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Revista Mexicana de Ingeniería Química

ISSN: 1665-2738

[email protected]

Universidad Autónoma Metropolitana Unidad

Iztapalapa

México

López-Martínez, E.; Hernández-Morales, J.B.; Solorio-Díaz, G.; Vergara-Hernández, H.J.; Vázquez-

Gómez, O.; Garnica-González, P.

PREDICCIÓN DEL PERFIL DE DUREZA EN PROBETAS JOMINY DE ACEROS DE MEDIO Y BAJO

CARBONO

Revista Mexicana de Ingeniería Química, vol. 12, núm. 3, diciembre, 2013, pp. 609-619

Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

Distrito Federal, México

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Revista Mexicana de Ingeniería Química

CONTENIDO

Volumen 8, número 3, 2009 / Volume 8, number 3, 2009

213 Derivation and application of the Stefan-Maxwell equations

(Desarrollo y aplicación de las ecuaciones de Stefan-Maxwell)

Stephen Whitaker

Biotecnología / Biotechnology

245 Modelado de la biodegradación en biorreactores de lodos de hidrocarburos totales del petróleo

intemperizados en suelos y sedimentos

(Biodegradation modeling of sludge bioreactors of total petroleum hydrocarbons weathering in soil

and sediments)

S.A. Medina-Moreno, S. Huerta-Ochoa, C.A. Lucho-Constantino, L. Aguilera-Vázquez, A. Jiménez-

González y M. Gutiérrez-Rojas

259 Crecimiento, sobrevivencia y adaptación de Bifidobacterium infantis a condiciones ácidas

(Growth, survival and adaptation of Bifidobacterium infantis to acidic conditions)

L. Mayorga-Reyes, P. Bustamante-Camilo, A. Gutiérrez-Nava, E. Barranco-Florido y A. Azaola-

Espinosa

265 Statistical approach to optimization of ethanol fermentation by Saccharomyces cerevisiae in the

presence of Valfor® zeolite NaA

(Optimización estadística de la fermentación etanólica de Saccharomyces cerevisiae en presencia de

zeolita Valfor® zeolite NaA)

G. Inei-Shizukawa, H. A. Velasco-Bedrán, G. F. Gutiérrez-López and H. Hernández-Sánchez

Ingeniería de procesos / Process engineering

271 Localización de una planta industrial: Revisión crítica y adecuación de los criterios empleados en

esta decisión

(Plant site selection: Critical review and adequation criteria used in this decision)

J.R. Medina, R.L. Romero y G.A. Pérez

Vol. 12, No. 3 (2013) 609-619

PREDICCION DEL PERFIL DE DUREZA EN PROBETAS JOMINY DE ACEROS DEMEDIO Y BAJO CARBONO

PREDICTION OF HARDNESS PROFILES IN MEDIUM AND LOW CARBON STEELJOMINY PROBES

E. Lopez-Martınez1∗, J.B. Hernandez-Morales1, G. Solorio-Dıaz2, H.J. Vergara-Hernandez3,O. Vazquez-Gomez1 y P. Garnica-Gonzalez3

1Facultad de Quımica, Departamento de Ingenierıa Metalurgica, Universidad Nacional Autonoma de Mexico.Circuito de la investigacion cientıfica s/n, Mexico, D. F. 04510 Mexico.

2Facultad de Ingenierıa Mecanica, Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo. Av. Francisco J. Mujicas/n Ciudad Universitaria, Morelia, Michoacan, 58030, Mexico.

3Instituto Tecnologico de Morelia, Posgrado en Ciencias en Metalurgia. Av. Tecnologico 1500, Morelia,Michoacan 58820, Mexico.

Recibido 23 de febrero de 2013; Aceptado 10 de mayo de 2013

ResumenEn este trabajo se formulo, codifico y valido un modelo matematico para predecir la evolucion del campo termico ymicroestructural en probetas de acero sometidas al ensayo Jominy. La condicion de frontera termica en la base dela probeta se estimo mediante la solucion del problema inverso de conduccion de calor (PICC). El modelo se validocomparando los perfiles termicos experimentales de probetas de acero AISI 304 y AISI 4140 con los calculados conel modelo. Una vez validado, el modelo se aplico para predecir, mediante el uso de correlaciones empıricas basadasen el perfil microestructural, el perfil de dureza a lo largo de la probeta Jominy para aceros AISI 4140, AISI 1045 yAISI 1080. Se observo una buena aproximacion entre los perfiles de dureza experimentales y los calculados con elmodelo.

Palabras clave: ensayo Jominy, modelo matematico, problema inverso de conduccion de calor, AISI 4140, AISI1045, AISI 1080, metodo de diferencias finitas.

AbstractA mathematical model was formulated, coded and validated to predict the evolution of the thermal and microstructuralfields in steel probes subjected to the Jominy end-quench test. The heat transfer boundary condition at the probebase was estimated by solving the inverse heat conduction problem (IHCP).The model was validated by comparingthe thermal profiles measured in AISI 304 and AISI 4140 steel probes with the values calculated with the model.Once the mathematical model was validated, it was applied to predict, using empirical correlations based on themicrostructural profile, the hardness profile along the length of AISI 4140, AISI 1045 and AISI 1080 steel probes.A good approximation was observed between the experimental and calculated hardness profiles.

Keywords: Jominy end-quench test, mathematical model, inverse heat conduction problem, AISI 4140, AISI 1045,AISI 1080, finite difference method.

∗Autor para la correspondencia. E-mail: [email protected]. (55)-56-22-52-25, Fax (55)-56-52-28

Publicado por la Academia Mexicana de Investigacion y Docencia en Ingenierıa Quımica A.C. 609

Lopez-Martınez y col./ Revista Mexicana de Ingenierıa Quımica Vol. 12, No. 3 (2013) 609-619

1 Introduccion

La prueba Jominy consiste en austenizar y enfriarcon un chorro de agua la cara plana inferior deuna probeta cilındrica de acero con dimensionesestandar hasta que se completen las reacciones dedescomposicion de la austenita. La informacion queproporciona el ensayo Jominy se ha utilizado parapredecir las propiedades mecanicas de componentesmetalicos (Smoljan, 2006), simular la profundidad dela martensita en aceros de alta templabilidad (Smoljany col., 2007), simular la evolucion microestructuralen procesos de temple (Smoljan y col., 2007) ymas recientemente para estudiar la templabilidad deaceros en diferentes medios de enfriamiento (Cakira yOzsoyb, 2011). Tambien se han desarrollado modelosmatematicos para la prediccion de diagramas CCT(Homberg, 1996), diagramas TTT (Li y col., 1998)y para simular los ciclos termicos de componentesmetalicos (Eshraghi y col., 2009). El uso de losalgoritmos geneticos, como un metodo numericoalternativo para el modelado de la prueba Jominy, fuepropuesto por Kovacic (2009).

El principal problema en la modelacionmatematica de una prueba Jominy radica en quese desconoce el valor de la condicion de fronteratermica, principalmente en la superficie que esta encontacto con el chorro de agua (que es la fronterapor la que se extrae la mayor cantidad de calor). Paraatacar este problema, se ha recurrido a la soluciondel problema inverso de conduccion de calor (PICC),el cual consiste en estimar la condicion a la fronteramediante el conocimiento de la historia termica en unoo varios puntos cercanos a la frontera. Para la soluciondel PICC se han utilizado el metodo de Beck y col.(1985), el metodo del gradiente conjugado (Chen ycol., 1999) y el metodo de regularizacion iterativa (LeMasson y col., 2002), entre otros.

Tradicionalmente se ha estimado el coeficientede transferencia de calor en aceros que no presentantransformacion de fase en el rango de temperaturasdel ensayo Jominy y se ha utilizado este coeficienteen la simulacion numerica de probetas de acerocon transformacion de fase (Narazaki y col.,2003). Esta metodologıa ha resultado en buenasaproximaciones entre los resultados estimados ymedidos experimentalmente (Eshraghi y col., 2009).

En este trabajo se estimo, mediante el metodo deBeck y col. (1985) el flujo de calor de la superficiede una probeta Jominy fabricada con acero inoxidableAISI 304 durante el enfriamiento. La curva de flujo decalor de la superficie como funcion de la temperatura

de la superficie se transformo en su equivalente paracoeficiente de transferencia de calor y se utilizo parapredecir la respuesta termica de un acero que sıtransforma. Para lo anterior se codifico un modelomatematico en el software Microsoft Visual Basic v.6 con el metodo de diferencias finitas para simular latransferencia de calor y la respuesta microestructural.La informacion proporcionada por el metodo dediferencias finitas se utilizo para predecir, con laayuda de ecuaciones empıricas, el perfil de dureza enuna probeta Jominy de acero AISI 4140. Con esteprocedimiento, se obtiene una mejor prediccion delperfil de dureza en comparacion con el metodo deanalisis del factor de temple propuesto por Zehtab ycol. (2008).

2 Modelo matematico

2.1 Transferencia de calor

Durante el ensayo Jominy el flujo de calor en laprobeta se presenta en las direcciones axial y radial,haciendo de este ensayo un problema bidimensional.La Ec. (1) presenta la formulacion matematica de latransferencia de calor por conduccion, que en el casode aceros transformables debe de incluir el termino degeneracion de calor.

ρCp(T )∂T∂t

= −

[1r∂

∂r

(−rk(T )

∂T∂r

)+∂

∂z

(−k(T )

∂T∂z

)]+ q (1)

En la seccion Nomenclatura se listan las variables y susignificado.

Las condiciones a la frontera para el sistemase muestran en la Fig. 1. Para la condicion inicialse considera que al tiempo cero la temperatura eshomogenea en toda la probeta (Ec. (2)):

T (r, z, 0) = T0 0 ≤ r ≤ r0, 0 ≤ z ≤ L (2)

Para la solucion de la ecuacion (1) se hacen lassiguientes suposiciones:

• Problema acoplado de transferencia de calor ytransformacion de fase.

• El material es isotropico y homogeneo.

• La transformacion de austenita a bainita sigue elmismo tipo de cinetica que la transformacion deaustenita a perlita+ferrita.

• La distribucion de temperatura al comenzar elenfriamiento es homogenea.

610 www.rmiq.org


Condición de frontera 4

−k T∂T r, L, t

∂z= −h! T T! − T r, L, t


−k T∂T 0, z, t

∂r= 0


−k T∂T R, z, t

∂r= −h! T T! − T R, z, t


−k T∂T r, 0, t

∂z= −h T T! − T r, 0, t

Figura 1. Sistema de referencia para la formulación matemática del enfriamiento de la probeta Jominy.

Fig. 2. Discretización del sistema.

Fig. 1. Sistema de referencia para la formulacionmatematica del enfriamiento de la probeta Jominy.

El termino de “generacion” de calor, q, sedetermina a partir de la Ec. (3):

q = ρ∆H∆F∆t

(3)

La condicion a la frontera termica 3, que es la que estaen contacto con el chorro de agua, es la mas crıtica,debido a que en esta frontera es por donde se extrae lamayor cantidad de calor. Para estimar el coeficientede transferencia de calor en esta frontera, se utilizola solucion del PICC con el metodo de Beck y col.(1985). El PICC consiste en estimar el flujo de calor yla temperatura correspondientes a la superficie a partirde mediciones experimentales dentro del solido. Lascondiciones de frontera 2 y 4 (ver Fig. 1) se establecencomo una suma de las contribuciones convectiva y deradiacion; para lo cual el coeficiente de transferenciade calor convectivo se determino a partir del calculodel numero de Nusselt (ecs. (4) y (5)), (Karlekar yDesmons, 1985):

Nu = 0.59(GrPr)0.25 (4)

Nu =hcLka

(5)

La contribucion por radiacion se calculo mediante laEcuacion (6):

hrad = ε

σ(T 4 − T 4med)

T − T f

(6)

2.2 Transformaciones de fase

Se considera que la perlita y la ferrita transformancomo una sola fase y se supone que las cineticas detransformacion de austenita a ferrita + perlita y deaustenita a bainita pueden ser descritas por la ecuacionde Avrami (Avrami, 1939 y Avrami, 1940) (Ec. (7)).

De esta manera, las transformaciones difusionalesconsecutivas se tratan como si fuera una sola:

XD = 1 − exp[b(T )θn(T )k ] (7)

Donde θk es el tiempo de transformacion isotermico,y b(T ) y n(T ) son parametros cineticos del materialque son funcion de las temperaturas y tiempos deinicio y fin de transformacion del correspondientediagrama tiempo-temperatura-transformacion (TTT),y se determinan a partir de las ecs. (8) y (9).

b(T ) = −ln(1 − Fi)

tn(T )i

(8)

n(T ) =

ln[

ln(1−Fi)ln(1−F f )

]ln

(tit f

) (9)

De estas ecuaciones, Fi y F f son las fraccionestransformadas de inicio y fin con un valor de 0.01 y0.99 respectivamente, y ti y t f son el tiempo para queinicie y se complete la trasformacion respectivamente.

Debido a que la ecuacion de Avrami describe lacinetica de transformacion de fase isotermicamente,para calcular el tiempo de transformacion noisotermico primero se calcula un tiempo ficticio (θ′k)que corresponde al tiempo para alcanzar la fracciontransformada previa como si hubiera transformadoisotermicamente a la temperatura nueva (Iyer y col.,1985; Ec. 10):

θ′k =

ln(

11−F j−1

)b(T )

1

n(T )

(10)

Con este valor y el paso de tiempo de calculo, secalcula el tiempo de transformacion no isotermicomediante la Ec. (11):

θk = θ′k + ∆t (11)

Con estas ecuaciones (ecs. (7)-(11)), queda descritala cinetica de transformacion de las fases difusionalesconsideradas.

Para determinar la distribucion final de fraccionde ferrita+perlita y/o de bainita en cada punto de laprobeta Jominy, se calcula la rapidez de enfriamientoa 700 ◦C (a partir de la respuesta termica simulada) y,con el correspondiente diagrama CCT de cada acero,se determina la fraccion presente de cada fase.

Por otro lado, la cinetica de transformacionde austenita a martensita puede ser descrita conla ecuacion de Koistinen-Marburger (Koistinen

www.rmiq.org 611


y Marburger, 1959), corregida para la cantidadremanente de austenita al momento que se llego alinicio de la transformacion martensıtica (Ec. (12)):

XM = (1 − exp[−α(TMS − T )])(1 − XD) (12)

Esto es, la fraccion final de martensita se calculatomando como valor maximo la cantidad de austenitaremanente (1 − XD).

2.3 Prediccion de la dureza

Para calcular la dureza a lo largo de la probeta Jominy,se hace uso de la regla de las fases (Li y col., 1998),es decir, la dureza de la mezcla es igual a la suma delas durezas de las fases multiplicada por su respectivafraccion:

HV = XMHV M + XBHVB + (XF + XP)HV(F+P) (13)

La dureza de cada fase se calcula con la composicionquımica del acero y la rapidez de enfriamiento a 700◦Cmediante ecuaciones empıricas (ecs. (14)-(16)):

HV M =127 + 949C + 27S i + 11Mn + 8Ni

+ 16Cr + 21 log Vr (14)

HVB = − 323 + 185C + 330S i + 153Mn + 65Ni + 144Cr

+ 191Mo + (89 + 53C − 55S i − 22Mn − 10Ni

− 20Cr − 33Mo) log Vr (15)

HV(F+P) =42 + 223C + 53S i + 30Mn + 12.6Ni

+ 7Cr + 19Mo + (10 − 19S i + 4Ni

+ 8Cr + 130V) log Vr (16)

Donde Vr es la rapidez de enfriamiento (◦C/h) a latemperatura de 700◦C.

2.4 Procedimiento de solucion

Se implemento el metodo de diferencias finitasexplıcito para resolver el problema acoplado detransferencia de calor y de transformacion de fase. Elmetodo consiste en discretizar el sistema con nodos(ver Fig. 2) y realizar un balance de calor en cadauno de los volumenes ficticios en los que resultadiscretizado el sistema, para obtener ecuacionesalgebraicas que permiten calcular la evolucion delcampo termico en las posiciones nodales. La Ec. (17)presenta el balance de calor que se realizo para unnodo al interior del dominio.

Entradas+Generacion = Salidas+Acumulacion (17)

Para el nodo (i,j), el balance de calor queda de laforma:

− kW

(T t(i, j) − T t

(i, j−1))

∆rAW − kE

(T t(i, j) − T t

(i, j+1))

∆rAE

− kN

(T t(i, j) − T t

(i−1, j))

∆zAN − kS

(T t(i, j) − T t

(i+1, j))

∆zAS

− q(i, j)V(i, j) = ρCp(i, j)V(i, j)

T t+1(i, j) − T t

(i, j)

∆t(18)

Todos los terminos de la Ec. (18) se conocen apartir de la condicion inicial (temperatura inicial),quedando el termino de temperatura futura, T t+1

(i, j),como incognita. El termino T t

(i, j) se conoce como latemperatura presente; despejando esta temperatura, laEc. 18 puede ser resuelta explıcitamente, quedando laEc. (19) en funcion de las temperaturas presentes:

T t+1(i, j) =T t

(i, j) − k(T t

(i, j) − T t(i, j−1))

(ρCp(i, j)V(i, j)∆r)AW∆t

− k(T t

(i, j) − T t(i, j+1))

(ρCp(i, j)V(i, j)∆r)AE∆t

− k(T t

(i, j) − T t(i−1, j))

(ρCp(i, j)V(i, j)∆z)AN∆t

− k(T t

(i, j) − T t(i+1, j))

(ρCp(i, j)V(i, j)∆z)AS ∆t

−q(i, j)V(i, j)∆t

(ρCp(i, j)V(i, j))(19)


−k T∂T r, L, t

∂z= −h! T T! − T r, L, t


−k T∂T 0, z, t

∂r= 0


−k T∂T R, z, t

∂r= −h! T T! − T R, z, t


−k T∂T r, 0, t

∂z= −h T T! − T r, 0, t

Figura 1. Sistema de referencia para la formulación matemática del enfriamiento de la probeta Jominy.

Fig. 2. Discretización del sistema. Fig. 2. Discretizacion del sistema.

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Fig. 3. Procedimiento de cálculo para la solución del problema acoplado de transferencia de calor y transformación de fase.

Actualizar temperaturas 𝑇(!,!)! = 𝑇(!,!)!!! 𝑇(!,!)! = 𝑇(!,!)!!! 𝑇(!,!)! = 𝑇(!,!)

!!!

Fin ¿Se alcanzó el tiempo total de cálculo?

No Sí

Leer datos: t, T0, L, R, m, n, Δt, TMs

Mallar; Calcular áreas y volumenes

Inicializar el sistema T(i,j)=To

Calcular temperaturas sin el término de generación de calor. 𝑇 !,!!!! = 𝑓 𝑇 !,!

! ,𝑇 !,!! ,𝑇 !,!

! ,𝑇 !!!,!! , ℎ! 𝑇

𝑇 !,!!!! = 𝑓 𝑇 !,!

! ,𝑇 !,!!!! ,𝑇 !,!!!

! ,𝑇 !!!,!! ,𝑇 !!!,!

! 𝑇(!,!)!!! = 𝑓 𝑇(!,!)

! ,𝑇(!,!!!)! ,𝑇(!!!,!)

! , ℎ! 𝑇 , ℎ 𝑇

Calcular parámetros cinéticos. Calcular temperaturas con el término de generación 𝑇 !,!!!! = 𝑓 𝑇 !,!

! ,𝑇 !,!! ,𝑇 !,!

! ,𝑇 !!!,!! , ℎ! 𝑇 , 𝑞(!,!)

𝑇 !,!!!! = 𝑓 𝑇 !,!

! ,𝑇 !,!!!! ,𝑇 !,!!!

! ,𝑇 !!!,!! ,𝑇 !!!,!

! , 𝑞(!,!) 𝑇(!,!)!!! = 𝑓 𝑇(!,!)

! ,𝑇(!,!!!)! ,𝑇(!!!,!)

! , ℎ! 𝑇 , ℎ 𝑇 , 𝑞(!,!)

¿Se inició o existe alguna transformación de fase?

Sí

No

Subrutina: cálculo propiedades térmicas: k(T), Cp(T) Subrutina: cálculo de h(T), hr(T) y hz(T)

Subrutina para verificar si se inició o existe alguna transformación de fase

Inicio

Fig. 3. Procedimiento de calculo para la solucion del problema acoplado de transferencia de calor y transformacionde fase.

Debido a la simetrıa existente en la probeta,el sistema queda completamente descrito con nueveecuaciones algebraicas patron.

Con esta discretizacion del sistema, se programo lasolucion en el programa de computo Microsoft VisualBasic v. 6. La Fig. 3 presenta el procedimiento de

calculo.Los parametros de entrada en el programa decomputo son: tiempo total de calculo, numero denodos en la direccion radial (r), numero de nodos enla direccion axial (z), temperatura inicial del sistema(T0) y el radio y largo de la probeta Jominy (R y L,respectivamente).

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Tabla 1. Posicion de los barrenos en las probetas Jominy.

Probeta Posicion del Posicion del Posicion del Posicion delbarreno 1, mm barreno 2, mm barreno 3, mm barreno 4, mm

AISI 304 2 15 25 50AISI 4140 2 10 25 50

Con esta informacion, el programa realiza unadiscretizacion para obtener una malla del sistema,calcular las areas y volumenes e inicializar elsistema a la temperatura inicial. Mediante el uso desubrutinas, se calculan los valores de conductividadtermica, capacidad calorıfica y de los coeficientesde transferencia de calor de cada frontera, todosellos como funcion de la temperatura o, en el casode los coeficientes de transferencia de calor, de latemperatura de la superficie. Con esta informacion,se calcula el campo termico (temperaturas futuras)sin el termino de generacion de calor correspondienteal primer paso de tiempo y se verifica con unasubrutina si se inicio o existe alguna transformacionde fase. Si no existe ninguna transformacion, elprograma no realiza otra operacion; si se presentauna transformacion de fase, el programa calcula,mediante subrutinas, primero los parametros cineticosa partir del correspondiente diagrama TTT, y secalcula nuevamente el campo de temperaturas con eltermino de generacion de calor el cual es calculadopreviamente con otra subrutina. En cualquiera delos dos casos (calculo del campo termico sin ycon generacion de calor), el programa actualiza elcampo termico calculado (T t+1) con el de temperaturapresente ası como el tiempo con su valor presente y, sino se ha alcanzado el tiempo total de calculo, se repiteal procedimiento desde el calculo de la propiedadestermicas para un nuevo paso de tiempo.

3 Procedimiento experimental

Se maquinaron probetas para ensayo Jominy conaceros AISI 304, AISI 4140 y AISI 1080 condimensiones de 25.4 mm de diametro y 101.6 mmaltura. A las probetas de acero AISI 304 y AISI 4140se les realizaron cuatro barrenos en la direccion radiala una profundidad de 12.7 mm sobre el eje de laprobeta para insertar termopares tipo K con cubierta deInconel de 1.58 mm de diametro, con el fin de adquirirla respuesta termica en diferentes posiciones dentro dela probeta Jominy. En la Tabla 1 se muestra la posicionde los barrenos. Cada una de estas probetas fue

sometida a calentamiento en un horno de resistenciahasta alcanzar la temperatura inicial de la prueba,para mantenerse a esta temperatura por 15 minutos.Posteriormente, las probetas fueron templadas por unchorro de agua en un dispositivo Jominy durante 10minutos. Durante este periodo de enfriamiento, seadquirieron las respuestas termicas con los termoparesy un adquisidor de datos TempScan 1100 conuna rapidez de adquisicion de diez mediciones porsegundo para cada termopar. Una vez terminadala adquisicion de datos, la probeta AISI 4140 fueseccionada transversalmente en la posicion de lostermopares para determinar la dureza y realizar unanalisis de la microestructura.

La probeta de acero AISI 1080, fue sometida almismo procedimiento de calentamiento y enfriamientopero sin adquirir la respuesta termica durante elenfriamiento. Una vez terminado el ensayo para estaprobeta, se midio la dureza a lo largo del eje axialcon una separacion de aproximada de 2 mm entre cadamedicion.

4 Resultados y analisisUsando la respuesta termica adquirida con el termoparen la posicion de 2 mm en la probeta de acero AISI304, se determino el flujo de calor de la superficiea partir de la determinacion de la densidad de flujode calor de la superficie mediante la solucion delPICC. El objetivo al resolver el PICC, es determinarnumericamente el mejor estimado de densidades deflujos de calor y temperaturas de superficie de lasuperficie de la probeta Jominy en contacto con elchorro de agua. La validacion del flujo de calorse realiza mediante la comparacion de la respuestatermica experimental y de la respuesta termicadeterminada mediante el PICC.

En la solucion numerica del PICC se supone quela densidad de flujo de calor determinada es constantea traves de un numero especıfico de pasos de tiempofuturos. Mientras menor sea este numero de pasos,mejor sera la aproximacion de la respuesta termicadeterminada mediante el PICC.

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Fig. 4. Flujo de calor estimado mediante la solución del problema inverso de conducción de calor (PICC) para la probeta de acero AISI 304. Número de tiempos futuros: 4.

Fig. 5. Respuesta térmica simulada y experimental de la probeta de acero AISI 304. En la simulación no se consideraron las pérdidas de calor laterales.

Fig. 6. Respuesta térmica simulada y experimental de la probeta de acero AISI 304. En la simulación se consideraron las pérdidas de calor laterales.

Temperatura, °C0 200 400 600 800 1000

Fluj

o de

cal

or d

e su

perfi

cie,

W

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

pera

tura

, °C

0

200

400

600

800

1000

12002 mm exp.15 mm exp.25 mm exp.50 mm exp.2.07 mm, sim.16.58 mm, sim25.88 mm, sim49.75 mm, sim.

Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

pera

tura

, °C

0

200

400

600

800

1000

12002 mm, exp.15 mm, exp.25 mm, exp.50 mm, exp.2.07 mm, sim.16.58 mm, sim.24.88 mm, sim.49.75 mm, sim.

Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

pera

utur

a, °C

0

200

400

600

800

1000

1200 2 mm, exp.10 mm, exp.25 mm, exp.50 mm, exp.2.07 mm, sim.10.36 mm, sim.24.87 mm, sim.49.75 mm, sim.

Fig. 4. Flujo de calor estimado mediante la soluciondel problema inverso de conduccion de calor (PICC)para la probeta de acero AISI 304. Numero de tiemposfuturos: 4.




Temperatura, °C0 200 400 600 800 1000

Fluj

o de

cal

or d

e su

perfi

cie,

W

0

500

1000

1500

2000

2500

Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

pera

tura

, °C

0

200

400

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1000


Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

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Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

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0

200

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600

800

1000


Fig. 5. Respuesta termica simulada y experimental dela probeta de acero AISI 304. En la simulacion no seconsideraron las perdidas de calor laterales.




Temperatura, °C0 200 400 600 800 1000

Fluj

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cal

or d

e su

perfi

cie,

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0

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Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

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Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

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Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

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Fig. 6. Respuesta termica simulada y experimental dela probeta de acero AISI 304. En la simulacion seconsideraron las perdidas de calor laterales.

La Fig. 4 presenta el flujo de calor de superficieestimado con el PICC en funcion de la temperaturade superficie para un valor de tiempos futuros de4. De esta figura se observa un aumento en elflujo de calor desde la temperatura de austenizacionhasta aproximadamente 500 ◦C, que es donde sealcanza el maximo; posteriormente el flujo de calordisminuye debido a que existe una menor diferencia detemperaturas entre la superficie de la probeta Jominyy el medio de enfriamiento.

Con el modelo matematico formulado, se simulola respuesta termica de la probeta AISI 304 paravalidar simultaneamente al modelo termico (sin incluirtransformacion de fase) y el flujo de calor estimadomediante el PICC. La Fig. 5 presenta la respuestatermica experimental comparada con la respuestatermica simulada sin considerar las perdidas de calorlaterales. Se observa que en la posicion del termoparde 2 mm las dos respuestas (experimental y simulada)son similares; esto indica que la transferencia de calores unidireccional en la zona cercana a la superficieque esta en contacto con el chorro de agua, porquela extraccion de calor es mucho mayor en la direccionaxial en comparacion con la extraccion de calor lateral.Sin embargo, en posiciones mas alejadas, la respuestatermica simulada difiere de la experimental, lo querevela que en estas posiciones la transferencia decalor es en 2D. La Fig. 6 presenta los resultadosobtenidos considerando las perdidas de calor laterales.Se observa que los resultados experimentales sonsimilares a los simulados, por lo que el modelo y laestimacion de la condicion a la frontera 3 mediante lasolucion del PICC fueron validados.

Una vez que se ha validado la condicion a lafrontera estimada a partir de la respuesta termicaobtenida con un acero que no transforma, se deseasaber si esta condicion puede ser utilizada parapredecir la respuesta termica en un acero que sıtransforme. Para esto, se utilizo la condicion ala frontera determinada mediante el PICC para laprobeta de acero AISI 304 y se simulo el ensayoJominy para una probeta de acero AISI 4140. Losresultados de la respuesta termica simulada juntolos resultados experimentales se presentan en la Fig.7; se observa una aproximacion aceptable entre losresultados simulados y los experimentales en todas lasposiciones de los termopares. En esta misma figura,se observa que tanto experimentalmente como en lasimulacion practicamente no se observa recalescenciapor transformacion de fase; esto se debe a una altaeficiencia de extraccion de calor por la superficie dela probeta que esta en contacto con el chorro de agua.

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Temperatura, °C0 200 400 600 800 1000

Fluj

o de

cal

or d

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cie,

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1500

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2500

Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

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Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

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Tiempo, s0 100 200 300 400 500 600

Tem

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Fig. 7. Respuesta termica simulada y experimentalde la probeta AISI 4140, utilizando el coeficiente detransferencia de calor estimado con la probeta AISI304.

Fig. 7. Respuesta térmica simulada y experimental de la probeta AISI 4140, utilizando el coeficiente de transferencia de calor estimado con la probeta AISI 304.

Fig. 8. Comparación de resultados de dureza experimental (círculos) y estimada (triángulos) con el modelo matemático para el acero AISI 4140. Se grafica también la banda de templabilidad (líneas, (Brooks, 1996)).

Fig. 9. Comparación de resultados de dureza experimental (círculos) y estimada (triángulos) con el modelo matemático para el acero AISI 1080.

Fig. 10. Comparación de resultados de dureza experimental (círculos) y estimada (triángulos) con el modelo matemático para el acero AISI 1045. Se grafica también la banda de templabilidad (líneas (Brooks, 1996)).

Distancia a la superficie en contacto con el chorro de agua, mm

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

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0

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Experimental

Pronosticadas con el modelo


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

C

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20

30

40

50

60

70

ExperimentalPronosticadas con el modelo


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

C

0

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20

30

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70

Experimental reportada por López (2005)Pronosticadas con el modelo

Fig. 8. Comparacion de resultados de durezaexperimental (cırculos) y estimada (triangulos) conel modelo matematico para el acero AISI 4140. Segrafica tambien la banda de templabilidad (lıneas,(Brooks, 1996)).

En la Fig. 8 se presentan, los perfiles de durezaexperimental y estimado con el modelo matematicopara el acero AISI 4140, junto con la bandade templabilidad correspondiente reportada en laliteratura (Brooks, 1996). Ambos perfiles de durezase encuentran dentro de la banda de templabilidad,y ademas, los resultados estimados concuerdanaceptablemente con los medidos experimentalmente.Desde la superficie de la probeta que estuvo encontacto con el chorro de agua y hasta 50 mm seobserva poca caıda en dureza, lo que demuestra la altatemplabilidad de este acero.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

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0

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Experimental



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

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Fig. 9. Comparacion de resultados de durezaexperimental (cırculos) y estimada (triangulos) con elmodelo matematico para el acero AISI 1080.






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

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Experimental



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Dur

eza,

HR

C

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Fig. 10. Comparacion de resultados de durezaexperimental (cırculos) y estimada (triangulos) conel modelo matematico para el acero AISI 1045. Segrafica tambien la banda de templabilidad (lıneas(Brooks, 1996)).

La Fig. 9 presenta la comparacion de los resultadosde dureza experimental y estimada con el modelomatematico para una probeta fabricada acero AISI1080. Como en el caso del acero AISI 4140, seobserva una similitud entre los valores experimentalesy estimados. Se observa una mayor caıda de durezasen comparacion con el acero AISI 4140, esto esdebido que el acero AISI 1080 tiene menos elementosaleantes por lo que su templabilidad es baja.

En la Fig. 10 se grafica el perfil de durezaexperimental (Lopez, 2005) y estimado con el modelomatematico para el acero AISI 1045, junto con labanda de templabilidad (Brooks, 1996). Se observa

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que, como en el caso de los aceros AISI 4140 yAISI 1080, los resultados de dureza experimentales yestimados concuerdan aceptablemente en los puntosdonde se realizaron las mediciones de dureza. Paraeste acero se observa la mayor caıda de dureza, debidoa que su baja templabilidad favorece la formacion demicroconstituyentes menos duros (ferrita+perlita) encomparacion con los aceros AISI 4140 y AISI 1080.

Conclusiones

Del analisis de los resultados se concluye que:

• Aunque las perdidas de calor laterales enla probeta Jominy son de menor magnitudcomparadas con la perdida de calor por lasuperficie que se encuentra en contacto con elchorro de agua, estas deben de ser consideradasen la simulacion de la respuesta termica, ya quela transferencia de calor es en dos dimensiones(aunque el campo termico es esencialmente uni-dimensional).

• El uso de la condicion a la frontera estimadacon un acero que no transforma puede serutilizada para predecir la respuesta termicade un acero que sı transforme, aunque serecomienda explorar la posibilidad de estimar lacondicion a la frontera usando un acero que sıtransforme.

• Mediante la solucion numerica del problemaacoplado de transferencia de calor yde transformacion de fase, y utilizandocorrelaciones empıricas dureza-microestrucura,es posible predecir con una precision aceptableel perfil de dureza a lo largo de la probetaJominy para aceros AISI 4140, AISI 1045 yAISI 1080.

NomenclaturaAE area este, m2

AN area norte, m2

AS area sur, m2

AW area oeste, m2

b(T ) parametro cinetico de latransformaciones de fase difusionales,adimensional

k conductividad termica, J s−1 m−1 K−1

Cp capacidad calorıfica, J Kg−1 K−1

Fin fraccion inicial transformada,adimensional

F f in fraccion final transformada,adimensional

Gr numero de Grashoff, adimensionalh(T ) coeficiente de transferencia de calor

global en la superficie que esta encontacto con el chorro de agua, J s−1 K−1

m−2

hc coeficiente de transferencia de calorconvectivo, J s−1 K−1 m−2

hr(T ) coeficiente de transferencia de calorglobal en la direccion radial, J s−1 K−1

m−2

hrad coeficiente de transferencia de calorradiativo, J s−1 K−1 m−2

hz(T ) coeficiente de transferencia de calorglobal en la direccion longitudinal, J s−1

K−1 m−2

HRC dureza Rockwell, HRCHVB dureza Vickers de la bainita, HVHV(F+P) dureza Vickers de la mezcla de ferrita y

perlita, HVHV M dureza Vickers de la martensita, HVka conductividad termica del aire, J s−1 m−1

K−1

L longitud de la probeta Jominy, mn(T ) parametro cinetico de la

transformaciones de fase difusionales,adimensional

Pr numero de Prandtl, adimensionalq termino de generacion de calor, J m−3 s−1

R radio de la probeta Jominy, mt tiempo, sT temperatura, KTo temperatura inicial, Kti tiempo para que inicie la transformacion

de fase, st f tiempo para que se complete la

transformacion de fase, sTmed temperatura del medio, KTMs temperatura de inicio de la

transformacion martensitica, KVr rapidez de enfriamiento a 700◦C, ◦C h−1

XB fraccion de bainita, adimensionalXD fraccion transformada de ferrita + perlita

y/o bainita previa a la transformacionmartensitica, adimensional

XF fraccion de ferrita, adimensionalXM fraccion de martensita, adimensionalXP fraccion de perlita, adimensional

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Subındices

i nodo en la direccion zj nodo en la direccion rm numero de nodos en la direccion zn numero de nodos en la direccion r

Superındices

t tiempo, st + 1 tiempo futuro, s

Sımbolos griegos

α constante de la Ec. (17), K−1

∆F cambio de fraccion transformada,adimensional

∆H calor latente, J Kg−1

∆t paso de tiempo, sε emisividad, adimensionalθk tiempo de transformacion isotermico, sθ′k tiempo ficticio, sρ densidad, kg m−3

σ constante de Stefan-Bolztmann, W m−2

K−4

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