OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · 2016-06-10 · nível de aprendizagem da turma....

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS –

DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIDADE DIDÁTICA

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica

Turma PDE – 2013

Titulo: A metodologia da Resolução de Problemas: Uma proposta de estudo envolvendo razão, proporção e regra de três nos anos finais do ensino fundamental

Autora: Claudia Adriana Zanini

Disciplina: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Escola Estadual Profª. Leonor Castellano. Ensino Fundamental e Médio

Município da Escola: Barracão –PR

Núcleo Regional de Educação: Francisco Beltrão

Instituição de Ensino Superior: UNIOESTE – Cascavel

Professor Orientador: Profª.Ms.Arleni Elise Sella Langer

Resumo: Esta Unidade Didática se justifica a partir da utilização da metodologia da Resolução de Problemas, a qual nos permitirá utilizar uma abordagem diferenciada para tópicos específicos tais como: Razão, Proporção e Regra de Três Simples no 7º ano do período vespertino Colégio Estadual Profª. Leonor Castellano no Município de Barracão, Núcleo Regional de Francisco Beltrão.

Tem a intenção de oferecer aos alunos uma possibilidade de unir a teoria à prática, utilizando-se do seu pensamento lógico na resolução de problemas e questões do dia a dia, melhorando sua capacidade de enfrentar situações mais complexas, ajudando-os a estruturar o pensamento e o raciocínio. Durante a implementação o conteúdo será introduzido por meio de um problema gerador que desperte o interesse dos educandos para a aprendizagem, e na medida em que os mesmos vão assimilando o problema com os cálculos e procedimentos utilizados na sua resolução, serão oferecidos elementos novos, problemas mais desafiadores, sempre de forma gradativa, respeitando o nível de aprendizagem da turma. A avaliação é uma sequência do aprendizado, integrada ao ensino a ser realizado por meio da Resolução de Problemas, acompanhando o crescimento do aluno e norteando o trabalho do professor.

PALAVRAS-CHAVE: Resolução de Problemas; Educação Matemática; Razão; Proporção; Regra de Três.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público Alvo: Alunos do 7º ano

APRESENTAÇÃO

“Ensinar bem Matemática é um empenho complexo e não há receitas fáceis

para se fazer isso. Não há um caminho único para se ensinar e aprender

Matemática. (ONUCHIC, 2004, p. 214).

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:

É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa a sua prática. (BRASIL, 1998, p. 42).

Um dos grandes desafios hoje é não só ajudar o aluno a resolver problemas

nas aulas de matemática, mas também utilizar a matemática no enfrentamento de

situações do seu cotidiano.

Onuchic (2003, p.27) afirma:

A caracterização de educação matemática, em termos de resolução de problemas, reflete uma tendência de reação a caracterizações passadas como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos algoritmos ou um conhecimento a ser obtido por rotina. Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os estudantes como participantes ativos, os problemas como instrumentos precisos e bem definidos e a atividade, na resolução de problemas, como uma coordenação complexa simultânea de vários níveis de atividade.

É muito importante que os alunos participem ativamente das aulas relatando

experiências já vividas, dando suas opiniões, para que, juntos professor e alunos

construam o conhecimento.

Segundo Onuchic:

Problema é tudo aquilo que não se sabe fazer mas que se está interessado em resolver, que o problema passa a ser um ponto de partida e que, através da resolução do problema, os professores devem fazer conexões entre os diferentes ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. (1999, p.215).

Trabalhar os conteúdos utilizando a metodologia da Resolução de Problemas

surgiu no intuito de que os alunos possam construir o seu próprio conhecimento

propiciando condições para que reflitam e aprimorem seus conceitos matemáticos e

que despertem o interesse pela matemática ante a sua aplicabilidade.

O aprendizado de matemática pode ser ensinado como um movimento do

concreto onde um problema do dia a dia serve como exemplo do conceito ou da

técnica operatória para uma representação simbólica de determinados problemas e

técnicas para operar com esses símbolos.

A respeito convém citar Onuchic:

Em nossa visão, a compreensão de matemática, por parte dos alunos, envolve a idéia de que entender é essencialmente relacionar. As indicações de que um aluno entende, interpreta mal ou não entende idéias matemáticas específicas surgem frequentemente quando ele está resolvendo um problema. É importante notar que compreender deve ser o principal objetivo do ensino, apoiados na crença de que o aprendizado de

matemática, pelos alunos, é mais forte quando auto-gerado do que quando lhes é imposto. (2003, p.28).

A utilização de estratégias didáticas que permitam ao aluno a apropriação dos

conceitos matemáticos é uma necessidade, e cabe ao professor planejar, organizar

e selecionar atividades que deem conta dessa apropriação Levando isso em

consideração construiu-se uma Unidade Didática que será implementada no Projeto

de Intervenção Pedagógica na escola, onde será desenvolvido um trabalho com a

metodologia da Resolução de Problemas com tópicos específicos do 7º ano dos

anos finais do Ensino Fundamental, tais como: Razão Proporção e Regra de Três

Simples.

Sou professora de matemática há 17 anos, trabalho nas cidades gêmeas1

Barracão PR e Dionísio Cerqueira SC em duas escolas, uma paranaense e outra

catarinense com realidades culturais e econômicas bem distintas. Apesar dessas

diferenças percebi, que ao trabalhar com os conteúdos de razão, proporção e regra

de três as dificuldades encontradas são semelhantes, embora vivenciando

realidades diferentes aparentemente surgem as mesmas dúvidas por parte dos

alunos.

De acordo com Onuchic e Allevato (2004, p. 222):

O ensino-aprendizagem de um tópico matemático deve sempre começar com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e técnicas matemáticas devem ser desenvolvidas na busca de respostas razoáveis à situação-problema dada. O aprendizado, desse modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com estes símbolos).

Para que se possa desenvolver um trabalho nessa perspectiva em aulas de

Matemática, é preciso adotar procedimentos de ensino diferentes daqueles

geralmente utilizados na perspectiva tradicional de ensino. Neste sentido as tarefas

envolvendo a Resolução de Problemas serão desenvolvidas de acordo com as

etapas descritas por Allevato e Onuchic (2011, p.83 - 85):

1 Barracão PR e Dionísio Cerqueira SC são consideradas cidades gêmeas, surgiram na mesma época e fazem

fronteira seca.

1) Preparação do problema – Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, principio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha sido ainda trabalhado em sala de aula.

2) Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.

3) Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura, agora nos grupos. Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema. Se houver, no texto do problema palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.

4) Resolução do problema – De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.

5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo incentivando a troca de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.

6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.

7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem.

8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

9)Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal”- organizada e estruturada em linguagem matemática - padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.

Essas etapas serão utilizadas em cada plano de aula sempre adaptando-as

conforme a realidade da situação.

Ainda de acordo com Allevato e Onuchic, em outro de seus textos a respeito

da metodologia da resolução de problemas, as autoras reiteram que:

(...) os problemas são propostos aos alunos antes de lhes ter sido apresentado, formalmente, o conteúdo matemático necessário ou mais apropriado à sua resolução que, de acordo com o programa da disciplina para a série atendida, é pretendido pelo professor. Dessa forma, o ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com um problema que expressa aspectos-chave desse tópico, e técnicas matemáticas devem ser desenvolvidas na busca de respostas razoáveis ao problema dado. A avaliação do crescimento dos alunos é feita continuamente, durante a resolução do problema. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2011, p.85).

No desenvolver das atividades se buscará fazer uma observação no

desenvolvimento dos alunos, percebendo sua evolução e capacidade de resolver os

problemas matemáticos.

RAZÃO, PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS.

Com base nas observações de medidas de grandezas proporcionais, que

variam em situações do cotidiano dos alunos, acredita-se que o conceito de

proporcionalidade pode ser construído baseado em atividades da vida real, no

sentido de levar o aluno a perceber os dados dos problemas e organizá-los, de

preferência em tabelas, que, conforme confirmam diversos pesquisadores,

favorecem a observação de suas relações.

O pensamento proporcional pode contribuir para o desenvolvimento da álgebra,

se levarmos em conta que o raciocínio com proporções envolve: senso de co-

variação, comparações múltiplas, predição e inferência, que utilizam métodos de

pensamento qualitativo e quantitativo. O raciocínio qualitativo não depende de

valores específicos, além de ser importante meio para se esboçar caminhos e

respostas, bem como para verificar a adequação destes ao problema. O

pensamento proporcional é necessário entre experiências e modelos numéricos

comuns e as relações mais abstratas que se expressarão de forma algébrica, além

de ser um exemplo simples, mas importante, de função matemática.

O estudo da álgebra no Ensino Fundamental não é encarado com

tranquilidade pelos alunos, usualmente o encaram como uma forte ruptura no modo

de pensar matemática, apresentando grande desinteresse, senão aversão por parte

dos alunos. Porém a álgebra é um meio de comunicação e de produzir raciocínios

matemáticos para resolver problemas em que envolvem razões. Então precisamos

contribuir para evitar os problemas provocados por esse ensino sem significado que

produz tanta rejeição e impede o aluno de utilizar o potencial da álgebra no contexto

da matemática com o qual começará a se deparar.

A proporcionalidade e a álgebra são tópicos de matemática que tem forte

relação, pois a noção de proporcionalidade inicia-se desde muito cedo, quando a

criança resolve um problema simples de preços, por exemplo, já está trabalhando

com a noção de proporção, e já começa a raciocinar multiplicativamente.

Em minicurso realizado em Campinas em maio de 2005, a Profª. Dra. Roseli

de Alvarenga Corrêa afirma que:

A experiência profissional nos tem revelado a importância do estudo do tema Razão e Proporção, não apenas como um conteúdo matemático em si, mas principalmente como um “formador” de estruturas cognitivas para a compreensão de outros importantes conceitos matemáticos tanto nas questões numéricas, como naquelas envolvendo medidas e geometria, daí, assumindo o tema, inclusive, o papel de integralizador desses ramos da Matemática. Além do mais, proporcionalidade é um conceito com amplas aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento.

Nesse sentido é importante pensarmos a proporcionalidade como um assunto

no qual o aprendizado vai além de situações puramente técnicas, no qual se possa

contribuir para que o aluno aprenda a resolver problemas em várias áreas do

conhecimento com compreensão, significado e habilidade.

Para os participantes do Projeto Fundão, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, UFRJ,

Um dos objetivos do ensino de matemática no primeiro grau é a formação global do aluno. Isso implica na necessidade de uma atenção ao desenvolvimento mental desse aluno e à sua preparação para uma atuação transformadora na realidade em que vive. Em ambos os aspectos o papel do trabalho com proporções é importantíssimo. O conceito de proporcionalidade está presente no dia-a-dia de qualquer pessoa, nas mais diversas situações: ao interpretar uma estatística ou gráfico, ao analisar

uma planta de imóvel ou um mapa, ao estimar uma probabilidade, ampliar ou reduzir uma foto, etc.(TINOCO,2011, p.9).

Mesmo fazendo parte do cotidiano, a apreensão do conceito de probabilidade

pode ser ainda restrita. Desde muito cedo a criança começa a desenvolver a noção

de probabilidade, no entanto, muitos alunos mesmo após o estudo das razões e

proporções na escola, não adquirem claramente esse conceito. A compreensão

completa, incluindo as propriedades, precisa ser desenvolvida por meio de um

planejamento de situações diversas nas quais essas ideias sejam bem exploradas.

A pesquisadora Terezinha Nunes, em entrevista à Revista Nova Escola, em

2002, sustenta que a principal falha do ensino da Matemática era relacionada a

abordagem da proporcionalidade:

A proporcionalidade, questão central que envolve tanto frações como multiplicação, está presente em todas as ciências e faz parte do dia-a-dia de qualquer pessoa, seja no trabalho, seja em casa. O conceito, bastante simples na sua origem, nada mais é do que a relação entre duas variáveis Para compreendê-lo, fazemos uma relação com a multiplicação - mas a escola não. Lá no início da escolarização, as primeiras noções de proporção deveriam aparecer junto com os conceitos de multiplicação. Mas muitos professores ensinam essa operação básica apenas como uma “adição repetida” de parcelas. E não fazem relação com a noção de proporção. A adição repetida de parcelas não mostra o sentido de proporção que existe por trás dessa conta.

Em outro trecho da mesma entrevista a pesquisadora salienta como se

poderia abordar o raciocínio proporcional, destacando que o ideal seria iniciar,

(...) quando se ensina a multiplicação usando o raciocínio de correspondência e se estimula na mente do aluno uma apresentação para a relação entre duas variáveis. Essa prática torna fácil perceber a relação fixa entre as variáveis e, ao mesmo tempo, é uma maneira de resolver o problema.

O conceito de proporcionalidade é abordado informalmente até o 6º ano e de

maneira explícita e com enfoques diferentes no 7º e 8º ano, ele pode ser conectado

à geometria do 9º ano, ao ensino médio, pode ser ensinado relacionado à produção

industrial e aos estudos de funções. As retomadas dos temas garantem não só a

memorização, mas também reelaborações do conhecimento adquirido, o que vai

aprofundando a compreensão; trabalhando cada conteúdo mais de uma vez.

Raciocinar proporcionalmente é um dos componentes do raciocínio formal

que os alunos adquirem na adolescência. São poucos os alunos que conseguem

raciocinar com proporções de maneira consistente, os detalhes complexos podem

ser abordados no momento adequado à experiência matemática subsidiados pelo

conhecimento que os alunos já possuem. Essa forma de articulação do currículo em

que a abordagem é feita progressivamente em cada ano, e em diferentes conexões

(comparações, grandezas, geometria, funções e escalas), ao mesmo tempo em que

atende às exigências das determinações impostas pelas grades curriculares, não

segue a rígida exigência de pré-requisitos do ensino tradicional, o conceito de

proporcionalidade pode se considerado difícil, adquirido só no final da adolescência

para os sujeitos que frequentam regularmente a escola e não dominado por muitos

adultos.

O conteúdo de proporção é um tema de muita importância e aplicabilidade

tanto em conteúdos escolares matemáticos como em outras disciplinas, e nas

atividades do cotidiano, a apreensão do conteúdo de proporção é algo a ser

construído nas etapas do Ensino Fundamental, de forma que os alunos possam,

para além de sua vida escolar, aplicá-la.

As características envolvidas em uma atividade ou problema são as relações

numéricas apresentadas no problema e que lhe dão sentido de ação. Esta ação

deve ser analisada para se entender qual o raciocínio matemático que deve ser

utilizado, e é preciso ter uma visão geral de todo o processo para se individualizar as

ações.

Para Coxford e Schulte (1995, p. 90):

O raciocínio com proporções é uma forma de raciocínio matemático. Ele envolve um senso de covariação, comparações múltiplas e a capacidade de armazenar e processar mentalmente várias informações. O raciocínio com proporções está muito ligado à inferência e à predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e quantitativos. O fato de muitos aspectos de nosso mundo funcionarem de acordo com regras de proporcionalidade faz com que a faculdade de raciocinar com proporções seja extremamente útil na interpretação dos fenômenos do mundo real.

As proporções (expressas pela igualdade de duas razões) são úteis numa

grande variedade de situações de resolução de problemas, como muitos tipos de

problemas sobre taxas, velocidade, misturas, densidade, escala conversão,

consumo, preço e outras formas de comparações.

Normalmente, O raciocínio proporcional pode ser representado como uma

equação que representa uma relação simples, de natureza multiplicativa, as

situações proporcionais têm sido inseridas em problemas de valor ausente como a/b

com c/x, em que geralmente a, b, c são valores dados e consiste em achar o valor

de x.

O raciocínio com proporções também é necessário para se compararem duas

razões ou taxas dadas. Em situações numéricas, pede-se para comparar a/b com

c/d, sendo a, b, c, e d. A tarefa consiste em determinar qual delas é maior, mais

rápida, mais escura, mais cara, mais densa e assim por diante.

Para raciocinar proporcionalmente é importante ter flexibilidade mental para

abordar os problemas por vários ângulos, o aluno precisa ser capaz de distinguir

situações proporcionais e não proporcionais.

Pode-se argumentar que os alunos precisam automatizar certos processos

matemáticos, no entanto considera-se que os métodos mais eficientes são com

frequência, aqueles menos significativos, que devem, portanto ser evitados. Muitas

vezes confunde-se eficiência com significação e, embora com a melhor das

intenções, introduzimos um conceito de maneira mais eficiente, porém menos

significativa. O algoritmo-padrão da proporcionalidade: a/b = c/x, a, b, e c, achar x é

uma dessas áreas. O processo-padrão de resolução consiste em multiplicar em cruz

e achar x.

Esse algoritmo, em si e por si, é um processo mecânico e desprovido de

significado no contexto do mundo real. Ele pode, porém, ser focalizado de maneira

mais racional.

De acordo com a obra organizada no projeto Fundão, cuja coordenação

coube a Lúcia Tinoco:

(i) Dado qualquer elemento de um conjunto, obtém-se seu correspondente no outro conjunto multiplicando-o por um número fixo. Esse número é chamado de Razão de Proporcionalidade. (ii) A razão entre cada número de um conjunto e seu correspondente no outro conjunto é constante (Razão de Proporcionalidade). (iii) Multiplicando-se um elemento de um dos conjuntos por um número o elemento correspondente no outro conjunto ficará multipicado pelo mesmo número. (iv) O correspondente da soma de dois números de um mesmo conjunto é a soma dos correspondentes desses elementos no outro conjunto. (TINOCO, 2011, p.28).

Duas grandezas são proporcionais quando os conjuntos dos números que

expressam suas medidas são proporcionais.

Para que o aluno assimile esses conceitos é necessário trabalhar as ideias

fundamentais em uma grande variedade de contextos bem amplos para que o aluno

entenda quando há proporcionalidade ou não. É importante também que ele vivencie

situações nas quais as grandezas crescem ou diminuem simultaneamente, mas não

são proporcionais.

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Dois conjuntos de números são proporcionais quando um critério a seguir for

satisfeito. Eles são equivalentes. A cada situação, pode-se verificar que há

proporcionalidade por meio do que for mais conveniente.

Exemplo:

Com R$ 35,00 um menino comprou 7 carrinhos. Quantos carrinhos comprará com

R$ 120,00?

7 carrinhos – R$35,00

1 carrinhos – R$ 35 7 = 5

120 5 = 24

24 carrinhos R$ 120,00

Quantidade de carrinhos Valor em (R$)

1 carrinho 5,00

7 carrinhos 35,00

24 carrinhos 120,00

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

As atividades propostas nesta Unidade Didática serão desenvolvidas usando

a metodologia da Resolução de Problemas, com isso julgamos ser possível aos

alunos construir o conceito de números diretamente e inversamente proporcionais,

reconhecer a razão constante entre eles e resolver qualquer problema que envolva

proporcionalidade. É importante que os alunos tenham a liberdade de escolher a

maneira pela qual desejam resolver um problema e que o professor discuta com eles

a diversidade de opções que existe para tal resolução.

A obra organizada no projeto Fundão, com a coordenação de Lúcia Tinoco

destaca a importância do uso de tabelas como uma das possibilidades de resolução:

Isso não substitui a apresentação da solução mais econômica (armando a proporção e aplicando a propriedade) pelo professor, caso não apareça espontaneamente. Enfatizamos porém que a elaboração de uma tabela com os dados do problema é um ponto de partida fundamental para qualquer situação. (TINOCO, 2011, p.46).

A propriedade mais importante das proporções é a Propriedade Fundamental,

para sua apresentação é desnecessário usar a nomenclatura “meios e extremos”. As

pesquisas realizadas pelos autores consultados sugerem uma apresentação mais

intuitiva da propriedade, valorizando a equivalência entre as frações.

bcadd

c

b

a

De acordo com Lins e Gimenez:

Chamamos pensamento proporcional aquele que corresponde a uma estrutura de comparação entre partes ou entre todos, ou entre as partes e um todo, ou como um esquema instrumental que resolve algumas situações especiais de comparação em forma multiplicativa e não aditiva. Alguns autores consideram que existem tipos de problemas que, implicitamente, levam consigo esse tipo de pensamento, e são: comparações, razões, conversões (também chamadas trocas de unidade), inclusão hierárquica e combinações. Em cada caso pode-se ter como incógnita qualquer um dos elementos ou um total. O pensamento proporcional associa-se normalmente às operações de multiplicação e divisão As situações de proporcionalidade como esquema instrumental utilizam quatro tipos de técnicas fundamentais: redução à unidade, modelagem proporcional, modelagem fracionária e modelagem algébrica. (1997, p.52).

Conforme Lins e Gimenez (1997) colocam que, o pensamento proporcional

associa-se normalmente as operações de multiplicação e divisão e que as situações

de proporcionalidade utilizam quatro tipos de técnicas fundamentais que podem ser

exemplificadas: “Se 5 pirulitos custam R$2,50, quanto custam 10 pirulitos?”. A

redução à unidade explica que um pirulito custa R$0,50, e 10 pirulitos R$5,00. Se

raciocinarmos proporcionalmente iremos identificar que 5 está para R$2,50, assim

como 10 está para R$5,00. Mediante frações há uma equivalência na qual há um

termo desconhecido que deve ser R$5,00. A modelagem estabelece relações entre

as representações dos modelos, nas diferentes formas, e o significado da constante

de proporcionalidade.

O MÉTODO DA TAXA UNITÁRIA

A abordagem com maior apelo intuitivo é, sem dúvida, a “quanto (quantos) por um”, ou método da taxa unitária. Tem apelo intuitivo porque as crianças já compraram uma ou muitas coisas e tiveram ocasião de calcular preços unitários e ou taxas unitárias. De fato, muitos problemas-padrão em um passo, envolvendo multiplicação e divisão, podem ser pensados em termos da determinação de uma taxa unitária (problema de multiplicação). (COXFORD; SCHULTE, 1995, p.93).

Exemplos:

a) Mariana comprou uma caneta por R$2,50. Quanto pagaria por cinco

canetas?

A solução é um múltiplo da taxa unitária, ou seja, 2,50 5.

b) Mariana comprou cinco canetas por R$12,50. Quanto custou cada caneta?

A solução é a taxa unitária, ou seja, 12,505.

No exemplo a, é dada a taxa unitária e calcula-se algum múltiplo dela. No

exemplo b, se acha a taxa unitária sendo dado algum múltiplo dela.

Muitos problemas de multiplicação podem ser pensados com um valor

ausente em que a taxa unitária deve ser achada. Situações proporcionais em que a

taxa unitária não é dada, são exemplos de problemas sobre valor ausente.

A maneira de resolver problemas de valor ausente tem muita relação com os

problemas de multiplicação e divisão, conforme o contexto e os aspectos numéricos

do problema pode ser mais ou menos claro para o aluno, mas a maneira de fazer e

interpretar proporcionalmente permanecem inalterados. Situações de

proporcionalidade em forma de problemas de valor ausente podem ser pensadas a

partir de perspectivas de multiplicação e divisão.

Quando tem um par-taxa, há sempre duas taxas unitárias, sendo cada uma o

inverso da outra. Normalmente uma é mais fácil de interpretar que a outra. No

exemplo anterior cinco canetas custam 12,50. Podemos expressar de duas

maneiras:

50,12

5

5

50,12ou

A primeira é resultado da divisão 12,50 5 = 2,50, a segunda, é resultado da divisão

512,5=0,4.

Essa escolha apresenta grandes dificuldades para os alunos, muitos dos

alunos são incapazes de interpretar os inversos das taxas unitárias padrão. As taxas

e suas inversas são conceitos matemáticos importantes. Considerar os inversos

nesse contexto relativamente concreto facilita a extensão posterior do conceito para

contextos algébricos. É muito importante que as duas taxas sejam interpretáveis

pelos alunos. 12,505 = 2,50 tem um significado muito diferente de 5 12,5=0,4, e

então questionar os alunos qual é a taxa adequada para esse problema e porquê.

O MÉTODO DO FATOR DE MUDANÇA

Um segundo método para resolver problemas de valor ausente, ligeiramente menos funcional que o anterior, porém bastante válido, envolve um raciocínio do tipo “outras tantas vezes”. Em situações proporcionais, se uma variável é x vezes uma outra num dado par-taxa, essa variável deverá ser igualmente x vezes a outra no par-taxa equivalente. Isso também é verdadeiro entre pares-taxas. (COXFORD; SCHULE, 1995, p. 95).

Exemplo:

Se Antônio pagou R$7,20 por 6 lápis, quanto pagaria por uma dúzia?

Pensando no fator de mudança, o raciocínio seria o seguinte: Como se quer saber o

dobro do número de lápis comprados, o preço será duas vezes maior, de modo que

a resposta é 27,20. Pode-se raciocinar que, como 6 é 1/2 de 12, então 7,20 deve

ser 1/2 do preço procurado, que é , então 2 7,20. Essa argumentação tem

suportes ligados aos números racionai e se baseia na ideia de que, se conhece 1/2

de algo, pode-se obter esse algo (a unidade ou o todo) multiplicando por 2, pois 2

1/2 = 1 unidade

O método do fator de mudança é menos funcional que o da taxa unitária, pois

a facilidade do uso do método de fator de mudança está relacionada com aspectos

numéricos da tarefa. No exemplo citado, os números são múltiplos inteiros e se

prestam ao raciocínio “outras tantas vezes”, mas nem sempre o fator é um número

múltiplo do outro e aí surgem as dificuldades.

O método do fator de mudança constitui uma interpretação útil da

proporcionalidade e deveria fazer parte do repertório de todos os alunos, pois ele

torna muito mais fácil a resolução de uma subclasse de problemas verbais. No

entanto, seu uso se limita àqueles problemas em que os valores numéricos

correspondentes nos pares-taxas são tais que um é múltiplo inteiro do outro.

A maioria dos problemas que se apresentam no dia-a-dia de cada um de nós

liga duas grandezas, relacionadas de tal forma que, quando uma delas varia, como

consequência varia também a outra.

A proporcionalidade entre as quantidades dessas grandezas estabelece a lei

de variação da quantidade de uma relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas

classificam-se em direta e inversamente proporcionais.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PORPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando (ou

diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou diminui) na mesma proporção da

primeira.

Exemplo: Uma barra de alumínio de 100 cm³ de volume pesa 270 gramas; nas

mesmas condições uma barra de 200 cm³ pesará 540 gramas e uma de 300 cm³,

810 gramas. Podemos então escrever a seguinte tabela:

Volume (cm³) 100 200 300 500

Massa (g) 270 540 810 1350

Pelo exame dessa tabela, vemos que a grandeza massa depende da

grandeza volume, já que aumentando uma (volume) a outra (massa) também

aumenta. Além disso, notamos que:

100

270 =

200

540 =

300

810 =

500

1350=2,7

Notamos que se dividirmos a razão mantém a mesma taxa de variação, isso ocorre

sempre que as razões são diretamente proporcionais.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PORPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou

diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou aumenta) na mesma proporção da

primeira.

Exemplo: Uma distância de 1200 km pode ser percorrida por um avião a uma

velocidade de 100 km/h em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; a

uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos então escrever a tabela:

Velocidade (km) 100 200 300 400

Tempo (h) 12 6 4 3

Vemos ainda aqui, que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que

aumentando a velocidade o tempo diminui. Porém, agora temos:

12 100 = 6 200 = 4 300 = 3 400 = 1200

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Chamamos regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é

diretamente ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

Exemplo 1: Pedro comprou 8 pastéis por R$ 12,00. Quanto pagaria por 6 pastéis?

A partir da situação-problema, quanto Pedro pagará por 6 pastéis?

Temos a seguinte proporção.

6

8 =

x

12

Podemos demonstrar numa tabela usando o método da taxa unitária:

8 pastéis R$ 12,00

4 pastéis R$ 6,00

2 pastéis R$ 3,00

6 pastéis R$ 9,00

1 pastel R$ 1,50

Ou,

00,9$8

00,7200,728 Rxxx

Então, 6 pastéis custarão R$ 9,00.

Exemplo 2: Rodando a uma velocidade média de 80 km/h, um carro faz um percurso

em 3 horas. Se rodar a 60 km/h, em quanto tempo fará o mesmo percurso?

Observe a tabela e as propriedades que caracterizam dois conjuntos inversamente

proporcionais:

Velocidade média Horas

80 3

60 4

120 2

O produto de cada número do primeiro conjunto pelo correspondente no segundo

conjunto é constante.

803 = 604=1202

Essa propriedade permite escrever a equação de qualquer problema de

proporcionalidade inversa.

602 = 120

4 2 = 2

803/2 = 120

3 3/2 = 2

A razão entre cada número do primeiro conjunto e o inverso do seu correspondente,

no segundo conjunto, é constante.

2402/1

120

4/1

60

3/1

80

A razão entre cada dois números do primeiro conjunto é o inverso da razão entre os

correspondentes no segundo conjunto.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando os conjuntos dos números

que exprimem suas medidas são inversamente proporcionais.

AVALIAÇÃO

A avaliação dos alunos se desenvolverá no decorrer das aulas por meio da

observação direta dos alunos pela professora e dos vários instrumentos de

avaliação utilizados, tais como, a participação no desenvolver das atividades durante

a resolução dos problemas por meio das respostas orais, a socialização dos grupos,

a apresentação na lousa e os registros e análises individuais nas folhas. De acordo

com Vianna “é necessário levar em conta fatores como a capacidade de formular

perguntas, de fazer conjecturas, do uso de diferentes estratégias, a interpretação

dos resultados e as possibilidades de fazer generalizações” (VIANNA, 2002, p. 404).

Serão utilizados vários instrumentos em diversos momentos, dentre eles o

roteiro elaborado por Allevato e Onuchic, (2011) para o desenvolvimento dos

problemas propostos.

Este trabalho está inspirado na “Metodologia de Ensino-Aprendizagem-

Avaliação”, proposta por Onuchic em palestra proferida em Rio Claro na qual afirma

que:

A opção de utilizar a palavra composta Ensino-Aprendizagem-Avaliação tem objetivo de expressar uma concepção em que ensino e aprendizagem devem ocorrer simultaneamente durante a construção do conhecimento, tendo o professor como guia e os alunos como co-construtores desse conhecimento. Além disso, essa metodologia intera uma concepção mais atual sobre avaliação. Ela, a avaliação, é construída durante a resolução do problema, integrando-se ao ensino com vistas a acompanhar o crescimento dos alunos, aumentando a aprendizagem e reorientando as práticas de sala de aula, quando necessário. O Ensino Aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas é diferente daquele em que regras de “como fazer” são privilegiadas. Ele “reflete uma tendência de reação a caracterizações passadas como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos algorítmicos ou um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental”. (ONUCHIC, 1999, p.203).

Nessa metodologia, o trabalho começa com um problema, e esse é o ponto

de partida para a aprendizagem, o conhecimento é construído através de sua

resolução, e, professor e aluno, juntos desenvolvem o trabalho, a aprendizagem se

realiza de modo colaborativo em sala de aula.

De acordo com Onuchic e Allevatto (2008):

A Metodologia Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas integra uma concepção mais atual sobre avaliação, constituindo-a numa oportunidade de aprender. A avaliação será construída durante a resolução do problema, integrando-se ao ensino e aumentando a aprendizagem. (ONUCHIC, ALEVATTO, 2008, p.83).

A avaliação nessa perspectiva deve ser formativa, permanente, com a

finalidade de desenvolver a potencialidade do aluno, acompanhando o aprendizado,

e reorientando o trabalho do aluno por meio de recuperação paralela dos tópicos de

conteúdo para os quais seu desempenho não foi satisfatório ou nos quais ainda não

se apresenta seguro.

Objetivos gerais da unidade didática:

Interessar-se pela matemática ante a sua aplicabilidade.

Elaborar e interpretar hipóteses durante a resolução de problemas.

Vivenciar a resolução de problemas como metodologia nos processos

de ensino e aprendizagem de matemática.

Identificar e analisar as estratégias utilizadas por alunos do 7º ano do

Ensino Fundamental na resolução de problemas que envolvem o

conceito de proporção.

Cada plano de aula tem seus objetivos específicos, as estratégias de ação em

que as tarefas envolvendo a Resolução de Problemas serão desenvolvidas estão de

acordo com as etapas descritas por Allevato e Onuchic (2011, p. 83 - 85). Cada

plano de aula está organizado de forma que os alunos trabalhem em grupos de três

componentes escolhidos pela professora procurando variar os participantes para

que haja melhor aprendizagem e a socialização entre os colegas da turma. Todos os

participantes dos grupos serão incentivados a exporem as resoluções com o objetivo

de desenvolver a segurança de todos e não apenas ratificar a postura de alguns.

Nas estratégias de ação serão brevemente descritos os procedimentos adotados

para o encaminhamento das ações. A duração prevista para a aula, os recursos

didáticos que serão necessários e a avaliação proposta serão detalhadas a cada

plano de aula que compõe a unidade.

Para iniciar o desenvolvimento desta Unidade Didática, será aplicado aos

alunos do 7º ano do Colégio Estadual Profª. Leonor Castellano um questionário para

melhor conhecer a realidade na qual estão inseridos os alunos participantes do

projeto facilitando a interação com os mesmos e, quando possível a escolha de

problemas relacionados ao seu cotidiano.

Duração:

Uma aula de 50 minutos.

Objetivo:

Conhecer melhor a realidade dos alunos.

Estratégias de ação:

Após a apresentação do projeto e anuência da turma em participar o

questionário a seguir será entregue em folhas impressas para o preenchimento

individual. O tempo utilizado será de 50 minutos. As informações obtidas serão

importantes para o desenvolvimento do trabalho, pois permitirão conhecer melhor a

realidade onde estão inseridos os alunos participantes de forma a aproximar os

problemas e as ações do cotidiano da realidade vivenciada, “personalizando”,

quando possível, algumas ações.

Aluno (a):__________________________________________________________________

1) Sexo: ( ) feminino ( ) masculino

2) Idade:__________________________________________________________________

3) Em relação à disciplina de matemática:

( ) gosto muito

( ) gosto

( ) não gosto

( ) não gosto nada

Por que:___________________________________________________________________

4) Possui televisão: ( ) sim ( ) não

5) Acesso a internet:

( ) em casa

( ) na escola

( ) em outros locais ( lan houses)

( ) não tem

6) Atividades praticadas nas horas de folga:

__________________________________________________________________________

7) Ocupação dos responsáveis:

8) Número de pessoas que moram em sua casa:

( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ou mais moradores.

9) Local da moradia:

( ) centro

( ) bairro

( ) interior

10) Utiliza transporte para a escola: ( ) sim ( ) não

11) Distância da casa até a escola:

__________________________________________________________________________

12) Tempo de duração do percurso de casa até a escola:

__________________________________________________________________________

PLANOS DE AULA:

PLANO DE AULA 1:

Objetivos Específicos:

Utilizar estratégias diversas para resolver problemas que envolvem o conceito

de razão e proporção.

Expor para os colegas as estratégias utilizadas na resolução dos problemas

propostos.

Duração:

Duas aulas geminadas com duração de 50 minutos cada.

Recursos didáticos:

Folhas digitadas com os problemas a serem resolvidos, quadro branco,

pincel, lápis e borracha.


As estratégias de ação utilizadas serão desenvolvidas conforme já foram

especificadas no início da Unidade Didática.

Atividade 1: Bruno e Diego, alunos do 7º ano são grandes amigos e combinaram de

pescar no próximo domingo. Chegando o dia marcado pegaram suas bicicletas e

pedalaram alguns quilômetros até chegarem a uma grande represa, onde usavam

iscas e anzóis apropriados para a pesca de lambari. Assim passaram a tarde toda

pescando, a pescaria foi um sucesso, Bruno havia pescado 3,2 kg e Diego, 4 kg.

Antes de voltarem para casa avistaram a barraca de Dona Maria, que atendia aos

pescadores daquela represa, pediram para ela limpar os peixes que haviam

pescado, e combinaram o preço. Enquanto ela limpava os peixes aproveitaram para

observar um barco que havia atracado. Ao voltarem à barraca, Dona Maria havia

colocado todos os lambaris limpos num único saco plástico, com uma etiqueta

indicando a massa total de 5,76 kg. E agora, quantos quilogramas caberiam a cada

um? Como repartir os peixes de forma justa?

Para a resolução desse problema a professora explicará:

kg

kg

4

2,3= 0,8 =

10

8=

5

4

Comparando a parte que cabe ao Bruno (4 partes) e a parte que cabe ao

Diego (5 partes), temos 4 para 5. A comparação de duas grandezas de mesma

natureza por meio da divisão é chamada Razão.

Como o total de lambaris limpos foram 5,76 kg e as partes de Bruno 4 partes e

Diego 5 partes somaram 9, temos:

5,76 9= 0,64

0,64 4 = 2,56 kg para Bruno

0,64 5 = 3,2 kg para Diego

Atividade 2: Chegou a hora de pagar Dona Maria. O certo é cada um pagar na

mesma razão do número de quilogramas que pescou. Ela cobrou R$3,60 para

limpar os lambaris.

a) Quanto Diego pagou pela sua parte?

4,096,3

00,2$54,0 R

Diego pagou a Dona Maria R$2,00 pela sua parte.

b) Bruno, que tinha dado R$5,00 para Dona Maria cobrar a sua parte, gastou o

troco em anzóis. Quanto pagou por esses anzóis?

60,1$44,0 R

R$5,00 – R$1,60 = 3,40

Bruno pagou a Dona Maria R$1,60 pela sua parte sobrando R$3,40 para ele

comprar os anzóis.

Atividade 3: No caminho de volta da pescaria, Bruno disse a Diego: Vamos ver se

você lembra bem a noção de razão que a professora de matemática ensinou. O sítio

de meu pai tem 48 hectares de canavial, 30 hectares de pastagem e 12 hectares de

área de reserva florestal.

a) Qual a razão entre o número de hectares da reserva florestal e o número

de hectares do canavial?

b) Qual a razão entre a área destinada a pastagem e a área total do sítio?

c) Qual das seguintes razões é maior: Entre a área da pastagem e a área do

canavial, ou entre a área da reserva florestal e a área da pastagem.

(adaptadas de BIANCHINI; PACCOLA, 1998, p.5).

Avaliação:

Será avaliada a participação no desenvolver das atividades durante a

resolução dos problemas por meio das respostas orais, da socialização dos grupos,

da apresentação na lousa e dos registros e análises individuais nas folhas.

PLANO DE AULA 2:

Objetivos específicos:

Demonstrar que em toda proporção o produto do numerador de uma razão

pelo denominador da outra é constante.

Enunciar a Propriedade Fundamental das Proporções.

Duração:



Folhas digitadas com as atividades a serem resolvidos, quadro branco, pincel,

lápis e borracha.




Atividade 1: Escrevam nas extremidades das diagonais de cada esquema, pares de

números cujo produto seja o número escrito no centro.

Atividade 2: Agora registrem ao lado do respectivo esquema os pares de números

encontrados.

Atividade 3: Neste novo esquema, escrevam números que não sejam primos nos

centros de cada esquema e então completem cada um como anteriormente.

Atividade 4: Relacionem os pares de razões que vocês encontraram na atividade 1 e

liguem cada par com sinais de = ou , utilizando a Propriedade das Proporções.

Atividade 5: Num estacionamento, o espaço ocupado por uma moto está para o

espaço ocupado por um automóvel na razão de 2 para 3. Quantas motos ocuparão o

espaço de 10 automóveis? Representem em uma tabela:

Quantidade de carros

Quantidade de motos

(adaptadas da obra organizada pelo projeto Fundão, TINOCO, 2011, p.40).

Avaliação:




PLANO DE AULA 3:


Identificar a proporção como uma igualdade de duas razões.

Verificar, por meio de cálculos, a Propriedade Fundamental das Proporções.

Destacar para os colegas o tipo de raciocínio e as operações utilizadas na

resolução dos problemas propostos.

Duração:




pincel, régua, lápis e borracha.

Estratégia de ação:



Atividade 1: Nosso amigo Henrique tem em sua chácara um chalezinho que é uma

graça, a frente do chalé foi construída de forma triangular. Certo dia numa

churrascada com os amigos foram registradas várias fotos interessantes. Assim que

as fotos chegaram às mãos de Henrique, ele pediu para que o fotógrafo fizesse uma

ampliação de uma das fotos do chalé para saber qual foi a proporção que teve de

aumento. Veja a foto original (foto 1) e a ampliação (foto 2).

(Foto 1)

(Foto 2)

Fonte: Acervo pessoal da autora.

Com o auxílio de uma régua, tomamos, em centímetros, algumas medidas do chalé

em cada uma das fotos e preencha a tabela:.

Altura do triângulo

da parte superior

do chalé

Largura da base

superior do chalé

Comprimento de

cada um dos lados

do telhado

Foto 1

Foto 2


Dividindo cada comprimento da foto 2 pelo respectivo comprimento da foto 1

(ver tabela que eles preencheram), qual será o resultado obtido?

cm

cm

4

6=1,5

cm

cm

5

5,7= 1,5

cm

cm

6,5

4,8= 1,5

Observe que todos os quocientes obtidos são iguais a 1,5, ou seja, a razão entre

cada comprimento da foto 2 e o comprimento da foto 1 é 1,5. Ou seja, a segunda

foto corresponde a uma vez e meia a primeira, isto que dizer que a ampliação foi de

150%.

Veja que:

A razão entre a altura do triângulo de madeira da foto 1 e da foto 2 é 6

4, ou seja:

3

2.

A razão entre largura da base superior de tijolos da foto 1 e da foto 2 é 5,7

5, ou seja:

3

2

75

50

Como as duas razões são iguais a 3

2, elas são iguais entre si, e daí podemos

escrever: 5,7

5

6

4 ou também pode ser escrita assim: 4 6 = 5 7,5.

Atividade 2: Dona Ana encontrou uma foto três por quatro de sua filha Giovana

quando esta era criança. Ela era uma graça. Estava tão bonita na foto que Dona Ana

resolveu fazer uma ampliação dessa foto. A ampliação ficou com 24 cm de altura.

Será possível calcular a largura da foto ampliada?


Uma foto três por quatro tem 3 cm de largura por 4 cm de altura. A foto

ampliada é proporcional à primeira. Então temos uma proporção na qual aparecem

os números: 3, 4, um valor desconhecido e 24.

Chamando de x cm a medida procurada, temos a proporção:

244

3 x

Agora é só resolver a equação: 4 .x = 72 x = 4

72 x = 18

Então a foto ampliada tem: 18 cm de largura e 24 cm de altura, ou seja, é 18 por 24.

Atividade 3: Como Dona Maria estava observando o álbum antigo da família,

resolveu ampliar mais algumas fotos três por quatro para pôr em alguns porta

retratos.

a) Uma foto três por quatro para ficar com a largura 36 cm deverá ter como

altura quantos cm?

b) Uma foto dez por quinze para ficar com largura 14 cm deverá ter como altura

quantos cm?

c) Uma foto dez por quinze para ficar com altura 45 cm deverá ter como altura

quantos cm?.


Avaliação:




PLANO DE AULA 4:


Demonstrar a proporcionalidade existente entre duas grandezas.

Perceber a utilidade prática desse tipo de cálculo em diversas situações do

cotidiano tais como escalas de mapas, plantas de construções e projetos diversos.

Duração:

Quatro aulas de 50 minutos cada.


Máquina fotográfica, fita métrica, régua, lápis, borracha, folhas digitadas com

os problemas a serem resolvidos, quadro branco, pincel.




Neste momento o aluno já teve todos os conceitos de razão e proporção,

então vamos provar por meio da comparação de suas alturas, como calcular a altura

do prédio da prefeitura que se localiza em frente à escola na qual estudam. A aula

terá início com a professora explicando os passos a serem seguidos para a

realização de tal tarefa:

1º - Inicialmente a professora organizará os alunos para fazermos um passeio até a

prefeitura que se localiza em frente à escola para tirarmos uma foto de cada aluno

em frente à mesma. Esta atividade visa relacionar as medidas das fotos com a altura

de cada participante (aluno e prefeitura), para tentar descobrir qual altura real da

prefeitura.

2º - Ao retornarmos para a sala de aula, com uma fita métrica, faremos a medida da

altura de cada aluno. Explicando a questão da transformação das unidades de

medida (metros para centímetros).

3º - A sala será organizada em grupos de três alunos e cada aluno no grupo irá

responder as questões propostas (neste momento as fotos já terão sido impressas)

para então iniciarmos a problematização.

Atividades:

1) Qual é a sua altura real em centímetros?

2) Com uma régua, meça a sua altura na foto.

3) Ainda utilizando a régua, qual a altura da prefeitura na foto?

4) Qual é a razão entre a sua altura real e a sua altura na foto?

5) Na opinião de vocês, como seria possível estabelecer uma relação entre as

alturas das fotos (suas e da prefeitura), e as alturas reais (suas e da

prefeitura).

6) Se existe esta relação entre as alturas da prefeitura e as suas alturas,

organize as informações para tentarmos descobrir a altura da prefeitura. Qual

é essa altura?

7) É possível estabelecer outras relações de proporcionalidade para medir, por

exemplo, a altura da nossa escola e a altura da igreja?

8) Supondo que a altura da igreja na foto é 9 cm relacionando com sua altura

real e a altura da foto, qual é a altura real da igreja?

9) Se a altura da escola na foto é 8 cm, fazendo relação com as suas aturas

reais e a altura da foto, qual a altura real da escola?

Avaliação:

Será avaliada a participação no desenvolver das atividades por meio das

respostas orais, da socialização dos grupos, da apresentação na lousa e dos

registros e análises individuais nas folhas.

PLANO DE AULA 5:


Identificar proporção como a igualdade de duas razões.

Verificar, aplicando a Propriedade Fundamental, se um par de razões dadas

forma uma proporção.

Aplicar a Propriedade Fundamental das Proporções.

Duração:








Atividades 1: Marcos e Cleide são proprietários da loja Menos Preço que vende

produtos importados. Eles trabalham em horários diferentes. Marcos, das 8 h às 12

h e Cleide, das 12 h às 18 h. No final do ano, eles decidiram repartir o lucro de R$

30.000,00 que haviam obtido no último trimestre. Essa divisão seria em partes

proporcionais às horas trabalhadas por dia. Quanto receberia cada um deles?


O número total de horas trabalhadas são 4 horas de Marcos e 6 horas de Cleide, ou

seja: 4 + 6 = 10

A razão que indica o número de horas trabalhadas por Marcos em relação ao total é

10

4.

A razão que indica o número de horas trabalhadas por Cleide em relação ao total é

10

6.

000.1210

000.120000.30410

000.3010

4 xx

x

Marcos deverá receber R$ 12.000,00

000.1810

000.180000.30610

000.3010

6 xx

x

Cleide deverá receber R$ 18.000,00

Atividade 2: Se Marcos e Cleide tivessem um lucro de R$ 60.000,00, e o número de

horas trabalhadas por cada um fosse o mesmo, quanto caberia a cada um?

Atividade 3: Vamos imaginar que Marcos trabalha das 7 h às 12 h, e Cleide trabalha

das 12 h às 19 h. Desta vez supondo que o lucro foi de R$ 36.000,00, quanto

caberia a cada um?

Atividade 4: Marcos respondeu um questionário sobre cultura geral: de cada 9

questões acertou 7. Cleide foi melhor que seu sócio, mas não muito: de cada 5

questões acertou 4. Como Cleide acertou 36 questões, quantas foram as que

Marcos acertou?

Atividade 5: Marcos e Cleide responderam outro questionário, este era sobre

conhecimentos gerais, Marcos de cada 7 questões acertou 5, e Cleide de cada 10

questões acertou 6. Cleide acertou um total 42 questões. Qual foi o número de

questões que Marcos acertou?


Avaliação:




PLANO DE AULA 6:

Objetivo específico:

Reconhecer quando dois números são grandezas inversamente proporcionais

Duração:








Atividade 1: Seu Gerônimo com a ajuda de seu neto Danilo resolveu colocar uma

piscina em seu sítio. Depois da piscina instalada colocaram uma mangueira para

que a água, que ficava em um nível mais elevado, escorresse livremente para a

piscina. Viva! A piscina estava enchendo! Eram 11 horas. Foram embora e voltaram

no dia seguinte. Ao chegarem às 11 horas, encontraram a piscina com água até a

altura de 60 cm. Isso era a terça parte da atura do nível da água da piscina. Que

decepção, adeus mergulhos! Ficaram a pensar no que tinha acontecido. Durante o

período de 24 horas apenas um terço da piscina estava com água. Como eles só

visitam o sítio no final de semana, precisavam que ela enchesse em 24 horas. Seu

Gerônimo estava arrasado, Danilo com pena do avô tentava solucionar o problema.

Depois de muito pensar, achou a solução! Agora cada grupo tenta achar uma

solução para o problema de seu Gerônimo


Veja como Danilo pensou: se durante 24 horas a mangueira encheu a terça parte da

piscina, então para enchê-la totalmente haveria necessidade de três vezes esse

tempo, o seja, 72 horas, ou aumentar o número de mangueiras. Assim Danilo fez a

seguinte tabela para seu avô:

Número de mangueiras (com a

mesma vazão)

Tempo para encher a piscina

1 72h

2 h3672

2

1

3 h2472

3

1

Colocando três mangueiras, o tempo para encher a piscina seria de 24 horas.

Estava descoberta a solução!

Observando melhor a tabela de Danilo, veem-se duas sucessões de números: uma,

do número de mangueiras e outra, do tempo para encher a piscina.

72

1

36

2

24

3

Nessas duas sucessões o produto entre dois elementos correspondentes é sempre

o mesmo:

72721 72362 72243

Sabe como se chamam sucessões desse tipo? Chamam-se sucessões de números

inversamente proporcionais.

As grandezas envolvidas, números de mangueira e tempo para encher

completamente a piscina são chamadas grandezas inversamente proporcionais.

Quando duplicamos uma delas, a outra aparece dividida por dois; quando

triplicamos uma delas, a outra aparece dividida por três etc.

Atividade 2: Cuidado, use sempre o bom senso! Quando se fala em grandezas

proporcionais, deve-se ter o cuidado de analisar até quando a proporcionalidade

existe. Imaginem, por exemplo, uma parede que, sendo feita por um só pedreiro,

demoraria 10 dias para ficar pronta. Seria conveniente ir aumentado

proporcionalmente o número de pedreiros para que proporcionalmente diminuísse

os dias trabalhados? Expliquem:


É razoável pensar que, se colocássemos dois pedreiros, a demora seria de 5 dias.

Também é razoável pensar que, se colocássemos 4 pedreiros, a demora seria de

dois dias e meio. Essas grandezas, número de pedreiros e tempo para fazer a

parede, estão se comportando como grandezas inversamente proporcionais. Mas,

até quando podemos duplicar o número de pedreiros?

Pelo bom senso, não devemos continuar a duplicar muito o número de pedreiros,

pois chegaríamos à conclusão que essa parede poderia ser feita em alguns

segundos, bastando ter um número de pedreiros muito grande. Isso, no entanto é

impossível, pois nem haveria lugar para tanta gente.

Atividade 3: Veja a promoção de camisas que a loja da Mamata está fazendo:

Quantidade de camisas 1 camisa 2 camisas 3 camisas 4 camisas

Preço em (R$) 14,00 27,00 39,00 48,00

A tabela mostra que, nessa loja, as grandezas número de camisas e preço total

não são diretamente proporcionais, pois, ao dobrar o número de camisas de uma

para duas, por exemplo, o preço não dobrou. Ela mostra também que essas

grandezas não são inversamente proporcionais, pois, ao dobrarmos uma delas, a

outra não apareceu dividida por dois. Então, que grandezas são essas?

Atividade 4: Agora que vocês já viram exemplos de grandezas que não são nem

diretamente, nem inversamente proporcionais, discutam em seus grupos e registrem

outros exemplos de grandezas com esse tipo de comportamento?

Atividade 5: A tabela indica o preço de cada brigadeiro na padaria de seu Joaquim:

Número de brigadeiros 1 2 3 4 5 6

Preço (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20

De acordo com a tabela, respondam?

a) Qual o preço de 12 brigadeiros?

b) Com R$18,00, quantos brigadeiros podem ser comprados?

c) As grandezas número de brigadeiros e preço são diretamente

proporcionais?

Atividade 6: Diego estava voltando da pecaria e ao passar por um dos marcos que

indicava o número de quilômetros daquela rodovia, acionou um cronômetro e a cada

novo marco ele anotava o tempo decorrido. Suas anotações encontram-se na tabela.

Marco indicando o nº. de km 1 2 3 4 5

Tempo (min.) decorridos 2 5 8 12 15

Examinando esta tabela respondam:

a) Dá para saber quantos minutos ele gastou para percorrer 6 km?

b) Triplicando o número de quilômetros percorridos, o tempo também

triplica? Explique.

Atividade 7: Um construtor estava contratando mão de obra para pintar um prédio.

Se todos os pintores tivessem o mesmo ritmo de trabalho, o número de dias

necessário para pintar todo o prédio seriam os da tabela:

Nº. de pedreiros 5 6 8 10 12

Nº. de dias 120 100 75 60 50

De acordo com a tabela respondam:

a) Quantos pedreiros seriam necessários para pintar o prédio em 30 dias?

b) Em quantos dias 15 pedreiros pintariam o prédio?

c) As grandezas número de pedreiros e número de dias são diretamente

proporcionais?


Avaliação:




PLANO DE AULA 7:


Entender o conceito de razão e de números/grandezas proporcionais.

Verificar, aplicando a Propriedade Fundamental, se um par de razões dadas

forma uma proporção.

Identificar proporções como uma igualdade de duas razões.

Duração:



Folhas de papel milimetrado e quadriculado, folhas digitadas com os

problemas a serem resolvidos, quadro branco, pincel, lápis, borracha, tesoura, cola

e, régua.




Atividade 1: Para preparar suas tintas, um pintor costuma dissolver 4 latas de tinta

em 6 latas de água. Quantas latas de água são necessárias para dissolver 8 latas de

tinta?

Completem a tabela:

Tinta Água Tinta diluída

4 6

8

3

1

2

1) Quais as grandezas envolvidas no problema?

2) Elas são proporcionais? Que critérios vocês usaram para concluir a resposta?

3) Para diluir 15 latas de tinta concentrada, quantas latas de água são

necessárias?

4) Ao preparar suas tintas, o pintor João mistura 3 latas de tinta com 5 latas de

água. Qual dos dois obtém uma tinta mais concentrada? Por quê?

5) Utilizando uma folha de papel quadriculado, desenhem quatro quadrados: A,

B, C, D de lados respectivamente 2, 4, 6, e 10 e completem a tabela.

Unidade de comprimento: lado do quadrado da folha.

Unidade de área: área do quadradinho da folha.

Quadrado Lado Área

A

B

C

D

6) Quais as grandezas envolvidas no problema?

7) Elas são proporcionais? Que critérios vocês usaram para concluir a resposta?

8) Pode-se afirmar que a área do quadrado de lado 10 é o dobro do quadrado

de lado 5?

(adaptadas da obra organizada pelo projeto Fundão, TINOCO, 2011, p. 31).

Avaliação:



registros e análises individuais nas folhas.·.

PLANO DE AULA 8:


Usar a ideia de razão num contexto real e construir um conjunto de números

proporcionais a outro conjunto dado, calculando a razão entre eles.

Duração:




pincel, lápis, borracha.




Atividade 1: Num dia de chuva, compareceram na escola apenas5

4 do número de

alunos de sempre. Se o número de alunos normal dessa escola fosse 200, quantos

alunos viriam nesse dia de chuva?

Atividade 2: Dona. Isaura, merendeira dessa escola, prepara todo dia certa

quantidade de chocolate para a merenda. Que fração dessa quantidade deve

preparar nesse dia para que cada aluno tome a mesma quantidade de sempre?

Atividade 3: Se em dias normais, Dona. Isaura gasta com a merenda 15 kg de leite

em pó, 10 kg de açúcar e 5 kg de chocolate, quanto gastará de cada ingrediente

nesse dia, para que a merenda tenha o mesmo gosto de sempre?

Preencham a tabela:

Leite em pó Açúcar Chocolate Nº. de

alunos

Dia normal

Dia de chuva

a) Os conjuntos da 1ª e da 2ª linha são proporcionais? Por quê?

b) As razões entre os números correspondentes da 1ª e da 2ª linha são todas

iguais? E se a ordem das linhas forem trocadas?

Atividade 4: A escola fará uma excursão ao Termas de São João, a 90 Km de

Barracão. A companhia de ônibus cobrará R$ 300,00 pelo aluguel do ônibus e mais

R$ 20,00 por aluno. Se 30 alunos participarem da excursão, quanto será pago à

companhia? E se forem 40 alunos? E se forem 50 alunos? Façam uma tabela com

os números dos alunos e valores correspondentes.

Nº de alunos

Valor a ser pago (R$)

a) Se o número de alunos crescer, o valor a ser pago aumenta?

b) O número de alunos e o valor a ser pago são proporcionais?

Atividade 5: No 1º turno dessa mesma escola, na hora da sobremesa, foram

distribuídos igualmente 30 kg de doce para 200 alunos. Se no 2º turno o número de

alunos é 150, quantos quilos de doce deverão ser distribuídos, para que cada aluno

coma a mesma quantidade de doce que os do 1º turno? Quanto precisaria para 30

alunos? Demonstre em uma tabela.

Nº de alunos

Kg de doce

a) Somando os quilos de doce dos dois turnos e os números de alunos

desses mesmos turnos e dividindo um total pelo outro, o que dará?


Avaliação:



registros e análises individuais nas folhas.·

PLANO DE AULA 9:


Resolver problemas que envolvem a proporcionalidade direta tais como os

chamados “Problemas de Regra de Três Simples”.

Duração:








Atividade 1: Mil folhas de certo papel pesam 4 kg. Quanto pesarão 600 folhas do

mesmo papel?

Redução a unidade:

Nº. de folhas 1000 100 1 600

Peso 4 0,4 0,004 2,4

Atividade 2: Um automóvel roda 340 km com 40 litros de álcool e a capacidade do

seu tanque é de 52 litros. Quantos quilômetros este automóvel rodará com o tanque

cheio de álcool?


Km 340 8,5 442

Litros 40 1 52

Atividade 3: Em uma horta, José utilizou 9 m² para plantar 225 mudas de alface.

Mantendo-se a mesma distância entre as mudas, quantos metros quadrados serão

necessários para plantar 300 mudas?


Mudas 225 25 300

M² 9 1 12

Atividade 4: Para encapar 7 cadernos iguais usei 3,5 m de plástico. Para encapar 12

cadernos iguais a esses, quantos metros de plástico usarei?


Cadernos 7 1 12

Metros de plástico 3,5 0,5 6


Avaliação:



registros e análises individuais nas folhas·.

PLANO DE AULA 10:


Compreender e utilizar a Propriedade da Soma dos Termos das Proporções e

a Propriedade Fundamental das Proporções.

Duração:








Atividade 1: Numa fábrica de automóveis, para cada 3 carros a álcool são

produzidos 4 carros a gasolina. Se o total de carros produzidos ao final do mês foi

de 840 carros, quantos são a álcool e quantos são a gasolina?


Os alunos serão incentivados a expressarem a primeira frase por meio de uma

proporção para reforçarem a ideia de razão.

GAG

Aou

GA34

4

3

43

O problema pode ser solucionado usando a Propriedade da Soma dos Termos das

Proporções:

480

360120

7

840

43

G

AGA

Atividade 2: Para visualizar as igualdades, preencham a tabela com números

possíveis de carros a álcool e a gasolina e seus totais.

A álcool 3 6

A gasolina 4 32 60

Total 840

Atividade 3: Depois de completada a tabela, comparem entre as razões dos

números de duas colunas quaisquer as várias formas de verificar a Propriedade da

Soma dos Termos de uma Proporção.

Exemplos:

14

7

8

4

6

3

7

56

4

32

3

24


Avaliação:




PLANO DE AULA 11:


Entender as razões entre os ângulos dos setores e os percentuais dados

correspondentes.

Compreender o fato de que os percentuais, por sua vez, são razões entre os

ângulos correspondentes e o total do círculo (360°).

Duração:




pincel, lápis, borracha, régua, lápis de cor, compasso e transferidor.




Atividade 1: Entre os adultos de uma população, 10% são profissionais liberais, 70%

são operários e 20% têm outras profissões. Vamos representar esses dados em um

gráfico de setores.

1º passo: Iremos construir uma tabela para distribuirmos as porcentagens no gráfico.

(observação: uma volta completa da circunferência apresenta 360°).

Porcentagem Graus

Profissionais liberais 10% 36°

Operários 20% 72°

Outras profissões 70% 252°

36100

360010360100

%10

%100360xxx

x

72100

720020360100

%20

%100360xxx

x

252100

2520070360100

%70

%100360xxx

x

2º passo: Agora com o uso do compasso e transferidor iremos construir o gráfico de

setor, colocar título, a porcentagem e a legenda de cada profissão.


Avaliação:




PLANO DE AULA 12:


Compreender grandezas inversamente proporcionais

Identificar e analisar as estratégias utilizadas na resolução de problemas que

envolvem proporcionalidade.

10%

70%

20%

Profissões de uma população

profissionais liberais

operários

outras profissões

Duração:








Atividade 1: Numa corrida disputada entre os alunos da escola são José, havia um

prêmio de R$ 255,00 a ser dividido entre os dois primeiros colocados, em partes

inversamente proporcionais aos tempos de cada um. Se os dois primeiros

completam a corrida em 16s e 18s, respectivamente, quanto cada um deles ganhou?

Elaborem uma tabela e escrevam as igualdades decorrentes da proporcionalidade

inversa envolvida (16X = 18Y) e do conhecimento do total do prêmio (X+Y = 255).

Primeiro Segundo Total

Prêmio X? Y? 255

Tempo 16 18


Escrevam a igualdade: 16X = 18Y sob a forma de uma proporção usando a

propriedade da soma dos produtos.

5,734

255

3416181816

YXYXYX

1205,716

XX

1355,718

XX

Cada um ganhou respectivamente R$ 120,00 e R$ 135,00.

Atividade 2: Numa outra corrida disputada entre os alunos da escola são José, havia

um prêmio de R$ 264,00 a ser dividido entre os dois primeiros colocados, em partes

inversamente proporcionais aos tempos de cada um. Se os dois primeiros

completam a corrida em 20s e 24s, respectivamente, quanto cada um deles ganhou?

Elaborem uma tabela e escrevam as igualdades decorrentes da proporcionalidade

inversa envolvida (20X = 24Y) e do conhecimento do total do prêmio (X+Y = 264).

Primeiro Segundo Total

Prêmio X? Y? 264

Tempo 20 24


Escrevam a igualdade: 20X = 24Y sob a forma de uma proporção usando a

propriedade da soma dos produtos.

644

264

4424202420

YXYXYX

120620

XX

144624

XX

Cada um ganhou respectivamente R$ 120,00 e R$ 144,00.


Avaliação:




PLANO DE AULA 13:


Compreender grandezas inversamente proporcionais.

Resolver problemas utilizando grandezas inversamente proporcionais.

Duração:








Atividade1: Um auditório está arrumado em 16 filas com 20 poltronas em cada fila.

Para uma solenidade, o mesmo número de poltronas do auditório deverá ser

arrumado em apenas 10 filas. Quantas poltronas haverá em cada fila nesta

solenidade? Representem em uma tabela.

Quantidade de filas Quantidade de poltronas em cada fila Total de poltronas

a) Nessa nova arrumação, o número de poltronas em cada fila é maior ou menor

que antes?

b) Com a nova arrumação, o número total de poltronas aumenta ou diminui?

c) Por que esta situação envolve proporcionalidade inversa? (observem os

dados da tabela).

Atividade 2: Numa certa semana, 8 apostadores da loteria esportiva fizeram 13

pontos e receberam R$ 36.000,00 cada um. Se nesta semana o número de

acertadores fossem 12, quanto receberia cada um? Representem em uma tabela.

Nº de apostadores Quantia recebida (R$) Total do prêmio

a) Qual a quantia a ser rateada pela loteria nesta semana?

b) A quantia a ser rateada se modificará se mudar o número de acertadores?

Atividade 3: Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação

ao custo unitário de R$ 1,80. Eu soube porém que o valor da passagem está para

aumentar para 2,10. No novo valor, quantas passagens eu poderei comprar com a

mesma quantia que eu tenho? Representem em uma tabela.

Valor de cada passagem (R$) Total de passagens Total a ser pago (R$)

a) Com o novo valor da passagem, eu poderei comprar mais ou menos

passagens com o dinheiro que possuo?

b) Por que esta situação envolve proporcionalidade? (observem os dados da

tabela).


Avaliação:




PLANO DE AULA 14:


Compreender quando em uma situação problema há proporcionalidade.

Identificar o tipo de operação e raciocínio que o aluno privilegia na resolução

de problemas de proporção;

Duração:








Atividade 1: Daniela fez uma tabela mostrando a quantidade de água que gastava

em algumas de suas atividades domésticas:

Atividade Consumo Frequência

Lavar roupa 150 litros por lavagem 1 vez ao dia

Tomar banho 90 litros por banho 1 vez ao dia

Lavar o carro com mangueira 100 litros por lavagem 1 vez na semana

Para economizar água, ela reduziu a lavagem de roupa a 3 vezes por semana, o

banho diário a 5 minutos e a lavagem do carro a apenas um balde de 10 litros.

a) Construam uma tabela informando qual era o gasto semanal que Daniela

tinha antes de começar economizar água:

Atividade Consumo Total de litros de água

Lavar roupa 150 7 1050 L

Tomar banho 90 7 630 L

Lavar o carro com mangueira 100 1 100 L

Total 1780

b) Construam uma nova tabela informando qual é o gasto semanal de água que

Daniela têm após começar economizar água:

Atividade Consumo Total de litros de água

Lavar roupa 150 3 450 L

Tomar banho (90 3) 7 210 L

Lavar o carro com

mangueira

10 1 10 L

Total 670 L

c) Quantos litros de água ela passou a economizar por semana?

a)( )1010 L

b)( x )1110 L

c)( )1210 L

d)( )1211 L

e)( )1310 L

Atividade 2: Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer

tal tanque com apenas 2500 litros, qual o tempo necessário?


Litros

Horas

(adaptadas OBMEP FASE I, 2009, questão 9).

Avaliação:




REFERÊNCIAS:

BIANCHINI, E.; PACCOLA, H., A matemática tem razão. São Paulo: Moderna,

1998.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília. MEC/SEF.

1998.

CORREA, R. A. O Conceito de Proporcionalidade no Ensino Fundamental. In:

ENCONTRO REGIONAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA UNICAMP /

IMECC, XVIII, 2005, Campinas, SP. Minicurso. Campinas: 2005. Disponível em:

HTTP://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc04.pdf. Acessado em: 05

out. 2013.

COXFORD A. F.;SCHULTE A. P; Traduzido por Domingues H. H. As idéias de

Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século

XXI. Campinas, SP: Papirus, 1997. (Coleção perspectivas em Educação

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NUNES, T. É hora de ensinar proporção. Nova Escola. São Paulo, 2002. Entrevista

concedida a Ricardo Falzetta. Disponível em:

Revistaescola.abril.com.br/matemática/fundamentos/hora-ensinar-proporcao-fala-

mestre-terezinha-nunes-428131.shtml. Acessada em: 05 out. 2013.

OBMEP FASE I, 2009. Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n1-

2009.pdf. Acessado em: 30 out. de 2013.

http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc04.pdf

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ONUCHIC, L. R. Uma História da Resolução de Problemas no Brasil e no

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_____Ensino - Aprendizagem de Matemática Através da Resolução de Problemas.

In: Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. Rio Claro. Ed.

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_____Um problema gerador de novos conceitos. Revista de Educação

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ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas:

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Mesquita Filho.

_____Novas Reflexões sobre ensino – aprendizagem de Matemática através da

Resolução de Problemas. In. BICUDO, Mª. A.V. BORBA, M. C; SOUSA, A.C. (Org.)

Pesquisa em Ed. Matemática pesquisa em movimento. São Paulo:.Cortez, 2004,

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TINOCO L.A.A. (Coord.) Razões e Proporções. . -Rio de Janeiro: Projeto

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VIANNA C. R. Resolução de Problemas. In. FUTURA CONGRESSOS E EVENTOS

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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · 2016-06-10 · nível de aprendizagem da turma....

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