OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA … das crianças a fim de que entendam o processo de construção do...

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Título: O ENSINO DA MATEMÁTICA DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL NO CURSO DE FORMAÇÃO DE DOCENTES

Autor: Marines Minto

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Santos Dumont – EMN

Município da escola: São Tomé

Núcleo Regional de Educação: Cianorte

Professor Orientador: Profª. Dra. Clélia Maria Ignatius Nogueira

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Maringá

Relação Interdisciplinar: Não há

Resumo:

A formação do professor é importantíssima para que o aprendizado aconteça de forma efetiva. Conhecer em profundidade os conteúdos de sua disciplina é uma condição indispensável para que o professor possa desenvolver uma prática pedagógica que favoreça a aprendizagem de seus alunos. Dessa forma, as atividades elaboradas nesta Produção Didático-pedagógica proporciona ao futuro professor vivenciar a construção do conhecimento matemático pela criança, assim como refletir sobre a postura do professor e as intervenções necessárias em cada fase desse processo, ao mesmo tempo em que favorece que o conteúdo sistematizado seja apreendido por eles. Espera-se, no entanto, que o tempo de aplicação das atividades seja menor em relação ao utilizado pela criança, pois os futuros professores têm conhecimentos prévios sobre o assunto e a abstração para a compreensão dos mesmos já está consolidada.

Palavras-chave: crenças; formação; professor polivalente;

matemática

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público:

Alunos da 3ª Série do Curso de Formação de

Docentes da Educação Infantil e Anos Iniciais

do Ensino Fundamental, em Nível Médio, na

Modalidade Normal

Apresentação

A formação do professor polivalente é muito complexa, pois o aluno necessita

apropriar-se dos saberes necessários para ensinar várias disciplinas e nem

sempre a carga horária é suficiente para que haja um aprofundamento em todos

eles. Além disso, a formação é responsável pela descontinuidade do processo

cíclico gerado pela influência das crenças no processo de ensino e aprendizagem.

Muitas vezes, os alunos que estão se preparando para serem professores das

séries iniciais trazem consigo um sentimento ruim em relação à matemática, e

isso que pode influenciar em sua ação docente, interferindo negativamente no

processo de ensino e aprendizagem das crianças, como afirmam Nogueira e

Andrade (2009):

A maioria absoluta dos alunos que pretendem ser professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental manifesta um profundo desgosto em relação à matemática. Esse desgosto é transmitido às crianças, muitas vezes inconscientemente, pelo professor (NOGUEIRA E ANDRADE,

2009, p.14).

Este fator torna-se evidente, quando os alunos vão pensar sua futura ação

pedagógica enquanto docentes. Nesse processo, cada professorando adota uma

postura de acordo com suas experiências e conhecimentos adquiridos ao longo

do processo de escolarização e da formação específica para o magistério. Assim,

alguns professores podem repetir aquilo que aprenderam e como aprenderam,

outros podem buscar maneiras inovadoras e concretas de aplicar os conteúdos,

na tentativa de tornar o processo de ensino e aprendizagem mais prazeroso e

eficaz do que o que viveu, e outros ainda, por não terem domínio do conteúdo

e/ou das sequencias didáticas necessárias, acabam por trabalhar o conteúdo de

forma mecânica, repetitiva, fazendo novamente o caminho feito por seus

professores, mesmo sem perceber. E, com raras exceções, “esse legado de

socialização escolar permanece forte e estável por muito tempo” (TARDIF, 2002

apud CURY, 2005, p.21).

Os formadores, então, têm a função de dar oportunidade para que os

professorandos sejam autores da sua própria formação, reflitam sobre sua

relação com a matemática, superem os sentimentos de incapacidade em

aprender e ensinar, buscando melhorar a qualidade da ação do futuro professor.

Tardif (2000, 2002) e Schön (2000), citado por Cury (2005), ao estudar sobre os

saberes construídos anteriormente ao ingresso no curso de formação de

professores afirmam que:

[...] os saberes construídos na escolarização básica e no próprio ambiente social e cultural determinam crenças e atitudes que, se não forem modificadas durante o curso de formação para o exercício do magistério, provocarão interferências na atuação profissional dos professores (CURY, 2005, p. 32).

E Cury (2005, p. 149), corroborando com essa ideia acrescenta que essas

crenças podem se tornar os obstáculos para que o futuro professor tenha uma

prática pedagógica mais avançada do que aquela que vivenciou em seu tempo de

estudante.

Desta forma, antes de iniciar o trabalho com o sistema de numeração decimal e

as quatro operações básicas, proponho um questionário (Apêdice 1) a fim de

coletar dados a respeito das experiências dos futuros professores enquanto

estudantes dos anos iniciais do ensino fundamental e seu relacionamento com a

matemática, assim como proporcionar uma reflexão sobre as dificuldades e

facilidades que os mesmos tiveram em sua experiência escolar em relação às

metodologias utilizadas no ensino e aprendizagem de matemática e a

interferência da postura do professor nesse processo. Ao final da realização das

atividades será aplicado um questionário de avaliação (Apêndice 2) e as

respostas serão discutidas com os alunos de maneira a cotejar o seus

desempenhos antes e depois da implementação desta Unidade Didática.

Segundo Nogueira e Andrade (2009) os alunos precisam estar bem formados em

relação aos conhecimentos inerentes aos conteúdos necessários para subsidiar

sua futura prática pedagógica, principalmente quando está relacionado com o

início da construção do conhecimento no processo de escolarização, pois uma

prática pedagógica inadequada pode comprometer o aprendizado da criança,

especialmente com relação aos conhecimentos matemáticos.

A formação inadequada do professor não interfere só no ensino e aprendizagem dos

educandos, mas causa bloqueios para o próprio professor como afirma Cury (2005),

comentando Blanco & Contreras (2002) quando afirma que:

[...] quando professores têm pouco conhecimento dos conteúdos que devem ensinar, despontam dificuldades para realizar situações didáticas, eles evitam ensinar temas que não dominam, mostram insegurança e falta de confiança perante circunstâncias não previstas, reforçam erros conceituais, têm maior dependência de livros didáticos, tanto no ensino como na avaliação, e se apoiam na memorização de informações para atuar (CURY, 2005, p.145).

Mas quais seriam os saberes necessários para o professor atuar?

Segundo Shulman (1992) apud Cury (2005) há três vertentes que se refere ao

conhecimento necessário da disciplina para ensiná-la: o conhecimento do conteúdo

da disciplina, o conhecimento didático do conteúdo da disciplina e o conhecimento do

currículo.

Corroborando com a ideia de que a formação do professor polivalente deve ser

repensada a fim de que os alunos tenham não só os conhecimentos para ensinar

determinados conteúdos, mas que sejam reflexivos diante do contexto histórico e

atual influentes na prática pedagógica, Fiorentini (1999) apud Cury (2005) afirma:

[...] os saberes práticos são ligados à ação e mesclam aspectos cognitivos, éticos e emocionais ou afetivos. [...] o saber experiencial, quando mediado por leituras teóricas, e por reflexões coletivas de professores, é ressignificado ou mesmo validado e conclui que nesse contexto pode ocorrer produção de novos saberes docentes ou mesmo de novos sentidos para a prática pedagógica dos professores (CURY, 2005, p.161).

Assim, a proposta do encaminhamento metodológico desta Unidade Didática,

enfatiza as três vertentes apontadas por Shulman, trabalhadas simultaneamente,

na tentativa de reduzir o tempo gasto comparado ao trabalho destas

separadamente. Também propõe-se a reflexão do processo de ensino e

aprendizagem dos futuros professores como principais responsáveis na

construção do conhecimento necessários para sua prática pedagógica.

Nesse sentido, a maioria das atividades apresentadas tem como foco, além de

ensinar os conteúdos matemáticos, fazer o aluno vivenciar situações de

aprendizagem das crianças a fim de que entendam o processo de construção do

pensamento matemático das mesmas e, futuramente, como docentes, tenham

subsídios para fazer as intervenções necessárias que favoreçam esta construção.

Portanto, no final de cada atividade será feita uma breve reflexão sobre os

conteúdos e metodologias estudados a fim de perceber se os objetivos propostos

foram alcançados.

Espera-se, no entanto, que o tempo de aplicação das atividades seja menor em

relação ao utilizado pela criança, pois os futuros professores têm conhecimentos

prévios sobre o assunto e a abstração para a compreensão dos mesmos já está

consolidada.

Para a realização das atividades propostas serão usados materiais manipuláveis

e jogos para construção do pensamento matemático assim como para fixação do

conteúdo trabalhado. Desta forma, faz-se necessário fundamentar cada um deles.

Jogos

Os jogos são um excelente recurso didático para facilitar o aprendizado dos

futuros professores, assim como das crianças, em todas as etapas da construção

do pensamento matemático, sendo usado para introduzir ou fixar determinado

conteúdo. No âmbito educacional, deve haver uma preocupação do professor em

escolher jogos que estão dentro das condições reais dos alunos para que estes

tenham interesse em jogá-los. Além disso, os objetivos ao aplicar tais jogos

devem ser bem definidos para que estes não sejam apenas uma forma diferente

de repetição dos exercícios apresentados em listas resolvidas no caderno ou que

o aluno apenas resgate sua auto-estima. Outro ponto importante a ser lembrado é

que o jogo não deve estar relacionado somente com a sorte, pois assim perderá o

caráter pedagógico.

Segundo Nogueira e Andrade (2009), os jogos precisam desenvolver a autonomia

do pensamento do educando e, para que isso aconteça, é fundamental que ele

tenha a capacidade de analisar criticamente as diferentes possibilidades. As

autoras afirmam ainda que essa autonomia é individual e uma vez adquirida não

se esquece.

A autonomia ou essa habilidade de aprender a aprender é construída individualmente pelos sujeitos e, uma vez construída, é irreversível. Para isso, atividades que possibilitem condições suficientes para o aluno interpretar um texto, que desenvolvam habilidades como organização, atenção e concentração são imprescindíveis. E mais, para o desenvolvimento da autonomia é de fundamental importância a descentração, isto é, a capacidade de ver algo a partir de um ponto de vista diferente do seu, a habilidade de analisar criticamente e de coordenar possibilidades (NOGUEIRA E ANDRADE, 2009, p. 46).

Os jogos podem ser aplicados antes ou depois de cada conteúdo. Normalmente

ele é utilizado depois para fixação do que foi estudado. Num jogo de regras

envolvendo adição e subtração, por exemplo, o aluno fará muitos cálculos em

poucos minutos e não se sentirá desmotivado, pois a dinâmica do jogo o fará

buscar estratégias para alcançar a vitória. Para Nogueira e Andrade (2009, p. 48)

os jogos podem ser classificados em “desencadeador de aprendizagem” em que

não tem solução imediata e o aluno, baseado nos conhecimentos já adquiridos,

precisa criar estratégias para solucionar o problema (caça ao tesouro,

adivinhações, etc) e “de aplicação” em que o aluno irá fixar aquilo que já

aprendeu (bingo de operações, dominó de tabuada, etc.). Estes últimos podem

substituir com sucesso as listas de exercícios.

Apesar de apresentar vários aspectos positivos, o jogo por si só não garantirá a

aprendizagem dos alunos e, muitas vezes, será necessário utilizar outros

recursos para que isso se efetive como afirmam Fiorentini e Miorim:

Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um 'aprender' mecânico, repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz. Muito menos um 'aprender' que se esvazia em brincadeiras. Mas um aprender significativo do qual o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido e superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade. O material ou o jogo pode ser fundamental para que isto ocorra. Neste sentido, o material mais adequado, nem sempre, será o visualmente mais bonito e nem o já construído. Muitas vezes, durante a construção de um material o aluno tem a oportunidade de aprender matemática de forma mais efetiva. Em outros momentos, o mais importante não será o material, mas sim, a discussão e resolução de uma situação problema ligada ao contexto do aluno, ou ainda, à discussão e utilização de um raciocínio mais abstrato (FIORENTINI E MIORIM, p. 40).

Os materiais manipuláveis

Quando falamos em matemática para os anos iniciais do ensino fundamental,

logo remete à nossa mente usar de brincadeiras, jogos, objetos que fazem parte

desta fase de desenvolvimento da criança. Não raramente ouvimos professores

que trabalham com esta faixa etária, falar sobre sua prática pedagógica utilizando

(ou não) materiais concretos e/ou manipuláveis. Mas qual a terminologia correta

ou as duas são a mesma coisa? Segundo Berman (1982) citado por Freitas

(2004), materiais manipulativos são materiais concretos que podem ser

manipulados para favorecer a aprendizagem.

Aparentemente as expressões Materiais Manipulativos e Materiais Concretos podem significar coisas diferentes. Torna-se necessário, então, defini-los. O 34o

Livro do Ano do National Council of Teacher of Mathematic descreve materiais manipulativos como “aqueles objetos concretos que quando manipulados ou operados pelo aluno e pelo professor, forneçam uma oportunidade para atingir

certos objetivos (BERMAN,1982 apud FREITAS,2004, p.46).

Nogueira, Andrade e Pavanello (2009) em material elaborado para um curso de

pós e não publicado, afirmam que “[...] os materiais exigem cuidado na sua

utilização, pois os mesmos podem ser tão abstratos e desconectados da

realidade para as crianças quanto os conceitos matemáticos. Corroborando com

essa idéia, Bermand (1982) apud Freitas (2004, p.47) diz que “os materiais

manipulativos por si só não garantirão o desenvolvimento do conceito. Eles são

instrumentos muito úteis para auxiliar as crianças a entenderem o sistema de

idéias que é a Matemática”, por isso não basta o professor oferecer os materiais

para os alunos manipularem, é necessário que haja a mediação para que as

relações sejam estabelecidas entre o material e o conteúdo a ser estudado.

Segundo Bermand (1982) apud Freitas (2004, p.48), “[...] aprender a usar os

materiais manipulativos não é a mesma coisa que aprender Matemática.

Precisam ser usados de maneira correta e no tempo certo”. Isto não quer dizer

também que o uso de determinado material só possa estar vinculado a um

determinado conteúdo.

Muitas vezes os materiais são abandonados sob a alegação que já foram esgotadas todas as possibilidades quando o grande trunfo deste tipo de

apoio pedagógico é o número infindável de atividades que incitem o seu uso (FREITAS, 2004, p.48).

É importante ressaltar que as representações “prontas” dos materiais

manipuláveis como ábaco e material dourado apresentadas em livros didáticos ou

em softwares educativos, poderão não ter o mesmo significado para a criança se

o material não foi anteriormente manipulado por ela. Nogueira e Andrade (2009)

afirmam que é preciso também haver uma diversificação dos materiais utilizados,

pois, cada criança tem sua própria maneira de aprender e o professor precisa

oferecer subsídios para que todos aprendam.

Em outra produção os autores ainda afirmam que os materiais manipuláveis

devem ser retirados gradativamente, à medida que o aluno consegue fazer a

abstração das ações concretas, por isso:

[...] é importante que o professor faça a correlação entre os dois domínios envolvidos, o do material (concreto) e das representações (simbólico-abstrato), para ter certeza de que os alunos compreenderam bem as relações entre aspectos dos dois domínios (NOGUEIRA; ANDRADE e PAVANELLO,p.71).

Existem vários materiais manipuláveis que auxiliam no processo de construção do

pensamento matemático das crianças e o professor precisa saber o momento

certo de apresentar cada um deles para não dificultar o processo de ensino e

aprendizagem. Nesse sentido Nogueira e Andrade (2009) ressaltam:

A sequência de utilização de materiais deve obedecer ao processo de desenvolvimento lógico da criança, partindo do material manipulável (tampas de garrafas, pedrinhas, feijões), passando pelo material dourado e chegando ao quadro valor de lugar e ao ábaco (NOGUEIRA e ANDRADE, 2009, p.87).

MATERIAL NÃO ESTRUTURADO

Os materiais não estruturados são objetos que podem ser agrupados ou

desagrupados. Eles constituem uma versão preliminar do material dourado.

Dentre eles estão os canudinhos ou palitos de sorvetes que podem ser

amarrados, pedrinhas e sementes que podem ser colocadas em saquinhos, etc.

Para usar o material não estruturado é muito simples, basta agrupá-los

respeitando as regras do SND, que utiliza a base 10. Ou seja, cada canudinho

representa uma unidade, 10 canudinhos amarrados (montinhos) formam uma

dezena, um saquinho com 10 montinhos dentro forma uma centena e uma caixa

de sapato com 10 saquinhos formam uma unidade de milhar.

Figura 1: Material não estruturado representando o número 135

Fonte: Fotos da autora

O procedimento dos cálculos usando material não estruturado é a mesmo usado

com o material dourado, com a diferença de que com ele fazemos o agrupamento

ou desagrupamento dos objetos, enquanto que com o material dourado fazemos

a troca dos objetos. Por exemplo, para compor uma dezena de canudinhos, basta

amarrar 10 deles com um elástico, e para fazer isso com o material dourado é

preciso trocar os 10 cubinhos por uma barrinha.

Vamos ver um exemplo de adição com agrupamento (técnica do “vai um”).

Lembrando que para a criança não tem sentido o termo “vai um” porque na

verdade isso não ocorre, simplesmente os canudinhos (unidades) que estavam

soltos formaram um “montinho” que deve ficar no grupo dos “montinhos”

(dezenas). Quando estamos trabalhando com material dourado, apenas dizemos

que os cubinhos foram trocados por uma barrinha e, portanto, é contado no grupo

das barrinhas. Desta forma, é importante ressaltar a importância do registro dos

cálculos nesse processo, pois através deles os alunos vão se familiarizando com

a linguagem dos algoritmos e aos poucos o professor vai incentivando a

simplificação dessa representação até chegar ao algoritmo que comumente

usamos hoje.

Sendo a adição 37 + 25, temos:

Figura 2: Representação de 37 + 25


Observe que os “montinhos” estão colocados embaixo de “montinhos” e

canudinhos embaixo de canudinhos. Não que isso faça diferença no resultado da

operação, mas, além de ficar mais fácil a visualização, esse procedimento ajudará

na compreensão dos algoritmos.

Somando os montinhos e os canudinhos, temos:

Figura 3: Adição de 37 + 25


Temos então 5 “montinhos” e 12 canudinhos. Como a regra do Sistema de

Numeração Decimal diz que quando temos 10 unidades, precisamos agrupar em

1 dezena, precisamos amarrar os 10 canudinhos, tendo mais um “montinho”.

Figura 4: Agrupamento das unidades

Fonte: Fotos autora

Juntando todos os “montinhos”, ficamos com 6 dezenas e 2 unidades.

Figura 5: Somando unidades e dezenas


Para resolver uma subtração com reservas, o procedimento é o contrário da

adição. Basta desagrupar um “montinho” para juntar os 10 canudinhos (unidades)

aos canudinhos que estão “soltos” e retirar a quantia necessária. Desta forma,

também não “emprestou um”, mas apenas desmanchou um grupo e, portanto,

diminuiu um “montinho” do grupo das dezenas. Com o material dourado, a

barrinha seria trocada por 10 cubinhos e também não “emprestaria um”.

MATERIAL DOURADO

O material dourado foi criado pela médica e educadora italiana Maria Montessori

(1870-1952) a fim de subsidiar o ensino e aprendizagem de crianças que

frequentavam a escola especial. Como esses alunos tiveram grandes avanços no

desenvolvimento lógico-matemático, esse material passou a ser usado também

nas escolas regulares desde o início do século até os dias de hoje.

A princípio, Montessori, “imaginou-o como uma forma geométrica de representar

os números” (Ramos, 2009, p. 54) e atribuiu-lhe o nome de Material das Contas

Douradas. Este Material está aqui apresentado pelas palavras de Maria

Montessori.

Preparei também, para os maiorezinhos do curso elementar, um material destinado a representar os números sob formas geométricas. Trata-se do excelente material chamado material das contas. As unidades são

representadas por pequenas contas amarelas; a dezena é formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta barra é repetida dez vezes em dez outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, “o quadrado de dez”, somando o total de cem. Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, o “cubo de dez”, isto é, 1000”.[...] essas mesmas contas douradas acabaram se transformando em cubos que hoje formam o material dourado Montessori (ALBUQUERQUE, 2000,p.35).

“Foi Hélène Lubienska de Lenval (1985-1972), uma seguidora de Montessori,

quem fez uma modificação no material inicial e o construiu com madeira, na forma

como conhecemos atualmente”(Ramos, 2009, p.54).

Figura 6 : Material dourado em madeira


Este material é composto por cubinhos, barras, placas e cubo, onde os objetos

podem ser trocados entre si, respeitando a base 10 e a necessidade de cada

situação. Sendo assim, cada cubinho representa uma unidade; 10 cubinhos

(unidades) podem ser trocados por uma barra que representa uma dezena; 10

barras (dezenas) podem ser trocadas por uma placa que representa uma centena

e 10 placas (centenas) podem ser trocadas por um cubo que representa uma

unidade de milhar.

O material dourado, que nada mais é do que a representação dos agrupamentos

já aprendidos pela criança, por isso é chamado de material estruturado, deve ser

apresentado quando ela conservar quantidade, ou seja, “[...] é fundamental que a

criança concorde, compreenda e aceite, sem a menor dúvida, que 10 cubinhos

valem o mesmo que uma barra” (RAMOS, 2009, p.53). Isso acontecerá, quando a

criança tiver por volta de 8 anos. Nesse sentido os professores podem usar os

mesmos encaminhamentos usados para o material não estruturado, tanto na

construção do Sistema de Numeração Decimal como nas resoluções das

operações matemáticas. Lembrando que ao contrário do ábaco e do cartaz valor

de lugar, o material dourado não é utilizado para trabalhar o valor posicional dos

números, pois a ordem em que as peças estão dispostas não interfere no valor

real das mesmas.

A princípio, ele foi criado para facilitar a aprendizagem do sistema de numeração

decimal, assim como a resolução de operações de adição, subtração,

multiplicação e divisão, facilitando o entendimento dos algoritmos. Hoje, além

dessas utilizações, o material pode ser usado para aprender frações, volume,

área, números decimais, etc.

Para realizar a subtração usando o material dourado, basta representar o total

dado (minuendo) e retirar a quantidade desejada (subtraendo). Se houver

necessidade, fazemos as trocas necessárias para que a subtração possa ser

realizada. Por exemplo: 354 – 138 = 216. Veja como isso é feito com o material

dourado.

Como eu preciso tirar 8 unidades e só tenho 4, faço a troca de 1 dezena por 10

unidades, ficando com 14 unidades (Fig. 8). Retiro as 8 unidades necessárias e

restam 6.

Figura 7: Representação de 354 Figura 8: Troca de dezenas Figura 9: Subtração das unidades

Fonte: A autora Fonte: A autora Fonte: A autora

Retiro 3 dezenas das 4 que restaram, visto que 1 barrinha foi trocada por

cubinhos (Fig. 10) e por fim, diminuo 1 centena. A diferença então é 216.

Figura 10: Subtração das dezenas Figura 11: Subtração das centenas Quadro 1: Algoritmo na forma expandida

Fonte: A autora Fonte: A autora Fonte: A autora

Troco 1barrinha por 10 cubinhos.

40 10 + 300 50 4 - 8_ 300 40 6 - 30______ 300 10 - 100__________ 200 10 6 364-218 = 200+10+6 = 216

Observe que ao representar a subtração feita usando o algoritmo na forma

expandida, escrevemos todos os procedimentos realizados com o material

dourado. Desta forma, fica mais fácil o aluno compreender o algoritmo breve.

Basta o professor incentivar o aluno a buscar técnicas de cálculos mais rápidas e

ajudando o aluno a simplificar sua representação.

FICHAS SIMBÓLICAS

As fichas simbólicas ou também chamadas de dinheirinho representam uma

quantidade que não pode ser vista, assim como o ábaco.

As fichas simbólicas podem ser confeccionadas em cartolina ou EVA, com

tamanho de 3 x 6 cm. O ideal é que sejam feitas 20 fichas para cada ordem e que

elas sejam da mesma cor. Nas fichas que representam as unidades registram-se

o número 1, nas fichas das dezenas, 10, das centenas, 100 e das unidades de

milhar, 1000.

Figura 13: Fichas simbólicas


Observe que a numeração está alinhada à esquerda, o que facilita ao aluno

visualizar a multiplicação por 10, ou seja, cada vez que multiplicamos um número

por 10, o produto continua sendo o mesmo número acrescido de um zero: 1, 10,

100, 1000.

Na adição representada na figura acima, as fichas de cada parcela foram

colocadas uma embaixo da outra, ou seja, acima estão as fichas das centenas, no

meio das dezenas e abaixo das unidades. Nada impede também que as fichas de

cada parcela sejam colocadas uma ao lado da outra, lembrando a decomposição

dos números. Na primeira situação, a adição acontece horizontalmente, pois para

resolver a operação, juntamos centenas com centenas, dezenas com dezenas,

unidades com unidades. Na segunda situação, a adição acontece verticalmente,

pois as ordens estão uma embaixo da outra. No entanto, o resultado de ambas

será o mesmo.

Tanto na subtração como na multiplicação e divisão, os procedimentos usando as

fichas simbólicas para realizar os cálculos são os mesmos do ábaco e material

dourado. Lembrando que, independente do material a ser usado, a multiplicação

só poderá ser resolvida partindo da ideia de adições sucessivas.

Tomando como exemplo a operação 429 ÷ 3 fazemos o seguinte procedimento:

primeiro distribuimos as fichas com valores maior, no caso, as centenas (Fig. 15).

Ficamos então com 129 para ser repartido. Como não é possível dividir 100 por 3,

trocamos a ficha com valor 100 por 10 fichas com valor 10 (Fig. 16).

Figura 14: Antes da divisão Figura 15: Dividindo centenas Figura 16: Troca de 100 por 10

Fonte: Fotos da autora Fonte: Fotos da autora Fonte: Fotos da autora

Distribuindo então as dezenas (Fig. 11), ficamos apenas com 9 unidades para serem repatidas por 3 (Fig. 12). Figura 17: Dividindo dezenas Figura 18: Dividindo unidades

Fonte: A autora Fonte: A autora

Então cada parte recebeu 1x100 + 4x10 + 4x1 = 144.

ÁBACO

O ábaco, não tem uma origem definida, mas sabe-se que era utilizado pelos

chineses, árabes e europeus antes do surgimento dos algarismos.

A palavra abacus provavelmente deriva da palavra semítica abq ou pó, indicando que em outras regiões, como na China, o instrumento proveio de uma bandeja de areia usada como tábua de contar (BOYER, 1996 apud FREITAS, 2004, p. 51)

Segundo Ramos (2009, p.45) existiram vários modelos de ábacos entre eles

placas com sulcos nos quais eram colocadas pequenas pedras. Ele “era usado

por sistemas de contagem posicionais, ou seja, dependendo do lugar ocupado a

pedra representava um valor diferente” (RAMOS, 2009, p.45).

Hoje ele é utilizado para ensinar o valor posicional dos números e os algoritmos

de adição e subtração. Existem vários modelos, mas os melhores são os abertos

compostos de três ou quatro varetas onde são colocados “pinos.

Figura 19: Ábaco fechado Figura 20: Ábaco aberto

Fonte: Fotos da autora Fonte: Fotos da autora

O ábaco pode também ser confeccionado com materiais de baixo custo, como

está descrito na atividade 4 (Construção do Ábaco).

Começando da direita para a esquerda, a primeira vareta representa as unidades,

a segunda as dezenas, a terceira as centenas, a quarta a unidade de milhar e

assim por diante. É necessário lembrar, que nesse processo quando numa vareta

tiver 10 pinos eles são trocados por um pino da casa imediatamente à esquerda,

ou seja, 10 pinos na vareta que representa as unidades será trocado por um pino

a ser colocado na vareta correspondente às dezenas.

Observe que o sistema de trocas é o mesmo independente do material a ser

utilizado. Dessa forma seria interessante que as atividades já feitas com o

material dourado sejam refeitas usando o ábaco. Lembrando que a criança terá

condições de entender que uma peça do ábaco vale “100”, por exemplo, quando

conservar quantidade e isso acontecerá por volta de 7/8 anos, quando estiver no

3º ano.

CARTAZ VALOR DE LUGAR

O cartaz valor de lugar (CAVALU) ou cartaz de pregas como é também conhecido,

é confeccionado com papel-cartão formando-se várias pregas na horizontal onde

serão encaixadas fichas com os algarismos, palitos, canudinhos, peças do

material dourado confeccionadas em EVA, etc. Estas pregas são repartidas em

colunas na vertical onde são colocadas as ordens numéricas.

Ele pode ser confeccionado para fixar na parede da sala, como também para uso

individual. Abaixo estão sugestões de como confeccionar um CAVALU individual,

mas o procedimento é o mesmo para fazer um CAVALU para uso coletivo.

MATERIAL: 2 folhas de papel sulfite A4, fita adesiva, cola, papel cartão colorido,

tesoura, pincel atômico, lápis e borracha.

Como fazer: Corte 50 fichas coloridas com 3 cm de largura e 5 cm de altura.

Escreva na parte superior de cada ficha um algarismo de 0 a 9, sendo que cada

algarismo será escrito 5 vezes.

Com a folha no sentido vertical (“retato”), faça pregas horizontais (sanfoninha)

com 2 cm de profundidade e 6,5 cm de altura, ou seja, uma prega com 2 cm e

outra com 6,5 cm. A primeira prega deve ser feita a 2 cm da borda. Uma

sugestão é marcar o local onde as pregas devem ser feitas. A primeira prega é de

2cm e a segunda também (a dobra extra será colada na outra folha após ser

pregueada), e continua com 6,5 cm, 2cm, 6,5 cm até terminar a folha. Repita

esse procedimento com a outra folha. Cole a prega extra (2cm) de uma folha na

prega maior da outra. Você terá um CAVALU semelhante ao tamanho de uma

folha de sulfite A4. Cole uma fita adesiva atrás para evitar que as pregas se

desfaçam. Marque então no sentido vertical as retas que irão separar as ordens

(U, D, C, UM). Sugere-se as medidas: 0,5 cm, 5cm, 5 cm, 5 cm e 0,5 cm. Passe a

fita adesiva em cima das retas e, nas bordas, dobre a fita para trás da folha para

que feche as pregas. Anote no campo superior de cada coluna, da direita para

esquerda, as letras U, D, C e UM.

Figura 21: Cartaz de pregas individual


Para fazer o CAVALU coletivo, basta aumentar o tamanho das pregas e das

fichas. Sugestão: fichas (8x13 cm) e pregas (4 x 13 cm). Obs: sempre a altura das

fichas deve ser o tamanho maior das pregas. A largura do papel pode ser 70 cm,

sendo que as colunas são feitas nas seguintes larguras, começando pelo lado

direito: 2 cm, 10 cm, 10 cm, 10 cm, 10 cm, 26 cm (para guardar as fichas que não

são usadas. Veja figura abaixo) e, por fim, 2 cm. Se quiser fazer mais colunas,

basta aumentar a largura do papel ou diminuir a largura das fichas.

Figura 22: CAVALU coletivo feito em tecido


Este cartaz tem a mesma utilização do ábaco com a vantagem de ajudar o aluno

a entender os algoritmos.

Veja nas imagens abaixo o cálculo de uma adição usando este recurso.

Figura 23: Parcelas da adição Figura 24: Somando unidades Figura 25: Resultado da adição

Fonte: Fotos da autora Fonte: Fotos da autora Fonte: Fotos da autora

É importante notar que ao realizar os cálculos com o cartaz de pregas, o aluno já

está usando o algoritmo da operação, que será apenas sistematizado. Esse

cartaz também pode ser transformado em um quadro valor lugar (QVL) que nada

mais é do que a representação do CAVALU usando lápis e papel. Veja a operação

acima, resolvida usando o quadro valor de lugar e pelo algoritmo convencional.

Quadro 2: Quadro valor de Lugar

Unidade de Milhar

Centena Dezena Unidade Algoritmo

3

1 4

9

1 3 4 9

+ 1 2 5 + 1 2 5

4 7 4 4 7 4 Fonte: A autora

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

A construção do conceito de base decimal pela criança não é nada fácil. É uma

construção que leva tempo e necessita da mediação do professor, que para isto

deve oferecer atividades diversificadas com materiais manipuláveis variados,

repetindo-as várias vezes em contextos diferentes.

Segundo GUIRADO et al (2009):

[...] pesquisas revelam que a criança só consegue compreender o significado de base de um sistema de agrupamentos e trocas quando ela realiza pelo menos duas trocas na base proposta (GUIRADO et. al,

2010, p.19).

Um encaminhamento metodológico interessante para trabalhar o sistema de

numeração decimal com a criança, sugerido pela autora Luzia Faraco Ramos em

sua obra Conversas sobre números, ações e operações (2009), é utilizar a

História da Matemática oportunizando a ela “construir”, e não apenas “reproduzir”,

os conhecimentos matemáticos. Nesse sentido, a criança, como autora de seu

próprio conhecimento, deverá passar por todas as etapas do pensamento lógico-

matemático construído pela humanidade, desde a utilização de materiais

manipuláveis para a contagem até a abstração que conhecemos hoje.

Segundo a autora, os materiais utilizados nesse processo, também precisam de

um olhar especial, obedecendo à mesma sequência daquela utilizada pelos povos

primitivos. Começamos então com materiais não estruturados como tampinhas,

palitos, canudinhos, sementes e quaisquer outros objetos que possam ser

agrupados e desagrupados, inclusive o material dourado, e seguimos com o uso

dos demais materiais até chegar na representação numérica.

Devemos lembrar, no entanto, que o material utilizado pelo professor dependerá

da maturidade da criança. Nada impede que no terceiro ano, por exemplo, o

professor utilize material não estruturado para que o aluno entenda a construção

da ordem do milhar.

No entanto, é importante que, independente do material utilizado pela criança, o

professor incentive sua representação em forma de desenhos ou tabela,

obedecendo a estrutura do sistema de numeração decimal. Isso facilitará a

compreensão do valor posicional dos números, que será aprofundado

posteriormente com a utilização do ábaco, cartaz de pregas e quadro valor de

lugar.

Segundo Ramos (2009), o trabalho pedagógico do professor com as crianças do

primeiro ano deverá estar voltado para a construção do número e sequência

numérica. No segundo ano, introduz-se o valor posicional com unidades, dezenas

e centenas e a, partir do terceiro ano, o trabalho continua com a ordem dos

milhares.

A sequência de atividades aqui proposta obedece a construção do pensamento

matemático pela criança, oferecendo subsídios para que os futuros professores

tenham uma prática efetiva, visando o crescimento dos alunos confiados a eles.

Começando pela atividade 1, os alunos farão uma viagem no tempo, conhecendo

os principais sistemas de numeração construídos pela humanidade, percebendo

as diferenças e semelhanças entre eles, e quais aspectos contribuíram para a

construção no nosso atual sistema de numeração.

Na atividade 2, os futuros professores perceberão como é difícil para a criança

construir o Sistema de Numeração Decimal e, é possível que seja constatado que

muitos deles próprios ainda não têm esse conhecimento formalizado. Na atividade

3, proponho um trabalho de construção do Sistema de Numeração Decimal

utilizando o material dourado que será complementado com a atividade 4,

utilizando o ábaco construído por eles. As atividades 5 e 6 destacarão a leitura e

escrita dos números, assim como o reconhecimento do valor posicional.

Atividade 1: VIAJANDO PELO TEMPO

Análise a priori: Os futuros professores entenderão os outros sistemas de

numeração, mas acharão sua utilização muito complicada e trabalhosa.

Objetivo: Proporcionar ao futuro professor uma reflexão sobre os vários Sistemas

de Numeração que surgiram ao longo do tempo, auxiliando-o na percepção da

importância e viabilidade do Sistema de Numeração Decimal.

Material: TV Pendrive, lápis, papel, computador.

Desenvolvimento: Iniciar a atividade com a reprodução do vídeo:

A Matemática na História: Jornal Numer4l (parte1). Disponível em:

<http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=714

7>. Acesso em 31 out.13.

Em seguida propor as atividades que podem ser realizadas com a ajuda do texto

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=7147


“Viajando pelo tempo” (Apêndice 3).

1- Tente representar 3958, utilizando os símbolos egípcios. O que achou?

2- Agora represente 25, 243 e 4.043, usando o sistema de numeração da

Babilônia e responda: Como eles representariam o número 120?

3- Será que você consegue explicar como foi escrito os números 35, 41, 74 e

120 no sistema maia de numeração?

4- Aprofunde seus conhecimentos pesquisando como os chineses

representam os números na atualidade e reflita: O que ele tem em comum

com nosso sistema de numeração?

5- Em muitas situações ainda utilizamos os algarismos romanos. Cite

algumas delas.

6- Represente o ano que você nasceu e o ano atual com algarismos romanos.

7- Utilize o quadro para comparar os sistemas de numeração estudados.

Quadro 3: Sistemas de Numeração

Identificação do Sistema

Nº de símbolos

Símbolo para o zero

Aditivo Multiplicativo Posicional Base

Egípcio

Babilônia

Maia

Chinês

Romano

Indo-arábico

Fonte: A autora

Fonte: Adaptação de PARANÁ, Secretaria do Estado. A matemática na história:

Jornal numer4l. Guia do professor. Multimeios, audiovisual 01. Disponível em: <

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/manuais/jornalnumeral_1.pdf>

Acesso em: 31 out. 13.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/manuais/jornalnumeral_1.pdf

Atividade 2 – JOGO DA TROCA

Análise a Priori: Os futuros professores entenderão o jogo, mas ficarão confusos

para fazer a representação e as trocas de ordens. Na questão 1, ficarão confusos

sem saber como responder (na base 10 ou representação da tabela). Saberão

contar, mas não representar as operações em outras bases. Perceberão a

necessidade de criar novas ordens.

Objetivo: Promover uma reflexão sobre a complexidade do Sistema de

Numeração Decimal para a criança.

Materiais: 100 canudinhos cortados ao meio ou palitos de sorvete, 1 dado (anexo

1), elásticos de dinheiro, saquinhos plásticos, caixas de sapato, material para

anotação para cada grupo.

Desenvolvimento: Em duplas ou grupos maiores, cada jogador lança o dado e

pega os canudinhos correspondentes à quantidade sorteada. Quando completar

5, faz os montinhos e amarra com um elástico de dinheiro. Os demais

permanecem “soltos” até completarem 5 para serem amarrados. A cada jogada,

deve-se registrar a quantidade total de canudinhos (quantos tinha, mais o que

tirou no dado). Assim, ao terminar o jogo, a última linha da tabela indicará o total

de canudinhos de cada jogador. Por exemplo, se você tinha 3 canudinhos da

primeira jogada e tirou mais 4, terá agora 7 canudinhos. Como a regra nos diz que

a cada 5 canudinhos deve-se fazer um “montinho”, registraremos 1 na coluna

“montinhos” e 2 na coluna “soltos”.

Tabela 1: Formando grupos

Montinhos Soltos

3

1 2

Fonte: A autora

Agora vamos analisar:

1- Quantos canudinhos você tem? (Observe se os futuros professores

responderão dizendo o total de canudinhos (base 10) ou a quantidade de

“montinhos” e “soltos” (base 5). Incentive-os a pensar na base 5).

2- Quem teve mais pontos no seu grupo? Como você sabe?

3- Qual a diferença entre os pontos do primeiro e último colocado do seu

grupo?

4- Represente graficamente os resultados obtidos.

Vamos jogar novamente, mas agora vamos fazer um montinho quando completar

4 canudinhos soltos. (Se houver necessidade, os futuros professores poderão

repetir o jogo na base 7).

1- Vamos somar o total de pontos de cada grupo. Qual grupo teve mais

pontos? E qual teve menos?

2- Se somarmos os canudinhos de toda a turma teremos quantos? (Os

futuros professores devem perceber a necessidade de criar classes

maiores e estabelecer as relações entre elas).

Ao professor: No anexo 1, você encontra a planificação de um dado elaborado

pela professora PDE-2013 Cecilia Harumi Iwazaki. Ele é muito versátil, pois não

precisa ser colado, apenas encaixado. Assim, você pode desmontá-lo para

guardar e montá-lo novamente quando precisar.

Deixe que os alunos percebam a necessidade de criar novos grupos. Caso eles

não consigam peça para que analisem a regra do jogo e faça a mediação para

que eles construam o conhecimento. Faça também alguns cálculos com a nova

base.

Quando eles entenderem como pensar em base diferente, explique a base 2,

usada pelo computador. Sugestão: O Sistema de Numeração Binária. Disponível

em:<http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/sistema-de-numeracao-

binaria/sistema-de-numeracao-binaria.php>. Acesso em 10 nov. 2013.

Faça uma discussão sobre as dificuldades e descobertas que encontraram

durante a atividade, as potencialidades e limitações da atividade para trabalhar

http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/sistema-de-numeracao-binaria/sistema-de-numeracao-binaria.php


com a criança.

Observações: Nessa atividade, como utilizamos a base 5, cada “caixinha”

corresponde à ordem de unidade de milhar, cada “saquinho” à ordem das

centenas, cada “montinho” à ordem das dezenas e os “soltos” à ordens das

unidades no SND. Para representar os resultados obtidos, utilizamos a mesma

ordem utilizada pelo Sistema de Numeração Decimal. Lembrando que, por

convenção, a organização das ordens do nosso sistema de numeração começa

da direita para a esquerda com o grupo “menor” (unidade) e segue esta ordem:

unidade, dezena, centena, unidade de milhar, dezena de milhar, etc.

Quadro 4: Representação de números na base 5

Representação do nº na base 10

Caixas

Pacotes

Montinhos

Soltos

Representação do nº na base 5

18 3 3 33

35 1 2 0 120

59 2 0 4 104

23 4 3 43 Fonte: A autora

Dessa forma, o número “18” na base “10” corresponde a “33” na base “5” e

representa-se 18(10) = 33(5).

Vejamos: se precisamos agrupar em “montinhos” cada 5 canudinhos “soltos”,

temos 3 “montinhos” com 5 canudinhos cada e 3 canudinhos “soltos”.

Como não há possibilidade de existir o algarismo “5” na base 5, como não existe

o algarismo “10” na base 10, sempre que temos uma quantidade igual a base do

sistema que estamos operando, trocamos, automaticamente, por outro grupo

maior, tantas vezes quanto for a base que estamos usando, ou seja, se estamos

operando com a base 5, cada “montinho” é 5 vezes maior que um “solto” e

quando tenho 5 “montinhos” preciso criar um novo grupo que seja 5 vezes maior

que ele. No nosso caso, o “pacote”. Quando temos 5 “pacotes”, criamos outro

grupo que também é 5 vezes maior que ele e chamamos de “caixinha”. Desta

forma, a representação do “5” na base “5” é “10”; assim como também é “10” a

representação do “7” na base “7”.

Devemos lembrar que quando mudamos de base, fazemos a representação de

uma mesma quantidade de forma diferente, mas a quantidade representada

continua a mesma, independente da forma de representação.

Fonte: Adaptação de RAMOS, L.F. Conversas sobre números, ações e

operações: uma proposta criativa para o ensino da matemática nos

primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.p.48.

Atividade 3 - JOGO: NUNCA DEZ

Análise a priori: Os futuros professores vão entender como se deu a construção

do Sistema de Numeração Decimal. Vão representar com algarismos na tabela e

não com desenhos. Acharão perda de tempo representar por desenhos, sendo

que já sabem usar os algarismos. Ficarão surpresos quando entenderem como

acontece a construção das formas de registro até chegar na que usamos hoje.

Vão dizer que se o professor ensinasse assim teriam aprendido quando eram

crianças.

Objetivo: Proporcionar ao aluno o entendimento da construção e representação

do Sistema de Numeração Decimal. Conceituar unidade, dezena, centena e

milhar.

Material: material dourado, lápis e papel.

Desenvolvimento: Em grupo de até quatro alunos, cada um, na sua vez, joga o

dado, pega a quantidade de cubos sorteados e quando conseguir 10, troca por

uma barra. Quando completar 10 barras, troca por uma placa, registrando a cada

rodada o total de placas, barras e cubos que conseguiu, após fazer as trocas.

Vence quem, ao final, tiver mais placas, barras e cubos.

Tabela 2: Representação de números com material dourado

Rodada Placas Barras Cubinhos

1

2

Fonte: A autora

Agora que já terminou o jogo, vamos fazer algumas atividades.

1- Registre o resultado final do seu jogo.

2- Quem venceu? Com qual resultado? Registre.

3- Se juntar as placas, barras e cubos de todos os jogadores do seu grupo,

qual será o resultado? E como registrar isso?

4- Comparando os resultados de todos os grupos da sala, qual deles é o

vencedor? Registre o resultado.

5- Quantas placas, barras e cubos o grupo vencedor tem a mais em relação

ao segundo colocado? Vamos registrar.

6- Quantas placas, barras e cubos o jogador que tem menos pontos precisa

ter para empatar com o vencedor? Como podemos registrar isso?

Ao professor: Incentive os futuros professores a pensar como crianças. Eles

precisam passar por todos os estágios da construção do pensamento para ter

experiência e subsídios em sua prática pedagógica. Incentive os registros

somente por desenhos (se tem 5 barras, desenha 5 barras), depois por desenhos

e algarismos (o algarismo indica a quantidade de uma determinada peça – se

tenho oito cubos, escrevo o algarismo 8 antes do desenho de um cubo) e por fim,

representar só por algarismos. Isso ajuda o aluno a entender a ideia de

decomposição dos números, que facilita muito o aprendizado das operações.

Figura 26: Representação do número 123 com material dourado


Fonte: Adaptação de PARANÁ, Secretaria de Estado do. Coletânea de

atividades-Matemática-aluno. Sala de Apoio à aprendizagem. SEED, Curitiba,

2005. p. 41-43.

Atividade 4 – CONSTRUÇÃO DO ÁBACO

Análise a piori: Os futuros professores terão facilidade em confeccionar e

trabalhar com o ábaco e alguns já viram o material, mas não sabem como usá-lo.

Objetivo: Construir um ábaco para ser usado como recurso na representação

numérica e cálculos das operações. Aprender a utilizar o ábaco e conceituar

ordens e classes.

Material: 1 caixa de sapatos, 4 rolinhos de papel higiênico, papel colorido, cola,

tesoura e canudinhos de refrigerante.

Desenvolvimento: Encape a caixa e os rolinhos de papel higiênico (de

preferência um de cada cor). A tampa da caixa será a base e os rolinhos as

hastes de nosso ábaco. Não cole as etiquetas antes de jogar, pois serão coladas

no momento da explicação sobre as ordens.

Repita o Jogo Nunca 10, utilizando dois dados e marcando no ábaco a soma dos

números sorteados. No sentido da direita para a esquerda, a cada dez

canudinhos colocados no primeiro rolinho, troca-se por um canudinho que será

colocado no segundo rolinho. Cada dez canudinhos do segundo rolinho, troca-se

por um canudinho colocado no terceiro rolinho e assim por diante. (Lembre-se

que ainda não foi explicada a nomenclatura das ordens aos futuros professores,

explique como usar o ábaco e peça para eles criarem um nome para cada grupo

(rolinho) – não pode ser unidade, dezena, centena e unidade de milhar, pois as

crianças ainda não conhecem essa nomenclatura e estamos pensando como

elas).

Figura 27: Ábaco confeccionado por alunos Figura 28: Ábaco confeccionado com caixa de ovos e palito

Fonte: Fotos da autora Fonte: Fotos da autora

Quando o jogo terminar, peça aos futuros professores que comparem os

resultados obtidos com seus colegas e questione:

1- Quem obteve maior resultado? Qual é esse valor?

2- Quem obteve o menor resultado? Qual é esse valor? (O objetivo dessas

questões é que os alunos percebam como é difícil escrever um número se

não houver estabelecida uma regra que todos entendam o seu significado.

Se houver necessidade, questione-os para construir esse conhecimento).

3- Na primeira atividade, usamos os termos “soltos”, “montinhos”, “pacotes” e

“caixas” para identificar cada grupo. Na segunda atividade chamamos os

grupos de cubinhos, barras, placas e cubão e no ábaco criamos essa

nomenclatura. Que nome poderia ser dado aos grupos que valesse para

qualquer outro material usado para representar números? (Deixe os alunos

exporem suas opiniões e explique a eles que cada um desses grupos recebeu,

por convenção, o nome de ordem e, três ordens formam uma classe. Então, o

grupo dos avulsos recebeu o nome de UNIDADE, o grupo de 10, de DEZENA, e o

grupo de 100, de CENTENA, formando uma classe. Todas as outras classes têm

estas mesmas ordens. Por exemplo, a classe dos milhares é formada pelas

ordens: UNIDADE DE MILHAR (grupo de 1.000), DEZENA DE MILHAR (grupo de

10.000) e CENTENA DE MILHAR (grupo de 100.000). As próximas classes serão

milhões, bilhões, trilhões, e assim por diante).

Ao professor: O fato de colar os rolinhos no verso da tampa facilita o manuseio

do mesmo, pois os canudinhos podem ser guardados dentro da caixa e, como o

material é individual, os alunos poderão levar para casa para fazer suas

atividades e, quando guardado na escola, vai ocupar pouco espaço.

Se achar conveniente pode fazer o ábaco com caixas de ovos, palitos de

churrasco, tampinhas furadas ou círculos de EVA como mostra a figura 28. O

encaminhamento pode ser o mesmo descrito acima.

Fonte: Adaptação de NOGUEIRA, C.M.I.; ANDRADE, D.(Org). Conceitos

básicos em Educação Matemática nos anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Maringá, Pr: EDUEM, 2009. p.76.

Atividade 6 – ORDEM NO PRATO

Análise a priori: Os futuros professores não terão dificuldades em realizar a

atividade, apenas será necessário ajudá-los no momento de reflexão sobre a

metodologia a ser usada em sala de aula com as crianças.

Objetivo: Formar números e representá-los no cartaz valor de lugar, fazer a

decomposição dos números e escrevê-los por extenso.

Material: 1 prato de plástico, 1 pincel para retroprojetor ou CD na cor preta,

sementes, lápis e papel, 1 cartaz valor de lugar e fichas numeradas de 0 a 9 (pelo

menos 5 com cada algarismo) para cada aluno.

Desenvolvimento: Divida o prato em quatro setores circulares iguais. Anote em

cada setor, no sentido horário e nessa ordem, as letras U, D, C, UM. Cada aluno,

na sua vez, joga um punhado de sementes e anota o número formado,

obedecendo ao lugar em que as sementes caíram.

Figura 29: Ordem no prato


No exemplo registrado na figura acima caíram 7 sementes no setor UM, 5 no

setor C, 4 no setor D e 5 no setor U, então o número a ser escrito é 7.545. Se cair

em algum setor mais de 9 sementes, o aluno deverá passar uma semente para o

setor da esquerda e retirar as outras que sobraram, exceto se o fato ocorreu no

setor UM, quando será apenas retiradas as sementes excedentes, sem passar

uma para o setor da esquerda. Caso a semente caia em cima da linha, ela

passará para o setor da direita. Os números formados deverão ser registrados no

cartaz valor de lugar. Sugere-se que cada aluno jogue 5 vezes antes de continuar

as atividades.

Agora, vamos analisar os resultados que obtivemos:

1- Quem formou o maior número? Qual é este número? Como você sabe?

2- Quem formou o menor número? Qual é este número? Como você sabe?

3- Será que existe uma regra que nos ajude a descobrir qual é o maior e o

menor número?

4- Escreva os números que você formou em ordem crescente no quadro valor

de lugar.

Quadro 5: Quadro valor de Lugar 2

Unidades de Milhar

Centenas Dezenas Unidades

Fonte: A autora

5- Escreva o valor de cada algarismo do maior e do menor número que você

formou.

6- Compare os números que você escreveu com os dos colegas do grupo.

Todas as representações são iguais?

Ao professor: Cada aluno pode ter seu próprio cartaz valor de lugar (CAVALU)

ou cartaz de pregas como também é conhecido. No anexo você encontra

informações de como confeccioná-lo.




Atividade 8 – PINTANDO ORDENS

Análise a Priori: Os futuros professores vão achar a atividade interessante e não

terão dificuldades para jogar, mas sim em fazer as reflexões com relação ao jogo.

Objetivo: Avaliar a compreensão do valor posicional dos números do Sistema de

Numeração Decimal.

Material: 1 dado escrito uma classe em cada face (unidade, dezena, centena,

unidade de milhar); uma face com um círculo vermelho e outra com um círculo

azul, cartões com algarismos de 0 a 9, lápis de cor e 1 tabuleiro (Apêndice 4).

Procedimento: Num grupo de três ou quatro jogadores, cada aluno escolhe uma

cor de lápis, de preferência clara, para não cobrir os números da cartela. Cada

aluno pega uma carta, num monte embaralhado. Aquele que tirar a carta com

maior valor é o primeiro a jogar, quem estiver à sua esquerda é o segundo e

assim por diante. Na sua vez, o aluno retira uma carta do monte embaralhado

para saber qual algarismo irá analisar e joga o dado para saber em qual classe o

número retirado deve estar. Por exemplo, se o aluno tirou uma carta com o

número 7 e o dado com UM, deverá procurar um número que tenha o algarismo 7

na ordem unidade de milhar. Se encontrar, pintará o quadrinho em que ele está.

Caso não tenha nenhum número que satisfaça a condição, o aluno passa a vez.

As cartas após serem sorteadas, voltam ao monte para serem embaralhadas

novamente para o outro jogador. Se tirar a face do dado com o círculo vermelho

passa a vez, mas se tirar com o círculo azul tem direito a marcar dois números (se

houver), que satisfaça a condição (lançar o dado novamente). Se nesse

momento, tirar o círculo vermelho, passa a vez. Quando marcar algum número

errado, fica uma rodada sem jogar. Vence quem tiver mais quadrinhos pintados

com a cor que escolheu.

Depois de realizar a atividade, vamos fazer algumas análises:

1- Você sentiu dificuldades para realizar essa atividade?

2- Ela têm limitações, algo que poderia ser melhorado?

3- Quais reflexões e atividades poderiam ser levantadas com os alunos a

partir dessa atividade? (Professor, só intervenha caso seja necessário.

Deixe que os alunos reflitam sobre o assunto e exponham suas ideias.

Leia a sessão do professor).

Ao professor: Pode-se utilizar apenas unidade, dezena e centena nas faces do

dado, escrevendo cada uma delas duas vezes e retirar o último algarismo de cada

número da tabela, se houver necessidade. Pode-se também aumentar as classes

acrescentando dezena de milhar e centena de milhar nos números da tabela e

nas faces do dado, retirando os círculos azul e vermelho. Também é possível

mudar as regras. Por exemplo, se o aluno fizer a leitura corretamente do número

que pintou escolhe outro com as mesmas características para pintar. No final da

atividade pode-se pedir para cada aluno anotar os números que pintou e escrevê-

los por extenso, criar situações-problemas para um colega resolver e depois

corrigir com os números pintados.

Abaixo estão algumas sugestões que poderão ajudar os alunos a pensarem sobre

a questão nº 3:

1- Quantos quadrinhos no total vocês pintaram? Quem pintou mais quadrinhos?

Quantos a mais que o último colocado? Será que alguém poderia terminar o jogo

sem conseguir pintar nenhum quadrinho ou, ao contrário , pintar todos eles?

Existe alguma estratégia que ajude você ganhar o jogo?

2- Anote os números que você pintou e escreva o nome deles por extenso.

3- Faça a decomposição dos números que você pintou em unidades, dezenas,

centenas e unidade de milhar.

4- Escolha dois números que você pintou, escreva numa folha e troque-a com seu

colega da esquerda. Todos escrevem o número por extenso e depois trocam as

folhas novamente para cada um corrigir aquela que elaborou.

5- Elabore um problema com dois números que pintou e passe para o colega da

direita resolver. Retorne as atividades para cada um corrigir a que elaborou.

Fonte: Atividade elaborada pela professora PDE

As operações

Para que a criança tenha condições de aprender as operações, é necessário que

conheça número e tenha domínio das regras do Sistema de Numeração Decimal.

(cf. Nogueira e Andrade, 2009). Se a criança entender o sistema de trocas e

agrupamento do SND, não terá dificuldade para entender as técnicas das

operações, principalmente “Vai um” e “empresta um”, muito menos a presença do

zero como ausência de elementos em determinada ordem.

Ramos (2009) afirma que troca e agrupamentos são termos diferentes usados

para designar uma mesma ideia. Quando estamos trabalhando com materiais não

estruturados em que precisamos agrupar e desagrupar objetos iguais e de

mesmo valor, falamos em agrupamento. No entanto, quando estamos usando o

material dourado, onde trocamos objetos diferentes com valores diferentes

(barrinha por cubinhos, por exemplo), falamos em troca.

Um fator importante citado por Ramos (2009) no ensino e aprendizagem de

matemática é o fato de que as situações que envolvem cálculos matemáticos não

devem ser chamadas de problema ou situações-problemas, pois as crianças

quando chegam à escola, trazem a ideia formada de que problema é algo ruim.

Na realidade, segundo a autora, quando uma pessoa vai pagar a compra no

mercado, ela está usando a matemática para auxiliá-la numa situação que precisa

de cálculos para resolver, mas isso não é problema. O problema seria se ela não

tivesse dinheiro para pagar a compra. Nesse sentido, o termo correto, sugerido

pela autora, é situação matemática ou histórias matemáticas.

A forma de registro dos algarismos não deve ser mais importante do que a

compreensão da situação matemática a ser resolvida. Não basta apresentar o

algoritmo é importante que a criança construa esse conhecimento. Cada criança

tem um raciocínio próprio e não podemos exigir que ela use um ou outro registro,

o importante é que ela encontre o resultado esperado e entenda o processo que

está fazendo. Lógico que também devemos incentivá-las a buscar registros mais

rápidos, mas não deve ser uma imposição.

O cálculo mental também deve ser exercitado, assim como as estimativas. Antes

de qualquer operação o aluno deve ter uma ideia do resultado a ser obtido,

confirmando ou não após o cálculo, pois isto o ajuda a agir criticamente e

perceber seus erros e acertos, sendo mais autônomos em sua aprendizagem.

ADIÇÃO

A criança, ao chegar à escola, por volta dos 5 anos já sabe contar e encontrar ao

resultado de uma adição. Mas isso ocorre por meio da contagem e não da

operação, como afirma Ramos (2009). Nessa idade a criança ainda está no

período pré-operatório e para operar matematicamente, é necessário que ela

conserve quantidade, que acontecerá quando estiver com 7/8 anos. Ramos

(2009) nos explica como saber se uma criança está realizando uma operação ou

uma contagem:

Quando uma criança considera a quantidade que já tem e com base nisso acrescenta a nova quantidade para encontrar o resultado, está adicionando, ou seja, realizando uma operação matemática. Sempre que ela voltar a contar do primeiro elemento estará fazendo uma contagem, não uma adição (RAMOS, 2009, p. 62).

A autora lembra também que o mesmo ocorre com a operação de subtração, ou

seja, a criança só estará subtraindo “quando for capaz de imaginar [...] sem que

precise voltar e contar uma a uma as balas que tem (RAMOS, 2009, p. 62).”

Porém, o fato de a criança juntar e fazer a contagem para chegar ao resultado é

extremamente importante para a construção do pensamento aditivo.

A adição apresenta dois significados: juntar e acrescentar. Nogueira e Andrade

(2009) afirmam que, apesar de parecerem iguais para nós adultos, para a criança

esses significados são bem diferentes e o professor deve trabalhar situações

variadas para que a mesma entenda que os dois significados correspondem à

mesma operação e “É apenas quando a criança utiliza a adição para resolver

problemas com os dois significados que podemos dizer que ela está de posse do

conceito de adição (NOGUEIRA E ANDRADE, 2009, p. 86).”

Ramos (2009) conclui dizendo que os dois significados exigem competências e

habilidades diferentes para entendê-los, pois nas situações que envolvem a ação

de juntar não existe mudança de temporalidade, ao contrário das situações que

envolvem a ideia de acrescentar, em que as transformações ocorrem em tempos

diferentes. Outra sugestão apresentada por Ramos (2009):

Minha sugestão é que no 1º e no 2º ano sejam trabalhadas com maior ênfase as situações matemáticas que envolvam ações de acrescentar. As ações de reunir podem ser trabalhadas de maneira mais intensa a partir do 3º ano, uma vez que é por volta dos oito anos que as crianças são capazes de lidar seguramente com inclusão de classes (Ramos, 2009, p.69).

Para iniciar o trabalho com adição, usa-se então o mesmo caminho feito para

compreensão do SND: primeiro os materiais manipuláveis não estruturados

(palitos, tampinhas, sementes) depois com material dourado, cartaz valor de

lugar, quadro valor de lugar, fichas simbólicas, ábaco e por fim o algoritmo.

O algoritmo da adição não é único, ou seja, existem várias formas de representar

os cálculos feitos para chegar a solução de uma situação matemática. Dentre eles

estão a técnica expandida (soma-se os valores decompostos), longa, breve e por

várias contas.

Vamos tomar como exemplo a adição: 26 + 37

Quadro 6: Algoritmos da adição

Adição Expandida Longa Breve Várias Contas

26 + 37

2 0

+ 3 0

6

7

5 0 13

Reescrita:

65 +11 = 63

2 6 + 3 7

( 6+5) 1 3 ( 20+30) 5 0

6 3

1 2 6 + 3 7 6 3

20 6 + 30 + 7 50 13 50 + 13 = 63

Fonte: A autora

Quando se realiza a adição com cálculo mental usar as propriedades aditivas

para facilita o processo, e cada aluno é quem escolhe o seu caminho. Para isso é

importante que se faça atividades orais em que o aluno se “obriga” a realizar o

cálculo mental. Uma atividade interessante é o uso de jogos que é desafiador no

sentido de promover a agilidade nos cálculos.

As propriedades aditivas são: associação e a comutação. A associação nos

permite somar várias parcelas e agrupá-las da maneira mais conveniente, pois o

resultado não será alterado. Ex: 15 + 21 + 34 = 36 + 34 = 70 ou 15 + 21+ 34 =

15 + 55 = 70 ou ainda 15 + 21 + 34 = 49 + 21 = 70. Já a propriedade comutativa

garante que podemos inverter a ordem das parcelas que o resultado se mantém.

Ex: 25 + 38 = 63 ou 38 + 25 = 63.

Atividade 7 - SIGNIFICADOS DA ADIÇÃO

Análise a priori: Os futuros professores não terão dificuldades quanto a esta

atividade.

Objetivo: Apresentar os significados da adição e promover a aprendizagem com

relação ao uso de materiais não estruturados para o cálculo da adição.

Material: canudinhos cortados ao meio, elástico de dinheiro, fichas com situações

matemáticas envolvendo as propriedades da adição.

Desenvolvimento: O professor entrega os materiais para os futuros professores

que devem estar organizados em grupos com 3 integrantes. Cada futuro

professor, receberá uma ficha com 2 situações matemáticas e deverá resolvê-las

com o auxílio dos materiais recebidos e registrar em seu caderno o procedimento

de resolução. No final da atividade, os futuros professores comparam os

resultados das situações propostas, assim como os registros dos cálculos,

destacando as semelhanças e diferenças entre eles. Faça as reflexões e a

sistematização necessária.

Ao professor: Nesse momento é importante que os resultados das adições não

passem 50, para não perder tempo amarrando montinhos, visto que o objetivo é

entender os significados da operação. As sugestões de questões a serem

colocadas nas fichas estão abaixo:

1- Numa loja, havia 12 cadeiras para vender e chegaram mais 23. Quantas

cadeiras têm na loja?

2- Um ônibus ia de Cianorte para Maringá e levava 16 passageiros. Em

Jussara, embarcaram mais 31. Quantos passageiros têm no ônibus?

3- Ontem Melissa comeu 6 doces e hoje mais 3. Quantos doces ela comeu?

4- Numa loja tem 32 bicicletas e 14 triciclos para vender. Quantos produtos a

loja têm?

5- Rebeca comprou 18 figurinhas e 21 chaveiros. Quantos objetos ela

comprou?

6- Carla perdeu 14 bolinhas e 5 bonecas na mudança de casa. Quantos

brinquedos ela perdeu?

No final da atividade proponha aos futuros professores que separem as situações

matemáticas pela semelhança entre elas e então faça a socialização das ideias e

proponha uma reflexão para que os próprios estudantes construam seu

conhecimento.

Fonte: Atividade elaborada pela professora PDE.

Atividade 8: A TÉCNICA DO “VAI UM” OU FORMAR GRUPOS

Análise a priori: Os futuros professores não terão dificuldades sobre o assunto.

Objetivo: Estabelecer relações entre a resolução com material manipulável e o

algoritmo da adição com agrupamento.

Material: material dourado, lápis e papel.

Desenvolvimento: Resolva as seguintes situações utilizando o material dourado

e faça a representação no quadro valor de lugar.

1- Marcos tinha 25 balas e ganhou 18. Quantas balas ele tem agora?

2- Catarina comprou um celular por R$ 284, 00 e um aparelho de jantar por

R$193. Quanto ela gastou?

3- Célia tem 4 calças e 15 camisetas. Quantas peças de roupa ela tem?

Ao professor: Abaixo está representando como usar o material dourado para

resolver cálculos de adição, assim como, a ilustração de como explicar o

agrupamento ou “vai um” para a criança.

Figura 30: Representação de 226 + 334 Figura 31: Somando as parcelas

Fonte: A autora Fonte: A autora

Temos 226 = 200+20+6 e 334 = 300+30+4. Somando as duas parcelas temos

500 + 50 + 10. Como não podemos ter 10 unidades, as trocamos por uma barra,

ficando como resultado 500 + 60 = 560. Neste caso o zero representa a ausência

de unidades, ou seja, que não há nenhum cubinho.


Atividade 9: ALGORITMOS DA ADIÇÃO

Análise a priori: Os futuros professores não terão dificuldades em realizar essa

atividade. Ficarão confusos em relação ao uso dos materiais, principalmente do

cartaz valor de lugar e fichas simbólicas.

Objetivo: Apresentar o algoritmo da adição, assim como os recursos do cartaz

valor de lugar, quadro valor de lugar, ábaco e fichas simbólicas.

Material: cartaz valor de lugar, lápis, papel, ábaco e fichas simbólicas.

Desenvolvimento: Apresentar uma situação matemática de cada vez onde os

alunos, em dupla, resolverão utilizando um determinado recurso e registrando a

operação em forma de algoritmo. Os materiais podem ser trocados entre os

grupos, ou seja, na situação 1 uma dupla usa o ábaco, a outra o cartaz de pregas,

a outra as fichas simbólicas, a outra o quadro valor de lugar. Na atividade

seguinte, trocam-se os materiais usados. No final é importante que as duplas

socializem as experiências.

Troco 10 cubinhos por 1 barrinha.

1- Inês tinha 16 amigos num jogo de celular e adicionou mais 18. Quantos

amigos ela tem adicionado?

2- Um jovem recebeu R$ 349,00 por um mês de trabalho. Como estava no

final do ano, o patrão resolveu dar R$ 125,00 de presente para cada

funcionário. Quanto o jovem recebeu?

3- Num prato tem 28 pastéis, 35 coxinhas e 18 bolinhas de queijo. Quantos

salgadinhos têm em cada prato?

4- Uma fazenda tem 28 galinhas e 35 porcos. Quantos animais têm na

fazenda?

Ao professor: Na fundamentação teórica sobre materiais manipuláveis você

encontra informações sobre cada um dos materiais usados, inclusive como

confeccioná-los.


Atividade 10: CÁLCULO MENTAL

Análise a priori: Os futuros professores terão dificuldade em realizar cálculo

mental por não ser uma prática comum para eles.

Objetivo: Incentivar o cálculo mental através de atividade oral e a criatividade

para criar situações matemáticas.

Materiais: lápis, papel, 2 envelopes verdes e 2 envelopes amarelos, 2 fichas com

o número 1, 2 com o número 2, 2 com o número 3 e assim por diante até totalizar

o número de alunos da sala.

Desenvolvimento: Entregue uma operação de adição a ser resolvida pelo futuro

professor, individualmente. Com a resolução já feita, peça pra que ele formule

uma situação matemática que envolva a operação que acabou de resolver.

Depois que fizerem as questões, peça que eles se dividam em dois grupos. Dê

um número para cada aluno do grupo, que será sua identificação. Cada grupo

colocará suas questões em um envelope. O professor faz o sorteio de um

número. O aluno vai até a mesa do professor, sorteia um problema elaborado pela

equipe adversária. O professor lê a questão e o futuro professor terá que

respondê-la fazendo o cálculo mental. Se a resposta estiver correta a equipe

marca 1 ponto, mas se errar e a equipe que elaborou souber a resposta certa,

ganhará 2 pontos. Em seguida, o professor repete o procedimento com o outro

grupo e assim por diante até que todos tenham participado. Vence a equipe que

tiver o maior número de pontos.

Ao professor: Não diga as regras do jogo antes que todos entreguem as

questões elaboradas para não correr o risco de fazerem anotações sobre as

mesmas, pois o objetivo é que eles também estejam atentos ao que está

acontecendo e a resposta do colega.

Ao terminar o jogo, converse com os futuros professores sobre a possibilidade de

esta atividade ser feita como forma de avaliação de aprendizagem. Deixe que

eles deem outras sugestões de adaptação do jogo e outras atividades que podem

serem feitas a partir do mesmo.


SUBTRAÇÃO

A subtração é operação inversa da adição e, portanto, está relacionada à mesma

forma de raciocínio matemático. Ela possui três ideias importantes. A ideia de

retirar é bastante comum entre as crianças, ao contrário da ideia de comparar e

completar que dificilmente faz parte do vocabulário cotidiano delas.

Segundo Nogueira e Andrade (2009) na resolução de um exercício com a ideia de

completar ou “quanto falta para”, a criança não usará o conceito de subtração, já

que somará ao valor a ser retirado uma determinada quantia até chegar ao total

dado (subtraendo + diferença = minuendo), que é o mesmo procedimento

adotado pelos caixas para dar o troco de uma compra. Já a ideia de comparar ou

“achar a diferença”, segundo Ramos (2009) é ainda mais complexa para as

crianças, pois a relação existente é todo/parte, ou seja, do todo de uma

quantidade maior eu retiro a parte que corresponde ao todo da quantidade menor.

Por exemplo, se considero a seguinte situação: Cibele tem 7 filhos e Eva, 4.

Quantos filhos Cibele têm a mais que Joana? Para a criança torna-se difícil o

entendimento, pois de maneira concreta “não se pode fazer uma subtração entre

os filhos de uma e de outra, pois os filhos de Cibele e os de Eva são pessoas

diferentes (RAMOS, 2009, p.72)”.

A sequência de materiais para trabalhar a subtração é a mesma daquela usada

para as outras operações: material manipulável (tampinhas, sementes, etc.),

material dourado, cartaz valor de lugar (cartaz de pregas), fichas simbólicas,

ábaco e quadro valor de lugar.

Quanto ao cuidado com os materiais manipuláveis, especialmente o material

dourado Nogueira e Andrade (2009) nos alertam:

“Um dos equívocos mais comuns no trabalho com a subtração usando material dourado é a tentativa de reprodução do algoritmo. Esse procedimento, embora pareça facilitar a compreensão do algoritmo, altera substancialmente a ideia de retirar! Assim, com material manipulável (tampinhas, feijões, material dourado) representamos apenas o minuendo e retiramos deste o subtraendo (NOGUEIRA e ANDRADE, 2009, p. 97)”.

Outra recomendação dada pelos autores é que a necessidade de se começar a

resolução pelas unidades é restrito ao algoritmo escrito, as subtrações com ou

sem reservas resolvidas com o material dourado e o ábaco, têm o mesmo

resultado, independente se começamos a resolver da direita ou da esquerda.

O algoritmo da subtração é bem simples, passando da forma expandida

(decomposta) ao método breve. “As técnicas expandidas são um estímulo ao

raciocínio (RAMOS, 2009, p.123)” e segundo a mesma autora, a subtrações com

números maiores podem já ser feitas pelo método breve e fichas simbólicas, mas

de vez em quando o professor deve pedir para que os alunos resolvam com o

registro expandido. A autora também ressalta a importância de não colocarmos

para a criança a ideia de “empresta um”, mas sim “desmanchar grupos” ou “fazer

trocas“ segundo a característica do SND que agrupa ou reagrupa de 10 em 10.

Os algoritmos da subtração também possuem várias representações: técnica

expandida (decomposição), várias contas e método breve.

Quadro 7: Algoritmos da subtração

Subtração Expandida Breve Várias Contas

354 - 138

40 10 +

300 50 4 - 8_ 300 40 6

- 30______ 300 10

- 100__________ 200 10 6

Reescrita:

200 + 10 + 6 = 216

4 10 3 5 4

- 1 3 8 2 1 6

ou

14 40 300 - 8 - 30 -100 6 10 200 200 + 10 + 6 = 216

Fonte: A autora

O cálculo mental da subtração está pautado em três características que

chamamos de propriedades da subtração. Para entendê-las é necessário saber

os termos da operação. Minuendo é o maior valor (o que temos), subtraendo o

menor (o que vamos retirar) e o resultado é a diferença ou resto, lembrando que

estamos operando com os números naturais. Assim, na operação 128 – 43 = 85,

o minuendo é 128, o subtraendo é 43 e a diferença é 85.

As propriedades são:

1- Se adicionarmos ou diminuirmos um valor ao subtraendo, deixando o

minuendo inalterado, a diferença é acrescida ou diminuída desse mesmo

valor. Por exemplo: 285 – 147 = ? 285 – (147+3) = 285 – 150 = 135.

Como acrescentamos 3 no subtraendo para arredondar e facilitar o cálculo,

na verdade retiramos 3 unidades a mais do que deveria e então

precisamos colocá-las de volta no resultado, ficando assim: 135 + 3 = 138.

Se por outro lado tivéssemos diminuído 7 do subtraendo, precisaríamos

retirar esse valor do resultado porque retiramos 7 unidades a menos.

Tomando como exemplo a mesma operação citada acima, temos: 285 –

(147 - 7) = 285 – 140 = 145 – 7 = 138.

2- Se adicionarmos ou subtrairmos um valor ao minuendo, deixando o

subtraendo inalterado, a diferença é diminuída ou acrescida desse mesmo

valor. Por exemplo: 285 – 147 = ? (285 + 2) – 147 = 287 – 147 =

140. Como acrescentamos 2 ao minuendo para arredondar e facilitar o

cálculo, na verdade temos 2 unidades a mais do que deveria e então

precisamos retirá-las do resultado, ficando assim: 140 - 2 = 138. Se por

outro lado tivéssemos diminuído 5 do subtraendo, precisaríamos

acrescentar esse valor ao resultado porque temos 5 unidades a menos do

que deveria. Tomando como exemplo a mesma operação citada acima,

temos: (285 – 8) – 147 = 277 – 147 = 130 + 8 = 138.

3- Se adicionarmos ou diminuirmos, ao mesmo tempo, um mesmo valor ao

minuendo e ao subtraendo, o resultado não se altera. Ex: (285 + 2) – (148

+ 2) = 287 – 150 = 137 ou (285 – 8) – (148 – 8) = 277 - 140 = 137.

O cálculo mental também pode fazer uso da decomposição do subtraendo,

retirando uma ordem de cada vez do minuendo, como mostra o exemplo.

Considerando a mesma subtração 285 – 147, usada anteriormente, temos: 285 –

147 = 285 – 100 = 185 – 40 = 145 – 7 = 138 ou 285 – 7 = 278 – 40 = 238 – 100 =

138. Assim, percebemos que como com o material dourado e o ábaco, a ordem

em que começamos a subtrair não faz diferença.

Atividade 11: SIGNIFICADOS DA SUBTRAÇÃO

Análise a priori: Os futuros professores resolverão facilmente as atividades que

envolvem a ideia de retirar e completar, mas terão dificuldades em relação à ideia

de comparar, principalmente na identificação do significado de cada número na

operação.

Objetivo: Apresentar aos futuros professores as ideias da subtração, assim como

acentuar a importância de trabalhar o significado de cada número na operação.

Material: canudos, elásticos de dinheiro, ábaco e cartaz valor de lugar.

Desenvolvimento: Em cada atividade proponha aos alunos o uso de um

determinado material para que os mesmos aprendam como utilizá-los. Os alunos

em grupo de três integrantes resolvem a situação matemática apresentada, sendo

que cada um utilizará um material diferente (ábaco, material não estruturado e

cartaz valor de lugar). Os futuros professores conferem a resolução das situações

propostas e se caso houver alguma divergência entre os resultados, os próprios

alunos do grupo podem auxiliar o colega a chegar ao resultado correto.

1- Kamilly tinha 25 bombons e comeu 13. Quantos bombons ela tem agora?

2- Elena tem 480 brigadeiros encomendados. Ela já fez 245. Quantos brigadeiros ainda faltam para ela fazer?

3- Inês tem 56 anos e Magno 29. Qual a diferença de idade entre eles?

Ao professor: Incentive os futuros professores a perceberem as diferenças entre

o raciocínio utilizado em cada situação-problema. Se for necessário, faça mais

uma sequencia de atividades semelhantes às propostas para fixação do

conteúdo. Apresente também a eles três situações que sejam resolvidas com a

mesma operação, mas com as diferentes ideias de subtração. Ex:

Maria tinha 43 lápis e perdeu 12. Com quantos ela ficou? (ideia de retirar)

Gabriela quer comprar uma boneca que custa R$ 43,00. Ela já tem R$ 12,00.

Quantos reais ela precisa ganhar para comprar a boneca?(ideia de completar)

Selma tem 43 figurinhas e Sandro tem 12. Quantas figurinhas Selma têm a mais

que Sandro? (ideia de comparar)




Atividade 12: A TÉCNICA DE DESMANCHAR GRUPOS (“EMPRESTA UM”)

Análise a priori: Os futuros professores relatarão que não sabiam a explicação

do processo e que não aprenderam da maneira explicada. Alguns terão

dificuldade em resolver a subtração pelo algoritmo. Depois da atividade as

dúvidas serão sanadas.

Objetivo: Apresentar a técnica da subtração com reserva através do material

dourado e o algoritmo da subtração.

Material: Material dourado, lápis, papel.

Desenvolvimento: Peça aos alunos que resolvam a situação matemática, com

ajuda do material dourado, registrando o algoritmo no caderno, a seguinte

situação:

Mayara tinha R$ 354,00 em sua carteira. Seu sapato perdeu o salto enquanto ela

ia ao shopping. Como estava muito longe de casa, precisou comprar um sapato

novo e escolheu um que custava R$ 138,00. Com quantos reais ela ficou?

Após a resolução faça alguns questionamentos, como por exemplo: Qual foi o

resultado? O que representa cada peça do resultado final? Porque você trocou a

dezena e não a centena por unidades? Como representar no algoritmo que você

fez essa troca?

Ao professor: O ideal é que o professor antes de trabalhar com o material

dourado, apresente esta técnica com o material não-estruturado (canudinhos

amarrados em montes e soltos como fizemos na atividade ) para que o aluno

perceba claramente o processo de desmanchar grupos ou fazer trocas.

Outra sugestão é diferenciar o material utilizado na resolução das operações com

o ábaco e fichas simbólicas. (Informações no item materiais manipuláveis)

Fonte: Adaptação de Educação Matemática 1: números e operações

numéricas, p. 41 e de Conversas sobre números, ações e operações, p. 119.

Atividade 13: PROPRIEDADES DA SUBTRAÇÃO E CÁLCULO MENTAL

Análise a priori: Os futuros professores encontrarão dificuldades em realizar as

atividades por não terem familiaridade com as propriedades da subtração.

Objetivo: Apresentar as propriedades do cálculo mental da subtração, assim

como uma reflexão a respeito da mediação do professor no processo de

construção do pensamento matemático.

Material: lápis e papel.

Desenvolvimento: Apresente as propriedades da subtração e em cada situação

matemática peça para que os futuros professores resolvam utilizando as três

propriedades da subtração.

1- Cristina é doceira. Ela comprou 5 dúzia de ovos para fazer pudim. Ela já gastou 36 ovos. Quantos ovos sobraram para ela fazer bolos?

2- Marieni tem R$ 425,00 e comprou uma boneca de R$ 165,00. Com quantos reais ela ficou?

3- Felipe tinha 504 bolinhas de gude e perdeu 136. Quantas bolinhas ele tem agora?

Fonte: Atividade realizada pela professora PDE.

MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação, como as outras operações está muito presente em nossas vidas.

Muitos professores têm a ideia de que para aprender a multiplicar é preciso que a

criança tenha abstração suficiente para entender os algoritmos, visto que é um

procedimento bastante técnico. Muitas são as vezes em que o algoritmo breve

(aquele que utilizamos) é apresentado para a criança como o único método para

resolução da multiplicação. No entanto, uma criança com 7/8 anos já consegue

criar estratégias para resolver situações-problemas que envolvem multiplicação.

Claro, que nessa etapa, é necessário o uso de material manipulável e valores

numéricos pequenos para que ela possa construir a ideia multiplicativa. Com o

tempo esse material dá lugar às fichas simbólicas e por último ao algoritmo

propriamente dito.

Luzia Faraco Ramos em seu livro Conversas sobre números, ações e operações

(2009), destaca a importância da multiplicação ser construída sustentada no que

a criança conhece e que situações matemáticas multiplicativas exigem ações que

envolvem várias vezes a mesma quantidade. Num exemplo citado por ela em que

há 4 pratos com 3 fatias de pão cada um, a criança só precisa entender que ela

está vendo 4 vezes 3 fatias de pão e que tem 12 fatias no total, ou seja, para

transcrever matematicamente basta a criança saber como representar o “vezes”

porque os números e o sinal de igualdade ela já conhece. Então: 4 x 3 fatias de

pão = 12 fatias de pão. O primeiro número (4) indica quantas vezes o grupo se

repete e o segundo (3), quantos elementos há em cada grupo. Esse é o princípio

para entender a tabuada e, além disso, a representação tem significado para a

criança, pois partiu de uma história matemática. Perceba que a quantidade de

vezes que o número se repete aparece escrita antes do número que representa

quantos elementos há em cada grupo. Isso na verdade, é o contrário do que é

apresentado às crianças na tabuada. Para explicar melhor, vamos tomar a

tabuada do 3, com o registro descrito acima:

Quadro 8: Construção da Tabuada

:

Percebeu a diferença? O que é mais fácil entender: 2 vezes 3 fatias (2 x 3 fatias)

ou 3 fatias 2 vezes (3 fatias 2x)? Será que não estamos complicando a

aprendizagem dos alunos?

A multiplicação possui três significados ou ideias importantes: aditiva ou ação de

contar grupos com a mesma quantidade de elementos, multiplicação combinatória

e configuração retangular ou organização retangular. Iniciamos então com a ideia

aditiva que é a mais simples de entender porque consiste apenas em adições

sucessivas de um mesmo valor. Essa ideia também é a base para a construção

da tabuada. Com a ideia de organização retangular em que, para se obter o

resultado ou área de um retângulo, multiplica-se linhas e colunas, podemos

Na construção do pensamento multiplicativo

Na apresentação da tabuada que normalmente é dada à criança

1 x 3 = 3 4 x 3 = 12 3 x 1 = 3 3 x 4 = 12

2 x 3 = 6 5 x 3 = 15 3 x 2 = 6 3 x 5 = 15

3 x 3 = 9 6 x 3 = 18 3 x 3 = 9 3 x 6 = 18 Fonte: A autora

trabalhar a propriedade distributiva da multiplicação, que também será

aprofundada na observação e construção da tabela pitagórica.

A multiplicação combinatória é o significado mais complexo de ser entendido pela

criança porque o resultado é a soma das possibilidades, mas só vemos uma

possibilidade de cada vez, como no caso de escolha de roupas. Se tenho 3 saias

e 5 blusas, tenho no total 15 possibilidades de me vestir, mas vou usar uma

combinação de cada vez. Segundo Ramos (2009), essa multiplicação deve ser

trabalhada com crianças a partir do 3º ano, por exigir um grau de abstração maior.

Quanto às propriedades associativa, comutativa e distributiva da multiplicação é

necessário saber que elas devem ser exploradas desde o início do processo de

construção da multiplicação. A propriedade comutativa nos garante que a ordem

dos fatores não altera o produto, ou seja, 5x2 = 2x5. Mas, segundo Ramos (2009)

em sua obra citada acima, não podemos dizer que as duas situações são iguais,

mas sim que tem o mesmo resultado. Por exemplo: cinco pratos com dois

pedaços de bolo cada é diferente de dois pratos com cinco pedaços de bolo (se

você fosse escolher um prato para levar para casa, preferia qual situação?).

Ainda, segundo Ramos (2009), “[...] quando vemos a matemática na vida, vemos

ações, não regras [...] Se olho a matemática dissociada da vida, de forma

descontextualizada, parece que não faz diferença” (RAMOS, 2009, p. 82). As

outras propriedades poderão ser mais bem entendidas na atividade de construção

da tabela pitagórica.

Outro aspecto importante a destacar quando trabalhamos com a multiplicação são

os vários registros que a criança usa para chegar ao algoritmo “breve”. Como ela

inicia esse processo usando material manipulável, os primeiros registros

acontecerão pela decomposição do número a ser multiplicado como mostra a

atividade 21 (Algoritmos da multiplicação). Assim como os registros da

multiplicação não podem ser impostos, a criança não deve ser obrigada a decorar

a tabuada, muito menos se ainda não entendeu sua construção. Ela memorizará

aos poucos, a medida que o professor trabalhar situações desafiadoras e o jogo é

um bom recurso para isso.

Em cada atividade proposta há esclarecimentos sobre o conteúdo trabalhado na

mesma, assim como outras referências para aprofundamento do assunto.

Atividade 14 – INICIAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO

Análise a priori: Os alunos não terão dificuldades em executar a tarefa, mas

representarão os procedimentos diretamente com números, sem pensar na

representação por desenho.

Objetivo: Introduzir a ideia de multiplicação aditiva através de agrupamentos e

contagem.

Material: Copinhos de água, canudinhos cortados ao meio, elástico de dinheiro,

lápis e papel para anotação, 25 fichas 3x6 (divididas ao meio contendo de um

lado o numeral e do outro a quantidade representada por desenhos (triângulos,

bolinhas, quadradinhos, etc.). Para cada numeral (1 a 5) colocado na ficha, deve

ter cinco representações com desenho, ou seja, serão 5 fichas contendo o

numeral 1 e em cada uma o desenho de uma quantidade diferente (1 a 5).

Desenvolvimento: Distribua para cada dupla as cartas, os canudinhos, os

elásticos e os copinhos. Um dos alunos embaralha as cartas e faz um monte com

as instruções viradas para baixo. Um aluno pega uma carta e faz o agrupamento

indicado. Por exemplo, se na carta estiver escrito o numeral 2 e desenhado 5

bolinhas, ele deverá fazer dois montinhos com cinco canudinhos em cada um e

amarrar com o elástico, fazer a contagem do número total, colocar os montinhos e

a ficha no copinho.

Ao professor: Quando o aluno se familiarizar com a atividade é importante que

ele comece a fazer o registro do procedimento. Esse registro vai variar de acordo

com o grau de abstração de cada um. Vamos imaginar que na carta sorteada está

escrito o numeral 2 e desenhado 5 bolinhas, o aluno poderá registrar o processo

de várias maneiras, como por exemplo: desenhar a ficha, desenhar os 2

montinhos com 5 “bolinhas” cada e escrever ou desenhar o total de sementes;

escrever por extenso o que fez (dois montinhos com cinco canudinhos em cada

um dá 10 canudinhos). É importante que eles entendam o que estão fazendo e o

registro será sistematizado aos poucos. Peça então para que façam o registro na

tabela começando por desenhos e depois, que registrem apenas com números.

Sugestão de tabela:

Tabela 3: Representação do processo de construção da tabuada

Fichas

Representação Total de

canudinhos Quantos

montinhos

Quantos canudinhos

por montinho

2 10

2 5 5 + 5 10

Fonte: A autora



Maringá, Pr: EDUEM, 2009, p.110.

Atividade 15 – CONSTRUÇÃO DA TABUADA

Análise a priori: Os alunos não terão dificuldades em realizar a atividade e

acharão interessante a maneira de construir a tabuada.

Objetivo: Construir a tabuada através de adições sucessivas, introduzindo o

significado da mesma.

Material: Papel, lápis e borracha.

Desenvolvimento: Apresente aos alunos a seguinte situação:

1- Lucas faz coleção de bolinhas. Como todo mundo já está sabendo, quando

chega seu aniversário adivinha o que ele ganha de presente? Bolinhas. Até na

Páscoa ele ganhou bolinhas, mas essas eram de chocolate! Ele precisa organizar

suas bolinhas para não comprar bolinhas repetidas. Ele foi numa loja e encontrou

um modelo de caixa que cabe três bolinhas. A caixa é tão bonita e ainda tem a

tampa transparente para todos poderem ver as bolinhas que tem dentro. Como

ele não sabe quantas bolinhas poderá ganhar e quantas caixas precisará

comprar, ele teve a ideia de organizar isso numa tabela, mas não sabe como

fazer. Vamos ajudá-lo? (Tabela completa no apêndice 5)

Tabela 4: Construção da tabuada

nº caixas

Bolinhas por caixa

Representação Total de bolinhas

1 3

2 3

Fonte: A autora

2- Agora vamos representar essa tabela utilizando apenas números: (Tabela

completa no apêndice 6 )

Tabela 5: Construção numérica da tabuada

nº

caixas

Bolinhas

por caixa

Total de

bolinhas

Representação

1 3 3

2 3 6

Fonte: A autora

3- Vamos ver se você aprendeu: Faça agora uma tabela para caixas que caibam

4 bolinhas. (Sugestão de tabela no apêndice 6)

4- Será que vocês conseguem agora montar a tabela de 2 bolinhas cada caixa

sem fazer a representação?

5- Você observou algo especial nessas tabelas? (Incentive os alunos para que

descubram as regularidades da tabela, como: os produtos são o resultado da

soma de parcelas iguais, os resultados formam a sequencia numérica contando

de 3 em 3, 4 em 4 e que é a quantidade de elementos de cada “caixa” que

determina de quanto em quanto temos que contar).

6- Vamos agora fazer uma tabela que vale para qualquer situação: (Pedir para os

3

3

3

alunos completarem a tabuada do 3 e do 4 baseados na tabela que já fizeram e

dar exemplos de outras situações como (saquinhos x balas, copinhos x pirulitos,

saquinhos x figurinhas, etc.) para que fique bem claro para eles que o primeiro

fator representa quantos grupos eu tenho e o segundo quantos elementos em

cada grupo).



primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.p.90.

Atividade 16- TABELA PITAGÓRICA

Análise a priori: Os alunos resolverão a questão 6 por meio de adições

sucessivas, terão dificuldade em entender a organização geométrica na tabela e

gostarão de descobrir as relações existentes entre os valores da tabela pitagórica.

Objetivo: Construir a tabuada através de adições sucessivas, registrando os

dados na tabela pitagórica, incentivar o cálculo mental, explorar as propriedades

da multiplicação (associativa, comutativa e distributiva).

Desenvolvimento: Entregue sementes, tampinhas ou cubinhos e uma tabela

pitagórica em branco para cada aluno e peça que façam o que você pedir:

1- Faça 3 linhas com 2 sementes por linha e 2 linhas com 3 sementes em

cada linha, formando uma figura.

2- Que figura você formou? Elas são iguais? Quantas sementes têm em cada

figura?

3- Vamos marcar esses valores na tabela da seguinte forma: Coloque um

dedo na linha com o número 3 e outro na coluna com o número 2. Siga as

filas de cada um até os dedos se encontrarem e marque o total de

sementes. Agora faça o mesmo com a linha 2 e a coluna 3. (Incentive os

alunos perceberem a mesma relação feita com as sementes na tabela,

como mostrado abaixo). A tabela completa encontra-se no apêndice 7).

Tabela 6: Tabela Pitagórica

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2 6

3 6

Fonte: A autora

4- Agora, faça 4 linhas com 2 sementes cada uma. Faça também 2 linhas

com 4 sementes cada uma. Quantas sementes têm em cada figura?

Represente na tabela. (Faça outras combinações com números menores

que 5 até que todos tenham compreendido).

5- Será que você consegue preencher os quadradinhos até o 5? (Eles podem

fazer mentalmente, usar as sementes para fazer a contagem ou fazer a

adição de parcelas iguais: o método usado por eles vai depender da

abstração que alcançaram no decorrer das atividades).

6- Agora, quem pode me dizer quanto é 8 x 5? (Deixe que os alunos criem

suas próprias estratégias para encontrar o resultado. Alguns podem fazer

adições sucessivas, outros podem somar os resultados que já conhecem,

por exemplo: se ele sabe que 2 x 5 =10 e 6 x 5 = 30, então terá 10 + 30 =

40, ou ainda pode perceber que 8 é o dobro de 4 e então se 4 x 5 = 20,

então o dobro de 20 é 40, além de outras estratégias que eles podem

descobrir. No final da atividade, peça para os alunos escreverem na lousa

como fizeram e reflita sobre os procedimentos com a turma).

7- Agora você sabe como preencher a tabela. Vamos lá?

8- Pinte os resultados 21. Qual relação existe entre eles? Existem outros

resultados que obedecem a mesma regra? (Muda a ordem dos fatores mas

o resultado é o mesmo: 7x3 = 3x7. Isso é a propriedade comutativa).

9- Pinte as colunas do 2, 4 e 6. O que você observa?

10- Pinte as linhas do 3, 6 e 9. O que você observa? Se eu pintar as colunas

do 3, 6 e 9, muda alguma coisa? (Que os resultados da coluna do 6 é o

dobro dos da coluna do 3 e os da coluna do 9 é o triplo da do 3).

11- Pinte as linhas do 2, 3 e 6. O que você observa? Tem outras filas (linhas

ou colunas) que acontecem a mesma coisa?

12- Pinte as colunas do 2, 5 e 7? Qual relação existe entre elas? (Numa

mesma linha o resultado da coluna do 2 mais o da coluna do 5, é o

resultado da coluna do 7. Ex: 3x2 = 6 e 3x5 = 15, então 3x7= 6 +15 = 21,

ou seja (3x2) + (3x5) = 3x7.Isto é a propriedade distributiva)

13- O que acontece quando multiplicamos qualquer número por 1? E por 10?

14- Com ajuda de uma régua, trace uma linha diagonal do resultado 1 até o

100 e pinte os quadradinhos em que a linha passou. O que acontece com

esses resultados? (Eles são o quadrado do número que representa a

respectiva linha e coluna, ou seja, 25 é o encontro de 5x5, por exemplo).

15- Vamos pintar de amarelo cada número apenas uma vez, começando do

lado esquerdo da tabela. A regra é essa, se eu pintei o quadradinho com o

número do lado esquerdo, não posso pintar ele no lado direito. O que

aconteceu? (Instigue a criança a perceber que ela precisa, na verdade,

saber só metade da tabela, porque os outros resultados são obtidos

apenas mudando a ordem dos fatores).

Ao professor: Você encontra mais detalhes e outros encaminhamentos sobre a

construção da tabuada nos links descritos na fundamentação teórica.

Fonte: Adaptação de NOGUEIRA, C.M.I.; ANDRADE, D.(Org). Conceitos básicos

em Educação Matemática nos anos Iniciais do Ensino Fundamental. Maringá, Pr:

EDUEM, 2009, p.109.

ATIVIDADE 17– Batalha Naval da Multiplicação

Análise a priori: Os alunos gostarão da atividade, mas terão dificuldades em

saber o resultado das multiplicações.

Objetivo: Fixar a propriedade comutativa da multiplicação e a tabuada.

Material: 4 tabelas pitagóricas em branco, lápis de cor (de preferência cor clara),

caneta e papel. (Tabelas pitagóricas no apêndice 7).

Desenvolvimento: Entregue duas tabelas para cada dupla. Inicialmente, cada

dupla, pinta, em seu respectivo tabuleiro, quatro destroiers (um navio

representado por dois quadrados), três couraçados (um navio representado por

quatro quadrados, em linha reta) e um porta-aviões (um navio representado por

cinco quadrados, em linha reta), de modo que seus oponentes não vejam a

distribuição feita e que nenhum navio esteja encostado em qualquer um dos

outros. Em seguida, cada dupla, na sua vez, diz um número que seja o resultado

de um produto de dois números em que ambos os fatores variam de 1 a 10. Os

oponentes apresentam todas as multiplicações que resultam o número escolhido

e a dupla escolhe em qual “casa” deseja colocar sua marca, escolhida de modo

que o primeiro fator indica a linha e o segundo a coluna. Caso a escolha atinja

uma “casa” do tabuleiro que faça parte de um dos navios, os oponentes dizem o

nome do navio atingido; caso contrário, dizem “água”. A dupla que está na vez de

jogar deve anotar a “casa” que colocou sua marca no tabuleiro em branco, a fim

de não repeti-la novamente e ter uma visualização das jogadas para criar sua

estratégia de jogo. O jogo prossegue até que uma dupla tenha atingido toda a

frota do adversário. A primeira dupla que “afundar” a frota de seu oponente, vence

o jogo.

Fonte: Adaptação de GUIRADO, J.C. et al. Jogos: um recurso divertido de

ensinar e aprender Matemática na Educação Básica, Maringá, Pr, 2010, p.22.

Atividade 18 – MOSAICO DE MULTIPLICAÇÃO

Análise a priori: Os alunos terão dificuldades em saber os resultados das

multiplicações.

Objetivo: Exercitar a memorização da tabuada.

Material: 36 peças quadrangulares com 4 cm de lado, dividida pelas diagonais, e

contendo em cada região triangular uma cor e o registro de uma multiplicação ou

o resultado de uma multiplicação. (Sugestões de cartelas no anexo 2).

Desenvolvimento: Distribui-se igualmente as peças entre os jogadores. Inicia o

jogo aquele que tiver a peça que apresenta um uma das regiões triangulares o

registro 2. O próximo jogador deve verificar se possui uma peça que possa ser

justaposta à peça da mesa, preservando a cor e a correspondência entre a

operação de multiplicação e seu resultado. Caso não a possua, passa a vez. O

jogo prossegue até que seja formado um mosaico. Vence o primeiro jogador que

justapor todas as peças no mosaico.

Fonte: Retirado de GUIRADO, J.C. et al. Jogos: um recurso divertido de ensinar

e aprender Matemática na Educação Básica, Maringá, Pr: , 2010, p.24.

Atividade 19: SIGNIFICADOS DA MULTIPLICAÇÃO

Análise a priori: Os futuros professores terão facilidade em entender a ideia de

adições sucessivas da multiplicação, apresentarão um pouco de dificuldade na

organização geométrica e, na multiplicação combinatória, terão mais dificuldade.

Objetivo: Apresentar as diferentes ideias da multiplicação.

Material: lápis e papel

Desenvolvimento: O professor entregará uma situação matemática de cada vez,

dará um tempo para que os alunos resolvam e socializará os procedimentos

adotados, enfatizando a ideia multiplicativa de cada um. Se houver necessidade

pode fornecer material concreto para os alunos, assim como apresentar outras

situações semelhantes para que o conceito seja compreendido e fixado. Em

seguida, pedirá aos alunos que elaborem uma situação-problema para cada ideia

da multiplicação.

1- Vou comprar 7 bombons para cada sobrinho. Se tenho 4 sobrinhos, quantos

bombons preciso comprar? (ideia aditiva)

2- Num canteiro há 8 pés de rosas, com 5 rosas em cada pé. Quantas rosas

existem no canteiro?

3- Quantos blocos de cimento o caminhão está carregando? (organização

retangular)

Figura 32: Caminhão

Fonte: < http://proletramentomatematicasjb.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html> Acesso em: 05 dez.13.

4- Quantos pés de flores eu preciso plantar para completar esse canteiro? Figura 33: Jardim

Fonte: A autora

5- José está em dúvida no que pedir para o jantar. Na lanchonete eles oferecem

batata recheada com os recheios de frango, carne, legumes e queijo. Ao

comprar a batata ele ganha um refrigerante e terá que escolher um entre os

sabores de guaraná, limão, cola, laranja ou citrus. Quantas opções José têm

para pedir seu jantar? (multiplicação combinatória)

6- Maria quer escolher uma roupa bem bonita para a festa de sua prima. Ela tem

uma saia, um shorts e uma calça para combinar com uma blusinha de bolinha

e uma regata roxa. Quantas roupas diferentes ela tem para ir à festa?

Ao professor: Ao trabalhar as questões 3 e 4, que envolvem a ideia de

organização retangular, aprofunde a propriedade distributiva da multiplicação,

mostrando que podemos dividir a figura de várias formas para encontrar o

resultado da multiplicação, como por exemplo: dividindo num quadrado 5x5 e num

http://proletramentomatematicasjb.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html

retângulo 1x5, teremos a organização de 6x5 = (5x5)+(1x5) = (1+5)x5 = 5(1+5) e

para calcular o resultado basta somar o resultado das duas figuras. Peça que os

alunos descubram outras formas de dividir essa figura e explique com a

representação numérica as divisões. O importante é que o aluno perceba que

poderá partir dos resultados das multiplicações que já conhece para encontrar

outros desconhecidos e que isso não altera o resultado. Nas questões 5 e 6, que

envolvem o princípio combinatório, peça para os alunos que socializem o

procedimento utilizado para resolver a questão e se for necessário sugira a

organização dos dados através de tabela e árvore de possibilidades.



EDUEM, 2009, p.102.

Atividade 20: ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO

Análise a priori: Os alunos ficarão surpresos com o caminho percorrido para

chegar ao algoritmo e também vão entender o que significa cada etapa do

processo longo, pelo qual eles aprenderam.

Objetivo: Apresentar as várias formas de representação dos procedimentos do

algoritmo da multiplicação.

Material: lápis e papel, material dourado, fichas simbólicas, cartaz valor de lugar

e quadro valor de lugar.

Desenvolvimento: O professor apresentará uma situação matemática e dará um

tempo para que os alunos resolvam e depois socializará os procedimentos com

os demais alunos, promovendo a compreensão das diversas escritas da

multiplicação.

1- Tenho 3 caixinhas e quero colocar 24 bombons em cada uma. Quantos

bombons vou precisar comprar? (Use o material dourado)

2- Num mercado chegou uma entrega de 34 caixas com 12 barras de

chocolate em cada uma. Quantas barras de chocolate foram pedidas?

(Cálculo mental)

3- Um canteiro tem 125 flores. Quantas flores terá em 3 canteiros? (Use

cartaz valor de lugar ou fichas simbólicas)

4- Um caminhão carrega 1291 tijolos. Quantos tijolos levarão 43 caminhões?

(Use o quadro valor de lugar)

Ao professor: Nessa etapa é importante que as multiplicações tenham dois

algarismos, pois a multiplicação com apenas um já está sistematizada pelo aluno

através da compreensão da tabuada, ou seja, sabendo a tabuada ele resolve a

questão. É importante destacar também que se deve partir da maneira mais

próxima do concreto para chegar a abstração. Como o aluno já entendeu a

multiplicação como adição de parcelas iguais, ao utilizar o material dourado para

encontrar a solução ele utilizará o mesmo processo e o professor vai apenas

mediando para que este possa abreviar as técnicas operatórias, chegando ao

algoritmo. Na tabela abaixo, têm-se as figuras representando as etapas de cada

multiplicação proposta.

Quadro 9: Algoritmos da multiplicação

Multiplicação Concreto Expandida Longa Breve

3 x 24

24 + 24 + 24 = 72

20 x

4 3

60 12 Reescrita:

60 +10 + 2 = 72

2 4 X 3 1 2 6 0 7 2

1 2 4 X 3 7 2

34 x 12

Cálculo mental 34 x 12 = 34 x (10 + 2)

34 x 10 = 340

34 x 2 = 68

340 + 68 = 408

x 30 10

4 2

300

60 40

8

300 100 8

Reescrita:

300 + 100 + 8 = 408

34 X 12 8 60 40 300 408

34 X 12 168 340 408

125 x 3

100 20 x

5 3

300 60 15

Reescrita: 300 + 60 +10 +

5 = 375

1 2 5 X 3 1 5 6 0

3 0 0 3 7 5

1 1 2 5 X 3

3 7 5

1291 x 43

DM UM C D U

1 2 9 4

1 3

4

3 8

6 36

27 4

3

4 1

11 4

42 3

31 3

5 5 5 1 3

Resolver em forma de tabela como descrito abaixo.

1291 X 43 1 3 270 1600 3000 40 3600

18000 40000 55513

1 3 2 1291

X43 1 1

3873 51640 55 513

Fonte: A autora

Outra forma interessante de registro dos subtotais da multiplicação na

representação expandida e que ajuda o cálculo mental é distribuir os fatores em

forma de tabela, multiplicando cada linha pelas colunas. Lembrando que na tabela

escrevemos o valor posicional de cada número. Usando a tabela para fazer o

cálculo de: 1291 x 43, temos:

Tabela 7: 1291 x 43

40 3 Tabela 8: 43 x 1291

1000 40.000 3.000 1000 200 90 1

200 8.000 600 ou 40 40.000 8.000 3.600 40

90 3.600 270 3 3.000 600 270 3

1 40 3 Fonte: A autora

Fonte: A autora

40.000 + (8.000 + 3.600 + 3.000) + (600 + 270) + (40 + 3) = 40.000 + 14.600 + 870 + 43 = 54.600 + 913 = 55.113

Então: 1291 x 43 = 55.113.



primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.p.129-138.

Atividade 21: TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO

Análise a priori: Os alunos acharão fácil mas trabalhosa a técnica egípcia,

assim como o método árabe e chinês. Gostarão da técnica de multiplicação com

as mãos porque facilita saber a tabuada. Apresentarão dificuldades em analisar

as semelhanças com as técnicas que utilizamos hoje, mas saberão como usar

esses recursos com os futuros alunos.

Objetivo: Apresentar algumas técnicas de multiplicação acumuladas ao longo da

história pelos povos: Egito, Arábia ou Índia, China, Camponeses da França

(multiplicação com as mãos) e camponeses da Rússia, refletir sobre suas

semelhanças com as técnicas do SND e as possibilidades de aplicação com os

alunos.

Material: lápis, papel e calculadora.

Desenvolvimento: O professor apresenta cada método aos alunos, pede para

que resolvam outra multiplicação semelhante (poderá utilizar os mesmos

problemas da atividade anterior) conferindo o resultado usando a calculadora,

discute as semelhanças entre o método estudado e as técnicas do SND e a

aplicabilidade do método enquanto recurso para ensinar multiplicação.

Ao professor: É importante que no momento de discussão o professor deixe os

alunos expor suas opiniões, fazendo apenas a mediação para que eles cheguem

às conclusões necessárias. Para saber mais sobre essas técnicas, assim como

as explicações de resolução dos métodos acesse os links:

Algoritmo da Multiplicação – Russa. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=8rgroT4QkKg>. Acesso em nov.13.

Técnica da Multiplicação Chinesa. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=wQqGsBcvKoU>. Acesso em 30 nov.13. Técnica do Método Árabe ou Babilônico. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=DJTsIVy1oP0>. Acesso em 30 nov.13.

http://www.youtube.com/watch?v=8rgroT4QkKg

http://www.youtube.com/watch?v=wQqGsBcvKoU

http://www.youtube.com/watch?v=DJTsIVy1oP0

Há tantos modos de multiplicar. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/matematica/mod3.htm>. Acesso em 19 nov.13. SÁ, E. P. Antigas técnicas de multiplicação. Rio de Janeiro: UERJ / USS. Slides: color. Slides gerados a partir do software Power Point. Disponível em: <http://magiadamatematica.com>. Acesso em 19 nov. 2013.

DIVISÃO

A palavra dividir apresenta muitos sentidos diferentes como: separar em diversas

partes, criar diferentes opiniões, demarcar território, etc. Assim, é necessário

deixar claro para a criança que na matemática dividir quer dizer repartir em partes

iguais, de maneira que o resto seja o menor possível, o que é diferente até do que

ela está acostumada a fazer na vivência com os colegas, em que, ao repartir, dá

mais pra um e menos pra outro, dependendo do seu grau de intimidade com eles.

Também é necessário lembrar que nem sempre é possível dividir o todo em

partes iguais, como por exemplo, dividir 5 bolas entre 3 crianças, e como não

podemos cortar a bola em pedaços menores para dividir uma pedaço para cada

criança, ficarão duas bolas sem distribuir, que chamamos de resto e este deve

sempre ser o menor possível.

As ideias associadas à divisão são parecidas entre si, mas tem significado muito

diferente para as crianças. Por exemplo, a ideia de repartir ou distribuir (quantos

elementos terá em cada grupo) é mais comum e fácil de assimilar do que a ideia

de medir (quantos grupos eu quero formar). Assim, desde o 2º ano, como afirma

Ramos (2009), a criança já pode realizar divisões que envolvem a ideia de

distribuir e só quando ela compreendeu essa ideia, deve-se apresentar a divisão

como situações de formar grupos (ideia de medir). Isso acontecerá por volta dos 8

anos quando ela estiver no 3º ano, caso o professor tenha trabalhado repetidas

vezes com a primeira ideia e a criança já tenha se familiarizado com ela.

Vale ressaltar também que para ensinar a criança a dividir é preciso que as

http://educar.sc.usp.br/matematica/mod3.htm

http://magiadamatematica.com/

situações partam daquilo que elas já sabem. Como na multiplicação parte-se da

ideia de adições sucessivas, na divisão ocorre o contrário, partindo-se de

subtrações sucessivas. Inicialmente a criança começa a dividir por

correspondência um a um, ou seja, distribui uma flor para cada pessoa, por

exemplo, até acabarem todas elas. A partir daí a criança deve ser incentivada a

agilizar o processo de divisão, distribuindo de 2 em 2, 3 em 3, até chegar no

algoritmo, como fizemos nas outras operações. No caso da divisão, segundo

Ramos (2009), não se deve apresentar o processo breve, pois a criança precisa

pensar muito em algo que não está vendo para fazer os cálculos e isso só dificulta

o desenvolvimento da criança.

Segundo Nogueira C.M.I; Andrade, D. (2009) com a técnica de subtrações

sucessivas o aluno é capaz de compreender que o resto da divisão nunca pode

ser maior que o divisor, porque se isso ocorrer, ele fará mais uma subtração. Os

autores afirmam também que só quando a criança estiver familiarizada com o

algoritmo da divisão por subtrações sucessivas é possível avançar para divisões

mais complexas, com dois algarismos no divisor, por exemplo.

Outro fator interessante do algoritmo da divisão é que sempre começamos a

resolver pela maior ordem, ao contrário das outras operações. Isso ocorre porque

é mais fácil repartir as partes maiores antes das menores. Não é assim que

fazemos no dia-a-dia?

Como as outras operações, o algoritmo da divisão pode ser representado por

várias maneiras. Veja no quadro abaixo:

Quadro 10: Algoritmos da divisão

Divisão Concreto Expandida Longo Estimativa

429 ÷ 3

Veja: fichas simbólicas -

materiais manipuláveis.

429 3 .

-300 c d u 129 1 4 3 -120 9 - 9 0

429 3 . -3 143 12 -12 0 9 - 9 0

429 3 . -120 40 309 100 - 300 + 3 9 143 -9 0

Fonte: A autora

Atividade 22: SIGNIFICADOS DA DIVISÃO

Análise a priori: Os futuros professores terão mais facilidade em entender e

realizar as atividades com a ideia de repartir do que com a ideia de medir.

Confundir-se-ão ao representar as mesmas de forma diferente.

Objetivo: Apresentar aos futuros professores os significados da divisão, assim

como estabelecer uma relação entre as diferentes ideias de divisão e o processo

de construção do pensamento matemático pela criança utilizando subtrações

sucessivas.

Material: Objetos para contagem: cubinhos do material dourado, tampinhas,

canudinhos, palitos de sorvetes, sementes, etc.

Desenvolvimento: Entregue uma quantidade qualquer (de preferência menor

que 30) de um dos materiais para cada aluno grupo. O ideal é que cada criança

receba um material diferente. Primeiramente peça para que os alunos digam

quantos objetos recebeu sem contar (estimativa). Peça para que cada um conte o

seu material e anote no caderno quanto achou que teria e quanto tem na

realidade. Um aluno de cada vez distribui o material recebido em partes iguais

para os integrantes do grupo e faz o registro do processo. Depois que todos

distribuíram e anotaram seu procedimento, peça que comparem os registros e

apresentem na lousa para socialização com os outros alunos da sala. Na

segunda etapa, entregue copinhos de água para os alunos e peça para

descobrirem quantos copinhos poderão formar tendo apenas 5 objetos em cada

copo. Peçam para registrar o processo, socializar com o grupo e depois com a

sala.

Ao professor: Antes da atividade, esclareça que os futuros professores devem

imaginar como a criança realizaria essa atividade e fazer o mesmo. Promova a

reflexão sobre as várias formas de representação e, caso seja necessário,

apresente aos futuros professores a seguinte reflexão: Provavelmente a criança

na primeira atividade dará os objetos aos colegas atribuindo um critério que

normalmente é a subtração sucessiva, dando um, ou dois, ou três objetos para

cada amigo até terminar todos os objetos. Além disso, ela precisa perceber se

quando sobrar 2 objetos por exemplo, e ter 4 pessoas para receber, ela não

poderá mais distribuir porque não dará a mesma quantia para todos.Por outro

lado, na segunda atividade, a criança colocará 5 objetos em cada copinho até

terminar todos ou restar menos que 5 objetos para ser colocado em um novo

copinho. Isso é muito difícil de ser compreendido pela criança, pois a primeira

situação está mais próxima da ideia de dividir e precisa da mediação do futuro

docente para que entenda que se em cada copo deve haver 5 objetos, então

estamos falando de uma divisão em que o divisor é 5. Ela também pode fazer o

registro tomando como ponto de partida o total de objetos e ir subtraindo até

chegar no zero ou resto. Também poderá partir do número de objetos em cada

copo e fazer adições sucessivas até chegar no total de objetos.



EDUEM, 2009, p.113-114.

Atividade 23: DIVIDINDO COM MATERIAL DOURADO

Análise a priori: Como os futuros professores já trabalharam com material

dourado nas outras operações não vão ter dificuldades.

Objetivo: Apresentar o material dourado como recurso para ensinar o processo

da divisão e explanar o registro pela decomposição do dividendo.

Material: material dourado, cartaz de pregas, lápis e papel.

Desenvolvimento: Cada aluno resolverá as situações matemáticas abaixo com

ajuda do material dourado e fará o registro do processo em seu caderno e depois

compartilhará seu registro com a turma.

1- Caique quer repartir 35 figurinhas entre 7 amigos. Quantas figurinhas

ganhará cada amigo de Caique?

2- Márcia vai fazer uma festa e encomendou 246 brigadeiros. Quantos pratos

conseguirá montar com 15 brigadeiros em cada um?

Ao professor: Observe como os futuros professores farão o registro dessa

atividade. Após a apresentação a turma, caso haja unanimidade na forma de

registrar as operações, introduza outras formas de representação que a criança

pode adotar com esse material. Lembrando que, normalmente, quando há

transformação de ordens, esta não aparece na representação escrita, apenas é

efetuada no material concreto.

Registrando o algoritmo da divisão 432÷3 na forma decomposta temos 432 como

40 + 30+ 2 e o registro como segue:

400 + 30+ 2 3 . - 300 100 + 40 + 4 132 - 120 12 - 12 0



EDUEM, 2009, p.116-117.

Atividade 24: DIVIDINDO COM FICHAS SIMBÓLICAS

Análise a priori: Os alunos acharão muito fácil essa maneira de ensinar divisão e

ao mesmo tempo ficarão surpresos com o método breve de registro, pois não o

conhecem.

Objetivo: Apresentar ao futuro professor uma metodologia para ensinar divisão

com números maiores que 100 através de fichas simbólicas e registro através do

método breve.

Material: 10 fichas representando 100 reais, 10 fichas representando 10 reais e

10 ficha representando 1 real, lápis e papel.

Desenvolvimento: Divida os alunos em grupo de três. Um deles será o caixa do

banco e os outros dois, os clientes. Entregue ao grupo todas as fichas. O caixa

deverá pegar a quantidade de 333 reais, usando o mínimo de fichas possível (as

outras cartas são descartadas). O caixa então dividirá esse valor entre os dois

clientes, em partes iguais. Em seguida, todos fazem o registro do procedimento

realizado. Troque os alunos de posição, ou seja, o aluno que era caixa passa a

ser cliente e um dos clientes passa a ser o caixa. Nessa fase o caixa irá pegar

579 reais e distribuirá em partes iguais entre os clientes. Repita o procedimento

com 795 reais, trocando novamente a posição dos alunos. Em seguida, cada

caixa escolhe o valor que deseja distribuir entre os clientes.

Ao professor: A atividade pode continuar aumentando o número de participantes

para 3, 4 e 5, utilizando os mesmos valores ou outros diferentes, a critério do

professor. É importante também que se faça a discussão entre as várias

possibilidades que acontecerá, por exemplo: não precisou fazer troca, não sobrou

resto, etc.

Fonte: Adaptação do vídeo Técnicas de cálculo da divisão, episódio do programa

Conversa de professor da TV Escola, duração de 19m4s. Disponível em:

<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8782> Acesso em 30 nov.13.

Atividade 25: ALGORITMOS DA DIVISÃO

Análise a priori: Os futuros professores terão dificuldade em perceber as outras

formas de representar os algoritmos como uma construção do pensamento da

criança.

Objetivo: Apresentar os diferentes algoritmos da divisão.

Material: Cartaz valor de lugar, lápis, papel.

Desenvolvimento: Peça para os alunos resolverem as seguintes situações

matemáticas representando o algoritmo das várias maneiras que conhecem.

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8782

Socialize com a sala os vários algoritmos e apresente outros se houver

necessidade.

1- Uma cozinheira comprou 36 ovos para fazer bolos. Quantos bolos ela

conseguirá fazer, sabendo que em cada receita ela usa 4 ovos?

2- Davi quer distribuir 98 chaveiros com seus 12 amigos. Quantos chaveiros

cada amigo ganharão? Sobrará algum chaveiro para o Davi?

3- Comprei 208 botões para distribuir entre 52 camisas. Quantos botões cada

camisa terá?

4- Uma empresa está encaixotando sabonetes. Em cada pacote coloca-se 12

sabonetes e em cada caixa 24 pacotes. Quantas caixas serão necessárias

para a empresa guardar 5472 sabonetes?

Fonte: Atividade elaborada pela professora PDE

Atividade 26: ESTUDO DE CASO 1

Análise a priori: Os futuros professores entenderão a atividade, mas terão

dificuldade em entender o pensamento da criança e qual a melhor intervenção

para promover o crescimento do conhecimento matemático.

Objetivo: Promover uma reflexão dos futuros professores sobre a mediação do

professor na construção do pensamento matemático em relação ao significado

divisão por estimativa.

Material: papel e lápis

Desenvolvimento: Mostrar a imagem aos futuros professores e questioná-los

sobre o que estão vendo, o que a imagem representa, o que foi pedido à criança,

e outros questionamentos que instigue a suposição dos fatos pelo grupo. Deixe

que exponham suas opiniões. Em seguida, explicar qual o procedimento da

atividade fotografada: Foi entregue a uma criança de 9 anos um punhado de

feijão e pediu-se que ela o repartisse em 4 partes iguais. Após a divisão ela

representou o que tinha feito. A escolha da representação por desenho foi

iniciativa dela.

Figura 34: Estudo de caso

Fonte: A autora

1- Como é o pensamento matemático dessa criança?

2- Ela pensou corretamente? Representou corretamente? (Deixe os alunos

exporem suas ideias e depois apresente a eles o que realmente

aconteceu).

3- Qual(is) a(s) intervenção(ões) que o professor necessita fazer para que

essa criança avance na construção do algoritmo?

Ao professor: Ao entregar os feijões à criança ela tentou dividi-los assim:

distribuiu 8 feijões um a um, em seguida 8 dois a dois, 12 três a três e desistiu.

Juntou todos novamente e os dividiu ao meio, formando dois grupos e ao meio

novamente, formando 4 grupos com um número de feijões aparentemente iguais.

Em seguida, ela contou o primeiro grupo que tinha 53 feijões, no segundo tinha 57

(ela retirou 3), no terceiro tinha 59 (ela retirou 6), no terceiro tinha 51 (ela

acrescentou 2). Como havia sobrado 7 feijões, ela colocou mais um feijão em

cada grupo restando 3 e ficando cada grupo com 54. Ela colocou mais um feijão

em cada um dos três grupos que ficaram com 55 e o último, como não tinha feijão

para completar, ela começou a procurar pelo chão para ver se não tinha caído

nenhum. Como sua tentativa não deu certo ela falou: “Já fiz quatro montes. Esses

três têm 55 e esse 54 (apontando o último grupo)”. O professor interviu: “Mas não

era para repartir em partes iguais?”. Ela ficou pensativa e respondeu: “Mas não

tem mais feijão, se tivesse pelo menos mais um, dava certo.” O professor

questionou: “ Dá para o 54 chegar no 55 sem esse feijão que falta?”. Ela

respondeu: “Não.” E o professor continuou: “E dá para o 55 chegar no 54?”. Ela

imediatamente retirou um feijão de cada grupo de 55 e respondeu: “Agora tá

certo. Tem 54 feijão em cada monte e sobrou 3”.

Fonte: Experiência realizada pela professora PDE com sujeito de X anos.

Atividade 27: ESTUDO DE CASO 2

Análise a priori: Os alunos terão dificuldade em justificar a incompreensão do

aluno em relação ao algoritmo da divisão.

Objetivo: Analisar a prática pedagógica do professor quanto ao ensino de

divisão.

Material: TV pendrive, pendrive, lápis ou caneta e papel.

Desenvolvimento: Reproduza o vídeo Técnicas de Cálculo da Divisão a partir de

14m23s (link na sessão ao professor) e proponha aos alunos a seguinte questão:

Com base no que você aprendeu sobre o significado das operações matemáticas,

faça uma análise sobre a seguinte questão: essa criança aprendeu o significado

de divisão ou apenas a fazer o algoritmo da operação? Justifique sua resposta.

Ao professor: Ao acessar o link você será direcionado à pagina

<http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm.do> - preencha

os campos de pesquisa: tipos de mídia (vídeo), categoria (TV Escola -

Matemática), título (Técnicas do Cálculo da Divisão). Você poderá baixar o vídeo

e assisti-lo todo, mas nossa atividade se resume ao trecho de 14m23s a 18m16s.

Você também poderá acessar pelo endereço: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8782> Acesso em 30 nov. 13.

Fonte: Adaptado do vídeo Técnicas de Cálculo da Divisão (trecho) e do texto

prisioneiros do algoritmo.

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/PesquisaObraForm.do

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8782

REFERÊNCIAS

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CARTAZ valor de Lugar (CAVALU). Disponível em: <http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/material/_private/cartaz_valor_lugar.htm>. Acesso em 03 dez. 2013.

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MARIA Montessori – Tábua de Pitágoras. Disponível em: < http://estimulandomeusfilhos.blogspot.com.br/2013/05/matematica-montessori-tabua-de-

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Técnica do Método Árabe ou Babilônico. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=DJTsIVy1oP0>. Acesso em 30 nov. 2013.

VÍDEO aula 4 – Material dourado. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=3LFh6-VCeXM>. Acesso em 01 nov. 2013.

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http://www.youtube.com/watch?v=wQqGsBcvKoU

http://www.youtube.com/watch?v=DJTsIVy1oP0

http://www.youtube.com/watch?v=3LFh6-VCeXM

APÊNDICE 1

RELATO DE EXPERIÊNCIA

Quando temos consciência das nossas limitações e potencialidades, já

percorremos metade do caminho para superar novos desafios. Dessa forma, o

questionário a seguir, oportunizará a você fazer uma reflexão sobre sua

experiência em relação ao ensino e aprendizagem de matemática. Vamos voltar

no tempo e lembrar-se de quando você teve os primeiros contatos com essa

disciplina na escola.

Quando você estudava na educação infantil e anos iniciais do ensino

fundamental:

1- Você gostava de ir à escola? Gostava de seus professores? Algum deles

marcou sua vida significativamente? Como era seu relacionamento com eles?

Você tinha medo de fazer perguntas quando não entendia a matéria?

2- Você gostava da “matéria” de matemática? E das aulas de matemática? O que

mais deixava você feliz e o que menos você gostava nas aulas de

matemática?

3- Como eram as aulas de matemática? Os professores usavam materiais

manipuláveis, vídeos, computador e outros materiais para ensinar?

Proporcionavam brincadeiras, jogos, atividades em grupo, atividades

individuais?

4- O que você lembra da matemática estudada nos anos iniciais?

5- Você aprendeu a construir a tabuada ou só decorou? O professor “tomava” a

tabuada? Você conseguia responder? Como você se sentia?

6- Você aprendeu primeiro a resolver problemas ou fazer contas? Como era

ensinado as contas para você? Você podia resolver os problemas e

operações diferente do que a professora ensinava? Isso atrapalhou ou ajudou

você nos anos seguintes?

7- E hoje, você gosta de matemática? Aconteceu algo importante para que isso

acontecesse?

8- Você acha que o ensino de matemática mudou em relação à época em que

você estudou?

9- Em sua opinião, o que o(s) professor(s) deveria(m) ter feito diferente?

10- Como futuro professor, como você pensa em ensinar matemática para seus

alunos?

11- Analisando seus professores de matemática das séries iniciais, o que você

repetiria com seus alunos e o que jamais iria fazer?

APÊNDICE 2

AVALIANDO

1- O que mudou em relação ao que você pensava e sabia sobre como

ensinar matemática?

2- O que você mais gostou das atividades propostas?

3- Depois de realizar todas as atividades propostas, como você pretende

ministrar suas aulas de matemática?

4- Se você pudesse dar um conselho para um futuro professor que não gosta

de matemática, o que falaria para ele?

5- E se o conselho fosse para seus professores dos anos iniciais? Qual seria?

6- Numa escala de 0 a 10, como você se sente preparado para ensinar os

conteúdos estudados? Justifique.

APÊNDICE 3

VIAJANDO PELO TEMPO

Abaixo estão descritos os sistemas de numeração da antiguidade mais

significativos e que têm várias características que nos ajudam a entender a

construção do Sistema de Numeração Decimal que conhecemos hoje.

1- SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO

Com apenas 7 símbolos os egípcios conseguiam escrever números até a casa

dos milhões.

Figura 1: Símbolos Egípcios

Símbolo Egípcio

Descrição do símbolo

O número na nossa notação

| bastão 1

calcanhar 10

rolo de corda 100

flor de lótus 1000

dedo a apontar 10000

peixe 100000

homem 1000000

Fonte: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_egipcia.htm>. Acesso em: 18 nov 13.

No sistema de numeração egípcio cada símbolo poderia ser repetido até 9 vezes

e quando completava-se 10 símbolos iguais, estes eram trocadas por outro com

valor 10 vezes maior (Sistema decimal ou de base 10). Também não importava a

ordem em que eram escritos, desde que os símbolos iguais estivessem um ao

lado do outro. Isso que dizer também, que poderia ser lido e escrito da direita

para a esquerda ou da direita para a esquerda.

Como não tinham um símbolo para representar o zero e o sistema não era

posicional, o que impossibilitava a utilização de algoritmos, portanto eles faziam

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_egipcia.htm

cálculos com ajuda de um ábaco e usavam os símbolos apenas para registrar os

resultados.

2- SISTEMA DE NUMERAÇÃO DA BABILÔNIA

Esse sistema de numeração sexagesimal (base 60) era posicional e tinha apenas

dois símbolos: para as “unidades” que poderiam ser repetidas nove vezes e

para as “dezenas” até 50, . Eles compunham os 59 símbolos que seriam

repetidos para escrever os demais números.

Figura 2: Símbolos Babilônicos

Fonte: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/Babylonian_numerals.jpg> Acesso em 18 nov. 2013

A partir do número 60 os símbolos começavam a repetir, valendo 60 vezes mais

que os da “ordem” anterior. Foi criado assim o valor posicional: o valor do símbolo

dependia da posição em que encontrava.

Vejamos a tabela:

Tabela 1: Numeração da Babilônia

Numeração da Babilônia Numeração da Babilônia

30 + 2 32 2

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/Babylonian_numerals.jpg

3.600 + 120 + 30 + 2

3752

3

3

360 + 20 + 1

381

60 + 2

62

Fonte: A autora

Percebe alguma diferença entre 3 e 62?

Pois é, como apenas era deixado um espaço em branco entre as “ordens” existia

muita confusão, pois assim como nossa letra varia de pessoa para pessoa, o

espaço deixado entre os símbolos, dependia de quem escrevia. Como o símbolo

podia valer 1, 60, 3600, 216.000, etc. dependendo da posição que ocupava, era

necessário analisar o contexto para saber qual valor estava representado. Para

tentar resolver essa confusão, muito tempo depois, eles começaram o usar

para indicar a posição vazia (zero).

3- SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA

Os maias viviam na América Central e criaram um sistema de numeração próprio,

ou seja, foi criado sem influência dos conhecimentos de outros povos e, por

incrível que pareça, eles tinham um símbolo para representar o zero.

Veja alguns números representados na figura abaixo:

Figura 3: Representação de números maias

Fonte: <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=688&evento=5> Acesso em 11 nov 13.

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=688&evento=5

Para representar números maiores que 20 eles usavam os mesmos símbolos, só

que escreviam eles acima dos anteriores e esses, passavam a ter o valor 20

vezes maior que o de baixo, por isso era chamado de sistema vigesimal ou de

base 20. Veja outros exemplos:

Figura 4 : Representação de números maias

Fonte: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000398/0000002349.jpg>. Acesso em 14 nov13.

4- SISTEMA DE NUMERAÇÃO CHINÊS

Para entender melhor esse sistema de numeração, assista os seis primeiros

minutos do vídeo “Os gênios do Oriente”, disponível em:

<http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showVideo.php?video=718

5> Acesso em 18 nov. 2013.

5- SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO

O Sistema de Numeração Romano é formado por sete símbolos representados pelas letras maiúsculas de nosso alfabeto com valor específico para cada uma delas. Figura 5: Símbolos da numeração romana

Símbolo Nome Valor

I unus 1 (um)

V quinque 5 (cinco)

X decem 10 (dez)

L quinquaginta 50 (cinquenta)

C centum 100 (cem)

D quingenti 500 (quinhentos)

M mille 1,000 (mil)

Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Numera%C3%A7%C3%A3o_romana>. Acesso em 14 nov 13..

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000398/0000002349.jpg



http://pt.wikipedia.org/wiki/I

http://pt.wikipedia.org/wiki/1_(n%C3%BAmero)

http://pt.wikipedia.org/wiki/V


http://pt.wikipedia.org/wiki/X


http://pt.wikipedia.org/wiki/L


http://pt.wikipedia.org/wiki/C


http://pt.wikipedia.org/wiki/D


http://pt.wikipedia.org/wiki/M

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=1000_(n%C3%BAmero)&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Numera%C3%A7%C3%A3o_romana

Com esses símbolos, é possível escrever qualquer número, desde que sejam

obedecidas as seguintes regras:

V, L e D só podem ser escritos uma vez em cada número.

Os símbolos I, X, C não podem ser repetidos mais de três vezes.

Se I, X, C estiverem à direita de um número maior, soma seu valor ao

resultado. Ex: XXVIII (10+10+5+3 = 28).

Se I, X, C estiverem à esquerda de um número maior, subtrai-se seu

valor do número que está à direita. Ex: IV (5 - 1 = 4); XC (100-10 =

90); IL (50 - 1 = 49).

Pode-se usar um travessão em cima do símbolo para indicar sua

multiplicação por 1.000 e dois travessões por 1.000.000. Ex: X =

10.000 ; L = 50.000.000.

6- SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

O sistema de numeração decimal (SND) foi criado pelos hindus por volta do ano

VI d.C., e difundido para outras culturas pelos árabes. Com o tempo os símbolos

sofreram várias transformações até chegar ao que conhecemos hoje, como

mostra a figura abaixo:

Figura 6 : Evolução dos algarismos indo-arábicos

Fonte:<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001116/0000013976.jpg>

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001116/0000013976.jpg

Essa difusão foi muito rápida porque esse sistema tem algumas características

importantes, que conferem a ele vantagens sobre os demais. Dentre elas está o

fato de possuir apenas 10 símbolos diferentes, incluindo o zero e ser posicional,

ou seja, o valor do algarismo varia de acordo com sua posição no numeral. Isso

facilitou tanto na escrita dos números, como na construção dos diferentes

algoritmos das operações que conhecemos hoje.

Apêndice 4 - Pintando ordens

4123 3 3208 6079 73

8352 987 9813 7351 9834

2140 5376 8 7684 5768

87 3506 7569 9462 6572

6218 8059 4095 215 2

2641 45 1346 5103 2980

5731 2978 3460 50 8679

4687 1294 425 6153 524

7931 1425 12 2135 92

5124 103 3746 1837 402

21 8790 4712 8465 9

APÊNDICE 5

Tabela 3 referente à atividade à atividade 16

nº caixas

Bolinhas por caixa

Representação Total de bolinhas

1 3

2 3

APÊNDICE 6 – Tabelas 4 e 5 referente à atividade 16

nº caixas

Bolinhas por caixa

Total de bolinhas

Representação

1 3 3

2 3 6

3

3 3

APÊNDICE 7 – Tabela Pitagórica

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ANEXO 1 – Dado para montar (não precisa colar)

Este material foi elaborado por Cecilia Harumi Iwazaki, professora PDE-2013 de Matemática. Atua na rede Estadual

de Educação do Paraná, no Núcleo de Maringá, Pr.

Para montá-lo não há necessidade de cola, apenas dobre as abas na ordem em que são numeradas e encaixe as

abas B e C para fechá-lo.

Cecilia Harumi Iwazaki

ANEXO 2

PEÇA AMARELA AZUL VERDE VERMELHA

1 45 9 x 7 6 x 7 16

2 5 x 9 40 30 8 x 2

3 3 x 8 4 x 10 36 6 x 4

4 18 42 4 x 9 24

5 54 7 x 6 5 x 10 15

6 9 x 6 9 x 5 50 21

7 28 63 42 27

8 7 x 4 72 6 x 5 10

9 24 4 x 5 40 2 x 5

10 6 x 3 20 64 4 x 8

11 12 6 x 9 8 x 8 3 x 5

12 2 x 6 45 2 x 4 3 x 7

13 81 30 35 9 x 3

14 63 8 x 9 5 x 7 48

15 7 x 9 14 5 x 8 6

16 56 2 x 7 36 32

17 7 x 8 54 8 x 3 3

18 63 18 8 3 x 1

19 9 x 9 5 x 6 16 72

20 35 25 2 x 8 8 x 6

21 90 5 x 5 48 3 x 2

22 9 x 10 8 9 x 4 18

23 27 2 x 4 24 18

24 7 x 9 9 x 2 12 2 x 9

25 2 x 10 2 18 9 x 8

26 7 x 5 1 x 2 6 32

27 24 40 6 x 8 8 x 4

28 4 x 6 15 5 x 4 6 x 3

29 3 x 9 21 20 14

30 9 7 x 3 3 x 4 30

31 20 6 x 2 9 x 2 4 x 3

32 5 x 2 12 2 x 3 12

33 10 8 x 5 4 x 2 36

34 7 x 7 5 x 3 8 6 x 6

35 49 4 x 4 4 7 x 2

36 3 x 3 16 2 x 2 3 x 10

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA … das crianças a fim de que entendam o processo de construção do...

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