OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2014

Título: MODELAGEM MATEMÁTICA MEDIANDO O ESTUDO DE FUNÇÕES NO ENSINO FUNDAMENTAL

Autor: Ângela Esteves

Disciplina/Área:

Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Carmela Dutra – EFM – R: Juiz de Paz Antonio Ferreira Sobrinho,325

Município da escola: Guaraci

Núcleo Regional de Educação: Londrina

Professor Orientador: Lourdes Maria Werle de Almeida

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Londrina

Relação Interdisciplinar:

Não há

Resumo:

O objetivo deste projeto é desenvolver com alunos do 9º ano um estudo do conteúdo de funções mediado por atividades de Modelagem Matemática, buscando através desta metodologia que trabalha com situações-problema do cotidiano do aluno, proporcionar aos mesmos um ambiente de aprendizagem no qual eles possam problematizar, investigar, efetuar registros de informações e utilizar o tratamento adequado para que se possa obter e validar modelos, levando à compreensão de um conceito matemático de maneira mais atrativa e contextualizada. Ao implementar este projeto na escola, será feito o uso também do software Geogebra no decorrer dos trabalhos.

Palavras-chave:

Funções, Modelagem Matemática, Geogebra

Formato do Material Didático: Caderno Pedagógico

Público: Alunos

APRESENTAÇÃO

Este Caderno Pedagógico faz parte do Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE, da disciplina de Matemática e apresenta o desenvolvimento de

quatro situações de Modelagem Matemática que mediam o estudo de funções junto

aos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.

As atividades aqui elencadas referem-se ao primeiro e segundo momentos

da Modelagem Matemática, as quais direcionam para o ensino de função linear e

quadrática. São utilizados também recursos de informática, em especial o software

geogebra, por meio do qual serão construídos gráficos, para facilitar a resolução e a

aplicação das atividades propostas.

INTRODUÇÃO

Constantemente nos deparamos com informações de que os índices dos

nossos alunos em exames nacionais têm sido baixos. Rodrigues (2014), mostra um

levantamento destes índices considerando as séries iniciais do Ensino Fundamental.

Por outro lado, quando analisamos os currículos podemos observar que

conteúdos que já não são mais relevantes ainda são ensinados. Skovsmose (2008,

p.86) neste contexto considera que “professores têm crenças e escolas têm tradições

que resultam na sobrevivência de padrões educacionais mesmo depois de terem

perdido a função”.

Neste ensino por sua vez, segundo Skovsmose (2008), as aulas de

matemática geralmente ocorrem sob o paradigma do exercício, em que os professores

explicam o conteúdo para os alunos, mostram alguns exemplos e pedem para resolver

exercícios que são repetições dos exemplos dados.

Dentre as metodologias que podem tratar as atividades nas aulas de

matemática sob uma outra perspectiva está a Modelagem Matemática. A Modelagem

Matemática é uma tendência da Educação Matemática e seu uso em sala de aula vem

pautado na possibilidade de considerar problemas e situações do cotidiano dos alunos

nas aulas de matemática.

Neste sentido, a abordagem desses problemas pode viabilizar aos alunos

aprender novos conteúdos e utilizar outros assimilados em atividades ou séries

anteriores.

Assim, o trabalho proposto neste caderno pedagógico contempla quatro

situações-problema, cuja solução demanda a compreensão de funções, ou seja a

relação entre variável independente e dependente, as quais se encontram presentes

nas diversas áreas do conhecimento e modelam matematicamente situações

extraídas do cotidiano dos alunos, levando a uma melhor formação e construção do

conhecimento.

Após os procedimentos de modelagem, são apresentados quadros

explicativos da matemática envolvida no problema proposto e também sugestões de

atividades com o uso do geogebra a respeito dos conteúdos tratados.

MODELAGEM MATEMÁTICA

Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2012), a Modelagem Matemática é uma

alternativa pedagógica para as práticas de ensino e aprendizagem em matemática.

Tal alternativa consiste em uma abordagem, por meio da matemática, de uma

situação-problema não necessariamente matemática. Esses temas podem

contemplar as mais diversas áreas, sejam elas associadas à natureza, sociedade,

cultura.

O desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática

compreende algumas fases em que ações dos alunos visam, a partir de uma situação

inicial problemática encontrar uma solução, em geral, um modelo matemático.

Estas fases são caracterizadas em Almeida, Silva e Vertuan (2012) como:

inteiração, matematização, resolução, interpretação e validação. A figura 1 mostra

uma sequência, ainda que não seja linear, em que estas fases são identificadas.

Figura 1: Fases da Modelagem Matemática

Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 15)

Segundo os autores, considerando estas fases, ainda que não lineares, o

desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática compreende alguns

procedimentos bem definidos.

Primeiramente é preciso compreender a situação-problema que se

pretende estudar, organizando as informações obtidas em relação à mesma; a seguir,

o que se tem a fazer é definir ou hipóteses e procurar analisá-las; na sequência torna-

se necessário definir as variáveis essenciais envolvidas no problema, cujas relações

conduzem ao problema matemático que se precisa resolver; finalmente as possíveis

soluções encontradas são avaliadas.

Segundo Bassanezi (2002), pelo menos cinco argumentos para a inclusão

da Modelagem no currículo podem ser destacados: motivação, facilitação da

aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas,

desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel sócio

cultural da matemática.

Neste contexto, D’Ambrósio (1996) também aponta a necessidade de a

matemática assumir uma dimensão política, essencial ao desenvolvimento pleno da

cidadania, ponderando que a Modelagem Matemática pode contribuir para o

entendimento deste papel social da matemática.

Ainda que atividades de Modelagem Matemática possam ter contribuições

para a formação dos alunos conforme sugerem os autores é preciso considerar que

aos alunos de modo geral não estão acostumados com atividades dessa natureza.

Segundo Almeida e Dias (2007), essas atividades colocam os alunos em

contato com práticas que, de forma geral, não lhe parecem corriqueiras na sala de

aula, como é o caso do envolvimento com uma situação-problema e, em muitos casos,

com a própria definição de um problema.

Por essa razão as autoras apontam que adequado que atividades de

modelagem sejam introduzidas de forma gradativa nas aulas fazendo-se uma

familiarização gradativa dos alunos com a modelagem por meio de três momentos.

Inicialmente, num primeiro momento, o professor apresenta uma

situação já reconhecida por ele e desenvolve em conjunto com os alunos a

formulação das hipóteses, a investigação do problema e a dedução do modelo.

Num segundo momento, o professor sugere uma situação-

problema e apresenta algumas informações e os alunos, em grupos, realizam

a formulação das hipóteses, a investigação, a dedução e a validação do modelo

encontrado.

Num terceiro momento, os alunos, em grupos, são incentivados a

escolher um tema, o problema a ser resolvido e a realizarem todo o

procedimento de modelar o problema. Cabe ao professor assessorar o trabalho

dos alunos.

No projeto pedagógico que vamos desenvolver temos a intenção de que

nas atividades de Modelagem a abordagem da situação possa viabilizar a abordagem

de funções que possam ser aprendidas por alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.

Assim, o que almejamos é que as resoluções dos alunos possibilitem

representações e tratamentos diversificados, como o tabular, o gráfico, o algébrico e

o de linguagem natural para essas funções. É comum constatar a dificuldade que os

alunos apresentam em registrar essas diferentes representações de funções e em

fazer a escolha adequada desses símbolos em determinados contextos.

Almeida e Brito (2005) identificam a dificuldade de simplificar a linguagem

sistematizada no ensino do conceito de função. Segundo os autores, corre-se o risco

de que este conhecimento, ao ser apresentado numa linguagem mais intuitiva, se

torne incompreensível para o aluno devido às muitas especificidades inerentes ao seu

estudo.

Assim, uma alternativa para lidar com este problema, pode ser a análise da

produção dos alunos em situações de Modelagem Matemática em sala de aula

envolvendo o conceito de função.

Neste contexto, visamos com o projeto proporcionar aos alunos um

ambiente de aprendizagem no qual eles possam problematizar e investigar, por meio

da matemática, situações com referência na realidade.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

O desenvolvimento do projeto de intervenção na escola será feito por meio

de Modelagem Matemática, iniciando com duas atividades cujas informações

necessárias para o estudo das situações-problemas serão apresentadas pelo

professor aos alunos. Nestas atividades a definição do problema e a investigação para

a solução e validação do mesmo, serão realizadas em conjunto professor e alunos em

consonância com a caracterização do primeiro momento que apresentamos.

Ao término do 1º momento formam-se grupos de 4 a 5 alunos, iniciando

uma pesquisa a partir das questões propostas pelo professor. A pesquisa será

realizada usando-se livros, revistas, internet e entrevistas.

A partir da coleta de informações, inicia-se uma apresentação e discussão

dos dados coletados. Mediante as informações e também de outras a serem

fornecidas pelo professor, cada grupo definirá um problema, as variáveis e hipóteses

do mesmo. Neste 2º momento o professor fará as intervenções necessárias para a

resolução do problema atuando apenas como orientador.

Finalmente num 3º momento, os alunos irão desenvolver uma atividade de

Modelagem ainda em grupos. Para isso, irão escolher uma situação-problema e sem

a intervenção do professor, farão a coleta de informações e todo o processo de

desenvolvimento e resolução do mesmo. O professor neste momento permanece

apenas orientando e fazendo a sistematização dos conteúdos matemáticos que

emergem nessas atividades.

OBJETIVOS DAS ATIVIDADES

Objetivo Geral

Desenvolver com alunos do 9º ano um projeto pedagógico visando o ensino

e a aprendizagem do conteúdo funções mediado por atividades de Modelagem

Matemática.

Objetivos Específicos

Desenvolver um estudo para resolução de problemas do dia-a-dia, que

desencadeie o aprendizado de funções do 1º e 2ºgráus através de Modelagem

Matemática.

Analisar os diferentes registros feitos pelos alunos associados a funções

em atividades de Modelagem Matemática.

Elaborar uma proposta para o uso do software geogebra durante as

aulas de matemática envolvendo as atividades de Modelagem Matemática.

Despertar nos alunos o interesse de aprender matemática, resolvendo

problemas do dia-a-dia usando atividades de Modelagem Matemática.

PRIMEIRO MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

Atividade 1 – Custo com a locação de games

Nos dias atuais constatamos que crianças, adolescentes e jovens, na

faixa etária de 10 a 20 anos, preferem ocupar o seu tempo ocioso com jogos de game

do que com filmes.

A pirataria é algo presente em toda a indústria do entretenimento, seja na

música, no cinema ou nos games. A partir da geração do Playstation 3, já não se

consegue utilizar CD pirata, pois os aparelhos não funcionam direito.

O custo para aquisição de um CD de game original hoje varia de R$70,00

a R$170,00 por unidade, o que se torna um custo alto para um jogo que fica

praticamente sem utilidade depois de utilizado por três vezes.

Por não ser viável a compra de game pirata e novo, iniciou-se a atividade

de locação de games assim como as de filmes, por se tornar a melhor opção na

maioria das vezes.

Segundo dados coletados em uma das locadoras da cidade de Londrina a

locação de lançamentos é R$8,90 e de não lançamentos R$6,90, cujas locações são

válidas por 2 dias. Caso o locatário esqueça de devolver o CD no prazo ou queira ficar

com o CD de jogo por mais dias, será cobrado um adicional de R$3,00 por dia de

atraso.

Problemas

a) Encontre um modelo matemático que represente o valor a ser pago em

função do tempo que o cliente ficou com o CD de game.

b) Quando o cliente não entrega o CD no prazo de dois dias, compensa

devolver e fazer uma nova locação, ou compensa ficar com o jogo pagando pelos dias

de atraso?

Definição das variáveis

V= valor da locação (em reais)

t= tempo da locação (em dias)

Dados do problema

Quando o CD de game é entregue no prazo determinando paga-se

apenas o valor da locação.

Quando há atraso na entrega do CD de game, paga-se um acréscimo

diário de R$3,00.

Dedução do modelo para locação de lançamentos

Tempo em dias (t ) Valor a ser pago pela locação em R$ ( V )

2 V(2) = 8,90

3 V(3) = 8,90 + 3,00 = 11,90

4 V(4) = 8,90 + 3,00 + 3,00 = 14,90

5 V(5) = 8,90 + 3,00 + 3,00 + 3,00 = 17,90

.

.

.

t V(t) = 8,90 + 3,00. (t - 2) .

Dedução do modelo para locação de não lançamentos

Tempo em dias (t) Valor a ser pago pela locação em R$(V )

2 V(2) = 6,90

3 V(3) = 6,90 + 3,00 = 9,90

4 V(4) = 6,90 + 3,00 + 3,00 = 12,90

5 V(5) = 6,90 + 3,00 + 3,00 + 3,00= 15,90

.

.

.

t V(t) = 6,90 + 3,00 . (t - 2)

Quanto maior o atraso na entrega dos games maior o valor a ser pago pela locação

nas duas situações.

Analisando os valores calculados nas tabelas pode-se perceber que é

possível generalizar a situação com qualquer quantidade de dias de atraso utilizando

o modelo matemático para cada tipo de locação.

V = 8,90 + 3,00. (t - 2) (locação de lançamentos)

V = 6,90 + 3,00. (t - 2) (locação de não lançamentos)

Por meio manual e da utilização do software geogebra pode-se construir os

gráficos de cada função com os dados obtidos e perceber a relação de dependência

das duas grandezas (tempo e valor a pagar) e ainda, o registro dos seus pontos indica

a representação gráfica de uma função afim, ou seja função do primeiro grau, cujos

pontos não podem ser ligados formando uma reta, em virtude do domínio da função

ser formado apenas por números naturais pois trata-se de tempo em dias.

Para responder ao problema b) Quando o cliente não entrega o CD no

prazo de dois dias, compensa devolver e fazer uma nova locação, ou compensa ficar

com o jogo pagando pelos dias de atraso?

Para resolver esse problema algebricamente, é preciso considerar que o

valor adicional a ser pago por dias de atraso, corresponde a duas locações.

I)Se o cliente devolver o game e pegar novamente vai pagar: 8,90x2=17,80

II) Se o cliente ficar com o game por dois dias ele vai pagar: 8,90

III) Se ficar três dias:8,90 + 3,00. (3 - 2) =11,90

Se ficar 4 dias:8,90+3,00. (4 – 2)= 14,90

Se ficar com cinco dias:8,90+3,00 . (5 - 2)= 17,90

Assim podemos concluir que na locação de um game lançamento ou de um

que não é lançamento compensa ficar em atraso na entrega por apenas dois dias, a

partir desse tempo compensa entregar no prazo certo e fazer uma nova locação.

Gráficos dos modelos de locações de não lançamentos e de lançamentos de games construídos por

meio manual.

Gráfico do modelo de não lançamentos de games construído por meio do software geogebra.

Gráfico do modelo de lançamentos de games construído por meio do software GeoGebra.

Atividade 2

Cercas elétricas vêm sendo amplamente utilizadas na Europa e nos

Estados Unidos desde 1930. No Brasil, o uso desse equipamento tornou-se mais

significativo a partir da década de 1990.

A finalidade inicialmente proposta para a cerca elétrica era dividir áreas de

pastagens e lavouras. Atualmente ela é utilizada para auxiliar na segurança de

residências, estabelecimentos comerciais e industriais, entre outros locais.

O aumento do índice de violência, tanto no campo como na cidade, requer

equipamentos de segurança mais sofisticados. Portões altos, muros com pedaços de

vidro, grades na janela não são mais suficientes para evitar que residências e

estabelecimentos comerciais sejam invadidos. A cerca elétrica é uma alternativa para

ampliar o nível de segurança.

Em áreas residenciais, a cerca elétrica costuma ser ligada a uma central,

capaz de emitir descarga elétrica, afugenta o intruso sem causar maiores danos e, se

os fios forem cortados, um alarme é acionado.

Para Além da Matemática Há dois tipos de cerca elétrica à disposição no mercado: monitorada e não monitorada. A

cerca monitorada é aquela que permite a integração com uma central de alarme, que pode estar ligada ou não externamente a uma empresa de segurança eletrônica, podendo também, acionar alarmes e luzes quando tocada. Já a cerca não monitorada é aquela que possui as mesmas características da anterior, porém não está ligada a uma central de alarme.

Em ambos os casos há recomendações importantes para a instalação da cerca elétrica: deve estar instalada em locais altos (muros com no mínimo 2 m de altura); deve ficar voltada para o interior da área que se quer proteger; não pode ficar em contato com vegetação, como árvore, folhagens etc; e deve estar sinalizada.

Considerando o interesse em tratar da instalação de cercas elétricas na

aula de Matemática, estudantes obtiveram a informação de que estão disponíveis

duas opções desserviços para instalação de cercas elétricas, conforme o quadro a

seguir:

Preços de kits (pronto e montar) para instalação de cercas elétricas residenciais

Conteúdo Opção 1 (kit pronto) Opção 2 (kit a montar)

Central

}R$370,00

R$180,00

Bateria R$ 60,00

Sirene R$ 25,00

Haste de aterramento

Cerca (20 metros com 4 fios)

__________

Valor do metro de cerca (4 fios)

R$5,00 R$ 4,50

Conversando com a Sala de Aula

Os alunos podem obter informações de valores de kits em empresas de instalação de cercas elétricas da cidade e a partir delas desenvolver a atividade.

Na situação em estudo, optou-se por kits compostos por uma central, uma bateria, uma sirene e uma haste de aterramento. Variações na quantidade de cada um desses componentes podem ocorrer de acordo com a extensão da área cercada.

Na situação são consideradas as informações:

Na opção 1, o valor do kit é de R$370,00, e paga-se R$5,00 por metro

de cerca que exceder 20m;

Na opção 2, tem-se um valor fixo de R$300,00 e cada metro de cerca

custa R$4,50.

A partir dessas informações, qual a opção mais vantajosa para um cliente

que deseja instalar esse equipamento de segurança?

Consideramos o comprimento da cerca l, dado em metros, como variável

independente e o custo do kit 1 (C1) e o custo do kit 2 (C2), dados em reais , como

variáveis dependentes.

A fim de comparar os valores das opções, construímos as tabelas a seguir

que apresentam o custo de cada kit de acordo com o comprimento da cerca.

Custo (C1) da cerca usando a opção 1

l

(em m) C1

1 a 20 370

21 370 + 5 = 370 + 1.5

22 370 + 5 + 5 = 370 + 2.5

23 370 + 5 + 5 + 5 = 370 + 3.5

24 370 + 5 + 5 + 5 + 5 = 370 + 4.5

25 370 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 370 + 5.5

.

.

.

.

.

.

l 370 + (l -20) .5

Custo (C2) da cerca usando a opção 2

l

(em m) C2

1 300 + 4,50 = 300 + 1. 4,50

2 300 + 4,50 + 4,50 = 300 + 2. 4,50

3 300 + 4,50 + 4,50 + 4,50 = 300 + 3. 4,50

4 300 + 4,50 + 4,50 + 4,50 + 4,50 = 300 + 4. 4,50

.

.

.

.

.

. l 300 + 4,50 + 4,50 + 4,50 + ...+4,50 = 300 + 4,50. l

A partir dos dados das tabelas, podemos escrever as representações

algébricas para o custo da cerca elétrica em cada opção, como sendo:

C1 (l) = 370, se 0< l ≤ 20 e 370 + 5.(l- 20), se l > 20

C2 (l)= 300 + 4,5.l para l > 0

A representação gráfica desses modelos no software geogebra é

apresentada no gráfico abaixo

A análise do gráfico acima remete a discussão sobre qual opção é mais

vantajosa para a instalação de uma cerca elétrica residencial. O gráfico sinaliza que

em dois pontos (que correspondem a comprimentos de cerca e seu custo) esses

custos são iguais. Resta determinar quais são esses pontos e realizar a discussão

sobre a vantagem de uma opção ou outra. Para isso fazemos C1(l) = C2(l)

Na análise dessa igualdade em estudo, temos que considerar dois

intervalos para o comprimento de cerca, pois C1(l) é uma função definida por duas

sentenças.

FUNÇÂO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS

Chama-se função definida por várias sentenças qualquer função f : R em R dada por sentenças abertas, cada uma das quais está ligada a um domínio D, contido no domínio de f. Dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra, utiliza-se uma das sentenças

Para o caso em que 0 < l ≤ 20, C1 (l)= 370 e C2 (l) = 300 + 4,5 l

Da igualdade C1(l) = C2 (l), segue que 370 = 300 + 4,5l , ou seja,

l =15,56m

Assim, para l = 15,56 m o custo para as duas opções é R$370,00.

Já para o caso em que l > 20, C1 (l) = 370 + 5 ( l- 20) e

C2 (l) = 300 + 4,5 l a igualdade C1 (l) = C2 (l) implica em

370 + 5(l – 20) = 300 + 4,5 l

370 + 5 l -100 = 300 + 4,5 l

0,5 l = 300 – 270

l = 60 m

Portanto, para l = 60m o custo para as duas opções é R$570,00.

USANDO O COMPUTADOR: GEOGEBRA

O ponto de intersecção entre duas funções também podem ser encontrados utilizando uma ferramenta computacional. O software Geogebra possibilita a realização desse cálculo.

1) Inserem-se as funções, uma de cada vez, na Linha de Comandos. No primeiro caso, em que o custo da cerca elétrica é uma função definida por duas sentenças, é preciso separar em duas sentenças que chamaremos de f e g. Além

disso, como cada função está definida para um intervalo é preciso inserir o comando “função[<função>,<intervalo da função>]”. Dessa forma: para a primeira sentença digita-se f(x)=função[370, 0,20]; para a segunda sentença digita-se g(x)=função[370+5*(x-20), 20,250].

No segundo, utiliza-se a função h(x)=função[300+4.5*x,0,250]

2) Como as funções se interceptam em dois pontos, para encontrar o ponto de

intersecção entre as funções f e h, utiliza-se a ferramenta Intersecção de dois

objetos. Selecionando com o cursor cada uma das funções, obtêm-se

A(15,56,370).

3) O mesmo procedimento é realizado para as funções g e h, obtendo o ponto

B(60, 570).

Retomando a problemática do custo de instalação da cerca elétrica,

podemos concluir que:

para 0 < l < 15,56 m, a opção 2 é mais vantajosa;

para 15,56m < l < 60m, a opção 1 é mais vantajosa;

para l > 60m, a opção 2 é mais vantajosa.

Cabe, portanto, ao usuário a decisão por uma das opções disponíveis,

considerando a extensão da cerca que se pretende instalar.

SEGUNDO MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

Atividade 3

Escalonar jogos para competições esportivas é uma tarefa que requer

tempo e estudo dos profissionais que lidam com este tipo de problema. O motivo é

que para realizar esta tarefa as pessoas responsáveis se deparam com restrições e

regras e serem atendidas e objetivos diferentes a serem cumpridos.

Nesta atividade abordaremos um Campeonato Brasileiro de Futebol cujos

times se enfrentam em turno e returno, ou seja quando os times de uma competição

jogam duas vezes com cada um dos outros, sendo que um dos jogos é realizado em

sua sede e o outro é fora dela e em turnos diferentes.

É considerado o sistema ideal para campeonatos de ligas ou federações,

especialmente para esportes que admitem empate, como o futebol, futsal, xadrez e

damas, e por isso conhecido como sistema de campeonato.

Como o número de datas é grande, é preciso limitar o número de

competidores, sendo necessária a criação de divisões inferiores (2ª divisão, 3ª divisão,

etc., às vezes também chamadas de Série B, Série C, etc) e de um sistema anual de

acesso e descenso, também conhecido como promoção e rebaixamento.

Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com o outro,

em turno e returno, assim o número “p” de partidas do campeonato é dado em função

do número “n” de clubes participantes. Suponhamos que ao todo vai participar 10

times “A, B, C, D, E, F, G, H, I e J “, note que se pegarmos o clube “ A” ele só vai poder

enfrentar 9 clubes, do B em diante então temos que tirar o clube “A”. Acontece a

mesma coisa se pegarmos o clube “J”, ele só vai poder enfrentar o restante dos clubes

menos ele mesmo. Significa que nenhum clube pode se enfrentar, ele tem que

enfrentar algum outro.

Vinte clubes participam do Campeonato Brasileiro. Durante o decorrer da

temporada (de maio a dezembro), isso quer dizer que cada clube joga um total de 38

partidas. As equipes recebem três pontos por vitória e um por empate. Não são

atribuídos pontos para derrotas.

As equipes são classificadas pelo total de pontos, depois pelo saldo de gols

e, em seguida, pelos gols marcados. Em caso de empate entre dois ou mais clubes,

os critérios de desempate são os seguintes: maior número de vitórias; maior saldo de

gols; maior número de gols pró; confronto direto; menor número de cartões vermelhos

recebidos; menor número de cartões amarelos recebidos.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Campeonato_Brasileiro_de_Futebol (acesso dia

06.10.2014).

Problemas

a) Encontre um modelo matemático para determinar o número de partidas

do campeonato em função do número de clubes participantes.

b) No Campeonato Brasileiro de Futebol série A, participam ao todo 20

clubes, quantas partidas ocorrerão até o final do campeonato?

c) Nas 38 partidas que cada clube vai ter que participar, qual o saldo de

gols que um clube acumulará se vencer 12 partidas, empatar 10 e perder 6?

Definição de variáveis

n = número de clubes

p = número de partidas

Formulação de hipóteses

- Quanto maior o número de clubes participantes, maior o número de

partidas no campeonato.

Dedução do modelo

Número de clubes Número de partidas

2

3

4

5

6

.

.

.

n

2. (2-1) = 2

3. (3-1) = 6

4. (4-1) = 12

5. (5-1) = 12

6. (6-1) = 20

.

.

.

n . (n-1)

Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por:

p(n) = n(n-1) = n² - n, chegando assim a dedução do modelo, onde se

constata que se refere a uma função quadrática.

Utilizando os dados da tabela acima os alunos farão uso do software

geogebra para a construção de uma representação gráfica desta função quadrática,

a qual é representada por uma parábola.

Respostas dos problemas

b) Para saber o número total de partidas basta substituir no modelo

encontrado o número de clubes participantes, sabendo que o total de clubes é 20,

então temos:

p(20) = 20. (20-1)

p(20) = 20² - 20

p(20) = 400 – 20

p(20) = 380

c) saldo de gols acumulados pelo clube

saldo gols = 12. 3 + 10 . 1 + 6.0

= 36 + 10 + 0

= 46 gols

Atividade 4

Dono do maior potencial hídrico do planeta, o Brasil corre o risco de chegar

a 2015 com problemas de abastecimento de água em mais da metade dos municípios.

O diagnóstico está no Atlas Brasil – Abastecimento Urbano de Água, lançado pela

Agência Nacional de Águas (ANA). O levantamento mapeou as tendências de

demanda e oferta de água nos 5.565 municípios brasileiros e estimou em R$ 22

bilhões o total de investimentos necessários para evitar a escassez.

Considerando a disponibilidade hídrica e as condições de infraestrutura dos

sistemas de produção e distribuição, os dados revelam que em 2015, 55% dos

municípios brasileiros poderão ter déficit no abastecimento de água, entre eles

grandes cidades como São Paulo, Rio de Janeiro, Salvador, Belo Horizonte, Porto

Alegre e o Distrito Federal. O percentual representa 71% da população urbana do

país, 125 milhões de pessoas, já considerado o aumento demográfico.

Fonte:http://www.progresso.com.br/caderno-a/brasil-mundo/brasil-pode-

enfrentar-falta-de-agua (acesso dia 11-10-2014)

Mesmo nos deparando com reportagens como esta e outras através das

mídias, não nos atentamos para a seriedade do assunto, apenas quando estivermos

sofrendo as consequências de nossos atos é que vamos parar, refletir e tentar mudar

as nossas atitudes, talvez já será tarde demais.

Mediante a reportagem é colocada a seguinte questão: Como economizar

e evitar o desperdício de água tratada?

Segundo informações uma torneira gotejando desperdiça 46 litros de água

num período de 24 horas, a mesma quantidade que um ser humano necessita para

suprir suas necessidades diárias.

Uma torneira com abertura de 1mm, o aparentemente fiozinho de água,

que escorre, será responsável por uma perda de 2068 litros em 24 horas. Se a

abertura for de 2mm, a perda será de 4915 litros diários. Para lavar as mãos, gastamos

aproximadamente 7 litros, ao escovar os dentes 18 litros, para se barbear 75 litros e

o uso de uma máquina de lavar louça 112 litros.

O que podemos fazer para evitar o desperdício e economizar água para

que ela não venha a faltar?

As respostas podem surgir a partir dos seguintes questionamentos:

Quanto tempo você gasta no banho?

Ao escovar os dentes você fecha a torneira?

Ao lavar a louça você fecha a torneira até ensaboar e só reabre para

enxaguar, ou deixa ligada direto?

Você utiliza mangueira para lavar o carro ou moto?

Você rega o jardim de sua casa todos os dias?

Há problemas de vazamento na sua casa?

Estes e outros questionamentos levam os alunos a refletir sobre o uso

indiscriminado da água e o porquê da sua falta.

Podemos utilizar este momento para questionar ao aluno: Você sabe qual

o consumo mensal de água em sua residência?

Mediante o questionamento pede-se aos alunos que tragam uma fatura de

água de sua residência para em conjunto verificar e entender o procedimento da

leitura mensal, esclarecendo que o consumo se dá pela diferença entre o registro

anterior e o atual do hidrômetro, os quais ficam expressos na fatura e que o cálculo

do valor a pagar se dá através de uma tabela de tarifas.

Como no município onde este projeto vai ser desenvolvido a companhia de

abastecimento que opera ali é a SANEPAR, utilizaremos a tabela a seguir que entrou

em vigor a partir de março de 2014.

Fonte: http://site.sanepar.com.br/clientes/nossas-tarifas(acesso dia

13/10/2014)

Como a maioria dos habitantes da cidade consomem menos de 30 m³ de

água pede-se para encontrar um modelo matemático que represente o valor a ser

pago em função do consumo de água até este limite.

Definição de variáveis

x= metros cúbicos consumidos (m³)

y= valor a pagar (em reais)

Dados do problema

O valor a ser pago por um consumo de até 10 m³ de água é de R$25,14

O valor a ser pago por um consumo acima de 10 m³ de água até um

consumo de 30 m³, corresponde a tarifa anterior acrescida de R$3,77 por m³ que

exceder.

Formulação de hipótese

Quanto maior o consumo de água maior o valor a ser pago nas faturas.

Dedução do modelo para o consumo acima de 10 m³ até 30m³

x (metros cúbicos consumidos) y (valor a ser pago em reais)

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 . . . x

25,14 25,14 + 3,77. (11-10) = 28,91 25,14 + 3,77. (12-10) = 32,68 25,14 + 3,77. (13-10) = 36,45 25,14 + 3,77. (14-10) = 40,22 25,14 + 3,77. (15-10) = 43,99 25,14 + 3,77. (16-10) = 47,76 25,14 + 3,77. (17-10) = 51,53 25,14 + 3,77. (18-10) = 55,30 25,14 + 3,77. (19-10) = 59,07 25,14 + 3,77 . (20-10) = 62,84 25,14 + 3,77. (20-21) = 66,61

.

.

. y = 25,14 + 3,77 . (x-10)

Analisando os valores calculados na tabela acima pode-se perceber que é

possível generalizar a situação com qualquer quantidade de consumo de m³ de água

até o limite de 30m³ por meio do modelo matemático representado pela expressão

y = 25,14 + 3,77 . (x-10)

Através do geogebra pode-se construir o gráfico, com os dados obtidos e

perceber a relação de dependência das duas grandezas (m³ e valor a pagar) e ainda,

o registro dos seus pontos indica a representação gráfica de uma função do 1º grau

representado por uma reta.

Os questionamentos levantados anteriormente com relação ao uso da

água podem ser apurados e com os resultados pode ser feito sua tabulação, cálculo

de porcentagem e ainda a construção de gráficos de barras e setores.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Professores. In: Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisa e

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SBEM, p. 253-268, 2007.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova

estratégia. São Paulo: contexto, 2002.

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Campeonato_Brasileiro_de_Futebol (acesso dia

06.10.2014).

http://www.progresso.com.br/caderno-a/brasil-mundo/brasil-pode-enfrentar-falta-de-

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http://site.sanepar.com.br/clientes/nossas-tarifas(acesso dia 13/10/2014)