OPTIMIZAÇÃO DA DETERMINAÇÃO DAS CORRESPONDÊNCIAS …

FACULDADE DE CIÊNCIAS E FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

OPTIMIZAÇÃO DA DETERMINAÇÃO DAS

CORRESPONDÊNCIAS ENTRE OBJECTOS

DEFORMÁVEIS NO ESPAÇO MODAL

Maria Luisa Ferreira dos Santos Bastos

Janeiro de 2003

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DE COMPUTADORES FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DO PORTO

Rus do Campo Alegre. 623

4150 -180 PORTO PORTUGAL

Optimização da Determinação das

Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

Dissertação submetida para efeito de atribuição do grau de Mestre em Métodos Computacionais em Ciências e Engenharia pela Universidade do Porto

Maria Luísa Ferreira dos Santos Bastos

Licenciada em Matemática Aplicada à Tecnologia pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto (2000)

Projecto realizado sob a orientação do

Professor Doutor João Manuel R. S. Tavares

Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

UNIVERSIDADE DO PORTO

BIBLIOTECA Sola Coloc*.10lO~ N.°.Y.S! V..O..D.

FACULDADE DE CIÊNCIAS

-iw^f"

a oo>- o-)~ o 3. __ Q L -K _ X : VJ ^-<s rf-OVO A 4 V /½ .t^> f^^-lM

■

. ■ .

AGRADECIMENTOS

A concretização da presente dissertação só foi possível graças ao apoio, à colaboração e ao incentivo de diversas pessoas e entidades, às quais desejo expressar o meu reconhecimento.

Ao Professor Doutor João M. R. S. Taveres, um especial agradecimento pela disponibilidade e empenho com que me orientou na elaboração da presente dissertação.

Ao Professor Doutor A Volgenant, por disponibilizar o artigo e o código fonte do seu algoritmo de optimização utilizado nesta dissertação.

Aos colegas do LOME, pelo bom ambiente proporcionado no decorrer deste trabalho e pelo companheirismo demonstrado.

Gostaria também de agradecer ao INEGI a bolsa de investigação que me concedeu e a possibilidade de realizar este Curso de Mestrado. Ao LOME pelas excelentes instalações e condições de trabalho proporcionadas.

Aos colegas de mestrado pela amizade e entre ajuda demonstrados.

Agradeço, finalmente, à minha família e amigos pelo apoio e incentivo que me têm proporcionado ao longo da minha vida académica.

Sumário

O tema desta dissertação está inserido no domínio de visão por computador e na área da análise do movimento e/ou deformação de objectos 2D/3D. A determinação de correspondências é uma parte essencial na análise do movimento/deformação de objectos, tendo por isso um grande interesse em áreas como a medicina, indústria e outras áreas de investigação. No presente contexto, a determinação de correspondências é efectuada entre dois conjuntos de pontos, extraídos de duas imagens diferentes, que podem, por exemplo, definir contornos ou superfícies.

O trabalho previamente desenvolvido pelo orientador desta dissertação, durante os trabalhos do seu doutoramento, deu origem a uma plataforma de desenvolvimento e ensaio, na qual está integrada uma metodologia para a determinação das correspondências entre objectos, usando modelação física e análise modal. No âmbito deste projecto, pretende-se implementar algoritmos baseados em metodologias de optimização global, de forma a melhorar a fase de determinação de correspondências, de índole local, utilizada na metodologia anteriormente desenvolvida. A referida plataforma foi utilizada, no âmbito desta dissertação, para a implementação e ensaio dos novos algoritmos desenvolvidos.

Na elaboração deste projecto, começou-se por estudar a plataforma de desenvolvimento e ensaio. De seguida continuou-se com o estudo do estado da arte, para uma melhor percepção do trabalho existente na área abrangida por este tema. Prosseguiu-se com a selecção dos algoritmos de optimização global a utilizar, segui u-se a sua implementação/integração na plataforma e procedeu-se a alguns ensaios experimentais sobre os algoritmos seleccionados. Ao longo deste trabalho foram detectadas várias situações nas quais correspondências do tipo "um para vários" e vice-versa poderiam ter um elevado interesse. Como tais correspondências não eram contempladas na metodologia anteriormente desenvolvida, nem tão pouco é habitual encontrar nas referências bibliográficas, a procura de uma solução que respondesse satisfatoriamente a tais situações foi também um dos objectivos desta dissertação. A solução adoptada resolve de forma adequada os casos em que os objectos a emparelhar são constituídos por um diferente número de nodos. Nesta dissertação é resumidamente descrita a metodologia utilizada para a determinação de correspondências entre objectos, baseada no método dos elementos finitos e na análise modal, previamente desenvolvida e integrada na referida plataforma. É descrito matematicamente o problema em questão, tal como os algoritmos implementados e alguns resultados experimentais obtidos. São também apresentadas algumas conclusões finais e propostos alguns trabalhos futuros.

Abstract

The subject of this dissertation is in the computer vision domain and in the area of motion and/or deformation analysis of 2D/3D objects. The determination of correspondences (matching) is an essential part of that analysis, having therefore a great interest in areas like

medicine, industry and other research areas. In the current context, the matching is done between two sets of nodal points, extracted from two different images that can, for example, define contours or surfaces objects type.

From the work previously developed by the coordinator of this dissertation, during his PhD thesis, has resulted a development and test platform, in witch was integrated a methodology for object matching, using physical models and modal analysis. The intent of this project is to incorporate algorithms based on global optimization methods in order to improve the matching phase, of local nature, of the previously developed methodology. The referred platform was used, in the scope of this dissertation, for the implementation and test of the new developed

algorithms. The elaboration of this project started with the study of the platform. The work followed with the study of the deformable objects state of the art, for a better perception of the existing work. It continued with the selection of global optimization algorithms and followed with their implementation/integration in the platform. Finally some experimental tests were done using the selected algorithms in the matching phase step.

During this work, have been detected some situations in which correspondences of "one for several" type or vice-versa could have a high interest. As such correspondences were not considered in the previously developed methodology, nor are usually found in bibliographic references, the search for a solution that could answer satisfactorily to such situations was also one of the objectives of this dissertation. The solution adopted is adequate to cases in which contour objects type are formed by a different number of nodes. In this dissertation, the methodology previously developed and integrated in the related platform and used for the matching process, is briefly described. This methodology is based in the finite elements method and in modal analysis. The problem in question is also mathematically described, the implemented algorithms are briefly explained and some experimental results are exposed. Finally, are drawn the final conclusions and briefly presented plans for further work.

Sommaire

Le sujet de cette dissertation est inséré dans le domaine de la vision pour l'ordinateur et dans le domaine de l'analyse du mouvement et/ou de la déformation des objets (2D/3D). La détermination des correspondances est une partie essentielle dans l'analyse du mouvement/déformation des objets, avant donne un grand intérêt pour les domaines comme la médecine, l'industrie et d'autres domaines de recherche. Dans le contexte actuel, la détermination des correspondances est fait entre deux ensembles de points, extraits de deux images différentes, qui peuvent, par exemple, définir contours ou surfaces.

Le travail précédemment développé par le orientem de cette dissertation, pendant les travaux de doctorat, a donné à l'origine à une plateforme de développement et essai, dans lesquelles une méthodologie pour la détermination des correspondances entre objets est intégrée, en utilisant modelage physique et analyse modale. Dan's le contexte de ce projet, est prévu pour mettre en application des algorithmes basés sur des méthodologies d'optimisation global afin d'améliorer la phase de la détermination des correspondances, de la nature locale, utilisée dans la méthodologie précédemment développée. La plateforme référée a été utilisée, dans la portée de cette dissertation, pour la mise en place et le test des nouveaux algorithmes développés. L'élaboration de ce projet a commencé par l'étude de la plateforme de développement et essai. Le travail a suivi avec l'étude l'état de l'art, pour une meilleure perception du travail existant dans le secteur inclus pour ce sujet. 11 a été continué avec la sélection des algorithmes d'optimisation global a employer suivi avec leur implementation/integration Enfin du testes expérimentaux ont été faits sur les algorithmes choisis.

Au long de ce travail ont été détectés plusieurs situations dans que des correspondances du type «un pour plusieurs» ou vice-versa pourraient avoir un intérêt élevé. Car de telles correspondances n'ont pas été contemplées dans la méthodologie précédemment développée, ni aussi peu est habituelle trouver dans les références bibliographiques, la recherche d'une solution qui a répondu d'une manière satisfaisante à de telles situations était également un des objectifs de cette dissertation. La solution adoptée ressort d'une manière appropriée les cas où les objets à apparier sont constitués par un nombre différent de noeuds. Dans cette dissertation, la méthodologie utilisée pour la détermination des correspondances entre les objets est brièvement décrite. Cette méthodologie est basée dans la méthode d'élément finis, et dans l'analyse modale, précédemment développée et intégrée dans la référé plateforme. Il est décrit mathématiquement le problème en question, tel que les algorithmes mis en application et quelques résultats expérimentaux obtenus. Il sons aussi présentés quelques conclusions finales et considérées quelques travaux futurs.

índice

Capítulo I: Introdução e Estrutura da Dissertação 3

1.1 Introdução 5

1.2 Objectivos 7

1.3 Introdução aos métodos de emparelhamento 9

1.4 Dados pontuais utilizados 16

1.5 Principais contribuições 19

1.6 Estrutura da dissertação 20

Capítulo II: Fundamentos 21

2.1 Introdução 23

2.2 Método dos elementos finitos e da análise modal 23

2.2.1 Método dos elementos finitos 24

2.2.2 Formulação da análise modal 32

2.2.3 Algoritmo para a obtenção das correspondências 33

2.3 Descrição matemática 35

2.4 Tipos de algoritmos 43

Capítulo III: Implementação 49

3.1 Introdução à plataforma de desenvolvimento e ensaio 51

3.2 Algoritmo Húngaro 54

3.3 Algoritmo Simplex para problemas de fluxo 56

3.4 Algoritmo LAPm 59

3.5 Determinação das correspondências 61

Capítulo IV: Resultados 63

4.1 Introdução 65

4.2 Objectos 2D 65

4.3 Objectos 3D 71

Capítulo V: Conclusões e Trabalho Futuro 75

5.1 Conclusões 77

5.2 Trabalho futuro 81

Bibliografia 85


Rua do Campo Alegre, 823

4150-180 PORTO PORTUGAL

Capítulo I

Introdução e Estrutura da Dissertação

Optimização da Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

1.1 Introdução

Existem diversas aplicações da área do processamento e análise de imagem, como por exemplo, detecção remota - agricultura e florestas, planeamento regional, monitorização de gelo nos oceanos, etc.; aplicações militares - imagens de infravermelhos, etc.; medicina e biologia - tomografia axial computorizada (TAC), ressonância magnética nuclear (NMR), etc.; aplicações industriais - identificação e inspecção de peças, verificação e identificação da perfuração de circuitos impressos, etc.

A análise do movimento tem vindo a ser, nas duas últimas décadas, uma área importante de investigação no domínio da visão por computador, [Tavares, 2000]. O problema da análise de movimento é tradicionalmente definido como a determinação do movimento de um objecto a partir de uma sequência de imagens, a duas ou três dimensões (2D ou 3D), capturadas em dois ou mais instantes de tempo.

Seguir o movimento, numa sequência de imagens ou vídeo, é útil na determinação da posição e/ou outros parâmetros do movimento (ou deformação) de um objecto, perceptível nessa sequência. Os algoritmos de seguimento podem utilizar (1) técnicas de análise de imagem para estimar o movimento, ou (2) modelos dinâmicos para descrever a evolução temporal do movimento.

Existem duas abordagens gerais à análise do movimento para um seguimento visual: (1) métodos diferenciais, que utilizam relações entre os gradientes espaciais e temporais da intensidade da imagem, para o cálculo do fluxo óptico; e (2) técnicas discretas para encontrar as correspondências entre pontos de imagens obtidas em instantes diferentes [Atienza, 1996].

Uma grande percentagem do trabalho desenvolvido na área da análise de movimento foi realizada com o objectivo de obter a estrutura geométrica e também os parâmetros do movimento, a partir de uma sequência de projecções. Tal deve-se à elevada importância desta área no processamento de cenas. Muitos destes trabalhos assumem que os objectos em questão têm formas constantes ao longo de toda a sequência Esta restrição de rigidez é inadequada em muitas situações de análise do movimento, pois muitos objectos reais são deformáveis. Exemplos disso no mundo real são os seres humanos, que apresentam um movimento contínuo não rígido, os tecidos, que se enrugam, as folhas de papel, que se dobram, etc. [Tavares, 2000].

/ - Introdução e estrutura da dissertação •


Rua do Campo Alegre, U23

4150-180 PORTO PORTUGA!.


Os modelos dinâmicos levam em conta o facto dos objectos físicos poderem ser rígidos ou não rígidos (deformáveis). Mesmo quando estamos perante um objecto com elevada rigidez, a aparência do objecto pode deformar-se, se a geometria utilizada na captação das imagens for alterada Portanto, a utilização de modelos deformáveis é aconselhada, [Tavares, 2000].

A utilização de modelos deformáveis tem grande interesse em áreas como a automação agrícola e da indústria alimentar. Alguns exemplos dessas aplicações são a manipulação de produtos não rígidos, controlo de qualidade e inspecção de produtos agrícolas, e embalagens alimentares [Atienza, 1996]. Outras áreas de grande interesse são a área da imagem médica e da compressão de imagens baseada em modelos. Existem várias aplicações na área biomédica, tais como o estudo do movimento do coração e do pulmão, estudo do fluxo sanguíneo e a análise do crescimento de tumores. Um dos objectivos na imagem cardíaca é a análise do movimento não rígido e a estimação das características da deformação do coração. Um exemplo de aplicação na compressão de imagem baseada em modelos é a teleconferência a elevadas velocidades de transmissão. Desde que os parâmetros do movimento, ou as correspondências pontuais do movimento facial, possam ser estimados, as imagens podem ser eficientemente codificadas e transmitidas, reduzindo significativamente a largura de banda necessária, em comparação com abordagens tradicionais [Tavares, 2000].

A utilização de modelos deformáveis, por si só, não permite a obtenção de correspondências entre diferentes imagens. Para solucionar o problema das correspondências, pode ser utilizada uma metodologia que usa o método dos elementos finitos e obtém os emparelhamentos através da semelhança dos deslocamentos de cada ponto do objecto, no respectivo espaço modal. Assim, descrevendo a forma do objecto em função dos modos próprios de vibração de um modelo de elementos finitos, é possível obter uma descrição robusta e ordenada pela frequência, para essa mesma forma O modelo resultante varia consoante as propriedades físicas consideradas para o objecto em questão. Desta forma representa-se um objecto deformável no espaço modal, obtendo um método robusto para a modelação 3D, reconhecimento de objectos, e seguimento 3D utilizando pontos, contornos, distâncias e fluxo óptico [Tavares, 2000]. Após a determinação das correspondências entre pontos de diferentes imagens, é possível medir as suas diferenças de forma prosseguindo com o reconhecimento de objectos. Além disso, também é possível alinhar ou distorcer um objecto num outro, podendo fundir dados

6 ( - Introdução e estrutura da dissertação

Optimização do Determinação das Correspondências enfre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

obtidos por sensores diferentes, ou compara-los em instantes de tempo ou sob condições diferentes, [Tavares, 2000]. Na área da computação gráfica, a distorção referida acima é designada por morphing. Teorias envolvidas no estudo da morfologia de esqueletos e das formas dos animais, segundo as quais espécies diferentes estão relacionadas entre si por deformações, suportam a representação modal [Tavares, 2000].

A determinação de correspondências entre objectos de diferentes imagens é útil no estudo

do movimento de objectos em sequências de imagem, na detecção de transformações

temporais sofridas por um objecto, no reconhecimento de formas, como em caligrafia,

logotipos, peças industriais, etc., [Belongie, 2002].

O principal objectivo desta dissertação é determinar, utilizando uma filosofia global, as correspondências entre dois objectos de dados pontuais (representados em imagens) de um mesmo objecto em diferentes instantes ou de objectos diferentes. Para tal considera-se que os objectos são modelados pelo método dos elementos finitos e procede-se a uma análise dos deslocamentos de cada nodo (pontos) no respectivo espaço modal. Com a optimização global da determinação das correspondências, pretende-se maximizar a semelhança integral dos deslocamentos dos nodos a emparelhar.

1.2 Objectivos

O projecto em que o tema desta dissertação está inserido começou em 1995 [Tavares, 1995; Tavares, 2000], tendo como resultado uma plataforma de desenvolvimento e ensaio, que permite o estudo de diversos métodos de modelação de objectos deformáveis, [Tavares, 2002(b)]. O objectivo deste trabalho é melhorar a metodologia para a determinação das correspondências entre objectos deformáveis, incorporando novas técnicas para a obtenção dessas mesmas correspondências, utilizando conceitos globais. Assim, os objectivos principais delineados para esta dissertação foram os seguintes:

0 A partir de uma matriz, que relaciona os conjuntos de nodos de dois objectos, optimizar a correspondência obtida em termos globais e não locais. Isto é, deverá ser encontrada a solução cujas correspondências conduzem à melhor solução para

/ - Introdução e estrutura da dissertação 7


todos os nodos, e não à melhor correspondência para cada um, tal como é realizada

na metodologia original, previamente integrada na plataforma de desenvolvimento

e ensaio.

0 Na fase de determinação das correspondências deverá ser considerada informação

sobre a vizinhança, por exemplo, os nodos vizinhos deverão permanecer vizinhos

na imagem seguinte, a ordem dos nodos não deverá ser alterada em demasia ao

longo da sequência, etc.

0 A correspondência determinada não deverá implicar uma dobragem do modelo

sobre si mesmo.

0 Como existem muitas situações em que a correspondência do tipo "um com um" não deverá ser imposta, na fase da determinação das correspondências deverão também ser permitidos emparelhamentos entre vários nodos e um único nodo e vice-versa. Esta situação não era permitida na metodologia anteriormente desenvolvida e implementada na plataforma, nem foi encontrada uma solução para este problema na pesquisa bibliográfica efectuada no início desta dissertação.

Atendendo aos objectivos traçados, o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação

pode resumir-se nas etapas que se seguem. A primeira concentrou-se no estudo bibliográfico de metodologias e aplicações no domínio da determinação de correspondências na área da análise de imagem. Seguiu-se o estudo da plataforma de desenvolvimento e ensaio, a ser utilizada na implementação, ou integração e adaptação, dos novos algoritmos desenvolvidos ao longo desta dissertação. Após a identificação matemática do problema, procedeu-se à pesquisa de algoritmos de optimização, aplicáveis à resolução do mesmo. De seguida, seleccionaram-se e implementaram-se, integraram-se e adaptaram-se os algoritmos de optimização. Os três algoritmos escolhidos foram seleccionados segundo três critérios: simplicidade; generalidade; e eficiência. À solução óptima, retomada por estes algoritmos, são retirados os emparelhamentos, que não respeitam um nível de confiança estabelecido, sendo assim eliminados os emparelhamentos com um reduzido grau de afinidade. Para além destes pontos, cujo emparelhamento não foi possível, quando os objectos em questão não têm o mesmo número de nodos, alguns deles não estarão obrigatoriamente emparelhados, pois o

8 / - Introdução e estrutura da dissertação


procedimento anteriormente utilizado permite apenas emparelhamentos do tipo "um com um". Devido a estes casos, foi implementado um algoritmo, que emparelha estes nodos com nodos já emparelhados no objecto com menor número de elementos. Este algoritmo poderá ser útil, por exemplo, quando empregado antes do morphing, de forma a não se perder informação. Nele foram também incorporadas as seguintes restrições: os pontos vizinhos devem permanecer vizinhos; a correspondência não deve implicar uma dobragem do modelo sobre si mesmo; a ordem dos nodos não deve ser alterada em demasia.

1.3 Introdução aos métodos de emparelhamento

Em [Maciel, 2001] é apresentado um trabalho que, de certo modo, está relacionado com o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação. Nesse trabalho, o problema da determinação das correspondências é tratado como um problema de optimização inteira, em que o custo é transformado numa função convexa e o domínio do problema é relaxado para um conjunto convexo. Para a determinação dos emparelhamentos entre os objectos em causa, a rigidez é um dos critérios utilizados. No entanto, no presente trabalho considerou-se que os objectos são modelados fisicamente, de forma a ficarem com um comportamento governado pelas propriedades do material virtual adoptado, e que as correspondências deverão ser obtidas sem qualquer tipo de imposição ao nível da rigidez.

Seguidamente, nesta secção, pretende-se dar uma ideia geral de algumas metodologias

desenvolvidas até à data, para a determinação das correspondências entre objectos1.

Em muitas situações, surgem dificuldades associadas ao efeito da perspectiva e à presença de outras deformações, não rígidas, que muitas vezes são modeladas como ruído. Para lidar de forma mais adequada com a não rigidez, pode-se utilizar modelos deformáveis e envolver os dados por uma membrana que possa ser deformada de modo a emparelhá-los satisfatoriamente com outros dados. Estes modelos ganharam popularidade depois de serem propostos, na década de oitenta, para utilização na visão por computador e na computação gráfica [Mclnerney, 1996].

Ao longo dos tempos têm surgido vários métodos para a determinação de correspondências entre objectos deformáveis. Algumas das primeiras abordagens podem ser agrupadas numa

1 A descrição apresentada nesta secção foi retirada de [Tavares, 2000, 2002].



categoria normalmente designada por emparelhamento elástico. Nesta categoria é utilizada

uma abordagem baseada em programação dinâmica para determinar as deformações

restringidas da forma dos objectos. O algoritmo de pesquisa resultante minimiza a

distorção do modelo, enquanto maximiza a correspondência com um objecto na imagem.

Tradicionalmente o emparelhamento elástico é computacionalmente lento, apresentando

problemas de estabilidade associados ao ruído. Embora o modelo de programação

dinâmica tenda a capturar a deformação, ele não modela a física subjacente a esta.

Definindo propriedades físicas para o objecto, pretende-se utilizar esse conhecimento para

parametrizar a sua representação, de modo a capturar as variações fisicamente admissíveis

da sua forma

A ideia de utilizar modelação física de objectos tem vindo a ser sugerida por muitos autores. Contudo, a abordagem descrita em [Terzopoulos, 1988] para obter modelos 3D por ajuste, utilizando membranas e tubos de borracha, concentrou a atenção nos métodos de modelação matemática para simular a dinâmica de objectos reais. Uma motivação para utilizar as representações baseadas em princípios físicos é devida à necessidade corrente, em problemas de visão por computador, de estimar alterações na posição, na orientação e na forma, que são obtidas de forma adequada por este tipo de métodos. Uma outra motivação é a possibilidade existente do utilizador especificar forças que são definidas a partir dos dados a considerar, e definir o comportamento intrinsecamente dinâmico de um modelo físico que pode ser utilizado para resolver problemas de ajuste, de interpolação e de determinação de correspondências.

Em [Kass, 1988] é introduzido este tipo de modelação na área do seguimento de contornos

2D através de contornos activos. Diversos autores têm utilizado contornos activos para

segmentar e seguir vários objectos em simultâneo. Um exemplo de tal utilização pode ser

encontrado em [Paragios, 2000], na detecção e seguimento de pessoas e veículos em

movimento.

A importância das características utilizadas na robustez do seguimento de formas deformáveis é abordado em [Nascimento, 2002], nomeadamente no seguimento de lábios. O conceito inicial dos contornos activos, originou o desenvolvimento de modelos deformáveis especializados para: (1) a pesquisa e reconhecimento de faces [Yuille, 1992]; (2) a interpretação de linguagem gestual, [Blake, 1993; Harrow, 1998]; (3) o emparelhamento elástico de dados de imagens médicas [Bajcsy, 1989; Duncan, 1991;



Staib, 1991]; (4) a extracção de características dos lábios no auxilio da interpretação da voz

humana [Matthews, 2002], etc. Ainda que as primeiras representações de objectos baseadas em princípios físicos permitissem uma melhor modelação das deformações não rígidas, [Tavares, 2002(a)], elas apresentam a desvantagem de serem baseadas na técnica das diferenças finitas, para a discretízação e integração numérica das equações físicas inerentes. A utilização das diferenças finitas origina problemas severos com a amostragem, pois não permite a fixação das molas elásticas em diferentes pontos dos nados de discretízação. Este problema pode ser compensado pelo aumento do número de pontos de discretizaçâo, mas o tempo de cálculo é fortemente penalizado.

Para resolver de forma adequada os problemas associados à amostragem e à escala, pode-se utilizar o método dos elementos finitos na modelação física. Esta abordagem foi considerada na modelação de objectos sólidos deformáveis super-quadráticos em [Pentland, 1990; Pentlad, 1991], e posteriormente em [Terzopoulos, 1991]. Em [Cohen, 1990] é apresentada uma formulação para os contornos activos, utilizando o método dos elementos finitos.

No método dos elementos finitos, as funções de interpolação usadas permitem a consideração da continuidade das propriedades do material, de forma a serem integradas ao longo da região de interesse. Apesar da similaridade das equações resultantes, tal abordagem é bastante diferente da baseada na técnica das diferenças finitas [Pentland, 1991; Bathe, 1996; Segerlind, 1984]. Particularmente significativo é o facto do método dos elementos finitos disponibilizar uma caracterização analítica da superfície entre nodos e poder garantir a convergência para uma solução [Bathe, 1996], enquanto os métodos que utilizam a técnica das diferenças finitas não o permitem

Contudo, indiferentemente da utilização do método dos elementos finitos ou das diferenças finitas, as representações baseadas em princípios físicos não podem ser utilizadas directamente na comparação de objectos. Virtualmente, todos os métodos baseados em splines, em placas finas ou polinómios apresentam esta inadequação para a obtenção de descrições canónicas [Sclaroff, 1995]. Tal problema deve-se ao facto de os parâmetros para as superfícies poderem ser definidos de forma arbitrária e assim não serem invariantes às alterações do ponto de vista, às oclusões, ou às deformações não rígidas. Para uma qualquer representação que utilize malhas, o único método geral para determinar se duas superfícies são equivalentes é gerar um número de pontos amostrados em posições

/ - introdução e estrutura da dissertação M


correspondentes nas duas superfícies e observar a distância entre esses dois conjuntos de pontos. Além de se tratar de uma abordagem grosseira e custosa, pode acontecer que as superfícies apresentem parametrizações bastante diferentes, o que implica o aumento da dificuldade na geração dos pontos de amostragem em posições correspondentes.

Para resolver o problema da não unicidade da representação obtida pela utilização de modelos deformáveis, segundo princípios físicos, foi apresentada uma solução baseada na análise modal em [Pentlad, 1991]. Na análise modal, as equações resultantes do método dos elementos finitos são simplificadas por expressões destas equações dinâmicas, utilizando os vectores próprios do modelo. Estes vectores próprios são designados por modos de deformação do modelo e, em conjunto, formam uma base ortogonal ordenada pela frequência para representação da forma do mesmo. A análise modal foi aplicada em problemas de obtenção da forma e de reconhecimento [Pentland, 1990; Pentlad, 1991(a); Pentland, 1989(a)], e também para o seguimento de movimento não rígido [Pentland, 1989(b); Pentlad, 1991(b)]. Os modos utilizados para descrever a deformação de um objecto são determinados pela resolução de um problema de valores próprios de uma matriz de elevadas dimensões. Tal significa que a análise modal pode apresentar a desvantagem de a base modal ser de difícil cálculo em tempo real. Contudo, verificou-se que para uma classe particular de formas similares, os modos podem ser pré-calculados e generalizados [Pentland, 1990; Pentlad, 1991(b)]. Para alguns caso com topologias esféricas e tubulares é demonstrado que os modos de deformação podem ser determinados de forma analítica [Nastar, 1993 ; Nastar, 1994].

A utilização da representação modal proporciona uma solução computacionalmente conveniente para a obtenção de um modelo de elementos finitos paramétricos, ao mesmo tempo que revolve os problemas associados à amostragem e à não unicidade. Porém, um outro problema continua sem resolução. Em cada um dos métodos baseados em princípios físicos, a ligação por uma mola virtual entre pontos de dois objectos especifica implicitamente as correspondências entre alguns dos nodos dos objectos deformáveis. Geralmente, a correspondência a utilizar para o estabelecimento destas ligações não é conhecida e deve ser determinada. Por vezes, para o método apresentar um bom desempenho, o utilizador necessita de especificar manualmente quais as ligações adequadas a serem consideradas. Este é o processo mais problemático da modelação segundo princípios físicos. Tal não deve ser surpreendente, pois este problema é similar ao



da determinação das correspondências entre objectos existente em muitas aplicações de

visão por computador.

Existe uma classe de métodos próprios que derivam a sua parametrização directamente a partir da forma dos dados e, deste modo, evitam o problema da fixação das molas virtuais. Algumas destas técnicas também tentam determinar, de forma explicita e automática as correspondências entre conjuntos de pontos característicos, enquanto outras evitam especificar a correspondência ao nível de características, mas procuram emparelhar imagens utilizando abordagens mais globais. Tal como na análise modal, cada um dos métodos próprios decompõe a deformação do objecto numa base ortogonal e ordenada Geralmente estes métodos dividem-se em três categorias: formas próprias, deformações próprias e imagens próprias:

0 Formas próprias: A ideia base dos métodos baseados em formas próprias é descrever a forma através de uma matriz simétrica e definida positiva, medindo a ligação existente entre os dados pontuais. Esta descrição da forma pode ser decomposta de maneira única num conjunto de componentes lineares por análise dos vectores próprios da matriz de forma, e os vectores próprios resultantes podem ser utilizados para descrever as deformações mais significativas para tal classe de objectos. Estas deformações principais são similares aos eixos de simetria generalizados de um objecto, pois descrevem os eixos principais da sua deformação. Uma destas matrizes para a descrição da forma - a matriz de proximidade [Shapiro, 1992(a); Shapiro, 1992(b); Shapiro, 1991; Tavares, 1997; Tavares, 2000] - é fortemente relacionada com a teoria potencial clássica e descreve as distâncias com ponderação Gaussiana entre dados pontuais. Os vectores próprios desta matriz podem ser utilizados para determinar a correspondência entre dois conjuntos de pontos.

0 Deformações próprias: Em [Cootes, 1992] é introduzido um método para capturar as propriedades invariantes de uma classe de formas, baseado na ideia de determinar as variações principais de um modelo de contorno. O modelo tem por base a representação de objectos como um conjunto de pontos etiquetados e a análise estatística das suas variações num conjunto de treino. Uma matriz de co-variância é construída para a descrição dos deslocamentos dos pontos do modelo,



relativamente ao centróide do protótipo. Seguidamente é realizada uma análise de componentes principais desta matriz de co-variância e um reduzido número das componentes mais significativas é utilizado para o controlo das deformações do modelo. Esta técnica tem a vantagem de poder ser treinada de forma a capturar a informação ao longo dos eixos mais importantes de variação para o conjunto de treino e para a variação estimada nos novos modelos que sejam encontrados na mesma classe de objectos. A técnica é baseada directamente nos pontos característicos amostrados. Quando estes pontos são determinados em vistas diferentes, ou resultam de densidades de amostragem distintas, as matrizes de forma serão diferentes, mesmo que a pose e a forma do objecto sejam idênticas. O método também não pode incorporar informação acerca da conectividade entre características, isto é, os dados são tratados como nuvens de pontos idênticos. Uma desvantagem ainda mais significativa deste método é a inadequação para deformações acentuadas, a menos que previamente sejam dadas as correspondências entre características [Sclaroff, 1995]. Numa tentativa de diminuir os problemas associados a esta metodologia surgiram várias propostas de melhoramentos, [Tavares, 2002(a)]. Assim, em [Hill, 1994] é apresentada uma solução para a determinação automática dos pontos a serem utilizados na geração dos modelos e para a determinação da correspondência pontual, sendo apresentados resultados em imagens do coração e da mão. Este problema da geração automática dos nodos dos modelos é também abordado em [Hill, 2000]. Assim, é proposto um novo algoritmo para a determinação das correspondências entre contornos de duas formas não rígidas. Em [Cootes, 1995] estes modelos são complementados com modelos de forma baseados na análise dos elementos finitos. A solução apresentada baseia-se na tradução das deformações admissíveis pela utilização dos modos de vibração do modelo finito, quando existem poucas formas de treino, e na consideração de mais modos estatísticos, quando um maior número de formas de treino está disponível. Em [Cootes, 2001] esta metodologia é enriquecida com informação sobre a variação do nível de cinzento, obtida por aprendizagem sobre o conjunto de treino. Esta abordagem é aplicada na obtenção de modelos robustos para faces. Um problema associado às formas próprias está relacionado com a possibilidade de, durante o movimento do objecto em causa, ocorrer a divisão da forma ou a fusão com uma outra. Uma sugestão para solucionar este problema é proposta em [Hall, 2000], passando pela utilização de métodos determinísticos.



O Imagens próprias: Um outro grupo de métodos de descrição própria é designado por imagens próprias, pois estes métodos executam o cálculo das componentes principais directamente a partir das imagens originais. Utilizando esta abordagem foram construídos sistemas que executam com estabilidade o reconhecimento de faces, o reconhecimento de veículos, o seguimento de veículos em estrada, etc. Por exemplo, em [Matthew, 1991] é utilizada esta técnica para a descrição de novas faces por determinação das variações principais num vasto conjunto de treino de imagens em níveis de cinzento. Como originalmente proposta, esta técnica apresenta problemas relativos a alterações na escala, na orientação e na iluminação. Em [Pentland, 1994; Moghaddan, 1994] este método foi estendido de forma a incorporar espaços próprios modulares, que podem incluir informação sobre alterações do ponto de vista, e modelos próprios para melhor modelar características faciais como os olhos, o nariz e a boca, [Tavares, 2002(a)]. A utilização de subespaços para o reconhecimento de faces, o reconhecimento de linguagem gestual e a detecção de objectos é também realizada em [Moghaddan, 1997]. Em [Belhumeur, 1997] é apresentada uma abordagem baseada na análise de componentes principais para o reconhecimento de faces, que é invariante à iluminação e às suas variações. A análise de componentes principais é também utilizada em [Craw, 1999] para a detecção e reconhecimento de faces, em [Ohba, 1997] para o reconhecimento de múltiplos objectos e em [Swets, 1996] para o reconhecimento de faces e outros objectos. O reconhecimento de faces humanas obtidas segundo ângulos diferentes é tratado em [Sehad, 2000(a)], através da utilização de três subespaços próprios. Já em [Sehad, 2000(b)] a identificação é conseguida pela utilização de redes neuronais. Uma abordagem para tornar os sistemas de reconhecimento de faces imunes ao efeito de envelhecimento é proposta em [Lanitis, 2002]. A base da abordagem é um modelo facial estatístico, que permite a codificação da imagem da face, de forma compacta e reversível. Um conjunto de imagens de treino é utilizado para aprender a relação entre a representação codificada e a face actual do indivíduo em questão. Por vezes, o número de imagens disponíveis para treino é diminuto. Numa tentativa de responder a estas situações, é proposta em [Martinez, 2002] uma abordagem que apenas considera uma amostra por classe. A solução proposta tende a ser imune às oclusões parciais, às variações de expressão facial e à imprecisão de localização. Geralmente, apesar dos aperfeiçoamentos que tem vindo a sofrer, este método não

/ - Introdução e estrutura da dissertação '"

UNIVERSIDADE DO PORTO


B I B L I O T E C A


consegue contemplar adequadamente os problemas associados ao escalamento, à

rotação e às deformações [Sclaroff, 1995].

1.4 Dados pontuais utilizados

Nesta secção são descritos resumidamente os procedimentos utilizados na determinação dos dados pontuais (usados para testar os algoritmos integrados ao longo desta dissertação) de cada objecto presente numa dada imagem2. São primeiro apresentados os procedimentos para objectos 2D do tipo contorno e seguidamente para objectos 3D do tipo superfície. Para objectos 2D do tipo contorno, o principal procedimento utilizado para segmentar os contornos de uma dada imagem pode ser decomposto nas seguintes etapas:

1. Aplicação de um detector de intensidade à imagem original;

2. Seguimento das orlas detectadas utilizando-se um algoritmo com histerese, com um

dado valor de limiar para início de um contorno e um limiar determinado

localmente para agregação;

3. Selecção do contorno com interesse e sua amostragem, que pode ser equiespaçada

ou dependente, por exemplo, da curvatura;

Para determinar as correspondências entre dois contornos, usa-se modelação física através

da utilização de um único elemento finito isoparamétrico 2D de Sclaroff (secção 2.2.1)

para modelar cada um dos objectos. Utilizando este modelo, o contorno delimita um

objecto virtual com propriedades elásticas obtendo-se um modelo semelhante a uma

membrana elástica Para objectos 3D, sendo os dados originais do objecto em consideração já definidos por três coordenadas, a sua modelação é realizada por intermédio de um elemento finito isoparamétrico 3D de Sclaroff. Como por vezes o volume original de dados é demasiado elevado, foi utilizado um algoritmo de decimação [Schroeder, 1998, 1999], que permite a simplificação de malhas poligonais e assim diminuir os custos computacionais exigidos

2 A descrição apresentada nesta secção foi retirada de [Tavares, 2000].



sem perder informação necessária. Por vezes, também se verificou a necessidade de se proceder à suavização da malha poligonal reduzindo-se assim o ruído associado às altas-frequências. Verificando-se tal necessidade, utilizou-se um algoritmo que ajusta a posição dos nodos através de uma suavização Laplaciana [Schroeder, 1998,1999].

Em várias situações da Visão por Computador, um objecto presente numa dada imagem 2D é uma representação de um objecto 3D real, existindo uma forte relação entre o nível de brilho de cada pixel que constitui o objecto na imagem e uma característica importante do objecto real. Exemplos de tais relações podem ser verificados, por exemplo, em análise de reconhecimento de faces e em imagens de pedobarografia dinâmica (ver Capítulo IV). Se o nível de cada pixel do objecto na imagem 2D traduzir uma propriedade do objecto real, então torna-se útil proceder à modelação do objecto utilizando-se a referida informação. Assim, utilizando-se para cada/wxe/ as suas duas coordenadas imagem e o seu nível de brilho como a respectiva terceira coordenada, obtêm-se as superfícies de intensidade.

Apesar de se poderem considerar todos os pixels que constituem o objecto na imagem original, tal implicaria um custo computacional exagerado. Por isso, procede-se à amostragem regular do objecto na imagem 2D, utilizando-se uma grelha rectangular. Com este tipo de amostragem reduz-se significativamente o número de nodos a considerar na modelação, mas poderá haver perda de informação em algumas zonas do objecto, assim como podem existir zonas homogéneas do objecto com demasiados nodos. Tendo presente esta desvantagem da amostragem regular, foi também implementada em [Tavares, 2000] uma amostragem adaptativa, em que são utilizados os pontos máximos locais de intensidade como "sementes" de amostragens radiais que resultam da análise dos respectivos perfis de intensidade. Seguidamente são descritos os procedimentos para obter as superfícies de intensidade, a partir de imagens 2D, utilizando-se amostragem regular e amostragem adaptativa.

Na primeira abordagem começa-se por realizar um pré-processamento na imagem original de forma a remover o ruído e a diminuir a influência dos pixels "degenerados". De seguida realiza-se a amostragem do objecto presente na imagem 2D e constrói-se a superfície de intensidade utilizando o algoritmo Delaunay 2D, para se obter a triangulação dos pixels resultantes da amostragem, e utiliza-se o nível de brilho de cada pixel como a sua terceira coordenada Estando construída a superfície poligonal, realiza-se a sua simplificação, de forma a reduzir os nodos em excesso nas zonas homogéneas, e suaviza-se a malha, de



forma a reduzir o ruído associado às altas-frequências. Os procedimentos envolvidos nesta

abordagem podem ser descritos do seguinte modo:

1. Desprezam-se os pixels considerados como ruído e aplica-se um filtro Gaussiano

de forma a suavizar a imagem original;

2. Determina-se o rectângulo que circunscreve o objecto a modelar e realiza-se uma

amostragem rectangular e regular desse rectângulo;

3. Realiza-se a triangulação dos pontos amostrados através do algoritmo 2D de

Delaunay e considera-se o nível de brilho de cada pixel na imagem original como a

sua terceira coordenada;

4. Realiza-se uma simplificação da malha triangular resultante de maneira a diminuir

o número de nodos a considerar, com consequente redução dos custos

computacionais;

5. Realiza-se uma suavização da malha, para reduzir o ruído associado às altas-

frequências.

Na segunda abordagem é utilizada informação sobre a variação dos brilhos àos pixels que

constituem o objecto na imagem. De forma resumida, este algoritmo pode ser descrito do

seguinte modo:

1. Os máximos locais de intensidade são considerados como "sementes" da

amostragem;

2. Centradas em cada "semente", são realizadas várias análises radiais dos perfis de

brilho, separadas entre si de um determinado ângulo;

3. Na análise dos perfis de brilho, pixels que apresentam valores de intensidade traduzindo variações assinaláveis são considerados como nodos da superfície.



Com esta amostragem adaptativa, as superfícies de intensidade são mais consistentes com o objecto presente na imagem original, sendo constituídas por um número mais reduzido nas zonas mais homogéneas.

Para determinar as correspondências entre duas superfícies distintas, foi utilizado um tipo de modelação, utilizando um único elemento finito isoparamétrico 3D de Sclaroff, para modelar cada uma das superfícies. Com este modelo, os nodos que constituem a superfície são envolvidos por uma película elástica, o que origina um modelo do tipo "casca", com as células totalmente preenchidas pelo material virtual adoptado.

1.5 Principais contribuições

Como principais contribuições obtidas com o trabalho desenvolvido ao longo desta

dissertação destacam-se as seguintes:

1. A utilização de uma filosofia global na determinação das correspondências: cada nodo a emparelhar, passou a ser considerado como pertencente a um modelo, em vez de ser tratado de forma independente, como acontece na metodologia anteriormente implementada de cariz local.

2. A utilização de métodos de optimização global, em objectos deformáveis representados em imagens 2D/3D, realizando-se as devidas adaptações.

3. Comparação da aplicabilidade dos métodos de optimização Húngaro, Simplex e LAPm no problema da determinação de correspondências entre objectos.

4. Desenvolvimento de um novo algoritmo que determina as devidas correspondências para os nodos em excesso, presentes nos problemas de emparelhamento de dois objectos do tipo contorno, constituídos por diferentes números de nodos.

I - Introdução e estrutura da dissertação 19

1.6 Estrutura da dissertação

De seguida é apresentada a estrutura desta dissertação, descrevendo sucintamente o

conteúdo de cada capítulo.

No capítulo II são sumariamente apresentados os fundamentos que suportam este trabalho. Nele constam a metodologia base, previamente implementada na plataforma de desenvolvimento e ensaio, [Tavares, 2000, 2002(a)], que incorpora o método dos elementos finitos, a formulação modal e uma metodologia para a determinação das correspondências, baseada numa filosofia local. Além disso, é feita uma descrição matemática do problema que se pretende resolver e são mencionados alguns tipos de algoritmos específicos para a resolução de problemas deste tipo.

No capítulo III é apresentada uma introdução à plataforma de desenvolvimento e ensaio que foi utilizada. Esta plataforma está descrita com mais detalhe em [Tavares, 2000, 2002(a)]. De seguida são apresentados os algoritmos de optimização, implementados e integrados na mesma, para a determinação das correspondências. Na última secção deste capítulo são descritos os procedimentos e restrições aplicados na determinação das correspondências entre dois ou mais modos.

O capítulo IV é constituído por alguns exemplos de resultados experimentais e pela análise dos mesmos. Os resultados têm em vista comparar os diferentes algoritmos integrados para a determinação das correspondências, analisando a sua eficiência em diferentes casos.

No capítulo V são apresentadas algumas conclusões finais sobre o trabalho desenvolvido ao longo desta dissertação. Também são indicadas algumas perspectivas de trabalho futuro, as quais poderão ser consideradas no prosseguimento do trabalho realizado.

Seguem-se todas as referências bibliográficas citadas nesta dissertação.

20 I - Introdução e estrutura da dissertação

Capítulo II

Fundamentos


■ ■ ■ ■ ' . . ■ '

2:1 Introdução

Na metodologia base para a determinação das correspondências entre dois objectos é construída uma matriz, que relaciona os dois conjuntos de pontos [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000]. Neste capítulo encontra-se uma breve descrição, retirada de [Tavares, 2000], da metodologia utilizada para a construção dessa matriz, previamente implementada na plataforma de desenvolvimento e ensaio utilizada Segue-se uma interpretação matemática do problema que se pretende resolver. Nesse ponto, conclui-se que o mesmo pode escrever-se como um problema de optimização, e mais especificamente, como um problema de afectação. Com isto, segue-se a exposição de tipos de algoritmos para a resolução de problemas de

programação matemática lineares, [Nemhauser, 1988; Lõbel, 2000], e de problemas de afectação (caso particular dos anteriores), [deli' Amico, 2000].

2.2 Método dos elementos finitos e da análise modal

Nesta secção é resumidamente descrita a metodologia previamente adoptada na plataforma, [Tavares, 2000], para a determinação da matriz que relaciona os nodos de dois objectos. Esta matriz será denominada matriz de afinidade. Cada elemento da matriz de afinidade (linha /', coluna j) é uma medida da relação entre o nodo i do objecto na primeira imagem e o nodo j do objecto na segunda imagem. Com isto, pretende-se determinar as correspondências entre os dois conjuntos de nodos, de forma a que exista apenas um emparelhamento por linha e por coluna, ou seja, um nodo de uma imagem apenas pode ser emparelhado com um nodo da outra imagem. Cada um desses emparelhamentos tem que ser o melhor para cada um dos dois nodos envolvidos.

Na secção 2.2.3 é apresentado o algoritmo previamente implementado na plataforma utilizada, para a determinação das correspondências entre dois objectos. Este algoritmo será usado na análise dos resultados, para efeitos de comparação com os algoritmos integrados no decorrer desta dissertação.

// - Fundamentos 23

Optimização da Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modo/

2.2.1 Método dos elementos finitos

O método dos elementos finitos é um método computacional de análise, que surgiu no seguimento do aumento da complexidade das estruturas e da capacidade dos computadores3. Este método pode ser utilizado na modelação física, para resolver de forma adequada os problemas associados à amostragem e à escala. As funções de interpolação usadas com o método dos elementos finitos, permitem a consideração da continuidade das propriedades do material, de forma a serem integradas ao longo da região de interesse. Quando comparado com o método das diferenças finitas [Bathe, 1996], este método tem as vantagens de permitir uma caracterização analítica da superfície entre nodos e poder garantir a convergência para uma solução. Apesar do método dos elementos finitos considerar os elementos como contínuos, ele é um procedimento de discretização, pois exprime os deslocamentos, as deformações e as tensões em qualquer ponto de um elemento contínuo em termos de um número finito de deslocamentos nos seus nodos, usando funções de interpolação apropriadas. Outras vantagens deste método são: (1) a equação do movimento para o sistema global é obtida pelo agrupamento das equações de cada elemento finito utilizado na modelação (o movimento em qualquer ponto do interior de cada um destes elementos é obtido por intermédio de interpolação, sendo as funções utilizadas, normalmente, polinómios de grau reduzido e iguais para elementos do mesmo tipo); (2) a generalização de problemas 2D e 3D construídos com vários materiais e com fronteiras irregulares pode ser obtida com facilidade. No presente contexto, a vantagem da utilização do método dos elementos finitos prende-se com a atribuição de um comportamento físico aos objectos em questão, através da adopção de um dado material virtual na modelação. As propriedades do material virtual adoptado na construção do modelo de elementos finitos regem o comportamento do objecto respectivo. No método dos elementos finitos, o sistema global é substituído por um agrupamento de elementos finitos equivalente, [Bathe, 1996; Tavares, 2000]. Cada um dos elementos finitos é uma estrutura mais simples. Para obter uma solução numérica pelo método dos elementos finitos é necessário:

0 Subdividir o sistema global contínuo em elementos finitos;


24 // - Fundamentos


O Para cada elemento finito e, calcular a sua matriz de rigidez [l6e)} e, para problemas dinâmicos, a suas matrizes de massa [Aée)] e de amortecimento [Óe)], relativamente a um referencial local conveniente;

0 Determinar o vector de cargas aplicadas ao sistema global {R};

0 Estabelecer as equações de equilíbrio para o sistema global:

[K] {U} = {R}, para sistemas estáticos, e

[M]{Û} + [C]{Ù] + [K]{Uy = {R}, para sistemas dinâmicos,

onde {jj} e {û} são a primeira e segunda derivadas de {u} (vector dos

deslocamentos) em ordem ao tempo, respectivamente;

0 Calcular as variáveis do problema em questão tais como deslocamentos,

velocidades, deformações e tensões.

Neste método, [Tavares, 2000], o corpo em questão é aproximado pela consideração de que o mesmo é equivalente a um conjunto de elementos finitos discretos agrupados, de forma adequada, pelos pontos nodais localizados nas suas fronteiras. Os deslocamentos {uw}, referenciados a um sistema de coordenadas local (x,y,z), são assumidos como

sendo função dos deslocamentos dos nodos que o constituem Deste modo, para o deslocamento e tem-se:

{u(°%,y,z)=[NM\x,y,z){U} (2.1)

onde [N(e)] é a matriz das funções de forma (ou matriz de interpolação dos

deslocamentos) e {U} é o vector dos deslocamentos de todos os m pontos nodais do

conjunto agrupado relativamente ao sistema de coordenadas global, com três componentes.

// - Fundamentos 25


A escolha do elemento a utilizar e a construção das correspondentes entradas na matriz [NM], que depende da sua geometria do seu número de graus de liberdade e dos requisitos de convergência, constituem as etapas básicas do método dos elementos finitos. Apesar de todos os deslocamentos nodais do conjunto agrupado estarem representados no vector {£/}, deve-se notar que, para um dado elemento, apenas os deslocamentos nos seus nodos afectam a distribuição dos deslocamentos e das deformações no seu interior. Assumindo os deslocamentos da equação (2.1), pode-se agora determinar para o elemento

e as deformações {eM} :

{«W}(w) .{jfi>\w)iu). (2.2)

onde a matriz [BM], geralmente designada por matriz de deformação, relaciona os

deslocamentos com as deformações e é obtida pela apropriada derivação e combinação das linhas da matriz [ # « ] [Bathe, 1996].

A solução obtida por este método aproxima-se da solução exacta, com o aumento do número de elementos finitos utilizados na modelação, ou pela utilização de elementos finitos mais complexos. De seguida é apresentada a construção das matrizes de massa [ M ] e rigidez [K], para

modelos 2D e 3D, relativas a um tipo de elemento finito: o modelo finito isoparamétrico de Sclaroff, [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000]. Para objectos 2D, com um único elemento finito de Sclaroff é possível modelar-se um objecto definido pelos seus pontos sem a necessidade de existência de ordem entre eles. Nesta técnica de modelação utilizam-se os próprios dados pontuais do objecto em questão para a construção das matrizes de massa e rigidez, considerando esses pontos como os nodos do elemento finito a ser considerado. Em primeiro lugar, desenvolve-se uma formulação para o elemento finito utilizando funções Gaussianas como interpoladores de Galerkin [Tavares, 2000] e, seguidamente, utilizam-se estes interpoladores para obter as matrizes generalizadas de massa e rigidez.

Como é descrito em [Tavares, 2000], dado um conjunto de m pontos amostrados de um

objecto (Xf) é necessário construir as matrizes de massa e rigidez apropriadas. O primeiro

passo é optar por um conjunto de funções de interpolação, a partir das quais seja possível

derivar as matrizes de forma [N] e de deformação [B]

26 II - Fundamentos


No presente contexto pretende-se examinar os modos próprios de uma nuvem de dados pontuais. Para isso, dispõe-se de um certo número de medidas dispersas e pretende-se encontrar um conjunto de funções de base que permitam a inserção e movimentação de dados pontuais. Funções de base Gaussiana são candidatas ideais para este tipo de problema de interpolação, tendo estas a seguinte forma:

gj{x) = e-\^íl^)! (2.3)

onde Xt é o centro de dimensão n da função Gaussiana e a é o desvio padrão que

controla a interacção entre os dados. Nesta modelação desenvolvem-se as funções de interpolação /J, como a soma de m funções

de base, uma por cada dado pontual Xf :

m

hi(X)^aikgk(x), (2.4)

onde ailc são os coeficientes que satisfazem os requisitos para as funções de forma. A

matriz dos coeficientes de interpolação [A] pode ser determinada por inversão da matriz

[G] definida como:

" a M ». gl(xm)~ [G]= ■: :

Mxò - sm{xm)

Utilizando os interpoladores Gaussianos como funções de forma para a aproximação de Galerkin, é possível formular facilmente elementos finitos de qualquer dimensão, os quais podem ser obtidos por agrupamento de Gaussianos de menor dimensão. Um aspecto bastante útil dos interpoladores Gaussianos é o facto de serem factorizáveis, ou seja, interpoladores multidimensionais podem ser formados a partir de Gaussianos de menor dimensão. Este facto não só reduz o custo computacional, como pode ser também útil para implementações de hardware VLSI ou redes neuronais, [Tavares, 2000].

// - Fundamentos 27


Na formulação do elemento finito de Sclaroff começa-se por construir uma matriz de

interpolação [N] de dimensão (2x2m), em que m é o número de pontos utilizados. Esta

matriz é construída a partir das funções de forma /Í, da equação (2.4):

[N] = 0

K ° 0 i\

o

A partir desta, a matriz de massa [M] para um elemento de área A é escrita da seguinte

forma:

[M] = [ M L [o]

[0] [M]a,

em que [ M L é simétrica, de dimensão (mx/w), definida positivamente e os seus

elementos têm a forma:

k,l

onde p é a densidade do material adoptado, ga é o elemento (kj) da matriz [G] e f l ^ é

o elemento (x,y) da matriz de coeficientes [A]-

A matriz de rigidez [K] com dimensão {2m x 2m) resulta na forma:

[K] = [Klaa [K\ab

[Klba IKibb

onde cada uma das quatro submatrizes tem dimensão (mxm), é simétrica, definida

positivamente e [K]ab = [K\ba ■ Os elementos da submatriz [K]aa têm a forma

kl

i+# (*£+#£) 4cr2 &H '

26 II - Fundamentos

Optimização da Deferminação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

em que P e 4 são funções do módulo de elasticidade de Young E e do coeficiente de

Poisson v:

p= E{\-o) £ = . l - 2 » (l + v)(l-2v) 2(1-u)

e

xkl=(xk-xl),ytí=(yk-yl)

Os elementos da submatriz [K]bb tem a forma:

k,l

1+É tó+#*«)' 4a2 VÍH

Finalmente, os elementos de [K]^ e [j^]ia têm a forma:

4ÍXZ kJ

Na construção do elemento finito de Sclaroff são utilizadas funções de base Gaussianas (equação (2.3)), para construir as funções de forma que são utilizadas na formulação das matrizes de massa e de rigidez. Nestas funções são consideradas as distâncias Euclidianas entre os nodos que constituem o elemento finito. Com o intuito de adequar esta técnica para a modelação de objectos do tipo contorno, em [Tavares, 2000] foram consideradas as distâncias entre os nodos, determinadas ao longo do contorno. Assim, a equação para objectos do tipo contorno, equivalente à equação (2.3), é modificada para:

* ( ' / ) -e-dh$/(2o*)

onde disty é a distância ao longo do contorno entre os nodos i e / Com esta modificação

consegue-se ponderar, de forma mais adequada a este tipo de objectos, a influência exercida por cada nodo sobre os restantes. Esta ponderação assume maior importância nos casos em que se pretende diminuir a influência exercida sobre os pontos que constituem

// - Fundamentos 29


zonas particulares de um contorno, pelos pontos cuja distância Euclidiana é reduzida,

apesar de estarem muito afastadas ao longo do mesmo. De seguida será apresentada a determinação das matrizes de massa e rigidez para os elementos tridimensionais utilizados na modelação de objectos 3D, considerando-se o

elemento finito isoparamétrico de Sclaroff, [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000]. Para se determinarem as matrizes de massa e de rigidez, começa-se por construir a matriz

das funções de forma [JV] de dimensão (3x3m), sendo m o número de dados pontuais

para o elemento, ou seja, o seu número de nodos:

[N] = \ - K o 0 - - - 0 / ¾

o -•• o o

0 0 • • 0"

K 0 • • 0 =

0 \ ■ • K\

[NL O O 0 [N]aa 0 0 0 [N]a

onde[jvL=[A i\ ••• hm].

A partir desta, [Tavares, 2000], a matriz de massa [M] é escrita da seguinte forma:

[M] = [ML [0] [0]

[0] [ M l [0] [0] [0] [ML

onde a submatriz [ M L , de dimensão (mxm), é simétrica e definida positiva. Os

elementos desta matriz têm a forma:

k,i

onde p é a densidade do material adoptado, a^ è o elemento (x,y) da matriz de

coeficientes [Ã\ e gkl=gk(Xl) é o elemento (k,l) da matriz [G] ■

A matriz de rigidez [ # ] , com dimensão (3m x 3m), tem a forma:

30 II - Fundamentos

Opfimização da Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

[K] = ' W i [K\2 [K\3

[KÍ2 [K]n [K]* \K-\M YK\23 LAJ33

Note-se que esta matriz é simétrica e, como são utilizadas funções de base Gaussianas, as

suas submatrizes também o são e todas elas têm dimensão (mxm)-

Os elementos das submatrizes [K\u [K]^, [K]33, [K\2, [K\3 e [Kh têm a forma

í+í *«+£tó+^) 4a2 Su '

[K]22lJ=x3/2a/3Ya*aj, l + # ?*+$(%+%) Au2

k,l

l + # *M+itë + ^«) 4a2 \ £ « •

[*L ;r/2/?(a + #) 4<r Y*a*afl**yii48H >

k,l

ÍKh n/2P{a + Ç)

4a- Za*aÂ^«>/ÍH' *,/

[*K = 7 -^^jiyki^yjgk! >

onde xa =(xk -x,), % =(yk -yt), za =(zk -z,) e a =v / ( l -u ) .

// - Fundamentos 31


2.2.2 Formulação da análise modal

Após a construção de um modelo físico para cada objecto a emparelhar, é utilizada a

informação das estruturas, através do cálculo dos vectores próprios dos dois objectos a

emparelhar, e as correspondências são obtidas através da análise dos deslocamentos de

cada nodo no respectivo espaço modal.

Podemos expor o sistema de equações do equilíbrio dinâmico do modelo de elementos

finitos agrupados4:

[M]{Ù} + [C]{Ù} + [K]{U} = {R}

numa base definida pelos vectores próprios de [M]"1 [K]. Estes vectores próprios e

respectivos valores próprios são obtidos, resolvendo o seguinte sistema:

WWr^MW, (2.5)

em que, {¢) é o vector próprio designado por vector de forma para o modo i ou modo

próprio de vibração, a>? é o valor próprio correspondente e o, é a frequência de vibração

associada ao mesmo modo.

A equação (2.5) pode ser escrita como [£][$>] = [M][<D][£í] onde, [<D] é a matriz dos

vectores próprios ordenados por coluna e em ordem crescente das frequências que lhes

estão associadas; e [Q] é a matriz diagonal dos valores próprios, também ordenados por

ordem crescente. Para um objecto 2D constituído por m nodos, tem-se:

[<">]=[M,|"-|WJ=

K ML

ML

e [a] = co;

a. 2m


32 II - Fundamentos


e para um objecto 3D constituído por m nodos:

[*HMhlHj=

O vector coluna {¢). descreve o deslocamento modal para cada nodo do modelo devido ao

modo de vibração i, enquanto os vectores {«}. e {v}. (e {w}i para objectos 3D) são

designados por vectores característica e, em conjunto, descrevem a localização do nodo i no espaço modal.

Os primeiros modos da matriz [<D] são os modos de corpo rígido (três em 2D e seis em

3D). Os restantes modos associam-se a movimentos não rígidos, sendo os primeiros deste tipo associados a deformações mais globais e os últimos (de elevada frequência) a deformações essencialmente locais, [Tavares, 2000].

2.2.3 Algoritmo para a obtenção das correspondências

Consideremos que temos dois objectos, aproximados por dois modelos de elementos finitos, t e t +1 com nem pontos, respectivamente. Resumidamente, o trabalho anteriormente desenvolvido, [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000], na fase da determinação das correspondências entre objectos deformáveis, no espaço modal, consiste em:

0 Determinar, para cada um dos modelos, as matrizes de massa e de rigidez;

K MI

MI wr MI

■

e [Í2] = *V

CO 3m

// - Fundamentos 33


0 Calcular os valores G>Í e vectores {¢). próprios de cada um dos modelos;

0 Após a construção das matrizes [<D]f e [0]f+1 para os dois modelos, define-se uma

matriz de afinidade [Z], com dimensão (nxm), determinada a partir da distância

Euclidiana entre os vectores característica dos dois objectos considerados:

h- M , , , - M , + u + | M , ; - { v L j , Para objectos 2D e

Zv = |M W - M m , / + | M M - R j f + N « " M j f » Para objectos 3D;

0 Perante a existência de modos que apresentam frequências de vibração praticamente iguais, estes são retirados da respectiva base modal, [Tavares, 2000];

0 Quando não se pretende considerar a transformação rígida, são ignorados os modos

correspondentes a este tipo de transformação, [Tavares, 2000]. ; ■

O diagrama apresentado a seguir explica sucintamente o método descrito.

Construção do modelo físico:

[M]{U} + [K]{U)-(R} Determinar as matrizes de

massa e rigidez para o modek) de elementos finitos

[M]{U} + [Z]{U) = {R) Determinar as matrizes de

massa e rigidez para o modelo de etemeníos finitos

Determinação dos modos próprios:

Resolver o problema de valores/ vectores próprios generalizado

M M . - . ' M M , Resolver o problema de valoras/ vectores próprios generalizado

Utilizar os modos emparelhados como sistemas de coordenadas

Emparelhar os I Jt modos não rígidos i r de baixa ordem de

A ambos os modelos

Correspondência

Nodos pontuais considerados como

nodos de um modelo de elementos finitos

Figura 2.1: Etapas do método para o emparelhamento de objectos, baseado na modelação física e análise modal. (A zona delimitada a traço descontínuo

indica a etapa onde esta dissertação particularmente se insere.)

34 il - Fundamentos


Para a determinação das correspondências, o algoritmo anteriormente implementado consiste no seguinte, [Tavares, 2000, 2002(a)]: a partir da matriz [Z], encontrar sequencialmente o menor elemento em cada linha e emparelha-lo com a coluna associada, se este for também o menor elemento da mesma e se o nível de confiança pré-estabelecido for respeitado. Esta filosofia é então baseada numa busca local de correspondências, o que pode ser uma desvantagem, pois não considera os nodos como pertencentes a um modelo global. Para tentar ultrapassar esta desvantagem, é então utilizada nesta dissertação uma abordagem de cariz global. Assim, o trabalho realizado no âmbito desta dissertação, incide apenas na fase da determinação das correspondências (zona delimitada a traço descontínuo na figura 2.1), depois de calculada a matriz [2], através do método descrito anteriormente. Durante a compreensão do problema em questão, procedeu-se à sua descrição matemática, apresentada na próxima secção.

2.3 Descrição matemática

Na continuação do trabalho resumido na secção anterior, pretende-se apresentar

metodologias para a determinação das correspondências entre os pontos de dois objectos a

emparelhar, de forma a obter uma optimização global. Os problemas de optimização são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis num determinado domínio normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis. Estes problemas tiveram origem na Física e na Geometria a partir do século XVII [Jordan, 2001]. Os problemas de programação matemática são uma classe particular de problemas de optimização, que surgem na década de quarenta do século XX, aplicados nos campos da organização e da gestão económica em que o objectivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais [Lenstra, 1991]:

PROGRAMAÇÃO O planeamento de actividades.

MATEMÁTICA <=> o problema é representado matematicamente pelo modelo:

maximizar (ou minimizar) / (x,, x2,..., xN )

// - Fundamentos 35


sujeito a gM>x2,...,xN) {< = >}bx,

gM(xl,x2,...,xN) {<=,>} bM,

em que:

x,, x2,..., xN são N variáveis de decisão,

f(xl,x2,...,xN) é a função objectivo e

gx,g2,...,gM são M restrições.

Os problemas de programação matemática (P.P.M.) podem ser classificados em:

0 Lineares: se /(x,,x2,...,x„) e &(*, ,^ , . - . ,½) . para /=1...M, são funções

lineares;

0 Não lineares: se alguma das funções / ( ^ , , ^ , . . . ,½) ou gí(jq,x2,...,xAr), para

i-l... My é uma função não linear.

Os P.P.M., como problemas de optimização, abrangem a análise e o estudo de sistemas, de forma a determinar o programa de acção mais adequado à prossecução de certo objectivo,

tendo em conta as restrições que limitam o seu comportamento. Entre os problemas de programação matemática existem também casos particulares, para os quais existem métodos de resolução mais específicos. Entre estes problemas encontra-se o problema de afectação, [Gill, 1999]. O problema de afectação clássico pressupõe a existência de n agentes para desempenhar n tarefas e o conhecimento do custo de afectação

de cada agente / a cada tarefay, CXj, i, jr = 1,2,..., n.

Neste tipo de problemas, pretende-se determinar o modo de distribuição das tarefas pelos

agentes de forma a que:

0 Cada agente realize uma só tarefa;

0 Cada tarefa seja realizada por um só agente;

36 II - Fundamentos

Optimização da Determinação das Correspondências enfre Objecfos Deformáveis no Espaço Modal

O Sejam minimizados os custos totais de afectação.

Para a formulação de um problema desta natureza, consideremos:

f 1 se o agente / for afecto à tarefa 1 xu=\ '" com/,y' = l,2,...,«. v 0 caso contrário

Então, a formulação do problema de afectação clássico é a seguinte:

minimizar / = £ Z Cvxn"

suj eito a X *j, = 1, com i = 1,2,... ,n [O agente /' realiza apenas uma tarefa],

V JC& = 1, com y = 1,2,..., n [A tarefay é realizada por apenas um agente],

e ^€{0,1}, v/,y.

A formulação do problema de afectação apresentada é um exemplo de programação linear binária, que é um caso particular de programação linear inteira (P.L.I.), [Hillier, 1995]. A matriz [Z], calculada através do método descrito na secção anterior, contém elementos compreendidos entre os valores zero e dois. Valores próximos de zero significam que, os nados associados a esse elemento, têm uma forte afinidade, enquanto que valores próximos de dois significam que os nodos têm uma fraca afinidade e por isso não devem ser emparelhados, [Tavares, 2000].

Esta explicação sugere que, uma optimização global dos emparelhamentos implica a minimização da soma dos elementos da matriz de afinidade, a eles associados. Seja [x]

uma matriz tal que, xv = 1 se e só se o nodo i do primeiro objecto for emparelhado com o

nodo j do segundo objecto, e xt]. = 0 caso contrário. Assim, a função objectivo deste

problema pode ser apresentada da seguinte forma:

minimizar/ = £ £ Zvxv ( 2 6 )

Í=I y=i

II - Fundamentos 37


em que,/? é o número de nados do objecto de origem eq éo número de nodos do objecto

de destino.

Mas, como já foi referido acima, existe uma restrição quanto aos nodos a emparelhar.

Nesta fase, pretende-se apenas o emparelhamento entre dois nodos de objectos diferentes.

Esta restrição pode ser escrita da seguinte forma:

sujeito a 2^xp.<\, com j = 1,2,...,q, N1 (2.7)

2X<1, ^111 « =1,2,...,/7, H

e, pela definição de [x], é necessário ainda acrescentar a seguinte restrição:

x,e{0,l} V/J . (2.8)

Com as expressões (2.6), (2.7) e (2.8), obtém-se um problema de programação matemática linear. Para além disso, note-se que esta formulação é muito semelhante à do problema de afectação clássico. A única diferença é a existência de desigualdades, em vez de igualdades. No entanto, existe um procedimento comum utilizado nestes casos, [Hillier, 1995]. Começando por eliminar algumas ambiguidades, os agentes e as tarefas mencionados na descrição do problema de afectação clássico identificam-se no problema desta dissertação com os nodos de cada um dos objectos. Assim, chamaremos origens aos agentes, ou nodos do primeiro objecto, e destinos às tarefas, ou nodos do segundo objecto. As desigualdades existentes na expressão (2.7) devem-se a possíveis situações de desequilíbrio (quando o número de origens não é igual ao número de destinos). Neste caso, é necessário recorrer ao seguinte procedimento [Jordán, 2001], para prosseguir com a resolução do problema:

0 Se o número de origens for inferior ao número de destinos, criar as origens fictícias

necessárias para que o número de origens seja igual ao número de destinos;

38 II - Fundamentos


O Se o número de origens for superior ao número de destinos, criar os destinos fictícios necessários para que o número de agentes seja igual ao número de destinos;

0 Os custos associados a tarefas ou agentes fictícios são nulos.

Após a aplicação deste procedimento à matriz [Z], obtemos uma nova matriz [C]:

2V i = l,2,...,p, j = l,2,...,q -> Cv /,7=1,2,...,«, emque n = max(p,q).

Deste modo, a formulação do problema com a matriz C. é equivalente à do problema de

afectação clássico, já descrito. Foi então possível observar até aqui, que o problema que se pretende resolver nesta dissertação pode ser descrito como um problema de afectação, para o qual existem diversos métodos e algoritmos de resolução. No entanto, é também possível descrever o problema

através de grafos, [Papadimitriou, 1939]. Um grafo G é um par G = (V,E), onde V é um conjunto finito de nodos e E contém os

subconjuntos de dois elementos de V, que representam caminhos possíveis entre dois nodos (ver figura 2.2). Um grafo é ligado, se existe um caminho entre quaisquer dois nodos

dele. Um grafo direccionado, D, é um grafo cujos caminhos têm direcções associadas (ver figura 2.3). Neste caso, tem-se um par D = (V,A), onde A é um conjunto de pares ordenados de

nodos (nodo de origem, nodo de destino), chamados arcos. Considere-se agora que B = (W,E) é um grafo que tem a seguinte propriedade: o conjunto

de nodos de Wpode ser separado em dois conjuntos, Fe U, e cada caminho de E contém um nodo de Fe um nodo de í/(ver figura 2.4). Então, a B chamamos um grafo bipartido e é normalmente denotado por B = (V, U, E).

Um caso frequente na aplicação de grafos, é a existência de pesos (grafos pesados), isto é,

ao grafo junta-se uma função w, de E para 91 ou outro conjunto numérico. Na figura 2.5

está representado um grafo direccionado bipartido pesado. Denotaremos o peso do

caminho [v,w], por wm.

II - Fundamentos 39


Figura 2.2: Exemplo de um grafo.

-©

Figura 2.3: Exemplo de um grafo direccionado.

Figura 2.4: Exemplo de um grafo bipartido.

40 II - Fundamentos

Optimização da Determinação das Correspondências enfre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

Figura 2.5: Exemplo de um grafo direccionado bipartido pesado.

Sejam dados um grafo direccionado ligado D = (V,A), uma função de custo linear C,

limites inferior / e superior u, tal que/ <, u, e desequilíbrios dos nodos b, tal que íTb = 0,

[Lõbel, 2000]. A um nodo i deste grafo chamamos uma origem, um destino ou um

transbordo, consoante è, é maior, menor ou igual a zero, respectivamente. O problema do

fluxo de custo mínimo é encontrar um vector de fluxo x*, tal que x* seja uma solução

óptima do problema de programação linear [Nemhauser, 1988]:

minimizar V Cvxv (UMA

sujeito a YJ xa ~ X ) xa = bn Vi e V, (iJ)eA {i,i)€A

e ^ < ^ <u^, V(i, j)6Á

(2.9)

(2.10)

(2.11)

As equações (2.10) são chamadas restrições de conservação do fluxo e as desigualdades (2.11) são as capacidades do fluxo emx. A um fluxo x chamamos fluxo (solução) possível se satisfaz as expressões (2.10) e (2.11), isto é, um fluxo é uma solução possível se satisfaz as restrições do problema de programação matemática (linear) [(2.9), (2.10), (2.11)]. Seja N a matriz de incidência nodo-eaco de D. Na notação matricial, (2.9), (2.10) e (2.11)lê-se, [Nemhauser, 1988]:

. min{crje|Afr = è, / < x < u } . (2.12)

// - Fundamentos 47


Todos os problemas de programação linear têm associado um outro problema de

programação linear, chamado o dual. A relação entre o problema dual e o problema

original, chamado primai, pode ser extremamente útil. O problema dual utiliza

exactamente os mesmos parâmetros do problema primai, mas em diferentes localizações

(tabela 2.1). O número de restrições de um problema passa a ser o número de variáveis do

outro e os coeficientes da função objectivo passam a ser os membros direitos das restrições

[Hillier, 1995].

Primal (Dual) Dual (Primai)

Restrição i < > Variável /

Função objectivo < > Membros direitos das restrições

Tabela 2.1: Correspondência entre as entidades nos problemas primal e dual.

O teorema da dualidade enumera as únicas relações possíveis entre os problemas primal e

dual, [Hillier, 1995]:

0 Se um problema tem soluções admissíveis (verificam todas as restrições) e uma

função objectivo limitada (e portanto, tem uma solução óptima), então o outro

problema também verifica as mesmas condições.

0 Se um problema tem soluções admissíveis e uma função objectivo ilimitada (e

portanto, não tem uma solução óptima), então o outro problema não tem soluções

admissíveis.

0 Se um problema não tem soluções admissíveis, então o outro ou não tem soluções

admissíveis ou tem uma função objectivo ilimitada.

O problema dual pode ser resolvido directamente pelo método Simplex, [Hillier, 1995], para identificar uma solução óptima do problema primai. O número de restrições funcionais afecta mais o esforço computacional do método Simplex, do que o número de variáveis do problema. Então, se o número de linhas (m) da matriz N for superior ao seu número de colunas (n), o problema dual terá um número menor de restrições funcionais

42 // - Fundamentos


(«), do que o problema primai (m). Nesse caso, o custo computacional do método Simplex é reduzido, se for resolvido o problema dual em vez do primai. Para uma explicação pormenorizada sobre as relações entre os problemas primal e dual, consultar por exemplo [Hillier, 1995; Tavares, 1999]. O problema dual de (2.12) é, [Nemhauser, 1988]:

nux{xTb + ÀTI-Tfu\xrN + ÂT -tf <Cr,^>0,A>o}, (2.13)

em que, n, X e 7 são as variáveis do problema dual. Neste problema, it (os chamados potenciais dos nodos), Â-e rj são os multiplicadores duais associados às restrições (do primai) de conservação do fluxo, do limite inferior e do limite superior, respectivamente. Façamos agora a analogia entre a teoria de grafos aqui apresentada e o problema que se pretende resolver nesta dissertação. No problema de optimização descrito pelas expressões (2.9), (2.10) e (2.11), podemos identificar a função C com a matriz de afinidade "alterada" (quadrada) [C] ; os nodos são os dados pontuais dos objectos de origem e de destino; A contém todos os arcos possíveis entre um nodo da origem e um nodo do destino; x é a variável binária já descrita e portanto, /^=0 e ut= 1, V(i,j)eA; pela descrição do

problema como um problema de afectação, bf toma um valor positivo para todos os nodos

de origem e um valor negativo para todos os nodos de destino. Como cada origem tem que ser afectada a um destino e vice-versa, o valor positivo será (1) e o valor negativo será (-1). Na secção que se segue, são descritos tipos de algoritmos existentes para a resolução de problemas de afectação e problemas de fluxo de custo mínimo, retirados de [deli' Amico, 2000].

2.4 Tipos de algoritmos

No problema de afectação, a matriz definida pelas restrições de igualdade é unimodular. Além disso, o membro do lado direito dessas restrições é inteiro, portanto as suas soluções possíveis correspondem a valores de xv inteiros e a sua solução óptima pode ser

encontrada, resolvendo o seguinte problema de programação linear contínua:

II - Fundamentos 43


minimizar / = X X Cyxv

n

sujeito a 2 ^ = 1 , v->'

±*v=l Vi, e xt>o v / j .

Assim, consideram-se as variáveis do problema inteiras não negativas em vez de binárias,

facilitando a aplicação de algoritmos para a resolução de problemas de programação

matemática lineares, que normalmente consideram variáveis deste tipo.

Associando as variáveis duais ui e vj às restrições (2.15), o problema dual correspondente

maximizar g = £ t* ,+X v i ;=i /-1

sujeito a ut + v;. < Cf, V/, ;'.

Sejam C$ =Cp -ui -vy , \/i,j os custos reduzidos do problema [(2.14),(2.15),(2.16)]. Dado

o par de soluções x e (w,v), respectivamente possíveis para os problemas primal e dual,

as condições de optimalidade são:

*,C, = 0, Vi,; . (2.17)

O problema de afectação é também conhecido por problema de correspondência bipartido

pesado, [deli' Amico, 2000]. Seja G = (uuV,Ê) um grafo bipartido com nodos

U = V = {l,2,...,n} e arcos Ê = §tj]:ieUJeVtCt <»} com custos Ctj associados. O

problema consiste em encontrar uma correspondência perfeita, a um custo mínimo G. A maioria dos algoritmos para a resolução de problemas de afectação têm uma natureza dual, isto é, a solução óptima é encontrada passo por passo, através da atribuição iterativa de valores a variáveis da solução parcial do primai (a solução em que menos de n variáveis têm o valor 1, sendo (2.15) satisfeito, substituindo o sinal '=' por '< ' ) , [deli' Amico, 2000]. Estas técnicas são compostas normalmente por duas fases: na primeira fase (pré-

(2.14)

(2.15)

(2.16)

44 II - Fundamentos


processamento) são encontradas soluções parciais do primai e admissíveis do dual, que satisfaçam as condições de optimal idade (2.17). Na fase seguinte a solução parcial do primai é melhorada, [deli' Amico, 2000], adicionando um emparelhamento linha-coluna de cada vez, até a solução ser admissível. Em cada passo desta fase, a solução dual é actualizada de modo a que as condições de optimalidade se mantenham. No final, o par primal-dual obtido é a solução óptima. Um método simples de implementar o pré-processamento é determinar a solução admissível do dual do seguinte modo:

v; =min|C(/:/=1,...,«J (y = l,...,n) (redução por coluna),

ui = nàn{Ci-vJ:j = l,...,nj (/=1,...,«) (redução por linha).

A solução parcial do primai é então determinada seleccionando, por alguma ordem emparelhamentos (/', f) tais que a linha / e a coluna j não estejam ainda emparelhadas e

As abordagens para a resolução dos problemas de afectação podem ser agrupadas em três classes: algoritmos primal-dual (baseados na identificação dos caminhos mais curtos), algoritmos primais puros e algoritmos duais puros. O primeiro método polinomial para a resolução de problemas de afectação, utilizando a abordagem primal-dual, consiste resumidamente em, [deli' Amico, 2000]:

i. Determinar uma solução admissível do dual (u, v) através da redução por linha e

coluna

ii. Dada a solução (u, v), resolver o problema primai. Isto é equivalente a encontrar o número máximo de correspondências no subgrafo bipartido G' = (U<JV,E'), onde

£" = {[/,./] e £: Ctf =o}. Seja X o conjunto de arcos da solução óptima, RçzU e

SçzV os nodos incidentes num arco de X. A solução * é definida como:

íl se[/ j]€X * 0 caso contrario

// - Fundamentos 45


iii. Se x for solução admissível do primai (ou seja 1̂ 1 = »), então parar e o par

óptimo primal-dual (x,(u,v)) foi encontrado. Caso contrário obter uma nova

solução dual considerando K (=K, +6 VieR e vy =v}.-S V/eC, onde S è o

custo mínimo reduzido Cff = Cp - w, - v, V/ eRjeS. Fazer « = w , v = v e voltar

ao passo ii. ■

O par primal-dual determinado no passo ii satisfaz as condições de optimalidade, portanto

se x for uma solução admissível do primai, então o par é óptimo, [deli' Amico, 2000].

Quando uma nova solução dual é obtida (no passo iii), as condições de optimalidade

mantêm-se para o novo par (x,(w, v)), a solução dual é admissível e existe pelo menos um

par (i,j), com ieR e jeS, tal que C r - f f , -v y *0 e C ? -« , -v , >0. Como

consequência, na próxima execução do passo ii, o grafo G' tem pelo menos um novo arco.

Os algoritmos primais, propostos para problemas de afectação, são basicamente implementações específicas do algoritmo Simplex para problemas de fluxo, [deli' Amico, 2000]. Numa operação pivot executada pelo método Simplex, é adicionado à base um arco com um custo reduzido negativo, e é removido um arco convenientemente escolhido. A principal ideia de reduzir a complexidade (tempo de execução) de algoritmos primais consiste, em considerar como possíveis candidatos um subconjunto particular das bases, chamadas bases de caminho alternado. Estas bases têm as seguintes características: todos os nodos de U incidem em dois arcos (têm grau dois); x^=lpara cada arco [i,j]

com/ e U, j' e V ; xtj = 0 para cada arco [/', ;'] com/ eV,jeU, [deli' Amico, 2000].

Grande parte das abordagens propostas para a solução de problemas de afectação, obtém uma solução admissível primai apenas no último passo, para que possam ser classificadas como algoritmos duais. Os algoritmos do caminho mais curto têm realmente uma natureza dual. As principais abordagens aos algoritmos duais são: o método da assinatura; o método de leilão; o método do pseudo fluxo; e o método do ponto interior. Pode-se encontrar uma introdução a cada um destes métodos, por exemplo, em [deli' Amico, 2000].

46 // - Fundamentos


Para formular matematicamente um problema da vida real, por vezes complexo, é preciso

começar por uma representação simples do mesmo, tendo em atenção que a simplificação do modelo deve corresponder à realidade, de tal forma que as soluções obtidas através do modelo matemático possam realmente ser aplicadas ao problema real. Geralmente, o processo de modelação desenvolve-se em forma de espiral, começando por uma representação simplificada do problema, até se chegar depois de vários ciclos a uma

representação mais próxima da situação real em estudo. Um problema pode ser reformulado e remodelado perante as seguintes situações:

0 Durante a etapa da avaliação do modelo e as suas soluções, os resultados

demonstram que é preciso uma reformulação do problema (incorporando novas

restrições, alterando os valores de alguns dos parâmetros, etc.);

0 Depois de avaliadas e implementadas as soluções, pretende-se agora avançar para

uma etapa superior. Nesta nova etapa, o modelo vai ser enriquecido com novos

elementos, ainda mais complexos.

Este processo de reformulação e remodelação pode repetir-se, até que o modelo desenvolvido e as suas soluções representem, o mais fielmente possível, a complexidade do problema em estudo, e as soluções implementadas satisfaçam completamente os principais objectivos traçados.

Na maioria das situações, o problema pode ser representado por modelos e problemas tipo, já desenvolvidos pela investigação operacional. Neste caso, formular matematicamente o problema não é mais do que convertê-lo em certos modelos e problemas tipo da investigação operacional (modelos de programação linear, programação dinâmica, problema de transporte, problemas de afectação, etc.).

// - Fundamentos 47


48 II - Fundamentos

Capítulo III

Implementação


3.1 Introdução à plataforma de desenvolvimento e ensaio

Do projecto que deu origem ao tema desta dissertação, [Tavares, 2000, 2002(a)], além da

metodologia base utilizada, resultou uma plataforma de desenvolvimento e ensaio, que é,

por si só, uma aplicação genérica de processamento e análise de imagem, e que permite a

outros investigadores desenvolverem, ensaiarem e posteriormente incorporarem os seus

algoritmos.

Esta plataforma foi desenvolvida em ambiente Microsoft Visual C++, [Young, 1996; Kruglinski, 1993], e foi utilizada no decorrer desta dissertação, para a integração de novos algoritmos para a fase da determinação de correspondências entre objectos. A sua estrutura está dividida em vários módulos:

0 Um modulo base, que contém as funções básicas necessárias para o processamento

e análise de imagem;

0 Vários outros módulos com funções específicas a determinadas aplicações, como

por exemplo, o tratamento de sequências de imagens (movimento e/ou

deformações), e ferramentas de computação e visualização gráfica

O utilizador acede aos módulos e funções que os constituem, definidas a partir da configuração da aplicação, através de menus e barras de ferramentas. É também possível controlar as operações incorporadas, pela especificação detalhada de parâmetros, e visualizar e analisar os resultados obtidos. Com a plataforma descrita nesta secção, é possível obter correspondências entre objectos 2D/3D, como por exemplo, entre dois contornos ou duas superfícies. Para a obtenção das correspondências entre dois contornos, são necessárias duas imagens, cada uma delas constituída por um conjunto de pontos (ver figura 3.1). No início do processo da determinação das correspondências, é exibida uma caixa de diálogo, que permite controlar os parâmetros de entrada e seleccionar o algoritmo de determinação das correspondências pretendido (ver figura 3.2). Após a execução do algoritmo pretendido, os resultados obtidos são visíveis numa outra caixa de diálogo, representada na figura 3.3. Através desta é possível apresentar numa nova imagem os emparelhamentos obtidos (ver figura 3.4).

)// - Implementação 51


Para a obtenção das correspondências entre duas superfícies, o processo é idêntico. Na

figura 3.5 é apresentado um exemplo de resultados obtidos no emparelhamento de duas

superfícies.

Figura 3.1: Duas imagens de contornos.

S faaiMriii iratiin nii EESEffl Gaussian Sigma:

« Mean value « I

P Al/Edge's poõntt

r Given: I

BooV materia*

Density:

Modulus of elasticity: [

PoRson ratio:

<* Meanvalue x |ï

V All/Edge's points

<~ Given:

T Rubbei ' r Sieel

r Polïtthyle e r Alum» urn

T Coppe. f Brass

Scale IpãdAmí j used):

[ÕÕ5Í

IftOG

Model

r Sclaoff « Shapio

5 With inner Pixels

T Of Anial Elements r Sclaoff « Shapio

5 With inner Pixels

T Of Anial Elements T o ! r Sclaoff « Shapio

5 With inner Pixels Elements area:! 1 N* r~

Matching conditions:

Max correlation level: I1

r- « Without Fust mode to be considered: ! '

r j r Hungarian M in dif-between eigenvalues: l

u

I ; C Simplex MhDiteeTKetobeatjmmetiie: I

0 1 x ^ ^ i ^

% Modes to be considered '

N" of pineis to computed lhe i r- . . ■ . , , n ^ r^r^omelncl rensf . t r t^ : I

1 0 0 T UseArMsA/dumeFato

Output H E

Mamrr. f (if desired)

I Shcwcomp. fame

m\

Figura 3.2: Escolha do algoritmo e seus parâmetros para a correspondência modal.

52 /// - Implementação


Seek Irisei/unte) 1

Gaussian Sigma/Area: 5.79779584337494

EigenMode:

Numbetof selected modes: 35 Sigma/Aiea 568591811444291

Numbeiof selected mode»: 35

Numbar.rj - l i Eigartfolue: 2.7667493647545

Eigenvector

Amcttude: 1.00000000000001

How [T - î j VOUE 0416560845442064

EigenMode:

D B I S N B I H H M R

Row i Column: .

Elément |î ^ |ï

Value: 0,273927396626916

r

Number | ï —

EgenVeclot:

Amplitude. 1

3 Eigenvalue: 302742989040549

Row [ t~ a VeàjK 0443002454090722

Trandatktn:

Rigid geometric nansfotmaobn Vt+1 (in nweh|

N1 of pixels used: 47

Scale:

Along x 0602771

Along ir U.847273

Global 0902867

Scale: Global Independ

Along* 13.174940 30.626112

Along j t 27.217050 36.852483

Centrons Rotation » » AngJaP) 357433336

™ » » t |16642753 |160.93295

A m jaooooo joooooo ji.ooooo" m a o M : 17O58520 183.69903

Optimization Method.

' • Without r Hungarian I Sitpfcn r LAPm

Results of the matchng: MatcHng:

r~ Sdatoff ran • Shapio

<" (If «ial elements

Skari Enetgji 1 Displacements

IT Mian 1 Use global soda D r With best match Chow

New Matching Concilions

Show image

Pi»* ID . Cootds fin piwessj V

magot I1

-JÚ

Cootds fin piwessj V

magot I1

-JÚ imagatl US I M»

mageltl 1 -JÚ

image 1*1: | 129 | 155

N'of matched: 47

N1 of symmetries: 0

N1 of not matched in image t 4

N'ol not matched in image I*I: 0

Figura 3.3: Resultados da correspondência entre os dois contornos apresentados na figura 3.1.

«.. Contour find Mulching Image Software Modal Matclifng_pe_7_samp_with_pe_Si_samp fcJlsJI-*) Fie Edit View Pte-Processing Processing Lines Contours Surfaces Options Window Help

Digital i 1 »|@ i | * | H c> ii *. A - 1 9J

■ p u j samp , _ ; n X

1 ■ '

Bl Modal Matching_pe„7_s... £ j 01! X

'

^

'

|Rcady Image: 256x256 256 colors Zoom: 100%

Figura 3.4: Ilustração da correspondência entre os dois contornos apresentados na figura 3.1.

. ■

/// - Implementação 53


Contour and Matching Image Software c h i n e l with 2 . n x i Eott Pre-Processino, Processing Scene Options Window Help

DJjgjgj i 1 W E M N MTIjpõKkl -"U

B modal matching_1_with_2

^¾¾^^¾¾ -■

. n x

VTK

JReady

Figura 3.5: Exemplo da correspondência obtida entre duas superficies 3D.

3.2 Algoritmo Húngaro

O método Húngaro é um método simples para a resolução de problemas de afectação. No entanto, existem outros métodos para a resolução do mesmo tipo de problemas, que são computacionalmente mais eficientes [Belongie, 2002].

Seja [C] a matriz dos custos (ou afinidades) do problema de afectação, tal que, Q é o

elemento da linha i e da coluna; da matriz [C], e i,j = l,2,...,n. O método Húngaro

traduz-se nos seguintes passos:

PASSO 1. Aos elementos de cada linha da matriz [Q subtrai-se o mínimo dessa linha;

na matriz obtida, aos elementos de cada coluna, subtrai-se o mínimo dessa

coluna.

PASSO 2. Seleccionar o menor número de vectores (linhas e/ou colunas) possível, de forma a que todos os zeros da nova matriz de custos sejam seleccionados.

54 III - Implementação


Se o número de linhas e colunas seleccionadas for igual a n, então determinou-se uma solução óptima entre os zeros da matriz; TERMINAR. Se o número de linhas e colunas seleccionadas for inferior a n, então seguir para o PASSO 3.

. . . . .

PASSO 3. Determinar o menor custo de entre os valores que não foram seleccionados e designe-se esse custo por z. Subtrai-se z a cada um dos elementos não seleccionados e adiciona-se z aos elementos de intersecção entre uma linha e uma coluna seleccionadas. Voltar ao PASSO 2.

Para a selecção do menor número de vectores possível, necessária no PASSO 2, foi necessário a construção de um algoritmo iterativo. Esse algoritmo consiste na selecção do vector (linha ou coluna) com mais zeros, em cada iteração. Caso existam vários vectores que verifiquem esta condição, selecciona-se ura, cuja direcção contenha vectores sem zeros. Este método implementado para a selecção do menor número de vectores que filtrem todos os zeros da matriz [C], revelou-se o mais adequado para o objectivo pretendido. Na aplicação do método Húngaro devem-se ter em conta as seguintes considerações:

0 Para resolver um problema com a estrutura de um problema de afectação, mas cujo

objectivo seja maximizar uma função linear, é possível aplicar o método Húngaro desde que se multiplique a função objectivo por (-1);

0 Se o número de origens for diferente do número de destinos então o problema de afectação não está em equilíbrio (porque o número de linhas é diferente do número de colunas). O método Húngaro só pode ser aplicado em situações de equilíbrio. Assim, em situações de desequilíbrio é necessário recorrer ao procedimento já descrito na secção 2.3: adicionar origens ou destinos fictícios, de forma a que o número destes seja o mesmo, considerando que os custos associados são nulos.

0 Se não for possível afectar uma origem / a um destino j', considera-se Zt= M, se o

problema for de minimização, ou -Z9 = -M, se o problema for de maximização.



Na figura 3.6 é apresentado um fluxograma, que descreve com mais detalhe a

implementação do método Húngaro, aplicado à determinação de correspondências.

3.3 Algoritmo Simplex para problemas de fluxo

O algoritmo Simplex, [Lõbel, 2000], para problemas de fluxo é aplicável a vários

problemas de programação linear, para além dos problemas de afectação. Sendo um

algoritmo mais geral, a sua aplicação pode continuar a ser possível, caso ocorra uma

reformulação do problema de optimização, tratado nesta dissertação.

O método Simplex funciona eficientemente em problemas de fluxo, devido às matrizes

pertencentes à base (básicas) terem uma estrutura que simplifica os cálculos necessários

nas operações de pivotagem [Lõbel, 2000]. Graficamente, os arcos correspondentes a

variáveis básicas induzem subgrafos. Estes subgrafos proporcionam uma forma simples de

calcular soluções primais e duais e as outras quantidades necessárias para a pivotagem. Seja TcA um subgrafo em D (grafo direccionado ligado - ver secção 2.3). As variáveis

x,.,(/, j) e T são as chamadas variáveis básicas, correspondentes à matriz básica B = NjS

(ver expressão (2.12)). Sejam i e í / o s arcos correspondentes às variáveis não básicas,

cujos valores estão fixados nos seus limites inferiores e superiores, respectivamente. A

(T,L,U) chamamos a estrutura básica. Para os conjuntos de arcos não básicos L e i / , o

membro do lado direito da equação (2.10) transforma-se em:

5 N T é uma sub matriz de [N], contendo as colunas desta definidas por T. Num exemplo simples, considere-se o problema (1), cujas restrições se podem escrever na forma matricial como (2):

minimizar 2 = y]y~]C„x„

(1) sujeito a xn + xn + 3x22 = 10, x2l+xn+2xn = 5

(2)

N xn b

1 1 0 3 xn

10 2 0 1 1 x i \ 5

X<ÏL

Sejam xn e x^ as variáveis básicas do problema Então, a matriz básica é í l 31

, ou seja, a matriz composta pelas colunas de [N] associadas às variáveis B = N 1(1.1).(2.2)} 2 1 básicas.

56 /// - Implementação


Entradas: matriz de custos (C {run));

nivel de cofíança (threshold)

Inicjalização: correspondências.

Aos elementos de cada linha da matriz [C] subtrai-se o mínimo

dessa linha; na matriz obtida, aos elementos de cada coluna,

subtrai-se o minimo dessa coluna.

Enquanto o número de vectores seleccionados na

matriz C for inferior a n:

Procurar o número de zeros isolados por coluna, em cada linha;

Procurar o número de zeros isolados por linha, em cada coluna

Enquanto existirem zeros na matriz C, por

seleccionar:

Procurar e seleccionar o

vector com o maior número de zeros

Seleccionar linha com max(#zeros isolados)

Seleccionar coluna com max(#zeros isolados)

Voltar ao inicio do ciclo

Determinar o menor custo de entre es valores que não foram seleccionados; subtrai-lo a cada um dos elementos não seleccionados e adicioná-lo aos elementos de intersecção entre uma linha e uma coluna seleccionadas.

Guardar apenas as correspondências: entre dois nodos

reais (não fictícios) que respeitem o

nível de confiança pré-estabeiecido.

Seleccionar em C um zero por linha

e por coluna Vottar ao início do ciclo

Figura 3.6: Fluxograma do algoritmo implementado para a determinação das correspondências, utilizando o método Húngaro.

(# significa "número de" e & o AND lógico)



b' = b- Y N „ - Y N , .

A solução básica associada é a solução do sistema BxT =b'. Os valores dos potenciais dos

nodos são determinados pela resolução do sistema nJB = C*. Seja Cp = Cy - ni - Kj o

custo reduzido de um arco (i,j)eA, então os multiplicadores duais X e rj são

determinados da seguinte forma:

ÍC, se (/,./)61 u [O caso contrario

e

Í-C, se (/,/)€ U " | 0 caso contrario

A estrutura de base (T,L,U) é admissível do problema primai, se a solução básica

associada x satisfaz os limites do fluxo, ou seja, satisfaz as restrições (2.11), e a mesma

estrutura é admissível do problema dual, se para todo o (/', j) € A :

C0>O=*(i,j)eL

e C^<0=>{i,j)eU.

Caso a estrutura de base seja simultaneamente admissível dos problemas primal e dual,

então essa estrutura é óptima.

A regra de selecção do pivot utilizada tem uma influência significativa no desempenho do algoritmo Simplex para problemas de fluxo. O algoritmo utilizado ao longo desta dissertação e integrado na plataforma incorpora três regras de pivotagem: pivotagem parcial múltipla; regra do primeiro arco ilegível; e regra de Dantzig .

6 Para mais informações sobre estas regras e mais detalhe sobre o algoritmo, consultar [Lobel, 2000]. O algoritmo Simplex para problemas de fluxo encontra-se disponível em: http ://www. zib. de/Optimization/Software/Mcf.



Na figura 3.7 encontra-se o fluxograma, que descreve o algoritmo integrado e adaptado para a determinação das correspondências, utilizando o método Simplex para problemas de fluxo.

Inicio

Entradas: matriz de custos (C (mn))\

nível de confiança (threshold).

Inicialização de variáveis

Selecção: algoritmo simplex para problemas

fluxo(prwna/ ou dual), regra de selecção do pivot.

Fim

Devolver apenas as correspondências:

entre dois nodos reais (n3o fictícios); que respeitem o nível de confiança

pré-estabelecido.

Optimização do problema

Figura 3.7: Fluxograma do algoritmo integrado e adaptado para a determinação das correspondências, utilizando o método Simplex para problemas de fluxo.

3.4 Algoritmo LAPm

Em [deli' Amico, 2000], o algoritmo apresentado nesta secção é considerado o mais eficiente para problemas do tipo do que se pretende resolver nesta dissertação. Entre várias

classes de dados testadas pelo autor, a que mais se identifica com os dados do problema aqui proposto é a classe geométrica

Nesta classe a matriz de afinidade é composta pelas distâncias euclidianas entre dois conjuntos de pontos, Xe Y. O procedimento inerente a este método actua sobre matrizes esparsas, [Volgenant, 1996].

Dado um parâmetro r, dependente de n, para cada linha i, LAPm inclui os valores

Cn,Ci2,...,Cit da matriz de afinidade (densa) na matriz esparsa De seguida examina as

restantes entradas da linha /, procurando pelo valor Ct menor do que o valor médio das

entradas r seleccionadas presentemente. Se essa entrada existe, uma das entradas já

seleccionadas é substituída por esta e a procura continua. O algoritmo também inclui a

entrada (/',/) na matriz esparsa C, possivelmente com um elevado custo (+<»),

assegurando que uma solução admissível existe sempre para C. A instância resultante é resolvida pelo algoritmo LAPJV (ver [Jonker, 1987]), que também lida com matrizes

esparsas. Quando um par primal-dual, óptimo para C, for obtido, é necessário verificar se

a solução dual é admissível para a matiz completa C. Senão, para cada par (/, j), tal que



Q <0, as correspondências da linha i com a coluna; são eliminadas e a entrada Cp é

adicionada a C . Sea solução é não admissível, a matriz esparsa é alargada e a fase da determinação do caminho mais curto, no algoritmo LAPJV, é repetida. Na figura 3.8 encontra-se o fluxograma, que descreve o algoritmo integrado e adaptado para a determinação das correspondências, utilizando o algoritmo LAPm , [Volgenant, 1996].

Neste algoritmo, a redução por coluna consiste em encontrar, para cada uma, o mínimo por linha e proceder ao emparelhamento, caso a linha ainda esteja livre (isto é, caso a linha não tenha sido considerada num emparelhamento anterior). Na redução por linha aumentável, para cada linha que continua livre, encontrar o mínimo e o segundo mínimo custo reduzido por coluna; Se estes dois valores forem diferentes, alterar a redução da coluna associada ao valor mínimo, para aumentar o custo reduzido na linha para o segundo mínimo; senão, caso a coluna associada ao valor mínimo esteja emparelhada, trocar as colunas associadas a esses valores; emparelhar a coluna do valor mínimo com a linha em questão. Incrementar a solução, consiste em executar o algoritmo de Dijkstra, do caminho mais curto, para cada linha livre. Este algoritmo pode ser encontrado, por exemplo, em [Papadimitriou, 1939],

Entradas: matriz de custos (C {nxn));

nível de confiança {threshold).

Inicializaçâo de variáveis.

Algoritmo LAPm

Incrementar a solução

Redução por linha aumentável

Actualização das variáveis duais

Redução por coluna

Calcular o custo óptimo

Devolver apenas as correspondências:

entre dois nodos reais (não fictícios); que respeitem o nível de confiança

preestabelecido

Fim

Figura 3.8: Fluxograma do algoritmo integrado e adaptado para a determinação das correspondências, utilizando o algoritmo LAPm.

7 Este algoritmo, assim como o artigo [Volgenant, 1996], foi cedido pelo autor. No artigo mencionado pode também ser encontrado o código deste algoritmo em PASCAL.



3.5 Determinação das correspondências

Como foi visto nos fluxogramas apresentados no capítulo anterior, após a obtenção da solução óptima do problema de programação linear, prossegue-se à rejeição dos emparelhamentos, que fazem parte dessa solução, mas não respeitam o nível de confiança pré-estabelecido. Esta restrição previne a correspondência entre nodos que tenham uma fraca afinidade entre si.

Caso o número de nodos nos dois objectos a emparelhar não seja o mesmo, existem nodos do objecto com maior número de elementos que serão emparelhados, na fase de optimização, com nodos fictício. O mesmo será dizer que tais nodos não serão emparelhados. Este facto implica perda de informação quando, por exemplo, as imagens em questão pertencem a uma sequência Para evitar que tal aconteça, implementou-se um algoritmo, que determina as correspondências desses nodos, com nodos do objecto com menor número de elementos. Desta forma permite-se também a correspondência de um nodo com vários ou vice-versa, quando o número de nodos dos dois objectos a emparelhar é diferente. Para cada um dos nodos não emparelhados na fase de optimização, o algoritmo implementado enquadra-o entre os nodos vizinhos mais próximos, que foram correspondidos nessa mesma fase. A partir das suas correspondências com o outro objecto, determina-se a melhor correspondência, minimizando o custo, considerando que os nodos vizinhos devem permanecer vizinhos e não devem existir correspondências cruzadas. Tal como na fase de optimização, os emparelhamentos obtidos só serão considerados, se o nível de confiança pré-estabelecido for respeitado. A figura 3.9 esquematiza dois exemplos para facilitar a compreensão do algoritmo implementado com o objectivo de emparelhar nodos correspondidos com nodos fictícios, na fase de optimização. Denomine-se este algoritmo por ADCom. O algoritmo ADCom, na versão actual da implementação desenvolvida, só pode ser aplicado em objectos do tipo contorno, pois os critérios de vizinhança considerados só são aplicáveis a estes. Na figura 3.9 (a), o número de nodos do primeiro objecto é superior ao número de nodos do segundo. Nessa figura, os nodos v/ e v? foram emparelhados, na fase de optimização, com os nodos v4 e vj, respectivamente. Na mesma fase, o nodo v2 foi emparelhado com um nodo fictício. O algoritmo ADCom procura nos nodos entre v* e vj, o que apresenta a maior afinidade com o nodo v̂ , emparelhando-os caso o nível de confiança pré-estabelecido seja respeitado. Na figura 3.9 (b), o número de nodos do primeiro objecto é inferior ao número



de nodos do segundo. Neste caso, o procedimento é idêntico, sendo a análise efectuada do

segundo objecto para o primeiro.

Tipo "Vários com um" / Tipo "Um com vários " —

v v * — V v

...-&:' ~^x£)

Ov* Cv Ov* Cv (a) (b)

Figura 3.9: Exemplificação dos procedimentos do algoritmo ADCom.

i


Capítulo IV

Resultados


4.1 Introdução

Nesta secção são apresentados alguns exemplos de resultados experimentais, obtidos com os algoritmos descritos no capítulo anterior, utilizando na modelação de cada objecto em causa o elemento finito isoparamétrico de Sclaroff [Sclaroff, 1995; Tavares, 2000] e borracha como material virtual. Para tal, as várias tabelas apresentadas descrevem os resultados considerados mais relevantes para a comparação e validação dos algoritmos, assim como incluem as referências para as figuras que ilustram esses mesmos resultados. São também apresentadas as imagens originais, que contêm os objectos a emparelhar. Note-se que não houve a preocupação de obter os melhores resultados possíveis, mas apenas a de demonstrar os propósitos dos mesmos. Outros resultados podem ser consultados em [Bastos, 2003].

4.2 Objectos 2D

Comecemos por considerar três exemplos 2D. O primeiro é composto por dois conjuntos de dados pontuais de contornos de uma "árvore", com duas orientações distintas. A tabela 4.1 apresenta alguns resultados numéricos e as figuras 4.1 e 4.2 ilustram este exemplo.

•

Figura 4.1: Dados pontuais do primeiro exemplo 2D - tree! e tree2, respectivamente.

Através a tabela 4.1 é possível verificar que o custo total dos emparelhamentos é ligeiramente superior, quando é utilizado um método de optimização na determinação das correspondências, mas o número de emparelhamentos neste caso também é maior do que o resultante da utilização do método local ("Sem Optimização"). O tempo de execução dos três últimos métodos é superior ao tempo de execução do primeiro. Nesse sentido, o

IV - Resultados 65


método Húngaro revelou-se pouco eficiente, pois o seu tempo de execução é bastante

superior ao de qualquer outro método utilizado. A título de exemplo, na figura 4.2

encontra-se circundada uma zona onde é possível visualizar um emparelhamento obtido

com os métodos de optimização global ((b), (c) e (d)), mas não com o algoritmo

anteriormente implementado, de índole local (a).

treel j tree2 I N° nodos: 621 N° nodos: 62 Tempo de

Algoritmo N° nodos não emparelhados N" emparelhamentos Custo total execução [s] Figura

|Sem Optimização! 8 | Método Húngaro | 0 | Método Simplex | 0

Método LAPm \ 0

8 0 0 0

54 62 62 62

0.0016 0.0020 0.0020 0.0020

0.03 69.56 0.04 0.06

4.2 (a) 4.2 (b) 4.2 (c) 42(d)

Tabela 4.1: Resultados do primeiro exemplo 2D - treel e tree2.

(a) (b) (c) (d) Figura 4.2: Emparelhamentos entre os objectos treel e tree2 utilizando o método: (a) sem optimização;

(b) Húngaro; (c) Simplex; e (d) LAPm. (Na zona circundada é possível visualizar um emparelhamento obtido com (b), (c) e (d), mas não com (a).)

No segundo exemplo 2D temos dois conjuntos reais de dados pontuais do contorno de um

coração, em instantes diferentes. A tabela 4.2 apresenta alguns resultados numéricos e as

figuras 4.3,4.4 e 4.6 ilustram este exemplo.

Figura 4.3: Dados pontuais do segundo exemplo 2D - heartl e heart2, respectivamente.

66 IV - Resultados


A tabela 4.2 mostra que, para este exemplo, se obtém 100% de emparelhamentos, com qualquer um dos métodos de optimização integrados. Com o método de índole local obtemos 96% das correspondências, sendo o custo total resultante ligeiramente inferior ao custo total associado aos algoritmos de optimização. O tempo de execução de cada um, confirma que o método que utiliza uma abordagem local é o mais rápido, enquanto o método Húngaro é novamente o mais lento.

| heartl heart2 \

|N' ' nodos; 32 N° nodos: 28 Custo total

xlO"3

Tempo de

Execução [s] Algoritmo N° nodos não emparelhados N° emparelhamentos

Custo total

xlO"3

Tempo de

Execução [s] Figura | Sem Optimização | 5 1 27 2.208601 0.01 4.4 (a) | | Método Húngaro \ 4 o 28 2.26018 4.206 44 (b) | | Método Simplex \ 4 o 28 2.26018 0.02 4.4 (c) | Método LAPm \ 4 o 28 2.26018 0.02 44 (d) |

ADCom í o -4 32 2.66535 - 46 Tabela 4-2: Resultados do segundo exemplo 2D - heartl e heart2. (Com o algoritmo ADCom o

número de nodos não emparelhados em heart2 é (-4), porque existem quatro nodos nessa figura emparelhados com mais do que um nodo.)

A figura 4.4 mostra que os emparelhamentos obtidos, por qualquer um dos métodos utilizados, são satisfatórios. Nesta mesma figura encontra-se circundada uma zona onde é possível visualizar um emparelhamento obtido com os métodos de optimização global ((b), (c) e (d)), mas não com o algoritmo anteriormente implementado, de índole local (a).

Os resultados do algoritmo ADCom, na tabela 4.2, são referentes à aplicação do algoritmo que permite emparelhamentos do tipo "vários com um". Neste exemplo, este algoritmo é aplicável, visto que o número de pixels na imagem heart] é superior ao número de pixels na imagem heartl, e os objectos considerados são do tipo contorno. O número negativo de nodos não emparelhados, existente na referida linha de resultados, significa que existem quatro emparelhamentos com nodos correspondidos na fase anterior. Com este algoritmo, todos os pixels de ambas as imagens foram emparelhados. Os resultados da aplicação do mesmo encontram-se na tabela 4.3. Nesta tabela é apresentado o ponto não emparelhado na fase de optimização da determinação das correspondências, enquadrado entre dois pontos emparelhados nessa primeira fase: o que o precede; e o posterior. Ou seja, analogamente à figura 3.9 e considerando, a título de exemplo, a primeira linha de valores da tabela 4.3, esta pode ser explicada pelo esquema da figura 4.5.

IV - Resultados 67

Optimização da Determinação das Correspondências enfre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

A figura 4.6 ilustra os resultados apresentados na tabela 4.3. Nesta figura, são facilmente

perceptíveis dois dos quatro emparelhamentos apresentados na tabela abaixo. Esses

emparelhamentos encontram-se circundados.

(a) (b) (c) (d) Figura 4.4: Emparelhamentos entre os objectos heartl e heart2 utilizando o método: (a) sem

optimização; (b) Húngaro; (c) Simplex; e (d) LAPtn. (Na zona circundada é possível visualizar um emparelhamento obtido com (b), (c) e (d), mas não com (a).)

Ponto anterior Ponto não emparelhado Ponto posterior ' J / J /' J

32 1 1 28 2 28 13 17 14 16 15 16 21 10 22 10 23 9 30 2 31 1 32 1

Tabela 4.3:1 ïmparelhamentos entre he art! e heart2 obtidos com o algoritmo ADCom.

Objecto I

Ordem do ponto anterior 4

Objecto J

Ordem do ponto nâo emparelhado na fase de optimização: 5

Ontem do ponto posterior 6

Figura 4.5: Exemplo do significado dos parâmetros da tabela 4.3.

68 IV - Resultados


Figura 4.6: Ilustração dos emparelhamentos obtidos com o algoritmo ADCom.

O terceiro exemplo 2D é constituído por dois conjuntos de dados pontuais do contorno de um "avião", com amostragens e escalas diferentes (figura 4.7).

Figura 4.7: Dados pontuais do terceiro exemplo 2D - airplaneA (57 nodos) e airplaneB (43 nodos), respectivamente.

(a) (b) (c) Figura 4.8: Emparelhamentos entre os objectos airplaneA e airplaneB utilizando o método: (a) sem

optimização; (b) com optimização (Húngaro, Simplex e LAPm); (c) ADCom.

Nas figuras 4.8 (a), (b) e (c) são apresentados os resultados do emparelhamento, utilizando respectivamente: a solução previamente existente de índole local; optimização; e o

IV - Resultados 69


algoritmo ADCom. Na figura 4.8 (c) está circundada uma das zonas em que são visíveis emparelhamentos do tipo "vários com um", entre os dois objectos da figura 4.7. Na tabela 4.4 são apresentados alguns resultados numéricos deste exemplo, associados aos emparelhamentos do tipo "um com um". A tabela 4.5 apresenta os emparelhamentos entre os objectos da figura 4.7, obtidos com o algoritmo ADCom.

airplaneA N° nodos. 57

airplaneB N° nodos. 43

airplaneA N° nodos. 57

airplaneB N° nodos. 43 Custo total

x10'3 Tempo de

Execução [s] Algoritmo N° nodos não emparelhados N° emparelhamentos Custo total

x10'3 Tempo de

Execução [s] Figura Sem Optimização Método Húngaro Método Simplex Método LAPm

ADCom

26 14 14 14 0

12 0 0 0

-14

31 43 43 43 57

2.87044 4.08011 4.08011 4.08011 5.59540

0.01 184.205

0.04 0.441

4.8(a) 4.8 (b) 4.8 (b) 4.8 (b) 4.8(c)

Tabela 4.̂ l: Resultados é o terceiro exer nplo 2D - airplaneA t : airplaneB. (Com o algoritmo ADCom o número de nodos não emparelhados em airplaneB é (-14), porque existem

quatorze nodos nessa figura emparelhados com mais do que um nodo.)

Ponto anterior Ponto não emparelhado Ponto posterior ' ' J / J 2 2 3 2 4 3 13 12 14 13 15 13 20 18 21 18 22 19 26 23 27 23 30 24 27 23 28 23 30 24 28 23 29 23 30 24 34 28 35 29 37 29 35 29 36 29 37 29 38 30 39 31 40 31 41 32 42 33 43 33 43 33 44 33 45 34 50 39 51 39 54 40 50 39 52 39 54 40 50 39 53 39 54 40

Tabela 4.5: Emparelhamentos entre airplaneA e airplaneB obtidos com o algoritmo ADCom.

A tabela 4.4 mostra que, tal como no exemplo anterior, se obtém 100% de emparelhamentos (satisfatórios, como se pode verifiar na figura 4.8 (b)), com qualquer um dos métodos de optimização integrados. Com o método de índole local obtemos apenas 72% das correspondências, sendo o custo total resultante inferior ao custo total associado aos algoritmos de optimização. O tempo de execução de cada um, confirma que o método que utiliza uma abordagem local é o mais rápido, enquanto o método Húngaro é novamente o mais lento.

70 IV - Resultados


Como o número de pixels dos dois objectos do tipo contorno da figura 4.7 é diferente, o algoritmo ADCom é aplicável a este exemplo. O número negativo de nodos não emparelhados (-14), existente na linha de resultados associada a este método, significa que existem quatorze emparelhamentos com nodos correspondidos na fase anterior. Com este algoritmo, todos os pixels de ambas as imagens foram emparelhados. Os resultados da aplicação do mesmo encontram-se na tabela 4.5.

4.3 Objectos 3D

Seguem-se agora dois exemplos de dados pontuais de dois objectos 3D. Na parte inferior de algumas figuras apresentadas nesta secção, encontra-se uma barra colorida que representa a intensidade de cad&pixel.

O primeiro exemplo 3D é constituído por dois objectos compostos por dados pontuais de uma "semi-esfera", com diâmetros e posições diferentes. A figura 4.9 mostra os dois objectos que se pretende emparelhar. Na tabela 4.6 encontram-se os resultados da determinação das correspondências, utilizando os algoritmos sem optimização (local), Húngaro, Simplex e LAPm. As ilustrações desses resultados encontram-se nas figuras 4.10 e4.11.

(a) (b) Figura 4.9: Dados pontuais do primeiro exemplo 3D - (a) semiesferal (25 nodos) e (b) semiesfera2 (25 nodos),

respectivamente.

Os resultados da tabela 4.6 indicam que os métodos de optimização são mais eficientes do que o método que não utiliza um algoritmo desta natureza, visto que conseguem o número máximo possível de emparelhamentos entre os dois objectos. Como consequência deste

IV - Resultados 71


resultado, o custo total associado às correspondências determinadas é superior, pois o número de emparelhamentos também aumenta Neste exemplo, o método local ("Sem Optimização") distingue-se pelo menor tempo de execução. O método Húngaro tem novamente o desempenho mais lento.

semiesferal N° nodos: 25

semiesfera2 N° nodos: 25

semiesferal N° nodos: 25

semiesfera2 N° nodos: 25 Custo total

xlO"2 Tempo de

execução [s] Algoritmo N° nodos não emparelhados N° emparelhamentos Custo total

xlO"2 Tempo de

execução [s] Figura Sem Optimização Método Húngaro Método Simplex Método LAPm

10 0 0 0

10 0 0 0

15 25 25 25

3.13938 5.95533 5.95533 5.95533

0.000 3.555 0.01 0.05

4.10 4.11 4.11 4.11

Tabela 4.6: Resultados do primeiro exemplo 3D - semiesferal e semiesfera2

Figura 4.10: Emparelhamentos entre os objectos semiesferal e semiesfera2 utilizando o método "Sem Optimização" (duas vistas distintas).

Figura 4.11: Emparelhamentos entre os objectos semiesferal e semiesfera2 utilizando os métodos com optimização (Húngaro, Simplex e LAPm) (duas vistas distintas).

O segundo exemplo com dados 3D provém de duas imagens de pedobarografia dinâmica -um exame médico que estuda/analisa a variação da distribuição da pressão exercida pela planta do pé, sobre uma placa sensora, [Tavares, 2000]. Neste exemplo não foi utilizado o

72 IV - Resultados


método Húngaro, pois este mostrou-se impraticável devido ao extenso tempo de execução,

acarretado pelo elevado número de pontos que compõem os objectos.

A figura 4.12 apresenta os dois objectos 3D a emparelhar, construídos a partir de duas

imagens 2D, referentes a diferentes instantes de tempo.

Na tabela 4.7 encontram-se os resultados obtidos com o emparelhamento dos objectos pel epe2, utilizando os algoritmos sem optimização, Simplex e LAPm. As figuras 4.13 e 4.14 ilustram esses resultados.

Figura 4.12: Dados pontuais do segundo exemplo 3D -pel (117 nodos) epe2 (112 nodos), respectivamente.

Os emparelhamentos encontrados não são completamente satisfatórios, em nenhum dos métodos utilizados (sem ou com optimização). No entanto, utilizando um método com optimização determina-se 100% das correspondências, sendo a maior parte destas satisfatórias, enquanto o método local ("Sem Optimização") só determina 29%. Pela discrepância entre a quantidade de emparelhamentos obtidos pelos diferentes métodos, o custo total associado aos métodos "Com Optimização" é superior ao custo total associado à metodologia anterior. O algoritmo do método "Sem Optimização" teve o tempo de execução mais baixo, seguindo-se o algoritmo que utiliza o método Simplex. O algoritmo LAPm mostrou-se o mais lento.

pel N° nodos: 117

pe2 N° nodos: 112

pel N° nodos: 117

pe2 N° nodos: 112 Custo total

xlO"2 Tempo de

Execução [s] Algoritmo N° nodos não emparelhados N° emparelhamentos Custo total

xlO"2 Tempo de

Execução [s] Figura Sem Optimização Método Simplex Método LAPm

85 5 5

80 0 0

32 112 112

5.38808 21.9715 21.9715

0.13 0.141 12.588

4.13 4.14 4.14

Tabela 4. 7: Resultados c o segundo exemplo 3 D-pel e/>< ?2.

IV - Resultados 73


Figura 4.13: Emparelhamentos entre os objectos pel epe2 utilizando o método "Sem Optimização" (vista de frente e vista de trás, respectivamente).

Figura 4.14: Emparelhamentos entre os objectos pel e pe2 utilizando os métodos Simplex e LAPm (vista de frente e vista de trás, respectivamente).

74 IV - Resultados

Capítulo V

Conclusões e Trabalho Futuro


5.1 Conclusões

A determinação das correspondências, no domínio da Visão por Computador, é uma parte

essencial da análise do movimento e/ou deformação de objectos.

O trabalho de base desta dissertação, previamente desenvolvido, utiliza uma metodologia para a determinação das correspondências entre objectos, usando modelação física e análise modal. Nessa metodologia, as correspondências são obtidas a nível local, sendo cada nodo do objecto tratado como um elemento independente e não como pertencente a um modelo global, devidamente construído para o objecto em estudo. Para ultrapassar tal desvantagem, o objectivo principal desta dissertação foi optimizar esta fase de determinação das correspondências, de forma a utilizar critérios globais. Para tal, foram estudados, implementados, integrados e adaptados algoritmos para a resolução de problemas de optimização global e, desta forma, os nodos de cada modelo passaram a ser considerados como pertencentes a um sistema global. Na metodologia previamente implementada, para a determinação de correspondências entre objectos, só são permitidos emparelhamentos do tipo "um com um". No entanto, ao longo desta dissertação foi mais uma vez confirmado que existem diversas situações em que a correspondência do tipo "um com vários", ou vice-versa, poderá ter um interesse acrescido. Assim, um outro objectivo desta dissertação foi a implementação de um algoritmo que permitisse tal tipo de emparelhamentos.

Partindo de tais propósitos, as principais tarefas desenvolvidas ao longo desta dissertação foram as seguintes:

0 Pesquisa bibliográfica dos métodos existentes para a determinação das correspondências entre objectos.

0 Identificação do problema de emparelhamento como um problema de afectação.

0 Pesquisa bibliográfica dos métodos existentes para a resolução de problemas de

optimização e, mais especificamente, problemas de afectação.

0 Implementação/integração e adaptação, de três algoritmos de resolução de problemas de programação matemática lineares, dos quais dois se destinam à

V - Conclusões e trabalho futuro 77


resolução de problemas de afectação clássicos. Os algoritmos considerados foram

escolhidos segundo critérios de simplicidade, generalidade e eficiência

computacional.

0 Integração dos algoritmos mencionados no ponto anterior, numa plataforma de

desenvolvimento e ensaio para processamento e análise de imagem e computação

gráfica, anteriormente criada em Microsoft Visual C++, para ambientes Microsoft

Windows.

0 Aplicação dos mesmos algoritmos na determinação das correspondências entre dois

objectos, permitindo apenas emparelhamentos do tipo "um com um".

0 Implementação de um algoritmo para a determinação das correspondências do tipo "vários com um" e "um com vários", para objectos 2D do tipo contorno, com diferente número de nodos. No desenvolvimento deste algoritmo foram consideradas as seguintes restrições: os nodos vizinhos devem permanecer vizinhos; cruzamentos entre os emparelhamentos obtidos não deveram ser permitidos.

0 Utilização dos algoritmos descritos, em alguns exemplos experimentais.

Os trabalhos desenvolvidos ao longo desta dissertação permitem a apresentação das

seguintes observações e conclusões:

0 Tal como a metodologia de base anteriormente implementada, nenhum dos

métodos encontrados na pesquisa bibliográfica efectuada, para a determinação das

correspondências entre objectos deformáveis, no espaço modal, utiliza algum

método de optimização global.

0 Nos diferentes ensaios experimentais realizados, os algoritmos de optimização

integrados, quando comparados com o algoritmo já existente, de cariz puramente

local, obtiveram um número superior de emparelhamentos satisfatórios, sendo esse

número sempre igual para os três métodos de optimização.

78 V - Conclusões e trabalho futuro


O O primeiro algoritmo de optimização implementado, utilizando o método Húngaro, mostrou-se pouco eficiente em termos do tempo de execução. Note-se que este método é o único que utiliza um algoritmo de optimização, que não guarda informação sobre os emparelhamentos encontrados em iterações anteriores. Tal acarreta um custo computacional adicional.

0 O segundo algoritmo integrado e adaptado, utilizando o método Simplex para problemas de fluxo, nos vários exemplos experimentais efectuados, mostrou-se o mais eficiente, conseguindo sempre os menores tempos de execução, entre os algoritmos de optimização utilizados.

0 O terceiro algoritmo integrado e adaptado (LAPm) obteve um tempo de execução superior ao segundo (Simplex), mesmo sendo um algoritmo mais específico para o tipo de problemas em questão. Pensa-se que tal facto se deve ao intervalo em que se encontram os elementos da matriz de afinidade, [0; 2], pois quando este algoritmo foi testado em [deli' Amico, 2000], as matrizes de afinidade continham valores nos intervalos [1; 10], [1; 100], [1; 1000] e [1; 1000000], sendo este mais eficiente quando considerado o intervalo [1; 100].

0 Em alguns ensaios experimentais efectuados notou-se que, para se obter resultados de emparelhamento satisfatórios, a escolha dos parâmetros para a construção da matriz de afinidade teve que ser "mais cuidada", quando foi utilizado o método de emparelhamento previamente existente (de índole local). Nesses mesmos exemplos, a aplicação do método de emparelhamento proposto nesta dissertação, baseado em técnicas de optimização, além de produzir bons resultados de emparelhamento, revelou-se menos sensível aos valores dos vários parâmetros considerados na metodologia global. Tal sugere que com o método de emparelhamento proposto é possível tornar a metodologia global, baseada no método dos elementos finitos e na análise modal, mais fácil de usar e adaptável a diferentes aplicações.

0 Em alguns dos exemplos considerados, o número de modos de vibração necessários para a obtenção de correspondências satisfatórias utilizando o método de emparelhamento proposto, baseado em técnicas de optimização, foi inferior ao



número de modos necessários com o método de emparelhamento local, previamente existente. Por exemplo, nas imagens das duas semi-esferas (primeiro exemplo 3D apresentado) foram apenas necessários 50% dos modos, para obter 100% dos emparelhamentos, utilizando o método de emparelhamento proposto. No entanto, para obter 96% dos emparelhamentos utilizando o método de emparelhamento local, foi necessário considerar 75% dos modos. Tal sugere que, com o método de emparelhamento proposto, o esforço computacional total exigido pela metodologia global é menor.

0 Nos vários exemplos considerados na fase de experimentação, o algoritmo implementado para a determinação de correspondências do tipo "vários com um" ou "um com vários", obtém emparelhamentos satisfatórios, quando utilizado em objectos 2D do tipo contorno. Tal permite-nos concluir que o referido algoritmo poderá constituir uma solução inicial interessante, para o desenvolvimento de novas soluções para este tipo de correspondências, quando os objectos a emparelhar apresentarem uma maior complexidade.

Para além da utilização, reportada nesta dissertação, do método de emparelhamento, baseado em técnicas de optimização, proposto na metodologia física, anteriormente implementada na plataforma de desenvolvimento e ensaio e baseada no método dos elementos finitos e na análise modal, foi também testada a sua utilização na metodologia, também previamente existente na referida plataforma, baseada na descrição modal da forma, [Shapiro, 1992(b); Tavares, 2000]. Esta metodologia analisa individualmente cada objecto para a extracção dos seus modos de forma e, seguidamente, utiliza-os para o estabelecimento das correspondências. Essencialmente os modos codificam a forma do objecto, baseando-se nas distâncias entre pontos. Para uma compreensão intuitiva da abordagem utilizada nesta metodologia, considere-se um objecto com m pontos e suponha-se que se define um conjunto de m eixos que represente um sistema de coordenadas num espaço de dimensão m. A cada ponto é então associada uma coordenada neste espaço de maior dimensão; por exemplo, cada ponto é mapeado a partir do seu espaço coordenado num hiperespaço de m eixos. Este mapeamento é independente para cada objecto e, quando as formas dos objectos são similares, pontos que deverão ser associados irão coincidir no hiperespaço, [Tavares, 2000].



Os ensaios experimentais realizados, utilizando a referida metodologia, permitiram concluir que, tal como com a utilização de modelação física, as correspondências obtidas com o método proposto nesta dissertação, baseado em métodos de optimização, são satisfatórias e o seu número aumenta, quando comparado com o resultante da utilização do método de emparelhamento, previamente existente, de índole local. Também se verificou que com o tipo de emparelhamento proposto, a metodologia global toma-se mais simples de utilizar e mais adaptável.

5.2 Trabalho futuro

Os itens que se seguem referem-se a tarefas que pretendem melhorar o trabalho já efectuado ou prosseguir o trabalho apresentado nesta dissertação.

Tendo-se como objectivo a progressão do trabalho realizado ao longo desta dissertação,

poderão ser referidos os seguintes itens:

0 Na optimização das correspondências devem ser consideradas as restrições de vizinhança e ordem, para além do nível de confiança já considerado. Para tal sugere-se a inclusão de tais restrições no processo de optimização, podendo-se utilizar o nível de confiança de cada emparelhamento para a escolha dos nodos que deverão "guiar" o decurso de tal processo.

0 Evoluir o algoritmo ADCom de forma a este ser aplicado a objectos 2D genéricos ou a objectos 3D. Por exemplo, poderá ser utilizada a informação sobre as células que constituem os objectos.

0 Permitir que o emparelhamento do tipo "um com vários" ou vice-versa seja

aplicado apenas a uma parte de um objecto. Tal aplicação poderá ser interessante

em zonas em que ocorra dilatação/contracção e/ou em zonas com amostragens AC ♦

diferentes.

0 Realizar mais ensaios experimentais de forma a validar as metodologias integradas ao longo desta dissertação.


Optimização do Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

Para a continuação do trabalho desenvolvido são apresentadas as seguintes sugestões:

0 Desenvolver uma aplicação que determine as correspondências ao longo de

sequências de imagens.

0 Incluir nessa aplicação restrições aplicáveis durante a sequência de imagens em

estudo, como por exemplo, ao longo da mesma a ordem dos nodos não deverá ser

alterada em demasia. .

0 Utilizar/integrar a informação que vai sendo obtida ao longo da sequência, como

por exemplo, se o pontoa do objecto t está emparelhado com o ponto B do objecto

t + l, então no objecto t + 2, o ponto a emparelhar com B, deverá estar na

vizinhança desse.

0 Verificar a influência dos vários parâmetros utilizados na metodologia

anteriormente implementada, e também utilizada nesta dissertação, para a

construção da matriz de afinidade que relaciona os nodos dos modelos e, no âmbito

desta dissertação, é posteriormente considerada no processo de optimização para a

determinação das correspondências.

0 Verificar/resolver o problema associado à influência do sinal dos vectores próprios. Este problema revela-se mais severo quanto menor é a ordem do modo; tendo-se confirmado que se o modo é do tipo rígido, a escolha do sinal de forma errada poderá implicar que o objecto rode 180°. Se pelo contrário, a ordem do modo é elevada, então geralmente a escolha errada do sinal do mesmo não acarreta grandes alterações nos emparelhamentos obtidos.

0 Verificar/resolver o problema associado a valores/vectores próprios iguais, pois a

solução usada consiste em retirá-los da base, o que por vezes não é a melhor

solução, [Tavares, 2000], Este problema é mais evidente quando o objecto em

questão apresenta simetrias relevantes.



0 Passar a considerar a influência de cada modo de vibração no emparelhamento esperado, isto é, se, por exemplo, a transformação verificada é essencialmente rígida, aumentar a participação dos modos de menor ordem no conjunto de modos considerado, e da mesma forma, à medida que a transformação esperada passa a ser essencialmente do tipo local, diminuir a influência destes e aumentar a dos modos de ordem mais elevada. Esta metodologia deverá ser mais genérica do que a actualmente integrada, que consiste simplesmente em retirar da base modal os modos menos relevantes à transformação esperada



84 v - Conclusões e trabalho futuro

.

Bibliografia


[Atíenza, 1996] - V. Atienza, J. M. Valiente, G. Andreu

NON-RIGID OBJECT TRACKING: A PREDICTIVE VECTORIAL MODEL APPROACH

PROCEEDINGS IN LASTED SIGNAL AND IMAGE PROCESSING (SIP'96), PP. 274-278, ORLANDO, Nov. 1996

| Bajcsy, 1989] - R Bajcsy, S. Kovacic

MULTTRESOLUnON ELASTIC MATCHING

COMPUTER VISION, GRAPHICS, AND IMAGE PROCESSING, VOL. 46, NO. 1, PP. l -21.1989

[Bastos, 2003] - L. F. Bastos, J. M. R. S. Tavares

TÉCNICAS DE OPTIMIZAÇÃO NA DETERMINAÇÃO DAS CORRESPONDÊNCIAS ENTRE OBJECTOS DEFORMÁVEIS

ARTIGO PARA O VII CONGRESSO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL, UNIVERSIDADE DE ÉVORA, ABRE. DE 2003.

[Bathe, 1996] -K.-J. Bathe

FINITE ELEMENT PROCEDURES

PRENTICE-HALL, INC. -1996

| Belhumeur, 1997] - P. N. Belhumeur, J. P. Hespanha, D. J. Kriegman

EIGENFACES VS FLSHERFACES: RECOGNITION USING CLASS SPECIFIC LINEAR PROJECTION

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 19.1997

[Belongie, 2002] - S. Belongie, J. Malik, J. Puzicha

SHAPE MATCHING AND OBJECT RECOGNITION USING SHAPE CONTEXTS

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL.24, NO. 24, APRIL 2002

[Blake, 1993] - A. Blake, R. Curwen, A. Zisserman

A F R A M E W O R K F O R S P A T I O T E M P O R A L C O N T R O L I N T H E T R A K I N G O F V I S U A L

CONTOURS

INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION, VOL. 11, PP. 127-45. 1993

[Cohen, 1990] - L. Cohen, I. Cohen

A FINITE ELEMENT METHOD APPLIED TO THE NEW ACTIVE CONTOUR MODELS AND 3D RECONSTRUCTION FROM CROSS SECTIONS

3 R D I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E O N C O M P U T E R V I S I O N , I E E E C O M P U T E R S O C I E T Y

CONFERENCE, OSAKA, JAPAN. 1990

Bibliografia 87

Optimização da Determinação dos Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

[Cootes, 2001] - T. F. Cootes, G. J. Edwards, C. J. Taylor ACTIVE APPEARENCE MODELS

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 2 3 , PP. 681-85.2001

[Cootes, 1995] - T. F. Cootes, C. J. Taylor COMBINING POINT DISTRIBUTION MODELS WITH SHAPE MODELS BASED ON FINITE ELEMENT ANALYSIS

IMAGE AND VISION COMPUTING, VOL. 13, PP. 403-10.1995.

[Cootes, 1992] - T. F. Cootes, et al. TRAINING MODELS OF SHAPE FROM SETS OF EXEMPLES

DEPARTMENT OF MEDICAL BIOPHYSICS, UNIVERSITY OF MANCHESTER. 1992

[Craw, 1999] - 1 . Craw, et al. How SHOULD WE REPRESENT FACES FOR AUTOMATIC RECOGNITION


[dell' Amico, 2000] - M. Dell' Amico, P. Tooth ALGORITHMS AND CODES FOR DENSE ASSIGNMENT PROBLEMS: THE STATE OF THE ART

DISCRETE APPLIED MATHEMATICS, 100, PP. 274-278,2000

[Duncan, 1991] - J. S. Duncan, et al. MEASUREMENT OF NON-RIGID MOTION USING CONTOUR SHAPE DESCRWTORS

COMPUTER VISION AND PATTERN RECOGNITION, CVPR'91. HAWAE, 1991

[Gill, 1999] - P. E. GUI, W. Murray, M. H. Wright PRACTICAL OPTIMIZATION

ACADEMIC PRESS- 1999

[Hall, 2000] - P. Hall, D. Marshall, R. Martin MERGING AND SPLITTING EIGENSPACE MODELS

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 22: PP. 1042-9. 2000

[Harrow, 1998] - D. L. Harrow, et al. MACHINE VISION FOR ARM GESTURE RECOGNITION USING ACTIVE SHAPE MODELS AND TRAJECTORY PREDICTION TECHNIQUES

IOTH PORTUGUESE CONFERENCE ON PATTERN RECOGNITION, RECPAD'98. LISBOA, PORTUGAL, 1998

88 Bibliografia

Optimização do Determinação das Correspondências entre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

[Hill, 1994] - A. Hill, C. J. Taylor AUTOMATIC LANDMARK GENERATION FOR POINT DISTRIBUTION MODELS

DEPARTMENT OF MEDICAL BIOPHYSICS, UNTVERSITY OF MANCHESTER. 1994

[Hill, 2000] - A. Hill, C. J. Taylor, A. D. Brett A FRAMEWORK FOR AUTOMATIC LANDMARK IDENTIFICATION USING A NEW METHOD FOR NONRIGD) CORRESPONDENCE

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 22: PP. 241-51.2000

I Millier, 199S] - F. S. Hillier, G. J. Lieberman INTRODUCTION TO OPERATIONS RESEARCH

MCGRAW-HILL INTERNATIONAL EDITIONS -1995

[Jain, 1995] - R. Jain, R. Kasturi, B. G Schunck MACHINE VISION

MCGRAW-HILL INTERNATIONAL EDITIONS -1995

[Jonker, 1987] - R Jonker, A. Volgenant A SHORTEST AUGMENTING PATH ALGORrrHM FOR DENSE AND SPARSE LINEAR ASSIGNMENT PROBLEMS

COMPUTING, VOL. 38(PP. 335-340). 1987

[Jordan, 2001] - G C. Jordan INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL E INVESTIGAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE DE AVEIRO- 2001

[Kass, 1988] - A. W. M. Kass, D. Terzopoulos SNAKES: ACTIVE CONTOUR MODELS

INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION, PP. 321 -331.1988

[Kruglinski, 1993] - D. J. Kruglinski INSIDE VISUAL C1^

MICROSOFT PRESS -1993

[Lanitis, 2002] - A Lanitis, C. J. Taylor, T. F. Cootes TOWARD AUTOMATIC SIMULATION OF AGING EFFECTS ON FACE IMAGES

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 24, PP. 442-55. 2002

Bibliografia 89


[Lenstra, 1991] - J. K. Lenstra, A. H. G. Rinnooy Kan, A. Schrijver

HISTORY OF MATHEMATICAL PROGRAMMING - A COLLECTION OF PERSONAL REMINISCENCE

C WI NORTH-HOLLAND -1991

[Lõbel, 2000] - A. Lõbel

M F C - A NETWORK SIMPLEX IMPLEMENTATION

HTTP:/AVWW.Zm.DE/OPTIMlZATION/SOFTWARE/MCF. 2000

[Maciel, 2001] - J. L. Maciel

D I S S E R T A Ç Ã O D E D O U T O R A M E N T O : G L O B A L M A T C H I N G : O P T I M A L S O L U T I O N T O

CORRESPONDENCE PROBLEMS

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO, UNIVERSIDADE DE LISBOA. 2001

[Martinez, 2002] - A. M. Martinez

RECOGNIZING IMPRECISELY LOCALIZED, PARTIALLY OCCLUDED, AND EXPRESSIONS VARIANT FACES FROM A SINGLE SAMPLE PER CLASS

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 24, PP. 748-63. 2002

[Matthew, 1991] - A. P. P. Matthew, A. Turk

FACE RECOGNITION USING EIGENFACES

JOURNAL OF COGNITIVE NEUROSCIENCE, VOL. 3, PP. 71-86.1991

[Matthews, 2002] - 1 . Matthews, T. F. Cootes

EXTRACTION OF VISUAL FEATURES FOR LD7READING

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 24: PP. 198-213.2002

[Mclnerney, 1996] - D. T. T. Mclnerney

DEFORMABLE MODELS IN MEDICAL IMAGE ANALISYS: A SURVEY

MEDICAL IMAGE ANALISYS, VOL. 1, PP. 91-108. 1996

[Moghaddan, 1994] - B. Moghaddan, A. S. Pentland

FACE RECOGNITION USING VDIW-BASED AND MODULAR EIGENSPACES

AUTOMATIC SYSTEMS FOR THE IDENTIFICATION AND INSPECTION OF HUMANS, VOL. 2277. 1994

90 Bibliografia


[Moghaddan, 1997] - B. Moghaddan, A. S. Pentland

PROBABILISTIC VISUAL LEARNING FOR OBJECT REPRESENTATION

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 19. 1997

[Nascimento, 2002] - J. C. Nascimento, A. J. Abrantes, J. S. Marques

THE ROLE OF M IDDLE LEVEL FEATURES FOR ROBUST SHAPE TRACKING

12TH PORTUGUESE CONFERENCE ON PATTERN RECOGNITION, RECPAD'2002. AVEIRO, PORTUGAL, 2002

[Nastar, 1993] - C. Nastar

ANALYTICAL COMPUTATION OF THE FREE VIBRATION MODES: APPLICATION TO NON R K ; ID MOTION ANALYSIS AND ANIMATION IN 3D IMAGES

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. 1993

[Nastar, 1994] - C. Nastar

MODELES PHYSIQUES D E F O R M A B L E S ET MODES VIBRATOIRES POUR L'ANALYSE DU MOUVEMENT NON-RIGIDE DANS LES IMAGES MULTTOIMENSIONNELLES

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. 1994

[Nemhauser, 1988] - G. L. Nemhauser, L. A. Wolsey

INTEGER AND COMBINATORIAL OPTIMIZATION

WlLLEY-1988

[Ohba, 1997] - K. Ohba, K. Ikeuchi

DETECTABHITY, UNIQUENESS, AND RELIABILITY OF ElGEN WINDOWS FOR STABLE VERIFICATION OF PARTIALLY OCCLUDED OBJECTS


[Papadimitriou, 1939] - C. H. Papadimitriou, K. Steiglitz

COMBINATORIAL OPTIMIZATION - ALGORITHMS AND COMPLEXITY

PRENTICE-HALL, INC. -1939

| Pai agios, 2000] - N. Paragios, R Deriche

GEODESIC ACTIVE CONTOURS AND LEVEL SETS FOR THE DETECTION AND TRACKING OF MOVING OBJECTS

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 22, PP. 266-80.2000

Bibliografia 91

Optimização da Deferminação das Correspondências enfre Objectos Deformáveis no Espaço Modal

[Pentland, 1989(a)] - A. S. Pentlad, J. Williams

PERCEPTION OF NON-RIGID MOTION: INFERENCE OF SHAPE, MATERIAL AND FORCE

11TH INTERNATIONAL JOINT CONFERENCE ON ARTIFICIAL INTELLIGENCE. DETROIT, MlCfflGAN USA, 1989

[Pentland, 1989(b)] - A. S. Pentlad, J. Williams

GOOD VIBRATIONS: MODAL DYNAMICS FOR GRAPHICS AND ANIMATION

16TH ANNUAL CONFERENCE ON COMPUTER GRAPHICS AND INTERACTIVE TECHNIQUES, ACM PUBLISHER. 1989

[Pentland, 1990] - A. S. Pentland

AUTOMATIC EXTRACTION OF DEFORMABLE PART MODELS

INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION, VOL. 4, NO. 2, PP. 107-126.1990

[Pentlad, 1991(a)] - A S . Pentlad, S. Sclaroff

CLOSED FORM SOLUTIONS FOR PHYSICALLY BASED SHAPE MODELLING AND RECOGNITION

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 13, NO. 7, PP. 715-729.1991

[Pentlad, 1991(b)] - A. S. Pentlad, B. Horowitz

RECOVERY OF NONRIGID MOTION AND STRUCTURE


[Pentland, 1994] - A. S. Pentland, B. Moghaddan, T. Starner

VDÏW-BASED AND MODULAR ElGENSPACES FOR FACE RECOGNITION

IEEE CONFERENCE ON COMPUTER VISION AND PATTERN RECOGNITION. SEATTLE, USA 1994

[Sclaroff, 1995] - S. E. Sclaroff

PHD THESIS: MODAL MATCHING - A METHOD FOR DESCRIBING, COMPARING, AND MANIPULATING DIGITAL SIGNALS

MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY -1995

[Segerlind, 1984] - L. J. Segerlind

APPLD2D FINITE ELEMENT ANALYSIS

JOHN WiLLEY & SONS, INC. 1984

92 Bibliografia


[Sehad, 2000(a)] - A. Sehad, et ai.

FACE RECOGNITION UNDER VARYING VIEWS

11 TH PORTUGUESE CONFERENCE ON PATTERN RECOGNITION. R E C P A D ' 2 0 0 0 . PORTO, PORTUGAL, 2000

[Sehad, 2000(b)] - A. Sehad, et al.

FACE RECOGNITION USING NEURAL NETWORKS AND EIGENFACES

11TH PORTUGUESE CONFERENCE ON PATTERN RECOGNITION, RECPAD'2000. PORTO, PORTUGAL, 2000

[Shapiro, 1991] - L. Shapiro

TOWARDS A VISION-BASED MOTION FRAMEWORK

ROBOTICS RESEARCH GROUP, DEPARTMENT OF ENGINEERING SCIENCE, OXFORD UNIVERSITY. 1991

.

[Shapiro, 1992(a)] - L. Shapiro, J. M. Brady

A MODAL APPROACH TO FEATURE-BASED CORRESPONDENCE

ROBOTICS RESEARCH GROUP, DEPARTMENT OF ENGINEERING SCIENCE, OXFORD UNIVERSITY. 1992

[Shapiro, 1992(b)] - L. Shapiro, J. M. Brady

FEATURE-BASED CORRESPONDENCE: AN EIGENVECTOR APPROACH

IMAGE AND VISION COMPUTING, VOL. 10, NO. 5, PP. 283-88.1992

[Staib, 1991] - L. H. Staib, J. S. Duncan

PARAMETRICALLY DEFORM ABLE CONTOURS MODELS

COMPUTER VISION AND PATTERN RECOGNITION, CVPR'91. HAWAII, 1991

[Swets, 1996] - D. L. Swets, J. Weng

USING DISCRIMINANT EIGENFEATURES FOR IMAGE RETRIEVAL


[Tavares, 1995] - J. M. R. S. Tavares

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: OBTENÇÃO DE ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL A PARTIR DE MOVIMENTO DE CÂMARA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNTVERSIDADE DO PORTO -1995

Bibliografia W


[Tavares, 1997] - J. M. R. S. Tavares, A. J. Padilha APRESENTAÇÃO DE UMA ABORDAGEM MODAL PARA A DETERMINAÇÃO DAS CORRESPONDÊNCIAS ENTRE PIXELS DE DOIS CONTORNOS NÃO RÍGIDOS. INSTITUTO DE ENGENHARIA BIOMÉDICA

FACULDADE DE ENGENHARIA, UNIVERSIDADE DO PORTO -1997

[Tavares, 1999] - L. V. Tavares, F. N. Correia OPTIMIZAÇÃO LINEAR E NÃO LINEAR: CONCEITOS, MÉTODOS E ALGORITMOS

FUNDAÇÃO CALOUSTE GULBENKIAN -1999

[Tavares, 2000] - J. M. R. S. Tavares TESE DE DOUTORAMENTO: ANALISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO - 2000

[Tavares, 2002(a)] - J. M. R S. Tavares, J. Barbosa, A. Jorge Padilha SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL: UMA INTRODUÇÃO

ARTIGO SUBMETIDO À REVISTA VIRTUAL - REVISTA ELECTRÓNICA DE VISUALIZAÇÃO, SISTEMAS ÏNTERACHVOS E RECONHECIMENTO DE PADRÕES. OUTUBRO DE 2002

[Tavares, 2002(b)] - J. M. R S. Tavares, J. Barbosa, A. Jorge Padilha APRESENTAÇÃO DE UM BANCO DE DESENVOLVIMENTO E ENSAIO PARA OBJECTOS DEFORMÁVEIS

RESI - REVISTA ELECTRÓNICA DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO, EDIÇÃO 1, VOL. 0 1 , NO. 1, NOVEMBRO DE 2002

[Terzopoulos, 1988] - A. W. D. Terzopoulos, M. Kass CONSTRAINTS ON DEFORMABLE MODELS: RECOVERING 3D SHAPE AND NONRIGID MOTION

IEEE DEFORMABLE MODELS IN MEDICAL IMAGE ANALYSIS. 1988

[Terzopoulos, 1991] - D. Terzopoulos, D. Metaxas DYNAMIC 3D MODELS WITH LOCAL AND GLOBAL DEFORMATIONS: DEFORMABLE SUPERQUADRATICS

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 13, NO. 7, PP. 703-714.1991

[Volgenant, 1996] - A. Volgenant LINEAR AND SEMI-ASSIGNMENT PROBLEMS: A CORE ORIENTED APPROACH

COMPUTERS AND OPERAHONS RESEARCH VOL.23, NO. 10,1996

94 Bibliografia



4150-180 PORTO PORTUGAL


[Young, 1996] - M. J. Young MASTERING VISUAL C** 6

SYBEX-1996

| Yuillc, 1992] - A. L. Yuille, P. W. Hallinan, D. S. Cohen FEATURE EXTRACTION FROM FACES USING D E F O R M A B L E TEMPLATES

INTERNATIONAL JOURNAL OF COMPUTER VISION, VOL. 8, PR 99-111.1992

Bibliografia

UNIVERSIDADE 00 PORTO


B I B L I O T E C A

95

Optimização da Determinação das Correspondências entre Objecfos Deformáveis no Espaço Modal

96 bibliografia



44:50 -180 PORTO PORTUGAL

OPTIMIZAÇÃO DA DETERMINAÇÃO DAS CORRESPONDÊNCIAS …

Documents

Transcript of OPTIMIZAÇÃO DA DETERMINAÇÃO DAS CORRESPONDÊNCIAS …