Operações com Conjuntos: AULA Produto · PDF fileOperações com...

10AULA
1LIVRO
Operaes comConjuntos:Produto Cartesiano
META:
Introduzir propriedades para o
produto cartesiano de conjuntos.
OBJETIVOS:
Ao fim da aula os alunos devero
ser capazes de:
Demonstrar propriedades envol-
vendo pares ordenados;
Demonstrar propriedades envol-
vendo produto cartesiano de
conjuntos.
PR-REQUISITOS
Aula-04 e Aula-07 os conhecimentos
das regras de inferncia e das
regras de equivalncia e da teoria
axiomtica dos conjuntos.

Operaes com Conjuntos: Produto Cartesiano
10.1 Introduo
Nas duas aulas anteriores, vimos as operaes de unio e inter-
seo entre dois conjuntos e algumas propriedades que as envolvem.
Provamos duas delas e deixamos outras como atividades em sala de
aula. Vimos tambm, a diferena entre conjuntos, a diferena si-
mtrica entre conjuntos e por fim o complementar de um conjunto
com relao a outro que o contenha. Na aula de hoje, continua-
remos estudando as relaes entre conjuntos e veremos tambm,
produto cartesiano de conjuntos
10.2 Par Ordenado
Kazimierz Kura-towski nasceu nodia 02/02/1896 emVarsovia, mesmolugar onde morreu em18/06/1980. Matem-tico e Lgico polons,entre suas contribui-es encontram-se umacaracterizao dosEspaos de Hausdorffconhecido como Axi-omas de Fechamentode Kuratowski e acarecterizao de paresordenados. Wikipedia
Comearemos nossa aula, definindo par ordenado. Um conceito
importante, pois sem ele a Geometria analtica no seria possvel.
Como vimos na aula 07, a ordem em que os elementos so listados
em um conjunto irrelevante. Porm, h ocasies em que a ordem
em que os elementos so introduzidos tem relevncia. Quem o
primeiro, quem o segundo e assim consecutivamente, Quem o
primeiro, quem o segundo, o terceiro e assim consecutivamente,
exemplo do conceito de par ordenado, introduzido pelo matemtico
polons Kuratowski . Em seguida, definiremos tambm o conceito
de n-pla ordenada.
Definio 10.1. Sejam a e b objetos quaisquer. Definimos o par
ordenado, denotado (a, b), por:
(a, b) def= {{a}, {a, b}}.
OBS 10.1. A definio acima foi elaborada por Kuratowski. O
fato de a ser o primeiro objeto do par ordenado X pode ser expresso
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Fundamentos da Matemtica: Livro 1
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como:
x X, a xe o fato de b ser o segundo objeto do par ordenado X pode ser
expresso como:
(x X|b x) (x1, x2 X|x1 = x2 (b / x1 b / x2))A definio vale no caso de a = b pois, se X = (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}} e como a condio x1 = x2 no podeser satisfeita por X, a definio de a ser o segundo objeto fica
vaziamente satisfeita (F V verdade).
Teorema 10.1. Sejam X = (a, b) e Y = (c, d) dois pares orde-
nado. X = Y somente se a = c e b = d.
PROVA: Provaremos primeiramente que X = Y a = cb = d.Para isso usaremos o estudo de casos:
a) Caso a = b
X = (a, b) def= {{a}, {a, b}}:Como a = b temos:
X = {{a}, {a, a}}Do axioma da extensionalidade (a repetio de elementos irrele-
vante) temos:
X = {{a}, {a}}X = {{a}}Por outro lado:
Y = (c, d) def= {{c}, {c, d}}Como X = Y temos:
{{a}} = {{c}, {c, d}}Do axioma da extensionalidade (um conjunto fica unicamente de-
terminado pelos seus elementos) temos:
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{a} = {c} = {c, d} a = c = dPortanto:
a = b = c = d
b) Caso a = bX = (a, b) def= {{a}, {a, b}} e:Y = (c, d) def= {{c}, {c, d}}Como X = Y temos:
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}Do axioma da extensionalidade temos duas possibilidades {c} ={a, b} ou {c} = {a}b1) Caso {c} = {a, b}Do axioma da extensionalidade temos:
{c} = {a, b} c = a = bDa, temos:
a = b a = b que um absurdo. Logo vale a segunda opo:b2) Caso {c} = {a}{c} = {a}Do axioma da extensionalidade:
{c} = {a} a = cOk, ainda restam duas possibilidades para {c, d}. {c, d} = {a} ou{c, d} = {a, b}.b21) Caso {c, d} = {a}{c, d} = {a}Do axioma da extensionalidade:
{c, d} = {a} c = d = aDa, do axioma da extensionalidade temos:
c = d Y = (c, d) = {{c}, {c, d}} = {{c}, {c, c}} = {{c},{c}} = {{c}}
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Como X = Y , do axioma da extensionalidade temos:
{{c}} = {{a}, {a, b}} {c} = {a} = {a, b} c = a = bDa,
a = b a = b absurdo. Logo vale a segunda opo:b22) Caso {c, d} = {a, b}{c, d} = {a, b}Como a = c temos:
{a, d} = {a, b}Do axioma da extensionalidade temos:
{a, d} = {a, b} b = dDai, temos:
a = c b = d.Em segundo lugar, provaremos que a = c b = d X = Y .Como a = c b = d e X = (a, b) Y = (c, d). trivial que Y = (a, b) e portanto:
X = Y .
Portanto conclui-se que:
X = Y a = c b = d .
Podemos definir termo ordenado usando o conceito de par orde-
nado da seguinte forma:
Definio 10.2. Sejam a, b e c trs objetos quaisquer. Definimos
terno ordenado, denotado (a, b, c), por:
(a, b, c) def= (a, (b, c)).
OBS 10.2. Seguindo a definio de Kuratowski para par orde-
nado, para um terno ordenado temos:
(a, b, c) = (a, (b, c)) = {{a}, {a, (b, c)}}
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(a, b, c) = {{a}, {a, {{b}, {b, c}}}}.
O conceito de n-pla ordenada pode ser definido interativamente
por:
Definio 10.3. Sejam x1, x2, . . . xn n objetos. Definimos intera-
tivamente a n-pla ordenada, denotada (x1, x2, . . . , xn) por:
(x1, x2, . . . , xn)def= (x1, (x2, . . . , xn)),
onde (x2, . . . , xn) uma n-1-pla ordenada.
10.3 Produto Cartesiano de Conjuntos
O produto cartesiano leva este nome em homenagem ao Mate-
mtico francs Renn Descartes, que o usou na definio da Geo-
metria Analtica. Consiste em formar, partindo de dois conjuntos,
um conjunto constitudo de todos os pares ordenados, cujo pri-
meiro objeto pertence ao primeiro conjunto e o segundo objeto
pertence ao segundo conjunto. Vamos definio:
Definio 10.4. Sejam A e B dois conjuntos. Definimos o produto
cartesiano de A por B, denotado A B, por:A B def= {(a, b),a A b B}.
Exemplo 10.1. Sejam A = {a, b, c} e B = {1, 2} ento o produtocartesiano A B dado por:A B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}enquanto que o produto cartesiano B A dado por:B A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
Podemos estender o conceito de produto cartesiano trs conjun-
tos, definindo:
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Definio 10.5. Sejam A, B e C trs conjuntos. Definimos o
produto cartesiano de A, B e C, denotado A B C, por:A B C def= {(a, b, c),a A,b B, c C}.
Podemos estender facilmente a definio para o produto cartesiano
de n conjuntos. A saber:
Definio 10.6. Sejam A1, A2, . . . , An n conjuntos. Definimos o
produto cartesiano de A1, A2, . . . , An, denotado A1A2 An,por:
A1A2 An def= {(a1, a2, . . . , an),a1 A1,a2 A2, . . . ,an An}.
10.3.1 Propriedades do Produto Cartesiano
Listaremos aqui, algumas das propriedades do produto cartesiano.
A saber:
Sejam A,B e C trs conjuntos, ento valem as seguintes proprie-
dades:
A B = B A, se A = B e A = ou B = .
A B C = A (B C) = (A B) C
A = A =
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
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10.4 Algumas Demonstraes
Nesta seo, demonstraremos duas propriedades vistas acima.
Provaremos, primeiramente, a segunda das propriedades do pro-
duto cartesiano de conjuntos. A saber:
Propriedade1: Sejam A, B e C conjuntos ento, A B C =A (B C) = (A B) C.PROVA Da definio do produto cartesiano de n conjuntos, no
caso particular de n = 3 temos:
A B C def= {(a, b, c),a Ab Bc C}Da definio de terno ordenado (a, b, c) def= (a, (b, c)) temos: A B C def= {(a, (b, c)),a Ab Bc C}Por outro lado, da definio de produto cartesiano de dois conjun-
tos temos:
B C def= {(b, c),b Bc C}Novamente da definio de produto cartesiano de dois conjuntos,
em que o primeiro A e o segundo B C temos:A (B C) def= {(a, x),a Ax B C}Da, como x B C x = (b, c),b Bc C temos:A (B C) def= {(a, (b, c)),a Ab Bc C}Do axioma da extensionalidade (dois conjuntos so iguais, somente
se tem os mesmos elementos) temos:
A B C = A (B C)Que encerra a primeira parte da demonstrao.
Para a segunda parte, usando a definio de produto cartesiano de
dois conjuntos temos:
A B def= {(a, b),a Ab B}Novamente da definio de produto cartesiano de dois conjuntos,
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em que o primeiro A B e o segundo C temos:(A B) C def= {(x, c),x A Bc C}Da, como x A B x = (a, b),a Ab B temos:(A B) C def= {((a, b), c),a Ab B A Bc C}Poderamos pensar que (AB)C = A (BC) se ((a, b), c) =(a, (b, c)). Porm, da defino de Kuratowski de par ordenado te-
mos:
(a, (b, c)) = {{a}, {a, (b, c)}}Como (b, c) = {{b}, {b, c}} temos:(a, (b, c)) = {{a}, {a, {{b}, {b, c}}}}E tambm:
((a, b), c) = {{(a, b)}, {(a, b), c}}Como (a, b) = {{a}, {a, b}} temos:((a, b), c) = {{{{a}, {a, b}}}, {{{a}, {a, b}}, c}}Da, fica claro que de modo geral ((a, b), c) = (a, (b, c)) e portanto:(A B) C = A (B C).
Veremos agora, mais uma demonstrao de uma das propriedades
do produto cartesiano. A saber:
Propriedade2: A (B C) = (A B) (A C)PROVA suficiente mostrar que:
A(BC) (AB)(AC) e que (AB)(AC) A(BC).a) Primeiramente mostraremos que: A(BC) (AB)(AC)x, x A (B C)Da de

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