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Ondas de choque e engarrafamentos fantasma

Juha Videman

Seminario de Matematica, IST, 18 de Dezembro, 2019

Onda progressiva

Seja u uma funcao real de duas variaveis reais x ∈ R e t ≥ 0 dada por

u(x , t) = f (x − ct),

onde f : R→ R e c e uma constante nao nula.

a funcao u representa uma onda progressiva.

se c > 0 o perfil inicial u(x , 0) = f (x) propaga-se, com velocidadeconstante c , no sentido positivo do eixo x .

u satisfaz a equacao das ondas

∂u2

∂t2= c2

∂u2

∂x2

Ondas de choque, engarrafamentos-fantasma 18 de Dezembro, 2019 2 / 24

Onda progressiva

a solucao geral para a equacao das ondas e da forma

u(x , t) = F (x − ct) + G (x + ct) ,

onde F e G sao funcoes (arbitrarias) de classe C 2.

de facto, e facil ver que

∂u2

∂t2= c2

(F ′′(x − ct) + G ′′(x + ct)

)= c2

∂u2

∂x2.


Onda progressiva

Exemplos:

uma onda periodica u(x , t) = cos(x + 4t);

uma onda estacionaria u(x , t) = 2 cos 4t cos x ;

uma frente u(x , t) = arctan(exp(x − 6t));

um pulso u(x , t) = exp(−(x − 4t)2;

uma onda de choque

u(x , t) =

{50 , x < −30t

150 , x ≥ −30t


Onda progressiva

pode-se procurar solucoes de onda progressiva para outras equacoesdiferenciais.

por exemplo, a funcao (uma onda progressiva chamada solitao)

u(x , t) = 3c sech2[√c

2(x − ct)

], c > 0 ,

satisfaz a equacao de Korteweg-deVries:

ut + uux + uxxx = 0 , ut =∂u

∂t, . . . .


Modelacao do escoamento de trafego

seja Q o numero de carros num troco de estrada S com sentido unicoe com apenas uma faixa.

seja u(x , t) a densidade de carros (numero de carros/km) na posicaox no tempo t.

Q pode variar em S = [a, b] devido a :

entrada (ou saıda) de veıculos atraves dos extremos a (ou b);criacao ou remocao de veıculos ao meio de S .



Seja φ(x , t) uma funcao fluxo que representa a taxa (nro de carrospor unidade de tempo) com que os carros passam na posicao x noinstante t.

Seja f (x , t) uma funcao fonte que descreve a taxa (nro de carros porunidade de tempo e por km) com que os carros sao adicionados ouremovidos em S .

A taxa de variacao de Q em S e assim

d

dtQ =

d

dt

∫ b

au(x , t) dx = φ(a, t)− φ(b, t) +

∫ b

af (x , t) dx .



Assumindo que ut e φx sao contınuas, obtem-se uma lei de conservacao:∫ b

a

(ut(x , t) + φx(x , t)− f (x , t)

)dx = 0 ,

ou na forma diferencial

ut(x , t) + φx(x , t) = f (x , t) .

esta equacao contem duas funcoes incognitas, u e φ; supondo que afuncao fonte f e conhecida.

para relacionar u com φ, precisamos de uma equacao constitutiva,tipicamente da forma φ = φ(u).



o fluxo φ depende nao so da densidade de trafego u (carros/km) mastambem da sua velocidade v (km/h).

assim, o fluxo (carros/hora) e dado por:

φ = u v .

assumindo que a velocidade depende linearmente da densidade u,pode-se considerar o modelo

φ(u) = u(vmax −

vmax

umax

u)

= vmax (u − u2/umax) , 0 ≤ u ≤ umax ,

onde

vmax e a velocidade maxima obtida quando u e nula (ou quase nula);umax e a densidade maxima atingida quando o trafego estiver parado.



Supondo que ao longo de S nao ha entradas nem saıdas (f (x , t) = 0),obtem-se a equacao

ut + φx = ut + vmax (1− 2u/umax)ux = 0 .

Vamos ainda assumir que

S = (−∞,∞);

a fila de carros parados comeca em x = 0 no instante t = 0;

os carros a chegar ao fim de fila tem a densidade u0 ∈ (0, umax).



Temos assim o seguinte problema de valor inicial

(P)

ut + c(u)ux = 0 , −∞ < x <∞ , t > 0,

u(x , 0) = uin(x)

onde

c(u) = vmax (1− 2u/umax) , uin(x) =

{u0, se x < 0umax, se x ≥ 0


Caracterısticas e ondas de choque

Metodo das caracterısticas utiliza curvas (x(t), t), a comecar de(x0, 0), sobre as quais o problema (P) reduz-se a uma equacaodiferencial ordinaria (EDO).

essas curvas, chamadas caracterısticas, sao obtidas resolvendo a EDO

dx

dt= c(u(x , t)) , x(0) = x0 .

note-se que sobre a caracterıstica (x(t), t) tem-se

d

dtu((x(t), t) = ut(x(t), t) +

dx

dtux(x(t), t)

= ut(x(t), t) + c(u(x(t), t)) ux(x(t), t) = 0 .



portanto, a solucao u e constante sobre uma caracterıstica!

esse valor e igual ao valor de u no ponto inicial da caracterıstica

u((x(t), t) = u(x0, 0) = uin(x0) .

segue-se quedx

dt= c(uin(x0))

x(0) = x0

⇒ x(t) = c(uin(x0))t + x0

as caracterısticas sao rectas no plano xt com declive 1/c(uin(x0)).



Exemplo: Sejam umax = 150, vmax = 90 e u0 = 50.

note-se que a velocidade com que os carros chegam a fila parada e

v0 = vmax(1− u0/umax) = 60 (km/h).

Se x0 < 0, a caracterıstica com inıcio em (x0, 0) e

x(t) = c(u0)t + x0 = vmax(1− 2u0/umax) t + x0 = 30t + x0

Se x0 ≥ 0, a caracterıstica com inıcio em (x0, 0) e

x(t) = c(umax)t + x0 = − vmaxt + x0 = −90t + x0 .



-3 -2 -1 1 2 3

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

xs(t)=-30t

Figura: As caracterısticas x(t) = 30t + x0 e x(t) = −90t + x0 intersectam aolongo da recta xs(t) = −30t, atraves da qual a solucao u e descontınua.



A solucao, dada por

u(x , t) =

{50, se x < −30t

150, se x ≥ −30t,

e uma onda de choque que se propaga para tras com a velocidade de30 km/h.

A curva xs(t) = −30t chama-se caminho de choque.

O caminho de choque e determinado pela condicao de salto

dxsdt

=φ(u+)− φ(u−)

u+ − u−=φ(umax)− φ(u0)

umax − u0

= − vmax u0/umax = − 30 .


Solucoes de viscosidade

Suponha que os condutores sabem diminuir ou aumentar a suavelocidade consoante o transito a sua frente.

Recordando que o transito flui no sentido positivo do eixo x :

ux > 0 (ux < 0), se a densidade de carros aumenta (diminui) a frentedo veıculo na posicao x ;

Considere o seguinte modelo modificado para a velocidade v :

v = vmax

(1− u

umax

)− r

uxu,

onde

ux/u (km−1) e a taxa de variacao relativa da densidade de carros;r (km2/h) e uma constante positiva que mede a receptividade doscondutores em relacao as alteracoes do trafego.



Obtem-se assim uma EDP de segunda ordem:

ut + vmax(1− 2u/umax) ux − r uxx = 0 ,

com as ”condicoes iniciais e de fronteira” :

limx→∞ u(x , 0) = umax, muito a frente na estrada a densidade emaxima;

limx→∞ ux(x , 0) = 0, muito a frente na estrada u e constante;

limx→−∞ u(x , 0) = u0, muito atras na estrada u e igual a u0;

limx→−∞ ux(x , 0) = 0, muito atras na estrada u e constante;



Procurando solucoes da forma (onda progressiva): u(x , t) = f (x − ct),obtem-se:

−cf ′ + vmaxf′ − 2

vmax

umax

f f ′ − r f ′′ = 0 ,

onde f = f (z), com z = x − ct. Integrando entre −∞ e z , vem

−cf + vmaxf −vmax

umax

f 2 − rf ′ = −cu0 + vmaxu0 −vmaxu

20

umax

;

tendo em conta que

limz→−∞

f (z) = u0 , limz→−∞

f ′(z) = 0 .



Por outro lado, limz→∞ f (z) = umax e limz→∞ f ′(z) = 0, donde vem

limz→∞

(− cf + vmaxf −

vmax

umax

f 2 − rf ′)

= −cumax = −cu0 + vmaxu0 −vmaxu

20

umax

.

Portanto c = −u0vmax/umax e segue-se que

u0vmax

umax

f + vmaxf −vmax

umax

f 2 − rf ′ = vmaxu0

⇔

(f − u0) (f − umax) = − rumax

vmax

f ′ .



Por separacao de variaveis, temos

df

(f − u0) (f − umax)= − vmax dz

rumax

⇒ 1

umax − u0

ln

∣∣∣∣ f − umax

f − u0

∣∣∣∣ = − vmax

rumax

z + K .

Visto que u0 < f (z) < umax e escolhendo K = 0, obtem-se

f (z) =umax + u0 exp

[− (umax−u0)vmax

rumaxz]

1 + exp[− (umax−u0)vmax

rumaxz] = umax−

umax − u0

1 + exp[(umax−u0)vmax

rumaxz] .

Conclui-se assim que

u(x , t) = umax −umax − u0

1 + exp[(umax−u0)vmax

rumax

(x + vmaxu0

umaxt)] .


TPC 1

TPC 1: Mostre que

Se x < −(vmaxu0/umax)t, entao

limr→0+

u(x , t) = u0 .

Se x > −(vmaxu0/umax)t, entao

limr→0+

u(x , t) = umax .

Portanto a solucao de viscosidade converge para a solucao onda dechoque quando r tende para zero.


TPC 2

TPC 2: Considere o seguinte modelo para a velocidade

v = vmax

(1− u2

u2max

)e determine as caracterısticas e as solucoes onda de choque e deviscosidade do problema

ut + vmax

(1− 3

u2

u2max

)ux = 0 , −∞ < x <∞ , t > 0

u(x , 0) = uin(x)

Considere umax = 150, vmax = 90, u0 = 50 e

uin(x) =

{u0, se x < 0umax, se x ≥ 0


Bibliografia

Knobel, Roger. An Introduction to the Mathematical Theory of Waves, StudentMathematical Library, Vol. 3, American Mathematical Society, 2000.


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