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O Efeito das Deformações Impostas em Edifícios com

Dimensões Significativas em Planta: Análise de Pilares

e/ou Paredes de Alvenaria

Ana Isabel Coutinho Casal

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Camara

Vogal: Doutor Mário Rui Tiago Arruda

Maio 2013

O Efeito das Deformações Impostas em Edifícios com Dimensões Significativas em Planta

Análise de Pilares e/ou Paredes de Alvenaria

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AGRADECIMENTOS

Gostaria de expressar o meu agradecimento a todos os professores que nos últimos anos

contribuíram para o conhecimento que levo hoje e ao Professor José Camara, em particular, pela

disponibilidade e orientação prestada no desenvolvimento da presente dissertação.

A todos os colegas e amigos que ao longo de todo o meu percurso académico marcaram a diferença

pela amizade, apoio e interesse demonstrado sobre o que estava a desenvolver.

Ao meu namorado e ao meu irmão pela boa disposição, pela paciência e pelo incentivo partilhado ao

longo do curso.

Aos meus avós, por acreditarem em mim incondicionalmente e, finalmente, o maior agradecimento

aos meus pais, a quem expresso um sentimento especial pela confiança, pela compreensão, e acima

de tudo, pelo investimento feito em prol da minha educação.



ii



iii

RESUMO

A presente dissertação tem como principal objetivo a apresentação, formulação e análise de efeitos

das deformações impostas em edifícios, em particular neste trabalho, no que diz respeito aos pilares.

Em estruturas de edifícios com grande dimensão em planta, as deformações impostas podem

contribuir para níveis de fendilhação e de deformação elevados nos elementos estruturais verticais,

podendo inclusivamente ter consequências negativas ao nível do comportamento dos elementos não

estruturais.

No entanto, estas estruturas têm condições para apresentar um bom comportamento em serviço

desde que sejam verificadas as condições de controlo desse tipo de comportamento.

O desenvolvimento desta temática tem início com a apresentação de algumas considerações iniciais,

sobre as características dos materiais mais importantes para este trabalho e os tipos de ações a que

os edifícios estão sujeitos durante o seu tempo de vida útil. Posteriormente faz-se uma introdução

aos conceitos essenciais de conceção estrutural em Portugal, onde à ação sísmica deve ser dada

particular relevância.

De seguida, procede-se à apresentação do processo de dimensionamento de elementos de betão

armado com ênfase na verificação de segurança na rotura e em serviço, considerando o efeito das

deformações impostas na estrutura.

Por fim, considerou-se a modelação de um edifício porticado, perfeitamente regular em altura e em

planta e com grande comprimento numa direção, no qual, o efeito da ação das deformações

impostas e da ação sísmica foi analisado em pormenor para os pilares mais afastados do centro de

rigidez do edifício.

Palavras-Chave: Deformações impostas, Ação sísmica, Análise de pilares, Fendilhação,

Deformação, Ductilidade e Resistência.



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ABSTRACT

The present dissertation has as main objective the presentation, formulation and analysis of the

effects of imposed deformations in buildings, emphasizing on columns.

In buildings with large dimensions in plant, the imposed deformations may contribute to an important

level of cracking and deformation on columns, which may also have negative consequences in non-

structural elements.

However, these structures might offer a good performance in service if a control analysis is taken into

account.

The development of this study starts with the presentation of some initial considerations as the

characteristics of the most important materials used on the case study and the types of loads that the

buildings are submitted to during their lifetime. Then we introduce the essential concepts of structural

design for buildings sited in Portugal, where the seismic load has a particular relevance.

Afterwards we discuss the process of concrete reinforcement with emphasis on security evaluation for

ultimate states and service states, considering the effect of imposed deformations.

Finally, we present a case study about a building, perfectly regular in height and plant and with a

great length in one direction, in which the effects of the imposed deformation and seismic load were

analyzed in detail for the columns farthest the center of rigidity of the building.

Key-words: Analysis of columns, Imposed deformations, Ductility, Cracking, Resistance, Seismic

load.



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vii

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1

1.1 ENQUADRAMENTO E OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO ........................................................................ 1

1.2 ORGANIZAÇÃO EM CAPÍTULOS ...................................................................................................... 2

2 CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS ......................................................................................... 3

2.1 BETÃO ........................................................................................................................................ 3

2.2 AÇO ........................................................................................................................................... 9

2.3 BETÃO ARMADO ........................................................................................................................ 11

3 CARACTERIZAÇÃO DAS AÇÕES .............................................................................................. 17

3.1 AÇÕES DIRETAS ....................................................................................................................... 17

3.2 AÇÕES INDIRETAS ..................................................................................................................... 18

3.3 AÇÃO SÍSMICA .......................................................................................................................... 18

4 CONCEÇÃO E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS ................................ 21

4.1 ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS ......................................................................................................... 22

4.2 ESTADOS LIMITE SERVIÇO ......................................................................................................... 24

5 CASO DE ESTUDO ....................................................................................................................... 27

5.1 ENQUADRAMENTO DO PROBLEMA .............................................................................................. 27

5.2 MATERIAIS ................................................................................................................................ 28

5.3 AÇÕES ..................................................................................................................................... 28

5.3.1 Ações Permanentes ........................................................................................................ 28

5.3.2 Ações Variáveis ............................................................................................................... 29

5.4 COMBINAÇÕES DE AÇÕES ......................................................................................................... 33

5.5 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA ..................................................................................................... 35

5.6 VERIFICAÇÃO DO MODELO ......................................................................................................... 37

5.6.1 Equilíbrio Global .............................................................................................................. 37

5.6.2 Análise Sísmica ............................................................................................................... 38

5.6.3 Coeficiente Sísmico ......................................................................................................... 40

5.7 DIMENSIONAMENTO DO PILAR .................................................................................................... 41

5.8 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA EM ELEMENTOS NÃO ESTRUTURAIS ............................................ 43

5.9 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS: PILAR INTERIOR .......................... 45

5.9.1 Estados Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas .......................................... 45

5.9.2 Estados Limite de Serviço: Controlo de Abertura de Fendas ......................................... 49

5.9.3 Estados Limite Últimos: Verificação de Resistência/Ductilidade .................................... 51

5.10 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS: PILAR DE EXTREMIDADE .......... 59

5.10.1 Estados Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas .......................................... 59

5.10.2 Estados Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas ......................................... 63

6 APRECIAÇÕES FINAIS/CONCLUSÃO ....................................................................................... 65



viii

7 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS .............................................................................................. 67

8 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................. 69



ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Módulo de elasticidade secante ......................................................................................... 3

Figura 2.2 – Representação da relação tensões-extensões do betão à compressão para a análise

estrutural (2) ..................................................................................................................................... 4

Figura 2.3 - Efeito da fluência em betão armado (3) .............................................................................. 5

Figura 2.4 - Efeito da retração em betão armado (3) ............................................................................. 5

Figura 2.5 - Parcelas da retração hídrica(5) ........................................................................................... 7

Figura 2.6 – Evolução do módulo de elasticidade ajustado (6) .............................................................. 8

Figura 2.7 – Diagrama tensões-extensões, idealizado e de cálculo, do aço das armaduras para betão

armado (tracionado ou comprimido) (2) .......................................................................................... 9

Figura 2.8 – Diagrama momento-curvatura média num elemento à flexão simples: (i) fase não

fendilhada; (ii) estado fissurado; (iii) fase pós-cedência ................................................................ 12

Figura 2.9 – Rotação plástica de secções de betão armado (1) .......................................................... 12

Figura 2.10 – Diagrama momento-curvatura média num elemento à flexão composta ....................... 13

Figura 2.11– Diagramas de extensão e tensão para uma secção de betão armado ........................... 13

Figura 2.12 – Valor básico da rotação admissível, θpl,d, de secções de betão armado (2) .................. 15

Figura 2.13 – Valores da rotação plástica obtidos pelo método aproximado descrito (identificados a

vermelho) e comparação com os resultados experimentais apresentados no Eurocódigo 2 ....... 15

Figura 3.1 – Esquema resumo do tipo de ações .................................................................................. 17

Figura 3.2 – Relações força/deslocamento para a mesma ductilidade e diferentes capacidades de

dissipar energia (8) ........................................................................................................................ 19

Figura 4.1 - Fluxograma indicativo do processo de desenvolvimento de um projeto de estruturas .... 21

Figura 4.2 – Ciclos de carga e descarga para um elemento de betão armado não simetricamente

armado, adaptado de (9) ............................................................................................................... 23

Figura 4.3 – Deformada em elementos horizontais e verticais (6) ....................................................... 24

Figura 4.4 – Limitações regulamentares de deformação (9) ................................................................ 25

Figura 4.5 – Configuração deformada de um pórtico com e sem juntas parciais devido a deformações

impostas (10) ................................................................................................................................. 26

Figura 5.1 – Modelação do edifício em estudo ..................................................................................... 27

Figura 5.2 – Espectro de resposta ....................................................................................................... 31

Figura 5.3 – Pormenorização do pilar ................................................................................................... 41



x

Figura 5.4 – Configuração deformada do edifício devido à ação das deformações impostas ............. 43

Figura 5.5 – Configuração deformada do edifício devido à ação do sismo de serviço ........................ 44

Figura 5.6 – Identificação do pilar interior (fachada) ............................................................................ 45

Figura 5.7 – Pormenorização da armadura transversal do pilar interior .............................................. 56

Figura 5.8 – Relação tensões - extensões para betão cintado (2) ....................................................... 57

Figura 5.9 – Identificação do pilar exterior (fachada) ........................................................................... 59

Figura 5.10 – Pormenorização do pilar exterior ................................................................................... 62



xi

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 – Propriedades do aço ........................................................................................................ 10

Tabela 5.1 – Características dos materiais utilizados .......................................................................... 28

Tabela 5.2 – Valores básicos do coeficiente de comportamento ......................................................... 30

Tabela 5.3 – Temperaturas indicativas referentes a ambientes interiores e a ambientes exteriores .. 32

Tabela 5.4 – Determinação da variação de temperatura uniforme no Verão e no Inverno ................. 32

Tabela 5.5 – Coeficientes de segurança e de redução ........................................................................ 34

Tabela 5.6 – Reação vertical esperada ................................................................................................ 37

Tabela 5.7 – Controlo das reações verticais para ações gravíticas ..................................................... 37

Tabela 5.8 – Controlo das reações horizontais para ações gravíticas ................................................. 38

Tabela 5.9 – Fatores de participação de massa ................................................................................... 38

Tabela 5.10 – Frequências e períodos de vibração dos principais modos de vibração ....................... 39

Tabela 5.11 – Deformadas dos principais modos de vibração ............................................................. 39

Tabela 5.12 – Valores do coeficiente sísmico ...................................................................................... 40

Tabela 5.13 – Esforços obtidos para a combinação fundamental ........................................................ 41

Tabela 5.14 – Esforços obtidos para a combinação sísmica tipo 1 ..................................................... 41

Tabela 5.15 – Esforços obtidos para a combinação sísmica tipo 2 ..................................................... 42

Tabela 5.16 – Dimensionamento de armadura longitudinal do pilar .................................................... 42

Tabela 5.17 – Combinação Rara A: Esforços na base do pilar interior ................................................ 46

Tabela 5.18 – Combinação Rara A: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras

condicionantes ............................................................................................................................... 47

Tabela 5.19 – Combinação Rara B: Esforços na base do pilar interior ................................................ 47

Tabela 5.20 – Combinação Rara B: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras

condicionantes ............................................................................................................................... 48

Tabela 5.21 – Combinação Quase Permanente: Esforços na base do pilar interior ........................... 49

Tabela 5.22 – Combinação Quase Permanente: Valores de tensão e de extensão registados nas

fibras condicionantes ..................................................................................................................... 49

Tabela 5.23 – Diâmetros máximos dos varões, para controlo de fendilhação, para wk = 0,3 mm (2) .. 50

Tabela 5.24 – Combinação Fundamental A: Esforços na base do pilar .............................................. 51

Tabela 5.25 – Combinação Fundamental A: Valores de curvaturas médias ....................................... 52



xii

Tabela 5.26 – Combinação Fundamental B: Esforços na base do pilar interior .................................. 53

Tabela 5.27 – Combinação Fundamental B: Valores de curvaturas médias ....................................... 53

Tabela 5.28 – Combinação Sísmica: Esforços na base do pilar interior .............................................. 54

Tabela 5.29 – Combinação Rara A: Esforços na base do pilar interior ................................................ 60

Tabela 5.30 – Combinação Rara A: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras

condicionantes ............................................................................................................................... 60

Tabela 5.31 – Combinação Rara B: Esforços na base do pilar interior ................................................ 61

Tabela 5.32 – Combinação Rara B: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras

condicionantes ............................................................................................................................... 62

Tabela 5.33 – Combinação Quase Permanente: Esforços na base do pilar interior ........................... 63

Tabela 5.34 – Combinação Quase Permanente: Valores de tensão e de extensão registados nas

fibras condicionantes ..................................................................................................................... 64



xiii

ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 5.1 – Espectro resposta com indicação do período fundamental de vibração da estrutura .... 40

Gráfico 5.2 – Combinação Rara A: Diagrama momento – curvatura média ........................................ 46

Gráfico 5.3 – Combinação Rara B: Diagrama momento – curvatura média ........................................ 48

Gráfico 5.4 – Combinação Quase Permanente: Diagrama momento – curvatura média .................... 50

Gráfico 5.5 – Combinação Fundamental A: Diagrama momento – curvatura ...................................... 52

Gráfico 5.6 – Combinação Fundamental B: Diagrama momento – curvatura média ........................... 53

Gráfico 5.7 – Combinação Sísmica: Diagrama momento - curvatura média ....................................... 55

Gráfico 5.8 – Combinação Sísmica: Diagrama momento – curvatura média, considerando efeito de

confinamento ................................................................................................................................. 58

Gráfico 5.9 – Combinação Rara A: Diagrama momento – curvatura média ........................................ 60

Gráfico 5.10 – Combinação Rara B: Diagrama momento – curvatura média ...................................... 61

Gráfico 5.11 – Combinação Rara B: Diagrama momento-curvatura com nova armadura ................... 62

Gráfico 5.12 – Combinação Quase Permanente: Diagrama momento – curvatura média .................. 63



xiv



1

1 INTRODUÇÃO

1.1 ENQUADRAMENTO E OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO

O projeto de estruturas de edifícios tem por base a obtenção de uma solução estrutural que obedeça

aos requisitos de funcionalidade e segurança da forma mais económica e eficiente possível.

O avanço registado na tecnologia e no conhecimento das propriedades dos materiais utilizados no

ramo da construção tem permitido a formulação de soluções estruturais que permitem combinar,

simultaneamente, a capacidade resistente com outras características de comportamento dos

materiais utilizados, como a ductilidade, permitindo assim uma resposta mais adequada às ações a

que os edifícios poderão estar sujeitos durante a sua vida útil.

No entanto, esta situação de projeto exige um processo de avaliação da solução estrutural de

segurança à rotura e de funcionamento em serviço bastante exigente e, apesar da evolução

registada sobre a compreensão do comportamento do betão armado em serviço e da sua

importância no dimensionamento dos elementos estruturais, verifica-se que as disposições

regulamentares e recomendações de projeto a esse respeito continuam, em alguns aspetos, pouco

claras.

De uma forma geral, as ações que atuam num dado elemento estrutural podem ser classificadas

como ações diretas e ações indiretas. Se por um lado as ações diretas (que correspondem cargas

que atuam na estrutura e que têm necessariamente de ser equilibradas e transmitidas aos apoios)

são contempladas no processo de dimensionamento de estruturas corrente, a não consideração

adequada dos efeitos das ações indiretas (ações que correspondem a deformações impostas na

estrutura) é bastante frequente. No entanto, esta situação está, em alguns casos, desajustada às

necessidades de dimensionamento pois as estruturas de betão armado estão muitas vezes sujeitas a

deformações impostas significativas que, se restringidas, induzem tensões nos elementos estruturais

e o aparecimento fendas.

Assim, serve a presente dissertação para discutir e analisar os efeitos das deformações impostas em

edifícios com grande área de implantação em planta e desenvolver esta problemática para os pilares,

em particular.

Nesse sentido serão apresentadas, por um lado, as características de resposta de elementos de

betão armado às deformações impostas e, por outro lado, as suas características de resposta à ação

sísmica. As diferenças entre estes tipos de ações são também discutidas.

Apresentam-se os conceitos de conceção e dimensionamento sísmico e são desenvolvidas as

verificações de segurança e de resistência necessárias ao adequado comportamento estrutural

considerando a ação simultânea de deformações impostas na estrutura.

Para terminar, apresenta-se um caso prático que visa descrever o processo de dimensionamento de

pilares numa estrutura porticada sujeita a este tipo de ações.



2

1.2 ORGANIZAÇÃO EM CAPÍTULOS

O conteúdo da presente dissertação encontra-se organizado em 5 capítulos principais.

No capítulo 2, designado por “Características dos materiais”, apresentam-se as principais

características do comportamento materiais isoladamente e em conjunto – Aço, Betão e Betão

Armado – abordando em especial a capacidade de deformação e as características de ductilidade

dos mesmos.

No capítulo 3, designado por “Caracterização das ações”, introduzem-se os tipos de ações

suscetíveis de solicitar as estruturas durante a construção e a vida útil dos edifícios. São, nesse

contexto, apresentadas as principais características de comportamento do betão estrutural quando

solicitado por cada uma dessas ações.

No capítulo 4, designado por “Conceção e dimensionamento de estruturas”, definem-se os critérios

de conceção de um projeto de estruturas e descreve-se o modo de dimensionamento dos elementos

estruturais tendo em conta as verificações de segurança regulamentares.

No capítulo 5, designado por “Caso de Estudo”, procura-se desenvolver os conceitos abordados na

dissertação através da análise particular de pilares submetidos aos efeitos da ação sísmica e das

deformações impostas lentas.

Finalmente, no capítulo 6 sintetizam-se algumas apreciações finais que são o resultado do estudo

efetuado e referem-se alguns desenvolvimentos interessantes nesta temática.



3

2 CARACTERÍSTICAS DOS MATERIAIS

2.1 BETÃO

O betão é um material que não responde de forma idêntica quando submetido a ações de

compressão ou de tração. A sua principal característica mecânica corresponde à resistência à

compressão e, de acordo com o Eurocódigo 2, a capacidade de resistir às tensões de tração pode

ser expressa em função da anterior de acordo com a seguinte expressão:

(2.1)

A caracterização do comportamento do betão é geralmente efetuada através da análise constitutiva

tensão-extensão do material, cuja relação é claramente diferente para efeitos de compressão e

tração.

Ao nível da análise em serviço, as secções de betão são moduladas tendo por base a consideração

de um módulo de elasticidade constante para o betão, mesmo sabendo que este material não

apresenta um comportamento elástico linear. Esta simplificação permite obter uma boa aproximação

do comportamento do betão para ações em serviço pois o nível de tensões de compressão é limitado

a valores da ordem dos 60% de fck. Relativamente ao comportamento à tração, o nível de tensões

registado é limitado a fctm sendo mesmo desprezado quando se verifica a fendilhação do betão.

Assim, pode considerar-se para a avaliação das condições de comportamento em serviço o módulo

de elasticidade secante, Ecs, definido pela inclinação da reta que passa na origem e pelo ponto do

diagrama cuja tensão é da ordem de 40% da tensão de rotura, com um máximo à tração

correspondente à sua resistência (Figura 2.1).

Figura 2.1 – Módulo de elasticidade secante



4

A curva de relação tensão de compressão – extensão do betão à compressão é geralmente definida

de acordo com a seguinte relação proposta no Eurocódigo 2 (Figura 2.2):

Figura 2.2 – Representação da relação tensões-extensões do betão à compressão para a análise estrutural (2)

Tal que:

Onde,

(2.2)

Relativamente às principais propriedades mecânicas do betão é preciso ter presente que, por um

lado, estas têm uma considerável variabilidade estatística e, por outro lado, há que ter em conta os

efeitos do tempo, em particular a fluência e retração.

Fluência:

A fluência corresponde à deformação do betão quando submetido a tensões de compressão de

carácter permanente. Esta desenvolve-se progressivamente ao longo do tempo e depende, entre

outros aspetos:

da humidade ambiente;

das dimensões, da composição e da idade do betão quando carregado;

da intensidade e duração do próprio carregamento.



5

Conforme está representado na Figura 2.3, quando um dado elemento estrutural de betão armado é

sujeito a uma tensão de compressão constante, σc, ocorre uma deformação inicial instantânea

designada por deformação elástica, εci, à qual se vai somando progressivamente uma parcela devido

à deformação por fluência, εcc.

Figura 2.3 - Efeito da fluência em betão armado (3)

A relação entre a deformação por fluência e elástica designa-se por coeficiente de fluência e é dada

(para valores de compressão inferiores a 0,45fck à data do carregamento) por:

(2.3)

Este coeficiente traduz o incremento de deformação do elemento quando submetido a tensões de

longa duração, e está definido no Eurocódigo 2 (2) pela equação:

(2.4)

Retração:

A retração consiste na variação de volume das peças de betão na ausência de tensões aplicadas

devido, essencialmente, à variação do volume de água na massa de betão que, por sua vez,

depende (tal como a fluência) da humidade ambiente, das dimensões do elemento e da composição

do betão. Esta variação de volume, caso existam impedimentos da peça ao encurtamento, gera

tensões de tração (Figura 2.4).

Figura 2.4 - Efeito da retração em betão armado (3)



6

Existem vários tipos de retração que diferem na sua origem e que provocam padrões de fendilhação

das peças de betão também diferentes (4):

Retração Plástica – corresponde à perda de água por exsudação e evaporação à superfície,

antes do betão adquirir presa. Uma vez que se trata do deslocamento da água para o

exterior de um corpo poroso sem propriedades mecânicas desenvolvidas, as fissuras que se

geram são geralmente superficiais, pouco definidas e ramificadas.

Retração Química – após a hidratação da pasta de cimento, os produtos que resultam deste

processo apresentam menor volume que os materiais que deram origem à reação. Este

fenómeno depende da relação água/cimento adotada e dá origem à formação de vazios no

interior do betão, designados por poros de gel, que podem condicionar a durabilidade da

peça quando exposta a ambientes agressivos.

Retração Térmica – a hidratação do cimento é uma reação exotérmica, libertando uma

elevada quantidade de calor que expande o betão. Ao arrefecer, após a presa, este material

reduz novamente o seu volume dando origem à formação de fissuras à superfície.

Uma vez que o betão apresenta baixa condutividade, as diferenças de temperaturas

registadas no interior e no exterior do elemento durante o processo de arrefecimento do

betão geram tensões de tração que, quando excedem a resistência à tração provocam a

fendilhação da peça. A fendilhação pode ser agravada por uma descofragem prematura

devido à redução de isolamento térmico do betão.

Retração de Carbonatação – resulta da combinação do CO2 da atmosfera com os

compostos hidratados do cimento. Esta reação dá origem à formação de produtos sólidos de

volume inferior à soma dos reagentes, resultando na fendilhação localizada à superfície do

betão.

Retração Hídrica – tem origem na perda de água sofrida na pasta de cimento e é

usualmente decomposta em duas parcelas: Retração Endógena e Retração de Secagem

(conforme se ilustra, para determinadas condições de geometria, de ambiente e de

compressão no betão, na Figura 2.5).

Retração Endógena: também designada por retração autogénea, tem origem nas reações

químicas de hidratação do cimento as quais, tal como foi referido anteriormente, dão origem

a produtos de reação com menor volume do que os próprios reagentes (cimento e água).

Este fenómeno desenvolve-se nas primeiras semanas após betonagem, durante o

endurecimento do betão, sem trocas de humidade com o exterior. Trata-se de uma parcela

geralmente pequena da retração hídrica total, que aumenta com a redução da relação

água/cimento.



7

Retração de Secagem: também denominada por retração de dissecação, resulta da redução

da humidade na microestrutura do betão já endurecido devido à evaporação da água que

não foi consumida nas reações de hidratação do cimento. A retração por secagem

corresponde à maior parcela da retração hídrica, ocorrendo na presença de um gradiente

hídrico entre o interior e o exterior da peça. Este é um processo que evolui muito

lentamente, ao longo de vários anos, sendo mais significativo quanto maior for a relação

água/cimento.

Figura 2.5 - Parcelas da retração hídrica(5)

O Eurocódigo 2 (2) considera apenas a contribuição da retração hídrica para efeitos de

dimensionamento por ser a que tem maior significado. Desta forma, a deformação devido a efeitos

de retração é dada por:

(2.5)

Onde,

εcs – retração total;

εcd – retração de secagem;

εca – retração endógena.

Módulo de Elasticidade Ajustado:

Para efeitos de análise da resposta em serviço de estruturas de betão sujeitas a ações impostas ao

longo do tempo é necessário considerar as características de fluência do betão. Assim, o efeito

desse tipo de deformações impostas pode ser avaliado considerando, simplificadamente, uma



8

relação entre a tensão e a deformação registadas na peça correspondente ao módulo de elasticidade

ajustado, Ec,ajust, definido pela expressão:

(2.6)

Onde,

χ – Coeficiente de envelhecimento;

φ – Coeficiente de fluência;

Ec,28 – Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias.

Esta metodologia é válida se a variação de tensão verificar um andamento equivalente ao de

evolução da fluência, como se verifica na retração, pelo que a análise do estado de tensão no betão

devido a esta ação é frequentemente realizada considerando o módulo de elasticidade ajustado.

Tal como se pode observar na Figura 2.6, para uma peça de betão C25/30 e cimento de classe S

com 20cm de espessura equivalente, o valor do módulo de elasticidade ajustado apresenta uma

evolução que tende a estabilizar para ações impostas num longo período de tempo.

Figura 2.6 – Evolução do módulo de elasticidade ajustado (6)



9

2.2 AÇO

Quando comparado com o betão, o aço apresenta um comportamento muito mais simples, não

sendo influenciado por processos diferidos no tempo, à exceção dos aços pré-esforçados.

Tal como no betão, a caracterização do comportamento deste material é geralmente realizada com

base na relação constitutiva tensão-extensão. De acordo com o Eurocódigo 2, na avaliação da

resistência de secções pode considerar-se os seguintes diagramas simplificados (Figura 2.7):

A) Diagrama característico – Apresentado com traço interrompido;

B) Diagramas possíveis para a verificação da segurança na rotura – Apresentados a traço contínuo,

podem assumir as seguintes características:

Diagrama bilinear, com o segundo tramo horizontal sem extensão limite, dado por:

(2.7)

(2.8)

Diagrama bilinear, com o segundo tramo inclinado até uma extensão limite, εud, e uma tensão

máxima de para εuk, em que , dado por:

(2.9)

(2.10)

Figura 2.7 – Diagrama tensões-extensões, idealizado e de cálculo, do aço das armaduras para betão armado (tracionado ou comprimido) (2)

Em ambas as hipóteses de cálculo apresentadas considera-se que o aço apresenta um

comportamento elástico linear até que seja atingida a tensão de cedência, cuja constante de

proporcionalidade corresponde ao módulo de elasticidade, Es, de aproximadamente 200 GPa.

Quanto aos valores de k e εuk a considerar, estes dependem da classe de ductilidade das armaduras

adotadas.



10

Nesse sentido, o Eurocódigo 2 define três classes diferentes de aço – classes A, B e C – que se

distinguem pelo nível de ductilidade disponível (onde A corresponde à classe dos aços de menor

ductilidade e C aos de maior ductilidade) cujas características estão apresentadas na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 – Propriedades do aço

Classe Aço fyk [MPa] fyd [MPa] εuk [%] εyd [‰] k [-]

Normal

S 400 ER 400 348 ≥2,5 1,740 ≥1,05

S 500 ER 500 435 ≥2,5 2,175 ≥1,05

S 600 ER 600 522 ≥2,5 2,610 ≥1,05

Alta

S 400 NR 400 348 ≥5,0 1,740 ≥1,08

S 500 NR 500 435 ≥5,0 2,175 ≥1,08

S 600 NR 600 522 ≥5,0 2,610 ≥1,08

Especial

S 400 NR SD 400 348 ≥7,5 1,740 ≥1,15 <1,35

S 500 NR SD 500 435 ≥7,5 2,175 ≥1,15 <1,35

S 600 NR SD 600 522 ≥7,5 2,610 ≥1,15 <1,35

A utilização dos aços de classe A é, em geral, desaconselhada por não apresentar características de

ductilidade suficiente para a formação eficaz de rótulas plásticas, característica importante para evitar

a fragilidade de rotura e permitir a redistribuição dos esforços em estruturas hiperestáticas.



11

2.3 BETÃO ARMADO

O betão armado é um material compósito que explora, no essencial, a capacidade resistente do

betão à compressão, e do aço à tração. Este caracteriza-se pelo funcionamento conjunto de

materiais bem diferentes ligados através de um processo de aderência complexo, em particular

depois de se verificar a fendilhação do betão. O seu comportamento global à flexão é não linear e,

geralmente, analisado com base em diagramas momento-curvatura médios.

A curvatura de uma secção corresponde à rotação que esta sofre por unidade de comprimento

longitudinal da peça, e é dada por:

(2.11)

Onde,

– deformação unitária média da fibra mais comprimida do betão

– deformação unitária média da fibra mais traccionada do aço

d – altura útil da secção

Relativamente à curvatura média, esta corresponde à média de rotações registada entre as secções

extremas num dado comprimento.

O diagrama que relaciona o momento com a curvatura média pode ser definido para um dado

elemento com dimensões e quantidade de armadura conhecidas, através de uma curvatura média

dada por:

Onde,

(2.12)

(2.13)

Sendo,

ζ – coeficiente de ponderação

β – tem em consideração as condições de aderência das armaduras;

Mcr – momento de fendilhação

Os Estados I (não fendilhado) e II (fendilhado) são avaliados através de equações de equilíbrio e

compatibilidade, tendo em consideração as relações constitutivas dos materiais constituintes.

Tal como se pode observar na Figura 2.8, os elementos de betão armado submetidos à flexão pura

apresentam, numa primeira fase, um comportamento elástico linear no qual todas as secções

trabalham em Estado I.



12

Figura 2.8 – Diagrama momento-curvatura média num elemento à flexão simples: (i) fase não fendilhada; (ii) estado fissurado; (iii) fase pós-cedência

O facto de o betão não se encontrar fissurado faz com que as secções funcionem uniformemente.

Quando a fibra mais tracionada atinge a tensão máxima de resistência à tração do betão inicia-se a

fase de fissuração, na qual se verifica logo de início uma redução significativa de rigidez associada à

formação de novas fendas no comprimento do elemento. Na análise das secções onde ocorrem

fendas considera-se que não existe contribuição do betão à tração. A essa situação denomina-se

Estado II e, no caso de flexão simples ou composta com excentricidade constante, este Estado

apresenta rigidez constante.

A partir de um determinado valor de carregamento deixa de ser observada a formação de novas

fendas, iniciando-se a fase de fendilhação estabilizada, durante a qual se verifica um aumento da

abertura de fendas existentes até que seja atingida a sua tensão de cedência do aço. Durante esta

fase a curvatura média tem variações muito menos significativas.

Note-se que quando o aço atinge o seu valor de cedência existe um espaçamento entre fendas, no

qual há participação do betão à tração. É esta a razão pela qual, na cedência, a curvatura média

pode ser um pouco inferior à avaliada em Estado II.

Quando o limite elástico de deformação do aço é atingido inicia-se a fase de comportamento plástico

que se caracteriza pelo desenvolvimento das denominadas “rótulas plásticas” (Figura 2.9). O

comprimento da rótula plástica, Lp, é frequentemente admitido, por aproximação, como a altura útil

da secção.

Figura 2.9 – Rotação plástica de secções de betão armado (1)



13

A verificação de segurança à flexão de pilares, em particular em serviço, tem por base a avaliação do

andamento do diagrama M-1/R onde é possível identificar, apesar de uma forma menos clara, as

fases atrás descritas. Na análise da secção fendilhada é possível avaliar também os

correspondentes valores de tensão e extensão nas fibras mais condicionantes. Refira-se ainda que,

em pilares, onde se verifica frequentemente flexão composta, a evolução de perda de rigidez

resultante da fendilhação (Figura 2.10) é menos acentuada que na flexão simples. É importante

referir que no caso da flexão composta com esforço axial constante, o Estado II não tem rigidez

constante, pois a posição da Linha Neutra modifica-se com a variação de momento.

Figura 2.10 – Diagrama momento-curvatura média num elemento à flexão composta

Os diagramas de tensão e extensão devem ser obtidos a partir de programas de cálculo que

consideram os diagramas tensão-extensão descritos para o betão e aço nos subcapítulos 2.1 e 2.2,

respetivamente. Desta forma, considerando as características dos materiais utilizados, a geometria

da secção e a posição das armaduras, é possível determinar a evolução da relação M-1/R em

Estado II para um dado valor de esforço axial. O diagrama de tensões e/ou extensões é também

obtido, para um dado nível de esforços, nesse caso, sem a participação do betão à tração (Figura

2.11). Desta forma, é possível analisar os valores das tensões e, consequentemente, as condições

de segurança em serviço dos pilares.

Figura 2.11– Diagramas de extensão e tensão para uma secção de betão armado

N = cte



14

Paralelamente, o diagrama momento-curvatura inclui a fase de cedência das armaduras permitindo

também avaliar a capacidade resistente na rotura e a ductilidade disponível do elemento.

A ductilidade, em termos de um elemento de betão armado, corresponde à capacidade de

deformação que este admite desde que é atingida a tensão de cedência do aço até à sua rotura.

Esta capacidade depende de vários parâmetros como as características do aço, a posição da linha

neutra na situação de rotura, o nível de cintagem do betão comprimido e ainda a relação M-V.

De acordo com o Eurocódigo 8 o valor do coeficiente de ductilidade em curvatura, μϕ, é dado por:

(2.14)

O valor deste coeficiente depende das características de ductilidade exigidas à estrutura, q0, sendo

exigido que, nas zonas críticas, se satisfaçam as seguintes condições (7):

(2.15) (2.16)

Onde,

μϕ – coeficiente de ductilidade em curvatura;

q0 – valor base do coeficiente de comportamento na direção considerada;

TC – limite superior do valor do período no tramo constante do espectro de resposta;

T1 – período fundamental da estrutura na direção considerada.

Em termos da análise da capacidade de deformação de pilares verifica-se que as características do

aço utilizado e o grau de confinamento do betão podem aumentar, de forma muito significativa, a

curvatura última deste material, aumentando também a resistência do betão no interior da zona

confinada. Desta forma, a deformação plástica aumenta mas, em contrapartida, a perda de

recobrimento pode contribuir para uma ligeira redução do momento resistente devido à redução da

secção ativa.

Ao se admitirem deformações para além dos seus limites elásticos possibilita-se a utilização de

métodos de cálculo que consideram a formação de rótulas plásticas e a consequente redistribuição

de esforços.

No entanto, a redistribuição de esforços só é possível se for verificada a capacidade de rotação

plástica das secções. Esta pode ser obtida, de acordo com o Eurocódigo 2, em função da posição da

linha neutra na situação de rotura, isto é, em função de xu/d (Figura 2.12).

Estes diagramas correspondem a limites inferiores de valores muito dispersos obtidos em diversos

ensaios laboratoriais e estudos analíticos e são válidos para a análise de elementos de betão armado

onde não se considerem os efeitos de confinamento específicos para o betão.



15

Figura 2.12 – Valor básico da rotação admissível, θpl,d, de secções de betão armado (2)

Considerando como aproximação para o comprimento da referida rótula plástica (Lp) a altura útil da

secção (d), o valor da rotação plástica pode ser avaliada a partir da equação:

(2.17)

Nesse caso, para a curvatura máxima da secção tem-se:

(2.18)

E portanto,

(2.19)

Se se representar esta relação (Figura 2.13) verifica-se que o valor obtido para a rotação plástica

corresponde a um valor intermédio entre a rotação plástica definida para os aços B e C.

Figura 2.13 – Valores da rotação plástica obtidos pelo método aproximado descrito (identificados a vermelho) e comparação com os resultados experimentais apresentados no Eurocódigo 2



16

Em secções de pilares, onde a posição da linha neutra é frequentemente superior a 0,45d mas onde

se adotam disposições específicas de cintagem do betão considera-se, neste estudo, que a

expressão 2.20 pode ser considerada como uma boa referência de análise da capacidade de rotação

plástica das secções.



17

3 CARACTERIZAÇÃO DAS AÇÕES

É importante distinguir dois tipos de ações relativamente às características de resposta estrutural:

ações diretas e ações indiretas (Figura 3.1). Refira-se que a ação do sismo (referida com mais

pormenor no Subcapítulo 3.3) apresenta características comuns a ambas as ações anteriores sendo,

portanto, razoável considerá-la como uma ação que nesta classificação poderá ficar posicionada

entre os dois tipos, pois tem características, que podemos considerar, intermédias, como se discutirá

seguidamente.

Figura 3.1 – Esquema resumo do tipo de ações

3.1 AÇÕES DIRETAS

Entende-se por ações diretas, as forças ou cargas que são aplicadas à estrutura e que geram

esforços e reações que o sistema estrutural deve suportar (como o peso próprio, as restantes cargas

permanentes, as sobrecargas e algumas outras ações exteriores como a neve e o vento).

As ações diretas verticais têm especial influência na definição do sistema estrutural, nomeadamente

ao nível da localização em planta de pilares e vigas, sendo que a escolha da malha de pilares e o

sistema estrutural dos pisos deve garantir uma adequada e eficiente transmissão das cargas às

fundações do edifício. Destas ações resulta uma distribuição de esforços nos elementos estruturais

para os quais é necessário garantir as necessárias características de resistência.

O efeito das ações diretas horizontais, por sua vez, é mais importante nos elementos verticais da

malha estrutural, devendo ser considerada a sua ação nas direções pertinentes. Os esforços

resultantes deste tipo de ações são tanto mais significativo quanto mais altos forem os edifícios, e o

controlo das deformações nos elementos não estruturais está necessariamente associado à rigidez

do sistema estrutural.

A característica principal deste tipo de ações é que, independentemente do tipo de material e do seu

comportamento, a distribuição de esforços, podendo ser diferente, tem necessariamente de equilibrar

Ações

Diretas Sismo Indiretas

Ações Gravíticas e outras ações

exteriores

Deformações Impostas



18

as cargas aplicadas. Isto é, não há globalmente redução de esforços devido a qualquer

comportamento não linear.

3.2 AÇÕES INDIRETAS

As ações indiretas, também designadas por deformações impostas, podem gerar nas estruturas

hiperestáticas esforços de compatibilização devido a restrições a deformações livres provocadas pela

retração, por variações de temperatura e/ou assentamentos diferenciais dos apoios.

O nível dos esforços que resultam deste tipo de ações dependem diretamente da rigidez das

estruturas e, portanto, do eventual comportamento não linear, o que significa que quanto menos

rígida for a estrutura, menores são os esforços que se geram na mesma. Por essa razão o nível dos

esforços depende também da atuação simultânea de ações diretas, as quais influenciam a rigidez da

estrutura. Assim, no âmbito da verificação de segurança, os seus efeitos são tanto menores quanto

menos rígidos forem os elementos e dependem do facto da estrutura estar mais ou menos fendilhada

ou ter mesmo atingido a cedência nalguns elementos.

O efeito das deformações impostas não é, em geral, condicionante ao nível da verificação de

segurança à rotura (sendo apenas necessário um adequado controlo de ductilidade) mas tem

repercussões importantes em serviço. Desta forma, é essencial analisar e controlar os efeitos na

estrutura, em particular, a fendilhação eventualmente induzida nos diversos elementos estruturais

que a constituem e também nos elementos não estruturais.

3.3 AÇÃO SÍSMICA

A ação sísmica não se enquadra diretamente em nenhum dos tipos de ação anteriormente descritos,

uma vez que:

pode ser classificada como uma ação indireta no sentido em que corresponde a uma

deformação imposta no terreno (com características dinâmicas) e, o nível global dos esforços

depende das características de comportamento não lineares dos elementos estruturais;

pode também ser classificada como uma ação direta pelo facto de haver necessidade de

dotar os elementos da estrutura de um certo nível de capacidade resistente para equilibrar

“forças de massa” ou, para rigidificar a estrutura e, assim, limitar a deformação.

De facto, do ponto de vista da análise sísmica é importante dotar os elementos mais solicitados da

estrutura de capacidade resistente e de um nível de ductilidade adequados para que garantam,

assim, condições para absorção de energia.

Nesse sentido, deveria ser realizada uma análise estrutural em regime não linear. Em regime elástico

linear as forças de massa geradas na estrutura são superiores, o que resulta num



19

sobredimensionamento desnecessário da resistência da estrutura, tornando-a demasiado robusta e

possivelmente menos dúctil.

Ao se considerar a resposta não linear do betão armado, para o deslocamento imposto na base

verifica-se que a estrutura apresenta capacidade para suportar deslocamentos bastante superiores

aos do início da cedência, isto é, apresenta ductilidade. Nesta situação verifica-se que a estrutura

pode absorver a energia transmitida pelo sismo sem que se registem forças de massa tão elevadas

como as que se gerariam em regime elástico linear.

Uma vez que a consideração da resposta não linear à ação sísmica requer avaliações complexas, o

Eurocódigo 8 admite a hipótese de comportamento linear da estrutura considerando depois uma

redução dos resultados pelo coeficiente de comportamento. Este coeficiente permite, de uma certa

forma, ter em conta os efeitos não lineares da estrutura associados à capacidade de dissipação de

energia.

Por exemplo, num sistema com um grau de liberdade, o coeficiente de comportamento corresponde

ao quociente entre a força que se obteria em regime elástico linear, Fel, e a força instalada na

estrutura considerando a resposta não linear do betão armado, Fced.

A capacidade de dissipar energia resulta da formação de rótulas plásticas quando a estrutura é

submetida a carregamentos cíclicos com inversão do sentido da carga (sismos), pelo que se

compreende a sua relação direta com a ductilidade disponível.

A energia dissipada corresponde à área total da envolvente das curvas de carga e descarga. Note-se

que quanto maior for essa área, maior será a quantidade de energia dissipada na estrutura e,

consequentemente, melhor será o desempenho sísmico da estrutura. Note-se que para estruturas

com a mesma ductilidade, podem verificar-se diferentes capacidades de dissipação de energia.

Observe-se a Figura 3.2 onde se apresentam 3 osciladores hipotéticos, para os quais se assume que

a força de cedência, o descolamento máximo e a rigidez antes e depois da cedência são iguais.

Quando estes osciladores são alvo de uma ação sísmica tal que os deslocamentos máximos e as

características de ductilidade sejam as mesmas, verifica-se que ao oscilador 1 corresponde uma

maior dissipação de energia comparativamente ao oscilador 2 e que, numa situação limite,

representada pelo oscilador 3, a estrutura pode não apresentar qualquer capacidade de dissipação

de energia.

Figura 3.2 – Relações força/deslocamento para a mesma ductilidade e diferentes capacidades de dissipar energia (8)



20



21

4 CONCEÇÃO E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS

O projeto de estruturas de um edifício é desenvolvido a partir do projeto de arquitetura, no qual são

definidas as principais características geométricas e de funcionalidade:

Área de implantação em planta;

Número de pisos enterrados e acima do solo;

Delimitação das áreas de circulação;

Divisão de espaços e tipo de utilização.

É em conjunto com o projetista de arquitetura que se chega à definição da malha estrutural inicial, a

qual se pretende que tenha condições para assegurar, de uma forma eficiente e económica, as

características resistentes e de deformabilidade adequadas face às ações previstas.

Numa fase inicial de conceção estrutural é definida a localização e orientação dos principais

elementos resistentes (pilares, paredes resistentes e vigas), assim como as respetivas dimensões.

Posteriormente analisam-se as respostas estruturais às diferentes ações do ponto de vista da

distribuição de esforços e da deformabilidade. Caso se verifique que a estrutura em geral, ou algum

elemento em particular, apresenta algumas características menos desejáveis, as dimensões dos

elementos, a sua orientação ou mesmo a própria distribuição de elementos em planta deve ser

adaptada e o processo de análise estrutural ajustado.

Garantida uma eficiente transmissão de cargas verticais às fundações do edifício e verificada a sua

resposta à ação sísmica, procede-se à verificação de segurança estrutural em termos da capacidade

resistente à rotura e das condições de serviço (controlo da fendilhação e deformação).

O processo de dimensionamento e conceção de estruturas deve, portanto, ser interativo desde logo

com a arquitetura mas também nas diferentes fases do projeto de estruturas (Figura 4.1), permitindo

assim a possibilidade de se efetuarem as alterações necessárias que orientem o projeto no sentido

de melhorar as características de resposta da estrutura e a sua eficiência. Como se mostra no

esquema, numa fase de pormenorização, pode chegar-se à conclusão que é necessário modificar

algumas opções ao nível da conceção e/ou de dimensionamento. Trata-se de um processo interativo

e não de sentido único.

Figura 4.1 - Fluxograma indicativo do processo de desenvolvimento de um projeto de estruturas



22

4.1 ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS

Os requisitos de resistência, no contexto das verificações aos Estados Limite Últimos (ELU),

pretendem assegurar a não ocorrência do colapso estrutural a nível global/local com uma

probabilidade de 1x10-5

, garantindo uma adequada distribuição das capacidades resistentes na

estrutura.

A combinação da ação sísmica a ser considerada nas zonas de maior sismicidade tem, no

dimensionamento aos Estados Limite Últimos, uma relevância significativa. Consoante o tipo de

utilização do edifício, para além da capacidade resistente, há que garantir a limitação de danos para

o denominado “sismo de serviço” que pode cingir-se apenas à componente estrutural ou estender-se

a elementos não estruturais, instalações básicas ou mesmo a equipamentos, caso a sua função seja

de importância acrescida após a ocorrência de um sismo.

Em projetos de edifícios de betão armado, o Eurocódigo 8(7) aponta os seguintes princípios básicos

da conceção sísmica: simplicidade, uniformidade e simetria estrutural.

Estes princípios, em geral, não podem ser aplicados literalmente pois existem com frequência

condicionalismos geométricos que determinam volumetrias com assimetrias em planta e/ou em

altura. No entanto, mesmo nessas condições, é possível garantir um bom funcionamento do ponto de

vista sísmico desde que a rigidez dos elementos resistentes seja distribuída de forma a compensar

as eventuais assimetrias da massa. Nesse caso, é importante garantir que os principais modos de

vibração tenham uma baixa componente de torção, mediante uma disposição dos principais

elementos estruturais resistentes, que tende a aproximar o “Centro de Rigidez” ao “Centro de Massa”

do edifício.

Refira-se que estes últimos conceitos só interessam em termos qualitativos pois quantitativamente

são de avaliação muito discutível, pois a rigidez conferida pelos diferentes elementos resistentes

verticais (paredes e pilares inseridos no sistema porticado) não é proporcional às suas inércias em

cada piso. Estas características devem ser avaliadas considerando o modelo global da estrutura.

Complementarmente é necessário realizar a verificação das características reais de ductilidade dos

elementos estruturais, que devem estar de acordo com o admitido no seu dimensionamento e,

portanto, compatíveis com o valor do coeficiente de comportamento adotado.

No caso de edifícios grandes em planta, a conceção sísmica pode ser complementada com a

utilização de juntas estruturais totais, isto é, com a duplicação de elementos verticais ao longo de

toda a altura do edifício que o dividem em blocos independentes. Estas juntas podem contribuir para

a uniformidade dos esforços em zonas com assimetria de volumetria (edifícios em L, por exemplo,

onde a junta estrutural separa a estrutura em blocos retangulares independentes) e

complementarmente para a obtenção de modos principais de vibração na estrutura com fraca

componente de torção.

No entanto, a adoção de juntas estruturais deve ser convenientemente avaliada e fundamentada pois

a sua utilização pode ter repercussões negativas em termos de qualidade de construção e de



23

manutenção, por ser um importante foco de problemas a curto e médio prazo (frequente localização

de pontes térmicas, pontos de infiltrações de água e fendilhação excessiva do revestimento e

reboco) e, no fundo, ser muito discutível a sua vantagem e aplicabilidade em edifícios grandes em

planta (6). Do ponto de vista sísmico, esta solução corresponde a um maior risco de choque entre

blocos estruturais.

O Eurocódigo 2(2) refere que, em edifícios com dimensões em planta superiores a 30 metros, há que

ter em consideração os efeitos da temperatura e da retração na verificação de segurança. Esta

análise, do efeito das deformações impostas lentas na verificação de segurança ao Estado Limite

Último deve basear-se, no essencial, na verificação das características de ductilidade da estrutura. O

facto de estas ações induzirem deslocamentos relativos nos elementos verticais estruturais exige

que, no essencial, se controlem as rotações impostas nos pilares.

Em termos do comportamento em serviço, as deformações impostas geram esforços que são, no

entanto, claramente inferiores aos esforços obtidos através de uma análise elástica.

Finalmente, no caso da ação sísmica interessa avaliar, no essencial a soma de resistências

disponível, ∆MR, independentemente das deformações impostas lentas (onde o momento inicial,

Minicial, corresponde aos efeitos das deformações impostas lentas analisados no contexto do

comportamento em serviço). A capacidade de absorção de energia para ciclos de carga alternados,

depende do nível de ductilidade e portanto da pormenorização adotada. Estes conceitos que estão

necessariamente relacionados, como vimos, com a capacidade de dissipar energia em cada ciclo

(Figura 4.2) e, pouco dependentes do valor das deformações impostas lentas. Os efeitos das

deformações impostas são analisados em serviço, verificando-se a existência de reserva em relação

ao início da cedência.

Figura 4.2 – Ciclos de carga e descarga para um elemento de betão armado não simetricamente armado, adaptado de (9)

Uma vez que os pilares são elementos estruturais simetricamente armados, o diagrama de

momento-curvatura obtido para cargas repetidas e alternadas é simétrico.

Minicial



24

4.2 ESTADOS LIMITE SERVIÇO

De acordo com o Eurocódigo 2 (2), as verificações aos Estados Limite de Serviço (ELS) pretendem

assegurar um bom comportamento do edifício durante a sua utilização através de:

controlo das deformações em elementos estruturais e não estruturais;

controlo da fendilhação em elementos resistentes.

Nesta abordagem de cálculo as ações são utilizadas com diferentes probabilidades de ocorrência

(combinação rara, frequente ou quase-permanente) e o comportamento dos materiais é simulado

através da utilização das suas propriedades médias. A probabilidade regulamentar de o estado limite

não ser verificado é de 10%.

Uma deformação excessiva pode comprometer o correto funcionamento da estrutura, pelo que

devem ser estabelecidos limites considerando a natureza e função da estrutura, assim como as

exigências estéticas. Nesse sentido, o Eurocódigo 2(2) define o seguinte limite máximo para o

incremento da flecha após construção, em elementos horizontais (lajes e vigas), no sentido de

prevenir ou limitar danos nos elementos não estruturais (alvenarias):

(4.1)

Por sua vez, embora não esteja estabelecido nenhum valor limite para a deformação relativa entre

pisos em elementos resistentes verticais enquadrando painéis de alvenaria, esta deformação deve

ser controlada em pórticos com deslocamentos horizontais resultantes da ação da retração do betão

ou da variação de temperatura. Nesses casos, verifica-se que as zonas críticas localizam-se ao nível

dos painéis de extremidade dos pisos inferiores.

Partindo dos limites estabelecidos para elementos horizontais, é possível extrapolar os limites de

deformação para os elementos verticais (Figura 4.3). Considere-se a distância entre pontos de maior

distorção, L0, corresponde às dimensões de L/2 para elementos horizontais e L para elementos

verticais (sendo L o comprimento total do elemento).

Figura 4.3 – Deformada em elementos horizontais e verticais (6)



25

Admitindo N como a constante de limitação abordada no Eurocódigo 2 com o valor de 500, então

tem-se para os elementos horizontais:

(4.2)

A partir desta relação, pode deduzir-se para os elementos verticais:

(4.3)

Ou seja, para prevenir ou limitar danos nos elementos não estruturais (alvenarias) o deslocamento

relativo entre pisos deve estar limitado a:

(4.4)

O resultado obtido através da analogia apresentada é da mesma ordem de grandeza do definido no

Eurocódigo 8 relativamente ao deslocamento máximo relativo entre pisos para um sismo

denominado de serviço:

(4.5)

Figura 4.4 – Limitações regulamentares de deformação (9)

Este tipo de deformação é especialmente relevante em edifícios grandes em planta sujeitos a

deformações impostas lentas, para os quais pode ser avaliada a pertinência de aplicação de juntas

estruturais parciais. As juntas parciais (Figura 4.5) separam o edifício apenas ao nível dos pisos

inferiores e permitem aliviar os efeitos das deformações impostas nas estruturas, uma vez que:

minimizam a distorção dos módulos mais afastados do centro de rigidez;

melhoram o comportamento dos pilares de extremidade;

minimizam os riscos de fendilhação dos painéis de alvenaria.



26

Figura 4.5 – Configuração deformada de um pórtico com e sem juntas parciais devido a deformações impostas (10)

Quanto às verificações do nível de fendilhação em elementos estruturais, uma vez que a fendilhação

é um fenómeno normal e praticamente inevitável em estruturas de betão armado, o seu controlo tem

por base a limitação da abertura de fendas. Refira-se que, as fendas geram-se naturalmente devido

à baixa resistência à tração do betão, e podem ter origem em ações diretas (que originem flexão,

esforço transverso, torção ou tração), em ações indiretas (deformações lentas impedidas) ou na

sobreposição das duas.



27

5 CASO DE ESTUDO

5.1 ENQUADRAMENTO DO PROBLEMA

Com o intuito de aplicar os conceitos e as disposições regulamentares referidas nos capítulos

anteriores da presente dissertação foi analisado um caso de estudo de dimensionamento de pilares

para um edifício de betão armado, localizado em Lisboa, com as seguintes características (Figura

5.1):

Estrutura base perfeitamente regular em altura e em planta, com 4 pisos elevados;

Área de implantação total de 105 metros por 8 metros (vãos de 7,5 metros na direção

longitudinal e de 4 metros na direção transversal);

Lajes vigadas na direção longitudinal e disposição de paredes resistentes na direção

transversal.

Figura 5.1 – Modelação do edifício em estudo

Perfeitamente regular em altura e em planta, este edifício apresenta uma dimensão significativa

numa direção, o que exige a análise do comportamento para elementos estruturais e não estruturais

do edifício.



28

5.2 MATERIAIS

Os materiais utilizados foram o betão C30/37 e o aço A500NR cujas características são as

apresentadas na Tabela 5.1.

Tabela 5.1 – Características dos materiais utilizados

C30/37

fcd 20,0 MPa

fck 30,0 MPa

fctm 2,9 MPa

Ec,28 33,0 GPa

αc 10-5

/°C

A500NR

fyd 435 MPa

fyk 500 MPa

Es 200 GPa

αs 10-5

/°C

5.3 AÇÕES

5.3.1 AÇÕES PERMANENTES

Admitem-se como ações permanentes aquelas que apresentam valor constante ou reduzida

variabilidade em relação ao seu valor médio ao longo do tempo. De acordo com o especificado na

regulamentação europeia, as ações permanentes resultam da soma do peso próprio dos elementos

estruturais com as restantes cargas permanentes dos elementos não estruturais.

Peso Próprio:

Em relação ao peso próprio, a Norma Portuguesa anexa ao Eurocódigo 1 apresenta uma lista de

valores nominais para o peso volúmico de materiais de construção e de materiais armazenados.

Partindo do valor característico do peso volúmico de betão armado, de 25 kN/m3, o peso próprio

deve ser calculado com base nas dimensões adotadas para os elementos estruturais do edifício em

causa.



29

Restantes Cargas Permanentes:

Embora as restantes cargas permanentes não tenham sido avaliada em detalhe, para ter em conta o

peso dos revestimentos, divisórias e equipamentos fixos, assumiu-se uma carga uniforme distribuída

na superfície de cada piso com o valor de 3,0 kN/m2.

Retração do betão:

A retração do betão pode ser considerada, a longo prazo, como uma ação permanente e pode,

simplificadamente, ser tratada como um problema de variação de temperatura.

Nesse sentido, o valor da variação de temperatura equivalente, ∆Teq, pode ser determinado em

função do valor da extensão estimada de retração em valor absoluto, εcs, e do coeficiente de

dilatação térmica do betão, α, de acordo com a seguinte expressão:

(5.1)

Uma vez admitido o valor da extensão da retração de -3x10-4

, o qual se encontra, em geral, na gama

de valores compreendidos entre -2x10-4

e -4x10-4

, e conhecido o valor do coeficiente de dilatação

térmica do betão de 10-5

/°C, tem-se:

(5.2)

Dado que a retração corresponde a uma ação que se desenvolve lentamente ao longo do tempo,

situação para a qual o betão apresenta maior deformabilidade devido ao efeito da fluência, deve

considerar-se uma redução do módulo de elasticidade (conforme apresentado no Capítulo 2.1 da

presente dissertação) para:

(5.3)

5.3.2 AÇÕES VARIÁVEIS

No dimensionamento de edifícios desta natureza devem ser avaliados os efeitos correspondentes às

seguintes ações variáveis:

Sobrecarga (ação direta)

Sismo

Variação de Temperatura (ação indireta)



30

Sobrecarga:

As sobrecargas são cargas que resultam do tipo de ocupação e de utilização do próprio edifício. Para

a determinação dos valores das sobrecargas, os pavimentos e as coberturas são classificados no

Eurocódigo1 em função da sua utilização. No entanto, para simplificação do presente caso de

estudo, considera-se o mesmo valor da sobrecarga em todos os pisos, incluindo a cobertura. Desta

forma, a sobrecarga deve ser tomada como uma carga uniformemente distribuída no plano horizontal

com um valor característico de 5 kN/m2.

Sismo:

Tal como foi referido anteriormente, a determinação dos efeitos da ação sísmica deve, sempre que

possível, ser efetuada através de uma análise dinâmica, em princípio, admitindo comportamento

elástico. Com a utilização do programa de cálculo automático SAP2000 é possível realizar este tipo

de análise, sendo suficiente definir no programa os espectros de resposta para os dois tipos de

sismo (próximo e afastado).

Uma vez que os espectros de resposta são função da sismicidade e da natureza do terreno, na zona

de implantação do edifício foi necessário definir o terreno de implantação, que se considerou como

sendo do tipo B.

Segundo o Eurocódigo 8, a expressão geral que define o coeficiente de comportamento em

estruturas regulares em altura é dada por:

(5.4)

Onde,

q0 – valor básico do coeficiente de comportamento, dependendo do tipo de sistema estrutural

e da regularidade em altura (Tabela 5.2);

kw – factor que reflete o modo de rotura em sistemas estruturais com paredes resistentes e

toma os seguintes valores:

Paredes muito compactas: kw = 0,5

Sistemas pórtico-parede: kw = 1,0

Tabela 5.2 – Valores básicos do coeficiente de comportamento

Sistema Estrutural DCM DCH

Pórticos, Estruturas mistas pórtico-parede e Paredes Acopladas

Paredes 3,0

Sistema de rigidez concentrada 2,0 3,0

Sistema de pêndulo invertido 1,5 2,0



31

No presente trabalho o edifício é analisado apenas na direção longitudinal, a qual se considera como

porticada, tal que:

(5.5)

Desta forma, para uma estrutura de ductilidade média (DCM) o valor do coeficiente de

comportamento adotado é dado por:

(5.6)

Os espectros de resposta obtidos para ambos os tipos de sismo são os apresentados na Figura 5.2.

Figura 5.2 – Espectro de resposta

Relativamente à combinação modal considerada no desenvolvimento da presente dissertação, a

ação do sismo foi analisada recorrendo ao método da “Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados”

(RQSQ), segundo o qual o valor máximo da resposta de uma determinada grandeza é estimado

através da raiz quadrada da soma dos quadrados da resposta dessa mesma grandeza, em cada

modo de vibração da estrutura, tal que:

(5.7)

Variação de Temperatura:

Em edifícios, os principais efeitos das ações térmicas estão associados à componente de variação

uniforme.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

0 1 2 3 4 5

Se (

m/s

2)

T (s)

Sismo Afastado 1 Sismo Proximo 2



32

De acordo com o Eurocódigo 1, esta componente da variação de temperatura num elemento

estrutural é definida por:

(5.8)

Em que,

T – temperatura média de um elemento estrutural resultante das temperaturas climáticas, no

Inverno ou no Verão, e das temperaturas operacionais. Para a determinação da temperatura

média do elemento, o Anexo Nacional apresenta temperaturas indicativas referentes a

ambientes interiores e a ambientes exteriores para zonas de edifícios acima do solo, T in e

Tout respetivamente:

(5.9)

T0 – temperatura do elemento estrutural no momento da introdução de constrangimentos,

que neste caso é igual a 24°C.

Uma vez que a zona de Lisboa está classificada como pertencendo à Zona A, tem-se:

Tabela 5.3 – Temperaturas indicativas referentes a ambientes interiores e a ambientes exteriores

Tmin Tmáx

0ºC 40ºC

E portanto,

Tabela 5.4 – Determinação da variação de temperatura uniforme no Verão e no Inverno

Verão Inverno

Tin 25ºC 18ºC

Tout Tmax + 2ºC = 42ºC Tmin = 0ºC

T

T0 24°C

∆Tu +9,5ºC -15°C

Uma vez que aumento da temperatura não se sobrepõe ao efeito da retração, apenas será analisada

a variação de temperatura negativa, de -15°C. Esta ação deve ser modulada considerando o módulo

de elasticidade do betão reduzido a metade, Ecm/2.



33

5.4 COMBINAÇÕES DE AÇÕES

No caso de verificações de segurança em relação aos Estados Limite de Utilização, as combinações

de ações a considerar dependem da duração do estado limite em causa e são definidas como:

Combinação Rara (estado limite de muito curta duração)

(5.10)

Combinação Frequente (estado limite com duração na ordem dos 5% do período de vida da

estrutura)

(5.11)

Combinação Quase Permanente (estado limite com duração na ordem dos 50% do período

de vida da estrutura)

(5.12)

Onde,

Gk,j – ações permanentes

Qk,1 – ação variável de base

Qk,i – restantes ações variáveis

ψ1 e ψ2 – coeficientes de redução

No caso de verificações de segurança em relação aos Estados Limite Últimos, as combinações a

considerar são:

Combinação Fundamental

(5.13)

Combinação Sísmica

(5.14)



34

Onde,

AEd – ação de acidente (sismo)

γG – coeficiente de segurança relativo às ações permanentes

γQ – coeficiente de segurança relativo às ações variáveis

ψ0 e ψ2 – coeficientes de redução

Os coeficientes de segurança e de redução considerados nas diversas combinações são os

apresentados na Tabela 5.5.

Tabela 5.5 – Coeficientes de segurança e de redução

Ações

Coeficientes Redução Coeficientes Segurança

Ψ0 Ψ1 Ψ2 γG γQ

Ações Permanentes

Peso Próprio - - - 1,0 ou 1,35 -

Restantes Cargas Permanentes

- - - 1,0 ou 1,50 -

Retração - - - 1,0 -

Ações Variáveis

Sobrecarga 0,7 0,3 0,2 - 0 ou 1,5

Sismo - - - - 1,0

Temperatura 0,6 0,5 0,3 - 0 ou 1,5



35

5.5 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA

A modelação da estrutura do edifício foi realizada no programa de cálculo automático SAP2000, o

qual permite analisar os valores dos esforços nos elementos estruturais e caracterizar o

comportamento da estrutura em termos de frequências próprias, modos de vibração e deformações.

Foi definida uma malha adaptada à geometria do edifício e definidos os materiais utilizados. Os

elementos lineares (pilares e vigas) foram modelados como elementos de barra cuja secção

apresenta as dimensões de 0,30 metros por 0,75 metros. Como hipótese usual de dimensionamento,

reduziu-se a inércia de torção de todos os elementos de forma a equilibrar as ações, no essencial,

com flexão.

Relativamente às lajes, estas foram modeladas através de elementos de casca. A disposição regular

dos elementos estruturais verticais em planta permitiu definir uma malha ordinária constituída por

elementos de 4 nós, com um grau de refinamento de 1,5 metros por 1,5 metros. Para os elementos

de casca adotou-se a espessura de 0,20 metros.

As paredes resistentes, tal como as lajes, foram modeladas através de elementos de casca com a

uma espessura de 0,25 metros e o mesmo nível de refinamento.

Os deslocamentos e a rotação nas bases dos pilares e paredes resistentes foram totalmente

impedidos (encastramento).

No que respeita à rigidez a adotar em serviço, esta deve admitir valores inferiores aos elásticos que

permitam ter em consideração a fendilhação e a fluência. Assim, é geralmente considerada,

conservativamente, a inércia da secção em Estado I e os seguintes valores de redução do módulo de

elasticidade do betão:

Variação de temperatura: Ecm/2

Retração: Ec,ajust = Ecm/3

Uma vez que o programa de cálculo automático utilizado não permite considerar, para a mesma

combinação de ações, módulos de elasticidade diferentes seria necessário modelar cada ação

isoladamente e posteriormente somar os esforços/deslocamentos de forma manual.

No entanto, existem formas de colmatar esta limitação do programa, nomeadamente reduzindo o

valor da ação ao invés do módulo de elasticidade do betão. Desta forma normaliza-se o valor do

módulo de elasticidade para todas as ações e obtêm-se valores coerentes para os esforços de todas

as combinações de ações consideradas, sendo apenas necessário ajustar o valor dos

deslocamentos resultantes.

A título de exemplo, considere-se uma viga de betão de comprimento L e secção de área Ac,

encastrada em ambas as extremidades e sujeita a uma variação de temperatura uniforme ΔT. O

valor do esforço axial induzido na peça é dado por:



36

(5.15)

Porém o resultado obtido para o esforço axial induzido é rigorosamente o mesmo no caso em que se

considere “ΔT/2” e “Ecm”. Note-se que:

(5.16)

Por sua vez, se na mesma viga, considerando “ΔT/2”, se admitir a libertação do deslocamento

longitudinal num nó de extremidade, o alongamento registado na peça é dado por:

(5.17)

Isto é, face à verdadeira variação de temperatura registada no elemento de viga em análise, o

deslocamento obtido numa modelação onde se considere “ΔT/2” e “Ecm” corresponde a metade do

real.

Desta forma, na modulação do caso de estudo da presente dissertação considerou-se:

Um módulo de elasticidade “Ecm” para todas as ações;

Os valores da variação de temperatura e da retração foram reduzidos na mesma proporção

que se pretendia afetar os módulos de elasticidade, nomeadamente:

Variação de Temperatura: ΔTU/2

Retração: ΔTeq/3

E portanto:

Os esforços obtidos correspondem ao valor esperado;

Os deslocamentos registados são alvo da seguinte retificação:

Variação de temperatura uniforme:

Retração:



37

5.6 VERIFICAÇÃO DO MODELO

A verificação do modelo tem como objetivo apurar se existem erros de modelação, averiguar a

fiabilidade dos resultados apresentados e confirmar a proximidade do modelo com uma avaliação

realista.

Nesse sentido, há várias verificações que podem ser feitas, tendo-se analisado:

Equilíbrio global: o somatório das reações verticais para as ações gravíticas deve

corresponder à resultante das forças aplicadas (peso próprio da estrutura, sobrecargas e

restantes cargas permanentes), e o somatório das reações horizontais para o mesmo tipo de

ações deve ser nula;

Análise sísmica: apreciação dos resultados de análise modal (frequências, modos de

vibração e fatores de participação de massa);

Verificação da força de corte basal: avaliação do coeficiente sísmico e comparação com os

valores espectrais correspondentes às principais frequências de vibração.

5.6.1 EQUILÍBRIO GLOBAL

O peso próprio real da estrutura é determinado com base nas dimensões definidas para cada

elemento estrutural de betão armado. Ao peso próprio devem somar-se as restantes cargas

permanentes e a sobrecarga, as quais são uniformemente distribuídas ao nível das lajes em todos os

pisos. A reação total prevista, assim como as suas parcelas estão apresentadas na Tabela 5.6.

Tabela 5.6 – Reação vertical esperada

PP 28816,9 kN

SC 16800,0 kN

RCP 10080,0 kN

Rsd 79222,8 kN

Conforme se pode constatar na Tabela 5.7, se compararmos o valor esperado com o obtido pela

análise numérica verificamos que a diferença de valores é muito pequena, o que permite validar a

verificação em causa.

Tabela 5.7 – Controlo das reações verticais para ações gravíticas

∑Rreal 79222,8 kN

∑Rsap 82372,8 kN

Diferença (%) 3,98



38

Relativamente ao somatório das reações horizontais para as ações gravíticas, verifica-se que os

valores obtidos estão muito próximos de zero, e portanto esta condição é também verificada (Tabela

5.8).

Tabela 5.8 – Controlo das reações horizontais para ações gravíticas

∑Rreal 0

∑Rsap 0,6 x 10-10

5.6.2 ANÁLISE SÍSMICA

Os fatores de participação de massa permitem avaliar o movimento predominante de cada modo de

vibração, uma vez que são indicadores da contribuição dos deslocamentos nas direções x e y e

rotação em torno de z. Modos de vibração principais com parcelas predominantes de translação não

cruzadas, isto é, com comportamento predominante em cada uma das direções principais e com um

modo de torção com pouca massa absorvida são bons indicadores da adequada resposta à ação

sísmica.

No presente caso verificou-se que os valores de participação de massa dos dois primeiros modos de

vibração mobilizam exclusivamente movimentos de translação respetivamente segundo o eixo x e o

eixo y, e que o terceiro modo corresponde preponderantemente a uma rotação em torno de z (Tabela

5.9).

Tabela 5.9 – Fatores de participação de massa

Modo de Vibração

Ux Uy ∑Ux ∑Uy Movimento

Predominante

1 0,907 0,000 0,907 0,000 Translação eixo x

2 0,000 0,755 0,907 0,755 Translação eixo y

3 0,000 0,000 0,907 0,755 Rotação eixo z

4 0,000 0,026 0,907 0,781 -

5 0,075 0,000 0,982 0,781 -

6 0,000 0,000 0,982 0,781 -

No que diz respeito às deformadas dos principais modos de vibração (Tabela 5.10 e Tabela 5.11),

estas estão de acordo com a análise anterior, em relação aos fatores de participação de massa. O

facto do edifício em causa apresentar uma geometria regular em altura e em planta, e dos elementos

resistentes verticais estarem distribuídos segundo uma malha ortogonal regular, contribui para a

adequada resposta sísmica do edifício.



39

Tabela 5.10 – Frequências e períodos de vibração dos principais modos de vibração

Modo de Vibração T (s) f (Hz) Movimento Predominante

1 0,721 1,386 Translação no eixo x

2 0,719 1,391 Translação no eixo y

3 0,525 1,904 Rotação em torno do eixo z

4 0,310 3,228 -

5 0,229 4,369 -

6 0,220 4,546 -

Tabela 5.11 – Deformadas dos principais modos de vibração

Modo de Vibração Configuração Deformada

1º Modo de Vibração





40

5.6.3 COEFICIENTE SÍSMICO

O coeficiente sísmico é referido no “Regulamento de Segurança e Ações” como o coeficiente que,

multiplicado pelo valor das ações gravíticas define o valor da resultante horizontal global das forças

estáticas que, convenientemente distribuídas pela estrutura, permitem determinar os efeitos da ação

do sismo na direção considerada.

Embora não seja explícito na atual regulamentação europeia, este coeficiente é uma importante

referência no processo de verificação das análises efetuadas. Este é obtido pelo quociente entre as

reações horizontais dos elementos verticais resultante da ação sísmica e a resultante das cargas

verticais atuante na estrutura para a combinação quase permanente de ações, isto é:

(5.18)

Assim, foi determinado o coeficiente sísmico para as duas direções ortogonais e para ambas as

ações sísmicas consideradas (Tabela 5.12). Os valores obtidos são os expectáveis uma vez que

correspondem aproximadamente ao valor da aceleração do espectro de resposta referente ao

período de vibração fundamental (Gráfico 5.1)

Tabela 5.12 – Valores do coeficiente sísmico

Sismo

Afastado 1 (segundo x) 3901 44357 0,088 0,092

Afastado 1 (segundo y) 3353 44357 0,076 -

Próximo 2 (segundo x) 2123 44357 0,048 0,049

Próximo 2 (segundo y) 2030 44357 0,046 -

Gráfico 5.1 – Espectro de resposta com indicação do período fundamental de vibração da estrutura

T1 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0 1 2 3 4 5

Sd

(m

/s2)

T (s)

Sismo Afastado 1 Sismo Proximo 2

T1



41

5.7 DIMENSIONAMENTO DO PILAR

Na definição estrutural admitiu-se uma secção retangular com as dimensões de 0,75 por 0,30 metros

e uma armadura mínima correspondente a 1% da área do pilar. Desta forma, o betão de classe

C30/37 foi armado com 4ϕ20 + 6ϕ16 num aço de classe A500NR, distribuídos conforme se

apresenta a Figura 5.3.

Este valor de armadura de 1% da área do pilar pode ser considerado, numa zona sísmica, como um

mínimo de referência, conforme é exigido no Eurocódigo 8 para estruturas de ductilidade média.

Figura 5.3 – Pormenorização do pilar

A capacidade resistente do pilar foi comparada com os valores dos esforços correspondentes às

combinações de ações condicionantes em Estado Limite Último (combinação fundamental e a

combinação sísmica, Tabela 5.13, Tabela 5.14 e Tabela 5.15) para o pilar de extremidade e para o

pilar interior imediatamente a seguir.

Tabela 5.13 – Esforços obtidos para a combinação fundamental

Elemento N (kN) M2 (kNm) M3 (kNm)

Pilar extremidade - 968,4 10,8 71,1

Pilar interior - 1660,8 -0,8 25,7

Tabela 5.14 – Esforços obtidos para a combinação sísmica tipo 1

Elemento Nmin

(kN)

Nmax

(kN)

M2,min

(kNm)

M2,max

(kNm)

M3,min

(kNm)

M3,max

(kNm)

Pilar extremidade -1006,9 -115,4 -30,6 22,5 -358,2 318,6

Pilar interior -1039,4 -826,5 -27,6 12,3 -377,5 376,1



42

Tabela 5.15 – Esforços obtidos para a combinação sísmica tipo 2

Elemento Nmin

(kN)

Nmax

(kN)

M2,min

(kNm)

M2,max

(kNm)

M3,min

(kNm)

M3,max

(kNm)

Pilar extremidade -803,3 -318,9 -18,7 10,5 -203,9 164,2

Pilar interior -990,6 -875,3 -19,4 4,1 -205,3 203,8

Considerando os esforços máximos das combinações aqui consideradas, segue-se a verificação da

quantidade de armadura necessária no pilar (Tabela 5.16), onde:

Esforço normal reduzido:

(5.19)

Momento fletor reduzido:

(5.20)

Armadura longitudinal:

(5.21)

Tabela 5.16 – Dimensionamento de armadura longitudinal do pilar

pp + rcp + sismo + 0,2 sc

0,231

ωtot = 0,10 As,tot = 10,35 cm2

0,112

Uma vez que, para os esforços máximos referentes à combinação sísmica, se obtém uma área de

armadura 10,35 cm2 pode concluir-se que as dimensões do pilar e quantidade de armadura

consideradas inicialmente são suficientes. Desta forma, o processo de verificações de segurança que

se segue relativamente ao comportamento em serviço tem por base a pormenorização apresentada

na Figura 5.3.



43

5.8 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA EM ELEMENTOS NÃO ESTRUTURAIS

Complementarmente às verificações de segurança em Estado Limite Último são efetuadas, agora, as

verificações de serviço referentes ao comportamento dos elementos não estruturais (alvenarias).

Estas verificações têm por base a limitação das deformações dos pilares contíguos nas zonas onde

se registam as deformações máximas (pilares de extremidade).

Nesse sentido foram registadas as deformações relativas entre pisos correspondentes às

combinações quase permanente e do sismo em serviço, a partir das quais se determinaram os

valores de rotação plástica que, por sua vez, devem verificar as seguintes condições:

Limitação da rotação plásticas nos pilares (ver Capítulo 4.2): θcqp < 4‰

Limitação da rotação plásticas nos pilares de acordo com EC8: θsismo < 5‰

Desta forma pretende-se que a deformação prevista nos pilares não prejudique o adequado

funcionamento dos elementos não estruturais (alvenarias).

Tendo em conta que as deformações diferenciais mais significativas se concentram nos pisos

inferiores do edifício, os valores dos deslocamentos analisados foram medidos ao nível do primeiro

piso do edifício e, portanto, para uma altura de 5,0 metros tem-se:

Combinação quase permanente:

δcqp = 16,4 mm

h = 5,00 m

θ = δcqp/h = 3,3 ‰

Figura 5.4 – Configuração deformada do edifício devido à ação das deformações impostas

Combinação sísmica de serviço:

δsismo = 14,0 mm

h = 5,00 m

θ = δsismo/h = 2,8 ‰



44

Figura 5.5 – Configuração deformada do edifício devido à ação do sismo de serviço

Desta forma, pode concluir-se que se verificaram as condições de segurança em serviço relativas

aos elementos não estruturais do edifício (alvenarias).



45

5.9 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS: PILAR INTERIOR

Uma vez que o incremento de esforços em serviço devido à ação de deformações impostas lentas é

geralmente significativo nos pilares próximos do contorno do edifício, foram alvo de análise dois

pilares independentes designados por “pilar de extremidade” (discutido no Capítulo 5.10) e por “pilar

interior” (Figura 5.6, identificado a azul).

Figura 5.6 – Identificação do pilar interior (fachada)

De facto, o incremento de esforços em serviço devido à ação de deformações impostas lentas pode

ser significativo nos pilares próximos do contorno do edifício e, portanto, um dos aspetos relevantes a

considerar no dimensionamento de edifícios grandes em planta é a análise dos níveis de tensão

admissíveis e do controlo de fendilhação nesses elementos estruturais.

5.9.1 ESTADOS LIMITE DE SERVIÇO: CONTROLO DAS TENSÕES MÁXIMAS

De acordo com o Eurocódigo 2, a tensão de tração nas armaduras deve ser limitada a fim de evitar

as deformações não elásticas assim como níveis de fendilhação ou de deformação inaceitáveis.

Como forma de assegurar a não cedência da armadura em qualquer circunstância em serviço,

admite-se o seguinte critério de verificação (2), para as combinações raras:

(5.22)

Da mesma forma, a tensão de compressão no betão deve também ser limitada a fim de evitar a

formação de fendas longitudinais, micro-fendilhação ou níveis de fluência elevados(2) e portanto o

Eurocódigo 2 define, para a combinação característica de ações, o seguinte critério de verificação:

(5.23)

Refira-se que esta verificação pode ser condicionante, nos pilares, se se fizer o cálculo admitindo o

comportamento elástico do betão.

Nesse sentido, foram consideradas duas situações de carregamento para a combinação de ação

referida, nomeadamente:

Combinação Rara A: Variável base é a sobrecarga

Combinação Rara B: Variável base é a temperatura



46

Combinação Rara A:

Na Tabela 5.17 estão apresentadas as parcelas de esforços referentes à ação de cargas e das

deformações impostas consideradas. Tal como se pode observar as deformações impostas induzem

valores de esforços significativos, principalmente de flexão.

Tabela 5.17 – Combinação Rara A: Esforços na base do pilar interior

Pilar interior N (kN) M (kNm)

ES + 0,5 DT -16,4 379,5

PP + RCP + SC -1162,9 -1,1

PP + RCP + SC + ES + 0,5 DT -1179,3 378,4

Com base no esforço de compressão total registado ao nível da base do pilar interior e sabendo as

características da secção do pilar é possível determinar o diagrama Momento-Curvatura (Gráfico

5.2).

Gráfico 5.2 – Combinação Rara A: Diagrama momento – curvatura média

Por sua vez, conhecido o valor do momento na base do pilar em estudo é possível avaliar o valor da

curvatura em secção fendilhada. Neste caso o valor da curvatura é de 2,38 x 10-3

m-1

.

Para além da curvatura é possível obter os valores das tensões registadas ao nível das armaduras e

do betão, e ainda as extensões das fibras condicionantes, permitindo realizar as verificações

pretendidas. Note-se que o programa de cálculo utilizado (disponibilizado pela JSJ – Consultoria e

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

M [kN

m]

1/R [m-1]



47

Projectos de Engenharia, Lda) avalia os valores de extensão nas fibras de extremidade, bem como o

valor da tensão nas armaduras da secção uma vez definidas as características da secção

(dimensões, materiais, disposição das armaduras, etc.).

Tabela 5.18 – Combinação Rara A: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras condicionantes

Extensão Tensão

Fibra superior (betão) - 1,16 ‰ - 20,19 MPa

Fibra inferior (armaduras) 0,87 ‰ 173,71 MPa

Pela observação dos valores apresentados na Tabela 5.18 pode concluir-se que, para a combinação

rara de ações cuja variável base é a temperatura, o nível de tensão de tração nas armaduras é

aceitável. Note-se que uma vez que o aço utilizado é do tipo A500NR, o valor máximo de tensão

admissível nas armaduras é de 400 MPa (ver expressão 5.22).

Relativamente à verificação da tensão de compressão no betão, verifica-se que o valor obtido é

ligeiramente superior a 18 MPa. Este resultado é, no entanto, pouco relevante uma vez que:

O facto de se ter considerado, em termos práticos, um módulo de elasticidade de 0,5Ecm ao

invés de Ec,ajust faz aumentar o valor da tensão;

O próprio facto de se ter admitido uma relação σ-ε com base no módulo de elasticidade do

betão constante (sem considerar a não linearidade desta relação) também faz aumentar a

tensão máxima no betão;

De qualquer maneira verifica-se que, em pilares submetidos a flexão composta, as tensões máximas

no betão tendem a ser elevadas.

Combinação Rara B:

Tal como apresentado anteriormente, verifica-se que o valor dos esforços resultantes da ação das

deformações impostas lentas é significativo e, portanto, a verificação das tensões nas armaduras e

no betão deve, uma vez mais, considerar a sua participação (Tabela 5.19).

Tabela 5.19 – Combinação Rara B: Esforços na base do pilar interior


ES + DT -20,8 483,0

PP + RCP + 0,3 SC -961,7 -0,7

PP + RCP + 0,3 SC + ES + DT -982,5 482,3



48

Conhecido o valor do esforço axial de compressão resultante desta combinação de ações e tendo

em conta que as características da secção do pilar se mantêm as mesmas, foi possível obter o novo

diagrama Momento-Curvatura (Gráfico 5.3).

Gráfico 5.3 – Combinação Rara B: Diagrama momento – curvatura média

Assim, o valor da curvatura associado ao valor do momento registado na base do pilar é de 4,41 x

10-3

m-1

e o valor das tensões e extensões obtidas para as fibras condicionantes da secção estão


Tabela 5.20 – Combinação Rara B: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras condicionantes

Extensão Tensão

Fibra superior (betão) -1,54 ‰ -26,74 MPa


Uma vez mais, verifica-se que o valor da tensão nas armaduras está abaixo do valor limite definido

no Eurocódigo 2, de 400 MPa, e portanto não há necessidade de alterar a disposição ou a

quantidade de armadura adotada no pilar.

A tensão de compressão do betão, embora superior a 18 MPa, não foi considerada determinante

pelas mesmas razões que foram referidas para a Combinação Rara A.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

M [kN

m]

1/R [m-1]



49

5.9.2 ESTADOS LIMITE DE SERVIÇO: CONTROLO DE ABERTURA DE FENDAS

Relativamente ao controlo da fendilhação, apesar de inevitável, este deve ser controlado e limitado

de forma a que não prejudique as características de funcionamento nem a durabilidade da estrutura.

De facto, é possível uma fendilhação controlada limitando a largura máxima de fendas para a

combinação quase permanente a valores aceitáveis (em geral de 0,3mm) desde que, para:

Fendilhação com origem em deformações impedidas: os diâmetros máximos a adotar nos

varões sejam limitados em função da tensão das armaduras no instante que se inicia a

fendilhação;

Fendilhação com origem em cargas aplicadas: o diâmetro ou o espaçamento entre varões

considerados sejam limitados em função do valor da tensão na armadura, para os esforços

devidos à combinação de ações em causa.

Sendo o objeto de estudo deste trabalho a fendilhação com origem em deformações impedidas,

foram determinados os esforços na base do pilar para a combinação quase permanente de ações

(Tabela 5.21).

Tabela 5.21 – Combinação Quase Permanente: Esforços na base do pilar interior


ES + 0,3 DT -14,6 338,1

PP + RCP + 0,2 SC -932,9 -0,7

PP + RCP + 0,2 SC + ES + 0,3 DT -947,5 337,4

Seguindo o método descrito na verificação das tensões na secção, obteve-se o Diagrama Momento-

Curvatura correspondente, a partir do qual se conheceu o valor da curvatura correspondente, de

2,25x10-3

m-1

(ver Gráfico 5.4).

As extensões e tensões registadas ao nível do betão e da armadura estão apresentadas na Tabela

5.22.

Tabela 5.22 – Combinação Quase Permanente: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras condicionantes

Extensão Tensão





50

Gráfico 5.4 – Combinação Quase Permanente: Diagrama momento – curvatura média

Como simplificação ao cálculo de aberturas de fendas descrito no Eurocódigo 2, a verificação pode

ser apresentada sob a forma de controlo indireto, limitando o diâmetro dos varões adotados.

Observe-se a Tabela 5.23, correspondente a uma abertura de fendas, wk, de 0,3 mm.

Tabela 5.23 – Diâmetros máximos dos varões, para controlo de fendilhação, para wk = 0,3 mm (2)

Tensão no aço [MPa]

Diâmetro máximo dos varões [mm]

160 32

200 25

240 16

280 12

320 10

360 8

400 6

450 5

Uma vez que para uma tensão máxima nas armaduras da ordem dos 200 MPa o diâmetro máximo

admitido é de 25 mm e que o diâmetro máximo adotado anteriormente é de 20 mm, a verificação da

fendilhação está confirmada e a fendilhação controlada.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

M [kN

m]

1/R [m-1]



51

5.9.3 ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS: VERIFICAÇÃO DE RESISTÊNCIA/DUCTILIDADE

Uma vez verificado o controlo de fendilhação em serviço, resta analisar a resistência e/ou ductilidade

disponível nos elementos resistentes da estrutura para acomodar os efeitos das variações de

temperatura e da retração do betão em estado limite último.

Para as situações em que os esforços na rotura, considerando as deformações impostas,

ultrapassam o valor de cedência, torna-se necessário considerar e avaliar a capacidade de

deformação plástica do betão estrutural desde a cedência até à rotura pois o efeito destas ações,

nesse caso, é absorvido em ductilidade.

Nas zonas de plastificação é importante controlar a posição da linha neutra na rotura, nível de

esforço axial e eficiência de cintagem, de forma a avaliar a capacidade de rotação disponível.

Nesse sentido foram consideradas, na rotura, as seguintes combinações de ações:

Combinação fundamental A: ação de variável base é a sobrecarga

Combinação fundamental B: ação de variável base é a temperatura

Combinação Sísmica

Combinação Fundamental A:

Os esforços registados no pilar aquando da ação da combinação fundamental, considerando as

deformações impostas e a sobrecarga como ação de variável base, estão apresentados na Tabela

5.24.

Tabela 5.24 – Combinação Fundamental A: Esforços na base do pilar


1,35 PP + 1,50 RCP + 1,50 SC -1660,8 -1,6

ES + 0,75 DT -18,6 431,3

1,35 PP + 1,50 RCP + 1,50 SC + ES + 0,75 DT -1679,4 429,7

Para a armadura e dimensões do pilar especificadas anteriormente, e sabendo o valor do esforço

axial de compressão é possível obter o respetivo diagrama Momento-Curvatura (ver Gráfico 5.5).



52

Gráfico 5.5 – Combinação Fundamental A: Diagrama momento – curvatura

A ductilidade deste elemento é, neste caso, representada pelo intervalo de valores entre as

curvaturas de cedência e última, discriminadas na Tabela 5.25.

Tabela 5.25 – Combinação Fundamental A: Valores de curvaturas médias

1/Ru 8,3 x 10-3

m-1

1/Ry 7,0 x 10-3

m-1

1,3 x 10-3

m-1

Uma vez que o momento registado na base do pilar é inferior ao valor de cedência, pode concluir-se

que a ductilidade do pilar não chega a ser mobilizada e que portanto esta verificação é

desnecessária.

Combinação Fundamental B:

O mesmo processo foi realizado para a combinação fundamental considerando as deformações

impostas e a variação uniforme de temperatura como ação variável base.

Considere-se os esforços registados na base do pilar, apresentados na Tabela 5.26.

.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

M [kN

m]

1/R [m-1]



53

Tabela 5.26 – Combinação Fundamental B: Esforços na base do pilar interior


1,35 PP + 1,50 RCP + 0,45 SC -1358,9 -1,1

ES + 1,5 DT -25,3 586,5

1,35 PP + 1,50 RCP + 0,45 SC + ES + 1,5 DT -1384,2 584,4

Para as características da secção e esforço axial de compressão apresentados acima, foram

determinados o diagrama de momento-curvatura (Gráfico 5.6) e os respetivos valores da curvatura

de cedência e última (Tabela 5.27).

Gráfico 5.6 – Combinação Fundamental B: Diagrama momento – curvatura média

Tabela 5.27 – Combinação Fundamental B: Valores de curvaturas médias

1/Ru 9,5 x 10-3

m-1

1/Ry 6,3 x 10-3

m-1

3,2 x 10-3

m-1

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

M [kN

m]

1/R [m-1]



54

Uma vez que, para o presente caso o valor do momento atuante seria ligeiramente superior ao valor

de cedência, torna-se necessário verificar se a ductilidade disponível é suficiente para integrar os

deslocamentos previstos na estrutura.

O deslocamento previsto ao nível do primeiro piso foi determinado através do programa SAP2000

que, para a combinação de ação considerada corresponde a 7,41mm. Por sua vez, o valor da

rotação plástica pode ser determinado considerando o troço encastrado do pilar interior desde a sua

base até ao primeiro piso da estrutura. Assim, como a altura do pilar em causa totaliza 5,0 metros, o

valor de rotação θs seria dado por:

(5.24)

Finalmente é possível determinar o valor da rotação plástica necessária, ∆χ, considerando que a

capacidade de rotação nas zonas plastificadas se verifica ao longo de um comprimento LP, o qual

pode simplificadamente ser considerado igual à altura da secção do pilar (ver Subcapítulo 2.3).

(5.25)

Dado que a rotação plástica imposta é inferior à rotação plástica admissível apresentada

anteriormente, de 3,2 x 10-3

m-1

, considera-se satisfeita a verificação da capacidade de rotação para

a combinação de ações em causa.

Note-se, no entanto, que só uma parcela do deslocamento imposto seria absorvido na zona plástica

pois a cedência verifica-se para uma percentagem elevada da deformação imposta. Esta parcela,

, seria dada por:

(5.26)

O que mostra que esta verificação estaria claramente folgada.

Combinação Sísmica:

Relativamente à combinação sísmica, os esforços obtidos considerando os efeitos das deformações

impostas são apresentados abaixo (Tabela 5.28).

Tabela 5.28 – Combinação Sísmica: Esforços na base do pilar interior


PP + RCP + 0,2 SC + SISMO -826,5 376,1

ES + 0,3 DT -14,6 338,1

PP + RCP + 0,20 SC + SISMO + ES + 0,3 DT -841,1 714,2



55

Da observação do Gráfico 5.7 conclui-se que, se aos esforços resultantes da combinação sísmica

considerada no dimensionamento do pilar se somar a parcela referente ao efeito das deformações

impostas lentas, o pilar não apresentaria capacidade resistente suficiente.

Gráfico 5.7 – Combinação Sísmica: Diagrama momento - curvatura média

No entanto, como se verificou anteriormente para a combinação de ações quase permanente, as

deformações impostas são aceitáveis em serviço sem se atingir a cedência, pelo que a ductilidade

está totalmente disponível para a ação do sismo.

Por outro lado, durante a ação sísmica, os esforços gerados pelas deformações impostas lentas

perdem sentido devido à evidente não linearidade de resposta e portanto, para esta combinação de

ações é importante, no essencial, verificar o equilíbrio das cargas verticais e a capacidade de

absorção de energia (ver Subcapítulo 3.3).

Assim, partindo da armadura anterior, deve verificar-se se a ductilidade disponível é compatível com

o comportamento não linear admitido no dimensionamento do pilar e analisar a necessidade de

incremento de cintagem do betão.

No dimensionamento do pilar aos esforços da combinação sísmica (Estado Limite Último) os

espectros de resposta foram reduzidos por um coeficiente de comportamento, q0, no qual se prevê

um comportamento estrutural com os seguintes requisitos de ductilidade ao nível das secções (7):

(5.27)

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.005 0.01 0.015 0.02

M [kN

m]

1/R [m-1]



56

Por sua vez a ductilidade disponível, correspondente ao quociente entre a curvatura última e de

cedência, é dada por:

(5.28)

Uma vez que a ductilidade disponível é significativamente inferior à ductilidade necessária, se não se

tivesse garantido a formação de rótulas plásticas nas vigas, tornar-se-ia necessário melhorar as

características de ductilidade do pilar. No presente trabalho, a análise sísmica limitou-se à avaliação

de pilares pelo que se discute a capacidade de deformação plástica dos mesmos.

Neste contexto, verificam-se as características de ductilidade do pilar, as quais são fortemente

influenciadas pela existência de armadura transversal de cintagem, isto é, pelo nível de confinamento

do betão.

De facto, um adequado confinamento do betão limita a expansão lateral registada em elementos

submetidos a ações de compressão, aumentando a extensão última do betão e a ductilidade da

secção.

Figura 5.7 – Pormenorização da armadura transversal do pilar interior

Considerando a armadura de cintagem representada na Figura 5.7 (ϕ10//0,10 + ϕ8//0,10), tem-se:

Percentagem mecânica de armadura

(5.29)

Redução em alçado para secções retangulares

(5.30)



57

Redução em planta do volume confinado

(5.31)

Tensão efetiva de compressão lateral

(5.32)

De acordo com o especificado no Eurocódigo 2, as características do betão confinado são dadas

pelas seguintes expressões:

(5.33)

(5.34)

(5.35)

(5.36)

Figura 5.8 – Relação tensões - extensões para betão cintado (2)

Assim, obteve-se os seguintes resultados:

Valor característico da tensão de rotura do betão

(5.37)

Extensão do betão à compressão

(5.38)

(5.39)



58

Admitindo que a parcela do esforço axial apresentada para a combinação sísmica é totalmente

mobilizada pelo betão à compressão, a posição da linha neutra plástica é dada por:

(5.40)

Consequentemente, o valor da curvatura última considerando o efeito do confinamento do betão é

dada por:

(5.41)

Refira-se que esta expressão é equivalente à 2.19 embora a extensão máxima do betão tenha, neste

caso, em consideração o efeito de confinamento. E finalmente, a ductilidade disponível é dada por:

(5.42)

Gráfico 5.8 – Combinação Sísmica: Diagrama momento – curvatura média, considerando efeito de confinamento

Desta forma pode concluir-se que está verificada a ductilidade mínima considerada no

dimensionamento sísmico.

Uma questão que é importante salientar é que a capacidade de deformação plástica conseguida

pelas necessidades de dimensionamento à ação sísmica asseguram ainda uma maior reserva

relativamente à segurança à rotura para quaisquer combinações com deformações impostas lentas.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

M [kN

m]

1/R [m-1]



59

5.10 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS: PILAR DE

EXTREMIDADE

Numa estrutura de betão armado onde se verifique a restrição da deformação livre de pilares devido

à ação das deformações impostas geram-se esforços de flexão que se sobrepõem ao efeito de

esforço axial de compressão resultante da atuação de cargas verticais.

Uma vez que os efeitos das deformações impostas são desfavoráveis no que respeita ao

comportamento em serviço do betão estrutural, será realizada uma análise de verificações de

segurança semelhante à apresentada do Subcapítulo 5.9, agora para o pilar de extremidade

(identificado a azul na Figura 5.9). O facto de se registarem esforços axiais de compressão

significativamente menores comparativamente aos demais pilares do edifício representa uma

situação desfavorável no que respeita às verificações de controlo de fendilhação.

Figura 5.9 – Identificação do pilar exterior (fachada)

Para o efeito, parte-se da pormenorização apresentada para o pilar interior (Figura 5.3).

5.10.1 ESTADOS LIMITE DE SERVIÇO: CONTROLO DAS TENSÕES MÁXIMAS

Tal como apresentado no Subcapítulo 5.9.1, foram consideradas as seguintes combinações de

ações características:

Combinação Rara A: variável base é a sobrecarga

Combinação Rara B: variável base é a temperatura

Combinação Rara A:

Na Tabela 5.29 apresentam-se descriminadas as parcelas de esforços referentes à ação das cargas

verticais e das deformações impostas consideradas. Com base no esforço de compressão registado

ao nível da base do pilar exterior e sabendo as características da secção do pilar, determinou-se o

diagrama Momento-Curvatura (ver Gráfico 5.9) e determinaram-se os valores da extensão e da

tensão nas fibras mais condicionantes da secção (Tabela 5.30).



60

Tabela 5.29 – Combinação Rara A: Esforços na base do pilar interior

Pilar de extremidade N (kN) M (kNm)

ES + 0,5 DT 144,14 418,74

PP + RCP + SC -682,47 -25,12

PP + RCP + SC + ES + 0,5 DT -538,3 393,6

Gráfico 5.9 – Combinação Rara A: Diagrama momento – curvatura média

Tabela 5.30 – Combinação Rara A: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras condicionantes

Extensão Tensão



Assim, pode concluir-se que, para a combinação rara de ações cuja variável base é a sobrecarga, a

verificação da tensão de tração nas armaduras é garantida.

Por sua vez, a tensão de compressão do betão, está também verificada uma vez que:

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0.005 0.01 0.015 0.02

M [kN

m]

1/R [m-1]



61

Combinação Rara B:

O valor dos esforços registados na base do pilar, para a combinação rara de ações cuja variável

base é a temperatura, apresenta-se na Tabela 5.31.

Tabela 5.31 – Combinação Rara B: Esforços na base do pilar interior


ES + DT 183,45 532,94

PP + RCP + 0,3 SC -576,29 -20,47

PP + RCP + 0,3 SC + ES + DT -392,8 512,5

Conhecido o valor do esforço axial de compressão resultante desta combinação de ações e tendo

em conta que as características da secção do pilar se mantêm as mesmas, construiu-se o diagrama

momento-curvatura correspondente (Gráfico 5.10).

Gráfico 5.10 – Combinação Rara B: Diagrama momento – curvatura média

Tal como se pode observar, para o valor de 512,5 kNm, a situação da secção não é aceitável em

serviço e portanto torna-se necessário aumentar a capacidade resistente do pilar.

Após uma análise iterativa de diferentes disposições de armadura no pilar, adotou-se a

pormenorização apresentada na Figura 5.10.

0

100

200

300

400

500

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

M [kN

m]

1/R [m-1]



62

Figura 5.10 – Pormenorização do pilar exterior

Para os mesmos valores de esforços do pilar referentes à combinação quase permanente de ações,

obteve-se um novo diagrama momento-curvatura (Gráfico 5.11).

Gráfico 5.11 – Combinação Rara B: Diagrama momento-curvatura com nova armadura

Finalmente, os valores de tensão e de extensão registados nas fibras mais condicionantes são


Tabela 5.32 – Combinação Rara B: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras condicionantes

Extensão Tensão



0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0.005 0.01 0.015 0.02

M [kN

m]

1/R [m-1]



63

Tal como se pode observar, os limites de tensão do aço e do betão foram verificados e portanto está

garantida a não cedência da armadura em serviço para o pilar de extremidade.

5.10.2 ESTADOS LIMITE DE SERVIÇO: CONTROLO DA ABERTURA DE FENDAS

Uma verificação idêntica à desenvolvida relativamente ao controlo de fendilhação do pilar interior,

pode ser realizada para o pilar de extremidade. De facto, ao limitarmos a largura máxima de fendas a

valores aceitáveis, esta verificação é assegurada através do controlo dos diâmetros máximos

especificados no Eurocódigo 2, em função do valor da tensão das armaduras no instante que segue

a fendilhação.

Assim, para a combinação quase permanente de ações, os esforços registados na base do pilar são

os apresentados na Tabela 5.33.

Tabela 5.33 – Combinação Quase Permanente: Esforços na base do pilar interior


ES + 0,3 DT 115,8 330,2

PP + RCP + 0,2 SC -548,5 -23,1

PP + RCP + 0,2 SC + ES + 0,3 DT -432,7 353,3

O diagrama momento curvatura e os valores das tensões no pilar são apresentados no Gráfico 5.12

e na Tabela 5.34, respetivamente.

Gráfico 5.12 – Combinação Quase Permanente: Diagrama momento – curvatura média

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0.005 0.01 0.015 0.02

M [kN

m]

1/R [m-1]



64

Tabela 5.34 – Combinação Quase Permanente: Valores de tensão e de extensão registados nas fibras condicionantes

Extensão Tensão



Fixando uma largura máxima de abertura de fendas de 0,3 mm verifica-se que, para valores de

tensão inferiores a 200MPa, o diâmetro máximo admitido para os varões longitudinais do pilar é de

25mm (consultar Tabela 5.23).

Desta forma, verifica-se que a disposição de armadura adotada no pilar garante uma fendilhação

controlada.



65

6 APRECIAÇÕES FINAIS/CONCLUSÃO

A presente dissertação teve como objetivo principal a análise dos efeitos das deformações impostas

em pilares de edifícios com grande área de implantação em planta ou com poucas juntas estruturais.

Nesse sentido foram, em primeiro lugar, apresentadas as características dos materiais utilizados e as

suas principais propriedades mecânicas (como a fluência e a retração do betão) e foi descrito o

comportamento não linear do betão armado.

De seguida foram caracterizadas e descritas as ações diretas, as ações indiretas e a ação sísmica.

Para as ações indiretas analisaram-se as principais características de resposta do betão estrutural

em serviço, enquanto para a ação sísmica foram abordadas as exigências de ductilidade e

apresentados alguns conceitos importantes, como a capacidade de dissipação de energia e o

coeficiente de comportamento adotado no dimensionamento estrutural de um edifício.

Em termos de conceção estrutural apresentou-se o processo geral de desenvolvimento de um

projeto de estruturas. Nesse contexto foram analisadas, por um lado, as problemáticas de resposta

estrutural em serviço face às deformações impostas lentas e, por outro lado, as características de

resistência e ductilidade exigidas para a ação sísmica tendo-se verificado que, em edifícios grandes

em planta, os efeitos das deformações impostas podem ser significativos. No entanto, a melhor

forma de contrariar estes efeitos não é no sentido da rigidificação da estrutura pois se, por um lado,

se aumenta a sua capacidade resistente, por outro lado, também se aumenta a rigidez dos

elementos estruturais e, consequentemente, os valores dos esforços induzidos.

Assim, na análise da segurança em serviço considerando a ação das deformações impostas é

essencial proceder-se à verificação do controlo de fendilhação no elemento estrutural e à verificação

da não plastificação das armaduras para as combinações quase permanente e rara de ações,

respetivamente. Note-se que esta análise pressupõe a consideração do controlo de eventuais

aberturas de fendas e tem, portanto, associada a redução de rigidez por fendilhação.

No caso das análises efetuadas considerou-se, conservativamente, na análise dos efeitos da

temperatura e retração só os efeitos da perda de rigidez por fluência, considerando o módulo de

elasticidade ajustado do betão, sem tirar partido da contribuição da fendilhação para a perda de

rigidez.

Paralelamente, como os elementos de betão armado, se bem dimensionados e pormenorizados,

apresentam boas características de ductilidade, a verificação de segurança à rotura para este tipo de

ações é garantida através do controlo da capacidade de deformação plástica.

Posteriormente, procedeu-se à formulação de um caso de estudo onde se abordaram em pormenor

os conceitos introduzidos ao longo da dissertação e no qual se desenvolveram os princípios de

verificações de segurança em serviço e na rotura para pilares de estruturas porticadas.

O processo de dimensionamento dos pilares desenvolvido partiu da análise sísmica, com base na

regulamentação europeia atual, sem considerar os efeitos das deformações impostas. Só



66

posteriormente, com base na pormenorização do pilar obtida, se procedeu à análise em serviço e na

rotura considerando as deformações impostas lentas.

Esta análise foi realizada em particular para os pilares mais condicionantes, localizados na periferia

do edifício, onde o efeito das deformações impostas é agravado. Paralelamente foram quantificadas

as deformações nos elementos não estruturais, tendo-se verificado que não provocavam fendilhação

inconveniente.

No que diz respeito ao pilar interior mais afastado do centro de rigidez do edifício verificou-se que, ao

nível do comportamento em serviço, o incremento de esforços resultante da ação das deformações

impostas lentas é aceitável, para uma quantidade mínima de armadura (definida no Eurocódigo 8

como 1% da área da secção do pilar), tanto ao nível do controlo de fendilhação como dos níveis de

tensão nas armaduras.

Na verificação de ductilidade na rotura concluiu-se, para o mesmo pilar, que os efeitos das

deformações impostas lentas foram totalmente absorvidos em termos de resistência, sem

necessidade de mobilizar a ductilidade disponível.

Relativamente ao efeito da ação sísmica verificou-se que o pilar interior admitia ductilidade

compatível com comportamento não linear considerado no seu dimensionamento, isto é, que a

ductilidade necessária não era superior à ductilidade disponível. Neste contexto verificou-se que as

características de ductilidade são fortemente influenciadas pela existência de armaduras transversais

de cintagem, isto é, pelo nível de confinamento do betão pois um adequado confinamento do betão

limita a expansão lateral registada em elementos submetidos a ações de compressão e,

consequentemente, aumenta as suas características de ductilidade.

Uma análise em serviço idêntica à anterior foi realizada para o pilar de extremidade do edifício. Neste

caso, a área de influência do pilar e consequentemente o valor dos esforços axiais de compressão é

inferior (comparativamente aos demais pilares interiores), o que agrava o efeito das deformações

impostas.

Face à redução de esforços referida verificou-se que o pilar de extremidade não apresentava

capacidade resistente nem ductilidade suficiente para absorver o efeito das deformações impostas

lentas em serviço. Desta forma, foi preciso proceder à alteração de quantidade de armadura

longitudinal do pilar, reforçando-a, em relação ao mínimo acima referido.

Assim pode concluir-se, com a presente dissertação, que a consideração das deformações impostas

é importante na verificação de segurança em serviço de pilares de edifícios com características

semelhantes às admitidas no desenvolvimento do caso prático, sendo a sua consideração no

dimensionamento à rotura de pilares limitada à verificação das características de ductilidade.



67

7 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

No contexto da problemática da conceção e dimensionamento de edifícios com dimensões grandes

em planta, a presente dissertação deu particular atenção aos efeitos das deformações impostas nos

pilares mais afastados do centro de rigidez do edifício. Nesse contexto, desenvolveram-se em

pormenor as verificações de segurança à rotura e em serviço considerando, por um lado, os efeitos

das deformações impostas e, por outro lado, os efeitos da ação sísmica.

No seguimento do estudo apresentado seria importante generalizar o tipo de análises efetuadas às

ligações pilar/viga e, em particular, aos efeitos nas vigas devido à ação de deformações impostas

uma vez que as exigências de conceção e dimensionamento sísmico conferem, em geral, maior

resistência aos pilares e maiores exigências de deformação plástica às vigas.

Situações em que, por razões arquitetónicas ou de desempenho sísmico, haja necessidade de

paredes resistentes nas extremidades do edifício orientadas segundo a maior dimensão em planta,

há que analisar os efeitos das deformações impostas no dimensionamento das paredes e da laje,

onde o efeito das trações induzidas resultantes da restrição às deformações impostas pode ser

importante.

Também as situações de pisos enterrados poderão ser alvo de análise. Nestes casos, o nível de

esforço axial é, em geral, maior nos pilares mas as paredes de contenção oferecem restrição à livre

deformação da laje, impondo menor deformação aos pilares, à custa de efeitos de tração nas lajes.

A análise realizada neste trabalho, tal como as sugestões de desenvolvimentos futuros referidas

acima, poderão também ser desenvolvidas através de uma análise não linear, recorrendo a

programas já comercializados, como o SAP2000, que considera a evolução da rigidez da estrutura

para os diferentes níveis de carregamento e/ou deformações impostas.

Estes temas devem ser avaliados e sistematizados de uma forma coerente para melhor orientação

dos projetistas na avaliação dos efeitos das ações indiretas.



68



69

8 BIBLIOGRAFIA

1. "Efeitos de deformações impostas/restringidas. Juntas de dilatação em edifícios de betão".

Almeida, João, Camara, José e Lourenço, Miguel. [ed.] Estruturas de Edifícios. Lisboa : Instituto

Superior Técnico, 2011.

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12. Lopes, Mário. Sismos e Edifícios. 1ª Edição. 2008.

O Efeito das Deformações Impostas em Edifícios com … · Figura 2.10 – Diagrama...

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