O SÉCULO XVIII E A EXPLORAÇÃO DO CÁLCULODE EULER AO SISTEMA MÉTRICO

Diego da Silva Peixotodig_pxt@hotmail.com

Euler Clairautd’Alembert e LambertAgnesi e du ChâteletLagrangeLaplace e LegendreMonge e Carnot

EulerClairautd’Alembert e LambertAgnesi e du ChâteletLagrangeLaplace e LegendreMonge e Carnot

Leonhard Euler

Nascimento: Basileia, Suíça em 15 de abril de 1707.Morte: São Petersburgo, Rússia em 17 de setembro de 1783Família: filho de um pastor, Paul Euler e Margaret Brucker, filha de um pastor, casou se com Katharina Gsell (1734-1773) e com Salome Abigail Gsell(1776-1783). Teve treze filhos dos quais cinco sobreviveram à infância. Um deles Johann Euler também se tornou matemático, físico e astrônomo.Obras: Mechanica, Introductio in analysin infinitorum(dois volumes), Institutiones calculi differentialis, Institutiones calculiintegralis(três volumes), Letters to a Princess of Germany(trêsvolumes)Orientado por: Johann BernoulliOrientador de: entre outros, seu filho, Johann Euler e Joseph LagrangePrêmios recebidos: Ganhou doze vezes um prêmio bienal da Académie de Paris, um deles em parceria com Mclaurin e Daniel Bernoulli num ensaio sobre as marés.

ALGUNS NÚMEROS DE EULER

• Entre livros e artigos, Euler publicou 530 trabalhos durante sua vida, deixando ainda, ao morrer, uma série de manuscritos que enriqueceram as publicações da Academia de São Petersburgo por mais 47 anos.

• A Sociedade Suíça de Ciências Naturais iniciou em 1909 uma edição completa da obra de Euler, compreendendo 886 trabalhos entre livros e artigos (que representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas, e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800), que deverá atingir cem grandes volumes.

• Sua pesquisa matemática chegava em média a 800 páginas por ano durante toda a sua vida; nenhum matemático jamais superou a produção desse homem que Aragocaracterizou com “Análise encarnada”.

VIDA E OBRA DE LEONHARD EULER

• Leonhard Euler foi educado pelo próprio pai (que havia estudado com Jacob Bernoulli) e lhe ensinou matemática.

• Aos treze anos, em 1720, ingressou na Universidade de Basileia, que possuía um famoso departamento de matemática liderada por Johann I Bernoulli, irmão de Jacob Bernoulli. Johann recusou-se a dar aulas particulares a Euler, oferecendo então um valioso conselho de como estudar por conta própria.

• Em 1727, quando Euler tinha apenas 20 anos de idade, os irmãos Daniel e NicolausBernoulli, que pertenciam à Academia de São Petersburgo, conseguiram que ele fosse indicado membro da instituição. Com a volta de Daniel a seu país pouco tempo depois, para ocupar a cadeira de matemática da Universidade da Basileia, Euler tornou-se o cabeça do departamento de matemática da Academia.

• Após 14 anos na Academia de São Petersburgo, Euler aceitou um convite de Frederico, o Grande, para chefiar o departamento de matemática da Academia de Berlim. Euler se manteve durante 25 anos nessa nova atividade, mas sua simplicidade e modéstia não correspondiam à cintilância e sofisticação que Frederico admirava, resultando em atritos nessa sua estada na Prússia. Durante esse tempo continuou a receber uma pensão da Rússia, demonstrando o alto prestígio que alcançara nesse país.

• O sentimento permanentemente caloroso dos russos com ele, e sabendo da frieza da corte de Frederico, levaram Euler a aceitar, em 1766, um convite de Catarina, a Grande, para retornar à Academia de São Petersburgo, onde ficaria os 17 anos seguintes de sua vida.

• Sua produtividade surpreendente não foi absolutamente prejudicada quando, pouco depois de seu retorno a São Petersburgo, ficou completamente cego. Ele já era cego do olho direito desde 1735, o que explica as poses com que aparece em seus retratos. A cegueira poderia parecer um obstáculo intransponível para um matemático, mas, assim como a surdez de Beethoven não o impediu de compor, Euler conseguiu manter extraordinária atividade produtiva depois de sofrer essa perda.

• Ajudado por uma memória fenomenal e por um poder de concentração incomum e imperturbável, Euler continuou seu trabalho criativo com a ajuda de um secretário que anotava suas ideias, expressas verbalmente ou escritas com giz numa lousa grande.

• Morreu subitamente em 1783 com 76 anos de idade, enquanto tomava chá com um de seus netos.

• É interessante que em toda a sua carreira, nunca ocupou um cargo de professor.

NOTAÇÕES CRIADAS POR EULER

• f(x): para funções

• e: para a base dos logaritmos naturais

• a, b, c: para os lados de um triângulo ABC

• s: para o semiperímetro do triângulo ABC

• : para somatórios

• i: para a unidade imaginária −1

• 𝜋: embora não originada com Euler, se popularizou por sua conta

CONTRIBUIÇÃO POR ÁREA

• Geometria plana: reta de Euler;

• Teoria das equações: método de Euler de resolução das quárticas;

• Teoria dos números: teorema de Euler e a função 𝜙 de Euler;

• Cálculo avançado: atribuem-se a Euler as funções beta e gama, embora elas tenham sido prenunciadas por Wallis;

• Equações diferenciais: Euler empregou a ideia de fator integrante na resolução de equações diferenciais, deu-nos o método sistemático usado hoje para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e distinguiu entre equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas. A equação diferencial:

𝑥𝑛𝑦(𝑛) + 𝑎1 𝑥𝑛−1𝑦(𝑛−1) +⋯+ 𝑎𝑛𝑦0 = 𝑓 𝑥

onde os expoentes entre parênteses indicam a ordem da derivada, hoje é conhecida como equação diferencial de Euler.

• Euler foi um dos primeiros matemáticos a desenvolver a teoria das frações contínuas. Contribuiu para os campos da geometria diferencial, cálculo de diferenças finitas e cálculo de variações, além de enriquecer a teoria dos números.

• A relação 𝑣 − 𝑎 + 𝑓 = 2

que relaciona números v de vértices, a de arestas e f de faces de um poliedro fechado simples qualquer é criação de Euler.

• Desenvolveu pesquisas sobre as curvas orbiformes, curvas que, como a circunferência, são ovais convexas de largura constante.

• Dedicou-se às recreações matemáticas que envolvem assuntos como grafos unicursais e multicursais, caminhos reentrantes do cavalo no jogo de xadrez e quadrados greco-romanos.

• O campo principal de suas publicações foi a matemática aplicada, colaborando em especial para a teoria lunar, a das marés, o problema dos três corpos da mecânica celeste, o problema da atração de elipsoides, a hidráulica, a construção de navios, questões de artilharia e teoria musical.

• O dispositivo conhecido por diagramas de Euler, usado como teste de validade de raciocínios dedutivos, foi dado por Euler numa de suas cartas à princesa Phillipinevon Schwedt, sobrinha de Frederico, o Grande. Durante a Guerra dos Sete Anos (1756-1763), toda a corte berlinense transferiu-se temporariamente para Magdeburg e nesse período, Euler, de sua casa em Berlim, dava aulas por correspondência à princesa.

ALGUMAS OBRAS DE LEONHARD EULER

INSTITUTIONUM CALCULI INTEGRALIS

Foi publicado em três volumes em 1768. Aborda o cálculo integral e continha muitas das descobertas de Euler sobre equações diferenciais.

http://www.amazon.com/Institutiones-calculi-integralis-Leonhard-mathematica/dp/3764314125

$210,00

INSTITUTIONES CALCULIDIFFERENTIALIS

Escrito em 1748 e publicado em 1755, estabelece as bases para o cálculo diferencial. É constituída por um único volume.

WW Rouse Ball (1888) escreve que "este é o primeiro livro sobre o cálculo diferencial que tem a pretensão de ser completa e precisa, e pode-se dizer que todos os tratados modernos sobre o assunto são baseados nele.“

http://www.amazon.com/Institutiones-calculi-differentialis-Leonhard-mathematica/dp/3764314095

$ 229,22

INTRODUCTIO IN ANALYSININFINITORUM

Escrita em dois volumes, estabelece as bases da análise matemática. Foi publicado em 1748.

Carl Boyer em uma palestra no Congresso Internacional de Matemática de 1950 compara a influência de Introductio de Euler ao dos Elementos de Euclides, chamando os Elementos de o livro mais importante dos tempos antigos, e a Introductio "o livro mais importante dos tempos modernos“.

http://www.amazon.com/Introductio-analysin-infinitorum-Leonhard-mathematica/dp/3764314079

$206,00

Lettres a une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique & de philosophie, vol 1

Lettres a une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique & de philosophie, vol 3

Outras obras importantes:

ALEXIS CLAUDE CLAIRAUTNascimento: Paris, França em 13 de maio de 1713.

Morte: Paris, França em 17 de maio de 1765

Família: filho de Jean Baptiste Clairaut, professor de matemática da Academia de Berlim, e Catherine Petit. Teve vinte irmãos, porém apenas Clairaut sobreviveu.

Obras: Recherches sur les courbes à double courbure (1731), Théorie de la Figure de la Terre(1743), Eléments de géométrie(1741), Eléments de d’algèbre(1746)

Orientado por: ?

Orientador de: ?

Prêmios recebidos: 1752 ganhou um prêmio da Academia de São Petersburgo com seu artigo “Théorie de la Lune”, um estudo matemático do movimento lunar que esclarecia algumas questões em aberto.

VIDA E OBRA DE ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT

• Foi um dos matemáticos mais precoces da história. Aos dez anos ele lia os textos de L’Hospital sobre cônicas e Cálculo, aos onze escreveu um tratado sobre curvas de terceira ordem. aos trezes ele leu à Academie des Sciences um artigo sobre geometria, e quando tinha dezoito anos(1731), devido principalmente a um trabalho sobre geometria diferencial de curvas reversas do espaço, foi aceito como membro da Academia de Ciências da França.

• Neste mesmo ano, publicou Recherches sur les courbes à double courbure, em que numerosas curvas no espaço são determinadas como interseções de várias superfícies, onde são dadas explicitamente fórmulas para distância em duas e três dimensões, uma forma da equação do plano por interceptos incluída, e são determinadas tangentes a curvas no espaço. É o primeiro tratado sobre a geometria analítica no espaço.

• Foi ele que observou que a as derivadas de segunda ordem 𝑓𝑥𝑦 e 𝑓𝑦𝑥 de uma função 𝑓 𝑥, 𝑦 são em geral iguais.

• Em 1736 acompanhou Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) numa excursão à Lapônia que objetivava determinar a medida de um grau de um meridiano terrestre. A finalidade dessa excursão era dirimir uma pendência a respeito da forma da Terra. Em 1743, depois de seu retorno à França, Clairautpublicou sua obra, Théorie de la Figure de la Terre.

• Seus textos, Eléments de géométrie e Eléments de d’algèbre, o primeiro escrito para a Marquise du Châtelet, eram parte de um plano, que lembra os de hoje, para aperfeiçoar o ensino de matemática

• Clairaut teve um irmão, três anos mais novo, conhecido na história da matemática apenas como “le cadet Clairaut” (1716-1732), que faleceu tragicamente de varíola aos 16 anos de idade, mas que aos 14 já havia lido um trabalho sobre geometria à Academia de Ciências e que aos 15 publicara uma obra sobre o mesmo assunto.

• Foi eleito membro da Royal Society of London em novembro de 1737.

• Sua crescente popularidade na sociedade prejudicou seu trabalho científico: Segundo Bossut, um matemático conteporâneo a Clairaut:

"Ele estava concentrado com jantares e noites, juntamente com um gosto animado para as mulheres, e procurando satisfazer seus prazeres do dia a dia, ele perdeu o resto, saúde, e finalmente a vida na idade de cinqüenta e dois. "

ALGUMAS OBRAS DE ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT

THÉORIE DE LA FIGURE DE LA TERRE

Publicado em 1743, é um estudo teórico para subsidiar os dados experimentais sobre a forma da Terra, que a expedição à Lapônia tinha recolhido.

Foi um passo importante na definição das bases para o estudo da hidrostática.

1731 1741 1746

Outras obras

JEAN-LE-ROND D’ALEMBERT

Nascimento: Paris, França em 16 de novembro de 1717.

Morte: Paris, França em 29 de outubro de 1783

Família: filho ilegítimo da escritora Claudine Guérin de Tencin com o cavalheiro Louis-Camus Destouches, um oficial de artilharia das Forças Armadas. Foi criado por um vidraceiro e sua mulher, conhecida como Madame Rousseau. Nunca foicasado, porém teve uma longa e estreita relação com a anfitriã de um dos salões parisienses que frequentava, chamada Julie de Lespinasse

Obras: Traité de dynamique(1743), Réflexions sur la causa générale des vents(1747), Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides(1752)

Orientado por: ?

Orientador de: ?

Prêmios recebidos: nenhum

• Jean-le-Rond d’Alembert foi abandonado recém-nascido perto da igreja de Saint Jean-le-Rond, onde um gendarme o recolheu e logo o batizou com o nome do local. Mais tarde, por razões desconhecidas, adotou o d’Alembert.

• Entre D’Alembert e Clairaut havia uma rivalidade científica que muitas vezes raiava a inimizade. D’Alembert foi admitido na Academia de Ciências com 24 anos de idade. Em 1743 publicou seu Traité de Dynamique, baseado no grande princípio da cinética hoje conhecido pelo seu nome.

• Em 1714 aplicou esse princípio num tratado sobre o equilíbrio e o movimento dos fluidos e, em 1746, num tratado sobre as causas dos ventos. Em todos esses trabalhos, bem como num outro de 1747 dedicado às cordas vibrantes, recaiu em equações diferenciais parciais, tornando-se assim um dos pioneiros do estudo dessas equações.

• Em 1754 fez a importante recomendação de que, para colocar em bases firmes os fundamentos da análise, era preciso desenvolver uma teoria dos limites bem estruturada, mas seus contemporâneos quase não lhe deram ouvidos.

• D’Alembert, como Euler, tinha uma cultura muito vasta, prevalentemente em direito, medicina, matemática e ciência. Com muitos interesses comuns, d’Alembert e Euler trocaram correspondência sobre vários assuntos. Uma questão que embaraçava muito d’Alembert, como a outros matemáticos da época, era a natureza dos logaritmos de números, mas numa carta de 1747, Euler esclareceu de vez a questão dos logaritmos negativos para d’Alembert.

• Perto do final da estada de Euler em Berlim, Frederico, o Grande, convidou d’Alembert para presidir a Academia Prussiana, ele rejeitou alegando que nenhum contemporâneo teria bagagem científica para ocupar um posto acadêmico superior ao do grande Euler.

• D’Alembert também foi convidado por Catarina, a Grande, para emprestar seu talento à Rússia mas, a despeito dos generosos estipêndios, não aceitou. Em 1754 tornou-se secretário permanente da Academia de Ciências. Durante os últimos tempos de sua vida, trabalhou na grande Encyclopédie francesa, uma iniciativa sua e de Denis Diderot. D’Alembert faleceu em 1783, mesmo ano da morte de Euler.

“A álgebra é generosa; ela muitas vezes nos dá mais do que lhe é solicitado”.

JOHANN HEINRICH LAMBERTNascimento: Mulhouse, então território suíço, em 26 de agosto de 1728

Morte: Berlim, Alemanha, em 25 de setembro de 1777

Família: filho de Lukas Lambert, um alfaiate pobre, e de Elisabeth Schmerber.

Obras: Freye Perspektive(1759), Photometria (1760), Cosmologische Briefe(1761), Neues Organon(1764)

Orientado por: ?

Orientador de: ?

Prêmios recebidos: nenhum

VIDA E OBRA DE JOHANN HEINRICH LAMBERT

• Johann Heinrich Lambert, enquanto ajudava seu pai nos negócios, como autodidata estudava literatura e, assim, aprendeu latim e francês, além de cálculo e ciências elementares com a qual adquiriu interesse pela astronomia.

• Com 15 anos, obteve um emprego em uma biblioteca em Sept (1743) e observou seu primeiro cometa (1744) e tentou calcular sua órbita. No ano seguinte, com 17 anos, foi para Basiléia e aceitou ser professor particular em Chur, emprego em que permaneceu por oito anos, período em que aprofundou seus conhecimentos em filosofia e fez importantes investigações sobre a Via Láctea.

• Deixou Chur (1756) e viajou pela Europa, mantendo contatos acadêmicos. Estudou com Euler na Academia de Berlim e ainda retornou a Chur (1763) onde concluiu seu trabalho sobre filosofia Neues Organon. No ano seguinte resolveu mudar-se definitivamente para Berlim (1764), onde passou a trabalhar para a corte de Frederico II, Rei da Prússia, e tornou-se membro da Academia de Ciências de Berlim (1765).

• Lambert foi o primeiro a provar rigorosamente que o número 𝜋 é irracional. Ele mostrou que se x é racional, x ≠ 0, então tg x não pode ser racional; e como tg 𝜋 /4 = 1, segue-se que 𝜋 /4 não pode ser racional; logo, o mesmo acontece também com 𝜋 .

• Devemos a Lambert o primeiro desenvolvimento sistemático da teoria das funções hiperbólicas, inclusive a notação atual para essas funções. Também contribuiu para outros outros tópicos da matemática, como geometria descritiva, determinação de órbitas de cometas e a teoria das projeções usada na confecção de mapas

• Lambert encontra-se entre os precursores da descoberta da geometria não euclidiana (ver Seção 13-7), graças às pesquisas que desenvolveu sobre o postulado das paralelas de Euclides, assunto de seu livro de 1766, mas publicado postumamente, Die Theorie der Parallellinien.

ALGUMAS OBRAS DE JOHANN HEINRICH LAMBERT

FREYE PERSPEKTIVE

Ou “Perspectiva livre”, Publicado em 1759, Lamber mostrou aqui a sua concepção da matemática como um instrumento prático, e tal conceito está na base da obra.

NEUES ORGANON

Ou “Novo Organon”. Aqui Lambert relacionou os elementos lógicos do pensamento com a matemática. Segundo a sua concepção, o raciocínio possui uma dupla função: operar a modo de demonstração, tal como o cálculo matemático, e descobrir a verdade.

1760 1761

Outras obras: