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RACIOCÍNIO QUANTITATIVO Edição: fevereiro de 2003. 1. Em uma fábrica de automóveis, em 20 dias, com seus funcionários trabalhando 8 horas por dia, são montados 400 veículos de um mesmo modelo. Nessa mesma montadora, com os mesmos funcionários trabalhando 10 horas por dia, quantos dias serão necessários para montar 500 veículos do mesmo modelo que os anteriores? a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 25 Solução: Regra de três composta: dias horas/ dia veículo s 20 8 400 x 10 500 inversa direta dias Resposta: letra d. 2. Se o raio de um círculo inscrito num triângulo eqüilátero for reduzido à metade, ele ficará inscrito num segundo triângulo eqüilátero cuja área, em relação ao primeiro triângulo, ficará multiplicada por a) b) c) d) 1 e) 2 Solução: Se o raio foi reduzido à metade (ou seja, foi multiplicado por ), a área relacionada a ele (tanto a área do círculo quanto a área do triângulo circunscrito!) será multiplicada pelo quadrado de , isto é Resposta: letra b. 3. Um lucro de 15% sobre o preço de venda representa, aproximadamente, que porcentagem sobre o preço de custo: a) 10,15% b) 13,05% c) 15,15% d) 17,65% e) 19,45% Solução: Podemos utilizar a fórmula do item 11.3.6 , onde d = 0,15 (taxa na forma unitária): Prof. Milton Araújo e-mail: [email protected] 1

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RACIOCÍNIO QUANTITATIVOEdição: fevereiro de 2003.

1. Em uma fábrica de automóveis, em 20 dias, com seus funcionários trabalhando 8 horas por dia, são montados 400 veículos de um mesmo modelo. Nessa mesma montadora, com os mesmos funcionários trabalhando 10 horas por dia, quantos dias serão necessários para montar 500 veículos do mesmo modelo que os anteriores?

a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 25Solução:Regra de três composta:

dias horas/dia veículos20 8 400x 10 500

inversa direta

dias

Resposta: letra d.2. Se o raio de um círculo inscrito num triângulo eqüilátero for reduzido à metade, ele ficará inscrito

num segundo triângulo eqüilátero cuja área, em relação ao primeiro triângulo, ficará multiplicada por

a) b) c) d) 1 e) 2

Solução:

Se o raio foi reduzido à metade (ou seja, foi multiplicado por ), a área relacionada a ele (tanto a área

do círculo quanto a área do triângulo circunscrito!) será multiplicada pelo quadrado de , isto é

Resposta: letra b.3. Um lucro de 15% sobre o preço de venda representa, aproximadamente, que porcentagem sobre o

preço de custo:a) 10,15% b) 13,05% c) 15,15% d) 17,65% e) 19,45%Solução:

Podemos utilizar a fórmula do item 11.3.6 , onde d = 0,15 (taxa na forma unitária):

, ou 17,65%

Resposta: letra d.4. O máximo divisor comum, o menor divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos números 4, 8

e 12 são, respectivamente,a) 2, 1 e 12 b) 4, 2 e 12 c) 4, 1 e 24 d) 12, 2 e 24 e) 12, 4 e 48Solução:Decompondo-se os números dados em fatores primos, tem-se:

MDC: tomam-se os fatores comuns, cada qual no seu menor expoente: O menor divisor comum de qualquer conjunto de números é UM.MMC: tomam-se todos os fatores encontrados nas decomposições, dada qual no seu maior expoente:

Resposta: letra c.

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5. Uma folha de alumínio tem 0,01 de espessura. Forma-se uma pilha dessas folhas colocando-se duas na primeira vez, o que já havia na pilha na segunda vez, e assim sucessivamente. Repetindo-se a operação 30 vezes, a altura da pilha final é

a) b) c) d) e) Solução:Tem-se o seguinte esquema: 1ª vez: 2ª vez: 3ª vez: 4ª vez: e assim por diante... Observa-se que, a partir da segunda operação e até o fim forma-se uma P. G. de razão 2 ( ) e primeiro termo igual a 0,02 ( ). Ao todo, são 29 termos na P. G. ( ).

Soma dos termos de uma P. G. finita:

. Agora adicionamos o valor colocado da primeira vez (que não

fazia parte da P. G.): Resposta: letra a.6. Suponha que o custo total de produção de um determinado produto é dado por ,

, em que x representa a quantidade produzida. Sabendo que o produto é vendido por R$ 32,00 a unidade, o menor valor de x tal que o lucro seja positivo é maior que

a) 2 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16Solução:Função Lucro: (Lucro = Receita “menos” Custo)Função Receita: (Receita = preço “vezes” quantidade)

.Quer-se determinar o valor de x para que :

Resposta: letra b.7. A distribuição dos salários de uma empresa é dada pela tabela abaixo

Salário em R$ Número de funcionários200,00 25800,00 10

1.500,00 104.000,00 46.000,00 1

Total 50Se forem contratados dois novos funcionários com salários de R$ 200,00 cadaa) a média salarial da empresa aumentará.b) a média salarial da empresa diminuirá.c) a média salarial da empresa ficará a mesma.d) a moda dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00.e) a mediana dos salários da empresa ficará R$ 1.500,00.Solução:Ao acrescentarmos a um conjunto de dados novos valores, próximos aos valores do extremo inferior da distribuição, sua média aritmética diminui. Por outro lado, se acrescentarmos novos valores próximos ao extremo superior, sua média aritmética aumenta.Resposta: letra b.8. Em uma certa indústria, 5% dos homens e 2% das mulheres têm menos de 25 anos. Por outro lado,

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60% dos funcionários são homens. Se um funcionário é selecionado aleatoriamente e tem menos de 25 anos, a probabilidade de ser mulher é

a) b) c) d) e)

Solução:Vamos iniciar nomeando os eventos:H – homem; M – mulher; V – ter menos de 25 anos.Desse modo, temos:

(probabilidade de ter menos de 25 anos sabendo que é homem)020,)M/V(P (probabilidade de ter menos de 25 anos sabendo que é mulher)

(probabilidade de ser homem, independente da idade) (probabilidade de ser mulher, independente da idade)

Observação: os eventos e são complementares!Queremos calcular a probabilidade de ser mulher sabendo que tem menos de 25 anos, ou seja:

Fórmula da probabilidade condicional: )V(P

)VM(P)V/M(P

Devemos, então, calcular e )V(P (Teorema da Probabilidade Total)a) Cálculo de :Através do dado: 020,)M/V(P e, com o auxílio da fórmula da probabilidade condicional, teremos:

Teorema da Probabilidade Total: .

Agora calculamos

Resposta: letra b.9. Foram usados 25 kg de fios para tecer 280 m de tecidos com 0,90 m de largura. Quantos

quilogramas serão necessários para produzir 144 m deste tecido com 1,4 m de largura?a) 14 kg b) 16 kg c) 20 kg d) 24 kg e) 25 kgSolução:Regra de três composta:

Massa Comprimento Largura25 280 0,9x 144 1,4

direta direta

kg

Resposta: letra c.

10. Se xxx)x(p 23 23 , então os valores de x IR para que 0)x(p sãoa) (0, 2) b) (1, 2) c) (-, 1) (2, +)d) (0, 1) (2, +) e) (-, 0) (1, 2)Solução:Fatorando o polinômio dado...Primeiramente, colocamos x em evidência:

232 xxx)x(pAgora fatora-se o trinômio quadrado, cujas raízes são 1 e 2.

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Assim, o polinômio fatorado tem o seguinte aspecto:.

Vamos analisar o sinal colocando-se as raízes {0, 1, 2} em retas numéricas e utilizando a regra do produto dos sinais para identificarmos a resposta.

A última reta representa a interseção das três primeiras.Estamos interessados nos intervalos em que , logo, o intervalo procurado é (0, 1) (2, +)Resposta: letra d

11. as retas r: e s: são

a) paralelas coincidentes b) paralelas distintas c) reversasd) perpendiculares e) concorrentesSolução:Vamos “arrumar” a equação da reta :

.colocando na forma geral: . Agora observamos as equações das duas retas:

(Forma Geral da Reta: ) (Forma Geral da Reta: )

Como apenas o termo independente não é o mesmo a ambas, temos:

, que é a condição para que sejam paralelas distintas.

Resposta: letra b.12. A solução do sistema representado pelo gráfico abaixo é

a) (1, 4) b) (-2, 4) c) (1, -2) d) (4, 0) e) (1, 3)Solução:A solução está visível no gráfico acima: é o par ordenado(1, 3).Entretanto, podemos equacionar as retas e resolver o sistema formado pelas duas equações:

(o leitor poderá comprovar o resultado através da resolução deste sistema)

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Resposta: letra e.13. Uma praga de lavoura tem seu crescimento populacional P diretamente proporcional ao tamanho

de sua população x quando não tem predadores. Sendo k constante de proporcionalidade positiva, o crescimento populacional desta praga em função de sua população é

a) b) c) d) e)

Solução:Se uma grandeza é diretamente proporcional a outra, então essa grandeza será dada pelo produto de uma constante de proporcionalidade pela outra grandeza, ou seja: Resposta: letra b.14. Em uma cidade o preço da passagem de ônibus urbano é R$ 1,10. A expressão do número de

passagens, x, que se pode comprar com R$ 80,00 éa) b) c) d) e) Solução:Se tomarmos o valor disponível (R$ 80,00) e subtrairmos o valor supostamente gasto na compra de x passagens (1,1.x), este resultado deverá ser maior do que zero!

(multiplicamos tudo por -1, invertendo todos os sinais): Resposta: letra e.15. No sistema o valor de c éa) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2Solução:

Determinante principal:

Determinante secundário:

Resposta: letra e.16. Rosana comprou um saco de balas e vai distribuí-las igualmente entre seus sobrinhos. Ao fazer a

distribuição, percebeu que se der 15 balas para cada sobrinho faltarão 25 balas e que se der 12 balas para cada um sobrarão 11 balas. A quantidade total máxima de balas que Rosana pode distribuir igualmente, entre os sobrinhos é

a) 12 b) 23 c) 144 d) 155 e) 180Solução:Na primeira situação, Rosana daria 15 balas a cada sobrinho, mas ficariam faltando 25 balas, ou seja, se é o número de sobrinhos e a quantidade total de balas que Rosana comprou:

.Na segunda situação, Rosana daria 12 balas a cada sobrinho, e, neste caso, sobrariam 11 balas, ou seja:

.Resolvendo o sistema formado com as duas equações (na verdade, basta igualarmos as duas equações!):

sobrinhos e balas. Mas CUIDADO! A questão não pediu a quantidade total de balas, mas sim a quantidade máxima que poderia ser distribuída aos sobrinhos. A segunda equação mostra que esse número é 144 (cada sobrinho ganha 12 balas e Rosana fica com 11).Resposta: letra c.17. Se a cada ano o valor V de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior, um

carro no início do nono ano valeráa) b) c) d) e) Solução:

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Temos uma Progressão Geométrica decrescente de razão (CUIDADO!) 0,7 , pois, a cada ano, o valor do carro é 70% do que era no ano anterior. O primeiro termo é V e o número de termos é 9 .Fórmula do Termo Geral: .

Substituindo os valores dados: Resposta: letra d.18. Um baralho comum é constituído de cartas com números, de 2 a 10, e cartas com letras, A (ás), J

(valete), Q (dama) e K (rei). Temos um conjunto dessas cartas para cada um dos quatro naipes: copas, ouros, espadas e paus, totalizando 52 cartas. Retirando-se ao acaso uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de ela ser um valete ou um ouros?

a) b) c) d) e)

Solução:Dando nomes aos eventos: “V” – Valete, e “G” – Ouros (naipe).Ora, se cada naipe tem um valete e são 4 naipes ao todo, então o baralho tem 4 valetes e a

probabilidade de se retirar um valete é dada por: .

Se são 52 cartas ao todo distribuídas em 4 naipes, então cada naipe tem 13 cartas. Então:

Queremos calcular a probabilidade de retirar um valete OU uma carta de ouros:.

A probabilidade da carta sorteada ser valete E ouros ao mesmo tempo é: , pois há um

único valete de ouros em todo o baralho.Voltando à fórmula da união e substituindo os valores correspondentes:

Resposta: letra b.19. Numa fábrica de vassouras, o lucro diário é dado pela fórmula , sendo L o lucro e

x a quantidade de vassouras vendidas. A menor quantidade de vassouras vendidas por dia que garante lucro para a fábrica é

a) 113 b) 120 c) 131 d) 149 e) 151Solução:Devemos calcular o valor de x para que se tenha . Então: . Logo:

Resposta: letra c.

20. Se considerarmos a matriz real determinada por

Então,

a) b) c) d) e)

Solução:

Resposta: letra e.21. Alguns estudantes (x) vão alugar juntos uma casa cujo aluguel é de R$ 650,00, dividindo-o

igualmente entre si, um dos estudantes não tem como pagar sua parte, e os outros concordaram em pagar a parte dele. Sendo assim a expressão que fornece a parte do aluguel, y, de cada estudante é

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a) b) c) d) e)

Solução:O valor do aluguel deveria ter sido dividido por x (número de estudantes), para se obter a parte de cada um . Mas, como um deles não pagou, o valor do aluguel foi dividido por , ou seja:

Resposta: letra a.22. Ao corrigir uma prova com apenas duas questões, um professor constatou que dos seus 43 alunos,

28 acertaram a primeira questão, 13 acertaram todas as questões e ninguém acertou somente a segunda questão. Quantos alunos erraram todas as questões?

a) 2 b) 8 c) 15 d) 28 e) 30Solução:Recorrendo a um diagrama de Euler-Venn:

Resposta: letra c.23. Um jardineiro apara a grama de um jardim toda sexta-feira. O gráfico que melhor representa essa

situação é o da alternativaa) b)

c) d)

e)

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Solução:Por simples observação dos gráficos, conclui-se que a alternativa “a” apresenta a resposta correta!Resposta: letra a.24. Um granjeiro tem ração suficiente para alimentar 36 porcos durante 56 dias. Se ele precisar

alimentar mais 6 porcos do mesmo tipo, quantos dias a ração deverá durar?a) 32 b) 36 c) 38 d) 44 e) 48Solução:Montamos uma regra de três simples inversa:

porcos dias36 5642 x

inversa

Resposta: letra e.25. Seja o discriminante de a ≠ 0. Se o discriminante de a

≠ 0, é zero, então é CORRETO afirmar que a, b e ca) formam uma progressão geométrica.b) formam uma progressão aritmética.c) são distintos.d) são números negativos.e) apenas b é negativo e a e c são positivos.Solução:Calculando o discriminante da equação dada:

. Os três termos estão em progressão geométrica, pois o termo central será dado pela média geométrica dos extremos.Resposta: letra .

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PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICOEdição: Fevereiro de 2003

1. A NEGAÇÃO da sentença “Todos os homens são honestos”. éa) “Nenhum homem é honesto”.b) “Todos os homens são desonestos”.c) “Algum homem é desonesto”.d) “Nenhum homem é desonesto”.e) “Alguns homens são honestos”.Solução:A negação do quantificador UNIVERSAL (Todo) é o quantificador EXISTENCIAL (Algum), seguido da negação do ATRIBUTO. Em outras palavras (ver a primeira linha da tabela abaixo):

Afirmação Símbolo Negação Símbolo“Todo” “Algum... não é...” + ~(atributo)

“Algum” ou “Existe” “Todo... não”, ou “nenhum” + ~(atributo)“Nenhum” “Algum”

Com isto, a frase dada fica: “Algum homem não é honesto”, OU “Algum homem é desonesto”.Resposta: letra c.

2. Os números x e y são tais que 10 x 30 e 40 y 60. o maior valor possível de é

a) b) c) d) e)

Solução:A solução é muito simples: basta colocarmos no numerador o maior valor do intervalo de x (que é o

30), e, no denominador, o menor valor do intervalo de y (que é o 40), ficando com:

Resposta: letra d.3. A NEGAÇÃO da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema”. éa) “Ana voltou ou não foi ao cinema”.b) “Ana voltou e não foi ao cinema”.c) “Ana não voltou ou não foi ao cinema”.d) “Ana não voltou e não foi ao cinema”.e) “Ana não voltou e foi ao cinema”.Solução:Em linguagem simbólica, a frase dada fica: p: Ana voltou; q:Ana foi ao cinema.Temos, portanto: ~p q.A negação é: ~(~p q). Aplicando-se De Morgan, vem: p ~q, que, em linguagem corrente fica:“Ana voltou ou não foi ao cinema”.Resposta: letra a.4. Considere as seguintes sentenças:

I. Sendo x um número real, tem-se que se x > 2, então x 3.II. Sendo x um número real, tem-se que se , então x = 4.

III. Sendo x um número real, tem-se que 8x > 40 se, e somente se, x > 5.

IV. Sendo x um número real, tem-se que é par se, e somente se, x é par.

O valor lógico de cada sentença forma, respectivamente, a seguinte seqüência:a) V, V, V, V b) V, V, V, F c) V, V, F, V d) F, V, V, V e) F, F, V, FSolução:

I. FALSO! Observe que x é um número real. Assim, entre 2 e 3 há infinitos valores que x poderá assumir.

II. FALSO! A equação tem duas raízes reais: -4 e 4.III. VERDADEIRO! Resolvendo-se a inequação dada, comprova-se tal resultado.

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IV. FALSO!Resposta: letra e.5. As grandezas x e y são tais que “se x = 7, então y = 9”. Então é CORRETO afirmar quea) “se x 7, então y 9” b) “se y = 9, então x = 7”c) “se y 9, então x 7” d) “se x = 7, então y 9”e) “se y 9, então x = 7”Solução:Dada uma proposição composta condicional, sua equivalente imediata é a contrapositiva:“Se y 9, então x 7”.Resposta: letra c.6. Considere as seguintes sentenças:

V. Se o triângulo ABC possui apenas dois ângulos agudos, então o triângulo ABC é retângulo.VI. Se o triângulo é retângulo, então o triângulo ABC possui apenas dois ângulos agudos.

VII. Não existe triângulo isósceles que seja obtusângulo.VIII. Não é possível construir um triângulo com as medidas 2 cm, 3 cm, 6 cm.O valor lógico de cada sentença forma, respectivamente, a seguinte seqüênciaa) V, F, V, V b) V, V, F, F c) F, V, F, V d) F, V, F, F e) F, F, V, VSolução:

I. FALSO! O triângulo ABC pode ser obtusângulo (isto é, possui um ângulo maior que 90º).II. VERDADEIRO! Um ângulo é 90º e os outros dois juntos somam 90º.

III. FALSO! IV. VERDADEIRO! Três números somente poderão formar um triângulo se cada lado for menor

que a soma dos dois outros.Resposta: letra c.7. Sejam as proposições p: João é inteligente e q: Paulo joga tênis. Então, ~(~p q), em linguagem

corrente, éf) João é inteligente ou Paulo não joga tênis.g) João é inteligente e Paulo não joga tênis.h) João não é inteligente e Paulo não joga tênis.i) João não é inteligente ou Paulo joga tênis.j) João é inteligente ou Paulo joga tênis.Solução:Aplicamos “De Morgan” em ~(~p q), que resulta: p ~q. Passando para a linguagem corrente, vem: “João é inteligente e Paulo não joga tênis”.Resposta: letra b.8. Dadas as proposições

I. Existe x real tal que 2x = 3.II. Para todo x real, x + 8 > x + 6.

III. Existe x real, tal que x – 7 > x – 3.IV. Para todo x real,

a) Apenas I, II e III são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas I e III são verdadeiras.d) Apenas II e III são verdadeiras.e) Todas são verdadeiras.Solução:

I. VERDADEIRO! Uma equação do primeiro grau tem, necessariamente, uma raiz real.

II. VERDADEIRO! Se eliminarmos “x” na inequação ficamos com: 8 > 6.III. FALSO! Eliminando-se o “x”, tem-se: – 7 > – 3 (que NÃO É verdade!)IV. FALSO! Para x = 0 a inequação dada NÃO SE VERIFICA!

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Resposta: letra b.9. Se a e b são números inteiros, define-se a operação como: a b = a + b – 3. Assim, o valor da

expressão (1 2) + (2 3) 4 éa) –6 b) –3 c) 3 d) 6 e) 9Solução:Aplicando-se o operador inicialmente aos parênteses:(1 + 2 – 3) + (2 + 3 – 3) 4(0) + (2) 42 42 + 4 – 3 = 3Resposta: letra c.10. Sabe-se que as dimensões de um retângulo são números consecutivos. Se o perímetro desse

retângulo é igual a 30 cm, então a sua área, em , medea) 30 b) 42 c) 54 d) 56 e) 64Solução:Dois números consecutivos podem ser representados por x e x + 1.Assim, o perímetro do retângulo é dado por:p = 2,(x + x + 1) p = 4x + 2. Mas o perímetro vale 30 (dado do problema). Então: 4x + 2 = 30 x = 7. O outro número é 8 e a área do retângulo é 56.Resposta: letra d.11. Sejam x e y número reais positivos tais que xy < 1. Então, é CORRETO afirmar quea) x < 1 ou y < 1 b) x < 1 e y < 1 c) x >1 ou y > xd) x = y e x < 1 e) x = y ou x < 1Solução:Para que o produto de dois números seja menor do que 1 (e maior que zero) é necessário que pelo menos um deles seja menor do que 1.Resposta: letra a.12. O próximo número na seqüência 2, 5, 11, 23, ... éa) 35 b) 39 c) 41 d) 47 e) 49Solução:Numa seqüência qualquer, deve-se buscar sua lei de formação para se determinar um valor desconhecido.O segundo termo da seqüência é igual ao primeiro mais 3 unidades.O terceiro termo da seqüência é dado pelo segundo mais 6 unidades.O quarto termo da seqüência é dado pelo terceiro mais 12 unidades.Percebe-se que os fatores de acréscimo estão em progressão geométrica, iniciando-se em 3 e com razão igual a 2. Assim, o próximo fator de acréscimo será 24.Desse modo, o próximo número da seqüência será: 23 + 24 = 47Resposta: letra d.13. A CONTRAPOSITIVA da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem”. ék) “Se os preços diminuem, então as vendas aumentam”.l) “Os preços diminuem e as vendas aumentam”.m) “Se os preços aumentam, então as vendas aumentam”.n) “As vendas aumentam ou os preços diminuem”.o) “Se as vendas aumentam, então os preços diminuem”.Solução:Para se obter a CONTRAPOSITIVA de uma proposição condicional, trocam-se as proposições simples de lugar e negam-se ambas. Ver esquema em linguagem simbólica abaixo:

Tem-se, portanto, para CONTRAPOSITIVA da sentença dada:

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“Se as vendas aumentam, então os preços diminuem”.Resposta: letra e.14. Seja 84 a medida da área de um retângulo cuja largura mede x cm e o comprimento excede

em 5 cm a largura. Então, a equação que representa a situação dada éa) b) c) d) e) Solução:A ÁREA de um retângulo é dada pelo produto da sua base pela respectiva altura:

Resposta: letra d.

15. Ordenando os números racionais , obtém-se

a) p < q < r b) r < p < q c) p < r < qd) q < r < p e) r < q < pSolução:Para comparar números racionais deve-se reduzir seus denominadores a um valor comum (MMC)

Pelo resultado acima, tem-se que: r < p < qResposta: letra b.16. Considere as seguintes premissas:“Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática”.“Cláudia não é simpática”.A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudiaa) “é bonita ou inteligente”. b) “é bonita e inteligente”.c) “é bonita e não é inteligente”. d) “não é bonita e não é inteligente”.e) “não é bonita e é inteligente”.Solução:A conclusão do argumento é simples, pois a primeira premissa é uma proposição disjuntiva (“ou”), para a qual basta que pelo menos uma de suas proposições seja verdadeira para que seu resultado lógico seja verdadeiro.Ora, sendo verdadeira a segunda premissa (“Cláudia não é simpática”), é necessário que, na primeira premissa, “Cláudia é bonita e inteligente” seja verdadeira para que o argumento seja válido. Logo, a conclusão do argumento é:“Cláudia é bonita e inteligente”Resposta: letra b.17. No conjunto dos números naturais positivos, o produto das soluções da inequação 2x – 6 < 2 éa) 0 b) 6 c) 7 d) 12 e) 24Solução:A solução da inequação é: 2x < 2 + 6 2x < 8 x < 4.

O conjunto dos números naturais positivos não inclui o zero!A solução é dada por {1, 2, 3}, cujo produto é 6.Resposta: letra b.18. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 4 horas. Se o

tanque estiver cheio e forem abertos, simultaneamente, a torneira e o ralo, então o tanque

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a) nunca se esvazia b) esvazia-se em 2 horas.c) esvazia-se em 4 horas. d) esvazia-se em 9 horas.e) esvazia-se em 12 horas.Solução:Vamos utilizar o “Método da Redução à Unidade de Tempo” que pode ser enunciado como segue:“O somatório dos INVERSOS dos tempos individuais é igual ao inverso do tempo conjunto”.

Então: reduzindo-se ao mesmo denominador -x = 12

x = -12. O sinal negativo significa que o tanque esvaziar-se-á.

Obs.: o sinal negativo na expressão representa o trabalho do ralo (retirando a água!)

Resposta: letra e.

19. A equação , x 8

p) possui uma única raiz real.q) possui exatamente duas raízes reais.r) possui infinitas raízes reais.s) não possui raiz real.t) possui uma raiz imaginária.Solução:

Observe que a segunda parcela de cada membro da equação , pode ser eliminada da equação

dada, restando apenas x = 8. Mas esta não é a raiz da equação, uma vez que x 8. Desse modo, a equação dada NÃO TEM RAIZ REAL!Resposta: letra d.20. Se subtrair quatro unidades de um certo número, obtém-se o triplo de sua raiz quadrada. Então, o

valor desse número éa) 4 b) 8 c) 16 d) 19 e) 24Solução:Equacionando: Resolvendo a equação acima: , cujas raízes (Bháskara) são 1 e 16. O valor “1” não satisfaz a equação dada, logo x = 16Resposta: letra c.21. Considere os conjuntos X e Y, e as afirmações a seguir:

I. Se , então .II. = .

III. Se e , então O valor lógico de cada afirmação forma, respectivamente, a seguinte seqüênciaa) V, V, V b) V, F, V c) V, F, F d) F, V, V e) F, F, VSolução:

I. VERDADEIRA!II. FALSA! = somente será verdadeira no caso em que X = .

III. VERDADEIRA! Associa-se SEMPRE a interseção ao conectivo “e”Resposta: letra b.22. Sendo x um número real e equacionando-se a afirmação “A soma do número não-nulo x com o

cubo do seu inverso é igual a 5”, tem-sea) , para x 0. b) , para x 0.c) , para x 0. d) , para x 0.e) , para x 0.Solução:

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Equação:

(redução ao mesmo denominador)

Resposta: letra a.23. Dados os números e , pode-se afirmar que x - y é igual aa) b) c) d) e) Solução:

(colocando-se em evidência) Resposta: letra e.24. Duas velas cilíndricas de mesma altura são acesas ao mesmo tempo. A primeira é consumida em 6

horas e a segunda, em 2 horas. Se cada vela queima a uma velocidade constante, então a altura da primeira vela é o triplo da altura da segunda após

a) 1 hora b) 1 hora e 15 minutos c) 1 hora e 20 minutosd) 1 hora e 30 minutos e) 1 hora e 45 minutosSolução:

Tamanho original das velas

A vela mais lenta (6h) queimará 1/4 do seu tamanho em 6/4 do tempo, ou 1,5h

1,5h

A vela mais rápida (2h) queimará 3/4 do seu tamanho no mesmo tempo de 1,5h.

1,5h Pelo esquema acima, vê-se que a primeira ficará com o triplo da altura da segunda em 1,5h.(As regiões sombreadas nas figuras acima representam as partes já queimadas de cada vela)Resposta: letra d.25. Os diâmetros de dois círculos têm 8 cm e 12 cm cada. A razão entre a área do maior e a área do

menor éa) 2/3 b) 4/9 c) 4/3 d) 3/2 e) 9/4Solução:A razão entre as ÁREAS de dois círculos é dada pela razão entre os quadrados se seus raios:

Resposta: letra e.

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