7/30/2019 O cubo da Ribeira

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O Cubo da RibeiraArselio Martins

Outubro de 2003

Notcia:Apesar de todas as manifestacoes contra a realizacao de rebentamentos submarinos para simularum sismo na costa nortenha, na madrugada do dia 13 de Marco de 97 ouviu-se e sentiu-se o estrondoda primeira explosao submarina do pro jecto cientfico COMBO. As pessoas da baixa portuensevieram para a rua. Na Ribeira, toda a gente ficou fascinada com as vagas do Douro que galgavampara as ruas. So quando as aguas revoltas acalmaram e que os populares viram que o Cubo daRibeira tinha rolado do seu pedestal e estava agora em parte afundado ali perto.Foram chamados tecnicos da Camara para avaliar a situacao. Depois de tiradas algumas medidase verificados os danos no Cubo, os tecnicos registaram o seguinte:

a) a parte submersa tinha alguns rombos e estava repleta de agua;

b) acima do nvel das aguas eram visveis dois vertices do cubo e ao nvel da superfcie da aguaera visvel um outro vertice do cubo;

c) o nvel da agua passava pelos pontos medios de duas arestas.

1 Problema a resolver

Para determinar o tipo de grua a utilizar na remocao do cubo, precisamos saber o volume da partesubmersa do cubo.

Resolucao

2 Primeiro trabalho: Interpretacao

Usando um cubo e determinada quantidade de agua, podemos modelar a situacao apresentada.E podemos tentar uma representacao que seja uma boa ilustracao para o caso do cubo em parteafundado. Qualquer coisa como a figura que se segue.

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2 2 PRIMEIRO TRABALHO: INTERPRETACAO

Podemos dar nomes aos vertices e aos outros pontos notaveis a que a situacao da relevo. Na figuraabaixo, atribumos as letras de A a H aos vertices e as letras M e N para os pontos medios dasduas arestas cortadas pelas aguas tal como e referido no enunciado.

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A e B designam os vertices acima do nvel da agua e D e o vertice ao nvel da superfcie da agua.M e o ponto medio da aresta [AE] e N e o ponto medio de [BC]-

3 A seccao - a superfcie da agua dentro do cubo

O plano da superfcie da agua e o plano definido pelos tres pontos D, M e N.

O segmento [DM] e a interseccao desse plano da agua com a face [ADHE]. Ora um plano intersectadois planos paralelos segundo rectas paralelas. O plano da face [ADHE] e paralelo ao plano da face[BCGF] e a interseccao do plano DMN terade ser uma recta paralela a DM que passe por N, jaque N esta no plano da face [BCGF]. Chamemos P ao ponto de interseccao desta paralela tiradapor N com a aresta [BF]. A seccao e assim. o trapezio [MPND].

Muitas vezes, para continuar o trabalho mais facilmente, escolhemos uma melhor posi cao para onosso estudo do cubo. Por exemplo:

iiiiiiiiii@@@@

@@@@

2222222222

22222

t

Dt

A

t

M

tE

tFtG

tC tN tB

t

P

tH

4 Estudo sobre a parte nao submersa do cubo

A parte nao submersa do cubo aparece facilmente como um tronco de piramide triangular de bases maior [DAM], menor [NBP]. Esse e um tronco da piramide [DAMK] de base [DAM] e verticeK, como mostramos na figura seguinte. As bases do tronco sao triangulos rectangulos semelhantes:DAM = NBP = 90o , ADM = BNP , AMD = BPN (os lados de cada par dessesangulos sao directamente paralelos, cada um a cada um). Podemos ainda reflectir sobre as posi coesrelativas das rectas DN e AB. Sao complanares (estao ambas no plano da face [ABCD] e saoconcorrentes. De facto, pelo ponto D, exterior a recta AB so passa uma paralela e ela e a recta DC.As rectas DN e AB sao concorrentes e intersectam-se num ponto que designamos por K. Valea pena provar que a recta MP intersecta DN (sao complanares no plano [DMPN]) e tambemintersecta AB (MP e AB estao no pano da face do cubo [AEFB]) e, melhor ainda, encontram-setodas no mesmo ponto K. Porque sera?

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4 4 ESTUDO SOBRE A PARTE N AO SUBMERSA DO CUBO

@@@@

@@@

.9ii

iiiiiiiii

.9$$$$$$

$$$$$$

$$$

.9iiiiiiiiiiiiiiiii

iii

t

Dt

A

t

M

tE

tFtG

tC tN tB

t

P

tH

tK

Pensemos na planificacao do cubo ou, pelo menos, das duas faces [ABCD] e [AEFB] (espalma-lasusando AB como dobradica). Ficam assim:

ggggg

gggggggggggggggggg

t

Dt

At

M

t E

t FtC tN tB

tP

tK

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K e o ponto a partir do qual se faz a ampliacao (por semelhanca - mantendo os angulos e du-plicando os comprimentos dos lados homologos) do triangulo [BNP] para o triangulo [ADM](Lembrando que N e o ponto medio de uma aresta do cubo, a razao de semelhanca ou factor deescala e

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= ADBN

= AMBP

= DMNP

= KDKN

= KAKB

= KMKP

5 Volume da parte nao submersa do cubo

O volume da parte nao submersa do Cubo da Ribeira, agora que a conhecemos bem, e facil decalcular.

As duas piramides ADMK (de vertice K e base [ADN], altura [AK]) e BNPK(de vertice K ebase [BNP], altura [BK]) sao semelhantes. Como o factor de escala e 2, o volume da piramideADMK e 23 vezes o volume da piramide BNPK.

Chamemos a ao comprimento da aresta do Cubo da Ribeira: a = AD = AB =

Podemos desenhar as bases das piramides em verdadeira grandeza. Por exemplo, na face [AEHD],o triangulo rectangulo [ADM], base da piramide ADMK:

t

Dt

A

tM

tH t E

A area do triangulo (base da piramide grande) e

A[ADM] =1

2ADAM=

1

2 a

a

2=a2

4

O volume da piramide [ADMK] e

V[ADMK] =1

3A[ADM] AK=

1

3a2

4 2a =

2a3

12=a3

6

Como ja vimos V[ADMK] = 8 V[BNPK] e, por isso, o volume da piramide pequena e

V[BNPK] =1

8 V[ADMK]

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6 6 VOLUME DA PARTE SUBMERSA DO CUBO

e o volume do tronco de piramide (que e a parte nao submersa do cubo) e

Vtronco =7

8 V[ADMK] =

7

8a3

6=

7a3

48

6 Volume da parte submersa do Cubo

Finalmente o volume da parte submersa e

Vsubmerso = VCubo Vtronco = a3

7a3

48=

41a3

48

Se a aresta do Cubo da Ribeira medir 2m, a parte submersa do Cubo, em consequencia do abalo,tera um volume de

41 8

48m3 =

41

6m3 6, 833m3

mais do que 6833 litros de agua, quase 7 toneladas para remover do rio Douro.