Optimização de uma bomba radial utilizando uma versãoparalela do algoritmo genético de evolução diferencial

Diogo Jorge da Costa Teixeira Neves Ferreira

Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Orientadores: Prof. João Carlos de Campos HenriquesProf. Luís Manuel de Carvalho Gato

Júri

Presidente: Prof. Viriato Sérgio de Almeida SemiãoOrientador: Prof. Luís Manuel de Carvalho Gato

Vogal: Prof. José Carlos Páscoa Marques

Julho de 2014

Agradecimentos

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao Professor João Henriques, orientador desta

dissertação, pelo seu interesse no trabalho realizado e pelo conhecimento científico e técnico

que me transmitiu das mais variadas áreas da engenharia.

Ao Professor Luís Gato, co-orientador, cuja vasta experiência na área das turbomáquinas,

se revelou essencial durante o decorrer desta dissertação.

Aos meus pais, irmãs e amigos por todo o apoio que me deram.

i

ii

Resumo

Na presente dissertação foi criado um algoritmo de cálculo automático capaz de importar

uma geometria inicial, gerar uma malha de cálculo, proceder à análise do escoamento com

recurso a um software comercial de volumes finitos e aplicar um algoritmo genético de opti-

mização. A geometria é definida parametricamente com recurso a curvas de Bézier que em

conjunto com uma transformação conforme permite a simulação de turbomáquinas radiais,

axiais e mistas. A malha de cálculo gerada é de construção híbrida, composta por prismas

rectangulares e triangulares nas zonas de camada limite e por tetraedros e pirâmides na zona

intermédia. O escoamento é simulado no programa comercial Fluent, onde são calculados

os parâmetros integrais que caracterizam o funcionamento da bomba radial. O algoritmo de

optimização usado é conhecido por Evolução Diferencial e permite de forma iterativa alterar a

geometria do rotor através da manipulação dos pontos de controlo das curvas de Bézier, com-

parar os valores integrais do escoamento e seleccionar a melhor geometria com base numa

função objectivo. Foi utilizado uma versão para execução paralela do algoritmo optimização.

A metodologia é testada numa bomba radial projectada com recurso à aproximação unidimen-

sional do escoamento. As variáveis de optmização usadas foram dois pontos de controlo que

definem a curvatura das pás e a função objectivo foi a uniformização do perfil de velocidades

à saída do rotor.

Palavras-chave: Turbomáquinas, Bomba radial, Mecânica dos fluidos computacional, Opti-

mização, Evolução diferencial.

iii

iv

Abstract

In the present dissertation an automatic algorithm which is capable of importing an existing

geometry, generate a computational mesh, compute the flow inside the rotor using a finite

volume commercial software and use a genetic optimization algorithm was developed. The

geometry is parametrically defined using Bézier curves that together with an conformal map,

allow the simulation of radial, axial and mixed flow turbomachines. The computational mesh

generated has hybrid construction, it uses rectangular and triangular prisms for the boundary

layer zones e tetrahedron and pyramids for the interior volume. The flow is simulated using the

commercial solver Fluent, in which the integral parameters that describe the pump performance

are calculated. The optimization algorithm is known as Differential Evolution and allows to

iteratively change the rotor geometry by manipulating the Bezier curves control points, compare

the integral parameters and to select the best geometry concerning an objective function. A

version for parallel execution of the optimization algorithm was used. The methodology was

tested in a radial pump impeller designed with the unidimensional approach. The optimization

variables used are two control points that define the blade curvature and the objective function

is the increase of the outlet flow uniformity.

Key-words: Turbomachinery, Radial pump, Computational fluid dynamics, Optimization, Dif-

ferential evolution.

v

vi

Índice

1 Introdução 1

1.1 Contexto, objectivos e abordagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Aspectos gerais de uma bomba radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Aspectos gerais de uma malha de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Malhas estruturadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2 Malhas multi-bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 Malhas não estruturadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4 Malhas híbridas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Algoritmo de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Mutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Cruzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.3 Selecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Geração da geometria 17

2.1 Conceitos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Curvas de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Splines cúbicos paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Método da bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Modelação do rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Parametrização da geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Geração da geometria tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Malha de cálculo 39

3.1 Bloco da pá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Blocos de camada limite dos pratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vii

3.3 Bloco intermédio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Modelação Numérica 51

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Equações de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Modelos de turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Método do Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.1 Acoplamento da pressão/densidade com o campo de velocidades . . . . 55

4.3.2 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Condições de operação e de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.1 Condição de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.2 Condição de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.3 Condições nas paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.4 Condições de periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Resultados Numéricos 61

5.1 Geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Visualização dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.2 Parâmetros de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Geometria optimizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1 Processo de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.2 Resultados da optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Conclusão 77

6.1 Considerações finais e trabalho futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

viii

Lista de Figuras

1.1 Corte axial do rotor de uma bomba radial [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Corte longitudinal de uma bomba radial [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Fluxograma do trabalho desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Representação esquemática da malha de cálculo gerada . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Plano meridional, adaptado de [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Plano radial, adaptado de [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Perdas de energia numa bomba radial [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Exemplo de uma malha estruturada 2D [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 Exemplo de malhas estruturadas [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Construção de uma malha multi-bloco [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.11 Estrutura Multibloco composto [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12 Exemplo de malhas não estruturadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.13 Discretização de uma camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.14 Exemplo de uma função objectivo bidimensional e o processo de geração de

vi ,G+1 [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.15 Exemplo de uma processo de cruzamento para D = 7 parâmetros [11] . . . . . . 16

2.1 Representação dos polinómios de Bernstein de grau n = 2 . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Representação de uma curva de Bézier de grau n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Exemplo de um spline cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Parameterização de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Distribuição de t com uma sucessão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Representação gráfica do método da bissecção [14] . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Representação gráfica do método de Newton [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Transformação de uma superficie de revolução numa cascata de pás . . . . . . 26

2.9 Conservação dos angulos na transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.10 Secção meridional (esquerda) e vista axial da linha média de uma pá (direita) . . 27

ix

2.11 Interpolação do canal meridional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.12 Extensão do canal meridional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.13 Secção meridional com os respectivos pontos de controlo . . . . . . . . . . . . . 31

2.14 Cascata de pás e respectivos pontos de controlo para a superfície hub . . . . . 32

2.15 Distribuição de espessura em função do comprimento da pá . . . . . . . . . . . 33

2.16 Representação tridimensional dos pratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.17 Representação da linha médida da pá no espaço tridimensional . . . . . . . . . 35

2.18 Pormenor do espaço entre p(s), a azul e o shroud . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.19 Pormenor da intersecção de p(s), a azul com o shroud . . . . . . . . . . . . . . 37

2.20 Representação do rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.21 Pormenor do bordo de ataque de uma pá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1 Discretização 2D para camada limite da pá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Discretização de uma camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Construção da malha 3D da pá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Conversão de um prisma rectangular em cinco prismas triangulares [18] . . . . . 43

3.5 Malha completa para o bloco da pá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Planificação da superfície shroud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Malha bidimensional no plano transformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8 Malha bidimensional no plano físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.9 Blocoshr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10 Corte do blocoshr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.11 Constução do bloco de malha não estruturada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.12 Discretização das restantes superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.13 Bloco intermédio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.14 Malha completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Cell-centered scheme (esquerda) e Vertex-centered scheme (direita) [29] . . . . 57

4.2 Malha do bloco de entrada no domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Malha do bloco de saída do domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Condição de fronteira periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Valor dos resíduos e de y+ para a geometria optimizada . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Velocidade relativa (m/s) no bordo de ataque da geometria inicial . . . . . . . . 63

5.3 Velocidade relativa (m/s) no bordo de fuga da geometria inicial . . . . . . . . . . 64

5.4 Velocidade relativa (m/s) no domínio completo da geometria inicial . . . . . . . . 64

x

5.5 Vectores de velocidade relativa (m/s) na zona crítica do lado de sucção da pá . 64

5.6 Rendimento hidráulico para o rotor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.7 Elevação para o rotor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.8 Coeficientes ψp,ψr e ψ da geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.9 Coeficientes ζ para a geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.10 Limite dos parâmetros de optimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.11 Valor dos resíduos de y+ para a geometria optimizada . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.12 Velocidade relativa no bordo de ataque da geometria optimizada, em m/s . . . . 72

5.13 Velocidade relativa no bordo de fuga da geometria optimzada, em m/s . . . . . 72

5.14 Velocidade relativa no domínio completo da geometria optimizada, em m/s . . . 73

5.15 Vectores de relativa na zona crítica da pá, em m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.16 Rendimento hidráulico para o rotor optimizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.17 Elevação para o rotor optimizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.18 Coeficientes ψp,ψr e ψ da geometria optimizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.19 Coeficientes ζ para a geometria optimizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.20 Comparação das perdas para as geometrias inicial e optimizada . . . . . . . . . 76

5.21 Comparação do rendimento hidráulico para as geometrias inicial e optimizada . 76

xi

xii

Lista de Tabelas

1.1 Variáveis geométricas de entrada no algoritmo desenvolvido . . . . . . . . . . . 9

1.2 Parâmetros de projecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.1 Coeficientes adimensionais para a geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Elevação (m) para a geometria inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Tabela comparativa de parâmetros obtidos pela aproximação unidimensional e

pela análise numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Valor da função objectivo inicial e final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.5 Coeficientes adimensionais para a geometria optimizada . . . . . . . . . . . . . 73

5.6 Comparação das perdas por mistura entre as geometrias inicial e optimizada . . 74

5.7 Comparação do rendimento hidráulico entre as geometrias inicial e optimizada . 74

xiii

xiv

Nomenclatura

Abreviaturas

1D = Aproximação unidimensional

CFD = Mecânica dos Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics)

DE = Evolução Diferencial (Diferential Evolution)

MVF = Método dos volumes finitos

NACA = National Advisory Comitee for Aeronautics

RANS = Reynolds-averaged Navier-Stokes equations

Símbolos romanos

b = Largura do canal meridional

D = Diâmetro

Er = Energia por unidade de massa fornecida pelo rotor ao escoamento

Ep = Energia por unidade de massa perdida pelo rotor

Fobj = Função objectivo do DE

g = Aceleração gravítica

G = Geração do DE

H = Altura de elevação

k = Energia cinética turbulenta

Pest = Pressão estática

Ptot = Pressão de estagnação

Q = Caudal

r = Coordenada radial

r , θ, z = Coordenadas cilíndricas

R = Polinómio de Bernstein

s = Comprimento local da curva (dimensional)

xv

t = Comprimento local da curva (adimensional, coordenada paramétrica)

U = Velocidade de transporte

V = Velocidade absoluta

W = Velocidade relativa

x , y , z = Coordenadas cartesianas

Z = Número de pás

Símbolos gregos

α = Ângulo do escoamento absoluto

β = Ângulo do escoamento relativo

β ′ = Ângulo da pá do rotor

β ′′ = Ângulo da pá do rotor no plano radial

∆ = Variação

ε = Dissipação turbulenta

ζ = Coeficiente de perdas no rotor

ζmst = Coeficiente de perdas por mistura

ζtot = Coeficiente de perdas total

ηm = Rendimento mecânico

ηh = Rendimento hidráulico

ηv = Rendimento volumétrico

φ = Fluxo genérico

µ = Viscosidade dinâmica

µt = Viscosidade turbulenta

ν = Viscosidade cinemática

ξ,η = Coordenadas no plano transformado

ρ = Massa volúmica

σ = Coeficiente de escorregamento

τ = Tensão de corte

Ω = Velocidade de rotação

xvi

Índices inferiores

0 = Secção de entrada do rotor

1 = Secção de saída do rotor

ba = Bordo de ataque das pás

bf = Bordo de fuga das pás

c = Corrigido

ger = Geratriz

hub = Prato hub

m = Meridional

r = Radial

shr = Prato shroud

t = Tangencial

xvii

Capítulo 1

Introdução

As bombas radiais são turbomáquinas usadas para o transporte de um fluido num

circuito hidráulico através do aumento da pressão total do escoamento. Os compo-

nentes fundamentais de uma bomba radial são: a caixa exterior com um bocal de

aspiração, o rotor, uma voluta, um veio de transmissão com a respectiva caixa de

rolamentos e um motor, ver Fig. 1.1 e 1.2.

O funcionamento de uma bomba pode ser descrito resumidamente pelos seguintes

processos: o fluido a ser bombeado entra, através do bocal de aspiração, para o rotor

que se encontra ligado pelo veio ao motor e é accionado por este; a transferência de

energia ocorre no rotor através da aceleração do fluido na direcção tangencial, em

que o aumento de pressão é provocado pela trajectória curvilínea das partículas do

fluido; à saída do rotor o fluido é recolhido por um difusor e/ou uma voluta cuja função

é desacelerar o fluido de modo a converter o máximo de energia cinética em pressão

estática; à saída da voluta encontra-se o bocal de descarga que liga a bomba ao

circuito hidráulico. A transferência de energia é baseada num processo hidrodinâmico

no qual a variação de pressão é proporcional ao quadrado da velocidade tangencial

do rotor.

Existem variantes da geometria apresentada nas Fig. 1.1 e 1.2, nomeadamente

em número e formato do rotor, do difusor e da voluta. Por apresentarem característi-

cas de funcionamento diferentes, as geometrias são sempre escolhidas em função da

aplicação. A dificuldade na análise e no projecto de uma bomba radial deve-se princi-

palmente à complexidade da geometria dos componentes, nos quais os escoamentos

apresentam fenómenos tridimensionais de difícil modelação, tais como turbulência,

separação, vorticidade, escoamentos secundários e escoamentos não permanentes.

1

Figura 1.1: Corte axial do rotor de uma bomba radial [1]

Figura 1.2: Corte longitudinal de uma bomba radial [1]

2

Inicialmente o projecto de uma bomba radial era baseado em modelos simplifica-

dos com correlações semi-empíricas em conjunto com a experiência do projectista e

num vasto número de ensaios experimentais. Com a era digital tornou-se possível a

aplicação de modelos matemáticos que permitem contabilizar os fenómenos comple-

xos, nomeadamente através de um ramo da engenharia designado por Computational

Fluid Dynamics (Mecânica dos Fluidos Computacional). O CFD consiste na utilização

de métodos numéricos para a resolução dos modelos matemáticos do escoamento de

fluidos e dos fenómenos de transporte associados, tais como transferência de quanti-

dade de movimento, calor e massa.

O aumento da capacidade de computação e de memória dos computadores, per-

mitiu o desenvolvimento do CFD, tornando-se hoje em dia uma ferramenta essencial

no desenvolvimento das mais variadas tecnologias em áreas como a industria aero-

espacial, naval, automóvel e petrolífera, entre outras.

O software de simulação em CFD tem um custo elevado, porém mais baixo do que

o de uma instalação experimental de qualidade. No entanto, o uso do CFD não dis-

pensa o uso de uma análise experimental. Assim, o procedimento seguido, em geral,

no projecto de uma bomba radial consiste em usar os métodos clássicos de projecto

para obter a geometria tipo para a aplicação pretendida, usar o CFD para analisar e

optimizar diversos parâmetros e validar experimentalmente um número reduzido dos

melhores resultados.

1.1 Contexto, objectivos e abordagem

Na presente dissertação apresenta-se o desenvolvimento de um algoritmo de cál-

culo capaz de proceder à análise e optimização do desempenho de uma bomba radial

existente. O trabalho desenvolvido surge em seguimento do conteúdo leccionado na

disciplina de Turbomáquinas do Instituto Superior Técnico, onde foi realizado o pro-

jecto de uma bomba radial seguindo os métodos clássicos de projecto. Pretendeu-se

desenvolver um algoritmo de cálculo automático capaz de analisar e optimizar, com

recurso a métodos de CFD, a geometria do rotor projectado. Procurou-se também,

que o algoritmo fosse genérico e robusto de modo a ser aplicável a outros tipos de

geometrias e servir de base para o desenvolvimento de trabalhos futuros.

O algoritmo parametriza a geometria do rotor, que pode ser radial, axial ou mista,

3

Gerador degeometria

Parâmetrosgeométricos

Importador degeometria

Critério deparagem

Geometriaoptimizada

Fluent

Gerador demalha

vmsh3D Gmsh

EvoluçãoDiferencial

Resultadosnuméricos

Algoritmo desenvolvido

Geometriainicial

Métodos clássicos

Parâmetros de projecto(H , Q, N)

Figura 1.3: Fluxograma do trabalho desenvolvido

gera uma malha de cálculo híbrida de tetraedros, pirâmides, prismas rectangulares e

triangulares, procede à análise do escoamento através de um software comercial de

volumes finitos e realiza a optimização da geometria com base num algoritmo genético

conhecido como Evolução Diferencial. A geometria inicial foi gerada com base nos

métodos clássicos de projecto de bombas radiais em função de três parâmetros de

funcionamento: altura de elevação, caudal e velocidade de rotação.

No presente trabalho procurou-se optimizar a distribuição da velocidade radial à

saida variando a distribuição da curvatura das pás. Pretendeu-se que as variáveis

de entrada do algoritmo fossem a geometria do rotor, as características da malha e os

parâmetros de configuração do sofware comercial e do algoritmo de optimização. Esta

abordagem torna possível a análise de um grande número de parâmetros geométricos

e a selecção da melhor geometria sem intervenção contínua de um utilizador.

Na Fig. 1.3 apresenta-se esquematicamente o algoritmo gerado. As caixas rectan-

gulares representam códigos desenvolvidos anteriormente. As caixas elípticas são as

4

bloco de camadalimite da pá

blocos de camada

limite dos pratos

pá

saída

entrada fronteiraperiódica

fronteiraperiódica

Figura 1.4: Representação esquemática da malha de cálculo gerada

etapas do processo desenvolvidas durante a presente dissertação: a traço cheio estão

representados códigos desenvolvidos na linguagem de programação Python 2.7 e a

traço interrompido os resultados intermédios mais relevantes, escritos em ficheiros de

texto.

1.2 Aspectos gerais de uma bomba radial

Na abordagem clássica do projecto de bombas radiais, a principal hipótese sig-

nificativa é considerar o escoamento no interior do rotor como unidimensional, isto

é, assume-se que as propriedades do escoamento são uniformes para uma secção

transversal do canal entre pás. Esta aproximação usada em conjunto com correla-

ções semi-empiricas permite estimar os diversos parâmetros de funcionamento e está

na base do método apresentado por [2]. Ao longo da presente dissertação, o mé-

todo de projecto será designado, por método clássico ou por método da aproximação

unidimensional.

A análise clássica é realizada em dois planos físicos representativos da geometria

do rotor, o plano meridional e o plano radial, apresentados nas Fig. 1.5 e Fig. 1.6.

Numa primeira fase há duas localizações do rotor importantes de analisar, a zona do

bordo de ataque e de fuga.

Durante o funcionamento de uma bomba radial, energia é fornecida ao rotor pelo

motor através do veio de rotação. No rotor é transferida ao escoamento através da

5

Figura 1.5: Plano meridional, adaptado de [1]

Figura 1.6: Plano radial, adaptado de [1]

6

conversão de energia mecânica em energia interna (pressão estática) e energia ci-

nética (velocidade). O processo é descrito pela equação de Euler, que provém da

aplicação do balanço da quantidade de momento angular entre as superfícies de en-

trada e de saída do rotor,

Er = U2Vt2 − U1Vt1, (1.1)

onde Er representa a quantidade de energia por unidade de massa de fluido fornecida

ao escoamento em condições ideais, isto é, sem perdas no processo. É possível

verificar que quanto maior for a velocidade tangencial à saída, maior será a energia

transferida ao fluido.

Supondo que número de pás do rotor fosse muito elevado, o canal formado levaria

a que as linhas de corrente saíssem do rotor com um ângulo β2 próximo do ângulo de

saída das pás β ′2. No entanto tal não é fisicamente possível, por isso um escoamento

real apresenta sempre uma deflexão incompleta das linhas de corrente. Esta diferença

é representada adimensionalmente pelo factor de escorregamento σ definido por

σ =Vt2

V ′t2(1.2)

Para se relacionar Er com a geometria do rotor usa-se o factor de escorregamento

obtido através de relações semi-empíricas, tendo sida usada a expressão desenvol-

vida por Pfleiderer para geometrias semelhantes à do presente trabalho, dada pela

eq. (1.3), em que Z representa o número de pás.

1σ= 1 + Ψ

(12D2

)2

ZS(1.3)

com

Ψ = 1.1 (1 + sinβ ′2)D1

D2(1.4)

S =D2

2 − D21

8(1.5)

Uma vez que o factor de escorregamento foi usado como parâmetro de projecto da

geometria inicial, será calculado pela definição para os resultados numéricos e será

um dos factores de validação dos mesmos através da comparação com a estimativa

apresentada por Pfleiderer usada na aproximação unidimensional.

A energia por unidade de peso que é efectivamente fornecida ao fluido é dada pela

altura de elevação H definida por

H =Ptot 2 − Ptot 1

ηhg(1.6)

7

Figura 1.7: Perdas de energia numa bomba radial [1]

Um parâmetro determinante na avaliação do desempenho de uma bomba radial é o

rendimento hidráulico que representa a eficiência do rotor na transferência de energia

mecânica para o fluido.

ηh =Er − Ep

Er(1.7)

As outras perdas que afectam o rendimento total de uma bomba são as perdas

mecânicas que contabilizam o efeito do atrito em componentes como rolamentos e

vedantes e as perdas volumétricas que representam a porção de fluido que atravessa

o rotor, mas que não chega à conduta de descarga. Assim o rendimento total é definido

por:

ηtotal = ηh ηv ηm (1.8)

Ep corresponde às perdas de energia no rotor por unidade de massa de fluido. Esta

perda pode decompôr-se em duas parcelas, uma é aproximadamente proporcional ao

quadrado do caudal e corresponde à perda ao longo dos canais, é do tipo perda de

carga em condutas fixas. A segunda parcela corresponde às perdas denominadas

perdas por choque, que ocorrem quando a direcção da velocidade relativa se afasta

consideravelmente da direcção das pás, originando separação da camada limite. A re-

ferência [1] apresenta vários tipos de perda que ocorrem numa bomba radial completa,

ver Fig. 1.7. Uma vez que a geometria inicial foi projectada para maximizar ηtotal para o

caudal nominal, devido à eq. 1.7, espera-se que o rendimento do rotor ηh ocorra para

um caudal diferente do de projecto. De acordo com o observado em [2], ηh máximo

deverá ocorrer para um caudal inferior ao nominal.

8

r [mm] β [] b [mm]

81.0 16.5 25.8

86.0 17.4 24.8

91.0 18.3 24.0

96.0 19.2 23.3

101.0 20.2 22.8

106.0 21.1 22.4

111.0 22.1 22.0

116.0 23.0 21.7

121.0 23.9 21.4

126.0 24.7 21.1

131.0 25.4 20.9

136.0 25.9 20.7

141.0 26.2 20.5

146.0 26.3 20.3

151.0 26.2 20.1

156.0 25.8 19.9

160.0 25.3 19.8

Tabela 1.1: Variáveis geométricas de entrada no algoritmo desenvolvido

Q [m3/s] H [m] Ω [rpm] ηv Z

0.047 30.0 1450 0.95 7

Tabela 1.2: Parâmetros de projecto

1.3 Geometria inicial

O algorítmo desenvolvido teve como variáveis de entrada a distribuição de curva-

tura da pá projectada no plano radial, β ′′ e a distribuição da largura do canal meridi-

onal, b, definidos em função do raio das pás, assim como o raio no bordo de ataque

(r1) e no bordo de fuga (r2), ver Tab. 1.1.

Na Tab. 1.2 estão representados os parâmetros de projecto que originaram a geo-

metria inicial. Note-se que o caudal usado no cálculo foi o caudal real do rotor dado

por Q ′ = ηvQ com ηv = 0.95. Outro parâmetro essencial na geração da malha de

cálculo foi o número de pás, que permitiu obter a localização das fronteiras peródicas.

9

1.4 Aspectos gerais de uma malha de cálculo

A utilização de métodos numéricos na resolução de equações diferenciais exige

que o domínio de cálculo seja discretizado. No presente trabalho foi usado o software

comercial Fluent que utiliza o Método dos Volumes Finitos (MVF). Este método requer

que a discretização se faça em pequenos volumes de controlo (células). De um modo

genérico, no domínio físico faz-se uma distribuição de nós aos quais correspondem os

vértices das células. As células são então definidas pelo polígono ou prisma formado

pelas linhas que unem os vértices. Ao conjunto das células dá-se o nome de malha de

cálculo. O modo como se define a ligação entre as células, dá-se o nome de estrutura

da malha.

1.4.1 Malhas estruturadas

Numa malha estruturada, a distribuição dos pontos faz-se exclusivamente através

da intersecção de duas ou três linhas consoante a dimensão do espaço físico, bidi-

mensional ou tridimensional respectivamente. A distribuição das linhas pelo espaço

físico, assim como a sua forma geral depende do tipo de malha que se quer construir.

Considere-se a Fig. 1.8 e os pontos vermelho e azul, designados respectivamente

por V e A. Cada ponto é definido pelas coordenadas xi ,j e yi ,j . Em que aos índices i , j

correspondem cada uma das linhas geradoras do ponto. Neste tipo de malha requer-

se que a distribuição das linhas seja tal que se a coordenada x do ponto V for dada

por xi ,j a coordenada x do ponto A é dada simplesmente por xi+6.

As malhas estruturadas têm como característica serem fáceis de construir para

geometrias simples quando comparadas com malhas não estruturadas. O cálculo de

um escoamento neste tipo de malhas, é também mais eficiente, uma vez que obter as

coordenadas de um ponto ou célula vizinha torna-se um problema trivial.

Na Fig. 1.8 está ilustrado o problema de, numa malha estruturada, controlar a con-

centração dos pontos no domínio de cálculo. Para a geometria apresentada é neces-

sário uma maior concentração de pontos junto aos vértices convexos, no entanto, com

esta estrutura e tipo, tal não é possível sem aumentar a concentração noutras zonas

do domínio.

Seguem-se exemplos de três tipos de malhas estruturadas usadas em calculo de

perfis, ver Fig. 1.9.

10

Figura 1.8: Exemplo de uma malha estruturada 2D [3]

(a) Tipo C (b) Tipo H (c) Tipo O

Figura 1.9: Exemplo de malhas estruturadas [3]

Em domínios bidimensionais, as células usadas são quadriláteros, no caso tridi-

mensional, são hexaedros ou prismas quadrangulares.

1.4.2 Malhas multi-bloco

O conceito subjacente à construção de malhas multi-bloco é o de dividir o domínio

físico em subdomínios onde se usa o tipo de malha e construção mais adequado

em função da geometria e das propriedades locais do escoamento. Na Fig. 1.10, a

referência [4] apresenta este tipo de abordagem, em que é usada uma combinação de

malhas tipo H para os blocos 1 e 3 e do tipo C para o bloco 2.

Existem vários métodos de ligação entre blocos que podem ser consultados em

[4]. No presente trabalho o método usado é designado por Multibloco composto. Neste

método as linhas da malha são contínuas através da fronteira dos blocos, ver Fig. 1.11.

O que significa, que não é necessário interpolar a solução do escoamento na fronteira

dos subdomínios.

11

Figura 1.10: Construção de uma malha multi-bloco [4]

Figura 1.11: Estrutura Multibloco composto [4]

1.4.3 Malhas não estruturadas

Nas malhas não estruturadas, nem os pontos, nem as células têm uma ordem de-

finida, isto é, não é possível saber à partida as coordenadas de um ponto vizinho a

partir dos índices. Não havendo nenhuma restrição quando à numeração dos pontos e

das células, um ponto genérico P1,0 não é necessariamente vizinho do ponto P2,0. Isto

significa que os pontos podem ser distribuídos pelo domínio de calculo de forma ale-

atória e posteriormente ajustados consoante a necessidade de uma maior ou menor

concentração em determinadas zonas.

Uma vez que não há uma estrutura na numeração dos nós e das células, torna-

se necessário definir uma topologia de malha e usar um algoritmo e uma estrutura

de dados que permita, para a célula, a identificação dos vértices constituintes e das

células vizinhas e, por fim, obter uma matriz de conectividade.

Segundo [3] e [5], a geração e o cálculo em malhas não estruturadas é mais exi-

12

(a) Elementos triangulares (b) Elementos tetraedricos

Figura 1.12: Exemplo de malhas não estruturadas

gente em termos de recursos computacionais quando comparado ao cálculo em ma-

lhas estruturadas. No entanto, segundo [3], o uso de malhas não estruturadas tornou-

se, ao longo dos últimos anos, no método mais usado em aplicações comerciais de-

vido à impossibilidade de gerar automaticamente malhas estruturadas em geometrias

arbitrárias. Tornou-se assim comum o uso de geradores de malha para este tipo de

problemas.

No presente trabalho usaram-se elementos triangulares e tetraédricos para malhas

bidimensionais e tridimensionais, respectivamente. A Fig. 1.12 mostra um exemplo de

cada um dos tipos de malha.

Para a geração de malhas bidimensionais, usou-se o programa vmesh2D que tem

como base o algoritmo de triangulação de Delaunay. Para uma compreensão do algo-

ritmo sugere-se a consulta de [5] e [6].

Para a geração de malhas tridimensionais usou-se o gerador de malha de distri-

buição livre Gmsh, que a partir de uma superfície fechada, previamente discretizada

com uma malha triangular, permite gerar uma malha tetraédrica no seu interior. O

algoritmo usado foi o Frontal Netgen, que pode ser consultado em [7] e [8].

1.4.4 Malhas híbridas

As malhas híbridas conjugam aspectos construtivos das malhas estruturadas e

não estruturadas e quando comparadas com estas, permitem melhorar a solução do

escoamento [4].

Considere-se, por exemplo, uma zona de camada-limite (Fig. 1.13). Para a discre-

tização deste tipo de zonas, existem várias abordagens e considerações presentes na

13

(a) Espaçamento uniforme em y [9] (b) Espaçamento não uniforme em y [9]

Figura 1.13: Discretização de uma camada limite

literatura. Em [10], Casey sugere o uso de prismas em detrimento de tetraedros. As

publicações [4] e [10] referem a influência de elementos distorcidos, isto é, para o caso

de se usarem prismas para discretizar uma zona de camada limite, deve-se procurar

que as geratrizes dos mesmos façam um ângulo de 90 com a superfície do corpo. Em

[10] refere-se a importância da simetria central dos elementos, no caso de uma dis-

cretização de um plano com triângulos, isto implica que devam ser aproximadamente

equiláteros.

Uma possível discretização para uma zona de camada limite pode ser obtida atra-

vés da construção de uma malha não estruturada triangular sobre a superfície física

do corpo e posteriormente realizar uma projecção dos elementos na direção perpendi-

cular à superfície. Obtém-se assim uma malha híbrida, na qual é usada uma constru-

ção não estruturada nos planos paralelos à superfície e uma construção estruturada

na direcção perpendicular à superfície. Segundo [10] esta abordagem confere maior

flexibilidade em discretizar geometrias complexas quando comparado com o uso de

malhas puramente estruturadas, no entanto mantém o requisito de controlar a distri-

buição de pontos na direcção de crescimento de camada limite.

1.5 Algoritmo de optimização

O problema de optimização foi resolvido usando uma versão paralela do algoritmo

genético de Evolução Diferencial (DE). O DE é um algoritmo genético de minimização

de uma função objectivo e que não usa o gradiente da mesma, o que o torna útil no

caso de funções que não são facilmente diferenciáveis e cujos extremos não possam

ser calculados [11]. O DE é um método que utiliza Np vectores de dimensão D de

14

parâmetros a optimizar como população para cada geração G (iteração do processo),

xi ,G, com i = 1, 2, 3, ..., NP. (1.9)

A população inicial é escolhida aleatoriamente com uma distribuição uniforme de

probabilidade a partir de um espaço definido previamente pelo utilizador onde se as-

sume estar a solução óptima para o problema, isto é, o vector de parâmetros que

minimiza a função objectivo.

De modo genérico o DE cruza e avalia vectores de parâmetros pertencentes a uma

população inserindo uma mutação nos valores durante o processo. Se o novo vector

resultar num valor mais baixo da função objectivo passa à geração seguinte para ser

comparado com novos indivíduos, seguindo um esquema de selecção natural dos

mais aptos de uma população, em que o critério de sobrevivência é dado pela função

objectivo.

Em cada geração, uma nova população é gerada usando três operações genéticas:

mutação, cruzamento e selecção. No contexto do presente trabalho, e tendo em conta

a utilização do DE apresentada em [13] segue-se a descrição destas operações.

1.5.1 Mutação

O algoritmo gera um novo vector de parâmetros adicionando uma diferença pon-

derada entre dois vectores da população a um terceiro vector da mesma.

Para cada vector alvo xi ,G, i = 1, 2, 3..., NP, o vector mutante é gerado de acordo

com

vi ,G+1 = xbest ,G + F (xr1,G + xr2,G), (1.10)

em que best é o vector da geração G com o menor valor da função objectivo, r1 e

r2 ∈ 1, 2, ..., NP e são mutualemnte diferentes entre si e do índice i , F ∈ [0, 2] e é uma

constante real que controla a amplificação da variação diferencial. Este operação está

representada esquematicamente na Fig. 1.14.

1.5.2 Cruzamento

Os parâmetros do vector mutante vi ,G+1 são combinados com outro vector, desig-

nado por alvo xi ,G, numa operação chamada de cruzamento, resultando no vector de

teste ui ,G+1. Ver Fig. 1.15.

15

Figura 1.14: Exemplo de uma função objectivo bidimensional e o processo de geração de

vi ,G+1 [11]

Figura 1.15: Exemplo de uma processo de cruzamento para D = 7 parâmetros [11]

uji ,G+1 =

vji ,G+1 se randb(j) 6 CR ou j = rnbr(i)

xji ,G se randb(j) > CR e j 6= rnbr(i)

j = 1, 2, 3, ..., D

(1.11)

em que randb(j) é o valor resultante de um gerador aletório de números ∈ [0, 1],

CR é uma constante ∈ [0, 1] definida pelo utilizador e rnbr(i) é um indice aleatório

∈ 1, 2, ..., D.

1.5.3 Selecção

Se o vector de teste u conduzir a um valor da função objectivo inferior à do vector

alvo x , substitui-o na geração seguinte. Todos os vectores da população são usados

como vector alvo, assim por cada geração há NP comparações. O processo repete-se

durante um número de iterações definido pelo utilizador, ou até um determinado valor

da função objectivo ter sido atingida.

16

Capítulo 2

Geração da geometria

O presente capítulo tem como objectivo definir a geometria do rotor de forma para-

métrica de modo a poder modificar de forma automática os parâmetros de controlo no

algoritmo genético de optimização. Usaram-se curvas de Bézier para definir a geome-

tria a partir de pontos de controlo e splines paramétricos para alterar a discretização

das linhas e controlar a distribuição dos pontos da malha de cálculo. Para calcular

intersecções entre superfícies recorreu-se ao método de Newton em conjunto com

o método da bissecção. Em primeiro lugar introduzem-se os conceitos matemáticos

mais relevantes para este capítulo. De seguida descreve-se a metodologia usada para

gerar uma geometria genérica e como adaptar essa geometria a um rotor existente.

2.1 Conceitos matemáticos

2.1.1 Curvas de Bézier

As curvas de Bézier são curvas paramétricas usadas em várias áreas, nomeada-

mente em computação gráfica e no design automóvel, pois permitem a construção de

curvas suaves, isto é, com controlo sobre as variações da primeira e segunda deri-

vada.

As curvas são polinomiais de grau n, geradas a partir de n + 1 pontos de controlo

e para um espaço tri-dimensional definem-se de acordo com as seguintes equações

x(t) = x0B0,n(t) + x1B1,n(t) + x2B2,n(t) + ... + xnBn,n(t)

y(t) = y0B0,n(t) + y1B1,n(t) + y2B2,n(t) + ... + ynBn,n(t)

z(t) = z0B0,n(t) + z1B1,n(t) + z2B2,n(t) + ... + znBn,n(t)

(2.1)

17

em que cada coeficiente xi , yi e zi correspondem ás coordenadas dos pontos de con-

trolo i e cada um dos termos Bi ,n(t) correspondem um polinómio de Bernstein de grau

n. Em notação vectorial tem-se

R(t) = R0B0,n(t) +R1B1,n(t) +R2B2,n(t) + ... +RnBn,n(t) (2.2)

R(t) =n∑

i=0

RiBi ,n(t) (2.3)

Os polinómios de Bernstein definem-se de acordo com [12]

Bni (t) =

(ni

)t i(1 − t)n−i (2.4)

onde (ni

)=

n!

i !(n − i)!, if 0 6 i 6 n,

0, de outro modo.(2.5)

As propriedades mais relevantes dos polinómios de Bernstein são [12]:

• são positivos no domínio considerado: Bi ,n(t) > 0 em 0 6 t 6 1;

• são a partição da unidade:∑n

i=0 Bi ,n(t) = [(1 − t) + t ]n = 1 (pelo teorema do

binómio de Newton);

• o polinómio i da base é simétrico em relação ao polinómio n − i em t = 0.5:

Bni = Bm

n−i(1 − t).

Na prática uma curva de Bézier aproxima de forma suave o polígono formado pelos

pontos de controlo através de uma interpolação ponderada pelos polinómios de Berns-

tein. A cada ponto de controlo corresponde um polinómio cujo peso na interpolação

depende do parâmetro t, ver Figura 2.1

Considere-se uma curva de Bézier de grau n = 2. Para definir esta cuva são ne-

cessários três pontos de controlo (R0, R1, R2) ponderados com três polinómios (B20 , B2

1

e B22). Obtem-se assim a seguinte expressão

r(t) = (1 − t)2 r0 + 2t(1 − t) r1 + t2 r2 (2.6)

Concretizando para um espaço bidimênsional vem

x(t) = (1 − t)2 x0 + 2t(1 − t) x1 + t2 x2

y(t) = (1 − t)2 y0 + 2t(1 − t) y1 + t2 y2,(2.7)

18

Figura 2.1: Representação dos polinómios de Bernstein de grau n = 2

Figura 2.2: Representação de uma curva de Bézier de grau n = 2

em que xi e yi são respectivamente as coordenadas x e y do ponto de controlo i , t é o

parâmetro adimensional da curva, portanto t ∈ [0, 1]. Um exemplo deste tipo de curva

encontra-se representado na Figura 2.2.

Apresentam-se agora algumas propriedades das curvas de Bézier importantes

para o presente trabalho:

• Condições geométricas nos extremos — o primeiro ponto r0 e o último rn são,

respectivamente, os pontos de origem e chegada da curva, r(0) = r0 e r(1) =

rn. Nestes pontos a curva é tangente ao segmento de recta que une os dois

primeiros e os dois últimos pontos de controlo, r(0) = n(r1 − r2) e r(1) = n(rn −

rn−1);

19

Figura 2.3: Exemplo de um spline cúbico

• Condições de simetria — se os pontos de controlo forem simétricos em relação a

um eixo de simetria, a curva de Bézier resultante também é simétrica em relação

a esse eixo;

• Compatibilidade com transformações afins — a forma da curva de Bézier mantém-

se quando os pontos de controlo sofrem uma transformação afim, como por

exemplo, rotação e translação. Isto é, os dois processos referidos em seguida

resultam na mesma curva final. (1) Calcular a curva r(t) a partir dos pontos ri e

aplicar uma transformação afim. (2) Aplicar a transformação afim aos pontos ri e

calcular a curva r(t). Note-se que do ponto de vista computacional, a opção (2)

é mais eficiente, uma vez que número de pontos ri é menor do que o número de

pontos r(t).

• Fecho convexo — a curva de Bézier aproxima o polígono formado pelos pontos

de controlo, há exepção do ponto inicial e final. O que significa que se dois polí-

gonos de duas curvas não se intersectam, o mesmo se verifica para as curvas.

No entanto, caso se intersectem, não é garantido que as curvas o façam.

2.1.2 Splines cúbicos paramétricos

Os splines cúbicos foram usados para interpolar curvas para as quais se conhecem

um determinado conjunto de pontos, ver Fig. 2.3. Por serem paramétricos, permitem

obter cada uma das coordenadas x e y em função do comprimento local da curva

20

Figura 2.4: Parameterização de uma curva

adimensionalizado pelo comprimento total, t ∈ [0, 1], ver eq. (2.8) e Fig. 2.3

y(x) =

x(t)

y(t)(2.8)

Do ponto de vista matemático, os splines são curvas paramétricas, cúbicas, com-

postas e com continuidade C1. Cada troço i = 1, 2, ..., N é interpolado com um polinó-

mio de terceiro grau, assim para o spline completo tem-se um sistema de N equações

e 4N incógnitas.

X (t) =

A1 + B1 t + C1 t2 + D1 t3

A2 + B2 t + C2 t2 + D2 t3

...

AN + BN t + CN t2 + DN t3

(2.9)

A continuidade C1 é imposta pelas condições de fronteira. Para cada troço interior i do

spline, nos pontos das duas extremidades X (ti ,j), em que j identifica o ponto do troço,

tem-se:

X (ti ,2) = X (ti+1,1)

X ′(ti ,2) = X ′(ti+1,1)(2.10)

21

Figura 2.5: Distribuição de t com uma sucessão geométrica

Na extermidade do spline as condições de fronteira são:

X (t0,0) = X0

X ′′(t0,0) = 0

X (tN,2) = XN

X ′′(tN,2) = 0

(2.11)

O facto de serem curvas paramétricas, permitiu usar os splines paramétricos para

interpolar funções não unívocas e alterar a discretização de várias curvas obtidas

pelos polinómios de Bézier, como ilustrado na Fig. 2.5 em que se recorreu a uma

sucessão geométrica para distribuir t no intervalo [0, 1]. Esta propriedade foi usada

para alterar o número de pontos e distribuição dos mesmos nas linhas da malha de

cálculo.

2.1.3 Método da bissecção

O método da bissecção foi usado em conjunto com o método de Newton e permite

encontrar a raiz de uma equação escrita na forma f (x) = 0 e tem como base o Te-

orema do Valor Intermédio. Este teorema postula que para uma função em que f (x)

com x ∈ [a, b], em que f (a) e f (b) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz no

intervalo, f (p) = 0, com p ∈ [a, b].

Seja a1 = a, b1 = b e p1 o ponto médio do intervalo tal que:

p1 =a1 + b1

2(2.12)

22

Figura 2.6: Representação gráfica do método da bissecção [14]

De seguida calcula-se f (p1), podendo acontecer três casos:

• Caso 1: Se f (p1) = 0, encontrou-se a solução. p = p1. Se f (p1) 6= 0, então tem o

mesmo sinal ou de f (a1) ou de f (a2).

• Caso 2: Se f (p1) e f (a1) têm o mesmo sinal, então a p ∈ [a1, p1]

• Caso 3: Se f (p1) e f (b1) têm o mesmo sinal, então a p ∈ [p1, b1]

Supondo que se verifica o caso 2, na iteração seguinte vem:

p2 =a1 + p1

2. (2.13)

Calcula-se, então, f (p2) e repete-se o processo até se atingir o Caso 1, um número

máximo de iterações ou um determinado critério de convergência, por exemplo:

|pi − pi−1|

|pi |< ε, pi 6= 0, (2.14)

em que ε é a tolerância máxima admitida para a solução.

O método da bissecção, apesar de ser facilmente implementável, pode tornar-se

lento a convergir para a solução (convergência linear), isto é, necessita de um elevado

número de iterações para atingir o critério de paragem. No entanto, é garantido que

converge para a solução e, como tal, é um bom método para estimar uma solução

inicial para outros métodos mais rápidos [14].

23

2.1.4 Método de Newton

Tal como o método da bissecção, o método de Newton permite obter a raiz de

uma equação escrita na forma f (x) = 0 e foi usado para calcular a intersecção de

superfícies. É um método que tem convergência quadrática. No entanto, apresenta

a desvantagem de ser necessário calcular f ′(x). Para entender o melhor o conceito

de convergência e as diferenças para os vários métodos disponíveis para o cálculo de

raizes de equações, aconselha-se a consulta de [14].

Considere-se uma função f (x) em que f ∈ C2[a, b]. Seja p0 ∈ [a, b] uma aproxima-

ção para p em que f (p) = 0, f ′(p0) 6= 0 e |p − p0| é "pequeno". Considere-se ainda a

expansão em série de Taylor a partir de p0:

f (x) = f (p0) +(x − p0)

1!f ′(p0) +

(x − p0)2

2!f ′′(p0) + ... +

(x − p0)n

n!f (n)(p0) (2.15)

f (x) =∞∑

n=0

f n(p)n!

(x − p)n (2.16)

Para a dedução do método de Newton assume-se que |p − p0| é baixo o suficiente

para que se possa desprezar os termos da eq. (2.16) para n > 2. Como tal, e tendo

em conta que se pretende resolver f (x) = 0 tem-se

0 ≈ f (p0) + (x − p0)f ′(p0) (2.17)

resolvendo em ordem a x vem

x ≈ p0 −f (p0)

f ′(p0)(2.18)

A partir da equação (2.17) é possivel calcular iterativamente x tal que x = p em

que f (p) = 0. Assim, tem-se

pn = pn−1 −f (pn−1)

f ′(pn−1)para n > 1 (2.19)

Na Figura 2.7 mostra-se a representação gráfica do método de Newton. Uma das

dificuldades deste método é o de necessitar de uma boa estimativa inicial para que se

possa verificar a equação (2.17), caso contrário, o método não converge. Para resolver

este problema, pode-se usar o método da bissecção mostrado na secção 2.1.3.

O método de Newton pode também ser usado para resolver sistemas de equações

não lineares. [14] apresenta a dedução do método a partir do método do ponto fixo.

No presente texto faz-se a dedução a partir do método de Newton aplicado a uma

equação. No entanto, em ambos os casos obtém-se o mesmo algoritmo.

24

Figura 2.7: Representação gráfica do método de Newton [14]

Considere-se o seguinte sistema de n equações e n incógnitas

f1(p1, p2, ..., pn) = 0

f2(p1, p2, ..., pn) = 0

...

fn(p1, p2, ..., pn) = 0

(2.20)

Considerando p = (p1, p2, ..., pn) como o vector da solução do sistema e f =

(f1, f2, ..., fn), pode-se reescrever o sistema (2.17) na forma

f (p) = 0, (2.21)

Aplicando a expansão em série de Taylor, tal como nas equações (2.15) e (2.16), a

partir de uma estimativa inicial p0, obtém-se

0 ≈ f (p0) + (p − p0)Df (p0), (2.22)

em que Df (v0) é o jacobiano da matriz f (v)

Df (v0) =

∂f1∂v1

(v0)∂f1∂v2

(v0) ... ∂f1∂vn

(v0)

∂f2∂v1

(v0)∂f2∂v2

(v0) ... ∂f2∂vn

(v0)

... ... ... ...∂fn∂v1

(v0)∂fn∂v2

(v0) ... ∂fn∂vn

(v0)

(2.23)

Tem-se agora um sistema de equações que pode ser resolvido iterativamente.

∆pi = pi − pi−1 (2.24)

25

Figura 2.8: Transformação de uma superficie de revolução numa cascata de pás

Pode reescrever-se (2.22)

Df (pi−1)∆pi = −f (pi−1) (2.25)

Os critérios de paragem a usar, podem ser os mesmos do método da bissecção.

Para cada iteração i resolve-se o sistema em ordem a ∆pi e calcula-se pi de acordo

com (2.24). Os critérios de paragem a usar, são os mesmos do método da bissecção:

ou é atingido o número limite de iterações ou se verifica (2.14).

2.2 Modelação do rotor

2.2.1 Parametrização da geometria inicial

Na presente secção mostra-se como gerar a geometria parameterizada do rotor

obtido pela aproximação unidimensional e obter um conjunto de pontos de controlo

que podem ser escritos, por exemplo, num ficheiro de texto para serem manipulados

manualmente ou por um algoritmo de optimização.

Considere-se uma transformação apresentada em [15] e ilustrada na Figura 2.8

que permite, a partir de uma superfície de revolução de um rotor, obter um plano que

contém a respectiva cascata de pás:dξ =dsr

dη = dθ(2.26)

em que ξ e η são as coordenadas no plano transformado. r e s são, respectivamente,

o raio local e a comprimento local da geratriz da superfície e γ é o angulo local da

geratriz com o eixo de revolução.

26

Figura 2.9: Conservação dos angulos na transformação

Figura 2.10: Secção meridional (esquerda) e vista axial da linha média de uma pá (direita)

Verifica-se que a transformação é conforme uma vez que

dξdη

=dsrdθ

(2.27)

o que permite calcular dη a partir da distribuição de curvatura da linha média da pá

(β ′) tendo em conta a seguinte equação (ver Figura 2.10):

dθ =ds

r tanβ ′(2.28)

Obtém-se, assim, a seguintes expressões para calcular a cascata de pás a partir

de uma superficie de revolução:

ξpa(s) =∫ sbf

sba

dsrpa(s)

+ ξ0 pa, (2.29)

ηpa(s) =∫ sba

sbf

dsr(s) tan(β ′(s))

+ η0 pa, (2.30)

27

em que sba e sbf são o comprimento local s da geratriz no bordo de ataque e de fuga

respectivamente. Note-se que a formulação das equações (2.29) e (2.30) é genérica e

permite a transformação de geometrias axiais, radiais e mistas, desde que se conheça

a geometria das superficies de revolução (z(s) e r(s)), a curvatura das pás (β ′(s)) e a

localização da mesmas sobre as superficies (s0 = sba, s1 = sbf e r(s)).

Considere-se a geometria obtida pelos métodos clássicos. Com a transformação

(2.26) é agora possivel gerar a geometria tridimensional do rotor. Uma vez que se usou

uma aproximação unidimensional, os parâmetros calculados para a curvatura das pás

são válidos para todas as superficies de revolução do rotor. Como tal, consideraram-

se duas superficies, as dos dois pratos que limitam o rotor, designadas por hub e

shroud (fint e fext na Fig. 2.10).

Na secção 2.2.2 mostra-se que a obtenção dos dos pontos intermédios entre as

duas superfícies foi obtida por interpolação linear. Começando pela definição do ca-

nal, recorde-se a, onde se apresentou a distribuição da largura do canal (bpa i) em

função do raio (rpa i) na zona de implantação das pás (designada aqui com o sufixo

pa). Considerou-se a geratriz do hub perfeitamente radial na zona de implantação e

assumiu-se uma coordenada axial (z) para o hub. As coordenadas r e z para o hub

foram obtidas da seguinte forma (ver Fig.2.11)

zi pa hub = constante

ri pa hub = ri

zi pa shr = zi pa hub + bi

ri pa shr = ri

(2.31)

A forma parameterizada das eq.(2.31) foi obtida passando um spline interpolador

pelos pontos zi pa hub, ri pa hub, zi pa shr e ri pa shr sem alterar a discretização dos mesmos.

Isto é:

s0 = 0

si = si−1 + ∆si , i > 0,(2.32)

em que para cada uma das zonas de implantação definiu-se um ∆i diferente de acordo

com:

∆si =√

(zi − zi−1)2 + (ri − ri−1)2 (2.33)

Tendo em conta que a aproximação unidimensional não contabiliza a espessura

das pás, foi necessário prolongar a geratriz dos dois pratos. Adicionaram-se duas

28

Figura 2.11: Interpolação do canal meridional

curvas de Bézier com continuidade tangencial às curvas já existentes tendo o cuidado

de manter a área de secção constante (Figura 2.12).

À união do spline interpolador da zona de implantação com os dos dois prolonga-

mentos, deu se o nome de zger (s) e rger (s) e correspondem às geratrizes dos pratos.

Posteriormente aproximaram-se as geratrizes com curvas de Bézier, a fim de se obte-

rem os respectivos pontos de controlo. Ver Fig. 2.13

Assim obteveram-se duas curvas paramétricas (para cada geratriz) diferentes e

necessárias para os calculos do presente trabalho:

• zger (s) e rger (s) ver Fig. 2.13 ;

• zpa(s) e rpa(s) ver Fig. 2.11;

A coordenada sa foi obtida calculando comprimento da curva de Bézier da entrada,

sf foi obtida somando sa ao comprimento do spline da zona intermédia.

Para aplicar a transformação (2.29) é necessário ainda obter r(s) e β ′(s), o que

pode ser feito facilmente a partir do método da aproximação unidimensional. A curva

r(s) obtém-se passando um spline paramétrico pelos dados obtidos sem alterar a

discretização da coordenada s.

A distribuição do ângulo β ′′ que está relacionado com β ′ de acordo com a seguinte

equação (ver Fig. 2.10):

tanβ ′(s) =tanβ ′′(s)cos ε(s)

(2.34)

29

Figura 2.12: Extensão do canal meridional

com

tan ε(s) =dzds

(drds

)−1

(2.35)

Mais uma vez, β ′′(s) foi obtido passando um spline paramétrico nos dados obtidos

sem alterar a discretização.

Falta agora calcular os valores iniciais η0 e ξ0. Quanto ao primeiro, considera-se

que o bordo de ataque da pá se encontra em θ = 0, como tal, assume-se η0 = 0. Para

calcular ξ0, aplicou-se a eq. (2.29) à curva de Bézier de entrada do canal. Note-se que

apenas as quantidades β ′′(s) e r(s) são iguais para a superficie do rotor e do shroud,

todas as outras têm de ser calculadas para as duas superficies.

A Fig. 2.14 mostra o resultado da tranformação conforme para a cascata de pás do

hub. Como seria de esperar, devido à pouca diferença entre o comprimento das duas

geratrizes, as duas cascatas apresentam valores de ξ(s) muito próximos. Torna-se

então desnecessário a apresentaçao das duas figuras neste texto.

O método clássico seguido permite calcular uma espessura uniforme para as pás,

mas não sugere nenhuma abordagem para definir o perfil das mesmas. No presente

trabalho optou-se por definir a espessura recorrendo a uma metodologia semelhante

à usada para os perfis NACA da série de 4 dígitos, em que se define uma função de

distribuição de espessura (ver [16]). Neste caso usou-se a nomenclatura t(s), em que

s corresponde à posição sobre a linha média e t(s) a espessura.

A distribuição t(s) foi também definida através de curvas de Bézier com uma forma

30

Figura 2.13: Secção meridional com os respectivos pontos de controlo

aproximadamente elíptica quer para o bordo de ataque, quer para o de fuga. Segue-se

o procedimento usado.

Considere-se a linha média da pá, cujo comprimento adimensional é definido por

sadim e uma distribuição de espessura definida paramétricamente em função de sadim,

ts adim.

Multiplicando o vector t(sadim) pelo comprimento m da pá, já calculado, obtém-se o

vector t(s), em que s é o comprimento dimensional.

Como não se partiu de nenhuma geometria já existente, o vector t(sadim) pode ser

construido directamente manipulando os pontos de controlo de uma curva de Bézier.

Como a forma deste tipo de curvas não se altera com uma transformação afim, para

se obter t(s), basta multiplicar os pontos de controlo pelo comprimento da linha média

ja obtido. Ver Fig. 2.15.

Com o procedimento seguido nesta secção foi possivél definir completamente a

geometria da bomba através de pontos de controlo em planos bi-dimensionais, o que

permite que se altere facilmente a geometria manipulando as coordenadas dos pontos

de controlo.

A geração da geometria tridimensional, será explicada em detalhe na secção 2.2.2.

No entanto é relevante nesta altura referir que nessa secção será necessário aplicar a

transformação da eq. (2.26) para obter s(ξ) e θ(η):

s(ξ) =∫ξ1

ξ0

rdξ+ s0 (2.36)

31

[t]

Figura 2.14: Cascata de pás e respectivos pontos de controlo para a superfície hub

θ(η) =

∫η1

η0

dη+ θ0 (2.37)

Assim como parâmetro gerador da geometria, é necessária também a coordenada

so para a definição das pás. Assume-se θ0 = 0.

As coordenadas dos pontos de controlo foram escritas em ficheiros de texto de

modo a poderem ser facilmente acedidas por um algoritmo de optimização ou gerador

de geometria. Tem-se então os seguintes vectores para as coordenadas dos pontos

de controlo.

Pratos, plano (z, r):

• zi ctrl hub ≡ coordenadas z dos pontos i para o hub;

• ri ctrl hub ≡ coordenadas r dos pontos i para o hub;

• zi ctrl shr ≡ coordenadas z dos pontos i para o shr;

• ri ctrl shr ≡ coordenadas r dos pontos i para o shr;

Linha média da pá, plano (η, ξ):

• ηctrl i hub ≡ coordenadas η dos pontos i para o hub;

• ξctrl i hub ≡ coordenadas ξ dos pontos i para o hub;

• ηctrl i shr ≡ coordenadas η dos pontos i para o shr;

32

Figura 2.15: Distribuição de espessura em função do comprimento da pá

• ξctrl i shr ≡ coordenadas ξ dos pontos i para o shr;

Espessura da pá, plano (s, t):

• sctrl i hub ≡ coordenadas s dos pontos i para o hub;

• tctrl i hub ≡ coordenadas t dos pontos i para o hub;

• sctrl i shr ≡ coordenadas s dos pontos i para o shr;

• tctrl i shr ≡ coordenadas t dos pontos i para o shr;

Note-se ainda que ao invés de se partir de uma geometria já existente, poderia

ter-se manipulado manualmente e de forma intuitiva os pontos de controlo para gerar

qualquer tipo de geometria (axial, radial ou mista), uma vez que não há restrições

quanto à orientação das geratrizes dos pratos.

33

2.2.2 Geração da geometria tridimensional

Na presente secção mostra-se como a partir do conjunto de pontos de controlo

calculados na secção 2.2.1 se obtém a geometria tridimensional do rotor para posterior

construção da malha de cálculo.

O objectivo foi o de obter em coordenadas cilindricas (z, r , θ) a forma exterior das

pás e as superficies dos pratos, hub e shroud.

Considerem-se as geratrizes dos pratos zger (s) e rger (s). A representação tridimen-

sional pode ser facilmente obtida através da seguinte de rotaçãoxij

yij

zij

=

cos θj − sin θj 0

sin θj cos θj 0

0 0 1

xger i

yger i

zger i

(2.38)

com

θi =2πn

i (2.39)

xger i = rger i

yger i = 0

zger i = zger i

(2.40)

Figura 2.16: Representação tridimensional dos pratos

Recorde-se a secção 2.2.1 e as equações (2.26), (2.36) e (2.37). Estas expressões

permitem obter spa e θpa.

34

Figura 2.17: Representação da linha médida da pá no espaço tridimensional

Uma vez que se têm as curvas geratrizes dos pratos parameterizadas em função

de s, obter zpa e rpa da linha média, consiste apenas em calcular

zpa i = zger i(spa i)

rpa i = rger i(spa i)(2.41)

Transformando as coordenadas cilíndricas em cartesianas tem-se:

xpa i = rpa i sin(θpa i)

ypa i = rpa i cos(θpa i)

zpa i = zpa i

(2.42)

Considere-se a Figura 2.17 e os vectores vermelho, verde e amarelo, designados

respectivamente por vr , vg e va definidos para cada ponto da linha média.

vr é o vector tangente à linha média:

vr i =

vr x i = xi − xi−1 , com i 6= 0

vr y i = yi − yi−1 , com i 6= 0

vr z i = zi − zi−1 , com i 6= 0

(2.43)

vg é o vector localmente perpendicular à superficie de revolução:

vg r i = −dzi

dsi(2.44)

vg i =

vg x i = vg r i sin θi

vg y i = vg r i cos θi

vg z i =dri

dsi

(2.45)

35

Figura 2.18: Pormenor do espaço entre p(s), a azul e o shroud

va é um vector perpendicular aos anteriores que resulta do seguinte produto ex-

terno:

va = vr × vg (2.46)

Seja p(s) o contorno da pá no lado concavo e u(s) o contorno da pá no lado con-

vexo, ambos definidos em coordenadas cartesianas.

pi = (px i , py i , pz i) (2.47)

ui = (ux i , uy i , uz i) (2.48)

Para obter p(s) e u(s) distribuiu-se a espessura t(s), gerada na secção 2.2.1, se-

gundo a direcção de va.

pi = mpa,i + ti va i (2.49)

ui = mpa,i − ti va i (2.50)

Com este método garante-se que a espessura da pá no plano real é a definida no

plano (s, t), mas os contornos pi e ui não são coincidentes com as superficies de

revolução, ver Fig. 2.18. Como tal, foi necessário calcular a interseção das pás com

as superfícies do hub e do shroud. Sejam X , Y e Z as coordenadas dos pontos de

intersecção, como pertencem às superfícies de revolução são definidos por:

X (s, θ) = r(s) sin(θ)

Y (s, θ) = r(s) cos(θ)

Z (s) = z(s)

(2.51)

36

Figura 2.19: Pormenor da intersecção de p(s), a azul com o shroud

Tendo em conta que o objectivo é obter os pontos intermédios das pás por interpo-

lação linear entre o hub e shroud, ou seja,

x(t) = xhub + t(xhub − xshr )

y(t) = yhub + t(yhub − yshr )

z(t) = zhub + t(zhub − zshr )

(2.52)

pode-se usar uma interpolação linear para "estender"os contornos da pá para além

de p(s) e u(s) (t > 1 ou t < 0) e intersectar a superfície do hub e do shroud. Assim

o problema da intersecção resume-se a resolver o seguinte sistema de equações não

lineares de três equações e três incógnitas (t , s, θ).X (s, θ) = x(t)

X (s, θ) = y(t)

Z (s) = z(t)

(2.53)

Combinando as eq. (2.51) e (2.52) obtém-se:r(s) sin(θ) = xhub + t(xhub − xshroud)

r(s) cos(θ) = yhub + t(yhub − yshroud)

z(s) = zhub + t(zhub − zshroud)

(2.54)

O sistema de equações (2.52) foi resolvido com o método de Newton apresentado

na secção 2.1.4 e o resultado está ilustrado na Fig. 2.19.

37

Figura 2.20: Representação do rotor

Figura 2.21: Pormenor do bordo de ataque de uma pá

38

Capítulo 3

Malha de cálculo

O presente capítulo tem como objectivo demonstrar as operações fundamentais

realizadas pelo gerador de malha que lhe conferem versatilidade e o tornam adequado

para gerar a malha requerida .

O domínio de cálculo foi separado em três blocos de malha principais do tipo mul-

tibloco composto. Criou-se um bloco para a rotor (blocorot), um para o escoamento

de aproximação (blocoapr) e um para a esteira (blocoest). A necessidade da utiliza-

ção dos dois blocos adicionais será explicada no capítulo de modelação numérica.

Note-se que o número de elementos usados no processo de cálculo foi superior aos

apresentados nas figuras do presente capítulo.

Cada um destes blocos foram por sua vez compostos por sub-blocos, também com

a construção multibloco composto.

O blocorot foi constituído por:

• blocopá – malha para a zona de camada limite da pá;

• blocohub – malha para a zona de camada limite do hub;

• blocoshr – malha para a zona de camada limite do shroud ;

• blocotet – malha para a intermédia entre as fronteiras do domínio e as zonas de

camada limite;

Excluiu-se do presente texto uma descrição detalhada da construção dos blocos

de aproximação e de esteira, uma vez que metodologia seguida foi a do blocorotor, á

excepcão de não se construir o sub-bloco blocopá.

Uma vez que o escoamento na roda é periódico, e com o objectivo de optimizar os

recursos computacionais existentes, optou-se por construir uma malha apenas para

39

um canal cujas fronteiras são: a entrada e a saída do rotor e dois planos médios de

dois canais entre pás consecutivos. No capítulo de modelação numérica é explicado

como a aplicação das condições de fronteira correctas permite obter resultados válidos

para o rotor completo.

3.1 Bloco da pá

Para o bloco da pá foi definida uma malha estruturada do tipo O de modo a conta-

bilizar os efeitos de camada limite. O processo de construção é semelhante ao usado

na geração do contorno da pá a partir da linha média e usou vários conceitos mate-

máticos apresentadas no Capítulo 1.

Considere-se o contorno da pá p(s) e u(s) definidos na secção Geração da ge-

ometria tridimensional para a superfície hub e shroud (contorno interior das Figuras

3.1a, 3.1b e 3.1a). Começou por se criar um spline periódico cnt(u) com os pontos

de p(s) e u(s), em que s é o comprimento local do contorno. De seguida, usaram-

se as propriedades dos splines paramétricos e o algoritmo apresentado em [17] para

distribuir s de acordo com a curvatura local da pá.

Considere-se a Fig. 3.1 onde se encontram representados o contorno da pá na

superfície shroud e os vectores vermelho (vv ), verde (vg) e amarelo (va):

• vv é o vector tangente ao contorno da pá.

• vg é o vector localmente perpendicular á superfície de revolução.

• va é o vector perpendicular, simultaneamente, a vv e vg, obtido pelo produto

externo dos dois.

A curva exterior ext(u) foi obtida expandindo cnt(u) no sentido de va. As curvas

intermédias int(u) foram obtidas através de interpolação em conjunto com uma suces-

são geométrica usando as seguintes equações

int(u) = cnt(u) + T (j) (ext(u) − cnt(u)) , j = 1, 2, 3, ..., N (3.1)

com

T (j) =∑j

i=1 K i−1 − 1∑Ni=1 K i−1 − 1

, j = 1, 2, 3, ..., N , (3.2)

em que N é o número de pontos da camada limite na direcção perpendicular ao con-

torno da pá e K é a base da sucessão geométrica.

40

(a) Linhas cnt(u) e ext(u) (b) Linhas cnt(u), ext(u) e int(u)

(c) Malha completa

Figura 3.1: Discretização 2D para camada limite da pá

As curvas c(u), ext(u) e int(u), encontram-se representadas simultaneamente na

Fig. 3.1c

Esta metodologia foi seguida para os contornos da pá no hub e no shroud. As

secções intermédias entre estas duas superfícies de revolução foram obtidas através

de interpolação linear das malhas int(u) definidas para o hub e o shroud.

Começou por se definir os planos intermédios do canal, nos quais se pretende

interpolar as camadas limite bidimensionais, a partir da representação do canal meri-

dional ilustrado na Fig. 3.2a

Tendo em conta que os efeitos de camada limite também se fazem sentir junto das

superfícies dos pratos, nessa zona optou-se por fazer uma expansão das superfícies

hub e shroud segundo o vector localmente perpendicular, e orientado para o interior

do canal, em conjunto com a sucessão geométrica da Eq. (3.2), definindo assim os

planos intermédios de camada limite dos pratos, ver Fig. 3.2b

Na zona intermédia do canal fez-se uma interpolação linear entre a geratriz interior

dos planos intermédios de camada limite de ambos os pratos, ver Fig. 3.2c

Recorde-se o sistema de equações não lineares, usado no Capítulo 1 para projec-

tar o contorno da pá sobre as superfícies hub e shourd. O mesmo procedimento foi

41

(a) hub(s) e shr(s) (b) inter(s) da C.L. dos pratos (c) intr(s)

Figura 3.2: Discretização de uma camada limite

usado para intersectar a resultante da interpolação linear das malhas bidimensionais

de camada limite da pá com cada uma das superfícies de revolução do canal: hub(s),

shr(s) e intr(s). O que resultou no sistema de equações (3.3), tendo sido resolvido

com recurso ao método de Newton em conjunto com o método da bissecção.

rintr(s) sin θintr = xhub + t(xhub − xshr)

rintr(s) cos θintr = yhub + t(yhub − yshr)

zintr(s) = zhub + t (zhub − zshr)

(3.3)

A Fig. 3.3 mostra a resultante do sistema (3.3) para duas superfícies de revolução

intermédias do canal.

Conforme referido anteriormente, para a construção da malha interior do canal,

blocotet, foi necessária a criação de uma superfície fechada, previamente discretizada

com uma malha triangular. Uma parte dessa superfície corresponde ao exterior da

malha de camada limite da pá.

Por isso, a superfície exterior da malha da pá, fora da zona de camada limite dos

42

Figura 3.3: Construção da malha 3D da pá

pratos foi modificada. A última camada de prismas rectangulares foi convertida em

pirâmides de acordo com [18] e encontra-se ilustrada na a Fig. 3.4.

Figura 3.4: Conversão de um prisma rectangular em cinco prismas triangulares [18]

A malha do blocopa encontra-se representada na Fig. 3.5.

3.2 Blocos de camada limite dos pratos

A zona de camada limite dos pratos foi discretizada com uma malha de construção

híbrida de acordo o conteúdo apresentado no Capítulo 1.

O bloco é constituido por prismas triangulares obtidos através da projecção de uma

triangulação de Delaunay gerada nas superfícies, hub e shroud, sobre os planos de

revolução definidos por intr(s) ilustrados na Fig. 3.2b

43

(a) blocopa (b) Bordo de ataque

(c) Interior do bloco

Figura 3.5: Malha completa para o bloco da pá

Na presente secção mostra-se o procedimento para obter o blocoshr, já que a me-

todologia para o blocohub é identica

O código de geração de malha triangular usado, vmesh2D, gera malhas apenas

em superfícies planas bidimensionais. Para contornar esta limitação, planificaram-

se a geratriz, a linha média e o contorno exterior das linhas de camada limite da pá

através da transformação conforme apresentada no Capítulo 2. Na Fig. 3.6 encontra-

se representada esta transformação, onde é possível ver a azul a fronteira interior da

triangulação, a magenta a linha média da pá e o limite exterior da triangulação a preto.

Definiram-se o limites do domínio η a partir da translação da linha média em con-

junto com duas linhas de ξ constante anexadas às extremidades. A translação é dada

por

ηlim = ηpá ±π

Z(3.4)

em que Z é o número de pás.

Os limites inferior e superior de ξ correspondem, respectivamente, à entrada e à

44

Figura 3.6: Planificação da superfície shroud

saída do rotor na superfície shroud.

Na Fig. 3.7 apresenta-se o resultado da triangulação de Delaunay realizada pelo

programa vmesh2D.

Considere-se a metodologia do Capítulo 2 usada para tranformar do plano (η,ξ)

para o plano real a planificação da linha média da pá nas superfícies hub e shroud.

As malhas bidimensionais das superfícies de camada limite dos pratos no plano real

foram obtidas seguindo o mesmo principio, transformando a malha da Fig. 3.7 segundo

as superfícies de revolução intr(s) representadas da Fig. 3.2b.

Na Fig. 3.8 apresentam-se duas malhas triangulares transportadas para o plano

físico segundo duas superfícies de revolução de intr(s).

Figura 3.7: Malha bidimensional no plano transformado

Como a triangulação nas superfícies é a mesma, o bloco tridimensional foi obtido

através do empilhamento destas camadas, gerando prismas triangulares. Em que as

45

Figura 3.8: Malha bidimensional no plano físico

duas faces triangulares de um prisma correspondem à mesma célula em duas malhas

bidimensionais consecutivas, ver Fig. 3.9 e 3.10.

Figura 3.9: Blocoshr

46

Figura 3.10: Corte do blocoshr

3.3 Bloco intermédio

No bloco intermédio foi gerada uma malha não estruturada tetraédrica através de

uma implementação do algoritmo NETGEN no software de distribuição livre Gmsh,

a documentação referente ao algoritmo e ao software pode ser consultada em [7] e

[8]. A malha foi gerada no formato legacy do Gmsh e posteriormente convertida no

formato .msh compatível com o Fluent.

No Gmsh o procedimento de geração de malha tridimensional começa pela dis-

cretização das arestas da geometria. A partir da malha linear, é gerada uma malha

bidimensional para a superfície fechada que limita o volume, por fim, a partir dessa

superfície, o interior do volume é preenchido.

As entradas para o algoritmo foram onze malhas triangulares que limitam o vo-

lume a discretizar: superfície da pá, superfície da camada limite do hub e do shroud,

entrada, saida e seis fronteiras periódicas.

Três dessas superfícies já se encontram discretizadas devido à construção dos

blocos de camada limite da pá e dos pratos. Ver Fig. 3.12.

Assim, foi necessário criar as malhas lineares verticais da Fig. 3.11 por interpolação

linear que, em conjunto com as malhas lineares de contorno dos blocos dos pratos,

permitiram usar o Gmsh para fechar a superfície do volume com malhas não estrutu-

radas triangulares. Ver Fig. 3.12. Na Fig. fig:intfig3 apresenta-se o bloco intermédio.

47

Linhas verticais para a entrada, saida e fronteiras periódicas

Contorno discretizadono bloco C.L. shroud

Superfície discretizadano bloco da pá

Superfície discretizadano bloco C.L. shroud

Superfície discretizadano bloco C.L. hub

Contorno discretizadono bloco C.L. hub

Figura 3.11: Constução do bloco de malha não estruturada

XY Z XY Z

Superfíciede entrada

Superfíciesperiódicas

Superfíciesperiódicas

Superfíciede saída

Figura 3.12: Discretização das restantes superfícies

48

YYZZ XX

Figura 3.13: Bloco intermédio

Figura 3.14: Malha completa

49

50

Capítulo 4

Modelação Numérica

4.1 Introdução

Os três métodos numéricos mais usados em MFC para a resolução dos modelos

matemáticos são: o Método das Diferenças Finitas, o Método dos Elementos Finitos

e o Método dos Volumes Finitos. No presente capítulo descreve-se como foi mode-

lado o escoamento da roda a bomba radial usando o Método dos Volumes Finitos

implementado no software comercial FLUENT.

4.2 Equações de transporte

Os modelos matemáticos que descrevem o escoamento numa bomba radial são

baseados em três princípios: conservação da massa, conservação da quantidade de

movimento e conservação da energia. As equações da conservação de energia são

usadas em conjunto com as duas primeiras para analisar escoamentos onde ocorre

transferência de calor e/ou para escoamentos compressíveis. No escoamento anali-

sado não se verificaram estes fenómenos, pelo que se dispensa a apresentação des-

tas equações.

A equação da continuidade resulta do balanço integral da conservação da massa

para um elemento de fluido infinitesimal. A dedução pode ser consultada em [21]. Sem

termos fonte, a equação da continuidade pode ser escrita na seguinte forma diferencial

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0, (4.1)

51

em que ∇ representa o operador gradiente

∇ =∂

∂xex +

∂

∂yey +

∂

∂zez . (4.2)

Para escoamentos incompressíveis ∂ρ/∂t = 0, logo, para um escoamento tridimensi-

onal, a Eq. (4.1) reduz-se a∂vx

∂x+∂vy

∂y+∂vz

∂z= 0. (4.3)

A equação da conservação da quantidade de movimento resulta da aplicação da

segunda lei de Newton a um elemento de fluido infinitesimal e relaciona a taxa de

variação de quantidade de movimento no elemento com a resultante das forças apli-

cadas. Uma vez que a quantidade de movimento é uma grandeza vectorial, a equação

desdobra-se nas componentes da quantidade de movimento segundo as direcções do

referencial escolhido. A dedução, que pode ser consultada em [21], e resulta na cha-

mada equação de Navier-Stokes (NS). No caso particular de escoamentos de fluidos

Newtonianos, sem transmissão de calor, incompressíveis, com viscosidade constante

e cuja única força mássica aplicada é a gravítica, a equação de NS é escrita na se-

guinte forma diferencial

∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj= −

1ρ

∂p∂xi

+ ν∂2vi

∂x2j

, (4.4)

em que vi representa a velocidade instantânea na direcção i , ν é a viscosidade cine-

mática do fluido e p é a pressão relativa à hidrostática local. Alternativamente pode

ser escrita em notação vectorial

∂v

∂t+ v · ∇v = −

1ρ∇p + ν∇2v (4.5)

em que o laplaciano, ∇2, é definido por

∇2 =∂2

∂x2 +∂2

∂y2 +∂2

∂z2 . (4.6)

O escoamento numa bomba radial é turbulento. Surge assim a necessidade de

aplicar às eq.(4.3) e (4.5) a decomposição de Reynolds do valor instantâneo da velo-

cidade, V, que consiste na soma do valor médio da velocidade com a flutuação em

torno desse valor, u ′,

v = U+ u ′. (4.7)

resulta nas equações designadas por RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes):

∇ · (ρU) = 0 (4.8)

52

U∂U∂x

+ V∂U∂y

+ W∂U∂z

= −1ρ

∂p∂x

+∂

∂x

(ν∂U∂x

− uu)+∂

∂y

(ν∂U∂y

− uv)+∂

∂z

(ν∂U∂z

− uw)

U∂V∂x

+ V∂V∂y

+ W∂V∂z

= −1ρ

∂p∂y

+∂

∂x

(ν∂V∂x

− vu)+∂

∂y

(ν∂V∂y

− vv)+∂

∂z

(ν∂V∂z

− vw)

U∂W∂x

+ V∂W∂y

+ W∂W∂z

= −1ρ

∂p∂z

+∂

∂x

(ν∂W∂x

− wu)+∂

∂y

(ν∂W∂y

− wv)+∂

∂z

(ν∂W∂z

− ww)(4.9)

U · ∇U = −1ρ∇p +∇ (ν∇U+R) (4.10)

Esta dedução é apresentada em [21]. Os termos U, V e W correspondem respecti-

vamente aos valores médios da velocidade nas direcções x , y e x . R é o tensor de

Reynolds definido pela hipótese de Boussinesq:

R = −u ′i u′j = νt

(∂Ui

∂xj+∂Uj

∂xi

)−

23

(k + νt

∂Uk

∂xk

)δij (4.11)

Para fechar o sistema é necessário recorrer a relações suplementares para calcular νt

e k , designados modelos de turbulência que serão abordados na secção 4.2.1.

O software Fluent resolve, por defeito, as eq. (4.8) e (4.9) num referencial estacio-

nário. No presente trabalho simulou-se um escoamento em torno de uma peça móvel,

o rotor. Ao simular-se o escoamento em torno da rotor num referêncial fixo, o problema

torna-se transiente uma vez que o campo de pressão e velocidade numa coordenada

(x , y) do domínio depende da posição das pás (que varia no tempo) no instante consi-

derado. No entanto, é possível simular o escoamento como um problema estacionário,

resolvendo as equações para um referencial móvel coincidente com o rotor [22].

Assim, as eq. (4.8) e (4.9) tomam a seguinte forma para um referencial com uma

velocidade de rotação Ω em torno do eixo z

∂Urel

∂x+∂Vrel

∂y+∂Wrel

∂z= 0 (4.12)

Urel∂Urel

∂x+ Vrel

∂Urel

∂y+ Wrel

∂Urel

∂z= −

1ρ

∂p∂x

+∂

∂x

(ν∂Urel

∂x− u ′relu

′rel

)+∂

∂y

(ν∂Urel

∂y− u ′relv

′rel

)+∂

∂z

(ν∂Urel

∂z− u ′relw

′rel

)+Ω2x − 2ΩVrel,

(4.13)

em que Urel, Vrel e Wrel são as componentes da velocidade média no referencial móvel,

−Ω2x corresponde à contribuição da aceleração centrifuga e 2ΩVrel à aceleração de

Coriolis. Esta abordagem é designada no Fluent por Single Reference Frame

53

4.2.1 Modelos de turbulência

Os modelos de turbulência definem a distribuição das tensões de Reynolds no do-

mínio do escoamento. São correlações semi-empíricas desenvolvidas para aproximar

os resultados numéricos com resultados experimentais. Como tal, os diversos mode-

los existentes na literatura foram desenvolvidos com o objectivo de modelar situações

específicas, não existindo, por isso, um modelo que produza resultados válidos para

todos os tipos de escoamento.

Uma revisão da literatura mostra que mesmo para a análise de um escoamento

específico, a escolha de um determinado modelo nem sempre é consensual. Tome-se

o exemplo de várias publicações de estudos de escoamentos em rodas de bombas

radiais e mistas: [23, 24, 25, 26, 27]. Em todas se usou o modelo de duas equações

k − ε. No entanto, segundo [33] este modelo de turbulência não é indicado para

modelar escoamentos neste tipo de componentes e justifica a popularidade do modelo

k − ε com o facto de, por ter sido o primeiro modelo de duas equações a ser aplicado

a nível industrial.

Um estudo comparativo entre os modelos de turbulência mais populares é apre-

sentado em [28]. Neste estudo é apresentada a formulação matemática dos vários

modelos e os resultados numéricos são comparados com resultados experimentais

para uma serie de escoamentos. No estudo conclui-se que os modelo mais indicado

para simular escoamentos em gradientes de pressão adversos é o k −ωSST . Assim,

no presente trabalho a escolha do modelo de turbulência recaiu sobre o k −ω SST .

Este modelo foi criado com o objectivo de combinar a formulação do do modelo k −ω,

indicada para escoamentos de camada limite, com a formulação do modelo k − ε,

indicado para escoamentos tipo jacto livre. Dentro da zona e camada limite tem-se:

νt =kω

(4.14)

Fora da zona de camada limite tem-se:

νt = Cµkε

(4.15)

A formulação do modelo no programa Fluent e as equações que definem k , ε e ω

podem ser consultadas em [22].

Ao usar o modelo k − ω SST é necessário ter em consideração a localização do

primeiro ponto da malha na direcção perpendicular às superfícies físicas. Isto porque

54

o modelo calcula a tensão de corte directamente a partir da definição, assim junto a

uma parede com a direcção x tem-se:

τw = µ∂U∂y

∣∣∣∣y=0

(4.16)

Como tal, para obter o valor correcto da derivada na parede, os primeiros pontos

da malha devem estar dentro da sub-camada linear, cuja localização e dada pela

coordenada adimensional y+ < 5, definida por

y+ =uτyν

(4.17)

com

uτ =√τw

ρ(4.18)

No presente trabalho procurou-se colocar o primeiro ponto das malhas de camada

limite em y+ 6 1

4.3 Método do Volumes Finitos

O Método dos Volumes Finitos é um método numérico usado para a resolução das

equações de transporte na forma integral, neste caso a equação da continuidade e de

Navier-Stokes.

A equação de transporte na forma integral para uma propriedade genérica φ é∫V

∂(ρφ)

∂tdV +

∫V∇ · (ρφu)dV =

∫V∇ · (Γ∇φ)dV +

∫V

SφdV (4.19)

Aplicando o teorema de Gauss e considerando regime permanente tem-se∮An · (ρφu)dA =

∮An · (Γ∇φ)dA +

∫V

SφdV (4.20)

4.3.1 Acoplamento da pressão/densidade com o campo de velocidades

O Fluent disponibiliza dois métodos distintos para a resolução das equações que

regem o escoamento: o density-based-solver e o pressure-based-solver. Em ambos

os casos o campo de velocidade é obtido através das equações da quantidade de

movimento. No density-based-solver a equação da continuidade é usada para calcular

o campo de massa volúmica do fluido e a pressão é calculada pela equação de estado

(p = p(ρ, T )). No pressure-based-solver o campo de pressão é obtido directamente

manipulando as equações da continuidade e da quantidade de movimento.

55

Uma vez que no presente trabalho o escoamento é incompressível, escolheu-se o

pressure-based-solver. Neste solver existem dois métodos diferentes para resolver o

sistema de equações. No Pressure-based segregated algorithm as equações da con-

tinuidade e da quantidade de movimento são resolvidas de forma separada e sequen-

cial. No pressure-based coupled algorithm as equações são resolvidas em simultâneo

num sistema. Para ambos os algoritmos as equações da turbulência são resolvidas

sequencialmente. O método escolhido foi o pressure-based coupled algorithm, por-

que segundo [22], permite uma convergência mais rápida da solução, embora tenha o

inconveniente de ocupar praticamente o dobro da memória.

4.3.2 Discretização

Como o MFV é um método numérico, a eq. (4.20) necessita de ser discretizada. De

forma genérica, o espaço físico é primeiro discretizado em vários volumes de controlo,

polígonos ou poliedros conforme a dimensão do espaço. Os integrais de superfície

da Eq. (4.20) são então aproximados pela soma dos fluxos que atravessam cada uma

das faces dos volumes de controlo. Assim, para cada célula de uma malha tem-se

Nfaces∑f

ρfφf uf Af =

Nfaces∑f

Γφf∇φf Af + S∇φf Vf (4.21)

Em que Nfaces é o numero de faces da célula, Af é a area de cada face f e Vf o

volume.

A resolução da equação (4.21) requer o conhecimento de ∇φf e de φf nas faces

das células. Estes valores são calculados a partir dos valores nos centróides das

células vizinhas segundo um de vários esquemas disponíveis. Existem dois modos de

definir o volume de controlo, representados na Fig. 4.1, em função da malha gerada

• Cell-centred scheme - Neste esquema as variáveis são calculadas nos centróides

das células da malha e o volume de controlo corresponde à propria célula.

• Cell-vertex scheme - Neste esquema as variáveis são calculadas nos nós da ma-

lha e o volume de controlo é definido de modo a que o centróide seja coincidente

com o próprio nó.

No Fluent, para o Cell-vertex scheme, o valor de φf é calculado através de uma média

aritmética de φ dos nós vizinhos (opção Green-Gauss Node-Based). Para o Cell-

centered scheme existem dois métodos, usar uma média aritmética, ou assumir uma

56

Figura 4.1: Cell-centered scheme (esquerda) e Vertex-centered scheme (direita) [29]

variação linear dos gradientes dentro da célula. Optou-se por usar o esquema Cell-

centered com variação linear dos gradientes. Este método é designado no Fluent por

Least Squares Cell-Based. Para o cálculo de φf existem vários esquemas de interpo-

lação, descritos em [22]. Segundo esta publicação o esquema QUICK é recomendado

para escoamentos com rotação. No entanto, para o presente trabalho não se conse-

guiu convergência da solução com este método, pelo que a escolha recaiu sobre o

método Second-order upwind. Neste método φf é calculado por

φf = φ+∇φ · r (4.22)

em que φ e ∇φ são valores no centroide e r é o vector de deslocamento entre o

centroide da face e da célula.

4.4 Condições de operação e de fronteira

O fluido simulado foi água, com massa volúmica ρ = 998 kg/m3 e viscosidade

dinâmica µ = 1.002 × 10−3 Pa s. A pressão de referência é a pressão atmosférica

padrão pref = 101325 Pa.

4.4.1 Condição de entrada

Na entrada do domínio optou-se por impor a velocidade absoluta nas várias super-

fícies enthub, entshr e enttet através da definição um perfil de velocidades em função

das coordenadas físicas dos centroides das faces nessas superfícies.

Uma vez que um campo de velocidades local afecta também o campo a montante

desse local, impôs-se a condição de fronteira a 60% do raio do bordo de ataque para

que não fosse imposta uma condição irrealista numa zona afectada pela presença do

57

mesmo. A localização da condição de fronteira considerou-se adequada uma vez que

o ângulo médio do escoamento no bordo de ataque obtido por CFD foi coincidente

com o previsto pelo método clássico.

No método da aproximação unidimensional considerou-se que a velocidade de en-

trada na zona das pás é puramente radial, como o prolongamento do canal foi feito

com conservação da área do canal, impôs-se um perfil de velocidade radial constante

Vr (z) = Vr , sendo que Vr é o valor no bordo de ataque obtido pela aproximação unidi-

mensional.

O uso de perfis, mesmo que constantes, tem como vantagem tornar a condição

de fronteira independente das dimensões das várias superfícies que constituem a en-

trada, tal não acontece caso se imponha uma quantidade para cada uma das ditas

superfícies. O que permite por exemplo, alterar a dimensão das camadas limite sem

ter de corrigir a condição de fronteira.

Para o valor da turbulência na fronteira, usaram-se valores típicos para escoamen-

tos com baixos números de Reynolds: 5% para a intensidade turbulenta (I) e 10 para

o viscosity ratio (V ), definidos respectivamente por

I =u ′

U(4.23)

V =µt

µ(4.24)

4.4.2 Condição de saída

Na saída do domínio optou-se por impor um valor de pressão estática uniforme

nas várias superfícies. Caso haja separação e inversão do escoamento à saída, o

programa de cálculo assume o valor introduzido como a pressão total do escoamento

nessa zona. Aplicou-se assim a condição a 170% do raio do bordo de fuga da pá, já

que se sabe à partida que no bordo de fuga o escoamento está afectado pela esteira,

o que tornaria a imposição de pressão uniforme nesta zona uma condição irrealista

do ponto de vista físico. Como tal justifica-se a adição do bloco de malha à saída do

rotor, referido, no capítulo de geração de malha, de modo a colocar a condição numa

zona onde já houve dissipação turbulenta e o campo de pressão se encontra uniforme.

Note-se que a opção de manter a área de secção constante no bloco de saída implica

58

Figura 4.2: Malha do bloco de entrada no domínio

uma limitação na distância máxima a que se pode colocar a condição de saída, já que

a largura do canal meridional tende para zero com o aumento do raio.

4.4.3 Condições nas paredes

Na parede do bloco central do domínio, impôs-se a condição de não escorrega-

mento, isto é, velocidade nula na superfície. Os blocos de entrada e saída não fazem

parte da geometria física da roda e foram criados de modo a colocar as condições de

entrada e saída adequadas. Como tal foi preciso garantir que não exercem influencia

no escoamento, assim, nas paredes foi imposta a condição de tensão de corte nula.

4.4.4 Condições de periodicidade

Conforme referido no capítulo da geração de malha, optou-se por definir o domínio

de cálculo entre as duas linhas médias de dois canais entre pás consecutivas, assu-

mindo que o escoamento é igual em todos os canais. O Fluent permite modelar este

tipo de escoamentos através da aplicação de fronteiras periódicas. Nestas fronteiras

é assumido que o escoamento de ambos os lados da fronteira é idêntico. Este tipo

de condição é definido emparelhando duas fronteiras (A e A ′) e o programa calcula o

escoamento de modo a que os fluxos das quantidades a calcular que saem de uma

fronteira sejam iguais aos que entram na fronteira emparelhada. Ou seja, por exemplo,

o fluxo da quantidade de movimento que de cauda atravessa uma face na fronteira A

59

Figura 4.3: Malha do bloco de saída do domínio

é igual ao fluxo que atravessa a face correspondente na superfície A ′.

Figura 4.4: Condição de fronteira periódica

60

Capítulo 5

Resultados Numéricos

5.1 Geometria inicial

Na presente secção apresentam-se os resultados do cálculo para a geometria ini-

cial, obtidos para uma malha com 1280952 elementos.

A análise dos resultados passa numa primeira fase por uma verificação do valor

dos resíduos, seguida de uma visualização dos campos de velocidade e por fim o

cálculo de diversas quantidades integrais a fim de determinar os parâmetros de funci-

onamento da bomba.

O erro de arredondamento surge da precisão finita dos computadores e tende a

aumentar com o refinamento da malha. A forma mais usual de o minimizar passa por

usar precisão dupla nos cálculos efectuados.

A não linearidade das equações que modelam o escoamento e o facto de estas

serem calculadas por um processo iterativo em conjunto com um critério de paragem,

implica o aparecimento de um erro iterativo. Para avaliar a convergência do processo,

monitorizaram-se os resíduos, e a convergência de duas quantidades integrais, a pres-

são de estagnação à entrada e à saída do rotor.

Em CFD, o critério de paragem é muito menos exigente do que a precisão da

máquina, uma vez que o tempo de processamento para obter tal solução pode ser

muito superior ao gasto para se obter uma solução aceitável do ponto de vista da

engenharia. Segundo [30], o critério de convergência do resíduo deveria ser inferior a

10−5, valor a partir do qual se espera que o erro iterativo comece a ser desprezável

em relação ao erro de discretização.

No entanto, no presente trabalho, e em linha com outras publicações relacionadas

61

[31] e [32], o critério de convergência usado foi 10−4, o que representou um substancial

ganho de tempo durante o processo de optimização.

Quando se resolvem as equações que regem o escoamento, discretiza-se o do-

mínio em pequenos volumes de controlo, que passam a descrever um meio contínuo.

Surge assim o erro de discretização do modelo numérico. Para reduzi-lo é necessário

refinar sucessivamente a malha até a solução das equações ser independente do nú-

mero de elementos. Tendo em conta as limitações do computador pessoal usado em

termos de memória disponível, 8GB de RAM, e à necessidade de correr o algoritmo de

optimização com processamento paralelo de três casos, estabeleceu-se um limite má-

ximo de 2.0 GB de memória para cada processo, a restante memória foi deixada livre

para o sistema operativo. Numa primeira fase correram-se vários casos com malhas

sucessivamente mais refinadas e observou-se que a que a partir do limite estabele-

cido, as variações no rendimento hidráulico foram inferiores a 0.001. Considerou-se,

do ponto de vista dos objectivos do presente trabalho, que a partir deste limite, a solu-

ção se torna independente do refinamento da malha.

Na Fig.5.1 verifica-se que se atingiu o valor de 10−4 pretendido para os resíduos.

(a) Evolução dos resíduos (b) Valores de y+

Figura 5.1: Valor dos resíduos e de y+ para a geometria optimizada

De acordo com o apresentado no capítulo da modelação numérica, o uso do mo-

62

delo de turbulência k − w SST exige que o parâmetro y+ seja inferior à unidade.

Através da Fig. 5.1 verifica-se o cumprimento deste requisito.

5.1.1 Visualização dos resultados

Na Fig. 5.2 apresenta-se a distribuição da velocidade relativa no bordo de ataque.

Apesar de não haver separação nesta zona, é possível verificar que o escoamento

apresenta alguma incidência, o que significa que o ponto de rendimento hidráulico

máximo do rotor não ocorre para o caudal nominal devido às perdas por choque na

entrada.

Figura 5.2: Velocidade relativa (m/s) no bordo de ataque da geometria inicial

Na Fig. 5.3 apresenta-se a velocidade relativa no bordo de fuga onde é possível

verificar o efeito do escorregamento à saída e a existencia de uma esteira. Em apli-

cações industriais de pequenas bombas radiais, as pás não apresentam um bordo de

fuga arredondado, mas sim truncado á saída do rotor, o que permite um processo de

fabrico mais simples e por sua vez, menores custos de produção. Em termos do es-

coamento, tal construção leva a uma esteira de dimensões superiores á apresentada

devido á variação brusca da geometria da pá, o que significa que o rotor analisado

apresenta um rendimento hidráulico superior a um rotor industrial típico de dimensões

semelhantes. A Fig. 5.4 apresenta a distribuição da velocidade relativa em todo o

domínio de cálculo. É possível verificar a influência do choque à entrada sobre o es-

coamento e a dimensão da esteira à saída. No lado de pressão é possível verificar

uma redução do valor de velocidade, tal está de acordo com o esperado, uma vez que

a curvatura das linhas de corrente implica que o escoamento se encontre em gradiente

63

Figura 5.3: Velocidade relativa (m/s) no bordo de fuga da geometria inicial

de pressão adverso, sendo esta zona crítica para o aparecimento de separação.

Na Fig. 5.5 é possível verificar pelos perfis de velocidade do bloco de camada limite,

que o escoamento está perto de atingir da separação.

Figura 5.4: Velocidade relativa (m/s) no domínio completo da geometria inicial

Figura 5.5: Vectores de velocidade relativa (m/s) na zona crítica do lado de sucção da pá

64

5.1.2 Parâmetros de funcionamento

Os parâmetros que caracterizam o rotor da geometria inicial foram obtidos através

da manipulação de várias quantidades integrais calculadas para duas superfícies:

Entrada do rotor – Superfície de raio constante, r = 80 mm.

Saída do rotor – Superfície de raio constante, r = 160 mm.

Pretendeu-se com a análise a estas superfícies ter uma base de comparação com

a abordagem clássica de análise de uma bomba radial, assim tem-se a entrada (de-

signada com o sufixo 1) e a saída (sufixo 2) distanciadas de 1 mm dos bordos da pás,

localização que se considerou representativa dos valores nos bordos.

Este cálculo deve ser feito de modo a que os valores obtidos tenham significado

físico, isto é, que respeitem a conservação da massa e quantidade de movimento.

Assim o valor médio de uma quantidade φ pode ser calculado com ponderação pela

massa ou pela área.

φmassa =

∫ρφ |v · n|dA∫φ |v · n|dA

(5.1)

φarea =

∫φ dA

A(5.2)

Os valores de velocidade e pressão estática (Pest) devem ser calculados com pon-

deração pela área, enquanto que a pressão total (Ptot) deve ser calculada com ponde-

ração mássica.

De modo a obter uma base de comparação com os resultados de outros autores,

os valores característicos da bomba foram adimensionalizados com a velocidade tan-

gencial da extremidade do rotor, U2 = ΩR2.

Coeficiente de pressão estática ψp:

ψp =2ρU2

2

(Pest 2 − Pest 1

)(5.3)

Coeficiente de energia ψr:

ψr =2

U22

((UVt)2 − (UVt)1

)(5.4)

Coeficiente de elevação ψh:

ψh =2ρU2

2

(Ptot 2 − Ptot 1

)(5.5)

65

Coeficiente de perdas hidráulicas ζ:

ζ = ψr −ψh (5.6)

Rendimento hidráulico:

ηh =ψ

ψr=ψr − ζ

ψr(5.7)

Se o perfil de velocidade à saída do rotor for aproximadamente uniforme, a eq. (5.6),

representa uma boa aproximação da realidade. No entanto, um escoamento forte-

mente não uniforme à saída provoca perdas devido dissipação viscosa da quantidade

de movimento entre elementos de fluido. Apesar de estas perdas ocorrerem no difu-

sor, são provocadas pelas condições de saida do rotor, mas não são contabilizadas

pela eq. (5.6). Assim, segundo [33], caso se faça a uma análise ao rotor em separado

do difusor pode-se atingir um rendimento hidráulico próximo da unidade.

Surge assim a necessidade de corrigir as perdas no rotor com um coeficiente de

"não-uniformidade", designado na presente dissertação por coeficiente de mistura,

ζmst .

Em [33] são apresentadas correlações que permitem estimar ζmst , no entanto con-

sideram apenas a não uniformidade do perfil de velocidade radial. Para englobar igual-

mente a não uniformidade da velocidade tangencial, optou-se por calcular ζmst através

da diferença na pressão de estagnação entre a saída do rotor e a saída do domínio

(5.8). Na saída do domínio tem-se condições uniformes quer de velocidade quer de

pressão e uma vez que a tensão de corte da parede do bloco de saída é nula, a

perda de pressão de estagnação deve-se exclusivamente á uniformização dos perfis

de velocidade.

ζmst =2ρU2

2

(Ptot 2 − Ptot unif .

)(5.8)

O valor das perdas por mistura foi então adicionado ás restantes perdas.

ζtot = ψr −ψh + ζmst (5.9)

ψh c = ψh − ζmst (5.10)

ηh c =ψh c

ψr=ψr − ζtot

ψr(5.11)

Segue-se a apresentação dos coeficientes obtidos para a geometria inicial, calcu-

lados para cinco valores de caudal, adimensionalizados com o caudal de projecto.

66

Q/Qnom ψp ψr ψh ηh ζ . 10−3 ζmst . 10−3 ζtot . 10−3 ψh c ηh c

0.70 0.884 1.361 1.325 0.974 35.9 5.4 41.3 1.283 0.943

0.85 0.848 1.255 1.224 0.975 31.4 1.5 32.9 1.191 0.949

1.00 0.814 1.176 1.141 0.970 35.0 2.8 37.8 1.103 0.938

1.15 0.783 1.108 1.067 0.963 41.3 2.5 43.8 1.023 0.923

1.30 0.753 1.042 0.998 0.957 44.4 5.5 49.8 0.948 0.910

Tabela 5.1: Coeficientes adimensionais para a geometria inicial

Q/Qnom 0.70 0.85 1.00 1.15 1.30

H [m] 39.8 37.3 34.8 32.5 30.4

Hc [m] 38.6 36.3 33.6 31.2 28.9

Tabela 5.2: Elevação (m) para a geometria inicial

0.6 0.8 1 1.2 1.40.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

Q/Qnom

ηh

ηhηh c

Figura 5.6: Rendimento hidráulico para o rotor inicial

Uma análise á curva de rendimento permite verificar que mesmo considerando as

perdas devido á não uniformidade do escoamento, o rendimento hidráulico cálculado

é superior ao obtido pela aproximação unidimensional para o caudal nominal (ηh =

0.83).

Tal pode ser explicado pelo facto de as correlação usadas no método clássico ser

baseadas em resultados experimentais. Numa instalação laboratorial não é possível

analisar a geometria do rotor tal como foi analisada no presente trabalho, uma vez que

67

0.6 0.8 1 1.2 1.425

30

35

40

45

Q/Qnom

H(m

)

HHc

Figura 5.7: Elevação para o rotor inicial

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.8

1

1.2

1.4

Q/Qnom

ψi

ψhψh cψrψp

Figura 5.8: Coeficientes ψp,ψr e ψ da geometria inicial

uma bomba real necessita de um difusor e uma voluta e a estes componentes existem

sempre perdas de carga associadas. Outro factor relevante prende-se com a entrada

no rotor. Numa bomba real, a entrada faz-se axialmente e dependendo da boca de

aspiração a perda de carga é considerável podendo mesmo ocorrer separação nessa

zona. Nessa situação as condições do escoamento no bordo de ataque são diferentes

das aqui analisadas.

No entanto, segundo [33], numa bomba cuja geometria da boca de aspiração e das

pás permita a ausência de separação, o rendimento hidráulico varia entre 85 a 95%,

gama de valores nos quais se enquadra a curva de rendimento apresentada

68

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0

2

4

6

·10−2

Q/Qnom

ζi

ζ

ζtotζmst

Figura 5.9: Coeficientes ζ para a geometria inicial

O resultado obtido vai de encontro com o publicado por [32], onde também é feita

uma análise CFD ao rotor de uma bomba radial em separado do colector. Este autor

não considerou o factor ζmst e mesmo tendo pás com um bordo de fuga truncado,

obteve um rendimento próximo da unidade numa curva de andamento semelhante á

obtida no presente trabalho.

A validade dos resultados obtidos pode também ser verificada comparando o fac-

tor de escorregamento, a altura de elevação, ângulos do escoamento nos bordos de

ataque e de fuga previstos pela aproximação unidimensional. Ver Tab. 5.3. A maior

discrepância encontra-se nos valores da altura de elevação e o rendimento entre os

dois métodos devido à ausência do bocal de aspiração na simulação. No entanto uma

análise ao escoamento na zona das pás mostra uma concordância entre os valores

previstos e os obtidos no cálculo em CFD.

Estes valores mostram que o algoritmo criado é capaz de importar e simular cor-

rectamente a geometria de um rotor existente.

H[m] η β1() σ β2(

)

1D 30.0 0.83 17.3 0.76 14,6

CFD 33.6 0.94 17.1 0.75 13.8

Tabela 5.3: Tabela comparativa de parâmetros obtidos pela aproximação unidimensional e pela

análise numérica

69

Figura 5.10: Limite dos parâmetros de optimização

5.2 Geometria optimizada

5.2.1 Processo de optimização

Tendo em conta que o objectivo do presente trabalho é o de uniformizar o perfil

de velocidade radial á saida do rotor, a função objectivo a minimizar no algoritmo de

evolução diferencial foi a eq. (5.12).

Fobj =

∫v2

r 2dA (5.12)

Como parâmetros de optimização usaram-se dois pontos de controlo definidos no

plano transformado (η, ξ) apresentado no capitulo de geração da geometria. Com o

objectivo de obter uma nova curvatura, optou-se por fixar a localização dos pontos no

eixo ξ, e libertar em η, o que permitiu ajustar a curvatura e poupar tempo de cálculo

pela diminuição do número de dimensões do espaço vectorial da população.

Na Fig. 5.10 apresentam-se graficamente os limites impostos para o parâmetros,

assim como a geometria inicial e final.

Geometria inicial Geometria optimizada

0.01873 0.01832

Tabela 5.4: Valor da função objectivo inicial e final

5.2.2 Resultados da optimização

O processo de optimização foi realizado em paralelo num computador pessoal com

um processador de quatro núcleos e 8GB de memória RAM, em que 3 núcleos foram

70

usados no processo (1 caso por núcleo). Conforme referido, devido ás limitações de

memória cada processo usou cerca de 2GB de RAM.

No processo de optimização foram realizadas 60 avaliações da função objectivo

divididas em 4 gerações de 15 indivíduos com uma duração total 50 dias.

O processo convergiu para os valores limite impostos para os parâmetros geomé-

tricos, pelo que a solução obtida não é óptima, uma vez que não se pode garantir que

a solução obtida corresponde ao valor mínimo da função objectivo. No entanto mostra

a tendência da localização dos pontos de controlo da solução óptima.

No entanto na presente secção apresentam-se os resultados do cálculo para a geo-

metria calculada pelo DE, obtidos para uma malha de 996476 elementos. Verificou-se

a obtenção de 10−4 para o valor dos resíduos, ver Fig. 5.11.

(a) Evolução dos resíduos (b) Valores de y+

Figura 5.11: Valor dos resíduos de y+ para a geometria optimizada

O requisito imposto pelo modelo de turbulência k −w SST foi igualmente cumprido

como pode ser verificado na Fig. 5.11.

Na Fig. 5.12 apresenta-se a distribuição da velocidade relativa no bordo de ataque.

É possível verificar um aumento da incidência e da perturbação do escoamento, pelo

que à partida se espera que as perdas por choque sejam maiores do que na geometria

inicial.

Para a Fig. 5.13) ângulo de saída da pá e por consequência o escoamento apre-

senta uma esteira menor do que na geometria inicial, o que diminui as perdas por

dissipação turbulenta.

71

Na fig. 5.14 observa-se que o escoamento no rotor é mais uniforme quando com-

parado com o caso inicial e uma análise da zona crítica da pá revela uma camada

limite estável. Estes são fenómenos que à partida diminuem as perdas no rotor.

Figura 5.12: Velocidade relativa no bordo de ataque da geometria optimizada, em m/s

Figura 5.13: Velocidade relativa no bordo de fuga da geometria optimzada, em m/s

Uma análise aos coeficientes adimensionais para a geometria optimizada, revela

que apesar de o escoamento ser aparentemente mais uniforme no domínio, tal não

se reflectiu num aumento do rendimento do rotor, devido essencialmente ao aumento

perdas por mistura ζmst .

Uma análise aos coeficientes adimensionais revela uma redução de 76% das per-

das por mistura pelo que se prova que o algoritmo desenvolvido para alem de simular

com sucesso uma geometria inicial é capaz de forma automática optimizar uma geo-

metria em função de um parâmetro do escoamento definido pelo utilizador.

72

Figura 5.14: Velocidade relativa no domínio completo da geometria optimizada, em m/s

Figura 5.15: Vectores de relativa na zona crítica da pá, em m/s

Q/Qnom ψp ψr ψh ηh ζ . 10−3 ζmst . 10−3 ζtot . 10−3 ψh . c ηh c

0.70 0.867 1.289 1.254 0.973 35.3308 31.2 66.5 1.187 0.921

0.85 0.828 1.172 1.142 0.974 29.9307 1.4 31.4 1.111 0.948

1.00 0.783 1.076 1.045 0.971 30.8822 0.7 31.5 1.014 0.942

1.15 0.702 0.939 0.907 0.965 32.7079 0.7 33.4 0.873 0.930

1.30 0.692 0.902 0.863 0.957 38.7532 0.8 39.5 0.824 0.913

Tabela 5.5: Coeficientes adimensionais para a geometria optimizada

No entanto, tal redução e ζmst não se reflectiu num aumento significativo do ren-

dimento hidráulico do rotor. O que pode ser explicado pela ausência do bocal de

aspiração na simulação, já que grande parte da não uniformidade do escoamento é

73

ζmst Ini ζmst Opt ∆ζmst/ζmst Ini

27.55e−4 6.59e−4 0.76

Tabela 5.6: Comparação das perdas por mistura entre as geometrias inicial e optimizada

H[m] η β1() β2(

) ψr

Ini. 33.6 0.938 17.1 13.8 1.36

Opt. 30.9 0.942 17.3 12.4 1.17

Tabela 5.7: Comparação do rendimento hidráulico entre as geometrias inicial e optimizada

0.6 0.8 1 1.2 1.40.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

Q/Qnom

ηh

ηhηh c

Figura 5.16: Rendimento hidráulico para o rotor optimizado

provocada por este componente. Pelo que se prevê um aumento significativo do rendi-

mento no processo de optimização caso este componente seja incluido na simulação.

74

0.6 0.8 1 1.2 1.420

25

30

35

40

45

Q/Qnom

H(m

)

HHc

Figura 5.17: Elevação para o rotor optimizado

0.6 0.8 1 1.2 1.40.6

0.8

1

1.2

1.4

Q/Qnom

ψi

ψhψh cψrψp

Figura 5.18: Coeficientes ψp,ψr e ψ da geometria optimizada

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0

2

4

6

·10−2

Q/Qnom

ζi

ζ

ζtotζmst

Figura 5.19: Coeficientes ζ para a geometria optimizada

75

0.6 0.8 1 1.2 1.4

0

2

4

6

·10−2

Q/Qnom

ζi

ζtot Iniζmst Iniζtot Optζmst Opt

Figura 5.20: Comparação das perdas para as geometrias inicial e optimizada

0.6 0.8 1 1.2 1.40.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

Q/Qnom

ηh

ηh Iniηh c Iniηh Optηh c Opt

Figura 5.21: Comparação do rendimento hidráulico para as geometrias inicial e optimizada

76

Capítulo 6

Conclusão

O algoritmo implementado de geração da geometria e da malha de cálculo apre-

senta grande versatilidade pois permite importar e criar geometrias complexas, pre-

servando a continuidade a tangencial de todas as superfícies físicas. A utilização de

curvas de Bézier revelou-se importante por ter permitido definir a geometria de forma

paramétrica usando um número reduzido de pontos de controlo. O algoritmo gerador

da geometria e respectiva malha de cálculo tem capacidade para importar geometrias

de outros tipos de turbomáquinas (axiais ou mistas), desde que sejam de escoamento

confinado, o que permite a sua aplicação, por exemplo, a turbinas do tipo bi-radial,

Wells ou Francis. Esta versatilidade advém do uso das curvas de Bézier em conjunto

com a transformação conforme usada. A espessura da pá foi definida no espaço físico

de modo a que possam ser geradas pás com a espessura desejada de forma fácil e

intuitiva com recurso a curvas de Bézier. A metodologia implementada para a espes-

sura permite adaptar facilmente o código para gerar perfis alares como, por exemplo,

a série NACA 4 dígitos. O algoritmo tem igualmente capacidade para gerar pás de

espessura variável linearmente entre os dois pratos.

A versatilidade do algoritmo desenvolvido é igualmente verificável na geração da

malha. O gerador permite a construção de blocos de camada limite em todas as

superfícies interiores de forma independente e com controlo sobre um vasto número

de parâmetros como o número e distribuição dos pontos na direcção perpendicular

às superfícies, capacidade que se revelou importante na escolha dos modelos de

turbulência. O gerador permite igualmente refinar as malhas de camada limite nos

planos localmente paralelos às superfícies. A geração do bloco interior com recurso a

uma malha tetraédrica permitiu a ligação entre os diferentes blocos de malha mesmo

77

que estes tenham número diferente de elementos.

Para a geração da geometria e da malha foi necessário dotar o algoritmo de capa-

cidade de cálculo de interseção de superfícies no espaço. Um método desenvolvido a

partir do método da bissecção revelou-se demasiado lento para que o código criado

fosse uma ferramenta de trabalho útil. A criação de um algoritmo baseado no método

de Newton permitiu reduzir o tempo de cálculo das intersecções de 50 minutos para

10 minutos em malhas adequadas ao problema em questão.

Para resolver as equações que modelam o escoamento no interior do rotor recorreu-

se ao software comercial Fluent com processamento em série. Esta etapa revelou-se

lenta do ponto de vista prático, sendo que cada processo levou até 72 horas para

atingir um valor aceitável para os resíduos. O gerador de malha criado, por permitir

ajustar facilmente a localização do primeiro ponto da camada limite, permitiu a esco-

lha do modelo de turbulência mais adequado para a simulação de escoamentos em

gradiente de pressão adverso, o modelo k −ω SST.

A análise numérica da geometria inicial revelou um rendimento superior ao previsto

inicialmente pelos métodos clássicos de projecto. No entanto a diferença observada

vai de encontro ao verificado por outros autores. Os outros parâmetros de comparação

revelaram-se bastante próximos dos previstos pelo projecto inicial. Pelo que se conclui

que o com o processo de cálculo seguido se obtêm resultados que vão de encontro

aos obtidos pelas correlações semi-empíricas usadas no projecto inicial da bomba.

O processo de optimização revelou não ser compatível com o tempo definido para a

realização da presente dissertação nem com os recursos computacionais disponíveis.

O tempo de cálculo da optimização realizada foi de cerca de 50 dias. Por se ter

atingido os limites impostos para as variáveis geométricas, não se pode concluir que

a solução óptima para o problema se encontra dentro do intervalo definido. Como tal,

teriam de ser mudados os limites dos parâmetros e realizar uma nova optimização.

6.1 Considerações finais e trabalho futuro

A fim de aumentar a versatilidade do gerador de malha, sugere-se a implementação

de um terceiro perfil para a pá numa superfície de revolução localizada entre os dois

pratos que limitam o canal meridional. Em conjunto com uma interpolação cúbica dos

três perfis, tal permitira o estudo de pás com uma geometria mais complexa, mantendo

78

a continuidade tangencial das superfícies.

De modo a contabilizar os efeitos de perda na entrada do rotor sugere-se a geração

de um bloco de malha desta zona. Foi iniciada a criação de um código que o permite,

mas a sua implementação no algoritmo apresentado não foi compatível com a duração

da presente dissertação.

Para diminuir o tempo de cálculo aconcelha-se a utilização de um cluster de vários

computadores equipados com uma versão do Fluent com processamento paralelo.

Deste modo seria possível correr cada caso do processo de optimização num compu-

tador dedicado. Por sua vez o cálculo de cada caso poderia ser repartido por vários

processadores.

Para melhorar a metodologia seguida, sugere-se em primeiro lugar a aplicação do

algorítmo genético a um escoamento bidimensional, por exemplo, no plano transfor-

mado. Isto permitiria obter mais rapidamente o valor correcto dos limites dos parâme-

tros geométricos.

79

80

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