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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA

Título

O ensino de funções com o auxílio do Geogebra

Autor

Celso Portes Medina

Escola de Implementação

Colégio Estadual São João Bosco

Município da Escola Pato Branco

Núcleo Regional de Educação

Pato Branco

Orientadora

Ms. Luciene Regina Leineker

Instituição de Ensino Superior

UNICENTRO

Disciplina / Área Matemática

Produção Didático-Pedagógica

Unidade Didático Pedagógica

Relação Interdisciplinar

Física, Química, Biologia.

Público Alvo Alunos do 1º ano do ensino médio

Resumo

O projeto que apresento como unidade didático pedagógico tem como proposta o uso de mídias tecnológicas, com ênfase ao software GeoGebra, no ensino de funções para alunos do 1º ano do ensino médio. Mas, esta não será a única metodologia a ser aplicada. Pretende-se com esta proposta integrar as diferentes metodologias apresentadas nas diretrizes estaduais do Paraná, buscando-se uma melhor qualidade no ensino. O ensino e a aprendizagem de funções através do software GeoGebra, possibilita ao aluno construir, manipular, avaliar e, com isso, fazer conjecturas, compreendendo melhor os conceitos que envolvem o estudo de funções e sua aplicação nas diferentes situações postas no dia a dia.

Palavra chave Educação; Ensino; Funções; Metodologia; Tecnologia

1.APRESENTAÇÃO

Quem de nós antes de iniciar uma atividade associa esta a um

conhecimento matemático, ou de alguma outra disciplina escolar? Só que a

matemática está presente no dia a dia das pessoas e é considerada

indispensável para o crescimento e o fortalecimento de uma sociedade. Alguns

estudiosos apontam a matemática como a ciência mais importante do mundo

moderno.

Mesmo tendo toda essa importância ensinar matemática, hoje, é um

grande desafio, pois estamos vivendo uma grande influência dos meios de

comunicação e informação, por tanto se faz necessário à utilização de

processos educativos mais atrativos. É necessário levar em consideração a

importância das novas tecnologias aplicadas ao ensino da matemática,

considerando-se as necessidades dos alunos, proporcionando o

desenvolvimento da capacidade investigativa, o raciocínio lógico, estímulo ao

pensamento independente, a criatividade, a capacidade de resolver problemas,

fazer previsões e questionar resultados. Além do incentivo do uso do

laboratório de informática em práticas de discussões, bem como, entender a

matemática como uma ciência que interpreta, analisa e relaciona fatos da

sociedade.

Conforme as diretrizes curriculares de educação do Paraná (2008,p 45):

A aprendizagem da matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às ideias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou lista de exercícios. A ação do professor é articular o processo pedagógico, a visão de mundo do aluno, suas opções diante da vida, da história e do cotidiano.

Por isso, pretende-se desenvolver uma linha de estudo, para os alunos

do 1º ano do ensino médio, através da investigação de dados em uma interface

simples e de fácil compreensão de tópicos referentes às funções matemáticas

e suas aplicações nas mais diferentes situações postas no dia a dia.

A importância do estudo e do conceito de funções conforme Barreto (

2010, p 3 ):

O conceito de função é considerado um dos mais importantes da matemática e seus aspectos mais simples estão presentes nas noções mais básicas desta ciência, como por exemplo, na contagem. Mas, a noção de função de função, claramente individualizada como objeto de estudo corrente é mais recente. Ponte (1990) descreve a origem e o desenvolvimento deste conceito ao longo da história da matemática, sua evolução na educação matemática e seu surgimento como um instrumento matemático indispensável para o estudo quantitativo dos fenômenos naturais, mostrando que este desenvolvimento histórico foi um processo longo e delicado. No entanto, o estudo deste tópico no currículo médio brasileiro segue uma ordenação ainda tradicional e ditada, na maioria das vezes, pela sequencia sugerida pelos livros didáticos. Os temas geralmente são tratados de forma independente e sem conexão alguma entre eles. Por exemplo, as funções afim e exponencial são trabalhadas no primeiro ano do ensino médio, enquanto que as progressões aritméticas e geométricas são estudadas no segundo ano e, pior ainda, sem que se faça qualquer relação entre eles. Além disso, poucas são as situações em que se fazem referências às aplicações matemáticas às outras ciências.

Esta unidade também busca destacar o poder de alcance do conceito de

função e a importância do mesmo para a matemática e outros campos do

conhecimento, uma vez que o estudo de funções permite ao aluno adquirir a

linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre as

grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos

dentro e fora da própria matemática.

Segundo, Brasil (2006, p. 121)

O estudo de funções é relevante, mas devido à abrangência do conceito, envolve um número de dificuldades. O conceito de função envolve concepções diversas e múltiplas representações, fazendo-se necessário, compreender o sentido que este conceito pode assumir em diferentes contextos, quais significados o aluno pode produzir e de que formas isto se desenvolve no ambiente escolar. A relação funcional ocorre em todos os campos do conhecimento humano e está, em sua origem, associada à ideia de regularidade, ultrapassando o domínio matemático.

Nesta perspectiva o estudo de funções se desenvolve observando como

se dá o processo de aprendizagem com o auxílio do software GeoGebra, que é

um software livre, de fácil instalação e que já se encontra disponível nos

laboratórios de informática dos colégios estaduais do Paraná e tem como

objetivo fazer com que o estudo da Matemática se torne mais dinâmico,

criativo, inovador e facilitado, despertando assim o interesse pela busca do

conhecimento matemático e o sentido e significado que a matemática tem para

a construção de uma sociedade moderna e organizada.

Para a aplicação desta unidade didática foram previstas 38 horas,

podendo sofrer alterações caso seja necessário, observando o ensino, a

aprendizagem e o rendimento apresentado pela turma.

O material produzido, nesta unidade didática, será executado e

praticado numa turma de 1º ano, do ensino médio, do Colégio Estadual São

João Bosco, no município de Pato Branco, estado do Paraná, durante o

primeiro semestre de 2015.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A realidade de hoje é que vivemos rodeados de informações e de

equipamentos eletrônicos com os mais variados recursos tecnológicos. Estes

equipamentos tem em sua função principal facilitar e/ou agilizar as diferentes

situações que se apresentam no dia a dia. E por mais presente que as

tecnologias estejam em nossas vidas, tem sido um grande desafio aos

educadores do Paraná e de outras partes do Brasil utilizá-las como incremento

a prática docente de forma pedagógica e eficiente. Dessa forma, pensamos na

importância de utilizarmos desta tecnologia na sala de aula visando uma

melhoria da compreensão sobre o conteúdo e do aprendizado significativo de

nossos alunos.

Levando em consideração o fato de que as escolas públicas estaduais

do Paraná ao longo dos últimos anos foram inseridas na era digital e que a

maioria delas equipadas com laboratórios de informática e tv pendrive, é

preciso pensar em planos de trabalho docente que contribuam para que

aconteça uma aprendizagem significativa recorrendo também ao uso de

tecnologias para o ensino e para a aprendizagem.

Por isso, pretende-se desenvolver uma linha de estudo, para os alunos

do 1º ano do ensino médio, através da investigação de dados em uma interface

simples e de fácil compreensão de tópicos referentes às funções matemáticas.

Nesta perspectiva o estudo se desenvolve observando como se dá o processo

dentro do software GeoGebra, que é um software livre, de fácil instalação, e já

disponível nos laboratórios dos colégios estaduais do Paraná e que tem como

objetivo fazer com que o estudo da Matemática se tornem mais dinâmico e

facilitado, despertando assim o interesse pela busca do conhecimento

matemático.

De acordo com as diretrizes curriculares de educação do estado do

Paraná (2008, p.81), está previsto para o 1º ano do ensino médio o estudo de

funções e o conteúdo estruturante funções, no ensino médio, tem como

finalidade e referência que ao ser praticado o aluno consiga analisar e perceber

suas aplicações de modo que o conteúdo de funções sofra uma abordagem

mais aprofundada para que os alunos consigam identificar regularidades,

estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática e a outras

áreas do conhecimento para, então, dar significado as variações, relevância a

leitura e a interpretação gráfica e sua representação.”(PARANÁ, 2008, p.56).

Procurando envolver mais os alunos e proporcionar um ambiente de

confiabilidade de trocas experiências e de saberes que este conteúdo seja

compreendido pelos alunos de forma ampla e ao mesmo tempo prazerosa

pretende-se desenvolver uma proposta de atividade, para o primeiro ano do

ensino médio, com o uso do GeoGebra, levando o educando a investigação,

proporcionando a capacidade de relacionar os conteúdos teóricos estudados

em sala de aula com situações por eles vivenciadas, bem como despertar

habilidades para novas situações que surgirem na sua vida.

Ao estudar funções com o auxílio do geogebra os alunos tem a

oportunidade de aprender o conteúdo mesmo não sabendo operar o programa

e/ou tendo todo o domínio sobre essa ferramenta e o mais importante é que ao

realizar as manipulações no software geogebra o aluno crie a possibilidade da

análise das propriedades envolvidas, e através da visualização dos passos de

construção desenvolvam o raciocínio lógico, matemático e estratégico.

Embora a recomendação do uso de recursos didáticos seja feita

em quase todas as propostas curriculares, na prática, nem sempre há clareza

sobre o papel desses instrumentos no processo de ensino aprendizagem. Ao

fazer uso de tecnologias na educação sem dar sentido ao que se está fazendo

corremos o risco de estar apenas apresentando ferramentas novas aos alunos

e não proporcionando momentos de aprendizagem, devemos sim utilizar

ferramentas e recursos como alguns softwares como instrumentos mediadores

para promover aprendizagens. Vigotsky ( 1896-1934): p 34)

Trabalha com a noção de que a relação do homem com o mundo não é uma relação direta, mas fundamentalmente, uma relação mediada. Essa medição se dá pelo instrumento e pelos signos. O instrumento é um elemento interposto. Nesse caso a aprendizagem passa a ser mediado por esse instrumento.

Também podemos levar em consideração a significação de matemática

segundo D‟Ambrósio (1993), que dizia que a disciplina de Matemática deve ser

abordada em uma perspectiva investigativa na qual o aluno possa

compreender a sua importância para uma leitura dos fenômenos que

acontecem no cotidiano. O professor deve conceber a Matemática como uma

ciência em constante evolução que se molda no seu tempo, resolvendo

problemas oriundos das inquietudes do ser humano. A Matemática deve ser

capaz de investigar problemas e apontar soluções, levando os alunos a uma

experiência de descoberta, buscando no entendimento das demonstrações

matemáticas a contribuição para o seu desenvolvimento intelectual e,

consequentemente, para a construção do conhecimento científico. Neste

sentido, a essência do processo de aprendizagem está na ação ativa do aluno,

desde a identificação do problema passando por todo o processo de pensar

matematicamente a estratégia para a resolução e chegando na conclusão que

será a resposta. Para que isto ocorra, o professor não pode privar o aluno de

participar do ansioso processo investigativo que dará início à busca da solução

de tal problema.

Desse modo o aluno passa a experimentar toda aquela situação

envolvente e necessária para a aprendizagem de função, ou seja, o aluno

participa efetivamente da construção da solução deste, diferentemente do que

acontece no ensino tradicional de Matemática, no qual o aluno apenas

reproduz a resolução de um exercício baseando-se em fórmulas e exemplos de

exercícios similares.

A fim de promover a participação interativa do aluno, o professor deve

incentivar o uso de materiais didáticos que facilitem a abordagem do problema,

o auxílio das mídias tecnológicas, motivando, desse modo, o trabalho em grupo

e fortalecendo o debate e a investigação. D‟Ambrósio (1989, p 47) comenta a

respeito da metodologia de investigação: “Acredita-se que metodologia de

trabalho desta natureza tem o poder de dar ao aluno a autoconfiança na sua

capacidade de criar e fazer matemática.”

Com essa abordagem a matemática deixa de ser um corpo de

conhecimentos prontos e simples. Marcelo C. BORBA E Mirian G. PENTEADO

( 2003, p 26),

Comentam a história das mídias e a necessidade que a humanidade sempre teve de estender a sua memória. Para explicar esta necessidade, o autor remete em uma perspectiva histórica a três grandes técnicas associadas ao conhecimento: a oralidade, a escrita, e a informática. Por meio da primeira, a oralidade, o conhecimento era guardado por meio de mitos, ou seja, era necessário passar tal conhecimento por meio de histórias contadas. Com o advento da escrita, surgem os primeiros livros e a memória se estende um pouco mais. Desta forma, a humanidade ganha uma técnica importantíssima para o arquivamento e também para a divulgação do conhecimento. É importante salientar que o surgimento desta nova técnica não extinguiu a primeira, pelo contrário, ela apenas completou uma dificuldade que a oralidade apresentava no arquivamento do conhecimento. O mesmo acontece com o surgimento da tecnologia informática, esta permite que a memória se amplie ainda mais, fazendo com que o conhecimento seja investigado com novas formas de abordagens que envolvam simulações e experimentações e que apontam para uma nova interpretação do problema estudado.

Neste sentido o papel do computador não é o de substituir o ser

humano, mesmo porque ele não teria condições para isto. A função do

computador nesta perspectiva é de reorganizar o trabalho pensante do sujeito,

permitindo ao mesmo uma flexibilidade maior na abordagem de determinada

situação problema. Por exemplo, quando se vai desenhar uma planta de uma

casa utilizando um computador com software específico, o engenheiro pode

observar e trabalhar detalhes com uma agilidade muito maior do que se o

mesmo tivesse que elaborar esta planta com lápis, papel, réguas e pranchetas.

É muito importante analisar funções porque tudo no mundo sofre algum

tipo de transição, os metais para se dilatar precisam ser aquecidos, assim o

comprimento de uma barra de ferro em função da sua temperatura, o valor a

ser pago na conta de luz é função do consumo medido no período. Ao analisar

compreendemos e fazemos previsões e correlações podendo interferir no

fenômeno.

O software Geogebra é uma importante ferramenta para auxiliar o

estudo e a aprendizagem de funções bem como ajuda numa melhor

compreensão das funções de forma mais dinâmica e de fácil visualização.

Segundo Batista ( 2012, p 19)

Pesquisas realizadas com alunos usando o software Geogebra têm demonstrado que seu uso favorece uma abordagem mais conceitual e analítica da matemática, o que, por sua vez, promove a aprendizagem pela abrangência de recursos que possui, contemplando o desenvolvimento de processos de argumentação e validação em Matemática. É fato que recurso como o Geogebra, além de contribuir para despertar e motivar o processo de aprendizagem torna-se importante aliado na tarefa de compreender os problemas que estão presentes na vida cotidiana e também de criar o hábito de participar, pensar por si próprio e construir o conhecimento, verificando também sua aplicação em outras disciplinas.

Então, se pesquisas realizadas anteriormente demonstram sucesso com

esse software na sala de aula, espera-se que ao final da aplicação desta

unidade didática também tenhamos obtido avanços na aprendizagem dos

nossos alunos.

3. CONVERSA DE PROFESSOR

Esta intervenção pedagógica pretende abordar o conteúdo de funções

para os alunos do ensino médio, utilizando a metodologia de mídias

tecnológicas.

Na escola aonde será implementada essa atividade, o laboratório de

informática possui computadores equipados com o software Geogebra e nas

salas de aula existem televisores e projetor multimídia. Nestes ambientes,

serão executados os planos de aula com os alunos do primeiro ano do ensino

médio do colégio Estadual São João Bosco.

Pretende-se que os alunos ao responderem as questões propostas

apresentem um vocabulário matemático que associe com coerência as

informações sobre o conteúdo, que a aprendizagem esperada seja alcançada

e que leve os nossos alunos a complementarem a sua aprendizagem dos anos

anteriores, esses questionamentos poderão ser levantados pelo professor bem

como por outros alunos e as respostas deverão incrementar e fomentar o

ensino e a aprendizagem, de modo que se possa observar não só a

memorização do conteúdo e dos conceitos, mas uma aprendizagem que

incentive a criatividade, a autonomia, a responsabilidade e a capacidade de

aprender de forma continua e emancipadora.

Acreditamos que pelo fato de uma grade maioria das atividades serem

executadas no laboratório de informática, ou seja, fora do ambiente dito

tradicional, a sala de aula, ocorra um envolvimento significativo, qualitativo e

quantitativo, e que isso gere um interesse maior dos alunos pelos conceitos,

teorias e pela aprendizagem das funções e das suas aplicações que

acontecem diariamente as quais a maioria de nós e dos alunos não fazemos

nenhuma associação.

Os exercícios do livro didático sugerido se referem ao livro Matemática

Contexto & Aplicações, de Luiz Roberto Dante, livro adotado pelo Colégio

Estadual São João Bosco, para os anos de 2015 a 2017. Mas, poderão ser

utilizados os exercícios do livro didático adotado pela sua escola.

4. PLANEJAMENTO

1. Conteúdo: Funções - Introdução

Número de aulas: 2

Ferramentas: Computador e projetor multimídia.

Objetivos: Apresentação do projeto e como o software geogebra auxilia na

aprendizagem de funções; Identificar o conhecimento pré adquirido pelos

alunos.

2. Conteúdo: O GeoGebra

Número de aulas: 1

Ferramentas: Projetor multimídia, laboratório de informática, impresso para

alunos

Objetivos: Reconhecer as funções no software Geogebra.

3. Conteúdo: Conceito de funções

Número de aulas : 2

Ferramentas : Projetor multimídia e quadro negro

Objetivo : Definir funções e suas características

4. Conteúdo: Plano cartesiano


Ferramentas : Laboratório de informática e quadro negro

Objetivo : Representar os pontos graficamente

5. Conteúdo: Domínio , contra- domínio e imagem de uma função


Ferramentas : Livro didático, projetor multimídia, quadro negro

Objetivo : Reconhecer os valores que uma função pode assumir

6. Conteúdo: Tipos de função

Número de aulas: 2

Ferramentas : Impresso para os alunos, projetor multimídia e quadro negro

Objetivo : Classificar as funções e as relações entre domínio e contradomínio.

7. Conteúdo: Função Afim


Ferramentas : Projetor multimídia, quadro negro e laboratório de informática

Objetivo : Identificar uma função afim

8. Conteúdo : Determinação de uma função afim


Ferramentas : Projetor multimídia, quadro negro e laboratório de informática

Objetivo : Reconhecer e determinar uma função afim

9. Conteúdo : Gráfico de uma função afim


Ferramentas : Laboratório de informática, quadro negro

Objetivo : Construir e estabelecer relações sobre o gráfico de uma função afim

10. Conteúdo: Função Modular



Objetivo : Analisar graficamente uma função modular e suas aplicações

11. Conteúdo : Distância entre dois pontos

Número de aulas: 2

Ferramentas : Laboratório de informática e quadro negro

Objetivo : Medir e encontrar as relações entre pontos e funções

12. Conteúdo : Taxa de variação



Objetivo : Observar as variações dentro de uma função ( derivada )

13. Conteúdo : Função quadrática ou do segundo grau


Ferramentas : Laboratório de informática, quadro negro e projetor multimídia

Objetivo : Reconhecer, analisar uma função quadrática

14. Conteúdo : Gráfico de uma função quadrática


Ferramentas : Laboratório de informática, projetor multimídia e quadro negro.

Objetivo : Construir, analisar e interpretar gráficos de funções quadráticas.

15. Conteúdo: Pontos de mínimo e ponto de máximo de uma função quadrática

Número de aulas: 3

Ferramentas : Laboratório de informática, projetor multimídia e quadro negro.

Objetivo : Identificar nos gráficos as situações de ponto de máximo e ponto de

mínimo e estabelecer relações entre lucros e prejuízos.

AVALIAÇÃO: Pretende-se fazer avaliações escritas com os alunos depois dos

conteúdos 6, 12 e 15 e também serão efetuadas avaliações em cada momento

de laboratório de informática.

5. ATIVIDADES DE IMPLEMENTAÇÃO

INTRODUÇÃO AS FUNÇÕES

Vamos resolver as seguintes situações problemas:

Exemplo 1: Maria Fernanda trabalha em uma loja e recebe um salário fixo de

R$ 950,00 reais mais 5% sobre as vendas realizadas. No mês de fevereiro

Maria Fernanda efetuou um total de vendas no valor de R$ 19.800,00. Qual foi

o salário que ela recebeu?

Exemplo 2:

Um pediatra prescreve um determinado medicamento a um de seus pacientes,

considerando 2 mg para cada quilograma da criança 2 vezes ao dia, durante 5

dias. Ana Laura consumiu um total de 220 mg de remédio. Qual é o peso de

Ana Laura?

No exemplo 1, observe que o salário de Maria Fernanda depende (está em

função) do valor da venda efetuada. A ideia de função está presente quando

relacionamos duas grandezas (variáveis).

a) Vamos representar o salário de Maria Fernanda por y e o valor das vendas

por x.

Uma variável y se diz função de uma variável x se para todo ou qualquer

valor de x existe um único valor em y.

Desse modo, x se denomina variável independente e y a variável

dependente.

b) Elabore uma fórmula genérica para a atividade do exemplo 1.

c) Utilizando a fórmula, calcule o salário de Maria Fernanda se ela vendesse

R$ 32.800,00

d) Se Maria Fernanda recebeu um salário de R$ 1380,00. Qual foi o valor de

suas vendas nesse período?

e) Considerando o exemplo 2, elabore uma fórmula genérica para o uso desse

pediatra? Considere: Medicamento prescrito=y, peso da criança=x.

f) Quanto de medicamento ele irá prescrever para uma criança que mede 33

kg?

h) Em grupo vamos discutir: Será que ao prescrever um medicamento os

médicos se utilizam somente do peso de uma criança para considerar a

dosagem? Justifique sua resposta para o grupo.

CONCEITO DE FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Uma função f cujos valores são dados por uma fórmula como

f(x)=ax+b, onde a e b são números reais e a é diferente de zero, chama-se

função linear ou função do primeiro grau.

Exemplo 3- Um avião leva 6 minutos para percorrer os primeiros 45 km, depois

disso, passa a se deslocar em uma velocidade constante de 650 Km/h.

a) Elabore uma função que represente a posição em função do tempo na

situação dada no exemplo 3.

b) Construa uma tabela com 6 linhas, relacionando tempo com a distância

percorrida.

c) Quem será a variável dependente, o tempo ou a distância percorrida?

d) Quanto tempo será necessário para percorrer 1345 km? E para percorrer

5895 Km?

e) Que outras considerações poderiam ser levantadas para discutir o tempo

necessário entre a decolagem e o pouso do avião? Podemos prever todas

essas questões?

Resolução de exercícios, livro didático público, Matemática

Contextos & Aplicações, Dante, página 44, exercícios 1 ao 9.

PLANO CARTESIANO/COORDENADAS CARTESIANAS

Relembrando :

A notação ( x, y) é usada para indicar o par ordenado de números reais.

Plano cartesiano é um sistema de eixos ortogonais, constituído por dois

eixos perpendiculares que tem a mesma origem ( 0,0).

Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em quatro regiões

chamadas de quadrantes:

O eixo horizontal ( x ) é o eixo das abcissas; O eixo vertical (y) é o

eixo das ordenadas.

GeoGebra

Atividade 1 – No plano cartesiano localize os pontos: A=(-9,0), B=(-8,-1), C=(-

4,-1), D=(-1,-5), E=(0,-5), F=(-1,-3), G=(-1,-1), H=(5,-1), I=(6,-3), J=(7,3),

K=(7,3), M=(6,3), N=(5,1), O=(-1,1), P=(-1,3), Q=(0,5), R=(-1,5), S=(-4,1), T=(-

8,1), ligue-os na sequência apresentada.

Atividade 2 – Observe o exercício anterior e identifique os sinais das

coordenadas conforme o quadrante que estas se encontram:

Quadrante x y

1º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

DOMÍNIO(D), CONTRA-DOMÍNIO(CD), IMAGEM(Im)

Atividade 1- Um marceneiro precisa construir um painel quadrado de

madeira cuja medida do lado deverá ser maior que 30 cm, mas sua área não

poderá exceder a 1500cm2. Para a medida do lado deverá ser considerado

apenas números inteiros, facilitando o trabalho do marceneiro, e a área poderá

ser dado qualquer valor dentro dos números reais.

a) Elabore uma tabela com os possíveis valores para a medida dos lados e

suas respectivas áreas:

Lado ( cm ) Área( cm2 )

b) Quais os possíveis valores para as medidas dos lados?

c) Quais os possíveis valores para a área do painel?

d) Segundo o problema quais os valores que poderíamos aceitar como medida

de uma área do painel?

Dada a função f: A→B ( lê-se função f de A em B), o conjunto A

chama-se de domínio ( D ).

O conjunto B chama-se contra domínio da função (CD).

E a imagem (Im) da função f são os elementos do conjunto B que

se relacionam com os elementos do conjunto A.

2) Considerando a atividade 1, chamaremos de conjunto A, a medida dos lados

e o conjunto B, a medida das áreas. Preencha os diagramas com os

respectivos valores e faça uma seta relacionando os valores de A em B.

R:

Portanto:

D(f)=

CD(f)=

Im(f)=

3) Observe os conjuntos A e B, nos diagramas abaixo. Determine o domínio,

contra-domínio, conjunto imagem da função f: A→B e a lei de formação da

função.

2) Determine o domínio das seguintes funções no conjunto dos números reais:

a) f(x) = 1/x

b) f(x) = 2x²-3x+4

c) f(x) = 3/x-3

d) f(x) = ( x+1) / ( x²-4)

e) f(x) = 2x/(x-2) - 5/(2x)



TIPOS DE FUNÇÕES

1) Pesquise na internet os conceitos de:

a) Função sobrejetora;

b) Função injetora;

c) Função bijetora.

2) Dadas as figuras abaixo, indique as que são ou não são função e justifique.

a)

b)

c)

d)

e)



GeoGebra

1) Construa os gráficos conforme solicitado e identifique se é ou não função.

Quando for função identifique se esta é sobrejetora, injetora ou bijetora:

Obs: digite na caixa de entrada os valores indicados:

a) y= x+2

b) y= x2 + 2x

c) x2 + y2 > 16

d) Ligando os pontos formando segmentos consecutivos, essa relação forma

uma função? A=(-2,-1), B=(1,1), C=(4,2)

e) Dados os pontos A=(1,5), B=(3,4), C=(1,3), D=(2,4) e E=(0,1). Ligando os

pontos formando segmentos consecutivos, essa relação forma uma função?

FUNÇÃO AFIM

1) Uma pessoa caminhando numa rodovia com velocidade média de 4 Km/h

encontra-se no quilômetro 32, as 8 horas da manhã. Considerando que ela

mantenha esta velocidade média:

a) Em que posição ela se encontra as 11 horas?

b) E as 14 horas?

c) Qual é a variável dependente na função apresentada?

d) Qual é a variável independente?

e) Elabore uma função genérica para o caso acima. (Relacionando o tempo e

espaço)

Parabéns, você encontrou uma função onde o maior expoente é um. Essa

função é denominada função afim ou função do primeiro grau.

* Uma função f:R→R chama-se função afim quando existem dois números

reais a e b tal que f ( x ) = a.x + b , para todo a que pertence aos números

reais.

2) Determine o valor dos coeficientes angular ( a ) e linear ( b) das funções

abaixo:

a) f ( x ) =

x + 7 → a = ............ , b = ................

b) f ( x ) = - 3 x → a = ............ , b = ................

c) f ( x ) = 6 – x → a = ............ , b = ................

d) f ( x ) =

+ 3 x , → a = ........... , b = ................

Atividade 3 – Determine o valor da função f ( x ) = -3 x + 6 para :

X f(x)= - 3 x + 6

0

4

- 2,5

2/3



DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM

Uma função afim f ( x ) = a x + b , pode ser determinado quando conhecemos

dois de seus valores. Por exemplo, se f ( 2 ) = - 2 e f ( 1 ) = 1 , sabemos que

( ) ( )

Assim,f(x)=3x+b, para obter b, escolhemos um dos valores conhecidos, por

exemplo f( 1 )=1, substituindo-se x por 1 temos: - 3. 1+ b → b = 4.

Então: f ( x ) = 3 x + 4

Outra maneira de se resolver essa questão é construir um sistema de

equações e a resolução apresenta valores para a e b .

R:

x y

1 1

2 -2

Sendo : a. x + b = y , substituíndo na equação temos o seguinte sistema:

1) a . 1 + b = 1 → a + b = 1

2) a. 2 + b = -2 →2 a+ b = -2

i)Isolando a variável a na primeira equação, tem-se : a = ( 1 – b ) ;

ii) substituíndo esse valor na segunda equação temos que :

2 ( 1 – b ) + b = - 2 → 2 – 2 b + b = -2 → - 2 b –b = - 2 – 2 → - b = -4 → b = 4

iii) Tomando i como referência temos: a = ( 1 – b ) → a = 1 – 4 logo, a = -3

Atividade1- Com o passar do tempo ( t ) tudo na vida sofre aquilo que

chamamos de desgaste, em determinados bens e serviços chamamos de

depreciação, assim, o valor ( v ) de um bem ou serviço decresce com o passar

desse tempo ( t ) . A função depreciação pode ser uma função afim, como

neste caso: o valor de uma máquina de escavação é hoje de R$ 125.000,00 e

estima-se que daqui a 5 anos será de R$ 100.000,00.

a) Qual será o valor dessa máquina em t anos ?

b) Qual será o valor dessa máquina daqui a 10 anos ?

c) Qual será a sua depreciação total nesse período (nos 10 anos) ?

Atividade 2 – Sejam os pontos A = ( 3,2) e o ponto B = ( 6,7 ) , coordenadas

cartesianos da localização geográfica de duas cidades por onde passa uma

rede de transmissão de energia elétrica,deseja-se encontrar uma solução para

que a distância percorrida pelos fios elétricos seja a menor possível, então

ajude os engenheiros a:

a)Representar cartesianamente esses pontos;

b)Encontrar a função da reta que passa por esses pontos;

c) Determinar a distância entre essas cidades.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM

GeoGebra

Atividade 1 - Dada a função f( x ) = 2 x -1 , preencha a tabela, determinando o

valor de f (x) para os valores atribuídos a x :

X f( x )

-2

-1

0

1

2

● Localize os pontos no plano cartesiano (malha), valores de x na reta

horizontal e valores de f (x) na reta vertical;

● Ligue os pontos ;

● O que você observa, qual é a característica desse gráfico?

● Se aumentamos os valores de x o que acontece com o valor de y ?

●Qual é o valor de x, quando y = 0 ?

● Qual é o valor de y, quando o x = 0 ?

Atividade 2 – Dada a função f ( x ) = - 2 x – 4 :

a) preencha a tabela, determinando os valores de y.

X y= f ( x )

- 1 f( - 1)= - 2. ( -1 ) – 4 = 2 - 4 = - 2

1

3

4

b) Localize os pontos no plano cartesiano e ligue-os;

c) Qual é a característica desse gráfico?

d) Quando você aumenta o valor de x o valor de y, aumenta ou diminui?

e) Qual é o valor de x, quando o y = 0 ?

f ) Qual é o valor de y, quando o x = 0 ?

Atividade 3 – Seja a função f igual a f ( x ) = - 3 :

a) Preencha a tabela , determinando os valores de f ( x ) para os determinados

valores de x dados.

b) Localize os pontos no plano cartesiano, ligando-os. Qual é a característica

desse gráfico?

c) Quando você aumenta o valor de x o que acontece com o valor de y ?

d ) Qual é o valor de x , quando o y = 0 ?

e) Qual é o valor de y , quando o x = 0 ?

Atividade 4 - Trace, na mesma janela gráfica, os gráficos da função y=x; y=5x

e y=1

2 x.

a) Os gráficos dessas funções apresentam que forma?

b) Todos os gráficos tem um ponto em comum, que ponto é esse?

c) Observe os três gráficos traçados e diga que relação você notou entre as

inclinações das retas e o coeficiente de x? Se for necessário trace mais

gráficos para ajudar, tais como, y=1

4x , y=3x, y=10x e y=

1

8x .

d)Sem traçar os gráficos, como acha que seria o aspecto das funções y=100x e

y=1

100 x.

Apague esses gráficos.

Atividade 5 - Agora, trace os gráficos das funções y=2x e y=-2x.

a) O menor ângulo formado por essas retas com o eixo x é o mesmo? Essas

retas são simétricas em relação ao eixo y?

b) No gráfico da função y=2x, observe os valores de x; se ele cresce, o que

acontece com os valores de y?

X f(x)

- 1

0

2

3

c) No gráfico da função y=-2x, observe os valores de x; se ele cresce, o que

acontece com os valores de y?

d) Desenhe os gráficos das funções, y=x+2; y=x+1 e y=x-1. O que você

observa sobre a inclinação das retas?

e) Que relação você observa em relação ao coeficiente “b” da função e o ponto

onde os gráficos cortam o eixo y?

Apague os gráficos.

Atividade 6 - Trace, na mesma janela, os gráficos das funções y=x; y=x+3;

y=x-4.

a) Em que ponto cada reta intercepta o eixo y.

b) Que relação você observa entre a interseção da reta com o eixo das

ordenadas (eixo y) e o a lei de formação dessa função.

Atividade 7 - Trace o gráfico das funções y=-x, y=-x+3 e y=-x-4.

a) Em que ponto cada reta intercepta o eixo y.

b) Que relação você observa entre a interseção da reta com o eixo das

ordenadas (eixo y) e o a lei de formação dessa função.

Atividade 8 - Sem traçar os gráficos, identifique quais das seguintes funções

são crescentes e quais são decrescentes: y=2x, y=1/3x, y=3x+1, y=-1/4x, y=-

3x+2, y=3x. Qual fator lhe permitiu identificar está propriedade?

Atividade 9 - Função afim usando o software geogebra.

1º No campo de entrada digite a=1, de enter

2º No campo de entrada digite b=1, de enter

3º No campo de entrada digite y=a*x+b, de enter.

a) Qual a função para o gráfico representado?

b) Para variar o valor de “a”, clique no valor “a” e depois clique na seta (↑), cada

vez que a tecla é apertada o valor de a aumenta. O que acontece com o ângulo

da reta com o eixo “x”? Depois clique na seta (↓), cada vez que a tecla é

apertada o valor de a diminui. O que acontece com o ângulo, agora?

c) Em que circunstância a reta ficará paralela ao eixo x?

d) Faça o mesmo para o valor de „‟b”. O que acontece com o ângulo, agora? E

com o ponto onde corta o eixo y?


Contextos & Aplicações, Dante, página 76, exercícios 15 18, 19 E 20. (Obs.:

Esses exercícios serão resolvidos com apoio do GeoGebra).

*Numa função afim, quando o valor coeficiente angular ( a ) é maior que zero,

esta função é chamada de crescente e o seu gráfico é uma reta ascendente, ou

seja, aumentando o valor de x , aumenta o valor de y. E quando o valor do

coeficiente angular ( a ) é menor que zero esta função é chamada decrescente

e seu gráfico é uma reta em declínio, assim sendo, o valor de x aumenta e o

valor de y diminui.

*O coeficiente linear ( b ) é o valor onde o gráfico corta o eixo y.

*O zero ou raiz da função é o valor onde o gráfico corta o eixo x.

FUNÇÃO MODULAR

1) O que você entende por módulo?

2) O que é módulo de um número?

3) Você já ouviu falar em função modular?

4) Pois bem, complete a tabela abaixo e construa o gráfico usando como lei a

função f(x)= │x │

X y = │x │

-3

-1

0

1

3

a) O que você observa?

b) Qual é o domínio dessa função?

c) Qual é a imagem da função?

*Portanto, para todo x maior ou igual a zero temos que f(x) = x e para todo x

menor que zero temos que f(x) = - x.

A essa função damos o nome de função módulo ou função modular.

5) Calcule:

a) |+5|= b) |-3|= c) |-3/2|= d) |0|=

e) |5-3|= f) |2-8|= g) |2-4|+3= h) -4+|-4|=

i) 5+|-2²| +|2-6| - 12= j) ||-2|+3-5|=

6) Com auxílio do professor, resolva as equações:

a) |4x+1| = 9 b) |x²-3x+1|=1

GeoGebra

Atividade 1- Construa no mesmo plano cartesiano as seguintes funções,

identificando-as com cores diferentes.

a) f (x) = │-x│

b) g(x) = │x │

c) h(x) = -│x │

d) Após a construção dos gráficos, o que você pode observar?

e) Que formato tem o gráfico?

f) Como ele se posiciona no plano cartesiano?

Atividade 2- Construa no mesmo plano cartesiano as seguintes funções,


a) f ( x ) = │x │- 1

b) g ( x ) = │x │+ 2

c) Após a construção dos gráficos, o que você pode observar?

d ) Que formato tem o gráfico ?

e) Como ele se posiciona no plano cartesiano?

Atividade 3- Construa no mesmo plano cartesiano, as seguintes funções,


a) f ( x ) = │x – 1 │

b) g ( x ) = │x + 2 │

c) Descreva qual é a diferença entre as funções e seus gráficos da atividade 2

e da atividade 3.

Atividade 4 - Construa no mesmo plano cartesiano as seguintes funções,


a) f (x) = │x-1│+3

b) g (x) = │x+2│+ 3

c) h (x) = │2x-4│-1

d) Após a construção dos gráficos, o que você pode observar?

e) Que formato tem o gráfico?

f) Como ele se posiciona no plano cartesiano?



Após a conclusão dos exercícios do livro didático,

fazer o exercício 59, utilizando o GeoGebra e comparar com o mesmo

exercício realizado em sala de aula.

Atenção

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Atividade 1- A cidade A está localiza em um mapa sob as coordenadas (2,1) e

a Cidade B está localizada com as coordenadas (5,5). Conforme a figura

abaixo: como poderemos calcular a distância entre a cidade A e a cidade B.

a)Que conhecimentos trazemos das séries anteriores para explorar essa

atividade?

b) No software geogebra, construa o ponto A e o ponto B e meça a distância

entre esses dois pontos.

Atividade 2- Observe o desenho abaixo e calcule a distância de C até B:

a) Como são representados os lados do triângulo retângulo?

Hipotenusa= Catetos=

b) Escreva abaixo o Teorema de Pitágoras

c) Usando as coordenadas x1, x2, y1, y2, como podemos representar os

catetos?

b= c=

d) O valor da hipotenusa (a), é também a distância de C até B, que iremos

representar por d (distância entre dois pontos). Agora, substitua o d pela

hipotenusa e os valores encontrados no item c no teorema de Pitágoras.

e) Isole a variável d na equação acima.

Observe que a distância dos dois pontos(d) está em função da posição ( x2- x1

e y2 - y1 ) dos pontos. Essa é a equação usada para calcular a distância entre

dois pontos em um plano.

O ponto é o elemento básico da geometria e na matemática muitas vezes

relacionamos elementos geométricos e algébricos, um dos conceitos básicos

da geometria analítica é a distância e como sabemos a menor distância entre

dois pontos é uma reta. Contudo na geometria analítica esses pontos recebem

coordenadas cartesianas e através dessas coordenadas podemos encontrar o

valor da distância entre esses dois pontos.

Atividade 3- Utilizando a fórmula encontrada, calcule a distância entre os

pontos dados abaixo:

a) A(2,1) e B(6,4)

b) C(-3,2) e D(2,3)

c) E(-2,-1) e F(2,2)

d) G(2,-2) e H(6,-3)

e) I(5,1) e J(9,1)

f) K(1,-2) e L(-1,1)

GeoGebra

Atividade 4- Com o auxílio do GeoGebra, construa os segmentos de reta dados

acima e verifique se os valores encontrados estão corretos.

TAXA DE VARIAÇÃO

Atividade 1- A indústria de fogões 3 E produz fogões artesanais para vender

em todo o Brasil e toda a região do mercosul, sua principal filosofia é construir

fogões para cozinhar, aquecer e embelezar. O custo fixo de cada fogão é R$

800 , mais um custo variável de R$ 50 por fogão. Sendo x o número de fogões

produzidos:

a) Escreva a lei que fornece o custo total de x peças;

b) Indique a taxa de variação dessa função e seu valor inicial;

c) calcule o custo de 120 fogões.

d) Sendo o lucro total estimado com as vendas no valor de 25 % do valor do

custo total. Qual será o lucro depois de vendido os 120 fogões?

Em qualquer função f; R → R, quando damos uma acréscimo h a uma variável

x, passando de x para x + h, há, em correspondência, um acréscimo f ( x + h )

– f ( x ) no valor da função.

Dados x e x+h números reais, com h diferente de zero, o número:

chama-se taxa de variação média da função f no intervalo de [ x , x + h ].



FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU

Atividade 1- O grêmio estudantil do Colégio Estadual São João Bosco

organizou um campeonato interno de futsal. O possível número de equipes

inscritas deve variar entre 12 e 19 e estas deverão disputar o campeonato

jogando duas vezes contra uma outra equipe (turno e returno). Assim, o

número p de partidas do campeonato será dado em função do número n de

equipes escritas.

a) Construa uma fórmula genérica para a atividade 1;

b) Qual é a variável dependente nessa função? E qual é a variável

independente?

c) Qual a diferença entre a função afim estudada anteriormente e a função

encontrada no item a?

d) Qual é o maior expoente da função dada acima.

e) construa uma tabela relacionando os possíveis números de partidas com o

possível número de equipes inscritas nesse campeonato.

b) Será considerada campeã a equipe que somar o maior número de pontos,

sendo considerando 3 pontos por vitória e 1 ponto no caso de empate e

nenhum ponto no caso de derrota. Em caso de empate entre duas os mais

equipes será considerada campeã a equipe com o maior número de derrotas.

Está certo este raciocínio?

Atividade 2 – O setor imobiliário no Brasil está em ascensão e muitas pessoas

tem aproveitado essa oportunidade para investir neste setor. A construtora

MCMV & CIA LTDA, construiu na cidade de Pato Branco 3 salas comerciais na

forma de um quadrado cuja medida dos lados é x . Cada sala possui um

depósito com a mesma largura e 2 metros de profundidade e ainda um lavabo

com 3 m2 de área.

a) Qual é a medida do lado sabendo que a área total é 513 m2?

b) As salas foram vendidas separadamente e o custo total da construção para

cada m2 é de R$2000,00, qual foi o valor pago por cada sala.

Uma função f : R → R chama-se do segundo grau, quando existem

números reais a, b e c , com a diferente de zero , tal que f ( x ) = a x2 + b x

+ c para todo x que pertence aos números reais.


Contextos & Aplicações, Dante, página 103, exercícios 1 ao 4

Atividade 3 – f é função de IR em IR, dada por f(x)=2x²-3x+4. Determine:

a) f(-2)

b) f(10)

c) f(0)

d) f(-6)

e) f(2)

Atividade 4 – Os alunos do 8º ano do Colégio Estadual São João Bosco ,

formaram grupos para construir alguns painéis, cada painel formado por um

polígono regular convexo e suas respectivas diagonais. O polígono deverá ter

no máximo 10 lados. Sabe-se que a fórmula para calcular o número de

diagonais [d(n)] é dado por d(n)= ( )

a) Construa uma tabela relacionando os possíveis números de lados com o

número de diagonais que podem aparecer nos trabalhos dos alunos.

b) Quais os valores que podemos utilizar para a variável n(domínio da função)?

c) Quais os valores que podem ser aceitos para o número de diagonais

(imagem da função)?

d) Escreva os valores que você obteve no item “a” para o número de diagonais

(contradomínio da função)?


Contextos & Aplicações, Dante, página 106, exercícios 5 ao 14

Ao fazermos y=f(x)=0, ou seja, ax²+bx+c=0, as vezes obtemos valores de x

pertencente ao conjunto dos números reais, a esses valores denominamos

raízes ou zeros da função.

Encontrando as raízes da função:

1) Usando a fórmula de Bháskara: √

Para utilizarmos está fórmula precisamos conhecer os valores dos coeficientes

a, b e c.

Considerando ∆=b²-4ac, dizemos que se:

∆>0, termos duas raízes reais

∆=0, teremos uma raiz real ( dupla )

∆<0, não teremos raízes reais

2) Relacionando coeficientes e raízes da equação

x‟+x‟‟=

e x‟.x‟‟=

Atividade 5 – Determine as raízes das funções dadas:

a) y=x²-5x+9

b) y= x²-81

c) y=-x²+3x+4

d) f(x)=x²-5x+6

e) f(x)=x²+2x+2

f) f(x)=2x²-3x+1

g) y=x²+4x-5

h) y= x²+4(1-x)

i) f(x)= 8x(6-x)

j) f(x)= 9+x(x-6)



GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

GeoGebra

Atividade 1- Dada a função f(x)= x²-5x+4.

a) preencha a tabela:

f(-2) f( -1) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5)

f(x)

b) Localize os pontos no plano cartesiano

c) Ligando os pontos, como fica o gráfico?

Atividade 2- Na barra de entrada do geogebra escreva pelo menos três funções

quadráticas e deixe indicado em seu caderno os valores dos coeficientes a, b e

c (resposta pessoal)

a) Como são os desenhos dos gráficos dessas funções ?

b) A concavidade desses gráficos apontam para a mesma direção?

c) Os valores do coeficiente a podem ser positivos ou negativos, o que isso

influência no desenho do gráfico dessa função?

Atividade 3

a) Construa um deslizante a, que varia de -10 a +10

b) Na caixa de entrada escreva a função y=a*x²-4x+2

c) Movimente o deslizante e escreva o que você observa:

d) Quando “a” é positivo como fica a concavidade da parábola?

e) Quando “a” é negativo como fica a concavidade da parábola?

f) Quando o gráfico se torna uma reta, qual o valor da a? Existe alguma relação

com a função afim? Justifique.

*O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

*Os valores do coeficiente a é determinante para saber como será a

concavidade dessa parábola; uma vez que se a é maior que zero a

concavidade está voltada para cima e se a é menor que zero essa concavidade

será voltada para baixo.

Atividade 1- No geogebra trace o gráfico das seguintes funções quadráticas:

f(x)=x2+2, g(x)=x2+1, h(x)=x2-1, i(x)=x2+2, examine e compare esses gráficos

Atividade 2 – No geogebra trace o gráfico das seguintes funções quadráticas:

f(x)= - x2+2, g(x)= -x2+1, h(x)= - x2-1, i(x)= - x2+2, examine e compare esses

gráficos.

Ponto de mínimo e ponto de máximo

De modo geral se a é maior que zero o ponto de mínimo de f(x)=a x2+ k é ( 0,k)

e se a é menor que zero o ponto de máximo será f(x)=a x2+ k é ( 0,k).


Contextos & Aplicações, Dante, página 115, exercícios 32 a 34.

Atividade 3 – Construa três deslizante a, b e c variando de ( -5 a 5 ), na caixa

de entrada digite a função; f(x)= a*x^2+ b*x + c.

a) Explorando o deslizante, altere o valor de a?

b) Em que momento a curva fica voltada para cima e que momento fica voltada

para baixo?

c) Variando o valor do coeficiente b, o que modifica no gráfico.

d) Ao alterar o valor de c, o que acontece com o gráfico?

PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO

GeoGebra

Atividade 1- Na caixa de entrada digite y = x2 – 6 x + 8 .

a) Como ficou a concavidade dessa parábola? Ela está voltada para cima ou

para baixo?

b) É possível identificar o valor mínimo de y nessa função? Qual é esse valor?

c) É possível identificar um valor máximo para essa função? Caso seja

possível, qual será esse valor?

Atividade 2 – Na caixa de entrada digite y = - x2 – 6 x + 8

a) Como ficou a concavidade dessa parábola? Ela está voltada para cima ou

para baixo?

b) É possível identificar o valor mínimo de y nessa função? Qual é esse valor?

c) É possível identificar um valor máximo para essa função? Caso seja

possível, qual será esse valor?

No gráfico de uma função quadrática podemos observar que:

Se o valor do coeficiente a é maior que zero a concavidade da parábola estará

voltada para cima ( ponto de mínimo ) e caso o valor desse coeficiente seja

negativo a concavidade estará voltada para baixo ( ponto de máximo )

Atividade 3 – Na caixa de entrada digite a função y = x2 – 6 x + 8

a) Crie um ponto no vértice desta parábola. Quais são as coordenadas desse

ponto?

b) Como podemos calcular o valor do xv sem utilizarmos a ferramenta ponto do

geogebra?

c) Sabendo o valor do xv , como poderemos encontrar o yv ?

Obs: O caso acima é facilmente resolvido se dispusermos do gráfico da função.

No caso, de termos apenas a função poderemos calcular as coordenadas do

vértice da parábola da seguinte forma:

V =

,

Atividade 4 – Dadas as seguintes funções, determine se elas possuem ponto

de máximo ou ponto de mínimo e as coordenadas desses pontos.

a) y = x2 – 3x - 6

b) y = - 3 x2 – 6x + 2

Atividade 5 - Os alunos do primeiro ano do Colégio Estadual São João Bosco

estão planejando uma visita ao Rio de Janeiro. Procuraram a direção da escola

e ouviram do diretor que as receitas da escola são pequenas e não podem ser

destinadas para esta finalidade. Por fim, resolveram procurar uma empresa

prestadora de serviços de transportes rodoviários que lhes informou sobre os

custos da viajem. O responsável pela empresa disse que sua empresa prima

pela qualidade dos serviços e pelo bom atendimento a seus clientes. Como

ficou sabendo que estes eram alunos do ensino médio, propôs a eles um

desafio que o preço final seria definido por uma regra que atribuísse à empresa

o máximo lucro. Ficou definido que a empresa aluga seus ônibus somente com

uma condição: para cada ônibus 40 ou mais passageiros. Se o número de

passageiros for exatamente 40, cada um pagará R $ 350,00. Haverá um

abatimento de 5,00 para cada passageiro que exceder os 40. Como a

capacidade de cada ônibus é de 60 passageiros, qual deverá ser o número de

passageiros em cada ônibus, a fim de que a empresa obtenha a maior receita

possível ? Qual o valor da receita máxima?

6. Referências:

BORBA, Marcelo de Carvalho / PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 3ª edição. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. D‟AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje? Temas e Debates. SBEM. Ano II. N2.Brasília.1989. Acesso em 17/04/2014 http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf DANTE, Luiz Roberto. Matemática conceitos e aplicações. 2ª edição. São Paulo. Ática . 2014 HOHENWARTER, Markus. GeoGebra.org, disponível em http://www.geogebra.org/, acessado em 21 de junho de 2014. KOLODZIEISKI, Josiane de Fátima. O software GeoGebra como ferramenta para o ensino da matemática. XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática, 2011. Disponível em: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/937/supp/937-2439-1-SP.pdf. Acessado em 09/04/2014. MENNA BARRETO, Marina. Tendências atuais sobre o ensino de funções no ensino médio. http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midiasdigitaisII/moduloII/pdf/funcoes.pdf- em 03/05/2014 as 16 e 48. MORAN, José Manuel. A educação que desejamos: Novos desafios e como chegar lá. 5ª Ed. – Campinas, SP: Papirus, 2011. MORAN, José Manuel, Novas tecnologias e mediação pedagógica / José Manuel Moran, Marcos T. Masetto, Marilda Aparecida Beherens. – Campinas, SP: Papirus, 2000. – (Coleção Papirus Educação) LIMA, Elon Lages. A matemática do ensino médio. 6ª edição. Rio de Janeiro. 2012 . PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: SEED/DEPG,2008. PONTE, J. P. O conceito de função no currículo de Matemática. Revista APM, Portugal. N.15, p . 3-9. 1990 PRETTO, Nelson De Lucca. Uma escola sem/com futuro – Campinas. SP: Papirus, 1996. – (Coleção Magistério: Formação e Trabalho Pedagógico) RAPOSO, Rui Pedro. Tecnologias na Educação Matemática – Novas Ferramentas, dentro e fora da Sala de Aula – Uma exploração com o

http://educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf

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http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/937/supp/937-2439-1-SP.pdf.%20Acessado%20em%2009/04/2014

http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midiasdigitaisII/moduloII/pdf/funcoes.pdf-%20em%2003/05/2014%20as%2016%20e%2048

http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midiasdigitaisII/moduloII/pdf/funcoes.pdf-%20em%2003/05/2014%20as%2016%20e%2048

Geogebra. 2011. Disponível em: http://www.apm.pt/files/_EM113_pp37-42_4e00b6c7cf8b3.pdf, acessado em 09/04/2014. VIGOTSKI, Lev Semenovich,1896-1934. A FORMAÇÃO SOCIAL DA MENTE – O desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. L / S . Vigotski; organizadores Michael Cole... [ et al .] ; tradução José Cipola Neto, Luís Silveira Menarreto, Solange Castro Afeche. 7ª edição. São Paulo. Martins Fontes. 2007. Villardi, Raquel. Tecnologia na Educação: Uma perspectiva sócio-interacionista/ Raquel Villardi & Eloiza Gomes de Oliveira- Rio de Janeiro: Dunya.2005.144p http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2008/09/uso-de-jogos-no-ensino-da- matemtica.html#!/2008/09/uso-de-jogos-no-ensino-da-matemtica.html -acessado em 05/05/2014 as 15horas e 36minutos

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