o funções polinomiais - midia.atp.usp.br · 4.2 funções polinomiais de grau n 4.3 função...

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funccedilotildees polinomiais 4

licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp

TOacutepi

Co

Gil da Costa marques


41 potenciaccedilatildeo42 funccedilotildees polinomiais de grau n43 funccedilatildeo polinomial do segundo Grau ou funccedilatildeo Quadraacutetica44 anaacutelise da forma Geral dos Graacuteficos da funccedilatildeo Quadraacutetica45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais47 Raiacutezes da funccedilatildeo Quadraacutetica48 maacuteximos e miacutenimos da funccedilatildeo Quadraacutetica

Licenciatura em ciecircncias middot USP Univesp

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41 PotenciaccedilatildeoAntes de abordar as funccedilotildees polinomiais devemos introduzir uma operaccedilatildeo com nuacutemeros

reais denominada potenciaccedilatildeo Assim definimos a potecircncia n do nuacutemero a representada por an

(com n isin N) como o resultado do produto sucessivo do nuacutemero a n vezes ou seja

Assim definimos a3 como

ou seja o produto sucessivo de a trecircs vezes O resultado da potenciaccedilatildeo de um nuacutemero real eacute

um outro nuacutemero real Por exemplo

A potenciaccedilatildeo de um nuacutemero caracterizada pela potecircncia n eacute uma operaccedilatildeo bastante sim-

ples sempre que a potecircncia envolva nuacutemeros inteiros positivos

42 Funccedilotildees Polinomiais de grau nA operaccedilatildeo potenciaccedilatildeo permite-nos definir uma ampla classe de funccedilotildees denominadas

genericamente funccedilotildees polinomiais Por exemplo a funccedilatildeo cuacutebica ou funccedilatildeo polinomial de

terceiro grau eacute definida de forma anaacuteloga agrave potenciaccedilatildeo uma vez que a funccedilatildeo da forma

associa ao valor x da variaacutevel independente um valor para a variaacutevel dependente o qual eacute

determinado da proacutepria variaacutevel independente

vezes

n

n

a a a aequiv sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot 41

423a a a a= sdot sdot

43( ) ( ) ( ) ( )

3

3

3 3 3 3 3 9 27

3 3 3 3 3 9 27

= sdot sdot = sdot =

minus = minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus

44( ) 3f x x=

45( ) ( )f x x x x= sdot sdot

54 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp

TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i

Um exemplo simples de funccedilatildeo cuacutebica eacute aquela que expressa o volume de uma esfera como

funccedilatildeo do seu raio Nesse caso a dependecircncia do volume em relaccedilatildeo ao raio R se escreve

Analogamente podemos definir uma funccedilatildeo envolvendo uma potecircncia arbitraacuteria n da vari-

aacutevel dependente (considerando-se ateacute esse ponto apenas nuacutemeros inteiros e positivos) Ela seraacute

representada por

Um polinocircmio de grau n eacute definido como uma soma ou combinaccedilotildees lineares de funccedilotildees

da forma 47 isto eacute ele eacute definido pela expressatildeo geral

Ou analogamente

Ou seja um polinocircmio de grau n pode ser defini-

do como uma soma de polinocircmios de graus variando

de um ateacute n

Da definiccedilatildeo acima temos que a funccedilatildeo afim eacute por

definiccedilatildeo um polinocircmio de primeiro grau ou seja

46343

V Rπ=

47( ) vezes

n n

n

f x x x x x= equiv sdot sdot sdot sdot

48( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0n n n

n nP x a f x a f x a f x aminusminus= + + + +

Figura 41 Graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do primeiro grau ou funccedilatildeo afim Fonte Cepa

49( ) 11 1 0n n n

n nP x a x a x a x aminusminus= + + + +

410( )1

nn i

ii

P x a x=

= sum

411( )11 0P x a x a= +

55



Por exemplo a velocidade escalar de uma partiacutecula de massa m sujeita a uma forccedila constante

F atuando ao longo de uma curva eacute dada como funccedilatildeo do tempo t decorrido por

Nesse caso a variaacutevel independente x eacute o tempo acima designado por t enquanto os

paracircmetros a1 e a0 satildeo respectivamente a aceleraccedilatildeo da partiacutecula (a1 = Fm) e a sua velocidade

inicial (V (t = 0) = V0 )Um polinocircmio eacute considerado par se

em cujo caso n deve ser necessariamente um nuacutemero par e todos os coeficientes das potecircncias

iacutempares devem ser nulas Por exemplo o polinocircmio

eacute um polinocircmio par

Um polinocircmio eacute dito iacutempar se

A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que isso aconteccedila eacute a de que n deve ser necessaria-

mente um nuacutemero iacutempar bem como todos os coeficientes das potecircncias pares devem ser nulos

Assim o polinocircmio

eacute um polinocircmio iacutempar

412( ) 0FV t t Vm

= +

413( ) ( )n nP x P x= minus

414( )4 4 213 36P x x x= minus +

415( ) ( )n nP x P x= minus minus

416( )5 5 313 36P x x x x= minus +



43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica

A funccedilatildeo polinomial do segundo grau conteacutem aleacutem dos termos lineares jaacute analisados um

termo quadraacutetico na variaacutevel x Assim a forma mais geral do polinocircmio do segundo grau eacute

Na expressatildeo acima empregamos a forma convencional de apresentar as funccedilotildees quadraacuteti-

cas ou seja em termos de paracircmetros designados pelas letras a b e c As constantes a b e c satildeo

denominadas respectivamente coeficiente quadraacutetico coeficiente linear e coeficiente constante

ou termo livre O coeficiente quadraacutetico eacute o uacutenico que natildeo pode ser nulo pois nesse caso a

equaccedilatildeo seria do primeiro grau

O graacutefico de um polinocircmio do segundo grau eacute uma paraacutebola

O movimento dos projeacuteteis na su-

perfiacutecie terrestre provecirc mais de um

exemplo de grandezas que dependem

quadraticamente umas das outras Por

exemplo a coordenada y associada agrave

posiccedilatildeo de um projeacutetil depende da co-

ordenada x da seguinte forma

onde g eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade y0 eacute o valor da coordenada y quando do

iniacutecio do movimento isto eacute quando

x = 0 e a velocidade inicial do projeacutetil

tem componentes (v0x v0y )

417( ) 2y x ax bx c= + +

Figura 42 A trajetoacuteria de um projeacutetil eacute descrita por uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa

418( )2

0 00 02 y

x x

g x xy x v yv v

equiv minus + +

57



A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como

se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades

Donde inferimos que

onde o termo ∆ eacute dado por

Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica

Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de

eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de

uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees

entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como

419

2

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

2

4 4

4 4 4 2 4

bxa

b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a

b b c b b b aca x x a xa a a a a a

∆

+

= + + = + + = + + + minus

minus = + + + minus = + minus

420( )2

2

2 2by x ax bx c a xa a

∆ = + + = + minus

4212 4b ac∆ = minus

4222

24

2

bx xab acy y

a

prime = +

minusprime = minus

423( ) 2y x axprime prime prime=



Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo

dos eixos x e y corresponde a realizar uma

mudanccedila do sistema de coordenadas

As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-

das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-

rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante

uma nova escolha de eixos escolha essa defi-

nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo

417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das

expressotildees 417 420 ou 423

De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma

423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em

relaccedilatildeo agrave reta dada por

44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica

Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a

concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x

Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada

positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute

negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo

Levando-se em conta ainda a forma 423

podemos verificar que a concavidade eacute deter-

minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A

concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o

for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso

pode ser facilmente constatado analisando-se

as figuras em cada caso (Figura 44)

Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa

4242bxa

= minus

Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa

59



Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o

quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola

Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto

mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)

A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x

Para determinar sob que circunstacircncias a curva

interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-

cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero

para um dado valor de x A tais valores quando

existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio

Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x

tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das

raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute

Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode

interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)

interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma

raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)

De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos

podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-

tros a b e c O resultado eacute o seguinte

Se

Assim a funccedilatildeo quadraacutetica

intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8

Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa

Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa

4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +



ao passo que a funccedilatildeo

intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo

jamais tocaraacute o eixo x

Exerciacutecio Resolvido Problema 1

Esboce o graacutefico da funccedilatildeo

rarr Resoluccedilatildeo

Primeiramente lembramos que

Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-

pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute

um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e

o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5

a Corte com o eixo y

Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430

Obtemos

Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)

b Concavidade

Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima

c Cortes com o eixo 0x

Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais

428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61



O valor de ∆ eacute positivo

Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes

45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da

figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida

433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =

Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa

B)

C) D)

A)



Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem

crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos

A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual

ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio

Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o

graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local

46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma

equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi

deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica

ou seja

Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros

reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-

maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas

Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em

que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios

de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n

n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =

436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n

nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus

63



Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como

Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto

O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como

Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais

47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma

soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau

A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a

notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por

De 420 vemos que ela pode ser escrita como

Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa


438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +

439 3 223minus minus

440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +

441 3 2 023minus minus

4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =



E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade

Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute

necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se

Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes

Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes

Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas

pela expressatildeo

Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades

444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449

0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais

∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr

65



Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores

Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute

De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-

tivamente por

Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-

mio do segundo grau pode ser escrito como

Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo

cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo

450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a

∆ minus minus minus= minus minus =

∆ minus + minus= minus + =

4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =

453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x

a a + + = + + = minus minus

4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =



enquanto que a equaccedilatildeo

comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0

Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por

A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes

Natildeo tem portanto raiacutezes


Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430


Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos

e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo

( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx

aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn

= = =

ou seja

Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa

4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67



48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um

valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse

valor de y seraacute representado genericamente por ym

O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da

funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das

variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele

para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por

Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola

Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um

polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a

forma 420 ou seja escrevemos

Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo

para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula

isto eacute para valores xm tais que

ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus



Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o

veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes

ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em

461 o valor dado por 464 ou seja

Obtemos assim explicitamente

Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por

Os pontos de miacutenimo os veacutertices

das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e

429 satildeo dados respectivamente por

No caso da funccedilatildeo

a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por

4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20

2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a

∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus

4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus

Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa

467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa

minus minusminus= = =

69



Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por


A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-

ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice


Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema

que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c

Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3

Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo

grau escrevemos

Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o

eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2

Donde inferimos que

Substituindo esse valor de a em (II) obtemos

471( )16 4

4 4 1mya

minus∆ minus= = = minus

Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa

472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus

( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23

a aminus = rArr = minus 474

( )22 2 33

y x x= minus minus minus 475



ou de modo equivalente

Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada

lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes

Assim nesse caso obtemos

Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos

Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo

e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83

Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma

retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como

um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem

material para construir 60 metros de cerca de uma altura

fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea

do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior

nuacutemero possiacutevel de galinhas)

22 4 23 3

y x x= minus + + 476

1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx

a+ minus + minus minus

= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478

Figura 413 Fonte Cepa

71




Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados

O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do

material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados

Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por

Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos

Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por

Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute

em metros dado por

Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima

devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481


( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482

( )60 15

2 2 2mbx xaminus minus

= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484

48515 metrosx = 30 metrosy =

41 Potenciaccedilatildeo

42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n



45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais

46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais

47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica

48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica

53



41 PotenciaccedilatildeoAntes de abordar as funccedilotildees polinomiais devemos introduzir uma operaccedilatildeo com nuacutemeros

reais denominada potenciaccedilatildeo Assim definimos a potecircncia n do nuacutemero a representada por an

(com n isin N) como o resultado do produto sucessivo do nuacutemero a n vezes ou seja

Assim definimos a3 como

ou seja o produto sucessivo de a trecircs vezes O resultado da potenciaccedilatildeo de um nuacutemero real eacute

um outro nuacutemero real Por exemplo

A potenciaccedilatildeo de um nuacutemero caracterizada pela potecircncia n eacute uma operaccedilatildeo bastante sim-

ples sempre que a potecircncia envolva nuacutemeros inteiros positivos

42 Funccedilotildees Polinomiais de grau nA operaccedilatildeo potenciaccedilatildeo permite-nos definir uma ampla classe de funccedilotildees denominadas

genericamente funccedilotildees polinomiais Por exemplo a funccedilatildeo cuacutebica ou funccedilatildeo polinomial de

terceiro grau eacute definida de forma anaacuteloga agrave potenciaccedilatildeo uma vez que a funccedilatildeo da forma

associa ao valor x da variaacutevel independente um valor para a variaacutevel dependente o qual eacute

determinado da proacutepria variaacutevel independente

vezes

n

n

a a a aequiv sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot 41

423a a a a= sdot sdot

43( ) ( ) ( ) ( )

3

3

3 3 3 3 3 9 27

3 3 3 3 3 9 27

= sdot sdot = sdot =

minus = minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus

44( ) 3f x x=

45( ) ( )f x x x x= sdot sdot







representada por



Ou analogamente



de um ateacute n



46343

V Rπ=

47( ) vezes

n n

n


48( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0n n n



49( ) 11 1 0n n n


410( )1

nn i

ii

P x a x=

= sum

411( )11 0P x a x a= +

55
















412( ) 0FV t t Vm

= +


414( )4 4 213 36P x x x= minus +


416( )5 5 313 36P x x x x= minus +























417( ) 2y x ax bx c= + +


418( )2

0 00 02 y

x x

g x xy x v yv v

equiv minus + +

57





Donde inferimos que







419

2

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

2

4 4

4 4 4 2 4

bxa



∆

+

= + + = + + = + + + minus


420( )2

2


∆ = + + = + minus


4222

24

2

bx xab acy y

a

prime = +

minusprime = minus































4242bxa

= minus


59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
















representada por



Ou analogamente



de um ateacute n



46343

V Rπ=

47( ) vezes

n n

n


48( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0n n n



49( ) 11 1 0n n n


410( )1

nn i

ii

P x a x=

= sum

411( )11 0P x a x a= +

55
















412( ) 0FV t t Vm

= +


414( )4 4 213 36P x x x= minus +


416( )5 5 313 36P x x x x= minus +























417( ) 2y x ax bx c= + +


418( )2

0 00 02 y

x x

g x xy x v yv v

equiv minus + +

57





Donde inferimos que







419

2

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

2

4 4

4 4 4 2 4

bxa



∆

+

= + + = + + = + + + minus


420( )2

2


∆ = + + = + minus


4222

24

2

bx xab acy y

a

prime = +

minusprime = minus































4242bxa

= minus


59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










55
















412( ) 0FV t t Vm

= +


414( )4 4 213 36P x x x= minus +


416( )5 5 313 36P x x x x= minus +























417( ) 2y x ax bx c= + +


418( )2

0 00 02 y

x x

g x xy x v yv v

equiv minus + +

57





Donde inferimos que







419

2

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

2

4 4

4 4 4 2 4

bxa



∆

+

= + + = + + = + + + minus


420( )2

2


∆ = + + = + minus


4222

24

2

bx xab acy y

a

prime = +

minusprime = minus































4242bxa

= minus


59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
































417( ) 2y x ax bx c= + +


418( )2

0 00 02 y

x x

g x xy x v yv v

equiv minus + +

57





Donde inferimos que







419

2

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

2

4 4

4 4 4 2 4

bxa



∆

+

= + + = + + = + + + minus


420( )2

2


∆ = + + = + minus


4222

24

2

bx xab acy y

a

prime = +

minusprime = minus































4242bxa

= minus


59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










57





Donde inferimos que







419

2

2 22 2 2

2 2

22 2 22

2 2 2

2

4 4

4 4 4 2 4

bxa



∆

+

= + + = + + = + + + minus


420( )2

2


∆ = + + = + minus


4222

24

2

bx xab acy y

a

prime = +

minusprime = minus































4242bxa

= minus


59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484







































4242bxa

= minus


59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










59























Se





4252 0r rax bx c+ + =

426

2

2

2

0 40 40 4

b acb acb ac

∆ gt rarr gt

∆ = rarr =

∆ lt rarr lt

427( ) 2 3 2y x x x= minus +
















Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484

























Obtemos


b Concavidade




428( ) 2 2 1y x x x= minus +

429( ) 2 1y x x= +

430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +

431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =

4322 6 5 0i ix xminus + =

61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










61









B)

C) D)

A)












ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484





















ou seja






de primeiro grau

434( ) 0niP x =

43511 1 0 0n n


436

3

4 2

0

0i i

i i i

x mx n

x px qx r

+ minus =

+ + + =

437( ) ( )( ) ( )1 2n n


63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










63


















4422 0i iax bx c+ + =

443( )2

24

( ) 02 4i

b acba xa a

minus+ minus =









pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484


















pela expressatildeo


444( )2

22 2

4( )

2 4 4i

b acbxa a a

minus ∆+ = equiv

4450∆ ge

446

2

2 0 2 4iba xa a

∆ + minus =

447

2

22 4ibxa a

∆ + =

4482 2ibxa a

∆+ = plusmn

449



65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










65






tivamente por





450

2

1 2

2

2 2

42 4 2

42 4 2

b b b acxa a a

b b b acxa a a



4511 2 2bx xa

= = minus

452

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

minus= + =

= sdot =



4542 3 2 0i ix xminus + =

4551

2

3 9 8 12

3 9 8 22

x

x

minus minus= =

+ minus= =













( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484






















( )( )6 4 6 4

2 2 1 2ibx


= = =

ou seja


4562 2 1 0i ix xminus + =

4571 22 12

x x= = =

4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =

459

1

2

6 4 12

6 4 52

x

x

minus= =

+= =

67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










67

















ou seja para

460( )m mx y

461

2

22 4by a xa a

∆ = + minus

46202mbxa

+ =

4632mbxa

= minus














4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484























4641 2

2 2mx x bx

a+

= = minus

465( )2

22 20



4662

4 4mby ca a

∆= minus + minus


467( )2

2 4m mb bx y ca a

= minus minus +

468( ) ( )3 1 10 012 4

4692 6 5y x x= minus +

470( )( )

63

2 2 1vbxa


69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










69












grau escrevemos



Donde inferimos que


471( )16 4

4 4 1mya




( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473

23 23


( )22 2 33


















22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484


























22 4 23 3


1 2 1 3 4 122 2 2 23

mx x bx


= = = = = minus

477

6489

24 343

ym a

minusminus∆= = =

minus

478


71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










71












em metros dado por


devemos ter

y xz= 479

60x z x+ + = 480

60 2z x= minus 481



( )60 15


= = = =minus

483

( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484










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