Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

PROCUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICO

DE QUE FORMA É POSSÍVEL TRABALHAR A ÁREA DAS FORMAS

GEOMÉTRICAS ESPACIAIS NO CURSO TÉCNICO DE FORMAÇÃO DE

DOCENTES?

2013

Ficha para identificação da Produção Didático- Pedagógica

Professor PDE/2013

Título: Pintando os sólidos geométricos

Autor: Chiara Celi De Toni

Disciplina/ Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Rio Branco EFMNP

Município da escola: Santo Antônio da Platina

Núcleo Regional de Educação: Jacarezinho

Professor Orientador: Profª. Me. Sônia Regina Leite Merege

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Norte do Paraná – UENP/CCHE/CJ.

Produção Didático-pedagógico Unidade Didática

Público Alvo Quarto ano – Curso Formação de Docentes.

Localização Colégio Estadual Rio Branco – EFMNP –

Rua: Dezenove de dezembro, 1001 – Centro.

Apresentação

O estudo da Geometria é um conhecimento no qual os alunos apresentam dificuldades sobre sua contextualização. Vários pesquisadores abordam a importância da visualização e do manuseio dos objetos espaciais para que ocorra uma boa aprendizagem matemática. A proposta do projeto “ Pintando os sólidos geométricos” é fazer com que os alunos venham a gostar um pouco mais de Matemática, pintando e aprendendo as noções de área dos prismas, com as medidas das caixas de madeira de MDF. Com essa mistura de arte e cálculo, podemos levar os alunos a observarem que tudo que está a sua volta é matemática.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Geometria, sólidos e arte.

1. APRESENTAÇÃO

O colégio onde aplicarei o projeto “Pintando os sólidos geométricos”,

situa-se na cidade de Santo Antônio da Platina. O Colégio Estadual Rio Branco

- Ensino Fundamental Médio Normal e Profissionalizante, é o único da cidade

que tem o curso de Formação de Docentes.

Resolvi fazer uma Unidade Didática, envolvendo a matemática aplicada,

geometria plana e espacial (os prismas), para aplicar com a turma de quarto

ano de Formação de Docentes, que futuramente que passarão essa unidade

para seus pequenos alunos.

Vários pesquisadores abordam a importância da visualização e do

manuseio dos objetos espaciais para que ocorra uma boa aprendizagem

matemática. Sendo assim, é importante o curso de Formação de Docentes,

aprender a manusear, fazer, modelar e a calcular as áreas dos sólidos

geométricos, onde os mesmos irão trabalhar com crianças de 1º ao 5º ano.

Essa é uma das problematizações: de que forma é possível trabalhar a

área das formas geométricas espaciais no curso de Formação Docentes? Isso

proporcionará a aprendizagem de conteúdos matemáticos através de práticas

contextualizadas, visando a compreensão dos conhecimentos elaborados

cientificamente.

2. DESENVOLVIMENTO

Se observarmos à nossa volta, tudo o que se vê, é matemática. Desde a

natureza até mesmo nos monumentos arquitetônicos, onde a simetria é

considerada uma idéia de perfeição, no qual os poliedros são classificados

como simetria de faces, arestas e vértices.

Com essa idéia, primeiramente pedirei aos alunos procurarem em

revistas ou jornais todas as formas geométricas de figuras, para mostrar como

a matemática está envolvida no nosso cotidiano, nos pequenos detalhes que

nem imaginamos, e também para tirar a idéia de “odeio” matemática, que ela

pode ser divertida.

Para compreendermos melhor as situações, começaremos dando uma

introdução da geometria plana.

GEOMETRIA PLANA

INTRODUÇÃO

Na geometria há 3 conceitos importantes: ponto, reta, e plano.

1. PONTO : basta fazer uma marca no papel, e representamos com letras

maiúscula do nosso alfabeto. Exemplo:

A

2. RETA: na geometria a reta é imaginária e ilimitada nos dois sentidos, por

isso indicamos parte da reta no papel. Ela é representada pos letras do

alfabeto em forma minúsculas. Exemplo:

r

3. PLANO: o plano também é ilimitado em todas as direções, por isso

indicamos parte do plano. E representamos com letras do alfabeto grego.

Exemplo:

Figura 1: plano beta

Fonte: (Chiara De Toni), 2013

4. SEMI-RETA: é um conjunto de infinitos pontos e se colocarmos um ponto

nela , ela se divide em duas partes com origem no ponto, com outras

palavras, semi-reta tem começo e não tem fim. Exemplo

A r

5. SEGMENTO DE RETA: podemos dizer que o segmento de reta é finito, ou

seja, tem começo e fim e indicamos por pontos.Os pontos A e B são

extremidades do segmento, representa-se AB. Exemplo:

A B

Segmento

6. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO: é o ponto que divide exatamente no

meio do segmento de reta. Se M divide esse segmento em duas partes,

temos AM e MB . Exemplo:

A M B

1-Atividade

Observe e coloque nos espaços, quantos segmentos tem em cada figura.

.............................. ................................. .................................

Figura 2: hexágono Figura 3: retas Figura 4: quadrado

Fonte: (Chiara), 2013 Fonte: (Chiara), 2013 Fonte: (Chiara), 2013

.................................... ................................. ..............................

Figura 5: pinheiro Figura 6: paralelepípedo Figura 7: cubo

Fonte: (Chiara ), 2013 Fonte: (Chiara ), 2013 Fonte: (Chiara ), 2013

ÁREAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS

Considerando l como a medida dos lados , h a medida da altura , b a

medida da base e D diagonal maior e d diagonal menor, temos:

a) Área do Quadrado= por ele ter todos lados iguais , para calcular a área é

multilicar lado x lado ou elevar o lado ao quadrado.

A= l x l ou A= l2

Figura 8: quadrado

Fonte: (Chiara), 2013

b) Área do Retângulo = o produto da base (comprimento) com a sua altura

(largura) encontra-se a área do retângulo.

A = b x h

Figura 9 : retângulo

Fonte: (Chiara), 2013

c) Área do Paralelogramo = a área do paralelogramo é igual a do retângulo.

A= b x h

Figura 10: Paralelogramo

Fonte: (Chiara), 2013

d) Área do trapézio = para área do trapézio, somamos a base maior com a

base menor, multiplica pela sua altura e divide por dois.

A =

Figura11 : Trapézio

Fonte: (Chiara), 2013

2

h x b) (B

e) Área do Losango = Dado o losango, sua área é calculada pelas suas

diagonais.

A =

Figura12 : Losango

Fonte: (Chiara), 2013

f) Área do triângulo = a metade do produto da base com a altura do triângulo obteremos sua área.

Para triângulo eqüilátero também temos:

A = 2

h x b Ab = l

2 x 4

3

Figura13 : Triângulo

Fonte: (Chiara), 2013

g) Área do Hexágono Regular = no hexágono regular temos seis triângulos iguais, então multiplicando seis vezes a área do triângulo, teremos a área do hexágono.

A = 6 x 2

h x b

Figura14 : Hexágono

Fonte: (Chiara), 2013

2

d x D

2- Atividade Pedir que os alunos calcule a área de cada figura plana com os valores fornecidos a eles das arestas, altura, etc.

PRISMAS

Os prismas são compostos por duas faces paralelas e congruentes que chamamos de bases, e as faces laterais são retangulares, com exceção do cubo, e os lados de arestas. Também são poliedros convexos que podem ser retos (perpendicular a base) e oblíquo (inclinados)

Figura 15:cubo Fonte adaptado de: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300

Acesso em : 15 de ago 2013

Figura 16 : Prisma paralelepípedo retângulo Fonte adaptado de: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300

Acesso em : 15 de ago 2013

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300

Figura 17: Prisma Hexagonal Fonte adaptado de: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300

Acesso em : 15 de ago 2013

ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA

a) ÁREA DA BASE ( Ab ) = Para calcular a área da base de um prisma, é a mesma área da figura plana da base, ou seja, se for a base quadrada, é só calcular a área do quadrado.

b) ÁREA LATERAL (Al) = Calcule a área de um retângulo e multiplica pela

quantidade de retângulos da face lateral.

c) ÁREA TOTAL (AT) = a área total é somar duas vezes a área da base e somar a área lateral.

3- Atividade Construir os prismas de bases: triangular, quadrangular, paralelepípedo, pentagonal, hexagonal e o cubo com moldes e cartolinas coloridas. 4- Atividade Passar o vídeo O Artista e Matemática que se encontra no site: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910 Acessado 15de ago de 2013.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910

5- Atividade 1- Calcular a área da base, lateral e total dos prismas indicados abaixo:

a) triangular: aresta da base = 4 cm e aresta lateral -9cm b) paralelepípedo retangular: com arestas da base 6x3 cm e aresta

lateral2cm.

2- Um prisma de base quadrangular com aresta da base 4 cm e aresta lateral 6cm.Calcule a área da base, lateral e total:

3- Calcule a aresta do cubo sendo a área de uma face é 16 cm2

Figura 18 : cubo Fonte : http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=100 Acesso em : 15 de ago 2013 6-Atividade Mediremos as arestas da base, e laterais, da caixa de madeira de MDF e calcularemos a área total dessa caixa, como foi feito nos exercícios anteriores, mas agora com a prática.

RENDIMENTO DE TINTA

O rendimento de tinta que gastaremos para pintar a caixa de madeira, é só calcular com uma regra de três simples, como na lata de tinta comum branca de 3,6 litros indicado, diz-se que rende 70 m2 de mão, claro que isso varia com a marca e a porcentagem de água ou solvente misturado. Essa experiência foi feito com tinta látex com 50 % da lata misturada em água. Portanto :

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=100http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=100

l m2

3,6 ..................70 1 .....................x Multiplicando cruzado obteremos o valor x =0,051 m2 por litro. Já na lata pequena com 810 ml ou 0,81 litros pinta 16 m2 de mão.misturando 50% de água obteremos o mesmo resultado.

O valor da área total da caixa de madeira depois de calculado na atividade 6, o resultado da área será em cm2 , por esse lado teremos que transformar a regra de três simples que está em litros por metros quadrados, para mililitros e centímetros quadrados, usando a tabela de transformação de medidas, que encontra-se abaixo: km2 hm2 dam2 m2 dcm2 cm2 mm2 e 70 00 00 kl hl dal l dl cl ml 3 6 0 0 Depois de transformado é só fazer a regra de três simples em cm2 e mL, assim: ml cm2

3600 .....................70000 X .......................valor da área encontrada em cm2 EXEMPLO: Para uma área total de 140,79 m2 temos: mL cm2

3600 .......................70000 X ......................140,79 X= 7, 24 ml X= 7,24 ml de tinta por de mão pintada na caixa, como pintaremos 3 vezes de mão é só multiplicar por 3 e obteremos o resultado de tinta gasta para pintar a caixa , como o exemplo dado, x= 7,24 x 3 = 21,72 ml.

7-Atividade Calcular a área total da caixa e da tampa de madeira de MDF quadrangular e obter o rendimento de tinta gasta para pintar a caixa. Obs.: Não esqueça de multiplicar por 2 a área total porque, pintaremos a caixa por dentro e por fora, para depois jogar na regra de três. 8-Atividade Para terminar a caixa de madeira, faremos uma decoupage para terminar de enfeitar. 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A matemática é considerada uma ciência complicada, uns dizem que

não entendem nada e outros consideram um “bicho de sete cabeças”, mas se

pudermos relacionar o cotidiano com os cálculos numéricos, tudo fica mais fácil

de entender, pois a matemática só existe para provar numericamente, com

fórmulas ou princípios, o conceito e a prática já existentes.

A proposta do projeto “Pintando os sólidos geométricos” é fazer com que

os alunos venham a gostar um pouco mais da matemática, pintando e

aprendendo as noções de área, com as caixas de MDF. Com essa mistura de

arte e cálculo, podemos levar os alunos a observarem que tudo que está a sua

volta é matemática, a arquitetura principalmente.

Segundo Morin, uns dos sete saberes para uma boa educação no futuro,

diz que as conexões entre as disciplinas são ocultas, onde não é necessário

conhecer parte do contexto, mas sim o todo. Também a atualidade está

direcionada ao global, no qual não tem como ensinar parte da história, mas

toda a história. Pascal dizia no século XVII , “ [...] não se pode conhecer as

partes sem conhecer o todo, nem conhecer o todo sem conhecer as

partes. (MORIN 2000, p. 2)”

Antigamente, os povos acumulavam registros onde hoje são

classificados como álgebra elementar. Naquela época já se comparavam

formas, tamanhos e quantidades, mas o conhecimento matemático foi surgir

nos séculos VI e V a.C. e no contexto educacional só surgiu um século depois

na Grécia.

A obra de Euclides, os postulados, foram muito importante na educação

matemática, no qual seus conhecimentos continuam presentes na Educação

Básica. Do mesmo modo, as diretrizes curriculares da Educação Básica

resume( 2008, p. 39):

[...] dos axiomas e postulados, contempla a geometria plana, teoria das proporções aplicadas às grandezas em geral, geometria de figuras semelhantes, a teoria dos números incomensuráveis e estereometria – que estuda as relações métricas da pirâmide, do prisma, do cone e do cilindro, polígonos regulares, especialmente do triângulo e do pentágono.

A principal finalidade de se conhecer matemática era o desenvolvimento

do raciocínio lógico-dedutivo, no qual seu objetivo era relacionar os

adolescentes entre as atividades de arquitetura, comércio, artes.

Pesquisas feitas com estudantes brasileiros e norte-americanos, de

diferentes áreas de atuação, concluem que os estudantes universitários tem

como pensamentos que “arte” se expressa emoção, e “ciências” associa-se

com a razão. A arte está envolvida em tudo, portanto podemos afirmar que

existe arte na matemática, principalmente em geometria espacial.

Tanto o cientista quanto o artista têm como meta provar alguma tese

com seus experimentos, através de inspiração, criatividade e inteligência.

Araújo (2004, p.36) afirma: “ [...] não há consumo sobre as semelhanças e

diferenças entre ciência e arte nem mesmo entre os cientistas e os artistas.”

Para Froebel, criador do conceito jardim de infância, usar brinquedos

como cubo, bola, objetos com noções de geometria, faria estimular a

observação da criança. A manipulação desses objetos, a reflexão sobre as

figuras espaciais, futuramente transformar-se-ão em conceitos matemáticos.

De acordo com Araújo “Apenas mais tarde, esse conjunto estruturado de

brincadeiras seria transformado em conceitos e, mas tarde ainda, formalizado

em expressões matemáticas”. ( 2004, p. 113)

A visualização e o manuseio dos objetos espaciais são importantes para

uma boa aprendizagem matemática, onde manusear e raciocinar andam

juntos. A maioria das pessoas pensa que a matemática é mais técnica, mas a

matemática está também no pensar, no responder uma questão e até mesmo

na arte.

Na história temos poliedros perfeitos de Platão e semi-perfeitos de

Arquimedes, que foram utilizados como os primeiros modelos teóricos. A

simetria é considerada uma idéia de perfeição, na qual os poliedros são

classificados como simetria de faces (mesma forma geométrica), arestas e

vértices.

“O homem fez arte usando matemática e construiu matemática

observando as artes.” (informação verbal) 1. Nisso verificamos que o artista e a

matemática, precisam de inspiração, criatividade e Inteligência. O ser humano

respira matemática no seu cotidiano sem perceber, pois a matemática é a

estética do raciocínio.

Sob esta perspectiva Araújo alega que:

“ Nas artes plásticas, a relação entre arte e ciência também é antiga e nesse âmbito, podemos citar o uso que os renascentistas fizeram da matemática. Os pintores da época aplicavam princípios da matemática para conferir às telas a ilusão de volume, textura e proporção harmoniosas no intuito de reproduzir as feições anatomicamente corretas, em uma tentativa de retratar fielmente o corpo humano. (2004, p. 229)”

Pensando assim, resolvemos trabalhar com os prismas associados com

as caixa de madeira de MDF, em cuja prática podemos resolver a área total, o

volume e a quantidade de tinta que vai para pintar toda a caixa, com medidas,

fórmulas e pinturas.

1-Disponível em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910 Acessado 15de ago de 2013.Audivíduo.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910

LISTAS DE FIGURAS

Figura 1: plano beta

Fonte: (Chiara De Toni), 2013

Figura 2: hexágono

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 3: retas

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 4: quadrado

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 5: pinheiro

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 6: paralelepípedo

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 7: cubo

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 8: quadrado

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 9 : retângulo

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 10: Paralelogramo

Fonte: (Chiara), 2013

Figura11 : Trapézio

Fonte: (Chiara), 2013

Figura12 : Losango

Fonte: (Chiara), 2013

Figura13 : Triângulo

Fonte: (Chiara), 2013

Figura14 : Hexágono

Fonte: (Chiara), 2013

Figura 15:cubo Fonte adaptado de: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300 Acesso em : 15 de ago 2013

Figura 16 : Prisma paralelepípedo retângulo Fonte adaptado de: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300 Acesso em : 15 de ago 2013

Figura 17: Prisma Hexagonal Fonte adaptado de: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300 Acesso em : 15 de ago 2013

Figura 18 : cubo Fonte : http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=100 Acesso em : 15 de ago 2013

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=300http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=100http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=100

4. REFERÊNCIAS

ARAÚJO-JORGE (ORG), Tânia C. de. Ciência e arte. Encontros e Sintonias . Rio de Janeiro: SENAC rio, 2004. BARRETO FILHO, Benigno. et. al. Matematica. volume unico Sao Paulo: Ftd, 2000. CAVALCANTE,Luiz G. et al. Para saber Matemática. 2. ed. São Paulo: Saraiva , 2006. DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau.Fundamentos da matematica elementar:geometria plana. 4. ed. Sao Paulo: Atual Editora Ltda, 1985. GIOVANNI, José Ruy. et. al. A Conquista da Matemática. Teoria e aplicação. GIOVANNI, Jose Ruy; et.al. Matematica:fundamental. volume único. São Paulo: FTD, 1994 São Paulo:Renovada: FTD, 1992. MORIN, Edga.Os sete saberes necessários à educação do futuro.Boletim da SEMTEC-MEC. Ano 1. n.4. jun/jul/2000. http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910 http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=6910http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf

ANEXOS ANEXO A – PLANIFICAÇÃO DO PRISMA TRIANGULAR

Fonte:ANDRINI Álvaro, Praticando Matemática . 2 ed., São Paulo, Ed. Do Brasil, 2011

ANEXO B – PLANIFICAÇÃO DO PRISMA PENTAGONAL

Fonte:ANDRINI Álvaro, Praticando Matemática . 2 ed., São Paulo, Ed. Do Brasil, 2011

ANEXO C – PLANIFICAÇÃO DO PRISMA HEXAGONAL

Fonte:ANDRINI Álvaro, Praticando Matemática . 2 ed., São Paulo, Ed. Do Brasil, 2011

ANEXO D - PLANIFICAÇÃO DO CUBO

Fonte:ANDRINI Álvaro, Praticando Matemática . 2 ed., São Paulo, Ed. Do Brasil, 2011