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CURSO SGT DIOGENES CURSO SGT DIOGENES

CONJUNTOS NUMÉRICOS

- Conjunto dos números naturais (N)

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... }

Um subconjunto importante de N é o conjunto N*:

N*={ 1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto N.

Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, co-

mo mostra o gráfico abaixo:

0 1 2 3 4 5

- Conjunto dos números inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

o conjunto N é subconjunto de Z.

Temos também outros subconjuntos de Z: Z= Z - {0}

Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4,5,...}

Z- = conjunto dos inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, -5,...}

Observe que Z+= N.

Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, confor-

me mostra o gráfico abaixo:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

- Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de

fração (com o numerador e denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números

racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e ne-

gativas.

Então:

, por exemplo, são números racionais.

Assim, podemos escrever:

É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que

se obtém dividindo a por b.

Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:

OBS: Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de núme-

ro racional.

- Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que

não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de

números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3 :

Um número irracional bastante conhecido é o número = 3,1415926535...

- Conjunto dos números reais (R)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto

dos números reais como:

R = Q {irracionais} = {x| x é racional ou x é irracional}

b

a

75,320

7525,1

4

55,0

2

1

...1666,16

7...428571428571,0

7

6...333,0

3

1

2

3,1,

5

3,1,

5

7,2

...7320508,13

...4142135,12

2 1


Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números

reais. Como subconjuntos importantes de R temos:

R* = R - {0}

R+ = conjunto dos números reais não negativos

R_ = conjunto dos números reais não positivos

OBS: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. POTENCIAÇÃO

- Potência de Expoente Inteiro

Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos ob-

servar as seguintes propriedades de potenciação:

1) an = a.a.a.a.a.a...a (n vezes) 2) ao = 1

3) a1 = a

4)

5)

(produto de potência de mesma base: repete a base e soma os expoentes)

6)

(divisão de potência de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes)

7)

(potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes)

8)

9)

10)

OBS: a) Observe a diferença:

(23)2 = 23.2 = 26 =

b) Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser:

- positivo, se o expoente for par.

Ex: ( 3)2 = 9 ( 0,1)2 = 0,01

- negativo, se o expoente for ímpar.

Ex:

CUIDADO! Convencionou-se que 24 = (2 . 2 . 2. 2) = 16

(2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = 16

Logo: 24 (2)4

São potências de 10: 100 ; 100 ; 1000 ; 0,1 ; 0,001 ; etc. Para transformar os números acima em potências de 10, devemos

observar se o número dado é maior ou igual a 1 ou positivo e menor que 1.

1o) Caso: N1

Ex: 10 = 101 ; 100 = 102 ; 1000 = 103

2o) Caso: 0< N <1

Ex: 11010

11,0 ; 310

310

1

1000

1001,0

Obs: 200 = 2 . 102 ; 7000 = 7 . 103 ; 0,000125 = 125 . 10-6

Exemplo:

0a,

n

a

1na

mnamaxna

0a,mnamana

n.man

ma

0b,nb

nan

b

a

232 92

81

3

2

1

mbmam)ba(

mbmam)ba(

710510.310.610.310510.310

3)210(.310

00001,0.1000

3)01,0(.001,0

3 4


Exercícios:

INTERVALOS NA RETA REAL

O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denomi-

nados intervalos, que são determinados por meio de desigualdades. Sejam

os números reais a e b, com a b.

- Intervalo aberto de extremos a e b: ]a, b[ = {x R | a < x < b}

- Intervalo fechado de extremos a e b: [ a, b] = { x R | a x b}

- Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos a e b:

]a, b] = { x R | a < x b}

- Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a e b:

[a, b[ = { x R | a x < b}

Existem ainda os intervalos infinitos:

- Intervalo infinito fechado à esquerda: [a, + [ = { x R | x a}

- Intervalo infinito aberto à esquerda: ] a, + [ = { x R | x > a}

- Intervalo infinito fechado à direita: ] - , a ] = { x R | x a}

- Intervalo aberto à direita: ] - , a [ = { x R | x < a}

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a resolução de cál-

culos envolvendo divisões. Vejamos alguns critérios de divisibilidade:

DIVISIBILIDADE POR 2:

Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for 0, 2 , 4,

6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrá-rio, ímpar.


Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus

algarismos for divisível por 3. DIVISIBILIDADE POR 4:

Um número é divisível por 4, quando o número formado pelos dois últimos

algarismos da direita for 00 ou divisível por 4.


Um número é divisível por 5, quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.


Um número é divisível por 6, quando for divisível por 2 e por 3 simultane-amente.


Um número é divisível por 10, quando o algarismo das unidades for 0

( zero )


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos alga-rismos de ordem impar e a soma dos algarismos de ordem par for um

múltiplo de 11.

3

101

10

31)3,0()q9

12

3

1)h

9

162

3

42

4

3)p

9

123)g

21,12)1,1()o5

115)f

100

1

100

11)01,0()n6428)e

83)2()m1624)d

164)2()l1o)10()c

4

92

2

32

3

2)j1253)5()b

3

1

3

1)i92)3()a

5 6


Ex: 121 2 2 = 0, o zero é múltiplo de 11

2904 9 + 4 = 13 (ordem ímpar) 0 + 2 = 2

13 – 2 = 11 11 é múltiplo de 11.


Quando for divisível, ao mesmo tempo, por 3 e por 4 (3x4=12).


Quando for, ao mesmo tempo, por 3 e por 5, é então por 15 (3x5).

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO

Para calcularmos a quantidade de divisores de um número, basta decompor esse número, em seguida, adicionar uma unidade (1) a cada

expoente das bases primas, e multiplicar os resultados.

CUIDADO: A lei do expoente só pode ser utilizada quando o

produto for composto exclusivamente por fatores primos.

Assim: 40 = 5 x 8 = 51 x 23

(1+1) x (3+1) = 2 x 4 = 8 divisores

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO

É o produto deste número por um número natural qualquer. Ex: 3 x 12 = 36 é múltiplo de 3 e 12

Um número é múltiplo de outro quando decomposto em seus fatores

primos, contém todos os fatores desse outro, com expoentes iguais ou maiores.

Ex: Verificar se 252 é divisível por 18.

252 = 22 x 32 x 7

18 = 2 x 32

DIVISOR DE UM NÚMERO

Um número natural X é divisor de um número natural se este for múltiplo de X.

Ex: 5 x 8 = 40 ( 5 e 8 são divisores de 40)

Zero é múltiplo de qualquer número.

Um número é sempre múltiplo de si mesmo.

1 é o menor divisor de qualquer número.

Zero tem por divisores o conjunto dos números naturais menos

o próprio zero.

O maior divisor de um número diferente de zero, é ele próprio.

Exercícios

1) O número de divisores naturais do número 40:

Decompor o número: 40 = 23 x 5

Aplicamos a regra: soma-se 1 a cada expoente, multiplicando-se o resul-

tado.

(3 + 1) . (1 + 1) = 4 . 2 = 8 divisores

2) O número natural 25 . 21k tem 147 divisores positivos. Então k vale:

Decompor os números: 25 = 52 e 21 = (3 . 7)k

Temos: 52 x 3k x 7k (2 + 1) (k + 1) (k + 1) = 147

3 . 7 . 7 = 147

Assim: k + 1 = 7 então k = 6

3) O menor número inteiro positivo que ao ser dividido por dois, três, cinco

ou sete, deixa resto um, é:

Achar o m.m.c. de (2, 3, 5 e 7) = 210

Observe que ao dividir 210 por 2, 3, 5 ou 7 o resto será zero.

Portanto basta acrescer 1 (um) ao m.m.c. 210 + 1 = 211

Note que 252 possui todos os divisores de 18 com

expoentes iguais e maiores. Portanto, 252 é múltiplo

de 18.

7 8


MÁXIMO DIVISOR COMUM

- Determinação do MDC por fatoração:

1o) Decompomos os números em fatores primos;

2o) Multiplicamos os fatores primos comuns das fatorações, com seus

menores expoentes.

Quando o MDC for a unidade, dizemos que os números são

primos entre si.

Ex: MDC (12 e 25) = 1

MENOR MÚLTIPLO COMUM

- Determinação do MMC:

1o) Decompomos os números em fatores primos;

2o) Multiplicamos os fatores primos comuns e não comuns, com os seus maiores expoentes

Propriedades do MDC e do MMC de 2 números:

1a) Se dois números são primos entre si, o MMC é o produ-

to deles e o MDC é 1.

2a) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é

o MMC e o menor o MDC.

3a) O produto de dois números, “A” e “B”, é igual ao produ-

to do MDC pelo MMC desses números.

A x B = MDC x MMC

Exemplos:

a) O produto de dois números é 1728 e o m.m.c., 144. Qual é o m.d.c? Usando a relação acima, temos: 1728 = MDC x 144

MDC =

b) (ESA) Se o m.d.c. entre os números “a” e “b” é “x”, então seu m.m.c. é:

a . b = x . MMC logo temos:

APLICAÇÕES DE M.M.C. E M.D.C.

1) Uma filha me visita a cada 15 dias; uma outra me visita a cada 18 dias. Se

aconteceu hoje a visita das duas filhas, a próxima visita acontecerá daqui

ao seguinte número de dias: a) 60 b) 90 c) 100 d) 120

Resolução:

Basta encontrar o menor número de dias que é múltiplo comum de 15 e 18.

MMC (15, 18) = 90 dias (a próxima visita das filhas) letra b

2) Para equipar as novas viaturas de resgate e salvamento da corporação,

dois rolos de cabo de aço, com respectivamente 450m e 600m de extensão,

deverão ser repartidos em pedaços iguais e com o maior comprimento

possível. A fim de que não haja sobras, a medida de cabo que cada viatura

receberá é: a) 120m b) 130m c) 150m 180m

Resolução:

Basta encontrar o maior número que divide ao mesmo tempo 450 e 600.

MDC (450, 600) = 150m (o maior pedaço de cabo de aço) letra c

Obs. Para determinar o número de cabos que cada pedaço fornece basta

dividir pelo mdc.

450 150 = 3 pedaços

600 150 = 4 pedaços

Total = 7 pedaços de 150m, de comprimento, cada.

3) Um auxiliar de laboratório resolveu separar os tubos de ensaios existentes de 6 em 6, de 12 em 12 ou de 18 em 18, mas sempre sobravam 4 tubos.

Soube por colegas que eles eram mais que 120 e menos que 150. O número

de tubos de ensaio existentes é: a) 124 b) 136 c) 140 d) 148

12114

1728

x

abMMC

9 10


Resolução:

Este modelo de questão já caiu diversas vezes na EsSA. Para resol-

vê-la, não basta encontrar o menor número de tubos que é múltiplo comum de 6, 12 e 18; ele também é múltiplo do seu m.m.c.

Não podemos esquecer do resto.

120 < um múltiplo do m.m.c. (6, 12, 18) + resto < 150 (sempre que houver resto)

m.m.c. (6, 12, 18) = 36

Os múltiplos do m.m.c. são: 36, 72, 108, 144, 180, 216... Como nós queremos um número entre 120 e 150 então utilizaremos

o número 144.

120 < 144 + 4 < 150 (sempre que houver resto)

O número desejado é 148 letra d

4) PUC-SP – Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, dividindo-

a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de xadrez. A parede mede 4,40 metros por 2,75 metros. Qual o menor número de quadrados que ele

pode colocar na parede?

Resolução:

Convertendo para centímetros as dimensões da parede, temos:

440 cm por 275 cm. Deveremos então achar o máximo divisor comum -

MDC entre essas dimensões. Essa é a única forma de achar a dimensão do lado de cada quadrado, que caberá exatamente na parede sem sobra de

espaço. Temos:

MDC(440,275) = 55

Portanto, 440/55 = 8 e 275/55 = 5, de onde conclui-se que teremos 8.5 =

40 quadrados, todos com 55 cm de lado.

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Simplificar uma fração é obter uma outra que lhe seja equivalente e de termos menores.

OBS: Quando o numerador e o denominador forem números grandes, é conveniente, achar o MDC dos termos e dividir cada termo da

fração pelo MDC.

FRAÇÕES EQUIVALENTES

Duas ou mais frações que representa a mesma parte da unidade

são chamadas frações equivalentes.

são frações equivalentes

Exemplos:

1) Determinar a fração equivalente a 17

15 cujo denominador seja 85.

Verificar qual o número que multiplicado por 17 dá 85:

85 17 = 5

Para não alterarmos a fração multiplicamos ambos os termos por 5.

2) Determinar a fração equivalente a 72

45 cuja diferença dos termos é 21.

Simplificar a fração e subtrair os termos:

Dividir as duas diferenças: 21 3 = 7

Multiplicar a fração irredutível por 7

DICAS SOBRE FRAÇÕES Importante:

- Multiplicando-se (ou dividindo-se) o numerador de uma

fração por um número natural, o valor da fração fica multi-plicado (ou dividido) por esse número.

lirredutívefração6

5

1272

1260

72

60:Ex

3

2

60180

60120

180

120:Ex

3

2

6

4:Ex

85

75

517

515

3588

5

972

945

56

35

78

75

11 12


Ex: 3

7

2 (ficou multiplicado por 3)

- Multiplicando-se (ou dividindo-se) o denominador de uma fração por um número natural, o valor da fração fica dividi-

do (ou multiplicado) por esse número.

Ex: 2x5

3 (ficou dividido por 2)

Resolva: a) (ESA) - Dividindo-se o numerador de uma fração por 16 e o denomina-

dor por 8, a fração fica:

1) Observe que ao dividir o numerador por 16 a fração fica di-

vidida por 16.

2) Ao dividir o denominador por 8 a fração fica multiplicada por 8.

16 8 = 2. Dessa forma a fração ficou dividida por 2

b) Que alteração sofre uma fração se multiplicarmos o numerador por 5 e

dividir o denominador por 7?

Ao multiplicar o numerador por 5 a fração fica multiplicada

por 5;

Ao dividir o denominador por 7 a fração fica multiplicada por 7.

Assim temos: 5 x 7 = 35 ( a fração ficou multiplicada por 35)

DÍZIMAS PERIÓDICAS

Conceito: São decimais infinitas e periódicas.

Chama-se período, o algarismo ou grupo de algarismos que se re-

petem. Os algarismos que se situam entre a vírgula e o período compõem a

parte não periódica da dízima.

Geratriz das dízimas periódicas simples:

É a fração que tem para numerador o período e para denominador

tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Ex:

Geratriz das dízimas periódicas compostas:

É a fração que tem para numerador o número formado pela parte

não periódica, seguida do período menos a parte não periódica e para de-nominador, o número formado de tantos noves quantos forem os algaris-

mos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da

parte não periódica.

Ex: a)

b)

CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Para calcularmos corretamente qualquer expressão numérica, é necessário obedecer algumas prioridades. Então, devemos tem em mente que deve-

mos fazer os cálculos na seguinte ordem:

1) parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { } 2) potência e raiz

3) multiplicação e divisão

4) soma e subtração

OBS: a) soma e subtração de fração deve-se tirar o MMC entre os

denominadores.

b) Produto de fração deve-se multiplicar numerador com

numerador e denominador com denominador.

c) Divisão de fração repete o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo.

d) Multiplicação e divisão de números reais:

Multiplicação + x + = + + x = x = +

Divisão + + = + + = = +

e) Soma e subtração de números reais prevalece o sinal

do maior 9

71...777,1

9

4...444,0

90

23

90

225...2555,0

15

8

90

48

90

553...5333,0

15

8

5

4x

3

2:Ex

21

10

7

5x

3

2

5

7

3

2:Ex

8

16

7

5

13 14


b

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

a) Unidades de comprimento:

Km – hm – dam – m – dm – cm – mm

b) Unidades de superfície (área)

Km2 – hm2 – dam2 – m2 – dm2 – cm2 – mm2

c) Unidades agrárias → equivalência: 1 ha = 1 hm2

1 a = 1 dam2

1 ca = 1 m2

d) Unidades de massa:

Kg – hg – dag – g – dg – cg – mg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

e) Unidades de capacidade:

Kl – hl – dal – l – dl – cl - ml

f) Unidades de volume:

Km3 – hm3 – dam3 – m3 – dm3 – cm3 – mm3

RELAÇÃO ENTRE AS UNIDADES

Relação entre as unidades de volume e capacidade:

1 dm3 = 1 litro

Assim, 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 litros

IMPORTANTE: Para efetuarmos as operações com unidades de medidas diferentes,

devemos, antes, convertê-las para uma mesma unidade de medida.

Efetue: 1,5 kg – (409 g + 9,1 dag) = __________ kg.

409 g = 0, 409 kg

9,1 dag = 0,091 kg

1,5 kg – (0,409 kg + 0,091 kg) 1,5 kg – 0,5 kg = 1 kg

VOLUME DE UM SÓLIDO

a) CUBO:

V = a3

Volume = aresta x aresta x aresta

b) PARALELEPÍPEDO-RETÂNGULO:

V = a x b x c

a

Volume = comprimento x largura x altura

Exercícios:

a) Nossa sala de aula tem as seguintes dimensões: comprimento 9 m, largura 7 m e altura 4 m. Somos 41 alunos. Com o professor presente, quantos m3

de ar caberão a cada pessoa?

Volume de ar na sala: 9m x 7m x 4m = 252 m3

Não esqueça de contar o professor

252 m3 42 = 6 m3

b) (ESA) Um tanque de água de 4 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m

de profundidade está cheio 3

2 de sua capacidade. Então quantos metros

cúbicos ainda cabem de água:

Calcular o volume do tanque: V = 4m x 3m x 2m = 24 m3

Calcular 2/3 do volume: (de = multiplicação)

Basta subtrair do volume total o existente: 24m3 - 16m3 = 8m3

aresta (a)

c

3m163m24de3

2

15 16


SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS

MEDIDAS DE TEMPO Minuto (m) = 60 seg

Hora (h) = 3600 seg ou 60 min

Dia (d) = 86400 seg ou 24 h

MEDIDAS DE ÂNGULOS Grau (o) = 60’

Minuto ( ’ ) = 60’’

Segundo (’’)

OPERAÇÕES

a) Adição:

Como 70 min = 1h + 10 min, então temos 15h 10 min

b) Subtração:

Atenção: 10h 20min = 9h 80min

Como não podemos subtrair 45min de 20 min, pedimos emprestado uma unidade (1h = 60min) na ordem imediatamente superior.

c) Multiplicação:

d) Divisão:

21h 28min 4

1h = 60min + 5h 22 min

88min 0 → observe que o resto 1h + 28min = 88 min

Para multiplicarmos uma medida não decimal por um nú-

mero racional fracionário, multiplica-se a medida dada pelo nu-

merador e divide-se o resultado pelo denominador, e para divi-

dir uma medida complexa por um número racional fracionário,

multiplica-se a medida dada pelo inverso do número fracionário.

Ex: 1o) (10m 8s) . 4

3 =

RAZÕES E PROPORÇÕES

1. RAZÕES:

Representação: b

a ou a : b

Conceito: A razão entre dois números é o quociente da divisão do primei-

ro pelo segundo.

min70h14

min45h5

min25h9

min45h4

min20h10

min35h5

min45h4

min80h9

"155'7535

5x

"31'157

o

o Como 155” = 2’ 35” , então temos 35o 77’ 35”

Como 77’ = 1o + 17’, então temos

36o 17’ 35”

'40222

'2045

2

5)'49(

5

2)'49()2

seg36min74

seg24min30

4

3)seg8min10()1

oo

oo

a = antecedente

b = conseqüente 17

17

18

18


f

e

d

c

b

a

fdb

eca

f

e

d

c

b

a

Exemplos:

1) Achar a razão entre 10 minutos e 1 hora:

2) Achar a razão entre dois segmentos de 1,2m e 18dm.

Não esqueça! Antes de efetuar a divisão, reduzir metros em decímetros.

ESCALA:

Escala é a razão entre uma dimensão num desenho e sua dimen-

são correspondente no tamanho real.

Exemplos:

1) Determinar a escala utilizada em um mapa, sabendo que a distância

real de Fortaleza a São Paulo é de 3.035 km e a distância no mapa é de 4

cm. Lembre-se que: 3.035 km = 303.500.000 cm

2) (ESA) - Uma distância de 8km no terreno corresponde num mapa

construído na escala 1/1000 ao comprimento de:

Vamos calcular a distância no mapa em centímetros:

8 km = 800.000 cm

Aplicar a relação:

P R O P O R Ç Ã O

Chama-se proporção, a sentença matemática que expri-

me a igualdade entre duas razões.

Representação: d

c

b

a ou a : b : : c : d

meios

extremos

Propriedade Fundamental:

Em toda a proporção, o produto dos meios é igual ao pro-

duto dos extremos.

Exemplo: Dada a proporção: . Calcular o valor de x.

2 . ( 2x + 1) = 3 . 6

4x + 2 = 18 → 4x = 16

→ x = 4

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES:

1) PROPRIEDADE DA SOMA

Em toda a proporção, a soma (ou diferença) dos anteceden-

tes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim co-

mo qualquer antecedente está para seu conseqüente.

6

1

min60

min10

hora1

min10

3

2

dm18

dm12

1x2

6

3

2

4

16x

realoCompriment

desenhodooComprimentEscala

000.875.75:1ou000.875.75

1

cm000.500.303

cm4Escala

EDdtemos,disolandoD

dE

m8oucm800cm000.800x1000

1 mapa no Distância

20 19


lfundamentaepropriedadaaplicandox

18

7

2

63x2

126x

2) PROPRIEDADE DO PRODUTO

EXERCÍCIOS:

1) Determinar x e y no sistema

Aplicando a 2a propriedade:

b) 1666

21

1

5

, ...

x

2) Calcule a, b e c sabendo que

Inicialmente multiplicamos os termos da 1a razão por 2, os termos da 2a

razão por -3 e os termos da 3a razão por 4. Assim, obtemos:

Aplicamos a 1a propriedade:

Logo, a = 7 . 2 = 14 b = 3 . 2 = 6 c = 4 . 2 = 8

QUARTA PROPORCIONAL:

Chama-se quarta proporcional de três números, dados numa certa or-

dem, um quarto, que forme com os três primeiros, uma proporção.

Exemplo: (ESA) - Calcular a quarta proporcional entre 2, 7 e 18:

Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

2x = 7 . 18 temos

PROPORÇÃO CONTÍNUA

Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais.

TERCEIRA PROPORCIONAL

Dados dois números racionais a e b, não-nulos, denomina-se terceira

proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo: Determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção.

20x = 10 . 10 20x = 100

x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.

2

2

2

2

d

c

b

a

d.b

c.a

d

c

b

a

240y.x

5

y

3

x

20y15

240.25y

25

y

15

240

12x14415

240.9x

9

x

15

240

25

y

9

x

5.3

y.x

22

22

22

4

c

3

b

7

a

42c4b3a2

16

c4

9

b3

14

a2

4

c

3

b

7

a

1

2

21

42

4

c

3

b

7

a

16914

c4b3a2

c

b

b

a

x

b

b

a


10

10

20

21


MÉDIA GEOMÉTRICA OU MÉDIA PROPORCIONAL

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado mé-

dia geométrica ou média proporcional entre a e c.

Exemplo: Determinar a média geométrica positiva dos números 5 e 20.

MÉDIA ARITMÉTICA

A média aritmética entre dois ou mais números é dada pelo quociente

formado pela soma desses números e a quantidade de parcelas considera-

das. Ex: Determinar a média aritmética , entre 4, 8, 12 e 20.

NÚMEROS PROPORCIONAIS

a) Divisão em partes diretamente proporcionais

Ex: Simone dividiu 150 bolinhas de gude entre seus sobrinhos de 2, 3 e

5 anos. Determine quantas bolinhas recebeu cada um deles, sabendo

que a divisão foi diretamente proporcional às suas idades.

Representaremos por a, b e c a quantidade de bolinhas recebida por cada

um dos meninos. Assim:

Aplicamos a propriedade das proporções, temos:

b) Divisão em partes inversamente proporcionais

Ex: Divida o número 310 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.

REGRA DE TRÊS

- Passos utilizados numa regra de três:

1) Identificar se as grandezas são diretamente (seta para baixo) ou inver-samente (seta para cima) proporcionais.

2) Montar a proporção e resolver a equação.

Ex: a) O trem voador Maglev, deslocando-se a uma velocidade média de

400 km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo

faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse 480 km/h?

Observe que aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

c

b

b

a

.10épositivageométricamédiaaLogo

10b100b

100b20

b

b

5 2

.5e3,2aaisproporcionediretament5

c

3

b

2

a

150cba

75c155

c45b15

3

b30a15

2

a

.alidadeproporciondefatoroé15númeroO

1510

150

532

cba

5

c

3

b

2

a

5e3,2aaisproporcionteInversamen

5

1

c

3

1

b

2

1

a

310cba

60300.5

1c300

5

1

c

100300.3

1b300

3

1

b

150300.2

1a300

2

1

a

.alidadeproporciondefatoroé300númeroO

300

30

31

310

5

1

3

1

2

1

cba

5

1

c

3

1

b

2

1

a

x480

3400

TempoVelocidade

114

44

4

201284Ma

22 23

24


x

8

450

300ou

x

8

3.150

5.60

100

t.i.Cj

Como as palavras são contrárias (aumenta-diminui) as grandezas são in-

versamente proporcionais.

2o) Na fabricação de 60 blusas, 3 máquinas gastam 8 horas. Para produzir

150 blusas, 5 máquinas quantas horas gastam?

Blusas Máquinas Horas

60 3 8

150 5 x

- O número de blusas e o de horas são diretamente proporcionais.

Mais blusas, mais horas.

- O número de máquinas e o de horas são inversamente proporcio-

nais. Mais máquinas, menos horas.

Aplicando a regra prática, temos:

x = 12 horas

JUROS SIMPLES

- Juros são uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se pa-

ga pelo empréstimo de determinada quantia, ao final de um período.

- Quando o valor a ser pago pelo empréstimo é calculado apenas sobre

o capital inicial, que se mantém constante durante todo o período de transação, estamos trabalhando com juros simples.

O valor dos juros depende:

- do capital (C) Dinheiro que se empresta ou se toma emprestado.

- d a taxa (i) Taxa percentual que representa os juros que se rece-

be ou se paga, ao final de um período.

- do tempo (t) Período utilizado na transação.

Fórmula:

A fórmula só pode ser aplicada se a taxa e o tempo se referem à

mesma unidade.

MONTANTE

O montante (M) refere-se ao total pago no final de um empréstimo e cor-

responde ao capital mais o total de juros.

Montante = Capital + juros M = C + j

Exemplos:

1) Determine o capital que, que aplicado à taxa de 0,4% ao dia, rendeu ao

final de 4 meses R$ 600,00 de juros.

i = 0,4 ao dia = 0,4 x 30 dias = 12% ao mês

Observe que o tempo e a taxa tem que ser referente ao mês.

xh/km480

h3h/km400

TempoVelocidade

termososinvertemos400

480

x

3

min30h2ouh5,2480

400.3x:temos400.3x480

Taxa anual, tempo em anos;

Taxa mensal, tempo em meses;

Taxa diária, tempo em dias.

00,250.1$RC:temosndoSimplifica412

600100C

it

j100C

100

Citj

25 26


%12525,1100

125

100

5,3

100

125

100

32

100

5

%3232,0100

32

2) Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro

seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?

Temos: j = 2C

2) Determinar o capital necessário para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao

trimestre (15% a.t.).

t = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses

i = 15% (trimestre) = 15 3 = 5% ao mês

19C = 7980000

C = $ 420.000

P O R C E N T A G E M

Razão centesimal é a razão cujo conseqüente é 100:

Essas razões, também chamadas razões porcentuais, percentuais

ou por cento, são, normalmente, representadas por numeração que utiliza

o símbolo %.

Quando problema de porcentagem for sobre o preço de custo

(C) ou preço de venda (V), procedemos do seguinte modo:

- quando o lucro (L) ou o prejuízo (P) for sobre o preço de

custo, o equivalemos a .............. 100% (C 100%)

- quando o lucro ou prejuízo for sobre o preço de venda, o

equivalemos a ......................... 100% (V 100%)

Exemplos:

1) A expressão (10%)2 – (5%)2 é equivalente a:

2) Ricardo, após receber dois aumentos sucessivos de 15% e 18%, passou a receber um salário de R$ 271,40. Qual era o seu salário antes dos

aumentos?

x = salário inicial 1o aumento: x + 0,15x → 1,15x

2o aumento: 1,15x + 0,18 . 1,15x → 1,15x (1 + 0,18)

1,15x . 1,18 = 271,40 1,357x = 271,40 → x = R$ 200,00

3) Um objeto foi vendido por R$ 34.500,00 com um lucro de 15% sobre o custo. Qual é o seu preço de custo?

V = C + L → Houve lucro, portanto:

4) Um objeto foi vendido por R$ 23.400,00, com um lucro de 20% sobre a venda. Qual é o seu preço de custo?

V = C + L → Houve lucro, portanto:

anos20tC10

100C2t

100

t10CC2

100

Citj

100

Citj j C M

C9000.980.7C1010

C9000.798CMjC

jCMemsubstituir10

C9j

100

185Cj

%75,0:100pormosSimplifica

10000

75

10000

25

10000

100

100

5

100

1022

00,000.30$RC:teremosolog100.34500C115

C%100

500.34%115%15%100%115

00,720.18$R100

80.23400C:olog8023400100C

80% C

%100400.23temos%20%80%100

27



18

7

2

63x2

126x

QUARTA PROPORCIONAL:

Chama-se quarta proporcional de três números, dados numa certa or-

dem, um quarto, que forme com os três primeiros, uma proporção.

Exemplo: (ESA) - Calcular a quarta proporcional entre 2, 7 e 18:

Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

2x = 7 . 18 temos

PROPORÇÃO CONTÍNUA

Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais.

TERCEIRA PROPORCIONAL

Dados dois números racionais a e b, não-nulos, denomina-se terceira

proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo: Determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção.

20x = 10 . 10 20x = 100 x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.

28

c

b

b

a

x

b

b

a


10

10

20

22

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