O problema da árvore geradora com muitas folhasra115137/diss/apresentacao.pdf · 2015. 2. 2. · O...

Laboratório de Otimizaçãoe Combinatória

O problema da árvore geradora com muitas folhas

Dissertação de MestradoAluno: Márcio Félix Reis

Orientador: Prof. Dr. Orlando Lee

8 de maio de 2014

Este projeto teve apoio da CAPES.


Agenda

1 Introdução

2 Preliminares

3 Algoritmos aproximados

4 Algoritmos aproximados para grafos cúbicos

5 Algoritmo exato

6 Experimentos e resultados

7 Conclusões

Márcio F. Reis (IC/Unicamp) 8 de maio de 2014 2 / 63


Introdução

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões



Introdução

Problema da árvore geradora com muitas folhas(PAGMF)

Problema: Dado um grafo, encontrar uma árvore geradora de comnúmero máximo de folhas.



Introdução

Aplicações e objetivo

Aplicações:I Redes de computadores.I Sistemas distribuídos.I Layout de circuitos.

NP-difícil [Garey e Johnson, 1979].

Objetivo:I Estudar algoritmos de aproximação para o PAGMF e um caso

particular.I Verificar o comportamento na prática dos algoritmos.



Preliminares

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões



Preliminares

Algoritmos de aproximação

Seja A um algoritmo e I uma instância viável,val(A(I)) é o valor de uma solução viável devolvida por A,

opt(I) é o valor da solução ótima,

A é um algoritmo de aproximação com fator α seval(A(I)) ≤ αopt(I),∀ I.

α é um valor em função do tamanho da entrada.


opt(I) val(A(I)) αopt(I)


Preliminares

Esquema de aproximação

É um algoritmo que recebe um parâmetro ε positivo e uma instância Ie devolve uma solução viável A(ε, I) tal que

val(A(ε, I)) ≤ (1 + ε)opt(I), ∀ I.

Esquema de aproximação polinomial .

Geralmente é o que queremos.

PAGMF é APX-difícil [Galbiati, Maffioli e Morzenti, 1994].


opt(I) val(A(ε, I)) (1 + ε)opt(I)


Preliminares

Algoritmos de α-aproximação

[Lu e Ravi, 1996]:I α = 3, O(n7).

I α = 5, O(n4).

[Lu e Ravi, 1998]:I α = 3.

I Quase linear.

[Solis-Oba, 1998]:I α = 2.

I Algoritmo guloso.



Preliminares

Algoritmos de α-aproximação para casos particulares

Grafos cúbicosNP-difícil [Lemke, 1988].

APX-difícil [Bonsma, 2011].

α = 7/4 [Lorys e Zwozniak, 2002].

α = 5/3 [Correa, Fernandes, Matamala e Wakabayashi, 2007].

α = 3/2 [Bonsma e Zickfeld, 2008].



Preliminares

Grafos bipartidosProblema: dados um grafo bipartido e X,Y conjuntos de umapartição, encontrar uma árvore geradora, tal que o número defolhas em X é máximo.

NP-difícil [Li e Toulouse, 2006].

Grafos k-regulares bipartidosNP-difícil para k ≥ 4 [Fusco e Monti, 2007].

Algoritmo guloso, α = 2− 2(k−1)2 [Fusco e Monti, 2007].

I Para k = 3, α = 3/2.



Preliminares

Grafos bipartidosProblema: dados um grafo bipartido e X,Y conjuntos de umapartição, encontrar uma árvore geradora, tal que o número defolhas em X é máximo.

NP-difícil [Li e Toulouse, 2006].Grafos k-regulares bipartidos

NP-difícil para k ≥ 4 [Fusco e Monti, 2007].

Algoritmo guloso, α = 2− 2(k−1)2 [Fusco e Monti, 2007].

I Para k = 3, α = 3/2.



Preliminares

Uma variante

Grafos orientadosO que se procura é uma arborescência geradora enraizada em rcom número máximo de folhas.

I r é um vértice na arborescência com grau de entrada igual a 0.

I folha é um vértice na arborescência com grau de saída igual a 0.

α = O(√OPT ) [Drescher e Vetta, 2010].

α = 92 [Daligault e Thomassé, 2009].

Grafos orientados acíclicosα = 4 e α = 2 [Schwartges, Spoerhase e Wolff, 2012].



Preliminares

Uma variante

Grafos orientadosO que se procura é uma arborescência geradora enraizada em rcom número máximo de folhas.

I r é um vértice na arborescência com grau de entrada igual a 0.

I folha é um vértice na arborescência com grau de saída igual a 0.

α = O(√OPT ) [Drescher e Vetta, 2010].

α = 92 [Daligault e Thomassé, 2009].Grafos orientados acíclicos

α = 4 e α = 2 [Schwartges, Spoerhase e Wolff, 2012].



Preliminares

Problema do Conjunto Conexo Dominante Mínimo(PCCDM)

Sejam G um grafo conexo e S um conjunto de vértices de G.

S é dominante se ∀ v 6∈ S ⇒ ∃ uv ∈ E(G), u ∈ S.

S é conexo se induz um subgrafo conexo.

ProblemaDado um grafo, encontrar um conjunto conexo dominante decardinalidade mínima.



Preliminares

Exemplo



Preliminares

RelaçãoSolução do PCCDM e solução do PAGMF

Acredita-se que não existe algoritmo de aproximação com fatorconstante para o PCCDM [Guha e Khuller, 1998].



Algoritmos aproximados

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões




Algoritmo 5-aproximado [Lu e Ravi, 1996]

Exemplo:

2-mudanças.




Algoritmo 3-aproximado [Lu e Ravi, 1998]

Seja T uma árvore de G. Dizemos que T é frondosa se V̄3(T ) énão vazio e todo vértice em V2(T ) é adjacente a exatamente doisvértices de V̄3(T ).




Definições

Uma floresta F de G é frondosa se é composta por árvoresfrondosas disjuntas de G.

F é frondosa maximal se não é subgrafo de outra florestafrondosa de G.




Algoritmo

Exemplo:




Algoritmo

Exemplo:

T0




Algoritmo

Exemplo:

T0 T1




Fator de aproximação

Lema 3.1

Seja T uma árvore frondosa de G. Então |V (T )| ≤ 3|V1(T )| − 5.

depoisantes




Fator de aproximação

Lema 3.2

Seja F uma floresta frondosa maximal de G que é composta por kárvores frondosas disjuntas T1, . . . , Tk de G. Então

|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1

para qualquer árvore geradora T ′ de G.




Fator de aproximaçãoLema 3.3

Seja F uma floresta de G que tem k árvores não unitárias disjuntas.Seja T uma árvore geradora de G tal que F é um subgrafo de T .Então |V1(T )| ≥ |V1(F )| − 2(k − 1).

x1

x2

x3 x4

T1 T2 T3




Fator de aproximação|V (T )| ≤ 3|V1(T )| − 5 (lema 3.1)Pelo lema 3.1 sabemos que

|V (F )| =k∑

i=1|V (Ti)|

≤ 3|V1(F )| − 5k.

|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1 (lema 3.2)|V1(T )| ≥ |V1(F )| − 2(k − 1) (lema 3.3)Assim,

|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1≤ 3|V1(F )| − 5k − k + 1≤ 3(|V1(T )|+ 2(k − 1))− 6k + 1= 3|V1(T )| − 5≤ 3|V1(T )|.





|V (F )| =k∑

i=1|V (Ti)|

≤ 3|V1(F )| − 5k.

|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1 (lema 3.2)|V1(T )| ≥ |V1(F )| − 2(k − 1) (lema 3.3)

Assim,|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1

≤ 3|V1(F )| − 5k − k + 1≤ 3(|V1(T )|+ 2(k − 1))− 6k + 1= 3|V1(T )| − 5≤ 3|V1(T )|.





|V (F )| =k∑

i=1|V (Ti)|

≤ 3|V1(F )| − 5k.

|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1 (lema 3.2)|V1(T )| ≥ |V1(F )| − 2(k − 1) (lema 3.3)Assim,

|V1(T ′)| ≤ |V (F )| − k + 1≤ 3|V1(F )| − 5k − k + 1≤ 3(|V1(T )|+ 2(k − 1))− 6k + 1= 3|V1(T )| − 5≤ 3|V1(T )|.




Algoritmo 2-aproximado [Solis-Oba, 1998]

Regras

Ti

...

x

Ti

x

...

y

Ti

x

y



Algoritmos aproximados para grafos cúbicos

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões




Algoritmo 7/4-aproximado [Lorys e Zwozniak, 2002]

Regras

Ti

x

y

u1 u2

Ti

x

u1 u2

Ti

x

z

u1 u2

y

a) b) c)




Algoritmo 3/2-aproximado [Bonsma e Zickfeld, 2008]

1)

2)

3) Conjunto conexo dominante minimal|V1(T ∗)| ≤ (n− x(G) + 2)/2|V1(T )| ≥ (n− x(G) + 4)/3





1)

2)

3) Conjunto conexo dominante minimal

|V1(T ∗)| ≤ (n− x(G) + 2)/2|V1(T )| ≥ (n− x(G) + 4)/3





1)

2)

3) Conjunto conexo dominante minimal|V1(T ∗)| ≤ (n− x(G) + 2)/2|V1(T )| ≥ (n− x(G) + 4)/3



Algoritmo exato

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões



Algoritmo exato

Algoritmos exatos

[Fujie, 2003]:I Branch and bound.

I até 100 vértices.

[Lucena, Maculan e Simonetti, 2010]:I 3 diferentes algoritmos:

F Fujie melhorado.F reformula para arborescência de Steiner.F reformula para grafos orientados.

I até 200 vértices.



Algoritmo exato

Algoritmo exato [Lucena, Maculan e Simonetti, 2010]Sejam G um grafo e r um vértice arbitrário.Constroi um grafo orientado D, obtido de G.

r

Problema da arborescência geradora com muitas folhasDados D e r, encontrar uma arborescência geradora enraizada em rcom número máximo de folhas.

Solução do PAGMF.



Algoritmo exato

Formulaçãomax

∑i∈V

zi (1)

sujeito a:∑

a∈δ−(i)

ya = 1, i ∈ V \{r}, (2)

∑a∈A(S)

ya ≤ |S| − 1, S ⊂ V, |S| ≥ 2, (3)

(P) ∑a∈δ+(i)

ya + (ni − 1)zi ≤ (ni − 1), i ∈ V \{r}, (4)

∑a∈δ+(r)

ya + (nr − 1)zr ≤ nr, (5)

ya ∈ {0, 1}, a ∈ A, (6)

zi ∈ {0, 1}, i ∈ V. (7)



Algoritmo exato

Fortalecendo o modelo

Com exceção de r as folhas não podem ter arestas de saída.

ya + zi ≤ 1, a = (i, j) ∈ A, i ∈ V \{r} (8)

As seguintes desigualdades podem ser vistas como umageneralização de (4).∑a∈F

ya+∑

a=(j,i)∈A:(i,j)∈F

ya+(|F |−1)zi ≤ |F |, i ∈ V, F ⊆ δ+(i)∪{(r, i)}, |F | ≥ 2 (9)

Testes mostraram que a inclusão de (8) e (9) tende a fortalecer omodelo.



Algoritmo exato

Separação

Número exponencial de desigualdades em (3) e (9).

Separação de (3):I

∑a∈A(S) ya ≤ |S| − 1, S ⊂ V, |S| ≥ 2

I se inteiro BFS.I se fracionário PL ou corte mínimo.

Separação de (9):I ∑

a∈F ya +∑

a=(j,i)∈A:(i,j)∈F ya + (|F | − 1)zi ≤ |F |, i ∈ V, F ⊆ δ+(i)∪ {(r, i)}, |F | ≥ 2

I ordenação e verificação.



Algoritmo exato

Implementação

Critérios de parada:I tempo de execução máximo de 1200s.I diferença da melhor solução inteira e limitante < 1− ε.

Escolha de r.

Solução inteira inicial.



Algoritmo exato

Algoritmo guloso ingênuo

Exemplo:



Experimentos e resultados

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões




Experimentos

Implementações em linguagem C++.Cplex v. 12.4 para modelo de programação linear.Máquina com processador Intel Core i5 com 2,67 GHz, 4GB dememória RAM, SO Ubuntu 10.04 32 bits.Instâncias testadas:

I Caso geralI Grafos cúbicosI Grafos cúbicos com mín. de triângulos e diamantes (TeD)




Instâncias caso geral41 instâncias30 a 200 vértices5 a 70% densidadefornecidas pelo Prof. Luigi [Lucena, Maculan e Simonetti, 2010]




Instâncias grafos cúbicos

42 instâncias30 a 200 vértices




Instâncias grafos cúbicos TeD

42 instâncias30 a 200 vérticesaproximadamente 50% dos vértices pertencem a triângulos oudiamantes

a) b)




Resultados

Algoritmo média máximo #opt5-aprox. 1,09 1,19 13-aprox. 1,10 1,30 12-aprox. 1,08 1,23 3guloso 1, 02 1, 08 16

média, máximo: LPval(A) .

#opt: no. de vezes que foi solução ótima.




Resultados para o caso geral|V | d LP LD Tempo (s) 5-aprox. 3-aprox. 2-aprox. guloso

30

10 15,92 15 0,03 15 12 15 1520 23,88 23 0,22 21 20 20 2330 26,47 26 0,40 24 23 23 2550 27,90 27 0,42 25 25 25 2770 28,79 28 0,02 26 28 28 28

50

5 19,80 19 0,08 17 18 19 1910 38,44 38 11,77 35 33 33 3620 43,98 43 1,96 41 39 39 4330 45,99 45 2,23 38 41 42 4550 47,94 47 1,97 44 45 45 4770 48,69 48 0,05 45 46 46 48

70

5 43,99 43 69,62 40 36 37 4010 57,99 57 3,08 50 47 47 5620 63,99 63 16,48 53 55 55 6230 65,99 65 11,45 60 60 60 6550 67,99 67 10,86 62 64 64 6770 68,51 68 274,30 66 66 66 67

100

5 77,49 75 - 66 62 65 7210 87,99 87 12,64 78 78 78 8720 92,99 92 144,68 85 86 86 9230 95,51 94 - 87 89 89 9350 96,99 96 477,83 93 94 94 9670 97,98 97 177,26 94 95 95 97




Resultados para o caso geral

|V | d LP LD Tempo (s) 5-aprox. 3-aprox. 2-aprox. guloso

120

5 96,54 92 - 84 74 78 9110 107,91 106 - 96 96 97 10520 113,22 112 - 100 102 103 11130 115,04 114 - 107 109 109 11450 117,12 116 - 113 113 113 11670 117,99 117 413,92 115 115 115 117

150

5 127,37 121 - 107 104 105 11910 137,87 134 - 123 121 123 13420 143,61 141 - 131 133 134 14030 145,82 143 - 137 138 138 14350 147,17 146 - 141 142 142 14670 148,45 147 - 143 145 145 147

200

5 177,29 168 - 150 150 150 16810 188,24 182 - 167 168 169 18220 194,29 190 - 181 182 182 19030 196,12 193 - 187 187 187 19350 198,01 195 - 192 191 191 19570 198,55 197 - 193 196 196 197




Comparação grafos cúbicos com melhor limitanteencontrado

Algoritmo média média TeD máximo máximo TeD5-aprox. 1,15 1,22 1,30 1,443-aprox. 1,16 1,15 1,24 1,252-aprox. 1, 07 1, 12 1, 13 1, 21

guloso 1,10 1,14 1,20 1,277/4-aprox. 1, 08 1,13 1, 14 1, 21

3/2-aprox. 1,11 1, 11 1,23 1, 18

média, máximo: LPval(A) .




Resultados para o caso grafos cúbicos|V | i LP LD Tempo (s) 5-ap. 3-ap. 2-ap. guloso 7/4-ap. 3/2-ap.

30

1 16 16 0,69 14 14 15 15 14 152 16 16 0,88 13 13 15 14 15 153 16 16 0,05 13 15 15 15 14 144 16 16 1,18 15 14 15 15 16 155 16 16 0,01 13 13 16 16 16 136 16 16 0,31 13 15 15 15 14 14

50

1 26 26 1177,54 23 23 24 23 24 232 26 26 855,79 22 24 24 22 24 233 26 26 337,45 23 24 24 23 25 234 26 26 426,16 24 24 24 24 24 235 26 26 104,81 24 23 24 23 24 246 26 26 123,94 20 23 23 23 24 24

70

1 36 34 - 33 30 34 34 33 332 36 33 - 34 29 33 31 33 323 36 32 - 30 30 35 32 34 334 36 35 - 30 32 35 35 34 315 36 33 - 30 31 34 33 35 316 36 31 - 31 31 34 30 32 33

100

1 51 48 - 44 42 49 48 47 462 51 47 - 42 44 49 47 47 483 51 44 - 47 44 46 44 47 454 51 46 - 47 41 48 46 47 465 51 45 - 44 42 46 45 48 476 51 46 - 46 44 48 46 47 47




Resultados para o caso grafos cúbicos

|V | i LP LD Tempo (s) 5-ap. 3-ap. 2-ap. guloso 7/4-ap. 3/2-ap.

120

1 61 56 - 53 55 58 56 57 552 61 53 - 55 53 56 53 57 543 61 56 - 53 51 59 56 56 564 61 55 - 55 52 57 55 56 565 61 57 - 53 52 58 57 57 546 61 58 - 56 52 58 58 57 56

150

1 76 70 - 69 67 71 70 71 702 76 66 - 68 69 70 66 72 683 76 71 - 66 65 71 71 71 694 76 70 - 67 65 71 70 70 705 76 70 - 66 65 71 70 71 736 76 70 - 67 66 72 70 71 70

200

1 101 88 - 91 85 94 88 94 932 101 89 - 86 85 93 89 92 933 101 88 - 90 86 92 88 97 884 101 94 - 91 86 94 94 96 935 101 90 - 88 88 94 90 96 906 101 92 - 85 87 95 92 94 93



Conclusões

Agenda

1 Introdução

2 Preliminares



5 Algoritmo exato


7 Conclusões



Conclusões

Conclusões e trabalhos futurosConclusões

Estudamos algoritmos de aproximação para o problema e umcaso particular.Implementamos alguns dos algoritmos aproximados.Implementamos um algoritmo exato.Conseguimos casos de teste e geramos outros.Guloso: melhores resultados para o caso geral.2-aproximado: melhores resultados para grafos cúbicos.

Sugestões de trabalhos futurosRazão de aproximação do algoritmo guloso.Usar 5-aproximado e guloso para solução inicial.Verficar comportamento do algoritmo 5/3-aproximado[Correa, Fernandes, Matamala e Wakabayashi, 2007].



Referências

Referências I

P. Bonsma.Max-leaves spanning tree is APX-hard for cubic graphs.Journal of Discrete Algorithms, 2011.Disponível online.

P. Bonsma and F. Zickfeld.A 3/2-approximation algorithm for finding spanning trees with manyleaves in cubic graphs.In WG’08, pages 66–77. Springer-Verlag, 2008.

J. R. Correa, C. G. Fernandes, M. Matamala, and Y. Wakabayashi.A 5/3-approximation for finding spanning trees with many leaves incubic graphs.In WAOA’07, pages 184–192, 2007.



Referências

Referências II

T. Fujie.An exact algorithm for the maximum leaf spanning tree problem.Computers & Operations Research, 30:1931–1944, 2003.

E. G. Fusco and A. Monti.Spanning trees with many leaves in regular bipartite graphs.Lecture Notes in Computer Science, 4835:904–914, 2007.

G. Galbiati, F. Maffioli, and A. Morzenti.A short note on the approximability of the maximum leavesspanning tree problem.Information Processing Letters, 52:45–49, 1994.



Referências

Referências III

M. R. Garey and D. S. Johnson.Computers and Intractability: A Guide to the Theory ofNP-Completeness.Freeman, San Francisco, CA, USA, 1979.

S. Guha and S. Khuller.Approximation algorithms for connected dominating sets.Algorithmica, 20(4):374–387, 1998.

P. Lemke.The maximum-leaf spanning tree problem in cubic graphs isNP-complete.IMA Preprint Series, (428), July 1988.



Referências

Referências IV

(Ben) P. C. Li and M. Toulouse.Variations of the maximum leaf spanning tree problem for bipartitegraphs.Information Processing Letters, 97(4):129–132, 2006.

K. Lorys and G. Zwozniak.Approximation algorithm for the maximum leaf spanning treeproblem for cubic graphs.In ESA’02, pages 686–697, 2002.

H. Lu and R. Ravi.The power of local optimization: Approximation algorithms formaximum-leaf spanning tree.In Thirtieth Annual Allerton Conference on Communication,Control and Computing, pages 533–542, 1996.



Referências

Referências V

H. Lu and R. Ravi.Approximating maximum leaf spanning trees in almost linear time.Journal of Algorithms, 29:132–141, 1998.

A. Lucena, N. Maculan, and L. Simonetti.Reformulations and solution algorithms for the maximum leafspanning tree problem.Computational Management Science, 7(3):289–311, 2010.

R. Solis-Oba.2-approximation algorithm for finding a spanning tree withmaximum number of leaves.In Lecture Notes in Computer Science, pages 441–452. Springer,1998.


Laboratório de Otimizaçãoe Combinatória


Dissertação de MestradoAluno: Márcio Félix Reis

Orientador: Prof. Dr. Orlando Lee

8 de maio de 2014

Este projeto teve apoio da CAPES.

O problema da árvore geradora com muitas folhasra115137/diss/apresentacao.pdf · 2015. 2. 2. · O...

Documents

Transcript of O problema da árvore geradora com muitas folhasra115137/diss/apresentacao.pdf · 2015. 2. 2. · O...