O gráfico da funçãoé côncavo para baixo no intervalo (-,0) e côncava para cima no intervalo (0, ).

Como determinar a concavidade do gráfico de uma função?Observe o crescimento e o decrescimento da derivada da função f:

Observe que no intervalo (-, 0), a derivada y’ decresce e o gráfico é côncavo para baixo. Já no intervalo (0, ), a derivada y’ cresce e o gráfico é côncavo para cima.

Portanto, para determinar a concavidade do gráfico de f, precisamos verificar onde a função f’ é crescente e onde ela é decrescente, ou seja, precisamos verificar onde a derivada de f’ é positiva e onde a derivada de f’ é negativa. Mas, a derivada de f’ é a função f’’, logo, para saber a concavidade da função f, precisamos estudar o sinal da função f’’.

Teorema: Teorema: Seja f duas vezes Seja f duas vezes diferenciável em um diferenciável em um intervalo aberto I.intervalo aberto I.• Se f”>0 em I, então f tem Se f”>0 em I, então f tem a concavidade para cima a concavidade para cima em I.em I.• Se f”<0 em I, então f tem Se f”<0 em I, então f tem a concavidade para baixo a concavidade para baixo em I.em I.

Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão.

Ponto de inflexão

104 34 xxy

x < 0 0 < x < 2 2 < x < 3 3 < x

Sinal de f’ - - - +

Comportamento de f decrescente decrescente decrescente crescente

Sinal de f” + - + +

Comportamento de f Côncava para cima

Côncava para baixo

Côncava para cima

Côncava para cima

f(0)=10

f(2)=-6

f(3)=-17

Seja f uma função tal que f’(x0) = 0 e tal que a segunda derivada de f exista em um intervalo aberto contendo x0.

• Se f ’’(x0) > 0, então f tem um mínimo relativo em ( x0, f(x0)).• Se f ’’(x0) < 0, então f tem um máximo relativo em ( x0, f(x0)).

•Se f ’’(x0) = 0, o teste falha. Neste caso, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.