OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.
Transcript of OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.
OBM 3ª FASE NÍVEL II
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
1. Se uma melancia pesa do seu peso mais de meio quilo. Quantos quilos ela pesa?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
Solução:
Seja P o peso da melancia em kg.
Temos:
9 9 19 9 10 9 .
10 5 2P P P P P kg
2.Numa sala há bancos e pessoas. Se 12 pessoas sentarem em cada banco sobrarão 4 lugares; se 10 pessoas sentarem em cada banco 196 pessoas ficarão sem lugar. Quantas pessoas há na sala?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
Solução:
Sejam b o número de bancos e p o número de pessoas. Então,
12 4 e 10 196 , logo 12 4 10 196 2 200 100.b p b p b b b b Assim,
o número de pessoas é 12 100 4 1196.
A alternativa correta é B.
3. Dobrando uma folha de papel em 3 partes no comprimento e em 4 partes na largura, obtém-se um retângulo de 25cm de perímetro. Se dobrarmos em 4 partes no comprimento e 3 partes na largura, obtém-se um quadrado. Quais são as dimensões da folha de papel?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
Seja x a medida do lado do quadrado, as dimensões da folha são 4 e 3 .x x O
retângulo cujo perímetro é 25cm tem dimensões 4 3
e 3 4
x x. Logo,
4 3 8 62 2 25 25 32 18 12 25 50 12 25 6.
3 4 3 4
x x x xx x x x
As dimensões da folha são 24cm e 18cm.
4. Numa festa estão 41 pessoas, entre moças e rapazes. Maria dançou com 6 rapazes, Lúcia com 7, Marta com 8, Mara com 9 e assim por diante. Eva, a dona da casa, dançou com todos os rapazes. Quantas moças havia na festa?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
Seja x o número de moças que havia na festa.
Maria dançou com 6 5 1 rapazes.
Lúcia dançou com 7 5 2 rapazes.
Marta dançou com 8 5 3 rapazes.
Mara dançou com 9 5 4 rapazes.
Eva dançou com todos os rapazes, ou seja, Eva dançou com
41 5x x rapazes, então 2 41 5 2 36 18.x x x
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
5. Eu tenho um relógio digital que marca horas e minutos variando de 00:00 até 23:59. Quantas vezes em um dia os algarismos 1, 2, 3 e 4 aparecerão todos juntos no visor do relógio?
RESOLUÇÃO :
12 :34,12 : 43,13: 24,13: 42,14 : 23,14 :32, 21:34, 21: 43, 23:14, 23: 41. -
Aparecem juntos 10 vezes.
6. Para quantos valores inteiros do número a equação possui somente raízes inteiras?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
Sejam 1 2 e x x as raízes inteiras da equação 2 3 0.x ax a Então, -
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 2 1 2 2
1 1
1 2
2 2
3 3 03
(3 ) 3 9 9 (3 ) 3(3 ) 9
3 9 6(3 )(3 ) 9 , ou
3 1 2
x x ax x x x
x x a
x x x x x x
x xx x
x x
-
1 1 1 1
2 2 2 2
3 9 12 3 3 0, ou ,
3 1 4 3 3 0
x x x x
x x x x
-
1 1
2 2
3 3 6ou .
3 3 6
x x
x x
Portanto, os únicos valores de a são: 4, 0,12 e 16.
A alternativa correta é B.
7. Um terreno deve ser dividido em lotes iguais, por certo número de herdeiros. Se houvesse três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20m2; e se houvesse quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria de 50m2. Qual a área total do terreno?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
Sejam x o número de herdeiros, y a área total do terreno (em 2m ) e -
y
x a área de cada herdeiro (em 2m ). Então,-
20 ( 3) 20 ( 3)
3
50 ( 4) 50 ( 4)4
y yyx y x x x
x xy y
yx y x x xx x
-
2
2
2
2
3 20 60 070 840 0
4 50 200 0
7 84 0 7 ( 12) 0 0 (não serve) e 12.
y x xx x
y x x
x x x x x x
-
Portanto, 220 4 5 1200 1200 .15 12
y yy y y m -
8. Os dois menores inteiros positivos que divididos por 29 deixam resto 5 e divididos por 31 deixam resto 28, têm como soma o número ?
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
Seja N o menor dos números procurados. Temos 1 2
5 2829 e 31q q
N N , -
então
1 2 1 2
1 2 2 1 2 2
29 5 31 28 29 31 23
29 29 2 23 29( ) 2 23,
N q q q q
q q q q q q
logo 22 23q é múltiplo de 29, isto é, 22 23 29q k , onde --
1,2,3,... .k Para termos o menor inteiro positivo, tomemos 1,k ou -
--seja, 2 2 22 23 29 2 6 3.q q q Logo, 121.N O outro número
--procurado é 1 1020N (quando tomamos 3, 32k q ). Assim, -
121 1020 1141.
9. Dada a equação do 2o grau Determine os valores de para que as duas raízes da equação sejam números inteiros.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
Sejam e a b as raízes inteiras da equação 2 ( 4) 0.x m x m Então,
( 4)4
(1 ) 1 5 (1 )(1 ) 5
1 5 4 1 1 0, ou ,
1 1 0 1 5 4
1 5 6 1 1 2ou , ou
1 1 2 1 5 6
a b ma b a b
a b m
a b b a b
a a a a
b b b b
a a a a
b b b b
Portanto, os únicos valores de m para que as duas raízes da equação dada sejam
números inteiros são: 0 e 12.
10. Um número N, inteiro positivo, é divisível por 11 e o resto da divisão por 7 é igual a 3. Sabe-se que a diferença entre os quocientes é igual a 147. Calcule o número N.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
RESOLUÇÃO :
1 20 3
.11 e 7q q
N N Então,
1 2 1 211 7 3 11 7 3N q q q q e, como -
12 1 2 .147 147q q q q Logo,-
1 1 1 11 111 7(147 ) 3 11 7 1029 3 4 1032 258.q q q q q q -
Portanto, 11 258 2838.N -
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
11.Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou diagonal.
a)Calcule o valor de P+Qb)Complete a tabela
RESOLUÇÃO :
Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que
cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou
diagonal.
a) O valor de P+Q = 7
b) Completando a tabela teremos:
1 5 4 3 2
3 2 1 5 4
5 4 3 (Q) 2 1
2 1 5 4 3
4 3 2 1 (P) 5
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
12.Se a,b,c são números reais tais que a + b + c = 0 . Mostre que 2(a4 + b4 + c4 ) é um quadrado perfeito .
De acbcba 0 , bca e cba , então 22)( acb ,
22)( bca e 22)( cba . Logo, 222222444 ccbbaacba
cabbacabcababaccabcba 22222222222222 22)()()(
0
2222222222222 )(2)(22 cbaabccacbbacbabccacb
)(2 222222 cacbba (I).
Mas 4222422422222222 )(22)()( ccbabbaacbacba
2222222222222222444 )()(2)(2 cbacacbbacacbbacba
)( 444 cba (II)
De (I) e (II), resulta que )()( 4442222444 cbacbacba
2222444 )()(2 cbacba
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
13.Se a,b,c são números reais quaisquer, mostre que
Para todo cba ,, , temos:
abbaba 20)( 222
bccbcb 20)( 222
accaca 20)( 222
Somando as três desigualdades membro a membro, obtemos
acbcabcbaacbcabcba 222222 )(2)(2 .
Vale a igualdade cba .