ONDULATÓRIA 1. Movimento HARMÔNICO SIMPLES
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Física
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SUMÁRIO DO VOLUMEFÍSICA
1. Movimento Harmônico Simples 51.1 Movimento Oscilatório Periódico 51.2 Movimento Harmônico Simples 61.3 Energia do MHS 71.4 Equações do MHS 101.5 Gráfi cos do MHS 151.6 Frequência e Período do MHS 16
2. Ondas 222.1 Classifi cação das Ondas 232.2 Ondas Periódicas 272.3 Velocidade das Ondas Mecânicas 302.4 Potência e Intensidade de uma Onda 322.5 Equação de uma Onda Unidimensional 332.6 Defasagem entre Dois Pontos de uma Onda 352.7 Refl exão e Refração de Ondas em Cordas 362.8 Refl exão e Refração de Ondas Bi e Tridimensionais 382.9 Difração de Ondas 422.10 Interferência (Superposição de Ondas) 432.11 Ondas Estacionárias 472.12 Experiência de Young 492.13 Ressonância 532.14 Polarização 532.15 Batimento 552.16 Espectro Eletromagnético 56
3. Acústica 703.1 Considerações Iniciais 703.2 Frequência e Velocidade das Ondas Sonoras 713.3 Intensidade Sonora e Nível de Intensidade 743.4 Qualidades Fisiológicas do Som 763.5 Refl exão de Ondas Sonoras 773.6 Cordas Vibrantes 783.7 Tubos Sonoros 813.8 Efeito Doppler 83
Física
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SUMÁRIO COMPLETOVOLUME 1
UNIDADE: ONDULATÓRIA1. Movimento Harmônico Simples2. Ondas3. Acústica
VOLUME 2
UNIDADE: ÓPTICA4. Introdução5. Espelho plano6. Espelho esférico7. Refração8. Lentes esféricas9. Instrumentos ópticos10. Óptica da visão
VOLUME 3
UNIDADE: TERMOLOGIA11. Termometria12. Dilatação térmica dos sólidos13. Dilatação térmica dos líquidos14. Propagação de calor15. Calorimetria16. Mudanças de estado físico17. Estudo dos gases18. Termodinâmica
Física
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FísicaMovimento Harmônico Simples
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ONDULATÓRIA1. Movimento HARMÔNICO SIMPLES
1.1 Movimento Oscilatório Periódico
O que um relógio de pêndulo, um diapasão, um balanço, as cordas de um piano ou de um violão, os átomos nos corpos sólidos têm em comum? Todos eles têm funcionamento baseado em acontecimentos que se repetem, de tempo em tempo. Uma observação rápida do nosso cotidiano é capaz de nos mostrar vários fenômenos naturais com essa característica. Todo movimento que se repete em intervalos de tempo sucessivos e iguais, recebe o nome de fenômenos periódicos.
Outros exemplos de movimentos periódicos são: fases da lua, translação da Terra em torno do Sol, movimento circular uniforme, as estações do ano, etc.
Chama-se Período (t) o tempo gasto para a realização de uma oscilação completa. Isso quer dizer que o período é o tempo gasto para que o objeto realize seu ciclo completo de movimento. No Sistema Internacional de unidades, o período é medido em segundos. Caso, num intervalo de tempo ∆t, ocorreu n repetições (oscilações), o período é dado por:
T = ∆tn
Outra grandeza física muito importante, e que está relacionada com o período, é a frequência, que é o número de vezes que o movimento se repete por unidade de tempo, ou seja, se ocorreu n oscilações em um intervalo de tempo ∆t, a frequência é dada por:
f = n∆t
Se o intervalo de tempo for medido em segundos, a unidade de frequência será o Hertz (Hz). Como o período e a frequência estão relacionados às medidas de tempo, há uma forte ligação entre eles. Matematicamente, uma grandeza é o inverso da outra, ou seja:
f = 1T
ou T = 1f
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013.
Relógio.
Diapasão.
Balanço.
Corda de um violão.
FísicaMovimento Harmônico Simples
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Imaginemos que um balanço esteja realizando um movimento com 10 repetições (oscilações) a cada 20 s. Seu período e sua frequência podem ser determinados da seguinte maneira:
T = ∆tn
→ T = 2010
→ T = 2,0 s
f = n∆t
→ f = 1020
→ f = 0,5 Hz ou f = 1T
= 12,0
= 0,5 Hz
Todo movimento cujo sentido é regularmente invertido (alternância de sentidos), dá-se o nome de movimento oscilatório ou vibratório. São exemplos de movimentos oscilatórios: movimento do pêndulo simples, movimento de um diapasão, movimento de um sistema formado por uma massa e uma mola, movimento da corda de um violão, etc.
A B
C
O
m
x+ A– A
Em todos esses exemplos, existem forças que atuam sobre os corpos oscilantes a � m de trazê-los para sua posição de equilíbrio. Essas forças são chamadas de forças restauradoras. No nosso curso, não iremos considerar as forças dissipativas, como, por exemplo, as forças de resistência do ar ou de atrito, que atuam nos corpos até que eles parem em sua posição de equilíbrio.
1.2 Movimento Harmônico Simples
Nesta � gura, temos um sistema constituído por um corpo de massa m preso a uma mola de constante elástica k (sistema massa-mola) que passa a oscilar entre os pontos – A e + A, simétricos ao ponto de equilíbrio O (em que a força resultante na partícula é nula). A mola é ideal, e os atritos são desprezíveis.
k
m
x
O + A– Ax
Em relação ao eixo x, a posição do corpo, num determinado tempo t, é chamada elongação da mola. Lógico, se o corpo se encontra na posição de equilíbrio, a elongação é zero. Nos pontos de inversão do movimento – A e + A ocorre a elongação máxima da mola, denominada de amplitude do movimento. Dizemos que um corpo realiza um Movimento Harmônico Simples Linear quando a força restauradora, que age nele, tem valor algébrico diretamente proporcional à elongação da mola, ou seja:
F = –k · x
onde k é a constante elástica da força e o sinal negativo indica que a força F tem sentido negativo ao do eixo x.
A esfera do pêndulo oscila entre A e B. C é a posição de equilíbrio.
O corpo de massa m preso em uma mola oscila entre + A e – A. O é a posição de equilíbrio.
FísicaMovimento Harmônico Simples
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No exemplo citado anteriormente do sistema massa-mola, a força restauradora aplicada pela mola é do tipo elástica, que pela Lei de Hooke, é proporcional à elongação x. Observamos que a força F tem módulo máximo nas posições de inversão – A e + A e valor zero na posição de equilíbrio O. Assim, podemos construir o seguinte grá� co:
F
x+ A
– A
– kA
kA
x = – A → |F| = k ∙ Ax = A → |F| = - k ∙ A
x = 0 → |F| = 0
Exercícios de salaExercícios de sala
1 Um corpo realiza um movimento oscilatório, sob ação de uma força resultante, cujo valor algébrico varia em função da abscissa x, conforme o gráfi co ao lado. Determine:a) O tipo de movimento realizado pela partícula;
b) A amplitude do movimento;
c) A constante elástica da mola;
1.3 Energia do MHS
Existem três tipos de energia que podem estar envolvidas em um movimento harmônico simples: energia potencial gravitacional (EPG), energia potencial elástica (EPEL) e energia cinética (EC). A soma dessas três energias é igual à energia mecânica (EM) do sistema, ou seja:
EM = EC + EPG + EPEL
Quando num sistema não atuarem forças dissipativas (exemplo, o atrito), a energia mecânica se conserva. No nosso estudo, trabalharemos sempre com sistemas em que a EM é constante durante o movimento qualquer de um corpo.
Dis
poní
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set.
2013
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Robert Hooke.
F (N)
x (m)+ 5
– 5
– 10
10
FísicaMovimento Harmônico Simples
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De maneira informal, diz-se que energia potencial gravitacional é a energia que um corpo tem devido à sua altura em relação a um nível de referência. Na verdade, ela está intimamente ligada à posição, em relação a um ponto qualquer, de um corpo imerso em um campo gravitacional. Para entender de maneira mais clara, imagine que o chão da sala é o nível de referência. Qualquer coisa que não esteja no chão terá energia por estar a certa altura em relação a ele. Matematicamente, calcula-se a energia potencial gravitacional de um corpo da seguinte forma:
EPG = m∙g∙h
sendo que h é a altura do corpo em relação a um nível de referência, g é a aceleração da gravidade local e, m é a massa do corpo. No entanto, em geral, os sistemas que executam MHS são construídos de forma a não haver variação da energia potencial gravitacional, ou seja, eles são colocados na horizontal. Geralmente esses sistemas são representados pelo sistema massa-mola, sendo assim, as duas energias mais importantes para o MHS são a energia potencial elástica (EPEL) e a energia cinética (Ec). A EPEL, como visto na Mecânica, é dada por:
EPEL = kx2
2
Na posição de equilíbrio (x = 0), podemos veri� car que a EPEL é nula e, nos pontos de inversão, onde ocorre a máxima deformação (x = ± A), a EPEL é máxima. Em suma, temos:
O + A– A
EPEL = EPEL = 0máx
kA2
2EPEL =
máx
kA2
2
A equação da EPEL é uma função de segundo grau em relação a x, logo, um grá� co da EPEL em função da sua deformação é um arco de parábola, com concavidade voltada para cima, conforme o grá� co ao lado. A EC é bastante importante no estudo dos movimentos, como visto na Mecânica. Por de� nição, um corpo de massa m e com uma velocidade v possui uma energia cinética dada por:
EC = mv2
2
Como a energia cinética está relacionada à velocidade de um corpo, observa-se que ela é máxima na posição de equilíbrio, e zero nos extremos (x = ± A). Daí, temos:
O + A– A
EC = 0EC = 0 EC =máxmv2máx
2
Como dito anteriormente, nas situações mais comuns de corpos se movimentando em MHS, a energia potencial gravitacional não varia. Sendo assim, a energia mecânica do sistema em um ponto é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética no referido ponto. Assim, temos:
EM = EC + EPEL
EM = mv2
2 + kx2
2
0 xx
A– A
kx2
kA212
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EPEL
FísicaMovimento Harmônico Simples
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Nos pontos x = ± A, a EC = 0 e a energia mecânica será igual à energia potencial máxima. Logo:
EM = EC + EPEL
EM = 0 + kA2
2
EM = kA2
2
Com isso, o grá� co da EM em função de x é uma reta paralela ao eixo x (EM constante), como indicado na � gura ao lado. Para qualquer elongação x, temos que:
EM = EC + EPEL
kA2
2 = EC + kx2
2
EC = kA2
2 – kx2
2
Portanto, podemos provar o que foi dito anteriormente, que a EC é máxima no ponto de equilíbrio (x = 0), e que é igual à energia mecânica, e zero nos extremos (x = ± A). Analisando gra� camente a EC em função da elongação x, veri� ca-se que trata de um arco de parábola com concavidade voltada para baixo. Assim, obtemos o grá� co dado ao lado. Fazendo um resumo dos grá� cos apresentados anteriormente, teremos:
Podemos observar por esse grá� co ao lado que quando uma energia é máxima, a outra é nula, demonstrando a conservação da energia mecânica do sistema.
Exercícios de salaExercícios de sala2 Uma partícula cuja massa é 100 g realiza um MHS presa a uma mola de constante elástica igual a
20 N/m. Quando a elongação da mola é de 10 cm, a velocidade da partícula é 4,0 m/s. Determine:
a) A energia mecânica da partícula;
b) A amplitude do movimento.
0 Axx
– A
EM
kA212
0 xx
A– A
EC
kA2
k (A2 – x2)12
12
0
Energia
Ec
EM
EPEL x
FísicaMovimento Harmônico Simples
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3 (PUC) Uma partícula de massa 0,5 kg move-se sob ação de apenas uma força, à qual está associada uma energia potencial Ep cujo gráfi co em função de x está representado nesta fi gura.
0
1,0 J
+ 1,0– 1,0 x (m)
Ep (J)
Esse gráfi co consiste em uma parábola passando pela origem. A partícula inicia o movimento a partir do repouso, em x = -2,0 m. Pede-se:a) Sua energia mecânica;
b) A velocidade da partícula ao passar por x = 0;
c) A energia cinética da partícula ao passar por x = 1 m.
4 (UFBA) Uma partícula oscila em MHS com amplitude A = 15 cm. Determine, em cm, a elongação no instante em que a energia cinética da partícula iguala-se à energia potencial.
1.4 Equações do MHS
O MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão estritamente relacionados de modo que um pode ser estudado através do outro. Para isso, basta observar o fato que o MHS pode ser visto como a projeção ortogonal do MCU sobre qualquer diâmetro da circunferência que constitui a trajetória da partícula no referencial adotado.
Consideramos que uma partícula esteja realizando um MCU e que os pontos A1, A2, A3, A4, A5 e A6 correspondem às posições dessa partícula em um determinado instante. Agora, fazendo a projeção desses pontos em seu diâmetro, encontramos os pontos P1, P2, P3, P4, P5 e P6, que estão realizando um MHS. Veri� ca-se que o período T do MCU é igual ao do MHS, pois, quando a partícula realiza uma volta completa, sua projeção também realiza uma oscilação completa e recomeça o movimento.
P4 P5
P2P3
P6
P1
A1
A6 A5
A4
A2
A3
O x
Seja A1 a posição inicial de uma partícula (no instante inicial t0) que realiza um MCU, numa circunferência de raio igual a A, e A2 a posição � nal (num instante posterior t). Como visto no estudo do MCU, aos espaços inicial e � nal correspondem ângulos centrais θ0 e θ, denominados, respectivamente, espaço angular inicial e � nal.
xx PO
R = A
θθ0
A1
A2
A projeção do movimento circular uniforme se comporta como um movimento harmônico simples. Isso pode ser utilizada para calcular a elongação de um objeto em MHS. Através da Mecânica, sabe-se que:
θ = θ0 + ω∙t
FísicaMovimento Harmônico Simples
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onde ω é a velocidade angular (pulsação ou frequência angular) da partícula no MCU, que pode ser representador por:
ω = 2πT
ou ω = 2π ∙ f
em que T é o período de rotação da partícula e f a sua frequência. As posições da projeção P, que realiza MHS, são encontradas num eixo com origem no centro da circunferência O e orientado da esquerda para a direita, como indicado na � gura anterior. Pelo triângulo OA2P, temos:
x = OA2 · cos θ
Mas OA2 = R = A é o raio da circunferência, que é igual à amplitude do MHS e θ = θ0 + ω ∙ t. Assim, temos:
x = A∙cos (ω∙t + θ0)
Nessa equação, o termo θ = θ0 + ω ∙ t é denominado fase do MHS, que é expresso em radiano, sendo variável com o tempo t. Quando t = 0, a fase vale θ = θ0, sendo chamado de fase inicial do MHS, cujo valor depende da posição inicial do móvel em seu movimento, como indicado nos casos seguintes.
O A– A
t = 0X
x = Ax decrescente
θ0 = 0
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto A, ou seja, de máxima elongação, que forma zero grau com o eixo x, que serve como referencial de estudo.
O A– A
t = 0
X
x = 0x decrescente
θ0 = π/2
B
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto B, que forma 90º com o eixo x positivo.
O A– A
t = 0
X
x = – Ax Crescente
θ0 = π
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto x = – A, ou seja, de máxima deformação, que forma 180º com o eixo x positivo.
A– AX
O
Cx = 0
x Crescenteθ0 = 3π/2
A partícula inicia o seu movimento (t = 0) no ponto C, formando 270º com o eixo x positivo.
FísicaMovimento Harmônico Simples
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Enquanto uma partícula qualquer descreve um MCU, suas projeções oscilam no diâmetro com um movimento não uniforme, cuja função horária é cossenoidal com o tempo. A velocidade do objeto que está sob a ação de um MHS pode ser calculada da seguinte maneira:
VMHS = VMCU · cos (90º – θ)VMHS = VMCU · (– sen θ)VMHS = – VMCU · sen θ
em que VMCU
= ω∙A e θ = θ0 + ωt. Sendo assim,
observa-se que:
VMHS = - ωA∙sen (ωt + θ0)
Agora, analisando a equação da elongação x e da velocidade V do MHS, poderemos obter algumas conclusões, tais como:
x = A · cos (ωt + θ0) V = – ωA · sen (ωt + θ0)
• x = 0 (posição de equilíbrio)cos (ωt + θ0) = 0 e como sen2θ + cos2θ = 1, onde θ = ωt + θ0, dai temos:
sen (ωt + θ0) = ± 1v= ± ωA
|vmáx| = ωA
• x = ± A (amplitude)
cos (ωt + θ0) = ± 1sen (ωt + θ0) = 0
v = 0
O valor máximo da velocidade para um corpo que realiza MHS ocorre quando ele passa pela sua posição de equilíbrio e, possui velocidade nula, quando o corpo está nas posições de elongação máxima (x = ± A), já que é nesse instante que ocorre a inversão do movimento. Observando, a partir de um referencial inercial, um objeto só realiza movimento circular se ele estiver sob a ação de uma força centrípeta. No MHS, a aceleração de um corpo, em cada instante, pode ser calculada através da projeção da aceleração centrípeta sofrida por um corpo em MCU. Como o sentido dessa aceleração é contrário ao sentido positivo de x, acrescentamos o sinal negativo:
αMHS = – αMCU · cos θaMCU = acentrípeta = ω2A
θ = θ0 + ωtαMHS = – ω2A · cos (ωt + θ0)
A
Vmcu
Vmhs
θ
θ90º – θ
Além da posição, é possível calcular a velocidade do objeto em MHS como se fosse a projeção da velocidade linear de um objeto que esteja em MCU.
A velocidade máxima será v = + ωA quando o corpo estiver em movimento progressivo (movimentando no sentido positivo de x) e v = – ωA, quando seu movimento for retrógrado (movimentando no sentido negativo de x).
amhs
amcu
θ
θ
A aceleração de um objeto em MHS pode ser calculada como se fosse a projeção da aceleração centrípeta de um objeto que esteja em MCU.
Os módulos da aceleração e da elongação são diretamente proporcionais.
FísicaMovimento Harmônico Simples
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De acordo com as expressões anteriores encontradas, veri� camos que são nos extremos (elongações máximas, ou seja, x = ± A) que ocorrem as maiores variações de velocidade. Em outras palavras, nos extremos da trajetória, sua aceleração é máxima e o seu valor é dado por:
|amáx| = ω2A
Também, podemos veri� car que a aceleração é nula na posição de equilíbrio, já que x = 0. A seguir, apresentamos um esquema resumindo alguns conceitos e conclusões até aqui abordados, para que sirva de fácil memorização e aprendizado.
m
– A + A0v = 0
ECinética = 0EPmáxima = Em =amáxima = ω2A
kA2
2mvmáx
2
2
vmáxima = ± ωAEPotencial = 0
ECmáxima = Em =a = 0
kA2
2
v = 0ECinética = 0
EPmáxima = Em =amáxima = – ω2A
Consideramos uma partícula em MHS que se desloca entre as posições – 10 cm e + 10 cm de sua trajetória, gastando 10 s para ir de uma à outra. Vamos determinar algumas grandezas físicas, como amplitude, período e pulsação. Para encontrar a amplitude do movimento, deve-se considerar a distância da posição de equilíbrio até os extremos da trajetória, logo a amplitude é A = 10 cm. Sabendo que o período T é o tempo gasto para realizar uma oscilação completa e, portanto, deve ser o tempo gasto para ir de uma extremidade à outra (tempo de ida) mais o tempo de retorno à sua extremidade inicial (tempo de volta). Assim, o período é de T = 20 s. Sabendo que a frequência é o inverso do período, logo, a frequência é dada por:
f = 1T
→ f = 120
Hz
A pulsação ω é dada por:
ω = 2π · f → ω = 2π · 120
→ ω = π10
rad/s
Agora, consideremos um corpo que executa um MHS de amplitude 4 m, pulsação 4π rad/s e fase inicial π rad. Vamos determinar as equações horárias da elongação, velocidade e aceleração desse corpo. A equação horária da elongação pode ser obtida diretamente, já que todas as grandezas físicas necessárias foram dadas pelo exercício, logo:
x = A · cos (ωt + θ0) → x = 4 · cos (4πt + π)
A equação horária da velocidade obedece à forma:
V = – ωA · sen (ωt + θ0) → V = – 4π · 4 · sen (4πt + π) → V = – 16π · sen (4πt + π)
FísicaMovimento Harmônico Simples
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A equação horária da aceleração é dada por:
α = – ω2A · cos (ωt + θ0) → α = – (4π)2 · 4 · cos (4πt + π) →α = – 16π2 · 4 · cos (4πt + π) → α = – 64π2
· cos (4πt + π)
Agora, vamos encontrar os módulos da velocidade e aceleração máxima do móvel.
Vmáxima = ωA → Vmáxima = 4π · 4 → Vmáxima = 16π m/samáxima = ω2 · A → amáxima = (4π)2 · 4 → amáxima = 64π2 m/s2
Exercícios de salaExercícios de sala
5 A pulsação de um MHS é π rad/s, a fase inicial é 3π2
rad e a amplitude é 1 m.
a) Qual o período e a frequência desse MHS?
b) Escreva as equações horárias da elongação, da velocidade escalar e da aceleração escalar para esse movimento.
c) Determine o máximo valor assumido pela velocidade escalar e pela aceleração escalar nesse MHS.
6 A equação horária da elongação de um móvel em MHS, em unidades do Sistema Internacional, é:
x = 5 ∙ cos πt + π4
a) Determine a amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a frequência do movimento.
b) Escreva as equações horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar desse MHS.
c) Determine a velocidade escalar máxima e a aceleração escalar máxima nesse MHS.
FísicaMovimento Harmônico Simples
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1.5 Gráficos do MHS
Agora, vamos analisar os grá� cos do MHS, considerando, inicialmente, a fase inicial θ0 = 0. As equações horárias do MHS � cam:
x = A · cos (ωt)v = – ωA ∙ sen (ωt)
α = – ω2A ∙ cos (ωt)
Em seguida, vamos substituir a pulsação que multiplica o tempo por ω = 2πT
, para que os cálculos sejam facilitados, e substituir o tempo t por frações do período T. Logo, teremos:
t 0 T/4 T/2 3T/4 Tx A 0 - A 0 Av 0 - ωA 0 ωA 0α - ω2A 0 ω2A 0 - ω2A
A partir do quadro construído, obtemos os seguintes grá� cos:
0
0
0
+ Ax
– A
x = A · cos ωt
T/4
T/4
T/4
T/2
T/2
3T/4
3T/4
T
T
T
t
t
t
θo = 0
+ ω · A
+ ω2 · A
– ω2 · A
– ω · A
v = – ω · A · sen ωtv
α = – ω2 · A · cos ωt
3T/4
T/2
α
Exercícios de salaExercícios de sala
7 É dada a equação horária da elongação x = 5 cos π4
t + π2
, com unidades no Sistema Internacional,
para o MHS realizado por um móvel. Construa os gráfi cos horários da elongação, da velocidade escalar
e da aceleração escalar em função do tempo.
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