ORDER PICKING – MODELOS MATEMÁTICOS E UMA CLASSE DE DESIGUALDADES VÁLIDAS BASEADAS EM GRAFO DE CONFLITO

Bruno Takane Universidade Federal de Minas Gerais

Avenida Presidente Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte brtakane@gmail.com

Nari Louise TenKley

Universidade Federal de Minas Gerais Avenida Presidente Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte

nari.tenkley@gmail.com

Gilberto de Miranda Júnior Universidade Federal de Minas Gerais

Avenida Presidente Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte miranda@dep.ufmg.br

Luiz Ricardo Pinto

Universidade Federal de Minas Gerais Avenida Presidente Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte

luiz@dep.ufmg.br

RESUMO A coleta de produtos em armazéns é uma função essencial e valiosa para uma cadeia de suprimentos. Este artigo apresenta um algoritmo para geração de desigualdades válidas para limites inferiores mais justos e uma heurística para gerar soluções viáveis para o problema de roteamento de veículos com coleta repartida e nível de serviço on-line, do inglês vehicle routing problem with split pickup and service level on-line(VRPSPSL). Este modelo on-line aproveita a informação atualizada, disponível em muitos armazéns hoje em dia. Palavras chave: Roteamento de veículos; Armazéns; Order picking; On-line; Coleta repartida;

ABSTRACT The picking of items in a warehouse is an essential and costly function for supply chains. This article presents an algorithm to generate tighter dual bounds and a heuristic to generate feasible solutions for the vehicle routing problem with split pickup and service level on-line(VRPSPSL). This on-line model takes advantage of the up-to-date information commonly available in warehouses today. Keywords: Vehicle routing; Warehousing; Order picking; On-line; Split deliveries;

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1. Introdução

A operação de armazéns é uma atividade vital para qualquer cadeia de suprimentos. A competição que existe nos mercados e o investimento que os armazéns representam requerem que muita atenção e esforço sejam aplicados na melhoria dos armazéns (Gu et al., 2007). Dentro de um armazém, recolhe-se uma quantidade especifica de um número de itens em locais conhecidos de acordo com os pedidos recebidos. Segundo Peterson & Aase (2004), a atividade de recolhimento de pedidos conta normalmente com 50-75% do custo total de operação dentro de um armazém. Devido a este alto custo, o estudo de políticas de coleta e roteamento é de grande relevância na prática. A situação aqui considerada é de um armazém com uma frota de veículos capacitada e homogênea. A política de coleta é de agrupamento dos pedidos. Com a política de agrupamento, cada pedido que chega pode ser dividido, ou seja, alguns itens de um pedido podem ser recolhidos junto com itens de outro pedido. Um veículo pode passar por qualquer ponto do armazém sem recolher um produto daquele ponto. É permitido também que um veículo recolha apenas uma fração da demanda total de um produto, se esta demanda for maior que a capacidade do veículo. Com esta política, não há restrição no tamanho de um pedido relacionado à capacidade do veículo. A coleta dos produtos deve ser completada dentro de um tempo previamente determinado, que é definido como o nível de serviço do armazém. Dado isso, o problema a ser estudado é de dimensionamento de recursos (equipamento e / ou funcionários) dentro do armazém. Especificamente, o problema tem como objetivo determinar o número mínimo de recursos necessários para atender todos os pedidos dentro do tempo máximo de atendimento desejado (nível de serviço). Este objetivo é diferente dos problemas mais estudados na literatura que normalmente minimizam o custo (distância) das rotas. Com o alto custo de ativação de um veículo ou funcionário, deseja-se minimizar este custo, mantendo sempre um tempo de serviço satisfatório. A pergunta chave, então, é: Quantos veículos/funcionários eu preciso para garantir meu nível de serviço? A resposta conta com a determinação da seqüência em que os itens devem ser buscados, ou seja, o roteamento dos veículos necessários. Este artigo tem como objetivo dar continuidade aos estudos feitos por Tenkley(2008) para o problema que pode ser chamado em inglês de Vehicle Routing Problem with Split Pickup and Service Level on-line (VRPSPSL). A partir dos modelos estático e on-line deste problema apresentados em seu artigo, será mostrado um algoritmo para gerar limites inferiores mais justos, baseados na capacidade dos caminhões e no nível de serviço. Além disso, foi desenvolvido uma heurística para conseguir achar uma solução viável mais rapidamente, de modo a reduzir o tempo computacional de procura de uma solução para o modelo. Assim que essa solução é passada para o modelo, o ótimo é encontrado mais rapidamente em conjunto com os limites inferiores justos obtidos.

2. Revisão de Literatura A maioria dos modelos para resolução do problema de roteamento na literatura são variações do problema de roteamento de veículos (VRP – Vehicle Routing Problem), que trata do problema de criar rotas ligando um ou mais depósitos aos clientes. O VRP capacitado (CVRP) é um problema estudado com freqüência na literatura durante os últimos 50 anos. Dror e Trudeau (1989) introduziram uma relaxação do conhecido CVRP onde a demanda de um cliente pode ser repartida entre dois ou mais veículos. Este problema é chamado, em inglês, de Split Delivery Vehicle Routing Problem (SDVRP). Mesmo sendo o problema uma relaxação do CVRP, o problema continua sendo NP - difícil, a divisão de demanda entre veículos pode resultar em economias significativas (DROR & TRUDEAU, 1989). Mullaseril (1997)

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apresentou uma heurística para um problema de caminhões em um rancho no Arizona, EUA. Belenguer et. al. (2000) mostraram um novo limite inferior para o problema. Archetti, et. al. (2006) desenvolveram um algoritmo de busca tabu. Jin et. al (2007) apresentam bons resultados com um novo algoritmo de duas etapas com desigualdades válidas para o SDVRP. O algoritmo apresentado por Ratliff e Rosenthal (1983) trata o problema de roteamento para um armazém convencional com fileiras estreitas. Com base nesse algoritmo, De Koster e van der Poort estudaram o caso de armazéns com vários depósitos localizados nas fileiras e compararam os resultados do seu algoritmo com os resultados de heurísticas. Daniels et. al. (1998) desenvolveram um modelo para resolver simultaneamente o problema de roteamento e o problema de designação de local de estocagem. Roodbergen e de Koster (1998) estudaram roteamento em armazéns com até três fileiras atravessadas e demonstraram os efeitos com simulação. Bellenguer, Martinez e Mota (1997) apresentaram um novo limite inferior para o SDVRP. O limite é baseado na descrição do poliedro do SDVRP e uma nova família de desigualdades válidas. O método de cutting plane conseguiu resolver exatamente algumas instâncias, inclusive uma de 50 clientes, mas os autores admitiam que instâncias grandes não gerassem sempre soluções viáveis.

Vaidyanathan et al. (1999) estudaram uma variação interessante do CVPR na qual o problema precisa ser resolvido para um ambiente de produção just-in-time. O objetivo do problema é minimizar o número de veículos, mas os veículos devem entregar somente a quantidade de materiais necessários até o veículo voltar com outra rota. Deste modo, o tempo parado dos veículos deve ser minimizado. Os autores desenvolveram uma heurística para resolver o problema utilizando uma relaxação linear do problema para oferecer um limite inferior. A heurística tem melhores resultados quando a capacidade do veículo é grande.

3. Modelo On-Line

O modelo matemático do problema on-line trabalha com as rotas em execução geradas a partir do modelo estático descrito em Tenkley (2008) e altera-as para incluir novos pedidos. Este problema é definido em um grafo G=(V, E) com um conjunto de vértices V={1, 2, ..., n}, onde o vértice 1 representa a doca e os demais vértices são os locais de coleta dos produtos. Este grafo consiste em um conjunto de arcos E, onde o custo (comprimento do arco) custoij de um arco é não-negativo. Cada vértice k pode conter uma demanda inteira para os produtos e os veículos podem atravessar um arco

Eji ∈),( kdEji ∈),( com demanda no vértice j sem

recolher qualquer fração da demanda obrigatoriamente. Os veículos têm capacidade máxima igual à Cap e a solução pode alocar qualquer número de veículos em espera. Cada rota tem uma restrição de nível de serviço max_ct equivalente ao tempo máximo de recolhimento dos produtos. A solução deve recolher toda a demanda sem exceder a capacidade dos veículos ou nível de serviço.

kd

kd

A principal diferença do modelo on-line para o estático é que ele trabalha com as rotas em execução geradas a partir do modelo estático, onde todos os veículos partem da doca. Os produtos a serem recolhidos por um veículo c não podem ser retirados de sua rota, pois é essa rota anterior que garante o nível de serviço para os itens dessa rota. No entanto, ela pode ser acrescida de novos pedidos para aproveitar a capacidade e o tempo de sobra dos veículos em andamento. Desse modo, o modelo procura sempre que possível colocar demanda nova e uma rota já existente. Quando não houverem mais capacidade ou nível de serviço de todos os veículos para coletar novas demandas, então o modelo ativa um veículo stand-by não ativo no momento com custo elevado.

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3.1. Parâmetros

• I: conjunto de locais no armazém; • K: conjunto de zonas de coleta; • C: conjunto de veículos; • E: conjunto de arcos (i, j) entre local i e j; • n: número máximo de veículos (limite superior) • custoij: custo de atravessar arco (i, j); • Cap: capacidade de cada veículo; • Max_ct: Custo máximo de cada rota – nível de serviço; • : Veículos em rota; cy• : arcos (i,j) já atravessados pelo veículo c;

• dok: demanda original dos produtos k(do modelo estático); • dnk: demanda nova dos produtos k; • dsck: demanda original k que já foi recolhido; • dak: demanda total atual (demanda original + demanda nova); • zck: porcentagem da demanda original do produto k atribuído ao veículo c. • : custo de ativação de um veículo stand-by;

3.2. Variáveis de Decisão

• : igual a 1 se o veículo c atravessa arco (i, j) na continuação da rota; 0 se não; cijx

• : fração da demanda dnckg k que o veículo c recolhe, ≥0; • : igual a 1 se o veículo stand-by (já utilizado mas não esta em rota no momento), c, cs

for ativado; 0 se não; • : fluxo global no arco (i, j) do veículo c com destino à zona k, ≥0; kc

ijf

3.3. Modelo Matemático On-line

(1) Sujeito a:

(2)

(3)

(4) (5)

(6)

(7) (8)

(9)

(10)

1733

(11) (12)

(13) (14)

(15)

+ (16) No modelo, a função objetivo (1) minimiza o número de veículos stand-by ativados, com um pequeno custo das rotas para evitar sub-ciclos. As restrições (2) e (3) garantem que um veículo ativado saia só uma vez da doca, que apenas veículos ativados andem pelos arcos, e que um veículo atravessa um arco só uma vez na mesma direção. Conjunto (4) garante que um veículo que não foi ativado ainda seja contado como um veículo stand-by. A restrição (5) garante que um veículo que entra em um dado nó j saia do nó j. A restrição (6) calcula o custo total (tempo) de cada rota e garante que este custo seja menor do que o custo máximo permitido (nível de serviço). Conjunto (7) garante que toda a demanda seja recolhida por um veículo ativado. A restrição (8) limita a capacidade de cada veículo. A restrição (9) representa um limite inferior para o número de veículos necessários. A restrição (10) garante que a demanda é atribuída a veículos que passam pelo ponto de demanda. A restrição (11) garante que toda a demanda seja recolhida ou porque já foi atribuída a um caminhão na última otimização ou foi atribuída como demanda nova. Os conjuntos (12), (13) e (14) são restrições de conservação de fluxo de produto nos arcos. As restrições (15) e (16) limitam a capacidade de cada rota.

3.4. Problemas Teste

A Figura 1 abaixo mostra um exemplo ilustrativo deste tipo de armazém com 19 zonas de coleta e 1 doca.

Figura 1. Armazém retangular de 20 pontos

A capacidade dos veículos é de 50 itens e a demanda original do modelo estático é mostrada na tabela 1.

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Tabela 1: Demanda original em cada nó

Nó: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Demanda: 0 1 3 7 22 2 11 19 6 18 19 25 15 14

Nó: 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Demanda: 20 0 19 11 7 2 4 24 6 19 13

Dois veículos ativos foram dados como entrada e os demais veículos a serem ativados pelo modelo serão veículos stand-by. Usou-se o resultado do modelo estático como entrada para o modelo on-line, onde cada veículo já atravessou os primeiros três arcos e recolheu toda a demanda original dos nós onde estava programado para recolher itens. Considera-se que demanda nova chegou para todos os nós conforme mostrado na Tabela 2.

Tabela 2: Demanda nova presente em cada nó Nó: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Demanda: 0 2 4 19 10 9 11 1 3 4

Nó: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Demanda: 13 16 1 2 6 9 18 10 2 7

Como entrada do modelo on-line, observa-se a rota original do veículo 5, mostrada na Figura 2 abaixo, onde o veículo localiza-se atualmente no nó 8, uma vez que já percorreu os 3 primeiros arcos, seguindo o caminho 1-2-7-8. Sabemos que já recolheu 100% da demanda original de nó 7 (11 unidades de capacidade) e ainda vai buscar 100% da demanda original nos nós 14 e 19 (20 unidades de capacidade), já que o modelo não permite tirar demanda do veículo que já foi atribuído. Assim, o veículo vai coletar 31 unidades e tem 19 unidades de capacidade livre sem exceder o limite de 50 unidades. Observa-se também que tem folga no tempo da rota total. Neste exemplo o nível de serviço é de 14 unidades de tempo.

Figura 2. Rota do veículo 5 criada pelo modelo on-line

O modelo on-line utiliza as informações de capacidade, nível de serviço e localização atual para decidir se um caminhão pode ajudar a recolher demanda nova nas zonas onde já foi programada a passar ou em outras zonas, alterando ou aumentando a rota original para poder

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fazer isto. No resultado do veículo 5, o caminhão teve capacidade para buscar demanda nova em zonas onde já estava programada para ir: 100% da demanda nova nas zonas 14,19 e 13 e 67% da demanda na zona 9. Mas mesmo buscando esta demanda nova, o veículo ainda tem capacidade sobrando. A demanda nova do produto 18 (10 unidades) foi aumentada na rota original, mudando a rota original conforme visto na Figura 3. Observa-se que o veículo ainda passa em todos os pontos onde foi atribuído originalmente para recolher a demanda programada.

Figura 3. Rota do veículo 5 criada pelo modelo on-line, e demanda nova recolhida

Como o modelo estático precisou de 4 veículos e cada veículo já estava utilizando a maioria da capacidade total, o modelo on-line precisou ativar mais três veículos para recolher toda a demanda nova. 3.5. Resultados – Modelo On-Line

Os problemas testes foram criados com 10, 15, 20 e 25 nós. A Tabela 3 mostra o número de veículos stand-by que foram ativados, o tempo computacional para resolver o problema, e a porcentagem de GAP de otimalidade.

Tabela 3. Resultados do modelo on-line

Tamanho de Problema

Número de Vcls. Stand-by ativados

Tempo Computacional (segundos)

GAP (%)

10 2 1 0,0009 15 2 10 0,0060 20 3 136 0,0056 25 4 734 0,0053

Conforme visto na tabela, os tempos computacionais são elevados em comparação ao modelo estático. Como o modelo on-line limita o espaço de soluções viáveis consideravelmente, o modelo gasto muito tempo procurando uma solução viável. O exemplo com 25 zonas de coleta, por exemplo, apresentou um GAP de otimalidade de 0,0053% e o exemplo com 20 zonas de coleta teve um GAP de otimalidade de 0,0056%. Com este resultado, percebe-se que o modelo tem um limite inferior justo e que gasta muito tempo computacional para encontrar um bom limite superior (solução inteira viável). Para melhorar o tempo de resolução dos

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problemas, introduzimos nas secções a seguir novas desigualdades válidas que fortaleçam o limite inferior, em casos em que este limite não é tão justo, e uma heurística que gera um bom limite superior. 4. Nova Classe de Desigualdades Válidas

Um limite inferior para o VRPJTSD que foi utilizado no nosso modelo de otimização é calculado dividindo a demanda total a ser recolhida pela capacidade do caminhão. Este limite inferior é baseado, então, na capacidade dos veículos, mas o problema aqui estudado não tem só a capacidade como fator limitante, mas também um tempo de serviço. Até hoje não existe nenhum limite inferior melhor na literatura para o problema com restrição de coleta e coleta repartida. Para as instâncias em que a capacidade limita o problema mais do que a qualidade de serviço, este limite inferior baseado na capacidade é justo. Trabalhando-se com grandes armazéns de alta rotatividade, isto tende a ser o caso. Mas é possível também ter casos onde a janela de tempo é o fator limitante. Para estes casos, seria interessante ter um limite inferior com base na janela de tempo. 4.1. Exemplo Ilustrativo - Desigualdades Válidas Um bom exemplo de tal caso é o exemplo de dez nós com demanda original e demanda nova conforme visto na Tabela 4 abaixo. Os caminhões têm capacidade de 100 unidades e o nível de serviço é de 10 unidades de tempo, sendo que cada arco demora 1 unidade para ser atravessado.

Tabela 4. Demanda Original e Demanda Nova para exemplo de 10 nós Nó: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Demanda Original: 0 2 14 33 11 3 1 16 50 6 Demanda Nova: 0 2 5 8 1 4 1 2 6 6

Segundo o modelo estático, são necessários 2 caminhões para essa instância. O primeiro caminhão busca 42 unidades da demanda original, permitindo a coleta de mais 58 unidades para demanda nova. A sua rota original é mostrada na figura 4.

Figura 4. Rota Original do Caminhão 1

Já o caminhão 2 busca 94 unidades de sua demanda original, deixando 6 unidades de capacidade livre . Sua rota é mostrada na Figura 5.

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Figura 5. Rota Original do Caminhão 2

Vamos supor que a demanda nova chega e o modelo on-line é executado quando o caminhão 1 está no nó 3 e o caminhão 2 está no nó 10 com capacidade sobrando de 58 e 6 unidades, respectivamente. De acordo com o limite inferior baseado na capacidade, não é necessário alocar mais 1 caminhão para buscar a demanda nova, uma vez que a soma da demanda nova é de 39 unidades, sendo esta menor que a capacidade disponível no caminhão 1. No entanto, ao considerar o nível de serviço, pode-se observar que o caminhão 1 não tem folga suficiente para ir ao nó 10 e voltar para a doca. Deste modo, pode-se criar uma desigualdade válida que corta a possibilidade do caminhão 1 visitar o nó 10. Se a demanda nova neste nó fosse maior que a capacidade extra do caminhão 2, este corte seria suficiente para verificar a necessidade de mais um caminhão. Como este não é o caso, o caminhão 2 não corta a solução. Portanto, se verificarmos os pontos de demanda não somente um por um, mas em pares, pode-se observar que existem pares de nós que não são possíveis de serem visitados por um mesmo caminhão. Por exemplo, o caminhão 1 pode ir ao nó 5 ou pode ir ao nó 6, mas não tem folga no nível de serviço suficiente para visitar o nó 5 e o nó 6. Deste modo, pode-se montar um grafo de conflito que gera desigualdades válidas do tipo:

(17)

que corta soluções nas quais o caminhão visita os dois nós. Para esse exemplo, podemos adicionar restrições ao modelo para o caminhão 1 que cortam o nó 10 e os pares (5,6), (5,7), (5,8), (5,9). Para o caminhão 2, podemos adicionar restrições para os pares (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (7,3), (7,4), (7,5), (8,4), (8,5) e (9,5). Não seria possível detectar a necessidade de um novo veículo, sem estas novas restrições. 4.2. Algoritmo para Desigualdades Válidas Baseado nessas desigualdades, foi proposto um algoritmo para fortalecer os limites inferiores: Passo 1: É gerado no máximo desigualdades, onde n representa o número de veículos e v o vetor de nós (locais), a partir das informações de todos os nós não-alcançáveis de cada veículo. Esses cortes são adicionados ao programa linear e verifica-se se há resíduo superior a θ na variável s(veículos stand-by), onde θ é o ponto de corte determinada a partir de uma decisão heurística baseada na aplicação.

o Se há resíduo superior a θ, pare, e substitua as desigualdades geradas por onde é a solução de programação linear.

o Se não, vá ao passo 2.

Passo 2: Construa um grafo de conflito 2 a 2 que determina quais pares de nodos não são alcançáveis. Essa informação é incorporada ao modelo com desigualdades na forma de (17).

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Neste caso, gera-se, no máximo, cortes que são adicionadas ao programa linear e verifique se há resíduo no vetor s superior a θ.

o Se há resíduo superior a θ, pare, e substitua as desigualdades geradas por onde é a solução de programação linear.

o Se não, vá ao passo 3. Passo 3:

o Se (limite superior – limite inferior)/limite superior < 0,05 pare. o Senão dispare o CPLEX.

Espera-se que esse algoritmo gere limites inferiores mais justos em situações onde o principal limitante seja o nível de serviço. É importante lembrar que essas situações são menos prováveis à medida que o tamanho dos armazéns aumenta, uma vez que a capacidade dos veículos não cresce na mesma proporção. Para a aplicação de tais modelos, o nível de serviço deve ser suficiente para garantir que um veículo possa alcançar a zona mais remota do armazém somada a uma folga para acomodar tempos de coleta e eventuais falhas de equipamento. É nesse contexto que o ponto de corte θ (ocupação mínima do veículo stand-by mobilizado para atender nova demanda) deve ser calculado de acordo com as particularidades de cada aplicação e armazém. Para os nossos testes, considera-se θ = 0,10, mas entendamos que ele deva ser maior para o uso de nossas técnicas em aplicações reais. Em casos onde o armazém é grande e o nível de serviço é um fator limitante, pode ser desejável aumentar este grafo de conflito e examinar os nodos 3 a 3. Para este caso pode-se adicionar mais um passo ao algoritmo, onde o número máximo de cálculos seria . 4.3. Resultados Exemplo Ilustrativo – Desigualdades Válidas Para um efeito ilustrativo, este algoritmo foi aplicado no exemplo apresentado na secção 4.1 para incorporar as desigualdades válidas. No primeiro passo, foi incluído informação acerca de nodos não-alcançáveis para cada veículo. Neste exemplo, o único nó não alcançável pelo veiculo 1 é o nó 10. Foi adicionada, então, a seguinte restrição ao programa linear:

(18)

Mas devemos lembrar que neste exemplo, apenas esse corte não é suficiente, uma vez que o caminhão 2 tem capacidade suficiente para buscar a demanda no nó 10. A solução da relaxação de programação linear não tem então resíduo no vetor de veículos stand-by. Segue-se, então, para o passo 2, onde é montado um grafo de conflito 2 a 2. É possível adicionar, nesse exemplo, 14 restrições do tipo (17) referentes aos pares de nodos não alcançáveis. Com a adição destas 14 desigualdades válidas, a solução do programa linear retorna um resíduo no vetor de veículos stand-by de 0,50. Como 0,50 é maior que o valor de θ de 0,10, um novo veículo stand-by será necessário, o que permite adicionar a restrição (22) à programação inteira, melhorando o limite inferior.

(19)

5. Heurística para o Problema On-line

Para o modelo on-line ser aplicável na prática, é muito importante que a solução do modelo seja rápida, senão os caminhões receberiam informações de um estado antigo. Para o teste com

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25 nós, o modelo resolveu o problema com 734 segundos, o que provavelmente não seria viável para ser aplicado na prática em tempo real. De acordo com os resultados do modelo, têm-se uma formulação forte em que a maioria do tempo de resolução é utilizada para achar uma solução viável. Assim que essa solução viável é encontrada, o modelo consegue achar o ótimo rapidamente. Para conseguir achar uma solução viável mais rapidamente, uma heurística foi desenvolvida com base nas rotas originais dos veículos já ativados. Cada rota original é dada como entrada e cada veículo é obrigado a pegar toda a demanda nova que puder no nó onde está no momento. Se depois de coletar essas demandas novas o veículo ainda tiver capacidade livre, os nós mais próximos de sua rota serão avaliados. Para o veículo sair de sua rota original para pegar uma demanda nova integralmente ou parte dela, ele deve ter capacidade física e folga no nível de serviço suficiente para pegar a demanda e voltar para a rota original. Desse modo, a heurística determina qual o nó da rota original mais próximo de cada zona de coleta de demanda nova. Vamos considerar que a rota original está mostrada na Figura 6 abaixo. O nível de serviço neste exemplo é 14 e a rota original gasta 10 unidades de tempo, então tem 4 sobrando. Este veículo vai buscar demanda nova na sua própria rota primeiro, e depois os mais próximos. Vamos supor que o veículo ainda tem capacidade física e que a demanda nova mais perto da rota original encontra-se no nó 20. A heurística vai determinar qual nó é mais perto, neste caso o nó 18, e se o veículo tem folga para ir até aquele nó e voltar. Se tiver, esta extensão na rota original é aceita e o veículo pode buscar a demanda.

Figura 6. Exemplo de Rota – Heurística

Se todos os veículos já ativados tiverem coletado tudo que poderiam e ainda sobrar demanda, então os veículos stand-by são ativados. As rotas desses veículos são determinadas a partir do algoritmo de Clark e Wright. A idéia básica do algoritmo é aproveitar a economia que pode ter quando junta-se duas rotas existentes (OSMAN, 1993). Foi implementada uma versão seqüencial desse algoritmo, uma vez que o nosso objetivo é minimizar o número de veículos e a esta versão prioriza exatamente isso. Deste modo, a heurística procura preencher todo o veículo antes de alocar outro veículo.

Para os problemas-teste de tamanhos 10, 15, 20, e 25 nós do modelo on-line, essa heurística mostrou resultados ótimos com menos de 1 segundo. Assim, não seria necessário rodar o modelo de otimização em pacotes comerciais para achar o ótimo ou uma solução sub-ótima com garantia de performance. No entanto, para aplicação com problemas maiores, essa solução seria necessária para usar como entrada para o modelo nos casos em que o limite inferior e o limite superior não são iguais.

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6. Conclusões

A partir do modelo on-line para o problema de roteamento de veículos com coleta repartida e nível de serviço (VRPSDSL), foi apresentado um algoritmo para gerar desigualdades válidas de forma a fortalecer o modelo para casos onde o nível de serviço é o fator limitante. Além disso, para melhorar os limites superiores, uma heurística foi desenvolvida para geração de soluções viáveis para redução do tempo computacional. Como continuação da pesquisa, seria interessante testar os limites inferiores e a heurística apresentada para instâncias maiores, com dados reais, preferencialmente. Pode-se ainda acrescentar o tempo de coleta que aqui foi considerado desprezível em relação ao tempo de transporte. 7. Referências Bibliográficas ARCHETTI, C.; SPERANZA, M.G.; HERTZ, A. A tabu search algorithm for the split delivery vehicle routing problem. Transportation Science, v.40, n.1, p.64-73, 2006. BELENGUER, J.M.; MARTINEZ, M.C.; MOTA, E. A Lower Bound for the Split Delivery Vehicle Routing Problem. Operations Research, v.48, n.5, p.801-810, 2000. DANIELS, R.L.; RUMMEL, J.L. SCHANTZ, R. A model for warehouse order picking. European Journal of Operational Research, v.105, p.1-17, 1998. DROR, M.; TRUDEAU, P. Savings by split delivery routing. Transportation Science. v. 23, p.141-145, 1989. HO, S.C.; HAUGLAND, D. A tabu search heuristic for the vehicle routing problem with time windows and split deliveries. Computers & Operations Research, v.31, p.1947-1964, 2004. JIN, M.; LIU, K.; BOWDEN, R.O. A two-stage algorithm with valid inequalities for the split delivery vehicle routing problem. International Journal of Production Economics, v.105, p.228-242, 2007. MULASERIL, P.A.; DROR, M.; LEUNG, J. Split-delivery routing heuristics in livestock feed distribution. Journal of Operation Research Society, v.48, p.107-116, 1997. OSMAN, I. H. Metastrategy Simulated Annealing and Tabu Search Algorithms for the Vehicle Routing Problem. Annals of Operations Research, vol. 41, p. 421-451, 1993.

PETERSON, C.G.; AASE, G. A comparison of picking, storage, and routing policies in manual order picking. Int. J. Production Economics, v. 92, p. 11-19, 2004. RATLIFF, H.D.; ROSENTHAL, A.S. Order-picking in a rectangular warehouse: A solvable case of the traveling salesman problem. Operations Research, v.31, n.3, p.507-521, 1983. TENKLEY, N. L.; Um modelo on-line do problema de roteamento de veículos com coleta repartida e janelas de tempo para o processo de coleta em armazéns. Belo Horizonte, 2008. 61p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) – Engenharia de Produção, Universidade Federal do Minas Gerais. VAIDYANATHAN, B.S.; MATSON, J.O.; MILLER, D.M.; MATSON, J.E.; A Capacitated Vehicle Routing Problems for Just-in-Time Delivery. IIE Transactions, vol. 31, n. 11, p. 1083-1092, 1999.

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