N meros racionais e irracionais u

Carlos E. N. BahianoInstituto de Matemtica a Universidade Federal da Bahia - UFBa 40.210-170 Salvador, Bahia, Brasil

Sobre o autor: Carlos Eduardo Nogueira Bahiano doutor em Matemtica e a pela Universidade Estadual de Campinas. Sua rea de pesquisa Algebra a e Comutativa. Professor na Universidade Federal da Bahia, divide o seu tempo entre as atividades de pesquisa e as atividades acadmicas na Graduaao e na e c Ps-graduaao em Matemtica da UFBA. Na juventude, na cidade de Ilhus, o c a e sua cidade natal, lecionou matemtica para alunos no ensino fundamental e a mdio do Instituto Municipal de Educaao. e c

Contedo u1 Senso comum 1.1 Aristteles e o senso comum: noao de igualdade . . . . . . . . o c 1.2 Os matemticos e a noao de objetos equivalentes . . . . . . . a c 2 O que uma razo? e a 2.1 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 N meros racionais u 3.1 O que um n mero racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 3.1.1 Representando n meros racionais com numerador e deu nominador relativamente primos . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Ordenando os racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Operaoes aritmticas com n meros racionais . . . . . . . . . . c e u 3.2.1 Soma e produto de n meros racionais . . . . . . . . . . u 3.2.2 Subtraindo n meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . u 3.2.3 Diviso de n meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . a u 3.3 Representaao decimal para n meros racionais . . . . . . . . . c u 3.3.1 Fraoes decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 3.4 N meros racionais e Proporao . . . . . . . . . . . . . . . . . . u c 3.4.1 Diviso em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . a 3.4.2 Regra de trs simples e composta . . . . . . . . . . . . . e N meros irracionais u 4.1 Quanto mede isto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 O que um n mero irracional? . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 4.3 Aritmtica dos N meros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . e u iii 1 1 3 7 12 15 15 22 22 23 23 30 30 34 37 40 42 47 51 52 53 54

4

iv 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8

CONTEUDO Representando o produto de irracionais . . . . . . . . . 54 Qual o inverso de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2? . 55 Qual o produto de 2 por 3? . . . . . . . . . . . . . . 56 Aproximando um n mero irracional por um n mero racional 63 u u 64 Calculando aproximaoes para b . . . . . . . . . . . . c Nosso amigo Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Irracional to pequeno ou to grande quanto se queira . a a 67 Irracionais algbricos e transcendentes . . . . . . . . . . e 68 69 69 79 85 85 86 86 87 87 87 87 89 89 89 90 93

5 Fraoes cont c nuas 5.1 Fraoes cont c nuas e n meros racionais . . . . . . . . . . . . . . u 5.2 Fraoes cont c nuas e n meros irracionais . . . . . . . . . . . . . u A Problemas interessantes A.1 O problema dos 35 camelos . A.2 Hrcules e a tartaruga . . . . e A.3 Joo e Maria . . . . . . . . . a A.4 O dos eg pcios . . . . . . . A.5 Aproximando a raiz quadrada A.6 Aproximando a 3 9 . . . . . A.7 Diviso de fraoes . . . . . . a c . . . . . . . . . . . . de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B Para saber mais B.1 Livro recomendado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Artigos recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Respostas de exerc cios selecionados do Cap tulo 3 . . . . . . . Referncias Bibliogrcas e a

Lista de Figuras2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 Razo entre as reas ABC e ABCD 1 . . . . . . . . . . a a e 2 Razo entre comprimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Qual a razo entre a rea do c a a rculo e a rea do quadrado? a A rea branca no interior do c a rculo corresponde a 2 cm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A rea do c a rculo de raio 1 cm igual a . . . . . . . . . . . e A artimanha de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC PR Teorema de Thales BC = QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 10 11 11 11 12 13 16 18 18 19 20 21 23 24 25 25 27 27 28 28

Papiro de Ahmes 1700 AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Posiao c relativa na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AE e = 222 racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC ABC congruente a CP E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e A rea escura representa 2 da rea de ABCD e em EF GH a a 3 representa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A rea escura em ABCD representa 10 e em EF GH representa a 15 12 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaao de n meros racionais na reta . . . . . . . . . . . c u Os quadrados ABCD e EF GH tm 24 retngulos de mesma rea. e a a A rea dos retngulos escuros, juntos, representa uma fraao a a c igual a 19 do quadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 A rea escura representa 16 da rea do quadrado . . . . . . . . a a 1 A rea escura representa 4 da rea do quadrado . . . . . . . . a a A rea escura corresponde ` fraao 6 . . . . . . . . . . . . . . . a a c 4 A rea escura corresponde ` fraao . . . . . . . . . . . . . . . . . a a c v

vi 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

LISTA DE FIGURAS A rea escura corresponde ` fraao . . . . . . . . . . . . a a c A rea escura corresponde ` fraao . . . . . . . . . . . . a a c A rea escura corresponde ` fraao . . . . . . . . . . . . a a c Os segmentos em negrito correspondem ` fraao . . . . . a c A rea em negrito corresponde ` fraao . . . . . . . . . . a a c Diviso em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . a AP = 1 , P C = 1 , AD = 2, 4 e DB = 3, 6. . . . . 3 2 Paralelep pedo de largura x, comprimento y e altura z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 29 29 29 30 43 45 47 51 52 53 55 56 56 57 58 59

Representaao de n meros racionais na reta . . . . . . . . . . . c u AB = AD = BC = 1, AE BF = x , x2 = 2 , e P Q QR = x. = = Representaao na reta de 2 e seu oposto aditivo 2. . . . . c Representaao na reta da soma de irracionais. . . . . . . . . . . c 1 Representaao do inverso de x : OP = OA = 1 e OI = x . . . c 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaao na reta de 2 c Representaao do produto de n meros reais: OA = 1, OB = y, c u OC = x e OP = xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaao de 2 3 = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . c a A rea cinza representa da rea do quadrado . . . . . . . . . a 4

Caros Professores e Alunos,

O presente texto uma introduao ao conjunto dos n meros reais. Escrever e c u um texto sobre n meros reais para uma turma to heterognea foi um desao u a e a rduo e graticante. A diculdade central em falar sobre nmeros reais, para u alunos no ensino fundamental e mdio, reside basicamente na impossibilidade e de apresentar um noao, ou deniao, que utilize as construoes mentais que a c c c tenra idade permite. Desta forma, recomendamos, tanto ao professor quanto ao aluno, a associaao dos n meros reais positivos com comprimento de segmentos c u de retas iniciando em um ponto O e terminando ` direita do mesmo. a A idia de que cada segmento tem um comprimento facilmente aceita e e pelos alunos. O uso de rgua e compasso pode auxiliar a construao de 2 e c e de outros n meros irracionais mas, lembre-se que nossa viso no muito u a a e exata. Os exerc cios sobre diviso proporcional podem, e devem, tambm ser a e trabalhados utilizando o Teorema de Thales. Assumimos que a noao de fraao j de conhecimento do aluno. Caso seja c c a e necessrio, o aluno pode, e deve, rever o livro utilizado na 4a e 5a sries. a e Ao nal deste curso, recomendamos que os alunos revejam e refaam os c exerc cios dos livros de Matemtica que eles utilizaram na sua escola. a O autor gostaria de ouvir de vocs cr e ticas e sugestes para a melhoria do o texto. Finalmente, agradecemos ao professor Samuel Jurkiewicz pelo texto utilizado no cap tulo sobre fraoes cont c nuas e pelos problemas interessantes inclusos no apndice, e, ` professora Maria Lucia Villela por sua colaboraao e a c como revisora. Divirtam-se, Carlos E. N. Bahiano

Cap tulo 1

Senso comum1.1 Aristteles e o senso comum: noo de igualo ca dade

Acredita-se que os primeiros lsofos surgiram nas colnias gregas de Jnia o o o e Magna Grcia no sculo VI antes de Cristo. A Filosoa caracterizava-se, e e at ento, por ser uma busca organizada e racional de explicaoes para os e a c fenmenos naturais e questes que desaavam a mente humana. Existiam bao o sicamente dois tipos de problemas: o primeiro tipo compreendia a necessidade de entender a natureza humana, sua origem e razo de sua existncia; o sea e gundo grupo compreendia a necessidade de entender os fenmenos naturais, a o existncia de padres matemticos e sua utilizaao para compreender, prever e e o a c resolver problemas cotidianos relativos ` construao, comrcio, m sica e outros. a c e u Neste momento, entendia-se que o estabelecimento de uma resposta aceita por todos como verdadeira solucionava o problema em questo, este era o chamado a Senso comum. Do ponto de vista matemtico o uso da expresso senso comum tem seu a a primeiro registro no Livro I dos Elementos de Euclides. Euclides de Alexandria (360A.C-265 A.C) o mais conhecido autor matemtico da antiguidade, e a escreveu Stoichia(Os elementos) uma obra composta por treze livros que reuniam o conhecimento matemtico de seus predecessores, sendo cinco sobre a geometria plana, trs sobre n meros, um sobre proporoes, um sobre grandezas e u c incomensurveis e os trs ultimos sobre geometria no espao. No livro I, aparea e c 1

2 cem as seguintes armaoes: c

CAP ITULO 1. SENSO COMUM

1. Objetos que so iguais a uma mesma coisa tambm so iguais entre si. a e a 2. Se iguais forem somados a iguais, ento os resultados so iguais. a a 3. Se iguais forem subtra dos a dois valores iguais, ento os resultados so a a iguais. 4. Coisas que coincidem umas com as outras so iguais entre si. a 5. O todo maior que a parte. e Estas armaoes, que ele classicou como senso comum, foram aceitas como c verdadeiras e, de certa forma, so os princ a pios bsicos para entender o que a so e para que servem os n meros, assim como, para resolver problemas ou a u equaoes envolvendo n meros. Podemos entender o uso destes princ c u pios, que chamaremos de princpios do senso comum, estudando os exemplos a seguir. Exemplo 1.1. Jlia tem 8 anos. Se somarmos 3 a idade que Paulo tem, u encontramos como resultado o dobro da idade de Jlia. Qual a idade de Paulo? u O dobro de 8 16, aplicando o primeiro princ e pio do senso comum, a idade de Paulo mais 3 igual 16. Ou seja, a idade de Paulo mais 3 igual a (13 + e e 3). Aplicando o terceiro princ pio do senso comum, subtraindo 3, descobrimos a idade de Paulo. Paulo tem 13 anos. Exemplo 1.2. O triplo de idade de Paulo somado ao dobro da idade de Ana resulta em 10. Subtrair a idade de Ana do dobro da idade de Paulo, resulta em 2. Qual a idade de Paulo? Se representarmos por x a idade de Paulo e por y a idade de Ana, podemos escrever o problema da seguinte forma: 3x + 2y = 10 e 2x y = 2

Ora, aplicando os princ pios do senso comum, como 2xy = 2, ento (2xy)+ a y = 2 + y. Ou seja, 2x = 2 + y. Portanto, 2x 2 = y. Por outro lado, devemos ter 3x + 2y = 10. Substituindo y por 2x 2 devemos ter 3x + 2(2x 2) = 10. Ou seja, 3x + 4x 4 = 10. Aplicando novamente os princ pios do senso comum a equaao 7x 4 = 10, obtemos que 7x = 14 e portanto x = 2. Logo, como x c representa a idade de Paulo, Paulo tem 2 anos.

1.2. OS MATEMATICOS E A NOCAO DE OBJETOS EQUIVALENTES 3 Quando resolvemos problemas matemticos sempre utilizamos os princpios a do senso comum, pois ao resolvermos um problema matemtico estamos sema pre comparando coisas. Por exemplo, comparamos reas, comparamos rea sultados de operaoes matemticas como soma, subtrao e diviso, alm de c a ca a e outros objetos matemticos que conhecemos ao longo da nossa vida estudantil. a Se numa comparaao aplicamos os princpios do senso comum e obtemos um c resultado falso, ento os objetos comparados no so iguais. a a a Exemplo 1.3. A professora perguntou a um aluno qual o resultado da expresso 5 + (35 5). O aluno respondeu erradamente que o resultado era 8. a Vamos provar que a resposta est errada. a A armaao do aluno foi que 5 + (35 5) = 8. Se isto fosse verdade, subc traindo 5 em cada lado da igualdade, dever amos ter 35 5 = 3. Mas todo mundo sabe que 35 dividido por 5 igual a 7 e 7 no igual a 3. Logo, a e a e resposta do aluno est errada. De fato, a resposta correta 12. a e Exerc cio 1.4. Use os princpios do senso comum para descobrir o valor de x em cada uma das seguintes equaoes: c 1. Se x + 2 = 5 quanto vale x? 2. Se 2x 3 = 11 quanto vale x? 3. Se 2x 3 = x + 7 quanto vale x? 4. Se x 3 = 11 x quanto vale x? 5. Se x 2 = 10 quanto vale x?

1.2

Os matemticos e a noo de objetos equia ca valentes

Na seao anterior vimos que, para resolver um problema matemtico, ns c a o usamos regras que antigamente eram chamadas de princ pios do senso comum. Hoje os matemticos deram um novo formato a estes princ a pios, reduzindo-os para apenas trs e denominado-os de princ e pios de equivalncia. e 1. Todo objeto igual a si prprio. e o

4

CAP ITULO 1. SENSO COMUM 2. Se o objeto A igual ao objeto B, ento B igual a A. e a e 3. Se o objeto A igual ao objeto B e o objeto B igual ao objeto C, ento e e a o objeto A igual ao objeto C e

O primeiro princ pio chamado de reexividade, o segundo chamado de e e simetria e o ultimo a transitividade. Qualquer noao de igualdade ou e c equivalncia deve obedecer a estes trs princ e e pios. A razo para utilizar estes a princ pios, em lugar dos princpios do senso comum , que hoje a Matemtica e a est muito mais sosticada e precisamos comparar outros objetos matemticos, a a alm de n meros e reas. e u a De fato, a noao de equivalncia a ferramenta bsica para a construao dos c e e a c n meros, mas isto uma histria para ser contada mais tarde. Por enquanto u e o podemos nos contentar em entender que os n meros podem ser representados u de vrias formas, que a noao do que chamamos de n mero evoluiu de acordo a c u com as necessidades humanas, que existem regras para fazer operaoes com os c n meros e para compar-los. Por exemplo, todas as expresses a seguir so u a o a iguais a 4. 2 + 2, 3 + 1, 5 1, 12 , 3 8 4 + , 3 3 63 1 , 15 5 16, 22 , log10 104

Podemos ainda representar os n meros usando tipos diferentes de escrita ou de u notaao. Por exemplo, o n mero 4 pode ser escrito nas seguintes formas: c u IV em algarismo romano, 4 em algarismo ndu-arbico. a Cada civilizaao pode possuir uma forma de representar os n meros, mas as c u operaoes matemticas de soma, multiplicaao, diviso, exponenciaao, assim c a c a c como a resoluao de equaoes numricas, sempre obedecem aos princ c c e pios de equivalncia ou, equivalentemente, a noao de igualdade matemtica. e c a Para entender porque a noao de n meros evoluiu com as necessidades huc u manas, basta observar que no seu estado primitivo o homem apenas precisava dos n meros naturais. Por exemplo, para saber se todos os lhos estavam u presentes, quantas ovelhas tinham, quantos soldados inimigos a tribo concorrente tinha, etc. . . . Certamente, com o desenvolvimento da capacidade de fazer comrcio (troca) veio junto a necessidade de exprimir a falta ou dbito e, e e neste momento, precisaram da noao de n meros inteiros. Com a necessidade c u de construir edicaoes veio a necessidade de comparar coisas, que podem ser c particionadas (divididas) em quantidades que no poderiam ser quanticadas a

1.2. OS MATEMATICOS E A NOCAO DE OBJETOS EQUIVALENTES 5 apenas com n meros inteiros, como por exemplo rea de terra, distncia entre u a a dois pontos, justicando a criaaodos n meros racionais e irracionais. c u Outras necessidades humanas, quer sejam simplesmente a necessidade de exercer sua racionalidade atravs do pensamento matemtico, ou necessidades e a tecnolgicas, nos levaram ampliaao das nooes de n mero, de suas operaoes o a c c u c aritmticas e de suas representaoes. Ao longo da sua vida acadmica o aluno e c e conhecer, sequencialmente, os seguintes conjuntos numricos: conjunto dos a e n meros Naturais (representado por N), conjunto dos n meros Inteiros (repreu u sentado por Z), conjunto dos n meros Racionais (representado por Q) e Irrau cionais (representado por I), conjunto dos n meros Reais (representado por R), u conjunto dos n meros Complexos (representado por C), conjunto dos n meros u u -dicos (representado por Z() ) e outros. Neste texto, estudaremos os n meros a u racionais e irracionais.

6

CAP ITULO 1. SENSO COMUM

Cap tulo 2

O que uma razo? e aUma razo uma comparaao quantitativa entre dois objetos matemticos. a e c a Podemos comparar informaoes numricas de naturezas diversas, por meio da c e razo entre elas. a Podemos comparar informaoes numricas sobre dois conjuntos. Por exc e emplo, podemos calcular a razo entre a quantidade de alunos e a quantia dade de professores existentes numa escola ou, em outras palavras, quantos alunos existem para cada professor dispon vel. Podemos comparar o custo de um servio e o n mero de pessoas atenc u didas. Por exemplo, podemos calcular a razo entre os gastos de uma a escola e o seu n mero de alunos. u Podemos comparar informaao numrica sobre reas, volumes e, ou comc e a primentos. Por exemplo, a razo entre a rea de um retngulo e o coma a a primento da sua base igual a altura do retngulo. A razo entre a rea e a a a de um tringulo e a rea do paralelogramo, determinado por ele, igual a a e a 0.5. Podemos comparar o valor de uma distncia percorrida por um atleta e a o tempo gasto para percorr-la. Neste caso, a razo a velocidade do e a e atleta e a informaao, que a razo fornece, a idia de quanto tempo o c a e e atleta gastou em cada parte do percurso. 7

8 A

CAP ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO? D

B Figura 2.1: Razo entre as reas ABC e ABCD a a e1 2

C

Podemos comparar o peso de uma pessoa e o quadrado da sua altura em metros. Neste caso, a razo conhecida como a e Indice de massa corporal, IM C = peso em Kg . Altura ao quadrado

O IMC usado para determinar se uma pessoa est acima ou abaixo do e a peso normal. A tabela abaixo uma classicaao usada pela Organizaao e c c Mundial de Sa de: u Categoria Abaixo do peso Peso normal Sobrepeso Obesidadede IMC menor que 18,5 entre 18,5 e 24,9 entre 25 e 29,9 acima de 30

Podemos comparar a rea de um c a rculo com o quadrado do seu raio. Neste caso, a razo igual a . Veja a gura 2.6 a e Podemos comparar o preo de um saco de bombons com a quantidade de c bombons existentes no saco. Neste caso, a razo fornece o preo de cada a c bombom. Podemos concluir que uma razo expressa uma relaao entre dois n meros a c u e que esta relaao contm, de certa forma, informaoes sobre os objetos c e c associados aos n meros. Por exemplo, se 10 garrafas idnticas, compleu e tamente cheias, contm 9 litros de suco, ento a razo entre o volume, e a a 9 , e o n mero de garrafas, nos informa a capacidade de cada garrafa. O u volume de cada garrafa 10 = 900 m. e 9

9 A seguir, exemplicamos dois tipos de razo que tm como resultado o a e objeto de estudo deste curso. No primeiro exemplo, 2.1, a razo descrita um a e n mero racional e no segundo exemplo, 2.2, a razo o n mero irracional . u a e u Exemplo 2.1. Considere os cinco segmentos de reta A, B, C, D e E, descritos na gura abaixo, cujos comprimentos esto indicados em metros. a

2, 25 m 2m

1m 0, 75 m 0, 5 m 0, 25 m 0 A B C D E

Figura 2.2: Razo entre comprimentos a Podemos nos perguntar quantos segmentos de mesmo comprimento que o segmento A so necessrios para construir o segmento E, colando-os um aps a a o o outro. Neste caso, vemos que so necessrios 9 segmentos. De fato, o sega a mento C pode ser construdo com 4 segmentos iguais a A, o segmento D pode ser contrudo com 8 segmentos iguais a A e, nalmente, o segmento E pode ser construdo com 9 segmentos iguais a A. Portanto, a razo entre os com a primentos dos segmentos E e A igual a 9. e Por outro lado, comparando os segmentos E e D, percebemos que, para construir E, sero necessrios dois segmentos iguais a C e mais um segmento a a igual ao segmento A, enquanto para D sero necessrios 8 segmentos iguais a a a A. Conseqentemente, a razo igual a 9 8, ou seja, 1, 125. u a e No exemplo acima, vimos que comparando o segmento E com o segmento D, conclu mos que poder amos construir o segmento E, usando um segmento

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CAP ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?

igual a D e mais um segmento correspondente ao segmento D dividido em 8 partes iguais, ou seja, dividindo o segmento de um metro em um n mero nito u de partes de comprimentos iguais, 4 partes neste caso. Podemos construir os segmentos, citados no exemplo acima, colando um n mero nito de segmentos u iguais a A. Entretanto, nem toda razo pode ser expressa como diviso de dois a a n meros inteiros, como mostra o exemplo a seguir. u Exemplo 2.2. Considere o crculo de raio igual a 1 cm e o quadrado de lado igual a 1 cm.

Figura 2.3: Qual a razo entre a rea do c a a rculo e a rea do quadrado? a

Vamos estimar qual a razo entre a area do crculo e a area do quadrado. a Vamos chamar de a rea do c a rculo em cm2 . Sabemos que a rea do a quadrado de lado igual a 1 cm 1cm2 . Podemos facilmente ver, na gura e abaixo, que a rea do c a rculo menor do que 4 vezes a rea de quatro quadrados e a de lado 1 cm.

Dividindo cada quadrado em 4 e depois em 16 quadradinhos congruentes, temos: que a rea branca no interior do c a rculo corresponde a 2 cm2 , e, analisando a rea externa ao c a rculo, vemos que do lado de fora do c rculo a rea a e maior do que 0, 5 cm2 . Logo, conclu mos que 2 < < 3, 5.

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Figura 2.4: A rea branca no interior do c a rculo corresponde a 2 cm2

Para prosseguir nossa anlise, observea mos que o c rculo formado por quatro ge uras de mesma rea, logo basta que analisea mos uma destas guras e depois multipliquemos o resultado por 4. Figura 2.5: Dividindo os lados do quadrado em partes cada vez menores, vamos observar que a rea do c a rculo maior do que 3,1 e menor do que 3,2 e, alm disto, a rea e e a do c rculo nunca vai ser inteiramente preenchida apenas com quadradinhos.

Figura 2.6: A rea do c a rculo de raio 1 cm igual a . e O que signica dizer que nunca expressaremos a razo entre a rea do c a a rculo e a rea do quadrado de forma anloga ao feito para os segmentos do exemplo a a

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CAP ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?

anterior, isto , como diviso de dois n meros inteiros. De fato, esta razo e a u a e igual a cujo valor aproximado, com cinco casas decimais, 3, 14159. e Observao 1. Embora o exemplo anterior tenha sido feito com razo entre ca a areas, existem innitos exemplos de razes, entre comprimentos de segmentos, o que jamais podero ser expressos como razo entre dois nmeros inteiros. Veja a a u exemplo 4.2.

2.1

Teorema de Thales

A noao de razo fornece um dos mais belos teoremas da geometria plana: c a Teorema de Thales. Thales de Mileto nasceu na regio hoje conhecida como a Turquia, na cidade de Milletus, em 610 AC. Alm de matemtico, Thales foi e a o que hoje chamar amos de engenheiro. Thales cou conhecido por medir as pirmides do Egito, comparando a razo entre a sua altura e sua sombra a a com a razo entre o comprimento das sombras das pirmides. Em verdade, a a Thales resolveu uma proporao em que a altura era uma incgnita (valor a ser c o encontrado), para isto, ele multiplicou a razo entre sua altura e sua sombra a pelo comprimento da sombra da pirmide e assim, determinou o comprimento a da pirmide. a

Figura 2.7: A artimanha de Thales

2.1. TEOREMA DE THALES

13

Teorema 2.3 (Teorema de Thales). Se duas retas so transversais a a trs retas paralelas, ento a razo entre dois segmentos quaisquer, e a a determinados por uma delas, igual ` razo entre os segmentos e a a correspondentes determinados pela outra. Isto , se A, B, C e P, Q, R e so os pontos de interseao, respectivamente, entre as retas tranversais e as a c retas paralelas, ento a AB PQ = BC QR AC PR = BC QR AC PR = . AB PQ

A B

P Q

C

R

Figura 2.8: Teorema de Thales

AC BC

=

PR QR .

14

CAP ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?

Cap tulo 3

Nmeros racionais u3.1 O que um n mero racional e u

Na seao anterior, dissemos que a noao intuitiva de nmero modicouc c u se ao longo do tempo para atender, entre outras necessidades humanas, as necessidades matemticas de cada poca. Vejamos as questes a seguir. a e o Questo 3.1. a 1. Qual o n mero que devemos somara 3 para obter, como resultado da u soma, o n mero 2? u 2. Qual o n mero que devemos multiplicarpor 2 para obter, como resulu tado do produto, o n mero 3? u 3. Qual o n mero cujo quadrado 2? u e 4. Quanto mede o per metro de um c rculo de raio 1? 5. Existe algum n mero x tal que 10x = 2? u 6. Existe algum n mero cujo quadrado -1? u e Cada questo acima nos leva ` necessidade de ampliaao do que foi chamado a a c de n mero em cada poca. u e A primeira questo no tem como soluao um n mero natural. De fato, a a c u somar dois n meros naturais sempre fornece como resultado um n mero maior u u 15

16

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

ou igual aos dois n meros naturais que foram somados (lembre-se que N = u {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}). Portanto, para responder corretamente a questo 1, precisamos de considerar os n meros inteiros negativos. Diophantus a u de Alexandria, que viveu no sculo II, em seu livro Aritmetika, denominou e os n meros inteiros negativos de nmero absurdo ou impossvel, denominaao u u c que persistiu at o sculo XVI, quando nalmente passaram a ser chamados de e e n meros negativos, e somente no sculo XIX foram agregados ao conjunto dos u e n meros naturais para formar o conjunto dos n meros inteiros: u u Z = {. . . , 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}. Durante todo este tempo, cerca de dois mil anos, os matemticos trabalhaa ram com uma noao intuitiva de n meros inteiros negativos: um nmero c u u e chamado de nmero inteiro negativo se podemos som-lo a um nmero natural u a u para obter zero como resultado da soma. A questo 2 nos leva ao conceito de n meros racionais positivos. Intuitia u vamente, um n mero racional permite expressar a diviso ou partiao de um u a c objeto, matemtico ou no, em quantidades que no poderiam ser quantia a a cadas apenas com n meros inteiros. Por exemplo, quanto mede cada parte de u uma corda de 2 m que foi dividida em 3 partes iguais? Ou em outras palavras, quanto 2 dividido por 3 ? e Os n meros racionais positivos u so conhecidos desde a antiguidaa de. O papiro de Ahmes, datado de 1700AC, ilustra vrios problemas ena volvendo fraoes de n meros natuc u rais. Aps a aceitaao dos n meros o c u inteiros negativos os matemticos a tambm passaram a considerar fraoes e c de um n mero negativo. u As questes 3, 4 e 5, por sua vez, o nos levam ao conceito de n mero iru racional. Alguns n meros irracionais u a como 2 e e a constante urea j eram conhecidos desde a antigua idade. Outros, como log 2, so mais a recentes. Figura 3.1: Papiro de Ahmes 1700 AC

3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL

17

Finalmente, a questo 6 nos leva ao conceito de n mero complexo. a u Do ponto de vista matemtico, a deniao de n mero s foi formalizada a c u o por volta de 1922, como conseqncia dos trabalhos de George Cantor (1872), ue Richard Dedekind (1888), Ernest Zermelo (1908) e Adolf Fraenkel (1922). De um modo geral, podemos dizer que um n mero x um n mero u e u racional se podemos multiplic-lo por algum n mero natural noa u a nulo e obter como resultado um n mero inteiro. Ou seja, um n mero u u racional expressa a razo ou diviso entre dois n meros inteiros. A notaao 3 a a u c 2 representa o n mero racional que multiplicado por 3 resulta em 2. De forma u u anloga, a notaao 2 representa o n mero racional que multiplicado por 3 a c 3 resulta em -2. Desta forma, os n meros a seguir so exemplos de n meros racionais: u a u 0, 2 , 3 , 15 0, 3 , 15 3 , 4 1 , 5 0, 25 , 0, 825.

Observe que 0, 2 10 = 2, que 0, 25 4 = 1. Logo, 0, 2 = 2 , assim como, 10 33 1 a 0, 25 igual a 4 . De forma anloga, 0, 825 40 = 33, logo 0, 825 = 40 . e Denio 3.2. Um nmero racional todo e qualquer nmero que puder ser ca u e u a u escrito na forma x , em que x e y so nmeros inteiros, com y diferente de y zero. O conjunto dos nmeros racionais usualmente representado por Q. u e O valor x chamado de numerador e o valor y chamado de denomie e nador. Por exemplo em 2 , o numerador igual a 2 e o denominador igual a e e 3 3. Uma forma de compreender o conjunto Q lembrar que: o conjunto dos e n meros inteiros formado pelos n meros naturais (incluindo o zero) e os seus u e u opostos aditivos (os inteiros negativos). De forma anloga, o conjunto dos a n meros racionais composto pelas fraoes de n meros naturais e seus opostos u e c u aditivos. Alm disto, os n meros racionais positivos, razo entre dois inteiros e u a positivos, admitem uma interpretaao como comprimento de segmentos de reta c medidos a partir de um ponto xo, representado pelo zero. Enquanto os seus opostos aditivos, os racionais negativos, so representados por um ponto em a posiao simtrica em relaao ao zero. c e c Quando dois n meros racionais so iguais? u a Sabemos que um n mero racional todo n mero que multiplicado por um e u u n mero inteiro, diferente de zero, resulta em um n mero inteiro. Esta cau u

18

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

2 3

3 15 3 15

2

1

0

2 3

1

2

Figura 3.2: Posiao relativa na reta c racterizaao de n meros racionais nos traz algumas questes interessantes. Por c u o exemplo, como determinar se dois n meros racionais so iguais, uma vez que u a eles podem ter diferentes representaoes? Para ilustrar esta questo considere c a a questo abaixo. a Questo 3.3. Na gura a seguir, os tringulos ABC e ADE so tringulos a a a a retngulos, nos quais AB = BC = 1, AD = DE = 2 e BC||DE. Qual a razo a a entre os comprimentos de AE e AC? E C

A Figura 3.3:AE AC

B = 2 2 2

D racional. e

Resposta: Como ABC e ADE so tringulos semelhantes (veja 2.3), facila a mente conclu mos que AE = 2. Por outro lado, desde a antiguidade, os seres AC humanos sabem calcular os comprimentos de AE e AC (Teorema de Pitgoras: a (AE)2 = (AD)2 + (DE)2 ). fato, o comprimento de AB 2 e o compriDe e a e mento de AE dobro, 2 2. Logo, a razo tambm pode ser expressa por e o 2 2 . Portanto, 2 2 = 2 = 2 . 1 2 2 Observao 2. Para os alunos que no sabem o conceito de semelhana, basta ca a c observar que o ponto de interseao do segmento DE com a reta paralela ao c segmento AD e que passa pelo ponto C determina um ponto P , tal que ABC e CP E so congruentes. a

3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL

19

E

C

P

A

B

D

Figura 3.4: ABC congruente a CP E. e Logo, o comprimento de AC igual ao comprimento de CE. e O que esta questo nos ensina? a Esta questo nos ensina que a razo entre dois n meros pode resultar em a a u um n mero racional, mesmo que estes n meros no sejam inteiros. u u a Como saber se uma razo um n mero racional? a e u Para responder a esta pergunta, precisamos entender a propriedade fundamental da igualdade entre razes: Duas razes a e d , com b e d diferentes o o b c de zero, so iguais se, e somente se, a d = b c. Logo, uma razo a , a a b entre dois n meros, um n mero racional se, e somente se, existem inteiros c u e u e com d diferente de zero, tais que a d = b c. No exemplo 3.3, tem-se d, 2 2 = 2 , pois 2 2 1 = 2 2. 1 2 Em particular, temos a seguinte regra para igualdade de n meros racionais. u Propriedade 3.4 (Igualdade de n meros racionais). uc Dois n meros racionais a e d so iguais se, e somente se, u a b a d = b c.

Exemplo 3.5. 1. Os n meros racionais u2 3

e

2 3

so iguais pois, 2 (3) = 3 (2). a

20 2. Os n meros racionais u3 5

CAP ITULO 3. e3 5

NUMEROS RACIONAIS

so iguais pois, (3) (5) = 3 5. a

Uma conseqncia da propriedade acima dada a seguir. ue e Propriedade 3.6. Todo n mero racional pode ser representado na u forma a em que b um n mero natural diferente de zero. e u b De fato, a propriedade acima nos diz que se b um n mero natural no-nulo, e u a ento b = a , pois a (b) = (a) b. Veja os exemplos em 3.5. a a b Como comparar dois n meros racionais? u Certamente, a comparaao entre dois n meros racionais fcil de ser feita c u e a quando os dois n meros tm um mesmo denominador positivo. Vejamos o u e exemplo a seguir. Exemplo 3.7. Vamos comparar os racionais 2 e 4 . Podemos representar as 3 5 a razes 3 e 4 , por meio das guras a seguir, nas quais ABCD e EF GH so o 2 5 quadrados de mesma area.

B

C

F

G

A

D2 3

E

H

Figura 3.5: A rea escura representa a senta 4 . 5

da rea de ABCD e em EF GH reprea

Se dividirmos a area de ABCD em trs partes iguais e depois redividirmos e cada parte em 5 partes iguais, a area de ABCD ser ento dividida em 15 a a partes iguais, e os dois teros da area de ABCD correspondero a 10 destas c a novas partes. Da mesma forma, se dividirmos a area de EF GH em cinco partes iguais e depois redividirmos cada parte em 3 partes iguais, a area de

3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL

21

EF GH ser ento dividida em 15 partes iguais, e os quatro quintos da area de a a EF GH correspondero a 12 destas novas partes. a

C

D

F

G

B

A

E10 15

H e em EF GH representa

Figura 3.6: A rea escura em ABCD representa a 12 . 15

2 12 Portanto, temos 3 = 10 e 4 = 15 . Portanto, a fraao 4 representa uma c 5 15 5 2 4 parte maior do que a fraao 3 , e portanto o nmero racional 5 maior do que c u e 2 o nmero racional 3 . u

Logo, para comparar dois n meros racionais, basta reduzi-los a um mesmo u denominador. Pois, dois n meros racionais que possuem o mesmo deu nominador so iguais se, e somente se, os numeradores so iguais. a a Alm disto, se dois n meros racionais possuem um mesmo denominador (pose u itivo), o maior entre eles ser aquele que possuir o maior numerador. Por a 3 8 10 9 2 e exemplo, 3 maior do que 5 e 3 maior do que 5 . Pois, 2 = 15 , 3 = 15 e 5 e 3 5 24 8 e e 5 = 15 . Por outro lado, 10 maior do que 9 e 9 maior do que 24. Como reduzir dois n meros racionais a um mesmo denominador ? uc d De um modo geral, dados dois n meros racionais a e d temos a = a d u b b b cb e vel u e = b d . Logo, sempre poss reescrever dois n meros racionais usando um mesmo denominador. Neste caso, o denominador, a ser obtido, ser um a m ltiplo comum dos dois denominadores. Observe que como b e d so diferentes u a de zero, ento o M M C(b, d) o menor n mero natural diferente de zero que a e u m ltiplo de b e de d, logo sempre poss e u e vel multiplicar o numerador e o c d

22

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

c denominador de a e, analogamente, de d , por n meros inteiros, de forma que u b o denominador das duas razes seja M M C(b, d). o 3 Exemplo 3.8. Para reduzir os nmeros racionais 5 e 8 a um mesmo denomiu 6 nador, observamos que M M C(6, 8) = 24. Por sua vez, 24 : 6 = 4 e 24 : 8 = 3. 20 53 5 Logo, 6 = 5 4 = 24 e 5 = 8 3 = 15 . 64 8 24

3.1.1

Representando nmeros racionais com numerador u e denominador relativamente primos

Todo n mero racional a pode ser escrito na forma x em que u b y M DC(x, y) = 1. De fato, se d = M DC(a, b), ento existem inteiros x e y tais que a = x d a e b = y d e M DC(x, y) = 1. Logo, a = xd = x . b yd y6 90 Exemplo 3.9. Vamos escrever os racionais 12 , 35 e 20 com numeradores e 60 denominadores relativamente primos. Temos M DC(6, 12) = 6, M DC(90, 35) = 5 e M DC(20, 60) = 20. Logo,

6 16 1 = = 12 26 2

90 18 5 18 = = 35 75 7

20 1 20 1 = = 60 3 20 3

3.1.2

Ordenando os racionais

Todo n mero inteiro um n mero racional. De fato, se n um n mero u e u e u natural ento podemos escrev-lo na forma de razo n . Sendo assim, para a e a 1 comparar dois n meros racionais precisamos de uma noao de comparaao que u c c coincida com a comparaao de inteiros. Desta forma, todo n mero racional c u negativo, aquele que pode ser expresso na forma a com numerador negativo b e denominador positivo, deve ser menor do que zero e menor do que qualquer n mero racional positivo, aquele com numerador e denominador positivos. u a Mais ainda, a um n mero racional positivo a corresponde uma distncia, u b medida entre o ponto que representa o zero e o ponto que representa a , enb c e quanto que, ao seu oposto aditivo a corresponde o ponto em posiao simtrica b com respeito ao zero, conforme representado na gura abaixo. Desta forma, se ordenamos os racionais positivos tambm ordenaremos, e automaticamente, os racionais negativos. A propriedade a seguir nos permite comparar os n meros racionais, respeitando a noao de maior ou menor dos u c n meros inteiros. u

3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS

23

4 3

1 2

4 3

3 5 2 2

1 23

0

1 2 2 3

1

5 4

2

5 2

Figura 3.7: Representaao de n meros racionais na reta c u Propriedade 3.10 (Ordenando os n meros racionais). Se os n meros u u c e a u racionais a e d tm denominadores positivos, ento o n mero racional b c a e u e b maior do que o n mero racional d se, e somente se, a d maior do que c b. A regra acima pode ser escrita usando o s mbolo > (l-se maior do e que).a b

>

c d

se, e somente se, a d > c b.

Utilizando a regra acima, sempre poderemos ordenar os n meros racionais, u escrevendo-os em ordem crescente ou decrescente. Exerc cio 3.11. Coloque os nmeros racionais abaixo em ordem crescente. u 1 5 2 3 2 4 3 7 87 2 11 23 100 3 10 . 4

3.23.2.1

Operaes aritmticas com n meros racionais co e uSoma e produto de nmeros racionais u

A soma e o produto dos n meros racionais so denidos como a seguir. u a Denio 3.12 (Soma de n meros racionais). Dados dois nmeros racionais ca u u c a e d temos: ba b

+

c d

=

(ad)

+ bd

(bc)

Propriedade 3.13. A soma de nmeros racionais tem as seguintes propriedades: u

24 1.a b

CAP ITULO 3. +c d

NUMEROS RACIONAIS

=

c d

+x y

a b a b

(Comutatividade)c + (d + x) y

c 2. ( a + d ) + b

=

(Associatividade)

c u 3. Para cada n mero racional a , existe um n mero racional d , tal que a + u b b c d = 0. De fato, temos a + a = 0 = 0. Neste caso, dizemos que a o oposto b b b b e aditivo de a e escrevemos a em lugar de a . b b b

O que signica somar dois n meros racionais? u Para entender o que signica somar dois n meros racionais, vamos consideu rar o caso da soma de dois n meros racionais positivos. u Nas duas guras a seguir os quadrados ABCD e EF GH so congruentes, a 1 a a parte escura representa, respectivamente, 2 e 8 das reas dos quadrados 3 ABCD e EF GH. F

B

C

G

A

D E

H

Figura 3.8: Os quadrados ABCD e EF GH tm 24 retngulos de mesma rea. e a a Se juntarmos a parte que representa 2 com a parte que representa 1 (lembre3 8 2 1 3 se que 3 = 16 e 8 = 24 ), obteremos 19 partes de um quadrado que foi dividido 24 em 24 partes iguais. Logo, a razo entre a rea da unio das partes escuras das duas guras e a a a a 16 3 19 a rea do quadrado, ser igual a 19 , ou seja, 24 + 24 = 24 . a 24 Deste exemplo, percebemos que para somar n meros racionais com um u mesmo denominador basta somar os numeradores e manter o denominador. c d De um modo geral, dados dois n meros racionais a e d temos a = a d e u b b b c cb ad+cb e . d = b d . Portanto, a soma igual a bd

3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS

25

B

C

A

D

Figura 3.9: A rea dos retngulos escuros, juntos, representa uma fraao igual a a c a 19 do quadrado. 24

Quanto e

3 4

de

2 5? 2 5

Na gura 3.10, a rea do retngulo AEHD corresponde a a a retngulo a Se dividirmos B o retngulo a ABCD, horizontalmente, em 5 partes iguais e depois dividimos, verticalmente, cada E parte em 4 partes iguais, o retngulo a ABCD ser divia dido em 20 partes A iguais e a rea a do retngulo AEHD a ser dividida em 8 partes iguais. a cura corresponde a 6 partes de um 3 veja a gura 3.10. Logo, 4 da C

da rea do a ABCD.

H

E

H

D

A

D

Figura 3.10: Desta forma, 3 da parte es4 total de 20 partes da unidade, 6 parte escura igual a 20 . e

26 Reduzindo a fraao, temos que: c

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

6 32 3 = = 20 45 10 De uma forma geral, calcular uma fraao a de uma fraao d corresponde ` c b c c a ac c u fraao bd . Esta interpretaao se estende para os n meros racionais. c Denio 3.14 (Produto de n meros racionais). Dados dois nmeros ca u u c racionais a e d temos: ba b

c d

=

ac bd

Propriedade 3.15. O produto de nmeros racionais tem as seguintes prou priedades: 1.a b

c d

=

c d

x y x y

a b a b

(Comutatividade)c (d x) y

c 2. ( a d ) b c 3. ( a d ) b

= =

(Associatividade)

acx bdy

c 4. Para cada n mero racional a , com a = 0, existe um n mero racional d , u u b c a tal que b d = 1. b 1 b e De fato, temos a a = a b = 1 = 1. Neste caso, dizemos que a o b ab a inverso de b .

5.

a b

c (d + x) = (a y b

c d)

+ (a b

x y)

(Distributividade)

A forma mais fcil de entender o que so e para que servem os n meros a a u racionais observar o que representam os n meros racionais positivos. Cada e u n mero racional positivo representa uma fraao racional, isto , a expresso da u c e a relaao entre partes de um todo e uma unidade, em que a unidade, a parte e o c todo so divididos em partes menores de mesmo tamanho. a Exemplo 3.16. Na gura 3.11 o quadrado foi dividido em 16 quadrados de mesmo tamanho. A parte escura corresponde a 4 quadrados de um total de 16 quadrados iguais. Portanto, a razo entre a area escura e a area total do quadrado igual a e 4 a 16 . Ora, quatro partes iguais em um total de 16 partes iguais correspondem a um quarto do total.

3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS

27

Figura 3.11: A area escura representa

4 16

da rea do quadrado a

Figura 3.12: A area escura representa

1 4

da rea do quadrado a

Ou seja, se a unidade fosse divida em quatro partes iguais, a area escura corresponderia a uma parte do total de quatro partes iguais. Desta forma, o 4 c nmero racional 1 expressa a mesma relaao que 16 . u 4 Neste caso, foi muito fcil expressar o quanto a parte escura representa a do todo. Qualquer pessoa entende rapidamente quando algum diz que comeu e metade, ou um tero, ou um quarto de uma barra de chocolate, pois todos c ns imaginamos a barra de chocolate dividida em pedaos menores e de igual o c tamanho. Alm disto, todos entendem que metade da barra de chocolate e e menor que a barra inteira. Exemplo 3.17. Joozinho ganhou duas barras, idnticas, de chocolates. Cada a e barra estava dividida em 4 quadrados iguais. Joozinho comeu uma barra ina teira e a metade da outra barra. Vamos representar cada barra de chocolate por um quadrado em que a area escura corresponde a parte que Joozinho comeu. ` a Qual a fraao que expressa a relaao entre o quanto Joozinho comeu e o c c a tamanho da barra de chocolate? Ora, cada barra foi dividida em 4 quadrados iguais. Joozinho comeu 6 a quadrados. Cada quadrado corresponde a um quarto da barra, logo Joozinho a comeu 6 quartos de uma barra. Neste caso, a unidade uma barra e o e 6 todocorresponde as duas barras. O nmero racional 4 expressa a razo entre ` u a a parte escura e a unidade.

28

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

Figura 3.13: A rea escura corresponde ` fraao a a c

6 4

Observemos que a parte escura igual a trs vezes a metade de uma barra, e e 6 c portanto o nmero racional 3 expressa a mesma relaao que 4 . u 2 Exerc cio 3.18. Em cada caso, escreva a fraao racional que representa a c relaao entre a parte escura e a unidade. c 1. No exerc a seguir, cada retngulo representa a unidade e cada unidade cio a foi dividida em partes de mesmo tamanho. A qual fraao do retngulo, c a corresponde a rea escura em cada gura? a

Figura 3.14: A rea escura corresponde ` fraao . . . . a a c

Figura 3.15: A rea escura corresponde ` fraao . . . a a c

3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS

29

Figura 3.16: A rea escura corresponde ` fraao . . . a a c

Figura 3.17: A rea escura corresponde ` fraao . . . a a c Exerc cio 3.19. Considerando a unidade indicada, escreva a fraao racional c que representa a relaao entre a parte em negrito e a unidade. c 1. O segmento AB representa a unidade. A qual fraao correspondem juntos c os segmentos em negrito?

A 0

B

1 2 4 6 10 Figura 3.18: Os segmentos em negrito correspondem ` frao . . . . a ca

2. O disco representa a unidade. A qual fraao corresponde a rea escura? c a

30

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

Figura 3.19: A rea em negrito corresponde ` fraao . . . . a a c Exerc cio 3.20. Faa um desenho que expresse a relaao indicada pelos seguintes c c nmeros racionais: u 3 , 5 8 , 4 4 , 5 5 , 4 16 3

3.2.2

Subtraindo nmeros racionais u

A subtraao de n meros racionais denida a seguir: c u e a c (a d) (b c) = b d bdc d.

Em verdade, a subtraao c Ou seja,

a b

c d

corresponde ` soma de a

a b

com o oposto de

a c a c = + . b d b d

3.2.3

Diviso de nmeros racionais a u

Quando dividimos 6 por 3 sabemos que o resultado igual a 2 pois 2 3 = e 4 u 6. De forma anloga, dividir o n mero racional 5 pelo n mero racional 2 , a u 3 2 4 corresponde a procurar o n mero racional x tal que 3 x = 5 . Desta forma, o u y y 2 4 u e resultado da diviso de 4 pelo n mero racional 3 igual a 6 . Pois, 2 6 = 5 . a 5 5 3 5 De um modo geral, temos: c x a = d y b Por outro lado, se, e somente se, cx a = . dy b

3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS

31

ou seja,

cx a = dy b

se, e somente se,

(c x) b = (d y) a, ad x = . y bc

x (b c) = y (a d),

isto , ea b

Portanto, para dividir um n mero racional u c a nulo d , basta multiplicar b por d . c

por um n mero racional nou a

A diviso de um n mero racional a por outro n mero racional a u u b diferente de zero, denida a seguir: e a c a d = b d b c E comum o uso da notaao c Questo 3.21. a 1. Qual o n mero racional que devemos multiplicar por u 4 como resultado o n mero racional 5 ? u 2. Qual o n mero racional que devemos multiplicar por u como resultado o n mero racional 9 ? u 5 3. Qual o n mero racional que devemos multiplicar por u 3 como resultado o n mero racional 1 ? u2 3 3 7 3 5 a b c d

c d,

para indicar a diviso de a

a b

c por d .

para obtermos para obtermos para obtermos

4. E verdade que todo n mero inteiro pode ser escrito como um nmero u u racional? 5. Qual o menor inteiro positivo que devemos multiplicar por mos como resultado um n mero inteiro positivo? u6 4

para obter-

c 6. Podemos armar que para cada fraao a , diferente da fraao nula, existe c b e u um menor inteiro positivo x tal que a x um n mero inteiro? b 1 Exerc cio 3.22. Calcule o resultado das seguintes expresses: o 1.1 3

1 4

323 2. ( 1 + 8 ) 4 2 3

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

3. 4. 5.

1 4 1 3 3 4

2 + (3 3) 8

3 8

5 7

1 (6 + 3) 8

6 3 1 6. ( 3 8 ) + ( 4 3 ) 4

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

3 4

1 (6 3) 8

2 6 1 1

1 4

8 48

5 13 1 4

13 12

(2 + 1 ) 3 3 8

7 12 1 3 1 3 2 3 0 1 2 3 3 5

5 8

3 (1 8) 4

3 4 5 8 5 4

2 5

1 10

Observao 3. As operaoes de soma, produto, subtraao e diviso de nmeros ca c c a u racionais obedecem as mesmas regras de precendncia de sinais que as operaoes ` e c com nmeros inteiros. Numa expresso sem parnteses, primeiro realizamos o u a e produto ou a diviso e, por m, a soma ou multiplicaao. Esta ordem de a c operaao s alterada pelo uso dos parnteses, neste caso, primeiro deve-se c o e e calcular as operaoes indicadas entre os parnteses. c e

3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS Assim, o resultado da expresso a 1 3 3 1 3 + 3 4 5 4 21 3

33

3 + 3 1 3 calculado como abaixo. 4 5 4 2 e 3 1 3 1 3 + 3 4 5 4 2 3 3 1 4 + 3 3 5 8 4 3 3 + 9 5 8 160 216 135 + 360 360 360 160 216 135 + + 360 360 360 160 + 216 135 360 241 3601 3 3 1 ( 3 + 5 ) ( 4 3 ) dado a seguir: 4 2 e

= = = = = = =

Enquanto o resultado da expresso a 1 3 3 3 + 4 5 1 3 4 2

= = = = = = =

1 3

15 12 + 20 20

3 8

1 27 3 3 20 8 1 27 3 20 1 20 3 27 20 3 81 8 160 243 648 83 648 3 8 3 8

34

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

Exerc cio 3.23. Coloque os parnteses nas expresses abaixo para indicar a e o ordem em que as operaoes devem ser executadas. c 1. 2. 3. 4.1 3 1 3 1 3 1 3

2 3 2 3 2 3

2 5 2 5 2 5

+

4 5 4 5 4 5

1 5

1 2 1 2 1 2 4 5

2 (2 5) 3

+21 2 1 2 1 2

1 2

Exerc cio 3.24. Calcule o resultado das expresses indicadas abaixo: o 1. 2. 3. 4. 5. 6.1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 5

+

2 3 2 3 2 3

2 5 2 5 2 5

+

4 5 4 5 4 5

1 5

2 (2 5) 3 2 3 2 3

+2

4 5

1 2

51 (1 + 3) 2

3.3

Representao decimal para n meros racionais ca u

De acordo com o signicado de n mero racional, vimos que um n mero u u e racional se, e somente se, podemos multiplic-lo por algum n mero natural noa u a nulo e obter como resultado um n mero inteiro. Desta forma, podemos pensar u os n meros racionais como resultado da diviso de dois nmeros inteiros. Por u a u 1 c exemplo, 1 = 0, 125 enquanto que 100 = 0, 01. Como caria a representaao 8 1 decimal de 3 ? Observe que 0, 3 3 = 0, 9 , 0, 33 3 = 0, 99 , 0, 3333333333 3 = 0, 9999999999

e que quanto mais casas decimais usamos, o produto por 3 ca cada vez mais prximo de 1. Mas se usamos um n mero nito de casas decimais iguais a o u 3, o resultado do produto por 3 nunca ser igual a 1. Sendo assim, ima e 1 poss representar 3 usando um n mero nito de casas decimais. Neste caso, vel u

3.3. REPRESENTACAO DECIMAL PARA NUMEROS RACIONAIS

35

dizemos que o n mero racional 1 representado por uma d u zima peridica simo 3 e ples 0, 33333 . . ., isto , um n mero cujas casas decimais, a partir de um certo e u ponto, constituem-se da repetiao innita de um unico algarismo. Quando as c casas decimais de um n mero se repetirem indenidamente numa seqncia de u ue dois ou mais algarismos, dizemos que o n mero uma d u e zima peridica como posta. Por exemplo, 40 33 = 1, 212121 . . . repete innitamente a seqncia ue de algarismos 21 a partir da prim eira casa decimal. Observe que multiplicando os n meros 1, 21 , 1, 2121 , 1, 212121 , 1, 21212121 e 1, 2121212121 u por 33 obtemos, respectivamente, os n meros 39, 93, 39, 9993, 39, 999993, u 39, 99999993 e 39, 9999999993, que esto cada vez mais prximos de 40. De a o forma anloga, a diviso de 2102 por 900 nos fornece 2102900 = 2, 335555 . . . . a a Para indicar que uma seqncia de algarismos se repete innitamente, usue amos uma barra sobre ela. Desta forma, a notaao 0, 3 representa a repetiao c c innita do n mero 3 a partir da primeira casa decimal, enquanto que 1, 21 u representa a repetiao innita de 21 aps a primeira casa decimal. De forma c o c anloga, 2, 335 representa a repetiao innita do algarismo 5 a partir da terceira a casa decimal. De acordo com a notaao acima, temos que 1 = 0, 3 , 40 = 1, 21 e c 3 33 2102 = 2, 335. De acordo com a noao de n meros racionais, percebe-se que c u 900 todo n mero racional tem uma expresso decimal. Esta expresso pode ter u a a um n mero nito de casas decimais ou ser uma d u zima peridica simples ou o composta. Para ser mais preciso, observando que um n mero racional, com um u n mero nito de casas decimais no-nulas, corresponde a uma d u a zima peridica o que consiste da repetiao do algarismo zero, ento todo n mero racional uma c a u e 5 50 500 d zima. Por exemplo, temos 1 = 10 = 0, 5 = 0, 50 = 100 = 1000 = 0, 500 = 2 = 0, 50 . Qual a pergunta natural a ser feita aqui? Pense um pouco... Questo 3.25. Toda dzima peridica corresponde a um nmero racional? a o u A resposta sim. A seguir apresentamos um artif e cio para encontrar o n mero racional que corresponde a uma d u zima. 1. Primeiro vericamos qual a seqncia de algarismos que se repete inniue tamente. 2. Contamos quantos algarismos tem na seqncia que se repete. ue 3. Chamamos a d zima de x. 4. Multiplicamos por 10 at que a seqncia que se repete comece, imediae ue tamente, aps a v o rgula. Chamemos este valor de ax.

36

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

5. Multiplicamos x por um m ltiplo de 10 que desloque a v u rgula para a segunda seqncia de algarismos. Chamemos este valor de cx. ue 6. O valor cx ax um n mero inteiro. Chamemos este n mero de n. e u u 7. Temos cx ax = n. Logo, x =n ca .

(Observe que a < c.)

Vamos aplicar a tcnica acima para a d e zima 1, 32 Temos: x = 10x = 100x = 90x = 90x = x = Exerc cio 3.26. 1. Encontre os nmeros racionais que representam as seguintes dzimas peridicas: u o (a) 1, 2542 (b) 0, 32 (d) 2, 15 (c) 0, 32 1, 32 = 1, 3222222 . . . 13, 2 = 13, 22222222222 . . . 132, 2 = 132, 222222222 . . . 132, 222222222 . . . 13, 22222222222 . . .

132 13 = 119 119 90

(e) 3, 132 (g) 0, 13532 (h) 0, 250 (i) 0, 8250 (j) 2, 9 (k) 0, 9 2. Verique que se n um nmero natural, ento n, 9 = n + 1. e u a (f ) 1, 12

3.3. REPRESENTACAO DECIMAL PARA NUMEROS RACIONAIS

37

3. Encontre o resultado das expresses abaixo e escreva o resultado como o uma dzima peridica. o (a) 3 6 (b) 1 3, 3

(d) 0, 9

(c) 0, 32 101 5 2 3

(e) 0, 45

(f ) 2, 13 1, 31

3.3.1

Fraes decimais co

Uma fraao decimal uma n mero racional positivo, cujo denominador c e u e uma potncia de 10. Todo n mero racional pode ser escrito como soma de um e u n mero inteiro mais a soma de um certo n mero de fraoes decimais. Veja os u u c exemplos a seguir: 5 2 + 10 100 3 5 6 0, 356 = 0 + + + 10 100 1000 1 1 1 5, 010010001 = 5 + 2 + 5 + 9 10 10 10 7 5 1, 25 = 2 + + 10 102 1, 25 = 1 + O n mero de fraoes decimais necessrias para expressar um n mero racional u c a u como n mero decimal pode ser nito, como nos casos acima, mas tambm pode u e ser innito, como nos exemplos abaixo: 1, 3 = 3, 215 = 1, 32 = 3 3 + + 10 102 2 1 3+ + + 10 102 3 2 1+ + + 10 102 onde n e mpar. 1+ 3 3 3 + 4 + 5 + 103 10 10 5 5 5 + 4 + 5 + 103 10 10 3 2 3 2 3 2 + 4 + 5 + 6 + + n + n+1 + , 103 10 10 10 10 10

38

CAP ITULO 3.

NUMEROS RACIONAIS

Mas anal, o que um n mero decimal? e u Denio 3.27. Um nmero decimal todo nmero que pode ser expresso ca u e u como soma de um nmero inteiro mais uma certa quantidade de fraoes deciu c mais. A quantidade de fraoes decimais na expresso de um nmero decimal c a u pode ser nita ou innita. Assim como, os numeradores destas fraoes decic mais podem repetir, periodicamente, um grupo de algarismos, a partir de uma certa casa decimal (dzima peridica), ou podem jamais repetir, periodicamente, o qualquer seqncia nita de algarismos. Em geral, um nmero decimal tem a ue u forma: b+ n 1 2 3 + + + n + , + 10 102 103 10 em que b Z e 1 , 2 , . . . {0, 1, 2, . . . , 9}.1 10 + 1022 + 103 + + 3

O valor b dito ser a parte inteira do nmero decimal e e u n 10n + , a parte decimal.

Um n mero decimal b + 1 + 102 + 1033 + + 10n + dito negativo, u e 2 n 10 se b < 0. Se um n mero decimal, diferente de zero, no negativo, u a e ento dizemos que ele positivo. Por exemplo: a e

Os n meros racionais negativos tambm so n meros decimais negativos. u e a u O n mero 2 + u5 10

+

8 100

+

7 103

+ um n mero decimal negativo. e u

Os n meros decimais com parte inteira igual a zero e com alguma parcela u a u (fraao decimal) 10n diferente de zero so n meros decimais positivos. c n Todo n mero decimal com parte inteira maior ou igual a 1 um n mero u e u decimal positivo. Observao 4. Para escrever 1 em sua forma decimal, observe que ca 5 4 1. Logo, a forma decimal de 1 1 mais a forma decimal de 4 . 5 5 e 5 1 4 8 = 1 + = (1) + 0, 8 = 1 + 5 5 101 5

=

Exerc cio 3.28. Baseando-se nos exemplos acima, expresse os nmeros racionais u a seguir em sua forma decimal 1. 2.1 8 3 105

3.3. REPRESENTACAO DECIMAL PARA NUMEROS RACIONAIS 3. 4. 5.1 8 235 100 2 3

39

6. (1) (1, 3) 4 .) 3

(Dica: converta em fraao e lembre-se que 2 + c

2 3

=

Exerc cio 3.29. Para cada nmero racional a seguir, determine em sua repreu sentaao decimal o centsimo e o 501o (quintocentsimo primeiro) algarismo c e e aps a vrgula. o 1.1 8

2. 0, 123 3.1 8

4. (1) (1, 3) 5. 0, 12345 6. 0, 12135 Exerc cio 3.30. 1. Mostre que se b e d so inteiros positivos e a 2. Qual o valor decimal da razo a 3. Qual o valor da razo aa b

=

c d

ento a

a+c b+d

c = d.

1 + 2 + 3 + 4 ++1000 5+10+15+20++5000 ?

2+4+6++34 3+6+9++51 ? a b

4. Mostre que se b, d e y so inteiros positivos e a

=

c d

=

x y

ento a =

a+c+x b+d+y

= x. y

5. Se a, b, c so trs inteiros positivos distintos tais que a e o valor de a ? b

b ac

a+b c

= a , qual b

6. Mostre que se x, y so n meros naturais, tais que 0 < x < y, ento existe a u a 1 1 um unico natural n 1 tal que n+1 < x n . y 7. Mostre que para todo n mero natural n 1 tem-se que u 8. Mostre que se n > 2 e1 n x y

=

1 n

+

nxy ny .

x y