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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM FÍSICA OP ARADOXO DA S UPERDIFUSÃO DE UMA CAMINHADA ALEATÓRIA COM MEMÓRIA EXPONENCIAL G LADSTONE DE A LENCAR A LVES NATAL - RN S ETEMBRO 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

O PARADOXO DA SUPERDIFUSÃO DE UMACAMINHADA ALEATÓRIA COM MEMÓRIA

EXPONENCIAL

GLADSTONE DE ALENCAR ALVES

NATAL-RNSETEMBRO 2014

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GLADSTONE DE ALENCAR ALVES

O PARADOXO DA SUPERDIFUSÃO DE UMACAMINHADA ALEATÓRIA COM MEMÓRIA

EXPONENCIAL

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-

cial para a obtenção do grau de doutor em Física.

Orientador: Professor Madras Viswanathan Gandhi

Mohan

Co-orientador: Professor Luciano Rodrigues da Silva

NATAL-RNSETEMBRO 2014

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Tese do Projeto Final de Doutorado sob o título O Paradoxo da Superdifusão de uma

caminhada aleatória com memória exponencial, defendida por Gladstone de Alencar Alves e

aprovada em 12 de setembro de 2014, em Natal, Estado do Rio Grande do Norte, pela

banca examinadora constituída pelos professores:

Professor Dr. Madras Viswanathan Gandhi Mohan

Orientador

Professor Dr. Luciano Rodrigues da Silva

Co-orientador

Professor Dr. Jóse Carlos Cressoni

Universidade de São Paulo

Professor Dr. Marco Antônio Alves da Silva

Universidade de São Paulo

Professor Dr. Francisco George Brady Moreira

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, que nos momentos de alegria e tristeza, esteve

presente para me iluminar. A minha família, Maria Lêda de Alencar Alves (Mãe), Ete-

valdo Muniz Alves (Pai), a minha esposa, Thallyta Lima e Silva Alencar pela força, ca-

rinho e amor, ao meu filho, Henrique Lima e Silva Alencar, pelas alegrias em casa, aos

meus irmãos, Tayroni e Wlistone, e suas respectivas esposas, Sandra e Tânia, aos meus

anjos sobrinhos, Gabriel, Miguel e Rafael. Agradeço a todos os amigos de doutorado do

programa de Pós-Graduação em Física da UFRN, Tharcisyo, Cristovão, Francisco, Noe-

lia, Crislane, Jefesson, Bruno Amorim, Bruno Lustosa, Jânio, Leonardo, Dgerson, Carlos

Humberto, Danilo, Edi Rozembergh, Flodoaldo, Cesar, Heydson, Kelder, Juliana, Mad-

son, Maria das Graças, Rízia, Rodolfo, Tiago, Vivian, Carlene, Gislana, Tibério, Francys,

Pierre, Eliângela, Hidalyn, Nilady e os demais pela descontração, festas, discussões sobre

física e etc.

Agradeço todos os professores que fazem parte do programa de Pós-Graduação

em Física da UFRN, em especial os professores: Brady, Manoel, Luciano, Felipe Bohn, José

Medeiros e Álvaro Ferraz pela formação acadêmica.

Agradeço o professor titular do programa de Pós-Graduação em Física da UFRN,

Madras Viswanathan Gandhi Mohan, pela orientação do trabalho, ensinamentos e visão

de um pesquisador, comportamento e atitudes de um docente, e pelo comprometimento

de um verdadeiro educador.

Agradeço os professores Marco Antonio Alves da Silva e José Carlos Cressoni pela

colaboração do nosso trabalho.

Agradeço a secretária do programa de Pós-Graduação em Física da UFRN, Dona

Celina pela atenção e resolução dos problemas administrativos do programa.

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“The pressure for conformity is enormous. I have experien-

ced it in editors’ rejection of submitted papers, based on ve-

nomous criticism of anonymous referees. The replacement

of impartial reviewing by censorship will be the death of sci-

ence.”

( Julian Schwinger)

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Resumo

Os modelos de caminhada aleatória com correlação temporal (ou seja, memória)

têm despertado o interesse para o estudo sobre difusão anômala. A caminhada aleatória e

suas generalizações vêm ocupando um lugar de destaque na caracterização de fenômenos

físicos, químicos e biológicos. A correlação temporal é um fator necessário neste modelos

para provocar difusão anômala. Os modelos que apresentam correlações temporais de

longo-alcance são denominados genuinamente de não-Markovianos, caso contrário, de

curto-alcance, Markovianos. Dentro deste contexto, fizemos uma revisão dos modelos já

existentes que apresentam correlação temporal, isto é, memória total, modelo de cami-

nhada do elefante, ou memória parcial, modelo de caminhada com alzheimer e o modelo

com memória com perfil gaussiano. Percebe-se que esses modelos apresentaram super-

difusão, expoente de Hurst (H > 1/2). Estudamos neste trabalho um modelo de cami-

nhada aleatória superdifusivo com memória exponencialmente decrescente. Esse parece

ser um resultado contraditório, uma vez que, é bem conhecido que a caminhada aleató-

ria com correlações que decaem exponencialmente pode ser aproximada arbitrariamente

bem por um processo Markoviano e que o teorema do limite central proíbe superdifu-

são quando a variância do tamanho dos passos for finita. Nossa proposta para resolver

o aparente paradoxo parte do princípio de que o modelo exponencial seja genuinamente

não-Markoviano, devido a constante de decaimento da exponencial ser dependente de

tempo. Finalmente, discutimos ideias para futuras investigações.

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Abstract

The random walk models with temporal correlation (i.e. memory) are of interest

in the study of anomalous diffusion phenomena. The random walk and its generalizations

are of prominent place in the characterization of various physical, chemical and biological

phenomena. The temporal correlation is an essential feature in anomalous diffusion mo-

dels. These temporal long-range correlation models can be called non-Markovian models,

otherwise, the short-range time correlation counterparts are Markovian ones. Within this

context, we reviewed the existing models with temporal correlation, i.e. entire memory,

the elephant walk model, or partial memory, alzheimer walk model and walk model with

a gaussian memory with profile. It is noticed that these models shows superdiffusion with

a Hurst exponent H > 1/2. We study in this work a superdiffusive random walk model

with exponentially decaying memory. This seems to be a self-contradictory statement,

since it is well known that random walks with exponentially decaying temporal corre-

lations can be approximated arbitrarily well by Markov processes and that central limit

theorems prohibit superdiffusion for Markovian walks with finite variance of step sizes.

The solution to the apparent paradox is that the model is genuinely non-Markovian, due

to a time-dependent decay constant associated with the exponential behavior. In the end,

we discuss ideas for future investigations.

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LISTA DE FIGURAS

1.1 O comportamento auto-similar de um fractal [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 A visão macroscópica da estrutura de um fractal [5]. . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 As primeiras gerações do conjunto de Cantor. O processo de construção do

conjunto de Cantor ocorre através da divisão de um segmento de reta, num

intervalo fechado [0, 1], em três segmentos de tamanho 1/3 e na retirada do

seguimento central [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 O modelo de crescimento cinético. A figura mostra o caminho, que é repre-

sentado pelas ligações entre os sítios, percorrido por um caminhante. Cada

passo do caminhante é dado na direção do sítio que ainda não foi visitado. . 6

1.5 O modelo de crescimento inteligente. A figura mostra o caminho, que é

representado pela ligações entre os sítios, percorrido por um caminhante.

Cada passo do caminhante é dado na direção do sítio que ainda não foi

visitado e o próximo sítio escolhido deve garantir o passo seguinte. . . . . . 8

1.6 A imagem de Robert Brown (1773-1858) [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 A imagem de Albert Einstein (1879-1955) [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Caminhada aleatória 2D para µ = 3, fig. (a) e fig. (b) para diferentes va-

lores de N mostra a caminhada browniana. A fig (c) e fig. (d) mostra a

caminhada aleatória para o valor de µ = 2 e difrerentes valores de N repre-

sentando uma caminhada de Lévy [75]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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4.1 A definição de difusão anômala segundo o comportamento do expoente

de Hurst. A figura mostra o comportamente do deslocamento quadrático

médio (log(< x2 >)) em função do tempo (log(t)). O valor do expoente de

Hurst é obtido a partir da relação H = 1/2(log(< x2 >)/log(t)). . . . . . . . 47

4.2 O deslocamento médio 〈xt〉 em função do tempo t e do parâmetro p [59]. A

média do deslocamento diverge para os valores de 0.7 6 p 6 0.9 . . . . . . . 49

4.3 O deslocamento quadrático médio 〈x2t 〉 em função do tempo t e do parâme-

tro p [59]. O deslocamento quadrático médio apresenta um comportamento

linear para os valores de 0.1 6 p 6 0.6 e um comportamento não linear para

os valores de 0.7 6 p 6 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 A figura mostra o expoente de Hurst H em função do parâmetro p [60].

Nota-se a concordância entre o resultado numérico e o resultado analítico,

a linha tracejada em vermelho representa o resultado analítico [58]. É pos-

sível perceber a mudança de comportamento próximo do ponto p = 34. . . . 51

4.5 A representação do perfil de memória da caminhada Alzheimer. O compri-

mento da memória é L = ft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função dos

parâmetro p e f [60]. A linha tracejada em azul é o resultado analítico exato

para o modelo de caminhada do elefante, f = 1 [58]. A figura inserida

mostra a relação entre 〈x2〉 e o tempo t para alguns valores de p e f . O

modelo apresenta superdifusão (persistência clássica [62]) (H > 12) para

p > 12. Para valores de p < 1/2, o modelo apresenta superdifusão log-

periódica (persistência log-periódica [62]) (H > 12) para valores de f = 0.2

e 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.7 A figura apresenta o comportamento do primeiro momento 〈xt〉 em função

do tempo t [60]. É possível ver que a perda de memória significativa (f pe-

queno) leva ao surgimento da log-periodicidade. O gráfico inserido mostra

o valor médio 〈xt〉 normalizado por t12 em função de t. Esta normalização

amplia o comportamento das amplitudes de oscilações log-periódicas. . . . 53

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4.8 A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em relação aos

parâmetro p e σ [61]. Para valores de σ grande, a gaussiana torne-se muito

larga, isto é, o caminhante recorda-se de toda a sua história, comporta-

mento qualitativo similar ao modelo de caminhada do elefante [59], porém,

quando os valores de σ são pequenos, a largura da gaussiana fica estreita,

qualitativamente o comportamento apresentado pelo modelo se assemelha

ao modelo de caminhada com alzheimer [60]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.9 A figura exibe o comportamento do deslocamento médio 〈x〉 em função do

tempo t para alguns valores de σ [61]. A perda significativa de memória

(σ pequeno) indica a evidência de superdifusão log-periódica. O gráfico

inserido apresenta as amplitudes da log-periodicidade para o primeiro mo-

mento normalizado por tH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.10 A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função dos

parâmetros p e σ [61]. Para valores grande de σ, o modelo de perfil de me-

mória gaussiano apresenta comportamento semelhante ao modelo de ca-

minhada do elefante [59]. Para valores pequenos de σ, o modelo gaussiano

apresenta comportamento similar ao modelo de caminhada com alzheimer

[60]. O modelo gaussiano apresenta superdifuão log-periódica para valo-

res de σ pequeno na região de p < 1/2. Diferentemente do modelo de

caminhada com alzheimer, o modelo gaussiano não tem acesso aos primei-

ros passos, no instante t = 0. Isso mostra que a lembrança dos primeiros

passos, instante t = 0, não é um ingrediente necessário para que o modelo

apresente superdifusão log-periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 A figura ilustra o comprimento de memória do modelo exponencial. . . . . 62

5.2 A figura ilustra o comprimento de memória do modelo simplificado. . . . . 62

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5.3 O expoente de Hurst H em função do parâmetro p para o longo intervalo

de memória no modelo correlacionado com memória decaimento exponen-

cial. Os símbolos representam numericamente os valores encontrados para

o expoente de Hurst H em função dos valores de λ, que representa a me-

dida do comprimento de memória. Para mostrar as linhas de H versus

p usamos spline cúbico. Os resultados analíticos conhecidos para o mo-

delo de caminhada do elefante (modelo de memória mais longa possível)

e a tradicional caminhada aleatória browniana, que não tem memória, são

mostrados para feito de comparação através das linhas tracejada em azul e

vermelho, respectivamente. O gráfico inserido mostra uma área ampliada

da porção H > 1/2 da curva principal. Notamos uma transição da difusão

normal (H = 1/2) para superdifusão (H > 1/2) em p = 3/4 (resultado exato

para o modelo de caminhada do elefante). Vemos claramente que o modelo

de memória exponencial apresenta superdifusão (H > 1/2) para alguns de

valores de λ, contrariando a crença comum que memória exponencial não

pode dar origem a superdifusão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 A figura (a) exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função

de ambos os parâmetros p e e−λ, para vários valores de λ, para o modelo

de mémoria exponencial. Na figura (b) o mesmo gráfico que no (a), mas

para o modelo equivalente de memória retangular (simplificado). Para va-

lores extremamente grandes de λ (λ → ∞) o comprimento de memória

torna-se muito pequeno e o modelo se comporta como um caminhante ale-

atório tradicional browniano. Para λ pequeno (λ → 0), o comprimento de

memória tende para um perfil de memória cheia, recuperando o modelo

de caminhada do elefante. Notamos que o modelo de memória exponen-

cial e o modelo simplificado tem essencialmente o mesmo comportamento,

justificando o ansatz do mapeamento que usamos para conectar ambos os

modelos. Notamos também que os dois modelos apresentam superdifusão. 71

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SUMÁRIO

1 Introdução 1

1.1 Caminhada aleatória com memória exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Alguns conceitos de Física Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Difusão normal 12

2.1 Equação de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Equação de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Equação Mestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Difusão anômala 26

3.1 Equação de Langevin Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Equação de Fokker-Planck Fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Equação Mestra Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Caminhada Aleatória em Tempo Contínuo - CATC . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Voos de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Modelo Scher-Montroll Subdifusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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4 Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 45

4.1 Modelo de Caminhada do Elefante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Modelo de Caminhada com Alzheimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Modelo de Caminhada com memória com perfil Gaussiano . . . . . . . . . . 54

5 Modelo de Memória Exponencial 59

5.1 Modelo de Memória Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Equação de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Estimativa Exata via Equações Transcendentais . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Conclusões e Perspectivas 77

6.1 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 Perspectivas para o futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Referências Bibliográficas 81

Anexo 1: copia de artigo 88

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CAPITULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 Caminhada aleatória com memória exponencial

Chamamos de "caminhada aleatória"o modelo que representa vários passos aleá-

torios dados de forma consecutiva. Os passos não podem ser todos iguais e as orientações

aleatórias são determinadas por uma variável aleatória. Caso a variável aleatória dependa

do tempo, o processo é denominado de estocástico.

Até meados do século XX, achava-se que todas as caminhadas aleatórias eram pa-

recidas com o movimento browniano descoberto por Brown e, posteriormente, estudado

por Einstein em 1905, onde o deslocamento quadrático médio cresce linearmente com o

tempo. Esse comportamento linear é conhecido como difusão normal. No entanto, algu-

mas caminhadas aleatórias são superdifusivas, ou seja, o deslocamento quadrático médio

não cresce de forma linear com o tempo.

Quando o caminhante aleatório tem memória, o comprimento de correlação da

caminhada pode aumentar. Se o comprimento de correlação aumentar tanto que diverge,

então superdifusão é possível. No entanto, se o ele é finito, a difusão necessariamente é

do tipo normal, supondo que os passos tem variância finita.

Memória exponencial é caracterizada por um decaimento exponencial, tal que o

comprimento de correlação é dado pelo recíproco da constante de decaimento. Como essa

constante é finita, logo o comprimento de correlacão também é finito. Portanto, é impos-

1

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Capitulo 1. Introdução 2

sível gerar superdifusão a partir de memória exponencial. Então o modelo com memó-

ria exponencial pode ser modelado por um processo Markoviano após n-passos, ou seja,

o processo no qual a probabilidade de transição atual dependa dos n-passos anteriores.

Não importa quão grande escolhermos o n, para tempos longos o deslocamento quadrá-

tico médio necessariamente escala de forma linear com o tempo por causa do Teorema do

Limite Central.

Relatamos aqui um modelo superdifusivo de caminhada aleatória com memória

exponencialmente decrescente para tempos longos, ou seja, o deslocamento quadrático

médio não cresce de forma linear com o tempo. Portanto, a resolução do (aparente) para-

doxo revela uma lacuna na forma como o assunto é normalmente considerado. De fato,

demonstramos que é possível dispor de um modelo genuinamente não-Markoviano ale-

atório com memória exponencial, P (t′) ∝ e−λ(t−t′)

t , desde que a constante de decaimento

λ/t é dependente do tempo.

1.2 Alguns conceitos de Física Estatística

Alguns fenômenos que ocorrem no nosso cotidiano, tais como, o movimento de

um carro, a construção de um prédio, movimento de uma partícula e etc, podem ser expli-

cados pela Mecânica Clássica. No entanto, não teremos muito sucesso caso seja necessário

utilizar as ideias dessa teoria para explicar o comportamento da matéria na escala atô-

mica. Em vez de contornarmos os efeitos atômicos, é interessante descrever através das

ideias quânticas as propriedades atômicas da matéria. Um dos melhores livros de Física

básica “The Feynman Lectures on Physics” [1] cita que a Mecânica Quântica descreve o

comportamento da matéria em todos os seus detalhes e, especialmente, dos acontecimen-

tos em uma escala atômica. No entanto, Mecânica Clássica ou Quântica, não descrevem

bem a conexão entre o mundo microscópio e a termodinâmica. Por exemplo, em um gás,

composto por várias partículas, pode-se investigar as propriedades do tal sistema via Me-

cânica Estatística. A utilização da Mecânica Estatística possibilita caracterizar o sistema

a partir das mudanças de seus estados microscópicos no tempo e como eles atingem os

estados macroscópicos de equilíbrio. O livro do ilustre Professor Salinas [2], referência na

área de mecânica estatística, cita que um estado do sistema na visão clássica pode ser re-

presentado pelo espaço de fase constituído pelas n coordenadas generalizadas de posição

e as n coordenadas generalizadas do momento, porém na quântica a representação é dado

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Capitulo 1. Introdução 3

pelo auto-estado. O conjunto de pontos do espaço de fase ou o conjunto dos auto-estados

constituem um ensemble estatístico. Um dos interesses da Mecânica Estatística é calcular

valores médios sobre os ensembles estatísticos.

O movimento browniano é um movimento aleatório que descreve o comporta-

mento de um sistema composto por partículas num fluido. Apesar do movimento brow-

niano ser aleatório e apresentar pouca regularidade em alguns pontos do seu movimento,

ele pode ser classificado como um fractal, pois sua forma geral apresenta uma dinâmica

bem definida. Veremos ainda mais tarde que o cálculo da variância para esse movimento

cresce ∼√t, o que torna esse movimento auto-similar.

No final do século XIX e início do século XX, em um contexto matemático sem

qualquer previsão de aplicações práticas, os trabalhos desenvolvidos pelos alemães Ge-

org Cantor e Felix Hausdorff deram origem ao estudo dos fractais. O termo fractal foi

criado em 1975 pelo matemático francês Benoit Mandelbrot. Mandelbrot queria entender

a complexidade da natureza através dos fractais. Hoje já existe o reconhecimento quanto

a aplicabilidade dos fractais, seja no tratamento de medidas de litoral, nuvens e outros

fenômenos na física, biologia e astronomia. Os fractais apresentam características bem

peculiares como a auto-similaridade, complexidade infinita, auto-afinidade e dimensão

fractal.

A auto-similaridade está relacionada a variação das escalas de medidas, ou seja, o

fractal não muda ao passo que aumentamos ou diminuímos a escala de medida. Portanto,

esta propriedade permite que os fractais sejam invariantes por escala. Observe a figura

(1.1) e veja o comportamento auto-similar do fractal. A invariância por escala apresentada

pelos fractais implica que eles não possuem um comprimento de escala característico [3].

Quando o fractal é gerado por infinitas iterações surge o grau de complexidade

infinita. A figura (1.2) mostra a estrutura macroscópica de um objeto fractal gerado a

partir de infinitas repetições.

A característica de auto-afinidade está relacionada com as cópias geradas de um

fractal serem anisotrópicas, ou seja, não mantêm fixas as proporções originais, por exem-

plo, as nuvens. As nuvens possuem a característica de auto-afinidade devido as suas

propriedades estatísticas, ou seja, as observações em escalas diferentes apresentam uma

correlação estatística nas suas fronteiras. Podemos ainda citar como exemplo os aglomera-

dos percolantes e sistemas de partículas com agregação. A dimensão de um fractal é mais

uma característica peculiar desses objetos. A dimensão está associada a irregularidade e a

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Capitulo 1. Introdução 4

Figura 1.1: O comportamento auto-similar de um fractal [4].

Figura 1.2: A visão macroscópica da estrutura de um fractal [5].

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Capitulo 1. Introdução 5

ocupação no espaço do objeto fractal [3].

Os fractais podem ser classificados em duas categorias: (i) fractais determinístico

e (ii) fractais estatísticos ou aleatórios. O fractal torna-se determinístico quando a sua

estrutura em todas as escalas são auto-semelhantes, isto é, igual a uma de suas partes

ampliada. Podemos analisar o conjunto de Cantor como exemplo. O conjunto de Cantor

foi proposto pelo alemão Georg Cantor (1845-1919). O processo de construção do conjunto

de Cantor ocorre através da divisão de um segmento de reta, num intervalo fechado [0, 1],

em três segmentos de tamanho 1/3 e na retirada do seguimento central. Observe a figura

(1.3). Acompanhando as sucessivas iterações percebemos que o procedimento é o mesmo.

Quando o número de iterações tende para o infinito, obtém-se um conjunto de pontos

denominado de conjunto de Cantor. Esse fractal já foi utilizado para estudo de ruídos em

linhas de transmissão e hoje tem aplicabilidade na área da física da matéria condensada

[7].

Os fractais estatísticos ou aleatórios são gerados por processos estocásticos e o tra-

tamento de suas propriedades ocorrem por meio estatístico. Por exemplo, podemos citar

a caminhada aleatória com volume auto-excludente. Imagina-se uma rede quadrada, cuja

as ligações entre os sítios representam o caminho percorrido por um caminhante. Consi-

derando que cada sítio só pode ser visitado apenas uma única vez. Então, o caminhante

é proibido de dar passos em qualquer direção. Os passos devem ser dados nas direções

dos sítios vazios. Observe a figura (1.4) que representa o modelo de crescimento cinético

[8, 9]. O outro caso, além da escolha de um sítio vazio, o próximo sítio escolhido deve

garantir o passo seguinte (ligação). Observe a figura (1.5) e veja o modelo de crescimento

inteligente [10].

O objetivo de um pesquisador é explicar a ocorrência de um fenômeno observado

na natureza. O fractal como uma aparente abstração na matemática tornou-se útil para a

construção de modelos que explicassem os fenômenos na natureza. Ao observar o pes-

quisador levanta as hipóteses e questionamentos relacionados aos fatos de ocorrência do

fenômeno natural. Em seguida, faz-se uma análise do passo anterior e propõe um modelo

que explique o tal fenômeno. O modelo proposto pode ser construído a partir de uma

equação ou de uma simulação. Logo após, é necessário a realização de vários testes para

verificar se o modelo explica de fato o comportamento do fenômeno em questão. Caso seja

positivo, o passo seguinte é procurar fenômenos correlacionados ao que foi explicado. A

discussão feita se remete ao estudo realizado pelo escocês Robert Brown. A figura (1.6)

mostra sua imagem. Ele descreveu suas observações em 1828 [11]. Brown estudava o

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Capitulo 1. Introdução 6

Figura 1.3: As primeiras gerações do conjunto de Cantor. O processo de construção doconjunto de Cantor ocorre através da divisão de um segmento de reta, num intervalofechado [0, 1], em três segmentos de tamanho 1/3 e na retirada do seguimento central [3].

Figura 1.4: O modelo de crescimento cinético. A figura mostra o caminho, que é repre-sentado pelas ligações entre os sítios, percorrido por um caminhante. Cada passo docaminhante é dado na direção do sítio que ainda não foi visitado.

Page 20: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 1. Introdução 7

processo de fertilização das plantas utilizando um microscópio para visualizar os grãos

de pólen imersos na água. Nas observações feitas por Brown sobre as formas dessas par-

tículas, ele estranhou o movimento delas e percebeu que se tratava de algo incessante.

Então, Brown estendeu suas observações para outras plantas, e verificou que as partículas

apresentavam o mesmo comportamento. Brown examinou também tecidos de animais,

triturando-os e imergido-os na água, tendo observado as partículas de tamanho, forma e

movimento similares aos grãos de pólen [12]. Uma possível explicação para descrever a

causa desse movimento seria a atração e a repulsão entre as partículas. Existiam outras

explicações, porém, Brown demonstrou que esta e as outras explicações não explicavam

esse movimento. O experimento realizado por Brown constituía-se de gotas de água de

dimensões microscópicas, contendo um ou mais grãos de pólen, imersas em óleo. Em to-

das as gotas foram observados o mesmo movimento incessante. Apesar de Brown não ter

encontrado uma explicação para tal fenômeno, o legado deixado por ele foi demonstrar

que partículas orgânicas ou inorgânicas apresentavam esse tipo de comportamento nos

seus movimentos.

Em 1905, Albert Einstein, figura (1.7), descreveu microscopicamente o movimento

incessante de partículas microscópicas. O movimento mais tarde foi denominado de mo-

vimento browniano em homenagem a Robert Brown. Einstein usou os argumentos da

física estatística (teoria cinética molecular do calor) da época para mostrar que os corpos

com dimensões microscópicas suspensas em um líquido apresentavam esse movimento

incessante [13]. Ele comparava o movimento irregular das partículas suspensas em um

líquido com o fenômeno chamado de difusão, consequência dos movimentos térmicos

moleculares observados a partir do uso de um microscópio. Em um dos seus trabalhos

ele deduziu a equação da difusão a partir de um caráter probabilístico. Antes, Einstein fez

duas considerações, sendo elas: o movimento de uma partícula não depende das outras

partículas e os movimentos da mesma partícula em intervalos de tempo diferentes são

processos mutualmente independentes. Feita as considerações e utilizando a notação des-

crita pela [13], vamos obter a equação da difusão. Seja p(∆)d∆ a probabilidade de uma

partícula em suspensão sofrer um deslocamento entre ∆ e ∆ + d∆ em um intervalo de

tempo τ . A densidade de probabilidade deve ser simétrica

p(∆) = p(−∆) (1.2.1)

Page 21: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 1. Introdução 8

Figura 1.5: O modelo de crescimento inteligente. A figura mostra o caminho, que é re-presentado pela ligações entre os sítios, percorrido por um caminhante. Cada passo docaminhante é dado na direção do sítio que ainda não foi visitado e o próximo sítio esco-lhido deve garantir o passo seguinte.

Figura 1.6: A imagem de Robert Brown (1773-1858) [6].

Page 22: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 1. Introdução 9

e normalizada ∫ ∞−∞

p(∆)d∆ = 1. (1.2.2)

Então, se n(x, t) for o número de partículas por unidade de volume em torno de x e em

um instante t, temos que a relação de probabilidade é

n(x, t+ τ) =

∫ ∞−∞

n(x+ ∆, t)p(∆)d∆. (1.2.3)

Os parâmetros τ e ∆ são macroscopicamente pequenos, mas suficientemente grandes para

ser medidos. Podemos expandir em termos dos dois parâmetros τ e ∆

n(x, t+ τ) = n(x, t) +∂n

∂tτ + ... (1.2.4)

n(x+ ∆) = n(x, t) +∂n

∂t∆ +

1

2

∂2n

∂x2∆2 + ... (1.2.5)

Depois de expandir, vamos substituir as expansões na expressão (1.2.3) e levar em conta

as considerações (1.2.1) e (1.2.2). Retendo os termos de ordem dominante chegamos a

equação da difusão∂n(x, t)

∂t= D

∂2n(x, t)

∂2x. (1.2.6)

O que torna mais interessante é o fato do fenômeno apresentar difusão. O comportamento

difusivo apresentado por alguns sistemas eram descritos pelas leis de Fick, inclusive a

equação (1.2.6) representa a segunda lei de Fick. Einstein utilizou argumentos estatísti-

cos para explicar o movimento incessante de determinadas partículas suspensas em um

líquido, e chegou a equação que descreve um comportamento difusivo. A constante D

representa o coeficiente de difusão

D =1

∫ +∞

−∞∆2p(∆)d∆. (1.2.7)

Portanto, podemos escrever o desvio quadrático média dos deslocamentos da se-

guinte forma

〈∆2〉 =

∫ +∞

−∞∆2p(∆)d∆ = 2Dτ (1.2.8)

A explicação dada por Einstein sobre o movimento incessante destas partículas

poderia ser utilizada para explicar a difusão no problema de caminhada aleatória. Consi-

Page 23: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 1. Introdução 10

derando que o caminhante se desloca ao longo do eixo x em intervalos de tempos iguais,

dando passos de comprimento aleatório. Após um tempo t = nτ , o caminhante se encon-

tra na posição

x =n∑i=1

∆i. (1.2.9)

Calculando a posição média 〈x〉, o deslocamento quadrático médio 〈x2〉 e usando a equa-

ção (1.2.8) chega-se ao seguinte resultado 〈x2〉 = 2Dt. Notamos que o deslocamento qua-

drático médio cresce de forma linear em relação ao tempo. Esse tipo de comportamento é

típico de uma difusão normal.

1.3 Estrutura da tese

No capítulo 2 iremos discutir o formalismo para a difusão normal, por exemplo,

a equação de Langevin para o movimento browniano, a equação de Fokker-Planck e a

equação mestra. No capítulo 3, vamos fornecer o formalismo para a difusão anômala,

tais como, a equação de Langevin generalizada, equação de Fokker-Planck fracionária, a

equação mestra generalizada, a caminhada aleatória no tempo contínuo (CATC), voo de

Lévy e o modelo Scher-Montroll subdifusivo. No capítulo 4, apresentaremos os mode-

los superdifusivos não-Markovianos, que possui memória total (modelo de caminhada

do elefante), parcial (modelo de caminhada com alzheimer) e o modelo com memória

com o perfil gaussiano. No capítulo 5, vamos mostrar os resultados para o modelo de

memória exponencialmente decrescente, entre eles, os resultados numéricos sobre o com-

portamento do expoente de Hurst H em função do parâmetro p, e em seguida, o expoente

de Hurst H em função dos parâmetros p e λ como efeito de comparação com o modelo

simplificado, e a confirmação de uma proposta que nos proporcionou obter a equação de

Fokker-Planck para o modelo citado. Além disso, o capítulo 5 vai apresentar uma pro-

posta de solução analítica para o modelo com memória exponencialmente decrescente via

sistema de equações transcendentais. Finalmente, no capítulo 6, iremos apresentar as nos-

sas conclusões referente ao paradoxo da caminhada aleatória com memória exponencial

e as perspectivas para futuros trabalhos. Por exemplo, uma análise mais profunda da

proposta de solução analítica via equações transcendentais e a busca de um formalismo

estatístico para o modelo de memória exponencial.

Page 24: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 1. Introdução 11

Figura 1.7: A imagem de Albert Einstein (1879-1955) [6].

Page 25: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

CAPITULO 2

DIFUSÃO NORMAL

A explicação para o movimento incessante de partículas microscópicas suspensas

em um líquido, denominado de movimento Browniano, despertou o interesse de outros

pesquisadores: Smoluchowski, Langevin, Fokker e Planck [12]. O físico polonês Marian

Smoluchowski desenvolveu uma teoria para explicar o movimento Browniano. A teoria

de Smoluchowski tinha uma linha de pensamento diferente de Einstein, mas seus resul-

tados concordavam plenamente com os encontrados por Einstein. Na visão de Smolu-

chowski não era possível estimar a velocidade de uma partícula ao observá-la através de

um microscópio, porém era possível observar a sequência das posições médias da partí-

cula. O livre caminho médio permitia descrever o movimento difuso no espaço da po-

sição, ou seja, o movimento de uma partícula é resultado da flutuação do número de

colisões com átomos do fluido. Em 1908, o físico francês Paul Langevin apresentou uma

descrição diferente de Einstein e Smoluchowski para o movimento Browniano. Langevin

descreveu o fenômeno através de uma equação diferencial que representava o movimento

de uma partícula em suspensão, incluindo a força de Stokes, de caráter macroscópico, no

contexto da mecânica dos fluidos, e de uma força aleatória atribuída ao bombardeio con-

tínuo de partículas em suspensão pelas moléculas do fluido. Portanto, o movimento das

partículas suspensas era devido o movimento do líquido.

Adriaan Daniël Fokker trabalhou com um modelo completamente diferente dos

que já foram citados e obteve resultados análogos para explicar o movimento Browniano.

Fokker considerou um modelo constituído de dipolos elétricos em um campo de radiação

com apenas um grau de liberdade de rotação. O seu objetivo era determinar a distribui-

12

Page 26: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 13

ção de probabilidade para o caso estacionário e consequentemente a energia média de

rotação em função do campo de radiação. A lei de distribuição foi descrita por equações

diferenciais, processo análogo para descrever o movimento Browniano. Enfim, Fokker

encontrou a equação para a lei de distribuição e prometeu que a descrição detalhada da

derivação dessa equação iria ocorrer em uma outra publicação. Infelizmente, devido à

primeira guerra mundial, o artigo que demonstraria a equação Fokker não foi publicado,

e então, Max Plack decidiu publicar os seus resultados referentes a prova e extensão da

equação Fokker. Então, em 1918 o artigo de Fokker foi publicado e a equação ficou conhe-

cida como equação de Fokker-Planck. Neste capítulo será mostrado o tratamento analítico

para a difusão normal através da equação de Langevin, a equação de Fokker-Planck e a

equação Mestra.

2.1 Equação de Langevin

Considere uma partícula de massa m imersa num fluido, onde a mesma está su-

jeita a uma força de viscosidade e uma força de caráter aleatório. A força de viscosidade é

proporcional a velocidade da partícula, enquanto que a força de caráter aleatório é devido

ao impacto com as moléculas do fluido. Dessa forma, podemos pensar em uma equa-

ção de movimento para essa partícula [2] [14], tomando o caso unidimensional, direção x,

temos

mdv(t)

dt= −αv(t) + F (t) (2.1.1)

onde o termo −αv(t) é a força viscosa, sendo α uma constante, e F (t) é a força aleatória

que possui as seguintes propriedades

〈F (t)〉 = 0 (2.1.2)

〈F (t)F (t′)〉 = Bδ(t− t′). (2.1.3)

A (2.1.2) é a média da força devido as moléculas do fluido, o seu valor médio é nulo. En-

tretanto, a (2.1.3) é determinada pelos impactos entre as moléculas do fluido e a partícula,

os mesmos são independentes. A (2.1.1) combinada com as propriedades (2.1.2) e (2.1.3) é

denominado equação de Langevin.

Page 27: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 14

Divindindo ambos os membros da (2.1.1) por m, temos

dv(t)

dt= −γv(t) + ξ(t) (2.1.4)

onde a constante γ = αm

e ξ(t) = F (t)m

é uma variável estocástica que possui as seguintes

propriedades

〈ξ(t)〉 = 0 (2.1.5)

〈ξ(t)ξ(t′)〉 =B

m2δ(t− t′) = τδ(t− t′). (2.1.6)

O ponto de partida para encontrar a solução da equação diferencial (2.1.4) é escre-

vermos v(t) = u(t)e−γt, onde u(t) é uma função de t a ser determinada. Substituindo na

(2.1.4), percebemos que a proposta deve satisfazer essa equação diferencial

dv(t)

dt= −γv(t) + ξ(t)

d(u(t)e−γt)

dt= −γu(t)e−γt + ξ(t)

du(t)

dt= ξ(t)eγt (2.1.7)

a solução da (2.1.7) é ∫ u

u0

du(t′) =

∫ t

0

ξ(t′)eγt′dt′

u = u0 +

∫ t

0

ξ(t′)eγt′dt′. (2.1.8)

Portanto,

v(t) = v0e−γt + e−γt

∫ t

0

ξ(t′)eγt′dt′ (2.1.9)

onde v0 é a velocidade da partícula no instante t = 0. No intuito de determinarmos a

média (primeiro momento) e variância (segundo momento) da velocidade, vamos usar as

propriedades específicas do ruído estatístico ξ(t). A média da velocidade é obtida a partir

do uso da propriedade (2.1.5)

〈v(t)〉 = v0e−γt + e−γt

∫ t

0

〈ξ(t′)〉eγt′dt′

〈v(t)〉 = v0e−γt. (2.1.10)

Page 28: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 15

De posse desse resultado, podemos calcular a variância, mas antes devemos encontrar

∆v = v(t)− 〈v(t)〉 = v0e−γt + e−γt

∫ t

0

ξ(t′)eγt′dt′ − v0e

−γt + e−γt∫ t

0

〈ξ(t′)〉eγt′dt′

∆v = v(t)− 〈v(t)〉 = e−γt∫ t

0

ξ(t′)eγt′dt′. (2.1.11)

Elevando ∆v ao quadrado,

(∆v)2 = (v(t)− 〈v(t)〉)2 = e−2γt

∫ t

0

∫ t

0

ξ(t′)ξ(t′′)eγ(t′+t′′)dt′dt′′ (2.1.12)

e tomando a média de 〈(∆v)2〉, obtemos a variância da velocidade

〈(∆v)2〉 = 〈(v(t)− 〈v(t)〉)2〉 = e−2γt

∫ t

0

∫ t

0

〈ξ(t′)ξ(t′′)〉eγ(t′+t′′)dt′dt′′ =

= e−2γt

∫ t

0

∫ t

0

τδ(t′ − t′′)eγt′eγt′′)dt′dt′′ = e−2γt

∫ t

0

τe2γt′dt′

〈(∆v)2〉 = 〈(v(t)− 〈v(t)〉)2〉 =τ

2γ(1− e−2γt). (2.1.13)

Para tempos longos, t→∞, limite assintótico, a velocidade quadrática média torna-se

〈(v(t))2〉 =τ

2γ. (2.1.14)

A teoria cinética dos gases mostra 12m〈v2〉 = 1

2KBT , onde KB é a constante de

Boltzmann e T é a temperatura absoluta. Usando o resultado da (2.1.14), vamos obter

uma relação entre o coeficiente τ e a temperatura T

τ =2γKBT

m. (2.1.15)

Portanto, a variância da velocidade fica

〈(∆v)2〉 =KBT

m(1− e−2γt) (2.1.16)

Se desejarmos calcular os momentos de ordem superior, devemos propor que as forças

estocásticas obedeçam as relações 〈A(t1), A(t2)...A(t2n+1)〉 = 0 e 〈A(t1), A(t2)...A(t2n)〉 =

Page 29: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 16

∑pares〈A(ti)A(tj)〉〈A(tk)A(tl))〉..., para n = 1, 2, 3, .... Então, podemos mostrar que

〈(∆v)2n+1〉 = 0 (2.1.17)

〈(∆v)2n〉 = 1.3.5....(2n− 1)〈(∆v)2〉 (2.1.18)

As relações (2.1.17) e (2.1.18) asseguram a forma gaussiana da distribuição de probabili-

dade P (v, t; v0). Utilizando só os dois primeiros momentos, temos

P (v, t; v0) = [2π〈(∆v)2〉]−12 exp

[−(v − 〈v〉)2

2〈(∆v)2〉

](2.1.19)

Substituindo (2.1.10) e (2.1.16) em (2.1.19), temos

P (v, t; v0) =

[2πKBT

m(1− e−2γt)

]− 12

exp

[− m(v − v0e

−γt)2

KBT (1− e−2γt)

]. (2.1.20)

Fazendo t → ∞, limite assintótico, recupera a distribuição de Maxwell-Boltzmann, inde-

pendente do valor de v0

P (v, t; v0)→(

m

2πKBT

) 12

exp

[− mv2

2KBT

]. (2.1.21)

Podemos agora obter o valor médio, variância e a distribuição de probabilidade

P (x, t;x0) para o deslocamento x(t) da partícula. Como v(t) = dx(t)dt

, então o deslocamento

x(t) pode ser dado da seguinte forma

x(t) = x0 +

∫ t

0

v(t′)dt′ (2.1.22)

onde x0 é a posição da partícula no instante t = 0. Em seguida,vamos substituir a (2.1.9)

em (2.1.22)

x(t) = x0 + v0

∫ t

0

e−γt′dt′ +

∫ t

0

e−γt′∫ t′

0

ξ(t′′)eγt′′dt′′dt′. (2.1.23)

Calculando a média de x(t), temos

〈〈x(t)〉 = x0 + v0

∫ t

0

e−γt′dt′ +

∫ t

0

e−γt′∫ t′

0

〈ξ(t′′)〉eγt′′dt′′dt′ (2.1.24)

Page 30: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 17

usando a propriedade (2.1.5),

〈x(t)〉 = x0 +v0

γ(1− e−γt). (2.1.25)

Antes de calcularmos a variância, será necessário determinarmos o desvio da mé-

dia e em seguida o desvio quadrático. Vamos determinar o desvio da média de x(t),

x(t)− 〈x(t)〉 = x0 + v0

∫ t

0

e−γt′dt′ +

∫ t

0

e−γt′∫ t′

0

ξ(t′′)eγt′′dt′′dt′ − x0 +

v0

γ(1− e−γt)

x(t)− 〈x(t)〉 =

∫ t

0

e−γt′∫ t′

0

ξ(t′′)eγt′′dt′′dt′ (2.1.26)

Para facilitar a resolução dessas integrais, iremos inverter a ordem delas, ficando da se-

guinte forma

x(t)− 〈x(t)〉 =

∫ t

0

ξ(t′′)eγt′′∫ t′

t′′e−γt

′dt′dt′′

=1

γ

∫ t

0

ξ(t′′)eγt′′(e−γt

′′ − e−γt)dt′′

=1

γ

∫ t

0

ξ(t′′)(1− eγ(t′′−t))dt′′ (2.1.27)

de onde podemos agora obter o desvio quadrático,

(x(t)− 〈x(t)〉)2 =1

(γ)2

∫ t

0

∫ t

0

ξ(t′)ξ(t′′)(1− eγ(t′−t))(1− eγ(t′′−t))dt′dt′′. (2.1.28)

Podemos usar a propriedade (2.1.6) e obter a variância do deslocamento x(t) da

partícula,

〈(∆x)2〉 = 〈(x(t)− 〈x(t)〉)2〉 =1

(γ)2

∫ t

0

∫ t

0

〈ξ(t′)ξ(t′′)〉(1− eγ(t′−t))(1− eγ(t′′−t))dt′dt′′

〈(∆x)2〉 =1

(γ)2

∫ t

0

∫ t

0

τδ(t′ − t′′)(1− eγ(t′−t))(1− eγ(t′′−t))dt′dt′′

〈(∆x)2〉 =τ

(γ)2

∫ t

0

(1− eγ(t′−t))(1− eγ(t′−t))dt′

〈(∆x)2〉 =τ

(γ)2

{t− 2

∫ t

0

eγ(t′−t)dt′ +

∫ t

0

e2γ(t′−t)dt′}

Page 31: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 18

〈(∆x)2〉 =τ

(γ)2

{t− 2

γ(1− e−γt) +

1

2γ(1− e−2γt)

}. (2.1.29)

Analisando essa equação para tempos longos, podemos perceber que o termo dominante

é o primeiro, de modo que a variância é proporcional a t, isto é,

〈(∆x)2〉 → τt

γ2→ 2KBT

mγt ≡ 2Dt (2.1.30)

onde D = KBT/mγ é o coeficiente de difusão. Existem dois detalhes interessantes desse

resultado, que foi encontrado por Einstein e depois verificado pelos experimentos de Jean

Perrin, o primeiro é a indicação da natureza estocástica do movimento browniano, e o

segundo é o crescimento linear com o tempo apresentado pela variância. Com relação a

distribuição, ainda podemos mostrar que é possível a distribuição ser gaussiana. A partir

dos resultados (2.1.25) e (2.1.29) para 〈x(t)〉 e 〈(∆x)2〉, respectivamente, temos

P (x, t;x0, v0) = [2π〈(∆x)2〉]−12 exp

[−(x(t)− 〈x(t)〉)2

2〈(∆x)2〉

](2.1.31)

De posse dos resultados (2.1.25), (2.1.29) e tomando tempos suficientemente longos, po-

demos escrever a equação acima da seguinte forma

P (x, t;x0, v0)→ (4πDt)−12 exp

[−(x− x0 − v0/γ)2

4Dt

], (2.1.32)

que é uma solução da equação de difusão em uma dimensão,

∂P

∂t= D

∂2P

∂x2(2.1.33)

apontando o caráter irreversível do movimento browniano.

2.2 Equação de Fokker-Planck

Se a probabilidade de ocorrência de qualquer evento, dada a sequência de eventos

aleatórios {(x1, t1), (x2, t2), ..., } com t1 < t2 < ...,, depender apenas da probabilidade de

ocorrência do evento imediatamente anterior, então, a sequência é denominada de Mar-

koviana [2, 14, 15]. Vamos utilizar a notação P (xF , tF |xI , tI) designada de probabilidade

condicional. O evento xF ocorrerá no instante tF dada a ocorrência do evento anterior xI

Page 32: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 19

no instante tI obedece a relação de Chapmann-Kolmogorov

P (xF , tF |xI , tI) =∑K

P (xF , tF |xK , tK)P (xK , tK |xI , tI) (2.2.1)

onde o índice subscrito K representa o termo de elo entre os instantes inicial (tI) e final

(tF ). Para uma versão contínua, a densidade de probabilidade é representada da seguinte

forma

P (xF , tF |xI , tI) =

∫P (xF , tF |xK , tK)P (xK , tK |xI , tI)dxK . (2.2.2)

As probabilidades condicionais dependem apenas do decorrer entre os instantes

incial e final de qualquer processo de interesse físico. Então, podemos escrever a relação

Chapmann-Kolmogorov [2, 14] na forma

P (xF , tF − tI |xI) =

∫P (xF , tF − tK |xK)P (xK , tK − tI |xI)dxK . (2.2.3)

Fazendo as mudanças de variáveis na equação (2.2.3), tF − tI = t + ∆t e tK − tI = t.

Portanto, temos

P (xF , t+ ∆t|xI) =

∫P (xK , t|xI)P (xF ,∆t|xK)dxK (2.2.4)

Utilizando a notação da seção anterior, vamos adaptar a expressão (2.2.4) para o caso do

movimento browniano. Então, a relação de Chapmann-Kolmogorov pode ser escrita da

seguinte forma

P (v, t+ ∆t|v0) =

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)P (v,∆t|v′)dv′ (2.2.5)

onde P (v,∆t|v′) é a probabilidade de transição entre dois estados com velocidades distin-

tas [2]. Agora vamos introduzir φ(v) na equação (2.2.5), temos∫ +∞

−∞P (v, t+ ∆t|v0)φ(v)dv =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)P (v,∆t|v′)φ(v)dv′dv (2.2.6)

cujo φ(v) é uma função bem-comportada. Desenvolvendo o lado esquerdo da equação

(2.2.6) em série de Taylor∫ +∞

−∞P (v, t+ ∆t|v0)φ(v)dv =

∫ +∞

−∞P (v, t|v0)φ(v)dv + ∆t

∫ +∞

−∞

∂P (v, t|v0)

∂tφ(v)dv + ...

(2.2.7)

Page 33: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 20

feito isso, também iremos desenvolver em série de Taylor a função φ(v)∫ +∞

−∞P (v, t+ ∆t|v0)φ(v)dv =

∫ +∞

−∞P (v, t+ ∆t|v0)dv[φ(v′)

+φ′(v′)(v − v′) +1

2φ′′(v′)(v − v′)2 + ...]

= φ(v′) + φ′(v′)A(v′)∆t+1

2φ′′(v′)∆t+ ... (2.2.8)

onde

A(v′)∆t =

∫ +∞

−∞P (v,∆t|v′)(v − v′)dv (2.2.9)

e

B(v′)∆t =

∫ +∞

−∞P (v,∆t|v′)(v − v′)2dv. (2.2.10)

Portanto, o lado direito da (2.2.6) fica da seguinte forma∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)P (v.∆t|v′)φ(v)dvdv′ =

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)×[

φ(v′) + φ′(v′)(v − v′) +1

2φ′′(v′)(v − v′)2 + ...

]dv′. (2.2.11)

Aplicando uma integração por partes no segundo termo do lado direito da equação (2.2.11)

∆t

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)A(v′)φ′(v′)dv′ = P (v′, t|v0)A(v′)∆tφ(v′) +

∆t

∫ +∞

−∞φ(v′)

∂v′[P (v′, t|v0)A(v′)]dv′

= −∆t

∫ +∞

−∞φ(v′)

∂v′[P (v′, t|v0)A(v′)]dv′ (2.2.12)

onde A(v)∆t = 0. Dando continuidade, vamos ainda aplicar duas integrações por partes

Page 34: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 21

no terceiro termo do lado direito da equação (2.2.11)

1

2

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)φ′′(v′)B(v′)∆tdv′ =

1

2∆tP (v′, t; v0)B(v′)φ′(v′)

−1

2∆t

∫ +∞

−∞φ′(v′)

∂v′[P (v′, t|v0)B(v′)]dv′

=1

2∆tP (v′, t|v0)B(v′)φ′(v′)− 1

2∆t

∂v′[P (v′, t|v0)B(v′)]φ(v′)

+1

2∆t

∫ +∞

−∞φ(v′)

∂2

∂(v′)2[P (v′, t|v0)B(v′)]dv′

=1

2∆t

∫ +∞

−∞φ(v′)

∂2

∂(v′)2[P (v′, t|v0)B(v′)]dv′ (2.2.13)

onde B(v)∆t = 0. De posse dos resultados (2.2.7), (2.2.12) e (2.2.13) e substituindo essas

expressões na equação (2.2.6)∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)φ(v′)dv′ −∆t

∫ +∞

−∞

∂P (v, t|v0)

∂tφ(v)dv + ...

=

∫ +∞

−∞P (v′, t|v0)φ(v′)dv′ −∆t

∫ +∞

−∞φ(v′)

∂v′[P (v′, t|v0)A(v′)]dv′

+1

2∆t

∫ +∞

−∞φ(v′)

∂2

∂(v′)2[P (v′, t|v0)B(v′)]dv′. (2.2.14)

Comparando os termos da expressão (2.2.14), obtemos a equação de Fokker-Planck

∂P (v, t|v0)

∂t=

∂v[P (v, t|v0)A(v)] +

1

2

∂2

∂v2[P (v, t|v0)B(v)] (2.2.15)

A opção de escolha dos coeficientes A(v) e B(v) pode ser feita de acordo com os critérios

adotados, por exemplo, podemos optar pela forma gaussiana do tratamento de Langevin

para o movimento browniano. Portanto, temos

A(v′) =1

∆t

∫ +∞

−∞(v − v′)P (v,∆t|v′)dv = −γv′ (2.2.16)

e

B(v′) =1

∆t

∫ +∞

−∞(v − v′)2P (v,∆t|v′)dv =

2KBTγ

m= 2γ2D (2.2.17)

Page 35: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 22

Então, a equação de Fokker-Planck com a opção de Langevin fica

∂P

∂v= γ

∂v(vP ) +

KBTγ

m

∂2P

∂v2(2.2.18)

conhecida como equação de Ornstein-Uhlenbeck [2].

2.3 Equação Mestra

A equação que governa a evolução temporal dos processos estocásticos Markovi-

anos é conhecida como equação mestra. Um processo estocástico pode ser representado

por um conjunto de variáveis aleatóriasXt, rotulado pelo índice t. Este índice t pode assu-

mir valores discretos ou todos os valores reais. Uma cadeia de Markov é uma sequência de

variáveis aleatórias Xt1 , Xt2 , Xt3 , ..., Xtk . Quando essas variáveis Xt1 = x1, Xt2 = x2, Xt3 =

x3, ..., Xtk = xk são conhecidas, as demais obedecem a função distribuição de probabili-

dade condicional definida da seguinte forma [16] [17]

P (xk+1, tk+1; ...;xn, tn|x1, t1; ...;xk, tk) =Pn(x1, t1; ...;xk, tk;xk+1, tk+1; ...;xn, tn)

P (x1, t1; ...;xk, tk). (2.3.1)

Esta é uma distribuição de probabilidade deXtk+1, ..., Xtn , em que x1, ..., xn entra como pa-

râmetro. De posse dessa ideia, podemos analisar um exemplo para a cadeia de Markov de

um passo. Uma vez dado P1 e P2, é possível conhecer P3 através da seguinte construção,

equação (2.3.1)

P3(x1, t1;x2, t2;x3, t3) = P2|1(x1, t1;x2, t2|x3, t3)P2(x1, t1;x2, t2)

P3(x1, t1;x2, t2;x3, t3) = P1(x1, t1)P1|1(x1, t1|x2, t2)P1|1(x2, t2|x3, t3) (2.3.2)

onde P1|1(x2, t2|x3, t3) é a probabilidade de transição. Integrando o lado esquerdo da equa-

ção acima sobre x2, e assumindo que t1 < t2 < t3, temos∫P3(x1, t1;x2, t2;x3, t3)dx2 = P2(x1, t1|x3, t3) (2.3.3)

onde

P2(x1, t1|x3, t3) = P1(x1, t1)

∫P1|1(x1, t1|x2, t2)P1|1(x2, t2|x3, t3)dx2 (2.3.4)

Page 36: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 23

Dividindo ambos os membros desta equação (2.3.4) por P1(x1, t1), temos

P2(x1, t1;x3, t3)

P1(x1, t1)=

∫P1|1(x1, t1|x2, t2)P1|1(x2, t2|x3, t3)dx2 (2.3.5)

O termo do lado esquerdo da equação acima representa a densidade de probabilidade

condicional, assim,P2(x1, t1;x3, t3)

P1(x1, t1)= P1|1(x1, t1|x3, t3) (2.3.6)

dessa forma,

P1|1(x1, t1|x3, t3) =

∫P1|1(x1, t1|x2, t2)P1|1(x2, t2|x3, t3)dx2 (2.3.7)

onde temos novamente a equação de Chapmann-Kolmogorov.

É interessante que neste momento façamos uma discussão do que ocorreu anteri-

ormente. Percebe-se que a transição do estado (x1, t1) para o estado (x3, t3) foi desmem-

brada em dois processos sucessivos, (x1, t1)→ (x2, t2), e então, (x2, t2)→ (x3, t3). Podemos

ainda notar que a probabilidade de ocorrência do primeiro processo não afeta a probabi-

lidade do segundo processo. O fato da probabilidade dos dois passos sucessivos ser dado

pelo produto das probabilidades dos passos individuais faz parte de uma importante ca-

racterística de um processo Markoviano [17].

Vamos utilizar um processo de Markov. Para compreendermos é necessário ana-

lisarmos as cadeias de Markov, que envolvem transições em tempos discretos para va-

lores de uma variável estocástica discreta. Se tomarmos X realizações x(m), onde m =

0, 1, 2, ...,M . Se supusermos que P (m, t) é a probabilidade de ocorrência de X realiza-

ções x(m) para um tempo t. E ainda propormos que P1|1(m1, t1|m2, t2) é a probabilidade

condicional para X realizações x(m2) no tempo t2 ser obtida a partir das realizações já

conhecidas x(m1) no tempo t1. As duas quantidades P (m, t) e P1|1(m1, t1|m2, t2) já são

suficientes para determinarem completamente a evolução da cadeia de Markov.

Então, reescrevendo a equação (2.3.6) na forma discreta, e substituindo o tempo

t→ t+ ∆t relativo ao estado n, temos

P1(n, t+ ∆t) =M∑m=1

P1(m, t)P1|1(m, t|n, t+ ∆t). (2.3.8)

Page 37: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 24

Então,∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

P1(n, t+ ∆t)− P1(n, t)

∆t(2.3.9)

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

∑Mm=1 P1(m, t)[P1|1(m, t|n, t+ ∆t)− P1|1(m, t|n, t)]

∆t(2.3.10)

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

M∑m=1

P1(m, t)[P1|1(m, t|n, t+ ∆t)− δm,n] (2.3.11)

onde δm,n = P1|1(m, t|n, t). Em seguida, vamos expandir o termo que representa a proba-

bilidade de transição P1|1(m,n|n, t+ ∆t) em uma séria de potência de ∆t,

P1|1(m,n|n, t+ ∆t) = δm,n + [−∆tM∑l=1

Wm,l(t)]δm,n +Wm,n(t)∆t+ ... (2.3.12)

P1|1(m,n|n, t+ ∆t) = δm,n[1−∆tM∑l=1

Wm,l(t)] +Wm,n(t)∆t+ ... (2.3.13)

Utilizando o resultado (2.3.13) e substituindo na equação (2.3.11) temos

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

M∑m=1

P1(m, t)[P1|1(m, t|n, t+ ∆t)− P1|1(m, t|n, t)

]∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

M∑m=1

P1(m, t)[δm,n(1−∆tM∑l=1

Wm,l(t)) +Wm,n(t)∆t− δm,n]

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

M∑m=1

P1(m, t)[δm,n − (∆tM∑l=1

Wm,l(t))δm,n +Wm,n(t)∆t− δm,n]

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

M∑m=1

P1(m, t)[(−∆tM∑l=1

Wm,l(t))δm,n +Wm,n(t)∆t]

para m = n, δm,n = 1, ou seja,

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

M∑m=1

P1(m, t)[−∆tM∑l=1

Wm,l(t) +Wm,n(t)∆t]

∂P1(n, t)

∂t= lim

∆t→0

1

∆t

[−

M∑m=1

P1(m, t)∆tM∑l=1

Wm,l(t) +M∑m=1

P1(m, t)Wm,n(t)∆t

]

Page 38: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 2. Difusão normal 25

∂P1(n, t)

∂t=

M∑m=1

[Wm,n(t)P1(m, t)−Wn,m(t)P1(n, t)]. (2.3.14)

Esta é a equação mestra. Podemos perceber em linhas gerais que as transições dos outros

estados para o estado n e do estado n para os outros estados fornecem a taxa de mudança

de probabilidade P1(n, t) [15]. Então, a equação mestra descreve todo o processo Marko-

vino.

Page 39: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

CAPITULO 3

DIFUSÃO ANÔMALA

A natureza apresenta movimentos irregulares a nível microscópico, enquanto que

para observações no aspecto macroscópico esses movimentos tornam-se regulares. Por

exemplo, pode-se incluir nessa discussão as observações de vários cientistas sobre o mo-

vimento incessante dos grãos de pólen suspensos em um fluido. Essas movimentos inces-

santes foram chamados de movimento Browniano. O movimento Browniano apresentava

difusão e poderiam ser descritos pelas leis de Fick. Entretanto, o cientista inglês Lewis

Fry Richardson realizou diversos experimentos com materiais para avaliar o quanto ale-

atoriamente as partículas se dispersavam em decorrência das correntes de turbulência.

Richardson teve uma participação direta na segunda guerra mundial nas forças armadas

da França [12]. Essa participação direta no combate lhe proporcionou descrever as causas

da guerra através de um modelo matemático [18]. Alguns trabalhos de Richardson mos-

traram que as leis de Fick não eram adequadas para descreverem a difusão nas correntes

turbulentas da atmosfera [19, 20]. Ele procurou uma equação que descrevesse este tipo de

difusão até então desconhecida, e então dedicou-se em seguida a calcular os momentos.

O resultado encontrado por Richardson para o segundo momento, 〈(∆x)2〉 ∼ t3, compor-

tamente super balístico, foi bem diferente do resultado encontrado por Einstein. Assim,

surgia uma perspectiva sobre difusão, já que Einstein tinha mostrado que partículas sus-

pensas em um líquido apresentavam um segundo momento com um crescimento linear,

isto é, 〈(∆x)2〉 ∼ t. No entanto, o valor encontrado por Richardson é proporcional a t3, ou

seja, a difusão é mais rápida e de maneira não linear com o tempo. Dessa forma, quando o

crescimento do segundo momento é diferente do usual, isto é, não cresce linearmente com

26

Page 40: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 27

o tempo, no limite assintótico, o comportamento apresentado é denominado anômalo.

A existência dos resultados de Richardson e as evidências experimentais dos me-

tais [21] e semicondutores [22] sobre o comportamento anômalo dos materiais não eram

suficientes para explicar fenômeno anômalo. Na época havia uma carência de modelos

teóricos para descreverem o comportamento anômalo. Elliot W. Montroll e Harvey Scher

contribuíram significativamente para esta carência de modelos teóricos com a publica-

ção do trabalho [23]. O trabalho desenvolvido por Montroll e Scher alavancou o fun-

cionamento das máquinas fotocopiadoras. O funcionamento dessas máquinas consistia

no transporte de elétrons ou buracos semicondutores amorfos quando submetidos a um

campo elétrico.

Montroll e Scher perceberam que não havia condição de descrever este comporta-

mento pela equação clássica usual, pois as cargas possuíam a tendência de ficarem presas

pelas imperfeições locais quando se movimentavam no meio amorfo. Após um certo in-

tervalo de tempo, as cargas aprisionadas eram liberadas pelas flutuações térmicas. A pro-

posta de Montroll e Scher para explicar o comportamento anômalo das propriedades do

material consistia no modelo conhecido como caminhada aleatória com tempo contínuo,

assimétrico e não-Markoviano, na presença de barreiras absorventes [24]. A condição

assimétrica está associada com a presença do campo elétrico que movimenta as cargas

gerando corrente no material. O processo não-Markoviano refere-se ao fato do sistema

possuir memória, ou seja, os portadores de cargas possuem um intervalo de tempo curto

entre os saltos na rede do material, mas caso fiquem presos nas imperfeições do mate-

rial, o tempo de espera entre cada salto aumenta. As barreiras absorventes representam

a condição periódica de contorno, isto é, os elétrons saem e retornam na amostra do ma-

terial. Enfim, o fato dos portadores de cargas se difundirem de forma mais lenta, isto é,

não linear com o tempo, no limite assintótico, leva a um comportamento denominado de

subdifusivo. Dentro desse contexto, os fenômenos que não apresentavam difusão normal

foram chamados de anômalos. A partir da relação, 〈(∆x)2〉 ∼ tµ, podemos observar o

novo formato de classificação para os fenômenos difusivos

µ > 1, → superdifusivo

µ = 1, → normal (Browniano)

0 < µ < 1, → subdifusivo

(3.0.1)

Page 41: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 28

Ao longo das seções veremos modelos matemáticos que explicam as difusões anô-

malas.

3.1 Equação de Langevin Generalizada

A equação Langevin Generalizada (ELG) é uma proposta mais geral para a equa-

ção de Langevin usual, equação (2.1.3). A ELG serve para explicar a influência dos eventos

do passado nos eventos futuros, ou seja, correlação temporal (memória). Em 1964, Mori

iniciou esta proposta de generalização [25, 26, 27]. Posteriormente, Howard Lee desenvol-

veu métodos baseados em relações de recorrência que tornavam mais simples usar a ELG

[28] [29]. A ELG para caso unidimensional pode ser escrita da seguinte forma

mdv(t)

dt= −m

∫ t

0

Γ(t− t′)v(t′)dt′ + Fa(t) (3.1.1)

onde Γ(t) é a função memória do sistema e Fa(t) é a força estocástica que atua sobre as

partículas. Digamos que as funções Γ(t) e Fa(t) satisfazem as seguinte propriedades,

limt→∞

Γ(t) = 0 (3.1.2)

〈Fa(t)〉 = 0 (3.1.3)

〈Fa(t)v(0)〉 = 0 (3.1.4)

e

ψF (t− t′) = 〈Fa(t)Fa(t′)〉 = mKBTΓ(t− t′) (3.1.5)

A equação (3.1.2) mostra que a contribuição do termo de memória torna-se cada

vez menor em relação ao sistema atual. Com relação a equação (3.1.5), onde ψF (t − t′)

consiste nas correlações entre as forças estocásticas e na representação do ruído, sendo

que a mesma ocorre somente num certo alcance temporal. É válido ressaltar que esse

ruído é diferente do ruído branco, onde a correlação ocorre de forma instantânea. Os

dois termos do lado direito da equação (3.1.1) estão intimamente relacionados, o primeiro

termo é a força dissipativa e a outro é a força estocástica, e essa conexão se dá pelo Teorema

da Flutuação-Dissipação.

Page 42: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 29

Vamos analisar um caso simples de memória, a função memória delta,

Γ(t− t′) = 2γδ(t− t′) (3.1.6)

Substituindo a equação (3.1.6) na equação (3.1.1),

mdv(t)

dt= −m

∫ t

0

2γδ(t− t′)v(t′)dt′ + Fa(t)

dv(t)

dt= −2γ

∫ t

0

δ(t− t′)v(t′)dt′ +Fa(t)

m

v(t) = −2γv(t) +Fa(t)

m(3.1.7)

obtemos a equação de Langevin na forma usual (2.1.3). A função memória delta descreve

um evento instantâneo (ruído branco).

Com o objetivo de entender a relação entre memória e regime difusivo, propo-

mos mostrar parte do trabalho realizado por Morgado e colaboradores [25, 30, 31, 32].

Iniciamos multiplicando a equação (3.1.1) por v(0) e em seguida tomamos a média

mv(0)v(t) = −m∫ t

0

Γ(t− t′)v(0)v(t′)dt′ + v(0)Fa(t) (3.1.8)

m〈v(0)v(t)〉 = −m∫ t

0

Γ(t− t′)〈v(0)v(t′)〉dt′ + 〈v(0)Fa(t)〉 (3.1.9)

usando a equação (3.1.4), obtemos

〈v(0)v(t)〉 = −∫ t

0

Γ(t− t′)〈v(0)v(t′)〉dt′. (3.1.10)

Agora vamos aplicar a equação (3.1.5),

ψv(t) = −∫ t

0

Γ(t− t′)ψv(t′)dt′. (3.1.11)

Fazendo uso da transformada de Laplace,

L{ψv(t)} = ψv(z) =

∫ ∞0

e−ztψv(t)dt, (3.1.12)

e das propriedades da transformada de Laplace, a convolução e a derivada no lado direito

Page 43: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 30

e esquerdo, respectivamente, da equação (3.1.11), chegamos as seguintes relações,

L{−∫ 0

t

Γ(t− t′)ψv(t′)dt′}

= −Γ(x)ψv(z) (3.1.13)

L{ψv(t)} = zψv(z)− ψv(0). (3.1.14)

Então, a equação (3.1.11) fica com a seguinte forma

zψv(z)− ψv(0) = −Γ(z)ψv(z)

− ψv(0) = −Γ(z)ψv(z)− zψv(z)

ψv(z) =ψv(0)

z + Γ(z)(3.1.15)

A equação (2.1.22) mostra a evolução temporal da posição de uma partícula em

movimento a partir da origem x0 = 0. Multiplicando esta equação por x(t), temos

x(t)x(t) =

∫ t

0

v(t)v(t′)dt′. (3.1.16)

Em seguida, vamos calcular a média da posição para um conjunto de partículas e consi-

derarmos que o sistema está em equilíbrio térmico

〈x(t)x(t)〉 =

∫ t

0

〈v(t)v(t′)〉dt′ (3.1.17)

1

2

d〈x2(t)〉dt

=

∫ t

0

ψv(t− t′)dt′. (3.1.18)

Tomando o limite assintótico, t→∞

limt→∞

1

2

d〈x2(t)〉dt

=

∫ ∞0

ψv(t)dt = limt→∞

D(t) (3.1.19)

onde D é a constante proposta por Kubo [33]. A equação (2.1.30) no limite assintótico fica

limt→∞〈x2(t)〉 = 2 lim

t→∞D(t)t (3.1.20)

O teorema do Valor Final ocorre quando a transformada de Laplace é multiplicada por

um valor z, o valor do produto de z com a transformada de Laplace no limite de z →

Page 44: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 31

0 é o valor da transformada inversa de Laplace com t → ∞, ou seja, limz→0 zF (z) =

limt→∞ f(t). Então, a partir da definição do teorema do Valor Final, podemos analisar o

limite assintótico de D(t)

limt→∞

D(t) = limz→0

zD(z) = limz→0

zL[∫ t

0

ψv(t)dt

]

limt→∞

D(t) = limz→0

z

[ψv(z)

z

]

limt→∞

D(t) = limz→0

ψv(z). (3.1.21)

Utilizando a equação (3.1.15) e substituindo na equação acima, temos que o limite de D(t)

limt→∞

D(t) = limz→0

ψv(0)

z + Γ(z). (3.1.22)

Analisando o comportamento Γ(z) para o caso de z → 0, temos

limz→0

Γ(z) ∼ zν (3.1.23)

onde o expoente ν representa o decaimento assintótico. Então, a equação (3.1.22) torna-se

limt→∞

D(t) = limz→0

ψv(0)

z + zν(3.1.24)

É interessante fazer uma análise com respeito ao comportamento do expoente ν.

Vamos tomar inicialmente ν < 1. Assim quando z → 0, implica que zν é dominante em

relação a z, dessa forma

limt→∞

D(t) ∼ limz→0

1

zν(3.1.25)

Novamente vamos fazer o uso do teorema do valor final e aplicaremos na expressão

acima, de modo que podemos mostrar a relação entre os limites t → ∞ e z → 0 em

relação a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace. Dessa forma, a

expressão fica

limt→∞

D(t) ∼ tν . (3.1.26)

Comparando a relação 〈[x(t)]2〉 ∼ tµ com a equação (3.1.20) obtém-se

µ = ν + 1. (3.1.27)

Page 45: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 32

A relação acima determina os expoentes de difusão a partir do comportamento limite

da função. Agora, supondo o caso em que ν > 1, onde o termo dominante na equação

(3.1.24) passa a ser z, logo, se seguirmos a mesma manipulação matemática, chegaremos

a seguinte relação

limt→∞

D(t) ∼ t. (3.1.28)

Dessa forma, obtém-se o valor para o expoente µ = 2, que corresponde ao movimento

balístico.

3.2 Equação de Fokker-Planck Fracionária

A difusão anômala pode ser descrita por derivadas fracionárias quando aplicada

nas equações de difusão. A derivada fracionária não é um assunto abordado nos cursos

de cálculos, apesar da sua descoberta ter ocorrido por volta de 1695 por Newton e Leibniz,

de forma independente [34]. O significado geométrico da expressão d12x não é tão claro,

mas a sua operacionalidade é bem definida, ou seja, derivando sucessivas vezes a fun-

ção f(x) = xa obter-se-á um quociente entre dois fatoriais. Substituindo os fatoriais pela

função gama obtém-se a generalização para derivadas de ordem qualquer [6]. As dis-

cussões nos últimos dois séculos proporcionaram algumas propostas de definição, dentre

elas vamos mostrar a definição de Riemann-Liouville [34].

A definição da derivada fracionária à esquerda (respectivamente à direita) de

Riemann-Liouville é dada por uma função f : [a, b] → R contínua, onde a ordem p ∈ R(p ≥ 0) da f(x) é

dpf(x)

[d(x− a)]p=

dm

dxmdp−mf(x)

[d(x− a)]p−m(p−m < 0) (3.2.1)

dpf(x)

[d(x− a)]p=

1

Γ(m− p)dm

dxm

∫ a

m

f(y)

(x− y)p−m+1dy (x > a) (3.2.2)

e

dpf(x)

[d(b− x)]p=

(− d

dx

)mdp−mf(x)

[d(b− x)]p−m(3.2.3)

Page 46: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 33

dpf(x)

[d(b− x)]p=

1

Γ(m− p)

(− d

dx

)m ∫ b

x

f(y)

(y − x)p−m+1dy (x < b) (3.2.4)

onde m − 1 < p ≤ m e a função gama é definida Γ(k) =∫∞

0tk−1e−tdt. Para ilustrar a

definição apresentada [34], apresentamos como exemplo o cálculo da derivada fracionária

de uma função constante, f(x) = c, cujo c ∈ R é uma constante. Então, aplicando a

definição de derivada fracionária para a ordem p ≥ 0 descrita acima, temos

dpc

dxp=

dm

dxmdp−mc

dxp−m(3.2.5)

dpc

dxp=

dm

dxm

[1

Γ(m− p)

∫ x

0

c

(x− y)p−m+1dy

](3.2.6)

dpc

dxp=

c

Γ(m− p)dm

dxm

[∫ x

0

1

(x− y)p−m+1dy

](3.2.7)

dpc

dxp=

c

Γ(m− p)dm

dxm

[(x− y)−p+m

(−p+m)

]y=x

y=0

(3.2.8)

dpc

dxp=

c

Γ(m− p)dm

dxm

[(x)−p+m

(p−m)

](3.2.9)

dpc

dxp=

c

Γ(m− p)

[Γ(m− p+ 1)

(p−m)Γ(1− p)

]x−q =

c

Γ(1− p)x−q (3.2.10)

onde m− 1 < p ≤ m. Por exemplo, tomando p = 1/2, obtém-se d1/2c/dx1/2 = c/√πx para

x 6= 0.

A derivada fracionária da variável temporal ou espacial fornecem uma visão do

comportamento de determinados fenômenos, tais como, o transporte de um fluido em

meio poroso, histograma das batidas do coração de um indivíduo [35], a difusão na su-

perfície de um líquido e nas flutuações de sistemas financeiros [36]. A derivada fracio-

nária em relação ao tempo proporciona encontrar o deslocamento quadrático médio, no

limite assintótico, finito, isto é, 〈x2〉 ∼ tµ (t → ∞). Mostramos anteriormente que o sis-

tema pode apresentar superdifusão (µ > 1), subdifusão (0 < µ < 1) ou difusão normal

(µ = 1). No entanto, a derivada fracionária da variável espacial proporciona encontrar

um segundo momento infinito, indicando distribuições do tipo Lévy. É válido ressaltar

que as distribuições de Lévy não obedecem o teorema do limite central. O teorema do li-

mite central garante que a soma de N variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas (I.I.D.) com média e variância finita, convergem para uma distribuição gaus-

siana. As distribuições de Lévy obedecem o teorema do limite central generalizado. O

Page 47: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 34

teorema do limite central generalizado afirma que a soma de N variáveis aleatórias I.I.D.

com média finita e variância infinita, tendem à distribuição lei de potência do tipo Lévy

quando N →∞ [17]. Supondo que x1, x2, x3, ... seja uma sequência I.I.D., compartilhando

a mesma distribuição. Então, vamos definir a variável aleatória Yan

Yan =n∑i=1

xian

(3.2.11)

cujo primeiro momento 〈Yan〉 = 0 e o segundo momento 〈Y 2an〉 ∼ t−γ , onde γ ∈ [1, 3].

Calculando a função característica de Yan

ΨYan (t) = 〈eitYan 〉 =

⟨∞∑n=0

(itYan)n

n!

ΨYan (t) =

⟨∞∑n=0

(it)n

n!

(n∑i=1

xian

)n⟩

ΨYan (t) =n∏i=1

Ψxi

(t

an

)ΨYan (t) =

[Ψx

(t

an

)]n. (3.2.12)

Desenvolvendo o termo do lado direito da equação acima[Ψx

(t

an

)]n=

[1 + it〈Yan〉 −

t2〈Y 2an〉

2an+O

(t2

2an

)]n[Ψx

(t

an

)]n=

[1− t2−γ

2an+O

(t2−γ

2an

)]n. (3.2.13)

No limite assintótico, o lado direito da equação (3.2.13) converge para uma distribuição

de Lévy, isto é, a equação (3.2.12) fica

limt→∞

ΨYan (t) = e12|t|(2−γ) . (3.2.14)

A equação fracionária que representa alguns dos fenômenos já citados [37, 38, 39]

∂ρ(x, t)

∂t=0 D

1−γt

(Kγ

∂2ρ(x, t)

∂x2

)(3.2.15)

onde 0D1−γt é a derivada de Riemann-Liouville e Kγ é o coeficiente de difusão [41]. Esta

Page 48: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 35

equação (3.2.15), pode ser ainda aplicada, por exemplo, na descrição de transporte anô-

malo em sistemas desordenados [40] e na modelagem de processos dinâmicos não-Markoviano

em proteínas [42]. Os processos de difusão anômala correlacionados apresentam o se-

gundo momento finito, ao contrário das distribuições de Lévy, cujo segundo momento

infinito [44, 45]. Dessa forma, a equação fracionária de difusão

∂ρ(x, t)

∂t= Kµ

∂µ

∂|x|µρ(x, t) (3.2.16)

cuja a solução é a distribuição de Lévy,

Lµ(x, t) =1

∫ ∞−∞

dkeikx−Kµ|k|µt (3.2.17)

satisfaz o teorema do limite central generalizado.

As discussões anteriores mostram que a difusão anômala pode se representada

por equações diferenciais [41]. Numa outra abordagem, podemos relacionar a termodi-

nâmica com as equações diferenciais, seja na utilização da entropia usual de Boltzmann-

Gibbs [2] ou da entropia de Tsallis [43]. Em seguida, vamos apresentar uma equação que

mostra a derivada fracionária da variável temporal e da variável espacial, chamada de

Equação de Fokker-Planck Fracionária

∂tρ(x, t) =0 D

1−γt

[Kµ

∂µ

∂|x|µρ(x, t)

]+0 D

1−γt

[∂

∂x(F (x, t)ρ(x, t))

](3.2.18)

onde Kµ é o coeficiente de difusão, F (x, t) é a força externa e 0D1−γt é o operador que pode

ser considerado na representação de Riemann-Liouville [46] [39] e para ∂∂|x|µ é empregada

a representação de Riez [39] [41]. É possível recuperar a equação de Fokker-Planck usual

para os valores de µ = 2 e γ = 1.

3.3 Equação Mestra Generalizada

A equação mestra para um sistema que apresenta memória, ou equação mestra

generalizada (EMG), serve para descrever processo não-Markovino [16]. A seguinte rela-

Page 49: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 36

ção

P (y, t|y1, t1) =

∫ t

t1

dt′∑y′

{Wy,y′(t− t′)P (y′, t′|y1, t1)−Wy′,y(t− t′)P (y, t′|y1, t1)} (3.3.1)

é a equação mestra generalizada. Podemos perceber que a probabilidade de transição

depende dos eventos anteriores t′. A EMG descreve a evolução da probabilidade Pj(t)

da partícula está na posição j no instante t. A diferença entre esta expressão (3.3.1) e a

equação (2.3.14) é a dependência de tempos t′ < t anteriores em relação ao tempo pre-

sente. Portanto, a EMG não pode descrever processos Markovinos, isto é, processos de-

finidos pelo simples conhecimento de P (y1, t1, y, t). Enfim, a EMG descreve processos

não-Markovianos, ou seja, processos não locais em tempo e espaço [17].

3.4 Caminhada Aleatória em Tempo Contínuo - CATC

A posição ~rn para uma partícula após n passos correspondente a um tempo tn =

n∆t pode ser escrito da seguinte forma

~rn = ∆~rn + ∆~rn−1 + ∆~rn−2 + ...+ ∆~r1 + ~r0 (3.4.1)

onde ∆~r é o incremento do deslocamento e ~r0 é a posição inicial no instante t = 0 [47]. A

distribuição de probabilidade para ∆~r é q(∆~r). Vamos garantir que todos os incrementos

são independentes e compartilham a mesma distribuição de probabilidade. Calculando o

deslocamento quadrático médio de ~rn, temos

〈(~rn)2〉 =n∑

j=k=1

〈(∆~rj)2〉+n∑

j,k=1,j 6=k

〈∆~rj∆~rk〉 (3.4.2)

onde

〈(∆~rj)2〉 =

∫(∆~rj)

2q(∆~r)d∆~r (3.4.3)

e

〈∆~rj∆~rk〉 = cov(∆~rj,∆~rk). (3.4.4)

O termo do lado direito da equação (3.4.4) chama-se de covariância, ou variação conjunto,

que mede o grau da inter-relação numérica entre duas variáveis aleatórias. As variáveis

sendo independentes a covariância tem valor zero.

Page 50: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 37

Em uma dada caminhada aleatória podemos definir P (z, t) a distribuição de pro-

babilidade que uma partícula no instante t está na posição z. Assumindo que a probabi-

lidade P (z, t − ∆t) do passo anterior no instante ∆t (∆t constante) já é conhecida. Se o

número de partículas é conservado, então a relação fica

P (z, t) = P (z −∆z, t−∆t)q(∆z) (3.4.5)

onde q(∆t) é a distribuição de probabilidade dos passos na caminhada aleatória com o

incremento ∆t. O termo P (z −∆z, t −∆t) é a probabilidade da partícula sair da posição

z − ∆z no instante t − ∆t percorrendo um passo de tamanho ∆z. Então, se somarmos

todos os passos de tamanho ∆z, temos

P (z, t) =

∫ ∞−∞

P (z −∆z, t−∆t)q(∆z)d∆z. (3.4.6)

Essa integral determina a distribuição de probabilidade P (z, t) dos passos na caminhada

aleatória.

O formalismo de Einstein explica o comportamento de difusão normal de uma

caminhada aleatória clássica. No entanto, existem situações em que a caminhada alea-

tória pode apresentar o comportamento de difusão anômala. O sistema pode apresentar

difusão anômala quando as partículas do sistema percorrem passos largos, o termo largo

refere-se ao tamanho do passo, o mesmo sendo finito, ou infinito. Nesse contexto, vamos

explorar na próxima seção a caminhada e o voo de Lévy. Uma outra forma para o sis-

tema de partículas apresentar o comportamento de difusão anômala seria tornar não só

a variável espacial como também a temporal em uma variável aleatória. Então, podemos

observar que a evolução dos passos no espaço irão ser acompanhadas pela variável tempo.

A extensão da caminhada que inclui o tempo como uma variável aleatória é chamada de

Caminhada Aleatória Tempo Contínuo (CATC).

A definição consiste em tornar a variável tempo t em uma variável aleatória, ou

seja, após n passos, a variável tempo pode ser representada pela relação

tn = ∆tn + ∆tn−1 + ∆tn−2 + ...+ ∆t1 + ∆t0 (3.4.7)

onde t0 significa o tempo no instante t = 0. O termo ∆t é o incremento temporal alea-

tória. Para determinar a distribuição de probabilidade dos incrementos ∆t é necessário

antes fazermos a discussão de dois modelos. O primeiro é chamado de Modelo de Es-

Page 51: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 38

pera e segundo Modelo de Velocidade. O Modelo de Espera considera que para cada

etapa as variáveis posição e tempo são independentes. Dessa forma, é essencial especifi-

car duas probabilidades, uma para ∆~r, já mencionada anteriormente, é q(∆~r), e a outra

para ∆t, como q(∆t). O Modelo de Espera funciona da seguinte forma, conhecida a posi-

ção atual, o passo seguinte ∆~r só é executado quando o tempo de espera ∆t for decorrido.

Podemos citar como exemplo o modelo [48]. No Modelo de Velocidade, ∆t é interpre-

tado como tempo de viagem da partícula, ∆t = |∆~r|/v, onde v é o módulo da velocidade

(constante). A definição para a probabilidade dos incrementos nesse modelo é dado pela

relação q(∆~r,∆t) = δ(∆t− |∆~r|/v)q(∆~r). Por exemplo, o trabalho [49]. Nota-se que é ne-

cessário especificar a distribuição de probabilidade q(∆~r,∆t) para ambos os incrementos,

espacial e temporal.

As equações da caminhada CATC podem ser interpretadas como a generalização

da equação (3.4.6), ou da equação

P (z, t) =

∫ ∞−∞

P (z −∆z, t−∆t)q(∆z, z −∆z)d∆z (3.4.8)

conhecida como equação de Chapman-Kolmogorov. É essencial entendermos que existem

pontos nos quais as partículas chegam e iniciam uma nova etapa na caminhada. A equa-

ção de distribuição desses pontos, denominada de Q(z, t), em uma dimensão, a partir da

conservação das partículas, pode ser expressa da seguinte forma

Q(z, t) =

∫d∆z

∫d∆tQ(z −∆z, t−∆t)q(∆z,∆t) + δ(t)P (z, t = 0) + S(z, t) (3.4.9)

onde o primeiro termo do lado direito representa a soma de todos os passos da caminhada

aleatória, incluindo os parâmetros do espaço e do tempo, o segundo termo representa a

condição inicial e o terceiro representa o termo fonte, visto por exemplo, no trabalho de

[50].

A expressão para a probabilidade PE(z, t) do caminhante está na posição z refe-

rente ao instante t em relação ao modelo de espera, é dado pela seguinte equação

PE(z, t) =

∫ t

0

d∆tQ(z, t−∆t)ΨE(∆t) (3.4.10)

Page 52: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 39

com a probabilidade de espera ΨE(∆t) para cada ∆t [50]

ΨE(∆t) =

∫ ∞∆t

dt′q(t′). (3.4.11)

No modelo de velocidade a probabilidade PV (z, t) é dado da seguinte forma

PV (z, t) =

∫ vt

−vtd∆z

∫ t

0

d∆tQ(z −∆z, t−∆t)ΨV (∆z,∆t) (3.4.12)

onde

ΨV (∆z,∆t) =1

2δ(|∆z|−v∆t)

∫ ∞|∆z|

dz′∫ ∞

∆t

dt′δ(t′ − |z′|/v)q(z′) (3.4.13)

é a probabilidade de executar um passo de comprimento |∆z| durante o tempo ∆t, por

exemplo, [49]. As expressões PE e PV determinam a probabilidade da partícula se mover

entre dois pontos distintos, levando-se em consideração somente o intervalo do tempo

que foi realmente consumido durante a caminhada aleatória.

3.5 Voos de Lévy

Na natureza podemos encontrar alguns fenômenos que são modelados por uma

função distribuição de probabilidade que apresenta um segundo momento divergente

(∫∞−∞ x

2f(x)dx→∞). Existem exemplos na física, ecologia, química e etc, que são caracte-

rizados por um processo que apresenta superdifusão e cuja a distribuição é representada

por uma lei de potência do tipo cauda longa. Na seção (3.2), foi visto que ao aplicar a deri-

vada fracionária na variável espacial, o segundo momento, para tempos longos, é infinito,

indicando uma distribuição do tipo Lévy. A função característica da distribuição de Lévy

é dada por

Φ(t;α, β, µ, c) = exp[itµ− |ct|α(1− iβsgn(t)φ(α))] (3.5.1)

onde

sgn(t) =

−1, t < 0

0, t = 0

1, t > 0

(3.5.2)

e

φ(α) =

{tan(πα2

), α 6= 1

− 2π

log(|t|), α = 1(3.5.3)

Page 53: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 40

O parâmetro 0 < α ≤ 2 determina o comportamento assintótico da distribuição para

t → ∞, e −1 ≤ β ≤ 1 determina se a distribuição é simétrica ou assimétrica, µ é a média

e c ≥ 0 é um fator de escala. A distribuição de Lévy é definida pela transformada inversa

de Fourier da sua função característica, equação (3.5.1)

L(x;α, β, µ, c) =1

∫ ∞−∞

e−itxΦ(t;α, β, µ, c)dt (3.5.4)

É possível perceber através das equações descritas acima que não é tarefa fácil

encontrar analiticamente as distribuições de Lévy. Veja que tanto a função característica

quanto a transformada inversa de Fourier dependem de quatro parâmetros α, β, µ e cUma

das distribuições que podemos exibir como solução é a distribuição Gaussiana (α = 2, β =

0)

L(x;α = 2, β = 0, µ, c) =1

2√cπe−

(x−µ)24c (3.5.5)

Na seção (3.2) mostramos ainda a definição do Teorema do Limite Central Generalizado,

e observamos que a soma das N variáveis aleatórias I.I.D possui o primeiro momento

finito e a variância do tipo lei de potência. Portanto, as distribuições de Lévy, no limite

assintótico, exibem a característica do tipo lei de potência

L(|x|) ∼ 1

|x|µ(3.5.6)

onde µ = 1 + α, lembrando que 0 < α ≤ 2.

A caminhada aleatória apresenta difusão anômala se os passos dados pelo cami-

nhante forem correlacionados, caso contrário a difusão é normal. A caminhada aleatória

modelada pela distribuição de Lévy apresenta a seguinte função distribuição de probabi-

lidade

P (l) ∼ l−µ (3.5.7)

onde P (l) é a probabilidade do caminhante dar passos de tamanho l e o parâmetro µ va-

ria entre 1 e 3. Para o caso a caminhada exibe um comportamento do tipo movimento

Browniano, para o caso µ→ 1 o comportamento é semelhante ao movimento Balístico. A

relação l = l0u1/(1−µ) pode ser utilizada para gerar caminhos aleatórios. Estes caminhos

podem ser utilizados por exemplo para modelar [51, 52, 53] processos que apresentam es-

tratégias eficientes na busca por alimentos. Como forma de ilustração, a figura (3.1) exibe

uma caminhada aleatória em duas dimensões para o valor de l0 = 1, µ = 3 (Caminhada

Page 54: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 41

Browniana), para N = 1000 passos, fig. (3.1 (a)), e a fig. (3.1(b)) para N = 100000 pas-

sos. As figuras (3.1(c)) e (3.1(d)) mostram o comportamento da caminhada aleatória para

µ = 2 (Caminhada de Lévy), N = 1000 e N = 100000 passos, respectivamente. É inte-

ressante ressaltar que nesse modelo, não existe orientação preferencial, ou seja, todas as

possíveis orientações são igualmente prováveis. Além disso, é válido destacar que cami-

nhadas aleatórias de Lévy modelam melhor alguns fenômenos da natureza do que, por

exemplo, o movimento Browniano, mas ambos possuem uma característica em comum, a

auto-similaridade, característica de um fractal.

Os trabalhos [52, 53, 54, 55] despertaram entre os pesquisadores uma visão inter-

disciplinar pelo fato dos voos de Lévy modelar processos de busca (foraging). A palavra

foraging significa o estudo das estratégias de busca de alimentos executado por animais

em seus ambientes nativos. O foraging é modelado pelo vôo de Lévy devido o aumento

do número de visitação de novos alvos. O voo de Lévy caracteriza-se por saltos extrema-

mente longos e raros, figuras (3.1(c)) e (3.1(d)). Comparado com a difusão normal, o voo

de Lévy proporciona a visitação de um mesmo sítio com menos frequência. Até o século

XX, as leis de Fick explicavam o fenômeno da difusão. Einstein descreveu o comporta-

mento de difusão normal através do crescimento linear entre o deslocamento quadrático

médio e o tempo. Entretanto, outros sistema não apresentavam este tipo de comporta-

mento, e sim, o que é denominado de difusão anômala. Por exemplo, o voo de Lévy

despertou o interesse por apresentar superdifusão. Esse obedece uma função do tipo lei

de potência (3.5.7). A função de distribuição de probabilidade de Lévy cai muito suave-

mente se comparada a distribuição gaussiana, ou seja, favorecendo os eventos mais raros,

pensando na busca por alimentos, locais que são visitados com menos frequência. Pode-

mos citar como exemplo de aplicação do modelo voo de Lévy a busca por alimentos dos

albatrozes [53]. A forma deles mudarem a busca por alimentos quando no local houver

a escassez de presas se assemelha com o comportamento do voo de Lévy. Assim, devido

a essa escassez de recursos em alguns ambientes, o modelo do voo de Lévy foi estendido

para outros animais, como os peixes [52].

3.6 Modelo Scher-Montroll Subdifusivo

O trabalho desenvolvido por Scher e Montroll (SM) tinha como motivação expli-

car as evidências experimentais sobre a fotocondutividade transiente de semicondutores

Page 55: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 42

Figura 3.1: Caminhada aleatória 2D para µ = 3, fig. (a) e fig. (b) para diferentes valores deN mostra a caminhada browniana. A fig (c) e fig. (d) mostra a caminhada aleatória para ovalor de µ = 2 e difrerentes valores de N representando uma caminhada de Lévy [75].

Page 56: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 43

amorfos [24]. Devido a falta de ordem estrutural, os materiais amorfos possuem variações

aleatórias na energia dos sítios individuais da rede. Essas variações aleatórias no poten-

cial podem influenciar na ação dos portadores de cargas. Nesse caso, o transporte dos

portadores de cargas pode se dá pelos estados estendidos com estados localizados atu-

ando como armadilhas, ou o transporte se dá por saltos de um sítio para outro. Quando o

portador de carga está aprisionado em um estado localizado (armadilha), ele só consegue

escapar através das flutuações térmicas, mas o tempo que se gasta para sair da arma-

dilha pode ser consideravelmente longo e maior que o tempo de voo de um sítio para

outro. Portanto, o modelo de SM apresentava uma distribuição alargada para os tempos

de ocorrência do evento [56].

No modelo Scher e Montroll inseriram uma função distribuição aleatória ao gerar

as distâncias entre os sítios disponíveis para o transporte de portadores de cargas. A de-

sordem está relacionado ao fato dos materiais amorfos apresentar flutuação na distância.

O portador de carga pode percorrer uma distância relativamente grande para encontrar

um sítio mais próximo, fazendo com o que todo o processo se torne cada vez mais lento.

Então, SM propuseram como modelo um caminhada aleatória no tempo contínuo (CATC),

cujo portador deve saltar sempre de um sítio para outro com a probabilidade de transição

p(l, l′) do sítio l′ para l. A probabilidade p(l, l′) é a mesma para qualquer instante t. Se-

guindo a notação do trabalho desenvolvido por SM, a probabilidade do caminhante está

no sítio l após n passos é

Pn+1(l) =∑l′

p(l, l′)Pn(l′) (3.6.1)

com ∑l

p(l, l′) = 1. (3.6.2)

A função geradora da caminhada

P (l, z) =∞∑n=0

Pn(l)zn, (3.6.3)

onde z é a variável aleatória. Uma forma que SM encontraram para tornar o problema

tratável, foi incorporar desordem à função distribuição de tempos de saltos Ψ(t). A pro-

babilidade do portador chegar em um determinado sítio no instante t = 0 e salta para

o próximo sítio no instante entre t e t + δt é Ψ(t)δt. Para incorporar a desordem à fun-

ção distribuição de tempos de saltos, é necessário realizarmos a transformação para um

parâmetro que dependa da distância média entre os locais disponíveis para os saltos. A

Page 57: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 3. Difusão anômala 44

transformação entre esses parâmetros é realizada pelo transformada de Laplace. Então,

SM definiram a probabilidade P (l, t) de um portador está no sítio l no instante t. A trans-

formada de Laplace de P (l, t) é

P ∗(l, u) =

∫ ∞0

e−utP (l, t)dt. (3.6.4)

A solução de SM para P ∗(l, u) é

P ∗(l, u) = Q∗(l, u)

[1−Ψ∗(u)

u

](3.6.5)

onde Ψ∗(u) é a transformada de Laplace de Ψ(t)

Ψ∗(u) =

∫ ∞0

e−utΨ(t)dt (3.6.6)

e Q∗(l, u) está relacionado com a função geradora da caminhada

Q∗(l, u) ≡ P [l,Ψ∗(u)]. (3.6.7)

Agora, é importante discutir qual função distribuição de tempo de salto Ψ(t) se

torna adequado ao problema para promover difusão anômala no sistema. Como coloca a

[56], SM optaram inicialmente por uma função distribuição de probabilidade Ψ(t) do tipo

exponencial

Ψ(t) = ke−kt. (3.6.8)

onde k é uma constante. A escolha de SM pela função distribuição acima não resolveu

o problema, porque a função não apresentava um decaimento lento e nem do tipo cauda

longa. Portanto, não descrevia o real comportamento do material. Então, SM perceberam

que era necessário escolher uma função que atendesse as condições citadas anteriormente.

Para gerar difusão anômala, SM trabalharam a seguinte proposta

Ψ(t) ∝ kt−(1+a) (3.6.9)

onde 0 < a < 1 é o parâmetro de desordem. O parâmetro a mostrou no seu comporta-

mento a dependência com a temperatura. O modelo proposto por SM, CATC e a função

distribuição de tempo de salto adequado, foram capazes de explicar os transientes de cor-

rentes nesses materiais.

Page 58: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

CAPITULO 4

SUPERDIFUSÃO NOS MODELOS NAO-MARKOVIANOS

Memória é um processo que armazena informações que podem nos ajudar a to-

mar decisões diárias. As decisões tomadas no passado podem influenciar nas decisões

do presente. Nesse contexto, é possível definir uma relação entre memória e processos

estocásticos. É bastante conhecido que os processos estocásticos Markovianos e não-

Markovianos estão relacionados com a memória de curto-alcance e longo-alcance, res-

pectivamente.

O nosso objetivo é entender a relação entre memória e processos estocásticos via

caminhada aleatória. Para entender essa relação, procuramos estudar os modelos já pu-

blicados, tais como, o modelo de caminhada do elefante, solução exata [58] e o caso nu-

mérico [59], cujo caminhante aleatório tem acesso à sua memória completa, o modelo de

caminhada com alzheimer [60], cujo caminhante recorda-se apenas de uma fração ft do

tempo t do passado distante e o modelo com o perfil de memória Gaussiano [61]. O perfil

de memória Gaussiano é representado por uma função Gaussiana centrada no instante de

tempo t/2 da idade do caminhante. A caminhada aleatória não-Markoviana tende para

um comportamento repetitivo no passado, ou seja, persistente. A persistência está asso-

ciada à existência de correlações temporais. Essas correlações podem surgir a partir da

perda de memória do passado recente ou distante. Para entender esses modelos, propo-

mos analisar neste capítulo os resultados encontrados através do Expoente de Hurst H .

O valor encontrado para o expoente de Hurst quantifica, isto é, exibe o grau de persis-

tência de um caminhante difuso. Para obter o expoente de Hurst, é necessário calcular o

45

Page 59: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 46

deslocamento quadrático médio em função do tempo t

〈x2t 〉 ∼ t2H (4.0.1)

no limite assintótico, t → ∞. A figura (4.1) mostra o comportamento do expoente de

Hurst. Segunda a figura 4.1 a caminhada aleatória no limite assintótico pode apresentar

subdifusão (H < 1/2), difusão normal (H = 1/2) ou superdifusão (H > 1/2).

4.1 Modelo de Caminhada do Elefante

O modelo de caminhada do elefante foi proposto por Schütz e Trimper [58]. Va-

mos nos basear no resultado exato do modelo de caminhada do elefante [58]. O cami-

nhante parte da origem no instante t = 0, e retém a memória de sua história completa.

Em cada passo no tempo, o caminhante dá um passo para a direita ou para a esquerda,

ou seja,

xt+1 = xt + vt+1 t = 0, 1, ... (4.1.1)

onde vt+1 representa o ruído estocástico com dois pontos auto-correlacionados (ou seja,

memória). O caminhante pode se recordar, a priori, de toda a história das direções dos

passos da caminhada aleatória {vt′} para t′ < t. No tempo t, uma escolha aleatória é

realizada dentro do intervalo t′ entre 1 e t com probabilidades iguais a priori. A direção

dos passos vt é então escolhida com base no valor de vt′ , assim,

vt =

{+vt′ com probabilidade p

−vt′ com probabilidade 1− p(4.1.2)

Sem perda de generalidade, assume-se que o primeiro passo vai ser dado sempre para a

direita, ou seja, v1 = +1. A posição no tempo t

xt =t∑

k=1

vk (4.1.3)

Page 60: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 47

Figura 4.1: A definição de difusão anômala segundo o comportamento do expoente deHurst. A figura mostra o comportamente do deslocamento quadrático médio (log(< x2 >)) em função do tempo (log(t)). O valor do expoente de Hurst é obtido a partir da relaçãoH = 1/2(log(< x2 >)/log(t)).

Page 61: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 48

e o segundo momento é dado por

〈x2t 〉 =

t

3−4pp < 3

4

tlnt p = 34

t4p−2

(4p−3)Γ(4p−2)p > 3

4

(4.1.4)

que são relações exatas válidas no limite assintótico. O modelo de caminhada do elefante

apresenta regime superdifusivo para (p > 3/4) e regime localizado para (p < 3/4), e para

p = 3/4 o regime é marginalmente superdifusivo. Curiosamente, para 1/2 < p < 3/4, não

é localizado, e o deslocamento quadrático médio diverge, embora menor que o quadrado

da média, de modo que o comportamento difusivo é mantido. O comportamento da

média do deslocamento pode ser dado pela relação 〈xt〉 ∼ t2p−1. A solução do problema é

dado por um propagador de distribuição gaussiana, ou seja,

P (x, t) =1√

4πD(t)exp

(−(x(t)− 〈x(t)〉)2

4tD(t)

)(4.1.5)

onde D(t, p) = (1/8p− 6)[(t/t0)4p−3 − 1] é o coeficiente difusivo dependente de p.

Portanto, em adição as discussões sobre difusão normal versus anômala, e no

comportamento definido pelo ponto de transição p = 34, é possível classificarmos as ca-

minhadas aleatórias como reformadoras (p < 12), que possuem o comportamento anti-

correlacionado, e em tradicionalistas (p > 12) com correlações positivas, isto é, persistência.

O deslocamento médio para o caminhante reformador decai algebricamente até desapare-

cer, enquanto que o caminhante tradicionalista, diverge algebricamente. Nesse contexto,

algebricamente significa lei de potência.

As figuras (4.2) e (4.3) mostram o comportamento do deslocamento médio e deslo-

camento quadrático médio, respectivamente. Nota-se nas duas figuras que a superdifusão

surge a partir de p > 34, enquanto que para p < 3

4o comportamento permanece inalterado.

A figura (4.3) mostra o gráfico do expoente de Hurst H em função da probabilidade p. É

possível observar a concordância entre os resultados numéricos [59] e os resultados analí-

ticos [58].

Page 62: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 49

Figura 4.2: O deslocamento médio 〈xt〉 em função do tempo t e do parâmetro p [59]. Amédia do deslocamento diverge para os valores de 0.7 6 p 6 0.9 .

Figura 4.3: O deslocamento quadrático médio 〈x2t 〉 em função do tempo t e do parâmetro

p [59]. O deslocamento quadrático médio apresenta um comportamento linear para osvalores de 0.1 6 p 6 0.6 e um comportamento não linear para os valores de 0.7 6 p 6 0.9 .

Page 63: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 50

4.2 Modelo de Caminhada com Alzheimer

Considere uma caminhada aleatória cuja memória é representada por uma fra-

ção ft dos passos dados no instante de tempo t, veja a figura (4.5). No caso de f = 1,

recorremos o modelo de caminhada do elefante (memória completa). No caso de f < 1,

o caminhante permanece não-Markoviano, no entanto, ele não tem acesso a sua história

completa.

A figura (4.5) exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função do pa-

râmetro p. Além disso, a figura (4.5) ainda mostra o comportamento do deslocamento

quadrático médio 〈x2t 〉 em função do tempo t. Observando essa figura, percebe-se que

o deslocamento quadrático médio muda quando houver a diminuição do intervalo de

comprimento de memória. Nota-se ainda que para valores de f = 0.1 e p = 0.1 o compor-

tamento do deslocamento quadrático médio é periódico. Quando f → 0, percebe-se um

resultado não esperado, mesmo com feedback negativo (p < 1/2), o caminhante apresenta

persistência, ou seja, H > 1/2. Entretanto, a medida que os valores de f aumentam, a re-

gião não apresenta mais superdifusão. Na região de p > 1/2, todos os valores de f para o

sistema apresentam superdifusão. Percebe-se através da figura inserida as evidências de

log-periodicidade para f pequeno.

A figura (4.6) confirma as evidências de log-periodicidade. A amplitude dos pe-

ríodos torna-se maior para f pequeno, ao passo que para f suficientemente grande, eles

efetivamente desaparecem. O resultado analítico para o expoente de Hurst H em função

dos parâmetros f e p para 0 < f < 1 requer uma análise dos n−momentos através das

relações de recorrência no qual os momentos 〈xnt+1〉 para o tempo t+1 não dependa unica-

mente dos valores do tempo t, mais também dos valores do tempo ft. A solução analítica

para a caminhada aleatória com alzheimer é mostrada pelo trabalho [62]. O trabalho [62]

mostra um diagrama de fases, cujo comportamento persistente apresentado pelo modelo

de caminhada com alzheimer surge para valores de f pequeno e p < 1/2, denominado de

persistente log-periódico, porém na região p > 1/2 para qualquer valor de f , chamado de

persistente clássico.

Page 64: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 51

Figura 4.4: A figura mostra o expoente de Hurst H em função do parâmetro p [60]. Nota-se a concordância entre o resultado numérico e o resultado analítico, a linha tracejadaem vermelho representa o resultado analítico [58]. É possível perceber a mudança decomportamento próximo do ponto p = 3

4.

Figura 4.5: A representação do perfil de memória da caminhada Alzheimer. O compri-mento da memória é L = ft.

Page 65: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 52

Figura 4.6: A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função dos pa-râmetro p e f [60]. A linha tracejada em azul é o resultado analítico exato para o modelode caminhada do elefante, f = 1 [58]. A figura inserida mostra a relação entre 〈x2〉 e otempo t para alguns valores de p e f . O modelo apresenta superdifusão (persistência clás-sica [62]) (H > 1

2) para p > 1

2. Para valores de p < 1/2, o modelo apresenta superdifusão

log-periódica (persistência log-periódica [62]) (H > 12) para valores de f = 0.2 e 0.1.

Page 66: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 53

Figura 4.7: A figura apresenta o comportamento do primeiro momento 〈xt〉 em função dotempo t [60]. É possível ver que a perda de memória significativa (f pequeno) leva ao sur-gimento da log-periodicidade. O gráfico inserido mostra o valor médio 〈xt〉 normalizadopor t

12 em função de t. Esta normalização amplia o comportamento das amplitudes de

oscilações log-periódicas.

Page 67: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 54

4.3 Modelo de Caminhada com memória com perfil Gaus-

siano

Os dois modelos de caminhadas aleatórias não-Markovianos citados anterior-

mente, elefante [59] e com alzheimer [60], tinham a capacidade de recordar os primeiros

passos nos tempos subsequentes. Essa recordação dos passos iniciais definem a corre-

lação temporal para ambos os modelos, que é um dos pré-requisitos para o surgimento

da superdifusão. O caminhante aleatório com memória com perfil gaussiano [61] não se

recorda dos passos iniciais, porém apresenta superdifusão. Esse modelo de caminhada

aleatória obedece à seguinte função distribuição de probabilidade

P (t′) ∝ exp

[−

(t′ − t2)2

2σ2t2

](4.3.1)

que é uma função gaussiana, onde σ é o desvio padrão e o valor de t′ está entre 0 e t. Então,

em vez da escolha ser feita através das probabilidades iguais a priori (4.1.2), o tempo t é

escolhido a partir segunda a equação (4.3.1). No caso da caminhada com alzheimer a

memória possui um perfil semelhante a uma função constante L = ft.

O centro e a largura σt da gaussiana não são parâmetros fixos, crescem linear-

mente no tempo, ou seja, a gaussiana move-se e estende-se no tempo. Tomando o centro

da gaussiana quase sempre no instante de tempo t2. A largura da gaussiana é sempre

proporcional a t, onde t é o tempo presente. Portanto, as lembranças dos fatos ocorridos

próximo da metade da idade atual possui uma probabilidade maior de serem recordados.

O movimento e o alongamento do perfil de memória Gaussiano faz com que o modelo

seja genuinamente não-Markoviano. No caso contrário, o perfil de memória limitado e

fixo levam para um processo Markoviano.

A figura (4.8) mostra a estimativa numérica do expoente de Hurst H para várias

valores de σ (largura da gaussiana). Tomando σ grande, o comportamento do modelo é

similar ao modelo de caminhada do elefante [59], mas para σ pequeno o comportamento

é aparentemente similar a caminhada com alzheimer [60]. Esse resultado apresentou uma

mudança de comportamento para valores extremos de σ, apesar de existirem diferenças

entre os perfis de memória. Para o caso em que σ é muito pequeno, a largura da gaussiana

torna-se infinitamente estreita, cujo perfil de memória do caminhante recorda-se apenas

de um único instante de tempo t2

do passado. Além disso, nota-se que o efeito da super-

Page 68: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 55

Figura 4.8: A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em relação aos pa-râmetro p e σ [61]. Para valores de σ grande, a gaussiana torne-se muito larga, isto é, o ca-minhante recorda-se de toda a sua história, comportamento qualitativo similar ao modelode caminhada do elefante [59], porém, quando os valores de σ são pequenos, a largurada gaussiana fica estreita, qualitativamente o comportamento apresentado pelo modelose assemelha ao modelo de caminhada com alzheimer [60].

Page 69: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 56

difusão ocorre para alguns valores de p < 12

e também para p > 12. Por um lado, isso não é

surpresa pelo motivo desse perfil de memória ser não-Markoviano (divergências na corre-

lação do tempo para p 6= 12). Por outro lado, o resultado torna-se pouco esperado pelo fato

de que todos os momentos são finitos. Apesar da solução ser inconsistente, percebe-se que

a média e a largura do perfil gaussiano crescem linearmente com a idade do caminhante.

O modelo é genuinamente não-Markoviano para todos os valores sigma.

A figura (4.9) mostra a inserção da reescala do primeiro momento 〈x〉 por tH para

valores particulares de σ = 0.001 e p = 0.1. Nota-se o aparecimento da log-periodicidade.

Além disso, a mesma mostra o gráfico do deslocamento médio 〈x〉 em função do tempo

t para o valor de p = 0.1 e alguns valores de σ. É possível notar evidências de log-

periodicidade, ou seja, a perda significativa de memória (σ pequeno) leva ao aumento das

amplitudes da log-periodicidade. Esses períodos indicam invariância de escala discreta e

complexa, em vez de dimensão fractal real.

A figura (4.10) exibe o comportamento do diagrama de fase para o modelo com

memória com o perfil gaussiano, o expoente de Hurst H em função dos parâmetros p e

σ. Nota-se que para valores grandes de σ, o modelo apresenta um comportamento quali-

tativo similar ao modelo de caminhada do elefante [59], ou seja, observa-se superdifusão

(H > 12) para p > 1

2. Para valores pequenos de σ, o comportamento do modelo é qualita-

tivamente similar ao modelo de caminhada com alzheimer [60]. Observa-se para alguns

valores extremos de σ superdifusão (H > 12) nas regiões, p < 1

2e p > 1

2. O que torna o

modelo gaussiano diferente do modelo com alzheimer, é o fato desse perfil não se recor-

dar dos primeiros passos, próximo do instante de tempo t = 0, e apresentar superdifusão

log-periódica. Isto leva a concluir que a superdifusão log-periódica devido a perda de

memória é um caso mais geral e não restrito ao modelo de caminhada que se recorda dos

primeiros passos, próximo do instante de tempo t = 0.

Page 70: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 57

Figura 4.9: A figura exibe o comportamento do deslocamento médio 〈x〉 em função dotempo t para alguns valores de σ [61]. A perda significativa de memória (σ pequeno)indica a evidência de superdifusão log-periódica. O gráfico inserido apresenta as ampli-tudes da log-periodicidade para o primeiro momento normalizado por tH .

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Capitulo 4. Superdifusão nos Modelos nao-markovianos 58

Figura 4.10: A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função dosparâmetros p e σ [61]. Para valores grande de σ, o modelo de perfil de memória gaus-siano apresenta comportamento semelhante ao modelo de caminhada do elefante [59].Para valores pequenos de σ, o modelo gaussiano apresenta comportamento similar aomodelo de caminhada com alzheimer [60]. O modelo gaussiano apresenta superdifuãolog-periódica para valores de σ pequeno na região de p < 1/2. Diferentemente do modelode caminhada com alzheimer, o modelo gaussiano não tem acesso aos primeiros passos,no instante t = 0. Isso mostra que a lembrança dos primeiros passos, instante t = 0, não éum ingrediente necessário para que o modelo apresente superdifusão log-periódica.

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CAPITULO 5

MODELO DE MEMÓRIA EXPONENCIAL

Processo difusivo e caminhada aleatória têm sido usado extensivamente para des-

crever fenômenos importantes em muitas áreas, tais como, na física, química e biologia

[63]. A caminhada aleatória e suas generalizações, o modelo de caminhada aleatória no

tempo contínuo introduzido por Montroll e Weiss [48] em 1965, são ferramentas impor-

tantes para o estudo de muitos fenômenos físicos, como por exemplo, meios desordena-

dos [64, 65, 66, 67], modelagem de terremotos [68] e mercados financeiros [69]. Dentro

deste contexto, um fato básico que os físicos aprendem em suas carreiras é que corre-

lações com decaimento exponencial não possui ordem de longo-alcance. Por exemplo, o

modelo Ising com interações de primeiros vizinhos e unidimensional não possui ordem de

longo-alcance para temperaturas diferentes de zero [70]. Pela mesma razão, a caminhada

aleatória com correlação exponencial e cujo tamanho dos passos possuem variância finita

se comporta como uma caminhada aleatória padrão não-correlacionada Browniana. Para

tempos longos, o deslocamento quadrático médio escala linearmente com o tempo. Além

disso, qualquer modelo de caminhada aleatória com memória representada por uma ex-

ponencial pode ser modelada por um processo de n-passos Markoviano, ou seja, o pro-

cesso Markoviano possui uma corrente de probabilidade de transição dependente unica-

mente dos n-passos anteriores tomados. Não importa quão grande escolhermos n, para

tempos longos, o deslocamento quadrático médio necessariamente escala de forma linear

no tempo, obedecendo o teorema do limite central. Assim, foi uma surpresa para nós

encontrarmos um aparente contra exemplo.

Relatamos aqui neste capítulo um modelo de caminhada aleatória com memória

59

Page 73: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 60

exponencial superdifusivo, cujo deslocamento quadrático médio não cresce de maneira

linear com o tempo, para tempos longos. A resolução do aparente paradoxo revela uma

lacuna de como, agora, o assunto é usualmente abordado. Com efeito, mostramos que

este é um fato possível a partir de um modelo de caminhada aleatória genuinamente não-

Markoviano com memória exponencial, desde de que a constante de decaimento seja de-

pendente do tempo.

5.1 Modelo de Memória Exponencial

O modelo que estudamos é uma variante do modelo de caminhada do elefante

[59] descrito na seção (4.1). O caminhante aleatório do modelo do elefante mantém a lem-

brança de toda a história da caminhada, de modo que a caminhada em princípio é não-

Markoviana. Muitas variantes deste modelo tem sido proposto, tal como o modelo da

caminhada com alzheimer [60] que levou a resultados inesperados de superdifusão indu-

zida amnesicamente e a superdifusão log-periódica [71], descrito na seção (4.2). Aqui, pro-

pomos um modelo com um perfil de memória exponencial. Esse modelo é inspirado em

outro modelo recentemente proposto, que possui uma memória com um perfil gaussiano,

descrito na seção (4.3) [61]. Neste trabalho nós essencialmente trocamos a distribuição

gaussiana por uma exponencial. O nosso foco foi direcionado a um caminhante aleatório

com a capacidade de recordar eventos anteriores, sendo os eventos mais recentes lembra-

dos com mais frequência, comparando os eventos relacionados ao passado mais distante.

Vamos referir-se a este modelo como o modelo de memória exponencial. Enquanto que

no modelo de caminhada do elefante, o tempo t′ é escolhido a partir de uma distribuição

uniforme, no modelo de memória exponencial, t′ é escolhido aleatoriamente a partir de

uma função distribuição de probabilidade exponencial. A probabilidade de escolha de

um tempo anterior t′ é

Pλ(t′, t) = Aexp

[−λ(t− t′)

t

](5.1.1)

onde A é a constante de normalização. O parâmetro λ ajusta a forma da distribuição

exponencial de maneira usual, mas ao contrário das constantes típicas de decaimento, λ

é adimensional. Infelizmente, este modelo ainda não tem solução exata conhecida. No

entanto, uma solução aproximada pode ser encontrada assumindo que parte da memó-

ria exponencial, figura (5.1), pode ser mapeada por um perfil de memória equivalente,

Page 74: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 61

como uma janela de tamanho retangular, figura (4.5). Dentro dessa abordagem, existe um

truque para determinar a solução aproximada para o modelo de memória exponencial

não-Markoviano. Sua validade, é suportada por uma resultado numérico mostrado na

seção (5.3). O perfil do modelo de memória retangular não-Markoviano tem memória fixa

de tamanho L = ft, onde já foi visto que 0 < f < 1 é um novo parâmetro que fixa o

tamanho da memória. A probabilidade de escolher um t′ anterior é dada simplesmente

por 1/L para (1 − f)t < t′ < t, e zero no caso contrário. Este perfil de memória é repre-

sentado por uma função constante em relação ao eixo horizontal, veja a figura (5.2), e tem

a forma de um retângulo em vez de uma exponencial, de tal forma que as memórias mais

antigas são apagadas. O caminhante aleatório pode se recordar apenas de uma fração f

dos passos mais recentes.

5.2 Equação de Fokker-Planck

A ideia principal, agora, é determinar uma fração efetiva feff (λ) que faça com que

o modelo padrão com memória retangular, com f = feff , se comporte da mesma forma

como o modelo de memória exponencial com um dado λ. Então, a equação de Fokker-

Planck para ambos os modelos pode ser considerada equivalente, de acordo com a [72].

Então, podemos definir o comprimento de memória efetivo para o modelo de memória

exponencial por

L ≡∫ t

0

[Pλ(t′, t)/Pmax(t

′, t)]dt′ (5.2.1)

onde Pmax(t′, t) é o valor máximo de Pλ(t′, t). Usando a equação (5.1.1) determinamos

L =

∫ t

0

e−λ(t−t′)

t dt′ =

(1− e−λ

λ

)t (5.2.2)

que dá, usando L = feff t,

feff =

(1− e−λ

λ

)(5.2.3)

A equação (5.2.3) é o resultado chave que nos permite fazer o mapeamento entre os dois

modelos e alcançar uma solução aproximada para o modelo de memória exponencial,

reduzindo-o a um modelo de memória retangular. Devemos nos referir ao modelo de

Page 75: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 62

Figura 5.1: A figura ilustra o comprimento de memória do modelo exponencial.

Figura 5.2: A figura ilustra o comprimento de memória do modelo simplificado.

Page 76: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 63

perfil de memória retangular, com L = feff t, como o Modelo Simplificado, figura (5.2).

Esse modelo já foi estudado pela [59], e sua solução pode fornecer uma boa solução analí-

tica para o modelo exponencial.

A solução analítica pode ser obtida, em primeiro lugar, a partir de algumas defini-

ções. Vamos, então, definir nf (t) e nb(t) como o número total de passos dados para frente

e para trás, respectivamente, até o tempo t. A outra definição é nf (t−L) e nb(t−L) como o

número total de passos dados para frente e para trás, respectivamente, até o tempo t− L.

Assim, o número total de passos dados para frente no intervalo de tempo (t− L ≤ t′< t)

onde o caminhante possui memória é ∆nf = nf (t) − nf (t − L), da mesma forma, e para

trás ∆nb = nb(t)− nb(t−L). Então a probabilidade efetiva de tomar um passo para frente

ou para trás, P+eff (t, x) e P−eff (t, x), respectivamente, para t > 0 é

P+eff (t, x) =

∆nfL

p+∆nbL

(1− p) (5.2.4)

P−eff (t, x) =∆nbL

p+∆nfL

(1− p) (5.2.5)

Fazendo a diferença entre as equações (5.2.4) e (5.2.5), obtemos

P+eff (t, x)− P−eff (t, x) =

∆nfL

p+∆nbL− ∆nb

Lp

−∆nbL

p− ∆nfL

+∆nfL

p

P+eff (t, x)− P−eff (t, x) = 2p

(∆nf −∆nb)

L

−(∆nf −∆nb)

L

P+eff (t, x)− P−eff (t, x) = (2p− 1)

(∆nf −∆nb)

L(5.2.6)

O valor esperado ou efetivo vefft+1 para tempo t+ 1 é

vefft+1 = P+eff (t, x)− P−eff (t, x) (5.2.7)

Page 77: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 64

Substituindo o resultado da equação (5.2.6), na equação (5.2.7),

vefft+1 = α(∆nf −∆nb)

L(5.2.8)

onde α = (2p − 1). Seguindo ainda com as seguintes definições: nf (t) + nb(t) = t e

nf (t− L) + nb(t− L) = t− L. Portanto, temos: ∆nf + ∆nb = L, xt = nf (t)− nb(t), xt−L =

nf (t− L)− nb(t− L), assim, obtemos, xt − xt−L = ∆nf −∆nb, portanto, ∆nf = L+xt−xt−L2

e ∆nb = L−xt−xt−L2

.

Retomando a equação (5.2.8), chegamos a seguinte forma

vefft+1 = αxt − xt−L

L(5.2.9)

onde o caso de λ→ 0 implica f = 1, assim, retomando o modelo de Schütz e Trimper [58].

A probabilidade condicional que o caminhante está na posição x no instante t+ 1,

dado a posição anterior x0 no tempo t = 0, é dado por

P (x, t+ 1|x0, 0) = P (x+ 1, t|x0, 0)P−(t, x+ 1) + P (x− 1, t|x0, 0)P+(t, x− 1). (5.2.10)

Retomando a equação (5.2.4),

P+eff (t, x) =

∆nfL

p+∆nbL

(1− p)

onde α = 2p− 1⇒ p = 12(α + 1). Substituindo,

P+eff (t, x) =

∆nbL

+

(∆nfL− ∆nb

L

)1

2(α + 1)

P+eff (t, x) =

∆nbL

+1

(∆nf −∆nb

L

)+

1

2

∆nfL− 1

2

∆nbL

Page 78: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 65

P+eff (t, x) =

1

(∆nf −∆nb

L

)+

1

2

(∆nf + ∆nb

L

)onde a soma e a diferença entre ∆nf e ∆nb é, respectivamente, ∆nf + ∆nb = L e ∆nf −∆nb = xt − xt−L = x−G(x). Então, obtemos

P+eff (t, x) =

1

2

[1 + α

(x−G(x))

L

](5.2.11)

Retomando a equação (5.2.5) e realizando os mesmos procedimentos matemáti-

cas, obtemos a seguinte equação

P−eff (t, x) =1

2

[1− α(x−G(x))

L

](5.2.12)

Portanto, a probabilidade condicional fica

P (x, t+ 1|x0, 0) =1

2

[1− α(x+ 1−G(x+ 1))

L

]P (x+ 1, t|x0, 0)

+1

2

[1 +

α(x− 1−G(x− 1))

L

]P (x− 1, t|x0, 0) (5.2.13)

Agora, introduzimos a notação P (x − x0, t − t0) para o propagador P (x, t|x0, t0).

Subtraindo P (x, t) para ambos os membros da equação acima, após um rearranjo dos

termos, obtém-se

P (x, t+ 1)− P (x, t) =P (x+ 1, t)− 2P (x, t) + P (x− 1, t)

2

−αL

[[x+ 1−G(x+ 1)]P (x+ 1, t)− [x− 1−G(x− 1)]P (x− 1, t)

2

](5.2.14)

Para um t grande, podemos escrever L = ft e G(x) = x(1−f)t. Então, no limite assintótico,

tomando de maneira usual, podemos obter a equação de Fokker-Planck aproximada para

o propagador [73], ou seja,

Page 79: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 66

∂P (x, t)

∂t=

1

2

∂2P (x, t)

∂x2− α

L[(x−G(x))P (x, t)]

∂P (x, t)

∂t=

1

2

∂2P (x, t)

∂x2− α

ft[xtP (x, t)− x(1−f)tP (x, t)] (5.2.15)

Analisando a equação (5.2.15), o deslocamento x(1−f)t pode ser correlacionado

com o deslocamento x = xt através da função estocástica h1−f (x, t), então, x(1−f)t =

xh1−f (x, t). Usando essa definição, podemos calcular o valor médio de x(1−f)t como

〈xt−L〉 =

∫ +∞

−∞xh1−f (x, t)P (x, t)dx (5.2.16)

e, uma vez que, por definição, o valor médio de x(1−f)t é

〈xt−L〉 =

∫ +∞

−∞xP (x, [1− f ]t)dx (5.2.17)

Comparando as duas equações acima, podemos escrever

h1−f (x, t) =P (x, [1− f ]t)

P (x, t)+g1−f (x, [1− f ]t)

P (x, t)(5.2.18)

Aqui, g1−f (x, [1 − f ]t) é outra função estocástica que deve satisfazer∫ +∞−∞ xg1−f (x, [1− f ]t)dx = 0. Para f = 1 determinamos

h0(x, t) =P (x, 0)

P (x, t)+g0(x, 0)

P (x, t)(5.2.19)

onde, para x 6= 0, P (x, 0) = δx,0 = 0 e g0(x, t) = δx,0 = 0. Esta é a condição para h0 = 0, tal

que as equações (5.2.16) e (5.2.17) satisfaçam a condição inicial x0 = 0. Agora, usando as

equações (5.2.15) e (5.2.18), podemos escrever

∂P (x, t)

∂t=

1

2

∂2P (x, t)

∂x2− α

ft

∂x{xP (x, t)− x[P (x, [1− f ]t) + g1−f (x, [1− f ]t)]} (5.2.20)

Para λ → 0, primeiro determinamos, f = 1, que leva a equação Fokker-Planck de Schütz

e Trimper [58].

Page 80: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 67

Para encontrar o expoente de Hurst é necessário calcular o segundo momento.

Quanto ao primeiro momento, podemos, sem perda de generalidade, assumir que

g1−f (x, t) = 0, porque não afeta o valor médio 〈x(1−f)t〉. Entretanto, para o segundo mo-

mento não podemos ignorar essa função. O segundo momento pode ser escrito como

〈x2〉 = 〈x2(1−f)t〉+ 2〈x(1−f)t∆x〉+ 〈(∆x)2〉, (5.2.21)

onde ∆x = x − x(1−f)t. Para um caminhante aleatório tradicional, 〈x(1−f)t∆x〉 = 0, mas

é incorreto para sistemas com memória. Dessa forma, só é possível encontrar a relação

entre 〈x(1−f)t∆x〉 e g1−f (x, t), se conhecermos a função correlacionada 〈xx(1−f)t〉 dada por

〈xx(1−f)t〉 =

∫ +∞

−∞x2h1−f (x, t)P (x, t)dx

=

∫ +∞

−∞x2P (x, [1− f ]t)dx+

∫ +∞

−∞x2g1−f (x, [1− f ]t)dx

= 〈x2(1−f)t〉+

∫ +∞

−∞x2g1−f (x, [1− f ]t)dx (5.2.22)

com∫ +∞−∞ x2g1−f (x, [1− f ]t)dx 6= 0 no geral. A partir de

〈xx(1−f)t〉 = 〈(∆x+ x(1−f)t)x(1−f)t〉 = 〈x2(1−f)t〉+ 〈x(1−f)t∆x〉,

obtemos 〈x(1−f)t∆x〉 =∫ +∞−∞ x2g1−f (x, [1− f ]t)dx.

5.3 Resultados Numéricos

O ponto principal para observamos sobre os resultados analíticos é a natureza

não-Markoviana da caminhada aleatória. Para qualquer λ finito, a janela de memória

L = feff t cresce linearmente no tempo (e semelhante para ft no modelo simplificado).

Neste sentido técnico, a memória é escala-livre. É a ausência de uma escala característica

que torna impossível renormalizar esses modelos para recuperar a caminhada browniana

usual para todo λ ou f .

Os resultados numéricos foram obtidos via simulação computacional. O pro-

grama inicialmente calcula a posição média da partícula. Em seguida, o programa calcula

as médias, o primeiro e o segundo momento, sobre 104 caminhantes para 107 passos. Para

Page 81: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 68

gerar uma variável aleatória que obedeça a distribuição (5.1.1), é necessário fazer uma

transformação que irá converter a variável distribuída uniformemente na distribuição ci-

tada, equação (5.1.1). Esta transformação é essencial pois os compiladores normalmente

possuem geradores de números aleatórios com distribuição uniforme. Portanto, quando

é feito a transformação, a conversão da distribuição uniforme [0, 1] para a distribuição

(5.1.1) [0, t], a variável aleatória passa a ser dada por t′ = (t/λ)ln[(eλ − 1)x+ 1], onde x é o

gerador uniforme [0, 1].

O expoente de Hurst H para uma caminhada aleatória é definido pela relação de

escala 〈x2〉 ∼ t2H , no limite assintótico, t → ∞. A figura (5.3) exibe o comportamento do

expoente de Hurst H como função do parâmetro p para alguns valores de λ no modelo

de memória exponencial. Comparamos os casos extremos deste modelo com o resultado

analítico já conhecido, o modelo de caminhada do elefante, e com o resultado para a ca-

minhada aleatória tradicional browniana. A partir dos resultados numéricos observamos

a existência de uma transição da difusão normal (H = 1/2) para superdifusão (H > 1/2)

em p = 3/4 (solução exata do modelo do elefante). A figura inserida enfatiza a região

superdifusiva. Vemos claramente, através da figura ampliada, a superdifusão para uma

caminhada aleatória com memória exponencial.

A figura (5.4) mostra o comportamento do expoente de Hurst H em função de

ambos os parâmetros p e e−λ, para vários valores de λ. A figura (5.4a) exibe o comporta-

mento do modelo de memória exponencial, enquanto que a figura (5.4b) exibe o compor-

tamento do modelo simplificado. Para λ → ∞, o comportamento de ambos os modelos,

exponencial e simplificado, são semelhantes ao modelo de caminhada aleatório tradicio-

nal browniano. No entanto, para λ→ 0, os modelos, exponencial e simplificado, possuem

um comportamento similar ao modelo de caminhada do elefante.

Page 82: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 69

5.4 Estimativa Exata via Equações Transcendentais

Agora, vamos apresentar o tratamento analítico para o expoente de Hurst (H)

e a frequência de oscilação (B). Vamos utilizar os resultados apresentados nos trabalhos

[74, 75]. A equação (5.2.9) mostra a representação do valor esperado ou efetivo em função

do deslocamento x nos tempos t e t− L

vet+1 = α(xt − xt−L)

L

onde α = 2p − 1, pertencente ao intervalo [−1, 1] devido a p = [0, 1]. A posição no tempo

t+ 1 é escrita em função da valor esperado ou efetivo da seguinte forma

xt+1 = xt + vet+1.

Considerando uma expansão binomial, podemos expandir a equação acima da

seguinte forma

xnt+1 = (xt + vet+1)n =n∑l=0

(n

l

)(vet+1)lxn−lt (5.4.1)

Vamos considerar que caso l seja um valor par a (vet+1)l = 1, sendo l um valor ímpar

(vet+1)l = ve.

Para facilitar a manipulação com o somatório, vamos separá-lo em expoentes pa-

res e ímpares. De posse desses resultados, vamos somar as expansões contendo os termos

elevados a um expoentes par e ímpar. Antes disso, precisamos analisar a equação (5.4.1)

para a ordem da expansão nos casos em que n é um número par e quando este for ímpar.

O caso em que n é um valor par, devemos fazer a seguinte mudança de variável

nos índices superiores do somatório para os termos elevados a um expoente par, l = 2i,

onde i = {0, 1, 2, 3, ..., n2}, e para os termos elevados a um expoente ímpar, l = 2i+ 1, onde

i = {0, 1, 2, 3, ..., n2−1}. Dessa forma, as expressões para os termos elevados aos expoentes

pares e ímpares, respectivamente, ficam

xnt+1 = (xt + vet+1)n =

n2∑i=0

(n

2i

)xn−2it (5.4.2)

xnt+1 = (xt + vet+1)n =

n2−1∑i=0

(n

2i+ 1

)vex

n−(2i−1)t (5.4.3)

Page 83: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 70

Figura 5.3: O expoente de Hurst H em função do parâmetro p para o longo intervalo dememória no modelo correlacionado com memória decaimento exponencial. Os símbolosrepresentam numericamente os valores encontrados para o expoente de Hurst H em fun-ção dos valores de λ, que representa a medida do comprimento de memória. Para mostraras linhas de H versus p usamos spline cúbico. Os resultados analíticos conhecidos para omodelo de caminhada do elefante (modelo de memória mais longa possível) e a tradici-onal caminhada aleatória browniana, que não tem memória, são mostrados para feito decomparação através das linhas tracejada em azul e vermelho, respectivamente. O gráficoinserido mostra uma área ampliada da porção H > 1/2 da curva principal. Notamos umatransição da difusão normal (H = 1/2) para superdifusão (H > 1/2) em p = 3/4 (resul-tado exato para o modelo de caminhada do elefante). Vemos claramente que o modelode memória exponencial apresenta superdifusão (H > 1/2) para alguns de valores de λ,contrariando a crença comum que memória exponencial não pode dar origem a superdi-fusão.

Page 84: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 71

Figura 5.4: A figura (a) exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função deambos os parâmetros p e e−λ, para vários valores de λ, para o modelo de mémoria ex-ponencial. Na figura (b) o mesmo gráfico que no (a), mas para o modelo equivalente dememória retangular (simplificado). Para valores extremamente grandes de λ (λ → ∞)o comprimento de memória torna-se muito pequeno e o modelo se comporta como umcaminhante aleatório tradicional browniano. Para λ pequeno (λ → 0), o comprimento dememória tende para um perfil de memória cheia, recuperando o modelo de caminhadado elefante. Notamos que o modelo de memória exponencial e o modelo simplificado temessencialmente o mesmo comportamento, justificando o ansatz do mapeamento que usa-mos para conectar ambos os modelos. Notamos também que os dois modelos apresentamsuperdifusão.

Page 85: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 72

onde já foram utilizados os resultados vet+1 = 1 na equação (5.4.2), e na equação (5.4.3),

vet+1 = ve. Usando a seguinte identidade

(n

0

)= 1 na equação (5.4.2) e a

(n

1

)= n na

equação (5.4.3), quando isolamos os termos para i = 0. Então, o somatório nas expressões

começam a partir de i = 1,

xnt+1 = xnt +

n2∑i=1

(n

2i

)xn−2it (5.4.4)

xnt+1 = nvexn−1t +

n2−1∑i=1

(n

2i+ 1

)vex

n−(2i−1)t (5.4.5)

O caso para n sendo um valor ímpar, também vamos fazer uma mudança de va-

riável nos índices superiores do somatório, com uma pequena diferença do caso anterior,

para os termos do somatório elevados a um expoente par, l = 2i, onde i = {0, 1, 2, 3, ..., n−12},

e para os termos do somatório elevados a um expoente ímpar, l = 2i + 1, onde i =

{0, 1, 2, 3, ..., n−12}. A expressão para os termos elevados aos expoentes pares e ímpares,

respectivamente,

xnt+1 = (xt + vet+1)n =

n−12∑i=0

(n

2i

)xn−2it (5.4.6)

xnt+1 = (xt + vet+1)n =

n−12∑i=0

(n

2i+ 1

)vex

n−(2i−1)t (5.4.7)

onde também já utilizamos na equação (5.4.6), vet+1 = 1, e na equação (5.4.7), vet+1 = ve. O

procedimento análogo ao caso anterior, tomando o primeiro termo do somatório, i = 0,

e usando as identidades citadas anteriormente, as expressões (5.4.6) e (5.4.7) tornam-se,

respectivamente,

xnt+1 = xnt +

n−12∑i=1

(n

2i

)xn−2it (5.4.8)

xnt+1 = nvexn−1t +

n−12∑i=1

(n

2i+ 1

)vex

n−(2i−1)t (5.4.9)

O objetivo é encontrar a expansão total, mas antes precisamos ainda analisar o

Page 86: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 73

limite inferior e superior da equação (5.4.4), com a possibibilidade de escrever de forma

similar ao limite inferior e superior do somatório da equação (5.4.5). A sugestão é escrever

o somatório dessa forman2∑i=1

=

n2−1∑i=1

+

n2∑

i=n2

(5.4.10)

onde vamos usar a identidade binomial

(n/2

n/2

)= 1. Depois que aplicarmos (5.4.10) em

(5.4.4), então, podemos somar (5.4.4) com (5.4.5), lembrando que esse é o caso para n par,

em seguida, vamos somar (5.4.8) com (5.4.9) que é o caso para n ímpar,

xnt+1 = 1 + xnt +

n2−1∑i=1

(n

2i

)xn−2it + nvexn−1

t +

n2−1∑i=1

(n

2i+ 1

)vex

n−(2i+1)t (5.4.11)

xnt+1 = xnt +

n−12∑i=1

(n

2i

)xn−2it + nvexn−1

t +

n−12∑i=1

(n

2i+ 1

)vex

n−(2i+1)t (5.4.12)

Comparando as duas expressões (5.4.11) e (5.4.12), nota-se que elas exibem duas dife-

renças. A primeira diferença é observada na expressão para n par, equação (5.4.11), que

mostra o termo 1. A segunda diferença pode ser observada nos limites superiores dos

somatórios nas duas expressões. Para condensar as duas expressões em apenas uma, pro-

pomos duas sugestões, a primeira definir a variável ∆ = (1 + (−1)n)/2, para n par, ∆ = 1,

e para n ímpar, ∆ = 0. A segunda sugestão é definirmos uma outra variável para resol-

ver o problema dos limites superiores dos somatórios, S(n) = (n − ∆ − 1)/2, para n par,

S(n) = n2− 1, e para n ímpar, S(n) = n−1

n. O uso das duas sugestões e a combinação das

duas expressões (5.4.11) e (5.4.12), a expressão final fica

xnt+1 = xnt + ∆ + nvexn−1t +

S(n)∑i=1

[(n

2i

)xn−2it +

(n

2i+ 1

)vexn−(2i+1)

]. (5.4.13)

Calculando a média da expressão (5.4.13)

〈xnt+1〉 = 〈xnt 〉+ ∆ + 〈nvexn−1t 〉+

S(n)∑i=1

[(n

2i

)〈xn−2i

t 〉+

(n

2i+ 1

)〈vexn−(2i+1)〉

]. (5.4.14)

Page 87: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 74

Tomando o limite assintótico, t→∞,

d

dt〈xnt 〉 =

〈xnt+1〉 − 〈xnt 〉∆t

(5.4.15)

podemos pensar de forma analoga a definição de derivada de uma função, assumindo

que ∆t = 1. Dessa forma, a equação (5.4.14) fica

d

dt〈xnt 〉 = ∆ + n〈vexn−1

t 〉+

S(n)∑i=1

[(n

2i

)〈xn−2i

t 〉+

(n

2i+ 1

)〈vexn−(2i+1)〉

]. (5.4.16)

Substituindo o valor esperado ou efetivo ve = α(xt−xt−ft)/ft na equação (5.4.16), obtemos

a solução geral para a derivada da posição n−ésima média

d

dt〈xnt 〉 = ∆ + n

α

ft〈(xt − xt−ft)xn−1

t 〉

+

S(n)∑i=1

[(n

2i

)〈xn−2i

t 〉+

(n

2i+ 1

ft〈(xt − xt−ft)xn−(2i+1)〉

]. (5.4.17)

De posse dessa expressão (5.4.17), podemos obter o primeiro momento na forma diferen-

cial, n = 1,d

dt〈xt〉 =

α

ft〈xt − xt−ft〉 (5.4.18)

onde o somatório desaparece para o caso S(n) ≤ 0, ou seja, para n ≤ 2. A relação acima

ainda pode ser escrita da seguinte forma

d

dt〈xt〉 =

α

ft〈xt〉 −

α

ft〈xt−ft〉. (5.4.19)

Vamos assumir que a posição média pode ser representada pela expansão, do tipo

〈xt〉 =∑i

Aitδicos(Biln(t) + Ci). (5.4.20)

Em vez de usar a função cosseno, o trabalho usou a função seno [74]. A primeira derivada

da equação (5.4.20)

d

dt〈xt〉 =

∑i

Aitδi−1[δicos(Biln(t) + Ci)−Bisen(Biln(t) + Ci)]. (5.4.21)

Substituindo t por t(1− f) na equação (5.4.20), ficamos com a expansão para a posição no

Page 88: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 75

tempo passado t(1− f), dado por

〈xt(1−f)〉 =∑i

Ai[t(1− f)]δicos(Biln[t(1− f)] + Ci)

〈xt(1−f)〉 =∑i

Aitδi(1− f)δicos(Biln(t) +Biln(1− f) + Ci). (5.4.22)

Podemos usar a seguinte identidade trigonométrica cos(α + β) = cosαcosβ − senαsenβ,

onde definimos α = Biln(t) + Ci e β = Biln(1 − f). Então, substituindo a identidade

trigonométrica na equação (5.4.22), temos

〈xt(1−f)〉 =∑i

Aitδi(1− f)δi{cos(Biln(t) + Ci)cos(Biln(1− f)

−sen(Biln(t) + Ci)sen(Biln(1− f)} (5.4.23)

Substituindo as equações (5.4.20), (5.4.21) e (5.4.23) na equação (5.4.19), temos

∑i

Aitδi

[δit

cos(Biln(t) + Ci)−Bi

tsen(Biln(t) + Ci)

]=

α

ft

∑i

Aitδicos(Biln(t) + Ci)−

α

ft

∑i

Aitδi{(1− f)δicos(Biln(t) + Ci)×

cos(Bi(1− f))− (1− f)δisen(Biln(t) + Ci)sen(Biln(1− f))}. (5.4.24)

Comparando o lado esquerdo e direito da igualdade da equação (5.4.24), em seguida,

considerando os termos dominantes da expansão que multiplicam cos(Biln(t) + Ci) e

sen(Biln(t) + Ci), obtemos um sistema de equação transcendentais para o qual devemos

resolver para as variáveis de oscilação B e para expoente δ,

δ =α

f{1− (1− f)δcos[Bln(1− f)]} (5.4.25)

B =α

f(1− f)δsen[Bln(1− f)]. (5.4.26)

Vamos resolver o sistema de equações transcendentais encontrando uma equação para a

frequência de oscilação B e em seguida para o expoente δ, veja

δ =α

f− α

f(1− f)δcos[Bln(1− f)]

α

f− δ =

α

f(1− f)δcos[Bln(1− f)]. (5.4.27)

Page 89: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 5. Modelo de Memória Exponencial 76

Vamos dividir (5.4.27) por (5.4.26), depois, isolamos δ e substituímos na equação (5.4.26)

para chegarmos à equação da frequência de oscilação

B =α

f(1− f)

αf− B

tg[Bln(1−f)] sen(Bln(1− f)). (5.4.28)

Isolando a função cosseno na equação (5.4.25) e a função seno na equação (5.4.26). Ele-

vando ambos os membros das equações ao quadrado e usando a identidade trigonomé-

trica cos2θ + sen2θ = 1, podemos encontrar a seguinte relação

(Bf

α

)2

+

(1− δf

α

)2

= (1− f)2δ. (5.4.29)

Vamos agora isolar B na equação (5.4.29), e depois, substituí-lo na equação (5.4.27), para

obtermos a equação para o expoente δ

B =α

f

√(1− f)2δ −

(1− δf

α

)2

(5.4.30)

δ =α

f

1− (1− f)δcos

αf

√(1− f)2δ −

(1− δf

α

)2

ln(1− f)

. (5.4.31)

Os resultados numéricos mostraram que o modelo exponencial não apresenta superdi-

fusão log-periódica para a região p > 1/2, isto é, B = 0. Portanto, se substituímos na

equação (5.4.29) o valor de B = 0, a equação fica δ = (α/f){1− (1− f)δ}. Para valores de

1/2 < δ < 1, vamos fazer H = δ. Então, o conjunto de valores para o expoente de Hurst

de forma analítica e a frequência de oscilações log-periódica na região α > 0 (p > 1/2,

α = 2p− 1) e 0 < f < 1, é obtido a partir das expressões

H =α

f{1− (1− f)H} (5.4.32)

B = 0. (5.4.33)

Page 90: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

CAPITULO 6

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

6.1 Comentários Finais

Neste trabalho, apresentamos um modelo de caminhada aleatória com memória

exponencial. Os modelos de caminhada aleatória com memória (isto é, correlação tempo-

ral), total ou parcial, apresentam superdifusão (H > 1/2). A superdifusão é consequência

dos modelos serem genuinamente não-Markovianos. A caminhada aleatória superdifu-

siva pode ser classificada em persistência clássica quando H > 1/2 para p > 1/2, e persis-

tência log-periódica, H > 1/2 para p < 1/2 [74]. O modelo de caminhada do elefante [59]

apresenta persistência clássica. No entanto, o modelo de caminhada com alzheimer [60]

apresenta persistência clássica e log-periódica. Quanto ao modelo com memória com o

perfil gaussiano [61], são encontrados a persistência clássica e log-periódica. O modelo de

memória com o perfil gaussiano mostrou que recordar-se dos passos iniciais no instante

t = 0 não é um ingrediente essencial para a caminhada aleatória apresentar persistência

log-periódica.

O modelo com memória exponencial, aparentemente, não era para apresentar su-

perdifusão (persistência clássica). No entanto, mostramos que é possível para um cami-

nhante aleatório com memória exponencial exibir difusão anômala. O ingrediente ne-

cessário para a ocorrência desse fenômeno está relacionado a constante de decaimento

exponencial ser dependente do tempo. O recíproco da constante de decaimento ter uni-

dades de tempo é, na verdade, quantificar a escala de tempo característico (por exemplo,

77

Page 91: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 6. Conclusões e Perspectivas 78

semelhante o tempo de meia-vida do decaimento radioativo).

Os resultados numéricos via simulação computacional mostraram que o modelo

com memória exponencial apresenta persistência clássica, isto é, superdifusão (H > 1/2)

para p > 3/4. Entretanto, para p < 1/2, o modelo não apresentou persistência log-

periódica. A figura (5.3) mostra através de símbolos, para cada λ, os valores para o ex-

poente de Hurst encontrados numericamente. Além disso, essa figura ainda mostra uma

comparação do modelo exponencial com o modelo de caminhada do elefante (linha tra-

cejada na cor azul) e o modelo tradicional browniano (linha tracejada na cor vermelha).

Percebemos que para valores de λ pequeno, o modelo exponencial apresenta um compor-

tamento similar ao modelo de caminhada do elefante. Para valores de λ grande, o modelo

é similar ao modelo tradicional browniano. A figura (5.4) mostra uma comparação en-

tre o modelo exponencial e simplificado. Notamos que os dois modelos são semelhantes,

embora apresentem uma ligeira diferença, dependendo do valor de λ. De posse desse re-

sultado, foi possível mapear o modelo de memória exponencial no modelo simplificado,

isto é, L = feff t, onde f = feff = [(1 − e−λ)/λ]. Esse mapeamento nos proporcionou

estimar a solução analítica via equação de Fokker-Planck. A equação de Fokker-Planck

para modelo exponencial foi encontrada e atende através das condições, λ→ 0 e f = 1 , o

caso exato para o modelo de memória total [58].

O modelo com mémoria exponencial estabelece claramente um ingrediente neces-

sário para difusão anômala em caminhadas aleatórias, cujo tamanho dos passos possuem

variância finita. Variância infinita dos passos, leva para uma distribuição do tipo voo de

Lévy. Portanto, o decaimento do tipo lei de potência não é um ingrediente necessário para

obter difusão anômala.

No movimento browniano fracionado [76] e a caminhada aleatória no tempo con-

tínuo superdifusiva, as correlações distantes tornam-se infinitas. Da mesma forma, um

tipo de processo não-renovado, resultado das correlações no tempo de espera ou do com-

primento dos saltos na caminhada aleatória no tempo contínuo (CATC), podem levar ao

tal efeito. Tais componentes não-renováveis são vistas nos estudos de generalizações re-

centes [77, 78] de modelos de caminhada aleatória, levando a difusão anômala de am-

bos subdifusiva e superdifusiva. No estudo sobre o modelo de memória exponencial,

o inverso da constante t/λ é linear no tempo e, consequentemente, diverge. Portanto,

o teorema do limite central não pode ser aplicado mesmo renormalizando o modelo de

caminhada aleatória.

Page 92: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 6. Conclusões e Perspectivas 79

6.2 Perspectivas para o futuro

Com relação as perspectivas sobre o modelo de memória exponencial, o nosso

pensamento é desenvolver a solução analítica para encontrar o conjunto de valores para o

expoente de Hurst. Já iniciamos esse procedimento na seção (5.4). Utilizamos como ponto

de partida a notação usada pelo trabalho [74]. Conseguimos encontrar duas equações,

uma delas se refere ao termo periódico, frequência B, equação (5.4.30) e a outra equação

(5.4.31) é a relação para o expoente δ. O expoente δ irá fornecer os possíveis valores para

o expoente de Hurst. A equação para o parâmetro B está relacionado com a caracterís-

tica da log-periodicidade que alguns modelos com memória apresentaram no feedback

negativo, região p < 1/2, ou seja, o expoente de Hurst é H > 1/2. Os nossos resulta-

dos numéricos do modelo com memória exponencial não apresentaram a característica

de log-periodicidade. O resultado analítico encontrado, equação (5.4.33), pode fornecer

uma estimativa para os valores do expoente de Hurst, na região onde B = 0. Nessa região

não existe log-periodicidade. Lembrando que toda a análise analítica feita na seção (5.4)

precisa ser verificada com mais profundidade.

Uma outra perspectiva para o modelo com memória exponencial seria traba-

lhar uma abordagem estatística para modelo. Vamos aplicar as ideias da estatística não-

extensiva de Constantino Tsallis [79, 80]. O ponto de partida da abordagem estatística

seria calcular a entropia generalizada

Sq[p] = {1−∫

[p(x)]qdx}/(q − 1). (6.2.1)

Maximizando a entropia com a imposição de que o vínculo seja finito∫x2[p(x)]2dx (6.2.2)

e também com a exigência de ∫p(x)dx = 1. (6.2.3)

Notamos que para calcular a expressão da entropia é essencial conhecer a distribuição p(x)

que maximiza a entropia sujeita aos vínculos. Um vez encontrada a relação para a entro-

pia, podemos explorar parâmetros macroscópicos relacionados ao modelo com memória

exponencial. É ensinado no curso de mecânica estatística que a entropia é uma grandeza

que conecta as propriedades termodinâmicas com um ensemble. Portanto, obtendo a rela-

Page 93: o paradoxo da superdifusão de uma caminhada aleatória com ...

Capitulo 6. Conclusões e Perspectivas 80

ção para a entropia generalizada, podemos investigar as propriedaddes termodinâmicas

do modelo com memória exponencial.

A última perspectiva seria trabalharmos a função distribuição de probabilidade

invertida P (t′) ∝ eλ(t−t′)

t . Esperamos que essa função distribuição de probabilidade apre-

sente superdifusão log-periódica.

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ANEXO 1: COPIA DE ARTIGO

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J. Stat. Mech. (2014) P04026

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ech.(2014)P04026

ournal of Statistical Mechanics:An IOP and SISSA journalJ Theory and Experiment

Superdiffusion driven by exponentiallydecaying memory

G A Alves1,2, J M de Araujo1, J C Cressoni3,4,L R da Silva1, M A A da Silva3 and G M Viswanathan1

1 Departamento de Fısica Teorica e Experimental, Universidade Federal doRio Grande do Norte, 59078-900, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil2 Departamento de Fısica, Universidade Estadual do Piauı, 64002-150,Teresina, Piauı, Brazil3 Departamento de Fısica e Quımica, FCFRP, Universidade de Sao Paulo,14040-903, Riberao Preto, Sao Paulo, Brazil4 Instituto de Fısica, Universidade Federal de Alagoas, 57072-970, Maceio,Alagoas, BrazilE-mail: [email protected], [email protected],[email protected], [email protected], [email protected] [email protected]

Received 29 January 2014Accepted for publication 6 March 2014Published 25 April 2014

Online at stacks.iop.org/JSTAT/2014/P04026doi:10.1088/1742-5468/2014/04/P04026

Abstract. A superdiffusive random walk model with exponentially decayingmemory is reported. This seems to be a self-contradictory statement, since it iswell known that random walks with exponentially decaying temporal correlationscan be approximated arbitrarily well by Markov processes and that central limittheorems prohibit superdiffusion for Markovian walks with finite variance ofstep sizes. The solution to the apparent paradox is that the model is genuinelynon-Markovian, due to a time-dependent decay constant associated with theexponential behavior.

Keywords: phase transformations (theory), stochastic processes (theory),diffusion

c© 2014 IOP Publishing Ltd and SISSA Medialab srl 1742-5468/14/P04026+10$33.00

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

Contents

1. Introduction 2

2. Model 3

3. Results 4

4. Discussion and conclusion 7

Acknowledgments 9

References 9

1. Introduction

Diffusion processes and random walks have been extensively used to describe importantphenomena in many areas, such as physics, chemistry and biology [1]. The random walkand its generalization, the continuous time random walk model introduced by Montrolland Weiss in 1965 [2], are important tools for the study of many physical phenomena,such as in disordered media [3]–[6], earthquake modeling [7] and financial markets [8].

A basic fact which physicists learn early in their careers is that exponentiallydecaying correlations cannot lead to long-range order. For example, the Ising modelwith nearest neighbor interactions in one dimension cannot sustain long-range orderat nonzero temperatures [9]. For the same reason, random walks with exponentiallydecaying correlations and whose step sizes have finite variance behave similarly to standarduncorrelated Brownian random walks at long times, with the mean squared displacementscaling linearly with time. Moreover, any random walk model with exponentially decayingmemory can be modeled as an n-step Markov process, i.e. a Markov process in which thecurrent transition probability depends only on the previous n steps taken. No matterhow large we choose n, at long times the mean squared displacement necessarily scaleslinearly in time because of the central limit theorem. Specifically, at large times thememory becomes negligible so that upon renormalizing, i.e. coarse-graining, one recoversthe uncorrelated Brownian random walk as a fixed point attractor of the renormalizationflow map, so anomalous diffusion [10]–[19] is not possible. These are well known facts. Itwas thus a surprise to us when we found an apparent counter-example. We report here arandom walk model with exponentially decaying memory which is superdiffusive even atlong times, i.e. the mean squared displacement grows superlinearly in time, rather thanlinearly.

The resolution of the (apparent) paradox reveals a gap in how the subject is usuallyconsidered. Indeed, we show by construction that it is in fact possible to have a genuinelynon-Markovian random walk model with exponentially decaying memory, provided thatthe decay constant is time-dependent.

doi:10.1088/1742-5468/2014/04/P04026 2

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

2. Model

The model we study is a variant of the so-called elephant random walk (ERW) modelproposed by Schutz and Trimper [20]. The random walker keeps a record of the entirehistory of the walk, so that the walk is non-Markovian in principle. Many variants ofthis model have been proposed, such as the ‘Alzheimer walk’ model which led to theunexpected findings of amnestically induced superdiffusion and log-periodic superdiffusion(e.g., see [14]). Here, we propose a model with an exponentially decaying memoryprofile. This model is inspired by another recently proposed model [21] which had a(truncated) Gaussian memory profile. In this work we essentially replace the Gaussianby an exponential.

The ERW model, using the notation introduced in [20], starts at the origin at timet0 = 0 and retains memory of its complete history. In each time step the walker movesone step to either the right or the left, i.e.,

xt+1 = xt + vt+1 (1)

where vt+1 represents a stochastic noise with two-point autocorrelations (i.e. memory).The walker can remember the entire history of prior random walk step directions {vt′}for t′ ≤ t. At time t, one randomly chooses a random time 1 ≤ t′ ≤ t with equal a prioriprobabilities. The current step direction vt is then chosen based on the value of vt′ as

vt+1 =

{+vt′ , with probability p−vt′ , with probability 1− p. (2)

Without loss of generality, it is assumed that the first step always goes to the right, i.e.v1 = +1. The position at time t thus follows

xt =t∑

t′=1

vt′ (3)

and the second moment is given by

〈x2t 〉 =

t/ (3− 4p) , p < 3/4t ln t, p = 3/4t4p−2/ [(4p− 3)Γ(4p− 2)] , p > 3/4

(4)

which are exact relations valid in the asymptotic limit. The ERW presents a superdiffusiveregime (p > 3/4) and a localized regime (p < 3/4), with p = 3/4 being marginallysuperdiffusive. Interestingly, for 1/2 < p < 3/4, the square of the mean does diverge, butmore slowly than the mean square displacement, so that the behavior remains diffusive.This regime is termed an escape regime with a mean displacement given by 〈xt〉 ∼ t2p−1.The exact propagator is reported to be a Gaussian distribution [20], i.e.,

P (x, t) =1√

4πD(t)exp

(−(x− 〈x(t)〉)2

4tD(t)

)(5)

where D(t, p) = (1/8p−6)[(t/t0)4p−3−1] is the time- and p-dependent diffusive coefficient.Within the superdiffusive regime the distribution has been found to be non-Gaussian [24].

doi:10.1088/1742-5468/2014/04/P04026 3

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

In this paper, we focus on a random walker with the ability to recall previous events,but with more recent events remembered more frequently—or easily—than those fromthe more distant past. We shall refer to this model as the exponential memory model.While in the ERW model the previous time t′ is chosen from a uniform distribution, inthe exponential memory model t′ is randomly chosen from an exponential probabilitydistribution. The probability of choosing a previous time t′ is then given by

Pλ(t′, t) = A exp

[−λ(t− t′)

t

], (6)

where A is a normalization constant. The parameter λ adjusts the shape of the exponentialdistribution in the usual manner, but unlike typical decay constants λ is adimensional.

Unfortunately, this model does not yet have a known exact solution. Nevertheless, anapproximate solution can be found by assuming that the exponential memory patterncan be mapped onto an equivalent memory profile with a—smaller—rectangular windowsize. Within our approach, this basic ansatz is necessary to get an approximate exactsolution to the non-Markovian exponential memory model. Its validity is supported bythe numerical results shown below. A non-Markovian rectangular memory profile modelhas a fixed memory size L = ft, where 0 < f < 1 is a new parameter that fixes thesize of the memory. The probability of choosing a previous t′ is given simply by 1/L for(1− f)t < t′ ≤ t, and zero otherwise. This memory profile is flat, or constant, and has theshape of a rectangle instead of an exponential, such that the more ancient memories, i.e.,those that occurred prior to time (1−f)t, are forgotten. The random walker can thereforerecall only a fraction f of the more recent steps.

3. Results

The main idea now is to determine an effective fraction feff(λ) which makes the modelwith a rectangular memory pattern with f = feff behave just the same as the exponentialmemory model with a given λ. Then the Fokker–Planck equation should be equivalent forboth models, following the ideas discussed in [23]. We can define the memory’s effectivelength for the exponential memory model by

L ≡∫ t

0

[Pλ(t′, t)/Pmax(t′, t)] dt′ (7)

where Pmax(t′, t) is the maximum value of Pλ(t′, t). Using (6) we get

L =

∫ t

0

e−λ(t−t′)/t dt′ =

(1− e−λ

λ

)t (8)

which gives, using L = fefft,

feff = (1− e−λ)/λ. (9)

Equation (9) is the key result that allows us to perform the mapping between thetwo models and achieve an approximate solution for the exponential memory model byreducing it to a rectangular memory model. We shall refer to the model with a rectangular

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

memory profile with L = fefft as the simplified model. This model has already been studiedbefore [22], and its solution can provide a good analytical solution for the exponentialmemory model. The analytical solution can be obtained by first defining nf(t) and nb(t)as the numbers of steps taken forward and backward, respectively, up to a given timet. Therefore, the total number of steps taken forward within the time interval [t − L, t]can be written as ∆nf = nf(t) − nf(t − L). Similarly, the total number of steps takenbackward in the same time interval is written as ∆nb = nb(t) − nb(t − L). Thus, theeffective probabilities of taking a step forward and backward, i.e., P+

eff(t, x) and P−eff(t, x),respectively, for t > 0 are given by

P+eff(t, x) = (∆nf/L)p+ (∆nb/L)(1− p) (10)

P−eff(t, x) = (∆nb/L)p+ (∆nf/L)(1− p). (11)

Taking the difference between equations (10) and (11), with nf(t) + nb(t) = t andnf(t − L) + nb(t − L) = t − L, we obtain an expression for the effective, or expected,value of v at time t+ 1, i.e.,

vefft+1 = P+

eff(t, x)− P−eff(t, x). (12)

Therefore, we can write ∆nf + ∆nb = L and xt = nf(t) − nb(t) + x0, and also x(t−L) =nf(t − L) − nb(t − L) + x0, which gives xt − x(t−L) = ∆nf − ∆nb. Then we have ∆nf =[L+xt−x(t−L)]/2 and ∆nb = [L− (xt−x(t−L))]/2. We can thus rewrite equation (12) as

vefft+1 = α

xt − x(t−L)

L(13)

where α = 2p− 1.

The conditional probability that the walker is at the position x at time t+ 1 given theearlier position x0 at t = 0 is given by

P (x, t+ 1|x0, 0) = P (x+ 1, t|x0, 0)P−(t, x+ 1) + P (x− 1, t|x0, 0)P+(t, x− 1). (14)

Now using ∆nf +∆nb = L and ∆nf−∆nb = xt−xt−L = x−G(x) and also the definitions(10) and (11) again, we obtain

P+eff(t, x) =

1

2

[1 + α

(x−G(x))

L

](15)

P−eff(t, x) =1

2

[1− α(x−G(x))

L

]. (16)

Substitution of equations (15) and (16) into (14) gives

P (x, t+ 1|x0, 0) =1

2

[1− α(x+ 1−G(x+ 1))

L

]P (x+ 1, t|x0, 0)

+1

2

[1 +

α(x− 1−G(x− 1))

L

]P (x− 1, t|x0, 0).

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

We now introduce the notation P (x − x0, t − t0) for the propagator P (x, t|x0, t0). Bysubtracting P (x, t) from both sides of the expression above we obtain

P (x, t+ 1)− P (x, t) =P (x+ 1, t)− 2P (x, t) + P (x− 1, t)

2

−αL

[[x+ 1−G(x+ 1)]P (x+ 1, t)− [x− 1−G(x− 1)]P (x− 1, t)

2

].

For large t we can write L = ft and G(x) = x(1−f)t. Thus, in the continuum limit, takenin the usual manner, we can obtain an approximated FP equation for the propagator [24],i.e.,

∂P (x, t)

∂t=

1

2

∂2P (x, t)

∂x2− α

ft

∂x

[xP (x, t)− x(1−f)tP (x, t)

]. (17)

The displacement x(1−f)t in equation (17) can be correlated with the displacement x = xtby writing x(1−f)t = xh1−f (x, t), which defines the stochastic function h1−f (x, t). Noticethat this function can assume non-positive values. Using this definition, we can write themean value of x(1−f)t as

〈x(1−f)t〉 =

∫ +∞

−∞xh1−f (x, t)P (x, t) dx (18)

and since by definition the mean value of x(1−f)t is

〈x(1−f)t〉 =

∫ +∞

−∞xP (x, (1− f)t) dx (19)

we can write

h1−f (x, t) =P (x, [1− f ]t)

P (x, t)+g1−f (x, [1− f ]t)

P (x, t). (20)

Here, g1−f [x, (1 − f)t] is another stochastic function which must satisfy∫ +∞−∞ xg1−f (x,

(1− f)t) dx = 0. For f = 1 we obtain

h0(x, t) =P (x, 0)

P (x, t)+g0(x, 0)

P (x, t)(21)

where, for x 6= 0, P (x, 0) = δx,0 = 0 and g0(x, t) = δx,0 = 0. This is the condition forh0 = 0, such that equations (18) and (19) satisfy the initial condition x0 = 0. Now usingequations (17) and (20), we can write

∂P (x, t)

∂t=

1

2

∂2P (x, t)

∂x2− α

ft

∂x{xP (x, t)− x[P (x, [1− f ]t) + g1−f (x, [1− f ]t)]}. (22)

For λ→ 0, one obtains f = 1, which leads to the FP equation of Schutz and Trimper [20].

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

Figure 1. The Hurst exponent H as a function of the parameter p for thelong-range memory correlated model with exponentially decaying memory. Thesymbols represent numerically evaluated values for the Hurst exponent for severalvalues of λ, which represents a measure of the memory length. Cubic splines wereused to draw the H versus p lines. Known analytic results for the elephant randomwalk (ERW) (longest possible memory model) and the traditional Brownianrandom walk (RW), which has no memory, representing extreme cases of memorylength, are also shown for comparison as dashed blue and red lines, respectively.The inset shows a zoomed area of the H > 1/2 portion of the main curve. Wenotice a transition from normal diffusion (H = 1/2) to superdiffusion (H > 1/2)for p = 3/4 (exact result for the ERW model). We clearly see that the exponentialmemory model presents superdiffusion (H > 1/2) for a range of values of λ,contradicting the common belief that exponential memory cannot give rise tosuperdiffusion.

4. Discussion and conclusion

The main point to note in the above analytical results is the non-Markovian nature of therandom walk. For any finite λ, the memory window L = fefft grows linearly in time (andsimilarly for ft in the simplified model). In this technical sense, the memory is scale-free.It is the absence of a characteristic time scale that makes it impossible to renormalizethese models to recover the usual Brownian random walk for all λ or f .

We now discuss the numerical results. The Hurst exponent H for a random walk withdrift is defined by the scaling relation 〈(x− 〈x〉)2〉 ∼ t2H at suitably long times. Here, weuse the simpler definition 〈x2〉 ∼ t2H , which is valid as long as the mean grows in time lessquickly than the standard deviation. In the figures that follow, the averages are calculatedover 104 walks of length 107.

Figure 1 shows the behavior of the Hurst exponent H as a function of the parameterp for some values of λ for the exponential memory model. We compare the extreme casesof this model with the known analytical results for the ERW model and the results forthe traditional random walk (RW). From the simulation results we observe the existenceof a transition from normal diffusion (H = 1/2) to superdiffusion (H > 1/2) for p = 3/4(exact solution of the ERW model). The inset emphasizes the superdiffusive region. Weclearly see superdiffusion for the random walker with exponentially decaying memory.

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

Figure 2. (a) Plot of the Hurst exponent H as a function of both the parameterp and e−λ for several values of λ, for the exponential memory model. (b) Thesame as (a) but for the equivalent rectangular memory model. For large valuesof λ (λ → ∞) the memory length becomes very small and the model behaveslike the traditional random walk (RW). For λ small (λ→ 0), the memory lengthtends to the full memory profile, recovering the elephant random walk (ERW)model. Notice how the exponential memory model and the simplified modelhave essentially the same behavior, justifying the mapping ansatz that we useto connect the two models. Notice also that the two models allow superdiffusion.

Figure 2 shows the Hurst exponent H as a function of both the parameter p ande−λ, for several values of λ. Figure 2(a) displays the behavior of the exponential memorymodel, whereas figure 2(b) exhibits the behavior of the simplified model. For λ→∞, thebehaviors of both the exponential and rectangular memory profile models are similar tothat of the traditional RW. However, for λ→ 0, both models behave like the ERW model.

In conclusion, we have shown that it is possible for a random walk to have exponentialmemory decay and still display anomalous diffusion. The necessary ingredient is that theexponential decay constant must be time-dependent. The reciprocal of the decay constanthas units of time, and indeed it quantifies a characteristic time scale (e.g., similarly to themean lifetime in radioactive decay). In the above models this time scale grows linearly withtime, so that even at long times, there are significant correlations for small λ. Thereforethe random walk is never able to make the crossover to a Markovian regime. This nuance

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Superdiffusion driven by exponentially decaying memory

for allowing order even with exponentially decaying correlations is actually a general ideaand is not restricted to random walks. Consider again the example of the 1D Ising modelmentioned earlier. Assuming that the correlations decay approximately as ∼exp[−βJN ],where β = 1/kBT , we can estimate the correlation length to be of the order of magnitudeof (βJ)−1. We can thus find a temperature that is sufficiently low for such a finite systemto be significantly correlated, i.e., to have order of the scale of the system size. However, ifwe allow ourselves to lower the temperature T (i.e., increase β) as we increase the systemsize while maintaining βJ/N constant, then we can keep the spins correlated no matterhow large the system is. In the thermodynamic limit, of course, the temperature necessaryto sustain order over the entire system drops to T = 0, as it should. However, for any finitesystem there is a positive temperature at which the spins become significantly correlated.

We close by establishing clearly the necessary ingredient to have anomalous diffusion inrandom walks whose step sizes have finite variance. (Infinite variance of steps can lead toLevy flights, which is a distinct and separate deep topic, beyond the scope of this article.)We have already shown that explicit power law decay is not a necessary ingredient.

As is well known in the literature, the necessary ingredient is for some characteristictime scales of the random walk to diverge in time. In fractional Brownian motion [25, 26]and in subdiffusive continuous time random walks, for example, the correlation distancesbecome infinite. Similarly, a non-renewal type of process, resulting from correlations inwaiting times or jump lengths in continuous time random walks (CTRWS), can lead tosuch effects. Such non-renewal components are seen in studies of a recent generalization[27, 28] of random walk models, leading to anomalous diffusion of both sub- andsuperdiffusion type. In the exponential memory model studied above, the inverse decayconstant t/λ is linear in time and hence diverges. The central limit theorem cannottherefore be applied, even for the renormalized random walk model.

Acknowledgments

We thank CAPES-REUNI and CNPq and acknowledge the research carried out with theaid of the High Performance Computer System of the International Institute of Physics—UFRN, Natal, Brazil. JCC and MAAS thank FAPESP (Grants nos 2011/13685-6 and2011/06757-0).

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