OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

14
OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

Transcript of OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

Page 1: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

OBM 3ª FASE NÍVEL II

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

Page 2: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

RESOLUÇÃO :

1. Se uma melancia pesa do seu peso mais de meio quilo. Quantos quilos ela pesa?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

Solução:

Seja P o peso da melancia em kg.

Temos:

9 9 19 9 10 9 .

10 5 2P P P P P kg

Page 3: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

2.Numa sala há bancos e pessoas. Se 12 pessoas sentarem em cada banco sobrarão 4 lugares; se 10 pessoas sentarem em cada banco 196 pessoas ficarão sem lugar. Quantas pessoas há na sala?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

Solução:

Sejam b o número de bancos e p o número de pessoas. Então,

12 4 e 10 196 , logo 12 4 10 196 2 200 100.b p b p b b b b Assim,

o número de pessoas é 12 100 4 1196.

A alternativa correta é B.

Page 4: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

3. Dobrando uma folha de papel em 3 partes no comprimento e em 4 partes na largura, obtém-se um retângulo de 25cm de perímetro. Se dobrarmos em 4 partes no comprimento e 3 partes na largura, obtém-se um quadrado. Quais são as dimensões da folha de papel?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

Seja x a medida do lado do quadrado, as dimensões da folha são 4 e 3 .x x O

retângulo cujo perímetro é 25cm tem dimensões 4 3

e 3 4

x x. Logo,

4 3 8 62 2 25 25 32 18 12 25 50 12 25 6.

3 4 3 4

x x x xx x x x

As dimensões da folha são 24cm e 18cm.

Page 5: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

4. Numa festa estão 41 pessoas, entre moças e rapazes. Maria dançou com 6 rapazes, Lúcia com 7, Marta com 8, Mara com 9 e assim por diante. Eva, a dona da casa, dançou com todos os rapazes. Quantas moças havia na festa?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

Seja x o número de moças que havia na festa.

Maria dançou com 6 5 1 rapazes.

Lúcia dançou com 7 5 2 rapazes.

Marta dançou com 8 5 3 rapazes.

Mara dançou com 9 5 4 rapazes.

Eva dançou com todos os rapazes, ou seja, Eva dançou com

41 5x x rapazes, então 2 41 5 2 36 18.x x x

Page 6: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

5. Eu tenho um relógio digital que marca horas e minutos variando de 00:00 até 23:59. Quantas vezes em um dia os algarismos 1, 2, 3 e 4 aparecerão todos juntos no visor do relógio?

RESOLUÇÃO :

12 :34,12 : 43,13: 24,13: 42,14 : 23,14 :32, 21:34, 21: 43, 23:14, 23: 41. -

Aparecem juntos 10 vezes.

Page 7: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

6. Para quantos valores inteiros do número a equação possui somente raízes inteiras?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

Sejam 1 2 e x x as raízes inteiras da equação 2 3 0.x ax a Então, -

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 2 1 2 2

1 1

1 2

2 2

3 3 03

(3 ) 3 9 9 (3 ) 3(3 ) 9

3 9 6(3 )(3 ) 9 , ou

3 1 2

x x ax x x x

x x a

x x x x x x

x xx x

x x

-

1 1 1 1

2 2 2 2

3 9 12 3 3 0, ou ,

3 1 4 3 3 0

x x x x

x x x x

-

1 1

2 2

3 3 6ou .

3 3 6

x x

x x

Portanto, os únicos valores de a são: 4, 0,12 e 16.

A alternativa correta é B.

Page 8: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

7. Um terreno deve ser dividido em lotes iguais, por certo número de herdeiros. Se houvesse três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20m2; e se houvesse quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria de 50m2. Qual a área total do terreno?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

Sejam x o número de herdeiros, y a área total do terreno (em 2m ) e -

y

x a área de cada herdeiro (em 2m ). Então,-

20 ( 3) 20 ( 3)

3

50 ( 4) 50 ( 4)4

y yyx y x x x

x xy y

yx y x x xx x

-

2

2

2

2

3 20 60 070 840 0

4 50 200 0

7 84 0 7 ( 12) 0 0 (não serve) e 12.

y x xx x

y x x

x x x x x x

-

Portanto, 220 4 5 1200 1200 .15 12

y yy y y m -

Page 9: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

8. Os dois menores inteiros positivos que divididos por 29 deixam resto 5 e divididos por 31 deixam resto 28, têm como soma o número ?

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

Seja N o menor dos números procurados. Temos 1 2

5 2829 e 31q q

N N , -

então

1 2 1 2

1 2 2 1 2 2

29 5 31 28 29 31 23

29 29 2 23 29( ) 2 23,

N q q q q

q q q q q q

logo 22 23q é múltiplo de 29, isto é, 22 23 29q k , onde --

1,2,3,... .k Para termos o menor inteiro positivo, tomemos 1,k ou -

--seja, 2 2 22 23 29 2 6 3.q q q Logo, 121.N O outro número

--procurado é 1 1020N (quando tomamos 3, 32k q ). Assim, -

121 1020 1141.

Page 10: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

9. Dada a equação do 2o grau Determine os valores de para que as duas raízes da equação sejam números inteiros.

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

Sejam e a b as raízes inteiras da equação 2 ( 4) 0.x m x m Então,

( 4)4

(1 ) 1 5 (1 )(1 ) 5

1 5 4 1 1 0, ou ,

1 1 0 1 5 4

1 5 6 1 1 2ou , ou

1 1 2 1 5 6

a b ma b a b

a b m

a b b a b

a a a a

b b b b

a a a a

b b b b

Portanto, os únicos valores de m para que as duas raízes da equação dada sejam

números inteiros são: 0 e 12.

Page 11: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

10. Um número N, inteiro positivo, é divisível por 11 e o resto da divisão por 7 é igual a 3. Sabe-se que a diferença entre os quocientes é igual a 147. Calcule o número N.

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

RESOLUÇÃO :

1 20 3

.11 e 7q q

N N Então,

1 2 1 211 7 3 11 7 3N q q q q e, como -

12 1 2 .147 147q q q q Logo,-

1 1 1 11 111 7(147 ) 3 11 7 1029 3 4 1032 258.q q q q q q -

Portanto, 11 258 2838.N -

Page 12: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

11.Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou diagonal.

a)Calcule o valor de P+Qb)Complete a tabela

RESOLUÇÃO :

Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que

cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou

diagonal.

a) O valor de P+Q = 7

b) Completando a tabela teremos:

1 5 4 3 2

3 2 1 5 4

5 4 3 (Q) 2 1

2 1 5 4 3

4 3 2 1 (P) 5

Page 13: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

12.Se a,b,c são números reais tais que a + b + c = 0 . Mostre que 2(a4 + b4 + c4 ) é um quadrado perfeito .

De acbcba 0 , bca e cba , então 22)( acb ,

22)( bca e 22)( cba . Logo, 222222444 ccbbaacba

cabbacabcababaccabcba 22222222222222 22)()()(

0

2222222222222 )(2)(22 cbaabccacbbacbabccacb

)(2 222222 cacbba (I).

Mas 4222422422222222 )(22)()( ccbabbaacbacba

2222222222222222444 )()(2)(2 cbacacbbacacbbacba

)( 444 cba (II)

De (I) e (II), resulta que )()( 4442222444 cbacbacba

2222444 )()(2 cbacba

Page 14: OBM 3ª FASE NÍVEL II PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY.

PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY

13.Se a,b,c são números reais quaisquer, mostre que

Para todo cba ,, , temos:

abbaba 20)( 222

bccbcb 20)( 222

accaca 20)( 222

Somando as três desigualdades membro a membro, obtemos

acbcabcbaacbcabcba 222222 )(2)(2 .

Vale a igualdade cba .