O método das coordenadas

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Como representar objectos? Ana Mafalda Mendes de Almeida e Paiva 9 de Janeiro de 2011

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Como representar objectos?

Ana Mafalda Mendes de Almeida e Paiva

9 de Janeiro de 2011

Page 2: O método das coordenadas

ii

Trabalho realizado no ambito do Estagio

Pedagogico do ramo Educacional da Licen-

ciatura em Matematica da Faculdade de

Ciencias da Universidade de Coimbra.

Page 3: O método das coordenadas

Indice

1 Introducao 1

1.1 O metodo das coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Um pouco de Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Coordenadas de um ponto na recta 9

2.1 O Eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Modulo e Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Coordenadas de pontos no plano 15

3.1 O Referencial Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Aplicacoes do Metodo das Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Distancia entre pontos do plano. . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2 Definindo figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Resolvendo Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Outros Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Coordenadas de pontos no espaco 37

4.1 Eixos e planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Definindo figuras no espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 O espaco a quatro dimensoes 51

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Eixos coordenados e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 A esfera e o cubo tetradimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iii

Page 4: O método das coordenadas

iv INDICE

6 Conclusao 63

Bibliografia 63

Page 5: O método das coordenadas

Capıtulo 1

Introducao

1.1 O metodo das coordenadas

A aplicacao da Algebra ao estudo das propriedades das figuras geometricas

teve um papel muito importante no desenvolvimento da Geometria. Esta asso-

ciacao desenvolveu-se como um ramo independente na Geometria - a Geometria

Analıtica.

O aparecimento da Geometria Analıtica esta associado a descoberta de

um metodo basico, o Metodo das Coordenadas. O Metodo das Coordenadas

e um processo que nos permite descrever um objecto geometrico por formulas

matematicas, sendo, elo fundamental na resolucao de um consideravel conjunto

de questoes, tais como: problemas de trajectorias, formas, posicoes no plano ou

no espaco, entre outros. Com este metodo podemos tratar situacoes tao praticas

e simples como o calculo da distancia entre dois pontos sobre uma recta, ou

entre dois locais na terra, ate ao lancamento de um satelite e o calculo da sua

orbita.

Por coordenadas de um ponto entende-se os numeros que determinam a sua

posicao numa dada recta, ou numa dada superficıe, ou no espaco. Deste modo,

a posicao de um ponto na superficıe da Terra sera conhecida atraves das suas

coordenadas geograficas - a Latitude e a Longitude.

Para determinar as coordenadas de um ponto, temos que conhecer os pontos

de referencia a partir dos quais as medicoes sao feitas. No caso das coordenadas

1

Page 6: O método das coordenadas

2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

geograficas, o Equador e o Meridiano Zero sao os pontos de referencia. Se

os pontos de referencia sao dados e a forma de os usar para determinar as

coordenadas de um ponto e dada, dizemos que estamos em presenca de um

Sistema de Coordenadas.

A descricao de figuras geometricas atraves de equacoes e um feito carac-

terıstico do Metodo das Coordenadas e permite o uso de meios algebricos no de-

senvolvimento de estudos geometricos e na resolucao de problemas geometricos.

Ao fornecer um caracter algebrico aos estudos geometricos, o Metodo das

Coordenadas transferiu para a Geometria a mais importante caracterıstica da

Algebra: a uniformidade de metodos para resolver problemas. Enquanto que

na Aritmetica e na Geometria Elementar geralmente temos que procurar uma

forma especial de resolver cada problema, na Algebra e na Geometria Analıtica,

a solucao para todos os problemas e encontrada de acordo com um determi-

nado plano, que facilmente se aplica a qualquer problema. Mas nao podemos re-

jeitar por completo a aplicacao da Geometria Elementar, pois em determinadas

situacoes a sua ajuda conduz-nos a solucoes elegantes e muito mais simples que

as obtidas atraves do Metodo das Coordenadas.

Outra caracterıstica a salientar no Metodo das Coordenadas e o facto da

sua aplicacao nos poupar a necessidade de representacao visual de figuras de

complexa configuracao no espaco.

Em suma este metodo nasceu da necessidade transformar a informacao vi-

sual em numerica e vice-versa facilitando o estudo problemas de posiciona-

mento.

No ensino vamos encontrar este metodo, pela primeira vez, no 7o ano do

3o Ciclo do Ensino Basico em que surge a representacao na recta e a nocao

de modulo de numeros racionais. E tambem nesse ano que os alunos tem o

primeiro contacto com o Referencial Cartesiano (rectangular e monometrico),

utilizado na representacao grafica de situacoes de proporcionalidade directa.

Nos 8o e 9o anos pouco mais se aprofunda a utilizacao e estudo do Metodo

das Coordenadas, fazendo-se uso do referencial essencialmente na representacao

grafica de algumas funcoes simples. As questoes envolvendo distancias entre

Page 7: O método das coordenadas

1.2. UM POUCO DE HISTORIA 3

dois pontos tem nos programas destes anos uma abordagem essencialmente

geometrica.

So no ensino secundario se da “um passo em frente” na utilizacao de co-

ordenadas. No 10o ano, tanto em Matematica A como em Matematica Apli-

cada as Ciencias Sociais, aprofunda-se o estudo do Metodo das Coordenadas

extendendo-o ao plano tridimensional. O desenvolvimento deste estudo tera

continuidade ate ao final do ensino secundario.

1.2 Um pouco de Historia

O desenvolvimento do Metodo das Coordenadas atribui-se a Rene Descartes

(1596 - 1650), mas tambem o seu contemporaneo Pierre de Fermat (1601 -

1665) usou metodos algebricos nos seus estudos de Geometria.

Figura 1.1: Descartes

Rene Descartes nasceu em 1596, em Touraine - Franca e morreu em 1650,

em Estocolmo. Nasceu numa famılia nobre, o que lhe permitiu estudar numa

das mais conhecidas escolas da Europa, o Colegio Jesuıta de La Fleche. In-

gressou neste Colegio com oito anos e la permaneceu durante dez anos. Aı

teve oportunidade de adquirir uma solida cultura em humanidades, ciencia e

filosofia.

Apos o termino dos seus estudos, em Direito, Descartes, que desde cedo

sentiu o desejo de conhecer a natureza do homem e do universo, apercebe-se

da sua ignorancia e, inspirado pelo rigor e solidez da construcao matematica,

que muito admirava, procura um fundamento absoluto e irrefutavel para as

ciencias. Descartes acreditava que todo o universo material podia ser expli-

cado em termos fısico-matematicos. Assim, em 1637, escreve o “Discours de la

methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences”(O

Discurso do Metodo), onde procura definir regras para a procura da verdade

em todos os campos.

Page 8: O método das coordenadas

4 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Em “La Geometrie”, um dos tres anexos do “Discours de la methode...”,

Descartes aplica a Algebra a Geometria e faz a classificacao sistematica das

curvas, distinguindo as curvas geometricas (que se podem exprimir com exac-

tidao atraves de uma equacao) das curvas mecanicas (as que nao podem). Este

anexo pode ser considerado a obra fundadora da Geometria Analıtica.

A aplicacao da Algebra a Geometria ja tinha comecado a aparecer em tra-

balhos de matematicos do sec. XVI. O frances, Francois Viete (1540-1603),entre

outros, nao so fez importantes descobertas algebricas, como tambem simplifi-

cou a notacao, introduzindo letras para representar numeros e usando os sinais

+ e -. Esta evolucao so se tornou util meio seculo mais tarde nos trabalhos de

Descartes e Fermat.

Descartes considerava que o estudo de curvas, feito pelos matematicos gre-

gos nao era o mais correcto, e assim, com o intuito de sistematizar este estudo,

assimilou todas as tecnicas ja conhecidas, organizou-as e, recorrendo a dois

eixos perpendiculares e as coordenadas dos pontos, conseguiu desenvolver o es-

tudo de curvas e resolver problemas da Antiguidade Grega por processos muito

originais. Considerou tambem que qualquer ponto do espaco pode ser deter-

minado por tres coordenadas que representam as distancias do ponto a tres

planos perpendiculares dois a dois. Daı em diante, a definicao de curva passou

a ser a relacao entre as coordenadas dos seus pontos.

Na sua procura de regras para definir e construir curvas, Descartes, concluıu

que era necessario fixar a posicao de um ponto no plano, estando esta posicao

dependente de dois elementos, as coordenadas desse ponto. Comeca, entao,

por estabelecer as bases do seu sistema de coordenadas, mostrando que cada

ponto M fica perfeitamente definido pelas “distancias” MP e MQ a duas rectas

concorrentes x0x’ e y0y’. Por sua vez a relacao y= f(x) caracteriza o conjunto

dos pontos da linha, em que a cada valor de x associado a um ponto da linha

corresponde um valor de y (funcao de x ). Este metodo permite traduzir pro-

priedades geometricas em relacoes numericas e resolver problemas geometricos

por aplicacao de calculos algebricos.

Descartes provocou uma verdadeira revolucao na Matematica, criando a

Page 9: O método das coordenadas

1.2. UM POUCO DE HISTORIA 5

Geometria Analıtica atraves da uniao entre a Geometria e a Analise. Com a Ge-

ometria Analıtica, a Geometria liberta-se da necessidade do desenho rigoroso,

com regua e compasso e, por outro lado, permite interpretar geometricamente

processos algebricos, dando-lhes novo significado. Desta forma a Matematica

fica dotada de metodos gerais que lhe faltavam, imprimindo uma nova dinamica

ao desenvolvimento desta ciencia.

A influencia de Descartes foi de tal forma notavel para o desenvolvimento

da Matematica que Laplace, matematico dos finais do seculo XVIII, associa o

metodo de Descartes ao nascimento das Matematicas Modernas. E do nome

de Descartes ou “Cartesius”, nome latino com que assinava as suas obras, que

derivam as expressoes referencial cartesiano ou coordenadas cartesianas.

Tal como referido inicialmente, Descartes nao foi um genio isolado na sua

epoca. Vivia-se a Epoca do Renascimento e, com ela, tinha renascido uma

imensa curiosidade pelo saber; foram diversas as ciencias que progrediram e

tambem a Aritmetica e a Algebra tiveram grande desenvolvimento, especial-

mente pelas maos dos matematicos da Universidade de Bolonha, uma das mais

famosas da Europa nos seculos XV e XVI.

Nao podemos esquecer Pierre de Fermat, contemporaneo de Descartes, que

tambem contribuiu para o desenvolvimento da Geometria Analıtica. Pierre de

Fermat nasceu em 1601, em Beaumont-de-Lomages, Franca e morreu em 1665.

Tal como Descartes, formou-se em Direito, foi advogado e oficial do governo

em Toulouse. A Matematica era “apenas” o seu passatempo.

Figura 1.2: Pierre de Fermat

Independente de Descartes, mas semelhante ao proposto por este, tambem

Fermat propos um sistema de posicionamento, atraves da utilizacao de metodos

algebricos nos estudos de Geometria. E pois, igualmente considerado inventor

da Geometria Analıtica. O trabalho de Fermat baseava-se numa reconstrucao

do trabalho de Apollonius, usando a algebra de Viete 1. Para alem da Ge-

1Apollonius viveu na Grecia(cerca de 262 a.C - 190 a.C) e foi conhecido como o “grande

Page 10: O método das coordenadas

6 CAPITULO 1. INTRODUCAO

ometria Analıtica, o trabalho de Fermat foi fundamental na criacao do Calculo

Diferencial, do Calculo de Probabilidades e no desenvolvimento da Teoria de

Numeros, area em mais se notabilizou.

O seu contributo para a Geometria Analıtica encontra-se num pequeno

texto, “Ad locos planos et solidos isagoge” (Sobre lugares planos e solidos),

escrito, no maximo, em 1636 e publicado em 1679, postumamente em con-

junto com toda a sua obra. Nesta obra, Fermat da uma visao da Geometria

Analıtica mais proxima da actual, sendo o primeiro a fazer a sua aplicacao

ao espaco tridimensional. Neste trabalho tambem se encontram equacoes da

recta, da circunferencia e de outras conicas, em relacao a um sistema de eixos

perpendiculares.

Na verdade, Descartes apenas e mais facilmente denotado como sendo o

criador da Geometria Analıtica devido a modestia de Fermat, avesso a publicar

os seus trabalhos. Apenas divulgava as suas descobertas por carta aos amigos

e assim, o seu trabalho so foi conhecido apos a sua morte, tendo sido publicado

em 1679, 42 anos apos a publicacao do “Discours de la methode...”.

geometra”.

Viete viveu em Franca(1540 - 1603) e foi conhecido como “o pai da Algebra”.

Fermat usou a Algebra de Viete para reconstruir a obra Plane Loci de Apollunius.

Page 11: O método das coordenadas

Capıtulo 2

Coordenadas de um ponto na

recta

2.1 O Eixo

Um eixo e uma recta orientada sobre a qual se estabelece uma escala.

Para definir um eixo procedemos da seguinte forma:

• escolhe-se uma recta;

• escolhe-se um ponto sobre a recta para origem, ponto O ;

• escolhe-se uma unidade de medida, dada por um segmento de recta;

• escolhe-se a direccao a ser considerada positiva.

Figura 2.1: Eixo real

Uma recta nestas condicoes sera chamada de eixo numerico, recta orien-

tada ou eixo das coordenadas. Habitualmente, considera-se que o eixo esta

desenhado na horizontal e que a direccao positiva e da direita para a esquerda.

Ao introduzir as coordenadas cria-se uma correspondencia bijectiva entre

o conjunto dos numeros reais, R, e o conjunto dos pontos da recta que serve

de eixo, ou seja, e satisfeita a seguinte propriedade: a cada ponto na recta

7

Page 12: O método das coordenadas

8 CAPITULO 2. COORDENADAS DE UM PONTO NA RECTA

corresponde um e apenas um numero real, e a cada numero real corresponde

um e apenas um ponto na recta. Usa-se a designacao P(−√

2)

para indicar

que a coordenada do ponto P e −√

2, ou, um outro exemplo, A (x) para indicar

que a coordenada de A e x. Usualmente, le-se o “ponto menos raız de dois”,

no primeiro caso e “o ponto x”, no segundo caso.

A recta orientada tem aplicacoes praticas muito importantes, como e o caso

dos Frisos Cronologicos usados em Historia ou de um simples termometro para

avaliar a temperatura ambiente ou corporal, sendo muito util na ordenacao de

valores.

A figura 2.2 e um exemplo de um eixo numerico, onde se podem observar

as coordenadas de alguns pontos.

Figura 2.2: Pontos na recta

2.2 Modulo e Distancia

Da-se o nome de modulo ou valor absoluto de um numero a distacia do

ponto que o representa a origem do eixo e denota-se da seguinte forma 1|x|.

Por exemplo, o modulo ou valor absoluto de −12 e dado por

∣∣−12

∣∣ = 12 , o modulo

de 3 por |3| = 3, e o de -5 por |−5| = 5.

Temos, entao, tres casos dinstintos:

• se x > 0, entao |x| = x,

• se x < 0, entao |x| = −x,

• se x = 0, entao |x| = 0.

Podemos concluir que se dois pontos a e −a estao a mesma distancia da

origem das coordenadas, os numeros a e −a tem o mesmo valor absoluto, isto e

1o sımbolo de valor absoluto “||” foi usado pela primeira vez por Karl Weirstrass (1815-

1877)

Page 13: O método das coordenadas

2.2. MODULO E DISTANCIA 9

|a| = |−a|, e chamam-se numeros simetricos. Por exemplo, -2 e 2 sao simetricos

pois |−2| = |2| = 2

Os conceitos de distancia e modulo estao interligados na medida em que,

como foi ja referido, o modulo de um numero a nao e mais do que uma distancia:

a do ponto que o representa no eixo a origem. Estamos assim em condicoes de

definir distancia entre dois pontos. De facto, conhecendo as coordenadas dos

pontos, sabemos quais as suas posicoes em relacao um ao outro e em relacao a

origem e facilmente se determina a distancia entre eles.

A tıtulo de exemplo podemos verificar que facilmente se calcula a distancia

entre A(−3) e B(2). Ora -3 esta a esquerda de 2, assim como da origem, e a

sua distancia a origem e 3, por sua vez 2 esta a direita da origem e encontra-se

2 unidades de distancia desta; assim a distancia de A a B e 5.

Generalizemos: pretendemos definir a distancia entre dois pontos arbitrarios,

A(x1) e B(x2), que denotamos por d(A,B), so que, neste caso as coordenadas

dos pontos sao desconhecidas. Como nao conhecemos as coordenadas dos pon-

tos teremos que analisar todas as posicoes relativas possıveis que os pontos A,

B e O podem ter entre si.

Relativamente ao ponto A sao duas as posicoes que B pode ter: ou a direita

ou a esquerda de A e, para cada uma delas, temos tres casos possıveis atendendo

aos sinais de A e B. Tome-se para primeira hipotese, B a direita de A, temos

entao,

1. A e B estao ambos a direita da origem - a distancia d(A,B) e igual a

diferenca das distancias dos pontos B e A a origem. Como x1 > 0 e

x2 > 0 a distancia entre A e B e dada por d(A,B) = x2 − x1

2. A e B estao em lados opostos relativamente a origem - a distancia e igual

a soma das distancias dos pontos B e A a origem. Neste caso, temos

x1 < 0 e x2 > 0 e tal como anteriormente .

3. A e B estao ambos a esquerda da origem - aqui x1 < 0 e x2 < 0 e tal como

nos dois casos anteriores a distancia sera dada por d(A,B) = x2 − x1.

Page 14: O método das coordenadas

10 CAPITULO 2. COORDENADAS DE UM PONTO NA RECTA

A segunda hipotese e B a esquerda de A, para esta tambem temos tres

casos a considerar que diferem dos tres anteriores apenas nas posicoes de

A e de B que trocam entre si, em qualquer um destes tres casos temos

x2 < x1, assim, em analogia aos tres casos anteriores, a distancia e dada

por d(A,B) = x1 − x2

Em conclusao pode-se dizer que a distancia entre dois pontos genericos

A e B e dada por:

d(A,B) =

x2 − x1 se x1 − x2 < 0

x1 − x2 se x1 − x2 < 0

Recorrendo a definicao de valor absoluto, podemos escrever na forma mais

simples d(A,B) = |x1 − x2| ou d(A,B) = |x2 − x1|.

Ha ainda a considerar o caso em que x1 = x2, que se da quando os pontos

A e B coincidem, mas tambem aqui, d(A,B) = |x1 − x2| = 0.

Propriedade 1 A coordenada do ponto medio, x, de qualquer segmento AB

e dada por

x =x1 + x2

2,

com x1 e x2 as coordenadas de A e de B.

Demonstracao: Sejam A (x1) e B (x2), dois pontos no eixo. Seja x a co-

ordenada do ponto M , em que M e o ponto medio do segmento AB, entao

d (x, x1) = d (x, x2), ou seja |x− x1| = |x− x2|.

- Se A esta a esquerda de B, x estara a direira de A e a esquerda de B.

Assim, x− x1 > 0 e x− x2 > 0, donde |x− x1| = x− x1 e |x− x2| = x− x2

Donde

d (x, x1) = d (x, x2)⇔ x− x1 = x2 − x⇔ 2x = x2 + x1 ⇔ x =x1 + x2

2

Ou seja, a coordenada de x e x = x1+x22

- Se A esta a direita de B, x estara a esquerda de A e a direita de B.

Logo d (x, x1) = |x1 − x| = x1 − x e d (x, x2) = |x2 − x| = x− x2, donde

d (x, x1) = d (x, x2)⇔ x1 − x = x− x2 ⇔ x1 + x2 = 2x⇔ x =x1 + x2

2

Page 15: O método das coordenadas

2.2. MODULO E DISTANCIA 11

Tambem, neste caso, a coordenada de x e x = x1+x22

Como em ambos os casos o resultado e o mesmo, concluı-se que a coordenada

do ponto medio do segmento AB e dada por

x =x1 + x2

2

.

Exercıcios:

1. Marcar num eixo coordenado os pontos x para os quais:

(a) d(x, 7) < 3

Figura 2.3: Conjunto dos pontos cuja distancia a 7 e inferior a 3

Analisando a figura facilmente verificamos que a solucao para esta

questao e o conjunto dos valores no intervalo ]4, 10[

(b) |x− 2| > 1

Figura 2.4: Conjunto dos pontos cuja distancia a 2 e superior a 1

De novo, atraves da analise da figura 2.4 pode-se concluir que os

valores de x que verificam a condicao sao os valores

]−∞, 1[∪]3,+∞[.

Page 16: O método das coordenadas

12 CAPITULO 2. COORDENADAS DE UM PONTO NA RECTA

Page 17: O método das coordenadas

Capıtulo 3

Coordenadas de pontos no

plano

3.1 O Referencial Cartesiano

Para definir um referencial no plano consideramos “duas rectas concorrentes

que, por comodidade, se tomam perpendiculares entre si”[2]. Uma das rectas

sera chamada eixo das abcissas, ou eixo dos xx, ou Ox e a outra recta eixo das

ordenadas, ou eixo dos yy, ou Oy. O ponto de interseccao dos eixos denomina-se

origem das coordenadas, ou simplesmente origem e designa-se pela letra O.

Figura 3.1: Referencial

A direccao dos eixos habitualmente determina-se de tal forma que o semi-

eixo positivo OX coincide com o semi-eixo positivo Oy apos uma rotacao de

90o no sentido contrario ao movimento dos ponteiros do relogio. Por norma,

define-se a mesma unidade de medida em ambos os eixos, caso em que de-

nominamos o referencial como monometrico. No entanto, podemos atribuir

diferentes medidas e, nesse caso, o referencial dir-se-a dimetrico.

Figura 3.2: Referencial Monometrico

13

Page 18: O método das coordenadas

14 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

Para determinar a posicao de um determinado ponto P no plano, apos se ter

definido o referencial, e necessario encontrar as sua coordenadas relativamente

ao referencial em questao. Para tal tracamos duas rectas perpendiculares cuja

interseccao se da no referido ponto, intersectando uma delas o eixo Ox e a outra

o eixo Oy (ver Figura 3.3).

Figura 3.3: Coordenadas de P

Os pontos de interseccao das rectas com os eixos denominam-se projeccoes

do ponto P nos eixos coordenados; a P1, a projeccao no eixo Ox, correspondera

um determinado numero real x que sera a coordenada de P no eixo dos xx e a

P2, a projeccao no eixo Oy, correspondera um determinado numero real y que

sera a coordenada de P no eixo dos yy. Ou seja a qualquer ponto no plano

correpondem dois valores reais, x e y, as coordenadas cartesianas do ponto,

em que x e a abcissa do ponto e y a ordenada. Por outro lado, para cada par

de numeros reais x e y podemos determinar um ponto no plano. Assim, tal

como na recta, define-se uma correspondencia bijectiva entre pontos no plano

e pares de valores reais x e y, tomados numa determinada ordem onde x e a

primeira coordenada e y a segunda. Resumindo, existe uma correspondencia

biunıvoca entre o conjunto dos pontos do plano e R2. Assim e habitual escrever

as coordenadas de um ponto P da seguinte forma: P (x, y). Correntemente em

vez de dizermos o ponto de coordenadas (x, y) dizemos o ponto (x, y).

Importa referir que os eixos coordenados dividem o plano em quatro qua-

drantes da seguinte forma: o primeiro quadrante localiza-se entre o semi-eixo

positivo dos xx e o semi-eixo positivo dos yy, os restantes quadrantes numeram-

se consecutivamente no sentido anti-horario. Donde, dado um ponto P de

coordenadas (x, y), tem-se:

Page 19: O método das coordenadas

3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 15

P ∈ Linguagem corrente Linguagem matematica

1oQuadrante Ambas as coordenadas sao positivas x > 0 e y > 0

2oQuadrante A abcissa e negativa e a ordenada positiva x < 0 e y > 0

3oQuadrante Ambas as coordenadas sao negativas x < 0 e y < 0

4oQuadrante A abcissa e positiva e a ordenada negativa x > 0 e y < 0

O referencial cartesiano, tal como acontecia com a recta, tem as mais vari-

adas aplicacoes, desde as puramente matematicas, que veremos a frente, pas-

sando pelas ludicas, como e o caso do jogo de Xadrez ou Batalha Naval, ate

a localizacao na superfıcie terrestre. De facto, a cada ponto da superfıcie da

terra corresponde um par de coordenadas, a Longitude e a Latitude.

Figura 3.4: Jogo de Xadrez

Figura 3.5: Mapa da cidade de Coimbra

Possivelmente, de todas as possıveis aplicacoes, esta ultima e a de maior

utilidade real, na medida em que e utilizada em variadas situacoes: por exemplo

numa viagem a um local desconhecido podemos chegar ao local pretendido

atraves das coordenadas da sua localizacao num mapa. De acordo com a Schools

Council [3], em 1976, no curso de oficiais da marinha utilizava-se uma grelha

impressa numa tela, com a origem O e os eixos do referencial marcados, e nessa

tela eram projectados mapas de canais e estuarios e assim era feito o estudo e

discussao de possıveis rotas para os navios.

3.2 Aplicacoes do Metodo das Coordenadas

A verdadeira inovacao que o metodo das coordenadas trouxe a Matematica

foi o facto de permitir a resolucao algebrica de determinados problemas que

ate a data apenas se podiam resolver geometricamente, o que nem sempre era

tarefa facil.

Page 20: O método das coordenadas

16 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

A geometria analıtica diz-nos que um ponto e conhecido atraves das suas

coordenadas e, assim, a resolucao de um dado problema representado geo-

metricamente, passa pela descoberta das formulas que permitem representar

algebricamente a figura associada ao problema, atraves das coordenadas de

pontos dados e das relacoes entre elas.

A solucao de um problema complexo passa, na grande maioria das vezes,

pela resolucao de alguns problemas simples, muitos deles encontrados com

maior frequencia e de grande simplicidade, por isso chamados de basicos. Um

destes problemas basicos e o calculo da distancia entre dois pontos que tratare-

mos de seguida dada a sua notavel utilidade na resolucao de outros problemas

e mesmo em situacoes do dia-a-dia.

3.2.1 Distancia entre pontos do plano.

O conhecimento das coordenadas de um determinado ponto indica-nos a sua

localizacao exacta no plano, mas se conhecermos apenas uma das coordenadas,

por exemplo x = a, teremos um conjunto de pontos admissıveis, ou seja, es-

pecificando uma das duas coordenadas determinaremos uma curva no plano

que corresponde a todos os pontos cuja a abcissa e a. Por exemplo, se consid-

erarmos os pontos que verificam a condicao y = x2,ou seja em que a ordenada

e o quadrado da abcissa, obtem-se uma curva - parabola.

Figura 3.6: Parabola

Mas nem toda a relacao entre coordenadas dara origem a um conjunto de

pontos. Pode, por exemplo, dar origem a um unico ponto, como e o caso de

x2 + y2 = 0, ou ao conjunto vazio, como e o caso de x2 + y2 = −1.

Tal como na recta, tambem no plano podemos definir distancia entre dois

pontos. Para tal, supomos conhecidas as coordenadas dos pontos e temos que

encontrar a formula que nos permite calcular a distancia entre dois pontos

dados. Comecemos por calcular a distancia de um ponto a origem. Seja A o

ponto de coordenadas (x, y). Atraves do Teorema de Pitagoras facilmente se

Page 21: O método das coordenadas

3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 17

conclui que, d (A,O) =√x2 + y2.

Figura 3.7: Distancia de A a O

Passemos entao a generalizacao, isto e, pretendemos encontrar uma formula

que nos permita calcular a distancia de dois quaisquer pontos no plano. Sejam

A (x1, y1) e B (x2, y2), dois quaisquer pontos no plano, para os quais vamos

calcular a distancia entre ambos, d (A,B). Para responder a esta questao,

apoiar-nos-emos na Figura 3.8.

Figura 3.8: Distancia de A a B

Sejam A1,B1, A2, B2, as projeccoes dos pontos A e B nos eixos coordenados,

e C o ponto de interseccao dos segmentos de recta que passam por AA1 e por

BB2. Aplicando o teorema de Pitagoras ao triangulo ABC podemos concluir

que,

d2 (A,B) = d2 (A,C) + d2 (B,C) .

Atraves da figura, facilmente concluımos que o comprimento do segmento

AC e igual ao comprimento do segmento A2B2. Como os pontos A2 e B2

estao sobre o eixo Oy, sabemos calcular a distancia entre eles, que sera igual a

|y1 − y2|. De forma analoga concluımos que o comprimento do segmento BC e

igual a |x1 − x2|. Entao podemos concluir que

d2 (A,B) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ,

donde, podemos que concluir que a formula para calcular a distancia entre A e

B e dada por

d (A,B) =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Obviamente, esta formula e valida para quaisquer dois pontos do plano,

independentemente das suas posicoes. Mais ainda, a distancia entre dois pontos

na recta, determinada no capıtulo anterior, tambem se pode representar por

Page 22: O método das coordenadas

18 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

uma formula semelhante a esta, isto e

d (AB) =

√(x1 − x2)2

formula que se obtem atraves da aplicacao do facto de√x2 = |x|.

A tıtulo de exemplo demonstraremos o seguinte teorema recorrendo a formula

da distancia entre dois pontos:

Teorema 1 Num paralelogramo, a soma dos quadrados dos lados e igual a

soma dos quadrados das diagonais.

Demonstracao: Considere-se o paralelogramo OABC e o referencial carte-

siano colocado de forma a que origem coincida com o vertice O do paralelo-

gramo, tal como indicado na figura.

Figura 3.9: Paralelogramo

No paralelogramo, d1 e d2 sao as diagonais do paralelogramo, A tem por

coordenadas (a1, a2), B (b1, b2), C (c1, 0) e A1 e B1 sao as projeccoes dos pontos

A e B no eixo Ox, respectivamente, e A2 a projeccao dos pontos A e B no eixo

Oy. Seja h1 o comprimento da diagonal d1 e h2 o comprimento da diagonal d2.

Comecemos por calcular h1: aplicando o teorema de Pitagoras podemos

concluir que

h21 = d2 (O,B1) + d2 (B1, B)

Como os pontos O e B1 se encontram sobre o eixo Ox, facilmente encontramos

a distancia entre eles, d (O,B1) = |0− b1| = b1 . Atraves da figura, vemos que

o comprimento de BB1 coincide com o comprimento de OA2, que se encontra

sobre o eixo Oy, logo, d (B1, B) = d (O,A2) = |0− a2| = a2. Assim

h21 = b21 + a22 (3.1)

Para h2 podemos ver que:

h22 = d2 (A1, C) + d2 (A1, A)

Page 23: O método das coordenadas

3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 19

Por analise da figura, verifica-se que o comprimento de A1A e igual ao

comprimento de OA2 que se encontra sobre o eixo e assim

d (A1, A) = |0− a2| = a2.

Por outro lado, como A1 e C se encontram sobre o eixo Ox, sabemos calcular

a distancia entre eles que e dada por,

d (A1, C) =

√(c1 − a1)2 = c1 − a1

Conclui-se, entao que

h22 = a22 + (c1 − a1)2 (3.2)

Resta calcular o comprimento dos lados do paralelogramo. Obviamente,

basta calcular dois deles, visto que, por definicao, os lado sao iguais dois a dois.

Assim calcularemos o comprimento de OC e de OA. O comprimento de OC

calcula-se sem dificuldade, uma vez que ambos os pontos se encontram sobre o

eixo Ox , logo,

d (O,C) = |c1 − 0| = c1 (3.3)

Quanto ao comprimento de OA, aplicando o teorema de Pitagoras tem-se

d2 (O,A) = d2 (O,A2) + d2 (A2, A)⇔

⇔ d2 (O,A) = a22 + a21 ⇔

Assim, o comprimento de OA e dado por,

d (O,A) =√a22 + a21 (3.4)

De (3.3) e (3.4) temos que a soma dos quadrados dos lados e dada por:

2d2 (O,C) + 2d2 (O,A) = 2c21 + 2(a22 + a21

)= 2a21 + 2a22 + 2c21. (3.5)

Analisando a figura vemos que o comprimento de OB1 e igual a soma do

comprimento de OC com o de OA1, assim

b1 = c1 + a1

Page 24: O método das coordenadas

20 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

e substituindo em (3.1) vem

h21 = (c1 + a1)2 + a22 (3.6)

De (3.2) e (3.6) podemos concluir que a soma dos quadrados das diagonais

e dada por:

h21 + h22 = (c1 + a1)2 + a22 + a22 + (c1 − a1)2

= c21 + 2c1a1 + a21 + 2a22 + c21 − 2c1a1 + a21

= 2a21 + 2a22 + 2c21 (3.7)

Finalmente, concluımos de (3.5) e (3.7), que a soma dos quadrados das

diagonais e igual a soma dos quadrados dos lados do paralelogramo.

2

3.2.2 Definindo figuras

Um numero finito, ou infinito, de pontos marcados no plano representa uma

figura geometrica. Definir uma figura pode significar estabelecer um metodo

de verificar se um determinado ponto pertence ou nao a figura considerada.

Como podemos entao definir uma figura?

Por exemplo, definimos um cırculo como o conjunto dos pontos do plano

situados a mesma distancia de um dado ponto, ou uma elipse como o conjunto

dos pontos do plano tais que a soma das distancias a dois pontos fixos e con-

stante. Recorrendo a formula algebrica ja determinada para a distancia entre

dois pontos podemos definir sem dificuldade cada uma das figuras.

Fixemo-nos no cırculo. Um ponto arbitrario M (x, y) estara no cırculo de

centro C (a, b) e raio R se e somente se d (M,C) for igual a R, o que se representa

pela seguinte formula √(x− a)2 + (y − b)2 = R

ou de forma equivalente

(x− a)2 + (y − b)2 = R2

Page 25: O método das coordenadas

3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 21

Esta equacao e chamada equacao do cırculo de centro C (a, b) e raio R. Con-

hecendo esta equacao, para verificar se um dado ponto do plano pertence ou

nao ao cırculo, basta substituir x e y na equacao pelas coordenadas do ponto.

Se a igualdade se verificar, o ponto esta no cırculo, caso contrario o ponto nao

se encontra no cırculo.

Exemplo: A equacao do cırculo de centro na origem e raio 2:

x2 + y2 − 4 = 0

que mais geralmente representamos por

x2 + y2 = 4;

e cuja representacao grafica e:

Figura 3.10: Cırculo de centro (0, 0) raio 2

Verifiquemos a posicao dos seguintes pontos relativamente ao cırculo:

1. O ponto (1, 1)

Substituindo na equacao vem:

12 + 12 = 2

2 6= 4, logo o ponto nao pertence ao cırculo. Neste caso como 2 < 4 o

ponto encontra-se no interior do cırculo.

2. O ponto (√

2,√

2)

Substituindo na equacao vem:

(√

2)2 + (√

2)2 = 4

Neste caso da-se a igualdade, logo o ponto pertence ao cırculo.

3. O ponto (2, 1)

Substituindo na equacao vem:

Page 26: O método das coordenadas

22 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

22 + 12 = 5

5 6= 4, logo o ponto nao pertence ao cırculo. Neste caso como 5 > 4 o

ponto encontra-se no exterior do cırculo.

No caso da elipse a equacao que a define e dada por

(x− x1)2

a2+

(y − y1)2

b2= 1

em que (x1, y1) e o centro de elipse e a e b o comprimento dos seus semi-eixos

e, mais uma vez podemos verificar se um dado ponto pertence ou nao a elipse

atraves da substituicao das coordenadas do ponto na equacao.

Exemplo: A equacao da elipse de centro (1, 2) e semi-eixos de comprimento

3 e 2, e dada por(x− 1)2

9+

(y − 2)2

4= 1

e tem por representacao grafica a seguinte figura:

Figura 3.11: Elipse de centro A = (1, 2)

Verifiquemos a posicao de alguns pontos relativamente a elipse:

1. O ponto (0, 0)

Substituindo na equacao vem:

(0− 1)2

9+

(0− 2)2

4=

10

9

As coordenadas do ponto em questao nao verificam a equacao, logo o

ponto nao pertence a elipse. Neste caso, como 109 > 1, o ponto encontra-

se no exterior da elipse.

2. O ponto (1, 1)

Tal como no caso anterior, basta substituir as coordenadas do ponto na

equacao(1− 1)2

9+

(1− 2)2

4= 1

Neste caso da-se a igualdade, logo o ponto pertence a elipse.

Page 27: O método das coordenadas

3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 23

Para alem dos exemplos anteriormente apresentados, podemos apresen-

tar mais alguns:

1. A equacao

x− y = 0

ou mais geralmente

y = x

que define uma recta, a bissectriz dos quadrantes ımpares e tem a seguinte

representacao geometrica:

Figura 3.12: Recta y = x

2. a equacao da parabola com vertice na origem e

y = x2

e representa-se geometricamente da seguinte forma:

Figura 3.13: Parabola

3. Considere-se a equacao|x|x

+|y|y

= 2

Pela definicao de modulo sabemos que

|a|a

=

1 se a > 0

−1 se a < 0

Verifica-se que a expressao |x|x + |y|y , em que x e y sao as coordenadas de

um determinado ponto P , tera por resultado:

- 2 se P se encontrar no primeiro quadrante;

- 0 se P se encontrar no II ou IV quadrante;

- −2 se P se encontrar no III quadrante;

Page 28: O método das coordenadas

24 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

- a expressao nao tera significado se o ponto P se encontrar num dos

eixos coordenados, ou se coincidir com a origem.

Concluı-se, entao, que a equacao indicada representa uma parte do plano:

o primeiro quadrante, excluındo os eixos coordenados.

Figura 3.14: 1o Quadrante

4. A equacao

|x|+ |y| = 2

Tendo em conta que x e y sao as coordenadas de um determinado ponto

P no plano analisemos a equacao em cada um dos quadrantes:

x+ y = 2 para o quadrante I,

−x+ y = 2 para o quadrante II,

−x− y = 2 para o quadrante III,

x− y = 2 para o quadrante IV,

pela definicao de modulo facilmente se ve que a equacao descreve o con-

torno do quadrado de vertices (0, 2), (2, 0), (0,−2) e (−2, 0).

Figura 3.15: |x|+ |y| = 2

Muitos mais exemplos poderiam ser apresentados, mas a pretensao e apenas

ilustrar que, de facto, o Metodo das Coordenadas e uma ferramenta essencial

na traducao de problemas geometricos para problemas algebricos e vice-versa.

Podemos dizer que, em Geometria Analıtica, uma equacao funciona como

um crivo, rejeitando os pontos que nao nos sao necessarios e guardando os que

formam a figura que nos interessa. A equacao de uma curva e a equacao que se

transforma numa identidade sempre que substituımos x e y pelas coordenadas

Page 29: O método das coordenadas

3.2. APLICACOES DO METODO DAS COORDENADAS 25

de um ponto da curva e nao e satisfeita se substituırmos pelas coordenadas de

um ponto que nao esta na curva.

Generalizando representamos uma equacao nas variaveis x e y da seguinte

forma

f (x, y) = 0.

Em que f (x, y) representa a expressao matematica que contem x e y, ou pelo

menos uma delas. De acordo com o que ja foi dito anteriormente a equacao

f (x, y) = 0 define uma certa figura como o conjunto de pontos cujas coorde-

nadas no referencial cartesiano satisfazem a equacao.

3.2.3 Resolvendo Problemas

Tal como referido quando terminado o ponto anterior, “A traducao de

conceitos geometricos para a linguagem das coordenadas permite-nos consid-

erar problemas algebricos em vez de geometricos. Acontece que, depois dessa

traducao, a maioria dos problemas relacionados com linhas e cırculos conduz

a equacoes do primeiro e segundo grau; e existem formulas gerais simples para

a solucao destas equacoes... O filosofo Frances Rene Descartes, ao revelar o

metodo das coordenadas gabou-se:“Eu resolvi todos os problemas”- significando

os problemas geometricos desse tempo. ”[1]

Para exemplificar, exibe-nos o seguinte problema, cuja resolucao geometrica

seria bastante complicada, mas se a partir das coordenadas, passar-mos a

equacoes algebricas, esta resolucao torna-se substancialmente simples.

Problema[1, pagina 27]: Dados dois pontos A e B no plano, encontrar o

conjunto dos pontos M cuja distancia a A e duas vezes superior a sua distancia

a B.

Resolucao:

Escolhe-se um referencial adequado no plano, de tal forma que a origem

coincida com o ponto A, o segmento AB fique sobre a parte positiva do eixo

Ox, e, para unidade de medida, toma-se o comprimento de AB. Desta forma

as coordenadas de A serao (0, 0) e as de B, (1, 0). As coordenadas do ponto

Page 30: O método das coordenadas

26 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

M , desconhecido, sao dadas por (x, y). A condicao enunciada d (A,M) =

2× d (B,M), e,

√x2 + y2 = 2

√(x− 1)2 + y2 (3.8)

Fica assim determinada a equacao do conjunto dos pontos desejado. Mas

podemos desenvolver mais a equacao para tentar perceber a figura geometrica

por ela representada. A equacao 3.8, elevando ambos os termos ao quadrado,

e equivalente a:

3x2 − 8x+ 4 + 3y2 = 0⇔

⇔ x2 − 8

3x+

16

9+ y2 =

4

9⇔

⇔(x− 4

3

)2

+ y2 =

(2

3

)2

.

Esta equacao e ja nossa conhecida, trata-se da equacao da circunferencia

de centro em(43 , 0)

e raio 23 , assim o conjunto desejado, M , e o conjunto que

satisfaz esta equacao.

3.3 Outros Sistemas de Coordenadas

Para alem do sistema de coordenadas Cartesiano Rectangular podemos con-

siderar outros sistemas de coordenadas que, em situacoes especıficas, podem

facilitar a resolucao de problemas, por serem mais apropriadas a especificidade

do problema em si. Alguns nao sao mais do que variacoes deste sistema, em

que a diferenca podera estar na posicao dos eixos (que podera ser oblıqua em

vez de perpendicular), ou na escolha das unidades de medida, que pode ser

diferente em cada um dos eixos.

Um sistema realmente diferente do Cartesiano Rectangular, mas que, no

entanto, descreve o mesmo plano e o Sistema de Coordenadas Polar, bastante

utilizado dado a sua simplicidade e porque facilita, em especial, a resolucao de

problemas trigonometricos.

Para definir um Sistema de Coordenadas Polar, partimos de um ponto fixo,

O, designado por origem ou polo e uma semi-recta orientada, designada por

Page 31: O método das coordenadas

3.3. OUTROS SISTEMAS DE COORDENADAS 27

eixo polar com extremidade O. As coordenadas de um determinado ponto M

sao determinadas por dois valores: ρ, o raio polar - a distancia do ponto ao polo

- e ϕ, o angulo polar - o angulo orientado e considerado no sentido contrario

aos ponteiros do relogio, ou seja, desde o eixo polar ate a semi-recta OM (ver

Figura 3.16). Portanto, quando definimos a posicao de um ponto atraves de

coordenadas polares, os dois valores indicados nao sao mais do que a direccao

em que o ponto se encontra e a distancia a este ponto. Dada a siplicidade deste

sistema ele e frequentemente utilizado, mesmo sem notarmos, por exemplo,

quando indicamos um “caminho” a alguem, ao dizermos, “Vire para Oeste

(direccao) na casa amarela a beira da estrada (o polo), ande 100 metros e aı

encontrara a Pousada (o ponto)”, estamos a fazer uso das coordenadas polares.

Figura 3.16: Sistema de Coordenadas Polar

Uma vez que ambos os sistemas definem o mesmo plano, vamos determinar

a relacao entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas, de modo a obter

um processo de transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas

e vice-versa. Tomemos para eixo polar a parte positiva do eixo Ox do sistema

Cartesiano Rectangular e o ponto O como a origem a origem das coordenadas,

marcando o segmento PPx perpendicular a Ox. Sejam (x, y) as coordenadas

cartesianas e (ρ, ϕ) as coordenadas polares de um mesmo ponto P . Se o ponto P

se encontrar no primeiro quadrante, o triangulo rectangulo desenhado permite

verificar geometricamente as seguintes relacoes (ver Figura 3.17):

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ

e ainda

ρ = ±√x2 + y2, tanϕ = y/x, com x 6= 0.

Figura 3.17: Coordenadas Polares ↔ Coordenadas Cartesianas

Tal como ja foi referido a utilizacao deste tipo de coordenadas, assim como

qualquer outro, prende-se com o facto deste poder facilitar a resolucao de de-

Page 32: O método das coordenadas

28 CAPITULO 3. COORDENADAS DE PONTOS NO PLANO

terminado tipo de problemas. Uma curva pode ser representada tanto em

coordenadas cartesianas como polares, mas um dos sistemas podera ser mais

adequado do que outro em determinadas situacoes. Ha que referir que em co-

ordenadas polares nao existe uma correspondencia um-para-um entre pontos e

coordenadas. De facto, dois pontos de coordenadas polares ρ, ϕ e ρ, ϕ+ 2kπ,

com ρ > 0 e k um inteiro qualquer, coincidem.

O conjunto de pontos (ρ, ϕ) do plano que verifica a equacao f (ρ, ϕ) = 0

chama-se curva em coordenadas polares.

Vejamos alguns exemplos de equacoes polares de algumas rectas, circun-

ferencias e outras figuras:

• Rectas verticais: ρ cosϕ = a ou ρ = asecϕ;

• Rectas horizontais: ρ = a cscϕ

• Rectas que passam pela origem: ϕ = ϕ0

• Circuferencia centrada na origem: ρ = a (raio = |a|)

• Circunferencia centrada no eixo Ox e tangente ao eixo Oy: ρ = 2a cosϕ

• Circunferencia centrada no eixo Oy e tangente ao eixo Ox: ρ = 2a sinϕ

• Lemniscatas:

Figura 3.18: Lemniscatas

• Rosas:

Figura 3.19: Rosas

Note-se a simplicidade de descricao algebrica de equacoes em coordenadas

polares quando comparadas com as cartesianas. Claro que, para a correcta

identificacao das superficıes , e necessario fixar de forma adequada o polo e o

eixo polar.

Page 33: O método das coordenadas

Capıtulo 4

Coordenadas de pontos no

espaco

4.1 Eixos e planos coordenados

Para determinar a posicao de um ponto no espaco necessitamos de tres

eixos coordenados, em vez de dois, ou seja, temos necessidade de definir um

Referencial Cartesiano no espaco. Um referencial cartesiano no espaco e um

sistema de tres eixos, nao complanares com a mesma origem, O, nos quais se

fixam unidades de comprimento.

Figura 4.1: Espaco

Se, nos tres eixos, e usada a mesma unidade de comprimento e se cada um

dos seus eixos e perpendicular aos outros dois, o referencial diz-se monometrico

e ortogonal, respectivamente.

Tal como acontecia na dimensao 1, R, e na dimensao 2, R2, tambem no

espaco, ao considerarmos um referencial cartesiano, estabelecemos uma cor-

respondencia biunıvoca entre os pontos do espaco e R3. Qualquer ponto do

espaco e representado atraves de um unico terno ordenado (x, y, z), em que x

e a abcissa do ponto, y a ordenada e z a cota.

Observacao: Para localizar um ponto na Terra tambem se usam tres coor-

29

Page 34: O método das coordenadas

30 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO

Figura 4.2: Coordenadas de um ponto no Espaco

denadas: a latitude, a longitude e a altitude, medidas em relacao ao meridiano

de Greenwich e em relacao ao nıvel medio da agua do mar.

No espaco, para alem dos eixos coordenados, Ox, Oy e Oz, temos tambem

a considerar os planos coordenados definidos pelos eixos coordenados, dois a

dois. Sao tres os planos nestas condicoes:

• O plano xOy, que passa pelos eixos Ox e Oy e que contem todos os pontos

da forma (x, y, 0), com x e y quaisquer valores reais. Este plano define-se

pela equacao z = 0.

Figura 4.3: Plano xOy

• O plano xOz, que passa pelos eixos Ox e Oz e que contem todos os pontos

da forma (x, 0, z), com x e z quaisquer valores reais. Este plano define-se

pela equacao y = 0.

Figura 4.4: Plano xOz

• O plano yOz, que passa pelos eixos Oy e Oz e que contem todos os pontos

da forma (0, y, z), com y e z quaisquer valores reais. Este plano define-se

pela equacao x = 0.

Os tres planos coordenados dividem o espaco em oito regioes denominadas

por Octantes. Sendo o primeiro destes formado pelos pontos que tem as tres

coordenadas positivas, numerando-se os seguintes no sentido anti-horario, isto

e:

• 1o Octante x > 0, y > 0 e z > 0;

• 2o Octante x < 0, y > 0 e z > 0;

• 3o Octante x < 0, y < 0 e z > 0;

Page 35: O método das coordenadas

4.1. EIXOS E PLANOS COORDENADOS 31

Figura 4.5: Plano yOz

Figura 4.6: Planos no Espaco

• 4o Octante x > 0, y < 0 e z > 0;

• 5o Octante x > 0, y < 0 e z < 0;

• 6o Octante x < 0, y > 0 e z < 0;

• 7o Octante x < 0, y < 0 e z < 0;

• 8o Octante x > 0, y < 0 e z < 0;

Para determinar as coordenadas de um determinado ponto P no espaco

temos que encontrar os valores das suas coordenadas, x, y e z.

Para encontrar o valor da abcissa, x, controi-se um plano paralelo ao plano

yOz que passe por P . O ponto de interseccao deste plano com o eixo Ox sera

a coordenada em x, ou abcissa do ponto P .

Procedemos de forma analoga para encontrar os valores da ordenada e da

cota, ou seja, para a ordenada constroi-se um plano passando por P , paralelo

ao plano xOz, e para a cota, o plano a construir passara igualmente por P ,

mas sera paralelo ao plano xOy. No primeiro caso, o ponto de interseccao do

plano com o eixo Oy dara o valor da ordenada do ponto P e no segundo caso,

atraves da interseccao do plano com o eixo Oz, encontramos a cota do ponto

P .

Na situacao inversa, em que conhecemos as coordenadas de um determinado

ponto P e queremos encontrar a sua posicao no espaco, utiliza-se o mesmo pro-

cedimento mas por ordem contraria. Comecamos por marcar cada uma das co-

ordenadas no respectivo eixo, contruindo depois os planos paralelos aos planos

coordenados passando por estes pontos. O ponto de interseccao dos tres planos

sera o ponto P que se procura e que tem por coordenadas (x, y, z). Mais uma

vez, e tal como ja foi referido, verifica-se a existencia de uma correspondencia

Page 36: O método das coordenadas

32 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO

unıvoca entre os pontos do espaco e ternos ordenados de numeros reais, que,

em particular, representam o conjunto R3.

Tal como acontecia no plano, chamamos projeccoes nos eixos aos pontos

de interseccao dos eixos coordenados com os planos contruıdos passando pelo

ponto P e paralelos aos planos coordenados, estas projeccoes sao dadas pelos

pontos P1, P2 e P3, em que: P1 e a projeccao de P no eixo Ox, P2 no eixo Oy

e P3 no eixo Oz. Podemos, entao, definir coordenadas de um ponto no espaco

da seguinte forma:

- As coordenadas de um ponto P no espaco sao as coordenadas das pro-

jeccoes do ponto P nos eixos coordenados.

Figura 4.7: Projeccoes de P nos eixos coordenados

Facilmente se verifica que diversas formulas apresentadas no plano se veri-

ficam no espaco, com as devidas alteracoes. Exemplo disso e a distancia entre

dois pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2), que se calcula atraves da seguinte

formula

d (A,B) =

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2,

em particular distancia de um ponto P a origem e dada pela formula

d (O,P ) =√x2 + y2 + z2.

Exercıcios:

1. Considere-se os pontos (1, 1, 1), (1, 1,−1), (1,−1, 1), (1,−1,−1), (−1, 1, 1),

(−1, 1,−1), (−1,−1, 1), (−1,−1,−1).

(a) Encontrar a distancia destes pontos a (1, 1, 1).

Resolucao:

d((1, 1, 1), (1, 1,−1)) =√

(1− 1)2 + (1− 1)2 + (1 + 1)2 = 2

d((1, 1, 1), (1,−1, 1)) =√

(1− 1)2 + (1 + 1)2 + (1− 1)2 = 2

d((1, 1, 1), (−1, 1, 1)) =√

(1 + 1)2 + (1− 1)2 + (1− 1)2 = 2

Page 37: O método das coordenadas

4.1. EIXOS E PLANOS COORDENADOS 33

d((1, 1, 1), (1,−1,−1)) =√

(1− 1)2 + (1 + 1)2 + (1 + 1)2 = 2√

2

d((1, 1, 1), (−1, 1,−1)) =√

(1 + 1)2 + (1− 1)2 + (1 + 1)2 = 2√

2

d((1, 1, 1), (−1,−1, 1)) =√

(1 + 1)2 + (1 + 1)2 + (1− 1)2 = 2√

2

d((1, 1, 1), (−1,−1,−1)) =√

(1 + 1)2 + (1 + 1)2 + (1 + 1)2 = 2√

3

(b) Qual destes pontos e mais distante de (1, 1, 1)?

Resolucao:

O ponto mais distante a (1, 1, 1) e o ponto (−1,−1,−1), que se

encontra a distancia 2√

3 de (1, 1, 1).

(c) Qual destes pontos se encontra mais perto de (1, 1, 1)?

Resolucao:

Os pontos mais proximos de (1, 1, 1) sao os pontos (1, 1,−1), (1,−1, 1)

e (−1, 1, 1), que se encontram a distancia 2 de (1, 1, 1).

2. Desenhar um cubo fazendo passar os eixos coordenados por tres arestas

adjacentes em relacao a qualquer um dos vertices. Tomar para unidade

de medida a aresta do cubo. Denotar os vertices do cubo por A, B, C,

D, A1, B1, C1, D1, tal como na figura.

Figura 4.8: Cubo

(a) Encontrar as coordenadas dos vertices do cubo.

Resolucao:

Se a aresta do cubo e a unidade de medida, entao os vertices tem as

seguintes coordenadas:

A = (0, 0, 0) B = (1, 0, 0) C = (1, 1, 0) D = (0, 1, 0)

A1 = (0, 0, 1) B1 = (1, 0, 1) C1 = (1, 1, 1) D1 = (0, 1, 1)

(b) Encontrar o ponto medio da aresta CC1.

Resolucao:

Page 38: O método das coordenadas

34 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO

Seja CM o ponto medio de CC1, as suas coordenadas serao dadas

por: CM =(1+12 , 1+1

2 , 0+12

)=(1, 1, 12

)(c) Encontrar as coordenadas do ponto de interseccao das diagonais da

face AA1B1B

Resolucao:

A diagonal BA1 tem por equacao:

(1, 0, 0)+K1(A1−B) = (1, 0, 0)+K1 [(0, 0, 1)− (1, 0, 0)] = (1, 0, 0)+K1(−1, 0, 1),

(4.1)

com K1 ∈ [0, 1]

A diagonal AB1 tem por equacao:

(0, 0, 0) +K2(B1 −A) = (0, 0, 0) +K2(1, 0, 1), (4.2)

com K2 ∈ [0, 1]

Ponto de interseccao das diagonais, encontra-se igualando as equacoes

(4.1) a (4.2), isto e

(1, 0, 0) + (−K1, 0,K1) = (K2, 0,K2)⇐⇒

⇐⇒

1−K1 = K2

K1 = K2

⇐⇒

K2 = 12

K1 = K2

O ponto de interseccao sera(12 , 0,

12

)(d) Escrever as relacoes a que as coordenadas dos pontos no interior e

na fronteira do cubo definido na questao anterior satisfazem.

Resolucao:

As coordenadas x, y e z dos pontos no interior e na fronteira do

cubo podem tomar todos os valores entre 0 e 1 inclusive, ou seja,

satisfazem as relacoes:

Page 39: O método das coordenadas

4.2. DEFININDO FIGURAS NO ESPACO. 35

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ z ≤ 1

4.2 Definindo figuras no espaco.

Tal como acontece no plano, tambem no espaco podemos definir figuras,

tais como curvas e superfıcies, atraves de numeros e relacoes numericas.

Por exemplo, podemos definir uma linha recta paralela ao eixo Oz, especi-

ficando as coordenadas x e y, por exemplo x = a e y = b (com a e b valores

reais) e deixando z arbitrariamente livre. De igual forma podemos definir uma

recta paralela a Oy atraves das condicoes x = a, z = c e y ∈ R.

Especificando apenas uma das coordenadas e deixando as outras duas tomar

valores arbitrarios definimos um plano. Por exemplo a expressao x = 3 define

o plano paralelo ao plano yOz e a uma distancia 3 deste plano no sentido

positivo do eixo Ox. Mas, recorrendo a equacoes e a relacoes entre coordenadas

poderemos definir figuras mais elaboradas.

Figura 4.9: Plano x=3

Exemplos:

1. O conjunto dos pontos a uma dada distancia r da origem das coordenadas

e dada pela expressao

√x2 + y2 + z2 = r ⇐⇒ x2 + y2 + z2 = r2

Este conjunto representa a suprefıcie da esfera de centro na origem, O, e

raio r.

Page 40: O método das coordenadas

36 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO

Figura 4.10: Esfera de centro na origem e raio r

Se tomarmos o conjunto de pontos definidos pela expressao

x2 + y2 + z2 > r2

obtemos o exterior da esfera indicada anteriormente, que nao e mais do

que o conjunto dos pontos que estao a uma distancia da origem superior

a r.

2. Que conjunto de pontos define a equacao

x2 + y2 = 1 (4.3)

Comecando por analisar os pontos sobre o plano xOy, ou seja quando

z = 0, estamos a analisar a equacao x2 + y2 = 1 no plano, que, como vi-

mos anteriormente, define um cırculo de centro na origem e raio 1. Qual-

quer um destes pontos tem cota nula e abcissa e ordenada satisfazendo

a relacao (4.1). Por exemplo, o ponto(23 ,√53 , 0

)satisfaz a equacao, o

mesmo acontece com(23 ,√53 , 2

), ou com

(23 ,√53 ,−10

), ou qualquer ponto

do tipo(23 ,√53 , z

)em que o valor de z e arbitrario.

Mais ainda, qualquer um destes pontos se encontra na recta que passa

pelo ponto(23 ,√53 , 0

)e e paralela ao eixo Oz. Desta forma, qualquer

ponto (x∗, y∗, 0) do cırculo tracado no plano xOy origina diversos pon-

tos satisfazendo a equacao (4.1) - os pontos na recta passando por estes

pontos, paralelo ao eixo Oz. Como z nao faz parte da equacao qualquer

ponto da forma (x∗, y∗, z), com x∗ e y∗ satisfazendo a equacao x2+y2 = 1,

z ∈ R, satisfazem a equacao (4.1).

Entao o conjunto dos pontos determinado pela equacao (4.1) e uma su-

perfıcie cilındrica, contruıda da seguinte forma: toma-se o cırculo de cen-

tro na origem e raio 1 desenhado no plano xOy e, atraves de cada ponto

do cırculo, controi-se uma recta paralela ao eixo Oz.

Page 41: O método das coordenadas

4.2. DEFININDO FIGURAS NO ESPACO. 37

Figura 4.11: Cilındro de equacao x2 + y2 = 1

3. Consideremos agora um sistema de equacoes

x2 + y2 + z2 = 4

z = 1

A equacao x2 + y2 + z2 = 4 e o conjunto dos pontos que representa

a superfıcie de esfera de centro na origem e raio 2. A equacao z = 1

corresponde ao plano paralelo ao plano xOy e localizado a distancia um

da origem, no sentido positivo.

Os pontos satisfazendo ambas as condicoes encontram-se na interseccao

da esfera com o plano.

Tal como no plano, tambem no espaco podemos apresentar outros sistemas

de coordenadas para alem do Cartesiano Rectangular, exemplo disso sao os

sistemas de Coordenadas Cilındricas e o de Coordenadas Esfericas.

O sistema de coordenadas cilındricas foi construıdo tendo por base o sis-

tema de coordenadas polares. Podemos pensar nele como uma evolucao do

modelo polar para o espaco tridimensional. Este sistema e constıtuido por um

subsistema polar na base de um cilindro e as coordenadas de um ponto neste

sistema sao dadas por (ρ, θ, z).

Figura 4.12: Coordenadas Cilındricas (ρ, θ, z) em R3

De acordo com a Figura 4.12, vemos que ρ representa a distancia de cada

ponto de coordenadas (x, y, z) ao eixo z, isto e ρ =√x2 + y2, e θ e o angulo

formado entre o semi-eixo positivo Ox e o segmento que une (x, y, 0) a origem

e z e a cota.

As coordenadas cilındricas relacionam-se com as cartesianas rectangulares

Page 42: O método das coordenadas

38 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO

atraves das seguintes expressoes

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

z = z (4.4)

O sistema de coordenadas esfericas e uma adaptacao do sistema de coorde-

nadas polares ao espaco, em que consideramos a medida do raio de uma esfera e

os angulos internos que este raio forma com os eixos Ox e Oz. As coordenadas

de um ponto neste sistema de eixos sao dadas por (ρ, θ, ϕ).

Figura 4.13: Coordenadas Esfericas (ρ, θ, ϕ) em R3

De acordo com a Figura 4.13, temos que ρ =√x2 + y2 + z2, e a distancia

de cada ponto de coordenadas (x, y, z) a origem, θ e o angulo formado entre o

semi-eixo positivo Ox e o segmento de recta que une a origem a (x, y, 0) e ϕ e

o angulo entre o semi-eixo positivo Oz e o segmento de recta que une (x, y, z)

a origem. Podemos assim relacionar estas coordenadas com as coordenadas no

sistema cartesiano rectangular da seguinte forma:

x = ρ sinϕ cos θ

y = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ (4.5)

Exemplo:

A esfera de centro na origem e raio 2 consoante o sistema de coordenadas

usado, pode ser representada por qualquer uma das equacoes seguintes:

• em coordenadas cartesianas, x2 + y2 + z2 = 4

• em coordenadas cilindricas, 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ z = 2

• em coordenadas esfericas, −π2 ≤ ϕ ≤

π2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ ρ = 2

Page 43: O método das coordenadas

4.2. DEFININDO FIGURAS NO ESPACO. 39

Figura 4.14: Esfera de centro na origem e raio 2

Page 44: O método das coordenadas

40 CAPITULO 4. COORDENADAS DE PONTOS NO ESPACO

Page 45: O método das coordenadas

Capıtulo 5

O espaco a quatro dimensoes

5.1 Introducao

A nocao intuitiva de que o Universo possui tres dimensoes parece um facto

irrefutavel. Afinal, apenas nos movemos para cima ou para baixo, para a direita

ou para a esquerda e para dentro ou para fora. Sera que tres dimensoes sao

suficientes para descrever a natureza?

Alguns Fısicos e Matematicos dedicados ao estudo do ınicio do Universo

responderam a esta questao, dizendo que, de facto, existem mais do que tres

dimensoes, segundo alguns deles o Universo tem onze dimensoes (mas nao e

nosso objectivo chegar tao longe).

Um destes Matematicos foi Hermann Minkowski. Mikowski nasceu a 22 de

Junho de 1864 na Lituania e morreu a 12 de Janeiro de 1909. Estudou nas

Universidades de Berlim e Konigsberg e ganhou o premio de matematica da

Academia Francesa de Ciencias pelos seus manuscritos sobre a teoria das for-

mas quadraticas. Minkowski leccionou nas Universidades de Bonn, Gottingen,

Konigsberg e Zurique, tendo sido , em Zurique, um dos professores de Einstein.

Este matematico desenvolveu a teoria geometrica dos numeros e usou metodos

geometricos para resolver complexos problemas em Teoria dos Numeros, Fısica,

Matematica e a Teoria da Relatividade. Foi ele quem propos um Espaco

Tetradimensional. Este espaco e denominado Espaco de Minkowski e e este

o espaco habitual para formular a famosa Teoria da Relatividade de Einstein.

41

Page 46: O método das coordenadas

42 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES

Neste espaco, as tres dimensoes usuais sao combinadas com a dimensao Tempo,

formando uma variedade tetradimensional para representar um espaco - tempo.

A necessidade da criacao de um espaco com quatro dimensoes surge no

decurso do desenvolvimento da teoria geometrica dos numeros. Minkowski

usou uma aproximacao geometrica para a resolucao de equacoes envolvendo

numeros inteiros, espantando os Matematicos do seu tempo pela simplicidade

e clareza que a Geometria trouxe a resolucao de questoes difıceis em Teoria de

Numeros.

Por exemplo, se pretendermos saber o numero de solucoes, no conjunto dos

inteiros, das inequacoes do tipo x2 + y2 ≤ n ou x2 + y2 + z2 ≤ n, com n um

numero inteiro, verificamos que, algebricamente, se torna um exercıcio com-

plicado na medida em que o numero de solucoes cresce com o crescimento de

n. Mas facilmente se responde a questao recorrendo a Geometria, isto porque

as expressoes representam o interior de um cırculo e de uma esfera, respectiva-

mente de raios√n. Podemos, assim, verificar que o numero de solucoes inteiras

corresponde ao numero de pontos com coordenadas inteiras dentro do cırculo

ou da esfera, conforme a inequacao que estivermos a tratar.

No caso do cırculo o numero de solucoes e aproximadamente igual a area

do cırculo, de raio√n, que e πn e, no caso da esfera, este numero e aproxi-

madamente igual a 43πn√n, o volume da esfera de raio

√n.

E se tomarmos a inequacao x2 + y2 + z2 + u2 ≤ n, como procedemos para

encontrar o numero de solucoes inteiras da inequacao? Neste caso temos quatro

incognitas, mas, ao resolvermos este mesmo problema com duas incognitas

verificou-se, atraves da representacao geometrica, que as solucoes da inequacao

eram pontos do plano, assim como com tres incognitas as solucoes eram pontos

do espaco.

Agora para resolver esta questao necessitamos de um espaco com quatro

dimensoes no qual seja possıvel visualizar a inequacao x2 + y2 + z2 + u2 ≤ n

como uma esfera tetradimensional de raio√n. Surge assim a necessidade de

desenvolver uma geometria que envolva este espaco.

A geometria tetradimensional foi uma ferramenta essencial no desenvolvi-

Page 47: O método das coordenadas

5.2. EIXOS COORDENADOS E PLANOS 43

mento da Fısica moderna, sem ela seria de extrema dificuldade expor e utilizar

ramos da Fısica Contemporanea como e o caso da Teoria da Relatividade de

Einstein, ja atras referida.“Desta forma, foi um golpe de sorte para a Fısica

Moderna que, na altura da descoberta da Teoria da Relatividade, Matematicos

tenham preparado a ferramenta conveniente, compacta e bela da Geometria

multidimensional, que num determinado numero de casos simplificou significa-

tivamente a resolucao de problemas” [1].

5.2 Eixos coordenados e planos

E muito difıcil, para a maioria das pessoas, formar mentalmente uma im-

agem a 4-Dimensoes, pois a realidade que nos rodeia e tridimensional. Como

ja se viu, este e um util conceito matematico, envolvendo uma geometria dev-

idamente desenvolvida e sem contradicoes. Visto a visualizacao nao ser facil,

teremos que recorrer a definicoes analıticas, ao que o metodo das coordenadas

se adequa, e a analogias com espacos de dimensoes inferiores.

Comecemos por definir ponto num espaco a 4-dimensoes: Um ponto num

espaco tetradimensional e um quadruplo ordenado de numeros (x, y, z, u).

Sabemos que o espaco bidimensional tem dois eixos, o eixo Ox, que e o

conjunto dos pontos da forma (x, 0) onde x toma qualquer valor real e o eixo

Oy, constituıdo pelos pontos da forma (o, y), com y qualquer valor real. No

espaco tridimensional temos tres eixos, o eixo Ox - constituıdo pelos pontos

(x, 0, 0), com x ∈ R-, o eixo Oy - constituıdo pelos pontos (0, y, 0), com y ∈ R-

e o eixo Oz - constituıdo pelos pontos (0, 0, z), com z ∈ R.

Parece natural, num espaco de quatro dimensoes, tomar os eixos coordena-

dos como o conjunto dos pontos em que uma das coordenadas pode ter qualquer

valor real e as restantes permanecem nulas. Entao o espaco de quatro dimensoes

tem quatro eixos coordenados:

• O eixo Ox - o conjunto dos pontos da forma (x, 0, 0, 0) em que x e qualquer

valor real.

Page 48: O método das coordenadas

44 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES

• O eixo Oy - o conjunto dos pontos da forma (0, y, 0, 0) em que y e qualquer

valor real.

• O eixo Oz - o conjunto dos pontos da forma (0, 0, z, 0) em que z e qualquer

valor real.

• O eixo Ou - o conjunto dos pontos da forma (0, 0, 0, u) em que u e qualquer

valor real.

Figura 5.1: Espaco Tetradimensional

Tal como no espaco de tres dimensoes, tambem no espaco de quatro di-

mensoes podemos definir planos coordenados. Quando se tem apenas tres di-

mensoes, um plano coordenado e dado pelo conjunto dos pontos em que duas

das coordenadas tomam valores reais arbitrarios e a outra e nula. Ora, de forma

analoga podemos definir plano no espaco tetradimensional. Assim, temos os

planos:

• xOy - o conjunto dos pontos da forma (x, y, 0, 0);

• xOz - o conjunto dos pontos da forma (x, 0, z, 0);

• xOu - o conjunto dos pontos da forma (x, 0, 0, u);

• yOz - o conjunto dos pontos da forma (0, y, z, 0);

• yOu - o conjunto dos pontos da forma (0, y, 0, u);

• zOu - o conjunto dos pontos da forma (0, 0, z, u).

Em cada um dos planos as duas coordenadas variaveis podem tomar qual-

quer valor real e as outras duas sao nulas.

Por exemplo, o ponto (−2, 2, 0, 0) pertence ao plano xOy, enquanto que o

ponto (−1, 0, 0, 0) pertence aos planos xOy, xOz e xOu, isto porque o ponto se

encontra no eixo Ox e este eixo pertence aos tres planos. Verifica-se que cada

Page 49: O método das coordenadas

5.2. EIXOS COORDENADOS E PLANOS 45

tres planos coordenados passam por um mesmo eixo, que e a interseccao dos

tres planos.

Ate agora nada de novo, tudo o que se definiu para o espaco tridimensional

foi generalizado para o espaco tetradimensional. Mas e natural que surjam

outros conjuntos, como e o caso dos planos coordenados tridimensionais. Tal

como o senso comum nos indica, estes planos sao os conjuntos dos pontos em

que tres das coordenadas tomam todos os possıveis valores reais e a quarta

coordenada e nula.

Temos quatro planos coordenados nestas condicoes:

• O plano xyz - o conjunto dos pontos (x, y, z, 0);

• O plano xyu - o conjunto dos pontos (x, y, 0, u);

• O plano xzu - o conjunto dos pontos (x, 0, z, u);

• O plano yzu - o conjunto dos pontos (0, y, z, u).

Cada um destes planos passa pela origem das coordenadas, cada um deles

e definido por tres dos eixos coordenados e quando intersectados dois a dois

originam um plano bidimensional.

Um conceito que tambem e possıvel generalizar a partir das dimensoes in-

feriores, ja estudadas, e o conceito de distancia entre dois pontos.

A distancia entre dois pontos A(x1, y1, z1, u1) e B(x2, y2, z2, u2) de um

espaco de quatro dimensoes define-se pelo valor d(A,B) dado pela formula

d(A,B) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 + (u1 − u2)2.

Em particular a distancia de um ponto A a origem e dado por

d(A,B) =√x2 + y2 + z2 + u2.

De facto, para qualquer dimensao n ≥ 1 temos

d(A,B) =√

(x11 − x12)2 + (x21 − x22)2 + (x31 − x32)2 + ...+ (xn1 − xn2 )2.

Exercıcios:

Page 50: O método das coordenadas

46 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES

Provar que o triangulo de verticesA(4, 7,−3, 5), B(3, 0,−3, 1) e C(−1, 7,−3, 0)

e isosceles.

Resolucao:

d(A,B) =√

(4− 3)2 + (7− 0)2 + (−3 + 3)2 + (5− 1)2 =√

1 + 49 + 16 =√

66

d(A,C) =√

(4 + 1)2 + (7− 7)2 + (−3 + 3)2 + (5− 0)2 =√

25 + 25 =√

50

d(B,C) =√

(3 + 1)2 + (0− 7)2 + (−3 + 3)2 + (5− 0)2 =√

16 + 49 + 25 =√

90

Como o comprimento dos tres lados e diferente, o triangulo e isosceles.

5.3 A esfera e o cubo tetradimensionais

Uma esfera (no espaco tridimensional) e o conjunto dos pontos cuja distancia

a um ponto fixo, o centro da esfera, e um valor fixo, o raio. Esta definicao

pode igualmente ser utilizada para definir esfera no espaco tetradimensional

uma vez que sabemos como se define ponto e distancia entre dois pontos neste

espaco. Se considerarmos a origem do referencial, (0, 0, 0, 0), como centro da

esfera, definimos esfera no espaco de quatro dimensoes da seguinte forma.

Definicao: O conjunto dos pontos (x, y, z, u) que satisfaz a relacao

x2 + y2 + z2 + u2 = r2

e chamada esfera tetradimensional, com centro na origem e raio r.

Uma outra figura que interessa definir e o cubo em quatro dimensoes. Come-

cemos por relembrar a definicao de quadrado, no plano, utilizando o caso sim-

ples de um quadrado com um vertice na origem, lados de comprimento um e

no primeiro quadrante.

Page 51: O método das coordenadas

5.3. A ESFERA E O CUBO TETRADIMENSIONAIS 47

O quadrado e o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem as relacoes

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.

Qualquer quadrado se define de forma analoga, alterando os valores entre os

quais x e y podem variar.

Figura 5.2: Quadrado

Vejamos a definicao de cubo, tambem com um vertice na origem, aresta de

comprimento um e com todas as coordenadas no primeiro octante.

O cubo e o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem as relacoes

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1.

Figura 5.3: Cubo

Analisando estas duas definicoes podemos dizer que o quadrado corresponde

ao cubo em duas dimensoes, e como que “um cubo bidimensional”.

Claro que, o analogo destas figuras na dimensao um, o “cubo unidimen-

sional” nao e mais do que um segmento de recta que se representa da seguinte

forma

0 ≤ x ≤ 1.

Posto isto, naturalmente se aceita que existe um cubo no espaco de quatro

dimensoes.

Definicao: O cubo tetradimensional e o conjunto dos pontos (x, y, z, u) que

satisfazem as condicoes

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , 0 ≤ u ≤ 1.

Figura 5.4: Cubo Tetradimensional

Page 52: O método das coordenadas

48 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES

Tal como acontece nas dimensoes um, dois e tres, tambem com quatro

dimensoes o comprimento da aresta do cubo podera ser diferente de um basta

para isso alterar os valores entre os quais x, y, z, e u tomam valores.

De facto, analiticamente e com facilidade que se define o cubo tetradimen-

sional, mas desenha-lo ja nao e uma tarefa tao facil. Para tal analisaremos a

sua estrutura, usando como ponto de comparacao os “cubos” nas dimensoes

um, dois e tres.

A tabela [1] abaixo resume toda a informacao que temos sobre estes cubos.

Composicao da fronteira Pontos Segmentos Faces

(vertices) (lados, arestas)

O segmento 2 – –

O quadrado 4 4 –

O cubo 8 12 6

Tranformemos a informacao desta tabela de forma a facilitar as conclusoes

que pretendemos obter. Considerando, em vez do nome das figuras, o numero n

correspondente a sua dimensao: para o segmento temos n = 1; para o quadrado,

n = 2 e para o cubo, n = 3. Procedemos de igual forma para os elementos da

fronteira de cada uma das figuras, fazendo para o ponto n = 0, para o lado ou

aresta n = 1 e para a face n = 2. Com estas alteracoes a tabela fica da seguinte

forma [1]

Composicao da fronteira 0 1 2

Dimensao do cubo / / /

1 2 – –

2 4 4 –

3 8 12 6

4

Falta, entao a ultima linha para isso temos que fazer a analise analıtica das

fronteiras de todos os cubos e, depois, fazer a analogia com as fronteiras do

cubo em quatro dimensoes.

Page 53: O método das coordenadas

5.3. A ESFERA E O CUBO TETRADIMENSIONAIS 49

Comecemos por determinar o numero de vertices. Quando n = 1, a fronteira

do segmento 0 ≤ x ≤ 1 sao apenas dois pontos: x = 0 e x = 1. Quando n = 2,

a fronteira do quadrado, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, contem quatro vertices: (0, 0),

(0, 1), (1, 0) e (1, 1). O cubo, n = 3, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, tem oito

vertices que sao: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) e

(1, 1, 1).

Os vertices do cubo tetradimensional, dado anteriormente, sao os pontos

(x, y, z, u) em que x, y, z e u sao ou 0 ou 1. Se, a cada um dos ternos com-

postos pelas coordenadas do vertice do cubo tridimensional, for acrescentada

uma coordenada, primeiro o zero e depois um, obteremos para cada terno dois

quadruplos, ficamos, desta forma com 8× 2 = 16 vertices.

Queremos, agora determinar o numero de arestas. No quadrado os lados

definem-se atraves das relacoes

0 ≤ x ≤ 1 , y = 0

x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ 1 , y = 1

x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1

Ou seja, cada lado do quadrado caracteriza-se atraves da seguinte pro-

priedade: em cada ponto de um lado, uma das coordenadas esta fixa (sera 0

ou 1) e a outra coordenada toma todos os valores entre zero e um.

No cubo tridimensional, cada ponto de uma aresta tera duas coordenadas

fixas, que terao valor 0 ou 1, e a outra coordenada tomara todos os valores

entre 0 e 1, por exemplo:

x = 0 , y = 0 , 0 ≤ z ≤ 1

0 ≤ x ≤ 1 , y = 0 , z = 1

de forma analoga se definem as restantes deste cubo.

Seguindo o mesmo procedimento. As arestas de um cubo tetradimensional

e o conjunto dos pontos nos quais tres das coordenadas tem um valor fixo (no

Page 54: O método das coordenadas

50 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES

caso que estamos a analisar sera 0 ou 1) e a outra coordenada pode variar entre

0 e 1. A tıtulo de exemplo, apresentamos as expressoes que definem algumas

das arestas

x = 0 , y = 0 , z = 1 0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ x ≤ 1 , y = 1 , z = 0 , u = 0

x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , z = 0 , u = 0.

Ora, para determinar o numero de arestas, podemos comecar por fixar

quatro grupos de arestas. No primeiro grupo a coordenada variavel sera x

(0 ≤ x ≤ 1) e y, z e u terao valor constante (0 ou 1) em todas as possıveis

combinacoes, que sabemos ser em numero de oito, pois ja calculamos estas

combinacoes quando calculamos os vertices do cubo em tres dimensoes. Temos,

entao oito arestas neste primeiro grupo, em que x e a cordenada variavel. Da

mesma forma se define um segundo grupo, em que y e a coordenada variavel, o

mesmo acontecendo nos outros dois grupos, em que z e u sao variaveis. Logo,

no total, teremos 4× 8 = 32 arestas.

Passemos agora as faces. Aqui so poderemos utilizar a ajuda do cubo tridi-

mensional. Cada face e definida fixando uma das coordenadas, que tera o

valor 0 ou 1, e fazendo as outras duas tomar todos os valores entre 0 e 1.

Analogamente em quatro dimensoes teremos:

Definicao: Uma face bidimensional do cubo tetradimensional e o conjunto

de pontos onde quaisquer duas coordenadas podem tomar todos os valores

possıveis entre 0 e 1 e as outras duas se mantem constantes (iguais a 0 ou 1).

Exemplos de faces bidimensionais:

x = 0 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , u = 1

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , z = 1 , u = 0

Recorrendo a definicao analıtica das faces do cubo tridimensional e acrescen-

tando uma coordenada chegamos a conclusao de que o cubo tetradimensional

tem 24 faces bidimensionais.

Page 55: O método das coordenadas

5.3. A ESFERA E O CUBO TETRADIMENSIONAIS 51

Surge agora a novidade do cubo tetradimensional, as faces tridimensionais.

Definicao: Uma face tridimensional de um cubo tetradimensional e o con-

junto dos pontos em que tres das coordenadas tomam qualquer valor possıvel

entre 0 e 1 e a quarta e constante (igual a 0 ou 1).

Verificamos com facilidade que temos oito destas faces. Exemplificamos

algumas delas:

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1, u = 0

x = 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , 0 ≤ u ≤ 1

.

Figura 5.5: Faces de um Cubo Tetradimensional

So analisamos com alguma profundidade um cubo tetradimensional, mas e

possıvel definir e visualizar outras imagens no espaco a quatro dimensoes.

Page 56: O método das coordenadas

52 CAPITULO 5. O ESPACO A QUATRO DIMENSOES

Page 57: O método das coordenadas

Capıtulo 6

Conclusao

Procurou-se com este trabalho dar uma visao geral do metodo das coorde-

nadas, mostrando a sua importancia no desenvolvimento de diversas ciencias e

a sua utilidade nao so na resolucao de questoes ligadas as ciencias mas tambem

em questoes praticas.

De facto a “descoberta” e divulgacao das coordenadas, no tempo de Descartes,

foi uma verdadeira revolucao que permitiu um notavel desenvolvimento da

Matematica. Situacoes que para nos hoje sao tao simples, como determinar

a posicao de um satelite no espaco, tracar a rota de um aviao, localizar um

acontecimento historico relativamente a um acontecimento de referencia nao

seria possıvel sem o uso de coordenadas.

Muito mais haveria a dizer e outras dimensoes poderiam ser tratadas, mas o

objectivo principal era tratar os conceitos basicos exibindo possıveis aplicacoes

do metodo.

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54 CAPITULO 6. CONCLUSAO

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Bibliografia

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