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UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S

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Experiência 2: voltando ao estudo da vela, agora a vela irá aquecer uma colher Objetivo de estudo – entender de que forma ocorre a transferência de calor ao

longo da colher (através do entendimento do mecanismo de transferência de calor por condução) e relacionar as taxas de energia (através da Lei da Conservação de Energia).

Refletindo sobre os seus conceitos prévios: Por quê e como a colher é aquecida? Relato das observações e discussão em aula – foco: a colher: (em casa, complete as suas anotações, tendo em vista os questionamentos apresentados no apêndice D). Mote: explicar a transferência de calor na colher e propor uma equação para

descrever esta transferência.

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(continuação de suas anotações)

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Para a sua reflexão - sintetizando as informações sobre a condução: Sinônimos de condução: transporte molecular, difusão.

Uma definição de condução segundo Incropera & De Witt, p. 2 (4/5a edição): “A condução pode ser vista como a transferência de energia de partículas mais energéticas para partículas de menor energia, em um meio devido às interações que existem entre elas.” Características principais da condução (como identificar este mecanismo de TC):

um único meio (sólido ou fluido); condução ocorre devido à “movimentação aleatória” de átomos ou moléculas.

Entendendo a interação entre as partículas na condução: pode envolver

transferência de quantidade de movimento entre partículas elementares (e.g. elétrons, ou átomos e moléculas) ou transferência de energia por “acomodação” de um retículo cristalino – através das ligações químicas.

Diz-se que a transferência de calor por condução é normalmente mais efetiva em sólidos, seguida pelos líquidos e é menos efetiva em gases. Por quê?

Fatores que devem ser levados em conta para o entendimento do mecanismo de transferência de calor por condução em sólidos:

!"é necessário levar em conta o tipo de ligação química predominante. Uma

análise simplificada pode ser feita a partir dos conceitos de ligação metálica (elétrons livres em torno dos cátions dos elementos), iônica (cátions do elemento mais eletropositivo atraído eletrostaticamente pelos ânions do elemento mais eletronegativo) e covalente (compartilhamento de elétrons em ligações químicas envolvendo os orbitais s e p – ligações simples (σ), duplas ou triplas (π)). As ligações químicas nos metais de transição são mais complexas.

!"estrutura do reticulado sólido: cristalina e amorfa – como a organização do

reticulado influencia a transferência de calor por condução?

Melhor condutor térmico: diamante (com ligações covalentes mas estrutura do retículo muito bem organizada) – condutividade térmica do diamante a 300K é de 2300 (SI), enquanto que a do cobre puro a 300K é de 401 (SI)

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Para a sua reflexão: observe as seguintes estruturas e analise a relação que

existe entre a condutividade térmica e a estrutura do retículo sólido:

Estrutura do diamante (Greenwood & Earnshaw, 1997, p. 276)

Estrutura do carbono grafite (Greenwood & Earnshaw, 1997, p. 275)

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Estrutura do CsCl (Klein et al., 1993)

Estrutura de um polímero sindiotático

mecanismo em líquidos – ainda hoje não totalmente conhecido Bird et al. (2004, p. 269) apresenta uma breve discussão sobre o assunto mecanismo em gases – uso da teoria cinética dos gases (ver Incropera & De Witt, p. 39 (5a edição), Bird et al., p. 264) equação empírica: Lei de Fourrier (início do século XIX)

Aguçando a sua curiosidade: quem foi Fourrier?

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Lei de Fourrier da condução de calor (transporte molecular de energia) “considere uma barra de um material sólido com área A localizada entre duas placas paralelas separadas por uma distância Y. Imaginemos para um instante t<0, o sólido esteja à temperatura uniforme To. No instante t=0 a placa inferior é subitamente elevada superior a T1 e mantida a essa temperatura. Com o passar do tempo, o perfil de temperatura da barra se altera e estabelece-se um perfil de temperatura linear permanente (conforme a figura abaixo). Quando essa condição permanente é alcançada, uma taxa constante de transferência de calor q, através da barra, é necessária para manter a diferença de temperatura ∆T=T1-To. Verifica-se que a taxa de transferência de calor por unidade de área (q”, fluxo de calor) é proporcional ao decréscimo de temperatura ao longo das distância Y.” (Bird et al., p. 257-258)

figura extraída de Bird et al. (p. 258)

caso unidimensional em coordenadas cartesianas: " dTq kdx

= − , sendo k a

condutividade térmica (é uma

propriedade de transporte)

Interpretação da lei de Fourrier em sua forma simplificada:

!"variação gradual da temperatura em função da distância !"sinal negativo – definição da derivada (sentido da transferência – da maior

para a menor temperatura)

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Exercícios:

1. Explique o mecanismo de troca térmica por condução. 2. Em que material a condução de calor é mais eficaz: no ar, na água ou no aço?

Por quê?

3. Justifique a seguinte forma da equação de condução: dTkdx

− .

4. Quando a equação " dTq kdx

= − se resume em " Tq kx

∆=∆

?

5. Proponha um método para determinar a condutividade térmica de um sólido e

explique como se dá a condução de calor nos sólidos. Descreva o aparato e o procedimento experimentais. (Observação: os exercícios 2.17 a 2.19 de Incropera & De Witt apresentam procedimentos de determinação experimental da condutividade (5a edição)).

6. (adaptado do exercício 2.7 de Incropera & De Witt) Considere a placa plana

esquematizada na figura a seguir, em que ocorre transferência de calor unidimensional em regime permanente. A condutividade da placa é de 25 (SI) e a sua espessura é de 0.5m. Pede-se: a) Complete a tabela a seguir. b) Para o caso 1 desenhe a isoterma de 380K. c) Para o caso 2 desenhe o perfil de temperaturas e obtenha graficamente a

posição em que a temperatura vale 150oC. Obtenha analiticamente a posição em que a temperatura vale 200oC.

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d) Para o caso 3 esboce a distribuição de temperatura, indicando a direção e o sentido do fluxo de calor.

Caso T1 T2 K

mdTdx

qx” (SI)

1 400K 300K

2 100oC -250

3 80oC +200

4 -5oC 4000

5 30oC -3000

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Estudo dirigido: O que são termopares e termoresistores? Como funciona um termopar? (exemplo de bibliografia: Brodkey & Hershey, p. 482-483)

Forma geral da lei de Fourrier

Em coordenadas cartesianas: " T T Tq k i j k

x y z ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂

!! !

Em coordenadas cilíndricas: " 1T T Tq k i j k

r r zφ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂

!! !

(figura extraída de Incropera & De Witt)

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Em coordenadas esféricas: " 1 1T T Tq k i j k

r r r senθ θ φ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂

!! !

(figura extraída de Incropera & De Witt)

Exercício 01: Caracterize no sistema de coordenadas cilíndricas as direções radial,

angular e axial em que a troca térmica pode ocorrer. Exercício 02: Para os casos a seguir, em que não há geração de calor e os processos de

transferência de calor ocorrem em estado estacionário, caracterize a direção da taxa de transferência de calor, as isotermas e a área de troca térmica. Indique também se para o cálculo da taxa de transferência de calor uma abordagem macro ou microscópica deve ser feita.

caso (a)

caso (b)

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Distribuição (Perfil) de temperaturas em placas planas – caso unidimensional com condutividade térmica constante em regime permanente e sem geração de calor:

0 o

x T

oT

dT qq cte q kA q dx kA dT T T xdx kA

= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −∫ ∫ – perfil linear

A condutividade térmica – é função da temperatura, embora em muitas aplicações seja assumido um valor constante médio.

figura – valores comparativos de condutividade térmica – diferentes estados físicos e materiais (extraído das notas de aula do Prof. Oliveira) – veja também os gráficos no

capítulo 2 de Incropera e De Witt e a discussão no capítulo 9 de Bird et al. Valores para a condutividade térmica - tabelas A1 a A.7 – Apêndice A (Incropera & De Witt) Observação: a forma de se resolver problemas reais, muitas vezes, não é única.

Depende da visão de quem os está resolvendo, daí ser necessária a justificativa para a solução adotada.

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Exercícios: Exercício 01: qual o valor de condutividade que pode ser usado para resolver o

problema de condução unidimensional ao longo de uma parede plana de aço carbono puro que tem uma de suas faces a 300K e a outra a 700K? E se a parede fosse de bronze comercial? Se a face de temperatura menor fosse de 200K, qual o valor da condutividade? Justifique a sua opção.

Exercício 02: Considere os seguintes valores no SI de condutividade térmica a 300K .

Explique a diferença nos valores em termos da estrutura e tipo de ligações. alumínio puro ... 237 alumínio liga ... 177 parafina ... 0,024 diamante ... 2300 maçã ... 0.513 pele ... 0.37 carbeto de silício ... 490

Exercício 03: (questão de provinha da turma 5C do 1o semestre de 2003) Qual dos seguintes materiais: poliestireno ou óxido de berílio você usaria em uma superfície que deve dissipar bastante calor? Justifique. Não consulte os valores de condutividade térmica!

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Exercício 04: (questão de provinha da turma 5C do 1o semestre de 2003) A 600K, Incropera & De Witt apresentam os seguintes dados para a condutividade térmica do carbono grafite: k " às camadas: 892 W/mK k ⊥ às camadas: 2.68 W/mK Interprete os dados apresentados (analise a estrutura do C grafite apresentada na p. 37).

Exercício 05: (adaptado de exercício cedido pelo prof. Oliveira)

Um tubo com diâmetros interno e externo de 160mm e 170mm, respectivamente é isolado com 100mm de um material com condutividade 0.062+0.0002T (W/m oC). Sabe-se que as temperaturas na face externa do tubo e na face externa do isolamento são respectivamente 300oC e 50oC. Pede-se: a-) qual a temperatura da face interna do isolamento? b-) determinar a potência dissipada por metro de tubo.

resp: 196W/m

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Exercício 07: (adaptado do exercício 1.5 (4a edição, na 5a edição: exercício 1.7) de Incropera & De Witt)

A câmara de um freezer é um espaço cúbico com 2 m de lado, sendo as paredes revestidas por um isolamento à base de espuma de poliestireno de condutividade térmica de 0.030 (W/mK). Considere o fundo como sendo perfeitamente isolado. Pede-se: a-) montar um esquema para o problema b-) analisar se o problema apresenta simetria, se é um problema de transferência

uni ou multidimensional e que tipo de abordagem deve ser feita para o cálculo da transferência de calor (macro ou microscópica).

c-) determinar a espessura mínima do isolamento que deve ser aplicado nas paredes do topo e dos lados para garantir que a taxa de calor que entra no freezer seja inferior a 500W, quando suas superfícies interna e externa se encontram a –10 e 35°C, respectivamente. Liste as hipóteses adotadas. (Resp. 54mm)

Exercício 08: (exerício 2.12 de Incropera & De Witt, 4a e 5a edição)

Algumas seções do oleoduto do Alasca encontram-se acima do solo e são sustentadas por meio de suportes verticais de aço (com condutividade térmica de 25 no SI) que possuem comprimento de 1m e área de seção reta de 0.005m2. Em condições normais de operação, sabe-se que a variação da temperatura ao longo do comprimento do suporte de aço é governada pela seguinte expressão:

2100 150 10T x x= − + onde T e x possuem unidades de oC e metros, respectivamente. Variações de temperatura na seção reta do suporte de aço são desprezíveis. Avalie a temperatura e a taxa de condução de calor na junção suporte-oeloduto (x=0) e na interface suporte-solo (x=1m). Explique a diferença entre as taxas de transferência de calor.

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Exercício 09: (adaptado de Braga Filho, 2004, exercício resolvido 2, p. 13) A medição do campo de temperatura em regime permanente, sem fontes internas em três placas de igual espessura, mas de materiais diferentes é mostrada na figura a seguir. A placa (A) apresenta condutividade térmica constante e a placa (B) apresenta uma condutividade térmica crescente linearmente com a temperatura. Indique, justificando, que casos correspondem às placas A e B.

Observação: observe a semelhança da lei de Fourrier com a lei da viscosidade de

Newton e a lei de Fick – caso unidimensional!

" dTq kdx

= −

dvdy

τ µ= −

",

AA A m

dcJ Ddy

= −

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• propriedade de transporte derivada importante da condutividade:

difusividade térmica (m2/s) - α : kcp

αρ

= - mede a capacidade do material

em conduzir energia térmica (avaliada por k) em relação à sua capacidade de armazená-la (avaliada por ρρρρcp). Observe que a difusividade térmica tem a mesma unidade que a viscosidade cinemática!!!! “difusividade térmica? ... materiais que absorvem pouco calor tendem a sofrer processos mais intensos de condução de calor, isto é, mais rapidamente. Por exemplo, a relação entre difusividades térmicas dos materiais está por trás da explicação que usamos para o “frio”, isto é, a baixa temperatura que sentimos quando pisamos no mármore e o “calor” que sentimos no tapete, estando ambos à mesma temperatura ambiente.” (em dúvidas mais comuns, Braga, W., p.61)

Leitura recomendada: Brodkey & Hershey, p. 25-27 – item 2.1.4 (neste trecho Brodkey & Hershey discutem a analogia matemática dos fenômenos de transporte, apresentando as equações para o transporte molecular de quantidade de movimento, energia e massa em função da viscosidade cinemática, difusividade térmica e difusividade).

Exemplos de definição da resistência térmica e coeficiente de transferência de calor:

• para o mecanismo da condução, admitindo taxa de calor e condutividade térmica constantes:

coordenadas cartesianas:

e constantes

0

L

o

TLq ko L

T

T TdTq kA q dx kA dT q kAdx L

−= − ⇒ = − ⇒ =∫ ∫

Logo: ;cond condL kR UkA L

= =

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coordenadas cilíndricas: (Hipóteses básicas: q=cte; condução unidimensional na direção radial ao longo de um anel cilíndrico, condutividade térmica constante)

e constantes 12 2

2 ln

e e

i i

r Tq ki e

er T

i

T TdTq k rL q dr k dT q kL rdr Lrr

π ππ

−= − ⇒ = − ⇒ =∫ ∫

Logo: , ,

ln; ;

2 ln lne i

e

icond cond r cond r

e ee i

i i

rr k kR U Ur rkL r r

r rπ

= = = (escolha arbitrária)

coordenadas esféricas: (Hipóteses básicas: q=cte; condução unidimensional na direção radial ao longo de uma casca esférica, condutividade térmica constante)

( )1 1 12

2

1

44 4

1 1o o

r T o

r T

o

k T TdT drq k r q k dT qdr r

r r

ππ π

− −= − ⇒ = − ⇒ =

− −

∫ ∫

Logo,

( ) ( )1 1

1 1

1 1 1 1

4 4

o o

o o

T T T Tq

r r r rk kπ π

− −= =

− −

Ou seja, 1,

1 1

4o

cd esfr r

Rkπ

−

=

Exercício: como fica a definição do coeficiente de transferência de calor por

condução para coordenadas esféricas?

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Leitura recomendada: Incropera & De Witt: p. 2-3, p. 37-41 Bird et al.: p. 257-272 Brodkey & Hershey: p. 14-21, p.25-32, p. 46-51, p. 53-55 Kreith & Bohn: p. 3-14, p. 35-39 Braga Filho: p. 2-5; p.100-103 Hinrichs & Kleinbach: p. 87-89 Bibliografia citada GREENWOOD, N.N.; EARNSHAW, A. Chemistry of the elements. Butterworth

Heinemann, 1997 KLEIN, C.; HURLBURT JR, C.S; DANA, J. D. Manual of mineralogy: after James

D. Dana, John Wiley & Sons, 1993 Exemplos recomendados para leitura: Incropera & De Witt: exemplo 2.1, p. 40 Kreith & Bohn: exemplo 1.1, p. 6, exemplo 1.2 p. 12 Bird et al.: exemplo 9.1-1, p. 262 Brodkey & Hershey: exemplo 2.1 p. 28, exemplo 2.5 p. 31, exemplo 3.1, p.65 Braga Filho: exercícios 1, p. 12; 2, p. 13; 5, p. 15; 6, p. 16. dúvidas mais comuns: (condução unidimensional), p.87 Exercícios recomendados: Exercícios 1.4 e 1.6 (5a edição) Exercícios complementares 1 e 2

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