O meu co-autor e amigo Fausto Saleri faleceu ......CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave 13 Prime...
Transcript of O meu co-autor e amigo Fausto Saleri faleceu ......CÁLCULO CIENTÍFICO com MATLAB e Octave 13 Prime...
O meu co-autor e amigo Fausto Saleri faleceuinesperadamente no dia 4 de Junho de 2007, com 41 anos.
Fausto foi um grande matemático e uma pessoa maravilhosa.Se gostar deste livro, é ele que merece
o mais elevado reconhecimento (A.Q.)
Prime pagine 17-09-2007 15:18 Pagina 1
Prime pagine 24-07-2007 15:26 Pagina 2
Alfio QuarteroniFausto Saleri
CÁLCULO CIENTÍFICOcom MATLAB e Octave
1 3
Prime pagine 24-07-2007 15:26 Pagina 3
ALFIO QUARTERONIEPFL, Lausanne eMOX, Politecnico di Milano
FAUSTO SALERIMOX, Politecnico di Milano
As simulações numéricas reproduzidas na capa foram realizadas porDavide Detomi e Nicola Parolini
Traduzido do italiano por:Adélia Sequeira Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico - Universidade Técnica de Lisboa
Tradução da obra italiana:Introduzione al Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLABA. Quarteroni, F. Saleri © Springer-Verlag Italia, Milano 2006
ISBN 978-88-740-0717-8 Springer Milan Berlin Heidelberg New York
Springer-Verlag Itália é membro da Springer Science+Business Media
springer.com
© Springer-Verlag Italia, Milano 2007
Esta obra está protegida pela lei dos Direitos de Autor. Todos os direitos estão reservados,em particular os que se relacionam com a reprodução e a representação, tradução, reim-pressão, exposição, reprodução de ilustrações e tabelas, transmissão sonora ou visual,reprodução em microfilme ou conservação em bases de dados, e reprodução parcial outotal de qualquer tipo (impressa ou electrónica). A lei em vigor sobre os Direitos de Autorsó em certos casos é que permite a reprodução parcial ou total desta obra, com autorizaçãodo Editor e, em princípio, com pagamento de direitos. A violação das normas, nomeada-mente a reprodução, contrafacção ou conservação numa base de dados sob qualquerforma, está sujeita às sanções previstas na lei.
O uso nesta obra de designações genéricas ou comerciais, de marcas registadas, etc.,mesmo sem especificação particular, não significa que tais designações ou marcas estejamisentas da legislação correspondente e se possam usar livremente.
Versão final em camera-ready fornecida pelo tradutorProjecto gráfico da capa: Simona Colombo (Milano)Impresso em Itália: Signum Srl, Bollate (MI)
Springer-Verlag Italia Srl, Via Decembrio 28, 20137 Milano
Prime pagine 17-09-2007 15:18 Pagina 4
��������
���� ���� �� �������� ������ ��������� � ��� ������� �������� �� ������� � ����� ���� ������� � � ������� � ����� ��� ����� ������ � � �������� ��� �� ���� ��� �� � �� �� ��� � �� �������� �� ��� � � ����� �� ������� � �� ������ �� !���� �� ����"� �� �� ���� �� ������ �# ������� �� ������ � ���� ���# ��$�� �� �� ���� �� �� ����%��� � ������� ��$�� � ����� � �� ��������� ��� & � ����� '# �� ���(����# �$� ����� � ���"� � ��� � � ���� ����� ���� �� �� �� !�� � � ��� � ���)���� �� �� � �����$�# ������� � � ���!���
* �� �� ��� � ��� ������� �� � �� ������ � �� ����# ��� ���� � �������� �� ��"� � �� ������� � � ��� ��� +������ ����� ��� ��� ��� �� �� ������������ �� �� �� � ��� �� ������� ��� ������ �� � ������ � ����� �� ���� ������� ������� � ���������� "� ���� ����� �� ,&- ������� ���� ���� �� &���� ����#�� ������!��� �� ��� "� �� � � ������� �� �� ��� � ������� ������ � ���"� "��� �� ��"� � ��# ��� ��������� ��������� � ��� � �"����� ������� �� � ������ � � ������ ������� ��� ��%��� � �� ��� ����� ��# ������� � �����$�� ��� .�������� ��� ��������� ������� ������ � �� �� �� �$������� � �$�����# ����������������" �� ���� � �� ������ ��
�� �� ���� �����! ��� ���� � ��!�� �$������ /�� �� ��������01 ����� ����$�# ������ ���� ��� �������� �� �� �������� ��� ���� � ��"� � � �� ������ � ��� ��� 2�!����� ����� � ������ � ��� �� ���"�� � ��� ������� �� �� �%��"�� � �� � ���"� "��� �� ��"� � ��� &� ���� � �� �� ��� � � ���� �������# ������� ��� �� �� �$���� ��� � �� � � ����� ��������������
1 ������ � �� �� � ���� �� ���������� ����� �� ���� ����� ������ �� � !"�� ��#$ �� %&�'("�!(!���� )*$ �� %&�'("�!(!��
+� ��,-���
*��� ��� ������� ������ "����� � � ��� � ������ � �� "� ������ � �� �� �������� 3� ��� ��4 ��� � � � �"��#
� � � ���5 ��� �� ������! ��� ������� ��!� � ����� �����
� � ����� � ������� �� �$�������# ���� �� ��� ����� �����! � �� �� �5 � � ����� � ����� � � �� ����� ���������� � ������������� �� �� �"���� � ����������� *� �%���� �� ������� � �� ������ � �����(��� �� ��� � ��� � �$ � 2�� ������#
����� ����� �� �� �� �������� � ������� � ������ �� ����� � � � �� �$���
& �� �� � � � ����� ������ ��� �� ����� �������� ��� �������� ������ �� ��� �� � � �����6��� � �����"���� � ��� ��������� ����� ������ � � ��5�������� ���������
2������������� � !��� �����6��� ���� 78��9:; ��� ��������� �� ����� � �� � �� � ������ � ����� �� ��� ��� � � � ��� ��������� �� ������ �� ��%����� < � �� �������� � �� ������ �������� �������� 7==9>;� ?�� � ��"� � � �������� ����� �������� ��� �$�� ��� � ��"����� ������� � @��1
��������������
� ����� �� �������� �� �� ������ ������������# �� �$����� ���� ���� ������� � �� ������� �����# � ������� � ����� ����� ���� � ������� �� ������ �� �� ������ � ,������ ��� �� �� �� �$������� ����� � ��$�� �� ������ ���� ������� ���# ������������ ���
������� ������ # ���� � ���� �� ����� �
8������ ���$ � �$����� ��� "� �������� 2� ����� A� ���� �����"���.���� ��� �� �� �� �� ��"���� � �������� ��"����� ������# < � � ���� �� �� ��� ����� ����� ������ �# �5�����5� <���B5���# C5� D� � �� � + ��� A ��� � �� ������� ��� � � �����! �� �� ��� ��# � �� �� ����� � ������<����� � E��� <�F���5����� 2�� �� �� G �� ���� <� ��# �������� �$������ ��� ����5������� *��� ������� ��� �� �������� �� � ������ ����� ����# ���� �� ��� � �� � ������ � � ������������ ��"��� ���
G �� ��� � H�� �# C��5 �� I99: *�� 8� ������# 2 ��� � ����
����
� � ��� ��� � ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''�' &)���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '
'�'�' �� �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'�'�I �� � ���� � �� � �)���� �� ���"�� J��� ��� K
'�I &)���� �����$� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L'�M H ���!�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N
'�M�' O������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'M'�K 2��� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '>
'�K�' �� !��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'L'�K�I <���%��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P'�K�M .���"� �� � ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9
'�> ��� � �� �% 5�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II'�>�' 2 � �� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>
'�L �� �������� H*?G*A � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:'�: * ���"� "�� H*?G*A� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IN
'�:�' .������ �� �� H*?G*A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9'�:�I <�"� � �� �� H*?G*A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M''�:�M �$����� �� �������� � ����� � ���"� "���
������ � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ML'�P � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ML'�N �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M:
� ������� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � MNI�' � ��� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K'I�I � ��� �� &�@�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K>
I�I�' �� ������ � � ���� � �� �� &�@�� � � � � � � � � � � K:I�I�I � ��� �� &�@�� � � ������ � �� ��� � ��
�� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KNI�M .��� � �� �� ��� �$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >I
I�M�' �� ������ � � ���� � �� �� ��� �$ � � � � � � � � >L
+��� .�����
I�K *����� �� ��� ��� �� *��Q�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >LI�> <���%��� �"����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � L'
I�>�' *�"���� �� =R���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LII�>�I � ��� �� &�@���=R���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � LK
I�L � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LLI�: �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LP
� ���������� �� ������ � �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :'M�' .������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :K
M�'�' .������ �� ������ � �� G "� �"� � � � � � � � � � � � � :>M�'�I .������ �� �� �5��F�5�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P9M�'�M .������ �� ���"������ � 22? � � � � � � � � � � � � � PI
M�I .������ �� ������ ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � P:M�M *��$�� �� �� ���� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � PPM�K � ��� �� ������ �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NIM�> � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N:M�L �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � NN
� ��������� � ���� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9'K�' *��$�� �� �� ����� � � �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � '9MK�I .���"� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9>
K�I�' 2%���� � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9LK�I�I 2%���� � �� �!� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9PK�I�M 2%���� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '9N
K�M 8� �� ��� � �� ��� ������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '''K�K 2%���� �� ������ � �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''>K�> � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''NK�L �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'I9
!����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'IM>�' � ��� �� � ����! �� G- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'I:>�I * ����� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'MK>�M 8� � ������� � � ����! �� G-S � � � � � � � � � � � � � � � � � 'ML>�K �� ������� �� ������ ����� "� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K9>�> ������ � ������������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K'>�L � ��� �� ������ ���� � �� �� \ � � � � � � � � � � � � � � � � � 'KM>�: H��� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'K>
>�:�' �� �������� �� ��� ���� ��� � � � � � � � � � � � � 'KL>�P H��� �� T��5 ���� � � "� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � '>'>�N � ��� � "� ������ ����" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '>M>�'9 8� �� ��� �� ������ � � � �� ��� ���� ���S � � � � '>L>�'' < � �������1 ��� ������ � ���� ���S � � � � � � � � � � � � � '>N>�'I � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'LK>�'M �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'L>
.����� �/
" #����� �$��� � ������� �$��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'LNL�' � ��� � ��6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':M
L�'�' *������ � �����"6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':>L�I ,���� ��! �� � ��� � ��6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � ':LL�M �� � ���� � �� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':PL�K ������ �� ��� � � ���� ��%���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P'L�> � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'P>L�L �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PL
% ������� ����������� �����&��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PN:�' � ������ �� � ��5F � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NI:�I H��� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NM
:�I�' *������ � �����"6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NL:�M � ��� �� �� �Q�&����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NN:�K U������ ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9':�> ��� ����� �� �� ������ �� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � I9M
:�>�' T�"�� �� ��� ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � I9L:�>�I * ��� ����� �� ����� ����� � ������� � �� � I9:
:�L H��� �� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'K:�: H��� �� ��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I'P:�P ������ � �� ��� � �� ��������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II':�N *�"��� �$����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II:
:�N�' � �6���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II::�N�I � ������ �� ��6� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM':�N�M *�"��� ������ � ��"��� 3 �� 4 � � � � � � � � � � � � � � � � IMI
:�'9 � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM::�'' �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IM:
' (����� �������� ��� ��)���� �� ������������� � �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IK'P�' *��$�� �� �� ������ � �� � ���� � ������� � � � � � � IKK
P�'�' *��$�� �� �� �������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � IK>P�'�I *��$�� �� �� �������� ����� � � � � � � � � � � � � � � IK:P�'�M *��$�� �� �� �������� � ���� � �� ������ �
���������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>9P�'�K ������6��� � �����"6��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>>
P�I *��$�� �� �� �������� � ���� � � ��� �� � � �� � � I>:P�M * ��� �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILI
P�M�' *��$�� �� �� �������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � ILKP�K � ��� �� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILPP�> �$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ILP
/ .�����
* !������ �� �����+��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:'N�' � ����� ' � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:'N�I � ����� I � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I:KN�M � ����� M � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IP9N�K � ����� K � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IPKN�> � ����� > � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IPPN�L � ����� L � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INMN�: � ����� : � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INLN�P � ����� P � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9>
,����-���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9N
.����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M'M
����� � �
I�' ���������� ������ �� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KMI�I ���� ������ �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KPI�M ������� ������ �� ������ ���� ���� ��� ������ � � >9I�K ����� ������ �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � >NI�> ������ �������� �� ���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � LMI�L ��������� ������ �� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � L>M�' ����������� ���� ����� �� �������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � N9K�' ��������� ������� �� ��������� ������� �� ����� ���� '9:K�I �������� ������� �� ��������� ������� �� !���� � � � � ''9K�M ���� ���� ������� �� !���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � ''P>�' ��� ���� ������"� �� �� #�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'MI>�I ��������� ������ ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'KPL�' �������� ������ �� ���$��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':KL�I �������� ������ �� ���$��� ����� ��� ������ �� � � � � � � � '::L�M ������������� �%����� �� #��&���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ':NL�K ��� ���� ������ �� ���� '� () � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'PM:�' ������� ������ �� *���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'NK:�I ������� ������ �� *���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'N>:�M �� ���� ������ �� +����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I99:�K �������� ������ �� ���� ��������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � II9:�> ������� ��� ���� �� �� ������ �� *���� ��������
,��� �����-. �� *���� ������� ,��� �����-. ��+����������� ,� � �����- � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � II9
:�L �� ��� ������ �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IIL:�: ����� ����� �� ��� � ���� � �������� �� �$����� ������ � � IIN:�P ���������� ������ ������ ���� � ���� ���/����
�� ��$ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IMIP�' ���� ����0�� �� �� �� �������� �� ������ �� ��������
���������� ���� ������ �� ������ � /��� � � � � � � � � � � IKL
/�� �� ��
P�I ��������� ����0�� �� �� �������� �� 1��� ��� ������ 2��&��� ���� ������ �� ������ � /��� ��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I>M
P�M �� ����� � ������ ���� � � �� �� �� ����� ��� ���%�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IL9
P�K �� �� ��� ������ �� ������� ���� � � �� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � IL>
N�' ���� ������ �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � INNN�I ���� ������ �� )�����3���� �0��%��� �� ����� 4 � � � � � � � � � M99N�M ��� � ����0�� �� �� �� �������� �� ������ ��
�������� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � M9P
�
� ��� �� �� ���� ���� �
&���� ����# �� ���� ������ ��� ����� �� �� �� � ������� ������� ���� ����� �� ������ � ���# � � ��� ����� �� ����� � �� ����� ��
���� � ����� ��� �� ������� �"�� � ����� �� � �������� ����� ������� � ����� � *������ &����� � ���� ���� �� �$���� � ��� ��"���� � � ������ �� �� ��� �� ������ 3�����$���� ��F4# �� ������� ����"� � �� ��"� � �� � ���� ��! �� �������� ��������� -� ���� � ��� ,&- ��� �� 3 ����� � �����# ���� ��4 ��� � �� �� �� �� ��� �� ��� ����� �� ������ �������& � ���� �� '�L � '�: � ���� �� �������� ������ � ��� ��# ��� � ��������� � � ��� �� �������� ����� ����� 2 ���� �"� �����������6��� V� ������� �� �������� � ����� � ��� ��"� � � � ����� ���� � ������� �������� �� � � �� �� 7==9>; � 7� �9I;# � � �� �������������� � � ���"� "��� ������ � ��� ��# ��������� ������
��� �� �� ������������ �� � � ��� �� ������ ��� ������ "� ��� � ��� �� ���� ������� ������� � ��� ���������� "� ���� ������ �� G����� <)���� ,�� � ,&-�
* ��" � ����# �� ���� �������������� �$������ /�� ���� ������01 ����� ����$�# ������ ������ ��� �������� �� �������� ���� ��� � ��"� � ������� � ��� ���
<������� ���"�� � �����! �� �� ���� �%��"� � ��"� � ���������� � ��� ��� &� ���� � �� �� ��� ��� �� �� �������#������!��� �� ����� �������� � �� � ����� �������������
&���� � �����# ������� �� �� ����� �� �� ����� � �� ����� ��������# W�"��� G��� � � ,������ # ������� ��� � �� ���� V �� ���� �� � ������ ���������
��� ������ ���
���� �� ��� ������ R �� �)���� �� �� ��� ��5����# ���� � ����� ���� � � ����� � � ���! ���� ��5����� + �
� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
��� � ������ � �6� ������� ����� ��# �% �� ��� ��������� � ����������� F �� ������� ���� �� R� �� �)���� ����� �������������"� ���� �� ������ �� ������� ��������� <� ��� � �# �� ������� � ����� '�'�I# � ������� ��� ��� � � �����! � F �� ����������� � �� R� -� �)��� �� � x "�� ������ ����� � ��� ������ # � ����"�� �� �� �)��� 3������ �� ������� ��������4# ��� �� ����"� �� fl(x)# � ��� �� ������� ������ �� ����� �� �)��� ��"�� � x�
�/�/� 0��� � ���������
< � ��5���� � �������� � ����� R � F# ����� � !�� �"�� � �$����6���� � �� ������ ��� ������ � ��� �� ����� �� 3���$����# �� <�4 �� � � �)���� �� ��� &����� ��� �� �� ������� � ��� ��# �� ��! �� ��� ���"� "��# ��� � �� �������� ������6��� � �� ������ �� �� ���� ������� �������� ������� ������� � ������ ���� ������ � ����� �� �# �� ���� "� �# � ���"� "�� �� ��"� � ��� ���������� �)��� � ��� � x = 1/7#��� ��������� �� ����� � 0.142857� ?� � ��� �� �� ��������� �������� # �� ��! ��� ��� �� ������ �� �� �" ����� ����� ��� < � ���� �� ��������� �� � ����� �� ������!��� �������� ������� � ������ 3��������� � ��� ����� �4 � ������
� ������ �
���
��� �� �)��� ��� � �� �� �� �" ����� ����� ��# �� ��� )���� ��������� � �� �� ��"�� � �)��� ��"�� ��
�� ������� ��� "� 1/3 ����� 0.3333 �# ���� ��!# �� �� �" ���� ����� � �$ ��� ���� ����� ���� ������� � �� ��� �)���� �� �� ����� ����������� � ����� ��� .�� ��"���� # ��������� ��" �# ��� �% �� ��� �� �)��� �$ �� � � � ����� �� ����# �� ����# )���� ����� � ���� �� ��������� �� �� ���� �������� ��� ������� ����� � ������! � �� ������� � �"� � >�
* ������� ����� �� ������� �� ��� � ������ �� �� ���� ��� ��������� � � �)���� �� �� ��� � �� �� �� �" ����� ������ ��� �� �����# ��������� �� ������ � �)��� �����! 'L ����� ��#� ��� ���� �� ��� � �� �� ����� ��� �� �� � �� �� �������� ���� �)��� ��� ��������� ���� �� ���������� �$����� �� ���������� � ����5 � ��� �� <� �$����# � � �)��� 1/7# �"���������� �������� �� � �� ��1������
format long �� 0.14285714285714,format short e 0 1.4286e− 01,format long e 0 1.428571428571428e− 01,format short g 0 0.14286,format long g 0 0.142857142857143.
� �4���� ��� 5
����� ��� �� �� � �� �������� � ��� ����# �� ���������� �� ������ �� �)���� � ����� ��� & ���� ��# �� "�� �# ������� �� "� �� �� �)��� �� � � ��"����� � ����
x = (−1)s · (0.a1a2 . . . at) · βe = (−1)s ·m · βe−t, a1 �= 0 3'�'4
�� ��� s 9 � '# β 3�� ������ ������ � �� � �"� � I4 � � ��� � ��� ����� �� �������� �� ��� ��� �� �� � �5 �# m �� ������ �5 � � ���� �# ��� ��������� t �)��� ��$���� �" ����� �� !�� �� ai 3�� 0 ≤ ai ≤ β − 14# � e �� �)��������� �5 � � ��������� � ��� � �� � � ��� � �� �� ��$�� ���� ��������� ��# � � ����"� �$�����X � ���� ��"���# ���������� ��� �# ���� � ���� V ������ � � � ���� �� �� �)���� � ��� 3'�'4����"� ���� �� �)���� �� ���"�� J��� ���# ����� ����� � ���"�� �� �$ � �� ��"��� a1a2 . . . ap 3�� p ≤ t4 �� ���������������5 � �� � p �������� �" ����� ��"���� ���� �� x�
* ������ a1 �= 0 " � ��� ��� �� �)��� �� ��� ��� �)����� ���������� � ��� <� �$����# ��� ��� �������� �)��� 1/10 ����� �� �% ��� ��������� � 3� ������ ����� �4 �� 0.1 · 100# � � � ����� 0.01 · 101# ����
� ������ F ���� ������ ����� � � �����! � ��� � �� β# �)��� �� �" ����� ��"���� ���� t � ������ � (L,U) 3�� L < 0� U > 04 �� � �� �� � ������ e# � ����"� ��� �� F(β, t, L, U)� <��$����# �� ������ ���� F = F(2, 53,−1021, 1024) 3�� �����#53 �" ����� ��"���� ���� � � �� I ���������� � '> �" �������"���� ���� �� ������ � � �� '9 �� ������ �� �4�
2���!�����# ���� �� ����������������� �� "�� ������ �������������� ��� �� �)��� �� � x �= 0 ���������� ��� ��� ��������� ���fl(x) �� F# ������# �� ��! ���
|x− fl(x)||x| ≤ 1
2εM 3'�I4
��� εM = β1−t ����(��� ����� ' � �)��� � �� ��%$�� �����"�� J��� ��� � �� ��� '� &����� ��� εM ������� �� β � t� <��$����# �������� εM ��� ������� �� �� �� ���# � ������ ���
εM = 2−52 � 2.22 · 10−16� *���� ����� ��� �� 3'�I4 ����� � ����������� ���� x# ��� ��� ��"�� ����� � �� ��"���� � � ��� ����� ����� |x − fl(x)|� & ���� ��# ���� )����# ���� �� ����� ������ ���# �� ��� �� ��� ���� �� "� ���! �� x�
� �)��� 9 �� �������� F# �� ��! ��� ����� � � ���� �� a1 = 0�� 3'�'41 �� ��� � !� �� � � ��� � � ������ <� ��� � �# L � U���� �����# �� ������� ��������� � �)���� ��� � �� ����� ���
� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
����� �� ����� "� ��� � ����� �� ����� ������� H �� ������ �����# ���� � � �� �)��� �� � ������ �� F �� � �� ��������� �������
xmin = βL−1, xmax = βU (1− β−t).
�� ������ ����� � ���� ������� ���� �� �� �� �� ��������� � �������# ��� ����!�� ������
�������xmin = 2.225073858507201 · 10−308,xmax = 1.7976931348623158 · 10+308.
-� �)��� ������ ���� ��� xmin ����! �� ���� "�� �� ����5 � � �������� � �� � � �� �� �� ������ � � �� �� ������� 3���# �� �$����# 78��9:;# � ����� I4� -� �)��� ������ � ����� xmax ����! �� ���� "�� �� ��� �5 � � ������� � �� !�� ��� � � ������ � � 3��� ��������� �� �� +∞ � ����� ��4�� �
�� �������� �� F �� � �� ����� ��%$�� �� xmin# � ���� ������� �� �� ��$�� � �� xmax� �� �����# �)��� �� F � �� ��%$���� xmax 3V �� ������� 4 � � �� ��%$�� �� xmin 3V �� ������ 4 ��#��������� �����
x−max = 1.7976931348623157 · 10+308,x+
min = 2.225073858507202 · 10−308.
?����� ���� x+min−xmin � 10−323# ���� �� ��� xmax−x−max � 10292
3Y4� *��� � ����# ����(��� ��� ��� ������ �� ��� � � ��# ���� ����! �� 3'�I4�
�/�/� 0��� �������� ��� � �1���� �� �+� ��� 2�������
+ � ��� F �� ��������� ��%��� �� R# � ��� � �� �"���� �������� ��� �� �)���� �� ���"�� J��� ��� �� "! � �� �� � �������� ��� � � ��� � �� ���" � �� R� ������ �����# ���� ������ �� ������ ��� � � ���� 3��� fl(x + y) = fl(y + x)4 � � � ��������� �� 3fl(xy) = fl(yx)4# � � ��� � ������� ��� � �� �� ���� ��� � ����������� �� �� ������ �� *�� ����# 9 �� �� )���� �� �����# ������� V � ������ � � �� '# � �$������� ���"������ ������� ��1� � � �� ���� ����� ��� �� �� ������ ���
* � ������ � ��������� �� ��� �� � � � �� ����� ��� �� �� � � ���� ��������� 3��4 �� �� �� �!����� � ���� � ��� � �� �� �)������ ��# ���� ��"� � ���� ������ �� # ���� �� ��� � ��� � �# ������� �%� �� �)��� ���� �� ���� � ��# �������� ��"����� � ��� � �1 ����������= εM/2� <�� ��# �$���� ��� ���� �� �)��� �
� �4���� ��� &
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−14
������ ���� 6��3������� ����#�7�� � ,��82� 9 �5: ��;��� ��� ������#�����
��������� �� 9 � � ��� ������ .�� ������� ����� F ��������� ���)���� ��� ��X �� �� �� �� � ��� �)���� � � � �� �<� � �
������� εM # ������ ������ ��� �"� � �� �� ������# ������� ���� �)��� �� F � �� � ��� �� *���� �� ��� �� ��"�� �#� � �� � ! ����� �
* ���� ����� �� �������� ������ ��� ���� �� ���� �� �� �������� � �� ��������� ����������# �� �$����# �������"�## ��
�����"�# � ����������"�## � ��������� �� �� ��� ������������������ �������
a + (b + c) = 1.0990e+ 308, (a + b) + c = Inf.
?� � ��� �� �� �$���� � ������ � � ��� ���� �� �� �� �� ���� �)���� �� ��� �� ���� � � ���� ��%$��� �� � �� ������&���� � � ������ � ��� ��� � �� ��� �������� � ���� �� ����"� ��� �� �����# � ������������� �� ����� �� �������� � <� �$����#� ������� ((1 + x)− 1)/x 3 ������ � %��� ' � � �� x �= 041� � � �� ���� ���� �������
��� � ����
���� ������ � � �� ��� ��������# �� �� ��� ��� ��� ������� ''ZY
���� � � �� � ���� ���� ������ ������ �� �� �� � ���� � �� � �����
f(x) = x7 − 7x6 + 21x5 − 35x4 + 35x3 − 21x2 + 7x− 1 3'�M4
�� K9' ���� �������� ���� �� ����� � �� [1 − 2 · 10−8, 1 + 2 · 10−8]������� "���� � %��� ��������� � � 2�"�� '�' 3 ����� ������ � �� (x− 1)7# ��� ������� ������ ���� ��� � ��%$�� � �������� ��� ������ ��!��5 �� �� x = 14� & ����� '�K ������!������ �� ��� �� ������ ��� �������� � �������� ���� "�����
" 0 1�� �2� �� 3��� � ��
2�� ������# �������� ����� � ��� �� F �� �$����� ��� � ����������� � � � �� �� 0/0 �∞/∞� �� � ����!�� ��� �� �5 � �� ���� ����� 3$�$ �� ������ � �� ��� ��4# �� � �� �� ���� � �$�$��"� � ��� �� �� �������
��� ���� ��� < ;���� 1�� �� ��� �� ���������� �2� �#�����3�1����� ��� 1���� �3������ �� # ������ #�� �� � ���3#�*��� 3���� ���,����� ����7=���� ������� ��� ���� �*��3#�� ���-;���$ �*3#��2� �� �>���#����� � �� ?���� �� @@"� �� 3� �� �� �� ������� �� ���3������ A���B � ,���� � ����2� �� �>���# ������ ����� ����� C���� C�#,� �� @@ � ��;��� �� �� �� ���������� �� �-#��#� � ���D���7��
E� �*��3#� ��� �����1�F���� ����� ����7=�� 9��� ����� �������� �-;���: � ��� 3�# ������2�
z2 = 2, zn+1 = 2n−1/2�
1 −√1 − 41−nz2
n, n = 2, 3, . . . 9 ��:
1�� ���;� � 3 π 1���� n ����� 3 ��=����� G���� �� �� �������3 �#��# zn� � �� �#��;� ���� π � zn ������� �� 3����� " ���8H��� �� �� ��� ������ ��;��� ��� �� ���������� 9���� ���� )� � ��:� •
O�� � �$������� '�'�'�I�
��� ������ �������
�� �)���� �����$�# ��� ������ �� ����"� �� C# �� � ��� z = x+ iy# ��� i =
√−1 ���� �� �� "����� 3��� i2 = −14# � x =Re(z) � y = Im(z) �� � � ���� �� � � �� "����� �� z# ��������� �������� "�� � ��������� ���� � ����� �� �� � ��� �� �)���� �� ���
* ���� ��� ��� � �������� �# � � ������� �������� � � % �����"� � ���� �� �� "����� � < � ������ �� �)��� �����$ �� � ���
5 10 15 20 25 3010
−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
������ ���� �� ���� �� �� �#��;� |π − zn|/π �� ,��82� �� n
�� �4���� ���3#�*�� !
1
2
3
4
5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
������ ���� I���#��� �� ������ ��� ��� �� ������
�� � � � � ��� �� "����� &# ������ �������� ������������ ���'&X �� ����� ��� # ��� �� ���� �� �� ���������(& � *� ��������� � �� �������
�$������ � 3� �� �4 � ���"������ �� �� �)��� �����$ z# ������� ������ �� �� � ������� �� ����
z = ρeiθ = ρ(cos θ + i sin θ); 3'�>4
�� ��� ρ =√x2 + y2 �%��� � �)��� �����$ 3���� ��
�� �� ����) 4 � θ ��� �"�����# � ��� (�"�� ��� ����� ���
�� ��������� (x, y) � �� � �����$# � ! �� ��$ �� x� � ��"����� θ ���� �� �� �� � ����) � * ��������� �� 3'�>4 � ���� � ��1
abs(z) ∗ (cos(angle(z)) + i ∗ sin(angle(z))).
* ��������� �� �� � "���� �� �� � � �� �)���� �����$������� ���� �� �� �� ��������) # �� ��� ) �� �% �)��� �������
�����$ � �� ����� ��� � ��������� �� �)���� �����$�� <��$����# ��"�� �� ! � "��#"� ��� ����!��
������ "���� � 2�"�� '�M�< � �� � � �)��� �����$ )# ������ �$�� �� �� � ��� �� �
�� �� �� �� �����) � �� � ��� �� "����� �� �����) � 2����������
� ������# �����$ ����" � z = x − iy ��z# ���� ��������������������� �� %�) � �� %
�� ������ ������ ���� �� � � ��� � �� ������� ��������� ����� ��� � �� � ��� ��� �� ������ � �� �����$�� .����� � � ��"�� �"��� ������ �� � ���������� ��������������� <�
' 0 1�� �2� �� 3��� � ��
I�(z)
��(z)
z1
z2
z3
π3
ρ
������ ���� I�3�����82� �� 3#�� ���3#�*� �� �F� >J�� �4A��� ���4��� �# −5
�$����# �� � ���� ��� � �! �)��� �� −5 �� �� �� ��* +��" �� ������# �� ��! �� −1.7099 . . . ����� �)��� �����$0.8550+1.4809i 3������!��� ��� ����� + � � �$����� � ��6��+
�� 4� �� �����# � �)���� � ��� ρei(θ+2kπ)# �� k ������# �� ������ ������"��� �� z = ρeiθ� � ���� �� 3
√z ����� 3
√ρei(θ/3+2kπ/3)#
��� # � ��6� � �!�� ������� �
z1 = 3√ρeiθ/3, z2 = 3
√ρei(θ/3+2π/3), z3 = 3
√ρei(θ/3+4π/3).
������ �������� �� ������� ��� �� ������ �������� �� ������$ � ������ ������� �� ������� � ���%"�# � ����� ���$ �� �� ��� + � ��� ��������� �� �� � �� z = −5 ρeiθ ��ρ = 5 � θ = −π# � ��6� � �!�� �� 3��� 2�"�� '�K � � �� ��������� ��� �� � �� , ���4
z1 = 3√
5(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) � 0.8550− 1.4809i,
z2 = 3√
5(cos(π/3) + i sin(π/3)) � 0.8550 + 1.4809i,
z3 = 3√
5(cos(−π) + i sin(−π)) � −1.7100.
* ��"��� � �! �������� � ��� �������2�� ������# �� 3'�>4 �����
cos(θ) =12(eiθ + e−iθ
), sin(θ) =
12i(eiθ − e−iθ
). 3'�L4
������ �/� � �� �� ������� �� ���� ��������� �� ��� ��# � ���� ��� ���� �� �� � ��"����� �����1
�5 ���J�� @
$%��&��� ��� ��� �!��� � ' � ( � () *�++ � ' ( �()*��,,�� � �� � ++# �-,& �����! � �,,�� # !�'&� .,) � ��,&� �� �,��� �!�.���/ �!��� ���,�&� .,��,�&%,� �
��� ������
��� � n � m ������� �������� -� � ���! �� m ���5 � � n ���� � �� ������ �� m × n �������� aij # �� i = 1, . . . ,m# j = 1, . . . , n#��������� � ��� ��"����� � ��� 1
A =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
������
���am1 am2 . . . amn
⎤
⎥⎥⎥⎦. 3'�:4
+� ��� ��� �� ���������� A = (aij)� �� � �������� �� * �����)���� �� ��# ���������� A ∈ R
m×n# � A ∈ Cm×n �� ���� �����$��
*� � ���!�� �� �� � � �� ������� n �� ���� � �� ��� m = n�-� � ���! �� �� �% ���� �� ������ ������# ���� �� ��� �� � ���! �� �� �% ���5 �� ������ ��!��
< � ������ �� � ���! �� ������ ��� �� �� �������� � ������������ � ������� V )���� ���5 # �����! �� � � ���� , � � ��� � � � ���������� ���5 �� <� �$����# �� ��� 0 � ' � � "� � � 1)
����! 0 �
� � "� � 1
��� # �� � ���! 2 × 3 ���� �������� �� � ����� �� ��� � *� ���! ��� m × n ���� �� ��� ��� � �������� (aij) �� ����#� � i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , nX ������ �������� �� ������ �� �� �� )������( � � �� �� �&���( �� ��"�� �� � ���! )����
�&��� ��� � �������� ���� �$���� � � �� "� � ������� � aii# i =1, . . . ,min(m,n)# ��� �� �"� �� '� * � ���! ������� �� n×n �������� �� �� �&�� 1 � ���� �������� �� δij = 1 �� i = j# � 9 �� � �������# � � i, j = 1, . . . , n� 2�� ������# �� �� �� -�. / . /
�������� �� � ���! � !� �T���� �� � ��"������ ��� � �� � ����� ��1
� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
'� �� A = (aij) � B = (bij) �� � ���!�� m × n# ��� �� * � A � ���! A + B = (aij + bij)X
I� ������� �� �� � ���! * �� �� �)��� �� � � �����$ λ � ���! λA = (λaij)X
M� ������� �� �� � � ���!�� �% ������� �� � �� � ������ �� ������� ������# ��� # �� �)��� �� ���� � � ������� �� �"� � �)��� �� ���5 � � ��"��� X � �� ������ �����# �� * m× p � A p× n# � � �"�� ������ ������ p# ���� C = AB �� � ���!m× n �� ��������
cij =p∑
k=1
aikbkj , � � i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.
��"����� �� �$���� �� �� � �� ����� �� �� � � ���!��1� 0�'� � "� � � 1)�� 2�'� ( � � �� ��)�� 3�'�" ��� �� �1� �� �()�� 0�2
��� �( � ��
�� �1 �(
� 0#3
��� � � �
�� ���
&����� ��� ������ �� �� ���� "�� �� ��� �� �� �� ���� �$���� � ��� � �� �� � ���!�� �� ������ �� ����� ������� <� �$�����1� 0�'� � "� � � 1)�� 2�'� ( � � �� ��)�� 3�'�" ��� �� �1� �� �()�� 0�3
444 5,,�, %���/ ��6 �7�&,�� ���������� �%�& �/,��
� 0#2
444 5,,�, %���/ ��6 #8���, ��&,�� ���������� �%�& �/,��
�� * �� �� � ���! �� �� � �� ������� n# �� ���� � 3�� �$������4 �� � ���! �� �� � �� ������� n# ��� �� ����"� �� A−1# � ���� ���� ! ��� �� � ����� � AA−1 = A−1A = I� * � ���! A−1 ���������� �� �� �� � 0�- � * ������ �� * �$���� �� � �% �� ������� 0
������ �� *# �� �)��� ��� �� ����"� �� ���3*4# �� �� ���� ��� )���� ������ ������ ��� ��� � ������� ���� � �� * ���� ���� ������� ������������� 3��� ����� '�M�'4� � �������� ��� �� �� � ���!
�5 ���J��
�� �� � �������� ��� ��"����� �%���� �������� 3����� �� �������41
det(A) =
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
a11 if n = 1,
n∑
j=1
Δijaij , for n > 1, ∀i = 1, . . . , n,3'�P4
�� ��� Δij = (−1)i+j���3*ij) � Aij � ���! ��� �� ��� �� ������� �� � i���� ���5 � j���� ���� � � ���! * 3 ������ � ������������ � ������ �� ���5 � �� ���� 4�
�� � ������ �# �� A ∈ R2×2 ������
det(A) = a11a22 − a12a21,
� �� A ∈ R3×3
det(A) = a11a22a33 + a31a12a23 + a21a13a32
−a11a23a32 − a21a12a33 − a31a13a22.
< � �� ����� �� � ���!�� ������ ��� ��"����� ������� ��1 ��A = BC# ���� det(A) = det(B)det(C)�
< � �������� �� � ���! 2×2 � � ���� � ��� �������� ��� ��������� � ��"����� ��1� 0�'� �� " �)�� ��9�0�
��� ��� ��� ��
� ��&�0�
��� ���
�� �� � ���! �� ���"�� �# ������ ������ � �� �� ���� "���� ���# ��"��� �� �� � ���! ���� �������� �� ��� �"� �� � �#�� �� ������ � �$���� ��"�����1� 0�'� �� )�� ��9�0�
:�,���/ ; 7�&,�� �� ���/%��, &� ��,<��/ ,������� ��� �
8�$ 8�$8�$ 8�$
< � ����� ���� �� � ���!�� �� �� � �# ������ � � ������ � � ���������� ���� � �� ��� �������� �� * �� �� ����" �������# ��� #�� � ���! �� ��� ��� � � �������� � �� "� � akk# k = 1, . . . , n#�� �� ����# ��� �������� ��� � � �� det(A) = a11a22 · · ·ann�
� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
�� � ������ �# * �� ���"�� � ��� akk �= 0 � � �� k� &���� � �# ������ �� * ��� �� � ���! �� "� � �� �������� a−1
kk ���� 0 �� ����� �� ������� � � �� �� 1����0 �� ������1���
����! �� � ���! �� "� � ���� �������� �� � ��������� ������ 0� � �� �� � �� "�� � 1����0(� �� �� � ���! �� �� � ������ ��� m���� �� "� � ������� 3��� # �� "� � ��������� ���� �������� �� ������� i, i+m4 ���� � ��������� �� 0# � ��� ���� ���� �������� ����� &����� ��� ��� �$����� � ��� ����� � � � ���� ��" ���� �� �1 ����� � � �% �� ���� �� � �������� � ��� "� �� ����������<� �$����# �� 0 � .� � "/ ����1� 0����/�9.���
0 � � � "
���� � � ���!�� � ������ ��� ����� ���� �� � ���������� �������� � � ���������� ������� � -� � ���! �� �� � �� ������� n ��������� ������ 3��������� �����# ������4 �� ��� � ������������ �� ��� 3��������� �����# � �$4 � �� "� � ������� � ��������� � ��� �������� ��� ���� ���� ������������ ����� �� ������� "� ���
�� �� ��� �����- � ���2�- # �������� �$�� �� � � ���� ��������
���2 �"�� ��� ������� � ������� �� �� � ���! - �� ������� � *� �� ��$���� �� �����-(� � ���2�-(� # �� � ���������� ����� � � #�������� �$�� �� � � ���� ��� �"�� ��� ����� � � � �������� � � �m �� "� �� ��������� ��<� �$����# � � � ���! - �." � �, �� " 3, �� �� "/# �� ��� �� 4�������- ������=� �
" �� " �� �� "
���� �� ��� �� 4�������-(� # �� ���=� �
" � �� " ��� �� "
T������� ��� �� A ∈ Rm×n �� �� ����� AT ∈ R
n×m � ���! ��� �� ��� ��� �� � ���5 � �� � ���� � �� *� 8� ��n = m � A = AT � ���! * ��!��� �#����� 2�� ������# -5 ��-5
� �� �� ������ ��� ����"� �� ����� �� - �� - �� �� �# � �� �� ����� ����" � 3��� # AH4 �� - �� �����$ � -� � ���!
�5 ���J�� 5
�� �� � �����$ ��� ������� �� �� �� ����� ����" � *H
��!��� !��������* ���� �� ��# 05# �����! � � � �� ����� ����" � vH 05
� ����� 0� +���"� �� �� vi � ��������� �� v# ����� �����vH �� ����� ���5 ��� � ��������� �� � �����$� ����" ��vi �� vi�
������ �/� ��� �� �� � ��� �� ���� "�� �� ��� �� �� ������ ������ � ��� � �� �� � ���!�� �� ������ �� ����� ������� T���� �� � �$����� �������� �� ������ ������1��&�9�;�6 0�'� � "� � � 1)���&�9�;�6 2�'� ( � � �� ��)���&�9�;"6 3�'�" ��� �� �1� �� �()���&�9�;�6 0�3
�,,�,; � �,�&�, �; ������$�,���& �,/%���&� �� � ����" . � � �� "����,,�,; �9��%�&��/ ����,+ � �,�&�, >�* ���, ���� �.���%�� �
��&�9�;�6 0#2
�,,�,; � �,�&�, #; ������$�,���& �,/%���&� �� � ����" . � � �� ��"��,,�,; �9��%�&��/ ����,+ � �,�&�, >#* ���, ���� �.���%�� �
�� * �� ���"�� � � �� ����������� ������6�� # ��� �� �� �� ���� "���� ��� ��"��� � � ���! ��������# �� �� ������ � �$���� ��"�����1��&�9�;�6 0�'� �� )���&�9�;�6 ��9�0�
��,���/ ; ��9�,��; ��&,�� ���/%��, &� ������� ,������� . ,���� � ��� �
� � �
�/�/� #������
&���� ����# � ������� ���� ����� �� ��"���X � �� ������ �����# �����"� �� �� ����� ���� ��� i���� �������� vi� 8� �� �� � � ��������� ���� �� �� ������������� v ∈ R
n��� ������# � ������� �� ������� �� �� � ���!�� � ������
� ���� < � ������ �� ����� ���� ������ ����� � � �� � �������������� � �6������ ����� ��� � � � �� �� ��� � ���"�� # ���� �� ���� � �� ����� ���5 � �� �� �������� � �� � ���������# ��� � � ��� ��� �� � �� ���"�� �� <� �$����# � ������� �� 0 � .�,�,"/ � 6� .� � "/ ������ ����� ���� � � ����� ���5 3# ��� �� �������� M� � �� �� )����� (� 3��������� �����# )������( 4 ����� �� )����
� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
����� ���� 3��������� �����# ���5 4 �� ������� �� �������� �����# ��� �� ����"� �� �� 4� *� �" �����# �� �� � ��� (� "�� � ��
����� ���� # ��� �� ����"� �� �# ��� � ��������� �� �� � �"� �� '�
-� ������ �� ������� {y1, . . . ,ym} ���������� ����������� �� ��� ��
α1y1 + . . .+ αmym = 0
������ � ��� ��� � ���������� α1, . . . , αm ��� � ����� -� ������ B = {y1, . . . ,yn} �� n ������� ���� ������ ������������� �� R
n 3�C
n4 ��!��� �� � � �� Rn 3� C
n4# ��� # �� ����� ����� 3 �� Rn
������ �������� �� ����� �� ���� � �� �������� �� B#
w =n∑
k=1
wkyk,
� � ���������� {wk} �� )����� ����� )����� ��!����� � ���������� �� 3 � � �� B� <� �$����# � �� � �%��� �� R
n ������ ��������� {e1, . . . , en}# �� ��� ei ��� �� i���� �������� �"� � '# � �� � � ��� � ��� �� ��� � �� �� R
n ��� ��� ������ �� �� �� ������� � ����� �� ��� ������� v,w ∈ R
n �������� ��
(v,w) = wT v =n∑
k=1
vkwk,
��� {vk} � {wk} �� � ��������� �� � �� 3# ��������� ������ ��� �� �������� ������������ 65'0# ��� �%����� ����"� �� ������� �� �� �����# � ��� 1���0(6 � � ��������� 3�1��
�%���4 �� �� ����� � � � ��� �� ��� ������� �
‖v‖ =√
(v,v) =
√√√√
n∑
k=1
v2k
� ������ � ���� � �� �� �� ����0 � ���
� ����� ������ � �� ��� ������� v,w ∈ Rn# n ≥ 3# ��� �� ����"�
�� v×w � v∧w# ����� u ∈ Rn ��"� � v � w ��� �%���
|u| = |v| |w| sin(α)# ��� α (�"�� ��� � �� � � 3� <����� ������ �� �� ������0(6 ������
�� ������# ������ ���� ��! � �� ����� �� �� �� ��2�0�� �� R
2 � 2�0��" �� R3�2�0��
2�0��" �� �� ��� �������� ��'& � ��+� ����� � ��� � ��� � ���'
� ˆ�� ������ � � �������� ��������� <� �$����# ������� ��������� 9 � '�� �� ")� � � '�� �� 1)�
�� )��8H�� ��� &
��������� �*#9
��� �"�
�� ��� ����� ��� � �# ���� �� ���� �#9
��� ��
��(
�� �� ����� ��� i���� �������� �"� � xiyi�<� ��# �������� ��� �� ����� v ∈ C
n# v �= 0# �� ������������ �� �� � ���! A ∈ C
n×n ���� � �)��� �����$ λ ��
Av = λv.
� �)��� �����$ λ ��!��� ����� ������ �� *� �� "�� �# ������ ��� ���� ��%���� � �� ��� �������� �$����� ���� � � �� � � � ���!���� "� �� � ��� �"�� ���# ���� � ���� ��%���� �� ������������ � ��������� �� "� ���
O�� � �$������� '�M�'�L�
��� ������ ���
��� ����� ��� ��� �� ���� �� �� �� ������ � � ������ � (a, b)� ��� �� �������2 (���� �� � "���� � ����� �2 3������ �� ������� � ��� �� � � ������4 � ������ � 3������ #������ 4� <� �$����#� � ��������� � f(x) = 1/(1+x2) � ������ � (−5, 5)# ����� ��������� $%� �*������?�� *� ���� �'��.�)� $ ��&�$%� .���� ��
�# � �� ������ �����#� $ ��&�*������?�� * .'�� �)��
�������� "���� ������ � ���� �� �� ���� � �������� ������ �� ���� �� �������� ���� � ������! "���� �� � �� f�� �� ����(��� �� 9�IZ� < � ���5� � ������� ����� �� �� � �� ��� $ ��&�$%� .���� .&�� .�.*=���@ �� *.A� .A� .�
��� ��� ����� ����(��� ����� � � � �(���� 3≥ 14 ���"�� ��� ����� ���� �� � � �� �� ����� �� n + 1 ����� 4� �7��� �� � ��� �� � � ������ ��� �������� ��� �� ���5 � �� � ���5 �� � � � �� � � "����� <� �$����# 4� �7����585 �����
" 0 1�� �2� �� 3��� � ��
�� ���5 �� ��� �# 4� �7����5���5 �� ���5 ������5 �� �� ��� ����# ���� < � �����! � � ���� �� ������ � � ���# � 4� �7���
���� ������!����� � ���!�� � !� � 3. /4�� � �� �� �� ����� �2 ��� ��� � �������� ��� ���������
&��0����2 # ����� �� ����� � �� � � �� ������������ "� �� � ���0��
&� &� � ��� �# � ��� �� &# ���� ��� �������� * �� � ���� �� ��# �������� ��� �"����� � ����� �2 ������ ��� �� �� �"������� �2 ����� �� ��� ��������� 3 ��� ������ �������������� �� ������ �"����� "�� � � ������� �� �� ��"� � 4 �� �� �0��
������ ������������� �� ��0�� 3��� ������ �� '�M4�*���� ���� �� �� ��� �� ���������� ���1 � ����� � �� �����1
�����# ����� ���� �� "���5 �� ���� �� � 2�"�� '�'�
������ �/� 8� �� �� �����! �� �� �������2 (����( �� ���� ��# "���� ������ � ���� �� �� ���� � ����� ������ ���2 3���� ��� �� �� ���$%� � �� �� �$������ ��� �����5 �4���� �� ������ �� ���� �� �������� ����� � � �(���� ���� � 3≥ 14 " � ��� ��� ����� ���� �� � � �� �� ����� �� +1 ������ <� �$����# � �� ��� ��"������ �������� �� � � "���� ��f(x) = 1/(1 + x2)1� $%� �*������?�� *� ���� �'��.�)�� $ ��&�$%� .���� � �
�/�/� � 5���
T�������� ��� �� f(α) = 0# α ��!��� "��� �� f � ��" � ��� ��f(x) = 0� -� !�� ���� �� f ′(α) �= 0# � ������� � � � ��������
<���� �������� � � !��� �� �� �� �� ����� � ���� � ���"���� 3�� �� ���� ����(��� 4� � ������ ������ �� ��� � !����� �� � � ����� ��� ������ �������� < � � ���� �� ������ ���� "� � n �� ���������� �� ��# ��� # � ���
pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx
n =n∑
k=0
akxk, ak ∈ R, an �= 0,
����� ���� )��� !�� α = −a0/a1# �� �� n = 1 3 "���� �� p1
�� ���5 ���� 4 � �� �$�������# � ��� !��� α+ � α−# �� �� n = 23 "���� �� p2 �� � ���� 4
α± =−a1 ±
√a21 − 4a0a2
2a2.
�����# �� �$����� �%���� � �$������ � � � �������� � � !����� �� ����%�� �������� pn �� �� n ≥ 5�
�� )��8H�� ��� !
& ��� �� ��"�� ����� ����"� � �� Pn ��� � �� ����%��� ��"� � ���� � �"� � n#
pn(x) =n∑
k=0
akxk 3'�N4
��� ak �� ���������� � ��# �� �� � �����$���� "�� �# �)��� �� !��� �� �� ����� �� ��� ��� �������� �
� ����� �$����� ��� � � � ������ � � � ���� �� ������ ��# � � ��� �� �)��� �� !��� 3�� �� � �����$�4 ������� �� "� � �����%��� *�� ����# �� �����$ α = x + iy �� y �= 0 �� ��!�� �� �� ����%�� �� ���������� �� ��# ��� ����" � α = x− iy� ��� �� !���
�� ������ ����� �����! � �� �� �)�����2 (�� � � �)���� ���� � �� !�� �� �� ����� �2 # � ��!��5 �� �� �� � � � ����# �� � � �����$� � ������ � �� � �� ��$�� � ����� !��# �� ��� ������ � ��� �� ������� �� ������� � �� �� ���)�����2 (.�� ��/ # ����� ��� �� !�� �� �2 � ������ � ���� �$������ �� ��(��# ����� ��� f ���� �� ��� � ����� �� � ���
����������# �� �$����# ����� f(x) = x2−1+ex� ������ �� ��� "����# ������ ��� ��� ��� ��� !��� �� (−1, 1)� < � � � ���� �#������ �� �� �$���� � � ��"������ �� ���1� $%���������*�?� � � � �� ���*.*�*��� $!�,��$%� .��
��� ������� ��(
� $!�,��$%� .���
��� �����1
�� ����� ��� # ����� �� ���� � � ��� ����� ���� ��� �$���� ��!�� � ������ � [−1,−0.2] � ��� �� [−0.2, 1]# ����� ������ ������1� $!�,��$%� .' �� �)�
��� ����1 � ���
� $!�,��$%� .'�� ��)�
��� �����1
� ������ � ���� � � ������� !�� ��"��� ����� ��������� � �����������# ����� V ��������� ����� �� � �"���� ��������� � �� �)����
& � ����� I# ���� ������!��� � ����� �� ����� ���� � � ������ ��$�� � �� !��� �� �� ����� �������� �
' 0 1�� �2� �� 3��� � ��
������ �/� ����� ��# �)��� �% ���� ���� �� ������ � �� � � �� �5 �� �2 ���� � * ���� $� ������������ ��"�����1$%��&��� + � $%����
+ � �?� � � � �� �������
� $!�,��B$%�B. ��
��� � �"�1�����
� $!�,��B$%� B.���
��� � �����1 �
�/�/� 6����$���
�� ����%��� �� ���� �� ���� � ������ ��� �� � � � �� ������
�� ��� ������ � �� �� ������ � ���&�2 � � �� �� ���&0�� �������&0��
���� �������� � � �� �� �� ����%�� �� �� � ����� ����� ������ �"������ �� ���� � �� �� ����� � � �� ����� �# �� ��� ���������� �� � �� � ���������� � ����%�� "� �� �� �� ���������������# �� an a0# � � ��������� �� � �� � ���� ��� � �� � ����%�� ���� �������� �� � ������ � ��� ��� "� �� ���� ����� &# ���������� + � ��+9�� � .��
<� �$����# � � ���� �� p(x) = x7 +3x2−1# �� ���� �������� ����xk = −1+k/4 � � k = 0, . . . , 8# ������� ���� �������� � ��"������ ���� 1� � '� " ��)� � � ' ��;��;�)�� + � ��+9�� � .��
+ �3��%��� � &�,�%/� �;
� ���� ����(� �(���1 ��3��%��� 1 &�,�%/� ;
�(���� ����� (� ( "
�� ����� ��� # ����� �� ���� �� �� ��0��� �����# ������ � ���� ��������� ������� �$������ � ����� ������ � ����%����� � ��� �� � � ������# � �� ��� � � ���� �����������
� ��"� � ����� �� �� ��$�� �� �� !��� �� �� ����%�������
� ������ ��� � ���� � � ����� ��<� �$����# � � � ���� � � !��� �� p(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6#
����������11 E� ����� � �� ��#��82� �� ,��8H�� �� ������ ������� ��3#��82� 3����#
�� )��8H�� ��� @
� � '� �1 �� �1)� $�,��& ���/ �� ,��&�� �
��� �"��
.�����!����� ������ � ��� ������ ������� <� �$����# � � �� ����%�� p(x) = (x + 1)7# ��� )��� !�� α = −1 �� ������������ �� :# ����� 3������������������41� � '� � �� "� "� �� � �)�� ,��&�� �
��� �������1" � � ���1" � � �� �� � �� �� � �� � ���� � ���
�� �����# � ���� ������� � � ������ � � � �!�� �� ������%�� �� � ������ ������ ��������� ���� �� ������ ����# �� � � �!�� ���� �� ����������� �� � �� ��� ' 3��� ����� I�>�I4�
*������������ ��� �� �� �� ���� 0���(�� �� ��� � ��� �� 0�������� � ����%�� ������ ��� � ����� �� ��� ����%��� �������������� ���� ������ �� ������� �� � ��� + ���� ��# �� �� .(�/�1��� 0���(�� �� � ���������� � �������� � � 1��� 0���� � � ������ �� �� �� ��# ��� # �� � �� 0���( � ��
���������� �� �$���� ����� � �������� �� ��� ����%���p1(x) = x4 − 1 � p2(x) = x3 − 1 1� � � '� ��)�� � � '� ��)�� ����9� � . ��
�� �� �� �
� '-.,)� �����9� � . ��
- ��
, � � ��
������ �� ���� � ����%��� p(x) = p1(x)p2(x) = x7 − x4− x3 + 1#q(x) = x � r(x) = x− 1 � �� ��� p1(x) = q(x)p2(x) + r(x)�
�� �� ��� ���&� ��� � ���&1���� �������# ��������� �����# ���&� ����&1��� ���������� � �������� 3��� �� ��� �� x = 04 � � ����� � �
����%�� ���� ���������� �� � �� ��� � ��������� � ����� ��
�� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
�� � �� �� ����� �� ����� � � �� � 3��������� �����# �1 � �24 �� ������� ��� ���� � ���������� �� �� ����%�� p 3��������� �����#p1 � p24# � �� ��� ����������� ���������� � ? ��� '�'�
������� ���#����+� ��+9��� .�� y = ;#��� �� p(x)
!�,��&�� � z = >J�� �� p ��� 1�� p(z) = 0
����9� 1� 2� p = ���=������� �� 3�#��7��� p1p2
'-.,)������9� 1 � 2� q = ���=������� �� q� r = ���=������� �� r��� 1�� p1 = qp2 + r
+� ��+��,� � y = ���=������� �� p′(x)
+� ��+��&� � y = ���=������� ��
x�0
p(t) dt
����� ���� 6������ �� ������ 3 �3�8H�� ��� 3�#��7����
-� ��� �� ��# ���&���# ������� � ���� � � n + 1 ���������� ����&���
����%�� p �� "� � n# ����� ��� �� �����5 �� � ���� �� p �� n+ 1���� �������� 3��� ����� M�'�'4�
������ �/ �� �� ��� ���&1���0 � ���&� ��� �6� � ���� ����&1���0
������ ��� ��� ��� ���&1�� � ���&� �# ��������� ������ &� � ������&� ���
���&1�� ���� �"� ������ ��������� �� ��� ��# ��� ����� '�L� �
�/�/� 7��� ����� � ���������
&���� ���� ���� �������������� ���� �� � ��"������ ������ ��1
'� ������� ����������� �� ������$%�1 �� f �� �� ����� ������ �� [a, b)# ����
F (x) =
x∫
a
f(t) dt ∀x ∈ [a, b),
�� ����� ���������# �5 � � ������ �� f # ��� � ���� !#
F ′(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b);
I� ������ ������� �� ����� �#�� ���� ������ 1 �� f �� �� ����������� �� [a, b) � x1# x2 ∈ [a, b) �� x1 < x2# ���� ∃ξ ∈ (x1, x2)� � ���
f(ξ) =1
x2 − x1
x2∫
x1
f(t) dt.
�� )��8H�� ��� �
H��� �� �� �$����# �� �������� ��� ��� ������� � ���� ���������� �� �������� �� <� �$����# ��)��� � ��� ��� ln |x| �� �������� �� 1/x �� �� �� ����� � ���� � � �" ����� �� �� ���������� & � ����� K ����� ������!�� ����� ���� � � � ���� �#�� �� � � �������# ����"� � �� �� ����� ������ �������� #��� ��5������� � �� �������� �
T������� ��� �� ����� f ������ ��� ������ � [a, b] ������������ ��� x ∈ (a, b) �� �$����� � �� ���� ��"����� ������
f ′(x) = limh→0
1h
(f(x+ h)− f(x)). 3'�'94
� � �� �� f ′(x) �� ������� � ���� � �"���� "���� �� f ���� x�
+�!��� ��� �� ����� ������ � �� ����� � ������ �� ���� ���� �� [a, b] �������� ��� � C1([a, b])� H �� "�� ������# �� ����� �� ����� � � ������ � � V ���� p 3�� ������ ������4 ��!��� ��� �������� Cp([a, b])� �� � ������ �# C0([a, b]) ����"� ��� �� � ���� �� ������ � �� [a, b]�
-� ������ � ��� ���� ���� � ��!�� �� � ������� �� ����� �#��1�� f ∈ C1([a, b])# �$���� ξ ∈ (a, b) � � ���
f ′(ξ) = (f(b)− f(a))/(b− a).
T�������# �� ������# ��� �� ����� ���# ��� ��!��5 �� ��x0# ������ � ����� ����� � � ������ � � V ���� n# ��� ��� ��$�� � ���� ��!��5 � ��� �5 � � ������� �� &�'��� �� ����� � ��� x01
Tn(x) = f(x0) + (x− x0)f ′(x0) + . . .+1n!
(x − x0)nf (n)(x0)
=n∑
k=0
(x− x0)k
k!f (k)(x0).
* ������ �&������ �� ������ ���� � �� ��� 1���# � � � 1���� ���&��� ��� �������# ��������� �����# �$������ � ����� � ����� � #��&��� ����"� � �������� 3��� # �� �������� 4 � ����%�� �� ? F��#
�� �� � � ������ �� � ������ �# ���� ������ �� ����� �� � ��� �� � � ������ �# ����� 1�����( �� �� ����� � �� ���� # � ��� ��� ����"� � ��������# � ��&�����(�( �� ��� ����%���� ? F�� �� "� � ��� ��!��5 �� �� x0 = 0� * � ������ � ���� ������� � � �� ����� �� �� �� �� �&�� �� .�� ��������� �&��
�� � ����� �� �"���� ��� �������� � ��� � ���< � ���� � V ����� f(x) = (x2 + 2x + 2)/(x2 − 1)# ��������� �
��"����� ��1
�� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
������ ���� ����,�� -=� �� ������ $%�&���
� $ � *��?���#�������?����*�� �+�� �� ��$$ �$�
��#�������?� ��� ��#��?���#�������?� ���?�# �
� ��&�$�
�����#��/�� ��� ����# ��/ �����
� &�+��,�$.� .1�
����#��"#�?���#�?"�"#�?���#�?�
��������� ��� �� �� ������ ������� ����!�� � �$����� �� "�� �������
� � �� 1���# � � � ��&��� �� �� ������ � �� ������� �� �� ��������� � �� �� �2 ���� ������� �� ������� � ����� �� ����%��� �2 ����
�� ���� �� �������� �# �� �� ������ �� "���� ������ � � 2�"�� '�>�
������ �/" � ������ ����%��� ��� �� ���� ��������� �� ��� ��#� � ������������� ���� ������ ��� �� ����� �� �� � �5� �������� �
O�� � �$������� '�:�'�P�
��� ���� ��� � � ����
T������ �� �� �� �� � ��� ������ !������ � �# ����� �� ������!�� ��� �� ������ ������ ��� � ���� �����������
2 �&& ;�������&�9��,/
�& K �2� � �7 ����� �5
? � �� ����# ������� � �� �� �� � �� ����� �� � � ���������� � �)���� �� �� ������! ����� <� ����"�����# � �� � �������� ���� �� ������ � ����# ��� ����� ����� � ����� � ����� �������
�� "�� �# ������� �������� � ����� ������ �� ���� ��� ����� � ��$�� �� � ������� �� �� ������ ����� 3��� 2�"�� '�L4�
& ����� �������# ������ ��� ��� em ��� ������ �� ��� � �� ���� �� ����� 3PF ����"� ������ ����� � xf �� �����4 � ���� !�� �"�� ���� � ������� 3MM # ��� ����� x4� ? �� ���� ����� �� ���� ����� �� � ���� � ������� ���� � ���� � �� � � �� ������ � ������ ���������
-� ���� � ������� 3�$����� �� �� ����"� �# �� � �$����� � 2�"�� '�L# �� �� ��� �� �"���� � ��������� �# � �� �������� ���� � � �� ���� �4 "�� ������ �� �� ��� ������� �� ��� �$������ � * �� ������� �� �"����� ������� �������� ������ �� ������ ��� ���� � �������� � ��� " �� �� ���� �� ������ ������ �5 ���� ea ����� �����
<� ��� � �# ���� � ��!�� ��������� ������!�� ���� ����� ��#�� ��! ��� ������ � ����� �� �� ���� �� �� ����� � ���������# ��� ����� � �� �)��� ������ �� ��� � �� ������� �# �% �������� �� �� ��$�� �� <� �$����# �� �� �� ���� ���������� �� ����� � ���� � �� �� ��$�� �# �������� �� ������ ��� �����������
?�� ��� �� ��� ��������� ������ �� ������ ������# PN # ��� ����� xn ������ �� x �� �� ��� et ��� �� �5 � ���� �� ���������������� ���� �� ����� ��� � �� ����� � �������� �� ��������� ������� ���� 3�� �$����# �� �� �� ������ �� ������ ���� �4�
xn =�
k
φ(tk)αk
x =
T�0
φ(t)dt
�xMM
PF
PN
xf
em
et ea
ec
������ ���� L�;���� ��3�� �� �� ��� 3������ �� �-#��#�
�� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
* �� �� ���� ea � et �������� ���� ������������ ec# ��� �� ���� �� ��� �� �������� �
� ��� ����� ��� � � ����� �������� ����� x# ����� �$ ��� � ���� � �������# � x# ����� ���� � �� � � ������������#
eabsc = |x− x|,
���� �� ��� 3�� x �= 04 ��� ����� ��� � �������
erelc = |x− x|/|x|,
��� | · | ����"� �%���# � �� ����� ��� ����� 3� �� �����#��� 4 ��������� � ��"���� � �� x�
� ������ ������ ������� "�� ������ �� ��$�� � ����� ������� � !��� �������� �� � �(���� �� ��������! ��# ��� �����"� ���� �� h � ��� �� ��� � ������� ��# �� �� h ������ � � 9# ����� ��$�� � � ���� � ������� ������ � � �� ������$ �� # ������ ��� ��� ������ ������������ *�� ����# �� ��� 3 ����� � ��� ���4 �� � �� � �� �� ����� �� h � ��"������ ����
ec ≤ Chp 3'�''4
�� ��� C �� �)��� ������ ������������ �� h � p # ������ ��� ��� ����������� �� ����� p� 8� ��# � � �� �� �� � ��� ��� 3'�''4# �� ��� � ��� �� ���� ��� C′hp ≤ ec 3C′ �� ��� ���� ��� ������������ �� h � p4 ������ ���������� ����� ≤ �� ��
������� ��� M�3������ 1�� �� 3�*�� ���;� �� �� ,��82� f ��3���� x 3�# J2� ��������# 1�� 3��� �� 9 � �:� 0A;������� �� f ,����;-;�# �� x� � �� �������� 1���� �� ��A������ f ′ 3�# J2� ��������#����� 3 � 1���� h → 0� 6������� ���� ;����� � M��82� �� � � �� �7�� ���3�� ���� Ch �� f ∈ C2 ��� ;�J����8 �� x� �
* ����� � � ������� ��� �� �����"6��� �� �� ��� ��������������� �������������� "����� ��� ��������� � ��� �� ������� h ��� ��� � �" ������ ��� # �� log(h) � ��$ � � ����� � �log(ec) � ��$ � � ���� � �� � ������� ���� ��������� �� �� �1 ��ec = Chp ���� log ec = logC+p logh� <�� ��# �� ��� � �" ������ p��������� ������� � ���5 ���� log ec �# ����� ��# �� �������������� � � ��� ����# ���� �� � �� ������� ��������� ����� ���� � �� ���� � � �� "����� � ��� � �" ������ ��6���� � ��������� �� ������# � �� �� � � ��� ��"�� � ��������(& # ����������
� � & � ������� ��� ���6� � ����� � � � ���� � � �� � �� ��������� ��
<� �$����# � 2�"�� '�: � ���5 � ���� � ��������� � ����� ����� � ��� �� ��� ���� ����������� * ���5 ������ ���������
�& K �2� � �7 ����� �&
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−12
10−10
10−8
10−6
10−4
10−2
1
1
1
2
������ ���� C-=�� �� ���# #� >����
�� ��$�� �� �� ������� ����# ���� �� ��� ���5 �� ��� ���������� �� ��$�� �� �� ��"��� �����
=� �� ����� ��� ������ "���� � � �������� � ���� ���� ��� �� �� �� ��5��� � ���� ei ��� ���� � � �"��� � ����hi � � �(���� �� ��������! ��# i = 1, . . . , N 1 ������� �� ���� ���ei �"� � Chp
i # ��� C �� ������� �� i� <���� ���� ��$�� � p���� � ����
pi = log(ei/ei−1)/ log(hi/hi−1), i = 2, . . . , N. 3'�'I4
�� �����# ��� �� �� ��� � ���� � ������ ����� �� ��! ��� �������� � ����� �����5���� � ?�� ��� �� ��� ��������� ������!��� ���� � ���������# � �5 � � � � ������ �� ����# ��� ������ � ������ � ��%��� ���� O����� �"��� �$����� � � ���� �� I�I�'# I�M �K�K�
�/ /� 8������ �� ����
�� "�� �# ��������� �� ������ � ����� �� �� �� �� �"����#��� �� �������� ������ �� ��� �� ��$�# �������� �� �$������� �� ����6��� ���� �� ��� � �� ������� ����
� �� �� ������������ �� �� �"���� �)��� �� ��� � �� �����"�� J��� ��� �������� � � � �� �$������ H��� � ��!��# ������� �� �� �� ����� �� ������� ��� �)��� ��$�� �� ��� � �� �����"�� J��� ��� ��� ��� �$���� � ��� ��"��� 3��� 4� �� � ������� �# ���� �� � � ��"������ �� � �� ����� � �1 H�" �J�� �"� � 106 flops# ,�" �J�� �"� � 109 flops# ?�� �J�� �"� � 1012 flops�=�� �� �� # � ����� ���� � �� ������ ���"�� ���� �� K9 ?�� �J���
�" 0 1�� �2� �� 3��� � ��
+� �� �� "�� �# ��5������� � �)��� �$ �� �� ��� � �������� � � �� �� ���� �"���� �� ������� �� A �� ��# �� ��! ����#�������� � �� ���� �� "� ���! �� ����� �� �� � �(���� d ����� � V ������� � ������ � *����# ��!��� ��� �� �"���� ��������$�� �� ��� ����� �� �� � �� �)��� �� ��� � �� �������������� d# ��� O(d) ��� � ��X ��� �����$�� �� ����� �� �������� O(d)��� � ��# �# � �� "�� ������# �����$�� �� �������� �� �� � O(dm)��� � ��# �� ��� m �� ������ ������� ����� �"����� ���� ��������$�� �� ���������� 3O(cd) ��� � ��4 � ���� �������� 3O(d!)��� � ��4� T������� ��� ����� O(dm) ��"���� /����� ���#� � "� ���� � ���� �� d# �� �� ���� ��� ��!�� dm0�
������� ��� �������� ����� ! �"���# M�D � �� ���J 1��� ������ n � ��D �� ;���� �� R
n� � j(���� ���3������ �� 3����� Av ��� 3�
aj1v1 + aj2v2 + . . . + ajnvn,
� 1�� �1�� n 3������ � n−1 ��8H��� ������ � ������-�� �,���� n(2n−1)�3�8H�� 3 �#��# ���� � ���3�������� L���� ����� � # ����� ��(;�#;� O(n2) �3�8H��� � ��� 3� ���� �� ���3#�*���� 1��-��� �#��;(����� � 3N���� n� 0 ����� # ����� ��������� �� O(n3) �3�8H��3 �#��# � 3����� �� ��� ���J�� �� ���� n� 6������� �*���� ��# ����� ��;��� M������ 1�� �1�� O3���P O(nlog2 7) �3�8H�� � ������� ��;��� ���� � � 6�33������� 1�� �1�� �*���82� �� O(n2.376)�3�8H��� �
������� ��� �"$�"��� �� �������%�%�� �� ��� ����� # �# ���� ,������������ ���������� � ���������� �� �� ���J 1��� �� ����n 3��� �� �#��#�� ����� ,7��# �����; 9 �':� 0 # ����� ����3��(����� ��� �� ���3#�*���� ,����# �� n � �7 ��� 3#��-;�# ���J�� ��3�1��� ������2�� �� �*��3#�� �� n = 24� �� ���3���� �3J �� �#�J ���(Q�3� 9���� �� 1015 �3�8H�� ��� ;> �# Q������ 3� �� ����: ��(������� �� �� ��� 3 �*���� ���� �-#��#�� ���(�� 3� ���� ������-������ # ������ ��� �=�J��� � ;����� �*���� �� # ����� 1�� 3�(���� � �-#��#� �� ����������� R ���� �� 3������ ���J(���J ��� �����3#�*���� �� O(nlog2 7) �3�8H�� 3#����� � # ����� �� M����� ���(������ 9;� S��@"T:� �
� �)��� �� ��� � �� �� )��� � �(���� ��� �� ��� � ������ �� �� �"����� -� ��� � ��� ����� ��� ���� �� ����V ���%�� � ����� �� 3��� ������� � � ���� �� �"���� ����"� � �4� -� ����� �� � ��������5 �� �� �"���� �� ��� ���� �<- 3�<- ��"���� ������� ����� �� ���4# ���� ��!�� ������ ������� �� ������ ��� ��� ���� �� �� �� ��2����� ���2����
���� �� � ��� ������ ����� � � ��� �� ������� � ���� ������ ������ �� �� �����������
�" 0� �A������ ������ � 0��;� �!
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
������ ��&� ������ ���J(;����$ � ���3� 6�E 9�� �� �����: �� ,��82�� ������2� n � ���J 9��� �6 ��&5 CUJ:
������� ��� � �#��# � ���3� ������-�� 3 �*���� �� 3��������J(;����� �������(�� � �� ����� 3� �$
� � � �� �&� � �� 0 � ,��� ��.��� 9 � ,��� ���� C�')�� ��!�0 � ' )� ��%�& � ��� $�, < � �; �&� ;�
00 � 0��;< .�;<�� 99 � 9��;<�*�& � � %&��� � � � 00#99� && � � %&��� � &�C � 'C. &&)� ��!�0 � '��!�0 .<)�
���
� �����82� �;�&� ;� 1�� 3��� �� ���#� $�, � ����� �� �4���� � ,�� �9����9����&� #<� ���� < � �� ������ 1�� ;� �� <���� ����� <��� � ��������� �# 1�� ���&� #<��� � ���� 1�� � 9�� ��� ���������� ���� ���� �&� ��:� 0 ������ ,�����.�� ��=�� �� ���J �� ��D�� �#������� �� 1�2� #��7���� �� =�� C � � ;���� ��D� ���3������� ����F� � ���3� 6�E������-�� 3 �*���� �� 3����� ���J(;����� ��1���� 1�� � %&���
�- � ���3� 6�E 9�� �� �����: ���#�J�� 3�#� 3������ �������� ����� ���� ��>���� 0 ���3� ������-�� R �*���82� �� �� 4���� 3� � �� 3������ ��,���8 ���� � ���3� 6�E �,����;� � � �#��#�� ���� � �*���82� ��3� � �� ����� ���� � ;�-;�# &� 0 -=�� � )� � �'� �A������� � ������ ��&���!�0.C.*�*�� ���� 1�� � ���3� 6�E ����� ����� 1���� � ���� � ���J �� �
��! " �#����� �$%&$' � " �(�
�� ��"� � � �� ������ � ��� �� �� �������� ����"� �� �� ������� �������� � ���� ��! ��� ���� ������� � � ���"� "��� � � �[[�
������ ���������� �� ?5� H �5D�Q� 3��� ������� � @��666����:6��;�����4� � ��� ��� ��� �� ()&�� �)*������' ������� ����� ������ ���������� � � ������ � ����� ��
��� ��# � ��� ��5���� �� ,&- ��� �� 3��� ������� � @��666�����0�����4# �� ������� ��� �� ��������� ����������� E �������
�' 0 1�� �2� �� 3��� � ��
������������� �\� �������� �� ����� � ������ ,&- ������� �������� � 3,<G4 ������ � ��� +��� ,������� +���������
? � �� ��������� � ����� ����� � �����# �$����� �������� ������ � ��������# � ���"� "��� � � ������� �� ������ � ���� ��� �����# ��� ����� �� ��� ������� �� ������� �$���� � � ��� ��� �� ��"� � � ����� ����# � �� �� ������ �� �� ��� ���8� �� � � �� �� �������# ����� � �� ��� �� �6� ���� ����� $�# � ����� ������ � �� �� ���������# � ��� � ����� ���$�����# ������������� �� �� � �� �� � � ����� ��� ������ �� �$���� �� � ����� ��� ������ ��� �����
*���� �������� ��� � �� � ������� # ��� �� ����� �� � �������� �� ���� �� ���������� �� �� � ������ �5 � � ��� �����"� 3��� ���� � @�� ����0����2��������� ��4� ���� ������%�� ������ �� �� ���� �� �� ���������� �� ���� � ��� � ����������# � �� ����"��� ���� �# � ���!�� ��� �� �# �����! ��# � � ������ � ��� � �"�� �� < � �$���� � ������ ����� ��� � ��"� � � � �$���������� ���� �� ��� ��# ������������� ���� � � ��� �����"��
+���� �� ���� � ������� � ��� ��# ����� ����� �� �������� �� �� � �5 � � �����! � ��� ������ � �������� � ����0�9�<�
����0�9�< �� ��� ��# ��������� ������ <� �$����# �� �� �$���� �� ������� � ��� ����� �� ���� � ����
D 7 0 C = 0 2 6
3� +,�/�& � (���� C�� 7�&�:�,<�. 8��
E�,���� �� � �F���
7�+ 1. ��
C� /�& �&�,&��. �����& 70C=02 G�� �, H���� $,�� &�� G�� ���%
V<� ��� � �# �� �� �$���� �� ��� �� ����IJK L�&�9�. 9�,���� ���� ��(1M1�� �����%��/�%�
3� +,�/�& �3� �� N��� : 5�&��
C��� �� $,�� ��$&��,�� ��� &�� ��%,�� ���� $�, �� +��/ �����&����
C��,� �� 02@L=KC5=O JL :0FF0JCO� ��& �9�� $�, 75F3G0JC828=8CO �,
P8CJ5@@ PLF 0 A0FC83K=0F AKFAL@5 P�, ��&����. &+ � >��,,��&+*
0���&����� ��$�,��&��� ���%& L�&�9� �� �9������� �&
�&& ;�������&�9��,/
A����� ���&,��%&� �$ +�% $��� &��� ��$&��,� %��$%�
P�, ��,� ��$�,��&���. 9���&
�&& ;�������&�9��,/���� ����&���&��
F� �,& �%/� &� D�%/Q��&�9��,/6 ��%& $�,�&. ����� ,���
�&& ;�������&�9��,/��%/��&�� &� ���,� ��� &� �,�&� � ��� $%�
,� �,&�
��&�9�;�6
�! � #�� � �� ������ �@
��) $ ���*�*�� �$%&$'
+���� � � ����� � �� �������%�� � � ����� ������# ��� �� ������� �� �� �� � �5 � �� �������� ������ � ��� ��� * � ������ "� H*?G*A ����"� �� �� ��������� �� �� ��� ����� ������ � ��� ���
+���� �� ��"�� � ������� 3� ����4# ��� ��� �� �������� ������ ������ ���� ��������� �� � H �� ������ �����# ������ ������ ������� �� ��� �� ������ ��������� � ������� �� ������ � � ��� �� �� �� ��"� � � � �� ��� ������� �� ������� ����� � ������ � �� � �5 ���# ������ �� �� ���� "�� �� ���� � ��������# �� �� �$���� � � ��� ������������ ���� ��! ���� �� ����� �� ��� � � ��# ������ ��� �� �� ������ � � � ������� � ��� ���� ���� ������� ��� �� ���� < � ������ � �� ����� �������� ������ �������� �� �� 2�� 3� ����4 � ��"� 2��
������ � ������ * � ���� �� "� ���$ ���� �� ����� � ��� � � �$������� �� ����� ��"� � � �� �� �� ��� ��������� ��"�� � ������*�� ����# �����! ���� ���������������� � ����� ��"� � # ������ �� ��� 8� �� ��� �� �� �� ����� � �� � � �������� �������� ��� �� ������ 3�� �$����# �� �)��� � �� � ��� ��� � ������ ����� �� �4 ��� �������� ������ ����� � ����� �� ����� � ������ �� ������ � � 3 ����� ��� � ��"�6� �� ���4� <� �$����1 � �
� *���� *
��� �����
�� ���������� �� ��"��� �� �� � ��� 3� �)���4 �� � � �������# � � �� �� ���� �� � ���
<���� ��� ���� � ������� �� ������� � ���� ����������� ��� � ���"�� ����� � � ��� �� � � ������� *����# �� ����������� 5����5,������ ��� ������������ ������� ������ 3 ���� ������� � �� 5����5 V � ������ � �4�
H �� "�� ������# �� �� � ������� ������� �� � �� 3� �� �
� ��� �� � � ������4 �� � � � ������� <� �$����# � � ���� � � ��� 5=� 0� 1� � 4�����5 V � ������ �# ����� ��������� ��*2��9���� � =����� *�
<� ����"�����# �� ��������� ���� � � ��� �� �� � ������#�� ��� ������ � �� ������� � ��� ��� ������ <� �$����# ������������ ��*# � ������ � ��� "� ����� �� �)��� � �� �� � ��� �� � � ������� ��� J�$������ �� �� "� ���� � <� �$����# ���$ ��� �� � ������ �5 � � 2�� � �5� ��������� �)��� *# ��� ��� ������ �� � �� �� 2�� �� ������� ���� ���� �� ���
3 ������ �� 3� � �� ������ �2� ��� ���������� �� �� ���3�#������������� ���� #�� � ���� ���� � )��� �� � 6�
�� � � ��� � �� � � ������
�������� ������� � � � � � � ���� � � ������� � ����� � � ���� ����� ����� � � � �� ������ �� � ���� � ����� ��������
��� ������� � ������ ������� ��������� ������� � � ���� ����
������� � � ���� ��� � ��� �� ������� �� ���� ���������� � ���
������ ������ �� ������� ��� � ����� ���� ���� ���� !������ � � �� �� ������� � � � � ���� ����� "� �� � ��� �����
���� � ��� �������� � � � �� ����� � #��� ������ ������������ ����� ���� � � ��� �� ��� ��� ��� ����� ������ � ����� �������� � ������ � ��� ���� �� �� ���
$ � ���� ���� ����� ���������� � � � � � ���� � �����������
��������� �� �������� �� �������� ����� �� %� �� � �&��� � � � ����� � ���������� �� !��� �� �� ��� � � %� ���� �� '���(�������� � � �� �������� � �� �������� � ���� %��������� ��
�������� � �� ������ ����������� ���
)�� � �������� ������� �� � �� '��� ���� � � � � ��������� � � �� � ���� � *� � � ���� � ��� � � ���� �� ����� ��� � ��� �� � ��� � � ���� �� �+��� � ��� ���� � ���� ��� �� ��� � � �
� � � � ���� �� � � ������� ���� ��� �!�� ���� �� ����� � �!"��! !" ##" ""
���� ��� �#�� ���� �� ����� � �#"�� ����� � �""�� ,�������� ��������� � ����� %� �� � � ����� � � � ���� � � �� �-��� � ��������� � %���%�� ����� � � ������ �
����� �������� � ������
.�� �������� ������ � �� ������� � � �������� ������� ������ �������� � �������� � ����� � � � �� ������� ����� � �� �� ������ � ����� ������ ���� � �� �������� � ����� � �� ������� �� � �� � ��� ���� � �� � ������� � �� ������� � ��� � � ��������� � � ������ ����� � � � �� �������
� �������� ������ ������ �������(� ������ ���� � � ���� ���� ��
$ ��� �������������� �� � ������ ' ��� ����/�� �������� �
��� ����� ������� �������� ��
��� ����� �����
������� ����� ��
���
�� �����$%����� �����$%����� ��� �������� � �&��� � � ��������(� �+����� � ������� ��& � ��� �� �� 0 � 1 �'��� � �������� �� � ������� � ����� � � ��� � 1 ������� � ����� �� ����
�! � #�� � �� ������ 5
����� ������������� �� �� � � ����� �� ���� � �� �# � ���2@A��� ���� �$���� � � �� � �� � �� 1�@A��; �� 9# � �� ��� V ��������"������
<� �$����# � � � ���� � � � �!�� �� �� ����%�� �� ������ax2 + bx+ c ����� �� � � ��"������ ������� �� 3 �� �� 1�����
�$ ������������ ��� ���� ������ ����� � �6������41
� �$ � �� �- � �-,& ��#� � �#�#������� � �#� �� � �-�������� � �#� �� � �-����
�����$ � �� ���� � �����
�����$ � �� ��� �* 5-%�RS� �� ���T9�� *��
������� �* 0 �-%�RS� ���� U %�� ����&����� *��
���
3'�'M4
&����� ��� ������ �� �$���� �������� ������ ���� �� ����� ��"�� � �������� � 1�
������ ������� ��� ���� �� �����# �� ���� ��� 3��� ����� ���� �� �� 2��� � � ���� ��� �� �4 � �� ���� �!��� -� ���� ��������� � ������� �� ���� �� ��� ������ �������� � � ���� �� ��� � ����� ���5 � <� �$����# � � � ���� � � �������� ���� ������� �� ������� �� 2��� ��� fi = fi−1 + fi−2# � � i ≥ 3# �� f1 = 0� f2 = 1# ����� �� � � ��"������ ������� ��1� $��� � � $��� � ��� $�, � � '" � � 1)
$��� � $�� ��� � $�� �������
&����� ��� �� ��� �� � �� ��� � ���"�� � � ��� � � ���� � �������� �� �� ������ ��� � ����� � ���� ���5 � ���������� ��� ��� �� ��� ���������� ��"��� �������� �� � ��� � � "9�# ��� ����� ������ � ���� �!�� ������ �� ��� �� ������� �� ���� �� �� 1�@A� � � �� ���� ���� � <� �$����# ��"����� ������ �� �������� �� ��� ��� �� � �� ����� ��� ������ ������1� $��� � � $��� � �� < � "�� ����� < D� 1
$�<� � $�< ��� � $�< ���� < � < � �����
�$����� ��� � ������� �� ��� �� � ���! ���� ���������# �� ���!# �� �# ��!��� �� � ����� �������� � ����� ����� V �� �������� �� �� � �� �� :����
�/%/� 6�� ������� �� (�9:�;
�$�������� ���������� �� �������� ��"� � � �� ������� -��� ��"� � ���� ��� ��� � ��� ��5��� ��� ��� ����� �$����
5� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
�� � �# �5 � � ������ ����� ��5���� ����� ��� ��� �� ��� ��������%��� ��� ������ ����� ��� ��� ����� � ����� X �� ���� ������ ���� �� �� �� ���: 3��� :��� ���: � � ����������:
����� � �� ������%�� ��� ���� 4� � ������� ������%�� �$ ��� ��� ������ ������%�� � �� � �5 �� �����
* ���� ����� ����� ��� ������"��� ����� ���� � ���$/� � -� ���� ������������ �� ������ �� �� ��� �� ������ ��� �������� ��� ��� �� � ����� ���� ������ <� �$����# ������ �� �������� �� 3'�'M4 ��� � � ��"�� �� ���� 3 ��� ������� �5 � ��2���� 4 ��� ��� � ��5��� �2���� ��� < � � �� �# ���������������������� �������� �2���� ����� � ����� � �� �������H��� �� ��� �$�����1� � � �� � � �� � � ��� �-%�&���
��� ��� � (11� �� � (11�
� � � � � � �� � � ��� �-%�&���
��� ���
�� �� 5� ������ �� �� ���� � \� �� # �� � � � ������� �����! � ���� ���� �� � ��� � � ������� � ����� �� �� � �5� ��� � � ��������% ���� � " � � ����� �� ��"�� � �$������ ����� �� �� 3�����4�.�� �� �� �� � ���� �%��# �� �� �� �������� �������� ��"� � ������$�� �� �����# ����� ������� ���� � � ������� �������� � �#��� � ��� �����# ��� � � ������� �� ���� � \� �� # ��� �� � )��� ���� ���� ��� ������� ����� "� �� � � �� �� ������� �$����� ���"� � � &���� ������# � ���$/� �� ���� � �� J�$����� � ��� � ���� �
-� ���$%� � ��� �� ����� ��� �����# �� �$���� �����# � ���� �� ������ �� �� ���� � \� �� ��� ������ # ��� �� ������! �� �� �� �2 ���� �2 ����
$%��&��� '�%&� .. �%&� )� ���� ���� ..����
��� �2��(���(�2� �� � � ������� �� � �� � � �(���(� � �� �� ������� �� ���� � �
� ��5��� ��"�����# �5 � � 1���"��# ����� �� �� �����# 1���"���# ���� �� ���� �%���� � � � ����� '�M# � ���� �������� ����� �� � ���! �� ���� I � M1$%��&��� ��&���&�"�0�VH5C�" ����%�� � ��&�,�����&� �� %�� ��&,�! -%��,���V �� �,��� � �% "'�.�)� ��!� �0���$ ����
�$ ������& � 0�� .��#0��.��� 0�� .��#0�� .���
�! � #�� � �� ������ 55
�����$ � �� "��& � 0�� .��# ��&�"�0�'� .") .'� .")�� �
0�� .��# ��&�"�0�'� .") .'� .")���0�� ."�# ��&�"�0�'� .") .'� .�)���
������� �* 0 ���� ��&,�!�� ��� �% "�" *��
�������
��� �* 0 ���� ��&,�!�� -%��,���� *�����,�&%,�
&����� �� �� �����6��� � ��� � � ����� � ��� �������� ������ ���� ���5 ��"����� � � � � ���� % � � ����� � ���������� * �������� %-�.�(%/(.;(�/ ������� �������� �� �� � ���! 2 × 2 ���� ��������� �� � � � ���! ��"�� � * ���� �� � � ��������� �� � � ����� � %���� ���5 � �� � ;���� � ����� ���� ��
8� �� �� �5 � �� ���$%�# ������ ��� �� ��� � �� �� �� �5 �� � 3 � ��$� �� �����!� �� ���$%�4� �� �� ��� � �������� ���$%� �� �� ���� ������� V� � ������� � ��� � �� �� � �5 "�� �3����� ����4 �� ��� ��� ��� � � ���� �� � �(����� �� ���� � ��� � ������ �# � � ������� �� � � ��� ����� �� � " � � �� �� �$����� ������ # ���� ��� ��� � ������� � �� � �(����� ��� �� �
��� ���� ��� � ���$ ��� ������# 6��� ,�� ���� ���� �� ,��82� �������� 3����� � ��� 373�� ;�-;��� #����� 1�� �2� ���D���� �� ;�(-;��� �� ���� ,��8H�� � �� ;�-;��� �� ��38� �� �A#��� 6������� ��;-�� ,��8H�� 9� �;����#����� � ��38� �� �A#��: ���#�� �� ����;�-;�# ���� /������ ���2� ���� �#� 3��#�� �� �73� ���� ;�-;�#� ������
G�#1�� ����=�82� � ;�-;�# �� # �� �� ,��8H�� �3�����(�� �� ����� ,��8H�� 1�� ���#�� ��� ;�-;�# ���� #�A#� •
* �$����� �� �� ����� ������ �� "�� � �� �� �� ���"� �� ��%��" ������������� & ��� ��# �������� ���2� ��� ��� �� � ���2�
� � ��� � �� ���������� ���� ��� 3�� �� �� ������ � �� ���� ������4�
<� �$����# ������ ��� �� ����� � � ��$�� � ������ ������ α = 1.6180339887 . . .# ��� ������ �� �� k → ∞ � ���������� ��� ����� ���������� � ������� �� 2���� ��� fk/fk−1� .��� ��� � ��� �������� ����� ��� ��������� ���������� ��� ������� 10−4# � ������ �������� ��"����� �����1$%��&��� '/����� .<)� $��������$��� � � $��� � �� /�������� � �<��� � �� &�� � �� ���$�, < � "; <���
$�<� � $�< ��� � $�< ����/����� � $�<��$�< �����$ ����/����� � /�������� � D� &��
,�&%,����
5� 0 1�� �2� �� 3��� � ��
/�������� � /���������,�&%,�
* �� �$����� ������������ �� �� ;������� ���� � �� � �� �� � �� ����� � �������� ����� �� � ���� � � ��������� � �� ����� ��� ���������3� <���� ���� ��������� '�� �� .��&�,)� $��������
�� �� ��1�(���������1
��&�, ���
* �� �� 'K ���� � �� ����� ��� ��"�� �� � �� ��$�� � ����� � �������� > �" ����� ��"���� ���� �������� �� � �� α�
� �)��� �� � �(����� �� ���� � � �� � �� �� �� ����� �������� ��� � �� �� <� �$����# ����� �� ����� � ���$%�2��� ��� � ��"����� � ���� 1$%��&��� '/����� .<)� $��������� �&�� .<��� ��$ ��,/�� ��
<��� � �� &�� � �� ��� V 9���,�� �, ��$��&������$ ��,/�� �� �
<��� � �� V 9���, �, ��$��&� � ���� �,� <������$��� � � $��� � �� /�������� � �$�, < � "; <���
$�<� � $�< ��� � $�< ����/����� � $�<��$�< �����$ ����/����� � /�������� � D� &��
,�&%,����/�������� � /������
���,�&%,�
* ���$%� ���� �� �)��� �� � �(����� �� ���� � � & �� ���� ����
�� � ���$%� ���� ���� ������ �$ � �)��� ��$�� �� ���� � �������� � �������� � 3;���4 � �������� � �� ����(��� ���� �� ��� ������ �� � �� �# ����� �� �� � ���� �� ������ 3� ��� � �# ;���� ��� � ��� � �����34� * ����� �� �$����# ����������1� '�� �� .��&�,)� $��������� ��� �1 .��
�� �� ��1�(""(�"��"
��&�, ��
&����� ��� �� �� �� ����(��� � �� ��������� # ������ �� ��� �� ��$�� � �� ��� � P �������� �" ����� ��"���� ���� ��������� �� � �� α�
<����� �� � ���� � �$����� � ����� � � ���� �)��� ������ � �(����� �� ���� � � <� �$����1
�! � #�� � �� ������ 5&
� ��,/���*$��������� *�
� � �
�
��� ���� ��� �'�%�(�� ������# 0 ������ ������� ��D ����*� ��� � �� ����3#�� � /���������� ,.�,/�.�,/�..�,/��� ���# ,��82� / 1�� ��(3���� �� ����� �,/�.�,/�..�,/�� � ���� �� , ������ �*3���2� ��/� �� �*��3#�� /��������*����,�*.*,*� ���# ,��82� g(r) = sin(r)� 0������ A�;��� /���������� ,� ��3H� ��3#��������� 1�� �� , � ��,��82� � ;�-;�# 3� ��,���� �� �� � 1�� �� ,��82� ������ ���� �������#�� 3������� �#��#-(# �� 1�#1�� ���D���� �� ;�-;��� �;���� ������ $�9��� �� �*��3#�� 3 �#��# / ��� 3����� !�' �) 3����������;�
� $�9���*/*.!��
����(�� 1��� ���������� �9��� � ������ $�9�� �2� �*� � 1�� ����� � ;�-;�# 9!: ������� ��� � ���� ���A7#��� 9,: 1�� = � �� ������������� •
& ��"������ ���� ����� ��������# ��"����� ��� ����� �$����� ������ �� �� �� �� !���# � �� � ���� ��!� �� ���������� �� �� ����� �"����� �� �� � ��"� � � �������� ���������� <� �$����# ��"�� �� :��� ��� ����� �� �% �� �������������� � �� �� ��� � � � ��� �� ����� �� ���� ������� �������5 ���� ���# � �� �� ��# 6:���# �6���:# ����; � � 1� ������� �� �� �� �� !��� � � � � �� ���� � ���� ��# ���5� ��� ���"������ ����� ��5������� � ���"� "�� �������
������ �/% +� �� �� "�� �# � � ���� � �� "���� � ���������� ��� �� �6� � �� �������� �� O�������� ��� � �� � ��� �� �� ���� "����� ��� � ����� � ���� ���� ��� �� �� �� ��� ��"� � �#� � ������ � �� ��� �� �������� � ���� ���� ��� <� ������# ��� �������! ,&-<�� � � � "�����X � �� ��� �� �����5 �� ����������� �� ������ � �� �� ������� & ����� �� ��� ������������ ����� �$����� ��� � �������� � "���� � �� ��� ��# � �� ������0�) 3���# ���� @�� :���9����0�)���2��������� ��4# ����;3:���9666�����;�1�4 � ������� 3:���9����������2��������� ��4� ��� )���� ���� ������!�� � �� ��� "����� �� �������� ��� ��� �
O�� � �$������� '�N�'�'K�
5" 0 1�� �2� �� 3��� � ��
�/%/� ������ �� ��������� ����� � ��� �� �� ������ �������
? � �� �� ��������# ��� �� ����� ���� ���"� "�� ������ � ����� ���������� ���� ��� � �� �� �������� ������ �� ���� ��� �$����� � ��� �� �"�� � �������� � ����� ��� � �� � ���"� "����<�"� � � ������� �� ��� �� ���� �� ��� �$��������� ��������
� ���� ���� � <� �$����# ��� �� ����� � ��� � �� � � ������ �� ��� � ������� � ���� ���&�9�;�6 ��B 2��9���� � =�����B
� � 2��9���� � =�����
��&�9�;�6 ��*2��9���� � =����� *
� � 2��9���� � =�����
���� �� ��� ������ ����� ��� � �� � ������� 3 � �� � ���� ��� �� ��� �� ���� $�4�
.������� ��� �� ���� �� �"�� � ����� ������� ��� ����� � �� ����"� "���1
� ������ �� ������� �� ��� � ���� � ��� �� �� �� ��������<� �$����# .� �/5 ���� ������ ��������# � � .� �/ 5 ������� ��� �� �� � ������ ����� � ��� � ��X
� ������ ������ ������ �� # � � � ���5 � ���� ��" �#,��� ��.
��
���� �� ��� �� ���� �� � � �� � ��,��� ��.
��
�,��� ��. W
��
�� ��� �� � � �� �� X� � � ��6��� # ��� �� ��� �� � ? � ##X ������ ������ ?X� � � ������ � �� ���# ��� �� ��� �� � ��� � � ��� ����$#
���$�,. X ������ ������ ��� � ����
��+ " ,�� ��� (� -�� .���
-� ������� �� ���������� �� �)���� �� ���"�� J��� ��� ��������� ���� �� 7]��N:;# 7=�"9I; � �� 78��9:;�
& ��� �� ������ ������ � �� �����$�� ��# �������� �� �$����7< �NI;�
�@ K*��>���� 5!
< � �� �������� � �� ���������� ������ ����� ��������� � ��� ������ � � �� � �� ������ 7==9>; ��� ������� � �� ���������# �������� 7=GT9';# 7<� 9I;# 7�^H9>;# 7< �9K; �7H=9M;�
< � ��� �� ������� �� � �� � ����� � � ����� ����� � �������
��/ ���� 0 ��
����")"�� ��� G����� �4���� 3������� � ���D���� F(2, 2,−2, 2)W G�#� � ;#� �� εM 3 ���� ���D����W
����")"�� ��� ���� 1�� � ���D���� F(β, t, L, U) ������ 3���������2(β − 1)βt−1(U − L + 1) �#��������
����")"�� ��� ��; 1�� ii � �� �4��� �#� � ;��=� �� �� ��� �������#��� ����� ������ �� 0��;��
����")"�� ��� K���;� � �����8H�� �� ������ 3 ������� �� �(��J ��� �# ��3��� 9��3����;������ ��,���: �� ������2� �� ����� 2 ��� ��# 3����3# � −3 � �� ��# ��3��� 9��3����;������ ��,���:�
����")"�� ��� K���;� �� ������ � �����8H�� 1�� 3������ �,���� ��� ���� ����� � ����� #���� �� ���J�� ������>�� �� K*��>��� �5� � �� �� ��� � �����8H�� 1�� 3������ ��� ���� 1�� � ���;��#����
����")"�� ��� +��=� �� �� �� ������ ;������ �� R4 �2� #�������� ����(
3��������$
v1 = [0 1 0 1], v2 = [1 2 3 4], v3 = [1 0 1 0], v4 = [0 0 1 1].
����")"�� ��� K���;� � ,��8H�� �� ������ � �#��# � ��� 3����� ��� ���� ���;��� A�� ���� � ��� 3�����;�� ����� ����� �+������
�� ������$
f(x) =�
x2 + 1, g(x) = sin(x3) + cosh(x).
����")"�� ��& � �� ��� ;���� 9 �� ������2� n� ������� ��� � ��(���� �� ��+�9� �� n+1 ���=������� �� 3�#��7��� p(x) =
�n+1k=1 c(k)xn+1−k ���&
1�� � � �# Πnk=1(x − v(k))� K� ������� �*��� ��;�� �A��(�� 9 �
,��&�� ��+����� �� ������� ���� �2� ������� ��;��� ��� �� �����(������ +��=� ���� ���#���� ����� � ������ ,��&�� ��+�'�;�)��� ����� ;� ���� � � �&�
5' 0 1�� �2� �� 3��� � ��
����")"�� ��* K���;� �� 3� � 3 �#��# �� ����� ������2�$
I0 =1
e(e − 1),
In+1 = 1 − (n + 1)In, ,� n = 0, 1, . . . .
6��3 � ���#��� ������� ��� � #����� �*��� In → 0 1���� n → ∞�
����")"�� ���+ K*3#�� � ���3������� � ������2� 9 ��: 1���� �#��(#� ��� �������
����")"�� ���� 6������ � �� ����� # ����� 3 �#��# π� C� n3�� {(xk, yk)} �� �4���� #��7��� �� ����;#� [0, 1] � �#��# �� �� ���� �4��� m ��� 1�� �� ������� �� 3����� 1����� �� �>��#� ����-������#������ π � � #����� � ������2� πn = 4m/n� K���;� �� 3� ��� ������ 3 �#��# ��� ������2� � �A��; �;�#�82� �� �� 3;#��� ��������� �� n�
����")"�� ���� M���� π ��� � ����
π =
∞�m=0
16−m
�4
8m + 1− 2
8m + 4+
1
8m + 5+
1
8m + 6
�,
3������ �#��# �� 3�*��82� �� π ������ �� n 3������ ������ 3n ��=����������� ���� K���;� �� ����� �� ������ 3 �#��#� ���� 3���� ���� ����� � 1�� ;#��� �� n � 1�� �� �A��� ��3�*��82� �� π ��� ���� 3����2� � ;�-;�# πW
����")"�� ���� K���;� �� 3� � 3 �#��# �� ���=������� A�������(n
k) = n!/(k!(n − k)!)� ���� n � k �2� ���� �4���� ����� ��� k ≤ n�
����")"�� ���� K���;� �� ������ �� ����� �����; 1�� �#��#� �n(����� �#������ fn � ������2� �� )�A������ MA���� 1���
fi
fi−1
=
�1 11 0
�fi−1
fi−2
9 � �:
����;� �� ��� ����� 1�� �#��#� fn ��� A�� ���� ,�� �����;�)��#������ �#��# � ���3� �� 6�E ����3��������