OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2014

TÍTULO: A INTERPRETAÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA E DA LÍNGUA MATERNA: Uma arte na resolução de problemas

Autor: João Luís Stival

Disciplina/Área: Matemática/Exatas

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Professora Ângela Sandri Teixeira

Município da escola: Almirante Tamandaré

Núcleo Regional de Educação:

Área Metropolitana Norte

Professor Orientador: Prof. Dr. André Fabiano Steklain Lisbôa

Instituição de Ensino Superior:

UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Relação Interdisciplinar: Língua Portuguesa

Resumo:

O Caderno Temático propõe questões com análise da interpretação da linguagem matemática e da língua materna na aplicação de Resolução de Problemas para promover o desenvolvimento do raciocínio lógico, amadurecer as estruturas cognitivas, colaborar com a leitura e a interpretação do problema, propiciando a utilização das habilidades para resolução. A metodologia irá cooperar para que os alunos tenham um melhor interesse pelo assunto e solucionem os problemas propostos e os professores possam ter um novo olhar pedagógico inserindo esta metodologia ao trabalharem os conteúdos de matemática ou a partir da Resolução de Problemas, estruturar e formalizar um novo conteúdo. Utilizam-se como referencial principal as contribuições de Polya e outros que darão suporte teórico, relacionados nas referências bibliográficas.

Palavras-chave:

Resolução de Problemas; Linguagem Matemática; Língua Materna; Problemas.

Formato do Material Didático:

Caderno Temático

Público:

Alunos do 9º ano

Produção Didática Pedagógica na Escola

João Luís Stival1

André Fabiano Steklain Lisbôa2

A INTERPRETAÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA E DA LÍNGUA MATERNA:

Uma arte na resolução de problemas

Caderno Temático apresentado no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do Paraná em convênio com a Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Curitiba, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o biênio 2014/2015.

CURITIBA

2014

1STIVAL, João Luís. Núcleo Regional de Educação Área Metropolitana Norte. Área de atuação:

Matemática. Professor PDE – 2014/2015. 2 LISBÔA, André Fabiano Steklain. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Professor Dr.

Orientador PDE – 2014/2015.

ii

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: João Luís Stival

Área/Disciplina PDE: Exatas/Matemática

NRE: Área Metropolitana Norte

Professor Orientador IES: Prof. Dr. André Fabiano Steklain Lisbôa

IES vinculada: Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Escola de Implementação: Colégio Estadual Professora Ângela Sandri Teixeira

Público objeto da intervenção: alunos do 9º ano

TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE

O uso da linguagem matemática e da língua portuguesa na resolução de problemas

TÍTULO

A INTERPRETAÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA E DA LÍNGUA MATERNA:

Uma arte na resolução de problemas

CURITIBA

2014

iii

“Não me ensine nada

que eu possa descobrir.

Provoque minha curiosidade.

Não me dê apenas respostas.

Desarrume minhas ideias e me dê

somente pistas de como ordená-las.

Não me mostre exemplos.

Antes me encoraje a ser exemplo

vivo de tudo o que posso aprender.

Construa comigo o conhecimento.

Sejamos juntos investidores, descobridores, navegadores,

e piratas de nossa aprendizagem.

Não fale apenas de um passado

distante ou um futuro

imprevisível.

Esteja comigo hoje alternando

as sensações de quem ensina

e de quem aprende.”

Ivana M. Pontes

iv

Dedico este trabalho aos meus familiares, em especial a minha esposa Dirlei e aos meus filhos João Victor e Luís Gustavo, que se tornaram essenciais, pela compreensão, paciência e incentivos em todos os momentos.

v

Agradecimentos Ao meu bom Deus, que esteve sempre presente ao meu lado nas horas difíceis. As minhas companheiras de PDE Amarilda, Evelise, Helani, Jandra, Joelma, Mari Luci, Maria José (Zezé), Marta e Rosimeri que se tornaram essenciais na minha vida, pois estiveram e estão sempre me apoiando em todos os momentos. A direção, coordenação, agentes I e II, professores, alunos, pais e a comunidade escolar do CEPAST por acreditar e aguardar o nosso retorno ao colégio. A minha família que se preocupou e que sempre que precisei estava ali para me ajudar. Ao professor André Fabiano Steklain Lisboa, pela orientação, dedicação e companheirismo nesta caminhada.

vi

SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS .............................................................................................. VIII

LISTA DE QUADROS ............................................................................................ XII

LISTA DE TABELAS ............................................................................................. XIII

APRESENTAÇÃO ................................................................................................... 14

2. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS .................................................................. 15

2.1 AÇÕES DO PROFESSOR DURANTE A APLICAÇÃO DOS PROBLEMAS ..... 15

3. OBJETIVOS / EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM ......................................... 16

3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................... 16

4. CONTEÚDO/TEMÁTICA ..................................................................................... 16

5. MATERIAL DIDÁTICO ........................................................................................ 17

6. ENCAMINHAMENTOS/ METODOLOGIA ........................................................... 17

7. DIVISÃO CADERNO EM ETAPAS ...................................................................... 18

8. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO.............................................................................. 19

9. PRIMEIRA ETAPA .............................................................................................. 20

9.1 PROBLEMAS BÁSICOS ................................................................................. 20

9.1.1 Cronograma 1ª Etapa ............................................................................... 20

9.1.2 Avaliação ................................................................................................. 21

Tarefa 1 – Calcular frações ............................................................................... 22

Tarefa 2 – Reconhecer frações equivalentes .................................................... 23

Tarefa 3 – Calcular frações ............................................................................... 24

Tarefa 4 – Calcular perímetro e área ................................................................ 24

Tarefa 5 – Montar um Sistema de Equação ...................................................... 25

Tarefa 6 – Calcular proporção .......................................................................... 26

Tarefa 7 – Identificar relação entre representações algébrica e geométrica ..... 27

9.2 QUESTIONÁRIO 1ª ETAPA ............................................................................ 31

10. SEGUNDA ETAPA ............................................................................................ 32

10.1 PROBLEMAS INTERMEDIÁRIOS ................................................................ 32

10.1.1 Cronograma 2ª Etapa ............................................................................. 32

10.1.2 Avaliação ............................................................................................... 33

Tarefa 1 – Calcular unidade de medida de comprimento, utilizando a relação

métrica no triângulo retângulo ........................................................................... 34

vii

Tarefa 2 – Calcular situação problema envolvendo porcentagem ..................... 35

Tarefa 3 – Calculo de área irregular com uso de escala ................................... 36

Tarefa 4 – Calcular idade .................................................................................. 37

Tarefa 5 – Calculo de área ................................................................................ 38

Tarefa 6 – Calcular consumo de energia elétrica em kWh e em unidade

monetária .......................................................................................................... 40

Tarefa 7 – Analisar dados de uma tabela .......................................................... 42

10.2 QUESTIONÁRIO 2ª ETAPA ................................................................................. 54

11. TERCEIRA ETAPA ............................................................................................ 55

11.1 PROBLEMAS AVANÇADOS......................................................................... 55

11.1.1 Cronograma 3ª Etapa ............................................................................. 55

11.1.2 Avaliação ............................................................................................... 56

Tarefa 1 – Calcular a frequência de oscilação de uma Ola ............................... 57

Tarefa 2 – Calcular percurso/distância e escala, utilizando a relação métrica no

triângulo retângulo ............................................................................................ 59

Tarefa 3 – Geometria Plana e Espacial – Calcular diâmetro, altura e volume de

um cilindro ........................................................................................................ 63

Tarefa 4 – Modelagem e Função Afim/ Dependência entre duas variáveis –

atividade do táxi ................................................................................................ 67

Resolução atividades do taxista de Curitiba ...................................................... 70

Resolução atividades do taxista de Londrina .................................................... 72

Tarefa 5 – Calcular perímetro e raio de uma circunferência .............................. 75

Tarefa 6 – Função Afim/Calcular grandezas entre duas variáveis .................... 79

Tarefa 7 – Modelagem da água ........................................................................ 83

11.2 QUESTIONÁRIO 3ª ETAPA .......................................................................... 86

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 87

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Instrutores - Microsoft Média Gallery – Profissões. Disponível em: http://office.microsoft.com, acesso em 21/08/2014. Figura 2 – Recife a Caruaru – Pernambuco. Disponível em: https://goo.gl/maps/Ck94b, acesso em 21/08/2014. Figura 3 – Fração Equivalente das Pizzas. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109, acesso em 21/08/2014. Figura 4 – Pizza. Disponível em: http://www.smartkids.com.br/busca/resultado?Busca[termoBuscado]=pizza&Busca[todosFiltros]=1 &Buscar, acesso em 10/09/2014. Figura 5 – Trecho Ciclovia na capital do Estado do Paraná. Disponível em: https://www.google.com.br/maps/@-25.3981313,-49.2676174,18z?hl=pt-BR, acesso em 10/09/2014. Figura 6 – Sanduíche. Disponível em: http://www.tocadacotia.com/culinaria/lanches, acesso em 10/09/2014. Figura 7 – Unidade Escolar. Disponível em: http://www.sjc.sp.gov.br/noticias/noticia.aspx?noticia_id=14593, acesso em 23/09/2014. Figura 8 – Representação da Reta. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109, acesso em 21/09/2014. Figura 9 – Tela Inicial software GeoGebra. Figura 10 – Inclusão dos pontos cartesianos. Figura 11 – Destaque dos pontos cartesianos. Figura 12 – Estabelecer a reta entre dois pontos. Figura 13 – Reta decrescente construída dado dois pontos cartesianos. Figura 14 – Reta crescente construída dado dois pontos cartesianos. Figura 15 – Intersecção entre duas retas. Figura 16 – Instalação Rede Elétrica em uma residência.

ix

Figura 17 – Um cafezinho. Disponível em: http://www.dormindobem.com.br/noticias/9-dicas-para-parar-de-beber-cafe.php, acesso em 25/09/2014. Figura 18 – Mancha de Óleo. Disponível em: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/itens/2012/pisa_2012_matematica_itens_liberados.pdf, acesso em 06/10/2014. Figura 19 – Idades. Disponível em: http://www.pinterest.com/pin/290130400966411619/, acesso em 18/10/2014. Figura 20 – A Piscina. Disponível em: http://assimeugosto.com/2010/11/29/piscinas-1/, acesso em 18/10/2014. Figura 21 – Chuveiro. Disponível em: http://fotografia.folha.uol.com.br/galerias/7131-escolha-o-chuveiro-ideal#foto-137526, acesso em 21/10/2014. Figura 22 – Pagina Inicial Planilha Excel. Figura 23 – Montando Tabela. Figura 24 – Acrescentando Dados. Figura 25 – Ajustando Tabela. Figura 26 – Preenchimento para destacar linha. Figura 27 – Seleção Células. Figura 28 – Inclusão Linhas. Figura 29 – Lançamento Dados População. Figura 30 – Ajustando as casas posicionais. Figura 31 – Elaborando Fórmula Aumento/Decréscimo. Figura 32 – Elaborando Fórmula Percentual. Figura 33 – Elaborando Fórmula Previsão. Figura 34 – Gráfico de Barras População. Figura 35 – Gráfico de Setores com percentual de Aumento/Decréscimo. Figura 36 – Tela Excel com tabela e gráficos representativos. Figura 37 – Ola. Fonte: ENEM 2013. Figura 38 – Representação trajeto avião em escala.

x

Figura 39 – Trajeto de ida e volta do avião. Figura 40 – Acadêmico. Disponível em: http://office.microsoft.com,acesso em 08/11/2014. Figura 41 – Percurso Avião cidades A, C, B e retorno de B a A. Figura 42 – Pilha de Tubo. Disponível em: http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2002/matematica/q05.html, acesso em 09/11/2014. Figura 43 – Representação do triângulo equilátero na pilha de tubos. Figura 44 – Demonstração para encontrar altura de um triângulo equilátero. Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/matematica/teorema-pitagoras-altura-area-triangulo-quilatero.htm, acesso em 09/11/2014. Figura 45 – Tubo de Concreto. Disponível em: http://www.mcpremoldados.com.br/manilhas.php#, acesso em 09/11/2014. Figura 46 – Táxis em Curitiba. Disponível em: http://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/150-novos-taxistas-ja-fizeram-pedido-de-cadastro-na-urbs/32652, acesso em 23/10/2014. Figura 47 – Táxis em Londrina. Disponível em: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=740654&page=237 acesso em 23/10/2014. Figura 48 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade a da alternativa 2. Figura 49 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade b da alternativa 2. Figura 50 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade a da alternativa 4. Figura 51 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade b da alternativa 4. Figura 52 – Analise de percurso dos taxistas com vantagens, valor e quilometragem comum a ambos. Figura 53 – Ilustração de Eratóstenes e sua descoberta. Fonte: http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm. Acesso em 17/11/2014. Figura 54 – Terra cortada ao meio e divida em frações Fonte: http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf. Acesso em 17/11/2014.

xi

Figura 55 – Ilustração da incidência dos raios solares sobre Alexandria e Siena. Fonte: http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf. Acesso em 17/11/2014. Figura 56 – Ilustração poço em Siene e estaca em Alexandria (Antigo Egito) Fonte: http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php. Acesso em 17/11/2014. Figura 57 – Gnômon, parte triangular deste relógio de sol. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Gn%C3%B4mon. Acesso em 17/11/2014. Figura 58 – Informações do planeta Terra. Fonte: https://www.google.com.br/search?q=circunferencia+da+Terra&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a&channel=nts&gfe_rd=cr&ei=4qRkVKXuKIGX8QejyoHICQ. Acesso em 17/11/2014. Figura 59 – Moda Infantil. Disponível em: http://www.mariavitrine.com.br/2011/09/recados-de-vitrine-41-noticias-e.html, acesso em 17/11/2014. Figura 60 – Janela de álgebra e planilha no GeoGebra. Figura 61 – Janela de Visualização e alteração da escala no GeoGebra. Figura 62 – Campo de entrada, histograma no GeoGebra. Figura 63 – Campo de entrada, histograma [lista1,lista2]. Figura 64 – Gráfico da função f(x) =0,10x + 1.324, no GeoGebra. Figura 65 – Torneira Aberta. Fonte: http://site.sanepar.com.br/sustentabilidade/consumo-responsavel Figura 66 – Interdisciplinaridade. Disponível em: http://osmurosdaescola.wordpress.com/2011/07/06/multi-pluri-trans-e-interdisciplinaridade-em-graficos-e-esquemas/, acesso em 15/11/2014. Figura 67 – Superdotado. Disponível em: http://papoentrepais.blogspot.com.br/2013/01/superdotacao-escolar-x-superdotacao.html, acesso em 15/11/2014.

xii

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Cronograma 1ª Etapa. Quadro 2 – Cronograma 2ª Etapa. Quadro 3 – Percentual de Aumento/Decréscimo dos Cinco Municípios mais

Populosos do Paraná com Perspectiva para 2020.

Quadro 4 – Cronograma 3ª Etapa. Quadro 5 – Valor a pagar dado o percurso táxi Curitiba.

Quadro 6 – Valor a pagar dado o percurso táxi Londrina.

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – MUNICÍPIOS MAIS POPULOSOS DO ESTADO DO PARANÁ Tabela 2 – VALORES DE VENDA DA VENDEDORA – R$

APRESENTAÇÃO

A preocupação com o tema nasceu da necessidade de investigar mais a

fundo as causas que levam um grande número de alunos do colégio a apresentarem

dificuldades na leitura, interpretação e resolução de problemas matemáticos e que

se repetem com certa frequência, precisando de uma atenção especial. O Colégio

possui característica urbana, mas atende uma quantidade considerável de alunos da

área rural. Com esse material pretende-se contribuir na melhoria pedagógica,

provocando reflexões importantes acerca da resolução de problemas, oportunizando

troca de experiências, procurando discutir aspectos relevantes dos conteúdos,

melhorando a forma de apresentá-los aos alunos do ensino fundamental que

apresentam dificuldades de interpretação. Para tal, buscam-se instrumentos para

que a disciplina de matemática vá além do mero imediatismo.

O material está organizado em três etapas, com analise passo a passo das

atividades com os seus respectivos descritores3, algumas com dicas e uso de

novas ferramentas tecnológicas, facilitando assim um melhor parâmetro para o

professor e serão desenvolvidas com questões que foram aplicadas em ENEM,

PROVA BRASIL, PISA, SAEB, TESTE SELETIVO DO COLÉGIO DA POLÍCIA

MILITAR DO PARANÁ, VESTIBULAR DA UFPR, CADERNO DE ATIVIDADES DA

SEED (MATEMÁTICA, 2009) e elaboradas pelo autor do projeto com proposições de

situações problema.

3 O descritor é uma associação entre conteúdos curriculares e operações mentais desenvolvidas

pelo aluno, que traduzem certas competências e habilidades. Os descritores indicam habilidades gerais que se esperam dos alunos e constituem a referência para seleção dos itens que devem compor uma prova de avaliação. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/saeb_matriz2.pdf, acesso em 25/09/2014.

O Caderno Temático aqui apresentado é um

material composto por questões e atividades que vai ao

encontro da proposta do Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE), da Secretaria de Estado da

Educação de Paraná, no biênio 2014/2015 e norteará o

trabalho durante a implementação com os alunos do 9º

ano do Colégio Estadual Professora Ângela Sandri

Teixeira – EFM.

Figura 1 – Instrutores Fonte: http://office.microsoft.com

15

A proposta deste caderno temático é instigar nos envolvidos um ato reflexivo,

desenvolvendo atividades para raciocínio, pesquisa, interpretação com uso de

alguns recursos tecnológicos para observar e analisar os recursos e métodos que os

alunos utilizam para interpretar e resolver os problemas, numa forma de desafio aos

seus conhecimentos.

2. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Para que a matemática seja mais abrangente, há a necessidade de uma

proposta que envolva os alunos na resolução de problemas, que propiciem

discussões, se criem alternativas de resolução, bom uso da comunicação e

envolvimento de todos no processo da transmissão do conhecimento. Tal postura

pedagógica exige do corpo docente empenho, dedicação, esforço, muita pesquisa e

mudança de postura metodológica na busca da qualidade de ensino “para que o

alunado possa apropriar-se de linguagem adequada, constatar regularidades,

generalizar procedimentos, com o objetivo de interpretar e descrever fenômenos não

só do cotidiano matemático, mas o de outras disciplinas”. (Motta, 2013, p. 7)

2.1 AÇÕES DO PROFESSOR DURANTE A APLICAÇÃO DOS PROBLEMAS

Estimular os grupos a leitura, interpretação e tentativa de solução das

tarefas propostas, revisando o resultado encontrado;

Esclarecer que não se trata de uma competição e sim de um diagnóstico

para redimir ou sanar dificuldades no processo de construção do

conhecimento;

Deixar claro que o erro faz parte do processo e que são as tentativas de

erros e acertos que propiciam ao aprendizado;

Estabelecer regras com modificação ou não, no andamento das etapas a

serem aplicadas;

Incentivar os alunos a pensar e agir, auxiliando na organização do

pensamento e na comunicação matemática;

Instigar os alunos a analisar as questões antes da sua resolução.

16

3. OBJETIVOS / EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM

Esta proposta didática pedagógica na escola pretende trabalhar com

questões, cujo objetivo é investigar e compreender como os conhecimentos da

Linguagem Matemática e da Língua Portuguesa auxiliam na resolução de problemas

matemáticos.

3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Retomada dos conteúdos apropriados nas series anteriores;

Desenvolver no aluno o hábito da leitura, da interpretação e do raciocino

lógico para compreender um texto e dar significado se for um problema

matemático;

Contribuir para que os alunos, no enfrentamento de situações problemas, se

apropriem de conceitos e conhecimentos pré-estabelecidos para que possam

interpretar enunciados, transformando com segurança a língua materna em

linguagem matemática;

Propiciar situações problemas aos alunos que sejam interessantes e

desafiadores para o desenvolvimento de sua autonomia, ajudando-os na

criação de formas próprias para interpretar e resolver;

Instigar nos educandos, a capacidade de formular, criar e de resolver

situações problema a partir de temas geradores e esclarecer os benefícios

que a resolução de problemas propicia para o enriquecimento do mesmo;

Colher os resultados significativos produzidos pelos alunos no enfrentamento

das situações problemas a eles propostos.

4. CONTEÚDO/TEMÁTICA

As questões atenderão as Diretrizes Curriculares da Educação Básica:

Matemática4, contendo conteúdos estruturantes: Número e Álgebra, Grandezas e

Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da Informação.

4 Diretrizes que norteiam o trabalho pedagógico da educação pública estadual do Estado do Paraná.

17

5. MATERIAL DIDÁTICO

Para a produção didático-pedagógica serão necessários alguns itens que

facilitarão o desenvolvimento deste caderno para posterior análise e elaboração do

artigo final, conforme exposto abaixo.

6. ENCAMINHAMENTOS/ METODOLOGIA

O encaminhamento metodológico será a Resolução de Problemas5,

apresentando a proposta didática aos alunos por meio de questões desafiadoras e

práticas.

Para o desenvolvimento deste trabalho a classe será subdivida em grupos de

três ou quatro alunos, com um dos membros com nível de conhecimento

considerável dos conteúdos matemáticos para auxílio e estímulo dos demais

membros, que após a apresentação do(s) problema(s), discutirão caminhos para sua

solução. Nos minutos finais, após discussões, analises e maneiras de resolução,

serão redigidas e entregues para que o professor possa avaliar as

5 “[...] uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos

matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta (DANTE, 2003,

citado por PARANÁ, 2008, p. 63)”.

Material necessário

Quadro e giz;

Caderno para anotações;

Mídia conectada à internet para pesquisa e investigação;

Canhão Multimídia para projeção das atividades;

Laboratório de Informática para pesquisa e uso de softwares com

planilhas eletrônicas;

18

dificuldades/facilidades de cada grupo. Em aulas seguintes poderá ser feita uma

mudança nos grupos para troca de informações e, se necessário, o professor poderá

intervir com sugestões e dicas de acordo com as etapas de Polya (2006), mas deve

ser evitada a resolução de uma tarefa por parte do professor, para propiciar aos

grupos que se utilizem de seus próprios métodos para tentarem resolver os

problemas propostos. Após os alunos lerem os problemas, será realizada uma

discussão para estimular o espírito de pesquisa e solução dos mesmos.

Será explicada a diferença básica entre exercício e problema, ressaltando

que a Resolução de Problema é uma tendência, ou seja, uma metodologia de ensino

na matemática, propiciando discussões, reflexões e habilidades para poder resolver

os problemas propostos neste trabalho. Será ressaltada a importância da

interpretação, da tradução da linguagem corrente para a linguagem matemática,

retirando os dados do problema, suas etapas de resolução e suas estratégias de

ação no desenvolvimento dos algoritmos, com dicas dos tipos de problemas

pontuados por Polya (2006) e Butts (1997).

Serão entregues impressos a cada os problemas de acordo com cada etapa

de implementação para que os grupos possam resolver, iniciando com problemas

básicos e ao final de cada etapa será disponibilizado online um questionário que

responderão questões do tipo: Estava fácil ou difícil? Houve dificuldade na

interpretação do enunciado? A tradução da linguagem usual em linguagem

matemática foi possível? O uso de figuras colaborou na leitura e interpretação dos

problemas? Apropriaram-se de material de apoio para a resolução dos problemas

propostos?

7. DIVISÃO CADERNO EM ETAPAS

O presente trabalho está estrutura em três etapas para melhor aplicação e

compreensão por parte dos alunos.

PRIMEIRA ETAPA: Problemas Básicos;

SEGUNDA ETAPA: Problemas Intermediários;

TERCEIRA ETAPA: Problemas Avançados;

19

Em cada etapa é primordial analisar o problema, descobrir a incógnita,

registrar os dados fornecidos e tentar fazer alguma estimativa para a resposta.

Alguns questionamentos são necessários, tais como:

O que se pede no problema? Explique com suas próprias palavras.

Quais são os dados e as condições do problema?

É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

É possível estimar a resposta?

No decorrer das atividades, o professor verificará em que etapa do processo

de resolução, os alunos estão apresentando dificuldades em encontrar a solução de

cada problema e fará mediação por meio de questionamentos, procurando motivar

os alunos, criando novas estratégias para obter os resultados das tarefas aplicadas

neste caderno.

8. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO

A avaliação será diagnóstica ao longo do processo, com escrita, oralidade,

demonstração/resolução dos problemas propostos e com levantamento de dados

através de questionário disponibilizado online ao final de cada etapa de

implementação.

“A Matemática é o alfabeto com o qual

Deus escreveu o universo”

“Não posso conceber a infinidade do

universo sem aceitar a existência de Deus”

Albert Einstein

20

9. PRIMEIRA ETAPA

9.1 PROBLEMAS BÁSICOS

A perspectiva nesta primeira etapa é proporcionar aos educandos a

apropriação dos conhecimentos previamente adquiridos, interpretando com

segurança a língua materna e linguagem matemática e através deles fazer uso para

que possam entender os enunciados, praticar e desenvolver o hábito da leitura para

compreender um texto e dar significado se for um problema matemático, com

situações problemas que sejam interessantes e desafiadoras para o

desenvolvimento de sua autonomia, ajudando-os na criação de formas próprias para

interpretar e instigar a capacidade de formular, criar e de resolver situações

problema a partir de temas geradores, esclarecendo os benefícios que a resolução

de problemas propicia para o enriquecimento do mesmo.

Nesta etapa serão relembrados conceitos dos conjuntos dos números reais,

frações, frações equivalentes, operações com fração, porcentagem, MMC (Mínimo

Múltiplo Comum), expressões algébrica, perímetro, área, plano cartesiano e escala.

9.1.1 Cronograma 1ª Etapa

Para esta etapa serão necessárias sete aulas para a resolução dos

problemas e levantamento dos dados.

Quadro 1 Cronograma 1ª Etapa

1 aula Organização e apresentação

4 aulas Desenvolvimento das atividades

1 aula Avaliação

1 aula Questionário

Fonte: Autor

21

9.1.2 Avaliação

A avaliação será feita pela observação direta, pela participação dos

envolvidos nas leituras, interpretações e resoluções dos problemas propostos, pela

apresentação dos resultados encontrados pelos grupos, pelo envolvimento e

interesse demonstrado pelos alunos quanto aos problemas propostos e

desenvolvidos no decorrer dos encontros e por um questionário a ser preenchido por

cada grupo.

O intuito da avaliação é investigar os motivos e razões que o(s) aluno(s) tem

dificuldade(s) na leitura e interpretação tanto da linguagem matemática, quanto da

língua materna na resolução de problemas.

22

Tarefa 1 – Calcular frações. (Descritor 26)6

Figura 2: Recife a Caruaru – Pernambuco Fonte: https://goo.gl/maps/Ck94b

Análise

Pretende-se com esta questão que os alunos procurem uma fração

equivalente a cada uma das frações que foram dadas para efetuar a soma. Deve-se

considerar o fato de o denominador ser, ao mesmo tempo, um número múltiplo de 4

e de 6, considerando também a fração que falta para completar o inteiro e observar

os argumentos de cada um. O grupo precisa ter compreensão da equivalência e

recapitular o conteúdo intitulado operações com frações, no caso específico, adição

de fração, para dar significado ao resultado. Espera-se que os alunos compreendam

que um dos múltiplos comum entre o 4 e o 6 é o 12, montando a resolução nesta

sequência: 1

6 +

1

4 =

2

12 +

3

12 =

5

12, concluindo que para fechar o inteiro faltam

7

12,

portanto, a terceira etapa de recuperação.

Analisando a figura 3, observa-se que o trajeto em azul que vai de Recife a

Caruaru marca distância de 134 km, então o grupo pode associar esta distância às

três etapas de recuperação, isto é, multiplicando a fração das três etapas. Conforme

o enunciado, os grupos perceberão que 1

6 corresponde a 22,33... km,

1

4 a 33,5 km e

7

12 a 78,166...Km. Uma observação importante nesta análise é referente à dízima

periódica que aparece na primeira e terceira etapa, propiciando o conceito de

números racionais (finitos ou infinitos e periódicos).

6 D26 - Resolver problema com números racionais que envolvam as operações de adição, subtração,

multiplicação, divisão e potenciação.

(PROVA BRASIL, 2011) A

estrada que liga Recife a

Caruaru será recuperada em três

etapas. Na primeira etapa, será

recuperado 1/6 da estrada e na

segunda etapa 1/4 da estrada.

Uma fração que corresponde à

terceira etapa é?

23

Outro caminho para o desenvolvimento desta tarefa pode ser pelos números

decimais ou o uso da porcentagem, então vejamos, 1

6≅ 0,1667 ≅16,67% e

1

4=

0,25 = 25%. Sendo o processo da soma, 0,1667 + 0,25 ≅ 0,4167 ou 41, 67%,

concluindo que para o inteiro ou totalidade, faltam 0,5833 ou 58,33%. Neste caso o

grupo terá que ter habilidade para transformar a dízima periódica na fração geratriz,

no caso do problema, fica assim: para cada algarismo do antiperíodo se coloca um

algarismo zero, também no denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte

conta: (parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo) que

no caso ficará 583−58

900=

525

900, simplificando ambos os termos por 75, a fração

irredutível será igual a 7

12.

Tarefa 2 – Reconhecer frações equivalentes. (Descritor 23)7

(PROVA BRASIL, 2011) Observe as figuras:

Figura 3 – Fração Equivalente das Pizzas Fonte:http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109

Análise

Neste problema, o grupo deve compreender que as duas pizzas tem o mesmo

tamanho, deduzindo que há uma equivalência entre 6

8 e

9

12. O esperado, é que

saibam simplificar ambas as frações 6

8 =

3

4 e

9

12 =

3

4, concluindo que tanto José,

quanto Pedrinho comeram a mesma quantidade de pizzas. Um dos conteúdos que

deve ser enfatizado neste problema é fração irredutível, permitindo ao grupo fazer

suas análises e ponderações com relação às frações 3

4,

6

8 e

9

12, levando a

7 D23 – Identificar as frações equivalentes.

Pedrinho e José fizeram uma aposta para ver

quem comia mais pedaços de pizza. Pediram

duas pizzas de igual tamanho. Pedrinho dividiu

a sua em oito pedaços iguais e comeu seis.

José dividiu a sua em doze pedaços iguais e

comeu nove. Então, qual deles comeu mais

pedaços de pizza?

24

compreensão de que todas as três frações tem em comum o mesmo valor decimal,

no caso 0,75, por isso concluir que tanto José, quanto Pedrinho comeram a mesma

quantidade de pizza.

Tarefa 3 – Calcular frações. (Descritor 26)

Figura 4 – Pizza Fonte: http://www.smartkids.com.br/busca/resultado?Busca[termoBuscado]=pizza&Busca[todosFiltros]=1&Buscar

Análise

Nesta questão, o grupo precisa observar que o fator tempo é apenas uma

informação, um detalhe sem relevância, o importante é associar a quantidade (50%)

com a fração que a representa. O esperado é que se associe 50% = 50

100=

5

10 =

1

2

(fração irredutível). Eles devem compreender que porcentagem consiste em uma

fração em que o denominador é 100, representada pelo símbolo % e que 100%

representa a totalidade e no caso específico deste problema, foram consumidos a

metade do todo, quer dizer que da pizza inteira, a metade foi consumida.

Tarefa 4 – Calcular perímetro e área. (Descritores 12 e 13)8

(Elaboração pessoal) Observe o mapa a seguir de algumas quadras, na

capital do Paraná.

Figura 5 – Trecho Ciclovia na capital do Estado do Paraná Fonte: https://www.google.com.br/maps/@-25.3981313,-49.2676174,18z?hl=pt-BR

8 D12 – Resolver o problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.

D13 – Resolver o problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.

(PARANÁ, 2009) Bianca e suas amigas saíram para

comer uma pizza. Depois de 20 minutos de conversa

elas já haviam comido 50 % da pizza. Qual fração

representa a parte da pizza que elas já comeram?

25

A linha azul representa o trajeto percorrido por um ciclista em seu treinamento

esportivo. Cada parte da quadra tem um comprimento aproximado de 108m. Se ele

percorrer quinze vezes todo esse trecho, vai andar aproximadamente quantos

quilômetros? Qual é a área aproximada em metros, que compreende o percurso

feito pelo ciclista?

Análise

Nesta alternativa, o grupo deve analisar a figura e se apropriar das

ferramentas de unidades de medida de comprimento (metro e quilômetro), dos

conceitos de perímetro e área para análise e solução. Em relação ao perímetro,

esperasse que os grupos observem o contorno em azul e percebam que são 8

partes e que o comprimento aproximado de cada parte é 108 m, multiplicando um

pelo outro obtém-se resultado 864 metros e como o ciclista percorre 15 vezes este

trecho, multiplicasse o perímetro pelo total, encontrando resultado 12.960 metros e

convertendo em quilômetros (conforme enunciado), dá 12,96 Km. No caso da área,

o grupo precisa multiplicar o comprimento pela largura, uma vez que o percurso tem

um formato retangular. Eles precisam somar as três parte das quadras

(comprimento), 108 + 108 + 108 = 324 metros e multiplicar pela largura, então 324 x

108 = 34.992 m².

Tarefa 5 – Montar um Sistema de Equação e identificar expressões algébricas que

representam os valores de uma sequência numérica. (Descritores 34)9

Figura 6– Sanduíche Fonte: http://www.tocadacotia.com/culinaria/lanches

9 D34 – Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema.

(PARANÁ, 2009) Na lanchonete de uma escola o preço

do salgado é R$ 2,00 e o preço do sanduíche é R$

3,00, que são os lanches vendidos. Em uma manhã

foram vendidos 70 lanches. O valor arrecadado em todo

o dia foi de R$ 180,00. Monte o sistema de equação

que representa o problema

26

Análise

O objetivo desta questão não é o cálculo em si, mas instigar o grupo a pensar,

refletir e verificar como é possível determinar uma equação que permita encontrar o

resultado, quando se tem duas grandezas disponíveis. É interessante que o grupo

questione, argumente e analise como uma ferramenta (maquina registradora, bomba

de combustível, outros) faz o cálculo automaticamente. O grupo deve associar as

grandezas diretamente proporcionais, que no caso do problema são preço e

quantidade vendida. O problema informa que em certa manhã foram vendidos 70

lanches, atribuindo a letra x para salgado e y para sanduíche, então, x + y = 70. Se

cada salgado custa R$ 2,00 e cada sanduíche custa R$ 3,00, e foram vendidos R$

180,00 então 2x + 3y = 180. Então o sistema de equação para aquela manhã foi:

Tarefa 6 – Calcular proporção. (Descritor 29)10

Figura 7 – Unidade Escolar Fonte: http://www.sjc.sp.gov.br/noticias/noticia.aspx?noticia_id=14593

(Readaptado Prova Brasil, 2011) O desenho de um colégio foi feito na

seguinte escala: cada 4 cm equivalem a 5m. A representação ficou com 10 cm de

altura 50 cm de largura e 150 cm de comprimento. Em dimensões reais, qual é a

altura, largura e comprimento do colégio em metros?

10

D29 – Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.

𝑥 + 𝑦 = 70

2𝑥 + 3𝑦 = 180

27

Análise

Estabelecer a relação de proporcionalidade, encontrar o equivalente a uma

unidade. Nesta questão, além do uso da escala, se faz necessário explorar formas

geométricas, o que contribuirá no processo do conhecimento. O procedimento

básico a ser adotado pelo grupo será a equivalência, realizando a operação pela

regra de três.

Altura será representada pela letra ℎ:

4

5=

10

ℎ→ 4ℎ = 5 ∗ 10 → ℎ =

50

4→ ℎ = 12,5 𝑚

A largura será representada pela letra 𝑙:

4

5=

50

𝑙→ 4𝑙 = 5 ∗ 50 → 𝑙 =

250

4→ 𝑙 = 62,5 𝑚

O comprimento será representado pela 𝑐:

4

5=

150

𝑐→ 4𝑐 = 5 ∗ 150 → 𝑐 =

750

4→ 𝑐 = 187,5 𝑚

Portanto, as dimensões reais são: altura 12,5 metros, largura 62,5 metros e

comprimento 187,5 metros.

Tarefa 7 – Identificar relação entre representações algébrica e geométrica. (Descritor

911 e 3512)

(PROVA BRASIL, 2011), Observe o gráfico abaixo.

Figura 8 – Representação da reta Fonte: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109

11

D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas. 12

D35 –Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau

Monte o sistema de equação

representado por este gráfico.

28

Análise

Nesta tarefa é necessário relembrar o conceito de equação do primeiro grau e

de função afim, compreender o que é Plano Cartesiano, par ordenado e como se

encontra a equação da reta através do sistema de equação. É notório observar que

a solução desta questão está na identificação dos pontos do plano cartesiano (x; y)

expressos neste gráfico. Convém que os grupos compreendam o significado gráfico

(ou geométrico) desta questão, a qual pede para montar o sistema de equação que

o gerou e pelo método tradicional há a necessidade de se iniciar pela lei de

formação da função afim para as duas retas que tem o ponto (2, 1)

em comum, usando um dos métodos do sistema de equação para a sua resolução.

É interessante estimular o uso da tecnologia para auxiliar na apropriação do

conhecimento, possibilitando fazer as construções dos gráficos de diferentes

funções usando softwares gratuitos, e um deles é o GeoGebra.13

O software GeoGebra irá incrementar a compreensão e resolução do

problema proposto. A equação da reta e a análise do sistema de equação serão

mais visíveis, compreensíveis, possibilitando também a manipulação de dados e

construção de novas coordenadas cartesianas.

Vejamos passo a passo com o software GeoGebra:

1º Passo – Abrir software GeoGebra ou através da lousa digital ou canhão

multimídia ou computadores no laboratório de informática e com a turma divida em

grupo.

Figura 9 – Tela Inicial software GeoGebra 3.2 Fonte: Autor

13

É um software de matemática dinâmico gratuito e multi-plataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema. Ele tem recebido vários prêmios na Europa e EUA. Disponível em: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/info/13-what-is, acesso em 22/09/2014

y = ax + b

29

2º Passo – Incluir os pontos das coordenadas cartesianas disponíveis na questão

acima, figura 8. Ir à Barra de Ferramentas, clique em Exibir, abrirá uma janela,

clique em , abrirá na parte inferior da tela o campo entrada,

digite o ponto (0, 5) dê Enter e aparecerá na Janela de Álgebra (canto superior

esquerdo) o ponto A = (0, 5) e na Janela de Visualização (Plano Cartesiano), o

ponto A. Proceda da mesma forma para incluir os pontos (2, 1) e (0, –1).

Figura 10 – Inclusão dos pontos cartesianos Fonte: Autor

Figura 11 – Destaque dos pontos cartesianos Fonte: Autor

3º Passo – Estabelecer a reta entre os pontos A(0, 5) e B (2, 1), encontrando assim

a equação da reta destes pontos, conforme gráfico 5, no caso

y = - 2x + 5

30

Figura 12 – Estabelecer a reta entre dois pontos Fonte: Autor

Figura 13 – Reta decrescente construída, dado dois pontos cartesianos Fonte: Autor

4º Passo – Proceder da mesma forma do passo três, neste caso entre B (2, 1) e C

(0, -1) encontrando assim a equação da reta dos pontos B e C, conforme gráfico 6,

no caso

Figura 14 – Reta crescente construída dado dois pontos cartesianos. Fonte: Autor

y = x - 1

31

5º Passo - Fazer a intersecção entre as duas retas, encontrando o sistema de

equação 𝑦 = −2𝑥 + 5

𝑦 = 𝑥 − 1 solicitado na tarefa 6.

Figura 15 – Intersecção entre duas retas Fonte: Autor

9.2 QUESTIONÁRIO 1ª ETAPA

Após término desta etapa, responder o questionário enviado por e-mail a cada

grupo, conforme link: http://goo.gl/forms/05Cpw4x4wH

32

10. SEGUNDA ETAPA

10.1 PROBLEMAS INTERMEDIÁRIOS

A proposta nesta segunda etapa, além da apropriação dos conhecimentos

previamente adquiridos, os alunos deverão demonstrar certo potencial de

conhecimento para resolução dos problemas propostos, aumentando o grau de

dificuldade e busca pela solução, com o uso de muita leitura, releitura, pesquisa,

troca de informações entre os componentes do grupo e domínio da linguagem

matemática.

Para estas questões serão relembrados e explorados os conceitos de escala,

razão e proporção, regra de três simples, porcentagem, dados estatísticos, área,

perímetro, expressão algébrica, polinômio, equação do 1º grau, relações métricas no

triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras, potência, unidade de medida Kwh14,

tabela e gráfico de barras.

10.1.1 Cronograma 2ª Etapa

Para esta etapa a previsão será de onze aulas para a resolução dos

problemas e levantamento dos dados.

Quadro 2 Cronograma 2ª Etapa

1 aula Organização e apresentação

8 aulas Desenvolvimento das atividades

1 aula Avaliação

1 aula Questionário

Fonte: Autor

14

KWh – Quilowatt-hora. Disponível em: http://www.significados.com.br/kwh/, acesso em 27/10/2014.

33

10.1.2 Avaliação

A avaliação será feita pela observação direta, pela participação dos

envolvidos nas leituras, interpretações e resoluções dos problemas propostos, pela

apresentação dos resultados encontrados pelos grupos, pelo envolvimento e

interesse demonstrado pelos alunos quanto aos problemas propostos e

desenvolvidos no decorrer dos encontros e por um questionário a ser preenchido por

cada grupo.

O intuito da avaliação é investigar os motivos e razões que o(s) aluno(s) tem

dificuldade(s) na leitura e interpretação tanto da linguagem matemática, quanto da

língua materna na resolução de problemas.

34

Tarefa 1 – Calcular unidade de medida de comprimento, utilizando a relação métrica

no triângulo retângulo. (Descritor 1015)

Figura 16 – Instalação Rede Elétrica em uma residência Fonte: Autor

Análise

Para a resolução desta tarefa, o grupo precisa ter conhecimento das relações

métricas no triângulo retângulo, conhecer os nomes dos lados de um triângulo

retângulo, distinguir o lado maior dos lados menores, identificando a hipotenusa e os

catetos e se apropriar do Teorema de Pitágoras para a sua resolução, lembrando

que há três fios na ligação (duas fases positivas e uma neutra). O procedimento é

elaborar um esquema que facilite a visualização, identificando que a ponta do poste

até a caixa de entrada de energia elétrica representa a maior distância (hipotenusa),

o que facilita a aplicação do Teorema de Pitágoras. É importante que o grupo

perceba que a caixa está a dois metros acima do solo e que precisa deduzir esta

medida da altura do poste.

15

D9 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos

(Adaptado SEED, 2009, p. 21) Quantos

metros de fio são necessários para ligar

a ponta de um poste de 8m de altura até

a entrada de energia elétrica de uma

casa, localizada em uma caixa que fica

a 2m do solo, distante 8m do poste?

Lembrete: A ligação é bifásica, com

duas entradas positivas e uma neutra.

Dica: Pesquisar um pouco da história de

Pitágoras e fazer uma demonstração do seu Teorema.

35

Resolução:

8 – 2 = 6 metros (dedução da altura do poste e da caixa em relação ao solo)

Teorema de Pitágoras

Chamaremos H a ponta do poste até a entrada da energia elétrica

(hipotenusa), P o poste, deduzido a altura da caixa do solo (cateto) e D a distância

do poste até a caixa de energia elétrica (cateto).

Então: H2 = P

2 + D

2, substituindo as letras pelos respectivos valores, fica H

2 =

62 + 82 → H2 = 36 + 64 → H2 = 100 → H = √𝟏𝟎𝟎 → H = 10, portanto cada fio tem 10

metros de comprimento, multiplicando por 3, serão necessários 30 metros de fio.

Tarefa 2 – Calcular situação problema envolvendo porcentagem. (Descritor 16)16

Figura 17 – Um cafezinho Fonte: http://www.dormindobem.com.br/noticias/9-dicas-para-parar-de-beber-cafe.php

Análise

Explorar porcentagem é um conteúdo indispensável no cotidiano dos alunos,

além de familiarizar com os termos desconto, acréscimo, juros, taxa, capital e

montante.

Um dos caminhos para solucionar o problema acima é extrair de 1000, 70%

de pessoas que bebem café. Um conceito simplista, porcentagem é em simples

palavras, todo e qualquer valor na base 100, então deduzindo, 70% = 70

100= 0,7,

portanto, bebem café → 1000 x 0,7 = 700 pessoas.

16

D16 – Resolver problema que envolva porcentagem

(PDE/SAEB, 2011) Uma pesquisa sobre o perfil

dos que bebem café mostrou que, num grupo de

1000 pessoas, 70% bebem café e, dentre os que

bebem café, 44% são mulheres. Qual a

quantidade de homens que bebem café no grupo

de 1 000 pessoas?

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

36

Outro dado importante: do total que bebem café, 44% são mulheres, então se

conclui que dos 100% que bebem café, 56% são homens. Então, extraindo 56% de

700 pessoas, fica: 700 x 0,56 = 392 homens que bebem café.

Tarefa 3 – Calculo de área irregular com uso de escala. (Descritor 13 e 15)17

MANCHA DE ÓLEO

(PISA, 2012, p. 16) Ao navegar, um petroleiro choca-se com um arrecife,

abrindo um buraco nos tanques de armazenagem de óleo. O petroleiro se

encontrava a aproximadamente 65 km da costa. Alguns dias mais tarde, o óleo se

espalhou como mostra o mapa abaixo.

Figura 18 – Mancha de Óleo Fonte: http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/itens/2012/pisa_2012_matematica_itens_liberados.pdf

Análise

Calcular a área aproximada da mancha causada por um petroleiro, usando a

escala definida na figura. Neste caso, o grupo se apropriara do conteúdo

estruturante: Espaço e forma para que possa encontrar um valor mais próximo da

tolerância aceitável, compreendida entre 2200 a 3300 Km². A sugestão mais

apropriada será contornar a mancha com uma figura regular (formato retangular),

quadricular com distância de 1 em 1 cm, facilitando assim o cálculo. Contabilizar os

quadros que perfazem a mancha, calcular a área em centímetros quadrado e com o

uso da escala, converter para quilômetros quadrado, desprezando as partes que não

estão manchadas.

17

D15 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.

Usando a escala do mapa, calcule a área

da mancha de óleo em quilômetros

quadrados (km²).

37

Tarefa 4 – Calcular idade. (Descritor 1918 e 34)

Figura 19 – Idades Fonte: http://www.pinterest.com/pin/290130400966411619/

Análise

Este é um típico desafio que estimula o grupo a pensar, refletir e encontrar a

solução a qual depende da montagem de um sistema de equação do primeiro grau.

Então, resolve-se nomeando as idades da seguinte forma:

Quando tu tinhas y anos, eu tinha x anos.

Hoje tu tens x e eu tenho 2y

A diferença entre as idades é sempre igual, é só pensar um pouco.

x – y = k – x + 2y = k

Tem-se um sistema de equações do 1º grau. Resolve-se, somando as duas

equações:

x – y = k – x+2y = k y = 2k

A diferença das idades é k = y/2, então quando tu tiveres 2y eu terei sua

idade mais a diferença, tem-se:

2y + 𝑦2

= 4𝑦+𝑦

2 =

5𝑦2

Agora, faz-se uma equação somando as idades futuras resultando em 45

anos, tem-se:

18

D19 – Resolver o problema com números naturais envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

Eu tenho o dobro da idade

que tu tinhas quando eu tinha

a tua idade. Quando tu tiveres a

minha idade, a soma das nossas

idades será de 45 anos. Quais

são as nossas idades?

38

2y +5y

2= 45

4y + 5y = 90 9y = 90

y =90

9

y = 10

Hoje eu tenho 2y e tu tens x = 3y/2, então:

2y = 2 * 10 = 20 anos

x = 3𝑦2 =

3∗102

= 30

2 = 15 anos

Eu tenho 20 anos e tu tens 15 anos.

Nesta questão os grupos podem questionar que a soma entre 20 e 15 não dá

45. Vale lembrar-se da leitura e interpretação que se faz da parte central do

problema: “Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será de

45 anos” e perceber que está no futuro, portanto quando eu tiver 25 anos e você 20

(minha idade atual), então a soma será 45 anos, o que justifica a resolução está

correta.

Tarefa 5 – Calculo de perímetro, de área e de valor a pagar. (Descritores 13)

(Adaptado SEED, 2009, p. 25) Uma

piscina quadrada foi construída num

terreno retangular, conforme figura ao

lado. O proprietário colocou grama

esmeralda no terreno em volta da piscina

e construiu muro em alvenaria com 2

metros de altura neste terreno.

Calcule quanto ele investiu neste empreendimento, sabendo-se

que o 1m² de grama custou R$ 5,60, a piscina, R$ 285,50 o 1m²

(com material e mão de obra) e o muro R$ 105,00 o 1 m² (com

material e mão de obra).

Figura 20 – A Piscina Fonte: http://assimeugosto.com/2010/11/29/piscinas-1/

39

Análise

Neste problema o grupo precisa fazer algumas análises e interpretar que a

área plantada com grama não representa o todo do terreno e que precisa descontar

a área da piscina. A interpretação chave está no fato do terreno ser retangular, a

piscina ser quadrada e o muro contornar todo o terreno com altura definida no

enunciado. As medidas estão expostas na figura acima para auxiliar no cálculo da

área do terreno, da piscina, do gramado e do muro para encontrar o investimento

total, conforme solicitado no problema. A questão é simples, mas exige atenção do

grupo, então vejamos:

At = 12 x 8 At = 96 m² (Área Total)

Ap=42 Ap = 16 m² (Área Piscina)

Ag = At - Ap Ag = 96 – 16 Ag = 80 m² (Área Grama)

Com os dados acima é possível calcular os gastos com a construção da

piscina e com o plantio da grama, através de uma regra de três simples:

PISCINA

1 m² → R$ 285,50

16 m² → P

P = 16 * 285,50

P = R$ 4.568,00

GRAMA

1 m² → R$ 5,60

80 m² → G

G = 80 * 5,60

G = R$ 448,00

Próximo passo, encontrar a área construída do muro e posterior gasto com a

sua construção. Deve-se levar em conta que o muro cerca todo o terreno e se faz

necessário encontrar o seu perímetro para depois cálculo da área total construída.

Pm = 2c + 2l

Pm = 2 * 12 + 2 * 8

Pm = 24 + 16

Pm = 40 m

Am = Pm * h

Am = 40 * 2

Am = 80 m²

At = Área Total Ap = Área Piscina Ag = Área Grama Am = Área Muro Pm = Perímetro Muro

c = comprimento l = largura h = altura

P = Piscina G = Grama M = Muro I = Investimento

40

Com a área total do muro, calcular o seu custo de construção e o valor total

do empreendimento neste terreno:

MURO

1 m² → R$ 105,00

80 m² → M

M = 80 * 105,00

M = R$ 8.400,00

INVESTIMENTO

I = P + G + M

I = 4.568,00 + 448,00 + 8.400,00

I = R$ 13.416,00

Concluindo, o investimento total nesta propriedade foi de Treze Mil,

Quatrocentos e Dezesseis Mil Reais.

Tarefa 6 – Calcular consumo de energia elétrica em kWh e em unidade monetária.

(Descritores 15 e 2919)

Figura 21 – Chuveiro Fonte: http://fotografia.folha.uol.com.br/galerias/7131-escolha-o-chuveiro-ideal#foto-137526

Análise

Neste problema são necessários alguns conhecimentos de ciências,

principalmente na área da física, tais como as unidades de medidas Watts (W),

Quilowatts-hora (kWh), Volts (V), Energia (E), Potência (P) e Variação (Δ). Outra

tarefa importante é pesquisar, analisar e compreender como funciona a geração e

distribuição de energia elétrica, quem gera, quem distribui, como é medida o

consumo de energia e quais as unidades de medidas. O interessante é que o grupo

possa realizar uma pesquisa e investigação com um professor de física, livro

19

D29 – Resolver o problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.

(Elaboração Pessoal) Qual é o custo mensal de um

banho diário de meia hora num chuveiro cuja

potência é de 4000W, sabendo-se que o custo do

kWh é de R$ 0,490713?

Obs.: R$ 0,490713 é o fator de consumo para área urbana, na cidade

de Almirante Tamandaré/Pr), de acordo com fatura de energia elétrica

de novembro/2014 do próprio autor.

41

didático ou pela INTERNET, nos sites de busca ou da própria COPEL20. É

indispensável estimular os alunos a verificarem as faturas de energia elétrica das

suas residências ou da própria escola para verificar o fator de consumo de energia,

o próprio histórico de consumo e incidência de encargos, tributos, taxas e impostos

para auxiliar na compreensão do problema, nos conceitos e na montagem da

expressão que permitirá calcular o consumo de energia do chuveiro e o seu custo

mensal.

Os grupos precisam compreender que a expressão representa grandezas

diretamente proporcionais e é uma Equação do 1º Grau.

Para a resolução é preciso encontrar a variação do tempo (Δt), isto é, o tempo

de uso do chuveiro durante o período de leitura de consumo (equivalente a 30 dias),

após multiplica-se a potência do chuveiro pela variação do tempo para encontrar a

variação de energia e por último, multiplica-se a variação de energia (ΔE) pelo fator

de consumo

Resolução:

O tempo total de uso do chuveiro é: Δt = 30 * 0,5 = 15 h

Como a potência do chuveiro é 4000W ou 4kW, então o consumo de

energia é dado por: ΔE = P * Δt ΔE = 4 *15 ΔE = 60kWh.

Sendo R$0,490713 o custo de cada kWh, temos:

Custo = 60 * 0, 490713 Custo ≅ R$ 29,44

O custo mensal para um banho de meia hora diária num período de 30 dias é

de aproximadamente Vinte e Nove Reais e Quarenta e Quatro Centavos.

20

COPEL – Companhia Paranaense de Energia Elétrica

30 corresponde ao total

de dias num mês

comercial e 0,5 a meia

hora diária.

42

Tarefa 7 – Analisar dados de uma tabela. (Descritores 36)21

(Elaboração Pessoal) A tabela a seguir apresenta a população dos cinco

municípios mais populosos do Paraná nos anos 2000 e 2010.

TABELA 1

MUNICÍPIOS MAIS POPULOSOS DO ESTADO DO PARANÁ

Fonte: IBGE: Censo demográfico, 2000 e 2010.

Ao observar os dados da tabela, encontrar o aumento/decréscimo no período

de 2000 a 2010 da população e representá-los em percentual, verificar qual cidade

teve o maior crescimento neste período, elaborar um gráfico de barras, dada a

população nos dois períodos expostos, fazer uma previsão para 2020 e a título de

curiosidade, realizar uma pesquisa sobre as possíveis razões do decréscimo da

população de Foz do Iguaçu neste período.

Análise

Esta é uma típica questão com informações que após análise, observação,

pesquisa no próprio site do IBGE22, levantamento de dados importantes e anotações

realizadas pelo grupo é que as formulações e respostas aparecerão. As tabelas são

muito utilizadas e exploradas em jornais, revistas, livros e outros, para expressar de

maneira simbólica e visual os levantamentos de dados para analise, observações e

possíveis ações. As tabelas são um farto material para estimular os alunos a leitura

e interpretação dos dados. Neste caso, o interessante é elaborar um roteiro para

21

D36 – Resolver o problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. 22

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA

ORDEM Município

População (habitantes) 2000

População (habitantes) 2010

1 Curitiba 1.587.315

1.746.896

2 Londrina 447.065

506.645

3 Maringá 288.653

357.117

4 Ponta Grossa 273.616

311.697

5 Foz do Iguaçu 258.543

256.081

43

instigar o grupo na busca por dados relevantes e que permitam o maior número de

informações possíveis. Eis um exemplo de roteiro para auxiliar na problematização:

Elaborar um quadro com levantamento do aumento/decréscimo da população,

calculando o percentual de cada cidade com base na população de 2010,

destacando a cidade que teve o aumento mais expressivo. Para calcular o aumento

populacional das quatro maiores cidades e o decréscimo de Foz do Iguaçu, pode ser

dado por uma regra de três simples, conforme o exemplo abaixo da capital

paranaense.

Fazer uma estimativa para o ano 2020 no próprio quadro, aproveitando os

percentuais encontrados no período analisado de maneira linear para se ter um

parâmetro e prognóstico para uma possível coleta dos dados, elaboração de um

projeto de intervenção nas áreas da saúde, educação, transporte, partindo do

pressuposto que faz parte do governo estadual e tem interesse no assunto..

Elaborar um gráfico de barras de acordo com os dados da tabela 1 para a

população entre 2000 a 2010

Elaborar um gráfico de setores (pizza), a partir do quadro criado, referente ao

percentual de aumento/decréscimo da população das cinco maiores cidades do

Estado do Paraná.

O roteiro ficará o mais próximo da sequência abaixo:

Para as demais cidades o procedimento é o mesmo, com o cuidado para Foz

do Iguaçu que houve um decréscimo, é possível aproveitar o quadro para fazer um

prognóstico para 2020, aproveitando o percentual encontrado.

Curitiba

1.587.315 100%

1.746.896 x%

x =174.689.600 - 100 x ≅10,0535% 1.587.315

Conclusão: O aumento da população da Capital Paranaense neste período foi de aproximadamente 10,0535%, isto é, de 159.581 habitantes.

- 100

44

O quadro a ser elaborado deve conter um título, acrescentando em cada

coluna os tópicos: municípios, aumento/decréscimo com percentual baseado na

população de 2010 e a estimativa para 2020, deixando claro para os grupos que a

estimativa para a cidade de Foz do Iguaçu será incerta e imprevisível.

QUADRO 3

PERCENTUAL DE AUMENTO/DECRÉSCIMO DOS CINCO MUNICÍPIOS MAIS POPULOSOS DO PARANÁ COM PERSPECTIVA PARA 2020

Município Aumento/Decréscimo Percentual

(%)

Estimativa Linear

2020

Curitiba 159.581 10,0535% 1.922.521

Londrina 59.580 13,3269% 574.165

Maringá 68.464 23,7184% 441.820

Ponta Grossa 38.081 13,9176% 355.078

Foz do Iguaçu -2.462 -0,9522% 253.642

Fonte: Autor

Para dar sequência ao roteiro e para que a questão fique com um toque

requintado, é interessante conduzir os alunos ao laboratório de informática para

confecção dos gráficos de barras ou setores (pizza) por meio de um software de

planilhas, que pode ser o calc23 ou excel24.

23

Calc é um software de planilha eletrônica multiplataforma de código aberto, desenvolvido originalmente pela Star Division, posteriormente pela Sun Microsystems (como parte da suíte StarOffice) e atualmente pela The Document Foundation, como parte da suíte LibreOffice. Também é distribuído gratuitamente com as suítes OpenOffice.org e NeoOffice. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Calc 24

O Microsoft Office Excel é um editor de planilhas produzido pela Microsoft para computadores que utilizam o seu sistema operacional, Microsoft Windows, além de computadores Macintosh da Apple Inc. e dispositivos móveis como o Windows Phone, Android ou o iOS. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

45

Caro professor, observar se os grupos estão compreendendo o assunto e se

sabem quais são as etapas para a confecção da tabela e se sabem como formular

as expressões para o cálculo automático, tanto do aumento/decréscimo, do

percentual e da estimativa.

Abaixo um passo a passo no uso da planilha eletrônica excel para resolução

desta atividade, com esquema para as fórmulas que propiciaram as questões

solicitadas.

1º Passo:

Abrir a planilha.

Figura 22 – Pagina Inicial Planilha Excel Fonte: Autor

2º Passo:

Conte quantas células usará tanto em linha quanto em coluna para facilitar a

confecção da tabela. Escolha uma célula central para escrever o título, neste caso

D1, é interessante deixar a fonte com tamanho maior, nas células A3, A4, A5, A6 e

A7 colocar a sequência numérica, na célula B2, escrever Município e nas células

B3, B4, B5, B6 e B7 colocar os nomes das cidades conforme sequência descrita na

tarefa 1, na célula C2 escrever População (habitantes) 2000 e na célula D2,

População (habitantes) 2010. Não se esqueça de expandir as células para que os

dados apareçam por completo e negritar os dados para um melhor destaque.

46

Figura 23 – Montando Tabela Fonte: Autor

3º Passo:

Neste passo incluir as questões solicitadas, na célula E2 escrever

Aumento/Decréscimo, na célula F2 Percentual (aumento/decréscimo)e na célula

G2, Previsão para 2020, não esqueça de ajustar as linhas e colunas para uma

melhor visualização.

Figura 24 – Acrescentando Dados Fonte: Autor

47

4º Passo:

Nesta etapa é interessante, sombrear as células B2, C2, D2, E2, F2 e G2.

Para isto, selecione as células indicadas, clique no lado direito do mouse, abrindo

uma janela, role o mouse até , clique com o lado

esquerdo do mouse para abrir outra janela que está descrita no 5º passo.

o

Figura 25 – Ajustando Tabela Fonte: Autor

5º passo

Nesta etapa, escolher a janela Preenchimento, clicar, escolher uma cor,

clicar em ok para destacar as células citadas no 4ºpasso.

Figura 26 – Preenchimento para destacar linha Fonte: Autor

48

6º Passo:

Selecionar as células de A2 a G7, clicar com lado direito do mouse, rolar até

, clicar, escolher a janela Borda, clicar e escolher a

janela , clicar, escolher a Borda , excluir as bordas da esquerda e da

direita circuladas na figura clicar em okpara incluir

linhas nas células, ajustando e destacando a tabela.

Figura 27 – Seleção Células Fonte: Autor

Figura 28 –Inclusão Linhas Fonte: Autor

49

7º Passo:

Incluir os valores sem ponto ou vírgula da população de 2000 e 2010. Para

separar as casas posicionais, selecionar as células C3 a D7, clicar em ,

e .

Figura 29 – Lançamento Dados População Fonte: Autor

Após clicar em , escolher a opção número,

para zerar, para separar as casas

posicionais, após clicar em ok para finalizar a formatação.

Figura 30 – Ajustando as casas posicionais Fonte: Autor

50

8º Passo:

Nesta etapa, serão elaboradas as fórmulas para cálculo automático do

Aumento/Decréscimo, Percentual e Previsão para 2020. Começar pela célula E2

(Aumento/Decréscimo), o procedimento é selecionar as célula E3 e incluir em

a expressão , clicar em enter para que o

resultado apareça na célula E3, após selecionar as células E3 a E7 para preencher

o restante do resultado. Na sequência vem à célula F2 (Percentual), selecionar a

célula F3, incluir a expressão , dar enter para que o resultado esteja

disponível, após selecionar com quatro casas decimais e clicar

para que o valor apareça em percentual, selecionar as células F3 a F7 para que as

demais células sejam preenchidas com o resultado conforme figura 18. Por último

selecionar a célula G3 (Previsão para 2020), incluir a fórmula , dar enter,

ajustar para zerar, para separar as

casas posicionais, selecionar as células G3 a G7, clicar para finalizar a formatação,

conforme figura 19.

Figura 31 – Elaborando Fórmula Aumento/Decréscimo Fonte: Autor

51

Figura 32 – Elaborando Fórmula Percentual Fonte: Autor

Figura 33 – Elaborando Fórmula Previsão Fonte: Autor

9º Passo:

Para finalizar o roteiro, incluir os gráficos de colunas e setores (pizza).

Começar pelo gráfico de colunas, é necessário selecionar as células C2 a D7, ir à

opção , escolher uma opção e clicar com o mouse para aparecer o

gráfico de colunas. É aconselhável escrever um título para o gráfico, lembrando que

a coluna representa a quantidade da população conforme escala de 200.000 em

52

200.000 e na linha estão os números que representa os municípios conforme

exposto na tabela, 1 – Curitiba, 2 – Londrina, 3 – Maringá, 4 – Ponta Grossa e 5 –

Foz do Iguaçu.

POPULAÇÃO DOS CINCO MAIORES MUNICÍPIOS DO PARANÁ NOS

PERÍODOS DE 2000 E 2010

Figura 34 – Gráfico de Barras População Fonte: Autor

10º Passo:

Próximo passo, para criar o gráfico de setores (pizza), selecionar as células

F2 a F7, ir à opção , escolher uma opção e clicar com o mouse para

aparecer o gráfico de setores (pizza), se faz necessário alguns ajustes para

melhorar visualização, selecione os números com os percentuais e no lugar do

número escreva o nome do município, negrite e de enter. Veja o exemplo:

, proceda da mesma forma para os demais valores até o

gráfico ficar de acordo. Por último elabore um título para o gráfico para melhor

compreensão de quem está visualizando.

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

1.400.000

1.600.000

1.800.000

1 2 3 4 5

População (habitantes) 2000

População (habitantes) 2010

53

PERCENTUAL DE AUMENTO/DECRÉSCIMO DOS CINCO MAIORES MUNICÍPIOS DO PARANÁ NO PERÍODO DE 2000 A 2010

Figura 35 – Gráfico de Setores com percentual de aumento/decréscimo Fonte: Autor

Para finalizar, é importante que o grupo visualize na mesma planilha, todas as

tarefas realizadas, conforme os passos descritos acima.

Figura 36 – Tela Excel com tabela e gráficos representativos Fonte: Autor

Curitiba 10,0535%

Londrina 13,3269%

Maringá 23,7184%

Ponta Grossa 13,9177%

Foz do Iguaçu -0,9523%

Curiosidade:

É interessante estimular os alunos,

aproveitando o acesso a INTERNET para

investigar quais possíveis causas do

decréscimo do município de Foz do Iguaçu

período de 2000 a 2010.

54

10.2 QUESTIONÁRIO 2ª ETAPA

Após término desta etapa, responder o questionário enviado por e-mail a cada

grupo, conforme link: http://goo.gl/forms/VLD3gjijca

55

11. TERCEIRA ETAPA

11.1 PROBLEMAS AVANÇADOS

A proposta nesta terceira etapa é proporcionar um desafio aos alunos na

superação de seus conhecimentos. Os alunos deverão demonstrar grande potencial

de compreensão para resolução dos problemas propostos, com o uso aprofundado

de leitura, releitura, pesquisa, troca de informações entre os componentes do grupo

e domínio da linguagem matemática. Nesta etapa serão propostas questões do

cotidiano e algumas tarefas serão no estilo da modelagem matemática,

possibilitando a exploração de diversos conteúdos e de alternativas possíveis para a

resolução. Para estas questões serão relembrados os conceitos de equação e

função do 1º grau (função afim), escala, relação métrica no triângulo retângulo,

geometria plana e espacial, medidas de ângulo, perímetro, área, volume,

comprimento da circunferência, Teorema de Pitágoras, unidade de medida de

comprimento, frequência, Hertz, Watts, unidade monetária, porcentagem, análise de

tabela e gráfico.

11.1.1 Cronograma 3ª Etapa

Para esta etapa estão previstas vinte aulas para a resolução dos problemas e

levantamento dos dados.

QUADRO 4 Cronograma 3ª Etapa

01 aula Organização e apresentação

17 aulas Desenvolvimento das atividades

01 aula Avaliação

01 aula Questionário

Fonte: Autor

56

11.1.2 Avaliação

A avaliação será feita pela observação direta, pela participação dos

envolvidos nas leituras, interpretações e resoluções dos problemas propostos, pela

apresentação dos resulta dos encontrados pelos grupos, pelo envolvimento e

interesse demonstrado pelos alunos quanto aos problemas propostos e

desenvolvidos no decorrer dos encontros e por um questionário a ser preenchido por

cada grupo.

O intuito da avaliação é investigar os motivos e razões que o(s) aluno(s) tem

dificuldade(s) na leitura e interpretação tanto da linguagem matemática, quanto da

língua materna na resolução de problemas.

57

Tarefa 1 – Calcular a frequência de oscilação de uma Ola. (Descritores 26 e 30)

(ENEM 2013) Uma manifestação comum das torcidas em estádios de futebol

é a ola mexicana. Os espectadores de uma linha, sem sair do lugar e sem se

deslocarem lateralmente, ficam de pé e se sentam sincronizados com os da linha

adjacente. O efeito coletivo se propaga pelos espectadores do estádio, formando

uma onda progressiva, conforme ilustração.

Figura 37 – Ola Fonte: ENEM 2013

Calcula-se que a velocidade de propagação dessa “onda humana” é 45 km/h

e que cada período de oscilação contém 16 pessoas, que se levantam e sentam

organizadamente distanciadas entre si por 80 cm.

Disponível em: www.ufsm.br. Acesso em 7 dez. 2012 (adaptado).

Nessa ola mexicana, a frequência da onda, em hertz, é um valor mais

próximo de:

a) 0,3 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,9 e) 3,7

Análise

Para resolver esta questão, os grupos precisam pesquisar sobre alguns

tópicos que ainda não estejam familiarizados, que são frequência, hertz e

conversão de velocidade de Km/h para m/s. O interessante é firmar uma parceria

com um professor de Física ou Ciências para colaborar neste aprendizado e

também pesquisar em livros didáticos ou pela própria internet. Tomado

conhecimento destes tópicos, os grupos precisam juntar as informações coletadas e

encontrar à alternativa que mais se aproxima da pergunta. Na sequencia se tem

uma ideia de como se resolve esta questão.

58

Resolução:

Como cada período de oscilação contem 16 pessoas, conclui-se que há 15

espaços entre elas. Com esta informação, encontrar o comprimento desta onda,

formada pela “ola”. Será atribuída a letra grega λ (sigma) para representar este

comprimento.

Aproveitando a informação dada no enunciado de que a velocidade de

propagação dessa “onda humana” é de 45 km/h e de que o comprimento é dado em

centímetros e convertido para metros, é necessário fazer a conversão desta

velocidade em metros por segundo, para se trabalhar com a mesma unidade de

medida. Neste caso se usa uma regra simples, dado o parâmetro de conversão após

pesquisa junto ao professor de física ou ciências ou da própria

internet. A curiosidade é pertinente e necessária neste

momento, aguçando o interesse pelo aprendizado. Para

tal é conveniente que o grupo tenha conhecimento de

como surgiu o fator 3,6 para conversão de velocidade.

Com os valores do comprimento dessa “onda humana” e da velocidade é

possível calcular a frequência da onda, mas é necessário saber qual a expressão

que permite este cálculo. É notório que os grupos se informaram deste item junto ao

professor de física ou ciências ou que pesquisaram em livros didáticos ou na

internet.

A expressão é v = λ * f

Alternativa: c

λ = 15 * 80 cm λ = 1200 cm λ = 12 m

(metros)

O parâmetro de conversão da velocidade é:

De m/s para Km/h multiplica-se

por 3,6.

De Km/h divide-se por 3,6.

v = 45 km/h 𝟒𝟓

𝟑,𝟔 12,5 m/s

v = λ * f 12,5 = 12 * f f ≅1 Hz

59

Tarefa 2 – Calcular percurso/distância e escala, utilizando a relação métrica no

triângulo retângulo. (Descritor 10 e 29)

(Adaptado CPM/PR, 2012) Na representação em escala abaixo, os quadrados

são iguais e cada centímetro representa 100 km. Um avião sai da cidade A, faz uma

parada para abastecer na cidade C, chega à cidade B e retorno direto para a cidade

A, conforme a figura 38.

Calcule a distância percorrida pelo avião:

a) Da cidade A até a cidade B, passando pela cidade C;

b) Retorno direto da cidade B até a cidade A;

c) A distância total percorrida pelo avião.

A

C

B

12 cm Figura 38 – Representação trajeto avião em escala. Fonte: Autor

Análise

O procedimento para resolução desta tarefa é o uso do Teorema de Pitágoras

em três etapas. A primeira etapa vai da cidade A até a cidade C, a segunda de C até

B e por último de B até A, lembrando que a escala é de 1 para 100 e se faz

necessário transformar de centímetros para quilômetros para encontrar o valor

aproximado.

Os grupos podem criar uma malha com células de 1 cm cada lado, nos

mesmos moldes da Figura 38 e inserir segmentos 𝐴𝐶, 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 e criar os segmentos

𝐴𝐷, 𝐷𝐶, 𝐶𝐸, 𝐵𝐸, 𝐴𝐹 e 𝐵𝐹 para melhor visualização e compreensão do problema.

6 cm

60

A

C

D

B

F E

12 cm Figura 39 – Trajeto de ida e volta do avião. Fonte: Autor

Primeira etapa, encontrar a distância do segmento 𝐴𝐶 (hipotenusa), lado maior

do ∆ABC. As medidas dos segmentos 𝐴𝐷 e 𝐷𝐶 (catetos) são deduzidas da

própria malha criada, 𝐴𝐷 = 2 cm e 𝐷𝐶 = 8 cm.

Resolução:

(𝐴𝐶)2 = (𝐴𝐷)2 + (𝐷𝐶)2 → (𝐴𝐶)2 = 22 + 82 → (𝐴𝐶)2 = 4 + 64 → (𝐴𝐶)2 = 68

𝐴𝐶= √68 → 𝐴𝐶 ≅ 8,2462 cm → multiplicando por 100 km

dAC ≅ 824,62 Km.

Segunda etapa, encontrar a distância do segmento 𝐶𝐵 (hipotenusa), lado maior

do ∆BCE. As medidas dos segmentos 𝐶𝐸 e 𝐵𝐸 (catetos) são deduzidas da

própria malha criada, 𝐶𝐸 = 3 cm e 𝐵𝐸 = 3 cm.

Resolução:

(𝐶𝐵)2 = (𝐶𝐸)2 + (𝐵𝐸)2 → (𝐶𝐵)2 = 32 + 32 → (𝐶𝐵)2 = 9 + 9 → (𝐶𝐵)2 = 18

𝐶𝐵 = √18 → 𝐶𝐵 ≅ 4,2426 cm→ multiplicando por 100 km

dCB ≅ 424, 26 Km

Com a resolução das duas primeiras etapas é possível responder alternativa

a - distância percorrida pelo avião da cidade A até a cidade B, passando pela cidade

C. O processo é somar as distâncias dAC e dCB.

6 cm

61

d = dAC + dCB → d = 824,62 + 424, 26 → d ≅ 1.248,88 Km

Terceira etapa, encontrar a distância do segmento 𝐴𝐵 (hipotenusa), lado maior

do ∆ABF. As medidas dos segmentos 𝐴𝐹 e 𝐵𝐹 (catetos) são deduzidas da

própria malha criada, 𝐴𝐹 = 5 cm e 𝐵𝐹 = 11 cm.

Resolução:

(𝐴𝐵)2 = (𝐴𝐹)2 + (𝐵𝐹)2 → (𝐴𝐵)2 = 52 + 112 → (𝐴𝐵)2 = 25 + 121→ (𝐴𝐵)2 = 146

𝐴𝐵 = √146 → 𝐴𝐵 ≅ 12,0830cm → multiplicando por 100 km

dAB ≅ 1.208,30 km

Esta resolução responde a alternativa b - retorno direto da cidade B até a

cidade A.

Para responder a alternativa c - distância total (dt) percorrida pelo avião é só

somar d e dAB.

dt = d + dAB → dt = 1.248,88 + 1.208,30 → dt ≅ 2.457,18 Km.

Figura 40 – Acadêmico Fonte: http://office.microsoft.com

O procedimento começa verificando se o software GeoGebra se encontra

instalado no laboratório de informática, se instalado, testá-lo e agendar horário para

que os grupos possam resolver esta tarefa com este software. Se não, verificar se

há na escola, uma lousa digital, um canhão multimídia, um notebook para que o

Dica:

Que tal usar o software GeoGebra para estimular os

alunos a uma melhor

compreensão e resolução desta

tarefa? Também é interessante

explorar a trajetória que um

avião faz: reta ou curva.

Explorar o conceito de Geodésia.

A distância total percorrida pelo avião foi de aproximadamente 2.457,18 km

62

professor, passo a passo auxilie os alunos na resolução da tarefa 2 através

GeoGebra.

O procedimento para o uso do software GeoGebra é assim: primeiro passo,

abrir o software no Menu Principal, clicar com mouse, lado direito em Exibir, abrirá

uma janela, clicar em , abrirá no rodapé a opção Entrada, digitar

os pontos que os grupos extrairão da figura 44 e aí se verificará se estão

compreendendo e interpretando o problema corretamente. Os pontos são A = (1, 5),

C = (9, 3), B = (12, 0). Com estes pontos é possível encontrar a distância e usando a

escala, encontrar a distância percorrida pelo avião. Mas para que o Teorema de

Pitágoras seja melhor compreendido é aconselhável criar pontos que simulem um

formato de triângulo retângulo, de acordo com a rota do avião. Proceder conforme

acima e incluir os pontos D = (1, 3), E = (9, 0), F = (1, 5). Na sequência para unir os

pontos A, C e B e formar o triângulo ∆ABC, na Barra de Ferramentas, escolher a

opção , deslizar mouse até a Janela de Visualização, clicar com o

lado direito do mouse no ponto A, rolar até o ponto C e clicar, proceder da mesma

forma entre os pontos A e D e entre D e C. Para realce, é possível alterar a cor e a

espessura de cada linha, clique com o lado direto do mouse em cima do segmento,

abrirá uma janela, role até propriedades, de um clique com o lado direito do mouse,

entre as opções tem cor e estilo, fique a vontade para explorar e aplicar. Proceda da

mesma forma para criar os triângulos ∆CEB e ∆AFB. Para encontrar as distâncias

entre os segmentos AC, CB e AB, clique em ,

deslize o mouse até o ponto A, conduza até o Ponto C, dê um clique com o lado

direito do mouse, pronto, a distância estará calculada e visível na Janela de

Visualização, procede da mesma maneira para com os pontos C e B e entre os

pontos A e B. Lembre-se que as medidas estarão em centímetros e para calcular em

quilômetros é só multiplicar por 100. Para facilitar, abra , na célula A1,

digite CIDADES, nas células A2, A3 e A4, digite A ⟶ C, C ⟶ B e B ⟶ A, na célula

B1, digite DISTÂNCIA cm, na célula B2, digite = AC, tecle Enter, selecione e arraste

o mouse até a célula B4, solte, os valores aparecerão nas células. Na célula C1,

digite DISTÂNCIA km, na célula A2, digite = B2 * 100, dê Enter, selecione e arraste o

mouse até a célula C4, solte, os valores aparecerão nas células. Na célula A6, digite

DISTÂNCIA, na célula B6, digite = B2 + B3, dê Enter, na célula C6, digite = C2 + C3,

63

dê Enter, na célula A8, digite DISTÂNCIA TOTAL, na célula B8, digite = B2 + B3 +

B4, dê Enter, na célula C8, digite = C2 + C3 + C4, dê Enter. Para incrementar a

tarefa, digite um texto com a distância percorrida pelo avião, em quilômetro da

cidade A até a cidade C, de C até a cidade B, de B até A e a distância total

percorrida pelo avião. Pronto, a tarefa está concluída, conforme figura abaixo.

Figura 41– Percurso Avião cidades A, C, B e retorno de B a A. Fonte: Autor

Tarefa 3 – Geometria Plana e Espacial – Calcular diâmetro, altura e volume de um

cilindro. (Descritor 11 e 1425)

(Adaptado UFPR, 2002) Uma fábrica produz tubos de concreto com o formato

de cilindro circular reto, oco, de 1 m de comprimento e raios interno e externo de 38

cm e 50 cm, respectivamente. No pátio da fábrica, esses tubos ficam depositados

em pilhas, conforme ilustração abaixo. Considere que as seguintes letras designem

as medidas, relativas a uma dessas pilhas: h – altura, em cm; d – distância, em cm,

entre os dois suportes verticais que sustentam os tubos empilhados; r – raio, em cm;

v – volume, em cm³, de todo o concreto contido nos tubos. Assim:

a) Encontre a distância e a altura desta pilha em centímetros e metros.

b) Encontre a expressão que representa o volume de concreto de cada tubo

e da pilha toda.

c) Pesquise o valor aproximado da massa (Kg) de cada tubo de concreto e

da pilha toda, de acordo com as dimensões especificadas no enunciado.

25

D14 – Resolver o problema envolvendo noções de volume.

64

Fonte: http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2002/matematica/q05.html

Análise

Esta questão é um clássico que permite absorver com facilidade os

conhecimentos de geometria plana e espacial. Para início, os grupos precisam

pesquisar sobre área e volume de um cilindro, suas fórmulas, a expressão que

representa a altura de um triângulo equilátero e fazer as aplicações conforme

interpretação do problema nas alternativas solicitadas.

Resolução:

A distância pode ser encontrada, interpretando que se o raio externo de cada

tubo é 50 cm, então o seu diâmetro será de 100 cm ou 1 m, como são cinco tubos

na primeira fileira, então:

A altura “h” se encontra, analisando a figura 43. É possível visualizar entre as

pilhas de tubo a projeção de um triângulo equilátero que tem os vértices A, B e C no

centro de três tubos, conforme se visualiza abaixo. Partindo desta analise e

lembrando que todos os tudo têm raio externo de 50 cm (0,5 m) e diâmetro externo

de 100 cm (1,0 m), observa-se que os lados deste triângulo passam por um tubo

inteiro e metade de dois, concluindo que a distância entre os pontos é de 200 cm

(2,0 m). Outro detalhe importante a ser interpretado é que não basta encontrar a

altura do triângulo equilátero apenas, é necessário acrescentar os dois raios que

faltam para completar a pilha de tubos de concreto. Para montar a expressão que

permite encontrar a altura desta pilha, é necessário saber a fórmula que permite

calcular a altura de um triângulo equilátero. Caso os grupos não recordem desta

fórmula é aconselhável que o professor faça uma demonstração simples no quadro,

auxiliando os alunos na resolução da alternativa a, parte b.

Figura 42 – Pilha de Tubos de Concreto

d = 5 * 100 → d = 500 cm → d = 5 m

65

Figura 43 – Representação do triângulo equilátero na pilha de tubos. Fonte: Autor

Para facilitar o trabalho do docente, segue abaixo um modelo simples que

estabelece uma expressão geral para cálculo da altura de um triângulo retângulo,

utilizando o Teorema de Pitágoras, já contemplado na etapa anterior.

Figura 44 – Demonstração para encontrar altura de um triângulo equilátero. Fonte: http://www.mundoeducacao.com/matematica/teorema-pitagoras-altura-area-triangulo-quilatero.htm

Lembrando que a altura desta pilha de tubos se encontra pela soma da altura

do triângulo equilátero e os dois raios externos → h = 𝒍 √𝟑

𝟐+ 2r

Resolução:

Se os grupos acharem melhor extrair a √𝟑 e deixarem a resposta em forma

decimal, então √𝟑 ≅ 1,73.

A

B C

h = 𝟐𝟎𝟎 √𝟑

𝟐 + 2 * 50 → h = 100√𝟑+ 100 → h = 100 * (√𝟑+ 1) cm → (√𝟑+ 1) m

h ≅ 100 * (1,73 + 1) → h ≅ 100 * 2,73→ h ≅ 273 cm → h ≅ 2,73m

66

Para encontrar a expressão que representa o volume de cada tubo de

concreto é necessário saber a fórmula do volume de um cilindro, lembrando que

precisa deduzir o volume da parte oca do tubo.

Ver o link

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php,

para auxiliar os alunos nesta pesquisa e demonstração.

A fórmula é V = 𝝅r²h

O cálculo para encontrar o Volume de Concreto de cada tubo é Volume externo

menos Volume interno, lembrando que neste caso, a altura representa o

comprimento do tubo.

Resolução:

O símbolo Vc significa Volume de Concreto de cada tubo e Vt é o Volume

total da pilha de tubo.

Para encontrar a massa, isto é, o “peso” em quilograma de cada tubo é só

realizar uma pesquisa junto algumas fábricas ou pesquisar na internet, lembrando-se

das dimensões expostas no enunciado do problema.

Figura 45 – Tubo de Concreto Fonte: http://www.mcpremoldados.com.br/manilhas.php#

Dica

Estimule os grupos a

pesquisarem e

demonstrarem a fórmula

que representa o volume

de um cilindro.

Vc = (𝝅 * 50² * 100) – (𝝅 * 38² * 100) → Vc = 105.600𝝅 cm³ → Vt = 105.600𝝅 * 14 cm³

Pela pesquisa realizada, verifica-se que todos

os tudo de concreto têm massa de 1000 Kg,

multiplicando por 14 tubos, dá 14.000 Kg ou 14

toneladas.

67

Tarefa 4 – Modelagem e Função Afim/ Dependência entre duas variáveis – atividade

do táxi. (Descritor 3026)

Atividade 1

Figura 46 – Táxis em Curitiba Fonte: http://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/150-novos-taxistas-ja-fizeram-pedido-de-cadastro-na-urbs/32652

Quadro 5- Valor a pagar dado o percurso táxi Curitiba

Percurso

(km) Valor a pagar (R$)

Percurso

(km) Valor a pagar (R$)

1 10

2 11

3 12

4 13

5 14

6 15

7 16

8 17

9 18

Fonte: Autor

26

D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.

Na cidade de Curitiba, um taxista cobra R$

4,60 a bandeirada e R$ 2,30 por

quilometro rodado (bandeira 1). Preencha

o quadro abaixo e responda:

a) Esse quadro representa uma função?

Qual?

b) Monte a lei de formação (equação) que

representa o enunciado desta atividade.

68

Atividade 2 – Utilizando a equação obtida responda:

a) Se o passageiro A pagou 25,30 reais pela corrida, quantos quilômetros ele

percorreu?

b) Se o passageiro B pagou 43,70 reais pela corrida, quantos quilômetros ele

percorreu?

Atividade 3

Figura 47 – Táxis em Londrina Fonte: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=740654&page=237

Quadro 6- Valor a pagar dado o percurso táxi Londrina

Percurso

(km) Valor a pagar (R$)

Percurso

(km) Valor a pagar (R$)

1 10

2 11

3 12

4 13

5 14

6 15

7 16

8 17

9 18

Fonte: Autor

Na cidade de Londrina, um taxista cobra

R$ 3,70 a bandeirada e R$ 2,40 por

quilometro rodado (bandeira 1). Preencha

o quadro abaixo e responda:

a) Esse quadro representa uma função?

Qual?

b) Monte a lei de formação (equação) que

representa o enunciado desta atividade.

69

Atividade 4 – Utilizando a equação obtida responda:

a) Se o passageiro A pagou 25,30 reais pela corrida, quantos quilômetros ele

percorreu?

b) Se o passageiro B pagou 44,50 reais pela corrida, quantos quilômetros ele

percorreu?

Atividade 5 – Faça a representação da reta para as duas funções, analisando os

Quadros 5 e 6 e na sequência responda:

a) Descreva as vantagens de corrida de cada taxista (Curitiba e Londrina) em

relação à tarifa cobrada.

b) Qual valor a pagar e quilometragem são comuns aos dois taxistas?

c) Represente pelo Plano Cartesiano as respostas das alternativas acima.

Análise

Esta questão tem várias atividades que devem ser resolvidas por etapas e

para facilitar a resolução é necessário que o grupo compreenda o problema,

interpretando de maneira adequada. Devem iniciar lendo a atividade 1 e para

responder as alternativas a e b desta atividade, precisam preencher o quadro 5.

Preenchido o quadro, verificarão que se trata de uma função polinomial do 1º grau

(função afim) e terão que encontrar a expressão . Com esta lei de

formação é possível responder as alternativas a e b da atividade 2.

O mesmo procedimento deve ocorrer com as atividades3 e 4. Neste caso

devem preencher o quadro 6, encontrando a expressão .

Para a atividade 5 é necessário conhecimento do plano cartesiano, uso de

escalas apropriadas para percurso (km) e para valor a pagar (R$), uso de

instrumentos como régua, papel milimetrado e lápis ponta fina para a representação

das retas. Analisando os Quadros 5 e 6 preenchidos é possível responder as

alternativas desta atividade.

y = 2,3x + 4,6

y = 2,4x + 3,7

Dica ao professor:

Para esta questão ficar mais

atrativa e prática, utilizar o

software GeoGebra para resolução das atividades propostas. Agende o

laboratório de informática e bom trabalho.

70

É interessante e aconselhável que professor e alunos acessem alguns links

com tutoriais para conhecer e aprender a usar o Software GeoGebra.

Após ler e analisar os sites com tutoriais indicados, abrir o software GeoGebra

e seguir as etapas para resolução das atividades propostas.

Resolução atividades do taxista de Curitiba:

Analisando o problema do taxista de Curitiba, conclui-se que a função

solicitada na atividade1 é

Com o GeoGebra aberto, vá no Menu Principal clique em Exibir

, abrindo a planilha, digite os dados do

Quadro 5.O procedimento é simples, clique na célula A1

e digite Percurso (km), na célula A2 digite o km 1, na

célula A3 digite A2 + 1, selecione e no canto inferior

direito arraste com o mouse até a célula A10 para copiar a fórmula, após dê Enter,

pronto os quilômetros de 1 a 9 aparecerão na sequência. Na célula B1, digite Valor

a pagar (R$), na célula B2 digite a função = 2.3*A2 + 4.6, selecionar e arrastar da

mesma maneira que foi realizada anteriormente e dar Enter para que os valores

apareçam. Na célula C1 digitar Pontos, na célula C2 digitar = (A2,B2), selecionar,

arrastar até célula C10, conforme procedimentos anteriores. Têm-se os pontos (x, y)

formados pela função .

Na sequência, analisando os dados que se apresenta na tela, verifica-se que

na Janela Planilha, célula , a alternativa a da

atividade 2, já aparece resolvida, significando que o passageiro A, pagando R$

25,30, andará um percurso de 9 quilômetros. E para ficar mais incrementado, são

necessários alguns procedimentos que auxiliarão no aspecto visual desta questão. Ir

à Menu Principal, clique em Exibir, abrirá uma janela, clique em

, abrirá na parte inferior da tela o campo entrada, digite o ponto

(0, 25.3) dê Enter e aparecerá na Janela de Álgebra (canto superior esquerdo)o

http://facitec.br/revistamat/download/paradidaticos/Manual_Geogebra.pdf

http://static.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html

http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf

f(x) = 2,3x + 4,6 com x ˃ 0

f(x) = 2,30x + 4,60

Lembre-se:

Digitar = antes da expressão;

O símbolo * (asterisco) significa multiplicação;

A separação das casas decimais

é por ponto e não por vírgula.

71

ponto A = (0, 25.3) e na Janela de Visualização (Plano Cartesiano), o ponto A.

Proceda da mesma forma para incluir o ponto (9, 0).Este procedimento é para unir

os pontos A e B ao ponto C10 através de segmento de reta, neste caso clicar na

janela , ir até a Janela de Visualização e com o mouse lado esquerdo

clicar em cima do ponto A e arrastar até o ponto C10, aparecerá uma linha que

representa o segmento (A, C10), proceder da mesma forma para o ponto B,

aparecendo a linha que representa o segmento (B, C10). É possível alterar a forma

e a cor da linha, dê dois cliques em cima da linha, abrirá a janela Redefinir, clique

em Propriedades, Cor para alterar a cor e Estilo para alterar o tracejado da linha.

Caso queira tirar as letras a e b, dê um clique com o lado direito do mouse em cima

das linhas, abrindo uma janela, clique em , desaparecendo as letras

indicadas. Caso queiram incluir a lei de formação, vá em Exibir,

digitar a expressão f(x) = 2.3x + 4.6, dar Enter e aparecerá na Janela de Álgebra. É

interessante digitar um título referente a esta atividade, proceda direcionando o

mouse na Barra de Ferramentas, clique em , direcione o mouse no Plano

Cartesiano, dê um clique e abrirá a janela A, digite Atividade 2 dê Enter e na linha

de baixo digite a) O passageiro A, pagando R$ 25,30 percorreu 9 Km, clique em

Ok, pronto aparecerá na Janela de Visualização.Com este recurso é possível

visualizar a representação da reta, solicitada na Atividade 5.

Figura 48 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade a da alternativa 2. Fonte: Autor

72

Para resolver a alternativa b da atividade 2, na qual o passageiro B pagou

43,70 reais deve-se reconhecer que este valor representa a variável y. Proceda

digitando no campo Entrada y = 43.7, não esqueça que na separação da casa

decimal se digita o ponto e não a vírgula. Agora e só analisar o gráfico e verificar

qual o valor de x. Para confirmar, vá ate a planilha, digite 43.7 na célula B18 e na

célula A18 digite 43.7 = 2.3x + 4.6, aparecerá o valor de x correspondente, que e 17.

Figura 49 – Representação da tarifa do taxista de Curitiba, com atividade b da alternativa 2. Fonte: Autor

Resolução atividades do taxista de Londrina:

Analisando do problema do taxista de Londrina, indica que a função solicitada

na atividade 3 é

Para preencher o Quadro 6 e resolver as alternativas a e b da atividade 4,

proceder da mesma maneira descrita na Resolução atividades do taxista de

Curitiba.

Ver as figuras 41 e 42 já resolvidas com uso do software GeoGebra.

f(x) = 2,4x + 3,7 com x ˃ 0

73

Figura 50 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade a da alternativa 4. Fonte: Autor

Figura 51 – Representação da tarifa do taxista de Londrina, com atividade b da alternativa 4. Fonte: Autor

Para resolução da atividade 5, abra o software GeoGebra, aproveite os passo

a passo das atividades anteriores, inicie selecionando no Menu Principal a opção

Exibir, clicar em , separar as células A, B e C para lançar dados da

planilha da figura 39 (taxista de Curitiba), pular a célula D, separar as células E, F e

G para lançar dados da planilha da figura 41 (taxista de Londrina). Para melhor

visualização lançar dados até a célula 18, na sequência, abra a janela

74

, digitar as funções que representam as tarifas de cada taxista.

Para que a reta de cada função seja representada, tomar o cuidado de não usar a

mesma letra algébrica, proceda digitando f(x) = 2.3x + 4.6 para tarifa do taxista de

Curitiba e g(x) = 2.4x + 3.7 para a tarifa do taxista de Londrina. Selecione cores

diferentes para cada reta criada, selecionando em cima da reta, clicar em cor,

escolher e clicar, ir a tracejado e escolher um formato a gosto. Para digitar um título

ir até a Barra de Ferramentas, abrir janela , direcione o mouse no plano

cartesiano, clique e na janela que abrir digitar os textos necessários conforme

exemplo da figura 42. Para que o quadro com as vantagens de corrida de cada

taxista apareça na Janela de Visualização, selecione as células de E2 até F8 que

representa as vantagens do taxista de Londrina, clique com o lado direito do mouse,

abrirá uma janela, clique em Criar, arraste até Lista, de um clique e a parte

selecionada aparecerá na Janela de Visualização. Proceda da mesma forma com

as células A2 até B8 que representa as vantagens do taxista de Curitiba. Para uma

melhor visualização dos quadros, com o mouse arraste para uma parte mais visível

da Janela de Visualização. Pronto, a tarefa está resolvida e visível na tela.

Figura 52 – Analise de percurso dos taxistas com vantagens, valor e quilometragem comum a ambos. Fonte: Autor

75

Tarefa 5 – Calcular perímetro e raio de uma circunferência. (Descritores1127 e 1228)

Como Eratóstenes calculou o comprimento da

Terra?

Figura 53 – Ilustração de Eratóstenes e sua descoberta. Fonte: http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm

Análise

Estão envolvidas nesta questão, três tendências: História da Matemática,

Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. Exigirá dos grupos, estratégia

de ação, muita pesquisa e um modelo para a sua resolução. Para iniciar a tarefa, os

grupos precisam pesquisar e conhecer quem foi Eratóstenes, sua nacionalidade,

seus conhecimentos e profissão, em que época da história ele viveu,

contemporâneos influentes, qual foi a sua contribuição para a humanidade, quais

foram os instrumentos e estratégias que colaboraram para que ele calcula-se o

comprimento e o raio da Terra. É interessante que as equipes confiram se o valor

que ele encontrou se aproxima dos dados atuais.

Professor aproveite o embalo dos grupos, agende o laboratório de informática

e estimule os grupos a pesquisar sobre Eratóstenes.

27

D11 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações. 28

D12 – Resolver o problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.

Dicas de sites que contam um pouco da história de Eratóstenes e como ele calculou a circunferência e o raio da Terra.

http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php

http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice3/erast.htm

http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-

Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf

http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf

76

Provavelmente os alunos ficarão empolgados e queiram na prática, provar o

experimento de Eratóstenes, neste caso, há a necessidade de negociação de no

mínimo duas instituições de ensino num raio mínimo de 400 km que queiram

participar deste experimento real.

O link para se registrar e participar deste projeto

é: https://sites.google.com/site/projetoerato/

Após o levantamento histórico, os grupos precisam criar um modelo

matemático para registrar o experimento de Eratóstenes. Pode ser um passo a

passo de como ele, através dos dados disponíveis da época, calculou a

circunferência e o raio da Terra.

Para o êxito desta tarefa é importante retomar alguns conteúdos

preestabelecidos, tais como: o comprimento da circunferência, raio, diâmetro, a letra

grega π, grau e ângulo.

Passo a passo de Eratóstenes segundo LUIZ et al (?).

Ele tinha ideia de superfície esférica da Terra;

Reuniu dados na biblioteca de Alexandria (antigo Egito);

Sabia que uma circunferência tem 360°;

Talvez tenha imaginado a Terra cortada ao meio e separada em diversas

frações iguais e se soubesse a quantidade de frações e o comprimento do arco de

uma dessas frações, bastaria multiplicar pelo nº de frações para obter o

comprimento total da Terra.

Figura 54 – Terra cortada ao meio e divida em frações Fonte: http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf

Imaginou uma dessas frações, com as distâncias de Alexandria e Siena

(cidade ao sul do Egito – hoje Assuã) para medir o ângulo interno que as duas

cidades formavam. Siena e Alexandria situavam-se praticamente sobre o mesmo

meridiano (linha equivalente à circunferência da Terra). Siena ficava sobre o Trópico

Professores e alunos, já ouviram falar do Projeto

Eratóstenes na

América?

77

de Câncer. Ele percebeu que o Sol seria de grande ajuda para solucionar o

problema do ângulo.

Há controvérsia em relação de como Eratóstenes sabia a distância entre as

duas cidades, alguns defendem que era pelas caravanas com camelos que se

realizou o calculo, outros dizem que Eratóstenes pediu ajuda ao rei, solicitando

ajuda de bamatistas29 para medir a distância entre as duas cidades. A distância

encontrada era de 5000 estádios30, aproximadamente 800 quilômetros.

Figura 55 – Ilustração da incidência dos raios solares sobre Alexandria e Siena. Fonte: http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf

Ele ouvira falar que no dia 21 de junho, aconteceria o Solstício de verão e

precisamente ao meio dia o Sol brilharia direto dentro de um poço em Siena e

iluminaria o seu fundo sem que nenhuma sombra se projetasse em suas paredes.

Entretanto em Alexandria, a mesma hora, havia sombras sendo projetadas. Sabia

que é possível medir o ângulo do Sol pela sombra projetada pelos objetos.

Figura 56– Ilustração poço em Siene e estaca em Alexandria (Antigo Egito) Fonte: http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php

29

Agrimensores treinados para caminhar com passos sempre do mesmo tamanho. 30

Unidade de medida. O estádio que Eratóstenes usou tinha pouco mais de 157 metros.

78

Com os dados e informações conseguiu calcular o ângulo interno entre as

duas cidades.

Eratóstenes mediu o comprimento da sombra de uma coluna vertical em

Alexandria. Com o comprimento da sombra e a altura da coluna vertical (na

realidade um “gnômon”31, ou indicador, de um relógio

de Sol), Eratóstenes obteve dois lados de um

triângulo retângulo. Pôde, então, resolver o triângulo

e calcular o ângulo entre o topo da coluna vertical e

os raios de Sol incidentes, tendo determinado o valor

de 07º 12', ou 1/50 de uma circunferência.

Figura 57 – Gnômon, parte triangular deste relógio de sol. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Gn%C3%B4mon

Depois, dividiu 360 por 07º 12' (≅ 7,2°), o que dá 50. Agora, sabia que eram

necessárias 50 frações iguais à medida da distância entre Alexandria e Siena para

formar a circunferência da Terra.

Ele usou uma regra de três simples para efetuar o cálculo e encontrar o

comprimento da Terra.

Resultados de Eratóstenes: • Ângulo: 7,2º = 360/50

• Circunferência da Terra → 250.000 estádios → 40.000 km

• Raio da Terra → 39.800 estádios → 6247 km

• Distância entre Alexandria e Siena → 5000 estádios → 800 Km

Eratóstenes tinha conhecimento que a Terra era redonda e demonstrou com

pequena margem de erro o tamanho de sua circunferência. Conseguiu usando a sua

inteligência, algumas informações colhidas de maneira empírica e instrumentos

31

É a parte do relógio solar que possibilita a projeção da sombra. O gnômon deve ter sido o mais antigo instrumento astronômico construído pelo homem. Em sua forma mais simples, consistia apenas de uma vara fincada, geralmente na vertical, no chão. A observação da sombra dessa vara, provocada pelos raios solares, permitia materializar a posição do Sol no céu ao longo do tempo.

7,2° = 5.000 estádios

360,0° = X estádios

X = 250.000 estádios

7,2° = 800 Km

360,0° = X Km

X = 40.000 Km

79

rudimentares da época. Tal descoberta se deu muitas centenas de anos antes das

Idades Média e Moderna, quando a discussão sobre a esfericidade terrestre voltou à

tona.

Além de pesquisar a medida da circunferência da Terra e complementar a

questão, outras informações são relevantes para os dias atuais.

Figura 58 – Informações do planeta Terra. Fonte: https://www.google.com.br/search?q=circunferencia+da+Terra&ie=utf-8&oe=utf-

8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a&channel=nts&gfe_rd=cr&ei=4qRkVKXuKIGX8QejyoHICQ

Tarefa 6 – Função Afim/Calcular grandezas entre duas variáveis. (Descritor 30)

Figura 59 – Moda Infantil Fonte: http://www.mariavitrine.com.br/2011/09/recados-de-vitrine-41-noticias-e.html

TABELA 2

VALORES DE VENDA DA VENDEDORA – R$

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

655,00 1.738,00 2.657,00 2.100,00 3.783,00 4.594,00 ?

Fonte: Autor

Sua meta para o sétimo mês (julho) é de conseguir vender R$ 6.000,00. Com

esses dados determine:

a) A função que define o seu salário.

b)O seu o salário no sétimo mês, caso ela conseguir atingir a sua meta.

c) Construa um gráfico (histograma) referente aos salários mensais.

Uma vendedora em uma loja de moda infantil

tem seu salário composto de uma parte fixa

no valor de R$ 1.324,00, mais uma comissão

de 10% sobre o valor de suas vendas no mês.

Nos primeiros seis meses de trabalho os

valores das suas vendas foram de acordo

com a tabela abaixo:

80

Análise

O primeiro passo do grupo é definir a lei de formação que permite calcular o

seu salário, respondendo assim a alternativa a. É necessário que o grupo tenha

pleno conhecimento de conteúdos apropriados em séries anteriores e que possam

aplicar nesta tarefa (porcentagem, equação do 1º grau e função afim). Um fator

indispensável para iniciar a resolução é uma leitura detalhada do problema. O texto

aborda que a vendedora tem um salário fixo no valor de R$ 1.324,00 mais um valor

que varia de acordo com as vendas realizadas, isto é, uma comissão de 10% sobre

as vendas realizadas. Independente das vendas o seu salário normal é o mesmo,

um valor fixo, mas para que o salário seja mais rentável, ela precisa vender, dizer

que há uma dependência de dois fatores diretamente proporcionais, quer dizer,

quanto maior forem as suas vendas, maior será o seu salário mensal. Para facilitar a

compreensão os grupos podem atribuir a letra Sm para salário mensal, Vm para

vendas mensal e converter o percentual de comissão em número decimal para

facilitar o cálculo (10% = 10

100= 0,1), então a função ficará assim:

Para a resolução da alternativa b vamos utilizar o software GeoGebra. No

GeoGebra, na barra de ferramentas clique em exibir planilha. Na planilha que se

abre ao lado da janela de visualização clique na célula A1 e digite “Meses”, na célula

B1 “Salário”, na célula C1 “Vendas” e na célula A2 digite “1” (referente ao primeiro

mês). Dê a sequencia dos meses nas células seguintes ate A8 na mesma coluna.

Na célula B2 digite o valor referente ao total de vendas do primeiro mês conforme a

tabela 2, na célula B3 digite o valor correspondente do total de vendas no mês de

fevereiro, na célula B4 o valor de março e assim por diante até a célula B7. Na célula

B8 digite “6000” que é o valor da meta que ela pretende alcançar. Na célula C2

digite a função que vai gerar o salário do mês = 0.10 * C3 + 1.324. Você poderá

copiar esta fórmula arrastando-a até a célula C8, selecionando na planilha as células

A2 ate C8. Pronto, a previsão de salário no valor de R$ 1.924,00 aparecerá na

planilha. É conveniente aproveitar a mesma tela para dar início na resolução da

alternativa c, clicando com o botão direito do mouse em “criar” e, depois em “lista”,

na janela de álgebra aparecerá à lista 1 com os valores. Selecione as células B2 até

a B8, clique com o botão direito do mouse em “criar” e depois em “lista”, aparecerá à

Sm = 0,1 * Vm + 1.324,00

81

lista 2 com os valores, proceder da mesma forma para as células C2 a C8,

aparecerá a lista 3 com os valores, conforme figura 60.

Figura 60 – Janela de álgebra e planilha no GeoGebra. Fonte: Autor

O grupo pode aproveitar para inserir a janela de visualização, clicando no

ícone Exibir, Janela de Visualização, abrindo a janela de visualização. Também

pode alterar a escala do eixo x e eixo y, facilitando a visualização do histograma

(gráfico de barras), proceder da seguinte forma, clicar em no corpo da janela de

visualização com o lado direito do mouse, abrirá a janela com vários ícones, clicar

em , após em , alterando assim a escala de 1: 200,

conforme figura 61 abaixo.

Figura 61 – Janela de Visualização e alteração da escala no GeoGebra. Fonte: Autor

82

Para encontrar a alternativa c – construir o gráfico (histograma), ir até o

campo entrada, digite histograma e escolha a 1ª opção que se abre na persiana,

conforme ilustrado na figura 62.

Figura 62 – Campo de entrada, histograma no GeoGebra. Fonte: Autor

No campo de entrada apague tudo que estiver entre os colchetes e escreva

lista1, lista3, mostrada na figura 63, e de um enter.

Figura 63 – Campo de entrada, histograma [lista1,lista2]. Fonte: Autor

Assim obterá o gráfico da função, conforme figura 64.

Figura 64 – Gráfico da função f(x) = 0,10x+ 1.324, no GeoGebra. Fonte: Autor

83

Tarefa 7 – Modelagem da água. (Descritor 29)

TEMA GERADOR

“Uso consciente da água”

QUESTÃO MATRIZ

Figura 65 – Torneira Aberta. Fonte: http://site.sanepar.com.br/sustentabilidade/consumo-responsavel

PROBLEMATIZAÇÃO

Como otimizar o consumo da água em nosso cotidiano?

Análise

Esta é uma tarefa aberta e se faz necessário o uso da modelagem

matemática para a resolução de possíveis levantamentos a serem feitos pelos

grupos. Nesta tarefa não há uma resposta pronta e acabada, pois cada residência,

unidade escolar, comércio, indústria ou outros, têm a sua forma de consumo e uma

tarifa específica (caso seja fornecida por uma empresa de tratamento e distribuição).

Esta tarefa foi elaborada para que os grupos, após pesquisa, tenham

consciência de como o ser humana vem tratando este bem tão precioso.

São vários fatores e dados a serem pesquisados, tais como:

A água que se consume no município, bairro, escola, residência, comércio,

indústria, outros, é tratada?

Se existindo, quem faz o tratamento e distribuição?

A empresa que fornece água é particular, pública ou de economia mista32?

Da onde é extraída esta água?

Na região, há algum aquífero? Se houver, qual é o nome? Há poços

artesianos? E rede de esgoto?

Há componentes químicos no tratamento da água?

Como se mede o consumo da água e qual o nome do aparelho medidor?

32

Sociedade criada pela administração pública, junto com pessoas ou entidades de direito privado, para exercer fins de interesse público.

“Como a água pode ser consumida

de forma consciente?”

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Como é feito o cálculo para cobrança da água consumida?

A empresa que presta o serviço, disponibiliza “tarifa social”33? E quem tem

direito a este subsídio?

Quais são os “vilões” no consumo da água?

Uma torneira pingando, consome quantos litros de água por hora?

E um chuveiro ligado por 5 minutos, consome quantos litros de água?

Uma máquina de lavar roupa consome quanto de água em média?

E a descarga do vaso sanitário consome quanto, se for:

I. Descarga Hidráulica?

II. Caixa acoplada ao vaso sanitário?

III. Caixa não acoplada com corda de descarga?

E a mangueira de jardim, consome quanto em uma hora? E as máquinas de

lavar a pressão?

Numa pia de cozinha se consome em média, quantos litros de água por dia?

O ser humano é consciente na utilização e no consumo da água?

E a agroindústria e as grandes indústrias quanto consomem ao dia?

E os irrigadores de verduras, legumes, frutas e grãos, quanto consomem por

dia?

A água é um bem escasso? É um bem renovável?

Qual o percentual de água potável existente no planeta?

É possível aproveitar a água do mar? É possível tratar? O custo de

tratamento é viável? Há alguma empresa no Brasil que faz este tipo de tratamento?

Ainda há mais indagações a serem feitas, mas as que estão descritas acima,

são suficientes para analisar, interpretar e responder a questão matriz e a

problematização.

Nesta questão está envolvida a interdisciplinaridade34. Há vários conteúdos a

serem explorados, não só na matemática, mas nas ciências, na geografia, na

história, na língua portuguesa, nas artes e até na língua estrangeira.

33

Beneficia as famílias carentes com preço subsidiado para os serviços de abastecimento com água tratada e coleta e tratamento de esgoto. 34

Relação entre duas ou mais disciplinas ou ramos de conhecimento; ou, algo que é comum a duas ou mais disciplinas. Fonte: Dicionário Eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa 3.0.

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Figura 66 – Interdisciplinaridade. Fonte: Blog “Os Muros da Escola”

Em matemática, os conteúdos a serem relembrados são:

Unidade de medida, tais como, volume, metro cúbico (m³), litro e capacidade;

Unidade Monetária em Reais;

Média aritmética;

Equação do 1º grau e função afim;

Tabela e gráfico.

É interessante incentivar os alunos a verificarem as faturas de água de suas

residências e da própria escola para análise e comparativo de consumo, também da

média de consumo dos últimos cinco meses, do período de leitura (intervalo entre

uma leitura e outra), do volume mínimo de consumo e do volume excedente.

Provavelmente os alunos questionarão porque o volume mínimo para cobrança da

água tratada ser de 10 m³ e porque há a cobrança da taxa da coleta de lixo na fatura

da água. Nestes casos é bom instigar os grupos a realizarem uma pesquisa junto à

empresa que detêm a concessão de fornecimento de água para esclarecer do

porque do mínimo de cobrança (10 m³) e junto à prefeitura municipal para pesquisar

os motivos da cobrança da taxa da coleta de lixo estar na fatura de água.

Para exposição desta tarefa, os grupos poderão confeccionar cartazes (com

imagens, ilustrações, textos, cálculos, tabelas e gráficos), produzir vídeos com o

tema “Uso consciente da água” e expor para toda a comunidade escolar através do

projetor ou da TV multimídia.

Professores:

Para a resolução consciente desta tarefa é interessante uma parceria com todas as

disciplinas da Educação

Básica.

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11.2 QUESTIONÁRIO 3ª ETAPA

Após término desta etapa, responder o questionário enviado por e-mail a cada

grupo, conforme link: http://goo.gl/forms/iNd3bsVhSW

Professores, alunos, pesquisadores e colaboradores desta obra, só teremos

melhorias na qualidade de ensino, quando soubermos articular o tradicional com o

moderno. Não haverá avanço se não houver empenho, não haverá melhoria se não

houver dedicação. O processo de reprodução e repetição deve fazer parte do

passado, o presente deve coadunar com práticas criativas, modernas e inovadoras

para que no futuro ela continue sempre atual e prática.

Figura 67 – Superdotado. Fonte: http://papoentrepais.blogspot.com.br/2013/01/superdotacao-escolar-x-superdotacao.html

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REFERÊNCIAS

BARRETO, Marina Menna. Como Erastóstenes calculou o raio da Terra? Disponível em: http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice3/erast.htm, acesso em 08/11/2014. BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Caderno de Questões ENEM. Brasília: MEC/INEP, 2013. Disponível em:http://inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos,acesso em 21/08/2014. ______. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Modelo Teste Prova Brasil. Brasília: MEC/INEP, 2011. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16640&Itemid=1109, acesso em 21/08/2014. ______. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: SAEB: ensino médio: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SAEB; Inep, 2008. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/saeb_matriz2.pdf, acesso em 25/09/2014. BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. DICIONÁRIO ENCICLOPÉDICO CONHECER. Eratóstenes (O Grego que mediu a Terra). Abril Cultural. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/biograf/erat.php, acesso em 09/11/2014. GABARITOS. Questão 5- Gabaritos do Vestibular 2002 da UFPR. Expoente. Disponível em: http://www.expoente.com.br/vestiba/vestibular/ufpr2002/matematica/q05.html, acesso em 09/11/2014. GEOMETRIA ESPACIAL. Áreas e Volume de um Cilindro. Só Matemática. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php, acesso em 09/11/2014. GNÔMON. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Gn%C3%B4mon, acesso em 13/11/2014. _______. Instrumentos Antigos de Astronomia. Disponível em: http://www.iag.usp.br/siae98/astroinstrum/antigos.htm, acesso em 13/11/2014. HOHENWARTER, Markus. HOHENWARTER, Judith. Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2. Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro. Disponível em: http://static.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, acesso em 08/11/2014.

88

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Geodésia. Disponível em: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/, acesso em 17/11/2014. INSTITUTO GEOGEBRA NO RIO DE JANEIRO. Tutoriais GeoGebra. Disponível em: http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html, acesso em 08/11/2014. INTERDISCIPLINARIDADE. Conceito. Dicionário Eletrônico Houaiss da Língua Portuguesa 3.0, acesso em 15/11/2014. LUIZ, André Amarante. PASTRE, Josiele Prampolin. PEREIRA, Maria da Glória Aparecida. SOUZA, Mariana Aparecida Delfino. PARRA, Ricardo Renato Bortoletto. Eratóstenes, um gênio do tamanho da Terra. UNESP. Disponível em: http://www.mat.ibilce.unesp.br/ciencia/docs/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf, acesso em 12/11/2014. MC PREMOLDADOS. Tubos de Concreto em Geral. Disponível em: http://www.mcpremoldados.com.br/manilhas.php#, acesso em 09/11/2014. MEDEIROS, Adelmo. Eratóstenes e a circunferência da Terra. Disponível em: http://adelmomedeiros.com/eratostenes.htm, acesso em 08/11/2014. MOTTA, Haroldo Francisco Dias da. Formulação e Resolução de Problemas Contextualizados como Estratégia Pedagógica para entender Textos e Enunciados em Matemática. Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE). SEED/UTFPR, 2013, p. 7. MOURA, Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz. Prova Brasil de Matemática – 9º ano: Números e Operações/Álgebra e Funções. Revista Nova Escola. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/prova-brasil-9o-ano-numeros-operacoes-510835.shtml, acesso em 21/08/2014. NAVEGAÇÃO ASTRONÔMICA: Definição, Importância e Resenha Histórica. Disponível em: http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf, acesso em 12/11/2014. O GLOBO. Saiba a população de cada cidade, segundo o censo 2010 do IBGE. Disponível em: http://g1.globo.com/brasil/noticia/2010/11/saiba-populacao-de-cada-cidade-segundo-o-censo-2010-do-ibge.html, acesso em 14/09/2014. Quilowatt-hora – KWh. Disponível em: http://www.significados.com.br/kwh/, acesso em 27/10/2014. PAIVA, Gustavo Henrique Nogueira Rezende. Manual de atividades noGeoGebra para a Educação Básica. Taguatinga, DF. 2012. Disponível em: http://facitec.br/revistamat/download/paradidaticos/Manual_Geogebra.pdf, acesso em 30/11/2014.

89

PARANÁ. COLÉGIO DA POLÍCIA MILITAR Cel. PM FELIPPE DE SOUSA MIRANDA. Teste classificatório caderno de prova para o 1º ano Ensino Médio – 2012. Disponível em: http://www.apmf-cpm.com.br/portal/images/stories/pdf/teste-seletivo/provamedio.pdf, acesso em 07/10/2014. ______. Secretaria de Estado da Educação. Caderno de Atividades: Matemática, Anos Finais do Ensino Fundamental. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica. Paraná, 2009. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/cadernos_pedagogicos/ativ_mat2.pdf, acesso em 21/08/2014.

______. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Educação Básica. Paraná, 2008. ______. Tarifa Social. Disponível em: http://www.cidadao.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=191, acesso em 15/11/2014. POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução e adaptação: ARAÚJO, Heitor Lisboa de. 2ª reimpressão. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. SANEPAR. Uso consciente da Água. Disponível em: http://site.sanepar.com.br/sustentabilidade/consumo-responsavel, acesso em 15/11/2014. SOCIEDADE DE ECONOMIA MISTA. Conceito. Disponível em: http://www.jusbrasil.com.br/topicos/296750/sociedade-de-economia-mista, acesso em 15/11/2014. SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, Secretaria Municipal de Educação. Prefeitura apresenta maquete eletrônica de nova escola, 2013. Disponível em: http://www.sjc.sp.gov.br/noticias/noticia.aspx?noticia_id=14593, acesso em 22/09/2014.