA= B C.

12. Sejam A e B subconjuntos de Ue seja Xum subconjunto de Ucom as seguintes

propriedades:

(a) A XeB X;(b) SeA Y eB Y, entoX Y, para todo YU.

Mostrar queX=A B.

13. Enuncie e demonstre um resultado anlogo ao anterior, caracterizando A B.

14. SejamA e B subconjuntos de U. Mostrar que:

(a) (A B) (A B) = .(b) A B = A (A B).(c) A= (A B) (A B).

15. SejamA e B subconjuntos de U. UsandoA B=A B0 mostrar que:

(a) A A= .

(b) A B=A (A B) = (A B) B.(c) (A B) (B A) = .(d) A B= (A B) (A B) (B A).

16. SejamA, B eCsubconjuntos deU. Mostrar que:

(a) (A B) C=A (B C).(b) A (B C) = (A B) (A C).

(c) A (B C) = (A B) (C A).(d) A (B C) = (A B) (C A).

17. SejamA, B eCsubconjuntos deU. Mostrar que:

(a) A B=A (B A), comA (B A) = .(b) B= (B A) (A B), com(B A) (A B) = .

18. SejamAe B subconjuntos deU. UsandoA B =A0 B0 como definio mostrarque:

(a) A A= A0.(b) (A A) (B B) =A B.


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1.2. CONJUNTOS 17

(c) (A B) (A B) =A B.

19. SejamA, B eCsubconjuntos deU. Adiferena simtricaousoma BooleanadeA

eB o conjuntoA 4 B= (A B) (B A). Mostrar que:

(a) A 4 =A.(b) A 4 B = A= B.(c) A 4 B = (A B) (B A).(d) A 4 B = B4 A.

(e) A 4 B = A 4 C B=C.

(f) A 4 (B4 C) = (A 4 B) 4 C.(g) A (B4 C) = (A B) 4 (A C).(h) A C=B C A 4 B C.(i) (A C) 4 (B C) = (A 4 B) C.

20. Seja Bum subconjunto deUcom pelo menos dois elemento, se A Be B{x} A,para todox B, entoA= B.

21. Durante a verifi

cao de controle de qualidade de uma amostra com 1.000 TVsforam encotradas100TVs tendo um defeito no tubo de imagem, 75TVs tendo umdefeito no sistema de som, 80TVs tendo um defeito no controle remoto, 20TVstendo um defeito no tubo de imagem e controle remoto, 30TVs tendo um defeito

no tubo de imagem e sistema de som, 15 TVs tendo um defeito no sistema de some controle remoto, e 5 TVs tendo todos os defeitos relacionados acima. Use umdiagrama de Venn para mostrar que:

(a) 195tm pelo menos um defeito.

(b) 805no tm defeitos.

(c) 55tm somente um defeito no tubo de imagem.

(d) 35tm somente um defeito no sistema de som.

(e) 50tm somente um defeito no controle remoto.

22. Sejam{Ai}iIuma famlia indexada de subconjuntos de UeXum subconjunto deUcom as seguintes propriedades:

(a) Para todoi I, tem-seX Ai;(b) SeY Aipara todoi I, entoY X.

Mostrar queX=T

iIAi.


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23. Enuncie e demonstre um resultado anlogo ao anterior, caracterizandoS

iIAi.

24. Seja{Ai}iIuma famlia indexada de subconjuntos deU. Mostrar que:

(a) (S

iIAi)0 =T

iIA0i.

(b) (T

iIAi)0 =S

iIA0i.

25. Sejam{Ai}iIuma famlia indexada de subconjuntos de U, onde I={1, 2, . . . , n}eAum subconjunto deU. Mostrar que:

(a)Sn

i=1 P(Ai) P(Sn

i=1 Ai).

(b)

Tni=1 P(Ai) =P(T

ni=1 Ai).

(c) A (Tni=1 Ai) =Tni=1(A Ai).(d) A (Sni=1 Ai) =Sni=1(A Ai).

26. Seja {Ai}iNuma famlia indexada de subconjuntos deU. Defina a famlia indexada

{Bi}iN, onde

B1=A1, Bi = Ai i1[n=1

An.

Mostrar que os elementos da famlia {Bi}iN so disjuntos aos pares e

Si=1 Bi =

Si=1 Ai.27. Seja{Ai}iNuma famlia indexada de subconjuntos de U. Mostrar que:

(a) SeA={x U :x Ai para uma infinidade de valores de i},

ento

A=\i=1

[n=i

An

!.

(b) Se

A= {x U :x Ai exceto um nmero finito de valores de i},ento

A=[i=1

\n=i

An

!.

(Sugesto: Sex Ti=1(Sn=i An), entox Sn=i An, i N. Logo, existe umprimeiroi1 N tal quex Ai1. Comox

Sn=i1+1

Antemos que existei2 Ncomi2 > i1 tal quex Ai2, e assim por diante.)

28. Seja{Ai}iNuma famlia indexada de subconjuntos de R, onde

Ai=

x R : 1

i x i + 1

i

.

Determinar o conjuntoA do exerccio 26.


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1.2. CONJUNTOS 19


Ai = x R : 1i x 3 1i .Determinar o conjuntoA do exerccio26.


Ai=

( (1, 1

i], se i par

(1i, 1], se i mpar.

Determinar o conjuntoA do exerccio26.

31. Seja{Ai}iNuma famlia indexada de subconjuntos de R2, onde

Ai={(x, y) R2 : (x (1)i

i )2 + y2


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Captulo 2

Relaes e Funes

Neste captulo apresentaremos dois tipos de relaes, as quais so bsicas para todosos ramos da Matemtica: relaes de equivalncia e funes. O leitor interessado em maisdetalhes pode consultar [13, 17].

2.1 Relaes

Definio 2.1 Sejamxey elementos de um conjunto A. Ento o conjunto{{x}, {x, y}} chamado par ordenado, em smbolos(x, y); x chamada aprimeira componente (ou

coordenada)eyasegunda componente (oucoordenada).

Provaremos que(x, y) = (z, w) x= z ey=w.De fato, se x = z e y = w, ento trivialmente (x, y) = (z, w). Reciprocamente, seja

(x, y) = (z, w). Ento

{{x}, {x, y}}= {{z}, {z, w}}.

Pela definio de iguadade de conjuntos, obtemos

{x}= {z} ou {x}={z, w}.

Se{x}= {z}, ento devemos ter {x, y}={z, w}. Assim, x = z e y =w. Se, por outrolado, {x} = {z, w}, ento devemos ter {x, y} = {z}. Logo, x = z = w e x = y = z.

Portanto,x = z =y = w.

Definio 2.2 Sejam A e B dois conjuntos. O conjunto de todos os pares ordenados(x, y), ondex Aey B, chamado o produto cartesianodeAeB, nesta ordem, emsmbolosA B, isto ,

A B = {(x, y) :x A, y B}.

Quando A = B, temos o produto cartesiano A2 =A A. O subconjunto

D= {(a, b) A2 :a = b}

chamado adiagonaldeA2.

21


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22 CAPTULO 2. RELAES E FUNES

Exemplo 2.3 SeA= {0, 1}eB={0, 2, 4}, ento

A B = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 2), (1, 4)}

e

B A={(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1), (4, 0), (4, 1)}.

Assim, claramenteA B6=B A. De fato, A B=B A A= B, A = ouB = .

O termo cartesiano tomado emprestado da geometria de coordenadas, onde umponto no plano representado por um par ordenado de nmeros reais(x, y), chamado suas

coordenadas cartesiana. O produto cartesiano RR ento o conjunto das coordenadascartesiana de todos os pontos do plano.

Note que, se o conjunto Acontm melementos e B contm nelementos, ento A B contm mn elementos, pois no par ordenado (x, y) existem m possibilidades para a

primeira componente enpossibilidades para a segunda componente. fcil verificar que:

(x, y) / A B x / A ou y / B.

Teorema 2.4 SejamA, B,CeDconjuntos. Ento:

1. A (B C) = (A B) (A C);

2. A (B C) = (A B) (A C);3. A (B C) = (A B) (A C);

4. (A B) (C D) = (A C) (B D);

5. SeC D6= , ento C D A B C AeD B.

Prova. Provaremos apenas o item (1).

(x, y) A (B C) x A e y (B C) x A e y B e y C (x, y) A B e (x, y) A C (x, y) (A B) (A C).

Definio 2.5 SejamA, Bconjuntos eRum subconjunto deA B. EntoR chamadoumarelaodeA emB . Se(x, y) R, ento dizemos quex est relacionado com y, emsmbolosxRy. Quando A= B dizemos queR umarelao binriaemA.

Note que, uma relao determinada por trs conjuntos A, Be um subconjuntoRdeA B, embora chamamo-a simplesmente de relao. SeR uma relao deA em B eSuma relao de CemD, ento R eS soiguais, em smbolos R=S, se, e somente se,A= C,B=D e xRy xSy, para todo x Ae y B.


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2.1. RELAES 23

Exemplo 2.6

R1 = {(x, y) R R :x2 + y2 = 1}; R2= {(x, y) Z Z :y = 2x} eR3 = {(x, y) Z Z :x2 + y2 = 4}= {(2, 0), (0, 2)}.

Definio 2.7 SejaR uma relao deAemB, entoR1 definida por

R1 ={(y, x) B A: xRy} uma relao deB emA, chamadarelao inversadeR.

Exemplo 2.8 SejaA={0, 1, 2, 3}. Se

R= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}, ento R1 ={(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2)}.

Definio 2.9 SejamRuma relao deAemB eSuma relao deB emC. Ento arelao compostadeAemC, em smbolosS R, dada por

S R= {(x, z) A C: y B tal que xRy e ySz}.Exemplo 2.10 SejaA= {0, 1, 2, 3}. Se

R= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} e S={(1, 0), (2, 1), (3, 2)}

so duas relaes emA, ento

S R={(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2)} e R S={(2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}.Teorema 2.11 SejamRuma relao deAemB, Suma relao deB emCeT umarelao deCemD. Ento as seguintes condies so satisfeitas:

1. (R1)1 =R.

2. (S R)1 =R1 S1.3. (T S) R=T (S R).

Prova. Provaremos apenas o item (1).

(x, y) (R1)1 (y, x) R1 (x, y) R.

Seja R uma relao de A em B. Ento odomnio de R, em smbolos DomR, o

conjuntoDomR= {x A: y B tal que xRy}

e aimagemdeR, em smbolosIm R, o conjunto

Im R= {y B : x A tal que xRy}.Note que DomR A, Im R B e R DomR Im R. O conjunto B chamado ocontradomnioda relao R.


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Teorema 2.12 SejamR uma relao deAemB eSuma relao deB emC. Ento:

1. DomR= Im R1.

2. Im R=DomR1.

3. Dom(S R) DomR.

4. Im(S R) Im S.

Prova. Provaremos apenas os itens (1) e (3).

x

DomR

y

B tal que (x, y)

R

y B tal que (y, x) R1 x Im R1.

ex Dom(S R) z Ctal que (x, z) S R

y B tal que (x, y) R e (y, z) S x DomR.

Defi

nio 2.13 Uma relao R em um conjunto no-vazio A umarelao de equiv-alnciaemAse as seguintes condies so satisfeitas:

1. xRx, x A (reflexividade e DomR= A);

2. SexRy, entoyRx, x, y A (simetria);

3. SexRy eyRz, ento xRz (transitividade).

Observao 2.14 Quando uma relao Rem um conjunto Afor uma relao de equi-

valncia, adotaremos, em geral, a notao em vez deRe dizemos quex equivalente aymdulo ;quando no existir perigo de ambiguidade, escreveremos simplesmentex y.

Exemplo 2.15 SejaAum conjunto no-vazio. Parax, y A, definimos

x y x= y.

Ento fcil verificar que uma relao de equivalncia emA.

Exemplo 2.16 SejaA= R R. Para(a, b), (c, d) A, definimos(a, b) (c, d) a c, b d Z.

Ento uma relao de equivalncia emA.


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2.1. RELAES 25

Soluo. (a, b) (a, b), poisaa= b b= 0 Z. Se(a, b) (c, d), ento(c, d) (a, b),pois

c

a=

(a

c), d

b=

(b

d) Z

.

Finalmente, se(a, b) (c, d)e (c, d) (x, y), ento(a, b) (x, y), pois

a x= (a c) (x c), y b= (y d) (b d) Z.

Exemplo 2.17 SejaA= N. Parax, y A, definimos

x y x + y= 10.

Entono uma relao de equivalncia emA, poisno reflexiva:

4 + 46= 10 4 4.

Exemplo 2.18 SejaA= Z. Parax, y A, definimos

x y x y= 3n, n Z.

Ento fcil verificar que uma relao de equivalncia emA.

Seja uma relao de equivalncia em A. Parax A, xdenota o subconjunto de A

formado pelos elementos deA que so equivalentes ax, isto ,x={y A: y x}.

Esse conjunto chamado aclasse de equivalncia dexmdulodeterminada por x.Oconjunto quocientedeA pela relao de equivalncia , em smbolos

A

,

o conjunto de todas as classes de equivalncias mdulo . Assim,A ={x: x A}.

Exemplo 2.19 SejaA= {0, 1, 2, 3, 4}. Ento

R = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2),

(2, 4), (4, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}

uma relao de equivalncia emAe

0 = 1 ={0, 1} e 2 = 3 = 4 ={2, 3, 4}.

Assim,A

={0, 2}.


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Exemplo 2.20 Sejaa relao do Exemplo2.18. EntoA

={0, 1, 2}.

Soluo.0 = {x A: x 0} = {x A: x = 3n, n Z},1 = {x A: x 1} = {x A: x = 3n + 1, n Z},2 = {x A: x 2} = {x A: x = 3n + 2, n Z},

e0 = 3, 1 = 4, 2 = 5, etc.

Teorema 2.21 Sejauma relao de equivalncia emA. Ento:

1. x6= , para todo x A.

2. Sey x, entox= y.

3. x= y x y, x, y A.

4. x y= oux= y, x, y A.

5. A=

SxA x.

Prova. (1)Como x x, para todo x A, temos quex6= . (2)Se y x, entoy x.Agora,

z y z y e y x z x z x.Logo, x = y. (3)direto do item(2). (4)direto do item(3). Para provar(5), comox A, x Atemos que [

xAx A.

Reciprocamente, x

x

{x}

x. Assim,

A=[xA

{x} [xA

x.

Definio 2.22 SejaAum conjunto no-vazio. Dizemos que um conjunto P P(A)umapartiodeAse as seguintes condies so satisfeitas:

1.

/

P;

2. X=Y ouX Y = , para todosX, Y P (disjuntos aos pares);

3.S

XPX=A.


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2.1. RELAES 27

Note que a definio acima equivalente a: cada elemento de A pertence a um e

somente um elemento (ou bloco) de P. Note, tambm, que cada subconjunto prprio eno-vazio XdeA determina uma partio de A em dois subconjuntos, a saber,

P={X, A X}.

Exemplo 2.23 SejaA= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ento

P1={{1, 3, 5}, {2, 7}, {4, 6}}

uma partio deAmas

P2={{1, 2, 3}, {2, 3, 4, 5}, {5, 6, 7}} e P3 = {{1, 3}, {4, 7}}

no o so.

Exemplo 2.24 SeA= R, entoP={X ,Y,Z }, onde

X= ] , 0[, Y = [0, 3] e Z= ]3, +[,

uma partio deA.

Exemplo 2.25 SeA= Z, entoP={X, Y}, onde

X={0, 2, 4, . . .} e Y ={1, 3, 5, . . .},

uma partio deA, pois todo inteiro par ou mpar. Note que

R= {(x, y) A A: n A tal que x y= 2n}

uma relao de equivalncia emAtal que0 =Xe1 =Y. Mais geralmente, temos:

Teorema 2.26 SeP uma partio do conjunto A, ento existe uma nica relao deequivalncia emAcujas classes de equivalncia so precisamente os elementos deP.

Prova. (Existncia) Dados a, b A, definimos

aRb existe X Ptal que a, b X.

EntoR uma relao de equivalncia em A. De fato, dadosa, b, c Atemos que: aRa,por definio. SeaRb, ento existe X Ptal que a, b X; como b, a X temos quebRa. Finalmente, seaRbe bRc, ento existem X, Y Ptais que a, b X e b, c Y.Comob X Ytemos, por definio, queX=Y. Logo, a, c XeaRc.

Agora, vamos mostrar queA

R=P.


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SeX P, ento existea Atal quea X, pois X6= ; assim,

b

X

bRa

b

a;

isto , X=a; logo, P AR

. Reciprocamente, sejam a AR

e Xo elemento de Ptal quea X. Ento

b a bRa b X;isto ,a= X; logo, A

R P.

(Unicidade) SejamR1eR2duas relaes de equivalncias emA tais que

A

R1=P=

A

R2.

Ento, para todos a, b A,(a, b) R1 existe X Ptal que a, b X (a, b) R2.

Portanto,R1 = R2.

Exemplo 2.27 SejaA= R R. Para(a, b), (x, y) A, definimos

(a, b) (x, y) a x= b y.

Ento fcil verificar que uma relao de equivalncia emA. Agora, para(a, b) A,

(a, b) ={(x, y) A: y = x + b a},

isto , as classes de equivalncia emA so retas de coeficiente angular igual a1 passando

pelo ponto(a, b). Assim, a relao pode ser vista como uma partio deAnuma famliade retas paralelas.

EXERCCIOS

1. Teste a validade das propriedades reflexiva, simtrica e transitiva para as relaes

Rem A= {1, 2, 3}dadas abaixo. Descreva a partio associada a cada relao deequivalncia:

(a) R= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)};

(b) R= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3)};

(c) R= {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)};

(d) R= A A.

2. SejaA = N N. Para(a, b), (c, d) A, definimos

(a, b) (c, d) a + d= b + c.

Mostrar que uma relao de equivalncia em A. Descreva suas classes deequivalncia e o conjunto quociente.


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2.1. RELAES 29

3. SejaA= Z Z, ondeZ = Z {0}. Para(a, b), (c, d) A, definimos

(a, b)

(c, d)

ad= bc.

Mostrar que uma relao de equivalncia em A. Descreva suas classes deequivalncia e o conjunto quociente.

4. SejaA= C. Paraz=a + bi,w = c + id A, definimos

z w a2 + b2 =c2 + d2.

Mostrar que uma relao de equivalncia emA. Descreva a classe 1 + i.

5. Teste a validade das propriedades refl

exiva, simtrica e transitiva para as relaes emZ dadas abaixo. Descreva a partio associada a cada relao de equivalncia:

(a) x y x < y;(b) x y xy 0;(c) x y x y= 2n + 1comn Z;(d) x y x2 =y2;(e) x y |x y| 1;(f) x y y= x + 1;(g) x y x

y = 2n, para algumn Z.

6. Teste a validade das propriedades reflexiva, simtrica e transitiva para as relaesbinrias atravs dos seguintes subconjuntosR se R2. Descreva a partio associada

a cada relao de equivalncia:

(a) R= {(x, y) R2 :x 0e y 0};

(b) R= {(x, y) R2

:y = x};(c) R= {(x, y) R2 :x 0e y 0};(d) R= {(x, y) R2 :x2 + y2 4};(e) R= {(x, y) R2 : 1 y x 1}.

7. Seja Ruma relao emA. D um exemplo para mostrar que o seguinte argumento falso. Se xRy, ento por simetria yRxe por transitividadexRx, isto , reflexividade

uma condio suprflua na definio de relao de equivalncia em A. (Sugesto:

Observe o domnio da relaoR.)8. SejamR uma relao em A e D = {(x, x) :x A}. Mostrar que:

(a) R reflexiva se, e somente se, D R;


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(b) R simtrica se, e somente se,R = R1;

(c) R transitiva se, e somente se,R R R.

9. SejaR uma relao reflexiva emA. Mostrar que R uma relao de equivalnciaemA se, e somente se,R R1=R.

10. SejaA = R. Paraa, b A, definimos

a b ab= x2 + y2,

para algunsx, y A. Mostrar que uma relao de equivalncia emA.

11. Seja R uma relao reflexiva em A. Mostrar queS

R

S e S

S

R paraqualquer relaoSemA.

12. SejamRe Sduas relaes de equivalncia em A. Mostrar queS R uma relaode equivalncia em A se, e somente se, S R= R S.

13. SejamReSduas relaes de equivalncia em A. Mostrar queR S uma relaode equivalncia em A se, e somente se, S R R SeR S R S.

14. Seja{Ri}iIuma famlia indexada de relaes de equivalncia em A. Mostrar que

TiIRi uma relao de equivalncia em A.15. SejaA B fixado. ParaX, Y P(B), definimos

X Y A X=A Y.

Mostrar que uma relao de equivalncia emP(B).

16. Mostrar que as seguintes relaes so relaes de equivalncia em R2.

(a) (a, b)

(c, d)

ad= bc, comb, d

R;

(b) (a, b) (c, d) a + d= b + c;(c) (a, b) (c, d) a c Ze b= d;(d) (a, b) (c, d) ab= cd;(e) (a, b) (c, d) a2 + b2 =c2 + d2;(f) (a, b) (c, d) xa2 + yb2 =xc2 + yd2, comy > x >0.

17. D exemplos de relaes de equivalncia em um conjunto A tais que:

(a) A ={A};

(b) x= {x}, x A;(c) Aseja um conjunto infinito e o conjunto A contenha exatamente5 elementos;


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2.2. FUNES 31

(d) Aseja um conjunto infinito e A tambm o seja.

18. SejaL o conjunto de todas as retas no plano. SejamR1eR2 as seguintes relaes

emL:R1={(r, s) :r k s}, R2={(r, s) :r s}.

Mostrar, argumentando informalmente, que:

(a) R1 uma relao de equivalncia em L;

(b) R2 R1 = R2eR1 R2 = R2;(c) R1 R2 uma relao de equivalncia em L; descreva suas classes de equiv-

alncia.

19. Uma relaoem A chamadacircular sex ye y z implica quez xparatodosx, y,z A. Mostrar que uma relao de equivalncia se, e somente se, reflexiva e circular.

20. SejamR uma relao em A e

S={(a, b) : n N e x1=a, x2, . . . , xn=b tal que (xi, xi+1) R}.Mostrar que:

(a) S um relao transitiva em Ae seT uma relao transitiva em A tal queR T, entoS T.

(b) SeR reflexiva e simtrica, entoS uma relao de equivalncia em A.

21. Seja aN. Mostrar que a famlia indexada{An}nZ, onde An = [na, (n+ 1)a[, uma partio deR.

22. Descreva a relao de equivalncia correspondente a seguinte partio de Z:

{. . . ,

8,

4, 0, 4, 8, . . .

} {. . . ,

7,

3, 1, 5, . . .

} {. . . , 6, 2, 2, 6, . . .} {. . . , 5, 1, 3, 7, . . .}

2.2 Funes

O conceito de funo um dos mais bsicos em toda a Matemtica. Uma funo ,geralmente, definida como segue: Se Ae B so dois conjuntos, ento uma funo de A

emB uma regra que a todo elemento x Aassocia um nico elementoy B; paraindicar a conexo entre x e y usualmente escreve-se y = f(x).

Sef uma funo de Aem B, ento ogrficodef o conjunto de todos os pares

ordenados (x, y)tais que y= f(x), isto ,

graf(f) ={(x, y) A B : y = f(x)}.


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Exemplo 2.28 SejamA ={1, 0, 1, 2}, B={0, 1, 2}efa funo definida pela tabelax 1 0 1 2

f(x) 0 0 2 1.

Ento o grfico def

graf(f) ={(1, 0), (0, 0), (1, 2), (2, 1)}.

Claramente, podemos usar as informaes contidas na tabela para construir o grficodefe usar as informaes contidas no grfico para construir a tabela de f. Assim, uma

funo determina completamente seu grfico e, reciprocamente, seu grfico determinacompletamente a funo. Logo, no existe necessidade de distinguir entre uma funo e

seu grfico. Por essa razo usaremos um tratamento rigoroso para definir funo.

Definio 2.29 Uma funoouaplicaodeA emB uma relao f deA emB talque se(x, y1) f e(x, y2) f, ento y1 =y2.

Escrevemos f : A B para indicar que f uma funo com domnio A e con-tradomnioB. Se(x, y)fdizemos que y o valor oua imagemdexcom respeito af, em smbolosy=f(x), tambm dizemos que x apr-imagemdeycom respeito a f.Assim, a definio acima equivalente a: para cada elemento x Acorresponde a umanica imagem y B. Note que, se y1 = f(x1), y2 = f(x2) e x1 = x2, ento y1 = y2;dizemos que a funo fest bem definida, isto , se x1 = x2, ento f(x1) = f(x2). O

leitor, sempre que possvel, deve fazer o grfico de uma funo, pois muito importanteter uma idia geomtrica da mesma.

Exemplo 2.30 Sef={(1, 0), (0, 0), (1, 2), (2, 1)}, ento f uma funo com

Domf={1, 0, 1, 2}, Im f={0, 1, 2}

e

f(1) = 0, f(0) = 0, f(1) = 2, f(2) = 1.Exemplo 2.31 SeR = {(x, y) RR :x2 + y2 = 25}, entoR uma relao, masRno uma funo, pois(3, 4) Re(3, 4) Rcom46= 4.

Exemplo 2.32 Sejamf :R Reg : R Rduas funes definidas porf(x) = x2 eg(x) =|x|, respectivamente. Ento f=g, pois

x2 =|x|, x R.

Exemplo 2.33 Sejam f : R R e g : R R+ = {x R : x 0} duas funesdefinidas porf(x) =x2 eg(x) =x2, respectivamente. Ento f6=g, poisR 6= R+.

Sejaf :A B uma funo. Ento Im f B. SeIm f =B dizemos quefaplica AsobreBou quefsobrejetora, isto , dado qualquer y Bexiste pelo menos umx Atal quey = f(x).


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2.2. FUNES 33

Exemplo 2.34 Seja f : R R+ uma funo definida por f(x) = x2. Ento f sobrejetora, pois dado y R+ sempre existex Rtal que

x= y ou y= x2.

Uma funof :A B chamadainjetorasefsatisfaz a seguinte condio:

(x1, y) f e (x2, y) f x1= x2, x1, x2 A

ou, equivalentemente,

f(x1) =f(x2) x1 = x2, x1, x2 A.

Exemplo 2.35 Sejaf : R Ruma funo definida porf(x) =x3. Ento f injetora,pois

f(x1) =f(x2) x31=x32 x31 x32 = 0 (x1 x2)(x21+ x1x2+ x22) = 0.

Logo,x1 x2 = 0 ou x21+ x1x2+ x22 = 0.

Assim, x1= x2 ou

x21+ x1x2+ x22= (x1+ x22)2 + 3(x22)

2 = 0 x1 = x2= 0.

Uma funo f : A B chamadabijetoraoucasada se f sobrejetora e injetora.Note que, se f : A B bijetora, ento todo elemento de A tem exatamente umaimagem em B e todo elemento de B tem exatamente uma pr-imagem em A. Assim,todos os elementos de A e todos os elementos de B so associados aos pares. Por essarazo, sef :A B bijetora, dizemos, s vezes, que f umacorrespondncia biunvocaentreAe B. Em particular, se f : AA bijetora, dizemos que f umapermutaodeA.

Exemplo 2.36 Sejaf :RR uma funo definida porf(x) = bxc, ondebxc igualao maior inteiro menor do que ou igual ax, isto ,

bxc= max{n Z :n x}.

Entofno bijetora, pois

b1

2c= b

3

4c= 0 e

1

26=bxc, x R.

Dizemos que bxc a parte inteira de x e que o nmero real x0 = x bxc a partefracionriadex. Alm disso, x0 satisfaz a propriedade

0 x0 < 1.


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SejaAum conjunto no-vazio. A funo IA: A Adada por

IA(x) =x,

x

A

chamada afuno identidade. Note queIA sempre bijetora.

SejamA, B dois conjuntos eb B. A funok : A Bdada por

k(x) =b, x A

chamada afuno constante. Note que, se Atem pelo menos dois elementos, ento kno injetora e se B tem pelo menos dois elementos, ento k no sobrejetora.

SejamA um conjunto eX A. A funo i : X Adada por

i(x) =x, x X

chamada afuno incluso. Note que,i sempre injetora, portanto, se X6=A, entoino sobrejetora.

Sejamf :A Buma funo eX A. Entofinduz uma funofX :X Bdadapor

fX(x) =f(x), x X,a qual chamada a restrio defpara X, em smbolos fX = f |X. Por outro lado, se

A C, ento a funoF :C Bdada porF(x) =f(x), x A

chamada aextensodefparaC. Note que, f=F |A.Sejam f : A A uma funo e X A. Dizemos que X invariante sob f se

f(x) X, para cada x X, isto , f(X) X. Assim, se X invariante sob f, ento afX uma funo deXemX. O conjunto

Af={x

A: f(x) =x}

o conjunto depontosfixosdefe claramente invariante sobf.

Teorema 2.37 Sejamf : A B eg : B Cduas funes. Ento g f : A C uma funo.

Prova. Pelo Teorema 2.12, temos que

Dom(g f) Domf=A e Im(g f) Im g C.

Agora, sex Domf, ento existe y B tal que (x, y) f. Como Domg= B temos queexistez Ctal que (y, z) g. Assim, existe y B tal que (x, y) f e(y, z) g, paraalgumz C, isto , (x, z) g f. Logo, Domf Dom(g f). Finalmente, suponhamosque (x, z1) g f e (x, z2) g f. Ento existem y1, y2 B tais que (x, y1) f e


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2.2. FUNES 35

(y1, z1) g, (x, y2) f e (y2, z2) g, isto , (x, y1) f e (x, y2) f , (y1, z1) g e(y2, z2)g. Como, por hiptese f uma funo, temos que y1 = y2. Logo, (y1, z1)ge (y

1, z

2)

g. Como, por hiptese g uma funo, temos que z1

=z2. Portanto, g

f

uma funo.

A funo g f chamada acomposio de f com g. Note quez = (g f)(x)se, esomente se,(x, z) g fse, e somente se, existe y Btal que(x, y) fe(y, z) gse,e somente se, existey Btal quey= f(x)e z= g(y). Logo,

(g f)(x) =g(f(x)).

Assim, para obter o valor da composio de fcomg emx primeiro encontramos o valor

defemx para depois encontrarmos o valor de g em f(x).A compoio de duas funes f : A B e g : B Cpode ser representada pelo

diagramaA B A C

Seh : A C uma funo tal que h IA(x) =g f(x), x A, dizemos que odiagramacomuta. claro que o diagrama comuta se, e somente se, h= g f.

Uma funo f : AB chamadainvertvel se f1

: B A for uma funo. Sejaf :A Buma funo invertvel. Ento

y= f(x) (x, y) f (y, x) f1 x= f1(y).

Teorema 2.38 Sef :A B uma funo bijetora, ento f1 :B A uma funobijetora.

Prova. Pelo Teorema 2.12, temos que

Im f1 =Domf=A e Domf1 = Im f=B.

Agora, vamos mostrar que f1 uma funo.

(y, x1) f1 e (y, x2) f1 (x1, y) f e (x2, y) f x1=x2,

pois f injetora. Como Im f1 = A temos que f1 sobrejetora. Finalmente, dados

y1, y2 B,

x= f1(y1) =f1(y2)

(y1, x)

f1 e (y2, x)

f1

(x, y1) f e (x, y2) f y1 =y2,

poisf uma funo. Logo, f1 injetora.


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Teorema 2.39 Sef :A B uma funo invertvel, ento f :A B uma funobijetora.

Prova. Como, por hiptesef :A B uma funo invertvel, temos que f1 :B Auma funo. Assim, pelo Teorema 2.12, temos que Im f=Domf1 =B. ComoIm f=Btemos quef sobrejetora. Finalmente, dados x1, x2 A,

y= f(x1) =f(x2) (x1, y) f e (x2, y) f (y, x1) f1 e (y, x2) f1 x1 = x2,

poisf1 uma funo. Logo, f injetora.

Teorema 2.40 Sejaf :A B uma funo invertvel. Ento:1. f1 f=IA.

2. f f1 =IB.

Prova. Provaremos apenas o item (1).Dado x A = Domf. Ento existey B tal que y = f(x). Comof invertvel

temos quex= f1(y). Logo,

(f1

f)(x) =f1

(f(x)) =f1

(y) =x = IA(x), x A,isto ,f1 f=IA.

Teorema 2.41 Sejamf :A Beg: B Aduas funes. Seg f=IAef g= IB,entof :A B bijetora eg= f1.

Prova. Exerccio.

Sejamf :AB uma funo e X A. Aimagem direta de X sob f, em smbolos

f(X), o seguinte subconjunto deB:f(X) = {y B: x Xtal que y= f(x)}

= {f(x) :x X} Im f.Sejamf :A B uma funo e Y B. Apr-imagemouimagem inversadeY sob

f, em smbolosf1(Y), o seguinte subconjunto de A:

f1(Y) ={x A: f(x) Y} .

Observao 2.42 f1(Y) faz sentido sempre, mesmo quando fno injetora e nem

sobrejetora. Sefno injetora, ento f1(Y) pode ter mais de um elemento, mesmosendo Yum conjunto unitrio;sefno sobrejetora, ento f1(Y)pode ser vazio com

Y 6=. Quando Y = {y}, denotaremos f1({y}) por f1(y) e, neste caso, f1(y) chamada a fibradef soby.


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2.2. FUNES 37

Exemplo 2.43 SejamA = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={0, 4, 6, 8}e

f={(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 4), (5, 6), (6, 6)}.

Ento

f({1, 2, 3, 4}) ={0, 4}, f1({6}) ={5, 6} e f1(8) = .

Exemplo 2.44 Sejaf : R Ruma funo definida porf(x) =x2 3x + 2. Ento:

f1(0) = {1, 2},

f1([0, +[) = ] , 1] [2, +[,f1(] , 0]) = [1, 2],

f1([1, 2]) = [0, 35

2

]

[3+5

2

, 3].

Exemplo 2.45 Sejaf :A B uma funo. Parax, y A, definimos

x y f(x) =f(y).

Ento uma relao de equivalncia emA chamadarelao de equivalncia associada funo f ou o ncleo de equivalncia de f. Reciprocamente, se uma relao deequivalncia emA, definimos uma funo

f :A

A

, por f(x) =x.

fcil verificar quef bem definida e sobrejetora;f chamada afuno cannicadeAsobre A .

Teorema 2.46 Sejaf :A B uma funo. Ento:

1. f(f1(Y)) Y, para todo Y B.

2. X f1(f(X)), para todo X A.

3. f(f1(Y)) =Y, para todo Y B f sobrejetora.4. X=f1(f(X)), para todo X A f injetora.

Prova. Provaremos apenas o item (3). Suponhamos que f(f1(Y)) = Y, para todoY B. Dado y B = f(f1(B)), temos que y = f(x), para algum x f1(B) A;logo,y = f(x), para algumx A, isto , f sobrejetora.

Reciprocamente, pelo item(1),f(f1(Y)) Y, para todo Y B. Por outro lado, sey Y B, ento existe, por hiptese, xAtal que y =f(x)e, portanto, para algumx f

1

(Y), poisf(x) Y; assim,y= f(x) f(f1(Y)).

Logo, Y f(f1(Y)).


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O produto cartesiano de dois subconjuntos Ae BdeUfoi definido como o conjunto

A B= {(x, y) :x

A, y

B}.

Essa definio pode ser estendida, de modo natural, para um nmero finito de subcon-

juntosA1, A2, . . . , AndeU. O produto cartesiano

A1 A2 An

o conjunto de todas as n-uplas ordenadas

(x1, x2, . . . , xn),

ondexi Aipara cadai = 1, 2, . . . , n, isto ,

A1 A2 An= {(x1, x2, . . . , xn) :xi Ai, i= 1, 2, . . . , n}.

claro que{Ai}iI uma famlia indexada de subconjuntos de U, ondeI={1, 2, . . . , n}.Assim, uma n-upla ordenada pode ser vista como uma funo que associa a cada i Ium elementoxi Ai. Sef essa funo, ento f descrita pela tabela abaixo. Usandoa tabela abaixo podemos construir a n-upla ordenada(x1, x2, . . . , xn); reciprocamente, se

foi dada a n-upla ordenada(x1, x2, . . . , xn), ento podemos construir a tabelax 1 2 n

f(x) x1 x2 xn.

Portanto, a funo f e a n-upla ordenada (x1, x2, . . . , xn)so, essencialmente, a mesmacoisa. De um modo geral temos a seguinte definio:

Definio 2.47 Sejam{Ai}iIuma famlia indexada de subconjuntos deUeA=

SiIAi.

Oproduto cartesianodos subconjuntosAi YiI

Ai = {f :I A: f uma funo e f(i) Ai, i I} .

Exemplo 2.48 SejamI={1, 2}, A1 ={a, b}eA2 ={c, d}. EntoQ2

i=1 Ai consiste detodas as funesf :{1, 2} {a,b,c,d}tais quef(1) A1 ef(2) A2. fcil verificarque existem quatro funes. Assim, podemos identific-las com os quatro pares ordenados

(a, c), (a, d), (b, c) e (b, d),

repectivamente. Portanto,2Y

i=1

Ai=A1 A2.


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2.2. FUNES 39

Se

x= (x1, x2, . . . , xn, . . .)

YiIAi,

dizemos que Ai a i-sima componentedeQiIAi e xi Ai ai-sima coordenada dafamlia

x= (x1, x2, . . . , xn, . . .).

Quando I N, dizemos quex= (x1, x2, . . . , xn, . . .)

umaseqncia. Seja A=Q

iIAi. Para cada ndice iIdefinimos uma funo pi deAem Aipor

pi(x) =xi, x A.A funopi chamada ai-sima projeodeA sobreAi.

EXERCCIOS

1. Determinar todas as funes deA={1, 2, 3}em B ={1, 2}.

2. Verificar se as seguintes funes fso bem definidas:

(a) f : Q Zdefinida porf(mn ) =m;

(b) f : Q Qdefinida porf(mn

) = m2

n2.

3. D exemplo de uma funof : R Rque

(a) seja injetora mas no seja sobrejetora;

(b) seja sobrejetora mas no seja injetora.

4. Mostrar que as seguintes funes so bijetoras:

(a) f : R ]0, +[definida porf(x) =ex;(b) g: ]0, +[]0, 1[definida porg(x) = x

1+x;

(c) h: R ]0, 1[definida porh(x) = ex1+ex

.

5. Para a, bR, definafab :RR pela frmula fab(x) = ax+b para cada xR.Mostrar que:

(a) f1bfa0=fab;(b) Sea 6= 0, entofab bijetora. Obtenha f1ab.

6. Sejaf : R Ruma funo. Sendof(2x 3) =x2, determinarf(x).


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7. Sejaf : R Ra funo definida por

f(x) =x2

2cx + c2

2c

1.

Sabendo que k e m so as razes de f, determinar todos os valores reais de c tais

que(k m)2 2(k+ m)2 + 2

seja um nmero inteiro.

8. Sejaf : [0, 1] [a, b]a funo definida por

f(x) =a(1 x) + bx.Mostrar quef bijetora. Definir sua inversa.

9. Sejaf : R {dc

} R {ac

}a funo definida por

f(x) =ax + b

cx + d,

onde ad bc 6= 0. Mostrar que f bijetora. Definir sua inversa e mostrar que fpode ser escrita como compostas de funes da forma

Tk(x) =x + k e Sm(x) =m

x.

10. Sejaf : ] 1, 1[ Ra funo definida por

f(x) = x

1 |x| .

Mostrar quef bijetora. Definir sua inversa.

11. Sejaf : [0, +[ [12, +[a funo definida porf(x) =x2 + 2kx + k2 4,

onde a constante real kfaz com que a funo fadmita inversa. Sabendo-se que g a funo inversa de f, calcularg(21).

12. Sejamf :A Beg : B Cduas funes. Mostrar que:

(a) Seg

f sobrejetora, ento g tambm o ;

(b) Seg f injetora, entoftambm o ;(c) Sefeg so ambas bijetoras, entog ftambm o e, alm disso, (g f)1 =

f1 g1.


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2.2. FUNES 41

13. Sejaf :A B uma funo. Mostrar que:

f

IA= f=IB

f.

14. Sejamf :A Buma funo eX1, X2 A. Mostrar que:

(a) f(X1 X2) =f(X1) f(X2);(b) f(X1 X2) f(X1) f(X2);(c) f(X1) f(X2) f(X1 X2);(d) SeX1 X2, entof(X1) f(X2).

15. Sejaf :A

B uma funo. Mostrar que f injetora se, e somente se,

f(X1 X2) =f(X1) f(X2),

para todos os subconjuntos X1, X2 A.

16. Sejamf :A Buma funo eY1, Y2 B. Mostrar que:

(a) f1(Y1 Y2) =f1(Y1) f1(Y2);(b) f1(Y1 Y2) =f1(Y1) f1(Y2);

(c) f1

(Y1) f1

(Y2) =f1

(Y1 Y2);(d) SeY1 Y2entof1(Y1) f1(Y2).

17. Sejamf :A Be g : B Aduas funes tais que g f=IAe f sobrejetora oug injetora. Mostrar que feg so bijetoras. Conclua que f g= IB.

18. Sejaf :A B uma funo com A no-vazio. Mostrar que: f :A B injetorase, e somente se, existe uma funo g : B A tal que g f = IA. (Sugesto:Se f : A B injetora, ento f : A C bijetora, onde C = Im f. Assim,

f1

:C A uma funo. Seja a Afi

xado. Ento defi

nag: B Aporg(y) =

( f1(y), se y Ca, se y / C.

Continue.)

19. Seja f :NNdefinida por f(n) = n+ 1. Mostrar que existem infinitas funesg: N Ntais que g f=INmas no existe inversa direita.

20. Sejaf :A Buma funo com Ano-vazio. Mostrar que: f :A B sobrejetorase, e somente se, existe uma funo g : B Atal que f g = IB. (Sugesto: Sef : A B sobrejetora, ento f1(y) 6=, para todo y B. Logo, para caday B, podemos escolherx= x(y) f1(y). Agora, definag : B Aporg(y) =x,continue.)


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21. Sejaf : N Ndefinida por

f(n) = ( n2

, se n parn+12 , se n mpar.

Mostrar que existem infinitas funesg : N Ntais quef g= INmas no existeinversa esquerda.

22. Mostrar que as seguintes afirmaes so equivalentes:

(a) f :A B sobrejetora;(b) Para todas as funes g, h: B C,

g f=h f g= h;

(c) Para cada subconjunto

X A, B f(X) f(A X).

(Sugesto: Suponha, por absurdo, que exista X A tal que B f(X) *f(A X), isto , existe y0 B f(X)e y0 / f(A X). Entoy0 6= f(x),para todox

A. Agora, fixadob

Bcomb 6=y0, definag : B

Bpor

g(y) =

(y, se y6=y0b, se y= y0

e sejah = IB. Ento

f(x) = (g f)(x) e f(x) = (h f)(x), x A,

isto , g f=h f. Logo, h= g, o que uma contradio.)

23. Mostrar que as seguintes afirmaes so equivalentes:

(a) f :A B injetora;(b) Para todas as funes g, h: C A,

f g= f h g= h;

(c) Para cada subconjunto X A,

f(A

X)

B

f(X).

24. Sejamf :A B, g : B Aduas funes eX A, Y B. Mostrar que:

(a) (g f)|X=g (f |X);


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2.2. FUNES 43

(b) (f |X)1(Y) =X f1(Y).

25. Sejam f : A

C e g : A

B duas funes. Mostrar que existe uma funo

h: B Ctal que f=h gse, e somente se,

g(x) =g(y) f(x) =f(y), x, y A.

Mostrar queh nica.

26. Sejam f : C Ae g : B A duas funes com g bijetora. Mostrar que existeuma funo h : C B tal que f =g hse, e somente se, Im f Im g. Mostrarqueh nica.

27. Sejaf : Z Zuma funo tal que:

(a) f(x + y) =f(x) + f(y), x, y Z;(b) f(x y) =f(x) f(y), x, y Z. Mostrar quef=IZouf= 0.

28. Sejaf : Q Quma funo tal que:

(a) f(x + y) =f(x) + f(y), x, y Q;

(b) f(x y) =f(x) f(y), x, y Q. Mostrar quef=IQouf= 0.29. Sejaf : R Ruma funo contnua tal que:

(a) f(x + y) =f(x) + f(y), x, y R;(b) f(x y) =f(x) f(y), x, y R. Mostrar quef=IRouf= 0.

30. Sejaf :A B uma funo bijetora. Mostrar que

ef :P(A) P(B)tambm o .

(Sugesto: Mostrar queef :P(A) P(B)definida comoef(X) =f(X), para todoX A uma funo bijetora.)31. Seja A um conjunto qualquer. Mostrar que no existe uma correspondncia bi-

unvoca entre A e P(A). (Sugesto: Primeiro note que a funo i : A P(A)definida por i(x) = {x} injetora. Agora, suponha, por absurdo, que exista umafunof :A P(A)bijetora. Ento para cada x A, temos quef(x) A, assim,x f(x)ou x / f(x). Agora, seja

X={x A: x / f(x)}.

EntoX P(A)continue.)

32. Seja f : AAuma funo injetora tal que f(A) 6= A. Tomandox A f(A),mostrar quex, f(x),f(f(x)), . . .so dois a dois distintos.


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33. Sejaf :A Auma funo injetora comA finito. Mostrar quef sobrejetora.

34. Para cada subconjuntoA

U, sejaA:U

{0, 1}a funo dada por

A(x) =(

1, se x A0, se x / A.

Mostrar que:

(a) AB =A B, A, BU;(b) AB =A+ B A B, A, BU;(c) AB =A+ B A B= , A, BU;

(d) UA= 1 AeA B A B, A, BU.35. Seja F = {f : U {0, 1} : f uma funo}. Mostrar que existe uma corre-

spondncia biunvoca entre FeP(U). (Sugesto: Note que A Fe dadof Ftemos que

Af=f1(1) ={x U :f(x) = 1} U

eAf =f. Agora, definaef :P(U) Fporef(A) =A= f, para todoA P(U).)

36. Sejaf :A Buma funo sobrejetora. Para x, y A, definimos

x y f(x) =f(y).

Mostrar que uma relao de equivalncia emAcujas classes de equivalncia soas fibras def.

37. Descreva as classes de equivalncia e os conjuntos quocientes em relao a, asso-ciadas as seguintes funes:

(a) f : R Rdefinida porf(x) =x2 5x + 6;(b) f : Z Zdefinida porf(x) =x2 7x + 10;(c) f : R R Rdefinida porf((x, y)) =y;(d) f : R R Rdefinida porf((x, y)) = px2 + y2.

38. Parax, y R, definimosx y x y Z.

Mostrar que uma relao de equivalncia em R e que existe uma correspondnciabiunvoca entre R

e

S1 ={(x, y) R2 :x2 + y2 = 1}.(Sugesto: Sejax R. Ento, tomandobxca funo maior inteiro, obtemos

x x bxc e x bxc [0, 1[.


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2.2. FUNES 45

Assim, para cada x Rexistex0=x bxc [0, 1[tal quex = x0, isto ,R

= [0, 1[.

Agora defina

f : [0, 1[ S1 por f(x0) = exp(2ix0),ondei2 = 1.)

39. Seja f : Z S1 definida por f(n) = exp(2inx). Mostrar que f injetora se esomente sex / Q. Conclua que

{n Z :f(n) = 1}= {km: k Z}= Zm,

para algumm Z fixado.

40. Sejax R. Mostrar quebx + nc= bxc + n, para todon Z.

41. Para(a, b), (x, y) R R, definimos

(a, b) (x, y) a x, b y Z.

Mostrar que existe uma correspondncia biunvoca entre

R R e S1 S1.

42. Sejam

C[0, 1] ={f : [0, 1] R :f uma funo contnua}e

C1[0, 1] ={f : [0, 1] R :f(0) = 0 e f0 C[0, 1]}.Mostrar que a funo D : C1[0, 1] C[0, 1]definida porD(f) =f0 bijetora.

43. Sejam{Ai}iIe{Bj}jJduas famlias indexadas. Mostrar que:

(a) (S

iIAi) (S

jJBj) =S

(i,j)IJ(Ai Bj);(b) (

TiIAi) (

TjJBj) =

T(i,j)IJ(Ai Bj);

(c) (T

iIAi) (T

jJBj) =T

(i,j)IJ(Ai Bj);

(d) (S

iIAi) (S

jJBj) =S

(i,j)IJ(Ai Bj).

44. Dizemos que uma famlia indexada {Ai}iI umacoberturadeAse A

SiIAi.

Sejam {Ai}iI e {Bj}j

Jduas coberturas distintas de A. Mostrar que a famlia

{Ai Bj}(i,j)IJ uma cobertura de A.

45. Sejam {Ai}iIe {Bj}jJparties deAeB, respectivamente. Mostrar que a famlia{Ai Bj}(i,j)IJ uma partio de A B.


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46. Sejam f :A Buma funo e {Ai}iI, {Bj}jJfamlias indexadas de subconjuntosdeAe B, respectivamente. Mostrar que:

(a) f([iI

Ai) = [iI

f(Ai).

(b) f(T

iIAi) T

iIf(Ai).

(c) f1(T

jJBj) =T

jJf1(Bj).

(d) f1(S

jJBj) =S

jJf1(Bj).

47. Sejam f : AB uma funo sobrejetora e {Bj}jJuma partio de B. Mostrarque{f1(Bj)}jJ uma partio de A.

48. Sejam f :AB uma funo injetora e {Ai}iIuma partio de A. Mostrar que{f(Ai)}iI uma partio de f(A).


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Captulo 3

Relao de Ordem eEnumerabilidade

Neste captulo apresentaremos o Princpio de Induo Finita (1.a e 2.a Forma), al-gumas definies e resultados clssicos sobre conjuntos bem ordenados, finitos, infinitos,

enumerveis e no enumerveis que sero necessrios para cursos subsequentes. O leitorinteressado em mais detalhes pode consultar [6,17].

3.1 Conjuntos OrdenadosDefinio 3.1 Uma relao binriaRem um conjunto no-vazioA umaordem parcialemAse as seguintes condies so satisfeitas:

1. xRx, x A (reflexividade).

2. sexRyeyRx, ento x= y (anti-simetria).

3. sexRyeyRz, ento xRz (transitividade).

Quando uma relaoRem um conjuntoA for uma ordem parcial, em geral, adotare-mos a notao em vez de R e dizemos quex menor do que ou igual ayou x precedey. A notaosignifica que xye x6=y, neste caso,no uma relao de ordemparcial emA.

Exemplo 3.2 SejaA= R. Parax, y A, definimos

xy x y,

onde a ordem natural emR. Ento fcil verificar que uma ordem parcial emA.

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48 CAPTULO 3. RELAO DE ORDEM E ENUMERABILIDADE

Exemplo 3.3 SejaA= R R. Para(a, b), (c, d) A, definimos

(a, b)(c, d)

a < c ou a= c e b

d.

Ento uma ordem parcial emA.

Soluo. (a, b)(a, b), poisa = a e b b. Se(a, b)(c, d)e (c, d)(a, b), ento

a < c ou a= c e b d.

e

c < a ou a= c e d b.Como a possibilidade a < c e c < a no pode ocorrer, temos que a = c, b

d e

d b. Logo, a = c e b = d. Portanto, (a, b) = (c, d). Finalmente, Se(a, b) (c, d) e(c, d)(x, y), ento(a, b) (x, y). (Prove isto!)

Exemplo 3.4 SejaA= N. Parax, y A, definimos

xy x um mltiplo de y.

Ento fcil verificar que uma ordem parcial emA.

Exemplo 3.5 Sejam A um conjunto no-vazio e P(A) o conjunto de potncias de A.ParaX, Y P(A), definimos

XY X Y.Ento fcil verificar que uma ordem parcial emA.

Umconjunto parcialmente ordenado um conjuntoAmunido com uma ordem parcial.

SeB um subconjunto deA, entoA induz uma ordem parcial em B do seguinte modo:

xy, x, y B xy em A.

Um conjunto parcialmente ordenado Atotalmente ordenado ouuma cadeiaoulinear-mente ordenado se

xy ou y x, x, y A.isto , quaisquer dois elementos de A so comparveis. Por exemplos,N, Z, Q e Rso

totalmente ordenados pela ordem natural, enquanto os exemplos 3.4 e 3.5, acima, no sototalmente ordenados.

Sejam A conjunto parcialmente ordenado e Xum subconjunto de A. Omenor(maior)elementodeX um elemento aXtal que a x (x a)para todo xX. DizemosqueX limitado inferiormente (superiormente)se existir aAtal que a x (x a)para todox X. Note que o elemento a no necessariamente pertence aX. O elementoa chamado decota inferior (superior)de X. Um subconjunto de A limitado se ele limitado inferior e superiormente.


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3.1. CONJUNTOS ORDENADOS 49

Observao 3.6 Para mostrar que um elemento a A no cota inferior deX Adevemos exibir um elemento x0 Xtal quex0 a.

Exemplo 3.7 Ncontm um menor elemento 1com a ordem natural, no contm maiorelemento, poisa < a+ 1 para todo a N (cf. teorema3.11a seguir), enquanto Z nocontm menor nem maior elemento.

Um conjunto parcialmente ordenadoAbem ordenadose todo subconjunto no-vaziodeA contm um menor elemento.

Note que qualquer conjuntoA bem ordenado totalmente ordenado, pois sea, b A,ento o subconjunto

{a, b} Acontm um menor elemento aou b, isto , a b ou b a.

Exemplo 3.8 Os conjuntosZ,Q eR com a ordem natural no so bem ordenados, poiso subconjunto

X={. . . , 3, 2, 1, 0} no-vazio mas no contm menor elemento. Embora, sejam todos totalmente ordenados.Portanto, h conjuntos totalmente ordenados que no so bem ordenados.

Um dos axiomas que ser usado implicitamente muitas vezes, o seguinte:

Axioma 3.9 (da Boa Ordenao) Todo subconjunto no-vazio deN contm um menorelemento.

Exemplo 3.10 Sejama, b N. Mostrar que existen Ntal quena b.

Soluo. Suponhamos, por absurdo, quena < b, para todon N. Seja

X={b na: n N}.

EntoX6= . Assim, pelo Axioma 3.9, existex0 = b n0a Xtal quex0 x, para todox X. Comob (n0+ 1)a X, poisXcontm todos os inteiros desta forma, temos que

b (n0+ 1)a= x0 a < x0,

o que uma contradio.

Teorema 3.11 Sex, y N

comx < y, entox + 1

y.

Prova. Sex < y, entoy x >0. Assim, basta mostrar que o conjunto

X={x N : 0< x


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vazio. Suponhamos, por absurdo, que X6= . ComoX N e N bem ordenado temos,pelo Axioma 3.9, que existex0 Xtal quex0 x, x X. Sendox0 Xtemos que

0< x0 < 1 0< x20 < x0 < 1.

Mas ento x20 um elemento de X menor do que que x0, o que uma contradio.

Portanto,y x 1, isto , x + 1 y.

Exemplo 3.12 Todo subconjunto deN limitado superiormente possui um maior ele-mento.

Soluo. SejaXum subconjunto deN limitado superiormente. Seja

Y ={a N :x a, x X} N.

EntoY 6=. Assim, pelo Axioma 3.9, existey0 Y tal que y0 y, y Y. Agora,vamos mostrar que y0 X. Suponhamos, por absurdo, que y0 / X. Ento x < y0, x X. Assim, pelo Teorema 3.11, x y0 1, x X. Logo, y0 1 Y, o quecontradiz a minimalidade de y0.

Teorema 3.13 (Princpio de Induo 1.a Forma) SejaXum subconjunto deN com

as seguintes propriedades:

1. 1 X.

2. Para cadan N, n X n + 1 X. Ento X= N.

Prova. Seja

Y ={y N :y / X} N.Vamos mostrar que Y =

. Suponhamos, por absurdo, que Y 6=

. Ento, pelo Axioma

3.9, existey0 Ytal quey0 y, y Y. Como1 Xtemos quey06= 1e, pelo Teorema3.11,y0 > 1, poisy0>0. Logo,0 < y0 1< y0. Pela escolha dey0temos quey0 1 / You, equivalentemente, y0 1 X. Assim, pela condio 2, y0 = (y0 1) + 1 X, o que uma contradio. Portanto, X= N.

Exemplo 3.14 Mostrar que

1 + 2 + + n=n(n + 1)

2 , n N.

Soluo. Seja

X=

n N : 1 + 2 + + n= n(n + 1)

2

N.

Ento:


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3.1. CONJUNTOS ORDENADOS 51

1. 1 X, pois1 =

1(1 + 1)

2 .

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o resultado seja vlido para algumk >1, isto , k X.

1 + 2 + + k+ (k+ 1) = k(k+1)2

+ (k+ 1)

= k(k+1)+2(k+1)2

= (k+1)(k+2)2

.

Logo, k + 1 X. Portanto, X= N.

Teorema 3.15 (Princpio de Induo 2.a Forma) SejaXum subconjunto deN comas seguintes propriedades:

1. 1 X.

2. Para cadan N, {1, 2, . . . , n} X n + 1 X. Ento X= N.

Prova. SejaY ={y N :y / X} N.

Vamos mostrar queY = . Suponhamos, por absurdo, que Y 6=. Ento, pelo Axioma3.9, existey0 Ytal quey0 y, y Y. Como1 Xtemos quey06= 1e, pelo Teorema3.11,y0 >1, poisy0 > 0. Logo,0 < y0 1< y0. Pela escolha de y0temos quey0 1 / You, equivalentemente, k X, 1 k y0 1, isto ,{1, 2, . . . , y0 1} X. Assim, pelacondio2,y0= (y0 1) + 1 X, o que uma contradio. Portanto, X= N.

Exemplo 3.16 Mostrar quexn 1 = (x 1)(xn1 + xn2 + + x + 1), n N.

Soluo. Seja

X={n

N :xn

1 = (x

1)(xn1 + xn2 + + x + 1)}

N.

Ento:

1. 1 X, poisx1 1 =x 1.

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o resultado seja vlido para todo k,1 k n, isto ,{1, 2, . . . , n} X.

xn+1 1 = x xn 1= x xn

xn + xn

1

= (x 1)xn + xn 1= (x 1)xn + (x 1)(xn1 + xn2 + + x + 1)= (x 1)(xn + xn1 + xn2 + + x + 1)


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Logo, n + 1 X. Portanto,X= N.

Teorema 3.17 (Frmula de Recorrncia) Sejam Xum conjunto, x0

X fixado e

fn : X Xuma funo, para todo nN. Ento existe uma nica funo :NXtal que

(1) =x0 e (n + 1) =fn((n)), n N.

Prova. SejaCo conjunto de todos os subconjuntos Y deN Xtais que

(1, x0) Y e (n, x) Y (n + 1, fn(x)) Y n N.

EntoC 6=

, poisN X

C. Seja

R=\YC

Y.

Ento fcil verificar queR C. SejaSo conjunto de todos os n Ntal que existe nomximo umxn Xcom(n, xn) R. Ento:

1. 1 S, pois se 1 / S, ento existe (1, y0) R com x0 6= y0 e o conjunto R {(1, y0)}N X um elemento de C, pois (1, x0)R {(1, y0)}e se(n, xn)R {(1, y0)}, ento(n + 1, fn(x)) R {(1, y0)}. Logo,R R {(1, y0)}, o que uma contradio.

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o resultado seja vlido para algum

k >1, isto , k S, isto , existe no mximo um xk Xcom(k, xk) R. Entok + 1 S, pois sek + 1 / S, ento existe(k + 1, y) Rcomfk(xk)6=y e o conjuntoR {(k+ 1, y)} N X um elemento de C, pois (1, x0) R {(k+ 1, y)}e se (m, xm) R {(k+ 1, y)}, ento (m+ 1, fm(y)) R {(k+ 1, y)}. Logo,RR {(k+ 1, y)}, o que uma contradio. Portanto,S=N. Agora, vamosdefinir : N Xpor(n) =xn, isto , = graf(R). Como(1, x0) Rtemos que(1) =x0. Para cada n N,(n, xn) = (n, (n)) R e, assim,(n+1, fn((n))) R,poisR C. Por outro lado, como(n + 1, xn+1)) Rtemos, pela unicidade de xn+1,que(n + 1) =xn+1 = fn((n)).

SejaXum conjunto no-vazio. UmaseqnciaemX qualquer funo f : N Xedenotada por(x1, x2, . . .)ou {xn}nNou{xn}, ondef(n) =xn.

Exemplo 3.18 Seja a seqnciaa1 = 1, a2 = 3 ean = an1+ an2, para todo n Ncomn 3. Mostrar que

an1. Seja m, n N tais quemax{m, n}= k+1. Entomax{m1, n1}= k.Logo, pela hiptese de induo, m 1 = n 1. Assim,m= ne k+ 1X.Portanto,X= N.

40. SeA temn elementos, entoP(A)tem2n

elementos para todon Z+. (Sugesto:SejaX={n Z+:P(A) tem 2n elementos} Z+.

Ento:


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(a) 0 X.(b) Suponha, como hiptese de induo, que o resultado seja vlido para algum

k > 0, isto , k X e A tem k elementos. Sejam B um conjunto comk+ 1elementos e b B. Ento todo subconjunto Y deB o divide em doissubconjuntos: Y B {b}or Y =A {b}, ondeA B {b}, continue.)

3.2 Conjuntos Finitos e Infinitos

Nesta seo apresentaremos uma das distines fundamentais em matemtica, qualseja, entre conjuntos finitos e infinitos. A distino intuitivamente forada, mesmo naausncia de uma definio precisa, no pode existir qualquer dvida se um dado conjunto

finito ou infinito. Informalmente, um conjunto finito se ele contm n elementos,comn N. Entretanto, para conjuntos infinitos a resposta depende da aproximaocardinal. Dizemos que dois conjuntosA e B tm o mesmo nmero cardinal se existiruma correspondncia biunvoca de AsobreB .

Para cadak N,Nk denota o subconjunto {1, 2, . . . , k}de N, isto ,Nk ={n N : 1 n k}.

Teorema 3.20 Sejamk, l N. Sek < l, ento no existe bijeo deNk sobreNl.

Prova. Vamos usar induo sobre k.

1. Sek= 1, nada h para provar.

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o teorema seja vlido para algum k >1e todol > k.

SejaNk+1 = Nk {k+ 1}e suponhamos, por absurdo, que exista uma bijeof : Nk+1 Nl

para alguml > k+ 1. Sejamm = f(k+ 1) e h : Nl Nl definida por

h(n) =

m, se n= ll, se n= mn, se n / {l, m}.

Se m = l, ento h = INl. Caso contrrio, h h = INl. Logo, h uma funo bijetora.Assim, a funo

g= h f : Nk+1 Nl tambm bijetora e g(k+ 1) =l. Portanto,

g1: Nk Nl1 dada por g1(n) =g(n) bijetora comk < l 1, o que contradiz a hiptese de induo.


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3.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 61

Lema 3.21 Sejak N. Sef : Nk Nk injetora, ento f sobrejetora.

Prova. Vamos usar induo sobre k.

1. Sek = 1, nada h para provar.

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o lema seja vlido para algumk >1 e

consideremosf : Nk+1 Nk+1injetora.

Sejamk = f(k+ 1) e h : Nk+1 Nk+1 definida por

h(n) =

k, se n= k+ 1k+ 1, se n= k

n, se n / {k, k+ 1}.Entog = h f injetora e g(k+ 1) =k + 1. ComoNk+1= Nk {k+ 1}temos que

g1 : Nk Nk dada por g1(n) =g(n)

injetora. Logo, pela hiptese de induo,g1 bijetora e, assim,gtambm o . Portanto,

f=h1 g= h g

sobrejetora.

Definio 3.22 Um conjunto A finito quando vazio ou quando ele tem o mesmonmero cardinal deNk. Caso contrrio, dizemos queA infinito.

Sejam A conjunto finito e f : Nk A uma bijeo. Ento se existir tambm umabijeog : Nl A, ento a funog1 f : Nk Nl bijetora. Logo, pelo Teorema 3.20,k =l. Portanto, para cada conjunto finito Aexiste um nico kN tal que existe umabijeo f : Nk A, note que se k > 1, ento existe mais de uma bijeo. Chamamos

k N o nmero cardinal de A, em smbolos #(A) = k. Quando A = temos que#(A) = 0.

Observao 3.23 Uma correspondncia biunvoca

f : Nk A

significa uma contagem dos elementos deA. Assim, fazendo

f(1) =x1, . . . , f (k) =xk

temos queA= {x1, . . . , xk}.

Exemplo 3.24 Todo subconjunto finito deZ possui um menor elemento.


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Soluo. Seja

X={k

N :

A

Z, com #(A) =k, possua um menor elemento}

N.

Ento:

1. 1 X, pois todo subconjunto unitrio possui um menor elemento.

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o resultado seja vlido para algumk >1, isto , k X.

Seja A = {x1, . . . , xk+1} Z. Ento, pela hiptese de induo, o conjunto A0 ={x1, . . . , xk}Z possui um menor elemento, digamos x00. Assim,x0 = min{x00, xk+1}tal quex0 x, x A, isto ,Apossui um menor elemento. Logo,k +1 X. Portanto,X=N. De modo anlogo, mostra-se que todo subconjunto finito deZ possui um maior

elemento. Assim, todo subconjunto finito deZ limitado.

Exemplo 3.25 N um conjunto infinito.

Soluo. Suponhamos, por absurdo, queN seja um conjunto finito. Ento existe umbijeo f : N

Nk. Assim, f |Nk+1 injetora. Logo, pelo exerccio 1 abaixo, k+ 1 =

#(X) #(Nk) =k, o que uma contradio.

Exemplo 3.26 O conjunto

A= {x R :x2 4x + 3 = 0}

finito, pois existe uma correspondncia biunvoca deAsobreN2.

Teorema 3.27 SejamAeB dois conjuntosfinitos e disjuntos. Ento

#(A B) = #(A) + #(B).

Prova. Suponhamos que #(A) =m e #(B) =n. Ento existem bijees f :A Nmeg: B Nn. Sejah : A B Nm+ndefinida por

h(x) =

( f(x) se x Am + g(x) se x B.

Agora, fcil verificar queh bijetora (prove isto!).

Corolrio 3.28 SejamAeB dois conjuntosfinitos. Ento

#(A B) = #(A) + #(B) #(A B).


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3.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 63

Prova. Pelo exerccio 17, temos que A B = A (B A), com A (B A) =.B = (B A) (A B), com(B A) (A B) = . Logo,

#(A B) = #(A) + #(B A) e #(B) = #(B A) + #(A B)

Portanto,

#(A B) = #(A) + #(B) #(A B).

Teorema 3.29 SejaA um conjunto finito. Entof : A A injetora se, e somentese, ela sobrejetora.

Prova. Suponhamos que f : A A seja injetora. Ento, comoA finito temos queexiste uma bijeo g :Nk A. Logo, h= g1 f g :Nk Nk injetora. Assim, peloLema 3.21, h bijetora. Portanto, f=g h g1 sobrejetora.

Reciprocamente, suponhamos que f : A A seja sobrejetora. Ento existe umafuno g : A A tal que f g = IA. alm disso, g injetora, assim, pelo o mesmoargumento anterior, g bijetora. Portanto, f=g1 injetora.

Definio 3.30 Um conjunto A enumervel quando existe uma correspodncia bi-

unvoca deNsobreA. Um conjuntoA contvel quando finito ou enumervel. Casocontrrio, dizemos queAno contvelouno enumervel.

Observao 3.31 Uma correspondncia biunvoca

f : N A

significa que possvel enumerar todos os elementos deAem uma seqncia infinita, demodo que cada elemento deAaparea exatamente uma vez. Assim, fazendo

f(1) =x1, . . . , f (k) =xk, . . .

temos que

A= {x1, . . . , xk, . . .}.

Exemplo 3.32 O conjuntoZ enumervel.

Soluo. Seja

f : N Z dada por f(k) = (1)k

b

k

2 c,ondebc a funo maior inteiro. Dadosk, l N.

f(k) =f(l) (1)kbk2

c= (1)lb l2

c.


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Assim, ouk elso ambos pares ou ambos mpares. Se k = 2me l = 2n, ento

(

1)kb

k

2

c= (

1)lb

l

2

c

bmc= bnc

m= n

k= l.

Sek = 2m + 1e l= 2n + 1, ento

(1)kbk2

c= (1)lb l2

c bm +12

c= bn +1

2c m= n k= l.

Logo,f injetora. Dadon Z. Enton >0oun 0. Sen >0, ento existek = 2n Ntal quef(k) =n. Sen0, ento existe k = 2 |n| + 1N tal que f(k) =n. Logo, f sobrejetora. Portanto,f uma correspondncia biunvoca deN sobreZ.

Teorema 3.33 SeA enumervel ex A, ento A {x} enumervel.

Prova. Suponhamos que A seja enumervel. Ento existe uma bijeo

f : N A.Comof sobrejetora temos que existe n Ntal quex = f(n). Seja

g: N A {x} dada por g(k) =(

f(k), se k < nf(k+ 1), se k n.

Entog uma bijeo (prove isto!). Portanto, A {x} enumervel.

Corolrio 3.34 Para cadak N,Nk no contm subconjunto enumervel.Prova. Vamos usar induo sobre k.

1. Sek= 1, nada h para provar.

2. Suponhamos, como hiptese de induo, que o resultado seja vlido para algum

k >1.

Agora, suponhamos, por absurdo, que Nk+1contenha um subconjunto enumervelX.

Assim, se k+ 1 / X, ento X Nk, o que uma contradio. Sek+ 1 X, entoX {k + 1} NkeX {k + 1} enumervel, o que uma contradio. Portanto, Nk+1no contm subconjunto enumervel.

Teorema 3.35 O conjunto A infinito se, e somente se, A contm um subconjuntoenumervel.

Prova. Suponh

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