OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA … · assuntos de Matemática Financeira, com...
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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE Produções Didático-Pedagógicas Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7 Cadernos PDE II
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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
1
Jandra Mara Scolari
Atividades de matemática financeira
para alunos da EJA
Unidade Didática
Curitiba
2014
SECRETARIA DE ESTADO DA
EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO
EDUCACIONAL
2
Sumário
1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO .............................................................................................. 3
2. APRESENTAÇÃO ................................................................................................................ 4
3. MATERIAL DIDÁTICO ......................................................................................................... 5
3.1. Questionário dos estudantes .......................................................................................... 5
3.2. Desenvolvimento das Atividades .................................................................................. 10
3.2.1. Vídeo: Matemática nas finanças ............................................................................ 10
3.2.2. Matemática Financeira .......................................................................................... 12
3.2.3a. Capitalização – Juros Simples ............................................................................... 20
3.2.3b. Capitalização – Juros Compostos ......................................................................... 26
3.2.4. Jogo: Trilha da Economia ....................................................................................... 32
3.2.5. Taxa de Juros ......................................................................................................... 35
3.2.6. Aumentos e Descontos Sucessivos ......................................................................... 39
3.2.7. Sistema de Amortização ........................................................................................ 47
4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS .................................................................................... 62
5. REFERÊNCIAS .................................................................................................................. 65
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1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
TURMA PDE - 2104
Título: Atividades de matemática financeira para alunos da EJA
Autora Jandra Mara Scolari
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do Projeto
CEEBJA Ulysses Guimarães
Município Colombo/PR
Núcleo Regional de Educação
Área Metropolitana Norte
Professor Orientador Dr. Luiz Claudio Pereira
Instituição de Ensino Superior
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
Resumo O presente projeto lida com a elaboração de atividades, relacionadas à Matemática Financeira, para uma intervenção pedagógica na Educação de Jovens e Adultos (EJA) do CEEBJA Ulysses Guimarães em Colombo/PR. A finalidade é contribuir para a melhoria na compreensão de temas da área mencionada, desenvolver a capacidade de resolver problemas, de raciocinar de modo articulado, de analisar criteriosamente uma situação e aplicar os conhecimentos adquiridos em suas vivências. Na fase de execução do projeto serão desenvolvidas as seguintes atividades: (a) aplicação de um questionário diagnóstico sobre os saberes dos estudantes a respeito do assunto; (b) exibição do vídeo “Matemática nas finanças” como forma de incentivo e ponto de partida para as tarefas subsequentes; (c) propositura de problemas inspirados em textos de jornais, revistas e experiências de vida dos próprios estudantes; (d) resolução de problemas com o uso de planilhas eletrônicas, construídas pelos estudantes nos computadores do laboratório de informática; (e) reaplicação do questionário diagnóstico. Ao longo da execução do projeto serão realizados testes avaliativos. Todo o material elaborado e os resultados obtidos serão organizados e apresentados posteriormente na forma de artigo.
Palavras-chave Educação; Jovens e Adultos; Matemática Financeira.
Formato do Material Didático
Unidade Didática
Público Estudantes da Educação de Jovens e Adultos – Ensino Médio
4
2. APRESENTAÇÃO
Este trabalho propõe atividades relacionadas às operações mais usuais
em matemática financeira e inspiradas em situações extraídas da realidade.
A escolha deste tema se deu em razão de indagações trazidas pelos
alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA) sobre como lidar com
dificuldades quotidianas relativas à economia e finanças.
Questionamentos típicos levantados pelos alunos são: Como saber o
melhor modo de administrar as despesas pessoais, organizar e planejar o
orçamento familiar? Qual é o modo mais eficiente, se é que existe algum, de
programar uma poupança visando uma aposentadoria futura? De que maneira
se pode poupar para realizar uma viagem mais dispendiosa? Que desvantagens
existem em pagar o valor mínimo de um cartão de crédito? Como realizar
investimentos?
De certo ponto de vista, essas indagações pelos alunos da EJA são
naturais, porquanto tratar de pessoas já atuantes no mundo do trabalho e para
quem a resolução de problemas matemáticos está intrinsecamente ligada ao
cotidiano em várias situações.
Os alunos da EJA experimentam através de sua vivência que, para o
pleno exercício da cidadania também é importante ter conhecimento de
matemática financeira. Os saberes envolvidos nesta área permitem que o
indivíduo possa decidir racionalmente sobre questões ligadas ao capital, por
exemplo, ao consumo responsável e comedido, ao controle e planejamento
financeiro (de longo ou médio prazo).
Nesta perspectiva, o objetivo principal das atividades é promover a
apreensão de saberes importantes para a tomada racional de decisão em
questões cotidianas relacionadas à matemática financeira.
Aos colegas professores, recomenda-se que ao trabalhar os conteúdos
aqui propostos, considerem as experiências vivenciadas e o conhecimento que
seus estudantes já possuem, buscando assim, aproximar a matemática
financeira do cotidiano deles.
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3. MATERIAL DIDÁTICO
O trabalho inicia com a aplicação do questionário a seguir, cujo objetivo é
levantar a opinião dos estudantes em relação à Matemática Financeira e sua
importância, o nível de conhecimento que acreditam possuir sobre conteúdos
relacionados à área e o nível de contato deles com estes conteúdos.
O tempo estimado para esta ação é de 1/2 hora aula, ou seja, 25 minutos.
3.1. Questionário dos estudantes
IDADE: _________________________________________________________
PROFISSÃO: ____________________________________________________
SEXO: ( ) feminino ( ) masculino
1. Você já estudou algum conteúdo de Matemática Financeira?
( ) NÃO
( ) SIM. Qual (ais)?
( ) Razão
( ) Proporção
( ) Regra de três simples
( ) Regra de três composta
( ) Porcentagem
( ) Juros simples
( ) Juros compostos
( ) Aumentos e descontos sucessivos
( ) Sistemas de amortização
( ) Outro (s). Qual (ais)? _____________________________________
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_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
2. Você se recorda dos cálculos envolvendo os assuntos referentes à
Matemática Financeira?
( ) NÃO
( ) SIM. Qual (ais)?
( ) Razão
( ) Proporção
( ) Regra de três simples
( ) Regra de três composta
( ) Porcentagem
( ) Juros simples
( ) Juros compostos ou capitalização composta
( ) Aumentos e descontos sucessivos
( ) Sistemas de amortização
( ) Outro (s). Qual (ais)? _____________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. Você considera importante os conhecimentos em relação à Matemática
Financeira para a sua vida e para a vida das pessoas?
( ) NÃO
( ) SIM. Indique qual ou quais:
(a) Saber diferenciar o que é mais vantajoso em uma compra a prazo ou à
vista;
(b) Saber interpretar e calcular aumentos e descontos sucessivos sobre
valores, com o intuito de não sofrer prejuízos;
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(c) Calcular e compreender os reajustes salariais em termos percentuais,
bem como identificar o que de fato se considera como aumento real ou
reposição da inflação;
(d) Conhecer as vantagens e desvantagens de se comprar com cartão de
crédito;
(e) Calcular os juros em talões de água, luz, telefone, ou qualquer outra
conta, pagos com atraso;
(f) Saber planejar as finanças de forma consciente para obter: uma
aposentadoria futura (complementar) mais confortável; um bem maior
(veículo, imóvel); poder realizar investimentos rentáveis;
(g) Consumir de forma sustentável para evitar endividamentos;
(h) Outras. Especifique. _________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
4. Você participa das decisões econômicas de sua família ou das pessoas
com quem convive?
( ) NÃO
( ) SIM. Indique o modo:
( ) compras à vista ou a prazo;
( ) compras no cartão eletrônico ou via Internet;
( ) crediários (compras com pagamento direto nas lojas);
( ) financiamentos (empréstimos de dinheiro ou aquisição de bens em
Bancos ou financeiras)?
( ) Acrescente outra (ou outras) forma (s) de decisão econômica que
você participa: ______________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
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5. Abaixo estão elencadas algumas possibilidades de uso dos conteúdos
de matemática financeira. Assinale aqueles com os quais tenha se
defrontado em sua vida fora da escola.
( ) Financiamento de imóveis
( ) Financiamento de veículos
( ) Realizações de empréstimos
( ) Compras a crediário
( ) Compras com cartão de crédito
( ) Aplicações financeiras
( ) Pagamentos de aluguel.
( ) Pagamentos de água e luz.
( ) Gastos com alimentos
( ) Gastos com medicamentos
( ) Gastos com transporte
( ) Outros. Quais? _______________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
6. Você utiliza conteúdos de Matemática Financeira em seu trabalho?
( ) NÃO
( ) SIM. Indique o (s) conteúdo (s) e o (s) modo (s), elencados abaixo.
Conteúdo (s)?
( ) Razão
( ) Proporção
( ) Regra de três simples
( ) Regra de três composta
( ) Porcentagem
( ) Juros simples
( ) Juros compostos ou capitalização composta
( ) Aumentos e descontos sucessivos
( ) Sistemas de amortização
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( ) Outro (s). Especifique. ____________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
De que modo (s)?
( ) Recebendo pagamentos e voltando troco
( ) Fazendo a contabilidade de gastos e lucros
( ) Vendendo produtos
( ) Recebendo contas
( ) Efetuando pagamento de despesas.
( ) Outro (s). Especifique. ____________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
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3.2. Desenvolvimento das Atividades
Neste Projeto, os estudantes realizarão os trabalhos referentes a
assuntos de Matemática Financeira, com aplicações práticas, apresentadas a
seguir.
Estima-se que para conclusão das sete atividades, incluindo a aplicação
do questionário, seja necessário um tempo total de 32 horas aula, de 50 minutos
cada, aproximadamente 27 horas relógio.
3.2.1. Vídeo: Matemática nas finanças
Tendo em vista fornecer um panorama sobre a matemática financeira e
estimular o interesse dos estudantes para o assunto, será exibido o vídeo:
Matemática nas finanças da série Matemática em toda parte, da TV Escola.
Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12534>.
Acesso em: 03 nov. 2014. Duração de aproximadamente 28 minutos. A
apresentação deste vídeo será realizada no laboratório de informática.
O tempo estimado para esta atividade é de 1 e 1/2 horas aula, ou seja, 80
minutos.
Atividade 1
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A proposta é levar os estudantes a analisar as várias transações
financeiras que ocorrem no dia a dia, relacionando-as aos assuntos de
matemática financeira estudados na escola.
Neste sentido, ao final da exibição, serão fomentadas discussões acerca
dos aspectos apresentados, conduzindo os alunos à reflexão sobre: a
importância de trabalhar a matemática financeira de forma realista; a
interpretação de juros simples e compostos na vida comercial e financeira; os
impactos causados pela inflação na vida das pessoas; a compreensão e os
motivos que certos produtos (carro, moto, computador, entre outros) perdem o
valor comercial no decorrer do tempo (depreciação); a decisão mais adequada
de pagamento (à vista ou a prazo), quando forem realizar uma compra; a
importância de utilizar a calculadora e as planilhas eletrônicas para otimizar os
cálculos desenvolvidos, como também a valorização dos cálculos mentais com
porcentagens, para tomada de decisões mais rapidamente em certas ocasiões.
Sinopse:
O vídeo apresenta um episódio do programa Matemática Em Toda Parte, da
TV Escola, explorando a matemática nas finanças do dia a dia. Demonstra
cálculos de juros simples e compostos, conceito de inflação e deflação. Mostra
como a taxa de juros, utilizada no comércio, pode influenciar no valor final de
um produto. Debate a importância de utilizar a calculadora, planilhas e outras
novas tecnologias nestes tipos de operações. Conta uma breve história das
operações e verifica modos de obter porcentagem através de cálculos
mentais.
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12534
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Fonte: SEED/PR – Livro didático público de matemática
3.2.2. Matemática Financeira
Na sequência serão abordados os assuntos relacionados à Matemática
Financeira.
Para que haja uma compreensão melhor das questões que serão
trabalhadas adiante, abordar-se-ão os cálculos de taxa de porcentagem de
forma bem acessível, propondo uma breve revisão acerca do assunto.
Neste sentido, serão introduzidos o conceito e o cálculo da taxa de
inflação num determinado período de tempo.
Calcular a inflação ou inflação negativa da cesta básica brasileira,
consumida pela população curitibana, em relação aos meses de agosto e
setembro de 2014.
A duração desta questão está prevista para 2 horas aula (50 minutos
cada).
Atividade 2
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Conteúdos explorados
Taxa de porcentagem;
Conceito de inflação, deflação e inflação negativa.
Objetivos
Identificar e calcular taxas de porcentagem;
Reconhecer e analisar o conceito de inflação, bem como o seu
impacto na vida das pessoas;
Identificar o conceito de deflação e inflação negativa, distinguindo
suas diferenças.
Para reflexão e curiosidade, será apresentada uma reportagem, extraída
do sítio da RPCTV – PARANÁ Disponível em:
<http://g1.globo.com/pr/parana/noticia/2014/10/preco-da-cesta-basica-em-
curitiba-fica-073-mais-barata-em-setembro.html>. Acesso em: 04 nov. 2014.
Nele se esclarece que, no mês de setembro a cesta básica curitibana foi a mais
barata em relação às outras capitais da Região Sul do Brasil.
Fonte: http://g1.globo.com/pr/parana/noticia/2014/10/preco-da-cesta-basica-em-curitiba-fica-073-mais-barata-em-setembro.html
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Para a Economia, a inflação representa a diminuição do valor do
dinheiro em relação à quantidade de bens e serviços que se pode comprar com
esse dinheiro. Neste processo, a moeda perde o seu poder de compra. Como
afirma VIANNA, a “inflação é um conceito econômico que representa o aumento
de preços dos produtos num determinado país ou região, durante um período.
Num processo inflacionário o poder de compra da moeda cai”.
Ocorre que os salários dos trabalhadores não têm reajustes mensais para
compensar e corrigir pelo menos os índices inflacionários, que geralmente
acontecem mensalmente, acentuando a queda do poder de compra entre as
pessoas.
Por outro lado, uma causa que favorece a inflação, está associada aos
aumentos salariais, fazendo com que o custo unitário de um produto ou serviço
também aumente. Uma explicação para este aspecto é: um empresário que
concede aumento aos seus funcionários e, para manter a mesma margem de
lucro, evidentemente ele repassará esse percentual de aumento para o seu
produto de venda.
Outras razões que permeiam este efeito são: a demanda pela aquisição
de produtos ser maior do que a capacidade de produção do país (lei da oferta e
da procura); os aumentos nos custos de produção de bens e produtos (mão de
obra); aumento considerável no preço de um item, que tenha uma grande
relevância para a economia, como é o caso do petróleo – seus derivados – e da
energia elétrica; o aumento da emissão de dinheiro pelo Governo para cobrir os
gastos do Estado.
Neste último, como existe um volume excessivo de papel-moeda
circulando no mercado e, não tendo grande criação de riqueza ou aumento de
produção, é exigido maior quantidade de dinheiro para adquirir a mesma
quantidade de produto.
De maneira antagônica, existem períodos, relativamente longos, em que
os preços dos produtos caem de forma contínua, em função do excesso de oferta
de bens e a falta de consumidores, nesta situação temos a chamada deflação
dos preços. Foi o que ocorreu com a grande crise de 1929, onde os EUA
passaram por um período de instabilidade econômica (queda nos preços dos
produtos), devido à grande produção industrial e a diminuição da capacidade de
consumo – muita oferta e pouca procura.
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O que gerou essa realidade foi a diminuição das exportações de produtos
industriais para a Europa, em virtude da reestruturação europeia, após a primeira
guerra mundial.
Diante deste quadro, não só os EUA como o mundo todo sofreram com
as consequências da deflação ocorrida naquele período, pois além de grandes
exportadores, eles também importavam vários produtos de outros países,
desestabilizando várias nações que dependiam destes investimentos.
A situação culminou em muitas consequências indesejáveis como:
falências de inúmeras empresas; desemprego generalizado; falência de bancos
em decorrência das inadimplências e da falta de investidores; enfim, ocorreu um
efeito dominó na economia mundial naquele período.
Pelo exposto, não devemos confundir deflação com inflação negativa. A
inflação negativa acontece quando ocorre uma queda geral de preços, porém
em períodos curtos e esporádicos, não afetando a economia.
Mede-se a inflação por meio de índices que tentam acompanhar a
variação dos preços e o impacto desta na vida da população.
Logo abaixo estão relacionados os principais órgãos especializados no
Brasil que realizam essa medição, com seus respectivos índices. Cada índice
apresenta uma metodologia diferente que será mostrada a seguir:
ÓRGÃO ÍNDICE FINALIDADE SEMELHANÇAS
IBGE -
Instituto
Brasileiro de
Geografia e
Estatística
INPC -
Índice
Nacional de
Preços ao
Consumidor)
Oferece a variação dos preços da cesta de
consumo das populações assalariadas. É
utilizado para negociação de reajustes salariais.
Envolve famílias com renda mensal ente 1 e 5
salários mínimos.
Oferece a variação dos preços no mercado
varejista, referente ao consumo pessoal das
famílias, cujo rendimento varia entre 1 e 40
salários mínimos, qualquer que seja a fonte de
rendimentos. É considerado o índice oficial de
inflação do país.
- Abrangência geográfica: Regiões
Metropolitanas do Rio de Janeiro,
Porto Alegre, Belo Horizonte,
Recife, São Paulo, Belém, Vitória,
Fortaleza, Salvador e Curitiba,
além de Brasília e dos municípios
de Goiânia e Campo Grande.
- Residentes nas áreas urbanas
das regiões.
- Período coletado de 01 a 30 do
mês de referência.
IPCA -
Índice de
Preços ao
Consumidor
Amplo
FGV -
Fundação
Getúlio
Vargas
IGP -
Índice Geral
de Preços
É um indicador macroeconômico que representa
a evolução do nível de preços, é deflator de
valores monetários e indexador de contratos.
Abrange todo o território Nacional,
acompanhando os setores da indústria,
construção civil, agricultura, comércio varejista e
serviços prestados às famílias. Ele possui três
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versões o IGP-10 o IGP-M e IGP-DI, com
períodos de coletas de 11 a 10, 21 a 20 e 1 a 30,
respectivamente.
FIPE -
Fundação
Instituto de
Pesquisas
Econômicas
IPC -
Índice de
Preços ao
Consumidor
Mede a variação de preços de produtos e
serviços definidos por uma Pesquisa de
Orçamentos Familiares (POF), indicando o que
cada família gasta em média e quais itens são de
maior importância. Reflete o custo de vida de
famílias com renda mensal de 1 a 20 salários
mínimos, residentes na cidade de São Paulo. É
utilizado como indexador informal para contratos
da Prefeitura de São Paulo.
A inflação é muito prejudicial para a economia de um país. Essa realidade
reflete mais na população de baixa renda. Um exemplo para compreender a
situação consiste em observar que se a cesta básica passar de R$ 200,00 para
R$ 250,00 (valor hipotético), para uma família que possui uma renda mensal de
R$ 1.000,00, o impacto causado por este aumento será muito maior, do que para
uma família que tenha uma renda mensal de R$ 5.000,00.
Agora vamos para a execução da questão inicialmente proposta.
Para que os estudantes possam efetuar os cálculos sobre taxa percentual,
serão realizadas explicações acerca do assunto (breve revisão), com
exemplificações práticas.
Abaixo estão elencados numa lista, os alimentos que compõem a cesta
básica brasileira, com suas respectivas quantidades e preços médios mensal, do
município de Curitiba/PR. Os dados apresentados foram extraídos da
Metodologia da Cesta Básica Nacional do Departamento Intersindical de
Estatística e Estudos Socioeconômicos - DIEESE.
Os estudantes realizarão os cálculos apropriados para o preenchimento
dos espaços vazios da lista, baseando-se nos preços médios mensais e nas
quantidades de cada produto, relacionados aos meses de agosto e setembro do
ano de 2014. A utilização da calculadora auxiliará nos cálculos envolvidos.
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Tabela de provisões mínimas estipuladas pelo Decreto Lei nº 399 - DIEESE
Preços médios mensais extraídos do DIEESE – Município de Curitiba/PR
Agosto/2014 Setembro/2014
PRODUTO QUANTIDADE PREÇO por kg
(R$)
Subtotal (R$)
PREÇO por kg
(R$) Subtotal
(R$)
Carne 6,6 kg 17,63 116,36 17,91 118,21
Leite 7,5 l 2,54 2,60
Feijão 4,5kg 3,97 4,01
Arroz 3,0 kg 2,35 2,44
Farinha 1,5 kg 2,13 2,16
Batata 6,0 kg 1,65 1,51
Legumes
(Tomate) 9,0 kg 3,77 2,96
Pão francês 6,0 kg 8,02 8,00
Café em pó 600 g 13,45 13,29
Frutas
(Banana) 7,5 kg 2,53 3,01
Açúcar 3,0 kg 1,73 1,69
Banha/Óleo 1200 g 2,60 2,55
Manteiga 750 g 16,58 16,51
TOTAIS
Na sequência, responder-se-ão às seguintes questões:
a) À qual conclusão você chegou sobre a relação dos gastos totais dos
meses apresentados?
b) Qual é a diferença entre os gastos dos respectivos meses?
c) Expresse essa diferença de gastos por meio de uma porcentagem.
d) E em relação ao percentual encontrado no item anterior, o que se pode
considerar?
e) Qual produto sofreu maior aumento? Expresse este aumento em taxa
percentual.
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f) Qual o produto que sofreu maior diminuição de preço? De quanto foi a
taxa percentual de queda?
A atividade mostra que no mês de agosto foi necessário um valor para
adquirir os produtos relacionados na lista, enquanto que no mês de setembro, o
valor passou a ser menor. Isto demonstra que, para estes meses, ocorreu uma
queda de preço na aquisição da cesta básica, ou seja, houve uma inflação
negativa do valor.
Após a realização das questões acima, serão levantadas discussões que
estimulem os alunos a refletir sobre os aspectos envolvidos na atividade,
relacionando-a com a própria realidade.
Assim, eles serão conduzidos a expor suas conclusões acerca do que
vem a ser a inflação, inflação negativa e deflação, relatando suas causas, suas
consequências, suas implicações diretas em nossas vidas.
Demais, deve-se discorrer sobre a importância de compreender o cálculo
de taxa percentual para indicar um aumento ou a diminuição dos preços e
conscientizá-los para a prática do consumo comedido, evitando os exageros e o
consumo desnecessário, pois assim, além de economizar, estarão contribuindo
para que não incida inflação sobre os produtos.
Esta atividade ocupará o período de dois meses, para então ser realizada
uma nova reflexão.
Decorrido os dois meses, estima-se que o tempo para a nova reflexão
seja de 1hora aula (50minutos).
Seguindo o raciocínio da atividade anterior, será proposto aos estudantes
que façam o controle da inflação dos produtos alimentícios da cesta básica
consumida em suas residências.
19
Desta maneira, eles utilizarão uma tabela com os produtos já
relacionados, anotando os preços no 1º mês e, no mês subsequente continuarão
a realizar as anotações dos preços.
Abaixo estão relacionados os produtos que serão consultados e
estudados posteriormente.
Mês 1 Mês 2
PRODUTOS
QUANTIDADE
Preço unitário
(R$)
Subtotal
(R$)
Preço unitário
(R$)
Subtotal
(R$)
Carne
Leite
Feijão
Arroz
Pão Francês
Café em pó
Açúcar
Banha/Óleo
Manteiga
Tomate
Batata
Banana
TOTAL
20
3.2.3a. Capitalização – Juros Simples
Neste momento será abordado o conceito de capitalização, como
também a sua natureza (Juros Simples e Juros Compostos).
Estima-se que o desenvolvimento desta atividade ocorrerá em 6 horas
aula (50 minutos cada).
Conteúdos explorados
Juros Simples
Juros Compostos
I. Valor Presente (𝑃)
II. Valor Futuro (𝐹𝑛)
Regra de Três Simples
Objetivos
Reconhecer os tipos de capitalização, identificando qual é a mais
utilizada em operações cotidianas.
Compreender cálculos de juros simples, reconhecendo a sua
aplicação em certas operações financeiras na vida real.
Reconhecer e compreender os juros compostos, como também o
seu processo de cálculo nas várias aplicações financeiras reais.
Determinar o valor Futuro (𝐹𝑛) de uma operação, aplicando-se uma
taxa de juros a um valor Presente (𝑃) por um determinado período
de tempo.
Determinar o valor Presente (𝑃) a partir de um valor Futuro (𝐹𝑛),
tempo e taxa de juros.
Realizar cálculos de Regra de Três Simples para transformação de
períodos de tempo.
Atividade 3
21
A capitalização é o processo de aplicação de taxa de juros sobre um
capital, do qual resulta um montante.
Existem vários tipos de capitalização, os mais comuns são: os juros
simples e os juros compostos.
Inicialmente, estudaremos os juros simples.
No regime de juros simples, o cálculo dos juros é realizado uma única vez
sobre o capital principal.
Na vida real, esta capitalização não é muito utilizada nas transações
financeiras.
No entanto, existem algumas aplicações a juros simples que fazem parte
do cotidiano de muitas pessoas, como é o caso de quem utiliza o cheque
especial no mês ou quem atrasa um dia (ou mais) o pagamento da fatura do
cartão de crédito dentro do mês.
A explicação para estas transações consiste no fato do montante
adquirido pelos juros simples ser maior do que o montante dos juros compostos
capitalizados dentro do período inferior a 1 – os dias relativos ao mês, por
exemplo.
Vejamos um exemplo: Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi realizado, a
uma taxa de 10% ao mês.
Para comparar as duas capitalizações (simples e composta) em relação
ao tempo, observem os cálculos a seguir.
TEMPO JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
0,3 de um mês (equivale a
9 dias de 30)
𝑀 = 1000 × [1 + (0,1 × 0,3)] 𝑀 = 𝟏𝟎𝟑𝟎, 𝟎𝟎
𝑀 = 1000 × (1 + 0,1)0,3
𝑀 ≈ 𝟏𝟎𝟐𝟗, 𝟎𝟏
0,5 de um mês (equivale a
15 dias de 30)
𝑀 = 1000 × [1 + (0,1 × 0,5)] 𝑀 = 𝟏𝟎𝟓𝟎, 𝟎𝟎
𝑀 = 1000 × (1 + 0,1)0,5
𝑀 ≈ 𝟏𝟎𝟒𝟖, 𝟖𝟏
0,8 de um mês (equivale a
24 dias de 30)
𝑀 = 1000 × [1 + (0,1 × 0,8)] 𝑀 = 𝟏𝟎𝟖𝟎, 𝟎𝟎
𝑀 = 1000 × (1 + 0,1)0,8
𝑀 = 𝟏𝟎𝟕𝟗, 𝟐𝟑
1 mês 𝑀 = 1000 × [1 + (0,1 × 1)] 𝑀 = 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑀 = 1000 × (1 + 0,1)1
𝑀 = 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎
2 meses 𝑀 = 1000 × [1 + (0,1 × 2)] 𝑀 = 𝟏𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑀 = 1000 × (1 + 0,1)2
𝑀 = 𝟏𝟐𝟏𝟎, 𝟎𝟎
3 meses 𝑀 = 1000 × [1 + (0,1 × 3)] 𝑀 = 𝟏𝟑𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑀 = 1000 × (1 + 0,1)3
𝑀 = 𝟏𝟑𝟑𝟏, 𝟎𝟎
22
Através do exposto, verifica-se que os juros simples são maiores que os
compostos quando o período for menor que 1 e, quando for maior do que 1, que
os juros compostos se tornam maior. Observa-se ainda que, quando o período
for igual a 1, ambas as capitalizações serão iguais.
Para que o estudante tenha a compreensão do cálculo de juros simples,
será demonstrado a seguir, por meio de um exemplo prático, a aplicação desta
capitalização.
Exemplo 1:
Em um determinado mês, seu Pedro precisou utilizar o cheque especial
do seu Banco. Os seus saldos devedores começaram a partir do dia 08/jul. Nesta
data, a sua dívida era de R$ 421,08. Decorridos 21 dias em relação a este débito
na referida data, qual foi os juros cobrados, sabendo que a taxa de juros que o
Banco cobra é de 8,9% ao mês.
Cliente: Pedro
Data Histórico Valor (R$) Saldo (R$)
01/jul Compra com cartão 45,33 D 4678,26 C
04/jul Saque no TAA 370,00 D
04/jul Pagto telefone 49,00 D 4259,26 C
05/jul Pagto de Título 993,30 D
05/jul Compra com cartão 113,91 D
05/jul Pagto de Título 579,00 D
05/jul Pagto cartão de crédito 1585,95 D
05/jul Pagto Pedágio 69,54 D 917,56 C
06/jul Cheque Compensado 250,00 D 667,56 C
07/jul Compra com cartão 235,54 D 432,02 C
08/jul Pagto de Título 623,30 D
08/jul Cheque Compensado 210,00 D 401,28 D
10/jul Saque no TAA 100,00 D 501,28 D
12/jul Cheque Compensado 85,39 D 586,67 D
20/jul Pagto IPVA 145,76 D 732,43 D
25/jul Cheque Compensado 54,12 D 786,55 D
28/jul Pagto IPTU 65,38 D
28/jul Saque no TAA 50,00 D 901,93 D
29/jul Recebimento de Proventos 4560,72 C 3658,79 C
30/jul Cobrança de Juros ? ?
23
Note que a taxa cobrada está ao mês, enquanto que a dívida (ou dívidas)
ocorre (m) em relação ao dia e, como o tempo e a taxa devem ser expressos na
mesma unidade de tempo, assim, os ajustes devem ser realizados no tempo em
relação à taxa.
Neste sentido, inicialmente, deve-se descobrir a que fração do mês 21
dias corresponde, realizando a aplicação da regra de três simples.
Dedução Resolução
30 𝑑𝑖𝑎𝑠 ↔ 1 𝑚ê𝑠21 𝑑𝑖𝑎𝑠 ↔ 𝑥 𝑚ê𝑠
30
21=
1
𝑥 → 𝑥 =
1×21
30 → 𝑥 = 0,7
𝐷𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎, 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖-𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 21 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑚 𝑎 0,7 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠.
Conhecendo a fração dos dias relativo ao mês, determinam-se os juros
da dívida cobrados pelo Banco em relação a 21 dias de atraso, através da
fórmula de juros simples descrita a seguir:
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑱 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝑪 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝒊 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
Desenvolvimento do exemplo:
Dados coletados Resolução
𝐽 = ? 𝐽 = 401,28 × 0,089 × 0,7
𝐶 = 401,28 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎) 𝐽 = 24,9997 ≈ 25,00 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
𝑖 = 8,9% =8,9
100= 0,089 (𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙)
𝑛 = 21 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0,7 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑑𝑒 𝑅$ 25,00 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝑱 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒏
24
Na sequência, um exemplo que mostra o cálculo em regime a juros
simples, quando se trata em determinar o montante final.
Exemplo 2:
Uma pessoa atrasou por seis dias a fatura do seu cartão de crédito. Sua
dívida era de R$ 1.200,00. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela operadora
era de 9,5% a.m., determine o montante que será pago após este atraso.
Para ser calculado o montante da dívida, é comum que se pense em
determinar primeiramente os juros e após, obter o montante através da soma da
dívida (valor principal ou inicial) com os juros cobrados.
Este raciocínio é sintetizado através da expressão algébrica a seguir
deduzida:
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 ⇒ 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 ⇒ 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑀 = 𝐶 + (𝐶 × 𝑖 × 𝑛) ⇒ 𝑗𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎
𝐶𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶, 𝑡𝑒𝑚-𝑠𝑒:
𝑀 = 𝐶 + (1 + 𝑖 × 𝑛), 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚:
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑴 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑪 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝒊 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜)
Agora, voltando ao exemplo, o cálculo do montante a ser pago será
realizado através da fórmula deduzida acima, veja:
𝑴 = 𝑪 × [𝟏 + (𝒊 × 𝒏)]
𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
25
Dados Resolução
𝑀 = ? 𝑀 = 1200 × [1 + (0,095 × 0,2)]
𝐶 = 1200,00 (𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎) 𝑀 = 1200 × [1 + 0,019]
𝑖 = 9,5% = 9,5
100= 0,095 𝑀 = 1200 × 1,019
𝑛 = 6 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 6
30= 0,2 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠 𝑀 = 1222,80
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑒 𝑅$ 1.222,80.
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑑𝑒 𝑅$ 22,80.
Com o propósito de desenvolver o que foi abordado, sugere-se aos
estudantes que resolvam individualmente os problemas da questão a seguir. A
utilização da calculadora será imprescindível para cálculos praticados.
Baseado no exemplo 1 (página 22), qual o valor total de juros
recebidos pelo Banco na data 30/jul, sobre os débitos ocorridos desde o dia 08/jul
até o dia 28/jul? Determine o montante pago ao banco e o saldo apresentado no
dia 30/jul.?
Uma pessoa pagou com atraso de 3 dias a fatura do financiamento
de seu veículo. O Banco cobra uma taxa de 1% ao mês mais uma multa de
R$ 19,95 em caso de atraso. Sendo o valor da fatura de R$ 997,50, qual o
Questão 1
26
montante a ser pago ao Banco, considerando o atraso?
. Foi realizada uma aplicação de R$ 6.000,00. Após 4 meses e 15
dias, o montante dessa aplicação a juros simples será resgatado. Calcule o valor
de resgate, considerando uma taxa de 10,28% a.a.
Um empréstimo foi realizado pela capitalização a juros simples,
produzindo um montante de R$ 3.000,00, em 4 anos, a uma taxa de 5,2% a.a.
Calcule o valor do empréstimo?
3.2.3b. Capitalização – Juros Compostos
A capitalização a juros compostos se baseia através da aplicação de juros
a um capital principal, de forma que os juros gerados a cada período,
eventualmente variável, são incorporados a este capital para o recálculo dos
juros do período seguinte.
A maioria das operações financeiras no mundo real está relacionada a
juros compostos, por se tratar de capitalização de maior rentabilidade quando o
período for superior a 1. Estão incluídas, entre outros: aplicação em caderneta
de poupança, financiamento de imóvel ou veículo, empréstimos bancários,
operações com cartão de crédito e compras a prazo.
Cabe ressaltar que compreender cálculos de matemática financeira
significa entender o deslocamento de quantias no tempo, ou seja, entender a
relação existente entre um valor em certo momento e o que ele representará
27
(ou representou) em outro instante, após (ou antes) de incidência de juros,
descontos, acréscimos, etc.
Desta forma, dar-se-á prosseguimento ao estudo aplicando os conceitos
de valor Presente (𝑃)e de valor Futuro (𝐹𝑛).
O valor Futuro (𝐹𝑛) relativo a um montante (𝑃) corresponde ao valor que
se obteria investindo (𝑃) a uma taxa de juros 𝑖 por 𝑛 períodos de tempo. Neste
contexto, (𝑃) é dito valor Presente.
O valor Presente também é chamado valor Principal ou de Origem.
O valor Futuro é também denominado Montante (𝑀), valor de Resgate ou
valor Final.
Para demonstrar a relação entre o valor Presente (𝑃) e Futuro (𝐹𝑛),
seguir-se-á um exemplo, determinando o valor Futuro (𝐹𝑛) a partir do valor
Presente (𝑃).
Exemplo 1:
Você pega de um amigo R$ 1.000,00 emprestados para ser pago daqui a
3 meses. Suponha que neste período a moeda se desvalorize a 2,5% ao mês,
sendo o regime de capitalização a juros compostos. Quanto você deverá pagar
ao final do período combinado para manter o mesmo valor do dinheiro?
Dados
𝑃 = 1000 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 / 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 )
𝑖 = 2,5% 𝑎. 𝑚. = 0,025
𝑛 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝐹𝑛 =? (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 / 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 )
Resolução
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑑𝑖çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒çã𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝟏º 𝒎ê𝒔 − 𝐹1 = 1000 × [1 + (0,025 × 1)] = 1000 × (1 + 0,025) = 1000 × 1,025 = 1025
𝟐º 𝒎ê𝒔 − 𝐹2 = 1025 × (1 + 0,025) = 1025 × 1,025 ≈ 1050,63
𝟑º 𝒎ê𝒔 − 𝐹3 = 1050,63 × (1 + 0,025) = 1050,63 × 1,025 ≈ 1076,90
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑣𝑜𝑐ê 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟á 𝑎 𝑠𝑒𝑢 𝑎𝑚𝑖𝑔𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑅$ 1.076,90 𝑎𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 3º 𝑚ê𝑠.
28
Matematicamente falando e, de forma direta, o que ocorreu foi:
𝐹1 = 1000 × (1 + 0,025)1 = 1000 × 1,025 = 1025
𝐹2 = 1000 × (1 + 0,025) × (1 + 0,025) = 1000 × (1,025)2 ≈ 1050,63
𝐹3 = 1000 × (1 + 0,025) × (1 + 0,025) × (1 + 0,025) = 1000 × (1,025)3 ≈ 1076,90
Portanto, a solução da equação 𝐹3 = 1000 × (1 + 0,025)3 apresenta
diretamente o resultado desejado.
A partir do exemplo acima, percebe-se que para deslocar um valor
presente para o futuro, multiplica-se o valor Presente (𝑃) por (1 + 𝑖)𝑛 .
Cabe ressaltar, que a taxa (𝑖) e o período (n) devem estar na mesma
unidade de tempo.
Em geral, a fórmula algébrica utilizada para cálculos de valor Futuro (𝐹𝑛)
a juros compostos é:
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑭𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜
𝑷 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
𝒊 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
Resolvendo o problema pela fórmula:
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑖)𝑛
𝐹3 = 1000 × (1 + 0,025)3
𝐹3 = 1000 × (1,025)3
𝐹3 = 1000 × 1,0768906
𝐹3 ≈ 1076,90
Em suma, o resultado do problema é calculado de forma bem simples e
direta pela aplicação da fórmula.
O próximo exemplo ilustrará de forma clara como descobrir ao valor
Presente (𝑃) partindo de um valor Futuro (𝐹𝑛).
𝑭𝒏 = 𝑷 × (𝟏 + 𝒊)𝒏
29
Exemplo 2:
Você está devendo à operadora de cartão de crédito há 5 meses. Nenhum
pagamento foi efetuado até então, logo a dívida hoje está em R$ 1.587,00. Se a
taxa cobrada foi de 8% ao mês, qual o valor que deu origem a sua dívida?
Dados:
𝐹𝑛 = 1587 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑝ó𝑠 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
𝑖 = 8% 𝑎. 𝑚. = 0,08 (𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙)
𝑛 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑃 =? (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎)
Resolução:
A partir da fórmula do valor Futuro, 𝑭𝒏 = 𝑷 × (𝟏 + 𝒊)𝒏, obtém-se a fórmula do valor Presente,
isolando P, observe:
𝑷 =𝑭𝒏
(𝟏 + 𝒏)𝒏
𝑃 =1587
(1 + 0,08)5
𝑃 =1587
(1,08)5
𝑃 =1587
1,469328
𝑃 = 1080,09
𝑂 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅$ 1.080,09 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑓𝑜𝑖 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑜𝑢 𝑎 𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎.
Partindo deste exemplo, pode-se inferir que para deslocar o valor Futuro
(𝐹𝑛) para o Presente (𝑃), divide-se o valor Futuro (𝐹𝑛) por (1 + 𝑖)𝑛.
Em geral, a fórmula que calcula o valor Presente (𝑃) dado o valor Futuro
(𝐹𝑛) é expressa por:
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑷 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑭𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜
𝒊 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑷 =𝑭𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝒏
30
Para exercitar o que foi estudado sobre capitalização a juros compostos,
propõe-se que os estudantes resolvam individualmente os problemas da questão
a seguir.
A utilização da calculadora será imprescindível para os cálculos.
Ao visitar sua agência, o gerente lhe informa que as aplicações com
prazo de 18 meses são remuneradas a 0,9% ao mês. Seu saldo disponível para
aplicação é de R$ 1.000,00. Você decidiu fazer a operação. Calcule o valor a ser
resgatado ao final do período.
Uma calculadora científica custa R$ 240,00 à vista. Ela pode ser
paga em 30 ou 60 dias. Considerando a taxa de juros de 5% ao mês, determine
o valor a ser pago em cada um dos prazos.
Você precisará de R$ 10.000,00 daqui a 24 meses para realizar uma
viagem. Quanto é preciso aplicar hoje em um fundo de renda fixa, para resgatar
essa quantia, à taxa de juros de 0,86% ao mês?
Sua dívida com uma financeira atualmente está em R$ 24.311,39.
Se ela foi contraída há 4 trimestres, qual o valor original devido, considerando os
juros cobrados de 1,2% a.m.?
(ENEM-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual
investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00.
Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos:
31
poupança e CDB (Certificado de Depósito Bancário). As informações obtidas
estão resumidas no quadro:
Rendimento mensal % IR (Imposto de Renda)
POUPANÇA 0,560 ISENTO
CDB 0,876 4% (sobre o gasto)
a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Após a realização do problema anterior e, baseado no mesmo, será
proposto aos estudantes que realizem pesquisas atuais a respeito das taxas de
investimentos que o mercado financeiro disponibiliza, para que possam analisar,
dentro de uma situação hipotética, qual a melhor opção de investimento no
momento, considerando a questão da cobrança do IR (Imposto de Renda) a
determinados tipos de investimentos.
32
3.2.4. Jogo: Trilha da Economia
Para complementar o estudo realizado sobre capitalização a juros simples
e compostos, os alunos serão encaminhados ao laboratório de informática para
a realização de uma atividade lúdica envolvendo a aplicação destas
capitalizações.
A duração desta atividade está prevista para 5 horas aula (50 minutos
cada).
Esta atividade encontra-se disponível em:
<http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/Jogo_matematica
_financeira/objeto/index.html>. Acesso em: 20 nov. 2014. A mesma foi
desenvolvida por professores da UNIJUÍ (Universidade Regional do Noroeste do
Estado do Rio Grande do Sul).
Trata-se de um aplicativo - Jogo: Trilha da Economia – que primeiramente
faz uma explanação do conceito de juros compostos de forma bem acessível,
propondo uma atividade para cálculos dos juros mês a mês, para logo após
introduzir a fórmula que calcula de modo prático esta capitalização.
Faz um comparativo entres os juros simples e compostos de maneira a
elucidar suas diferenças.
Após toda explanação, inicia-se o jogo sendo disputado entre dois
estudantes, no qual cada jogador receberá inicialmente um capital equivalente a
R$ 30.000,00, onde conforme forem percorrendo a trilha, encontrarão problemas
referentes a juros compostos que deverão ser solucionados, sendo que a cada
resposta correta o aluno receberá uma quantia de R$ 1.000,00 e em caso de
erros perderá R$ 2.000,00. Vence o aluno que chegar ao final com o maior
montante.
Esta atividade será realizada em dupla. As resoluções dos problemas, no
teor da atividade, deverão ser registradas no caderno, para que posteriormente
Atividade 4
33
sejam discutidas e avaliadas. Os estudantes poderão utilizar a calculadora como
auxílio e a planilha eletrônica para cálculos de potências muito elevadas, caso
juguem necessário.
Fonte: http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/Jogo_matematica_financeira/objeto/index.html
Fonte: http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/Jogo_matematica_financeira/objeto/index.html
34
Fonte: http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/Jogo_matematica_financeira/objeto/index.html
A função funciona como um dado, determinando quantas casas
que cada jogador deverá avançar.
35
3.2.5. Taxa de Juros
Esta atividade tem por objetivo trabalhar o cálculo da taxa de juros
aplicada a um capital.
A estimativa para o desenvolvimento desta atividade será de 3 horas aula
(50 minutos cada).
Conteúdo explorado
Taxa de juros
Objetivo
Desenvolver o cálculo da taxa de juros que incide sobre o valor
presente gerando um valor futuro num determinado período de
tempo
Os juros se referem ao valor que se paga ou que se recebe nas relações
financeiras. Por exemplo, nas compras a prazo ou financiamentos de qualquer
espécie, como também na remuneração quando se aplica o dinheiro em
investimentos.
Ele é entendido como uma espécie de aluguel que se cobra pelo
empréstimo do dinheiro imediato, é uma compensação que se paga para quem
empresta uma quantia monetária pelo tempo que essa pessoa (jurídica ou física)
ficará sem utilizar o respectivo dinheiro.
Para calcular a taxa aplicada sobre um valor, pode-se utilizar a fórmula do
valor Futuro (𝐹𝑛) (juros compostos), anteriormente estudado.
Neste sentido, basta isolar a incógnita 𝑖 que representa a taxa de juros,
porém é necessário conhecer os valores Presente (𝑃) e Futuro (𝐹𝑛), assim como
o período de tempo considerado.
Atividade 5
36
A seguir, apresenta-se a dedução algébrica da fórmula de juros
compostos para o cálculo da taxa 𝑖.
𝐹𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑖)𝑛
𝐹𝑛
𝑃= (1 + 𝑖)𝑛
(𝐹𝑛
𝑃)
1𝑛
= [(1 + 𝑖)𝑛]1𝑛
(𝐹𝑛
𝑃)
1𝑛
= 1 + 𝑖
𝒊 = (𝑭𝒏
𝑷)
𝟏𝒏
− 𝟏
Esta fórmula sempre será utilizada, toda vez que se queira descobrir a
taxa de juros Vejamos um exemplo para ilustrar:
Exemplo:
Você tem R$ 1.000,00 hoje disponíveis para aplicar. No entanto, uma
viagem está em seus planos para daqui a 5 meses e ela custa R$ 1.610,51.
Sendo o regime de capitalização a juros compostos, a que taxa seu dinheiro
deve ser aplicado para que o montante da viagem seja adquirido?
Dados: Resolução:
𝑖 =? 𝑖 = (𝐹𝑛
𝑃)
1
𝑛− 1
𝐹𝑛 = 1610,51 𝑖 = (1610,51
1000)
1
5− 1
𝑃 = 1000 𝑖 = (1,61051)1
5 − 1
𝑛 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖 = 1,10 − 1
𝑖 = 0,10
O valor encontrado (0,10) corresponde ao valor da taxa de juros na sua forma
decimal. Para transformá-lo em porcentagem, basta multiplicá-lo por cem, veja:
37
𝑖 = 0,10 × 100
𝑖 = 10%
Assim, a taxa de juros paga por esta aplicação é de 10% a.m.
A seguir, serão apresentados problemas sobre taxa de juros para que os
estudantes possam realizar os cálculos pertinentes.
É conveniente a utilização da calculadora científica para os cálculos
envolvidos, principalmente os cálculos de potências muito elevadas e potências
fracionárias.
Neste sentido, os estudantes serão encaminhados ao laboratório de
informática para a utilização da calculadora científica instalada nos
computadores.
Fonte: print screen da calculadora científica do sistema operacional Windows 8
38
Calcule a taxa mensal de uma aplicação feita em um CDB (Certificado
de Depósito Bancário) no valor de R$ 10.000,00, para que após 12 meses seja
produzido um valor de resgate de R$ 10.990,29.
No final do ano passado você aplicou seu 13º salário no valor total de
R$ 2.500,00 em um fundo de ações. Após um ano, você resolve fazer o resgate
e verifica que o valor total disponível é de R$ 3.174,39. Qual a taxa média mensal
de rendimento apurada nessa operação?
Uma pessoa deixou de pagar a fatura do cartão de crédito no valor de
R$ 540,00. Após um ano e meio a administradora informou-lhe que o saldo
devido era de R$ 2.948,77, sem considerar multa e outros encargos. Calcule a
taxa mensal de juros cobrada pelo atraso nesse período?
Um colega lhe paga hoje R$ 12.196,76 por um empréstimo concedido
há dois anos. Se o valor emprestado foi de R$ 6.000,00, considerando a
capitalização composta de juros, calcule a taxa média dessa aplicação.
Problemas
39
3.2.6. Aumentos e Descontos Sucessivos
É hodiernamente comum deparar-se com aumentos sucessivos em
salários, nos preços de produtos e serviços, ou ainda descontos sucessivos em
faturas e até mesmo em preços de mercadorias.
Seguramente é importante que se tenha o domínio destes cálculos, afim
de não sair no prejuízo quando se depara com tais situações, como também para
verificar se realmente o que é informado está sendo aplicado.
Partindo destas ideias, explorar-se-á no exemplo a seguir o mecanismo
de aumentos sucessivos de preços em um cenário de inflação.
O tempo estimado para o desenvolvimento desta atividade, será de 5
horas aula (50 minutos cada).
Exemplo 1:
Em função da elevação da taxa de inflação semanal, um comerciante
obrigou-se a aumentar os preços de suas mercadorias em 8%, visando à
redução de prejuízos. Na semana seguinte em decorrência de outra alta no
índice inflacionário, necessitou aumentar novamente o preço das mercadorias
em 12%. Diante da situação, responda as questões:
a) Qual foi a taxa (equivalente) única de aumento?
b) Uma mercadoria que custava R$ 25,00 antes do primeiro aumento,
passou a custar quanto após o segundo?
Observação: O valor original a ser reajustado corresponde a 100% que, na situação, sofre, em
uma primeira etapa, um reajuste de 8%, correspondente a 108% do valor original, assim, 108
100=
1,08 (fator de capitalização). Numa segunda etapa, este valor intermediário será reajustado em
12%. Sendo este valor intermediário um inteiro, ou seja, 100%, pelo raciocínio anterior, o valor
vidade 6
40
final corresponderá a 100% + 12% = 112%, ou seja, 112
100= 1,12 (fator de capitalização), logo
temos:
Dados:
1º aumento: 1,08 (fator de capitalização sobre o valor original)
2º aumento: 1,12 (fator de capitalização sobre o valor intermediário, obtido do primeiro aumento)
Valor inicial do produto = R$ 25,00
Resolução item a Resolução item b
A taxa equivalente única, que se
refere ao aumento percentual efetivo, é dado
pelo produto dos fatores de capitalização
vistos acima.
1,08 × 1,12 = 1,2096
Em continuidade, o inteiro (unidade)
apresentado juntamente ao resultado,
representa a totalidade, ou seja, 100%, como
visto acima. Assim, extraindo esta unidade,
através da subtração de 1,2096 por 1, será
obtido 0,2096, o que corresponde a 20,96%.
1,2096 − 1 = 0,2096 = 20,96%
Portanto, o aumento percentual
efetivo aplicado equivale a 20,96%.
Para atualizar o preço da mercadoria
em relação aos aumentos, será realizado o
produto da taxa única de aumento (aumento
efetivo), encontrada no item a, pelo valor
inicial da mercadoria, observe:
Lembre-se: 100% + 20,96% = 120,96%
120,96
100= 𝟏, 𝟐𝟎𝟗𝟔 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜.
Cálculo:
25 × 1,2096 = 30,24
Desta forma, o preço da mercadoria
após os aumentos sucessivos é de R$ 30,24.
Para uma situação como esta, é muito comum as pessoas somarem os
aumentos percentuais consecutivos para chegar a um único aumento, ou seja,
efetuam o cálculo da soma entre 8% e 12%, relatando um aumento único de
20% sobre o valor de R$ 25,00, o que traduz uma situação que não corresponde
efetivamente aos fatos.
Como incide juros sobre juros sobre um valor, a maneira correta de
calcular os juros efetivos seria descobrir primeiro o aumento percentual em
relação ao valor inicial e após, aplicar o segundo aumento percentual sobre o
novo valor.
41
Do mesmo modo acontece com os descontos sucessivos, ou seja, deve-
se realizar o primeiro desconto percentual sobre o valor inicial e, sobre o
resultado, aplicar o segundo desconto. E assim sucessivamente, acontece com
os demais descontos ou aumentos sequencias que venham ocorrer.
A simples soma dos juros cobrados no período, é chamada taxa nominal.
Conforme visto no exemplo acima, esta taxa nominal não corresponde
efetivamente aos fatos, isto é, à taxa realmente cobradas.
A taxa que em realidade é cobrada é dita taxa efetiva.
Exemplo 2:
A loja BOMPRA realizou a queima de estoque de seus aparelhos
eletrônicos, determinando um desconto promocional de 30% sobre as vendas.
Uma pessoa se interessou em comprar um aparelho de som. A loja, com o intuito
de realizar a venda, lhe oferece um desconto ainda maior de 15% sobre a
dedução promocional, caso realizasse a compra à vista. O valor anunciado deste
aparelho, sem os descontos, era de R$ 850,00. Determine o que se pede:
a) Qual será a taxa única de desconto que de fato será aplicada ao
produto, caso o cliente realize a compra à vista?
b) O valor final da mercadoria com os descontos recebidos?
Observação: O valor total que sofrerá o desconto corresponde a 100%. Desta forma, incidindo
o desconto de 30% em relação a 100% temos, 100% menos 30% correspondendo a 70% em
relação ao valor inicial. De maneira análoga acontece para o desconto de 15% em relação a
100%, correspondendo a 85%, sendo este o percentual a ser aplicado ao valor intermediário,
obtido após o primeiro desconto. Assim, se tem:
Dados:
1º desconto equivale: 70% = 70/100 = 0,70 (fator de descapitalização sobre o valor inicial)
2º desconto equivale: 85% = 85/100 = 0,85 (fator de descapitalização sobre o valor
intermediário)
Valor anunciado = R$ 850,00
42
Resolução item a Resolução item b
O cálculo da taxa única de desconto,
se realizado através do produto entre os
fatores de descapitalização, vistos acima,
veja:
0,70 × 0,85 = 0,5950
Desta maneira, o resultado
encontrado corresponde à taxa de desconto
efetivo (única) que se deve aplicar ao valor
inicial para obter o valor final correspondente.
Assim, conclui-se que 0,5950
equivale a 59,50% de desconto efetivo em
relação aos descontos sucessivos aplicados.
Para calcular o preço final do
aparelho de som, será realizado o produto do
preço atual da mercadoria pela taxa única de
desconto determinada no item a, observe:
𝑇𝑎𝑥𝑎 = 59,50% =59,50
100= 0,5950 → 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜.
Cálculo:
850 × 0,5950 = 505,75
Deste modo, o resultado obtido,
R$ 505,75, representa o valor do aparelho de
som, caso o cliente compre-o à vista.
Observa-se que o desconto real ou efetivo que está sendo aplicado é de
59,50% e não 30+15=45 por cento, que erroneamente muitos acreditariam ser o
praticado na situação.
Na sequência, outro exemplo ilustrará qual a taxa que deve ser aplicada
sobre um valor que, após ter sofrido um desconto percentual, volte ao seu valor
original.
Exemplo 3:
Findada a promoção, a loja BOMPRA retornou os preços originais dos
produtos que ainda restaram. Qual a taxa utilizada para que os produtos voltem
ao seu preço original?
Primeiramente, será calculado o desconto aplicado pela promoção. Para isso,
considere uma mercadoria que custe R$ 120,00 e a ele seja aplicado o desconto de
30%, logo, a porcentagem que representa o que será pago da mercadoria deverá ser:
100% − 30% = 70% =70
100= 𝟎, 𝟕𝟎
43
Resolução:
120 × 0,70 = 84 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
O valor desta mercadoria passaria custar R$ 84,00 com a promoção.
Assim, para retornar ao preço antigo de 120 reais, deve-se acrescentar a 84 o
valor de 36 reais. Ora, 36 corresponde a 42,86% de 84, porquanto:
36
84= 0,4286
Deste modo, 42,86% representa a taxa a ser utilizada para que o produto volte
ao seu preço original, após o desconto promocional.
Para verificar, é suficiente efetuar o cálculo e assim obter o preço original:
𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆-𝒔𝒆: 42,86% + 100% = 142,86% =142,86
100= 1,4286
Resolução:
84 × 1,4286 = 120 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Observe que o valor encontrado corresponde ao valor original.
Agora, propõem-se aos estudantes os problemas a seguir para a prática
deste assunto. Os problemas devem ser resolvidos individualmente com o
auxílio da calculadora.
44
Em três meses consecutivos, um fundo de renda fixa rendeu,
respectivamente, 1,1%, 1,3% e 1,0%. Sendo o capital aplicado no início do
primeiro mês de R$ 12.000,00, pede-se:
a) A taxa de rentabilidade acumulada ao final do trimestre.
b) O montante ao final.
Suponhamos que você seja um lojista e compra um produto por
R$ 60,00 colocando-o à venda com 30% a mais sobre o preço de custo. Passado
algum tempo, você anuncia este mesmo produto com 10% de desconto para
pagamento à vista. Calcule o que se pede:
a) Qual é o preço do produto para pagamento à vista?
b) Qual é a taxa que está sendo aplicada no lucro da venda à vista deste
produto.
Segundo o Jornal do Sindicato dos Comerciários de Curitiba e Região
Metropolitana, os trabalhadores no comércio conseguiram reajuste acima da
inflação em 2014, o que corresponde a recomposição da mesma mais um ganho
real. Disponível em: <http://www.sindicom.org/site/noticias/folha1654.asp>.
Acesso em: 28 nov. 2014. Segundo a notícia, a categoria das concessionárias –
que teve a melhor negociação – obteve um aumento de 5,90% referente a
inflação mais um aumento real de 1,40%. Baseado nos dados, determine:
a) Qual é a taxa real de aumento incidido?
b) Suponhamos que um trabalhador dessa mesma categoria receba um
salário de R$ 2.500,00. Quanto receberá após o aumento?
Problemas
45
O preço do tomate sofreu dois aumentos consecutivos no primeiro
semestre de 2014, segundo dados do DIEESE. Disponível em:
<http://jboss.dieese.org.br/cesta/>. Acesso em: 28 nov. 2014. Os aumentos
foram de 8,95% (janeiro a fevereiro) e 90% (fevereiro a março). Qual foi o
aumento acumulado nesse período? O preço do tomate em janeiro era de R$
2,57, qual será o seu preço em março?
Também baseado nos dados do DIEESE, o feijão sofreu três
decréscimos seguidos entre maio e agosto de 2014. Os descontos formam:
4,73%, 4,49% e 1,73%. Determine qual foi o desconto único aplicado e quanto
passou a custar o feijão, sabendo que seu preço em maio era de R$ 4,44.
(ENEM – 2013) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja
de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço
original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade
da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas
compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da
remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia
adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:
15,00.
14,00.
10,00.
5,00.
4,00.
46
A depreciação média dos carros entre dezembro de 2012 e dezembro
de 2013 foi de 14,2%, segundo informa o site da revista exame - publicado em
07/02/14. Disponível em: <http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/noticias/veja-
a-lista-completa-de-depreciacao-dos-carros-em-2013>. Acesso em: 25 nov.
2014. Considerando essa mesma depreciação também para 2014 e, sendo um
carro zero quilômetro comprado naquela época pelo valor de R$ 35.000,00,
determine as questões a seguir:
a) Quanto valerá o carro ao final de 2014, ou seja, após dois anos de
uso?
b) Qual é a taxa de depreciação acumulada neste intervalo de tempo?
47
3.2.7. Sistema de Amortização
Este assunto é muito significativo na vida das pessoas, uma vez que trata
de questões ligadas à aquisição de bens patrimoniais como, entre outros,
imóveis e veículos.
Muitas famílias recorrem a financiamentos para adquirir a casa própria,
entre outras razões, por não dispor de recursos financeiros integrais no ato da
compra.
Neste sentido, quando o financiamento é inevitável, é preciso que os
sistemas de amortização sejam bem compreendidos, como também seus
mecanismos de cálculos, para que se tenha condições de decidir racionalmente
sobre qual a melhor opção a ser contratada, verificando o mais vantajoso,
buscando optar por aquele que gera menos ônus.
As instituições financeiras e o comércio oferecem várias opções de
financiamentos, sendo as mais recorrentes o Sistema de Amortização Constante
(SAC) e o Sistema de amortização francês (Price), os quais serão objeto de
estudo desta atividade.
O sistema de amortização consiste no processo de quitação de uma
dívida através de pagamentos periódicos, envolvendo, o abatimento da dívida, a
incidência de juros e as prestações.
A amortização representa o pagamento da dívida, ou seja, a devolução
do capital emprestado, por meio de parcelas pagas periodicamente.
Os juros são a cobrança paga pela dívida adquirida, sendo calculados
sobre o saldo devedor ainda restante.
Cabe ressaltar que a maioria dos contratos de financiamentos imobiliários
de longo prazo estabelece um índice como fator de correção monetária referente
aos juros.
Atividade 7
48
Por sua vez, as prestações são formadas por dois componentes: a
amortização e os juros. Elas são pagas periodicamente até a finalização do
empréstimo realizado.
Importante ressaltar, que o desenvolvimento desta atividade será
realizado no laboratório de informática, por meio da utilização de planilha
eletrônica do BrOffice.
Estima-se que o desenvolvimento desta atividade tomará 8 horas aula (50
minutos cada).
Conteúdos explorados
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema de amortização francês (Price)
Objetivos
Conhecer os modelos mais praticados de sistemas de amortização
de dívidas (empréstimos) no mercado atual.
Compreender os fundamentos dos principais sistemas de
amortização, identificando as vantagens e desvantagens para o
comprador.
Este sistema é muito utilizado para financiamentos imobiliários. Nele o
pagamento da dívida é realizado através de parcelas de amortizações
constantes (parcelas iguais), sendo as prestações e os juros decrescentes.
As parcelas das amortizações são obtidas através da divisão do saldo
devedor inicial pelo número de prestações, igual ao número de períodos,
envolvido no financiamento.
Desta forma, estabelece-se a seguinte equação algébrica:
49
𝟏ª 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐
→ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑨𝒏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜
𝑺𝑫𝟎 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜)
𝒏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠
Por sua vez, os juros de cada período são calculados com base no saldo
devedor anterior remanescente.
O valor de cada prestação é obtido pela soma do valor amortizado e dos
juros calculados em cada período.
Disto decorrem as duas seguintes equações algébricas:
𝟐ª 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐
→ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝟑ª 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐
→ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑱𝒏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑺𝑫𝒏−𝟏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝒊 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝑷𝒏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑎
𝑨𝒏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎
𝑨𝒏 = 𝑺𝑫𝟎 ÷ 𝒏
𝒏
𝑱𝒏 = 𝑺𝑫𝒏−𝟏 × 𝒊
𝑷𝒏 = 𝑨𝒏 + 𝑱𝒏
50
Para que se compreenda como funciona o processo de cálculo pelo
sistema SAC, seguir-se-á um exemplo explicativo, detalhado passo a passo.
No desenvolvimento da solução será usada a planilha eletrônica do
BrOffice.
Importante notar que na exposição abaixo está elaborado um
procedimento para a implementação da planilha eletrônica do BrOffice.
Exemplo 1:
Necessitando de recursos financeiros para uma pequena reforma de seu
estabelecimento comercial, dona Elisa precisa realizar um financiamento no
valor de R$ 30.000,00 e quer pagá-lo em 5 prestações mensais. Assim, procura
um determinado banco estatal para simular o empréstimo, onde o mesmo lhe
oferece pelo sistema SAC. Os pagamentos das prestações serão efetuados no
final de cada período. Sendo a taxa de juros de 2,94% ao mês, quanto será pago
ao banco, após o término do período?
Primeiramente, os cálculos serão efetuados somente com o auxílio da
calculadora, baseando-se nas fórmulas já estudadas. Todos os dados obtidos
serão inseridos em uma tabela simples para exemplificar.
Posteriormente, o mesmo exemplo será executado em uma planilha
eletrônica, na qual serão mostrados os detalhes dos cálculos envolvidos.
Para dar início, o primeiro passo será determinar o valor das parcelas de
amortização, utilizando a 1ª fórmula.
Dados: Resolução
𝐴𝑛 = ? (𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑝) 𝐴𝑛 = 𝑆𝐷0 ÷ 𝑛
𝑆𝐷0 = 30000 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜) 𝐴 = 30000 ÷ 5
𝑛 = 5 (ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜) 𝐴 = 6000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Assim, as amortizações mensais serão fixas e iguais à R$ 6.000,00.
Conhecida as amortizações, o valor do saldo devedor em cada período
pode ser calculado por uma simples subtração. Por exemplo: no início
51
(𝑆𝐷0 – período 0) o saldo devedor era de R$ 30.000,00. No período 1, R$
6.000,00 foram amortizados (R$ 30.000,00 – R$ 6.000,00), passando a R$
24.000,00 o saldo devedor. Esse procedimento se repete até que o saldo
devedor seja zerado. Observe:
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 R$ 30.000,00 _____ _____ _____
1 R$ 24.000,00 R$ 6.000,00
2 R$ 18.000,00 R$ 6.000,00
3 R$ 12.000,00 R$ 6.000,00
4 R$ 6.000,00 R$ 6.000,00
5 R$ 0,00 R$ 6.000,00
Totais
De acordo com o segundo conceito, os juros devem incidir sempre sobre o saldo
devedor do período anterior.
Assim, segue-se o cálculo dos juros de cada período, sendo utilizado a 2ª
fórmula.
Dados: Resolução
𝑖 = 3,53% =3,53
100= 0,0353 𝐽𝑛 = 𝑆𝐷𝑛−1 × 𝑖
𝑆𝐷0 = 30000 𝐽1 = 𝑆𝐷1−1 × 𝑖
𝑆𝐷1 = 24000 𝐽1 = 30000 × 0,0294 = 882,00
𝑆𝐷2 = 18000 𝐽2 = 24000 × 0,0294 = 705,60
𝑆𝐷3 = 12000 𝐽3 = 18000 × 0,0294 = 529,20
𝑆𝐷4 = 6000 𝐽4 = 12000 × 0,0294 = 352,80
𝐽5 = 6000 × 0,0294 = 176,40
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 R$ 30.000,00 _____ _____ _____
1 R$ 24.000,00 R$ 6.000,00 R$ 882,00
2 R$ 18.000,00 R$ 6.000,00 R$ 705,60
3 R$ 12.000,00 R$ 6.000,00 R$ 529,20
4 R$ 6.000,00 R$ 6.000,00 R$ 352,80
5 R$ 0,00 R$ 6.000,00 R$ 176,40
Totais
52
O próximo momento mostrará como obter as prestações.
Sabe-se que a mesma é composta pela soma da amortização com os
juros calculados em cada período.
Seguindo a 3ª fórmula, obtêm-se as prestações em cada período:
Resolução:
𝑃𝑛 = 𝐴𝑛 + 𝐽𝑛
𝑃1 = 6000 + 882,00 = 6882,00
𝑃2 = 6000 + 705,60 = 6705,60
𝑃3 = 6000 + 529,20 = 6529,20
𝑃4 = 6000 + 352,80 = 6352,80
𝑃5 = 6000 + 176,40 = 6176,40
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 R$ 30.000,00 ____ ____ ____
1 R$ 24.000,00 R$ 6.000,00 R$ 882,00 R$ 6.882,00
2 R$ 18.000,00 R$ 6.000,00 R$ 705,60 R$ 6.705,60
3 R$ 12.000,00 R$ 6.000,00 R$ 529,20 R$ 6.529,20
4 R$ 6.000,00 R$ 6.000,00 R$ 352,80 R$ 6.352,80
5 R$ 0,00 R$ 6.000,00 R$ 176,40 R$ 6.176,40
Totais ____ R$ 30.000,00 R$ 2.646,00 R$ 32.646,00
Em resposta ao problema, observa-se que o total do empréstimo que
deverá ser devolvido ao banco, caso venha ser contratado, será de R$
32.646,00, sendo cobrados juros de R$ 2.646,00.
Na sequência será demonstrado como se resolve pelo BrOffice o mesmo
exemplo:
53
Exemplo 1: Sistema de Amortização Constante (SAC)
Fórmulas utilizadas para resolução das operações efetuadas na planilha
acima:
Fórmula (nº) Célula (local) Descrição
1 B7 =B2
2 C8 =$B$2/$B$4
3 B8 =B7-C8
4 D8 =B7*$B$3
5 E8 =C8+D8
6 C13 =SOMA(C8:C12)
7 D13 =SOMA(D8:D12)
8 E13 =SOMA(E8:E12)
Procedimentos:
1. Digite o valor financiado, a taxa e o período nas células B2, B3 e B4,
respectivamente.
2. Na célula B7, aplique a primeira fórmula.
54
3. Na célula C8, aplique a segunda fórmula. Uma vez digitada, ela deve
ser arrastada até a célula C12.
4. Na célula B8, aplique a terceira fórmula. Uma vez digitada, ela deve
ser arrastada até a célula B12.
5. Na célula D8, aplique a quarta fórmula. Uma vez digitada, ela deve ser
arrastada até a célula D12.
6. Na célula E8, aplique a quinta fórmula. Uma vez digitada, ela deve ser
arrastada até a célula E12.
7. Aplique as fórmulas de soma (6, 7 e 8) nas células C13, D13 e E13,
respectivamente.
Observação: O símbolo $ quando acrescentado à esquerda do símbolo
representativo da coluna ou à esquerda do número indicativo da linha, fixa a
referida coluna, no primeiro caso, ou fixa a linha, no segundo caso. Um exemplo
de tal situação é a aplicação da fórmula 1 na célula C8, sendo acrescentados os
cifrões, tanto na célula B2 quanto na célula B4, indicando que os seus valores,
impreterivelmente, serão os mesmos para toda extensão da coluna.
Em síntese, estes cálculos permitiram obter o valor de cada prestação, o
saldo devedor para a quitação em cada período, os juros pagos e o valor total
pago pelo tomador do empréstimo.
Diferentemente da modalidade SAC, as prestações neste sistema são
constantes, ou seja, todas iguais, o que incorre em uma de suas virtudes.
A amortização é crescente ao longo do período e os juros são
proporcionalmente decrescentes em relação ao saldo devedor.
Normalmente, o sistema Price é utilizado para financiamentos de carros,
eletrodomésticos, aparelhos eletrônicos, empréstimo pessoal, crediários com
prestações fixas em geral.
55
Pode-se identificar facilmente este sistema, quando um vendedor utiliza
uma tabela de fatores para calcular o valor das prestações fixas.
Suas prestações são determinadas segundo uma série uniforme de
pagamentos, por se tratar de pagamentos constantes (prestações fixas),
levando-se em consideração o valor Futuro (𝐹𝑛) do empréstimo Presente (𝑃).
Para o cálculo destas prestações, utilizar-se-á a fórmula que se segue:
𝑃 = 𝑆𝐷 × [𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1]
𝑂𝑛𝑑𝑒: 𝑷 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
𝑺𝑫 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜
𝒊 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝒏 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
Para os cálculos da amortização do saldo devedor em cada período, como
também dos juros, serão utilizadas as mesmas relações usadas no sistema SAC.
Com o intuito de ilustrar este processo, utilizar-se-á o exemplo anterior.
Exemplo 2:
Não satisfeita com a proposta do banco estatal, dona Maria procurou outra
agência bancária, porém agora privado. Nesta agência, lhe ofereceram o modelo
Price de amortização de empréstimo, com a mesma taxa de juros, 2,94%. Os
pagamentos das prestações serão efetuados no final de cada período. Sendo o
mesmo valor a ser financiado (R$ 30.000,00), pelo mesmo tempo (5 meses),
qual o montante a ser devolvido ao banco ao final do período?
Inicialmente os cálculos serão realizados utilizando-se as equações
anteriormente vistas no sistema SAC, como também a fórmula que determina as
prestações fixas, para então, de posse dos resultados, registrá-los em uma
tabela.
56
Posteriormente, as operações serão executadas em uma planilha
eletrônica, na qual será detalhado passo a passo todo o procedimento.
As etapas a seguir exibirão o desenvolvimento dos cálculos para a
composição da tabela.
1º Etapa: O ponto de partida para a montagem da tabela será o cálculo
da prestação em cada período. Observe:
𝑃 = 𝑆𝐷 × [𝑖 × (1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 − 1]
𝑃 = 30000 × [0,0294 × (1 + 0,0294)5
(1 + 0,0294)5 − 1]
𝑃 = 30000 × [0,0294 × 1,155901
1,155901 − 1]
𝑃 = 30000 × [0,033984
0,155901]
𝑃 = 30000 × 0,217981
𝑃 = 6539,42
2º Etapa: Em seguida, os juros devem ser calculados para o primeiro
período, com base no sado devedor anterior; neste caso, inicial (SD0), utilizando-
se a 2ª equação.
𝐽𝑛 = 𝑆𝐷𝑛−1 × 𝑖
𝐽1 = 𝑆𝐷1−1 × 𝑖
𝐽1 = 30000 × 0,0294
𝐽1 = 882,00
3º Etapa: Do valor da parcela deve-se subtrair os juros pagos no período
para que a amortização seja encontrada. Desta forma, utilizar-se-á a 3ª equação.
57
𝑃1 = 𝐴1 + 𝐽1
6539,42 = 𝐴1 + 1059,00
𝐴1 = 6539,42 − 882,00
𝐴1 = 5657,42
4º Etapa: Cálculo do saldo devedor do primeiro período.
𝑆𝐷𝑛 = 𝑆𝐷(𝑛−1) − 𝐴𝑛
𝑆𝐷1 = 𝑆𝐷0 − 𝐴1
𝑆𝐷1 = 30000 − 5657,42
𝑆𝐷1 = 24342,58
Vale ressaltar que as etapas 2, 3 e 4, que determinam os juros, a
amortização e o saldo devedor, serão repetidas a cada período de tempo.
Período Saldo Devedor Prestação Juros Amortização
0 R$ 30.000,00 _____ _____ _____
1 R$ 24.342,58 R$ 6.539,42 R$ 882,00 R$ 5.657,42
2 R$ 18.518,83 R$ 6.539,42 R$ 715,67 R$ 5.823,75
3 R$ 12.523,87 R$ 6.539,42 R$ 544,45 R$ 5.994,97
4 R$ 6.352,65 R$ 6.539,42 R$ 368,20 R$ 6.171,22
5 R$ 0,00 R$ 6.539,42 R$ 186,77 R$ 6.352,65
Totais _____ R$ 32.697,10 R$ 2.697,10 R$ 30.000,00
Conclui-se que o montante que dona Maria deverá devolver ao banco,
caso venha contrair o empréstimo nesta agência, será de R$ 32.697,10, sendo
os juros totais pagos iguais a R$ 2.697,10.
A seguir serão mostrados os cálculos na planilha eletrônica.
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Exemplo 2: Sistema de amortização francês (Price)
Fórmulas utilizadas para resolução das operações efetuadas na planilha
acima:
Fórmula
(nº)
Célula
(local) Descrição
1 B7 =B2
2 E8 =$B$7*(($B$3*(1+$B$3)^$B$4)/((1+$B$3)^$B$4-1))
3 D8 =B7*$B$3
4 C8 =E8-D8
5 B8 =B7-C8
6 C13 =SOMA(C8:C12)
7 D13 =SOMA(D8:D12)
8 E13 =SOMA(E8:E12)
Procedimentos:
1. Digite o valor financiado e a taxa nas células B2 e B3, respectivamente.
2. Na célula B7, aplique a primeira fórmula.
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3. Na célula E8, aplique a segunda fórmula (sequência uniforme de
pagamentos), para que o valor das prestações seja encontrado. Uma
vez digitada, ela deve ser arrastada até a célula E12.
4. Na célula D8, aplique a terceira fórmula. Uma vez digitada, ela deve
ser arrastada até D12.
5. Na célula C8, aplique a quarta fórmula. Uma vez digitada, ela deve ser
arrastada até C12.
6. Na célula B8, aplique a quinta fórmula. Uma vez digitada, ela deve ser
arrastada até B12.
7. Aplique as fórmulas de soma (6, 7 e 8) nas células C13, D13 e E13,
respectivamente.
Dona Maria pode constatar que, mesmo sendo altas as prestações no
início do período, ainda se torna mais vantajoso realizar o empréstimo no banco
estatal, que oferece o modelo de amortização pelo sistema SAC, pois verifica-se
que ao final do período se pagará menos juros, em função das amortizações
serem maiores no início, realizando maior abatimento no saldo devedor e,
consequentemente, incidindo menor cobrança de juros.
Após realizar os cálculos, compreende-se que, independente de qual
sistema de amortização for escolhido, as perguntas que interessam ao tomador
são:
1ª Qual é o valor das prestações em determinado período?
2ª Qual é o saldo devedor para a quitação em cada período?
3ª Qual é o valor total de juros que será pago pelo tomador do
empréstimo?
4ª Qual é o montante pago pelo tomador do empréstimo?
Outro aspecto relevante é o tempo de financiamento, que acaba refletindo
muito na vida das pessoas, pois dependendo do período pelo qual se é
contratado, ele se torna o melhor amigo do financiador e, consequentemente, o
pior inimigo do financiado (consumidor). Quanto maior o tempo financiado, mais
juros se pagam. Assim, o ideal seria preferir períodos de curto prazo.
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Na sequência são propostos aos estudantes que, em dupla, desenvolvam
os problemas a seguir, utilizando a planilha eletrônica do BrOffice.
Você financia, pelo sistema SAC, um terreno de R$ 45.000,00 em 45
meses à taxa de 2% ao mês. Com base nessas informações, calculo:
a) O valor da parcela de amortização que deve ser fixo em todo o
período.
b) O valor da primeira prestação.
c) O valor pago na última prestação.
d) O valor total pago pelo terreno ao final do período.
e) Os juros totais.
Considere que você tenha realizado um empréstimo pessoal em uma
agência bancária de R$ 2.500,00 e terá que pagá-lo em 24 períodos mensais. O
sistema de amortização empregado foi o SAC. Monte a planilha para os cálculos
e, sabendo que a taxa de juros aplicada foi de 2,94% ao mês, determine qual o
montante que será pago ao banco no final do período?
Com base nos dados do problema anterior, faça o cálculo para o
sistema de amortização Price e determine qual o valor final pago pelo
empréstimo.
Um amigo lhe pede para determinar quanto ele pagará no total, por
um imóvel financiado pelo sistema SAC. O valor d imóvel é de R$ 180.000,00
roblemas
61
dos quais 70% foram financiados. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 0,6%
ao mês o equivalente a 7,4% ao ano, e o prazo de 160 meses. Determine:
a) O valor da primeira e da última prestação, bem como o valor das
prestações que iniciam o período a cada 12 meses por 4 anos.
b) A parcela 160.
c) O valor pago de juros em todo o período?
d) Quanto se pagará pelo imóvel ao final dos 160 meses?
Uma casa no valor de R$ 80.000,00 é financiada pelo sistema Price
em 12 anos. A taxa de juros é de 0,76% ao mês. Monte uma planilha mensal do
primeiro ano e calcule quanto você pagou nesse período e quanto ainda deve
pela compra do imóvel.
Você resolve comprar um carro 0 km no valor de R$ 25.000,00. No
momento você só possui R$ 9.000,00 como reserva pessoal, e pretende usá-lo
como entrada. O restante do valor será financiado pelo sistema Price no prazo
de 36 meses. Os juros cobrados pela financeira são de 1,27% ao mês.
Determine:
a) O valor da prestação.
b) O valor pago pelos juros.
c) O total pago pelo financiamento.
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4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
As atividades devem iniciar com a aplicação de um questionário para
verificar o conhecimento prévio que os estudantes possuem acerca da
matemática financeira e a percepção deles sobre sua importância no cotidiano.
Desta forma, o professor, que aplicar o material ora apresentado, poderá
fazer os ajustes necessários para o bom andamento das demais atividades.
Visando incentivar o interesse dos estudantes para o assunto matemática
financeira, na atividade 1, deve ser exibido o vídeo Matemática nas finanças, do
programa “Matemática Em Toda Parte”, da TV Escola, no qual se explora a
matemática nas finanças do dia a dia.
Nesta atividade, devem ser levantados questionamentos acerca dos
aspectos apresentados, conduzindo os estudantes a refletir sobre operações de
juros simples e compostos na vida comercial e financeira; sobre como tomar a
decisão mais adequada de pagamento (à vista ou a prazo), quando forem
realizar uma compra; sobre a importância dos cálculos mentais para tomada de
decisões mais rapidamente diante de situações do cotidiano, entre outros.
Na sequência, serão trabalhados os assuntos da atividade 2. Nesta
atividade será abordado o cálculo de taxa percentual envolvendo os conceitos
de inflação, inflação negativa e deflação. Calcular-se-á a inflação (ou inflação
negativa) da cesta básica curitibana, entre os meses de agosto e setembro de
2014.
Esta atividade foi concebida com o intuito de trabalhar cálculos de taxa
percentuais e de promover uma conscientização dos impactos causados pela
inflação na vida das pessoas.
Na atividade 3, serão introduzidos os cálculos de capitalização simples e
composta. Pretende-se com esta atividade desenvolver uma abordagem voltada
para situações reais, mostrando, e. g., quando se deve aplicar os juros simples
para obter um valor maior em relação aos juros compostos. Além do mais,
buscar-se-á trabalhar com análise de dívida em cartão de crédito, com questões
relacionadas a empréstimos, compras a prazo, aplicações em renda fixa, entre
outros.
63
A finalidade desta atividade é fazer com que o estudante adquira o
conhecimento necessário para, criticamente, diante das situações que vivencia,
tomar as decisões mais adequadas no que se refere às operações financeiras.
Recomenda-se ao professor que analise a realidade dos estudantes,
buscando verificar quais as efetivas necessidades, de forma a trabalhar com
situações que tenham sentido para suas vidas.
Depois, será complementado o estudo de juros simples e compostos com
a atividade 4 que se desenvolverá com a aplicação do jogo Trilha da Economia,
um software educacional que estimula o estudante a realizar cálculos
matemáticos envolvendo as operações de juros simples e compostos. A
execução, em dupla, deve ocorrer no laboratório de informática.
Ressalta-se a importância de, ao aplicar esta atividade, verificar com
antecedência a disponibilidade de computadores na escola e a funcionalidade
de cada um, de forma que a tarefa se desenvolva a contento.
A atividade 5 tem por objetivo trabalhar o cálculo de taxa de juros de
maneira simples, abordando questões relacionadas a realidade dos estudantes.
Por exemplo, o cálculo da taxa aplicada em uma aplicação que produza um
determinado valor de resgate após um período de tempo ou saber qual é a taxa
aplicada a uma dívida de cartão de crédito vencida por um determinado tempo.
Em continuidade, na atividade 6, serão estudados os aumentos e
descontos sucessivos em produtos e serviços. O objetivo desta atividade é
desenvolver o domínio dos cálculos para que se possa, de maneira concisa, lidar
com operações deste gênero e identificar qual é o aumento efetivo (real) do
salário de um trabalhador após sofrer uma sequência de aumentos seguidos ou
saber qual é o desconto efetivo aplicado a um produto sobre o qual incida vários
descontos sucessivos.
Para finalizar, na atividade 7, serão abordados sistemas de amortizações:
SAC e Price. Considera-se que as exemplificações trazidas à baila sejam bem
próximas da realidade do estudante, porquanto compreendem como são
calculados os financiamentos (ou empréstimos) pelas financeiras quando se
realiza um financiamento imobiliário ou de veículo, a compra de certos produtos
por longo prazo e empréstimos pessoais.
O professor deve procurar desenvolver no estudante, além do domínio em
relação aos cálculos, uma consciência crítica diante das situações que possam
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vivenciar, abordar critérios que se pode utilizar para escolha do que é mais viável
em certa situação, clarear os mecanismos que eventualmente são usados para
mascarar algumas ofertas a que todos, enquanto consumidores, estamos
expostos.
Como a atividade deve ser trabalhada no laboratório de informática,
recomenda-se ao professor que verifique se na escola existem computadores
suficientes, com o programa apropriado, para as atividades propostas.
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5. REFERÊNCIAS
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<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2011/07_AZUL_GAB.pdf>. Acesso em: 28 nov. 2014.
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