OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

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Versão Online ISBN 978-85-8015-080-3Cadernos PDE

I

O ENSINO EXPLORATÓRIO E A MOBILIZAÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO:

REFLEXÕES ACERCA DOS DESAFIOS PARA O PROFESSOR

Adriana Beatriz Azeredo Sokolek1 Everton José Goldoni Estevam2

Maria Ivete Basniak3

Resumo O presente artigo tem por objetivo investigar os desafios que se colocam ao professor na exploração

de tarefas matemáticas na perspectiva do Ensino Exploratório com vistas ao desenvolvimento do

pensamento algébrico dos alunos. Para tanto, foram utilizados registros de um caderno de campo de

um professor, compostos de impressões e ocorrências identificadas no decorrer de 36 aulas,

desenvolvidas com duas turmas de sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do

estado do Paraná. Os resultados desse estudo apontam como desafios mais expressivos: escolher a(s)

tarefa(s), apresentar a(s) tarefa(s), formar os grupos, acompanhar o raciocínio de cada grupo, sugerir

outras formas de resolução, identificar a necessidade de intervenção, selecionar e sequenciar as

resoluções para discussão, desenvolver uma nova dinâmica de aula, estabelecer conexões entre e

com as resoluções dos alunos, bem como promover o envolvimento dos alunos no decorrer da aula.

Embora esses desafios revelem a complexidade que permeia o Ensino Exploratório, a experiência

desenvolvida oferece elementos que podem/devem ser pensados inicialmente pelo professor e aponta

indícios de que essa perspectiva de ensino colabora para uma inserção algébrica do aluno mais natural

e com significado.

Introdução

O ensino da Álgebra muitas vezes é desenvolvido na Educação Básica apenas

como repetição e aplicação de fórmulas e regras, com pouco significado. Busca-se

repetir modelos. De modo geral, as práticas letivas envolvem problemas e exercícios

que não estimulam a interpretação e não possibilitam o desenvolvimento do

pensamento algébrico. Cabe salientar que o termo pensamento algébrico compreende

a capacidade do uso dos símbolos matemáticos na interpretação e resolução de

problemas, possibilitando o estabelecimento de generalizações e dando significados

aos objetos da Álgebra (PONTE, 2006; CANAVARRO, 2007; CYRINO; OLIVEIRA,

2011).

1 Professora da rede pública do Estado do Paraná. Graduada em Ciências/Matemática pela Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras – FAFI. Pós–Graduada em Ensino da Matemática pela FAFI e em Gestão Escolar pela Faculdade São Paulo. E-mail: adribas@seed.pr.gov.br. 2 Professor-orientador do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). Professor Adjunto do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de União da Vitória. Licenciado em Matemática, Mestre em Educação e Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina – UEL. E-mail: evertonjgestevam@gmail.com. 3 Professora-orientadora do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). Professora Adjunta do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de União da Vitória. Licenciado em Matemática, Mestre em Métodos Numéricos e Doutora em Educação pela Universidade Federal do Paraná – UFPR. E-mail: basniak2000@gmail.com.

Frente a essa situação, é preciso buscar perspectivas didático-pedagógicas

que promovam uma iniciação algébrica de forma diferente, que parta dos

conhecimentos que os alunos (possivelmente) já possuem, incentive a recorrência a

várias estratégias e registros para resolução, e estimule sua agência no processo de

aprendizagem, particularmente no campo da Álgebra (BORRALHO; BARBOSA, 2009;

FERNANDES; FIORENTINI; CRISTOVÃO, 2010). O Ensino Exploratório de

Matemática (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013), por sua vez, converge

para essas premissas e, portanto, constitui uma perspectiva promissora.

Dessa forma, este artigo tem por objetivo investigar os desafios que se colocam

ao professor na exploração de tarefas matemáticas na perspectiva do Ensino

Exploratório, direcionadas ao desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos.

Para tanto, apresentamos uma discussão teórica acerca do Ensino Exploratório

de Matemática e do desenvolvimento do pensamento algébrico, seguida da

caracterização da metodologia e do contexto do estudo. Nos resultados e discussões,

apresentamos os desafios eminentes da prática desenvolvida. Por fim, na última

seção, apresentamos nossas conclusões e algumas considerações sobre o trabalho

realizado.

Ensino Exploratório de Matemática e a mobilização do Pensamento Algébrico

O ensino da Álgebra, de modo geral, tem assumido como foco a linguagem

algébrica e não o pensamento algébrico. Ele parte do uso e da manipulação de uma

linguagem constituída e prioriza o domínio de habilidades manipulativas das

expressões algébricas em detrimento da produção de significados e do

desenvolvimento do pensamento algébrico (FERNANDES; FIORENTINI; CRISTOVÃO,

2010).

O desenvolvimento do pensamento algébrico, por sua vez, pode iniciar-se nos

primeiros anos de escolaridade e prosseguir gradativamente, mesmo antes de existir

uma linguagem algébrica (simbólica) constituída. Isso ocorre quando a criança

expressa aritmeticamente várias (re)soluções para um problema, compara, relaciona

com padrões geométricos e, assim, desenvolve processos de generalização e

regularidades (FERNANDES; FIORENTINI; CRISTOVÃO, 2010).

Frente a isso, Matos et al. (2008) assume que estão atreladas ao pensamento

algébrico as capacidades de estabelecer generalizações e relações, interpretar

situações e resolver problemas. Igualmente, isso é defendido por Fiorentini,

Fernandes e Cristovão (2005), que enfatizam as generalizações, expressas por

palavras ou símbolos, como um dos aspectos característicos do pensamento

algébrico. Fazem parte, ainda, as comparações, observações de padrões e as

diferentes formas de representar aritmeticamente as situações e os problemas

(CYRINO; OLIVEIRA, 2011). As mesmas autoras acreditam que esses aspectos

podem ser mobilizados e desenvolvidos a partir de tarefas exploratórias ou

investigativas, bem planejadas e propostas com esse objetivo. Nelas o aluno tem

oportunidades de explorar padrões e relações numéricas com a possibilidade de

explicitar suas ideias, discutir e refletir sobre elas (BORRALHO; BARBOSA, 2009).

Assim, o Ensino Exploratório de Matemática constitui uma perspectiva

promissora, apresentada na literatura como uma alternativa ao modelo de

transmissão, que traz o aluno para o centro do processo didático e que assume a

aprendizagem como decorrente da atividade que os alunos realizam a partir de tarefas

ricas (ESTEVAM; CYRINO; OLIVEIRA, 2015). O Ensino Exploratório estimula o aluno

a testar, conjecturar, validar e atribuir significados para a linguagem algébrica, por

exemplo, provocando-o a pensar matematicamente e a desenvolver conteúdos

matemáticos a partir disso (CANAVARRO, 2011).

De acordo com Ponte (2005), aulas exploratórias podem ser realizadas com

intuito de contribuir para dar significados ao que se aprende. Nelas, o professor e o

aluno trabalham juntos, porém, de maneira diferente, ou seja, o professor atua como

mediador do processo e o aluno, por sua vez, como agente produtor de conhecimento

(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).

Alguns autores associam a perspectiva de Ensino Exploratório de Matemática

a uma aula em fases. Dessa forma, a aula é composta de quatro fases, que se

articulam da seguinte maneira: (i) introdução da tarefa; (ii) realização da tarefa; (iii)

discussão da tarefa; e (iv) sistematização das aprendizagens matemáticas

(OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013).

É preciso esclarecer ainda que, conforme apontam Ponte (2005), Canavarro

(2011), Oliveira, Menezes e Canavarro (2013) e Estevam, Cyrino e Oliveira (2015),

para que essas fases da aula transcorram de maneira satisfatória é essencial uma

etapa de planejamento, a qual constitui uma quinta fase de uma aula na perspectiva

do Ensino Exploratório, em que o professor deve buscar antecipar as possíveis

ocorrências que podem emergir no decorrer da aula e ações que pretende ou deve

realizar nas situações diversas. O professor deve antecipar algumas estratégias e,

para tanto, precisa questionar e refletir sobre suas proposições, pensar como o aluno

pode resolver a(s) tarefa(s) e se preparar para lidar com novas situações que venham

a surgir no decorrer da aula.

Um dos aspectos essenciais da fase de planejamento consiste na escolha das

tarefas matemáticas, isto é, na seleção, elaboração ou adaptação de tarefas, de

acordo com as intenções do professor e o currículo vigente. Estudos e pesquisas

sobre o assunto apontam ser imprescindível considerar que tarefas com diferentes

características desencadeiam diferentes tipos de pensamento e atividades nos

alunos, o que é denominado por alguns autores como nível de demanda cognitiva. De

acordo com Cyrino e Jesus (2014)

O nível de demanda cognitiva de uma tarefa está relacionado aos tipos de raciocínio matemático que são exigidos dos alunos para sua realização, bem como com o nível e o tipo de aprendizagem que proporciona aos alunos. (p. 754).

Assim, aquelas tarefas que recorrem à reprodução, memorização e elaboração

de procedimentos sem estabelecimento de conexão com as ideias matemáticas em

causa pouco demandam em termos de níveis de demanda cognitiva. Em

contrapartida, as que demandam o estabelecimento de conjecturas, comparações,

relações e justificações matemáticas situam os alunos no centro do processo didático

e são denominadas de alto nível de demanda cognitiva. Reconhecer esses aspectos

implica o professor pensar na estrutura e linguagem da tarefa, suas intenções,

diferentes processos de resolução e a forma como pode/pretende geri-la em sala de

aula (CYRINO; JESUS, 2014).

A introdução da tarefa, por sua vez, consiste na apresentação da tarefa aos

alunos, tendo em conta a compreensão acerca do que lhes é solicitado, dos termos

presentes em seu enunciado, da forma como o trabalho deve ser realizado e dos

recursos disponíveis. A apresentação da tarefa pode despertar o interesse do aluno

em resolvê-la (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013).

O desenvolvimento ou a realização da tarefa consiste na fase em que os alunos

resolvem a tarefa nos grupos e o professor monitora e apoia esse trabalho. Nessa

fase, portanto, ele já pode identificar elementos importantes para o desenvolvimento

da aula, tal como as estratégias de resolução emergentes nos grupos e as ideias

matemáticas que estão envolvidas nessas resoluções (RODRIGUES; MENEZES;

PONTE, 2014). No que se refere à aprendizagem dos alunos, é preciso manter o

desafio cognitivo e sua autonomia (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2013). São

as (diversas) resoluções apresentadas pelos alunos que expressarão seus avanços

em relação a tais desafios. Esses aspectos são úteis, por exemplo, para a seleção

das resoluções a serem discutidas com a turma, sendo essencial considerar

(diferentes) formas de representação de raciocínios que demonstram mobilizações de

conceitos importantes, como forma de expandir o pensamento dos alunos

(CANAVARRO, 2011).

A fase de discussão da tarefa caracteriza-se como um momento de debate,

comparações e argumentações que possibilita aprendizagem para todos. É quando

os alunos socializam com os demais e explicam como pensaram e resolveram o

problema. As ações do professor na etapa das discussões coletivas consistem na

promoção da qualidade das apresentações matemáticas e das interações entre os

alunos durante as discussões (OLIVEIRA; MENEZES; CANAVARRO, 2011.)

A fase da sistematização das aprendizagens matemáticas, por sua vez,

consiste na sistematização, a partir das resoluções apresentadas e ideias emergentes

no decorrer das outras fases da aula, do conhecimento matemático em jogo, de

acordo com o objetivo estabelecido inicialmente. Ela está pautada na sistematização

entre o professor e a turma das diferentes resoluções que foram discutidas pelos

grupos, tendo como preceito as aprendizagens matemáticas que derivam de

conexões estabelecidas com aprendizagens anteriores (OLIVEIRA; MENEZES;

CANAVARRO, 2013).

Esses foram os pressupostos considerados nas aulas que são objeto de análise

do presente trabalho.

Metodologia e contexto da pesquisa

As aulas analisadas neste artigo foram desenvolvidas com duas turmas de

sétimo ano do Ensino Fundamental (cada uma com trinta alunos, com idades entre 12

e 17 anos), de uma escola pública do interior do estado do Paraná, no ano de 2015.

Tratam-se de dados recolhidos em 36 aulas de cinquenta minutos (realizadas com

cada uma das turmas), nas quais foram desenvolvidas 10 tarefas relacionadas ao

desenvolvimento do pensamento algébrico.

Quanto à professora responsável pelas turmas e pelas aulas (primeira autora

deste artigo), ela atua na Educação Básica: nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental,

há 20 anos, e nos Anos Finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, há 18 anos.

Contudo, essas aulas constituíram sua primeira experiência com a perspectiva do

Ensino Exploratório, na busca de possibilidades distintas da prática cotidiana, como

desafio pessoal e profissional.

Para a recolha de dados foram utilizados registros da professora num caderno

de campo, os quais são compostos de impressões e ocorrências identificadas no

decorrer das aulas. Por meio de uma análise qualitativa de cunho interpretativo desses

dados (DENZIN; LINCOLN, 2006), busca-se identificar nesses registros, no plano de

aula da professora e na produção escrita dos alunos elementos que apontem os

desafios e dificuldades à prática do Ensino Exploratório de Matemática. Para tanto, as

análises estão estruturadas de acordo com as fases de uma aula, discutidas na seção

teórica.

Resultados e discussão

No decorrer dessa seção discutiremos os desafios e as dificuldades

identificadas pela professora no decorrer das aulas realizadas, os quais são

estruturados a partir das cinco etapas que alicerçam uma aula na perspectiva do

Ensino Exploratório: planejamento, apresentação da tarefa, desenvolvimento da

tarefa, discussão coletiva e sistematização das aprendizagens matemáticas.

i) Planejamento

O planejamento é imprescindível e o professor deve se antecipar a algumas

estratégias, questionando e refletindo, procurando pensar como aluno, estando

preparado para lidar com as novas situações que venham a aparecer no decorrer da

aula. O sucesso não depende apenas de uma boa escolha da tarefa, mas da forma

como essas atividades serão conduzidas.

O primeiro desafio identificado na prática realizada consiste na seleção ou na

escolha(s) da(s) tarefa(s), porque exige pensar o modo como o(s) aluno(s) podem

lidar com aquilo que lhe(s) é proposto, bem como as possíveis atividades

desencadeadas por essa proposição. Um exemplo incide na tarefa denominada

“Sequência de Quadradinhos”4 (Figura 1), cuja intenção/objetivo é que o aluno

perceba que a quantidade dos quadradinhos das figuras representa o dobro da

4 No artigo foram apresentados recortes de tarefas. As tarefas na íntegra estão disponíveis no material didático produzido para a implementação de PDE.

posição de cada figura. Isso pode ser facilmente identificado com desenhos ou ainda

com o registro dos dados em uma tabela.

A resolução de um dos grupos (Figura 2), no entanto, evidencia que os alunos

só referem o dobro no segundo item da tarefa e, no primeiro, utilizam um princípio de

recorrência, acrescentando determinada quantidade à anterior, isto é, adicionando

dois quadradinhos à figura anterior, o que compromete a identificação da relação de

dobro. Isso sugere que o professor deve, no momento da sistematização, chamar a

atenção para os aspectos relevantes apresentados pelos grupos e evidenciar outros

que porventura não tenham aparecido.

Figura 1 – Tarefa “Sequência de Quadradinhos”.

Fonte: Os autores.

Figura 2 – Resolução de um grupo de alunos para a tarefa “Sequência de Quadradinhos”.

Fonte: Os autores.

Outro aspecto desafiador relacionado ao planejamento é a ação de antecipar,

a qual permite ao professor refletir e prever estratégias e ações, registros e raciocínios

(corretos ou não) que podem surgir nas atividades dos alunos. Pensar ações, elaborar

questionamentos, prever atitudes a serem tomadas diante de algumas situações que

podem ocorrer em sala de aula é algo bem complicado e desafiador, porque exige

resolver antecipadamente cada tarefa e pensar como o aluno faria (nas diversas

possibilidades). Uma alternativa encontrada pela professora para auxiliar nesse

aspecto foi testar as tarefas com seu filho, de forma a confirmar conjecturas ou apontar

possibilidades a serem consideradas.

Como forma de sistematizar essa antecipação e facilitar a gestão do trabalho

no decorrer das aulas, além da resolução detalhada de cada tarefa, foi elaborado um

quadro de referência para cada uma, constando as possíveis estratégias e ações dos

alunos e as respectivas ações do professor. Um exemplo do produto dessa ação é

apresentado no Quadro 1, que ilustra, para uma das tarefas exploradas, como foi

pensado e em que consistiu.

Quadro 1 - Quadro de orientação da Tarefa “Animação”.

Ações dos alunos Ações do professor Entendem e descrevem oralmente e por escrito que o padrão dessa sequência é relativo à posição que cada boneco se encontra na sequência, sendo que a cada quatro figuras há a repetição da sequência.

Verificar se de fato os alunos entenderam o padrão de repetição a cada quatro figuras que se repete na sequência e analisar como expressam isso através de seus registros;

Estabelecem a regra de posicionamento para as figuras que estarão em pé e de cabeça para baixo, representando cada expressão oralmente e por escrito.

Solicitar que apresentem o seu raciocínio e justifiquem as suas opções; propor outras situações dessa mesma tarefa solicitando que validem a regra descoberta.

Fonte: Os autores.

Identificamos, ainda, como fator desafiador a definição de objetivos claros para

cada tarefa. Tarefas com objetivos bem definidos possibilitam ao aluno novas

aprendizagens e a construção de novos conceitos. Essa escolha também guarda

relação com os níveis de demanda cognitiva, discutidos na seção teórica, e com a

identificação do nível de desafio para o aluno. É preciso que as tarefas não sejam

muito extensas, possuam padrões distintos, não sendo repetitivas para que não

comprometam o trabalho e mantenham o interesse do aluno em resolvê-las.

No trabalho realizado despendemos especial atenção com esse aspecto, já que

buscamos organizar antecipadamente objetivos claros e distintos para cada uma das

tarefas exploradas, como exemplificado no Quadro 2.

Quadro 2 - Intenções/objetivos da tarefa “Os colares”.

Tarefa Intenções/objetivos

Os colares

Identificar as variáveis presentes na tarefa: bolinhas vermelhas e azuis e estabelecer a relação entre elas; Continuar a representação da sequência, representando os termos imediatamente seguintes; Descrever os termos da sequência de acordo com a sua ordem com base na análise das propriedades de cada figura da sequência;

Escrever os termos de uma sequência a partir da lei de formação. Fonte: Os autores

ii) Apresentação da tarefa

Na introdução da tarefa, o professor deve tentar garantir que os alunos

compreendam o que têm para fazer e se interessem por realizá-la. Identificamos como

um desafio na fase da apresentação da tarefa o estabelecimento do modo de

apresentação delas. É preciso que o professor possa então estabelecer como a

apresentação vai acontecer. Esse modo de apresentação implica do professor pensar

e identificar no decorrer dessa fase da aula se os alunos compreendem o que lhes é

solicitado para fazer, se entendem o significado dos termos presentes na tarefa, o que

têm de recursos para isso e como devem proceder nesse processo de resolução.

Pensar esse modo de apresentação da tarefa traz associado um outro fator

desafiante: a identificação das necessidades ou demandas de clarificação. A

condução dessa fase em nosso trabalho contribuiu para a superação desse desafio.

A apresentação de cada tarefa foi feita após a distribuição do material impresso para

os alunos. Em algumas vezes, a professora leu a tarefa para a turma e em outras a

leitura foi feita por um aluno, ou por vários, cada um lendo um item para garantir a

participação dos mesmos, efetivando a compreensão do que estava posto.

Por exemplo, não foi previsto inicialmente, ações de demonstração prática das

situações expressas em determinadas tarefas. Contudo, pela necessidade incitada

pelos alunos, houve a necessidade de uma demonstração simples na tarefa “Apertos

de Mão” (Figura 3), o que contribuiu significativamente para aprendizado dos alunos.

Figura 3 - Recorte da tarefa “Apertos de mão”.

Fonte: os autores.

Segundo os comentários dos alunos, inicialmente eles não compreendiam o

que lhes era solicitado na tarefa. Percebendo isso, a professora propôs uma

demonstração prática da situação. Com os exemplos dados e as observações e

registros feitos, os alunos puderam realizar a tarefa.

A formação dos grupos pode tornar-se um outro desafio à prática de Ensino

Exploratório, sobretudo quando não há o estabelecimento de negociações com a

turma. Tais negociações devem vir precedidas de critérios pedagógicos para a

formação dos grupos, que devem ser capazes de lidar com situações de preconceitos

de raça, cor, sexo, entre outros. Antes de iniciar o trabalho, estabeleceu-se um

combinado com toda a turma quanto à formação dos grupos em cada tarefa: ora a

escolha feita pelo professor, ora pela turma, para que houvesse democratização e

dinamismo nas escolhas, dando autonomia aos alunos. Esses critérios e negociações

também tinham o intuito de permitir ao aluno criar outras interações com os colegas

para aprimorar o seu processo de aprendizagem.

iii) Desenvolvimento da tarefa

Na fase do desenvolvimento, o professor acompanha o trabalho dos grupos (o

trabalho em grupo é predominante no Ensino Exploratório), percebendo as estratégias

que estão utilizando nas tentativas de resolução.

Os dados analisados apontam como um dos desafios identificados nesta fase,

o professor conseguir acompanhar o raciocínio de cada grupo. O número de alunos

em cada turma (30 alunos) gerou uma grande quantidade de grupos, o que dificultou

a circulação entre eles e o acompanhamento em suas resoluções.

Esse fator desafiante conduz a outro: sugerir ou propor outras formas de

resolução (como completar tabelas, esquematizar, fazer desenhos, dentre outras).

Para que isso aconteça naturalmente, é necessário que o professor resolva

anteriormente a tarefa e pense nas dificuldades e possibilidades que os alunos

possam apresentar durante esse processo.

Enumeramos ainda, a seleção e o sequenciamento das apresentações também

como aspecto desafiador, porque requerem que haja empenho do professor no

acompanhamento dos grupos, com critérios que apontem o nível de desenvolvimento

das resoluções. Na experiência analisada no presente trabalho, muitos aspectos

interessantes da produção dos alunos só foram percebidos pela professora quando

foi feita a análise dessas produções, posteriormente. Esses elementos caracterizam

que, de fato, é bastante complicado que a seleção das tarefas aconteça durante a

aula. Por exemplo, apresentamos as conclusões feitas por dois grupos distintos sobre

ao item (e) da tarefa “O voo em V” (Figura 4) apontando como critérios da ordem de

seleção desses grupos para apresentação, na fase de discussões coletivas, o nível

de desenvolvimento e argumentação dessas resoluções.

Figura 4 - Recorte da tarefa “O voo em V”.

Fonte: Os autores.

A Figura 5 evidencia que o Grupo 1 demonstrou em suas conclusões que um

dos lados do formato em “V” terá sempre um pássaro a mais que o outro lado, e este

terá a mesma quantidade de pássaros que representa a posição da figura na

sequência. Esse mesmo grupo conseguiu expressar essa conclusão de forma

simples, baseada na recorrência (a soma de dois números naturais consecutivos).

Grupo 1

Grupo 2

Figura 5 - Resolução dos grupos 1 e 2 da tarefa “O voo em V”. Fonte: Os autores.

Por outro lado, identificamos na conclusão do Grupo 2 (Figura 5) um nível mais

elevado de compreensão, apresentando um relato mais elaborado em seu registro,

mencionando que a quantidade de aves em cada figura representa o dobro de sua

posição acrescida de um pássaro.

Uma sugestão ou estratégia para minimizar o desafio da seleção e

sequenciamento das resoluções a serem apresentadas na fase de discussão, é que

à medida em que o professor identifique e selecione os grupos, já informe aos

mesmos. É interessante que para esse momento seja providenciada a exposição das

produções dos alunos (com projetor ou outro meio) para que todos se envolvam na

hora da discussão, evitando atropelos, conversas paralelas e mantenham o respeito

entre todos os colegas.

iv) Discussões coletivas

A fase das discussões coletivas é o espaço necessário para o surgimento de

novas ideias, novas resoluções, na tentativa do envolvimento constante do aluno.

Para que se isso se efetive, é preciso pensar ações com vistas a enfrentar os desafios

que possam ocultar esse momento.

A estrutura e a cultura das apresentações/discussões revelaram-se como

desafios, pois esta não era uma prática rotineira para essas turmas. Durante as

discussões, observamos que muitos grupos, quando chegavam à frente da sala, por

receio, inquietação ou por timidez, esqueciam o que tinham discutido no grupo e

acabavam apresentando para os colegas outras ideias, diferentes do que haviam feito.

Outros ainda falavam apenas para a professora, e não para a turma, sob o argumento

de estarem envergonhados.

Como forma de superar esse desafio, propomos que o professor, juntamente

com a turma, crie um ambiente onde todos possam sentir-se valorizados e tenham

confiança para apresentar aos colegas o resultado de seu trabalho. Pensamos que o

estímulo com novos questionamentos enriquece a argumentação de quem apresenta

e, esse clima favorável, permite participação efetiva dos envolvidos. Deixamos ainda

como sugestão para os professores que, ao utilizarem essa metodologia, procurem

variar as escolhas dos grupos de maneira que todos tenham oportunidades de novas

experiências e vejam seus esforços valorizados.

O fato de contrapor diferentes ideias possibilitando outras formas de resolução

também configurou um desafio. Percebemos que poucos alunos interagiram com seus

colegas no momento das discussões, com questionamentos ou fazendo outras

observações pontuais (discordando daquilo que o grupo estava apresentando ou

sugerindo outras resoluções), de modo a enriquecer o trabalho realizado e, por

conseguinte, a aprendizagem coletiva. Uma ação de enfrentamento envolve a criação

e cultivo de uma cultura de respeito e de aceitação mútua, envolvendo o professor e

toda a turma, o que certamente demanda certo tempo. Além disso, todos os fatores

citados anteriormente, como a valorização do seu trabalho, do trabalho de seu grupo

e de outros grupos, oportunidade de novas experiências, ambiente favorável

reduziriam outro desafio bastante saliente na prática realizada, qual seja, o estímulo

do envolvimento dos alunos.

Pela descrição a seguir é possível entender um exemplo da contraposição de

ideias tomando a resoluções dos itens (c) e (f) da tarefa “Sequência de Bolinhas”

(Figura 6) pelo Grupo 1 (Figura 7) e (Figura 9), e do item (f) do Grupo 2 (Figura 10) e

Grupo 3 (Figura 11).

Figura 6 - Recorte da tarefa “Sequência das bolinhas”. Fonte: Os autores.

O Grupo 1, quando apresentou para a turma a questão (c) (Figura 7), justificou

que a conclusão sobre a disposição das bolinhas na sequência representava sua

posição na mesma. Portando a figura de número (posição) 11, deverá ter 11 fileiras

de 11 bolinhas cada e, assim sucessivamente.

Figura 7 - Resolução do grupo 1 da tarefa “Sequência das bolinhas”.

Fonte: Os autores.

Porém, no fechamento de sua apresentação, no item (f), o grupo indicou

erroneamente que a lei de formação da sequência tratava-se da multiplicação da

posição da figura por 2, ou seja, o dobro e não mais como haviam representado no

momento anterior, um número de fileiras com a mesma quantidade de bolinhas.

Na sequência das apresentações, o Grupo 2 discordou do grupo anterior nesse

item, afirmando não se tratar do dobro, mas mostrando em suas conclusões acerca

da lei de formação, tratar-se do número da figura (posição da figura na sequência)

multiplicado por ele mesmo.

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Figura 8 - Resolução dos grupos 1, 2 e 3 da tarefa “Sequência das bolinhas”.

Fonte: Os autores.

O Grupo 3, por sua vez, concluiu que a quantidade de bolinhas em cada figura

representa as potências, ou seja, é elevada ao quadrado.

A comparação das diferentes estratégias de resolução dos três grupos (Figura

8) possibilitou a percepção da trajetória de construção do conceito dos números

quadrados perfeitos, iniciada com equívocos conceituais, apresentados pelo Grupo 1

(quando confundem o dobro com a multiplicação de um número por ele mesmo), até

perfazer um paralelo com a potenciação.

v) Sistematização das aprendizagens matemáticas

A sistematização das aprendizagens matemáticas pressupõe o

estabelecimento de conexões com as resoluções dos alunos, promovendo o seu total

envolvimento durante toda a tarefa. A partir dos desafios que serão apresentados, e

com vistas a superá-los, o professor deve buscar na metodologia do Ensino

Exploratório possibilidades de avanços em sua prática, colocando o aluno como

centro do processo, como forma de garantir o ensino/aprendizagem com mais eficácia.

Neste momento, estabelecer conexões relacionando as sistematizações com

a(s) resolução(ões) dos alunos é um desafio, porque nos remete ao encaminhamento

das discussões partindo das conclusões dos alunos, de forma a perceberem que os

registros e estratégias a que os diferentes grupos recorreram podem ser mostrados

também por outras formas de resolução, não somente de maneira simples ou com

registros em linguagem natural, uma forma de significar a linguagem algébrica.

No processo de sistematização, o professor pode chamar a atenção da turma

para o equívoco ocorrido, por exemplo, na resolução da tarefa “As mesas da

sorveteria” (Figura 9) pelo Grupo 1 no item (b) (Figura 10).

Figura 9 - Recorte da tarefa “As mesas da sorveteria”.

Fonte: os autores.

O Grupo 1 (Figura 10) demonstrou ter feito uma confusão na resolução desse

item (entendeu a quantidade de pessoas como sendo a quantidade de cadeiras), o

que acabou comprometendo o posicionamento de suas ideias.

Figura 10 - Produção escrita do Grupo 1 da tarefa “As mesas da sorveteria”. Fonte: Os autores.

O professor pode nesse momento, utilizar-se da resolução feita pelo Grupo 2 e

também pelo Grupo 3 (Figura 11), para desconstruir o conceito apresentado

erroneamente e reconstruí-lo a partir de suas observações e também as da turma.

Grupo 2

Grupo 3

Figura 11 - Resolução dos grupos 2 e 3 da tarefa “As mesas da sorveteria”.

Fonte: os autores.

Como meios de contribuir com a aprendizagem e partindo de uma produção

dos próprios alunos, essas resoluções serviriam como base para sistematizar o

conceito presente na tarefa, de que a quantidade de pessoas depende da quantidade

de mesas, sendo que a quantidade de pessoas é o dobro da quantidade de mesas

mais as duas pessoas da ponta da mesa.

Conclusões e considerações

Por ser a primeira experiência da professora PDE com aulas na perspectiva do

Ensino Exploratório, houve bastantes desafios/dificuldades identificados durante todo

o trabalho. De acordo com a literatura e com os autores que embasaram esse estudo,

assumimos que o Ensino Exploratório da Matemática não deve ser encarado como

experimento esporádico, para realizar algo diferente ou especial, por mais que muitas

vezes haja contratempos, mas deve constituir uma cultura constante na sala de aula

de Matemática (CANAVARRO, 2011). Isso certamente contribuirá paulatinamente

para uma minimização desses desafios. É preciso tempo e continuidade para que o

professor possa se organizar da melhor forma possível, com intuito de aperfeiçoar o

seu fazer pedagógico. E esse mesmo tempo se faz necessário para que o aluno

também se habitue com a prática de justificar seu raciocínio e definir estratégias, tendo

em conta sua agência em meio ao processo de aprendizagem.

Isso posto, e tendo em conta o objetivo estabelecido para o trabalho,

apresentamos no Quadro 3 uma síntese dos desafios emergentes da prática do

professor envolvendo a exploração de tarefas na perspectiva do Ensino Exploratório.

Embora esses desafios revelem a complexidade que permeia o Ensino

Exploratório, a experiência desenvolvida oferece indícios de que essa perspectiva de

ensino colabora para uma inserção algébrica do aluno mais natural e com significado

e se concretiza na busca de possibilidades distintas da prática cotidiana, como desafio

pessoal e profissional.

Quadro 3 - Desafios para o professor ao desenvolver tarefas na perspectiva do Ensino

Exploratório de Matemática Fase da aula Desafios para o professor

Planejamento

Escolher a(s) tarefa(s);

Antecipar;

Definir objetivos;

Apresentação da tarefa

Identificar necessidades de clarificações;

Formar os grupos;

Estabelecer o modo de apresentação da tarefa;

Desenvolvimento

Acompanhar o raciocínio de cada grupo;

Sugerir outras formas de resolução;

Intervir no gerenciamento da aula;

Selecionar e sequenciar as apresentações;

Discussão

Desenvolver uma nova dinâmica e cultura para as apresentações;

Contrapor diferentes ideias, possibilitando outras resoluções;

Estimular o envolvimento dos alunos;

Sistematização Estabelecer conexões com as resoluções dos alunos;

Promover o envolvimento dos alunos.

Fonte: Os autores.

A metodologia que utilizamos nesse trabalho, o Ensino Exploratório, teve sua

contribuição para a mobilização do pensamento algébrico. Ela “convidou” o aluno a

experimentar e atuar em situações que foram intencionalmente planejadas, de modo

a possibilitar diferentes formas de registros e de (re)solução, estimulando o

desenvolvimento do pensamento algébrico, a partir de ideias que sustentam e

significam a Álgebra e a linguagem algébrica. Esses avanços foram percebidos no

decorrer da própria prática, à medida em que os alunos eram capazes de comparar,

pensar em novas estratégias, expressar processos de generalização e propor várias

soluções para o problema. Apesar de serem duas turmas com características bem

distintas em relação à aprendizagem, foi possível perceber que enquanto uma

participava mais ativamente nas primeiras fases da aula (apresentação e

desenvolvimento das tarefas), auxiliando seu grupo em particular, a outra

demonstrava maior autonomia e empenho nas discussões coletivas e na

sistematização. Contudo, as contribuições para a aprendizagem da turma são

incontestáveis, independente dessas características.

Por fim, acreditamos que o Quadro 3 constitui um contributo para o professor

que pretenda desenvolver aulas na perspectiva do ensino exploratório. Ele significa

um subsídio para o professor analisar antecipadamente os aspectos identificados

como fatores desafiadores e utilizá-lo como um “suporte” para seu planejamento,

antecipando formas de lidar com esses aspectos e situações desafiadoras em sua

prática nas aulas de Matemática.

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