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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7 Cadernos PDE II

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

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1. IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO–PEDAGÓGICA

Titulo: Utilizando o GeoGebra como estímulo ao estudo de funções afim e quadrática.

Autora Evelise Arlete Colodel

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Jardim Paraíso –

Almirante Tamandaré/PR.

Município da escola Almirante Tamandaré/PR.

Núcleo Regional de Educação

Área Metropolitana Norte

Professor Orientador Prof. Dr. Roberto C. Betini

Instituição de Ensino Superior

UTFPR- Curitiba

Relação Interdisciplinar

Resumo Este trabalho propõe incentivar o uso de tecnologias, em específico o software GeoGebra, que já se encontra instalado nos computadores do laboratório de informática no colégio que será implantado o projeto de intervenção pedagógica. Esta pesquisa visa através da intervenção do professor com o uso do software GeoGebra estimular o estudo de funções afim e quadrática pelo educando. No decorrer das aulas de matemática no Colégio Estadual Jardim Paraíso na sala de informática equipada com 20 computadores que possuem o software mencionado instalado. O público alvo serão os alunos de 1º ano do ensino médio do turno noturno no ano de 2015.

Palavras-chave Tecnologias - Software GeoGebra – Laboratório de Informática

Formato do Material Didático

Unidade Didática

Publico Alvo

Alunos do 1º ano do Ensino Médio

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Produção Didática Pedagógica na Escola

Evelise Arlete Colodel1

Roberto C. Betini2

Utilizando o GeoGebra como estímulo ao estudo de funções afim e quadrática

Unidade Didática apresentada no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE da Secretaria de Estado da Educação do Paraná em convênio com a Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Curitiba, como requisito para o desenvolvimento das atividades propostas para o biênio 2014/2015.

CURITIBA

2014

1 COLODEL, Evelise Arlete. Núcleo Regional de Educação Área Metropolitana Norte. Área de

atuação: Matemática. Professora PDE – 2014. 2 BETINI, Roberto C. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Professor Dr. Orientador PDE –

2014.

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Dedico este trabalho aos meus familiares, em especial a minha mãe Margarida L.T. Colodel e ao meu filho Wellerson D. C. Nunes, que se tornaram essenciais, pela compreensão, paciência e incentivos em todos os momentos.

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Agradecimentos

Ao meu bom Deus, que sempre está presente ao meu lado em todas as horas. A minha família que me motivou e que sempre que precisei estava ali para me ajudar. Ao professor Roberto C. Betini, pela orientação, dedicação e companheirismo nesta caminhada.

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SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. vi

2. APRESENTAÇÃO ................................................................................................... 9

3. SOFTWARE GEOGEBRA ..................................................................................... 10

4. UNIDADE DIDÁTICA ............................................................................................ 10

4.1 Objetivo geral ...................................................................................................... 10

4.1.1 Objetivos Específicos ....................................................................................... 10

4.2 METODOLOGIA .................................................................................................. 11

4.3 AVALIAÇÃO ........................................................................................................ 11

4.4 CRONOGRAMA .................................................................................................. 11

Tabela 1 – CRONOGRAMA ...................................................................................... 12

4. 5 ANEXOS ............................................................................................................ 13

Tabela 2 – ANEXOS.. ............................................................................................... 13

ANEXO 1 – Atividade-1: Conhecendo funções básicas do GeoGebra. ................... 14

ANEXO 2 – Atividade-2: Criando pontos e retas. .................................................... 15

ANEXO 3 – Atividade-3: Alterando a posição de objetos e apagando objetos. ....... 19

ANEXO 4 – Atividade- 4: Construindo o gráfico de uma função afim. ..................... 20

ANEXO 5 – Atividade-5: Resolução de problemas envolvendo função afim. .......... 23

Problema 1 ............................................................................................................... 23

Problema 2 ............................................................................................................... 26

Problema 3 ............................................................................................................... 27

Problema 4 ............................................................................................................... 29

ANEXO 6 – ATIVIDADE-6: CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO

QUADRÁTICA. .......................................................................................................... 32

ANEXO 7 – Atividade-7: Analise da concavidade da parábola em função do

coeficiente a. ............................................................................................................. 40

ANEXO 8 – Atividade-8: Analise do parâmetro b na construção do gráfico da

parábola da função quadrática. ................................................................................. 41

ANEXO 9 – Atividade-9: Analise do parâmetro c na construção do gráfico da

parábola da função quadrática. ................................................................................. 42

ANEXO 10 – Atividade-10: Raízes ou zero da função quadrática. .......................... 45

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ANEXO 11 – Atividade-11: Relação entre o sinal de ∆ (delta) e o número de raízes

da função quadrática. ................................................................................................ 49

ANEXO 12 – Atividade-12: Vértice da parábola. ..................................................... 52

ANEXO 13 – Atividade-13: Função Crescente ou decrescente. .............................. 56

ANEXO 14 – Questionário de avaliação do software GeoGebra: ........................ 61

ANEXO 15 – Ficha individual dos alunos de observações feitas pelo professor .. 62

5. REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 63

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Ícone do GeoGebra.

Figura 2 – Ícone do GeoGebra.

Figura 3 – Ferramenta novo ponto, no GeoGebra.

Figura 4 – Janela de visualização de dois pontos, no GeoGebra.

Figura 5 – Campo de entrada, no GeoGebra.

Figura 6 – Janela de visualização de três pontos, no GeoGebra.

Figura 7 – Ferramenta mover, no GeoGebra.

Figura 8 – Ferramenta reta definida por dois pontos, no GeoGebra.

Figura 9 – Reta que passa por dois pontos, no GeoGebra.

Figura 10 – Campo de entrada, Reta [A,C], no GeoGebra.

Figura 11 – Janela de visualização, retas a e b, no GeoGebra.

Figura 12 – Janela de álgebra, pontos A,B e C, no GeoGebra.

Figura 13 – Ferramenta mover, no GeoGebra.

Figura 14 – Ferramenta apagar objeto, no GeoGebra.

Figura 15 – Ícone do GeoGebra.

Figura 16 – Janela de álgebra, a=1, no GeoGebra.

Figura 17 – Janela de álgebra, b=1, no GeoGebra.

Figura 18 – Gráfico de uma função afim, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 19 – Ícone do GeoGebra.

Figura 20 – Nova janela, no GeoGebra.

Figura 21 – Exibir planilha, no GeoGebra.

Figura 22 – Planilha, no GeoGebra.

Figura 23 – Janela de visualização e planilha de f(x)=2x+8, no Geogebra.

Figura 24 – Gráfico de f(x)= 2,20 x + 4,60, no GeoGebra.

Figura 25 – Janela de álgebra e planilha, no GeoGebra.

Figura 26 – Campo de entrada, histograma no GeoGebra.

Figura 27 – Campo de entrada, histograma [lista1, lista2], no GeoGebra.

Figura 28 – Gráfico da função f(x) =0,10x+ 724, no GeoGebra.

Figura 29 – Planilha f(x)= 2x+50 sendo x˃0, no GeoGebra.

Figura 30 – Lista 1 e 2 na janela de álgebra no GeoGebra

Figura 31– Campo de entrada, função f(x)= 2x+50, no GeoGebra.

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Figura 32 – Pontos do x, na janela de álgebra no GeoGebra.

Figura 33 – Gráfico da função f(x)= 2x+50 no GeoGebra.

Figura 34 – Janela de álgebra, coeficientes a, b e c, no GeoGebra.

Figura 35 – Segmentos a, b e c, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 36 – Ponto A, sobre o eixo x, no GeoGebra.

Figura 37 – Campo de entrada no GeoGebra.

Figura 38 – Campo de entrada no GeoGebra.

Figura 39 – Ponto B, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 40 – Retas perpendiculares, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 41 – Intersecção de dois objetos e ponto C, janela de visualização, no

GeoGebra.

Figura 42 – Ferramenta exibir/esconder objetos, janela de visualização, no

GeoGebra.

Figura 43 – Ferramenta segmento, no GeoGebra.

Figura 44 – Propriedades, no GeoGebra.

Figura 45 – Estilo, no GeoGebra.

Figura 46 – Habilitar rastro, no GeoGebra.

Figura 47 – Campo de entrada p(x)=a*x^2+b*x+c, no GeoGebra.

Figura 48 – Gráfico da função p(x)=a*x^2+b*x+c no GeoGebra.

Figura 49 – Ferramenta mover no GeoGebra.

Figura 50 – Arquivo, gravar como, no GeoGebra.

Figura 51 – Ferramenta interseção de dois objetos, no GeoGebra.

Figura 52 – Ponto D, no GeoGebra.

Figura 53 – Ferramenta mover e propriedades, no GeoGebra.

Figura 54 – Básico e nome &valor, no GeoGebra.

Figura 55 – Gráfico da função -2x²-5x+4, no GeoGebra.

Figura 56 – Ícone do GeoGebra.

Figura 57 – Campo de entrada, a=1 enter, b=-6 enter e c=5 enter, no GeoGebra.

Figura 58 – Segmentos a, b e c, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra.

Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra.

Figura 61 – Interseção de dois objetos, no GeoGebra.

Figura 62 – Pontos A e B, interseção da parábola com o eixo x, no Geogebra.

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Figura 63 – Ferramenta mover no GeoGebra.

Figura 64 – Propriedades, no Geogebra.

Figura 65 – Básico, nome & valor no GeoGebra.

Figura 66 – Ponto A e B, no Geogebra.

Figura 67 – Campo de entrada, delta = b²-4ac, no GeoGebra.

Figura 68 – Janela de álgebra, delta =16, no GeoGebra.

Figura 69 – Gráfico da função 4x²-4x+1, no GeoGebra.

Figura 70 – Ponto E (0.5, 0), no GeoGebra.

Figura 71 – Gráfico da função x²-4x+3, no GeoGebra.

Figura 72 – Campo de entrada, Xv= -b/(2*a), no GeoGebra.

Figura 73 – Valor de Xv, na janela de álgebra, no Geogebra.

Figura 74 – Campo de entrada delta=b^2-4*a*c, no GeoGebra.

Figura 75 – Valor de delta, na janela de álgebra, no GeoGebra.

Figura 76 – Campo de entrada, Yv= -delta/(4*a), no Geogebra.

Figura 77 – Valor de Yv na janela de álgebra, no GeoGebra.

Figura 78 – Campo de entrada, Extremo[f], no GeoGebra

Figura 79 – Ponto c, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 80 – Eixo de simetria da parábola, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 81 – Ícone do GeoGebra.

Figura 82 – Parábola d, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 83 – Seletores a,b e c, na janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 84 – Campo de entrada,V= Vértice[d], no GeoGebra.

Figura 85 – Coordenadas do vértice, na janela de álgebra, no GeoGebra.

Figura 86 – Campo de entrada, Ponto[d], no GeoGebra.

Figura 87 – Ponto A, janela de visualização, no GeoGebra.

Figura 88 – Campo entrada, Tangente [A,d], no GeoGebra.

Figura 89 – Reta tangente à parábola d no ponto A, janela de visualização, no

Geogebra.

Figura 90 – Ponto A sobre o ponto V, reta tangente horizontal, janela de

visualização, no Geogebra.

Figura 91 – Gráfico da função -x²+x +1, janela de visualização, no GeoGebra.

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2. APRESENTAÇÃO

A qualidade de ensino está diretamente relacionada nos dias atuais ao uso

de novas tecnologias, mas também ao importante papel que o professor tem diante

desse uso e a sua contribuição, como orientador e incentivador desse processo.

Diante do contexto que vivenciamos dentro da escola e fora dela onde o uso de

novas tecnologias tem se tornado cada dia maior o professor deve buscar o suporte

dessas ferramentas adequando sua utilização para contribuir de forma a despertar

um maior interesse do aluno pelo aprender. Buscando assim criar um ambiente que

ofereça ao aluno motivação e estimulo valorizando o processo de construção do

conhecimento por ele, favorecendo reflexões, através de situações cotidianas

problematizadas (SCHMITZ, 2013).

As Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática diz que “O

trabalho com as mídias tecnológicas insere diversas formas de ensinar e aprender, e

valoriza o processo de produção de conhecimentos” (PARANÁ, 2008).

Neste estudo optamos por utilizar o software GeoGebra já instalado nos

computadores da escola no laboratório de informática com fins didáticos no estudo

de funções afim e quadrática, buscando investigar que contribuições podem ser

observadas como estimulo ao processo de ensino, integrando a prática pedagógica

com as tecnologias disponíveis.

Para dar mais dinamismo as aulas de matemática, propomos atividades que

favoreçam a compreensão de conceitos matemáticos, construções e analise de

gráficos e reflexões que permitam a resolução de problemas cotidianos que

favoreçam o processo de ensino dos conteúdos recortados.

Então se pretende verificar se o uso do software GeoGebra como ferramenta

de ensino de função afim e quadrática contribui para o interesse do aluno.

A produção didático-pedagógica aqui proposta está organizada através da

descrição de 13 atividades apresentadas em uma unidade didática. Inicialmente com

atividades de familiarização ao uso do GeoGebra e em seguida atividades que

contemplam os conteúdos função afim e quadrática na formulação de conceitos e

construções gráficas e sua interpretação e análise. O tempo previsto para a

implementação dessa unidade didática é de 32 horas/aula, incluindo ainda a

avaliação do software que será feita pelos alunos.

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3. SOFTWARE GEOGEBRA

Desenvolvido por Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg, é um

software de educação matemática livre para diferentes níveis de ensino do básico ao

universitário. Reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas gráficos, probabilidade,

estatística em um único ambiente (UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ,

2014).

O GeoGebra permite testar hipóteses, devido ao seu dinamismo. Pois ao

representar o gráfico de uma função na tela do computador, apresenta outras

janelas que mostram, expressão algébrica e planilhas com coordenadas dos pontos

que pertencem ao gráfico (PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA de São Paulo,

2014).

O software GeoGebra é um recurso que fornece condições que permitem a

elaboração de situações que favorecem a construção de conhecimentos pelo aluno.

Porém seu uso precisa ser mediado pelo professor a partir de atividades bem

elaboradas (ARAÚJO E NÓBRIGA, 2010).

4. UNIDADE DIDÁTICA

CONTEÚDOS ESTRUTURANTES: FUNÇÕES

CONTEÚDOS BÁSICOS: FUNÇÃO AFIM E QUADRÁTICA.

4.1 OBJETIVO GERAL

Contribuir, através da utilização do software GeoGebra para estimular o

estudo e a compreensão de conhecimentos sobre funções afim e quadrática.

4.1.1 Objetivos Específicos

Ambientar os alunos ao uso do software GeoGebra, de forma a fornecer

condições para sua utilização, promovendo a interatividade no ensino de

funções afim e quadrática.

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Analisar o potencial do uso do software GeoGebra no processo de ensino de,

funções afim e quadrática que possibilitem a formulação correta de leis de

formação, interpretação de tabelas e gráficos na disciplina de matemática;

Verificar a motivação do aluno, com o uso da ferramenta GeoGebra; através

de questionário;

Motivar o uso de tecnologias de comunicação e informação (TICs) pelos

alunos do 1º ano do ensino médio do Colégio Estadual Jardim Paraíso.

4.2 METODOLOGIA

Na sala de informática os alunos utilizarão os computadores com acesso a

internet e assistirão ao vídeo recomendado e então poderão carregar o software

GeoGebra já instalados nos computadores e explorar os seus comandos ao acaso.

Depois usarão o GeoGebra e realizarão as atividades de familiarização e outras

envolvendo funções afim e quadrática seguindo as instruções dos anexos.

4.3 AVALIAÇÃO

Os dados com as opiniões dos alunos sobre a aplicação do recurso no

ensino e aprendizagem das funções serão levantados através de um questionário,

descrito no anexo 14, formulado com perguntas relacionadas ao uso do software

GeoGebra no ensino de funções afim e quadrática. E ainda de observações de

mudanças de postura em relação ao envolvimento e interação do aluno, no processo

de ensino, feitas pelo professor, tais como melhora de disciplina, interesse,

motivação e participação nas atividades. Essas observações serão anotadas em

uma ficha de controle individual dos alunos, exposta no anexo 15, que será

preenchida pelo professor, no decorrer das atividades. Os resultados obtidos serão

tabulados, analisados e servirão para escrita do artigo no 2º semestre de 2015.

4.4 CRONOGRAMA

As atividades a serem desenvolvidas estão organizadas em anexos segundo

a Tabela 1, distribuídas em 32 horas/aula.

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TABELA 1

CRONOGRAMA

Atividade-1: Conhecendo funções básicas do GeoGebra.

Aulas 1 e 2 ANEXO-1

Atividade-2: Criando pontos e retas. Aulas 3 e 4

ANEXO-2

Atividade 3: Alterando a posição de objetos e apagando objetos.

Aulas 5 e 6

ANEXO-3

Atividade 4: Construindo o gráfico de uma função afim.

Aulas 7 e 8

ANEXO-4

Atividade 5: Resolução de problemas envolvendo função do 1º grau. Problemas: 1,2,3 e 4

Aulas 9,10,11 e 12

ANEXO-5

Atividade 6: Construção do gráfico da função quadrática.

Aulas 13,14,15 e 16

ANEXO-6

Atividade-7: Analise da concavidade da parábola em função do coeficiente a

Aulas 17 e 18 ANEXO-7

Atividade-8: Analise do parâmetro b na construção do gráfico da parábola da função quadrática.

Aulas 19 e 20 ANEXO-8

Atividade-9: Analise do parâmetro c na construção do gráfico da parábola da função quadrática.

Aulas 21 e 22 ANEXO-9

Atividade-10: Raízes ou zero da função quadrática.

Aulas 23 e 24 ANEXO-10

Atividade-11: Relação entre ∆(delta) e o número de raízes da função.

Aulas 25 e 26 ANEXO-11

Atividade-12: Vértice e parábola.

Aulas 27 e 28 ANEXO-12

Atividade-13: Função quadrática crescente e decrescente.

Aulas 29, 30 e 31

ANEXO-13

Questionário de avaliação do software GeoGebra.

Aula 32 ANEXO-14

Ficha individual dos alunos de observações feitas pelo professor.

No decorrer da elaboração das atividades

ANEXO-15

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4. 5 ANEXOS

Os anexos apresentados na Tabela 2, apontam os roteiros específicos para

cada atividade a ser implementada na unidade didática proposta a ser implementada

com os alunos no 1º semestre de 2014.

TABELA 2

ANEXOS

ANEXO 1

Atividade-1: Conhecendo funções básicas do GeoGebra.

ANEXO 2 Atividade-2: Criando pontos e retas.

ANEXO 3 Atividade-3: Alterando a posição de objetos e apagando objetos.

ANEXO 4

Atividade-4: Construindo o gráfico de uma função afim.

ANEXO 5

Atividade-5: Resolução de problemas envolvendo função afim.

ANEXO 6

Atividade 6: Construção do gráfico da função quadrática.

ANEXO 7

Atividade-7: Analise da concavidade da parábola em função do

coeficiente a

ANEXO 8

Atividade-8: Analise do parâmetro b na construção do gráfico da parábola da função quadrática.

ANEXO 9

Atividade-9: Analise do parâmetro c na construção do gráfico da

parábola da função quadrática.

ANEXO 10 Atividade-10: Raízes ou zero da função quadrática.

ANEXO 11 Atividade-11: Relação entre ∆(delta) e o número de raízes da função.

ANEXO 12 Atividade-12: Vértice e parábola.

ANEXO 13 Atividade-13: Função quadrática crescente e decrescente.

ANEXO 14 Questionário de avaliação do software GeoGebra.

ANEXO 15 Ficha individual dos alunos de observações feitas pelo professor.

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ANEXO 1 – ATIVIDADE-1: CONHECENDO FUNÇÕES BÁSICAS DO GEOGEBRA.

Objetivo:

Familiarizar o aluno com a interface do GeoGebra.

Tempo de aula previsto: aulas 1 e 2.

Acesse o endereço do site [1] e assista as aulas números 1 e 2 .

Carregue o GeoGebra no ícone da Figura 1 instalado na área de trabalho do

computador e explore seus comandos.

Figura 1 – Ícone do GeoGebra.

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ANEXO 2 – ATIVIDADE-2: CRIANDO PONTOS E RETAS.

Objetivo:

Familiarizar o aluno com a interface do GeoGebra.

Tempo de aula previsto: aulas 3 e 4.

Abra o software já instalado na área de trabalho do computador clicando

sobre o ícone da Figura 2.

Figura 2 – Ìcone do GeoGebra.

Ative a ferramenta novo ponto em destaque (janela 2) da Figura 3.

Figura 3 – Ferramenta novo ponto, no GeoGebra.

Clique em dois lugares distintos da janela de visualização aparente na Figura

4. E o GeoGebra criará e nomeará dois pontos A e B.

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Figura 4 – Janela de visualização de dois pontos, no GeoGebra.

Crie um terceiro ponto de coordenadas (2,-3) digitando no campo de entrada

visível na Figura 5 e de enter.

Figura 5 – Campo de entrada, no GeoGebra.

O GeoGebra criará e nomeará um terceiro ponto C que estará na janela de

visualização podendo ser observado na Figura 6.

Figura 6 – Janela de visualização de três pontos, no GeoGebra.

Se necessário você poderá mover o gráfico na ferramenta mover (12ª casa da

esquerda para a direita) destacado na Figura 7 para visualizar o ponto.

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Figura 7 – Ferramenta mover, no GeoGebra.

Clique na setinha ao lado esquerdo da janela de visualização e abrirá uma

persiana, clique e desclique nestes ícones e observe o que acontece.

Ative a ferramenta reta definida por dois pontos (3ª janela da esquerda para a

direita) em destaque, 1ª opção na persiana, ilustrada Figura 8.

Figura 8 – Ferramenta reta definida por dois pontos, no GeoGebra.

Clique sobre o ponto A e sobre o ponto B. O programa liga os dois pontos

através de uma reta que passa pelos dois pontos, visualizada na Figura 9.

Figura 9 – Reta que passa por dois pontos, no GeoGebra.

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Agora no campo entrada escreva Reta [A,C] (sem espaço) conforme Figura

10.

Figura 10 – Campo de entrada, Reta [A,C], no GeoGebra.

E o GeoGebra cria uma reta ligando o ponto A ao ponto C passando por eles

e nomeia as retas criadas a e b mostrado na Figura 11.

Figura 11 – Janela de visualização, retas a e b, no GeoGebra.

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19

ANEXO 3 – ATIVIDADE-3: ALTERANDO A POSIÇÃO DE OBJETOS E APAGANDO

OBJETOS.

Objetivo:

Familiarizar o aluno com a interface do GeoGebra.

Tempo de aula previsto: aulas 5 e 6.

Dê um duplo clique em uma das coordenadas dos pontos A, B e C que

aparecem na Janela de álgebra conforme Figura 12, altere-as e aperte enter.

Figura 12 – Janela de álgebra, pontos A, B e C, no GeoGebra.

Observe o que acontece com as retas na área gráfica.

Repita o procedimento para as demais coordenadas e observe a área gráfica.

Ative a ferramenta mover (janela 1) em destaque na Figura 13 e arraste os

pontos A, B e C. Observe o que acontece com as coordenadas dos pontos e

equações das retas na janela de álgebra. Selecione um objeto pressione a tecla del,

e observe o que acontece com o objeto selecionado.

Figura 13 – Ferramenta mover, no GeoGebra.

Ative a ferramenta apagar objeto (janela 12), 7 ª opção na persiana que se

abre, em destaque na Figura 14, selecione um objeto tanto da janela de visualização

quanto de álgebra.

Figura 14 – Ferramenta apagar objeto, no GeoGebra.

Observe o que acontece com o objeto selecionado.

Clique com o botão do lado direito do mouse sobre o objeto.

Explore as possibilidades que se abrem na persiana.

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20

ANEXO 4 – ATIVIDADE- 4: CONSTRUINDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM.

Objetivos:

Que o aluno compreenda que:

O gráfico de uma função afim é uma reta.

Ao alterar os coeficientes a função se altera.

Ao se alterar o valor de a (coeficiente angular) a função torna-se crescente (a˃0) ou

decrescente (a˂0).

Tempo de aula: aulas 7 e 8.

REFERENCIAL TEÓRICO

Uma função afim é aquela que transforma um número real x em outro

número real y onde y = ax + b, para algum a, b Є IR e a ≠ 0 (ARAÚJO E NÓBRIGA,

2010).

O número a chama-se taxa de variação da função f, mas também é

conhecido como declividade ou coeficiente angular.

O número b chama-se valor inicial da função f ou coeficiente linear.

(DANTE, 2013).

Uma função é crescente, se na medida em que aumentamos o valor de x,

então f(x), também aumenta e, é decrescente, na medida em que aumentamos o

valor de x, então f(x) diminui. (ARAÚJO E NÓBRIGA, 2010).

Abra o software já instalado no computador clicando sobre o ícone mostrado

na Figura 15.

Figura 15 – Ìcone do GeoGebra.

Na janela entrada, Figura 16 e 17, digite a=1 e de um enter, a janela ficará

vazia e a=1 aparecerá na janela de álgebra, conforme Figura 16.

Page 23: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

21

Figura 16 – Janela de álgebra, a=1, no GeoGebra.

Agora digite b = 1 e de um enter, o mesmo ocorrerá com b, conforme Figura

17.

Figura 17 – Janela de álgebra, b=1, no GeoGebra.

Então clique nas bolinhas brancas ao lado de a e b para que apareçam na

janela de visualização, observe a Figura 18.

Na janela entrada digite f(x) =a*x+b e de um enter, lembrando que f(x) =y.

Assim você criou o gráfico de uma função afim, conforme Figura 18.

Page 24: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

22

Figura 18 – Gráfico de uma função afim, janela de visualização, no GeoGebra.

a) O que você pode observar sobre o resultado gráfico obtido?

Resposta: Obteve-se uma reta.

b) Agora clique sobre o ponto que representa b=1 no segmento de reta e movimente

para a sua direita e esquerda. Observe o que acontece. Anote suas observações:

Resposta: Os valores de b modificam-se ficando positivos e negativos e a reta

move-se para cima e para baixo, porém não muda de inclinação. A função também

se modifica demonstrando que os valores de b tornam-se positivos ou negativos.

c) Faça o mesmo sobre o ponto a =1 no segmento de reta. Anote suas observações:

Resposta: Os valores de a modificam-se ficando positivos e negativos e a reta

inclina-se para a direita e para a esquerda. A função também se modifica

demonstrando que os valores de a tornam-se positivos ou negativos.

d) O que acontece com o gráfico da função se a é maior que 0 (a ˃0)? E que tipo de

função representa?

Resposta: Quando a˃0 o gráfico mostra a reta inclinada para a direita, ou seja

aumentando os valores de x aumenta os valores de y. Função crescente.

e) O que acontece com o gráfico da função se a é menor que 0 (a ˂0)? E que tipo de

função representa?

Resposta: Quando a ˂ 0 o gráfico mostra a reta inclinada para a esquerda, ou seja

aumentando os valores de x diminui os valores de y. Função decrescente.

f) E se você considerar a = 0, o que observa em relação ao gráfico?

Resposta: Que a reta fica paralela ao eixo x, que para qualquer valor de x o valor de

y permanece constante.

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23

ANEXO 5 – ATIVIDADE-5: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO

FUNÇÃO AFIM.

Objetivos:

Que o aluno compreenda as aplicações de função afim no cotidiano e seja capaz de

tomar decisões diante das reflexões feitas, realizando sua analise gráfica.

Tempo de aula previsto: aulas 9,10,11 e 12.

Problema 1- Um taxista cobra R$ 2,00 por quilômetro rodado, mais R$ 8,00

(bandeirada), considerando que o valor total a ser pago pelo passageiro será

chamado de y e que a quantia de quilômetros rodados de x. Responda:

a) Qual a parte fixa dessa função?

Resposta: R$ 8,00

b) Qual a parte variável dessa função?

Resposta: R$ 2,00

c) Escreva a lei de formação dessa função:

Resposta: y = 2,00 x + 8,00

d) Construindo o gráfico da função no GeoGebra.

Abra o software já instalado no computador clicando sobre o ícone da Figura

19.

Figura 19 – Ìcone do GeoGebra.

Abrira uma nova janela, conforme Figura 20.

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24

Figura 20 – Nova janela, no GeoGebra.

Clicar em exibir e escolha planilha, conforme Figura 21.

Figura 21 – Exibir planilha, no GeoGebra.

Ao clicar na opção planilha aparecerá a seguinte janela mostrada na Figura

22.

Page 27: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

25

Figura 22 – Planilha, no GeoGebra.

Na célula A1 digite x, na célula A2 1, e assim sucessivamente até a célula

A12,sempre dando enter.

Na célula B1 digite Y, na célula B2 digite 2 * A2 +8, e assim sucessivamente

até a célula A12, sempre dando enter.

Na célula C1 digite Pontos e na C2 (A1, B1) arraste até a célula C12, você

terá os pares ordenados (x,y) da função.

Na célula A15 digite Função e na B15 2*x+8 e de enter, na janela de

visualização aparecerá o gráfico, conforme a Figura 23.

Figura 23 – Janela de visualização e planilha de f(x)=2x+8, no Geogebra.

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26

Responda:

d) Quantos quilômetros foram percorridos se o passageiro pagou R$ 28,00 pela

corrida?

Resposta: 10 km

e) numa corrida onde foi percorrido 7 km, qual o valor pago pelo passageiro?

Resposta: R$ 22,00

Problema 2- Em almirante Tamandaré-PR um taxista cobra R$4,60 a bandeirada e

R$2,20 por quilômetro rodado, segundo o endereço do site [2].

a) Generalizando:

Resposta: 2,20 x + 4,60.

b) Construa o gráfico no GeoGebra para um percurso de 1 a 7 Km :

Obs.: Proceda conforme instruções do problema 1 para obter o gráfico, porém

colocando ponto para representar os decimais.

Aparecerá o seguinte gráfico mostrado na Figura 24.

Figura 24 – Gráfico de f(x)= 2,20 x + 4,60, no GeoGebra.

c) Esse gráfico representa que função?

Resposta: Função afim.

d) Se o passageiro pagou R$ 20,00,quantos quilômetros ele percorreu?

Resposta: 7 km.

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27

Problema 3 - Uma vendedora em uma loja de calçados tem seu salário composto

de uma parte fixa no valor de R$ 724,00, mais uma parte variável de 10% sobre o

valor de suas vendas no mês. Nos primeiros seis meses de trabalho os valores das

suas vendas foram conforme Tabela 3 abaixo:

Tabela 3

MESES E VALORES DE VENDAS.

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

- 1200 2400 2000 3200 4000 ?

Fonte: Autora (2014)

Sua meta para o sétimo mês (julho) é de conseguir vender R$ 5.000,00. Com

esses dados determine:

a) A função que define o seu salário:

Resposta: f(x) = 0,10x + 724

b) O valor que será o salário no sétimo mês se ele conseguir atingir a sua meta:

No GeoGebra, na barra de ferramentas clique em exibir planilha. Na planilha

que se abre ao lado da janela de visualização clique na célula A1 e digite meses, na

célula B1 salário, na célula C1 vendas e na célula A2 digite 1 (referente ao mês de

janeiro). De a sequencia dos meses nas células seguintes ate A8 na mesma coluna.

Na célula B3 digite a função que vai gerar o salário do mês =0.10*C3 + 724. Você

poderá copiar esta fórmula arrastando-a até a célula B8. Na célula C3 digite o valor

correspondente do total de vendas conforme a tabela no mês de fevereiro, na célula

C4 o valor de março e assim por diante até a célula C7. Na célula C8 digite 5000

que e o valor da meta que ele pretende alcançar. Selecione na planilha as células

A2 ate A8. Clique com o botão direito do mouse em criar e, depois em lista, na

janela de álgebra aparecera a lista 1 com os valores. Selecione as células B2 ate a

B8, clique com o botão direito do mouse em criar e depois em lista. Agora aparecera

a lista 2 com os valores, conforme Figura 25.

Page 30: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

28

Figura 25 – Janela de álgebra e planilha, no GeoGebra.

Resposta: 1224.

c) Construa um gráfico (histograma) referente aos salários mensais.

Para construir o gráfico (histograma), no campo entrada escreva histograma

e escolha a 1ª opção que se abre na persiana, conforme ilustrado na Figura 26.

Figura 26 – Campo de entrada, histograma no GeoGebra.

No campo de entrada apague tudo que estiver entre os colchetes e escreva

lista 1, lista 2, mostrada na Figura 27, e de um enter.

Figura 27 – Campo de entrada, histograma [lista1, lista2], no GeoGebra.

Assim você obterá o gráfico da função, conforme Figura 28.

Page 31: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

29

Figura 28 – Gráfico da função f(x) =0,10x+ 724, no GeoGebra.

Problema 4- Um terreno em Almirante Tamandaré em 2008 valia R$ 50.000,00.

Após dois anos, o mesmo terreno passou a valer R$ 54.000,00. Supondo que o

valor do terreno em função do tempo seja descrito por uma função do 1º grau em

que o tempo zero de 2008.

a) Determine a expressão do valor do terreno (y em reais) em função do tempo (x

em anos):

Resposta: f(x) = 2x + 50 sendo x ˃ 0

b) Qual será o valor do terreno em 2016?

Para responder essa questão no GeoGebra, clique na barra de ferramentas

para exibir planilha. Na planilha que se abre ao lado da janela de visualização clique

na célula A1 e digite tempo (x). Na célula B1 digite valor (y). Na célula A2 digite 0 e

na célula B2 digite 50000. Na célula A3 digite 2, como o valor do aumento é de dois

em dois anos, complete as células A4, A5 e A6 com os valores 4, 6 e 8

respectivamente. Na célula B3 digite 2000*A3+B$2, que representa 2000 por ano

multiplicado pelo tempo. Colocamos o $ no B2, pois essa célula deve ser fixa. Para

copiar esta formula arraste-a até a célula B6. Na célula C1 digite ano, na célula C2

digite 2004 e nas células C3, C4, C5 e C6 digite os próximos anos 2006, 2008, 2010

e 2012 respectivamente. Na célula D1 digite pontos e na célula D2 digite = (A2, B2).

Copie os pontos arrastando ate a célula D6. Com a tabela pronta, descobrimos que

o valor da casa em 2016, mostrado na Figura 29.

Resposta: R$ 66.000,00

Page 32: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

30

Figura 29 – Planilha f(x)= 2x+50 sendo x˃0, no GeoGebra.

c) Construa o gráfico da função:

Selecione tempo, células A2 até A6, para isso clique em A2 e arraste até A6.

Com botão direito clique em criar lista e a lista 1 aparecerá na janela de álgebra.

Faça o mesmo para o valor, células B2 até B6, e crie a lista 2. Mostrado na janela de

álgebra na Figura 30.

Figura 30 – Lista 1 e 2 na janela de álgebra no GeoGebra

No campo entrada digite a função f(x)= 2x+50 e de um enter, mostrado na

Figura 31.

Figura 31 – Campo de entrada, função f(x)= 2x+50, no GeoGebra.

Page 33: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

31

Para construirmos o gráfico da função, digite no campo de entrada f(x) =

2x+50 e de um enter. Agora você ira inserir os valores de x. Na caixa de entrada

digite x=0 e de um enter, digite x=2 e de um enter, digite x=4 e de um enter, digite

x=6 e de um enter, digite x=8 e de um enter. O gráfico já esta bem visível, conforme

Figura 32.

Figura 32 – Pontos do x, na janela de álgebra no GeoGebra.

Agora vamos inserir os pontos. No campo de entrada digite o ponto A= (2,54)

e de um enter, e assim sucessivamente com os outros pontos. Clique com o botão

direito do mouse em um ponto de cada vez e clique em propriedades, na aba básica

clique em exibir rótulo e em nome e valor, e aparecerá o resultado ilustrado na

Figura 33.

Figura 33 – Gráfico da função f(x)= 2x+50 no GeoGebra.

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32

ANEXO 6 – ATIVIDADE-6: CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO

QUADRÁTICA.

Objetivos:

Que o aluno compreenda e identifique o gráfico de uma função quadrática, pela

ilustração de que os pontos na forma (x,y) formam uma parábola.

Tempo de aula: aulas 13 e 14,15 e 16.

REFERENCIAL TEÓRICO

Uma função quadrática é aquela que transforma um número real x em um

outro número real y onde y = ax² + bx + c para algum a, b, c Є IR e a ≠ 0 (ARAÚJO

E NÓBRIGA, 2010).

Abra o GeoGebra, conforme instruções anteriores. No campo entrada digite

a=1 e de um enter, b=2 e de um enter e c=3 e de um enter, lembrando que a, b e c

representam os coeficientes da função quadrática. Os valores aparecerão na janela

de álgebra, conforme a Figura 34.

Figura 34 – Janela de álgebra, coeficientes a, b e c, no GeoGebra.

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33

Clique nas bolinhas brancas ao lado de a, b e c e os valores de a, b e c

aparecerão em segmentos na área de visualização conforme Figura 35.

Figura 35 – Segmentos a, b e c, janela de visualização, no GeoGebra.

Clique na Janela novo ponto (janela 2) e crie o ponto A sobre o eixo x,

conforme Figura 36.

Figura 36 – Ponto A, sobre o eixo x, no GeoGebra.

Digite a expressão a*x(A)^2+b*x(A)+c no campo de entrada e de um enter,

conforme Figura 37.

Page 36: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

34

Figura 37 – Campo de entrada no GeoGebra.

Observações:

Multiplicado por = *

Elevado a = ^

x(A) = abscissa do ponto A

Então aparecerá um valor d na janela de álgebra, que representa o valor de

p(x) na função p(x) = x² + 2x + 3, para x igual ao valor da abscissa do ponto A.

No campo de entrada, digite (0,d),conforme Figura 38.

Figura 38 – Campo de entrada no GeoGebra.

Então o valor de d será transferido para o eixo y e um ponto B aparecerá,

conforme Figura 39.

Figura 39 – Ponto B, janela de visualização, no GeoGebra.

Crie uma reta perpendicular ao eixo y que passa pelo ponto B e uma reta

perpendicular ao eixo x que passa pelo ponto A. Para isso ative a ferramenta reta

perpendicular (janela 4) clique no ponto B e depois no eixo y , depois clique no ponto

A e depois no eixo x, ilustrado no Figura 40.

Page 37: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

35

Figura 40 – Retas perpendiculares, janela de visualização, no GeoGebra.

Ative a ferramenta intersecção de dois objetos (janela 2) e obtenha o ponto C

clicando na intersecção das retas e e f, conforme Figura 41.

Figura 41 – Intersecção de dois objetos e ponto C, janela de visualização, no GeoGebra.

Ative a opção exibir/esconder objeto na persiana da janela 12, clique sobre as

retas perpendiculares e e f e aperte esc e essas retas desaparecerão, conforme

Figura 42.

Page 38: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

36

Figura 42 – Ferramenta exibir/esconder objetos, janela de visualização, no GeoGebra.

Crie os segmentos A e C, B e C que serão automaticamente rotulados g e h.

Para isso ative a ferramenta segmento na persiana da 3ª janela, conforme Figura 43.

Figura 43 – Ferramenta segmento, no GeoGebra.

Mude o estilo dos segmentos g e h para isso clique sobre o segmento e

aparecera uma persiana, escolha a opção propriedades, conforme Figura 44.

Page 39: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

37

Figura 44 – Propriedades, no GeoGebra.

Uma nova janela se abrirá, escolha a opção estilo e mude para pontilhado,

um segmento de cada vez, ilustrado na Figura 45.

Figura 45 – Estilo, no GeoGebra.

Clique com o botão direito sobre o ponto C e escolha na persiana que se abre

a opção habilitar rastro, conforme Figura 46.

Page 40: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

38

Figura 46 – Habilitar rastro, no GeoGebra.

No campo de entrada digite a expressão p(x)=a*x+b*x+c, conforme Figura 47.

Figura 47 – Campo de entrada p(x)=a*x^2+b*x+c, no GeoGebra.

Pressione enter e o GeoGebra criará o gráfico da função, ilustrado na Figura

48. Se for necessário você poderá movimentar o gráfico na janela de visualização,

para isso clique na ferramenta mover janela de visualização (janela 12) em destaque

na Figura 48.

Figura 48 – Gráfico da função p(x)=a*x^2+b*x+c no GeoGebra.

Page 41: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

39

Selecione a opção mover (janela 1) em destaque na Figura 49.

Figura 49 – Ferramenta mover no GeoGebra.

Movimente os pontos a, b e c dos segmentos na janela de visualização e

observe o que acontece com o gráfico.

Movimente o ponto A no eixo x e observe o que acontece com o ponto C.

Desabilite o rastro criado no ponto C, clicando sobre ele e opção habilitar

rastro conforme indicado na Figura 46.

Clique em arquivo, na persiana que se abre, escolha a opção gravar como, e

grave esse arquivo, conforme Figura 50.

Figura 50 – Arquivo, gravar como, no GeoGebra.

Este arquivo será usado em atividades posteriores.

Page 42: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

40

ANEXO 7 – ATIVIDADE-7: ANALISE DA CONCAVIDADE DA PARÁBOLA EM

FUNÇÃO DO COEFICIENTE a.

Objetivo:

Que o aluno perceba a relação entre o sinal do coeficiente a e a concavidade da

parábola estar voltada para cima (côncava) ou para baixo (convexa).

Tempo de aula: aulas 17 e 18.

REFERENCIAL TEÓRICO

Dizemos que uma parábola é convexa se a concavidade da parábola esta

voltada para cima e côncava se a concavidade da parábola esta voltada para baixo

(ARAÚJO E NÓBRIGA, 2010).

O parâmetro a é o responsável pela concavidade da parábola, se a˃o,

concavidade voltada para cima, e se a˂o, concavidade voltada para baixo (DANTE,

2013).

Abra o arquivo que representa o gráfico da função p(x)=a*x^2+b*x+c

(construção feita no anexo 6). Acione a ferramenta mover ilustrada na Figura 49 e

modifique o valor do parâmetro a, movimentando para a sua direita e depois

esquerda, fazendo com que a fique positivo e negativo e observe o que ocorre com

a parábola no gráfico. Então responda:

a) O que acontece quando o parâmetro a assume valores positivos?

Resposta: A concavidade da parábola fica voltada para cima (convexa).

b) O que acontece quando o parâmetro a assume valores negativos?

Resposta: A concavidade da parábola fica voltada para baixo (côncava).

c) E se o parâmetro a for igual a zero?

Resposta: A parábola desaparece e surge uma reta, a função deixa de ser

quadrática e passa a ser afim.

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41

ANEXO 8 – ATIVIDADE-8: ANALISE DO PARÂMETRO b NA CONSTRUÇÃO DO

GRÁFICO DA PARÁBOLA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Objetivo:

Que o aluno perceba o papel do parâmetro b na construção do gráfico da função

quadrática.

Tempo de aula: aula 19 e 20.

REFERENCIAL TEÓRICO

O parâmetro b indica se a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente,

decrescente ou no vértice da parábola (DANTE, 2013).

O vértice da parábola corresponde ao ponto (x,y) simétrico em relação a um

eixo vertical.Podendo ser mínimo, parábola convexa, aquela em que a concavidade

da parábola está voltada para cima ou máximo, parábola côncava aquela em que a

concavidade da parábola está voltada para baixo (ARAÚJO E NÓBRIGA, 2010).

Proceda da mesma forma que na atividade anterior do anexo 7, modificando

agora o valor do parâmetro b fazendo com que fique positivo e negativo, observando

o que acontece com a parábola no ponto onde intercepta o eixo Y.Então responda:

a) Se b˃0, a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente ou decrescente?

Resposta: Crescente.

b) Se b˂0, a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente ou decrescente?

Resposta: Decrescente

c) Se b=0, a parábola intercepta o eixo y em que ponto?

Resposta: No vértice.

Page 44: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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ANEXO 9 – ATIVIDADE-9: ANALISE DO PARÂMETRO c NA CONSTRUÇÃO DO

GRÁFICO DA PARÁBOLA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Objetivo:

Que o aluno perceba o papel do parâmetro c na construção do gráfico da função

quadrática.

Tempo de aula: aula 21 e 22.

Vamos continuar usando o gráfico construído na atividade 6, caso o tenha

fechado abra o arquivo que representa o gráfico da função p(x)=a*x^2+b*x+c (

anexo 6). Ative a ferramenta interseção de dois objetos que se abre na persiana,

quando clica na janela 2 de ferramentas do GeoGebra, conforme mostra a Figura

51.

Figura 51 – Ferramenta interseção de dois objetos, no GeoGebra.

Marque a interseção da parábola com o eixo y, surgirá o ponto D, ilustrado na

Figura 52.

Page 45: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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Figura 52 – Ponto D, no GeoGebra.

Ative a ferramenta mover (janela 1), em destaque na Figura 53 e clique com o

botão direito sobre o ponto D. Selecione a opção propriedades na persiana que se

abre, conforme Figura 53.

Figura 53 – Ferramenta mover e propriedades, no GeoGebra.

Ao clicar em propriedades aparecerá a janela com a opção básico em

destaque, então altere o estilo do rótulo escolhendo nome & valor mostrado na

Figura 54. E feche esta janela.

Page 46: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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Figura 54 – Básico e nome &valor, no GeoGebra.

Então aperte a tecla esc e modifique o valor do parâmetro c. Clique na

ferramenta mover, em destaque na Figura 55 e modifique o valor de a para -2, b

para -5 e c para 4 e obterá o gráfico da Figura 55.

Figura 55 – Gráfico da função -2x²-5x+4, no GeoGebra.

Responda:

a) Por que a parábola sempre intersecta o eixo y num só ponto?

Resposta: Porque é o valor da função quando x é igual a 0.

b) Quais as coordenadas do ponto D, quando as coordenadas do ponto C são (1,6)?

Resposta: (0,3)

c) Qual a relação entre a ordenada do ponto D e o parâmetro c da função?

Resposta: O valor da ordenada é sempre 0 para o parâmetro c.

d) Qual será a equação da função para a=-2, b=-5 e c=4? Quais serão as

coordenadas do ponto D?

Resposta:Equação: -2x²-5x+4. Coordenadas D= (0,4).

Page 47: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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ANEXO 10 – ATIVIDADE-10: RAÍZES OU ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Objetivo:

Que o aluno compreenda que a parábola intercepta o eixo x nas raízes da função.

Ou seja, corresponde ao ponto(s) onde a função vale 0.

Tempo de aula: aulas 23 e 24.

REFERENCIAL TEÓRICO

O zero da função y=f(x) é um número que faz com que f( Do ponto

de vista gráfico, este ponto ( é o local onde o gráfico da função f intercepta o

eixo x (ARAÚJO E NÓBRIGA, 2010).

Abra o software já instalado no computador clicando sobre o ícone mostrado

na Figura 56.

Figura 56 – Ìcone do GeoGebra.

No campo de entrada, digite a=1 enter, b=-6 enter e c=5 enter, e na janela de

álgebra aparecem os valores de a, b e c, ilustrado na Figura 57.

Figura 57 – Campo de entrada, a=1 enter, b=-6 enter e c=5 enter, no GeoGebra.

Page 48: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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Clique nas bolinhas ao lado e os segmentos aparecerão na janela de

visualização, conforme Figura 58.

Figura 58 – Segmentos a, b e c, janela de visualização, no GeoGebra.

No campo entrada, Figura 59, escreva a função f(x)= x^2 -6x +5 .

Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra.

De enter e o gráfico da função aparecerá na janela de visualização, conforme

Figura 60.

Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra.

Ative a ferramenta interseção de dois objetos (janela 2), em destaque na

Figura 61.

Page 49: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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Figura 61 – Interseção de dois objetos, no GeoGebra.

Então marque interseção da parábola (gráfico da função) com o eixo x,

clicando sobre os dois objetos, um de cada vez. Os pontos serão rotulados A e B,

mostrados na Figura 62.

Figura 62 – Pontos A e B, interseção da parábola com o eixo x, no Geogebra.

Ative a opção mover (janela 1), em destaque na Figura 63.

Figura 63: Ferramenta mover no GeoGebra.

Clique com o botão direito sobre o ponto A. Selecione propriedades, Figura

64.

Figura 64 – Propriedades, no Geogebra.

Page 50: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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Na persiana que se abrirá na guia básico mude o estilo do rótulo alterando

para nome & valor, Figura 65.

Figura 65 – Básico, nome & valor no GeoGebra.

Faça o mesmo para o ponto B, obtendo o resultado da Figura 66.

Figura 66 – Ponto A e B, no Geogebra.

Responda:

a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?

Resposta: A (1,0), B (5,0).

b) O que esses pontos representam na função? Justifique?

Resposta: As raízes ou zeros da função, pontos de interseção da parábola com o

eixo x.

Salve o arquivo, conforme instruções do anexo 6.

Page 51: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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ANEXO 11 – ATIVIDADE-11: RELAÇÃO ENTRE O SINAL DE ∆ (DELTA) E O

NÚMERO DE RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Objetivo:

Que o aluno seja capaz de relacionar o valor do ∆ (delta) com o número de raízes da

equação, e com o fato da parábola interceptar ou não o eixo x, em um ou dois

pontos.

Tempo de aula: aulas 25 e 26.

REFERENCIAL TEÓRICO

O delta é chamado discriminante da função quadrática e é representado pela

letra grega ∆, que representa o valor numérico da expressão b²-4ac (ARAÚJO E

NÓBRIGA, 2010).

Vamos usar o arquivo salvo no anexo 6. Abra o arquivo do anexo 6, e digite

no campo de entrada delta = b²-4ac, conforme Figura 67.

Figura 67 – Campo de entrada, delta = b²-4ac, no GeoGebra.

De enter, e aparecerá na janela de álgebra o valor do delta (∆) conforme

Figura 68.

Figura 68 – Janela de álgebra, delta =16, no GeoGebra.

Page 52: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

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Responda:

a) Qual o valor de delta para a f(x)= x²+2x+3?

Resposta: - 8

b) Qual a relação entre o valor de delta e a existência ou não de raízes nessa

função?

Resposta: Delta - 8 (∆˂0) e não existem raízes na função, pois a parábola não

intercepta o eixo x.

Altere os valores de a para 4, b para -4 e c para 1, conforme Figura 69.

Figura 69 – Gráfico da função 4x²-4x+1, no GeoGebra.

Responda:

c) Qual o valor do delta para f(x)= 4x²-4x+1?

Resposta: 0.

d) Qual a relação entre o valor de delta e a existência ou não de raízes nessa

função?

Resposta: Delta é igual a zero e existe uma raiz, pois a parábola intercepta o eixo x

em um ponto.

Você poderá determinar o valor das coordenadas desse ponto. Para isso clique em

ponto (janela 2), depois no ponto, com o botão direito e na persiana que se abre em

propriedades, na aba básico ,exibir rótulo altere para nome e valor, conforme figuras

53 e 54, e obterá o resultado da Figura 70.

Page 53: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

51

Figura 70 – Ponto E (0.5, 0), no GeoGebra.

Agora altere os valores de a para 1, b para -4 e c para 3, conforme Figura 71.

Figura 71 – Gráfico da função x²-4x+3, no GeoGebra.

Para obter as coordenadas do ponto F proceda conforme instrução anterior

para o ponto E.

Responda:

e) Qual o valor do delta para f(x)= x²-4x+3?

Resposta: 4.

d) Qual a relação entre o valor de delta e a existência ou não de raízes nessa

função?

Resposta: Delta é igual a 4 ( ∆˃0) e existe duas raízes, pois a parábola intercepta o

eixo x em dois pontos.

Page 54: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

52

ANEXO 12 – ATIVIDADE-12: VÉRTICE DA PARÁBOLA.

Objetivo:

Que o aluno compreenda que o vértice da parábola representa um ponto máximo ou

mínimo da função.

Tempo de aula: aulas 27 e 28.

REFERENCIAL TEÓRICO

Definimos por vértice da parábola o ponto ( onde a função atinge seu

valor máximo ou mínimo se for côncava (concavidade voltada para baixo) ou

convexa (concavidade voltada para cima), respectivamente (ARAÚJO E NÓBRIGA,

2010).

Abra o arquivo salvo na atividade 10. No campo de entrada, digite a

expressão Xv= -b/(2*a) e de enter, conforme Figura 72.

Figura 72 – Campo de entrada, Xv= -b/(2*a), no GeoGebra.

O valor do Xv aparecera na janela de álgebra conforme Figura 73.

Figura 73 – Valor de Xv, na janela de álgebra, no Geogebra.

Calcule o valor de delta digitando no campo de entrada delta=b^2-4*a*c,

conforme Figura 74.

Page 55: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

53

Figura 74 – Campo de entrada delta=b^2-4*a*c, no GeoGebra.

E o valor de delta aparecerá janela de álgebra, Figura75.

Figura 75 – Valor de delta, na janela de álgebra, no GeoGebra.

Agora no campo de entrada, digite a expressão Yv= -delta/(4*a), Figura 76.

Figura 76 – Campo de entrada, Yv= -delta/(4*a), no Geogebra.

O valor de Yv, aparecerá na janela de álgebra, Figura 77.

Figura 77 – Valor de Yv na janela de álgebra, no GeoGebra.

Page 56: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

54

Para obter o vértice da parábola, digite no campo entrada Extremo[f] , Figura

78.

Figura 78 – Campo de entrada, Extremo[f], no GeoGebra.

De enter, e assim será criado o ponto C, que representa o vértice da

parábola, Figura 79.

Figura 79 – Ponto c, janela de visualização, no GeoGebra.

Clique no ponto, com o botão direito, na persiana, clique em propriedades, na

janela básico, em exibir rótulo, escolha nome & valor, e as coordenadas do ponto C

aparecerão. No campo entrada digite v= Xv, e aparecerá uma reta vertical que

representa o eixo de simetria da parábola, Figura 80.

Page 57: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

55

Figura 80 – Eixo de simetria da parábola, janela de visualização, no GeoGebra.

Responda:

a) Qual a relação entre o vértice da parábola e o valor de a?

Resposta: O vértice será mínimo se a ˃0 e será máximo se a˂0.

Page 58: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

56

ANEXO 13 – ATIVIDADE-13: FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE.

Objetivo:

Que o aluno seja capaz de compreender em que ponto da parábola a função é

crescente ou decrescente.

Tempo de aula: aulas 29 e 30.

REFERENCIAL TEÓRICO

Quando a função é crescente em um ponto a reta tangente é crescente e,

quando a função é decrescente em um ponto, a reta tangente é decrescente. Nos

pontos mínimo e máximo, a reta tangente é horizontal (ARAÚJO E NÓBRIGA, 2010).

Abra o software já instalado no computador clicando sobre o ícone mostrado

na Figura 81.

Figura 81 - Ícone do GeoGebra.

No campo de entrada, digite a=1 enter, b=1 enter e c=1 enter, e por fim

y=a*x^2+b*x+c enter, na janela de álgebra aparecem os valores de a, b e c, e

y=a*x^2+b*x+c e na janela de visualização a parábola d criada, ilustrado na Figura

82.

Figura 82 – Parábola d, janela de visualização, no GeoGebra.

Page 59: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

57

Clique ao lado das bolinhas brancas correspondentes aos valores de a,b e c e

os seletores aparecerão na janela de visualização, Figura 83.

Figura 83 – Seletores a,b e c, na janela de visualização, no GeoGebra.

No campo entrada digite, V= Vértice[d], Figura 84.

Figura 84 – Campo de entrada,V= Vértice[d], no GeoGebra.

O valor da coordenadas do vértice aparecerá na janela de álgebra, Figura 85.

Figura 85 – Coordenadas do vértice, na janela de álgebra, no GeoGebra.

No campo de entrada digite Ponto[d], Figura 86.

Figura 86 – Campo de entrada, Ponto[d], no GeoGebra.

Page 60: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

58

De enter e aparecerá um ponto sobre a parábola, esse ponto será nomeado

automaticamente por A, Figura 87.

Figura 87 – Ponto A, janela de visualização, no GeoGebra.

Observe que as coordenadas desse ponto aparecem em destaque na janela

de álgebra, na Figura 87.

No campo entrada digite Tangente [A,d], Figura 88.

Figura 88 – Campo entrada, Tangente [A,d], no GeoGebra.

De enter e aparecerá uma reta, que será nomeada por e, tangente à parábola

d no ponto A, Figura 89.

Page 61: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

59

Figura 89 – Reta tangente à parábola d no ponto A, janela de visualização, no Geogebra.

Observe ainda na janela de álgebra a equação da reta e em destaque, Figura

89.

Agora mova o ponto A, não esquecendo que para isso é necessário que a

ferramenta mover (janela 1) em destaque, esteja ativada. Então observe que a

função será crescente onde a reta tangente for crescente e será decrescente onde a

reta tangente for decrescente. E que no ponto mínimo (vértice da função) a reta

tangente é horizontal,quando o ponto A está exatamente sobre o ponto V, ilustrado

na Figura 90.

Figura 90 – Ponto A sobre o ponto V, reta tangente horizontal, janela de visualização, no Geogebra.

Page 62: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

60

Considerando x a abscissa do ponto A e a abscissa do ponto V, complete

corretamente:

a) Sabendo que a concavidade da parábola esta voltada para cima, pois a ˃ 0, para

x ˃ a parábola tem a sua parte crescente (crescente ou decrescente). Ou seja, a

parábola será crescente a direita (direita ou esquerda) do seu vértice.

b) Sabendo que a concavidade da parábola esta voltada para cima, pois a ˃ 0, para

x ˂ a parábola tem a sua parte decrescente (crescente ou decrescente). Ou seja,

a parábola será decrescente a esquerda (direita ou esquerda) do seu vértice.

Agora altere o valor de a para -1, para isso basta mover o parâmetro a para a

esquerda, estando a ferramenta mover (janela 1), em destaque ativada. Então

observe o gráfico, Figura 91.

Figura 91 – Gráfico da função -x²+x +1, janela de visualização, no GeoGebra.

Considerando x a abscissa do ponto A e a abscissa do ponto V, complete

corretamente:

a) Sabendo que a concavidade da parábola esta voltada para baixo, pois a ˂ 0, para

x ˃ a parábola tem a sua parte decrescente (crescente ou decrescente). Ou seja,

a parábola será decrescente à direita (direita ou esquerda) do seu vértice.

b) Sabendo que a concavidade da parábola esta voltada para baixo, pois a ˂ 0, para

x ˂ a parábola tem a sua parte crescente (crescente ou decrescente). Ou seja, a

parábola será crescente à esquerda (direita ou esquerda) do seu vértice.

Page 63: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

61

ANEXO 14 – QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA:

1) Você conhecia o software GeoGebra?

( ) Sim ( ) Não

2) Você teve dificuldades no uso do software GeoGebra?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

3) O uso do software GeoGebra estimulou o estudo de funções afim e quadrática?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

4) O uso do software GeoGebra tornou o estudo de funções afim e quadrática mais

atraente?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

5) O uso do software GeoGebra facilitou a construção de gráficos de funções afim e

quadrática?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

6) O uso do software GeoGebra facilitou a resolução de problemas envolvendo

funções afim e quadrática?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

7) O uso do software GeoGebra facilitou a formulação de conceitos envolvendo

funções afim e quadrática?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

8) O uso do software GeoGebra facilitou a aprendizagem dos conteúdos de funções

afim e quadrática?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

9) Houve problemas técnicos durante o uso do software GeoGebra?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

10) As instruções para a execução das atividades envolvendo o uso do software

GeoGebra no estudo de função afim e quadrática foram adequadas.

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

11) Você considera o uso do software GeoGebra importante como ferramenta de

ensino da matemática?

( ) Muitíssimo ( ) Muito ( ) Médio ( ) Pouco ( ) Nada.

Page 64: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

62

ANEXO 15 – FICHA INDIVIDUAL DOS ALUNOS DE OBSERVAÇÕES FEITAS PELO PROFESSOR.

As atividades que serão desenvolvidas pelos alunos com o uso do software GeoGebra serão acompanhadas pelo professor

no decorrer das atividades, através de anotações utilizando para isso a tabela 4 onde serão considerandos ao seguintes aspectos:

D= disciplina

I= interesse

M= motivação

P= participação

Tabela 4

ACOMPANHAMENTO DAS ATIVIDADES.

ATIVIDADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ASPECTOS

D I M P D I M P D I M P D I M P D I M P D I M P D I M P D I P M D I M P D I M P D I M P D I M P D I M P

Page 65: OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO ...€¦ · Figura 59 – Campo de entrada f(x)= x^2 -6x +5 no GeoGebra. Figura 60 – Gráfico da função f(x)= x^2 -6x

63

5. REFERÊNCIAS

ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de; NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa. Aprendendo matemática com o GeoGebra. São Paulo: Editora Exato,2010. DANTE,Luiz Roberto.Matemática: contexto & aplicações,vol.1.2.ed.São Paulo: Editora Ática,2013 PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Curitiba: SEED, 2008. PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATOLICA DE SÃO PAULO Instituto Geogebra de São Paulo <http://www.pucsp.br/geogebrasp> acesso em 17/03/2014. SCHMITZ, Rubia Mara Pinheiro. A arte de envolver o aluno na aprendizagem matemática utilizando os softwares educacionais JClic e GeoGebra. Projeto Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, sob a orientação do professor Amarildo de Vicente, 2013. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – Instituto Geogebra no Rio de Janeiro. Disponível em: Janeiro <http://www.geogebra.im-uff.mat.br/> acesso em 17/03/2014. Sites: [1] http://www.cursou.com.br/educacao/curso-de-geogebra/ acesso 20/09/2014 [2] http://www.tarifadetaxi.com/sao-jose-dos-pinhais acesso em 20/09/2014