O metodo de pontos interiores no planejamento da radioterapia

Andrea Camila dos Santos Martins1, Helenice de Oliveira Florentino Silva2

Antonio Roberto Balbo3, Thiago Pedro Donadon Homem4

1 PPG em Biometria, Instituto de Biociencias, Unesp, Botucatu, SP, andreacamila martins@hotmail.com2 Departamento de Bioestatıstica, Intituto de Biociencias, Unesp, Botucatu, SP, helenice@ibb.unesp.br

3 Departamento de Matematica, Faculdade de Ciencias, Unesp, Bauru, SP4 PPG Engenharia Eletrica, Faculdade de Engenharia, Unesp, Bauru, SP

Palavras-chave: Otimizacao, pontos interiores, radioterapia

Resumo: Um tratamento do cancer por radioterapia tem como objetivo a eliminacao das celulasdo tumor e preservacao das celulas saudaveis, obtendo assim uma melhor homogeneizacao dadose administrada e menor possibilidade de complicacoes clınicas durante o tratamento. Osucesso do tratamento depende de um bom planejamento, por isso, tecnicas matematicas estaosendo utilizadas com a finalidade de maximizar a radiacao no tumor e minimizar a radiacao nasregioes vizinhas. Os problemas de programacao linear tem sido otimas ferramentas para auxiliara construcao dos planos de tratamento por radioterapia. Este trabalho apresenta uma aplicacaona construcao do planejamento otimo utilizando a tecnica de pontos interiores na resolucao domodelo que auxilia no tratamento do cancer por radioterapia.

1 Introducao

A radioterapia e uma das modalidades de tratamento que utiliza feixe de radiacoes ionizantespara destruir as celulas tumorais. Apos a indicacao para esse tipo de tratamento, uma dose pre-calculada de radiacao e aplicada no paciente, em um determinado tempo, a um volume de tecidoque engloba o tumor, buscando erradicar todas as celulas tumorais, com o menor dano possıvelas celulas normais circunvizinhas. Um planejamento da radioterapia e considerado otimo quandotodos os parametros envolvidos, sejam eles fısicos ou biologicos, foram investigados e adequadospara cada paciente. O objetivo e a eliminacao do cancer sem danificar os tecidos saudaveis daregiao tratada, que sao em geral muito sensıveis as radiacoes.

As tecnicas matematicas de otimizacao tem sido utilizadas para auxiliar na determinacao deplanos otimizados, pois nos planos convencionais, a pratica mais comum consiste em transmitir amaior radiacao possıvel no tumor. As razoes para se evitar este tipo de procedimento e que altosnıveis de radiacao podem conduzir uma grande soma de necrose, dificultando a sua eliminacao eas celulas doentes estao distribuıdas entre tecidos saudaveis, sendo assim, uma dose letal e crucialpara o sucesso do plano de tratamento. Do ponto de vista matematico, o desafio e emitir umadosagem de radiacao no tumor suficiente para a sua eliminacao e simultaneamente, minimizara radiacao nas regioes vizinhas, que por muitas vezes sao crıticas, evitando assim complicacoes.

A programacao linear e a area da matematica que estuda a modelagem matematica e astecnicas de resolucao do problema de programacao linear (PPL). De acordo com [1], o metodode pontos interiores e o mais adequado para resolver o problema de planejamento da radiote-rapia, principalmente aqueles modelos que se baseiam na formulacao do modelo proposto porHolder (2003), pois o problema apresenta uma estrutura matricial bem definida, facilitando ouso desta tecnica e obtendo um melhor desempenho computacional.

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O modelo de [2] tem o objetivo de alcancar 3 metas: minimizar a deficiencia de dose notumor; minimizar a quantidade media de radiacao que o tecido crıtico esta recebendo acima dadose prescrita e minimizar a quantidade media de radiacao que o tecido saudavel esta recebendoacima da dose prescrita e e dado por:

minimizar w lT t + uTc c + uT

g g

sujeito a lt − Lt ≤ AT x ≤ ut

AC x ≤ uc + UC c

AG x ≤ ug + UG g

0 ≤ Lt ≤ lt (1)−uc ≤ UC c

UG g ≥ 0x ≥ 0

As tres primeiras restricoes sao denominadas elasticas, pois seus limites podem variar deacordo com os vetores t, c, g e x, que correspondem as variaveis do problema. As matrizes L, UC

e UG definem como medir a elasticidade, e l, uc e ug controlam a penalizacao ou recompensa comrelacao a elasticidade. Valores fixos de L, UC , UG, l, uc e ug definem um conjunto de funcoeselasticas. Estas funcoes elasticas sao incorporadas ao problema para garantir que o conjunto derestricoes seja sempre estritamente factıvel e que a diferenca dos limites inferiores nas funcoeselasticas permite incorporar diferentes objetivos de tratamento.

O problema de programacao linear que auxilia no planejamento otimo da radioterapia seraaplicado, utilizando a tecnica de pontos interiores para a resolucao do modelo.

2 Metodologia

Quando o cancer e diagnosticado e ha a indicacao medica pelo tratamento por radioterapia, saorealizados os exames de Tomografia Computadorizada e a Ressonancia Magnetica no pacientecom a finalidade de conhecer a localizacao, forma e volume do tumor, bem como os tecidoscrıticos presentes na regiao a ser tratada. As imagens obtidas por esses exames sao fundidas,resultando em uma unica imagem com uma maior precisao sobre os dados do tumor. A partirdesta nova imagem e realizada a localizacao das estruturas de interesse (tumor, tecido crıtico etecido saudavel) e feito um mapeamento dividindo-a em segmentos chamados pixels.

A dose mınima a ser aplicada no tumor e prescrita, assim como as doses maximas que ostecidos saudaveis e crıticos podem receber. E construıda a matriz de deposicao de dose, quemede a dose depositada em cada pixel, onde suas linhas desta estao associadas aos pixels e ascolunas aos angulos e subfeixes de radiacao.

A partir destas informacoes o problema de programacao linear (1) e resolvido, garantindoque o tumor receba o nıvel mınimo de radiacao necessario para sua eliminacao e que as regioescircunvizinhas sejam poupados dos efeitos nocivos da radiacao.

Para a aplicacao desta metodologia foi utilizada uma imagem hipotetica simulando um tumorno interior de uma regiao crıtica exemplificando um cancer de medula, que e um caso de difıcilplanejamento, pois o tumor esta totalmente envolvido por uma estrutura crıtica.

As dimensoes do tecido saudavel, tecido crıtico e tumoral sao considerados, respectivamente,10 × 10 cm, 5 × 5 cm e 2 × 2 cm. Foram considerados quatro feixes, com largura de 6cm,incidentes ortogonalmente a face de cada lado da imagem, direcionados ao centro do quadradomais interno, o qual representa o tumor.

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A quantidade de pixels de tecidos tumoral, crıtico e saudavel sao, respectivamente 4, 32 e48. Conforme mostra a figura 1, existem alguns pixels que nao vao receber radiacao, chamadosde pixels frios.

Figura 1: Representacao da imagem simulada com os subfeixes de radiacao

Considerando que o plano de tratamento nao pode permitir que a estrutura crıtica recebamais do que 40 Gy, onde Gy representa a quantidade de energia da radiacao ionizante absorvida(ou dose) por unidade de massa (1Gray(Gy) = 1J/kg). Foi prescrito para o tumor uma dosede tg = 80 Gy, com uma porcentagem de variacao ε = 2%, assim os limitantes adotados foram:ut = 81, 6 Gy, lt = 78, 4 Gy, uc = 40 Gy, ug = 45 Gy e o escalar positivo (w) igual a 1.

3 Resultados e Conclusao

Utilizando os dados, o modelo de programacao linear (1) foi testado pelo aplicativo linprog dosoftware Matlab que usa o metodo Simplex para a resolucao de problemas de grande porte e peloprograma desenvolvido em linguagem C++ relativo ao metodo Primal-Dual de pontos interiores(MPDPI), cujos resultados das parcelas da funcao objetivo sao apresentados na tabela 1.

A tabela 1 mostra que o excesso de dose nas regioes crıticas e saudaveis e o deficit dedose na regiao tumoral e zero, mostrando que o tumor recebeu toda a dose necessaria para

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softwares Matlab MPDPIdeficit de dose no tumor 1.839998× 10−15 2.67× 10−8

excesso de dose no tecido crıtico 3.595321× 10−16 8.77× 10−8

excesso de dose no tecido saudavel 8.095293× 10−16 2.65× 10−7

valor da funcao objetivo 3.009060× 10−15 3.79× 10−7

Tabela 1: Resultados parciais da funcao objetivo minimizada no planejamento otimizado

a sua eliminacao e que o limite de dose permitido nas outras regioes nao foi ultrapassado.Assim, a tecnica de pontos interiores mostrou-se apropriada para a resolucao do problema,pois conseguiu atingir os objetivos propostos pelo modelo. Outro motivo pelo qual podemosafirmar que a utilizacao da tecnica de pontos interiores foi apropriada, e o fato de que tanto naimplementacao do aplicativo do software Matlab quanto no programa em linguagem C++, assolucoes encontradas sao muitos proximas [3] .

Referencias

[1] C.B.B. Cid, Planejamento do tratamento por radioterapia atraves de metodos de pontosinteriores, Dissertacao (Mestrado), Instituto de Ciencias Matematicas e de Computacao -USP, 2003.

[2] A. Holder, Designing radiotherapy plans with elastic constraints and interior point methods,HealthCare Management Science pp. 5–16, 2003.

[3] A. C. S. Martins, O metodo de pontos interiores no planejamento da radioterapia, Dis-sertacao (Mestrado), Instituto de Biociencias de Botucatu - UNESP, 2011.

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