OBMEP 2009 - 2ª fase nível 1

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“Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.” Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasião do centenário de sua morte. 1 Nível 5ª e 6ª séries (6º e 7º anos) do Ensino Fundamental 2ª FASE – 24 de outubro de 2009 INSTRUÇÕES 1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor mações não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente. 2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre cada palavra. 3. Lembrese de assinar o quadro abaixo e a lista de presença. 4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta. 5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entreguea ao aplicador. 6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na folha de rascunho. 7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas as questões. 8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção. 9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta. 10. Não é permitido comunicarse com outras pessoas, além do aplicador. 11. Não escreva nos espaços sombreados. Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da Equipe da OBMEP! Correção Regional 1 Correção Regional 2 Correção Regional 3 Correção Regional 4 Correção Regional 5 6 Correção Regional Total Correção Nacional 1 Correção Nacional 2 Correção Nacional 3 Correção Nacional 4 Correção Nacional 5 Correção Nacional 6 Correção Nacional Total Correção Regional Correção Nacional Assinatura Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento CEP Cidade UF Telefone DDD Bairro Telefone (outro) DDD Endereço eletrônico (email) Preencha e confira os dados acima com muita atenção! Correção Regional

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OBMEP 2009 - 2ª fase nível 1 Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas

Transcript of OBMEP 2009 - 2ª fase nível 1

  • Espera, espera, tive uma idia e uma idia no se deixa fugir.

    Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasio do centenrio de sua morte.

    1Nvel5 e 6 sries (6 e 7 anos) do Ensino Fundamental2 FASE 24 de outubro de 2009

    INSTRUES1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova esto corretos. Caso as infor

    ma es no estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.

    2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dgito em cada quadradinho e deixando um espao em branco entre cada palavra.

    3. Lembrese de assinar o quadro abaixo e a lista de presena.

    4. A prova pode ser feita a lpis ou a caneta.

    5. A durao da prova de 3 horas. Voc s poder deixar a sala de prova 45 minutos aps o incio da prova. Ao terminar a prova, entreguea ao aplicador.

    6. A soluo de cada questo deve ser escrita na pgina reservada para ela, de maneira organizada e legvel. Evite escrever as solues na folha de rascunho.

    7. Na correo sero considerados todos os raciocnios que voc apresentar. Tente resolver o maior nmero possvel de itens de todas as questes.

    8. Respostas sem justificativas no sero consideradas na correo.

    9. No permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta.

    10. No permitido comunicarse com outras pessoas, alm do aplicador.

    11. No escreva nos espaos sombreados.

    Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.

    Parabns pelo seu desempenho na 1 Fase da OBMEP. com grande satisfao que contamos agora com sua participao na 2 Fase. Desejamos que voc faa uma boa prova e

    que ela seja um estmulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemtica.

    Um abrao da Equipe da OBMEP!

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    TOTAl

    2 NVEl 1Respostas sem justificativa no sero consideradas

    (1) Joozinho coleciona nmeros naturais cujo algarismo das unidades a soma dos outros algarismos. Por exemplo, ele colecionou 10023, pois 1 0 0 2 3+ + + = .

    (a) Na coleo de Joozinho h um nmero que tem 4 algarismos e cujo algarismo das unidades 1. Que nmero esse?

    (b) Qual o maior nmero sem o algarismo 0 que pode aparecer na coleo?

    (c) Qual o maior nmero sem algarismos repetidos que pode aparecer na coleo?

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  • TOTAl

    NVEl 1Respostas sem justificativa no sero consideradas 3

    (2) Um quadrado de lado 3 cm cortado ao longo de uma diagonal em dois tringulos, como na figura. Com esses tringulos formamos as figuras dos itens (a), (b) e (c), nas quais destacamos, em cinza, a regio em que um tringulo fica sobre o outro. Em cada item, calcule a rea da regio cinza.

    (a)

    (b)

    (c)

    3 cm

    1 cm

    5 cm

    3 cm

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  • (3) Ana e Cristina esto jogando contra Beatriz e Diana. No incio de cada partida, elas embaralham nove cartes numerados de 1 a 9 e cada uma pega dois cartes, sobrando sempre um carto na mesa. Cada menina calcula seus pontos somando os nmeros de seus cartes e o nmero de pontos da dupla a soma dos pontos das duas parceiras. Vence a dupla que fizer o maior nmero de pontos. Veja um exemplo de uma partida na tabela:

    TOTAl

    4 NVEl 1Respostas sem justificativa no sero consideradas

    (a) Numa partida, Ana e Cristina tiraram somente cartes com nmeros mpares, e sobrou o carto de nmero 7. Qual foi o resultado da partida? Por qu?

    (b) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o carto de nmero 8? Por qu?

    (c) Uma partida pode terminar empatada se sobrar o carto de nmero 5? Por qu?

    (d) Em outra partida, uma das meninas tirou o carto de nmero 3. Ana fez um ponto a menos que Beatriz, que fez um ponto a menos que Cristina, que fez um ponto a menos que Diana. Quantos pontos fez a dupla que ganhou?

    Ana Cristina Beatriz DianaCartes retirados 1 e 4 5 e 7 2 e 9 3 e 6

    Pontos de cada menina 1 + 4 = 5 5 + 7 = 12 2 + 9 = 11 3 + 6 = 9Pontos da dupla 5 + 12 = 17 11 + 9 = 20

    Resultado Beatriz e Diana ganham, pois 20 maior que 17

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  • (4) Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100 cm de superfcie.

    TOTAl

    NVEl 1Respostas sem justificativa no sero consideradas 5

    (a) O slido da figura foi feito colando uma face de um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para pintar esse slido?

    (b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a mais de tinta ele gastar para acabar de pintar esses dois blocos?

    (c) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar outro cubo. Depois de pintado, esse cubo foi dividido em cubinhos iguais, e Pedro gastou mais 216 mL de tinta para pintar todas as faces dos cubinhos que no estavam pintadas. Em quantos cubinhos ele dividiu o cubo?

    mL abreviao de mililitro.

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  • TOTAl

    6 NVEl 1Respostas sem justificativa no sero consideradas

    (5) Ana quer colorir as bolinhas das figuras 1, 2 e 3 de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes.

    Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a figura 1 e duas maneiras diferentes de colorir a figura 2:

    (a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 1?

    (b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 2?

    (c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 3?

    Figura 1 Figura 2

    Figura 3

    V

    V

    V V

    VP P PA

    A A

    A A

    A

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  • (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

    TOTAl

    NVEl 1Respostas sem justificativa no sero consideradas 7

    (6) No jogo do Troca-Cor usase um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e viceversa. As casas da 1a linha so numeradas com os nmeros mpares e as da 2a linha com os nmeros pares. Em cada jogada apertase uma casa e, ento, essa casa e as casas vizinhas mudam de cor. Uma partida completa comea com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os nmeros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada):

    (b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2

    Respostas sem justificativa no sero consideradas. NVEL 1

    7

    (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha so numeradas com os nmeros mpares e as da 2a linha com os nmeros pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, ento, essa casa e as casas adjacentes mudam de cor. Uma partida completa comea com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os nmeros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): post-it: casas adjacentes s casas que tm um lado comum

    Tabuleiro Partida completa Jogadas

    2 3

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    1, 2, 4 e 3

    Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

    (b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100 .

    (c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    (d) Explique porque no possvel jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    TOTAL

    100.

    (c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2

    Respostas sem justificativa no sero consideradas. NVEL 1

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    (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha so numeradas com os nmeros mpares e as da 2a linha com os nmeros pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, ento, essa casa e as casas adjacentes mudam de cor. Uma partida completa comea com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os nmeros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): post-it: casas adjacentes s casas que tm um lado comum

    Tabuleiro Partida completa Jogadas

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    Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

    (b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100 .

    (c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    (d) Explique porque no possvel jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    TOTAL

    101.

    (d) Explique por que no possvel jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2

    Respostas sem justificativa no sero consideradas. NVEL 1

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    (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha so numeradas com os nmeros mpares e as da 2a linha com os nmeros pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, ento, essa casa e as casas adjacentes mudam de cor. Uma partida completa comea com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os nmeros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): post-it: casas adjacentes s casas que tm um lado comum

    Tabuleiro Partida completa Jogadas

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    Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

    (b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100 .

    (c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    (d) Explique porque no possvel jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    TOTAL

    101.

    Casas vizinhas s

    casas que tm um lado comum.

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    (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha so numeradas com os nmeros mpares e as da 2a linha com os nmeros pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, ento, essa casa e as casas adjacentes mudam de cor. Uma partida completa comea com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os nmeros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): post-it: casas adjacentes s casas que tm um lado comum

    Tabuleiro Partida completa Jogadas

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    2 2

    1, 2, 4 e 3

    Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

    (b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100 .

    (c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    (d) Explique porque no possvel jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    TOTAL

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    (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha so numeradas com os nmeros mpares e as da 2a linha com os nmeros pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, ento, essa casa e as casas adjacentes mudam de cor. Uma partida completa comea com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os nmeros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): post-it: casas adjacentes s casas que tm um lado comum

    Tabuleiro Partida completa Jogadas

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    Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

    (b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100 .

    (c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

    (d) Explique porque no possvel jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101 .

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  • Operacionalizao:

    RA

    SC

    UN

    HO