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Programa de Pós-Graduação em Ciências de Computação e Matemática Computacional (PPG-CCMC)

O método das interfaces imersaspara a solução da equação de

Poisson-Boltzmann

Miguel Angel Rojas MezaDissertação de Mestrado

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________

Miguel Angel Rojas Meza

O método das interfaces imersas para a solução daequação de Poisson-Boltzmann

Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências – Ciências de Computação eMatemática Computacional. VERSÃO REVISADA

Área de Concentração: Ciências de Computação eMatemática Computacional

Orientador: Prof. Dr. José Alberto Cuminato

USP – São CarlosJulho de 2017

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Meza, Miguel Angel RojasM634o O método das interfaces imersas para a solução

da equação de Poisson-Boltzmann / Miguel AngelRojas Meza; orientador José Alberto Cuminato. –São Carlos – SP, 2017.

70 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduaçãoem Ciências de Computação e Matemática Computacional)– Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,Universidade de São Paulo, 2017.

1. Mecânica dos Fluidos e Aplicações.2. Poisson-Boltzmann. 3. Método das InterfacesImersas. I. Cuminato, José Alberto, orient. II.Título.

Miguel Angel Rojas Meza

The immersed interface method for the solution of thePoisson-Boltzmann equation

Master dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for thedegree of the Master Program in Computer Scienceand Computational Mathematics. FINAL VERSION

Concentration Area: Computer Science andComputational Mathematics

Advisor: Prof. Dr. José Alberto Cuminato

USP – São CarlosJuly 2017

Este trabalho é dedicado às mulheres da minha vida,

avós, mãe, irmas, tias e primas.

Em especial, a memoria de Elvi e para meus amores Ly e Alicita.

AGRADECIMENTOS

A Deus pelo dom da vida e da fé. A meus pais Miguel Angel Rojas V. e Leda Meza P. portodos os esforços que fizeram para eu poder conseguir estudar. Também a minhas irmas Vianyse Merly. A meus familiares, em especial às minhas avós Lucila e Ana por tudo que elas fizeramna minha vida. À minha mulher Elaine Cristina pela força, amor, carinho e compreensão nosmomentos difíceis e a minha filha Alicia Mariana por me fazer tentar melhorar a cada dia e fazerfeliz com seu sorriso e todo o seu amor. Ao meu orientador Prof. Dr. José Alberto Cuminato pelacolaboração, paciência e pelas chances dadas e ao Prof. Dr. Leandro Franco de Souza por meajudar mais do que eu precisava. Aos meus amigos Rodolfo, Rogelio, Alfredo, Edwin, Miguel,John, Ruben, Henry pela ajuda e incentivo nos dias difíceis. Aos amigos e colegas do laboratórioLmacc, funcionários e professores do ICMC-USP, pela convivência, dicas e ajudas na pesquisa,menção especial para o Stevens, a Fran e o Mílton que foram os que mais me ajudaram. AoConselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico-CNPq pelo apoio financeiro.Finalmente a todos os que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.Muchísimas Gracias!

“Transforme as pedras que você tropeça nas pedras de sua escada.”

(Sócrates)

RESUMO

M.A.R MEZA. O método das interfaces imersas para a solução da equação de Poisson-Boltzmann. 2017. 70 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Ciências de Computação eMatemática Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidadede São Paulo, São Carlos – SP, 2017.

A equação de Poisson-Boltzmann tem uma vasta gama de aplicações, desde a ciência coloidal emicrofluídica até bioquímica e biofísica. O potencial elétrico na dupla camada elétrica leva a umpotencial de força, em termos das equações de Navier-Stokes que é então usado para simular ofluxo resultante. Em escoamentos bifásicos uma simplificação desta equação é usada para seobter o campo de pressão.

O presente trabalho tem como principal objetivo estudar o problema de Poisson-Boltzmann comcoeficiente constante e propor uma solução através da implementação do método das interfacesimersas utilizando diferenças finitas de altas ordens de precisão numérica.

Palavras-chave: Mecânica dos Fluidos e Aplicações, Poisson-Boltzmann, Método das InterfacesImersas.

ABSTRACT

M.A.R MEZA. The immersed interface method for the solution of the Poisson-Boltzmannequation. 2017. 70 p. Dissertação (Mestrado em Ciências – Ciências de Computação eMatemática Computacional) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidadede São Paulo, São Carlos – SP, 2017.

The Poisson-Boltzmann equation has a wide range of applications, from colloidal and microflu-idic science to biochemistry and biophysics. The electrical potential in electric double layerleads to a force potential in terms of the Navier-Stokes equations that is then used to simulate theresulting flow. In biphasic flows a simplification of this equation is used to obtain the pressurefield.

The present study has as main objective to study the problem of Poisson-Boltzmann with constantcoefficient and propose a solution through implementation of the immersed interfaces methodusing high order finite difference scheme sand thus get high order numerical accuracy.

Keywords: Fluid Mechanics and Applications, Poisson-Boltzmann, Immersed Interfaces Method.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa . . . . . . . . . . . . 22Figura 2 – Solução para a equação de Poisson-Boltzmann em 2D . . . . . . . . . . . . 25Figura 3 – Ilustração da função f (x) com descontinuidade em x = α . . . . . . . . . . 32Figura 4 – Ilustração da discretização do domínio na descontinuidade . . . . . . . . . . 34Figura 5 – Ilustração da discretização explicita do domínio para o método de segunda

ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 6 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa circular . . . . . . . . 50Figura 7 – Soluções de segunda ordem, h=0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 8 – Erro de segunda ordem do exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 9 – Soluções de quarta ordem, h=0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 10 – Erro de quarta ordem do exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 11 – Soluções de altas ordem, h=0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 12 – Erro de altas ordens em escala logarítmica do exemplo 1 . . . . . . . . . . 57Figura 13 – Solução segunda ordem do exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 14 – Erro de segunda ordem em escala logarítmica do exemplo 2 . . . . . . . . . 59Figura 15 – Solução quarta ordem do exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 16 – Erro de quarta ordem em escala logarítmica do exemplo 2 . . . . . . . . . 60Figura 17 – Solução de alta ordem do exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 18 – Erro de alta ordem em escala logarítmica do exemplo 2 . . . . . . . . . . . 61Figura 19 – Solução segunda ordem do exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 20 – Erro de segunda ordem em escala logarítmica do exemplo 3 . . . . . . . . . 63Figura 21 – Solução quarta ordem do exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 22 – Erro de quarta ordem em escala logarítmica do exemplo 3 . . . . . . . . . 64Figura 23 – Solução alta ordem do exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Figura 24 – Erro de alta ordem em escala logarítmica do exemplo 3 . . . . . . . . . . . 65

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem, exemplo 1 54Tabela 2 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem, exemplo 1 55Tabela 3 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem, exemplo 1 . 56Tabela 4 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem para o

exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Tabela 5 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem para o

exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Tabela 6 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem para o exem-

plo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Tabela 7 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem para o

exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Tabela 8 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem para o

exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Tabela 9 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem para o exem-

plo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 FORMULAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 Interface Imersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 IIM clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Série de Taylor corrigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 Diferenças Finitas Compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Esquema Compacto de Alta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Esquemas Explícitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.1 Diferenças de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.2 Diferenças de 4a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.3 Diferenças de Alta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Equação de Poisson 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.1 Condições de contorno do tipo Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 RESULTADOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1 MII em Poisson 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.0.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 MII em problemas de Poisson em 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.0.1 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.0.2 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1 Trabalhos gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

21

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

As equações de Navier-Stokes modelam o escoamento de fluidos que podem ou nãoconter estruturas imersas. A solução numérica dessas equações pode ser realizada através deum método de projeção onde uma versão da equação de Poisson-Boltzmann é resolvida a cadapasso de tempo para fazer o acoplamento entre as equações de continuidade e quantidade demovimento.

Devido à aplicabilidade em diversos campos, a equação de Poisson-Boltzmann é am-plamente estudada. Uma boa revisão desses métodos pode ser encontrada em (LU et al., 2008)e cabe destacar os métodos de elementos finitos com domínio irregular (CHEN; HOLST; XU,2007) são muitas vezes utilizados para resolver a equação de Poisson-Boltzmann.

A principal dificuldade com os métodos de diferenças finitas para a solução da equação dePoisson-Boltzmann é capturar corretamente a geometria com as condições de contorno corretasna interface (CHEN; HOLST; XU, 2007). Alguns esforços para resolver este problema sãopropostos em (ZHOU; FEIG; WEI, 2008) e (GENG; YU; WEI, 2007). Estes autores foramos primeiros a implementar o salto da interface e os métodos de fronteira para a equação dePoisson-Boltzmann.

A interface também pode ser capturada com métodos de interface imersas, que para aequação de Poisson-Boltzmann só foram utilizados em geometrias simples em duas dimensões(ou três dimensões espaciais com simetria) (QIAO; LI; TANG, 2006). Matematicamente estetipo de problema leva a equações diferenciais, com dados e soluções com descontinuidades nasinterfaces. Alguns métodos desenvolvidos para solução desta equação não funcionam devido àsirregularidades.

O método conhecido por Método de Interface Imersa (MII) foi desenvolvido por Levequee Li (LEVEQUE; LI, 1994) para melhorar a ordem de precisão do Método de Fronteira Imersa(PESKIN, 1972). Este método trata as equações com coeficientes descontínuos e são utilizadospara resolver numericamente problemas de valor inicial e de contorno em domínios com geome-

22 Capítulo 1. Introdução

Figura 1 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa ∂Ωi.

Fonte: Linnick e Fasel (2005).

trias irregulares e evita o uso da distribuição Delta de Dirac para definir o termo forçante. Paramodelar as descontinuidades na interface, os coeficientes no cálculo das derivadas por diferençasfinitas são modificados e termos de correção são adicionados e determinados dependendo dosalto da função. Pode-se obter segunda ordem de precisão (LI; ITO, 2006) e, com a imposiçãodas condições de contorno em situações onde a geometria do domínio não coincide com a malhacomputacional, como mostrado na Figura 1, é possível obter quarta ordem (LINNICK; FASEL,2005).

Recentemente foram propostos métodos de elementos finitos imersos para algumasequações diferenciais parciais elípticas (JI; CHEN; LI, 2016). Também foi feito em (ZHU;ZHANG; LI, 2016) um método de volumes finitos para as condições de saltos não homogêneas euma extensão da teoria de Poisson-Boltzmann (BEN-YAAKOV et al., 2011), (ZHAO; HOU; LI,2012) utiliza um polinômio auxiliar quadrático para um método de interface imersa de segundaordem que resolve equações elípticas e um solucionador de interface imerso para a equação dePoisson (caso bidimensional). É proposto em (MARICHAL; CHATELAIN; WINCKELMANS,2014) uma abordagem de interface imersa é feita utilizando uma metodologia de segunda ordem.

Na sequência deste texto apresentaremos o Capítulo 2, onde é descrita a formulaçãomatemática referente ao problema que vai ser estudado, enquanto que no capítulo 3 explica-se ométodo das Interface Imersas e as duas metodologias implementadas no trabalho, detalhando-seas diferenças finitas explícitas e compactas que são utilizadas na discretização das equações. Nocapítulo 4 apresentaremos a versão da metodologia utilizada para resolver problemas bidimensi-onais. No capítulo 5 serão mostrados os resultados numéricos obtidos em uma e duas dimensões.E, por fim, no capítulo 6 são apresentados as conclusões e os trabalhos futuros.

23

CAPÍTULO

2FORMULAÇÃO

Neste capítulo é apresentada uma introdução de um problema elíptico unidimensio-nal com coeficientes descontínuos apresentado no livro (LI; ITO, 2006), partindo de umaequação elíptica específica para obter o modelo mais geral que represente a equação de Poisson-Boltzmann.

2.1 Modelo matemáticoConsideramos o modelo elíptico unidimensional, que pode modelar o deslocamento de

uma corda elástica com duas extremidades fixas sob a influêcia de uma força externa, onde avariável β representa o coeficiente de tensão da superfície da corda

(βux)x−σu = f +νδ (x−α), 0 < x,α < 1, (2.1)

com condições de contorno especificadas por u(x) em x = 0 e x = 1. A função β (x) admitedescontinuidade em x = α . O termo δ (x−α) é a distribuição delta de Dirac que tem comofunção representar a interface. O método de interface imersa elimina a necessidade de usar umaaproximação para essa distribuição nas equações de diferenças. Para verificar essa característicado método faremos uma reformulação para o problema, onde será possível eliminar a distribuiçãodelta de Dirac estabelecendo-se condições de salto e a constante ν representará a magnitude dofluxo na interface.

Vamos denotar os valores limites com sinal “+”, quando x > α e sinal “−” quandox < α . Definimos a condição do salto de uma função u no ponto α por

[u]x=α ≡ u(α+)−u(α−)≡ limx→α+

u(x)− limx→α−

u(x)≡ u+−u−. (2.2)

[ux]x=α ≡ ux(α+)−ux(α

−)≡ limx→α+

ux (x)− limx→α−

ux (x)≡ ux+−ux

−. (2.3)

24 Capítulo 2. Formulação

Integrando (2.1) entre x = α− e x = α+, tem-se

∫α+

α−((βux)x−σu)dx =

∫α+

α−( f +νδ (x−α))dx ⇒

∫α+

α−(βux)dx−

∫α+

α−σudx =

∫α+

α−f dx+

∫α+

α−νδ (x−α)dx ⇒

[βux]x=α = β+ux

+−β−ux

− = ν , (2.4)

onde ν é uma constante e para que todas as integrais possam existir, as funções f , σ e β

devem cumprir as condições de quadrado integrável, continuidade e primeira derivada contínuarespectivamente.

Tem-se também que

[u]x=α = ω ⇒ u+−u− = ω, (2.5)

onde ω é uma constante. Uma forma alternativa de escrever o problema (2.1) é requerer que u(x)

satisfaça a equação

(βux)x−σu = f , 0 < x,α < 1, (0,α)∪ (α,1). (2.6)

Aplicando o conceito da condição de salto em (2.6), obtém-se

[(βux)x−σu] = [ f ]⇒ [(βux)x]− [σu] = [ f ] ⇒

βx+ux

+−βx−ux

−+β+uxx

+−β−uxx

−− (σ+u+−σ−u−) = [ f ] ⇒

β+uxx

+ = β−uxx

−+βx−ux

−−βx+ux

+− (σ−u−−σ+u+)+ [ f ] ⇒

uxx+ =

β−

β+uxx−+

β−

β+ux−− βx

+

β+

(β−

β+ux−+

ν

β+

)+

([σ ]u−+ωσ+

β++

[ f ]β+

). (2.7)

Nas expressões (2.4), (2.5) e (2.7) vamos expressar os valores limites do lado positivo ”+”, emtermos daqueles que estão do lado negativo “−”, da seguinte forma

u+ =u−+ω,

ux+ =

β−

β+ux−+

ν

β+(2.8)

uxx+ =

β−

β+uxx−+

β−

β+ux−− βx

+β−

(β+)2 ux−+

βx+

ν

(β+)2 +[σ ]u−

β++

ωσ+

β++

[ f ]β+

.

Para simplificar o problema assumimos que σ(x) e f (x) são funções suaves e β (x) é uma funçãoconstante por partes com salto finito em α . Assim tem-se σ+ = σ−, βx

+ = βx− = 0 e u+ = u−,

donde obtém-se

2.1. Modelo matemático 25

u+ = u−, u+x =β−

β+ux−+

ν

β+, uxx

+ =β−

β+uxx−.

As expressões em (2.8) serão utilizados mais adiante para desenvolver o MII, pois carregaminformações da Interface.

Por fim, consideramos um modelo bidimensional da equação (2.6), com σ = 0 e intro-duzindo o termo fonte k2 sinh(u)+g, que é não linear, e assim obtemos a equação de Poisson-Boltzmann

∇ · (β∇u) = k2 sinh(u)+g. (2.9)

Na figura 2 temos a solução para esta equação no domínio retangular ω = [−1,1]×[−1,1], onde já é possível perceber o tipo de decomposição em dois subdomínios que apareceráem nossas aplicações.

Figura 2 – Solução para a equação (2.9) em 2D. Com domínio [−1,1]× [−1,1], com solução u = exp(xy),β = x2 + y2 e k = 1. Região azul está dentro de Ω e vermelha dentro de Ω+.

Fonte: Helgadóttir e Gibou (2011).

A equação (2.9) pode também descrever o potencial elétrico em uma solução, onde u é opotencial electrostático desconhecido, k é o inverso do comprimento de Debye-Hückel, β é ocoeficiente de dielétrico e g é o termo fonte. Desta forma chegamos a equação que será objeto denosso estudo mas precisamente o caso onde β é uma função constante (fixa ou por partes), comk = 0 e sendo que um dos dois subdomínios tem solução identicamente nula.

27

CAPÍTULO

3METODOLOGIA

Neste capítulo é apresentado o MII que captura com precisão as descontinuidades nasolução, descreve-se os diferentes métodos de diferenças finitas utilizados nas equações eapresenta-se também a obtenção das ordens de precisão desejadas.

3.1 Interface Imersa

O método MII é uma modificação de um método de diferenças finitas tradicional paraaumentar a precisão da solução quando houver descontinuidades nas equações envolvidas.

É de extrema importância para o MII ter conhecimento à priori das condições de salto,que podem ser obtidas a partir de informações físicas ou das equações governantes. Os mé-todos numéricos são modificados de acordo com as condições de salto apenas em pontos ouelementos da malha próximos ou sobre a interface, enquanto longe da interface adota-se adiscretização padrão em diferenças ou elementos finitos. No presente caso, os detalhes utilizadosna diferenciação, serão apresentados na próxima seção.

Um avanço significativo no MII foi proposto por (WIEGMANN; BUBE, 2000) queintroduziram o método das interfaces imersas com salto explícito. Esses pesquisadores fizerama simples, mas importante observação: técnicas de diferenças finitas falham quando aplicadasà funções não suaves, pois a expansão da série de Taylor em que as mesmas se baseiam sãoinválidas. Neste contexto, uma expansão em série de Taylor incluindo saltos é utilizada paraobter aproximações de segunda ordem de precisão. Segundo (LINNICK; FASEL, 2005) aprincipal ideia do MII é que os esquemas de diferenças finitas nas interfaces imersas devem sercorrigidos para manter a precisão do método numérico. Além disso, segundo (LI; ITO, 2006)o MII é um método de interfaces imersas no qual as condições de salto são forçadas exata ouaproximadamente.

Existem vários tipos de problemas de interface dependendo da estrutura das equações

28 Capítulo 3. Metodologia

diferenciais, com coeficientes descontínuos ao longo da interface mas não nos termos fontes. Aestrutura da interface pode ser fixa (não depender do tempo) ou móvel através do tempo quandohá mais de uma interface.

3.2 IIM clássicoEste esquema adota aproximações de segunda ordem para discretizar a Equação (2.6)

com σ = 0, abordagem feita por Li e Ito em (LI; ITO, 2006).

No método das interface imersas para o modelo geral unidimensional que representa aequação de Poisson-Boltzmann, as funções β (x) e f (x), podem ter um salto finito em x = α .A solução admite um salto [u] = ω e ainda é possível impor condição de salto na sua primeiraderivada, [βux] = ν .

Para uma discretização uniforme do domínio, dada pelos pontos de malha xi, parai = 1, . . . ,N, N > 0, admite-se que x j e x j+1 são pontos irregulares se α ∈

[x j,x j+1

), e xi é

regular se i 6= j. Para os pontos regulares adota-se o esquema de segunda ordem

β (xi− 12)Ui−1−β (xi− 1

2)Ui−β (xi+ 1

2)Ui +β (xi+ 1

2)Ui+1

h2 = f (xi), (3.1)

onde h = xi+1− xi é o tamanho de malha. Para os pontos irregulares x j e x j+1 tem-se, respectiva-mente,

γ j,1U j−1 + γ j,2U j + γ j,3U j+1 = f j +C j, (3.2)

γ j+1,1U j + γ j+1,2U j+1 + γ j+1,3U j+2 = f j+1 +C j+1. (3.3)

Expandindo os termos u(x j−1), u(x j), u(x j+1) e f (x j) em torno da interface α , e em cada ladoda interface adotando-se as relações de salto definidas em (2.8), para expressar as funções daexpansão em termos de um lado em particular é possível obter o erro de truncamento local eassim conseguir os coeficientes que conduzem a segunda ordem de precisão. Vamos considerar aexpansão de u(x j−1), u(x j) e u(x j+1) em torno de α , onde tem-se,

u(xr) = u−(α)+(xr−α)u−x (α)+12(xr−α)2u−xx(α)+O((xr−α)3),r = j−1, j. (3.4)

u(x j+1) = u+(α)+(x j+1−α)u+x (α)+12(x j+1−α)2u+xx(α)+O((xr−α)3). (3.5)

Utilizando as relações de salto (2.8) com σ = 0 e substituindo u+(α), u+x (α) e u+xx(α) em (3.5),obtém-se:

u(x j+1) =u−(α)+ω +β−

β+(x j+1−α)u−x +

ν

β+(x j+1−α)

+β−

2β+(x j+1−α)2u−xx(α)+

(x j+1−α)2

2β+

(β+x −

β+x β−

β+

)u−x (α)

−(x j+1−α)2β

+x ν

2(β+)2 .

(3.6)

3.2. IIM clássico 29

Agora determina-se as expressões que minimizam a magnitude do erro de truncamento local(ETL), através do método dos coeficientes indeterminados que é dado por:

Tj = γ j,1u(x j−1)+ γ j,2u(x j)+ γ j,3u(x j+1)− f (x j)−C j. (3.7)

Substituindo as equações (3.4) e (3.6) na equação (3.7) do (ETL) temos

Tj =[γ j,1 + γ j,2 + γ j,3]u−(α)+ [(x j−1−α)γ j,1 +(x j−α)γ j,2

+β−

β+(x j+1−α)−

(β−xβ+− β−β+

x(β+)2

)(x j+1−α)2

2γ j,3]u−x (α)

+ [(x j−1−α)2

2γ j,1 +

(x j−α)2

2γ j,2 +

(x j+1−α)2β−

2γ j,3]u−xx(α)

− f (α)−O(h)−C j + γ j,3ω +(x j+1−α)ν

β+−

β+x ν(x j−1−α)2

2(β+)2

+O( max1≤k≤3

| γ j,k | h3).

onde ω ≡ [u]x=α , e f j = f (α)+O(h). Assumindo que f é uma função suave, β uma funçãoconstante por partes com um salto finito em α e ω = 0, obtém-se βx

+ = βx− = 0 e u+ = u−.

Com isto, os coeficientes γ j,k, com k = 1,2,3, que conduzem à segunda ordem de precisão dométodo, são dados pela solução do sistema

γ j,1 + γ j,2 + γ j,3 = 0

(x j−1−α)γ j,1 +(x j−α)γ j,2 +β−

β+ (x j+1−α)γ j,3 = 012(x j−1−α)2γ j,1 +

12(x j−α)2γ j,2 +

β−

2β+ (x j+1−α)2γ j,3 = β−

(3.8)

e o termo de correção éC j = γ j,3(x j+1−α)

ν

β+. (3.9)

De forma análoga, pode-se calcular os coeficientes γ j+1,k, k = 1,2,3, para x j+1 através do sistemaγ j+1,1 + γ j+1,2 + γ j+1,3 = 0

β+

β− (x j−1−α)γ j+1,1 +(x j+1−α)γ j+1,2 +(x j+2−α)γ j+1,3 = 0β+

2β− (x j−α)2γ j+1,112(x j+1−α)2γ j+1,2 +

12(x j+2−α)2γ j+1,3 = β+

(3.10)

e o novo termo de correção é

C j+1 = γ j+1,1(α− x j)ν

β−. (3.11)

Assim o método tem o erro global de segunda ordem de precisão na norma infinita, se β éconstante então resolvendo o sistema (3.8) voltamos ao esquema padrão de diferenças finitas de3 pontos centrais com γ j,1 = γ j,3 =

β

h2 e γ j,2 =−2β

h2 , onde h é o tamanho da malha. Por último, seν = 0, então C j =C j+1 = 0, nesse caso a descontinuidade em β afeta somente os coeficientes,mas não o lado direito. A análise da estabilidade deste método e dos casos mais gerais podemser vistas em (HUANG; LI, 1999), neste artigo tem-se o Teorema 1 que garante a estabilidade dométodo aqui proposto e assim sua convergência de segunda ordem.


Teorema 1. [Assumindo que β+, β− > 0 com σ ≡ 0. Se β+x = β−x = 0, então o sistema (3.8) tem

única solução. Para problemas mais gerais é garantida uma única solução se h for suficientementepequeno. O teorema também se aplica quando tem-se mais de un ponto irregular]

3.3 Série de Taylor corrigida

Considere uma função f (x) com uma descontinuidade no ponto x = xα . Deseja-se utilizara expansão em série de Taylor no ponto xi para aproximar f (x) no ponto xi+1. Assume-se quef (x) é analítica em todos os pontos do domínio D = x|xi−1≤ x≤ xi+1 exceto no ponto xα ondehá um salto (descontinuidade) no valor da função e/ou suas derivadas. Se xi < xα a expansão emsérie de Taylor padrão envolvendo xα não pode ser usada para aproximar f (xi+1) a menos queum termo de correção Jα seja adicionado:

f (xi+1) = f (xi)+ f (1)(xi)h+ f (2)(xi)h2

2!+ · · ·+ Jα , (3.12)

onde

Jα = [ f ]α +[ f (1)]α(h+)+12![ f (2)]α(h+)2 + · · · , (3.13)

com h = xi+1− xi e h+ = xi+1− xα .

O termo [φ ]α representa o salto no valor da função em x = xα , isto é,

[φ ]α = limx→x+α

φ(x)− limx→x−α

φ(x), (3.14)

assim, o termo [ f ]α representa o salto no valor da função em x = xα , [ f (1)]α representa o salto novalor da primeira derivada da função e assim por diante. A equação (3.12) é denominada série de

Taylor corrigida. A prova da existência dessa expansão é dada por (WIEGMANN; BUBE, 2000).Considere-se o caso em que xi < xα . Usando o termo de correção Jα pode-se agora, modificarqualquer método de diferenças finitas, e o método corrigido pelo salto irá manter a ordem deprecisão do original quando o estêncil envolver uma singularidade/salto da função.

3.3.1 Diferenças Finitas Compactas

Uma aproximação de diferenças finitas compactas de quarta ordem para a segundaderivada, feita por Fasel e Linnick em (LINNICK; FASEL, 2005), pode ser escrita como

L2i−1 f (2)i−1 +L2

i f (2)i +L2i+1 f (2)i+1 = R2

i−1 fi−1 +R2i fi +R2

i+1 fi+1 +(L2I Jα2−R2

I Jα0), (3.15)

onde Lni e Rn

i são, respectivamente, os coeficientes dos lados esquerdo e direito da aproximaçãopara a n-ésima derivada e Jαn são as expansões dos saltos em série de Taylor de f (n) no pontox = xα .

3.3. Série de Taylor corrigida 31

Nestes dois esquemas, I = i + 1 se o salto ocorre em xi < xα < xi+1, e neste casoh+ = xi+1− xα e

Jα0 =[ f (0)]α +(h+)[ f (1)]α +(h+)2

2![ f (2)]α +

(h+)3

3![ f (3)]α +

(h+)4

4![ f (4)]α +

(h+)5

5![ f (5)]α , (3.16)

Jα2 =[ f (2)]α +(h+)[ f (3)]α +(h+)2

2![ f (4)]α +

(h+)3

3![ f (5)]α . (3.17)

Se o salto ocorre em xi−1 < xα < xi, então I = i−1 e neste caso h− = xα − xi−1 e

Jα0=− [ f (0)]α +(h−)[ f (1)]α −(h−)2

2![ f (2)]α +

(h−)3

3![ f (3)]α −

(h−)4

4![ f (4)]α +

(h−)5

5![ f (5)]α , (3.18)

Jα2=− [ f (2)]α +(h−)[ f (3)]α −(h−)2

2![ f (4)]α +

(h−)3

3![ f (5)]α . (3.19)

Os saltos podem ser obtidos por

[ f (n)]α = f (n)+ − f (n)− , (3.20)

onde f (n)+ e f (n)− podem ser obtidos pelas interpolações

f (n)+ = cnα+ fα + cni+2 fi+2 + cni+3 fi+3 + cni+4 fi+4 + cni+5 fi+5 + cni+6 fi+6,

f (n)− = cnα−

fα + cni−1 fi−1 + cni−2 fi−2 + cni−3 fi−3 + cni−4 fi−4 + cni−5 fi−5.

Note que, os pontos xi e xi+1 foram evitados para contornar problemas de instabilidade. Oscoeficientes cn para calcular

f (n)α = cα fα + ci fi + ci+1 fi+1 + ci+2 fi+2 + ci+3 fi+3 + ci+4 fi+4, (3.21)

são obtidos da resolução do sistema linear

1 1 1 1 1 10 hi hi+1 hi+2 hi+3 hi+4

0 h2i h2

i+1 h2i+2 h2

i+3 h2i+4

0 h3i h3

i+1 h3i+2 h3

i+3 h3i+4

0 h4i h4

i+1 h4i+2 h4

i+3 h4i+4

0 h5i h5

i+1 h5i+2 h5

i+3 h5i+4

cα

ci

ci+1

ci+2

ci+3

ci+4

=

1δn0

1δn1

2!δn2

3!δn3

4!δn4

5!δn5

, (3.22)

em que hi = xi− xα e δi j é a função delta de Kronecker

δi j =

1 i = j

0 i 6= j. (3.23)

Desta forma a segunda derivada pode ser obtida a partir da relação

112

f (2)i−1 +1012

f (2)i +1

12f (2)i+1 =

1h2 fi−1−

2h2 fi +

1h2 fi+1 +(L2

I Jα2−R2I Jα0), (3.24)

em que

L2I =

112

e R2I =

1h2 se I = i−1 ou I = i+1. (3.25)


Figura 3 – Ilustração da função f (x) com descontinuidade em x = α .


Em ambos os esquemas Jαn pode ser calculado pelas equações de (3.16) ou (3.18), dependendodo valor de I. O erro de truncamento local ETL que forma a quarta ordem de precição é dado por

Ti ≡−L2i−1 f (2)i−1−L2

i f (2)i −L2i+1 f (2)i+1 +R2


i+1 fi+1 +(L2I Jα2−R2

I Jα0), (3.26)

Calculam-se 4 expressões cada uma separadamente, para depois juntá-las e obter a expressãofinal

Ti ≡ I + II + III + IV, com

I = −L2i−1 f (2)i−1−L2

i f (2)i −L2i+1 f (2)i+1,

II = R2i−1 fi−1 +R2

i fi +R2i+1 fi+1,

III = L2I Jα2 e

IV = −R2I Jα0

(3.27)

I =− 112

[ 2( f ′′(xi)+h2

2!f (4)i +

h4

4!f (6)i + · · ·)] − 10

12f ”(xi)+O(h6),⇒

I =− f (2)i −h2

12f (4)i −

h4

288f (6)i +O(h6) (3.28)

II =− 1h2 [ 2( f (xi)+

h2

2!f (2)i +

h4

4!f (4)i +

h6

6!f (6)i + · · ·)] − 2

h2 fi +O(h6),⇒

II = f (2)i +h2

12f (4)i +

h4

360f (6)i +O(h6) (3.29)


III = L2I ( f (2)+ − f (2)− )+(h+)( f (3)+ − f (3)− )+

(h+)2

2!( f (4)+ − f (4)− )+

(h+)3

3!( f (5)+ − f (5)− ).

Substituindo cada f (n)+ e f (n)− pela sua interpolação correspondente obtida através de (3.22),tem-se

III =L2I [(c2

α+ fα + c2i+2 fi+2 + c2i+3 fi+3 + c2i+4 fi+4 + c2i+5 fi+5 + c2i+6 fi+6)

− (c2α−

fα + c2i−1 fi−1 + c2i−2 fi−2 + c2i−3 fi−3 + c2i−4 fi−4 + c2i−5 fi−5)]

+(h+)[(c3α+ fα + c3i+2 fi+2 + c3i+3 fi+3 + c3i+4 fi+4 + c3i+5 fi+5 + c3i+6 fi+6)

− (c3α−


+(h+)2

2![(c4


− (c4α−


+(h+)3

3![(c5


− (c5α−

fα + c5i−1 fi−1 + c5i−2 fi−2 + c5i−3 fi−3 + c5i−4 fi−4 + c5i−5 fi−5)].

Fazendo o desenvolvimento em series de Taylor para fi+k e fi−k ao redor de fα , obtém-se asexpressões

fi+k = fα +hi+k f ′i +h2

i+k

2!f (2)i +

h3i+k

3!f (3)i +

h4i+k

4!f (4)i +

h5i+k

5!f (5)i +O(h6), (3.30)

fi−k = fα +hi−k f ′i +h2

i−k

2!f (2)i +

h3i−k

3!f (3)i +

h4i−k

4!f (4)i +

h5i−k

5!f (5)i +O(h6), (3.31)

é considerada a seguinte notação para simplificar as contas

c2α+ + c3

α+ + c4α+ + c5

α+ = T1

c2i+k +(h+)c3i+k +(h+)2

2!c4i+k +

(h+)3

3!c5i+k = Tk, k = 2, ...,6

c2α−

+ c3α−

+ c4α−

+ c5α−

= P1

c2i−r +(h+)c3i−r +(h+)2

2!c4i−r +

(h+)3

3!c5i−r = Pr+1, r = 1, ...,5

(3.32)


Figura 4 – Ilustração da discretização do domínio na descontinuidade


Substituindo (3.30), (3.31) e (3.32) na expressão (III) e reagrupando os coeficientes decada uma das f (n)i para obter a constante total de cada soma, tem-se

III = L2I [(T1 +T2 +T3 +T4 +T5 +T6)− (P1 +P2 +P3 +P4 +P5 +P6)] fα

+ f ′i [(T2.hi+2 +T3.hi+3 +T4.hi+4 +T5.hi+5 +T6.hi+6)

− (P2.hi−1 +P3.hi−2 +P4.hi−3 +P5.hi−4 +P6.hi−5)]

+f (2)i2!

[(T2.h2i+2 +T3.h2

i+3 +T4.h2i+4 +T5.h2

i+5 +T6.h2i+6)

− (P2.h2i−1 +P3.h2

i−2 +P4.h2i−3 +P5.h2

i−4 +P6.h2i−5)]

+f (3)i3!

[(T2.h3i+2 +T3.h3

i+3 +T4.h3i+4 +T5.h3

i+5 +T6.h3i+6)

− (P2.h3i−1 +P3.h3

i−2 +P4.h3i−3 +P5.h3

i−4 +P6.h3i−5)]

+f (4)i4!

[(T2.h4i+2 +T3.h4

i+3 +T4.h4i+4 +T5.h4

i+5 +T6.h4i+6)

− (P2.h4i−1 +P3.h4

i−2 +P4.h4i−3 +P5.h4

i−4 +P6.h4i−5)]

+f (5)i5!

[(T2.h5i+2 +T3.h5

i+3 +T4.h5i+4 +T5.h5

i+5 +T6.h5i+6)

− (P2.h5i−1 +P3.h5

i−2 +P4.h5i−3 +P5.h5

i−4 +P6.h5i−5)]

+f (6)i6!

[(T2.h6i+2 +T3.h6

i+3 +T4.h6i+4 +T5.h6

i+5 +T6.h6i+6)

− (P2.h6i−1 +P3.h6

i−2 +P4.h6i−3 +P5.h6

i−4 +P6.h6i−5)].


Desenvolvendo cada uma das contas obtém-se

T1 +T2 +T3 +T4 +T5 +T6 = 0

P1 +P2 +P3 +P4 +P5 +P6 = 0

T2.hi+2 +T3.hi+3 +T4.hi+4 +T5.hi+5 +T6.hi+6 = 0

P2.hi−1 +P3.hi−2 +P4.hi−3 +P5.hi−4 +P6.hi−5 = 0

T2.h2i+2 +T3.h2

i+3 +T4.h2i+4 +T5.h2

i+5 +T6.h2i+6 = 1

P2.h2i−1 +P3.h2

i−2 +P4.h2i−3 +P5.h2

i−4 +P6.h2i−5 = 1

T2.h3i+2 +T3.h3

i+3 +T4.h3i+4 +T5.h3

i+5 +T6.h3i+6 = h+

P2.h3i−1 +P3.h3

i−2 +P4.h3i−3 +P5.h3

i−4 +P6.h3i−5 = h+

T2.h4i+2 +T3.h4

i+3 +T4.h4i+4 +T5.h4

i+5 +T6.h4i+6 =

(h+)2

2!

P2.h4i−1 +P3.h4

i−2 +P4.h4i−3 +P5.h4

i−4 +P6.h4i−5 =

(h+)2

2!

T2.h5i+2 +T3.h5

i+3 +T4.h5i+4 +T5.h5

i+5 +T6.h5i+6 =

(h+)3

3!

P2.h5i−1 +P3.h5

i−2 +P4.h5i−3 +P5.h5

i−4 +P6.h5i−5 =

(h+)3

3!

T2.h6i+2 +T3.h6

i+3 +T4.h6i+4 +T5.h6

i+5 +T6.h6i+6 =−274h4−225(h3).h+− 85.h2.(h+)2

2

+5.h.(h+)3

2+

5(h+)4

6

P2.h6i−1 +P3.h6

i−2 +P4.h6i−3 +P5.h6

i−4 +P6.h6i−5 =−1044h4 +580(h3).h+− 155.h2.(h+)2

2

− 10.h.(h+)3

3+

5(h+)4

6

Substituindo cada soma pelo seu valor correspondente, tem-se

III =L2

I . f(6)i

6!770h4−805(h3).h++35.h2.(h+)2 +

35.h.(h+)3

6. (3.33)

Utiliza-se a mesma estratégia para calcular a última expressão do ETL, só que agora tem-se doistermos a mais no somatório

IV = −R2I .Jα0 =−R2

I .5

∑k=0

(h+)k

k![ f (k)]α ,

Novamente utiliza-se as expressões do desenvolvimento de Taylor (3.30) e (3.31), e, também,


considera-se os seguintes novos coeficientes para simplificar as contas

c0α+ + c1

α+ + c2α+ + c3

α+ + c4α+ + c5

α+ = L1

c0i+k +(h+)c1i+k +(h+)2

2!c2i+k +

(h+)3

3!c3i+k

+(h+)4

4!c4i+k +

(h+)5

5!c5i+k = Lk, k = 2, ...,6

c0α−

+ c1α−

+ c2α−

+ c3α−

+ c4α−

+ c5α−

= R1

c0i−s +(h+)c1i−s +(h+)2

2!c2i−s +

(h+)3

3!c3i−s

+(h+)4

4!c4i−s +

(h+)5

5!c5i−s = Rs, s = 1, ...,5

(3.34)

reagrupando de novo os coeficientes de cada uma das f (n)i para obter a constante total de cadasoma, tem-se

IV =−R2I [(L1 +L2 +L3 +L4 +L5 +L6)− (R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6)] fα

+ f ′i [(L2.hi+2 +L3.hi+3 +L4.hi+4 +L5.hi+5 +L6.hi+6)

− (R2.hi−1 +R3.hi−2 +R4.hi−3 +R5.hi−4 +R6.hi−5)]

+f (2)i2!

[(L2.h2i+2 +L3.h2

i+3 +L4.h2i+4 +L5.h2

i+5 +L6.h2i+6)

− (R2.h2i−1 +R3.h2

i−2 +R4.h2i−3 +R5.h2

i−4 +R6.h2i−5)]

+f (3)i3!

[(L2.h3i+2 +L3.h3

i+3 +L4.h3i+4 +L5.h3

i+5 +L6.h3i+6)

− (R2.h3i−1 +R3.h3

i−2 +R4.h3i−3 +R5.h3

i−4 +R6.h3i−5)]

+f (4)i4!

[(L2.h4i+2 +L3.h4

i+3 +L4.h4i+4 +L5.h4

i+5 +L6.h4i+6)

− (R2.h4i−1 +R3.h4

i−2 +R4.h4i−3 +R5.h4

i−4 +R6.h4i−5)]

+f (5)i5!

[(L2.h5i+2 +L3.h5

i+3 +L4.h5i+4 +L5.h5

i+5 +L6.h5i+6)

− (R2.h5i−1 +R3.h5

i−2 +R4.h5i−3 +R5.h5

i−4 +R6.h5i−5)]

+f (6)i6!

[(L2.h6i+2 +L3.h6

i+3 +L4.h6i+4 +L5.h6

i+5 +L6.h6i+6)

− (R2.h6i−1 +R3.h6

i−2 +R4.h6i−3 +R5.h6

i−4 +R6.h6i−5)].


Desenvolvendo cada uma das novas contas obtém-se

L1 +L2 +L3 +L4 +L5 +L6 = 1

R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6 = 1

L2.hi+2 +L3.hi+3 +L4.hi+4 +L5.hi+5 +L6.hi+6 = h+

R2.hi−1 +R3.hi−2 +R4.hi−3 +R5.hi−4 +R6.hi−5 = h+

L2.h2i+2 +L3.h2

i+3 +L4.h2i+4 +L5.h2

i+5 +L6.h2i+6 =

(h+)2

2!

R2.h2i−1 +R3.h2

i−2 +R4.h2i−3 +R5.h2

i−4 +R6.h2i−5 =

(h+)2

2!

L2.h3i+2 +L3.h3

i+3 +L4.h3i+4 +L5.h3

i+5 +L6.h3i+6 =

(h+)3

3!

R2.h3i−1 +R3.h3

i−2 +R4.h3i−3 +R5.h3

i−4 +R6.h3i−5 =

(h+)3

3!

L2.h4i+2 +L3.h4

i+3 +L4.h4i+4 +L5.h4

i+5 +L6.h4i+6 =

(h+)4

4!

R2.h4i−1 +R3.h4

i−2 +R4.h4i−3 +R5.h4

i−4 +R6.h4i−5 =

(h+)4

4!

L2.h5i+2 +L3.h5

i+3 +L4.h5i+4 +L5.h5

i+5 +L6.h5i+6 =

(h+)5

5!

R2.h5i−1 +R3.h5

i−2 +R4.h5i−3 +R5.h5

i−4 +R6.h5i−5 =

(h+)5

5!

L2.h6i+2 +L3.h6

i+3 +L4.h6i+4 +L5.h6

i+5 +L6.h6i+6 =−h+

24[−2880.h5−3288(h4).h+−900.h3.(h+)2

+85.(h2).(h+)3 +57.h.(h+)4 +5.(h+)5]

R2.h6i−1 +R3.h6

i−2 +R4.h6i−3 +R5.h6

i−4 +R6.h6i−5 =−h+

24[17280.h5−12528(h4).h++2320.h3.(h+)2

+155.(h2).(h+)3−76.h.(h+)4 +5.(h+)5]

Substituindo cada nova soma por seu valor correspondente, tem-se

IV =−7.h.h+.R2

I . f(6)i

24.6!2880h4−1320(h3).h++460.h2.(h+)2 +10.h.(h+)3−19.(h+)4.

(3.35)Agora são substituídas as expressões (3.28), (3.29), (3.33) e (3.35) no ETL (3.27)

Ti ≡ (−1128

+1

360).h4 +

1720

[L2I .(III)−R2

I .(IV )]

Se L2I =

1h2 , R2

I =1

12e h+ = β .h com 0 < β ≤ 1, tem-se

Ti ≡ (−399.β 5 +210.β 4 +9625.β 3−27930.β 2 +65310.β −4584

51840).h4 +O(h6) (3.36)

de forma análoga se faz o ETL para o ponto I = i+1.


3.3.2 Esquema Compacto de Alta Ordem

Nós propomos um esquema de diferenças finitas compactas unidimensional de sétimaordem com cinco pontos será utilizado para aproximar numericamente a segunda derivadaespacial, o esquema é dado por

2 f (2)i−1 +11 f (2)i +2 f (2)i+1 =3

4h2 fi−2 +12h2 fi−1−

512h2 fi +

12h2 fi+1 +

34h2 fi+2 +CI, (3.37)

com CI = (L1I J∗

α2−R1I J∗

α0)+(L2I Jα2−R2

I Jα0), em queL1

I = 0 L2I = 0 R1

I = 0 e R2I =

34h2 se I = i−1 ou I = i+2,

L1I = 0 L2

I = 2 R1I =

34h2 e R2

I =12h2 se I = i ou I = i+1,

(3.38)

Nestes esquemas, o salto ocorre em xi < xα < xi+1, então quando I = i+1 ou I = i+2, nestescasos h+ = xi+1− xα , definimos

Jα0 =7

∑k=0

(h+)k

k![ f (k)]α , (3.39)

Jα2 =7

∑k=2

(h+)k−2

(k−2)![ f (k)]α , (3.40)

J∗α0 =7

∑k=0

(h+h+)k

k![ f (k)]α , (3.41)

J∗α2 =7

∑k=2

(h+h+)k−2

(k−2)![ f (k)]α . (3.42)

quando I = i ou I = i−1, nestes casos h− = xα − xi−1 e

Jα0 =7

∑k=0

(−1)k+1 (h−)k

k![ f (k)]α , (3.43)

Jα2 =7

∑k=2

(−1)k+1 (h−)k−2

(k−2)![ f (k)]α , (3.44)

J∗α0 =7

∑k=0

(−1)k+1 (h+h−)k

k![ f (k)]α , (3.45)

J∗α2 =7

∑k=2

(−1)k+1 (h+h−)k−2

(k−2)![ f (k)]α . (3.46)

De novo os saltos podem ser obtidos por

[ f (n)]α = f (n)+ − f (n)− , (3.47)


em que f (n)+ e f (n)− podem ser obtidos pelas interpolações

f (n)+ = cnα+ fα + cni+2 fi+2 + cni+3 fi+3 + cni+4 fi+4 + cni+5 fi+5 + cni+6 fi+6 + cni+7 fi+7 + cni+8 fi+8,

f (n)− = cnα−

fα + cni−1 fi−1 + cni−2 fi−2 + cni−3 fi−3 + cni−4 fi−4 + cni−5 fi−5 + cni−6 fi−6 + cni−7 fi−7.

Os novos coeficientes cn para calcular

f (n)α = cα fα + ci fi + ci+1 fi+1 + ci+2 fi+2 + ci+3 fi+3 + ci+4 fi+4 + ci+5 fi+5 + ci+6 fi+6, (3.48)

são obtidos da resolução do novo sistema linear

1 1 1 1 1 1 1 10 hi hi+1 hi+2 hi+3 hi+4 hi+5 hi+6

0 h2i h2

i+1 h2i+2 h2

i+3 h2i+4 h2

i+5 h2i+6

0 h3i h3

i+1 h3i+2 h3

i+3 h3i+4 h3

i+5 h3i+6

0 h4i h4

i+1 h4i+2 h4

i+3 h4i+4 h4

i+5 h4i+6

0 h5i h5

i+1 h5i+2 h5

i+3 h5i+4 h5

i+5 h5i+6

0 h6i h6

i+1 h6i+2 h6

i+3 h6i+4 h6

i+5 h6i+6

0 h7i h7

i+1 h7i+2 h7

i+3 h7i+4 h7

i+5 h7i+6

cα

ci

ci+1

ci+2

ci+3

ci+4

ci+5

ci+6

=

1δn0

1δn1

2!δn2

3!δn3

4!δn4

5!δn5

6!δn6

7!δn7

, (3.49)

em que hi = xi− xα e δi j é a função delta de Kronecker.

Os termos dos saltos Jαn novamente podem ser calculado pelas equações de (3.39) ou(3.43), dependendo do valor de I só que agora deve-se aumentar duas linhas e duas colunas noesquema anterior para completar a submatriz de Vandermonde como pode-se ver em (3.49).

Agora é determinado o erro de truncamento

Ti =−2 f (2)i−1−11 f (2)i −2 f (2)i+1 +3

4h2 fi−2 +12h2 fi−1−

512h2 fi +

12h2 fi+1 +

34h2 fi+2 +Ci, (3.50)

Ti ≡ I + II + III, com

I = −2 f (2)i−1−11 f (2)i −2 f (2)i+1,

II = 34h2 fi−2 +

12h2 fi−1− 51

2h2 fi +12h2 fi+1 +

34h2 fi+2 e

III = Ci =−R1i J∗

α0 +L2i Jα2−R2

i Jα0

(3.51)

I =−15 f (2)i −2h2 f (4)i −h4

6f (6)i −

h6

180f (8)i +O(h8), (3.52)

II = 15 f (2)i +2h2 f (4)i +h4

6f (6)i +

17h6

1680f (6)i +O(h8) (3.53)

Para calcular (III) são utilizadas as seguintes notações

J∗α0 =8

∑s=1

(ls− rs) fα +8

∑k=1

7

∑m=1

(lm+1hki+m+1− rm+1hk

i−m)f (k)ik!

, (3.54)


Jα2 =8

∑s=1

(Ts−Ps) fα +8

∑k=1

7

∑m=1

(Tm+1hki+m+1−Pm+1hk

i−m)f (k)ik!

, (3.55)

Jα0 =8

∑s=1

(Ls−Rs) fα +8

∑k=1

7

∑m=1

(Lm+1hki+m+1−Rm+1hk

i−m)f (k)ik!

, (3.56)

onde l1 =

7∑

q=0cq

α+ ,

lk =7∑

q=0

(h+h+)q

q!cqi+k , k = 2, ...,8

(3.57)

r1 =

7∑

q=0cq

α−,

rs+1 =7∑

q=0

(h+h+)q

q!cqi−s, s = 1, ...,7

(3.58)

T1 =

7∑

q=2cq

α+ ,

Tk =7∑

q=2

(h+)q−2

(q−2)!cqi+k , k = 2, ...,8

(3.59)

P1 =

7∑

q=2cq

α−,

Ps+1 =7∑

q=2

(h+)q−2

(q−2)!cqi−s, s = 1, ...,7

(3.60)

L1 =

7∑

q=0cq

α+ ,

Lk =7∑

q=0

(h+)q

q!cqi+k , k = 2, ...,8

(3.61)

R1 =

7∑

q=0cq

α−,

Rs+1 =7∑

q=0

(h+)q

q!cqi−s, s = 1, ...,7

(3.62)

Estas fórmulas são equivalentes às (3.34) e (3.32), porém descritas de forma simplificada e comdois termos a mais em cada somatório, calculando cada uma das somas e substituindo em (III),tem-se

Ci =−R1i

7

∑m=1

(lm+1h8i+m+1− rm+1h8

i−m)f (8)i8!

+L2i

7

∑m=1

(Tm+1h8i+m+1−Pm+1h8

i−m)f (8)i8!

−R2i

7

∑m=1

(Lm+1h8i+m+1−Rm+1h8

i−m)f (8)i8!

⇒


Ci =(2.h2.(56196.h6−123984.h5(h+)+61992.h5 +34965.h4(h+)2−23310.h4(h+)

−23940.h3(h+)3+(29925.h3(h+)2

)/2+(63.h2(h+)5)/40+945.h2(h+)4

−441.h2(h+)3− (63.h(h+)6)/20−378.h(h+)5

+(777.h(h+)4)/8)

− (h+.(29030400.h7−24935040.h6(h+)+17589600.h5(h+)+6632640.h4(h+)3

−17687040.h4(h+)2−2898000.h3(h+)4+6882750.h3(h+)3

+73.h2(h+)6

+551880.h2(h+)5−1299984.h2(h+)4−30.h(h+)7−50400.h(h+)6+119525.h(h+)5

+3(h+)8+1800(h+)7−4291(h+)6

))/960− (159159.h(h+)6)/80

− (20402543.h6(h+))/60+810.h(h+)7+98700.h7(h+)+(7.h(h+)8

)/40

− (481.h8(h+))/60− (19924331.h7)/60−899424.h8− (73.h9)/60+(4291(h+)7)/64

− (225(h+)8)/8− (3(h+)9

)/64+(355327.h2(h+)5)/20− (249095.h3(h+)4

)/3

+(1133713.h4(h+)3)/12+(3769437.h5(h+)2

)/20− (27111.h2(h+)6)/4

+26502.h3(h+)5+(172515.h4(h+)4

)/8−345576.h5(h+)3+(1330743.h6(h+)2

)/2

+(41.h2(h+)7)/32+(7.h3(h+)6

)/30− (49.h4(h+)5)/5− (392.h5(h+)4

)/15

− (973.h6(h+)3)/30− (221.h7(h+)2

)/10+((h+h+)2.(46.h7 +254.h6(h+)

+1075680.h6 +583.h5(h+)2+3674880.h5(h+)−3972136.h5 +715.h4(h+)3

+3635640.h4(h+)2−5716655.h4(h+)+500.h3(h+)4+1623600.h3(h+)3

−3065650.h3(h+)2+196.h2(h+)5

+367200.h2(h+)4−774970.h2(h+)3

+39.h(h+)6+41040.h(h+)5−93170.h(h+)4

+3(h+)7+1800(h+)6

−4291(h+)5))/60).

f (8)ih2.8!

⇒

Ci =((3.h.(−48.h8−240.h7(h+)−82037760.h7−336.h6(h+)2−8789760.h6(h+)

−29257648.h6 +336.h5(h+)3+102644640.h5(h+)2−65530080.h5(h+)

+1680.h4(h+)4−19622400.h4(h+)3−11496240.h4(h+)2+2688.h3(h+)5

+14653800.h3(h+)4−10492160.h3(h+)3+1008.h2(h+)6

+7333200.h2(h+)5

−17971870.h2(h+)4+621.h(h+)7

+17640.h(h+)6+322896.h(h+)5

+102(h+)8+171360(h+)7−406385(h+)6

))/320).f (8)i

h2.8!⇒

Ci = (K1.h5 +K2.h6 +K3.h7) f (8)i +O(h8), (3.63)

substituindo as expressões (3.52), (3.53) e (4.31) em (3.50), obtém-se

Ti = (K1.h5 +(K2+23

5040)h6 +K3.h7) f (8)i +O(h8), (3.64)


Então o esquema compacto da parte contínua da discretização dos pontos regulares é desexta ordem mas multiplicado por coeficiente 23/5040 e o termo de correção é de quinta ordemmas com um coeficiente K1 e o coeficiente de sexta ordem é K2, os quais são suficientementepequenos.

De forma análoga pode-se obter o ETL para os pontos I = i− 1, I = i+ 1 e I = i+ 2.Para os pontos que ficam próximos à borda adota-se as seguintes discretizações

13 f (2)1 +137 f (2)2 =9775 f1−20285 f2 +11170 f3−550 f4−145 f5 +35 f6

60h2 +O(h5), (3.65)

f (2)1 +12 f (2)2 +3 f (2)3 =4834 f1−8424 f2 +1890 f3 +2320 f4−810 f5 +216 f6−26 f7

360h2 +O(h6), (3.66)

f (2)N +12 f (2)N−1 +3 f (2)N−2 =4834 fN−8424 fN−1 +1890 fN−2 +2320 fN−3−810 fN−4 +216 fN−5−26 fN−6

360h2 ,

(3.67)

13 f (2)N +137 f (2)N−1 =9775 fN−20285 fN−1 +11170 fN−2−550 fN−3−145 fN−4 +35 fN−5

60h2 . (3.68)

43

CAPÍTULO

4PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS

Neste capítulo, são apresentados os métodos explícitos de diferenças finitas que serãoutilizados para resolver a equação de Poisson em 2D. Serão analisados também os erros detruncamentos dos 3 métodos, onde serão verificadas as suas respectivas ordens de convergência.

4.1 Esquemas Explícitos

Nesta seção serão apresentados os esquemas de diferenças finitas explícitos padrãoque foram utilizados para discretizar a segunda derivada, os coeficientes da diferenciação dosdiferentes esquemas foram obtidos através do artigo (FORNBERG, 1988) onde são apresentadasvárias tabelas com diversos esquemas para a segunda derivada, onde variam-se os coeficientes decada esquema dependendo da posição do pontos onde gera-se uma equação de diferenças finitas.

Diferentemente dos métodos compactos não será feita uma discretização no termo fontee assim também não terá correção para este lado da discretização. Então aparecerá somente umtermo de correção correspondente à diferença finita utilizada e este termo terá a mesma ordemde convergência que a discretização nos pontos regulares de cada método. Na figura 5 tem-seuma ilustração da discretização explícita utilizada para o método de segunda ordem.

4.1.1 Diferenças de 2a Ordem

O método utilizado por (MARICHAL; CHATELAIN; WINCKELMANS, 2014) paraobter segunda ordem de precisão para a segunda derivada é dado por

f 2i = R2


i+1 fi+1 +CI, (4.1)

onde R2i−1 = R2

i+1 =1h2 , R2

i =−2h2 e CI =−R2

I Jα0. Neste esquema, I = i+1 se o salto

44 Capítulo 4. Problemas bidimensionais

Figura 5 – Ilustração da discretização explícita do domínio para o método de segunda ordem.

Fonte: Marichal, Chatelain e Winckelmans (2014).

ocorre em xi < xα < xi+1, e neste caso h+ = xi+1− xα e

Jα0 = [ f (0)]α +(h+)[ f (1)]α +(h+)2

2![ f (2)]α +

(h+)3

3![ f (3)]α . (4.2)

Se o salto ocorre em xi−1 < xα < xi, então I = i−1 e neste caso h− = xα − xi−1 e

Jα0 =−[ f (0)]α +(h−)[ f (1)]α −(h−)2

2![ f (2)]α +

(h−)3

3![ f (3)]α . (4.3)

Os saltos podem ser obtidos por

[ f (n)]α = f (n)+ − f (n)− , (4.4)

onde f (n)+ e f (n)− podem ser obtidos pelas interpolações

f (n)+ = cnα+ fα + cni+2 fi+2 + cni+3 fi+3 + cni+4 fi+4,

f (n)− = cnα−

fα + cni−1 fi−1 + cni−2 fi−2 + cni−3 fi−3.

Os coeficientes cn para calcular

f (n)α = cα fα + ci fi + ci+1 fi+1 + ci+2 fi+2, (4.5)

são obtidos da resolução do sistema linear

1 1 1 10 hi hi+1 hi+2

0 h2i h2

i+1 h2i+2

0 h3i h3

i+1 h3i+2

cα

ci

ci+1

ci+2

=

0!δn0

1!δn1

2!δn2

3!δn3

, (4.6)

4.1. Esquemas Explícitos 45

onde hi = xi− xα e δi j é a função delta de Kronecker.

O ETL é dado por

Ti ≡− f (2)i +R2i−1 fi−1 +R2

i fi +R2i+1 fi+1−R2

I Jα0, (4.7)

onde o termo de correção do salto pode ser obtido à partir de

Jα0 =4

∑s=1

(Ls−Rs) fα +4

∑k=1

3

∑m=1


i−m)f (k)ik!

, (4.8)

com L1 =

3∑

q=0cq

α+ ,

Lk =3∑

q=0

(h+)q

q!cqi+k , k = 2, ...,4

(4.9)

R1 =

3∑

q=0cq

α−,

Rs+1 =3∑

q=0

(h+)q

q!cqi−s, s = 1, ...,3

(4.10)

Substituindo cada termo no ETL temos

Ti =− f (2)i +1h2 [ 2( f (xi)+

h2

2!f (2)i +

h4

24f (4)i )] − 2

h2 f (xi)

−R2i

3

∑m=1


i−m)f (4)i4!

+O(h4) ⇒

Ti =h2

12f (4)i −R2

i30.h3.h+. f (4)i

24+O(h4),

Se R2I =

1h2 e h+ = β .h com 0 < β ≤ 1,

Ti =(1−15.β )h2

12f (4)i +O(h4) (4.11)

A estabilidade deste método para o caso de Poisson com coeficientes constante por partespode ser vista em (WIEGMANN; BUBE, 2000).

4.1.2 Diferenças de 4a Ordem

Um esquema de diferenças finitas explícitas unidimensional de quarta ordem com cincopontos será utilizado para aproximar numericamente a segunda derivada espacial, o esquema édado por

f (2)i =− 112h2 fi−2 +

43h2 fi−1−

52h2 fi +

43h2 fi+1−

112h2 fi+2 +CI, (4.12)


com CI =−(R1I J∗

α0 +R2I Jα0), em que

R1

I = 0 e R2I =

43h2 se I = i−1 ou I = i+2,

R1I =−

112h2 e R2

I =4

3h2 se I = i ou I = i+1,

(4.13)

Nestes esquemas o salto ocorre em xi < xα < xi+1, então quando I = i+1 ou I = i+2, nestescasos h+ = xi+1− xα ,

Jα0 =5

∑k=0

(h+)k

k![ f (k)]α , (4.14)

J∗α0 =5

∑k=0

(h+h+)k

k![ f (k)]α , (4.15)

quando I = i ou I = i−1, nestes casos h− = xα − xi−1 e

Jα0 =5

∑k=0

(−1)k+1 (h−)k

k![ f (k)]α , (4.16)

J∗α0 =5

∑k=0

(−1)k+1 (h+h−)k

k![ f (k)]α , (4.17)

as interpolações para representar os termos [ f (n)]α podem ser calculadas pelas fórmulas (3.21),onde os coeficientes de cada combinação linear é obtida a partir do sistema (3.22).

Para calcular o ETL considera-se as seguintes notações

J∗α0 =6

∑s=1

(ls− rs) fα +6

∑k=1

5

∑m=1

(lm+1hki+m+1− rm+1hk

i−m)f (k)ik!

, (4.18)

Jα0 =6

∑s=1

(Ls−Rs) fα +6

∑k=1

5

∑m=1


i−m)f (k)ik!

, (4.19)

onde

l1 =

5∑

q=0cq

α+ ,

lk =5∑

q=0

(h+h+)q

q!cqi+k , k = 2, ...,6

(4.20)

r1 =

5∑

q=0cq

α−,

rs+1 =5∑

q=0

(h+h+)q

q!cqi−s, s = 1, ...,5

(4.21)

4.1. Esquemas Explícitos 47

L1 =

5∑

q=0cq

α+ ,

Lk =5∑

q=0

(h+)q

q!cqi+k , k = 2, ...,6

(4.22)

R1 =

5∑

q=0cq

α−,

Rs+1 =5∑

q=0

(h+)q

q!cqi−s, s = 1, ...,5

(4.23)

Desta forma

Ti =− f (2)i −5 fi

2h2 −1

12h2 [ 2( f (xi)+(2h)2

2!f (2)i +

(2h)4

24f (4)i +

(2h)6

720f (6)i )]

+4

3h2 [ 2( f (xi)+h2

2!f (2)i +

h4

24f (4)i +

h6

720f (6)i )]+Ci +O(h6) ⇒

Ti =− f (2)i −5 fi

2h2 −1

6h2 fi−13

f (2)i −h2

9f (4)i −

2h4

135f (6)i

+8

3h2 fi +43

f (2)i +h2

9f (4)i +

h4

270f (6)i

−R1i

5

∑m=1


i−m)f (6)i6!

−R2i

5

∑m=1


i−m)f (6)i6!

+O(h6) ⇒

Ti =h4

9f (6)i − (−(−523152.h5−137200.h4.(h+)+280840.h3.(h+)2

−67340.h2.(h+)3 +7350.h.(h+)4 +1995.(h+)5)/(288.h)). f (6)i +O(h6) ⇒

Ti = K.h4. f (6)i +O(h6) (4.24)

De forma análoga podem-se obter o ETL para os pontos I = i−1, I = i+1 e I = i+2.Nos pontos que ficam próximos à borda utiliza-se as seguintes discretizações

f (2)1 =50 f1−75 f2−20 f3 +70 f4−30 f5 +5 f6

60h2 +O(h5), (4.25)

f (2)N =50 fN−75 fN−1−20 fN−2 +70 fN−3−30 fN−4 +5 fN−5

60h2 +O(h5). (4.26)


4.1.3 Diferenças de Alta Ordem

Para obtermos um esquema de sexta ordem vamos considerar a seguinte expressão

f (2)i =1

90h2 fi−3−3

20h2 fi−2 +3

2h2 fi−1−49

18h2 fi +3

2h2 fi+1−3

20h2 fi+2 +1

90h2 fi+3 +CI, (4.27)

com CI =−(R1I J∗

α0 +R2I Jα0 +R3

I J∗∗α0), onde

R1I =− 3

20h2 R2I =

32h2 e R3

I =1

90h2 se I = i ou I = i+1,

R1I =

190h2 R2

I =− 320h2 e R3

I = 0 se I = i−1 ou I = i+2,

R1I = 0 R2

I =1

90h2 e R3I = 0 se I = i−2 ou I = i+3.

(4.28)

Nestes esquemas, o salto ocorre em xi < xα < xi+1, então quando I = i+1, I = i+2 ou I = i+3,

nestes casos h+ = xi+1− xα , definimos J∗∗α0 =

7∑

k=0

(2h+h+)k

k![ f (k)]α , sendo que os termos de

correção Jα0 e J∗α0 são os mesmo utilizados em (3.39).

Quando I = i, I = i−1 ou I = i−2, nestes casos h− = xα − xi−1,

J∗∗α0 =7

∑k=0

(−1)k+1 (2h+h+)k

k![ f (k)]α

e os outros dois termos de correção Jα0 e J∗α0 serão os utilizados em (3.43). Cada uma das

interpolações serão obtidas mediante o sistema (3.49).

Para calcular o ETL utilizam-se as fórmulas (3.54) e (3.56), e os coeficientes de cadasomatórios serão os mesmo utilizados em (3.61), (3.62), (3.57) e (3.58). Desta forma o termo decorreção deste método é dado por

Ci =−R1i

7

∑m=1


i−m)f (8)i8!

+R3i

7

∑m=1

(L∗m+1h8i+m+1−R∗m+1h8

i−m)f (8)i8!

−R2i

7

∑m=1


i−m)f (8)i8!

onde L∗1 =

7∑

q=0cq

α+ ,

L∗k =7∑

q=0

(2h+h+)q

q!cqi+k , k = 2, ...,8

(4.29)

R∗1 =

7∑

q=0cq

α−,

R∗s+1 =7∑

q=0

(2h+h+)q

q!cqi−s, s = 1, ...,7.

(4.30)

4.2. Equação de Poisson 2D 49

Substituindo cada uma das somas na expressão para o ETL temos

Ti =0.0018.h6. f (8)i − (−(−687.h8−747.h7.(h+)+126171360.h7 +1911.h6.(h+)2

−983283840.h6.(h+)+48718201.h6 +4137.h5.(h+)3

+463228920.h5.(h+)2 +93736650.h5.(h+)+2205.h4.(h+)4

+24696000.h4.(h+)3−649620615.h4.(h+)2−1113.h3.(h+)5

−146538000.h3.(h+)4 +350061460.h3.(h+)3−1911.h2.(h+)6

+118409760.h2.(h+)5−280542045.h2.(h+)4−1701.h.(h+)7

−6136200.h.(h+)6 +13930266.h.(h+)5 +1470.(h+)8

+2469600.(h+)7−5856725.(h+)6)/(14400.h))f (8)i8!

+O(h8) ⇒

Ti = (K1.h5 +(0.0018+K2).h6 +K3.h7) f (8)i +O(h8). (4.31)

Novamente observa-se que o esquema explícito da parte contínua da discretização dos pontosregulares é de sexta ordem, multiplicado pelo coeficiente 0.0018 e o termo de correção é dequinta ordem com um coeficiente K1, o coeficiente de sexta ordem é K2 e o coeficiente de sétimaordem é K3, os quais são suficientemente pequenos. De forma análoga podem-se obter o ETL

para os pontos I = i−2, I = i−1, I = i+1, I = i+2 e I = i+3. Nos pontos que ficam próximosà borda utiliza-se as seguintes discretizações

f (2)j =469 f j

90h2 −223 f j+1

10h2 +879 f j+2

20h2 −949 f j+3

18h2 +41 f j+4

h2 −201 f j+5

10h2 +1019 f j+6

180h2 −7 f j+7

10h2 , (4.32)

para j= 1,2, o qual é de ordem O(h6), e para M=N, N-1, também de O(h6), a discretização

f (2)M =469 fM

90h2 −223 fM−1

10h2 +879 fM−2

20h2 − 949 fM−3

18h2 +41 fM−4

h2 − 201 fM−5

10h2 +1019 fM−6

180h2 − 7 fM−7

10h2 .

(4.33)

4.2 Equação de Poisson 2D

Para a discretização da equação de Poisson 2D por diferenças finitas explícitas em pontosregulares utiliza-se os esquemas de segunda, quarta e oitava ordens que foram definidos na seçãoanterior. Para os pontos que ficam próximos à interface imersa, deve-se acrescentar termos decorreção, então denota-se os esquemas da seguinte forma

f (2)i, j = Ri, j fi, j +Ci, j, (4.34)

onde Ri, j serão os coeficientes de cada um dos 3 esquemas aplicados a cada uma das duasdireções de forma separada.


Figura 6 – Ilustração do domínio contendo uma interface imersa circular.

0 0.0556 0.1111 0.1667 0.2222 0.2778 0.3333 0.3889 0.4444 0.5 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1

0

0.0556

0.1111

0.1667

0.2222

0.2778

0.3333

0.3889

0.4444

0.5

0.5556

0.6111

0.6667

0.7222

0.7778

0.8333

0.8889

0.9444

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114

115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133

134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152

153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171

172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190

191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209

210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228

229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247

248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266

267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285

286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304

305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323

324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342

343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361

Fonte: Elaborada pelo autor.

Dependendo da posição do ponto será utilizado o estêncil em cada coordenada (i, j) eCi, j será o termo de correção de cada respectivo método em cada uma das duas direções, destaforma

Ci, j = JαxI( j)+ JαxJ(i), (4.35)

JαxI = RxxI Jα0x,

JαxJ = RyyI Jα0y,

RxxI e Jα0x correspondem a R2

i e Jα0 na direção x. O mesmo vale para a direção y.

I =

i−1, se xi−1 < xα < xi,

i+1, se xi < xα < xi+1

J =

j−1, se x j−1 < xα < x j,

j+1, se x j < xα < x j+1

Note que I = I( j) e J = J(i), ou seja, as correções são feitas separadamente para cada direçãousando o procedimento unidimensional.

4.2. Equação de Poisson 2D 51

4.2.1 Condições de contorno do tipo Neumann

Nos casos em que o problema tem condições de contorno do tipo Neumann, o valor dafunção e de suas derivadas não poderão ser aproximados mediante a interpolação feita em (4.5),(3.21) e (3.48). Ao invés do valor da função na descontinuidade, agora o valor da derivada éconhecido. Antes tínhamos interpolações da forma

f (n)± = cnα±

f±α +∑i

cnη i fη i, (4.36)

em particular, para n = 1f (1)± = c1

α±f±α +∑

ic1η i fη i. (4.37)

Isolando f±α temos

f±α =1

c1α±

(f (1)± −∑

ic1η i fη i

). (4.38)

Por fim, substituindo (4.38) em (4.36), chega-se à expressão da aproximação para o caso decondições de contorno do tipo Neumann

f (n)± =cn

α±

c1α±

f (1)± +∑i

(cnη i−

cnα±.c1η i

c1α±

)fη i. (4.39)

53

CAPÍTULO

5RESULTADOS NUMÉRICOS

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos com a aplicação do MII para aequação de Poisson unidimensional e bidimensional.

5.1 MII em Poisson 1D5.1.0.1 Exemplo 1

Inicialmente são apresentados resultados obtidos da aplicação das metodologias noseguinte problema elíptico unidimensional

(βux)x = f , 0 < x < 1 e 0 < α < 1, u(0) = u(1) = 0. (5.1)

β (x) =

2, se 0≤ x≤ α

1/2, se α < x≤ 1

f (x) =

−8cos(2x), se 0≤ x≤ α

−2cos(2x−2), se α < x≤ 1

A solução exata do problema é dada por

u(x) =

sin(2x), se 0≤ x≤ α

cos(2x−2)−1, se α < x≤ 1.

Neste exemplo (5.1) de equação de Poisson unidimensional com coeficiente constantepor partes, apresenta-se um salto em α = 0.44 para a solução numérica da metodologia deLi e Ito e logo em seguida é resolvido o mesmo problema desta vez com a metodologia de

54 Capítulo 5. Resultados Numéricos

Figura 7 – Soluções de segunda ordem, h=0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Li e Ito

Exata α=0.44

Linnick

Exata α=0.56789


Linnick e Fasel. Neste caso o salto ocorre em α = 0.56789. Pode-se observar através da figura(7) que o Método de Interface Imersa captura com muita precisão esses saltos em cada uma dasmetodologias implementadas. Na tabela (1) e na análise de convergência ilustrada na figura (8)mostra-se a segunda ordem de convergência para estas metodologias.

Tabela 1 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem, exemplo 1

h ‖U−u‖∞ M1 r1 ‖U−u‖∞ M2 r21/250 0.0000046 6.5864e-071/500 0.0000011 2.0641e+00 1.6476e-07 1.9991e+00

1/1000 0.0000003 1.8744e+00 4.1196e-08 1.9998e+001/2000 7.12365e-08 2.0744e+00 1.0299e-08 2.0000e+001/4000 1.78228e-08 1.9989e+00 2.5747e-09 2.0001e+001/8000 4.51009e-09 1.9822e+00 6.4305e-10 2.0014e+00

Fonte: Dados da pesquisa.

Considerando novamente o exemplo (5.1) de equação de Poisson unidimensional comcoeficiente constante por partes, resolvendo-se agora com a aplicação de diferenças finitascompactas e explícitas, ambas são baseadas na metodologia de Linnick e Fasel. O primeirocaso apresenta um salto em α = 0.768 para a solução numérica de diferenciação compacta elogo em seguida é resolvido o mesmo problema com a metodologia explícita, neste caso o saltoocorre em α = 0.3456. Pode-se observar através da figura (9) os resultados para cada uma dasmetodologias implementadas. Na tabela (2) e na análise ilustrada em (10) obtem-se a quartaordem de convergência destas duas metodologias.

5.1. MII em Poisson 1D 55

Figura 8 – Erro de segunda ordem do exemplo 1

log(h)

10 -4 10 -3 10 -2

log (

||U

-u||

∞

)

10 -10

10 -9

10 -8

10 -7

10 -6

10 -5

10 -4Analise de convergencia

IIM (Li e Ito)

IIM (Linnick)

O(h2)


Tabela 2 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem, exemplo 1

h ‖U−u‖∞ M1 r1 ‖U−u‖∞ M2 r21/30 1.3397e-08 2.7487e-081/60 7.3803e-10 4.1820e+00 1.6839e-09 4.0289e+001/120 4.2753e-11 4.1096e+00 1.0570e-10 3.9938e+001/240 2.6369e-12 4.0191e+00 6.6243e-12 3.9961e+001/480 1.6162e-13 4.0282e+00 4.0319e-13 4.0382e+001/600 6.6419e-14 3.9852e+00 1.6415e-13 4.0272e+00


Figura 9 – Soluções de quarta ordem, h=0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Explicito 4ª ord

Exata α=0.3456

Compacto 4ª ord

Exata α=0.768



Figura 10 – Erro de quarta ordem do exemplo 1

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -14

10 -12

10 -10

10 -8

10 -6


IIM (Compacto)

IIM (Explicito)

O(h4)


Foram aplicadas, também, as metodologias de alta ordem no exemplo (5.1), onde no-vamente utilizou-se as diferenças finitas compactas e explícitas de Linnick e Fasel. O primeirocaso apresenta um salto em α = 0.12345 para a solução numérica de diferenciação compacta elogo em seguida é resolvido o mesmo problema com a metodologia explícita, neste caso o saltoocorrendo em α = 0.8642. Pode-se observar através da figura (11) novamente que o Método deInterface Imersa captura com muita precisão esses saltos de descontinuidades em cada uma dasmetodologias implementadas. Na tabela (3) e na análise ilustrada em (12) tem-se sétima ordemde convergência nas diferenças finitas compactas e é atingida oitava ordem na metodologiaexplícita. Em ambos casos tem-se super convergência, já que nosso intuito era apresentar asmetodologias de sexta ordem. Desta forma foi verificada a aplicação de 6 metodologias diferentespara o problema unidimensional de Poisson com coeficiente constante por partes, então em umadimensão foram alcançados todos os objetivos propostos no trabalho.

Tabela 3 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem, exemplo 1

h ‖U−u‖∞ M1 r1 ‖U−u‖∞ M2 r21/20 1.5544e-09 8.8023e-081/40 1.4634e-11 6.7309e+00 4.0100e-10 7.7781e+001/50 3.1769e-12 6.8451e+00 6.8768e-11 7.9018e+001/60 9.0310e-13 6.8990e+00 1.6206e-11 7.9276e+001/80 1.2311e-13 6.9269e+00 1.6484e-12 7.9447e+00

1/100 2.5202e-14 7.1082e+00 2.7805e-13 7.9759e+00Fonte: Dados da pesquisa.

5.2. MII em problemas de Poisson em 2D 57

Figura 11 – Soluções de altas ordem, h=0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Compacto 7ª ord

Exata α=12345

Explicito 8ª ord

Exata α=0.8642


Figura 12 – Erro de altas ordens em escala logarítmica do exemplo 1

log(h)

10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -16

10 -14

10 -12

10 -10

10 -8


IIM (Compacto 7ª ordem)

IIM (Explicito 8ª ordem)

O(h7)

O(h8)


5.2 MII em problemas de Poisson em 2D

5.2.0.1 Exemplo 2

Considere, agora, a equação de Poisson 2D

∇ · (β∇u) = g (5.2)

definida em um quadrado unitário, com valor β = 1 onde o termo fonte g e a solução exata f sãodados por


g(x,y) =

0, se (x−0.5)2 +(y−0.5)2 ≤ 0.051232

−4π2 sin(2πx)cos(2πy), caso contrario,

com solução u(x,y) = 0.5sin(2πx)cos(2πy), fora do círculo.

No exemplo (5.2) de equação de Poisson para o caso bidimensional tem-se dois subdomí-nios onde um deles é um círculo com centro no quadrado unitário sendo que a função vale zerodentro deste círculo. A solução numérica da metodologia explicita de Linnick e Fasel capturacom muita precisão todo o salto que acontece na interface do círculo como pode-se observaratravés da figura (13). O erro do Método de Interface Imersa com a metodologia implementada éapresentada na tabela (4) e a análise de convergência é ilustrada em (14). Ambos indicam umaconvergência de segunda ordem.

Figura 13 – Solução segunda ordem do exemplo 2

10.8

0.60.4

x0.2

00y

0.5

0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1

u

(a) Numérica com tamanho de malha h=0.01

10.8

0.60.4

x0.2

00y

0.5

×10 -4

2

1.5

1

0.5

0

1

z

(b) Erro = 1.6981e-04


Tabela 4 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem para o exemplo 2

h ‖U−u‖∞ r1/24 2.8969e-031/48 7.3448e-04 1.9797e+001/72 3.2723e-04 1.9940e+00

1/120 1.1792e-04 1.9980e+001/192 4.6063e-05 2.0000e+001/216 3.6401e-05 1.9988e+001/240 2.9486e-05 1.9994e+001/288 2.0476e-05 2.0000e+00


Aplicando mais duas metodologias para resolver o exemplo (5.2) da equação de Poissonpara o caso bidimensional. As soluções numéricas da metodologia explícita de Linnick e Fasel


Figura 14 – Erro de segunda ordem em escala logarítmica do exemplo 2

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -5

10 -4

10 -3


IIM 2ª ordem

O(h2)


novamente capturam com muita precisão todo o salto que acontece na interface do círculo, comopodemos observar através das figuras (15a) e (17a). Também observa-se que os Métodos deInterfaces Imersas com estas duas metodologias implementadas apresentam quarta ordem deconvergência como ilustra a tabela (5) e a análise feita no gráfico (16). Na figura da análisede convergência ilustrada em (18) e na tabela (6) é apresentada a super convergência de oitavaordem que foi obtida também para o caso unidimensional.

Tabela 5 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem para o exemplo 2

h ‖U−u‖∞ r1/72 3.3281e-071/96 1.0570e-07 3.9868e+00

1/120 4.3164e-08 4.0136e+001/144 2.0808e-08 4.0020e+001/168 1.1226e-08 4.0036e+001/192 6.5855e-09 3.9940e+001/216 4.1092e-09 4.0043e+001/240 2.6957e-09 4.0013e+00



Figura 15 – Solução quarta ordem do exemplo 2

1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

1

u


1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

×10 -8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

z

(b) Erro = 8.9309e-08


Figura 16 – Erro de quarta ordem em escala logarítmica do exemplo 2

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -10

10 -9

10 -8

10 -7


IIM 4ª ordem

O(h4)


Tabela 6 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem para o exemplo 2

h ‖U−u‖∞ r1/72 3.2961e-071/96 1.5491e-08 7.5411e+00

1/120 1.6608e-09 7.7619e+001/144 2.8841e-10 7.8455e+001/168 6.8507e-11 7.8840e+001/192 2.0276e-11 7.8983e+001/216 7.0808e-12 7.8786e+001/240 2.7524e-12 8.0226e+00



Figura 17 – Solução de alta ordem do exemplo 2

1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

1

u


1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

×10 -9

0.4

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.2

0

1

z

(b) Erro = 1.2067e-09


Figura 18 – Erro de alta ordem em escala logarítmica do exemplo 2

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -20

10 -18

10 -16

10 -14

10 -12

10 -10

10 -8


IIM 8ª ordem

O(h8)


5.2.0.2 Exemplo 3

Considerando a equação de Poisson

∇ · (β∇u) = g (5.3)

definida em um quadrado unitário, com valor β = 1 onde o termo fonte g e a solução exata f sãodados por

g(x,y) =

4exp(−x2− y2).((x2 + y2−1)), se (x−0.5)2 +(y−0.5)2 ≤ 0.252

0, caso contrario,


com solução u(x,y) = exp(−x2− y2), dentro do círculo.

Considerando o problema em duas dimensões em (5.3) também tem-se dois subdomíniosonde um deles é um círculo com centro no quadrado unitário, mas desta vez a função vale zerofora do circulo. A solução numérica da metodologia explícita novamente captura com muitaprecisão todo o salto que acontece na interface do círculo como pode-se observar através da figura(19a). Observa-se também que o Método de Interface Imersa nesta metodologia implementadaapresenta uma convergência de segunda ordem, conforme a tabela (7) e a análise de convergênciailustrado em (20).

Figura 19 – Solução segunda ordem do exemplo 3

1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.1

0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u

(a) Numérica com tamanho de malha h=1/102

1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

×10 -7

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

1

z

(b) Erro = 3.3793e-07


Tabela 7 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de segunda ordem para o exemplo 3

h ‖U−u‖∞ r1/62 8.8204e-071/90 4.3085e-07 1.9225e+00

1/122 2.3765e-07 1.9557e+001/150 1.5815e-07 1.9712e+001/182 1.0777e-07 1.9835e+001/210 8.1060e-08 1.9901e+001/230 6.7646e-08 1.9886e+01/262 5.2203e-08 1.9893e+00


Aplicou-se as duas metodologias restantes para resolver o exemplo (5.3) de equação dePoisson para o caso bidimensional, as soluções numéricas da metodologia explícita de Linnick e

Fasel novamente capturam com muita precisão todo o salto que acontece na interface do círculocomo pode-se observar através das figuras (21a) e (23a). Pode-se observar que os Métodos deInterfaces Imersas com estas duas metodologias implementadas apresentam quarta ordem de


Figura 20 – Erro de segunda ordem em escala logarítmica do exemplo 3

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -8

10 -7

10 -6

10 -5

10 -4


IIM 2ª ordem

O(h2)


convergência como ilustra a tabela (8) e a análise feito no gráfico (22). Na figura da análisede convergência ilustrada em (24) e na tabela (9) é apresentada a super convergência de oitavaordem que foi obtida tanto no caso unidimensional como no caso bidimensional apresentado noexemplo anterior.

Também pode-se observar uma característica desta metodologia, que consegue suavizaro erro como pode-se observar nas figuras (13b), (15b), (17b), (19b), (21b) e (23b). Nos casobidimensionais verificou-se que as interpolações estão funcionando nas duas direções para ambosos casos de dentro e de fora do círculo.

Figura 21 – Solução quarta ordem do exemplo 3

1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.1

0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u


1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

×10 -11

0

1

2

3

4

5

6

7

1

z

(b) Erro = 6.7901e-11



Tabela 8 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de quarta ordem para o exemplo 3

h ‖U−u‖∞ r1/42 2.5463e-091/62 4.8673e-10 4.2486e+001/82 1.5961e-10 3.9879e+00

1/102 6.7901e-11 3.9162e+001/122 3.3013e-11 4.0277e+001/142 1.8033e-11 3.9833e+001/162 1.0650e-11 3.9966e+001/210 3.7390e-12 4.0336e+00


Figura 22 – Erro de quarta ordem em escala logarítmica do exemplo 3

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log (

||U

-u||

∞

)

10 -12

10 -11

10 -10

10 -9

10 -8

10 -7


IIM 4ª ordem

O(h4)


Tabela 9 – Erro cometido no cálculo da solução aproximada de alta ordem para o exemplo 3

h ‖U−u‖∞ r1/66 2.9754e-131/74 1.3300e-13 7.0375e+001/82 8.5368e-14 5.2404e+001/90 5.1015e-14 6.7207e+00

1/102 1.8763e-14 7.9915e+00Fonte: Dados da pesquisa.


Figura 23 – Solução alta ordem do exemplo 3

1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.1

0

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u


1

0.8

0.6

0.4

x0.2

00

0.2

y

0.4

0.6

0.8

×10 -14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

1

u

(b) Erro = 1.8763e-14


Figura 24 – Erro de alta ordem em escala logarítmica do exemplo 3

log(h)

10 -3 10 -2 10 -1

log

(||U

-u||

∞

)

10 -17

10 -16

10 -15

10 -14

10 -13


IIM (Explicito 8ª ordem)

O(h8)


67

CAPÍTULO

6CONCLUSÕES

O objetivo inicial do presente trabalho era desenvolver um método de interface de altaordem para a resolução numérica da equação de Poisson Boltzmann. O objetivo principal eraresolver a versão deste problema no caso linear com coeficientes constantes por partes que é aequação que é utilizada quando resolve-se numericamente as equações de Navier-Stokes paraescoamentos incompressíveis multifásicos, adotando-se o método de projeção.

Primeiro foram resolvidos alguns problemas contínuos unidimensionais de segunda,quarta e sexta ordem para as versões compactas e explícitas para logo depois incorporar asmodificações do salto na matriz do sistema que aparece em cada um das duas metodologias (Li

e Ito) e (Linnick e Fasel) onde nós contribuimos fazendo os novos termos de correção para osmétodos de alta ordem.

Feito isso, foi realizada uma a abordagem em duas dimensões, inicialmente com proble-mas contínuos e em sequência foram introduzidas as correções dos pontos vizinhos para assimcapturar o salto da função solução. Foi demonstrado que as interpolações adotadas funcionampara os problemas adotados em 2D. Foram feitos esforços para analisar os erros de truncamentosde todos os métodos que foram implementados para assim ter uma melhor ideia de como fazeros métodos explícitos de alta ordem.

Podemos observar através dos resultados apresentados que os Métodos da InterfacesImersas capturam com muita precisão o salto de descontinuidade e com as ordens de precisãoimplementadas.

68 Capítulo 6. Conclusões

6.1 Trabalhos gerados

Aprensentados

1. ROJAS, M.; SOUZA, L; CUMINATO, J. O método das interfaces imersas para a so-lução da equação Poisson-Boltzmann. Encontro Regional de Matemática Aplicada eComputacional, 2016.

2. ROJAS, M.; SOUZA, L; CUMINATO, J. Solução da equação de Poisson através do métododas interfaces imersas de altas ordens. Encontro Regional de Matemática Aplicada eComputacional, 2017.

Aceitos

1. ROJAS, M.; SOUZA, L; CUMINATO, J. O método das interfaces imersas para a soluçãoda equação de Poisson 2D. Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computa-cional, 2017.

2. ROJAS, M.; SOUZA, L; CUMINATO, J.High-order Immersed Interface Method for 2DPoisson equation. ABCM International Congress of Mechanical Engineering, 2017.

6.2 Trabalhos futurosPara futuros trabalhos pode-se estudar problemas com condições de contorno do tipo

Robin e que tenham funções distintas de zero em ambas as partes dos subdomínios utilizando alinearidade do operador gradiente.

Pode-se realizar uma extensão do código para trabalhar com 3 dimensões e obter as altasordens de precisão alcançadas em 1D e 2D.

69

REFERÊNCIAS

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FORNBERG, B. Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids. Mathema-tics of computation, v. 51, n. 184, p. 699–706, 1988. Citado na página 43.

GENG, W.; YU, S.; WEI, G. Treatment of charge singularities in implicit solvent models. TheJournal of chemical physics, AIP Publishing, v. 127, n. 11, p. 114106, 2007. Citado na página21.

HELGADÓTTIR, Á.; GIBOU, F. A poisson–boltzmann solver on irregular domains with neu-mann or robin boundary conditions on non-graded adaptive grid. Journal of ComputationalPhysics, Elsevier, v. 230, n. 10, p. 3830–3848, 2011. Citado na página 25.

HUANG, H.; LI, Z. Convergence analysis of the immersed interface method. IMA Journal ofNumerical Analysis, Oxford University Press, v. 19, n. 4, p. 583–608, 1999. Citado na página29.

JI, H.; CHEN, J.; LI, Z. Augmented immersed finite element methods for some elliptic partialdifferential equations. International Journal of Computer Mathematics, Taylor & Francis,v. 93, n. 3, p. 540–558, 2016. Citado na página 22.

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LINNICK, M. N.; FASEL, H. F. A high-order immersed interface method for simulating unsteadyincompressible flows on irregular domains. Journal of Computational Physics, v. 204, p. 157–192, 2005. Citado nas páginas 22, 27, 30, 32 e 34.

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70 Referências

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