O PROCESSO DOS ESFORÇOS(edição beta – abril de 2000)

1. Introdução

O Processo dos Esforços, também chamado “Método das Forças”, é um processo decálculo para a determinação dos esforços em estruturas hiperestáticas. Este processo, assimcomo o Processo de Cross e o Processo dos Deslocamentos que serão vistos oportunamente,baseiam-se nas hipóteses de cálculo do Método Clássico, fornecendo portanto os mesmosresultados após a análise.

As hipóteses fundamentais do Método Clássico para solução de problemas referentesàs estruturas reticulares - formadas por barras - são:

1) Validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral;

2) Continuidade da estrutura, caracterizada pelo fato de não apresentarem pontosangulosos as linhas elásticas das barras cujos eixos também não tenham pontosangulosos (estes, se houver, serão considerados como nós) e de se conservaremconstantes os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas nos nós;

3) Aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos(proporcionalidade entre tensões e deformações, conservação das seções planas);

4) Superposição de efeitos, isto é, o efeito produzido por um conjunto de ações(cargas, temperatura, etc.) é igual a soma dos efeitos destas ações atuandoisoladamente.

2. Conceitos fundamentais

Estrutura isostática ......... : é aquela para a qual as equações de equilíbrio daMecânica Geral são suficientes para a determinação detodos os esforços externos e internos.

Estrutura hiperestática ... : é aquela para a qual as equações de equilíbrio daMecânica Geral não são suficientes para a determinaçãode todos os esforços externos e internos; há necessidadede se estabelecer equações de compatibilidade dedeslocamentos.

Incógnitas hiperestáticas : são os esforços externos ou internos que existem a maisdo que aqueles que podem ser determinados com asequações de equilíbrio. Também recebem o nome deredundantes.

Grau de hiperestaticidade: é o número de incógnitas hiperestáticas ou redundantesda estrutura.

Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três.

Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhe-cidas todas as reações. Ocorre em geral quando umconjunto de barras não todas articuladas entre si, formamuma poligonal fechada.

Naturalmente o grau de hiperestaticidade (total) é a soma do externo mais o interno, eé o que influi na solução.

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3. Exemplos de estruturas hiperestáticas

3.1 – Treliças

Chamando de b o número de barras e n o número de nós, e lembrando que um apoiomóvel pode ser substituído por uma barra e o apoio fixo por duas, tem-se a relação (exceto oscasos excepcionais):

b < 2n sistema móvel ou cadeia cinemática

b = 2n treliça isostática

b > 2n treliça hiperestática

O grau de hiperestaticidade da treliça é o número de barras que supera 2n.

Convém recordar aqui que a condição b = 2n é necessária mas não suficiente para quea treliça seja isostática. Assim, podem ocorrer casos excepcionais em que esta expressão ésatisfeita mas a treliça não é isostática. A maioria dos casos excepcionais podem serpercebidos intuitivamente, enquanto que os casos mais sutis podem ser determinados por nãoapresentarem solução, ou o sistema de 2n equações obtido pela aplicação das equações deequilíbrio X = 0 e Y = 0 para cada nó não tem solução definida, isto é, o determinante doscoeficientes é nulo.

3.2 – Estruturas aporticadas

A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturasaporticadas é a técnica da árvore. A árvore é uma estrutura em balanço, ou seja, engastada naterra (engastamento dado através das raízes = três vínculos) e com galhos (barras) ligadas pornós rígidos sem formar “anel”, isto é, sem fechar. Como a árvore é isostática, deve-se procuraratravés de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvoresseparadas.

Quando estiver formando um “anel”, há necessidade de abrir o anel através de umcorte. Uma chapa ao ser cortada perde três barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Umabarra interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barravincular. Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barravincular.

Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores, o número de barras vincularesretiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos, éo grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barrasvinculares que supera três.

A figura 3.1 mostra vários exemplos e tipos de estruturas indicando o respectivo graude hiperestaticidade.

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Figura 3.1 – Exemplos de graus de hiperestaticidade

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4. Solução de estruturas hiperestáticas pelo Processo dos Esforços

A solução de estruturas hiperestáticas utilizando o Processo dos Esforços é feitaatravés de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações decompatibilidade de deslocamentos. O primeiro passos é determinar o grau dehiperestaticidade da estrutura e transformá-la em uma estrutura isostática pela retirada dosvínculos em excesso, definindo-se as incógnitas hiperestáticas. A estrutura isostática obtida édenominada Estrutura Isostática Fundamental (EIF).

Vários exemplos serão resolvidos com comentários quando se fizerem necessáriospara a compreensão do processo que pode ser resumido como segue:

Caso se tenha uma estrutura n vezes hiperestática, adota-se n incógnitashiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isostática Fundamental (E.I.F.).A aplicação conveniente do Princípio de Superposição de Efeitos conduz à equaçãode superposição:

(r) = (0) + X1 (1) + X2 (2) + ... + Xn (n)

na qual: (r) = problema real

(0) = problema zero: Estrutura Isostática Fundamental (E.I.F.), submetida apenas ao carregamento dado.

(1) = problema um: E.I.F. submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de X1.

(2) = problema dois: E.I.F. submetida apenas a um esforço unitário nadireção e sentido de X2.

M

(n) = problema ene: E.I.F. submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de Xn.

Como a equação de superposição de efeitos (r) = (0) + X1(1) + X2(2) + ... +Xn(n) vale para qualquer esforço ou deslocamento, pode-se aplicá-la para osdeslocamentos nas direções e sentido das incógnitas hiperestáticas, obtendo-se umsistema linear de equações de grau n, conhecido como sistema de equações decompatibilidade de deslocamentos:

1real = 10 + 11X1 + 12X2 + ... + 1nXn

2real = 20 + 21X1 + 22X2 + ... + 2nXn

M

nreal = n0 + n1X1 + n2X2 + ... + nnXn

Notação: ireal = deslocamento na direção e sentido de Xi no problema real. Em geral igual a zero, exceto se houver recalque correspondente à incógnita Xi.

i0 = deslocamento na direção e sentido de Xi na E.I.F. devido ao carregamento (deslocamentos no problema zero).

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ij = deslocamento na direção e sentido de Xi na E.I.F. devido a um esforço unitário na direção e sentido de Xj (deslocamentos no problema jota)

O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos usando anotação matricial pode ser escrito:

[ij] {Xi} = {ireal - i0}

Os deslocamentos ij são denominados coeficientes de flexibilidade e [ij] é a matriz de flexibilidade.

Os deslocamentos são calculados através do P.T.V.:

0 1 0 1 0 110

M M cQ Q N Nds ds ds

EI GA EAD = + +ò ò ò

i j i j i jij

M M cQ Q N Nds ds ds

EI GA EAd = + +ò ò ò

Para os casos usuais de estruturas lineares de nós rígidos, as parcelas dosdeslocamentos causados pelos esforços cortantes (Q) e forças normais (N) sãodesprezíveis em face da parcela devido ao momento fletor.

As integrais são estendidas a toda a estrutura e o sistema de equações ésimétrico, pois ij = ji (teorema da reciprocidade de Maxwell).

Após resolvido o sistema [ij] {Xi} = {ireal - i0}, os valores dos esforçosobtidos para as incógnitas X1 , X2 , ... , Xn , além do carregamento original, devemser aplicados na E.I.F. para a solução final dos itens desejados.

5. Exemplo número 1

Determinar os diagramas de M e Q da viga contínua da figura 5.1. O produto derigidez à flexão EI é constante e como é usual nos cálculos manuais das estruturas reticularesformadas por barras, o efeito do esforço cortante nas deformações será desprezado.

Figura 5.1 – Exemplo número 1

A viga da figura 5.1 é uma vez hiperestática. Teoricamente existem infinitasalternativas para transformá-la em uma estrutura isostática com a retirada de um vínculo

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externo ou interno. Naturalmente deve-se procurar uma estrutura isostática básica oufundamental simples, via de regra simplesmente apoiada ou eventualmente articulada nos nósintermediários.

A figura 5.2 mostra quatro opções para a Estrutura Isostática Fundamental (EIF). Asopções a) e c) foram obtidas pela retirada de um vínculo externo – reações de apoio. Asopções b) e d) mantiveram intactas as vinculações da viga, retirando vínculos internoscorrespondentes ao momento fletor, ou seja, introduzindo articulações. As opções a) e b) sãomais aconselháveis por manter a simetria da estrutura.

Figura 5.2 – Opções para estrutura isostática fundamental

Vamos adotar a opção a). Separando o carregamento aplicado da incógnita X1,podemos aplicar a superposição de efeitos conforme ilustra a figura 5.3.

Figura 5.3 – Superposição de efeitos

Substituindo-se o apoio B pelo valor da reação, que por ser incógnita chamamos de X1,continuamos a ter a mesma situação do problema real. O sentido adotado para a incógnitadefine o sentido positivo para os esforços e deslocamentos naquela direção. Assim, os

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deslocamentos 1real, 10 e 11, são medidos na direção da incógnita e serão positivos seestiverem no mesmo sentido adotado para X1.

Convém notar que 1real, ou seja, o deslocamento na direção e sentido de X1 noproblema real é nulo, sendo diferente de zero apenas se houver recalque no apoio B, cujovalor deve ser conhecido. 10 é o deslocamento na direção e sentido de X1 no problema “zero”– estrutura isostática fundamental submetida ao carregamento dado - e no caso analisadocertamente deverá resultar através dos cálculos negativo, pois sabe-se que a elástica da vigado problema (0) se desenvolve para baixo e o sentido positivo do deslocamento 10, impostopela orientação adotada para X1 é para cima. O conhecimento prévio do sentido dosdeslocamentos não é necessário, sendo conveniente avaliá-los nos casos simples apenas com ointuito de controle dos cálculos, evitando erros grosseiros.

O problema “um” é a aplicação de uma carga unitária na direção e sentido da incógnitaque foi colocada em evidência multiplicando o carregamento unitário. A notação tradicionalpara os deslocamentos é usar-se letras gregas maiúsculas para os deslocamentos dosproblemas “real” e “zero” e gregas minúsculas nos outros problemas. Os índices dosdeslocamentos seguem o padrão: o primeiro índice indica o local do deslocamento e osegundo a causa (ou problema); em outras palavras (deslocamento)ij é o deslocamento nadireção e sentido de Xi, no problema j.

A equação que retrata a superposição da figura 5.3, é:

(r) = (0) + X1 (1).................................................................................(5.1)

Esta equação de superposição vale para qualquer esforço ou deslocamento. Aplicandopara os deslocamentos na direção da incógnita hiperestática, temos:

1real = 10 + X1 11 .............................................................................(5.2)

Esta equação recebe o nome de equação de compatibilidade de deslocamento. A únicaincógnita nesta equação é X1, pois 1real é nulo neste problema e os deslocamentos 10 e 11 sãodeslocamentos em estrutura isostática com carregamentos conhecidos, podendo serdeterminados através do PTV, utilizando a técnica da carga unitária.

Para o cálculo de 10, o problema (0) é o estado de deslocamento e o estado decarregamento unitário correspondente ao deslocamento 10 é o problema (1). Analogamente,para o cálculo de 11, o problema (1) é o estado de deslocamento e também o estado decarregamento unitário. Assim, 10 será determinado combinando-se M0 com M1 e 11 resultaráda combinação de M1 com M1.

A figura 5.4 mostra os diagramas de momento fletor M0 e M1, correspondentes aosproblemas (0) e (1), respectivamente.

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Figura 5.4 – Diagramas de momento fletor

A aplicação da técnica da carga unitária fornece, desprezando-se os efeitos da forçacortante nas deformações:

10

0 110 0 1

1 111 11 1 1

M Mds EI M M ds

EIM M

ds EI M M dsEI

d d

D = ® D =

= ® =

ò ò

ò ò .............................................(5.3)

Ou,

2 4

10

5 52

12 2 2 24

p pEI D =- ´ ´ ´ =-

l l ll ........................................................(5.4)

2

11

1 52

3 4 4EI pd = ´ ´ =

ll l ............................................................................(5.5)

A equação de compatibilidade de deslocamentos fica:

101 10 1 11 10 1 11 1

11

0real X X Xd dd- D

D =D + ® =D + ® = ...........................(5.6)

1

5

4X p= l ..........................................................................................(5.7)

Com o valor de X1 conhecido, qualquer esforço ou deslocamento na estruturahiperestática real pode ser determinado através da superposição do problema (0) mais X1

vezes o problema (1):

Zr = Z0 + X1 Z1 (Z esforço ou deslocamento qualquer).................................(5.8)

Alternativamente, pode-se resolver a estrutura isostática fundamental adotada,carregada com as cargas dadas mais a incógnita aplicada como carga externa. Usando esteprocedimento, tem-se os diagramas de M e Q conforme figura 5.5.

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Figura 5.5 – Diagramas finais

6. Exemplo número 2

Resolver o pórtico da figura 6.1 de EI constante.

Figura 6.1 – Exemplo número 2

Trata-se de uma estrutura duas vezes hiperestática. A figura 6.2 mostra três opçõespara escolha das incógnitas hiperestáticas e as respectivas estruturas isostáticas fundamentaisresultantes. Naturalmente o resultado final será o mesmo qualquer que seja a opção escolhida,variando apenas os cálculos durante o desenvolvimento da solução. A incógnita X1 terá omesmo valor nas opções a) e c), assim como a incógnita X2 será igual nas opções a) e b), poissão os valores finais das reações respectivas no problema real.

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Figura 6.2 – Opções para estrutura isostática fundamental

Adotando-se a opção a), temos o esquema estático ou superposição de efeitosapresentado na figura 6.3, a qual inclui os diagramas de momento fletor dos problemas (0),(1) e (2).

Figura 6.3 – Superposição de efeitos

Os deslocamentos, multiplicados pelo produto EI = constante valem:

210 1 0

16 4,5 1 9

3EI M M ds tmD = =- ´ ´ ´ =-ò

320 2 0

16 4,5 4 36

3EI M M ds tmD = =- ´ ´ ´ =-ò

10

2 211 1 1

14 1 6 1 6

3EI M M ds md = = ´ + ´ ´ =ò

2 2 322 2 2

1 1 1604 4 6 4

3 3 3EI M M ds md = = ´ ´ + ´ ´ =ò

212 21 1 2

1 14 1 4 6 1 4 16

2 3EI EI M M ds md d= = = ´ ´ ´ + ´ ´ ´ =òO sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos [ij] {Xi} = {ireal - i0},

fica, lembrando que ireal = 0:

11 1 12 2 10X Xd d+ =- D 6 X1 + 16 X2 = 9ou

21 1 22 2 20X Xd d+ =- D 16 X1 + 160/3 X2 = 36

Resolvendo, temos:

X1 = 1,500 tm

X2 = + 1,125 t

A figura 6.4 mostra a estrutura isostática fundamental com o carregamento dado e asincógnitas aplicadas. As reações de apoio foram determinadas e os diagramas dos esforçossolicitantes M, Q e N desenhados (exceto para N por ser constante nos trechos), concluindo asolução.

Figura 6.4 – Resultados finais

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7. – Exemplo número 3 – variação de temperatura

Supondo que o pórtico do exemplo anterior (figura 6.1) ao invés do carregamentosofra um acréscimo de temperatura nas fibras externas de 40o C, determinar os diagramas deM, Q e N.

O coeficiente de dilatação térmica vale 1,2 10-5 oC-1, o módulo de elasticidade E vale2 106 tm2 e a seção transversal das barras é retangular com base b = 0,30m e altura h =0,50m (h sempre no plano da figura).

Adotando-se a mesma estrutura isostática fundamental usada para a solução doexemplo anterior, não haverá alteração na matriz de flexibilidade da estrutura, ou seja, osdeslocamentos ij não se alteram, pois os problemas (1) e (2) da superposição são os mesmos.Apenas o problema (0) é alterado; agora os deslocamentos e deformações são devido a umavariação não uniforme de temperatura ao invés do carregamento. A figura 7.1 mostra asuperposição de efeitos e os diagramas das deformações no problema (0) e dos esforçossolicitantes nos problemas (1) e (2).

Figura 7.1 – Exemplo número 3 – variação de temperatura

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Neste caso, a variação de temperatura média no eixo da barra vale 20o C e o gradientede temperatura (dt/h), vale 40/0,5 = 80 oC/m. As deformações diferenciais du e d, na direçãoda normal e do momento no problema (0) valem respectivamente:

du = t médiods = 24 10-5 m

d = gradienteds = 96 10-5 radianos

Os deslocamentos 10 e 20 no problema (0) e nas direções de X1 e X2 respectivamente,valem:

10 1 1N du M djD = +ò ò

20 2 2N du M djD = +ò òCuidado especial deve ser tomado na avaliação do sinal resultante das integrais acima;

elas serão positivas quando as deformações du e d forem concordantes com os esforçoscorrespondentes N e M. Para evitar confusão, na figura 7.1 foram desenhados os diagramas dedu - considerado positivo se há aumento de temperatura e portanto alongamento da barra – ede d - desenhado do lado da fibra distendida, em concordância com a convenção adotadapara o gráfico de M. Assim, os valores de 10 e 20 podem ser avaliados normalmente atravésdas tabelas do produto de duas funções:

5 5 5 510

1 14 24 10 4 1 96 10 6 1 96 10 656 10

6 2m- - - -D =- ´ ´ ´ + ´ ´ ´ + ´ ´ ´ ´ = ´

5 5 5 520

2 14 24 10 6 1 24 10 (4 6) 4 96 10 1712 10

3 2m- - - -D =- ´ ´ ´ - ´ ´ ´ + + ´ ´ ´ ´ = ´

Os valores de 11, 22 e 12 = 21 a menos do produto EI já foram calculados noexemplo anterior. Assim, multiplicando-se os valores de 10 e 20 por EI, tem-se:

E = 2 106 t/m2

I = bh3/12 = 3,125 10-3 m4

EI = 6250 tm2

11 1 12 2 10EI X EI X EId d+ =- D 6 X1 + 16 X2 = 41ou

21 1 22 2 20EI X EI X EId d+ =- D 16 X1 + 160/3 X2 = 107

Resolvendo, obtém-se:

X1 = 7,417 tm

X2 = + 0,219 t

A figura 7.2 mostra os esforços finais na estrutura e os diagramas pedidos.

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Figura 7.2 – Resultados finais

8. – Exemplo número 4 – estrutura atirantada

No caso de estruturas atirantadas, a deformação por força normal no tirantenaturalmente deve ser considerada, pois é a única que atua nesta peça da estrutura.

A figura 8.1 mostra uma viga em balanço AB, de rigidez à flexão EI = 103 tm2,reforçada por um tirante de rigidez axial EA = 2,5 103 t. A mesma figura ilustra o esquemaestático ou superposição de efeitos adotando-se como incógnita hiperestática o esforço normalno tirante. Mostra também os diagramas de momento fletor M0 e M1 na barra ABcorrespondentes aos problemas (0) e (1) e o valor constante da força normal N1 = 1 no tiranteapenas no problema (1), pois no problema (0) o valor do esforço normal N0 no tirante é nulo.Os efeitos da força cortante e força normal na deformação da viga AB serão desprezadosconforme o procedimento usual adotado para as barras com flexão.

Os deslocamentos 10 e 11 valem:

0 110 10 0 1

viga viga

M Mds ou EI M M ds

EID = D =ò ò

2 221 1

11 11 1 tiranteviga tirante viga

M N EIds ds ou EI M ds

EI EA EAd d= + = +ò ò ò l

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Figura 8.1 – Exemplo número 4 – Estrutura atirantada

Efetuando-se os cálculos:

310

14 4,8 2,4 11,52

4EI tmD =- ´ ´ ´ =-

32 3

11 3

1 104 2,4 5 9,68

3 2,5 10EI mD = ´ ´ + ´ =

´

Aplicando-se a equação de compatibilidade de deslocamentos:

1real = 10 + X1 11

0 = 11,52 + X1 9,68

daí, X1 = 1,19 t

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A figura 8.2 apresenta os diagramas finais obtidos.

Figura 8.2 – Exemplo número 4 – Resultados finais

9. – Exemplo número 5 – treliça hiperestática

A figura 8.1 mostra uma treliça uma vez hiperestática internamente (b=13, n=6), debarras com rigidez axial EA constante. Como a estrutura é isostática externamente hánecessidade de adotar-se como incógnita hiperestática um esforço interno, tendo sidoescolhida a força normal na barra 5-6 conforme ilustra a mesma figura, mostrando também arespectiva superposição de efeitos.

Os deslocamentos 10 e 11 valem:

0 110 10 0 1

N Nou EA N N

EAD = D =å ål l

221

11 11 1

Nou EA N

EAd d= =å ål l

A tabela 8.1 organiza os valores necessários para o calculo dos somatórios.

10 101

11 11

12,75, 0,944

13,50

EAdai X t

EAd d- D - D -

= = = =-

Com X1 determinado, obtém-se Nr = N0 0,944 N1, conforme consta na tabela 8.1. Afigura 8.2 apresenta os resultados finais.

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Figura 8.1 – Exemplo número 5 - Treliça

Tabela 8.1

Barra N0 N1 N0 N1 N12 Nr=N0–0,944N1

1-2 2,0 + 4,00 0 0 0 + 4,000

2-3 2,0 + 4,00 + 1,00 + 8,00 + 2,00 + 3,056

3-4 2,0 + 3,00 0 0 0 + 3,000

1-5 2,5 1,25 0 0 0 1,250

5-6 2,0 0 + 1,00 0 + 2,00 0,944

4-6 2,5 3,75 0 0 0 3,750

2-5 1,5 0 + 0,75 0 + 0,84375 0,708

3-5 2,5 1,25 1,25 + 3,90625 + 3,90625 0,069

2-6 2,5 0 1,25 0 + 3,90625 + 1,181

3-6 1,5 + 0,75 +0,75 + 0,84375 + 0,84375 + 0,042

12,75 +13,50

Figura 8.2 – Exemplo número 5 – Resultados finais

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10. – Exercícios propostos

Para as estruturas das figuras abaixo, traçar M, Q e N (respostas ao lado).

01)

02)

03)

18

04)

05)

06)

07)

19

20