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Preparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! – 6.º Ano Pág. 1 Álgebra Relações e regularidades Sequências e regularidades Proporcionalidade direta (Nota: As expressões numéricas e as propriedades das operações já foram abordadas na ficha Números naturais e Números racionais não negativos) Síntese Sequências e regularidades Lei de formação A lei de formação de uma sequência é a forma como se obtém um novo termo a partir do anterior. Exemplo: Na sequência 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... a lei de formação é "somar duas unidades ao termo anterior". Na sequência 3 , 9 , 27 , 81 , ... a lei de formação é "multiplicar por três o termo anterior". Proporcionalidade direta Razão Uma razão é um quociente entre dois números, e (que podem ser inteiros ou não inteiros), que se representa por ou ∶ ( ≠ 0). Antecedente e consequente A razão ou : pode ler-se “a razão de para ”. Esta razão tem dois termos: que é designado por antecedente e que é designado por consequente. Exemplo: Na razão , 7 é o antecedente e 9 é o consequente. Proporção Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: A igualdade = é uma proporção. Meios e extremos Na proporção = , os termos e são os extremos e os termos e são os meios.

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Álgebra

Relações e regularidades

� Sequências e regularidades

� Proporcionalidade direta

(Nota: As expressões numéricas e as propriedades das operações já foram abordadas na ficha

Números naturais e Números racionais não negativos)

Síntese

� Sequências e regularidades

Lei de formação

A lei de formação de uma sequência é a forma como se obtém um novo termo a partir do

anterior.

Exemplo:

� Na sequência 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ... a lei de formação é "somar duas unidades ao termo

anterior".

� Na sequência 3 , 9 , 27 , 81 , ... a lei de formação é "multiplicar por três o termo

anterior".

� Proporcionalidade direta

Razão

Uma razão é um quociente entre dois números, � e � (que podem ser inteiros ou não inteiros),

que se representa por �

� ou � ∶ � (� ≠ 0).

Antecedente e consequente

A razão �

� ou �: � pode ler-se “a razão de � para �”.

Esta razão tem dois termos: � que é designado por antecedente e � que é designado por

consequente.

Exemplo:

� Na razão �

, 7 é o antecedente e 9 é o consequente.

Proporção

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

Exemplo:

� A igualdade �

�=

��

�� é uma proporção.

Meios e extremos

Na proporção �

�=

� , os termos � e � são os extremos e os termos � e � são os meios.

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Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

�=

� é o mesmo que � × � = � × � (� ≠ 0 e � ≠ 0)

Numa proporção, para determinares…

… um extremo multiplicas os meios e divides o produto obtido pelo outro extremo.

… um meio multiplicas os extremos e divides o produto obtido pelo outro meio.

Percentagem

Uma percentagem representa uma razão cujo consequente é 100.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas � e � dizem-se diretamente proporcionais se o quociente �

� entre valores

correspondentes destas duas grandezas é constante. Esta constante �

� chama-se constante

de proporcionalidade.

Um gráfico de linha que represente a relação entre duas grandezas diretamente proporcionais

é uma semirreta.

Exemplo:

A tabela seguinte apresenta duas grandezas diretamente proporcionais.

N.º de quilos de

amêndoa (kg) 2 7 11

Preço (em €) 5 17,5 27,5

Como �

�=

��,�

�=

��,�

��= 2,5 , as grandezas preço e número de quilos são diretamente

proporcionais e 2,5 é a constante de proporcionalidade (significa que o preço de um quilo de

amêndoas é 2,5 €).

Escalas

Uma escala é a razão entre as dimensões da representação e as respetivas dimensões reais

de uma figura.

Se a razão é maior do que um representa uma ampliação.

Se a razão é menor do que um representa uma redução.

Escala = �� !"#õ!# �� %!&%!#!"'�çã*

�� !"#õ!# %!��#, em que as dimensões estão na mesma unidade de medida.

Exemplo:

Um retângulo de dimensões 5 cm e 7 cm é uma representação à escala de 2:50 de um

retângulo real. As dimensões reais deste retângulo são 1,25 m e 1,75 m, pois:

� �

�+=

� , em que � =

��+

�= 125 cm = 1,25 m ;

� �

�+=

� , em que � =

��+

�= 175 cm = 1,75 m .

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Nas próximas páginas encontrarás questões de provas finais de Matemática do 2.º

Ciclo seguidas de novas propostas semelhantes.

Não te esqueças que podes, e deves, consultar a síntese inicial sempre que tiveres

alguma dúvida.

Bom trabalho!

1. Determina os três termos seguintes de cada uma das sequências:

1.1. 1, 4, 9, …

1.2. 4, 16, 64, …

1.3. 5, 10, 20, …

2. Indica a lei de formação das seguintes sequências:

2.1. 5 , 10 , 15 , 20 , ...

2.2. 0 , 3 , 6 , 9 , ...

2.3. 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , ...

2.4. 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ....

2.5. 4 , 12 , 36 , 108 , 324 , ...

2.6. 2 , 1 , �

� ,

. ,

/ ,

�0 , ...

Prova final de Matemática (2013 - Caderno 2)

3. Dois amigos, o João e o Rodrigo, decidiram construir sequências numéricas.

O João construiu uma sequência em que cada termo era uma potência de base 3 e os termos

obtinham-se aumentando uma unidade ao expoente da potência anterior. Já o Rodrigo optou por

construir uma sequência numérica em que o primeiro termo é 4 e para obter cada um dos termos

seguintes adiciona uma unidade ao produto do termo anterior por dois.

Determina os termos inferiores a 100 que são comuns às sequências dos dois amigos.

4. A Patrícia escreveu os primeiros cinco termos de uma sequência cuja lei de formação é adicionar sete

unidades ao termo anterior.

Sabendo que o sexto termo desta sequência é 43, determina o primeiro termo da sequência que a

Patrícia escreveu.

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Prova final de Matemática (2013 - Caderno 2)

5. Observa a sequência de construções feitas com cubos. Para se passar de uma construção para a

seguinte, juntam-se três cubos à construção anterior.

1.ª construção 2.ª construção 3.ª construção 4.ª construção

Assinala com X a opção que apresenta o número de cubos da sétima construção.

� 13 � 19 � 21 � 16

6. A Francisca criou conjuntos com o mesmo número de motociclos e automóveis. Na tabela seguinte a

Francisca relacionou o número de motociclos e automóveis de cada um dos conjuntos com o número

total de rodas do conjunto de veículos.

N.º de motociclos e

automóveis do conjunto 1 2 3

N.º total de rodas dos

veículos 6 12

6.1. Completa a tabela dada.

6.2. Qual o número total de rodas de um conjunto composto por 10 motociclos e 10 automóveis?

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7. Observa a seguinte sequência não numérica, cujo termo seguinte se obtém construindo um novo

triângulo com vértices nos pontos médios dos lados do triângulo construído no termo anterior.

O número de triângulos dos primeiros três termos apresentados são, respetivamente, 1 , 5 , 9 .

7.1. Assinala com X a opção que apresenta o número de triângulos do sétimo termo desta

sequência.

� 20 � 25 � 24 � 21

7.2. Assinala com X a expressão que representa o número de triângulos do termo 1 desta

sequência.

� 41 � 51 3 4 � 41 3 3 � 1

8. Considera as seguintes igualdades.

7 × 1001 = 7007

17 × 1001 = 17017

171 × 1001 = 171171

1771 × 1001 = 1772771

17771 × 1001 = 17788771

177771 × 1001 = 177948771

8.1. Completa a seguinte igualdade, tendo em conta a regularidade sugerida pelas igualdades

anteriores.

1 777 771 × 1001 = ________________________

8.2. Sejam A, B e C os primeiros três termos da sequência cuja lei de formação é multiplicar o termo

anterior por 1001. Se o valor numérico de A é 1, assinala com X a opção que apresenta o valor

numérico do termo C desta sequência.

� 1 002 001 � 10 300 301 � 1 003 003 001 � 100 101 001

8.3. O número 120 120 é múltiplo de 1001?

Justifica a tua resposta.

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Prova final de Matemática (2012 - Caderno 2)

9. Na figura dada estão representados círculos e quadrados.

Assinala com X a opção que apresenta a razão entre o número

de círculos e o número de quadrados.

� 0

/ �

� �

. �

.

10. Dois recipientes, A e B , contêm, respetivamente, 1250 cm3 e 2,5 litros de azeite. Indica qual a razão

entre a capacidade do recipiente A e a capacidade do recipiente B .

Prova final de Matemática (2012 - Caderno 2)

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11. Assinala com X a opção que representa uma proporção.

� �

0=

��

�0 �

+,�

0=

+,/

�� �

�,.

�,�=

.,�

��,0 �

/=

�+

/+,�

12. Numa receita, a quantidade de farinha, em gramas, utilizada é diretamente proporcional ao número

de ovos com a razão de 0,01.

12.1. Qual a quantidade de ovos utilizada numa receita com 100 g de farinha?

12.2. Qual a quantidade de ovos utilizada numa receita com 500 g de farinha?

12.3. Qual a quantidade de farinha utilizada numa receita com 6 ovos?

Prova final de Matemática (2013 - Caderno 2)

Prova final de Matemática (2013 - Caderno 2)

Prova final de Matemática (2013 - Caderno 1)

13. O Gabriel comprou um casaco com um desconto de 32% . Sabendo que o valor do desconto do

casaco foi de 12,56 € , qual o preço do mesmo sem o desconto?

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14. Numa turma, 24% dos alunos praticam basquetebol. Sabendo que o número de praticantes de

basquetebol nesta turma é de 6 alunos, indica a razão entre os praticantes de basquetebol e os não

praticantes de basquetebol existentes na turma.

15. A Joana comprou numa feira de artesanato pulseiras e colares na razão de 2:3 e gastou 12,60 €.

15.1. Quanto gastou a Joana:

15.1.1. em pulseiras?

15.1.2. em colares?

15.2. Qual a percentagem de dinheiro gasto em colares?

16. Num mercado os produtos frescos são fornecidos pela empresa “Legume fresco”.

16.1. Sabendo que o produtor vende o quilo da batata ao vendedor por 0,20 € e que o vendedor a

vende ao consumidor por 155% do preço a que compra a batata, qual o preço de venda final de

1 kg de batatas?

16.2. Se um quilo de brócolos custa 0,92 €, determina:

16.2.1. a percentagem de desconto num quilo se o preço de venda dos brócolos passa a ser

0,86 € (apresenta o resultado arredondado às centésimas);

16.2.2. quantos quilos de brócolos se pode comprar com 3,22 €.

17. A Joana comprou, em época de saldos, diversas peças de roupa com a mesma percentagem de

desconto:

• um casaco que custava 43,50 € antes dos saldos e agora apenas 32,19 €;

• duas camisolas que custaram, cada uma, 7 € em saldo;

• umas calças que custavam 17,5 € antes dos saldos.

Verifica se 55 € chegaram para as compras da Joana.

Mostra como chegaste à tua resposta.

18. Para a festa de aniversário do Rui, a mãe preparou gelatina para o lanche.

Com uma saqueta de 85 g de gelatina em pó pode fazer-se 0,5 litro de gelatina. A mãe do Rui

pretende encher 18 taças de 12,5 cl com gelatina. Quantas saquetas de 85 g deverá a mãe do Rui

comprar para fazer a quantidade necessária?

Mostra como chegaste à tua resposta.

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19. Uma fotografia tem de dimensão 12,5 cm por 8 cm. A Margarida pretende ampliar a fotografia para

140%. Quais as dimensões da fotografia após a ampliação?

Mostra como chegaste à tua resposta.

20. Um campo de futebol tem a largura de 75 m. No esquema seguinte está representado um campo de

futebol proporcional ao real.

Qual o comprimento do campo de futebol? Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Começa por fazer as medições necessárias na representação do campo de futebol.

Mostra como chegaste à tua resposta.

21. Pretende-se comprar uma televisão com dimensões 16:9

para ocupar o espaço disponível representado, ao lado, à

escala.

Qual a altura máxima que a televisão poderá ter?

Mostra como chegaste à tua resposta.

22. No esquema seguinte temos a vista de cima da base de um caixote onde se

conseguem colocar 10 embalagens cúbicas, não sobrepostas, como as

apresentadas ao lado.

Determina a escala de representação do esquema da base do caixote.

Começa por fazer as medições necessárias no esquema da base do caixote.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Esquema da base do caixote

Embalagem

12 cm

75 m

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Prova final de Matemática (2012 - Caderno 1)

23. O quadro da figura está representado à escala de 2:25 e o comprimento [AB] corresponde à diagonal

do quadro.

Calcula a medida de comprimento real da diagonal do

quadro, começando por fazer as medições necessárias na

representação do quadro à escala.

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