OBMEP - Mario Jorge Dias Carneiro - Michel Spira - Apostila9 - Oficina de Dobraduras

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Oficina de Dobraduras

Mario Jorge Dias Carneiro

Michel Spira


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Texto j revisado pela nova ortografia.


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Sumrio

Apresentao iii

Parte I 1

Parte II 15

Referncias Bibliogrficas 37

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ii SUMRIO


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Apresentao

O uso de dobraduras no ensino de geometria est tornando-se cada

vez mais reconhecido como um instrumento pedaggico interessante

e muitas vezes eficaz, tanto pelo seu carter ldico quanto pela sen-

sao de descoberta que muitas vezes provoca. possvel encontrar

vrios locais na Internet, roteiros para oficinas e comentrios sobre as

justificativas e demonstraes.

O objetivo dessas notas apresentar alguns conceitos e fatos geo-

mtricos para os bolsistas da OBMEP, especialmente os dos nveis I

e II, motivando-os a aprofund-los posteriormente.

Esse roteiro destinado aos professores orientadores e apresen-

tado em duas partes: Na primeira, so sugeridos e ilustrados alguns

procedimentos, sem haver a preocupao de justificativa. Na segunda

parte, fazemos uma discusso sobre a geometria das dobraduras e

apresentamos algumas justificativas e problemas.

A inteno no apenas que o aluno siga as instrues e execute-as, mas que experimente e reflita e, sempre que possvel, chegue s

suas prprias concluses verbalizando-as para os seus colegas.

O professor orientador tem um papel importante no s em apro-

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fundar as discusses, trazendo novas situaes e problemas, mas tam-

bm apresentando fatos geomtricos e conceitos que possam ser ex-

plorados nas justificativas das construes.

As construes aqui desenvolvidas so baseadas numa oficina do

Projeto Olimpada Mineira de Matemtica 2007, apresentada pela

equipe de bolsistas do projeto de extenso do Departamento de Ma-

temtica da UFMG, orientada pelos professores Michel Spira e Mrio

Jorge Dias Carneiro.


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Parte I


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Perpendicular que passa por um ponto fora da reta

1. Usando uma dobra que passa em A, faa uma dobradura que

leve a reta sobre si mesma.

2. Desdobre.

3. Como obter a perpendicular no caso em que A pertence reta?

A A

A Mediatriz

1. Faa uma dobradura de modo que o ponto A se sobreponha ao

ponto B.

2. Desdobre.

x

A B

x

B

A


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A Bissetriz

1. Dobre uma das semirretas do ngulo de modo que se sobreponha

sobre o outro.

2. Desdobre.

VV

Alturas de Tringulos e Ortocentro

1. No caso de tringulo obtusngulo, use dobraduras para prolon-

gar cada um dos lados.

2. Utilize a construo da perpendicular passando por um ponto

para obter as alturas relativas aos lados AB, AC e BC, respec-

tivamente.

3. Desdobre.

4. Faa a construo para outros tringulos.


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A

B

A

B C

A

BC

Tringulo Equiltero

1. O lado do tringulo igual ao lado menor da folha de papel,

denote por A e B os extremos do segmento.

2. Dobre a folha ao meio de modo a encontrar a mediatriz do

segmento AB.

3. Dobre a folha de modo que o ponto refletido de B encontre a

mediatriz (construda em 2). Marque esse ponto C.

4. Dobre os segmentos AC e AB para completar o tringulo.

5. Desdobre.


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BA A

B C

A B

C

A B

C

A B

C


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A Razo urea ou o Nmero de Ouro

1. Divida uma folha de papel quadrada ao meio (como obter um

quadrado?).

2. Faa uma dobradura ao longo de um segmento AF que liga um

vrtice A da folha ao ponto F, extremidade direita do segmentomdio que encontra-se sobre a reta vertical oposta.

3. Use uma dobradura com dobra contendo F, para levar o vrtice

B at o segmento AF. Marque esse ponto C.

4. Use uma dobradura com dobra contendo A, para levar o ponto

C at o segmento AB. Marque o ponto P.

5. A razo ente AP e AB igual razo entre PB e AP que

igual ao nmero de ouro.

A

B


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AA B

BC

A

B

C

P

A

C

B

A

C

BP


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Pentgono Regular

1. Numa folha quadrada construa o ponto P, tal que

PB/AP= razo urea.

2. Divida o segmento PB ao meio e marque o ponto mdio R.

3. Dobre a folha ao meio e marque A refletido de R igual a S.

4. SR o lado do pentgono e os prximos passos servem para

obter os outros vrtices.

5. Usando uma dobra que passa em S, reflita o ponto R sobre o

lado esquerdo da folha determinando o ponto T.

6. Proceda analogamente com o lado direito da folha refletindo

o vrtice T sobre um ponto U. Este ponto pode ser obtido

tambm usando a mediatriz do segmento AB como dobra e

refletindo T sobre o lado direito da folha.

7. Finalmente, usando uma dobra que contm o ponto T reflita o

ponto U sobre um ponto V na mediatriz de AB. Os vrtices do

pentgono so SRUV T.


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A BP R A P B

RS S

T R

RS

T

RS

T U


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RS

T U TTU

SV

R

RS

T U

V


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Trisseco de um ngulo Agudo

1. Marque um ponto qualquer C sobre a perpendicular semirreta

AS que passa pelo vrtice A.

2. Marque a mediatriz n de AC, e o ponto mdio B.

3. Usando uma reta conveniente, dobre o ponto C sobre o ponto

C que est na semirreta AR e simultaneamente leve o ponto A

ao ponto A sobre a mediatriz n (traada no item 2).

4. Usando como dobra a reta que passa em A e A, faa uma dobra

e denote a imagem da semirreta AS por AS.

5. Desdobre. As semirretas AS e AA dividem o ngulo RAS em

trs partes iguais.

A

B

C


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Parte II


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Introduo

Este um roteiro de atividades que envolvem o uso de dobraduras

para estudar problemas geomtricos.

Usaremos a expresso fazer uma dobradura como o ato de dobrar,

uma transformao do plano; o termo dobra ou vinco usado para a

marca no papel resultante da dobradura.

Na geometria das dobraduras, dobrar significa ao mesmo temposobreporpontos e obter a reta de dobra, que o lugar dos pontos que

permanecem fixos nesta transformao.

Pode-se observar experimentalmente que pontos sobrepostos (ou

seja que coincidem no processo de dobra) equidistam da dobra. Tal

fato essencial na justificativa das construes geomtricas que uti-

lizam dobraduras.

Desse modo, associada a uma dobradura, temos a ideia de simetria

em relao dobra. Podemos imaginar que a dobra um espelho e

que pontos equidistantes correspondem a imagens refletidas (ou vir-tuais).

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Definio. Seja r uma reta. Chama-se uma reflexo com respeito

reta r transformao do plano que leva um ponto P ao ponto Q,

simtrico deP em relao reta, isto , tal que distncia de P

reta r igual distncia deQ a r.

Observe que os pontos sobre a reta r permanecem fixos pela re-

flexo. Sendo r chamado eixo da reflexo.Deste modo, aps uma dobradura, obtemos uma reta r tal que,

pontos superpostos so exatamente aqueles que se correspondem por

uma reflexo.

Propriedade. Uma reflexo preserva comprimento de segmentos e a

medida de ngulos.

A prova desta propriedade um exerccio de congruncia de trin-

gulos e pode ser feita comeando com o caso particular em que um

dos pontos est situado sobre a reta de reflexo.

Esta uma propriedade essencial na qual esto baseadas as justi-

ficativas das construes geomtricas que utilizam dobraduras.

Uma figura plana possui uma simetria por reflexo se existe uma

reta r tal que a reflexo da figura com respeito a r resulta na prpria

figura. Em outras palavras, uma figura possui uma simetria por re-

flexo se possvel encontrar um eixo de simetria com respeito aoqual a figura pode ser refletida.

Vrias figuras planas apresentam este tipo de simetria. Por exem-

plo, num quadrado possvel encontrar 4 retas (ou eixos) em relao


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as quais, se fizermos uma reflexo os pontos do quadrado so associ-

ados a pontos do quadrado.

Outros exemplos desse tipo de simetria, podem ser encontrados

na natureza, na arquitetura e at na msica.

Os alunos podem verificar simetrias por reflexo em vrias situ-

aes, usando fotografias, por exemplo.

Na discusso sobre simetria podemos propor aos alunos que en-contrem todos os eixos de simetria das figuras abaixo:

possvel desenvolver uma abordagem rigorosa da geometria das

dobraduras e dar um tratamento abstrato s operaes e relacion-las

com os axiomas da geometria euclidiana (veja por exemplo [1] ou [2]).No pretendemos fazer isso aqui, preferimos dar um tratamento

intuitivo para que se possa experimentar, perceber e aprender, por

meio da manipulao direta, alguns fatos geomtricos.


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O objetivo aprender algumas tcnicas, justificar algumas cons-

trues geomtricas e divertir-se!

Evidentemente as justificativas devem ser usadas de acordo com

o nvel de conhecimento da turma.

A ideia da oficina desenvolver um dilogo com os alunos de

modo a introduzir novos conceitos, primeiramente de maneira infor-mal, e conforme a situao e interesse, aprofund-los. O professor

pode tambm sugerir outras construes e problemas a partir das

aqui apresentadas.

Algumas das provas usam os casos de congruncias e conceitos

que para muitos alunos sero novos; outras, utilizam o Teorema de

Pitgoras e semelhana de tringulos. Este um bom momento para

rever ou motivar os alunos para o estudo desses tpicos.

Preliminares

Iniciamos com algumas construes simples.

Pedimos que os alunos verifiquem experimentalmente que:

1) Dados dois pontos distintos numa folha de papel, existe

uma dobra (ou vinco) que os contm.

2) Dados dois pontos distintos, P1 e P2 numa folha de papel,

existe uma nica dobradura que sobrepe P1 sobre P2.

3) Dadas duas dobras r1 e r2 que se intersectam em um ponto

P existe uma dobradura que sobrepe r1 sobre r2.


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4) Dados dois pontos distintos P1 e P2 e duas dobras r1 e r2,

que se intersectam num ponto P, existe uma dobradura que

leva o ponto P1 sobre r1 e P2 sobre r2.

5) Dados dois pontos distintos P1 e P2 e uma dobra r1, existe

uma dobradura cuja dobra passa em P2 e que leva o ponto

P1 sobre a dobra r1.

Outras construes

Seguindo o roteiro de atividades, apresentamos algumas justifica-

tivas para as construes. Algumas dessas justificativas utilizam fatos,

tais como os casos de congruncia de tringulos ou o Teorema de Pit-

goras, que provavelmente no so familiares aos bolsistas do nvel I.

Portanto, o uso ou no desses argumentos fica a critrio do professororientador.

6) Reta perpendicular a uma reta r passando por um ponto

P.

Ao dobrarmos uma folha de papel duas vezes, superpondo os lados,

obtemos no centro quatro ngulos retos. A construo segue esta

ideia.

Sugerimos que se faa inicialmente o caso P r.Justificativa: A reflexo obtida envia r sobre r. Como uma reflexopreserva ngulos os dois ngulos obtidos possuem a mesma medida.

Como a soma desses ngulos igual a 180 graus, obtm-se que os

ngulos so retos.


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Observao. A partir dessa construo, propor a construo da reta

paralela a uma reta r dada passando por um ponto P fora de r.

7) Mediatriz de um segmento AB

Justificativa: Sejam m a reta obtida na construo e O a sua in-

terseco com o segmento AB. De acordo com o item 6) a reta m

perpendicular ao segmento AB. Pela propriedade da reflexo, temosde |AO| = |OB|.

Se Q m um ponto sobre a reta obtida, ento os tringulosQOA e QOB so congruentes (caso LAL).

Segue-se que |QA| = |QB|. Ou seja Q equidistante de A e deB, e portanto, est na mediatriz.


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A

BQ

O

8) Bissetriz de um ngulo

Justificativa: Usa-se novamente o caso (LAL) de congruncia de

tringulos.

Como refletimos uma semirreta sobre a outra, fixado um ponto Q

sobre um dos raios e a sua imagem Q pela reflexo na reta obtida,

ento pela propriedade da reflexo obtemos dois tringulos retngulos

congruentes. De modo que os ngulos correspondentes possuem amesma medida.

Isto significa que a reta obtida divide o ngulo dado em dois n-

gulos iguais (bissetriz).

Q

Q


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9) Tringulo equiltero

Justificativa: Observe que iniciamos a construo obtendo a media-

triz da base AB.

Em seguida obtivemos uma reta em relao qual refletimos o

ponto B sobre a mediatriz. Esse ponto refletido denotamos por C.

Pela propriedade de reflexo, |AB| = |AC|. Como C pertence mediatriz do segmento AB, temos:

|CB| = |AC|.

Veja a figura:

A BM

C

Logo, os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo equiltero,

que obtido simplesmente dobrando-se o papel para traar os seg-

mentos AC e CB.

Aps construdo o tringulo equiltero, podemos propor que os

alunos sobreponham os lados, de modo a traar as bissetrizes. Se

a construo for feita com cuidado, ser possvel notar a interseco


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dessas retas num ponto O. Podemos ento solicitar que os alunos

redijam o que observaram e provem que este ponto equidistante dos

lados.

Pergunta, ser que isso vlido para outros tringulos?

10) Hexgono regular

Justificativa: Na folha dobrada duas

vezes, primeiro no sentido vertical e de-

pois no sentido horizontal, construmos um

trigulo equiltero. A base AB do tringulo

encontra-se sobre a segunda dobra.

A B

A reta paralela base AB, passando por

C tem comprimento igual a |AB|. O pontoC o ponto mdio desse segmento. Logo

ao desdobrarmos uma vez a folha, obtemos

trs tringulos equilteros congruentes. Fi-

nalmente, ao desdobrarmos mais uma vez

a folha, obtemos seis tringulos equilteros

que formam um hexgono de lado

|AB

|.

A B

C


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11) Razo urea

Dizemos que um ponto H divide um segmento AB numa razo

urea se

|AB|

|AH

|

=|AH|

|HB

|

.

Se |AH| = m e |HB| = n ento m + nm

=m

n.

Se denotamos por =m

n, ento temos a seguinte equao:

1 +1

= .

Ou seja a raiz positiva da equao x2 x 1 = 0, isto , =

1 +

5

2(a outra raiz 1

).

O valor de irrelevante para o que feito nesta oficina e no hnecessidade de resolver a equao, entretanto, os alunos podem ficar

curiosos sobre o nome. Nesse caso vale a pena explorar algumas pro-

priedades tanto aritmticas quanto geomtricas, como por exemplo,

a seguinte:

A reflexo de H com respeito ao ponto mdio de AB define um

ponto S tal que |AS| = |HB|.O ponto S divide o segmento AH na razo urea pois

|AH||AS| =

|AH||HB| = .


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Vejamos como justificar a construo da razo urea:

Podemos usar o Teorema de Pitgoras.

Iniciamos com uma folha quadrada e a dividimos ao meio. Deno-

tamos por AB o segmento correspondente ao lado inferior da folha.

Seja F o ponto mdio do lado direito.

Note que pela propriedade da reflexo, se B a imagem da re-flexo de B sobre AF, ento

|BF| = |BF| = |AB|2

.

Pelo Teorema de Pitgoras: |AF|2 = |AB|2 + |FB|2.

Ou |AF|2 = |AB|2 + |AB|2

4=

5

4|AB|2.

Portanto |AB

|=|AF||B

F|=

5

2 |AB| |AB

|2=

5

1

2 |AB|.Ou seja, |AB| = 1 +

5

2|AB|.

Na etapa final a reflexo foi usada simplesmente para trazer com-

primento |AB| para o segmento AB, determinando assim o pontoH.

De modo que|AB||AH| =

1 +

5

2= seja o nmero de ouro ou razo

urea.


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Veja a figura:

B

B

Veremos a seguir como aparece a razo urea no pentgono regu-

lar.

12) Pentgono regular

Antes da construo do pentgono regular, importante fazer

alguns desenhos para que sejam percebidas (ou provadas) algumas

propriedades. Por exemplo, traando-se as diagonais do pentgono,

obtemos um polgono estrelado que permite estabelecer a relao entre

o comprimento da diagonal e o lado do pentgono:

Proposio. Sed a diagonal do pentgono regular eL o seu lado,

entod

L= (a razo urea).

Usando este fato, que ser provado mais abaixo, podemos justificar

a construo do pentgono por meio de dobraduras. Nessa construo,

a diagonal do pentgono igual largura da folha de papel. Para

acompanhar a justificativa, volte para a primeira parte e siga os passos

indicados.

Se |AB| a largura da folha de papel e P um ponto tal que|AB||AP| = ento segue da construo que |AP| = |SR|.


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Portanto,|AB||SR| = ou seja, |SR| o lado do pentgono cuja

diagonal igual a |AB|.Os demais passos so justificados pela propriedade da reflexo.

A primeira reflexo leva o vrtice R em um vrtice T do pent-

gono situado na borda lateral esquerda da folha de papel e a segunda

reflexo ou dobradura em relao a mediatriz de AB, leva o vrticeT sobre um vrtice U do pentgono situado na borda lateral direita

da folha.

O segmento TU uma diagonal do pentgono.

O quinto vrtice, V, est na mediatriz de AB e foi construdo de

modo que V U = SR. Concluindo a justificativa da construo.

Passemos prova da Proposio:

Um pentgono regular de vrtices OSRSR.

E F

O

S

S

R

R


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Tracemos a circunferncia circunscrita ao pentgono, e as diago-

nais RS, OS, OR. Denotemos F = OS RS e E= OR RS.Sabe-se que numa circunferncia , ngulos inscritos que subten-

dem arcos iguais so congruentes.

Logo, ORS = SOR = ROR pois os arcos RO,SR e RR

so congruentes.Portanto, o tringulo REO issceles, com |ER| = |EO |. De

modo anlogo conclui-se que SFO issceles|FS| = |FO|.Pela simetria da figura, temos |OE| = |OF|. De fato,

OFR = OES (por qu?), o tringulo OEF issceles e|OE| = |OF|.

Alm disso, segue da propriedade dos ngulos externos de um

tringulo, que OEF = 2ROE e como OEF = OFE, o trin-

guloORF issceles e semelhante ao tringulo

OEF (caso AAA).

Portanto |RE| + |EF| = |RO| = L (lado do pentgono).Agora, usando a semelhana dos tringulos OEF e ORF

obtemos a razo urea do seguinte modo:

Se m = |RE| e n = |EF| ento

m + n

m=m

n= .

Finalmente, observe que m + n = L e que a diagonal d mede

2m + n.


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De modo que

d

L=

2m + n

m + n=

2 + 1

+ 1= 1 +

1 + = 1 +

1

= .

Como queramos demonstrar.

13) Trisseco de um ngulo agudo (H. Abe)

Essa construo aparece como problema sugerido no nmero 65 da

Revista do Professor de Matemtica, 2007. A soluo est no nmero

66 da RPM, segundo quadrimestre de 2008, pgina 47.

Talvez seja interessante iniciar fazendo a construo para o caso

do ngulo reto.

Evidentemente h modos muito mais simples de obter um n-

gulo de 30 graus, e podemos propor como exerccio de aplicao de

construes anteriores (Bissetriz e Tringulo Equiltero) mas o nosso

objetivo entender a construo neste caso particular. Alis, este

o princpio geral a ser adotado nessas atividade, sempre que possvel

partir de um caso mais simples e tentar generalizar a construo.

Seja CAR um ngulo reto.

Obtenha n a mediatriz do segmento AC. Seja B = AC n oponto mdio de AC.

A reflexo do ponto A sobre a reta n por uma dobra que passa

por C, define um ponto A que satisfaz:

|AC| = |AC|.


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E pela propriedade dos ngulos alternos internos em retas parale-

las, temos: AAB = AAR.

A

AB

C

R

m

n

Como |CB| = |AB|, os tringulos CBA e ABA so congru-entes (caso LAL).

Portanto CAB = AAB.

Alm disso, por construo, o tringulo ACA issceles, segue-se que CAA = AAC que mede o dobro do ngulo AAR. Por

conseguinte, o segmento AA trissecciona o ngulo reto CAR.

Passemos agora justificativa da trisseco de um ngulo agudo

RAS:

Iniciamos com a obteno da perpendicular AC semirretaAS e

de sua mediatriz que denotamos por n.

Escolhendo uma dobra convenientem, refletimos simultaneamente

A sobre n e C sobre a semirreta AR.Denotemos por A, B e C as imagens dos pontos A,B e C por

essa primeira dobradura.


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SejamO e O os pontos de interseo da dobra m com as semirretasAS e n respectivamente.

Veja a figura:

A

AB

C

R

m

n

C

O

O

B

s

Pela propriedade da reflexo

|AC| = |AC|, |AB| = |AB| = |BC| = |BC|.

Seja n1 a imagem de n. claro que n1 passa por O e por B, o

problema que trataremos agora, verificar que os pontos A, O e B

so colineares.

De fato, como BB AA e |AB| = |AB|, temos um trapzioissceles de vrtices ABB

A

.A dobra m mediatriz das bases AA e BB , portanto, as diago-

nais do trapzio se intersectam em m. Ou seja, AB AB = O, oque implica que A, O e B so colineares.


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Conforme a figura:

A

AB

C

R

n

C

O

O

B

s

No prximo passo, observe que BA paralelo aAO.

Portanto, pela propriedade dos ngulos alternos internos, temos:

AAB = AAO.

Vamos provar agora que CAB = BAA = AAS.

Como o tringulo AOA issceles, segue-se que OAA =AAO.

Por construo, AB BO .Como a dobradura preserva a medida de ngulos, temos que

AB AB.

Finalmente, temos: |A

B| = |AB| = |BC| = |BC|. Isto ,

AAC issceles.Conclumos assim que CAB = BAA (= BAA = AAO)

a justificativa da trisseco.


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Para finalizar:

Alguns teoremas podem ser explorados com dobraduras. Suge-

rimos que aps vrios experimentos os alunos sejam convidados a

enunciar o respectivo resultado.

Vale observar, entretanto, que por causa da impreciso das dobras

alguns resultados esperados no ocorram.

14) A soma dos ngulos internos de um tringulo, dobre o

tringulo de modo que um vrtice se sobreponha ao lado oposto.

15) Ponto de encontro das medianas de um tringulo.

16) Ponto de encontro das alturas de um tringulo.

17) A base mdia de um tringulo, ou seja obtenha o segmento

que une os pontos mdios de dois lados de um tringulo e verifique

que este segmento paralelo ao terceiro lado.

18) Problema: Dada uma reta r e dois pontos A e B do mesmo

semiplano em relao a r encontrar o ponto Xna reta tal que a soma

comprimento dos segmentos |AX| + |XB| seja a menor possvel.


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Referncias Bibliogrficas

[1] MARTIN, George E. Geometric Constructions. Undergraduate

Texts of Mathematics. Nova York: Springer Verlag, 1998.

[2] www.cut-the-knot.org/pythagoras/ Paperfolding pgina de au-

toria de Alexander Bogomolny.

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OBMEP - Mario Jorge Dias Carneiro - Michel Spira - Apostila9 - Oficina de Dobraduras

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