Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matemática

Dissertação

1. Introdução: O problema

Resolução de sistemas: álgebra desprovida de leitura geométrica

Nova abordagem: geometria vetorial na escola

2. Considerações Teóricas

Álgebra x Geometria x Visualização.

Piaget, Tecnologia na visualização

3. Metodologia de Pesquisa

Engenharia Didática

Montagem do material para experiência

4. Experiência em sala de aula e análise dos resultados

5. Conclusões

1. O vetor geométrico

Conceitos IniciaisConsidere o segmento orientado da figura:

Existem três aspectos fundamentais, os quais destacamos: o módulo, direção

o sentido. O módulo é o comprimento do segmento ; a direção é dada pela

reta que suporta o mesmo; e o sentido é de A para B.

Neste estudo, a compreensão das idéias de direção e sentido são

fundamentais, por isso vamos discuti-las mais detalhadamente.

Observe as retas da figura abaixo, onde apenas as retas s e t são paralelas:

As retas r e s definem ou determinam direções distintas. Já a reta t possui a

mesma direção da reta s. Portanto, o conceito de direção é caracterizado por

uma reta e todas as retas paralelas a ela. Em outras palavras, retas paralelas

possuem a mesma direção. Por exemplo: quando andamos em uma mesma

rua reta, ou em ruas retas paralelas, estamos nos deslocando na mesma

direção.

Considere a reta definida pelos pontos A e B na figura abaixo.

Conforme vimos, esta reta define uma direção. Porém, podemos imaginar uma

pessoa se deslocando nessa reta de duas maneiras distintas: de A para B, ou

de B para A. Dizemos então que, dada uma direção, existem dois sentidos: o

sentido que vai de A para B e o sentido contrário (de B para A).

Dado um segmento orientado , chamamos de vetor uma coleção de

segmentos orientados que possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o

mesmo sentido de .

A idéia de vetor nos leva a algo do tipo:

Dois segmentos orientados não nulos, e , são representantes de um

mesmo vetor, ou equipolentes, se

(i) têm o mesmo comprimento;

(ii) têm a mesma direção (estão sobre uma mesma reta ou sobre retas

paralelas);

(iii) têm o mesmo sentido.

Observação: Dado o segmento orientado , para cada ponto P do plano,

existe um único ponto Q, tal que os segmentos orientados e são

equipolentes.

Costuma-se representar o vetor v = por uma flecha com origem no ponto A

e extremidade em B. A observação acima ressalta novamente que o início

dessa flecha pode ser colocado em qualquer ponto P do plano, obtendo-se

flechas diferentes graficamente, mas representantes do mesmo vetor.

Translação: Um vetor qualquer v do plano define uma função chamada de

translação. A cada ponto P do plano ela faz corresponder um outro ponto P’ tal

que = v, ou também P’ = P + v, como indica a figura abaixo:

Exercícios:

1) Determine na figura abaixo todos os seguimentos orientados que são

representantes dos vetores v = , w = , u = e t = .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2) Marque na figura abaixo:

a) o ponto D tal que

;

b) o ponto E tal que

;

c) o ponto F tal que

;

d) o ponto G tal que

.

---------------------------------------------------------------------------

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3) A figura abaixo é obtida através da junção de três

hexágonos regulares. Quantos vetores distintos os lados

destes polígonos determinam?

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4) Verdadeiro ou Falso?

a) ( ) Se então .

b) ( ) Se então A = B.

c) ( ) Se I está a igual distancia de A e B então .

d) ( ) Se I é o ponto médio do segmento AB então

.

e) ( ) Se então os quatro pontos então

alinhados.

---------------------------------------------------------------------------

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5) Fazer a translação da figura abaixo segundo:

a) o vetor = b) o vetor =

c) o vetor = d) o vetor =

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Operações geométricas com vetoresAdição de Vetores

Sejam u e v dois vetores quaisquer. A soma de u com v

é o vetor u + v que pode ser determinado da seguinte

maneira: escolhemos representantes e dos

vetores u e v. O vetor soma é representado pela flecha

que possui origem no ponto A e extremidade no ponto

C, como mostra a figura:

É importante salientar que o vetor u + v independe da

escolha dos representantes e , dos vetores u e v

respectivamente. Isto é, se u = , v = e u + v

= , então, por congruência de triângulos, temos

= .

Obs. A soma coincide com a diagonal do paralelogramo

determinado por u e v, quando estes vetores são

posicionados com o mesmo ponto inicial. Veja:

Assim fica evidente que u + v = v + u.

Vejamos agora algumas definições:

(i) Existe um só vetor nulo 0 tal que, v + 0 = 0 + v = v. O

vetor nulo tem módulo zero e direção e sentido

indeterminados.

(ii) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor –v

(vetor oposto de v) tal que v + (-v) = -v + v = 0. O vetor

oposto de v tem mesmo módulo, mesma direção e o

sentido contrário. Isto é, se v = então –v = .

(iii) A diferença dos vetores u e v é o vetor u + (-v).

Multiplicação de Número Real por Vetor

Dado um vetor e um número k IR*, chama-se

produto do número real k pelo vetor , o vetor k. tal

que:

a) módulo: │k. │=│k││ │, isto é, o comprimento de k.

é igual ao comprimento de multiplicado por │k│.

b) direção: k. e têm a mesma direção (isto é, estão

sobre uma mesma reta, ou sobre retas paralelas)

c) sentido: k. e têm o mesmo sentido se k > 0 e k.

e têm sentidos contrários se k < 0.

Obs. Se k = 0 ou = , então k. = .

A figura abaixo apresenta o vetor e alguns vetores da

forma k :

Exercícios:1) Encontre na figura abaixo, sem acrescentar novos

pontos, um representante do vetor que é igual a:

a) +

b) +

c) +

d) +

e) +

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Determine a soma sendo

ABCDEF um hexágono regular inscrito num círculo

centro O, conforme indica a figura abaixo:

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

3) Um barco pode desenvolver velocidade de 4 m/s em

águas paradas. Um pescador dispõe deste barco

perpendicularmente às margens de um rio, cuja

correnteza tem velocidade 3 m/s. Nesta travessia, qual

será a velocidade do barco em relação às margens?

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4) Determine a intensidade da resultante de duas forças,

e , sabendo que valem, respectivamente, 10 N e

20 N e são aplicadas a uma mesma partícula, formando

entre si um ângulo de 60º.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

5) ABCD é um paralelogramo e u e v vetores tais que u

= e v = . Exprima em função de u e v os

seguintes vetores:

a) b) c) d) e)

f)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

6) Os pontos A, B, C, D e E foram marcados na reta

graduada abaixo.

Sabendo que = k. , determine o valor de k real

quando:

a) = e = b) = e = c)

= e =

d) = e = e) = e =

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

7) Marque na reta graduada do exercício 6 os pontos M,

N e P tais que , e .

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

8) Na figura abaixo estão representados os vetores =

e = .

Sobre a reta r, determine o ponto M sendo

.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

9) Seja ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da

diagonal AC, o que equivale a dizer que .

Queremos mostrar que M é também ponto médio da

diagonal DB, isto é .

Observe a figura e complete a demonstração desta

propriedade:

Pela definição de soma de vetores temos que

; mas temos que (pois M é

ponto médio de AC) e (pois ABCD) é

paralelogramo, então ____+ ____ =____+ ____ =

____.

---------------------------------------------------------------------------

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10) Prove que o segmento cujos extremos são os

pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo

ao terceiro lado e igual a sua metade.

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-------------------------------

11) Prove que os pontos médios dos lados de um

quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo.

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Desafio: PROBLEMA DO TESOURO???

2. Vetores com coordenadas no plano

As componentes de um vetor:

Qualquer vetor v = considerado no plano cartesiano

tem sempre um representante (segmento orientado OP)

cujo ponto inicial é a origem.

Em nosso estudo, vamos considerar geralmente vetores

representados por segmentos orientados com origem na

origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do

plano é determinado pelo ponto extremo do segmento.

Assim, o ponto P(x, y) individualiza o vetor = e

escreve-se v = (x, y). As coordenadas de P são

identificadas como as componentes do vetor.

Igualdade de vetores:Dois vetores = (a, b) e = (c, d) são iguais se e

somente se a = c e b = d.

O módulo de um vetorSeja o vetor = (x, y).

Pelo teorema de Pitágoras vem que │ │2 = x2 + y2 │

│= .

Exemplo: Sendo = (-2, 3), temos que │ │ =

.

Exercícios:1) Represente graficamente = sendo:

a) P(2, 3)

b) P(1,-1)

c) P(0, 1)

d) P(-½, -1)

e) P(-2, 1)

f) P(-3, 0)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Sendo = (x+1, 4) e = (5, 2y - 6), determine x e y

sabendo que = .

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

3) Dados os vetores = (-1, 1), = (-2, 3) e = (8, -6),

calcule:

a) │ │

b) │ │

c) │ │

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4) Determine os valores de a para que o vetor = (a, -2)

tenha módulo 4.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

5) Calcule os valores de a para que o vetor = (a, 1/2)

seja unitário.

---------------------------------------------------------------------------

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Soma de vetores:

Sendo = (x1, y1) e = (x2, y2), definimos + = (x1+x2,

y1+y2).

Vejamos agora como a definição algébrica da soma de

vetores dada acima coincide com a definição geométrica

vista anteriormente.

Observe os vetores = (x1, y1) e = (x2, y2), bem como

sua soma:

Como OAPB é paralelogramo temos que os triângulos

OAF e BPG, da figura 1, são congruentes, por LAAo.

Assim, OF = BG e então a abscissa de P é x1 + x2.

De modo análogo, temos que os triângulos ADP e OEB,

da figura 2, são congruentes, por LAAo. Assim, PD = BE

e então a ordenada de P é y2 + y1.

Assim, as coordenadas de P são (x2 + x1, y2 + y1).

Multiplicação de um vetor por um escalar:Sendo = (x1, y1) e k IR, definimos k. = (k.x1, k.x2).

Vejamos agora como a definição algébrica do produto

por escalar dada acima coincide com a definição

geométrica vista anteriormente.

O módulo de = (k.x1, k.x2) é dado por:

│ │=

│ │=

│ │=

│ │= │ │

Assim, o módulo igual ao de multiplicado por .

Observe a figura:

Os vetores = = (x1, y1) e = = (k.x1, k.y1) têm

a mesma direção, pois as retas OP e OP’ têm a mesma

inclinação y1/x1.

Os pontos P e P’ estão do mesmo lado de O quando k >

0 e em lados opostos quando k < 0, assim fica evidente

que = e = têm mesmo sentido se k > 0 e

sentido contrário se k < 0.

Exemplos:

1) Sendo = (3, 2) e = (1, 2) determine + :

+ = (3, 2) + (1, 2) = (4, 4)

2) Sendo = (3, -4), determinar o vetor com a mesma

direção e o mesmo sentido de , porém de comprimento

unitário.

Procuramos um vetor que é múltiplo de , isto é, =

k. = (3k, 4k). Como o comprimento deve ser unitário

temos que:

│ │ = 1 = 1 = 1

Como deve possuir o mesmo sentido de , temos que

k = 1/5.

Exercícios:1) Dados os vetores = (2, -3) e = (-1, 4), determinar:

a) 3 + 2

b) 3 - 2

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Encontre o vetor tal que 3 + 2 = 0,5 + ,

sendo dados = (3, -1) e = (-2, 4).

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

3) Encontre os números reais m e n tais que = m . +

n . , sendo = (10, 2), = (3, 5) e = (-1, 2).

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4) Sendo A(-2, 4) e B(4, 1) determine as coordenadas

dos pontos F e G que dividem o segmento AB em três

partes iguais.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

5) Dados os vetores = (-1, 1), =(-2, 3) e =(8, -6),

calcule:

a) │ + │

b) │2 - │

c) │ -3 │

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

6) Determine o vetor com a mesma direção e o

mesmo sentido de , porém de comprimento unitário,

nos seguintes casos:

a) = (-1, 1)

b) = (-8, 6)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

Vetor definido por dois pontos:

Consideremos o vetor de origem em A(xa, ya) e

extremidade em B(xb, yb).

Da figura vem que:

+ = ; = – ; = (xb, yb) – (xa, ya) =

(xb – xa, yb – ya).

Observação importante: Sempre que tivermos =

ou = B - A podemos concluir também que B = A + ou

B = A + , isto é, o vetor transporta o ponto inicial A

para o ponto extremo B.

Exemplo: Seja = (2, 1).

Temos que:

B = A + = (1, 2) + (2,

1) = (3, 3)

D = C + = (-3, 1) + (2,

1) = (-1, 2)

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é o

comprimento (ou módulo) do vetor , isto é, d(A,B) =│

│.

Como = B – A = (xb – xa, yb – ya), temos:

d(A,B) =

Exercícios:1) Em cada caso represente graficamente o vetor

definido pelos pontos A e B e o vetor correspondente

com origem em O(0, 0):

a) A(-1, 3) e B(3, 5) b) A(-1, 4) e B(4, 1)

c) A(4, 0) e B(0, -2) d) A(3, 1) e B(3, 4)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo

ABCD, para:

a) A(-3, -1), B(4, 2), C(5, 5) b) A(5, 1), B(7, 3), C(3,

4)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

3) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1), C(6, 4) são vértices de

um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada

um dos três paralelogramos possíveis de serem

formados.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4) (PUC-SP) Um lado de um paralelogramo tem as

extremidades nos pontos A(-3,5) e B(1,7). Sabendo que

P(1,1) é o ponto médio das diagonais, os outros dois

vértices são os pontos:

a) (4,-1) e (1,-5) b) (5,-2) e (1,-5) c)

(5,-3) e (2,-5)

d) (5,-3) e (1,-5) e) n.r.a.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

5) (PUC-SP) Os pontos (0, 0), (1, 3), (10, 0) são vértices

de um retângulo. O quarto vértice do retângulo é o

ponto:

a) (9,-3) b) (9, -2) c)

(9, -1)

d) (8, -2) e) (8, -1)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

6) Calcule, em cada caso, a distância entre os pontos:

a) (1, 3) e (9, 9) b) (-3, 1) e (5, -14) c)

(-4, -2) e (0, 7)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

7) Calcule o comprimento do segmento de extremos A

e B .

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

8) Calcule a distância entre os pontos e .

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

9) Calcule a distância do ponto M(-12, 9) à origem.

---------------------------------------------------------------------------

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10) (UFMG) A distância entre os pontos A(2a, -3a) e

B(3, 2) é . Pode-se afirmar que os possíveis valores

de a são:

a) - e

b) 1 - e 1 +

c) -1 e 1

d) -2 e 2

e) -3 e 2

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

11) A distância entre A(2a, 3) e B(1, 0) é . Calcule a.

---------------------------------------------------------------------------

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12) Qual ponto do eixo das abscissas é eqüidistante de

P(-2, 2) e Q(2, 6)?

---------------------------------------------------------------------------

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13) (PUCRS) O ponto P pertence ao eixo das ordenadas

e eqüidista dos pontos A(-3,-1) e B(3,5). A ordenada do

ponto P é:

a) -2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 2

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

14) (F.C.Chagas-BA) O triângulo cujos vértices são os

pontos (1, 3), (-2, -1) e (1, -2) é:

a) equilátero

b) escaleno

c) isósceles

d) obtusângulo

e) retângulo

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

15) Classifique quanto aos lados e quanto aos ângulos o

triângulo de vértices:

a) (-1, -3), (6, 1) e (2, -5). b) (0, 5), (3, -2)

e (-3, -2).

---------------------------------------------------------------------------

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Ponto Médio de um segmento

Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xm, ym ) o seu ponto médio,

temos:

ou M – A = B – M ( xm, ym ) – ( xa, ya ) = ( xb,

yb ) – ( xm, ym )

( xm – xa, ym – ya ) = ( xb – xm, yb – ym ) xm – xa = xb – xm

e ym – ya = yb – ym 2xm = xa + xb e 2ym = ya + yb xm =

e ym =

Assim: ( xm, ym ) = ( , )

Exercícios:1) Obtenha as coordenadas do ponto médio do

segmento AB sendo:

A

M

xA xM XB

B

yA

yM

yB

a) A(1, 7) e B(11, 3) b) A(-2, 5) e B(-

4, -1)

c) A(0, 3) e B(0, -3) d) A(-6, 9) e B(-

2, -5)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Sendo A(-2, 2) uma das extremidades do segmento

de reta AB e o ponto M(3, -2) seu ponto médio,

determine as coordenadas de B.

---------------------------------------------------------------------------

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3) Qual o simétrico do ponto A(-1, 2) em relação ao

ponto C(3, 4)?

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4) Chamamos de mediana de um triângulo o segmento

que liga um de seus vértices ao ponto médio do lado

oposto a ele. Assim, determine o comprimento das três

medianas de um triângulo de vértices A(0, 0), B(4, -6) e

C(-1, -3).

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

5) O centro gravitacional de um triângulo ABC é o ponto

G, tal que . Mostre que se A = (xa, ya), B

= (xb, yb) e C = (xc, yc) então G = .

OBS. G é também o ponto de intersecção das três

medianas do triângulo.

3. Ângulo entre dois Vetores e o Produto interno

O ângulo entre dois vetores não-nulos e é o ângulo

formado por duas semi-retas OA e OB de mesma

origem O, onde = e = e 0 ≤ ≤ 2π.

Se tem a mesma direção e o mesmo sentido então

= 0. Porém se tem a mesma direção mas sentido

contrário então = π.

Considere os vetores = = A – 0 = (a, b) e = =

B – O = (c, d) representados na figura abaixo:

Sendo o ângulo entre v e w, temos que:

cos ( ) = cos (α - β) = cos α cos β - sen α sen β

cos ( ) =

cos ( ) =

O número real ac+bd é chamado de produto interno dos

vetores v e w e representado por <v, w>.

E assim temos:

< v, w > = a.c + b.d ou

< v, w > =

Exercícios:

1) Determinar, aproximadamente o ângulo entre os

vetores:

a) = (2, 1) e = (4, -2)

b) = (1, -1) e = (-4, -2)

c) = (1, 1) e = (-1, 1)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Determinar o valor de k para que seja de 45º o ângulo

entre os vetores = (2, 1) e = (1, k).

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

3) Determine o produto interno <v, w> sendo:

a) = (2, 1) e = (4, -2)

b) = (1, -1) e = (-4, -2)

c) = (1, 1) e = (-1, 1)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4) Lembrando que < v, w > = , e supondo

que e são diferentes de , determine o que deve

acontecer com para que o produto interno seja:

a) positivo; b) negativo; c)

nulo.

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-------------------------------

5) Determinar os valores de k para que os vetores = (-

2, 3) e = (k, -4) sejam ortogonais.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

6) (PUC-SP) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de

x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é:

a) 3 b) 2 c) 0 d) -3 e) -

2

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

7) (UFRGS-98) Duas retas perpendiculares r e s se

interceptam no ponto (u, 0). Se a reta r intercepta o eixo

Y no ponto (0, v), sendo u e v diferente de zero, a reta s

interceptará o eixo Y em:

a) (0, -v2/u) b) (0, -u2/v) c) (0,-u/v)

d) (0,-v) e) (0,-v/u)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4. Condição de Alinhamento de 3 pontos

Os pontos A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) são

colineares se e somente se os vetores e são

múltiplos. Ou seja, A, B e C estão alinhados se existir

k IR, tal que = k. .

Assim, C – A = k.(B – A) (xc – xa, yc – ya) = k.(xb – xa,

yb – ya)

(xc – xa, yc – ya) = (k.(xb – xa), k.(yb – ya))

Da igualdade dos vetores, vem que:

xc – xa = k.(xb – xa) e yc – ya = k.(yb – ya)

e

Este valor de k existe se e somente se

.

Exemplo: Verifique se os pontos A(-1, 3), B(2, 4) e C(-4,

10) são colineares:

Vamos determinar as componentes de = e de =

.

= B – A = (2, 4) – (–1, 3) = (3, 1)

= C – A = (–4, 10) – (–1, 3) = (–3, 7)

Como e não são múltiplos, e, portanto, os

pontos não são colineares.

Exercícios:1) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados

quando:

a) A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5)

b) A(-2, 6), B(4, 8) e C(1, 7)

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

2) Determine m de modo que os pontos (m, 3), (-2, -5) e

(-1, -3) sejam colineares.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

3) Os pontos (-1, 2), (3, 1) e (a, b) são colineares.

Calcule a e b de modo que o ponto C esteja sobre o eixo

das ordenadas.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

4) Uma reta r passa pelos pontos A(-1, -2) e B(4, 2).

Determine as coordenadas do ponto em que r

intercepta:

a) o eixo das ordenadas.

b) o eixo das abscissas.

---------------------------------------------------------------------------

-------------------------------

5) Determine x, de modo que os pontos (1, 3), (x, 1) e

(3, 5) sejam vértices de um triângulo.

---------------------------------------------------------------------------

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6) (UCS) Para que os pontos (0,2), (-2,x) e (1,5) sejam

colineares x deve ser igual a:

a) 2

b) -2

c) 3

d) 4

e) – 4

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-------------------------------

5. A equação da reta

Considere os pontos A = (xa, ya) e B = (xb, yb) distintos.

Temos que a condição necessária e suficiente para que

um ponto genérico P = (x, y) esteja sobre a reta

determinada por A e B é que A, B e P sejam alinhados.

Se A, B e P são colineares, então os vetores e

são múltiplos.

Porém = B – A = (xb – xa, yb – ya) e = P – A = (x –

xa, y – ya) são múltiplos quando (y –

ya) (xb – xa) = (yb – ya) (x – xa)

y xb – y xa – ya xb + ya xa = yb x – yb xa – yax + ya xa

xb y – xa y – ya xb – yb x + yb xa + ya x = 0

ya x – yb x + xb y – xa y + yb xa– ya xb = 0

(ya – yb)x + (x b – xa)y = ya xb - yb xa

Como xa, ya, xb e yb são constantes, dizemos que:

a = ya – yb, b = x b – xa e c = ya xb - yb xa.

Assim, obtemos a equação a.x + b.y = c, onde x e y são

as coordenadas de um ponto genérico da reta.

A equação acima é chamada de equação da reta.

Se b ≠ 0 podemos expressar y em função de x:

a.x + b.y = c b.y = -a.x + c y = y =

y = f(x) = m.x + n (onde m é chamado de coeficiente

angular e n é chamado de coeficiente linear).

A equação escrita nessa forma é chamada de equação

reduzida da reta.

O coeficiente angular (m) é a tangente da inclinação da

reta e o coeficiente linear (n) é a ordenada do ponto em

que a reta corta o eixo y.

Exercícios:1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos:

a) (-1,-2) e (5,2) b) (2, -1)

e (-3,2)

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-------------------------------

2) Determine a equação da reta que passa por A(1, 4) e

B(2, 1). Determine também o coeficiente angular e o

coeficiente linear.

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3) Determine a equação das seguintes retas:

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4) Verifique se:

a) o ponto (2, 2) pertence à reta 2x + 3y - 10 = 0.

b) o ponto (2, 3) pertence à reta que passa por A(1, 1) e

B(0, -3).

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5) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à reta 2x - 3y

= 4. Calcule a distância entre A e B.

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6) Por uma questão de segurança, o peso máximo que

um determinado elevador pode transportar é 600 Kg.

Pretende-se transportar nesse elevador dois tipos de

caixotes, uns com 10 Kg, e outros com 30 Kg.

a) Quantos caixotes de cada tipo poderão ser

transportados de cada vez, aproveitando ao máximo o

peso que elevador pode transportar?

b) Existe apenas uma solução para este problema?

c) Traduza este problema por meio de uma equação.

d) Existe algum par de números que solucione a

equação, mas não solucione o problema?

e) Represente graficamente todas as soluções da

equação.

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7) Determine a equação reduzida da reta:

a) que passa por P(-1, 4) e tem coeficiente angular 2.

b) que passa por P(4, 1) e tem coeficiente linear -3.

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8) (PUCRS) A reta que passa por (-1,-2) e (2,c) tem

coeficiente angular 3. A ordenada de B é:

a) -6 b) 11 c) -5

d) 7 e) -1

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9) Determine o coeficiente angular das retas nos

seguintes casos:

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10) (PUCRS) Para que a reta que passa por A(m-1, 2) e

B(3, 2m) tenha 45o de inclinação, m deve ser:

a) -2 b) -1/2 c) 1

d) ½ e) 2

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11) Qual a equação das retas cujos gráficos são dados

abaixo?

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12) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:

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13) (PUCRS/97-2) Se r é a reta de equação x - 2y + 2 =

0, se A é o ponto de abscissa - 4 da reta r e se B é o

ponto de intersecção da reta r com o eixo das abscissas,

então a distância entre A e B é:

a) 1 b) c) d) e)

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14) (UFRGS) A reta da figura abaixo tem equação 2x +

3y - 6 = 0. Calcule a área do triângulo ABC:

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15) (UFRGS) Considere a figura abaixo. Uma equação

cartesiana da reta r é:

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16) (PUCRS-97) O triângulo AOB é isósceles. Se a área

é 9/2 u.a., então a equação da reta AB é:

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17) Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de

equação x–3y+9=0. A distância entre eles é:

a) b) 2 c) 3

d) 4 e) 10

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Atividade no Winplot:Relacionando os vetores e a equação da reta

1) Vá em janela e selecione a opção 2-dim.

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2) Vá no menu equação e selecione a opção reta. O

seguinte quadro deve aparecer:

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3) Atribua valores para os parâmetros a, b e c. Clique

em ok e observe o gráfico.

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4) Seguindo os passos acima, desenhe o gráfico de

várias retas afim de responder as seguintes perguntas:

a) O que acontece sempre que a = 0? Justifique.

b) O que acontece sempre que b = 0? Justifique.

c) O que acontece sempre que c = 0? Justifique.

d) Por que a e b não devem ser simultaneamente nulos?

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5) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação 2x + y =

0 e trace o segmento orientado de origem (0, 0) e

extremidade (2, 1).

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6) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação 3x - y =

0 e trace o segmento orientado de origem (0, 0) e

extremidade (3, -1).

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7) Faça no Winplot o gráfico da reta de equação -4x +

2y = 0 e trace o segmento orientado de origem (0, 0) e

extremidade (-4, 2).

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8) Segundo os itens anteriores podemos perceber que

uma reta de equação ax + by = 0 é sempre

perpendicular ao vetor . Explique por que isso

acontece usando produto interno.

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9) Vá no menu equação e selecione a opção reta.

Atribua valores para a e b, porém para c escreva c = C.

Logo após clique ok. Agora vá no menu Animação e

clique em parâmetros. A seguinte janela deve aparecer:

Clique em auto ver. Para parar digite s, para ir mais

rápido digite r e mais lento digite l. Faça o mesmo com a

tecla auto cícl. Para mudar o intervalo de valores de C

use as teclas def L e def R.

O que acontece com a reta C varia?

O que você afirma sobre a reta de equação ax + by = c

e o vetor ?

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10) Seja a reta r de equação ax + by = c e dois de seus

pontos P(x1, y1) e Q(x2, y2).

Como Q está na reta, ele satisfaz a equação ax2 + by2

= c.

Como P está na reta, ele satisfaz a equação ax1 + by1

= c.

Subtraindo as equações obtemos: ax2 - ax1 + by2 - by1 =

0

a.(_____) + b(_____) = 0

A igualdade acima é o produto interno de v = ( , )

por u = ( , ).

Como o produto interno é nulo, os vetores são

_________________.

Conclusão: A reta de equação ax + by = c e o vetor (a,

b) são ____________.

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11) Um aluno ao usar o Winplot colocou uma equação

de reta com a = 5, b = -1 e c = 3. Ao mesmo tempo,

alguém usou para a, b e c os valores 10, -2, 6. O que

acontece quando traçamos os dois gráficos? Justifique.

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12) O que deve acontecer para que as retas de

equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam

coincidentes?

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13) Dê um exemplo de duas equações de retas que

sejam paralelas.

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14) O que deve acontecer para que as retas de

equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam paralelas?

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15) Dê um exemplo de duas equações de retas que

sejam concorrentes.

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16) O que deve acontecer para que as retas de

equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam concorrentes

(tenham um único ponto de intersecção)?

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17) Dê um exemplo de duas equações de retas que

sejam perpendiculares.

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18) O que deve acontecer para que as retas de

equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ sejam

perpendiculares?

---------------------------------------------------------------------------

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6. Posições relativas entre duas retas

(1º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’

são coincidentes quando todas as soluções de uma são

também soluções da outra. Neste caso, seus

coeficientes são proporcionais, isto é, .

(2º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’

são paralelas quando têm a mesma direção, isto é,

quando os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) são

proporcionais, mas os termos independentes não são,

isto é, .

(3º) As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’

são concorrentes quando têm direções distintas, isto é,

quando os vetores u = (a, b) e v = (a’, b’) não são

proporcionais. Assim, .

Caso particular de retas concorrentes: Retas

Perpendiculares

As retas de equações ax + by = c e a’x + b’y = c’ são

perpendiculares quando os vetores u = (a, b) e v = (a’,

b’) forem perpendiculares. Ou seja, quando o produto

interno < u . w > for nulo. Isto é, a.a’ + b.b’ = 0.

Exercícios:1) Determine, em cada caso, se as retas são paralelas,

coincidentes ou concorrentes (no último caso, verifique

se elas são ou não perpendiculares).

a) r : 3x - 2y + 1 = 0 e s : 4x + 6y - 1 = 0

b) r : 6x + 4y - 3 = 0 e s : 9x + 6y - 1 = 0

c) r : x/2 + y/5 = 1 e s: 2x - y + 5 = 0

d) r : x + 2y - 3 = 0 e s : x - 2y + 7 = 0

e) r : 2x + 3y - 8 = 0 e s : 4x + 6y - 16 = 0

f) r : 3x - y + 1 = 0 e s : 3x - y + 8 = 0

g) r : x + y = 0 e s : x - y = 0

h) r : 2x - 3y + 4 = 0 e s : y = -3/2x + 4

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2) Determine o valor de m para que as retas r e s abaixo

sejam paralelas.

(r): (1-m)x - 10y = 0 e

(s): (m + 2)x + 4y – 11m = 18

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3) (PUCRS) A equação da reta que passa por P(2,5) e é

paralela a reta de equação x - y + 2 = 0 é:

a) 3x - 2y + 4 = 0

b) x - y + 7 = 0

c) 2x - 3y + 11 = 0

d) x - y + 3 = 0

e) x - y - 3 = 0

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4) (PUCRS) Se as retas de equação 5x + 7y - 10 = 0 e

m.x - 5y + 1 = 0 são perpendiculares o valor de m é:

a) -7

b) -5

c) 5

d) 7

e) 10

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5) (UFRGS-99) Observe a figura abaixo. Os lados do

triângulo retângulo sombreado são segmentos das retas

dadas pelas equações:

a) y = 2, y = - ½ x + 2 e y = 2x + 2

b) x = 1, y = - x + 2 e y = x + 2

c) x = 1, y = - 2 x + 2 e y = ½ x + 2

d) y = 2, y = x + 2 e y = -x + 2

e) x = 1, y = - x + 1 e y = x + 2

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7. Intersecção de duas retas e os Sistemas Lineares 2 x 2

O ponto de intersecção de duas retas é aquele cujas

coordenadas satisfazem as equações de ambas. Assim,

o ponto pode ser obtido resolvendo o sistema formado

por suas equações.

Classificação de um sistema linear:

a) Possível e Determinado: Quando as equações

representarem retas concorrentes. Nesse caso, o

sistema admite uma única solução.

b) Possível e Indeterminado: Quando as equações

representarem retas coincidentes. Nesse caso, o

sistema admite infinitas soluções.

c) Impossível: Quando as equações representarem retas

paralelas. Nesse caso, o sistema não admite solução.

Exercícios:

1) Obtenha o ponto de intersecção das retas cujas

equações são dadas por 2x + 5y – 9 = 0 e y = –2x – 3.

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2) (PUCRS) O ponto de intersecção das retas 3x-y+3 =

0 e 2x+y+7 = 0 é:

a) (-2, -11) b) (-2, -3) c) (-2, -2)

d) (-2, 2) e) (-2, 3)

---------------------------------------------------------------------------

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3) (UFRGS) As retas 2x - y + 3 = 0 e x - 2y + 6 = 0

interceptam-se:

a) sobre o eixo das ordenadas.

b) no ponto (0,0).

c) no ponto (-6,0).

d) sobre o eixo das abscissas.

e) no ponto (1,5).

---------------------------------------------------------------------------

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4) Classifique os seguintes sistemas lineares:

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5) (UFRGS) Para que o sistema dado abaixo seja

impossível é necessário que b seja:

a) -3 b) -3/2 c)

3/2

d) 3 e) 9/2

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6) (PUCRS) O sistema abaixo é indeterminado se e

somente se:

a) m=2 e n=4 b) m=-2 e n=-4 c)

m=-2 e n=4

d) m -2 e n = 4 e) m=2 e n 4

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7) (FAAP-SP) Para que o sistema seja possível e

determinado, é necessário que:

a) a -2b/5 b) a=-2b/5 c)

a -5b/2

d) a 2b/5 e) a = -5b/2

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8) (MACK-SP) O sistema

a) tem infinitas soluções qualquer que seja a.

b) só tem solução se a = 3

c) é impossível se a 3

d) nunca é impossível

e) tem solução única qualquer que seja a

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8) (UFRGS) O sistema linear abaixo é possível e

determinado se e somente se:

a) m = 2 b) m = 4 c) m ≠ -4 d) m ≠ 1 e)

4m = 1

8. Os vetores no Espaço

No espaço, assim como no plano, dois segmentos

orientados representam um mesmo vetor quando têm o

mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.

As operações se definem da mesma forma que no

plano, pois para efetuá-las escolhemos sempre dois

vetores coplanares (isto é, contidos num mesmo plano).

As coordenadas de um ponto P no espaço são

associadas a um vetor que têm origem em O(0, 0, 0) e

extremidade P(x, y, z).

9. O produto interno e o ângulo entre dois vetores no espaço

Considere os segmentos orientados u = e v = ,

com A = (a, b, c), B = (d, e, f) e O = (0, 0, 0). Para

determinar o ângulo entre dois vetores, escolhemos dois

representantes coplanares e procedemos da mesma

forma que no plano.

O produto interno independe do sistema de

coordenadas escolhido, pois pode ser obtido em função

do comprimento dos vetores e do ângulo entre eles.

Assim temos:

< v, w > = a.d + b.e + e.f ou

< v, w > =

Observações:

1) A condição de ortogonalidade é que o produto interno

seja nulo.

2) O produto interno é máximo quando o ângulo é zero e

fica igual ao produto dos módulos.

10. A equação da reta no espaço

11. A equação do plano

Considerar um ponto Po(k, m, n) pertencente a um plano

e o vetor = (a, b, c) normal ao plano (isto é,

perpendicular a qualquer vetor contido nesse plano).

Este plano pode ser definido como sendo o lugar

geométrico dos pontos P(x, y, z) tais que os vetores

e são ortogonais.

Da condição de ortogonalidade de vetores vem a

equação conhecida como equação do plano: a.(x-k) + b.

(y -m) + c.(z - n) = 0.

Atividade no Winplot - Os vetores e a equação do plano

1) Vá em janela e selecione a opção 3-dim.

2) Vá no menu equação e selecione a opção plano. O

seguinte quadro deve aparecer:

3) Atribua valores para os parâmetros a, b, c, k, m e n.

Clique em ok e observe o gráfico.

4) Lembrando que os parâmetros a, b e c indicam as

coordendas do vetor normal ao plano. Responda:

a) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo

ao plano xy? Justifique.

b) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo

ao plano xz? Justifique.

c) o que deve acontecer para que o plano seja paralelo

ao plano yz? Justifique.

d) teste se suas conclusões estão certas no winplot.

5) Observe posições relativas entre dois planos e

determine:

a) um exemplo de equações de dois planos que se

encontrem segundo uma reta.

b) um exemplo de equações de dois planos paralelos.

c) um exemplo de equações de dois planos

coincidentes.

d) Existe outra posição possível para dois planos?

6) A equação que estamos vendo é do tipo a(x-k) + b(y-

m) + c(z-n) = 0, porém ela poderia ser escrita na forma

ax + by + cz = d. Determine d, em função dos

parâmetros a, b, c, k, m e n. 

12. Intersecção de planos e Sistemas Lineares

13. Método do Escalonamento