Operações com funções

Def. 1: Dadas as funções 𝑓 e 𝑔 sua soma 𝑓 + 𝑔,

diferença 𝑓 − 𝑔, produto 𝑓 ∙ 𝑔 e quociente 𝑓

𝑔, são

definidas por:

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ;

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ;

𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 ;

𝑓/𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥

𝑔 𝑥.

Exemplo: Sejam 𝑓 𝑥 = 5 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 =𝑥 − 3. Então:𝑓 + 𝑔 𝑥 =

𝑓 − 𝑔 𝑥 =

𝑓. 𝑔 𝑥 =

𝑓/𝑔 𝑥 =

Def. 2: Se 𝑓 é uma função e 𝑘 é um número real, definimos a função 𝑘𝑓 por 𝑘𝑓 𝑥 =𝑘𝑓 𝑥 .

Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 e 𝑘 = 3.

Então: 𝑘𝑓 𝑥 = 3 𝑥2 − 4.

Def. 3: Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝑔 com 𝑓, denotada por 𝑔𝑜𝑓, é definida por 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 .

Exemplos: 1) Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Encontre:a) 𝑔𝑜𝑓 =

b) 𝑓𝑜𝑔 =

2) Sejam 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 e 𝑔 𝑥 = 𝑥. Encontrar:a) 𝑔𝑜𝑓 =

b) 𝑓𝑜𝑔 =

c) 𝑓𝑜𝑓 =

b) 𝑔𝑜𝑔 =

Exercícios

1) Se 𝑓 𝑥 =3𝑥−1

𝑥−7, determine:

a) 5𝑓 −1 −2𝑓 0 +3𝑓 5

7

b) 𝑓 −1

2

2

c) 𝑓 3𝑥 − 2

d) 𝑓 𝑡 + 𝑓4

𝑡

e) 𝑓 ℎ −𝑓 0

ℎ

2) Seja ℎ definida por ℎ 𝑥 = 2𝑥 − 7. Calcular ℎ𝑜ℎ, ℎ2e ℎ + ℎ.

Funções Polinomiais

Uma função polinomial de grau n pode ser

escrita da forma:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

onde 𝑎𝑛 ∈ ℝ∗.

Funções lineares e quadráticas (já trabalhadas)

são funções polinomiais de 1º e 2º grau,

respectivamente.

Funções Polinomiais

Imagens: livro Cálculo I do Anton

Funções Polinomiais

Família de funções 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, para 𝑛 > 1 e

inteiro.

• Se n for par: 𝑓(𝑥) é par. Todos tem um

formato geral de uma parábola.

Funções Polinomiais

Família de funções 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, para 𝑛 > 1 e

inteiro.

• Se n for ímpar: 𝑓(𝑥) é ímpar. Todos tem um

formato geral de uma cúbica.

Funções

Família 𝑦 = 𝑥−𝑛 (descontinuidade em x=0)

Se n for par: 𝑓(𝑥) é par. Todos tem um formato

geral da função 𝑓 𝑥 =1

𝑥2. Conforma n cresce

os gráficos ficam próximos da vertical em x=-1 e

x=1, e mais achatados em x>1 e x<-1.

Funções

Família 𝑦 = 𝑥−𝑛

Se n for ímpar: 𝑓(𝑥) é ímpar. Todos tem um

formato geral da função 𝑓 𝑥 =1

𝑥. Conforma n

cresce os gráficos ficam próximos da vertical em

x=-1 e x=1, e mais achatados em x>1 e x<-1.

Funções

𝑦 = 𝑥1

𝑛

Se n for par: o gráfico da função se estende no

intervalo [0, +∞). Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥1

2 = 𝑥

Funções

𝑦 = 𝑥1

𝑛

Se n for ímpar: o gráfico da função se estende

no intervalo (−∞,+∞). Exemplo:𝑓 𝑥 = 𝑥1

3 = 3 𝑥

Funções Racionais

𝑦 =𝑃 𝑥

𝑄(𝑥)

• Tomar cuidado com descontinuidades, ou

seja, quando 𝑄 𝑥 = 0.

• Onde a função não está definida, o gráficos

se aproximam de uma reta vertical (assíntota

vertical).

• Gráficos podem começar ou terminar cada

vez mais perto de uma reta horizontal

(assíntota horizontal).

Funções Racionais

Funções Racionais

Exercícios:

Cálculo I do Anton, página 25

Números: 27 a 34.

Cálculo I do Anton, página 35

Números: 11, 17, 18, 21, 29.