Solucion a Problemas de Olimpiadas de

Matematica

Realizado por Estudiantes de la Carrera de Matematica

Abril de 2009

V Olimpiada Nacional de MatematicaMatletas 2007

1. Todos los numeros del 19 al 80 son escritos uno despues del otro paraformar el numero 192021. . . 7980. ¿Es este numero divisible entre 1980?.Explique su respuesta.

Solucion:

El numeral debe ser de la forma:

192021 . . . 7980 = 1980 · k ; k ∈ ZNo perdemos generalidad si polinomizamos la relacion:

19 · 1062 + 20 · 1060 + . . . + 79 · 102 + 80 · 100 = 1980 · k ; k ∈ ZVeamos una interesante relacion de los 10n ; n = 2q ; 0 ≤ q ≤ 31

100 = 1980 · 0 + 1 = 1980 · k + 1101 = 1980 · 0 + 10 = 1980 · k + 10102 = 1980 · 0 + 100 = 1980 · k + 100103 = 102 · 10 = (1980 · 0 + 100) · 10 = 1980 · k1 + 1000104 = 103 ·10 = (1980 ·k1+1000) ·10 = (1980 ·k2+10000) = 1980 ·k3+100105 = 104 · 10 = (1980 · k3 + 100) · 10 = 1980 · k4 + 1000106 = 105 ·10 = (1980 ·k4+1000) ·10 = (1980 ·k5+10000) = 1980 ·k6+100

...

10n =

{1980 · kr + 100 si n es par1980 · ks + 1000 si n es impar

Entonces:

1

19(1980·q0+100)+20(1980·q1+100)+. . .+79(1980·q60+100)+80 = 1980·k

Operando:

1980 · r + (19 · 102 + 20 · 102 + . . . + 79 · 102) + 80 = 1980 · k1980 · r + 80 + 102(19 + 20 + . . . + 79) = 1980 · k1980 · r + 80 + 102 · (2989) = 1980 · k1980 · r + 80 + 102 · (1980 + 1009) = 1980 · k1980 · r + 80 + 1980 · 102 + 100900 = 1980 · k(r + 102)(1980) + 80 + (1980 · 50 + 1900) = 1980 · k(r + 102)(1980) + 1980 · 50 + 1980 = 1980 · kr + 102 + 50 + 1︸ ︷︷ ︸

t

(1980) = 1980 · k

1980 · t = 1980 · k de donde t = k

Por tanto:

192021. . . 7980 es divisible entre 1980.

2. Tomando como unidad de superficie un cuadradito, calcule el area deltriangulo.

Solucion:

Sea k el area del triangulo HCE.Entonces:k = Area(ABCD)− (Area(AHE) + Area(HBC) + Area(ECD))

2

k = 12cuadraditos− (3/2cuad. + 4cuad. + 3/2cuad.)k = 12cuadraditos− 7cuadraditosk = 5cuadraditos

3. En esta suma cada letra representa una cifra. ¿Cual es el valor del AGUA?

GOTAGOTA

+ GOTAGOTAAGUA

Solucion:

Segun la suma tenemos en el 4o igual que en el 1o dıgito de AGUA (Malplanteado).

4. Uniendo cubos de madera, cuya arista mide 1cm, se construye un prismarecto (un cubo alargado) cuya base es un rectangulo de dimensiones 4cmpor 5cm y cuya altura sea 3 cm. A continuacion se pintan sus caras denegro y una vez que la pintura este seca, se desmonta el prisma descom-poniendolo en cubos unidad de arista 1 cm.

(a) Complete la siguiente tabla:

Numero de cubos unidad que tienen pintada3 caras 2caras 1 cara 0 caras

(b) Si se mantienen las dimensiones de la base y se varia la altura, ¿es posible construir un prisma recto en el que el numero de cubosunidad con cero caras pintadas fuese la cuarta parte del numero totalde cubos unidad?

Solucion:

(a)3 caras 2caras 1 cara 0 caras

8 24 22 6

(b) 0 caras = (5− 2)(4− 2)(k − 2) siendo k la altura0 caras = 6k − 12

5 · 4 · k4

= 6k − 12 ⇒ 5k = 6k − 12 ⇒ k = 12

5. Se construye la siguiente figura plana usando para cada lado un (unico)palito de fosforo, en la figura adjunta se usaron 43 palitos y tiene 4 pisos.¿Con 701 palitos, cuantos pisos se pueden construir?

3

a)18 b)19 c)20 d)17 e)Ninguno

Solucion:

Podemos conjeturar de la siguiente manera:

4 palitos, 1 piso ⇒ 4 · 1︸︷︷︸palitos

+ (1− 1)︸ ︷︷ ︸pisos

13 palitos, 2 pisos ⇒ 4 · 3 + (2− 1)26 palitos, 3 pisos ⇒ 4 · 6 + (3− 1)43 palitos, 4 pisos ⇒ 4 · 10 + (4− 1)

...

⇒ 4(n(n + 1)

2) + (n− 1)

Entonces:

4[n(n + 1)

2] + (n− 1) = 7012n2 + 2n + n− 1− 701 = 0

2n2 + 3n− 702 = 0 ⇒ n = −3±√9+8·7024 =

−3± 754

n = 18 por lo que se puede construir 18 pisos.

6. ¿Cuantos numeros naturales (sin el cero) menores a diez mil son multiplosde nueve y estan formados exclusivamente por dıgitos 2 y 3?

a)4 b)5 c)6 d)7 e)Ninguno

Solucion:

”Un numeral es multiplo de nueve cuando la suma de sus cifras es unmultiplo de nueve.”

De una cifra:Ni 2, ni 3 son multiplos de nueve.

4

Total 0.

De dos cifras:22, 23, 32, 33 no son multiplos de nueve.Total 0.

De tres cifras:222, 223, 233, 333Total 1.

De cuatro cifras:2222, 2223, 2233, 2333, 3333De 2223, se generan los siguientes numeros:2223, 2232, 2322, 3222Total 4.

Entonces existen 5 divisores de nueve.

5

1ra. Olimpiada Nacional de Matematica 2007Nivel 3

1. Sea an una progresion aritmetica con diferencia comun 3 y primer terminoa1=1.Pruebe:

1√a1 +

√a2

+1√

a2 +√

a3+ · · ·+ 1√

a2006 +√

a2007=

2006√a1 +

√a2007

Solucion:

Racionalizando cada termino:

1√a1 +

√a2·√

a1 −√a2√a1 −√a2

=√

a1 −√a2

a1 − a2

1√a2 +

√a3·√

a2 −√a3√a2 −√a3

=√

a2 −√a3

a2 − a3

...

1√a2006 +

√a2007

·√

a2006 −√a2007√a2006 −√a2007

=√

a2006 −√a2007

a2006 − a2007

Ademas, como:

a1 − a2 = −3a2 − a3 = −3

...a2006 − a2007 = −3

Sumando termino a termino, tenemos:√

a1 −√a2

−3+√

a2 −√a3

−3+ · · ·

√a2006 −√a2007

−3=

√a1 −√a2 +

√a2 −√a3 +

√a3 −√a4 + · · · √a2006 −√a2007

−3=

√a1 −√a2007

−3

Racionalizando el ultimo termino:√

a1 −√a2007

−3·√

a1 +√

a2007√a1 +

√a2007

=a1 − a2007

(−3)(√

a1 +√

a2007)

Como: an = a1 + (n− 1)d ; tenemos:

6

a2007 = a1 + (2006)(3) ⇒ a1 − a2007 = (2006)(−3)

Ası:√

a1 −√a2007

−3·√

a1 +√

a2007√a1 +

√a2007

=(2006)(−3)

(−3)(√

a1 +√

a2007)=

2006√a1 +

√a2007

¥

2. Los numeros del 1 en adelante estan escritos en la forma de espiral como sepuede ver mas abajo. El 51 por ejemplo esta en la 4o columna a la izquierda de1 que inicia la serie y dos filas por debajo. Continuamos la serie.¿Donde estara el 2007?

**31 32 33 34 35 36 3730 13 14 15 16 17 3829 12 3 4 5 18 3928 11 2 1 6 19 4027 10 9 8 7 20 41

51 26 25 24 23 22 21 4250 49 48 47 46 45 44 43

**

Solucion:

En la 1o columna de la derecha esta : 42 = 16En la 2o columna de la derecha esta : 62 = 36En la 3o columna de la derecha esta : 82 = 64

...

En la 21o columna a la derecha esta : 442 = 1936

Ademas en la 1o columna hay 1 · 2 + 1 = 3 casillas de diagonales derechas.En la 2o : 2 · 2 + 1 = 5En la 3o : 3 · 2 + 1 = 7...En la 21o : 21 · 2 + 1 = 43

Luego el 1979 estara en la 21o columna derecha y 21o fila por debajo y en la 1o

columna a la izquierda y 21o fila por debajo estara el 2001, por tanto el 2007esta en la 7o columna a la izquierda y 26o fila por debajo.

7

3. Prueba que si los numeros loga(x), logb(x) y logc(x) con x 6= 1 estan enprogresion aritmetica, entonces

c2 = (ac)logab

Solucion:

Veamos, que tal si desarrollamos un poco a donde queremos llegar

c2 = (ac)logab

= alogab · clogab prop. exp.

= b · blogac

= b1+logac

clogba = alogbc

bastara probar queb1+logac = c2 (∗)

Como loga(x), logb(x), logc(x) estan en P.A. ⇒

r = logbx− logax = logcx− logbx

De donde:

2logbx = logax + logcx

2logxb

=1

loxxa+

1logxc

2logxb

=logxc + logxa

logxa · logxc

2logxc

logxb= 1 +

logxc

logxa

2logbc = 1 + logac

logbc2 = 1 +

1logac

(∗∗)

Reemplazando (∗∗) en (∗) tenemos:

blogbc2= c2

c2 = c2 ¥

4. Determinar la cifra de las decenas del numero: 1! + 2! + 3! + · · ·+ 2007!

Solucion:

8

Veamos:

1! = 1 Notamos que a partir del2! = 2 10! la decena y la unidad es3! = 6 004! = 245! = 1206! = 720...

11! = . . . 00 lo que nos interesa12! = . . . 00 es la cifra de la decena

...2007! = . . . 00

sumando: 1! + 2! + 3! + . . . + 2007! = . . . 13Ası la parte de las decenas es 1.

5. Sea b ∈ Z+ tal que a es mayor que b, probar que las raices de la ecuacion sonpositivas.

x2 = (a2 − a + 1)(x− b2 − 1) + (b2 + 1)2 ; b ∈ Z+ a > b

Solucion:

Desarrollando:

x2 − (b2 + 1)2 = (a2 − a + 1)(x− b2 − 1)

[x− (b2 + 1)][x + (b2 + 1)] = (a2 − a + 1)(x− b2 − 1)

x + b2 + 1 =(a2 − a + 1)(x− b2 − 1)

(x− b2 − 1)x + b2 + 1 = a2 − a + 1

x = a2 − a− b2

x = (a− b)(a + b)− a

Como a > b, b ∈ Z+ (esto es, a es tambien entero positivo)⇒ a− b > 0, es decir a− b es positivo.Ademas a + b es positivo pues a > b y b ∈ Z+

Como a + b > a y a− b > 0⇒ (a + b)(a− b) > aPor tanto: (a + b)(a− b)− a > 0 (es positivo) ¥Nota: x− b2−1 es tambien solucion de x2 = (a2−a+1)(x− b2−1)+(b2 +1)2.

9

III Olimpiada Departamental de Matematica

1. Las ecuaciones de segundo grado 2007x2+2008x+1 = 0 y x2+2008x+2007 =0 tienen una solucion comun. ¿Cual es el valor del producto de las dos solucionesque no son comunes?.a)0 b)1 c)2004 d)2008 e)2007

Solucion:

De: 2007x2 + 2008x + 1 = 0Tenemos: (2007x + 1)(x + 1) = 0De donde: x1 = − 1

2007 , x2 = −1

Y de: x2 + 2008x + 2007 = 0Tenemos: (x + 2007)(x + 1) = 0De donde: x1 = −2007 , x2 = −1

El producto de las dos soluciones que no son comunes es 1.

2. La figura muestra dos cuadrados sobrepuestos. ¿Cual es el valor de x + y engrados?.a)270 b)300 c)330 d)360 e)390

Solucion:

En la figura observamos:Tenemos una figura de cinco lados, en su interior formamos tres triangulos.La suma de los angulos interiores en cada triangulo es de 180o. Teniendo ası un

10

total de 540o (esto en el interior de la figura de cinco lados).Ası, de la figura de cinco lados tenemos que:

x + y = 540o − 3(90o) = 270o

3. El grafico de abajo muestra un semicırculo y un triangulo isosceles de lamisma area. ¿Cual es el valor de tgx?.

a)1 b)√

32

c)π√3

d)2π

e)π

2

Solucion:

Como el area es un dato (permanece fijo), el radio r del semicırculo sera fijo:

A◦ = πr2 ⇒ A∅ =πr2

2, (1)

AM = 2 · r · h2

, (2)

pero tgx =h

r⇒ h = r · tgx (3)

Ademas como area de semicırculo es igual al area del triangulo (1) = (2):

πr2

2= 2

rh

2reemp. (3)

11

πr2

2= r · rtgx

De donde: tgx =π

2

4. Por el punto M situado a la distancia a del centro de la circunferencia deradio R esta trazada una secante que corta la circunferencia en los puntos A yB. El valor de | MA | · | MB | es igual a:

a)a2 −R2 b)a2 c)a2 + R2 d)ninguno

Solucion:

I. Si suponemos que la secante pasa por el centro tenemos:

| MA | · | MB | = (a−R)(a + R)

= a2 −R2

II. Ahora supongamos que la secante no pasa por el centro:

trazamos la perpendicular a AB que pase por C y formamos un triangulorectangulo MCE por T. PITAGORAS tenemos:

a2 = h2 + (MA +AB

2)2, (1)

y h2 = R2 − (AB

2)2, (2)

12

Reemp. (2) en (1) :

a2 = h2 − (AB

2)2 + (MA)2 + (AB)(MA) + (

AB

2)2

(MA)2 + (AB)(MA) + R2 − a2 = 0

MA =−AB ±

√(AB)2 − 4(R2 − a2)

2MB = MA + AB

de donde: MA ·MB = (MA)(MA + AB)

= (±

√(AB)2 − 4(R2 − a2)−AB

2)(±

√(AB)2 − 4(R2 − a2)−AB

2+ AB)

=(AB)2 − 4(R2 − a2)− (AB)2

4⇒ | MA | · | MB | = a2 −R2

5. ¿Cuantos dıgitos tiene el numero 9999999992 − 1?a)17 b)18 c)19 d)Ninguno

Solucion:

Como:

9999999992 − 1 = (999999999 + 1)(999999999− 1)= (1000000000)(999999998)= 999999998000000000

Tiene 18 dıgitos.

13

III Olimpiada Departamental de MatematicaSegunda Fase-Primera Categorıa

1. En la figura de abajo tenemos un pentagono regular, un cuadrado y untriangulo equilatero, todos con la misma medida de lado.

DA

Determine la medida, del angulo ∠QCE.

Solucion:

A

El pentagono regular tiene 540o, en cada punto tendra 108o.En el triangulo isosceles TPA: ∠PTA = 180o − 108o = 72o

∠TPA = 180o − 2 · 72o = 36o

Luego: ∠PAB = 180o − 72o − 90o = 18o

En el triangulo isosceles ABD:

∠ABD = 180o − 2 · 18o = 144o

∠CBE = 360o − 90o − 60o − 144o = 66o

∠QPE = 360o − 108o − 36o − 90o = 126o

Como el triangulo QPC es isosceles:

14

∠PQC =180o − 126o

2= 27o

∠QCP = 27o

Como el triangulo BCE es isosceles:

∠BCE =180o − 66o

2= 56o

Ası: ∠QCE = 27o + 90o + 56o = 173o

2. En la adicion de abajo, cada sımbolo representa un unico dıgito y sımbolosdiferentes representan dıgitos diferentes.

¤ 4+ 4 ¯

¯ ¤¤ 4 ¯

Determine el valor de cada sımbolo, o esa, descubra tales valores y muestre queno existen otra posibilidades.

Solucion:

Notemos que: 4+ ¤ = 10Para que al sumar: 10 +¯ = 1¯ (y llevar uno en la suma)Luego: 1 + ¤ +4+¯ = ¤4Entonces: 1 + 10 +¯ = ¤4De donde: 11 +¯ = ¤4El cuadrado debe ser 1!. Pues si fuera dos, entonces 4 = 8 :

2 8+ 8 1

1 ¯2 8 ¯

Luego: ¯ = 28 − 11 = 17 y eso no puede ser pues ¯ representa solo undıgito.Luego ası: ¤ = 1 ; 4 = 9

1 9+ 9 ¯

¯ 11 9 ¯

⇒ ¯ = 19− 11 = 8

15

3. Esmeralda posiciono todos los numeros naturales de 1 a 2006 en el siguientearreglo en forma de piramide:

2120 13 22

19 12 7 14 2318 11 6 3 8 15 24

17 10 5 2 1 4 9 16 25

¿En que piso se encontrara el numero 2006?(por ejemplo el 1 esta en el piso 1).

Solucion:

En la piramide notemos:

...42 + 532 + 422 + 3

317 10 5 2 1 22 32 42 52

El cuadrado mas cercano al 2006 es: 442 = 1936Vemos que 21 esta en el piso 513 esta en el piso 47 esta en el piso 3Luego: 442 + 45 = 1981 esta en el piso 45.De aca 1982 esta en el piso 44.Ası, el 2006 esta en el piso 45− 25 = 20.

16

1ra. Olimpiada Nacinal de Matematica 2007Nivel 2

1. Cuatro fichas circulares iguales se tocan entre sı, tal y como se ve en elcuadrado de lado l = a, ver figura. Averigua el radio de la ficha central y elarea rayada.

Solucion:

Tomemos la cuarta parte de la grafica del cuadrado:

El radio de uno de los cuatro cırculos es : l/4

El area de uno de los cuatro cırculos sera: A1 = π(l

4)2

La diagonal: D =√

2 · lPor lo tanto el radio r de la circunferencia pequena sera:

√2 · l2

= 2r +l

2√2 · l = 4r + l√

2− 14

= r

Luego, area de uno de los cuatro cuadrados:

(l

2)2 = A1 + A , A = area de la parte sombreada mas el cırculo pequeno

l2

4= π

l2

16+ A

A =l2

4(1− π

4)

17

Ası.

area sombreada = A− πr2

=l2

4(1− π

4)− π(

√2− 14

· l)2

= (14

+√

2− 28

π)l2 ¥

2. Matıas tiene una cierta cantidad de ladrillos cubicos todos iguales.Cuando quiere construir una pared cuadrada, le faltan o le sobran ladrillos. Lomismo le ocurre si quiere armar un cubo.Nicolas tiene el doble de ladrillos que Matıas y puede construir una paredcuadrada usando todos los ladrillos.Marcela tiene el triple de ladrillos qeu Matıas y puede armar un cubo usandotodos los ladrillos.¿Cual es el menor numero de ladrillos que puede tener Matıas?

Solucion:

n: numero de ladrillos de Matıasm: numero de ladrillos de Nicolasl: numero de ladrillos de Marcela

m = 2n 2n = t2

l = 3n 3n = s3

n =t2

2→ t debe ser par

n =s3

3→ s debe ser multiplo de 3

Igualando:t2

2=

s3

3⇒ t2 =

23s3

Si s = 3 → t2 = 18Si s = 6 → t2 = 144 = 122

Ası, n =t2

2= 72 es el menor numero de ladrillos que debe tener Matıas.

3. Sea ABC un triangulo inscrito en una circunferencia de centro O. SeanD y P las intersecciones con la circunferencia de las rectas perpendiculares aBC trazadas desde O y A respectivamente, como se muestra en la figura. Si elangulo DCP = 15o. ¿Cuanto mide el angulo α?

18

Solucion:

Veamos: OD ∼= OC1 por ser isosceles, en el 4DOC, β = 45o.

∠ACO = 15 + β ⇒ ∠ACO = 60o

Angulos opuestos a lados congruentes tambien son congruentes.

∠OAC = ∠ACO = 60o

∠OAC = α + ∠RAC

∠RAC = 30o, en el 4ARC : 90 + ∠ACO + ∠RAC = 180

Luego:

α = ∠OAC − ∠RAC

α = 60o − 30o

α = 30o

1∼= denota semejante, congruente

19

V Olimpiada Nacinal de MatematicasMatletas - 2007

1. Calcula el area total del siguiente mosaico, donde el mismo esta constituidopor uno o mas triangulos como el dado en la figura. Observe que debe calcularel area total y no solo la parte oscura.

Solucion:

AT = 12 · 24− 4 · 2 · 42

AT = 2008− 16AT = 272

2. Cada letra corresponde a un numero distinto entre 0 y 9, se cumple

ZOO2 = TOPAZ

Solucion:

Por ensayo y error: 1992 = 39601

3. ¿Cuanto suman los primeros 100 dıgitos que aparecen despues de la coma al

desarrollar113

?.

20

Solucion:

113

= 0, 076923︸ ︷︷ ︸Periodo

076923︸ ︷︷ ︸ 0769︸︷︷︸4

2307

1006

= 16periodos + 4 ⇒ 16 · 6 + 4 = 100 S4 = 0 + 7 + 6 + 9 = 22

el total es: S4 + 16p = 22 + 16 · 27 = 22 + 270 + 162 = 454Rpta. 454

4. La figura representa un modelo construido con bolas y varillas. ¿Cuantasbolas y cuantas varillas de conexion tiene? ¿Cuantas bolas y varillas de conexiontendra una construccion de cinco pisos con la misma base? Calcula las bolas ylas varillas necesarias para construir un modelo de 100 pisos.

Solucion:

No de pisos No de bolas No de varillas1 18 332 18+9 33+213 18 + 2 · 9 33+2 · 21...n 18+(n− 1)9 33+(n− 1)215 18+4 · 9=54 33+4 · 21=117

100 18+99 · 9=909 33+99 · 21=2112

5. La siguiente figura se construye con bloques cubicos. ¿Cuantas aristashabrıan en total si continuamos poniendo cubos por abajo, hasta que en elfondo haya un cuadrado 9x9?. Nota en un cubo una cara es un cuadrado, cuyoslados en un cubo se llaman aristas, ası en un cubo hay 12 aristas. en la figuraen los dos primeros pisos hay 56 aristas.

21

Solucion:

Veamos para las caras y aristas:

Pisos Caras Aristas Total1x1 1 5+1 = 6 8+4 = 12 183x3 2 5+33+9 = 47 8+28+12 = 48 955x5 3 38+85+25 = 148 36+66+ 30 = 132 280

22