Olho Humano Muito bom

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, v. 33, n. 3, 3312 (2011)www.sbfisica.org.br

Alguns aspectos da optica do olho humano(Some aspects of the optics of the human eye)

Otaviano Helene1 e Andre Frazao Helene2

1Departamento de Fsica Experimental, Instituto de Fsica, Universidade de Sao Paulo, Sao Paulo, SP, Brasil2Departamento de Fisiologia, Instituto de Biociencias, Universidade de Sao Paulo, Sao Paulo, SP, Brasil

Recebido em 22/9/2010; Aceito em 29/8/2011; Publicado em 10/10/2011

Este trabalho descreve alguns aspectos da optica do olho humano adotando uma abordagem progressiva.Iniciaremos estudando um sistema visual muito simples e iremos incluindo os varios ingredientes que compoemo olho humano. Inicialmente, o olho humano e aproximado apenas por uma esfera oca, na qual a luz penetrapor um pequeno orifcio e incide na superfcie oposta a ele, onde esta a retina. Entretanto, esse sistema simplesnao permite a formacao de uma imagem ntida na retina. Para melhorar a qualidade da imagem, a esfera oca eentao preenchida por um material com ndice de refracao igual ao das substancias que preenchem o olho humano(humores aquoso e vtreo). A imagem formada na retina fica mais definida, mas nao ainda completamente ntida.A seguir, nos estudamos o papel da cornea na melhora da imagem. Mas a cornea do olho humano ainda naogarante a formacao de imagens ntidas. Assim, o proximo passo e estudar o papel da lente interna (cristalino).Essa sequencia, de um sistema visual muito simples ate um completo olho humano, segue, aproximadamente, ocaminho que se supoe tenha sido seguido pelo processo de evolucao do olho ao longo dos ultimos 500 milhoesde anos. As deducoes necessarias sao feitas usando-se as equacoes basicas da optica geometrica. Finalmente, eapresentado um modelo construdo com uma esfera transparente que permite ilustrar varios aspectos da opticada visao humana.Palavras-chave: optica, olho humano, visao.

This paper describes some aspects of the human eye adopting a progressive approach. We begin studyinga simple visual system to which we progressively include the other eye components. Initially, the human eye isrepresented by a simple void sphere with a hole through which the light passes and strikes the opposite surfacewhere is the retina. However, this simple model does not produce a sharp image on the retina. In order to im-prove the image quality, the sphere is filled with a material with a refractive index equal to that of the substancesthat fill the eye (vitreous and aqueous humors). The image formed in the retina becomes less blurred, but notcompletely sharp. After that, we study the role of the cornea to the improvement of the image quality. But thecornea does not ensure a perfect image. The next step is to study the role of the lens. The adopted approachis more or less similar to the evolutionary history of the eye during the last 500 million years, from a simplephotosensitive sheet to the complex vertebrate eyes. Calculations are performed using the basic equations of thegeometric optics. Finally, we present a model of the human eye made with transparent spheres which allows usto explore some aspects of the human vision.Keywords: optics, human eye, vision.

1. Introducao

Em cerca de 95% das especies animais sao encontra-dos orgaos especializados para a deteccao de luz. Umaparte desses animais possui orgaos apenas sensveis aluz e outra parte e formada por animais que possuem oque poderamos considerar serem olhos.

As mais simples estruturas biologicas de captacaoda luz, que podem ser tratadas como precursoras deum olho como o encontrado em vertebrados, surgiramha cerca de meio bilhao de anos. Se o sistema mais

primitivo consiste apenas de uma superfcie sensvel aluz, incapaz de sequer fornecer informacao de onde elaprovem (Fig. 1a), as estruturas mais simples e que temalguma similaridade com os olhos mais sofisticados saoconcavidades em cujas paredes internas, opostas a umaabertura, ha celulas sensveis a luz (Fig. 1b). Nes-sas estruturas simples, a luz proveniente de um unicoponto luminoso atinge varias regioes da superfcie fo-tossensvel, nao havendo formacao de imagens defini-das. Esses sistemas apenas fornecem informacoes sobrea origem da fonte luminosa.

1E-mail: [email protected].

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fsica. Printed in Brazil.

3312-2 Helene e Helene

Figura 1 - Alguns tipos de orgaos sensveis a luz encontrados nanatureza . (Os arcos cinzentos indicam as regioes fotossensveis.)De uma simples lamina ou superfcie com celulas sensveis a pre-senca de luz (a), o olho evoluiu para uma cavidade sem nenhumsistema de formacao de imagem ntida (b). Um olho com umpequeno orifcio por onde entra a luz (c) permite a formacao deimagens, mas mal definidas. Olho dotado de uma unica lente(d). Olho humano, com um sistema optico que inclui a corneae uma lente interna (e). Nos casos (d) e (e), a luz provenientede um ponto luminoso atinge apenas um ponto ou uma pequenaregiao da superfcie fotossensvel. As flechas indicam os caminhosseguidos pela evolucao (adaptado da Ref. [1]).

Ao longo do tempo, os processos evolutivos pro-piciaram o surgimento de orgaos visuais adequados aformacao de imagens. Um desses e um olho no quala luz penetra por um pequeno orifcio (Fig. 1c), per-mitindo a formacao de imagens pelo efeito camara es-cura: desde que a abertura do orifcio pelo qual a luzpenetra seja suficientemente pequena quando compa-rada com o tamanho (raio ou diametro) do olho, cadaponto luminoso ilumina apenas uma pequena regiao dasuperfcie fotossensvel. Sistemas visuais que se benefi-ciam do efeito camara escura sao encontrados em algunsinvertebrados.

Entretanto, o efeito camara escura so permite aformacao de imagens ntidas quando a abertura poronde entra a luz, a pupila, e muito pequena quandocomparada com a dimensao tpica do olho. Mas quantomenor a abertura, menos luz penetra no olho, prejudi-cando a acuidade visual, em especial em situacoes depouca luminosidade. Portanto, pupilas bem pequenasresolveriam um problema, o da qualidade da imagem,mas criariam outro: o comprometimento da visao emambientes com pouca luz. A necessidade de que hajaentrada de luz em quantidade suficiente no olho e fun-damental. (A observacao dos olhos de diferentes ver-tebrados terrestres deixa isso bem claro: animais dehabito noturno tem, usualmente, olhos com aberturaspara a entrada de luz maiores do que animais de habitodiurno e noturno e estes, por sua vez, tem olhos maioresdo que aqueles animais de habito apenas diurno.)

Alguns poucos animais apresentam olhos que usamapenas o efeito camara escura para a formacao de ima-gens. Entretanto, o processo evolutivo seguiu outroscaminhos: um deles envolve a presenca de algum tipode aparato optico que permita uma melhor focalizacaoda imagem, como a lente ilustrada na Fig. (1d), ou umasuperfcie por onde a luz penetra com grande curvatura(raio pequeno). Nesse caso, cada regiao especfica deum objeto sera responsavel pela iluminacao de um unico

ponto especfico da retina. Isso permitiria a formacaode imagens bem definidas mesmo quando a aberturapor onde entra a luz e grande.

A Fig. (1e) ilustra um olho dotado de uma cornea euma lente interna, como sao os nossos. Se essa lenteinterna pode ter sua curvatura ajustavel, entao essesistema permite focar objetos a distancias diferentes.Usando a linguagem adequada dos textos didaticos deoptica, dizemos que a imagem conjugada pelo sistemaoptico desse olho estara sempre na retina.

O olho e uma estrutura que surgiu varias vezes aolongo do processo evolutivo, de maneira independente,havendo diversos tipos de orgaos visuais na natureza(a Ref. [2] apresenta uma sntese do que se conhecehoje sobre a evolucao do olho). Alguns tem sistemasde multiplas lentes; outros combinam o efeito camaraescura com lentes; alguns sao tao simples que apenasconseguem perceber a presenca de luz. A Tabela 1 ilus-tra alguns tipos de olhos existentes.

Neste trabalho, vamos discutir alguns aspectosopticos do olho humano. Entretanto, ao inves de es-tudar seu sistema optico integralmente, atacaremos oproblema de uma forma sequencial, parecida com ahipotese de como a evolucao teria agido. Primeiro,estudaremos a imagem formada na retina caso nossoolho fosse uma simples esfera oca, opaca e com umpequeno orifcio (a pupila) por onde entra a luz, ouseja, beneficiando-se apenas do efeito camara escura.Como veremos, esse sistema visual e muito ineficiente.O passo seguinte sera preencher a esfera com um mate-rial transparente de ndice de refracao igual ao do ma-terial que preenche grande parte do nosso globo ocu-lar, os humores vtreo e aquoso. A imagem, quandocomparada com a do olho oco, sera melhor, mas aindasem nitidez suficiente para permitir perceber formas. Opasso seguinte e estudar a funcao da cornea, que me-lhora a qualidade da imagem formada na retina, mastem, ainda, duas limitacoes: nao permite nitidez to-tal nem adaptacao para focar objetos a distancias dife-rentes. Esses problemas ficam por conta de uma lenteinterna ao olho, de distancia focal adaptavel.

Tabela 1 - Alguns tipos de olhos encontrados na natureza [3].

Tipo de olho daFig. 1

Animal

(a) Olho em la-mina

Sao encontrados em gastropodes da especiePatella vulgata, mas sao mais frequentes emformas larvais de diversos grupos e comoolhos acessorios nas formas adultas de mui-tos animais

(b) Olhos emforma de calice

Sao olhos comuns a inumeros tipos de in-vertebrados, incluindo planarias

(c) Olhos tipocamara escura

Encontrado em moluscos, como o gastro-pode Haliotis ou o cefalopode Nautilus

(d) e (e) Olhoscom uma oumais lentes

Olho em camara, com em humanos. Encon-trado em vertebrados terrestres e aquaticose alguns poucos invertebrados, como mo-luscos cefalopodes (entre eles, os polvos)

Alguns aspectos da optica do olho humano 3312-3

Finalmente, e apresentado um modelo de olho cons-trudo com uma esfera de material transparente (de vi-dro, por exemplo) e coisas simples que temos a mao.Com esse modelo, podemos ilustrar varios aspectos daoptica de um olho humano e perceber como varios in-gredientes (o tamanho da pupila, os humores e a cornea)colaboram para a formacao de uma imagem ntida naretina de um olho normal.

2. Principais elementos opticos do olhohumano

A Fig. 2 mostra, de forma simplificada, os principaiselementos opticos do olho humano.

O globo ocular e aproximadamente esferico. Em suamaior parte e opaco, correspondente a regiao em tomescuro na Fig. 2, com excecao de uma regiao frontal,onde esta a cornea, que e transparente. Apos a cornea,ha uma lente interna, antigamente chamada de crista-lino. A regiao interna do globo ocular e preenchida pormateriais transparentes: entre a cornea e a lente ha umlquido, o humor aquoso; depois da lente, o globo ocu-lar e preenchido pelo humor vtreo. Ambos os humorestem ndices de refracao 1,34, muito proximos ao da agua(que e igual a 1,33).

Figura 2 - Principais componentes opticos do olho humano.

Na parte interna do olho, logo apos a cornea, hauma pequena abertura por onde penetra a luz, a pu-pila, cujo diametro e variavel. Diametros entre 2 mm e6 mm, dependendo da iluminacao, sao bastante tpicos.A abertura da pupila e controlada pelos musculos daris, uma estrutura circular cuja cor da parte externapode variar (marrom, azul ou verde sao as cores maiscomuns).

A focalizacao da imagem, ou seja, a imagem conju-gada formada pelo sistema optico do olho, deve estarsobre a retina, desenhada em tom claro de cinza na fi-gura, em especial em uma regiao muito densa de celulas

sensveis a luz, a fovea, a qual fica na direcao frontal doolho, ao longo de seu eixo principal.

Algumas caractersticas do olho humano aparecemna Tabela 2. O globo ocular em um olho normal equase esferico, com raio da ordem de 1,2 cm. A cornea,cujo ndice de refracao e da ordem de 1,38, tem umraio de curvatura de aproximadamente 0,80 cm na suaparte anterior e de cerca de 0,65 cm na parte posterior.Sua espessura e de cerca de 0,06 cm na parte central (opolo, sobre o eixo principal) e um pouco maior na partelateral.

A lente interna, tambem chamada de cristalino, temraios de curvatura que podem variar, permitindo focarimagens mais proximas ou mais distantes. Embora nodesenho da Fig. 2 as superfcies anterior e posterior dalente tenham raios iguais, na realidade o raio de cur-vatura no centro da superfcie anterior e de cerca de0,8 cm e da posterior da ordem de 0,6 cm. A espessurada lente e de aproximadamente 0,4 cm. A distancia en-tre a superfcie anterior da lente e a cornea e de cercade 0,35 cm. O ndice de refracao da lente nao e uni-forme, variando do centro para a borda. Entretanto, oaproximaremos por 1,42.

As dimensoes geometricas variam de pessoa parapessoa. Por exemplo, olhos mopes sao mais longos ehipermetropes mais curtos ao longo da direcao do eixoprincipal. Ha, tambem, variacoes da distancia entre alente e a cornea; os raios da cornea tambem podem va-riar de pessoa para pessoa. Os valores adotados aquiservem apenas para fornecer aproximacoes adequadaspara os propositos deste texto.

3. Uma simples esfera

Para comecarmos a estudar a optica do olho humano,vamos fazer uma aproximacao que sera bastante util.Em geral, estamos interessados na formacao de ima-gens de objetos que estao a cerca de 30 cm ou maisdo nosso olho. Como o diametro de uma pupila naoexcede alguns poucos milmetros, a abertura angularmaxima entre raios luminosos que entrarao por ela seramuito pequena, nao mais do que uma fracao de grau.Portanto, como e feito em muitos estudos da optica delentes, a primeira aproximacao sera considerar os raiosde luz incidentes no olho e provenientes de um pontoluminoso como sendo paralelos. (A Fig. 3 ilustra essaaproximacao.) Isso corresponde a um ponto luminosono infinito.

Tabela 2 - Algumas caractersticas tpicas do olho humano (a Ref. [4] apresenta alguns dados referentes ao olho humano).

Raio de curvatura Espessura Indice de refracao

Cornea Anterior 0,80 cm Posterior 0,65 cm 0,06 cm 1,38

Lente (cristalino) Anterior 0,80 cm Posterior 0,60 cm 0,40 cm 1,42

Humor vtreo e humor aquoso 1,34

Globo ocular 1,2 cm


Figura 3 - Apesar dos raios de luz A e B provenientes de um pontoluminoso proximo nao serem paralelos em sua chegada ao olho(a), como usualmente os angulos de abertura do pincel luminososao relativamente pequenos, vamos consideralos paralelos (b).

3.1. Um olho oco

Como um primeiro modelo do olho humano, vamos usaruma simples esfera oca, quase totalmente opaca, comexcecao de uma pequena regiao, a pupila, por onde en-tra a luz. Na parte oposta a pupila, ate um pouco alemdo equador do olho, esta a retina; ela e uma regiao re-vestida por celulas sensveis a luz (os cones e bastone-tes). Com esse modelo, e facil perceber, por argumentosgeometricos, que um ponto luminoso bem distante doolho iluminaria uma regiao circular da retina de raioigual ao da pupila. Para fins de comparacoes posteri-ores, vamos supor que o raio da pupila seja de 2 mm;esse seria, entao, o raio do borrao formado pelo pontoluminoso. Com um olho assim tao simples, apenas po-deramos perceber de onde vem a luz, tendo pouca ounenhuma informacao sobre a forma do objeto.

E interessante vermos qual seria a resolucao angu-lar de um olho oco. Para isso, vamos fazer referencia aFig. 4. Considere dois pontos luminosos, P1 e P2. Cadaum desses pontos daria origem a um borrao na retinacom um raio de 2 mm. Assim, para que fossem perce-bidos como duas fontes distintas de luz, os centros desuas imagens na retina precisariam estar pelo menos acerca de 4 mm um do outro. Considerando o diametrodo olho como sendo aproximadamente 2,4 cm, o angulo indicado na figura deve ser tal que

4mm2, 4cm

= 0, 17 = 10o (1)

para que as imagens dos dois pontos nao se superpo-nham. Ou seja, com um olho simplesmente oco e umapupila de raio 2 mm, nao conseguiramos perceber queuma pessoa com a qual conversamos tem dois olhos.Ao olharmos um fogao domestico, nao saberamos quaisnem quantos bicos de gas estariam acesos, nao teramosacuidade visual suficiente para encontrar um copo ouum prato sobre uma mesa e so conseguiramos distin-guir os dois farois de um carro a menos do que 5 m dedistancia.

O passo seguinte e preencher esse olho, inicialmenteoco, com um material de ndice de refracao igual a 1,34,o ndice de refracao dos humores vtreo e aquoso quepreenchem nosso olho. Como veremos, isso melhorara

a qualidade da visao, mas ainda sera insuficiente parao nosso dia-a-dia.

Figura 4 - Para que dois pontos luminosos sejam distinguveis,a distancia entre suas projecoes da retina deve ser de 4 mm oumais. Assim, a abertura angular, , deve ser da ordem de 10 oumais.

3.2. O olho sem cornea e sem lente

A Fig. 5 ilustra o que ocorre com dois raios lumino-sos paralelos, A e B, que incidem na pupila de um olhoesferico. (Lembre que esses dois raios sao provenien-tes de um unico ponto luminoso bem distante.) Umdos raios incide no centro da pupila e o outro em suaborda. Os angulos e da Fig. 5 sao suficientementepequenos para que possamos aproximar seus senos pelosproprios valores dos angulos (desde que estes sejam ex-pressos em radianos); considerando as dimensoes tpicasenvolvidas, podemos verificar que o erro dessa apro-ximacao e desprezvel em comparacao com as precisoesdos calculos que faremos. Podemos tambem aproximaro comprimento do arco definido pelas intersecoes de Ae B com o crculo que define o contorno do olho peladistancia d indicada na Fig. 5.

Figura 5 - Formacao de imagem no caso de uma esfera preenchidapor um material de ndice de refracao n.

O passo seguinte e descobrir onde os raios A e B seencontrariam. Para isso, vamos usar a lei de Snell

sen = n sen. (2)

Usando a aproximacao dos senos pelos propriosangulos, temos

= n . (3)

Usando argumentos geometricos, e facil deduzir arelacao entre os angulos na Fig. 5. Considerando asaproximacoes dos senos e das tangentes por seus argu-mentos e observando a Fig. 5, vemos que a distancia de dada por

d = r , (4)


onde r e o raio do olho. A distancia d tambem e dadapor

d = F ( ), (5)

onde F e a distancia entre a superfcie anterior desseolho esferico simples e o ponto em que os prolongamen-tos dos dois raios se encontrariam.

Combinando as Eqs. (3), (4) e (5), obtemos

F =n

n 1r. (6)

(note que r e o raio de curvatura da superfcie na quala luz incide, no caso, o raio do olho.) Para que a ima-gem de um ponto na retina fosse ntida, F deveria serigual a 2r, ou seja, os dois raios provenientes de umunico ponto luminoso bem distante deveriam se encon-trar exatamente na superfcie da retina. Mas isso soocorreria se o ndice de refracao do globo ocular fosseigual a 2. Entretanto, substancias transparentes produ-zidas por seres vivos nao tem ndices de refracao assimtao elevados, sendo, usualmente, bastante proximos dondice de refracao da agua (n = 1,33). No caso doshumores vtreo e aquoso, o valor medio do ndice derefracao e da ordem de 1,34. Assim, temos

F = 3, 9r 4, 7 cm, (7)

onde usamos r = 1,2 cm, uma boa aproximacao parao olho humano. Ou seja, os raios A e B se encontra-riam muito alem da retina. Portanto, um ponto lumi-noso distante nao daria origem a um unico ponto ilu-minado na retina, mas, sim, a uma mancha luminosa,um borrao.

Pela geometria indicada na Fig. 5 vemos que o raiodo borrao, rb, e dado por

(F 2r)( ) = rb. (8)

Combinando esse resultado com as Eqs. (5) e (6)e lembrando que d = rp, onde rp e o raio da pupila,obtemos

rb =2 nn

rp. (9)

Se o ndice de refracao dos humores fossem iguais a2, o borrao teria um raio nulo, o que significaria que aimagem de um ponto no infinito seria um ponto na re-tina. Entretanto, como n = 1,34, uma pupila com raio2 mm daria origem a um borrao com raio de aproxima-damente 1 mm de raio. Essa imagem e melhor do queaquela formada apenas por um olho oco; entretanto, eainda um borrao.

Um aspecto interessante da Eq. (9) e que quantomenor o raio da pupila, menor o tamanho do borrao.Esse fato ilustra como o efeito camara escura contri-bui, paralelamente ao sistema de lentes do olho, paraa qualidade da imagem formada. Embora a Eq. (9)corresponde apenas a um olho sem cornea e sem lente,

e facil mostrar que a regra e geral: se a correcao opticafita pela cornea e a lente nao e perfeita, quanto menora pupila melhor a definicao da imagem.

4. A cornea

Apenas preencher a cavidade esferica do globo ocu-lar com uma substancia e insuficiente para garantir aformacao de uma imagem ntida na retina. Assim, oprocesso de selecao natural nos forneceu outra solucao:cobrir a parte frontal do olho com uma cornea. Comoveremos, e o fato da curvatura da cornea ser maior (raiomenor) do que a do globo ocular que garante a melhorada imagem formada.

A cornea e a parte transparente, frontal, do nossoolho, representada esquematicamente na Fig. 2. Acornea tem ndice de refracao de aproximadamente 1,38.Sua superfcie anterior e quase esferica, com raio da or-dem de 0,80 cm, inferior, portanto, ao raio do globoocular. A superfcie posterior, tambem aproximada-mente esferica, tem um raio de cerca de 0,65 cm. Aespessura da cornea em seu polo (seu ponto central) ede 0,06 cm.

Com essas caractersticas, e possvel ver que acornea a uma lente mais espessa nas bordas do que nocentro. Com os meios nos quais ela esta imersa, ar deum lado e humor aquoso do outro, tem ndices de re-fracao menores do que o dela, seu papel e de uma lentedivergente. Essa caracterstica divergente da corneacontribuiria para piorar a qualidade da imagem for-mada, pois faria com que o foco se afastasse ainda maisda retina. Entretanto, observe que a Eq. (6), que rela-ciona a posicao em que a imagem esta focada com o raiode curvatura da superfcie na qual a luz incide, indicaque quanto menor este ultimo, menor o valor de F . As-sim, o papel fundamental da cornea e dar a superfciedo olho pela qual a luz penetra um raio de curvaturamenor do que aquele que adotamos quando aproxima-mos o olho por uma simples esfera. A capacidade deconvergencia da cornea, por causa de seu raio de cur-vatura menor do que o raio do globo ocular, compensao efeito de lente divergente que ela tambem tem.

Para determinar a trajetoria de um raio luminosoconsiderando a cornea, vamos usar a equacao basica deum dioptro esferico, representado na Fig. 6. Desde queos angulos e sejam pequenos, tal que seus senospossam ser aproximados pelos proprios angulos, entao

n1p

+n2q

=n2 n1

R, (10)

onde p e q sao, respectivamente, as distancias entre oponto P e a superfcie do dioptro e entre esta e o pontoimagem Q. A deducao desse resultado pode ser encon-trada nos livros de fsica geral, como, por exemplo, aRef. [5].

A Eq. (10) tem validade bastante geral desde quedefinamos adequadamente os sinais das grandezas en-


volvidas. Considerando incidencia da luz da esquerdapara a direita na Fig. 6: se o ponto P estiver a direitada superfcie, entao a distancia p sera negativa; se a su-perfcie de separacao entre os dois meios, considerandoa direcao de incidencia da luz, for concava, o raio R seranegativo; se q < 0, entao a imagem estara a esquerdada superfcie que separa os dois meios.

Figura 6 - Esquema de raios de luz incidindo em um dioptroesferico.

Vamos aplicar essa ultima equacao considerando oponto P infinitamente distante da superfcie do olho.Acharemos, inicialmente, o ponto imagem para o quala luz de um ponto objeto muito distante convergiriaconsiderando apenas a primeira superfcie da cornea (asuperfcie anterior); esse e o ponto imagem. A seguir,usaremos a posicao desse ponto imagem como sendo oobjeto para a segunda superfcie da cornea e a partirdele localizamos o ponto imagem formado por essa su-perfcie. A equacao que obtemos para a distancia entrea imagem formada por ambas as superfcies da corneaate sua superfcie posterior, q, e

nhq

=nh nc

Rp nc

e ncnc1Ra, (11)

onde nh e nc sao, respectivamente, os ndices de refra-cao dos humores (1,34) e da cornea (1,38) e e = 0,06 cme a espessura da cornea em seu polo. Substituindoos valores numericos nessa ultima equacao, obtemosq = 3,16 cm. Ou seja, a imagem de um ponto estaria fo-cada a essa distancia da superfcie posterior da cornea.Como a superfcie posterior da cornea coincide, muitoaproximadamente, a superfcie do globo ocular usadano calculo da secao anterior, conclumos que o pontono qual a imagem estara focada ainda esta alem da re-tina, entretanto, mais perto dela do que estaria sem acornea (veja Eq. (7)) e, portanto, dando origem a umborrao menor.

Usando os mesmos argumentos geometricos da secao3.2, podemos calcular o tamanho do borrao formadopor um ponto luminoso infinitamente distante do olho:

ele teria, no caso de uma pupila de 2 mm, um raio deaproximadamente 0,5 mm. Lembre-se que sem a corneao raio do borrao seria da ordem de 1 mm; essa reducaoilustra o papel da cornea na formacao da imagem na re-tina. A Tabela 3 compara o tamanho do borrao nos trescasos estudados: apenas um orifcio de raio 2 mm; umolho preenchido com um material de ndice de refracaoigual a 1,34; e o mesmo olho com uma cornea.

A Fig. 7 ilustra, aproximadamente, como seriamvistos os farois de um veculo a uma centena de metrosde distancia nos varios casos. A imagem formada naretina no caso de um olho preenchido pelos humores ecom uma cornea e aquela inferior direita, ainda muitoborrada.

Para que a imagem de um ponto seja um ponto, enecessaria ainda uma lente adicional.

Figura 7 - Ilustracao que mostra, qualitativamente, como seriamvistos os farois de um veculo a cerca de 100 m de distancia. Daesquerda para a direita e de cima para baixo: visao perfeita; seo globo ocular fosse oco; globo ocular preenchido por materialde ndice de refracao 1,34; olho com cornea, mas sem lente. Adistancia entre os centros dos dois farois, na imagem formada naretina, e da ordem de 0,5 mm.

5. A lente interna (cristalino)

A parte central da retina e uma regiao especial: ela edensamente populada por celulas sensveis a luz e capa-zes de distinguir cores, os cones (essa regiao da retinae caracterizada por um abaulamento, uma especie deburaco e, por causa disso, chamada de fovea). Emboraessa parte da nossa retina corresponda a bem menos doque a centesima parte de sua superfcie, cerca de me-tade das fibras do nervo optico estao ligados as celulasdessa regiao.

Tabela 3 - Raios aproximados do borrao formado na retina por um ponto luminoso infinitamente distante considerando uma pupilacom raio 2 mm.

Olho oco (do tipo cama-ra escura)

Olho esferico preenchidopelos humores

Olho com cornea Olho com cornea e lente

Raio do borrao 2 mm 1 mm 0,5 mm E um ponto


A fovea se diferencia do restante da retina por tresrazoes: ela e populada apenas por cones (nao possuibastonetes), o que confere uma alta capacidade paraidentificacao de cores. Alem disso, nesta regiao, cadacelula ganglionar, formadora do nervo optico, se ligaa uma unica celula fotossensvel (no caso, um cone),o que confere uma alta resolucao para a imagem quesera enviada ao cortex visual. E, por fim, ha um des-locamento lateral das celulas nao fotossensveis da re-tina, nao havendo formacao de sombras sobre os cones,aumentando sua sensibilidade e conferindo o formatoabaulado da retina nessa regiao.

Um interessante exemplo da importancia da proje-cao da imagem sobre a fovea ocorre quando aproxima-mos o dedo centralmente de nosso rosto. Neste caso,vemos que para a acomodacao visual ocorrer ambos osolhos convergem para o centro, para seguir o dedo, e aisso nos referimos como sendo, erroneamente, uma fo-calizacao da imagem. Na verdade, o que esta ocorrendoe a manutencao da imagem do dedo sobre a fovea emambos os olhos, ou seja, estamos foveandoo objeto enao focalizando. De outra forma, a imagem formadanao teria acuracia, por nao ser projetada na fovea.

O diametro da fovea e da ordem de 1 mm e e nelaque sao projetadas as imagens que somos capazes dedistinguir com precisao, como as letras deste texto ouos detalhes da fisionomia de uma pessoa. Por exemplo,a imagem superior esquerda da Fig. 7 mostra a ima-gem projetada na retina de dois farois de um veculo acerca de cem metros de distancia; a distancia entre asimagens dos dois farois e da ordem de meio milmetroe, portanto, se e para eles que estamos olhando, essaimagem e formada inteiramente na fovea. Sem a lente,dispondo apenas do globo ocular, preenchido por umlquido, e da cornea, as imagens dos dois farois estariamsuperpostas e, alem disso, parte delas poderia estar forada fovea. Por essas duas razoes nao conseguiramos dis-tinguir claramente os dois farois.

Uma das funcoes da lente e colocar ordem nas coi-sas e deixar a imagem no foco. A outra funcao da lentee adaptar a distancia focal para objetos a distanciasdiferentes.

Essa lente interna do nosso olho e biconvexa, cujosraios de curvatura anterior e posterior sao da ordem de0,8 cm e 0,6 cm, respectivamente. (De fato, esses raiossao variaveis, pelo menos ate os 40 anos de idade, poisa lente e flexvel e tem sua curvatura controlada por pe-quenos musculos os musculos ciliares.) Como o ndicede refracao da lente e superior ao dos humores, suasduas superfcies contribuem para fazer o feixe luminosoconvergir. Vamos ver para que ponto eles convergiriamusando a Eq. (10). Inicialmente, vamos considerar ape-nas a contribuicao de sua superfcie anterior, de raio decurvatura Ra = 0,8 cm.

A imagem formada pela cornea esta a 3,16 cm de-

pois dela como calculada na secao 4. Considerando quea distancia entre a cornea e a superfcie anterior da lentee de 0,35 cm, vemos que o ponto objeto esta a p = (-3,16+ 0,35) cm = -2,81 cm (negativa e, portanto, corres-pondendo a um objeto virtual) em relacao a primeirasuperfcie da lente. Assim, a Eq. (10) fornece

1, 34

2, 81 cm+

1, 42

q1=

1, 42 1, 340, 8 cm

, (12)

de onde obtemos q1 = 2,46 cm.Vamos aplicar a mesma equacao para a superfcie

posterior da lente. Neste caso devemos considerar queq1 e a distancia entre a primeira superfcie da lente ea imagem formada por ela. Portanto, considerando aespessura da lente (0,40 cm), o objeto para a segundasuperfcie esta a uma distancia (2,46 + 0,40) cm. As-sim, temos

1, 42

2, 06 cm+

1, 34

q2=

1, 34 1, 420, 6 cm

. (13)

(note que usamos o valor -0,6 cm para o raio dessa se-gunda superfcie.) Portanto, q2 = 1,63 cm e a distanciaentre a imagem e a superfcie posterior da lente. Parasabermos a que distancia esse ponto esta em relacao asuperfcie posterior da cornea, temos que somar a es-pessura da lente, 0,40 cm, e a distancia entre esta ea cornea, 0,35 cm. O resultado e 2,38 cm. Ou seja,essa imagem estara quase exatamente na superfcie daretina (lembre-se que o diametro do olho humano e daordem de 2,4 cm). Esse quase nao e devido a nenhumdefeito da visao humana, mas, sim, fruto das muitasaproximacoes feitas aqui.

Assim, e a lente que temos no interior do olho aresponsavel pelo ajuste fino do foco, fazendo com que aimagem conjugada pelo sistema optico do olho esteja so-bre a retina. Claro que esse ajuste poderia tambem serfeito pela cornea, desde que sua curvatura fosse maior(raio menor). Entretanto, a lente interna tem uma ca-racterstica adicional muito importante: as curvaturasde suas superfcies sao ajustaveis, o que permite quefoquemos objetos a diferentes distancias. Infelizmenteessa capacidade de adaptacao da lente e reduzida coma idade e apos os 40 ou 50 anos pode estar bastantecomprometida.

6. Modelo do olho humano

Como a caracterstica mais marcante do olho humanoe ser uma esfera transparente, podemos comecar a es-tuda-lo construindo um modelo com uma esfera macicade vidro,2 que pode ser encontrada em lojas de produ-tos de decoracao ou de vidros em geral. Esferas comdiametro de 5 cm sao suficientemente boas para cons-truir o modelo proposto. Com essa esfera e alguns com-

2Alem de esferas de vidro, ha outras solucoes para a construcao do modelo do olho humano aqui apresentado. Qualquer esferatransparente pode ser usada; caso seja oca, pode ser preenchida com agua. Objetos quase esfericos tambem servem.


ponentes mais, podemos fazer um modelo simples deum olho humano [6].

Para que uma esfera de vidro se pareca com umolho, a primeira coisa que devemos fazer e uma retinae uma pupila. A pupila pode ser feita cobrindo aproxi-madamente metade da esfera com papel alumnio, comum pequeno orifcio que chamaremos de pupila. Paraque possamos ver a imagem formada na retina, a ou-tra metade da esfera deve ser coberta com um materialbranco translucido, como os materiais usados para fa-zer sacos plasticos de embalagens. A Fig. 8 ilustra essemodelo.

Figura 8 - Um modelo de olho construdo com uma esfera de vi-dro. Metade dessa esfera e coberta com papel alumnio no qualum pequeno orifcio simula a pupila. A outra metade e cobertacom material translucido (como sacos de plastico usados em em-balagens), que simula a retina.

A Fig. 9 mostra a paisagem vista por uma janela eprojetada na retina; note as inversoes superior-inferiore esquerda-direita. A nitidez da paisagem e devida apresenca de uma lente convergente colocada na frenteda pupila (que nao aparece na fotografia). Como o mo-delo e macico, nao e possvel colocar uma lente interna;assim, a lente convergente faz as funcoes da cornea e dalente interna.

Usando varias lentes, mais ou menos convergentes eate lentes divergentes, podemos, com o modelo, ilustrarcomo sao vistas as imagens por pessoas com miopia ouhipermetropia e, tambem, qual o efeito de lentes corre-toras.

Outro aspecto interessante que pode ser exploradocom o modelo de olho humano e quanto a funcao dotamanho da pupila na qualidade da imagem formada.

Quando a correcao optica e insuficiente para garantir aformacao de uma boa imagem, ou porque nao ha umalente corretora na frente da pupila desse modelo de olhoou porque ela e inadequada, a qualidade da imagem etao melhor quanto menor for a abertura por onde entraa luz. E o inverso, claro, tambem e verdade: quantomaior a pupila, pior a qualidade da imagem (esse efeitotambem pode ser percebido quando alguem, com mio-pia ou hipermetropia, olha por meio de um pequenoorifcio feito em um papel ou outro material opaco;mesmo sem lentes corretoras, a qualidade da imageme tao melhor quanto menor for o orifcio). Entretanto,na medida em que a abertura da pupila e reduzida, aluminosidade da imagem tambem e reduzida.

Figura 9 - Paisagem vista atraves de uma janela aparece proje-tada na retina. Pode-se observar que a imagem esta invertida.

Referencias

[1] Michael F. Land and Russell D. Fernald, Annu. Rev.Neurosci. 15, 1 (1992).

[2] T.D. Lamb, Scientific American Brasil 111, 46 (2011).

[3] C.D. Moyes e P.M. Schulte, Principles of Animal Phy-siology (Pearson Education, Inc., San Francisco, 2008),2nd ed.

[4] E.V. Costa e C.A. Faria Leite, Revista Brasileira deEnsino de Fsica 20, 289 (1998).

[5] H.M. Nussenzveig, Curso de Fsica Basica: Otica, Re-latividade e Fsica Quantica (Ed. Blucher, Sao Paulo,1998).

[6] O. Helene, Phys. Teach. 48, 142 (2010).

Olho Humano Muito bom

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