Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

UTILIZANDO AS EMBALAGENS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA

MarileiPassamaniChequimRagazi1

Daniel de Lima 2 Resumo: Este artigo vem relatar os resultados do projeto de intervenção pedagógica, intitulado “Utilizando as Embalagens no Ensino e Aprendizagem da Geometria”. Esta proposta teve como objetivo levar o discente a utilizar as embalagens, enxergando e compreendendo os cálculos matemáticos da presença da geometria contidos ali, bem como a importância econômica quanto à opção de uma determinada forma. Com sua realização, pode-se observar que durante as aulas de Matemática, há possibilidade de proporcionar aos alunos meios que os ajudem a perceber que é possível relacionar a geometria com situações referentes ao seu cotidiano. O trabalho realizado foi muito importante para a construção do conhecimento dos educandos, pois as atividades onde foram utilizados materiais concretos, foram por eles manipuladas, observadas e comparadas, confirmando os conceitos de que os mesmos precisam ser instigados e motivados para compreenderem e assimilarem melhor o mundo que está em sua volta. Verificou-se também que a atividade com a modelagem matemática como metodologia para o ensino da geometria, por meio de modelos concretos, facilitou sua compreensão e utilização. O uso da Modelagem Matemática compreende cinco etapas: escolha do tema, pesquisa exploratória, levantamento dos problemas a serem solucionada, resolução dos problemas e análise das soluções apontadas.

Palavras-chave: Formas Geométricas. Modelagem. Embalagens

INTRODUÇÃO

O presente artigo se constitui como parte integrante das atividades previstas

no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), promovido pela Secretaria de

Educação do Paraná (SEED) e também como resultado do aprofundamento teórico,

da implementação da Unidade Didática intitulada “Utilizando as Embalagens no

Ensino e Aprendizagem da Geometria”, desenvolvida com alunos do 2º ano do

Ensino Médio do Colégio Estadual Monteiro Lobato – Ensino Fundamental, Médio e

Profissional, localizado na Rua Amazonas, Município de Umuarama, sob jurisdição

do NRE de Umuarama, ocorrido no primeiro semestre de 2014.

1Professora da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná Colégio Estadual Monteiro Lobato –

Ensino Fundamental, médio e profissional. Licenciada em Ciências, com Habilitação em matemática pela FAFIL. Especialização em Educação Matemática pela UNIPAR. ²Docente do Colegiado de Matemática da UNESPAR – CAMPUS DE PARANAVAÍ. Mestre em Educação Matemática.

O ensino da geometria, na maioria das vezes, vem sendo trabalhado de forma

descontextualizada, sem ligação com os objetos vistos e tocados no dia a dia dos

alunos. Percebe-se que os estudantes possuem grandes dificuldades para entender

conceitos geométricos e sua aplicação. Como a geometria é um dos conteúdos

estruturantes da matemática, cuja apresentação parte do levantamento dos

conhecimentos prévios acerca das figuras planas e sólidas, no entanto muita prática

limita-se a executar tarefas manuais para compreensão de formas e aprendizagem

de cálculos restritos ao espaço escolar, ou ainda limita-se a exercícios

desvinculados de situações reais.

O ensino tradicional da geometria sem o uso de materiais concretos não

possibilita ao educando estabelecer relações de semelhança e proporção e tão

pouco ampliar sua noção de plano e de espaço, trazendo assim dificuldade para

alunos e professores no decorrer do processo ensino/aprendizagem da geometria.

Dentre essas alternativas, optou-se pela Modelagem Matemática como um

recurso metodológico para auxiliar na melhoria do processo ensino e aprendizagem,

por meio de modelos concretos, que facilitam sua compreensão e utilização. É o

processo que junta teoria com a prática para o melhor entendimento da realidade,

desenvolve o raciocínio lógico e dedutivo estimulando o pensamento reflexivo,

proporcionando assim uma aprendizagem mais significativa que ajuda o aluno a

assumir seu papel de cidadão.

Diante disso desenvolveu-se um trabalho com a Modelagem Matemática

utilizando as cinco etapas sugeridas por Burak (2004), que são: a escolha do tema,

a pesquisa exploratória, o levantamento dos problemas, a resolução dos problemas

e desenvolvimento da Matemática relacionando ao tema e a análise crítica dos

resultados.

2 BREVE REFERENCIAL TEÓRICO

A geometria surgiu da antiguidade, com a necessidade e curiosidade do

homem com os mais diferentes tipos de trabalhos. O homem desenvolveu o sentido

e a capacidade de perceber e observar tudo o que estava ao seu redor e assim

verificar as mais diferentes formas geométricas, e desta forma foi criando os

conceitos geométricos a serem desenvolvidos. Foi a necessidade de medir terras e

calcular o volume dos grãos produzidos pelos egípcios nas plantações em torno do

Rio Nilo que se originou a importância do Cálculo de área e volume que foi

apresentada pelo historiador Heródoto (século V a. C). (LIMA, 1991, p. 07)

Portanto o cálculo de área e volume são as primeiras noções geométricas que

despertaram o interesse do homem na antiguidade.

Com os gregos é que a geometria veio a ser sistematizada, tornando-se uma

ciência mais abstrata. Conforme afirma Struik (1992)

(...) uma ciência cultivada durante séculos como um ofício especial e cuja tarefa não é apenas aplicar, mas também ensinar os seus segredos desenvolve tendências para a abstração. Gradualmente, ela virá a ser estudada por si própria. (STRUIK, 1992, p.47 )

A matemática grega introduz no estudo da geometria a dedução e método

axiomático. A geometria grega começou com o trabalho de Tales de Mileto (cerca de

585 a. C.). É a Tales, que está associada à utilização de métodos dedutivos em

geometria. Outro pensador grego muito importante para a geometria foi Pitágoras

que viveu por volta de 530 a. C., onde fundou a academia para o estudo da filosofia

e da ciência, reunindo vários pensadores e discípulos. Sua maior contribuição para a

geometria foi o Teorema de Pitágoras.

O maior pensador grego ligado à matemática, especialmente à geometria, foi

Euclides de Alexandria (cerca de 300 a.C.), onde se formou no Museu de Alexandria

e elaboraram sua maior obra prima Os elementos, com treze volumes. Os três

últimos volumes dessa obra abordam a Geometria Espacial, sendo considerado o

primeiro livro “didático” de matemática. Essa obra é tão importante na história da

matemática que perdura até nossos dias atuais. (IEZZI; et al. 2010, p. 158 -159).

Considerado o maior matemático de toda antiguidade foi Arquimedes (287 –

212 a.C.) que viveu na cidade de Siracusa. Arquimedes utilizou seus

conhecimentos matemáticos para produzir muitas máquinas, onde ficou conhecido

como o gênio da mecânica, tendo grande contribuição sobre o cálculo de área de

figuras planas e volume de sólidos.

Desde a antiguidade, a geometria vem recebendo contribuições de muitos

estudiosos e os mais importantes foram: Apolônio de Perga que publicou um tratado

de oito livros sobre Cônicas, Heron, que previu um eclipse lunar em 62 d. C. em seu

livro “métrica”, Ptolomeu de Alexandria que publicou “A Grande Coleção”, conhecida

pelo nome de “Almagesto”, publicada em 150 d.C., Diofanto com sua obra

“Arithmetica”, por volta de 250 d.C., Bhaskara em 1150, com seu livro Lilavati,

editado pelos ingleses nos anos de 1817 e 1827, René Descartes em 1637, com a

abra “A Geometria”, Euler, com sua obra “Introductio”, publicada em 1748,

considerado um dos matemáticos mais produtivos de todos os tempos, Gauss, por

volta do ano de 1816, após sua morte com o aparecimento de suas cartas e diários.

(BARROS; FRANCO, 2011, p. 11-26).

Podemos dizer que tudo que se fez de significativo em matemática,

especialmente no campo da geometria, até os dias atuais, tem a semente original do

trabalho destes grandes estudiosos.

3 A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

UNIDADE I – ESCOLHA DO TEMA

Em primeiro plano, antes de dar início ao trabalho de intervenção com os

discentes, o projeto foi apresentado à equipe pedagógicacom o objetivo de informar

a importância do trabalho para a comunidade escolar, visando também à construção

do conhecimento que a proposta traria para a vida dos alunos, apresentando quais

conteúdos seriam trabalhados e objetivos que seriam alcançados.

Na sequência, apresentou-se aos estudantes como seria o desenvolvimento

do Projeto de Intervenção e cada uma de suas etapas, quais os objetivos queseriam

atingidos, deixando claro quais conceitos matemáticos que seriam abordados:

pesquisas, debates, construções de embalagens e resoluções de problemas.

UNIDADE II – PESQUISA EXPLORATÓRIA

O trabalho de Intervenção Pedagógica iniciou-se com o filme do Pato Donald,

“O mundo mágico da Matemática”. Este filme apresentou de forma lúdica as

descobertas da matemática, nele Donald é guiado pelo “Verdadeiro Espírito de

Aventura”. O trabalho iniciado com vídeo despertou a curiosidade e motivou os

alunos para realizar pesquisas e se aprofundar sobre o tema trabalhado.

Logo após em dupla, realizou-se a leitura do texto “Embalagens usadas nos

alimentos”, onde foi abordada a importância das embalagens para os produtos,

levando-os a perceberem que para cada tipo de produto há um tipo de embalagem

própria, em seguida foi proposto algumas questões referentes ao texto para serem

discutidas e debatidas.

Em aula posterior foi observado uma coletânea de diversos tipos de

embalagens (figura 1), com o intuito de iniciar o estudo da geometria espacial,

levando-os a constatarem que o espaço em que se vive está repleto de formas

geométricas, em embalagens que se encontra nas lojas, supermercados, nas

construções, nas propagandas e em quase tudo ao redor. Essas formas podem ser

vistas e manipuladas por todos. Observando-se bem, encontram-se esses formatos

em toda parte.

A Geometria existe por toda parte. Procure observar as formas regulares e perfeitas que muitos corpos apresentam. As flores, as folhas e incontáveis animais revelam simetrias admiráveis que nos deslumbrem o espírito. Repito a Geometria existe por toda a parte, no disco do sol, na folha da tamareira, na borboleta e até num pequenino grão de areia. Há, enfim, infinitas variedades de formas geométricas espalhadas pela Natureza. (MALBA TAHAN, 1999, p.39)

O aluno ao ter contato com estas embalagens terá a possibilidade de

desenvolver o seu conceito geométrico e perceber que a geometria estudada na

escola faz parte do seu cotidiano (Figura 1)

Fonte: Chequim (2014)

Conforme pensa Lorenzato (1995), sem o conhecimento em geometria o

conteúdo de matemática fica defasado ou mesmo sem significado, pois é através do

ensino de geometria que instrumentaliza o aluno a raciocinar com hipóteses, a

argumentar de maneira lógica, tirar conclusões e compreender com mais facilidade

seus próprios conceitos.

De posse das embalagens puderam observar, manusear, discutir os

formatos, a matéria prima que as embalagens eram confeccionados, perceberam

também uma grande variedade de embalagens encontradas em tudo que os cerca.

Nesta atividade, os educandos se envolveram e participaram descontraidamente;

percebeu-se que eles estavam interessados pela situação e que alguns fizeram

comentários tais como: - Que aula legal professora! Diferente! Nossas aulas de

matemática poderiam ser sempre assim. Deste modo a gente aprende muito mais,

com os seus questionamentos. Outros também disseram que não imaginavam que

poderiam encontrar matemática nas embalagens, principalmente a geometria, pois

achavam tão fácil pegar os produtos embalados. Devido a todos esses comentários,

percebeu-se como é importante a interação do conhecimento teórico com o prático.

A modelagem busca estratégias de trabalho no ensino-aprendizagem através

de modelos concretos, que facilitem sua compreensão e utilização. É o processo

que junta teoria com a prática para o melhor entendimento da realidade, é também

utilizada como método cientifico que ajuda o aluno a assumir seu papel de cidadão.

Este método de ensino desperta no discente o interesse por conteúdos

matemáticos que ainda não têm conhecimentos, assim a arte de modelar e de

resolver situações problemas por meio de pesquisa, desenvolve seu senso crítico e

compreensão diversas de mundo.

A modelagem no ensino de matemática é uma estratégia de aprendizagem,

neste processo o professor não é o detentor do conhecimento, mas sim o mediador

entre o conhecimento e o aluno, com o papel de orientador e condutor, fazendo com

que o aluno possa pesquisar e tenha facilidade de compreender as ideias

matemáticas, aplicar em diversas situações, desenvolvendo habilidades gerais de

investigação, analisando como a matemática é usada nas práticas sociais, podendo

participar mais ativamente no mundo do trabalho.

Essa metodologia é muito importante e deve ser trabalhada nas aulas de

matemática de forma a desenvolver o raciocínio lógico e dedutivo, estimulando o

pensamento reflexivo do aluno, proporcionando uma aprendizagem mais

significativa, buscando a transformação das práticas escolares, aproximando a teoria

da prática e a prática da teoria. Para que isto aconteça o professor deve ser

audacioso buscando modificar sua prática, com disposição de conhecer e aprender,

abrindo novos caminhos para descobertas por meio da literatura, da história da

ciência ou da ciência contemporânea.

Mais do que digerir conceitos e fórmulas já prontas, o ensino da geometria

deve possibilitar ao aluno através de manuseio, experimentações e análises, a

elaboração de hipóteses e a construir novos conceitos.

A esse respeito Passos (2005, p. 18) refere-se: “o desenvolvimento de

conceitos geométricos é fundamental para o crescimento da capacidade de

aprendizagem, que representa um avanço no desenvolvimento conceitual.”

Diante desses resultados, pode-se dizer que a geometria quando

experimentada de forma concreta é de grande importância para o desenvolvimento

crítico do aluno, uma vez que pode conduzir a deduções e comprovações das

hipóteses levantadas. Elas possibilitarão ao estudante visualizar uma mesma figura

de várias formas, facilitando a compreensão da geometria espacial. Assim deve-se

incentivá-lo à investigação e à comprovação das relações encontradas e levá-lo a

perceber que a geometria estudada na escola faz parte de seu cotidiano.

Depois de todos observarem as embalagens, os educandos em grupos

receberam uma folha para fazerem as anotações. Através da análise das

embalagens, todas as informações foram colocadas em uma ficha elaborada pela

professora. (figura 2)

Figura 2 Fonte: Chequim (2014)

A ficha veio acompanhada de um questionário, onde provocou nas equipes

discussões e reflexões. Algumas equipes disseram que não tinha percebido a

diversidade de embalagens encontradas no comércio, e que o formato das

embalagens estaria relacionado com os sólidos geométricos. Depois de algumas

discussões perceberam que a maioria das embalagens apresentava o formato de

poliedros, e que para que haja estabilidade das embalagens era preciso que as

mesmas apresentassem pelo menos uma face plana, e que a maioria das

embalagens apresenta a forma de paralelepípedo, onde se tem uma grande

economia de espaço, tanto no empilhamento como no acondicionamento para o

transporte e a exposição dos produtos nas prateleiras dos supermercados, pois elas

apresentam faces retas, o que permitem que se alinhem com economia de espaço e

com maior estabilidade. Por ficarem bem acomodadas e organizadas nas prateleiras

são mais fáceis de serem manuseadas. As embalagens com formato cilíndrico

também possuem algumas faces planas, mas entre uma e outra embalagem sempre

sobra um espaço e assim se torna muito mais difícil o seu acondicionamento.

Portanto sabe-se que a geometria está relacionada com medidas. Essas

medidas estão presentes em tudo ao redor, por isso é importante saber como utilizá-

las e onde aplicá-las. Para Smole (2010)

A geometria é parte do conhecimento desenvolvido na tentativa humana de compreender certos aspectos do mundo em que vive, pois este universo é repleto de objetos, coisas e entes de várias formas e tamanhos que ocupam as mais variadas posições. Medir, examinar formas, comparar e analisar posições de objetos são algumas das preocupações do dia a dia do ser humano. (SMOLE, 2010, p. 188)

No passo seguinte realizou-se o estudo dos componentes dos sólidos

geométricos, onde foi feito o estudo sobre o vértice, aresta da base, aresta lateral e

altura do sólido geométrico. Ainda nesta etapa de posse das embalagens foi

proposto que cada grupo escolhesse uma para fazer sua planificação a fim deuma

melhor visualização das faces da base e lateral. Realizou-se ainda uma comparação

entre o sólido planificado e antes da planificação, o que favoreceu a comparação e a

visualização das partes componentes do sólido geométrico que são formadas pelas

figuras planas, onde através de uma ficha elaborada pela professora, que após a

planificação teriam de fazer algumas observações e responder algumas perguntas.

A partir de então o aluno identificava quais as figuras planas que eram componentes

do sólido geométrico. Identificado a figura plana, recorreu-se à geometria plana,

pesquisando através de livros didáticos para determinar quais fórmulas poderiam ser

utilizadas no cálculo da superfície ocupada pelo sólido geométrico ora planificado e

a partir dessa pesquisa foi realizado os cálculos da superfície da base, lateral e total.

Dessa forma o aluno conseguiu compreender melhor o que era o cálculo de área de

um sólido geométrico, nesta fase também foi feito a utilização de alguns sistemas de

medidas, onde tinham de medir a figura planificada para após realizar alguns

cálculos matemáticos, como: calcular a área da base, a área lateral e área total,

onde foi calculada a quantidade de materiais utilizados nas confecções das

embalagens.

No entanto ao realizar os cálculos de áreas, alguns alunos apresentaram

dificuldades em expressar a unidade de medida de área ao quadrado, ao invés de

apresentarem os resultados em cm² ou m², representaram as unidades como cm ou

metros; nesta parte do trabalho foi feito uma parada para revisar alguns conceitos de

sistema de medidas, principalmente quando houve a necessidade de calcular o

volume de um sólido geométrico, obtendo os resultados na maioria das vezes em

cm³ ou m³, o que não faz muito sentido para o aluno. A proposta então foi que o

aluno entendesse e conseguisse realizar a transformação dessa medida obtida do

volume em cm³ ou m³ em uma unidade de medida mais utilizada e de fácil

compreensão .Recorreu-se então ao sistema de medidas para realizar a conversão

de cm³ para ml e m³ para litros, dentre outras medidas, o que oportunizou a

compreensão do volume de um sólido geométrico.

UNIDADE III – LEVANTAMENTO DE PROBLEMAS

Conforme Biembengut (2005, p. 34) “As formas geométricas estão presentes

nas embalagens”. Assim as embalagens tornam-se modelos significativos para

desenvolver conceitos de geometria plana e espacial. De acordo com Biembengut:

Manuseando embalagens, o professor poderá resgatar os conceitos geométricos que os alunos já possuem e introduzir outros como: prismas, cilindro, cone etc. Com isso, os alunos poderão compreender melhor a relação entre duas retas, entre reta e plano e entre planos (paralelos, perpendiculares, concorrentes); ângulo e ângulo poliédrico, propriedades dos polígonos ( triângulos, quadriláteros, etc.) e da circunferência e do Círculo e dos sólidos geométricos. (BIEMBENGUT, 2005, p. 35 ).

Com o uso de um modelo, propõem-se a aproximação da realidade para

entender melhor alguns conceitos matemáticos.

Após os alunos já terem adquirido alguns conhecimentos sobre as

construções dos sólidos geométricos foi proposto que em grupo elaborassem um

projeto de uma embalagem e a confeccionassem (figura 3).

Fonte: Chequim (2014)

Além de confeccionar a embalagem também teriam de calcular o material

gasto e o volume que cada embalagem suportaria. Neste momento alguns grupos

disseram: Muito interessante! Pois através das embalagens que encontramos muitas

vezes jogadas pelas ruas se torna um meio mais fácil de aprender a matemática, de

uma maneira que possamos ver a sua aplicabilidade. Depois das embalagens

confeccionadas fizeram uma exposição para as outras turmas do colégio, onde

demostraram a importância das embalagens para o produto e também a

aplicabilidade da matemática no cotidiano. (Figuras 4,5 e 6).

Fonte: Chequim (2014)

Fonte: Chequim (2014) Fonte: Chequim (2014)

A próxima atividade em grupo foi lançada uma situação problema onde teria

de analisar, pesquisar e confeccionar uma embalagem adequada para uma

confeitaria. Neste momento ocorreram vários questionamentos: Que tipo de

embalagem deve ser confeccionado? Qual será o formato dos doces? Que tipo de

doce? Conforme os alunos interagiam foi possível perceber a dificuldade que eles

encontraram no momento de colocar em prática os conhecimentos adquiridos.

Foram desafiados a medir, calcular, estudar mais detalhadamente a embalagem a

ser confeccionada.

UNIDADE IV – RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS

A resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático no

contexto do tema proporcionou a abertura para a busca de respostas aos problemas

levantados na etapa anterior. Organizados em grupos de até quatro alunos,

solicitou-se que os alunos confeccionassem sólidos geométricos, calculando o

volume e a área de cada embalagem.

Para tanto, resolver um problema implica compreender e aplicar métodos

adequados para permitir o desenvolvimento de habilidades que ofereçam diferentes

procedimentos para obter a solução do problema. Nesse aspecto Dante explica:

É importante distinguir exercício de problema. “Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas. Problema ou problema-processo,..., é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema-processo exige certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias." (DANTE, 1995, p 43)

Dessa forma, a resolução de situações-problema é indicada como uma

Estratégia que amplia o desenvolvimento do raciocínio do aluno em relação aos

conceitos fundamentais da Matemática, demonstrando que não basta saber fazer

mecanicamente as operações, é preciso levar o aluno a refletir, a analisar e

contextualizar sua aprendizagem de maneira efetiva ao seu dia a dia. Como

identifica de D’ Ambrósio:

[...] o verdadeiro espírito da matemática é a capacidade de modelar situações reais, codificá-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização de técnicas e resultados conhecidos em um contexto novo. “Isto é, a transferência de aprendizado resultante de certa situação para uma situação nova é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da matemática e talvez o objetivo maior do seu ensino”. (D’ Ambrósio:1986, p.44)

Dante (1995) destaca que um dos principais objetivos do ensino da

Matemática é fazer o aluno pensar produtivamente, e pra isso, nada melhor que

apresentar situações-problema que o envolvam, o desafie e o motivem a querer

resolvê-las.

Para Polya (2006), resolver problemas envolve desafios e descobertas,

portanto, cabe ao professor desenvolver nos alunos o gosto pela resolução de

problemas e assim tornar este conteúdo prazeroso.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste artigo foram apresentados os resultados de um trabalho que abordou a

modelagem matemática como uma possibilidade metodológica para o ensino e

aprendizagem de Matemática. Onde esta metodologia coloca-se como um

procedimento de ensino em que o aluno deixa de ser um sujeito passivo para ser

ativo no processo de aprendizagem.

A Modelagem Matemática neste trabalho foi utilizada como estratégia de

aprendizagem, em que o objetivo principal foi dar suporte aos alunos envolvidos no

projeto, para que dessa forma pudessem compreender a Geometria de forma

completa, como um conhecimento imediato da relação dos mesmos com o meio em

que vive.

No decorrer da implementação, pode-se perceber um maior interesse pelo

conteúdo. A proposta cumpriu seu objetivo de modificar a aceitação e a visão destes

indivíduos sobre o saber geométrico. Além disso, proporcionou a criação de um

ambiente rico em aprendizagem. Durante a aplicação deste projeto, foi constatado

que as embalagens é um excelente recurso didático para fixação e visualização dos

conceitos e propriedades de temas de geometria. Dentre os resultados na aplicação

deste projeto, destaca-se o interesse e aceitabilidade dos estudantes em realizar as

atividades propostas, observando que a utilização das embalagens como recurso no

ensino de geometria permitiu explorar diferentes conceitos e propriedades

geométricas. Observou-se também a capacidade de concentração e paciência dos

alunos em realizar as atividades, além de possibilitar o desenvolvimento e

acréscimos de outras habilidades, ampliando novo saberes.

A melhor coisa que pode um professor fazer para seu aluno é proporcionar-lhe

discretamente uma ideia luminosa, partindo das indagações e sugestões para que o

mesmo possa compreender, estabelecer um plano e resolver situações problemas.

(POLYA, 1994, p. 56).

REFERÊNCIAS

BARROS, R. M. O; FRANCO, V. S. Espaço e forma. 2. ed. Ver. Maringá: Eduem, 2011. (Coleção formação de professores EAD; v. 24)

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia.2.ed. São Paulo, 2004.

BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática no ensino. 4. ed. São Paulo, 2005.

BURAK, Dionísio. As diretrizes curriculares para o ensino de matemática e a modelagem matemática. In: PERSPECTIVA, Publicação da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das missões. Erechim RS, v. 29, n° 107, setembro de 2005, p. 153 – 161.

BURAK, D. Modelagem matemática: uma metodologia alternativa para o ensino de matemática na 5ª série. Rio Claro-SP, 1987. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) - IGCE, Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho -UNESP.

DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 1995.

DANTE, L. R.Matemática, volume único – 1ª ed. São Paulo, 2005

D’ Ambrósio,U. Da realidade à ação reflexões sobre Educação Matemática. Campinas, Papirus, 1986,p.44

IEZZI, G. et al. Matemática: ciências e aplicações, 2. 6. ed. São Paulo: Saraiva 2010.

LIMA, E. L. Medidas e formas em geometria: comprimento, área, volume e semelhanças. Coleção do Professor de matemática, Rio de Janeiro, 1991.

LORENZATO, S. Porque não ensinar Geometria? A Educação Matemática em Revista. Blumenau: SBEM, Ano III, n. 4, 1995.

TAHAN, M. O homem que calculava. 49 ed. Rio de Janeiro, 1999.

PAIVA, M. Matemática-Paiva -1ªed.-São Paulo: Moderna, 2009

PASSOS, C. L. B. Que Geometria acontece na sala de aula? In: MIZUKAMI, Maria da Graça N., REALI, Aline Maria M. R. Processos formativos da docência: conteúdos e práticas. São Carlos: EDUFSCar, 2005, p. 16-44.

POLYA, G. A arte de resolver problemas: um enfoque no método matemático. Tradução e Adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de janeiro: Inter ciência, 1994.

SMOLE, K. C. S; DINIZ, M. I. Matemática: ensino médio: v. 2 – 6. ed. São Paulo, 2010.

STRUIK, D. j. História Concisa das Matemáticas. Trad. João c. s. Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1993.