CEA 034

FÍSICA IV

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E TEORIA

DA RELATIVIDADE ESPECIAL

Professor: Carlos R. Pontes

Aluno: Douglas Monteiro – EE

ÍNDICE

Introdução ........................................................................................................................3

Ondas Eletromagnéticas ......................................................................................................3

Apresentá-las na forma integral das equações de Maxwell.Da forma diferencial para a equação de onda de LaplaceCaracterísticas da onda

Eletromagnetismo e Óptica...............................................................................................8

Refração Interna Total

Teoria da Relatividade Especial .....................................................................................10

ConceitoSimultaneidadeDilatação do TempoContração do EspaçoTransformações de LorentzEnergia Relativística

Referências .....................................................................................................................16

Apêndice ........................................................................................................................17

1. INTRODUÇÃO

O objetivo dessa apresentação é fazer um estudo deste fenômeno físico tão importante

para o mundo moderno em que vivemos e mostrar como ele se relaciona com as bases de

uma das principais teorias da Física Moderna: A Teoria da Relatividade Especial.

2. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

Equações de Maxwell

As ondas eletromagnéticas são na verdade a propagação conjunta dos campos elétrico

e magnético no espaço-tempo. As equações que descrevem o comportamento dos campos

elétrico e magnético, bem como suas interações com a matéria são as equações de

Maxwell. Como equações de Maxwell são conhecidas as 4 fundamentais leis do

eletromagnetismo. E são elas:

∯ E⃗∙ d A⃗=∭ ρε o

dV , Leide Gauss

∯ B⃗ ∙ d A⃗=0 , Lei deGauss(Nao monopolo Magnético)

∮ E⃗ ∙ d l⃗=−d ΦB

dt, Lei de Faraday

∮ B⃗ ∙ d l⃗=μoi+μo ε o

d Φ E

dt, Lei de Maxwell−Ampere

Onde ΦB=∬ B⃗ ∙ d A⃗ designa o fluxo magnético aberta e ΦE=∬ E⃗ ∙ d A⃗, o fluxo

elétrico, ambos através de uma superfície.

Forma Diferencial das Equações de Maxwell e Equação de Onda

Por achar que a demonstração através de um gráfico de onda leva à uma equação de

onda uma forma redundante de se mostrar o conceito, fazemos uso das equações de

Maxwell na forma diferencial, explicitando assim, matematicamente, a relação entre as

quatro leis fundamentais do eletromagnetismo e a existência de uma onda que se

propague com as características comentadas logo à frente. (Para demonstração das

equações de Maxwell na forma diferencial consulte o APÊNDICE).

Equações de Maxwell - Formas Diferenciais

∇⃗ ∙ E⃗= ρεo

∇⃗ ∙ B⃗=0

∇⃗× E⃗=−μo εo

∂ΦB

∂ t

∇⃗× B⃗=μo i+μo εo

∂ ΦE

∂t

Por simplicidade, estudaremos a propagação da onda eletromagnética numa região do

espaço onde não existem cargas livres nem correntes elétricas. Essa região poderia ser o

vácuo ou o interior de algum meio dielétrico transparente na situação em que a fonte que

deram origem aos campos elétrico e magnético existentes se encontra muito distante.

Limitaremos a este caso particular devido às dificuldades matemáticas para resolver um

sistema de equações de onda.

Devido ao fato de não existirem cargas elétricas e correntes nessa região, as equações

de Maxwell assumem a seguinte forma:

∇⃗ ∙ E⃗=0

∇⃗ ∙ B⃗=0

∇⃗× E⃗=−μo εo∂ B⃗∂ t

∇⃗× B⃗=μo ε o∂ E⃗∂ t

Tomando a Lei de Faraday, temos que

∮ E⃗ ∙ d l⃗=−μo εo

d ΦB

dt→ ∇⃗× E⃗=−μo εo

∂ B⃗∂t

Aplicando-se o rotacional dos dois lados da equação na forma diferencial, obtém-se

∇⃗× ∇⃗× E⃗=∇⃗×−∂ B⃗∂ t

A a expressão do lado esquerdo da igualdade anterior pode ser escrita como

∇⃗× ∇⃗× E⃗=∇¿ E⃗ ¿+∇2 E⃗. Devido ao fato de o campo elétrico ser conservativo, o

gradiente do divergente do campo elétrico é igual a zero e passando a derivada parcial

para dentro do rotacional, a equação fica

∇ ( ∇⃗ ∙ E⃗ )+∇2 E⃗=−∇⃗×∂ B⃗∂ t

∇2 E⃗=−∇⃗×∂ B⃗∂ t

→∇2 E⃗=−∂(∇⃗× B⃗)

∂ t

Como ∇⃗× B⃗=μo ε o∂ E⃗∂ t

,

∇2 E⃗=−∂∂ t (μo ε o

∂ E⃗∂ t )→∇2 E⃗=−μo εo

∂2 E⃗

∂ t 2→∇2 E⃗+μo εo

∂2 E⃗

∂t 2=0

Sabe-se que ∇2 E⃗=∂2 E⃗∂ x2 , então podemos escrever a equação de onda do campo

elétrico variante no tempo e espaço,

∂2 E⃗∂ x2 +μo εo

∂2 E⃗∂ t 2 =0

Fica provado assim que as equações de Maxwell levam, inevitavelmente, a equação

de onda de Laplace. Comparando a equação que temos com a forma padrão de Laplace

podemos descobrir facilmente a velocidade de propagação v de uma onda

eletromagnética.

∂2 f⃗∂ x2 + 1

v2

∂2 f⃗∂t 2 =0 , Equação deOnda de ℒ

Então, deduz-se facilmente que a velocidade de propagação da onda é dada por

1

v2=c→ c= 1

√ μo εo

=299 792 458 m / s

Características da Onda Eletromagnética

O valor numérico da velocidade é igual ao da velocidade da luz no vácuo. A obtenção

da velocidade da luz através de constantes elétricas é um grande triunfo da teoria

eletromagnética da luz. O que sugere que é possível gerar essas ondas com diferentes

comprimentos de onda por experimentos elétricos e que todas essas ondas têm a mesma

velocidade no vácuo.

Figura 1 - Halliday, 10th Edition

À primeira vista podemos pensar que os campos elétrico e magnético são

independentes um do outro, visto que as respectivas equações de onda são independentes.

Isto não corresponde à realidade. Um campo magnético variável no tempo gera um

campo elétrico variável induzido. Esse campo elétrico também produzirá um campo

magnético variável e assim sucessivamente. Os dois componentes da onda alimentam-se

mutuamente e isso faz que a onda se propague.

Podemos inferir as seguintes características sobre as OEM:

- É uma onda Transversal, que se propaga ortogonalmente à variação dos campos

elétrico e magnético.

- A velocidade de propagação da onda é c, constante, e vale 300.000 km/s no

vácuo.

- Os dois campos se propagam em fase e perpendicularmente um ao outro.

- Não há necessidade de um meio material para a propagação.

- A onda obedece ao princípio da superposição.

- A razão entre a magnitude e a amplitude dos campos elétrico e magnético é:

Em /Bm=c

Através do gráfico abaixo podemos chegar também há uma equação de onda.

Tomemos o retângulo de altura h e largura dx pequena de tal forma que o campo elétrico

que passa pelo ponto P seja constante. Aplicando a lei de Faraday no sentido anti-horário

do retângulo da figura temos,

Figura 2 - Halliday, 10th Edition

∮ E⃗ ∙ d l⃗=−dΦB

dt→∮ E⃗ ∙ d l⃗=(E¿+dE)−Eh→∮ E⃗∙ d l⃗=dE . h¿

−d ΦB

dt=

−d ( Bhdy )dt

→d ΦB

dt=−h .d y

d Bdt

Igualando 1 e 2 tem-se

h .d E=−h . d yd Bdt

→ d E=−d yd Bdt

→d Ed y

=−d Bdt

Como tanto E quanto B são funções de duas variáveis, x e t, e estamos calculando a

variação de um campo em relação ao outro usando “instantâneos” ora supondo o tempo

constante, ora o deslocamento, o mais correto nessas situações é usar a simbologia

diferencial parcial, logo,

∂ E∂ y

=−∂ B∂ t

Usando o mesmo raciocínio para o campo magnético, fazemos,

∮ B⃗ ∙ d l⃗=−d ΦE

dt→∮ B⃗ ∙ d l⃗=Bh−(B¿+dB)h →∮ B⃗ ∙d l⃗=−dB .h¿

d Φ E

dt=

d ( Ehdy )dt

→d ΦE

dt=h . d y

dEdt

Logo,

∂ B∂ y

=−∂ E∂ t

Usando as relações acima podemos fazer as seguintes modificações matemáticas:

∂ E∂ y

=−∂ B∂ t

→∂2 E⃗∂ y2 =−∂

∂ y∂ B∂ t

→∂2 E⃗∂ y2 =−∂

∂ t∂ B∂ y

1.2.

2.

1.

∂2 E⃗

∂ y2=−∂

∂ t (μo εo∂ E⃗∂ t )→ ∂2 E⃗

∂ y2=−μo εo

∂2 E⃗

∂t 2

∂2 E⃗∂ y2 +μo εo

∂2 E⃗∂ t 2 =0

Energia Transportada Sabe-se que a luz é um conjunto de ondas eletromagnéticas. Quando somos expostos aos raios de sol podemos sentir a transferência de energia da onda para nossa pele. Portanto, uma das principais características de uma OEM é a capacidade de transporte de energia, mesmo se propagando pelo vácuo (no caso, o espaço). A taxa de transporte de energia de uma OEM é dada por um vetor denominado vetor Poynting S, sendo este dado por:S⃗= 1

μo

E⃗ × B⃗

A direção do vetor Poynting dá a direção de propagação da Onda e a direção do transporte de energia. Entretanto, umas das características mais marcantes das OEM é a capacidade se determinar alguns dados totais apenas em função de um dos campos. Por exemplo: A energia total transportada por elas é por ser dada somente em função do campo elétrico, como segue na demonstração abaixo,E=1

2εo E2+ 1

2 μo

B2

Sabemos que Em /Bm=ce quec=1 /√εo μo, logo,E=1

2εo E2+ 1

2 μo

E2

c2 →12

εo E2+ 12 μo

E2 μo ε o

E=12

εo E2+ 12

ε o E2→ E=εo E2

3. ÓPTICA E ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

Como a onda eletromagnética transporta energia e se propaga com velocidade constante c no vácuo, que é um valor extremamente próximo ao da velocidade da luz, Maxwell propôs que talvez a luz fosse um tipo de onda eletromagnética. De fato, hoje sabemos que ela é um conjunto de varias ondas que se propagam com velocidade constante, mas que cada onda em particular possui características próprias como a velocidade de propagação em um meio material qualquer. Logo, estas descobertas possibilitaram a unificação da óptica e do eletromagnetismo, sendo a primeira um ramo desta última. As duas principais leis da óptica são:1. Lei da Reflexão – O raio refletido está no mesmo plano de incidência e tem um ângulo de reflexão θ2 igual ao ângulo de incidência θ1.

2. Lei da Refração – O raio refratado está no plano de incidência e tem um ângulo de refração θ2 que está relacionado com o ângulo de incidência θ1. através da equação: n1 sin θ1=n2sin θ2Onde n1e n2 são os índices de refração que dependem do meio em que a luz está se propagando sendo n=v /c.Embora a luz se espalhe ao se afastar da fonte emissora, nesse estudo consideraremos somente a óptica geométrica, onde se considera que a luz se propague em linha reta.

Reflexão Interna TotalUm comportamento interessante das ondas eletromagnéticas é inerente a propriedade de reflexão que ela possui. Dizemos que uma onda que se propaga em determinado meio material é refratada internamente (sem parte refratada) quando o ângulo de incidência do

raio de incidência atinge um valor especifico em relação a normal dos meios materiais. Ângulo este que chamaremos de ângulo critico, e é dado por,n1 sin θc=n2sin 90 → sin θc=n1/n2sin 90

θc=sin−1 n1/n2

4. TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

A Teoria da relatividade tem fama de ser embaraçosa; difícil. Do ponto de vista matemático podemos afirmar que ela não é tão complexa, ao menos nos fundamentos. O maior cuidado que devemos tomar na análise da Teoria da Relatividade é com relação às medidas que estão sendo feitas. Em suma, temos de definir claramente quem, como e o que estamos medindo. Definimos assim a relatividade como o campo de estudos dedicado a medir eventos: onde e quando ocorrem e qual distância os separa no espaço e no tempo. Sabe-se que a Mecânica Clássica, a Transformação de Galileu e o princípio da Relatividade de Galileu são conceitos consistentes, isto é, formam um sistema de leis sem contradições internas. Entretanto, verifica-se que a Mecânica Clássica, a T. G. e as equações de Maxwell não são consistentes, pois experimentalmente a velocidade c da luz é a mesma para todos os referenciais. Logo, ao final do século XIX os físicos se depararam com o seguinte dilema: Manter a Mecânica Clássica, com as Transformações de Galileu regendo as medidas feitas em referenciais diferentes e desprezar todos os resultados obtidos com o auxílio das equações de Maxwell, ou Manter as quatro equações fundamentais do eletromagnetismo, tendo assim que modificar todo o conceito teórico clássico existente de forma a pôr em harmonia a

Mecânica newtoniana e as novas evidências eletromagnéticas. Einstein, usando de sua intuição, felizmente escolheu a segunda opção, lançando com este fim, os principais postulados da Relatividade Especial.Postulados: 1. Todas as leis da Física são as mesmas para todos os referenciais inerciais. 2. A velocidade da luz tem o mesmo valor c para todos os referenciais inerciais. O Postulado 1 não afirma que os valores medidos das grandezas físicas são os mesmos para todos os referenciais inerciais; na maioria dos casos, eles são diferentes. As leis da física, que expressam relações entre os valores experimentais de duas ou mais grandezas é que devem ser as mesmas. Experimentalmente, sabemos que a velocidade da luz é constante e tem um valor numérico. Sabendo que a grandeza física velocidade é a relação entre as grandezas do espaço e do tempo, a Teoria da Relatividade propõe que o espaço e o tempo possam se ajustar, dependendo do referencial, de forma que a velocidade da luz se mantem a mesma para todos os referencias.Com o enunciado dos dois postulados acima alguns conceitos da física sofreram modificações drásticas em sua estrutura conceitual. Vejamos algumas consequências dos postulados de Einstein.

Simultaneidade Toda medida de tempo é baseada numa verificação de simultaneidade. Com os postulados esse conceito de um acontecimento ser simultâneo em relação a referenciais diferentes ficou obsoleto. Considere um vagão se locomovendo para a direita,

onde há um sensor no centro do vagão e um, simetricamente do lado de fora do vagão. No momento em que o vagão passa simetricamente em relação ao observador no solo são disparados dois raios de luz das extremidades. Pela relatividade restrita, podemos concluir que o sinal emitido por B chegará primeiro ao sensor no vagão, pois este está se locomovendo no sentido contrário ao do raio de luz, obrigando o feixe se locomover uma distância menor do que o feixe disparado em A.

Dilatação do Tempo “Se dois observadores que estão se movendo um em relação ao outro medem eventos separados por um intervalo de tempo, geralmente este intervalo será diferente para ambos. Claro, essa diferença apenas será considerável quanto mais próximo for a velocidade v dos observadores da velocidade c da luz. Para efeitos de comparação, imagine que Joao e Gilberto estão num autódromo. João está no carro com um cronometro digital da mais alta precisão existente e Gilberto esta em um ponto S fora do carro. Ambos marcarão o tempo necessário para que João faça uma volta completa na pista. Antes de Einstein, ninguém teria dúvida de que se os cronômetros dos dois irmãos estivessem em bom estado, ambos mediriam o mesmo tempo. Mas de acordo com a relatividade especial, se Gilberto cronometrar um tempo de trinta segundos, o relógio de

João marcará 29,99999999999952 segundos — uma diferença quase infinitesimal, mas que tende a ser tanto maior quanto mais rápido o carro se mova. Para encontrar a relação entre os tempos medidos em referenciais diferentes analisaremos uma experiência simples. Considere o relógio de luz mostrado na figura. Ele está em repouso em relação ao observador A e em movimento em relação ao observador B. Vamos encontrar a medida do tempo relativo para o referencial A e B. Esse relógio é composto de um emissor/receptor de sinais de luz na base, um espelho no topo e um marcador do lado de forma que mede o tempo Δt que o raio de luz leva para ir ao topo e voltar no receptor.” (Texto extraído de O Universo Elegante, Brian Greene).

Tanto para a Mecânica Clássica quanto para a Mecânica relativística, se o relógio está parado em relação aos referenciais A e B, os tempos Δt medidos serão iguais. A análise mais interessante ocorre quando o relógio está em movimento relativo. Em relação ao observador A, vamos fazer uma análise clássica do movimento do objeto. Em relação ao observador B, a análise levará em conta os conceitos relativísticos.

No triângulo ao lado temos as velocidades do objeto, sendo v a velocidade de deslocamento horizontal, U a velocidade do raio de luz que pode ser encontrada aplicando-se o teorema de Pitágoras ao movimento e a distância total percorrida pelo feixe de luz dada por 2h. Sobre o triângulo de movimento marcamos os pontos PQRD para referência. Para encontrar o tempo que o feixe leva para percorrer a distância 2h podemos fazer uso da equação v=∆ d

∆ t onde ∆ d=2 h e a velocidade U

é encontrada pela relação U =√v2+c2. Para encontrar o tempo gasto, fazemos,PQ=U .

∆ t2

QR=v .∆t2

QD=h

Assim,(U .

∆ t2

)2

=(v .∆ t2

)2

+h2→ U 2 ∆ t2

2

−v2 ∆ t2

2

=h2

∆ t2

2

(U 2−v2 )=h2→∆t2

2

= h2

U 2−v2 → ∆ t 2=(2 h)2

c2

∆ t a=2h /c

Logo, observamos que usando a Mecânica Clássica no para o movimento relativo em altas velocidades, nós temos que o tempo visto pelo observador A é exatamente o mesmo que seria medido caso o objeto estivesse parado em relação a ele. Está errado! Isto porque, nos cálculos, usamos da premissa que a soma vetorial das velocidades resulta na velocidade total do feixe de luz. Achamos que está velocidade seria dada por U=√v2+c2 , o que não corresponde à realidade física sobre a velocidade da luz, que sabemos, deve ser limitada por c=3 x 108 m /s.

Usando os postulados da relatividade especial, temos:PQ=U .

∆ t2

QR=v .∆t2

QD=h

(c .∆t2

)2

=(v .∆ t2

)2

+h2→ c2 ∆ t2

2

−v2 ∆ t2

2

=h2

∆ t2

2

(c2−v2)=h2 →( ∆ t2

)2

= h2

c2−v2 → ∆ t 2=4

h2

c2

1− v2

c2

∆ t 2=( 2 h

c)

2

1−( vc)

2 → ∆ t b=∆ ta

√1−(vc)

2

Analisando no limite em que v→ c , vemos que o tempo tende a ser infinito, pois o denominador fica extremamente pequeno. Mas quando v≪c, vemos que o tempo ∆ t b → ∆ ta, e a relatividade se resume à Mecânica Clássica na análise de pequenas velocidades comparadas com a velocidade c da luz.Contração da Distância Tomando-se como base a ideia de que o espaço e tempo são um tecido único (chamado também de tecido espaço-tempo) que se adequa de forma a manter a velocidade da luz constante para todos os referenciais, podemos fazer,

c= L∆ t

= L '∆ t '

→ c=L ' ∆ t∆ t '

Mas sabemos que∆ t '=

∆ t a

√1−( vc )

2→ ∆ t'=∆ t √1−( v

c )2

Então,

L=L '∆ t∆ t √1−( v

c )2

→ L=L' √1−( vc )

2

Transformações de Lorentz Da mesma forma que as transformações de Galileu para a física clássica, deveriam existir um conjunto de equações que medissem os valores de x, t, y e z, em relação a referenciais diferentes. Como sabemos que as transformações de Galileu são inconsistentes com as evidências físicas para altas velocidades, percebemos que havia a necessidade de um novo conjunto que pudesse executar esse papel. O físico holandês Hendrik Lorentz foi o responsável por desenvolver as relações entre medidas de espaço e tempo para referenciais diferentes. Energia Relativística Como durante esta explicação, analisando os conceitos de tempo, distância e velocidade tiveram de ser modificados, nada mais que normal também termos um novo conceito para energia, tendo-se como ferramentas a relatividade especial. Assim como o tempo e o espaço eram conceitos independentes que “passaram” a fazer parte de uma mesma análise, algo parecido aconteceu com a massa m e a energia E de um dado corpo. A relatividade mostra que massa e energia são na verdade revelações diferentes de uma mesma coisa. “Surpreendentemente, Einstein mostrou também que outras propriedades físicas do mundo são também entrelaçadas. A sua equação mais famosa constitui um dos exemplos mais importantes. Nela, Einstein afirmou que a energia (E) de um objeto e a sua massa (m) não são conceitos independentes; podemos determinar a energia

se conhecermos a massa (multiplicando a massa duas vezes pela velocidade da luz, c2) e podemos determinar a massa se conhecermos a energia (dividindo a energia duas vezes pela velocidade da luz). Em outras palavras, a energia e a massa — como dólares e francos — são moedas passíveis de conversão.“Do ponto de vista dos conceitos ressaltados (...) a equação de Einstein nos dá a explicação mais completa do fato crucial de que nada pode viajar mais rápido do que a luz. Você pode ter pensado, por exemplo, por que razão não se pode tomar um objeto, digamos um múon, que um acelerador de partículas tenha levado a 99,5 por cento da velocidade da luz e "empurrá-lo um pouquinho mais", até 99,9 por cento da velocidade da luz, e então "empurrá-lo mais ainda", impelindo-o a atravessar a barreira da velocidade da luz. A fórmula de Einstein explica por que esses esforços nunca terão êxito. Quanto mais rapidamente um objeto se mover, mais energia ele terá, e pela fórmula de Einstein vemos que quanto mais energia um objeto tiver, maior será a sua massa. Mas quanto maior for à massa de um objeto, mais difícil será aumentar a sua energia. ‘Empurrar uma criança’ em um carrinho de bebe é uma coisa e empurrar um caminhão de seis eixos, é outra muito diferente.” (Extraído de “O Universo elegante: Supercordas, dimensões ocultas e a busca da teoria definitiva”, Brian Greene).

5. REFERÊNCIAS

[1]. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentals of Physics. 10th

Edition. Wiley. NJ, US.

[2]. GREENE, B. O Universo Elegante: Supercordas, dimensões ocultas e a busca da

teoria definitiva. Companhia das Letras, 2012.

[3]. HAYT, W. H. Eletromagnetismo. Ed. Mc Graw Hill, Bookman.  8ª edição, 2013.

[4]. NUSSENZVEIG, H. M. Eletromagnetismo: Curso de Física Básica. Ed.

Mc Graw Hill, Bookman.  8ª edição, 2013.

APÊNDICE

Demonstração das Equações de Maxwell na forma Diferencial. Pelo Teorema da Divergência, temos que a Integral do fluxo sobre uma superfície fechada de um campo vetorial F é a integral da divergência do volume dessa superfície:

∯ F⃗ ∙ d A⃗=∭ ∇⃗ ∙ F⃗ dVLogo,∯ E⃗∙ d A⃗=∭ ρ

ε o

dV , Leide Gauss

∯ E⃗∙ d A⃗=∭ ∇⃗ ∙ E⃗ dV →∭ ∇⃗ ∙ E⃗ dV =∭ ρε o

dV

∇⃗ ∙ E⃗= ρεoSimilarmente, para a Lei de Gauss do não-monopolo magnético, tem-se

∯ B⃗ ∙ d A⃗=0 , Lei deGauss

∯ B⃗ ∙ d A⃗=∭∇⃗ ∙ B⃗ dV

∭ ∇⃗ ∙ B⃗ dV =0

∇⃗ ∙ B⃗=0

Pelo Teorema de Stokes temos que a integral de linha sobre uma curva C fechada é igual a Integral do Rotacional da área interna, D, a curva (orientada positivamente): ∮ F⃗ ∙ d l⃗=∬ ∇⃗× F⃗

Logo,∮ E⃗ ∙ d l⃗=

−dΦB

dt, Lei de Faraday

∮ E⃗ ∙ d l⃗=∬ ∇⃗× E⃗ ∙ d A⃗ , →∬ ∇⃗× E⃗=−ddt ∬ B⃗∙ d A⃗

∬ ∇⃗× E⃗ ∙d A⃗=−∬ ∂ B⃗∂ t

∙d A⃗ →∬ ∇⃗× E⃗−∂ B⃗∂ t

∙ d A⃗=0

∇⃗× E⃗−∂ B⃗∂ t

=0 → ∇⃗× E⃗=∂ B⃗∂ t

Similarmente, para a Lei de Maxwell-Ampere, tem-se∮ B⃗ ∙ d l⃗=μo εo

d ΦE

dt, Lei de Maxwell−Ampere

∮ B⃗ ∙ d l⃗=∬ ∇⃗× B⃗ ∙ d A⃗ →∬ ∇⃗× B⃗∙d A⃗=μo εoddt∬ E⃗ ∙ d A⃗

∬ ∇⃗× B⃗ ∙d A⃗=∬μo εo∂ E⃗∂ t

∙ d A⃗

∬ ∇⃗× B⃗ ∙d A⃗−∬μo εo∂ E⃗∂ t

∙ d A⃗=0

∇⃗× B⃗−μo ε o∂ E⃗∂ t

=0 → ∇⃗× B⃗=μo εo∂ E⃗∂t